mcda - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2tsantas/downloadfiles/solver.pdf · Βασικές Έννοιες...

2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

89

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπί-

σει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτε-ρα κέρδη: η πώληση ενός τρακτέρ αφήνει κέρδος 5,000 χρηματικών μονά-δων κι ενός γερανού 4,000. Η παραγωγή των δύο μηχανημάτων πραγματο-ποιείται σε δύο διακριτά στάδια όπως αναλυτικά φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί.

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ (hr) 150 160

Επιπλέον, υπάρχει κι ένα τελικό στάδιο ποιοτικού ελέγχου. Εδώ, ένα τρα-κτέρ χρειάζεται 30 ώρες κι ένας γερανός μόλις 10, ενώ οι (εβδομαδιαίες) ώρες που υποχρεούται να διαθέσει η εταιρεία για το σκοπό αυτό δε μπορούν να αποκλίνουν περισσότερο του 10% από το όριο των 150 ωρών που ορίζει η σχετική νομοθεσία. Η TRACPRO πουλάει τα δύο μηχανήματα μόνο πακέ-το: για κάθε τρία τρακτέρ τουλάχιστον ένα γερανό. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, η πώληση πέντε μηχανημάτων εβδομαδιαία είναι εξασφαλισμέ-νη, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση της βέλτιστης γραμμής παραγωγής.

Λύση Μεταβλητές. Φανερά, μεταβλητές απόφασης είναι ο αριθμός των τρακτέρ και γερανών που πρέπει να κατασκευάζονται εβδομαδιαία. Ορίζουμε να είναι x1 ο αριθμός των τρακτέρ που κατασκευάζονται σε μια εβδομάδα, x2 ο αριθμός των γερανών που κατασκευάζονται σε μια εβδομάδα.

Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Συμβολίζοντας με Z το συνολικό εβδο-μαδιαίο κέρδος της TRACPRO, αναζητούνται οι τιμές x1, x2 οι οποίες επι-τυγχάνουν να μεγιστοποιήσουν τη συνάρτηση

Z = (5,000x1 + 4,000x2) λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλονται σ’ αυτές.

Περιορισμοί. Ένας προφανής περιορισμός προκύπτει εξ αιτίας των περιορι-σμένων ωρών στα δύο στάδια Α και Β της κατασκευαστικής διαδικασίας 10x1 + 15x2 ≤ 150 (εβδομαδιαίος χρόνος στο στάδιο Α), 20x1 + 10x2 ≤ 160 (εβδομαδιαίος χρόνος στο στάδιο Β).

ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 06/05/2007

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας

90

Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη οι ώρες που πρέπει να διατεθούν εβδομαδιαία για τον ποιοτικό έλεγχο -το 10% του 150 είναι 15- 30x1 + 10x2 ≥ 135 (εβδομαδιαίος χρόνος για ποιοτικό έλεγχο),

η υποχρεωτική αναλογία τρακτέρ και γερανών στις πωλήσεις

11 2

2

x 3 x 3x 0x 1

≤ ⇒ − ≤ (αναλογία τρακτέρ προς γερανούς),

η υπάρχουσα παραγγελία για τα μηχανήματα x1 + x2 ≥ 5 (εβδομαδιαία ζήτηση των μηχανημάτων), και η μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης x1, x2 ≥ 0.

Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η TRACPRO αφορά τον:

Γραφική Επίλυση. Η εφικτή περιοχή του ανωτέρω π.γ.π. ορίζεται από το πολύγωνο ΑΒΓΔ (εικόνα 2.9) του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(4.05, 1.35), Β(6.857, 2.286), Γ(4.5, 7) και Δ(1.5, 9). Με αντικατάσταση των συντεταγμένων τους στην αντικειμενική συνάρτηση, εντοπίζεται η κο-ρυφή που δίνει τη μεγαλύτερη τιμή στο Ζ. Πρόκειται για τη βέλτιστη λύση.

ΚΟΡΥΦΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ζ Α (4.05, 1.35) 25,650 Β (6.857, 2.286) ≈ 43,429 Γ (4.5, 7) 50,500 ΒΕΛΤΙΣΤΗ Δ (1.5, 9) 43,500

προσδιορισμό εκείνων τιμών για τις μεταβλητές x1, x2 (αριθμός τρακτέρ και γερανών αντίστοιχα) οι οποίες επιτυγχάνουν να

maximize Z = (5,000x1 + 4,000x2)

κάτω από περιορισμούς (όταν είναι) 10x1 + 15x2 ≤ 15020x1 + 10x2 ≤ 21030x1 + 10x2 ≥ 135

x1 - 3x2 ≤ 0x1 + x2 ≥ 5x1 , x2 ≥ 0



91

Το μέγιστο κέρδος της TRACPRO, ύψους 50,500 χρηματικών μονάδων, επι-τυγχάνεται με την εβδομαδιαία κατασκευή 4.5 τρακτέρ και 7 γερανών. Ση-μειώνεται επίσης το γεγονός ότι, ο 5ος περιορισμός είναι πλεονάζων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.11 Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων

και δύο διαλύματα ΔΛ1, ΔΛ2. Σε γενικές γραμμές, η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Για την παραγωγή 1000 lit ΔΛ1 απαιτούνται δύο ώρες στο τμήμα της μίξης και μία ώρα στο τμήμα καθαρισμού, ενώ για την παραγωγή 1000 lit ΔΛ2 απαι-τούνται μία ώρα στο τμήμα της μίξης και δύο ώρες στο τμήμα καθαρισμού. Το οικονομικό τμήμα της εταιρείας, γνωρίζοντας ότι το εργατικό δυναμικό «προσφέρει» εβδομαδιαία 230 ώρες για τη μίξη και 250 ώρες για τον καθα-ρισμό των δύο διαλυμάτων, υπολογίζει σ’ ένα κέρδος 300 χρηματικών μονά-

Εικόνα 2.9 Εφικτή περιοχή και κορυφές για το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 2.10.



92

δων ανά lit ΔΛ1 και 500 χρηματικών μονάδων ανά lit ΔΛ2. Δεδομένου ότι η αγορά σε εβδομαδιαία βάση μπορεί να απορροφήσει άπειρες ποσότητες lit ΔΛ1 αλλά το πολύ 120,000 lit ΔΛ2 προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε διάλυμα ΔΛ1 και ΔΛ2 σε τρόπο ώστε να μεγιστο-ποιηθεί το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Στη συνέχεια,

i. μελετήστε τη μεταβολή στη βέλτιστη λύση (και στην αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) αν κάποιος από τους αντικειμενικούς συν-τελεστές αλλάξει. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι για λόγους ανταγωνι-σμού στην αγορά για το διάλυμα ΔΛ1, η εταιρεία μειώνει το κέρδος στις 275 χρηματικές μονάδες ανά lit.74

ii. μελετήστε τη μεταβολή στη βέλτιστη λύση (και στην αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) αν το δεξιό μέλος ενός εκ των περιορισμών αλλάξει. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι ο χρόνος εργασίας στο τμήμα μίξης μειώνεται στις 220 ώρες.54

Λύση Μεταβλητές. Εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι μεταβλητές απόφασης είναι η ποσότητα των διαλυμάτων ΔΛ1 και Δλ2 (σε χιλιάδες lit) που πρέπει να πα-ράγονται σε μια εβδομάδα. Ορίζουμε να είναι

x1 η ποσότητα του διαλύματος ΔΛ1 που παράγεται εβδομαδιαία (,000 lit), x2 η ποσότητα του διαλύματος ΔΛ2 που παράγεται εβδομαδιαία (,000 lit).

Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Συμβολίζοντας με Z το συνολικό εβδο-μαδιαίο κέρδος, αναζητούνται οι τιμές x1, x2 οι οποίες επιτυγχάνουν να μεγι-στοποιήσουν τη συνάρτηση

Z = (3x1 + 5x2)

(εκατοντάδες χιλιάδες χρηματικές μονάδες) λαμβάνοντας υπόψη τους περιο-ρισμούς που επιβάλλονται σ’ αυτές.

Περιορισμοί. Ένας προφανής περιορισμός προκύπτει εξ αιτίας των περιορι-σμένων ωρών στα δύο τμήματα (μίξης και καθαρισμού) της κατασκευαστι-κής διαδικασίας

2x1 + x2 ≤ 230 (εβδομαδιαίος χρόνος για μίξη των διαλυμάτων), x1 + 2x2 ≤ 250 (εβδομαδιαίος χρόνος για καθαρισμό των διαλυμάτων). Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η εβδομαδιαία απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2

74 Η αλλαγή αυτή επηρεάζει το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής που εντοπίστηκε ;



93

x2 ≤ 120 (εβδομαδιαία ζήτηση του διαλύματος ΔΛ2), και η μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης x1, x2 ≥ 0.

Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η εταιρεία του παραδείγματος, αφορά τον:

Γραφική Επίλυση. Η εφικτή περιοχή του ανωτέρω π.γ.π. αντιστοιχεί στο πο-λύγωνο ΑΒΓΔE (εικόνα 2.10) του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(0, 0), Β(115, 0), Γ(70, 90), Δ(10, 120) και E(0, 120). Για τον εντοπισμό

προσδιορισμό εκείνων τιμών για τις μεταβλητές x1, x2 (ποσότητα –σε ,000 lit– διαλύματος ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα) οι οποίες επιτυγχάνουν να

maximize Z = (3x1 + 5x2) κάτω από περιορισμούς (όταν είναι)

2x1 + x2 ≤ 230x1 + 2x2 ≤ 250

3 x2 ≤ 120x1 , x2 ≥ 0

Εικόνα 2.10 Εφικτή περιοχή και κορυφές για το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 2.11.



94

της βέλτιστης λύσης (κορυφής), θα πρέπει να χαραχθούν ευθείες σταθερού κέρδους στην κατεύθυνση αύξησης της Ζ.

Στην εικόνα 2.10 παρατηρούμε ότι, η τελευταία κορυφή από την οποία διέρχεται μια από αυτές τις παράλληλες πριν φύγει έξω από την εφι-κτή περιοχή, είναι η Γ. Επομένως, η εβδομαδιαία παραγωγή 70,000 lit ΔΛ1 και 90,000 lit ΔΛ2, οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό συνολικό κέρδος ύψους Ζ = 66,000,000 χρηματικών μονάδων.

Σύμφωνα με τον ορισμό 2.6, οι δύο πρώτοι περιορισμοί οι οποίοι ανα-φέρονται αντίστοιχα στο διαθέσιμο χρόνο (ώρες) για τη μίξη και τον καθαρι-σμό των δύο διαλυμάτων, είναι δεσμευτικοί (η βέλτιστη λύση του προβλή-ματος είναι το σημείο τομής των περιοριστικών ευθειών τους). Ο περιορι-σμός, που αφορά την απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2, είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή75 120 – 90 = 30.

75 Έτσι ονομάζεται η τιμή της χαλαρής (ή πλεονάζουσας) μεταβλητής ενός χαλαρού πε-ριορισμού (βλ. και τον ορισμό 2.7).



95

2.5 Λογισμικό για την Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η ραγδαία ανάπτυξη των προσωπικών ηλεκτρονικών υπολογιστών (PCs) κατά την τελευταία εικοσαετία, οδήγησε στην εμφάνιση μιας ποικι-λίας λογισμικού με στόχο τη διευκόλυνση του χρήστη στην εφαρμογή των μεθόδων βελτιστοποίησης (μοντέλων) της Επιχειρησιακής Έρευνας. Επι-πλέον, είναι πια καθολικά αποδεκτό ότι, οι μέθοδοι αυτές (μαζί με εκείνες της Στατιστικής) αποτελούν το αναγκαίο επιστημονικό υπόβαθρο για την τεκμηριωμένη υποστήριξη των καθημερινών αποφάσεων των διοικητικών στελεχών ακόμη και σε κλάδους που παραδοσιακά είχαν πολύ μικρή σχέση με τις Ποσοτικές Τεχνικές.

Στις μέρες μας, ακολουθείται η λογική των εξειδικευμένων λογισμι-κών για την κάθε (σχεδόν) μέθοδο χωριστά τα οποία να περιέχουν όλους τους σχετικούς αλγόριθμους επίλυσής της. Ιδιαίτερα για τo Γραμμικό Προ-γραμματισμό, το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της Επιχειρησιακής Έρευνας, υπάρχουν διαθέσιμα στην αγορά περισσότερα από 70 διαφορετικά λογισμικά76. Τις τελευταίες εκδόσεις των περισσοτέρων εξ’ αυτών ο ενδια-φερόμενος αναγνώστης μπορεί να τις βρει δωρεάν για περιορισμένη χρήση, στις ιστοσελίδες των κατασκευαστών τους.

Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν τρεις διαφορετικές φιλοσοφίες για τη μοντελοποίηση και εν συνεχεία επίλυση/ανάλυση ενός π.γ.π. από κάποιο λογισμικό:

i) Πρόσθετα εργαλεία (add-ins) σε λογιστικά φύλλα (π.χ. Solver, What’s Best). Τα λογιστικά φύλλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση σχετικά απλών και μικρού μεγέθους π.γ.π. με ικανοποιητικά αποτελέσματα. Έχουν το πλεονέκτημα να υπάρχουν πλέον σε κάθε χώρο εργασίας, αλλά η ανάπτυξη σύνθετων προβλημάτων σ’ αυτά απαιτεί μεγάλη επένδυση χρόνου από την πλευρά του χρήστη.

ii) Ολοκληρωμένα πληροφοριακά συστήματα (π.χ. LINDO, WinQSB, DS for Windows). Προσφέρουν ένα αυτόνομο φιλικό περιβάλλον εργασίας και αποτελούν τον πιο εύκολο τρόπο για την ανάπτυξη και επίλυση ενός π.γ.π. Η μεταφορά του προτύπου που αναπτύσσεται στο περιβάλλον τους είναι άμεση και χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες, όπως ακριβώς γράφεται στο χαρτί.

76 Λεπτομερείς πληροφορίες γύρω από αυτά μαζί με σχετικό πληροφοριακό υλικό υπάρ-χουν στις διευθύνσεις του διαδικτύου : www.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/ και lionhrtpub.com/orms/surveys/LP/LP-survey.html.



96

iii) Γλώσσες μοντελοποίησης (π.χ. AMPL, MPL, GAMS, LINGO). Απο-τελούν την ενδεδειγμένη επιλογή σε περιπτώσεις μεγάλων ή/και περί-πλοκων π.γ.π. Στις περιπτώσεις αυτές το πρόβλημα παρίσταται με βάση τους συντακτικούς κανόνες και τη γραμματική της γλώσσας που χρησιμοποιείται. Στο Παράρτημα Β του παρόντος βιβλίου, παρατίθεται μια (σχετικά)

λεπτομερής ανάπτυξη του πρόσθετου εργαλείου (add-in) Solver που υπάρχει ενσωματωμένο στο Excel, των πληροφοριακών συστημάτων LINDO και WinQSB, καθώς και της γλώσσας μοντελοποίησης LINGO. Υπάρχουν επί-σης σχετικές αναφορές στις πολύ γνωστές συμβολικές γλώσσες μαθηματι-κών Mathematica και Maple V. Στην παρούσα παράγραφο περιοριζόμαστε στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων για τα παραδείγματα 2.11 και 2.10 όπως αυτά προκύπτουν από το WinQSB και το LINDO αντίστοιχα, επιχειρώντας ταυτόχρονα μια αντιπαραβολή με τη γραφική τους επίλυση που δόθηκε σε προηγούμενες σελίδες του βιβλίου. Επιπρόσθετα, ένα καινούριο παράδειγμα διατυπώνεται και στη συνεχεία αναλύεται με τη βοήθεια του Excel.

Στην εικόνα 2.17 φαίνονται οι οθόνες μοντελοποίησης και λύσης του παραδείγματος 2.11 στο περιβάλλον του WinQSB. Η αναφορά επίλυσης χωρίζεται σε δύο τμήματα: το πρώτο αφορά τις μεταβλητές, ενώ το δεύτερο τους περιορισμούς.

Στο πρώτο μέρος των αποτελεσμάτων καταγράφεται η βέλτιστη λύση του προβλήματος (Solution Value), η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (Objective Function =), το κόστος ευκαιρίας των μεταβλητών απόφασης (Reduced Cost) καθώς επίσης και η ανάλυση ευαισθησίας για τους αντικειμενικούς συντελεστές (: στη στήλη που επιγράφεται Allowable Min c(j) δίνεται το κάτω όριο του εύρους αριστότητας, στη στήλη Allowable Max c(j) το άνω όριο, ενώ στη Unit Cost or Profit c(j) η υπάρχουσα τιμή). Η βέλτιστη λύση x1 = 70, x2 = 90 (χιλιάδες lit των διαλυμάτων ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα) αποφέρει εβδομαδιαίο κέρδος 660 εκατοντάδων χιλιάδων χρη-ματικών μονάδων. Σύμφωνα με τα υποδεικνυόμενα εύρη αριστότητας, διακύμανση του κέρδους από τα 1000 lit διαλύματος ΔΛ1 στο διάστημα των [2.5, 10] εκατοντάδων χιλιάδων χρηματικών μονάδων, ή του αντίστοιχου από τα 1000 lit διαλύματος ΔΛ2 στο διάστημα [1.5, 6]77, δε θα αλλάξει την υπάρχουσα βέλτιστη λύση. 77 Βλ. εικόνα 2.11 για τη γραφική μέθοδο εύρεσής τους.



97

Το κόστος ευκαιρίας μιας μεταβλητής απόφασης παριστά την ελάχι-στη βελτίωση που πρέπει να υποστεί ο αντίστοιχος αντικειμενικός συντελε-στής, ώστε αυτή να μπορεί να έχει θετική τιμή78. Συνεπώς, μεταβλητές που συμμετέχουν στη βέλτιστη λύση έχουν μηδενικό κόστος ευκαιρίας μια και δε χρειάζεται να υποστεί καμία βελτίωση ο αντικειμενικός τους συντελε-στής. Πράγματι, στο συγκεκριμένο παράδειγμα που και οι δύο μεταβλητές συμμετέχουν στην άριστη λύση, το κόστος ευκαιρίας τους είναι μηδέν: δε χρειάζεται να βελτιωθεί (εδώ μεγαλώσει) το ανά μονάδα κέρδος κάποιου από τα δύο διαλύματα για να ξεκινήσει η παραγωγή του, με το τρέχον κέρ-δος παράγονται και τα δύο.

Το δεύτερο μέρος των αποτελεσμάτων αναφέρεται αποκλειστικά

στους περιορισμούς του δοθέντος π.γ.π. Πιο συγκεκριμένα για τον καθένα εξ’ αυτών καταγράφεται η φορά του (Direction), το δεξιό μέλος του (Right 78 Ισοδύναμα (βλ. ορισμό 3.7), το κόστος ευκαιρίας μπορεί να θεωρηθεί ως η μείωση που θα υποστεί η βέλτιστη τιμή του Ζ αν εξαναγκάσουμε κάποια μεταβλητή να συμ-μετάσχει στη βέλτιστη λύση.

Εικόνα 2.17 Οι οθόνες μοντελοποίησης και επίλυσης του παραδείγματος 2.11 στο περιβάλλον του WinQSB.



98

Hand Side), η τιμή που έχει για τη βέλτιστη λύση (Left Hand Side), η περι-θώρια τιμή του (Slack or Surplus), το κάτω (Allowable Min RHS) και άνω (Allowable Max RHS) όριο του εύρους εφικτότητας, και τέλος η αντίστοιχη δυϊκή τιμή (Shadow Price).

Στο πρόβλημα όλοι οι περιορισμοί είναι της μορφής «≤» (το σύμβολο «<» σημαίνει μικρότερο ή ίσο κι όχι απλώς μικρότερο). Οι δύο πρώτοι περιο-ρισμοί είναι δεσμευτικοί και ο τρίτος χαλαρός με περιθώρια τιμή (120-90=) 30. Άρα η παραγωγή του διαλύματος ΔΛ2 είναι μικρότερη κατά 30 χιλιάδες lit από τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν με την ανάλυση που περιγράφηκε στη σελίδα 72.

Η δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού είναι 0.33333, όσο είχε υπολο-γιστεί και με τη γραφική μέθοδο στην παράγραφο 2.4. Έτσι, όπως είναι ήδη γνωστό, αν αυξηθούν οι ώρες στο τμήμα της μίξης κατά μία, τότε αναμένε-ται ότι τα συνολικά κέρδη θα αυξηθούν κατά 33,333 χρηματικές μονάδες. Από την άλλη πλευρά, αν οι ώρες στο τμήμα της μίξης μειωθούν κατά μία, τα κέρδη θα μειωθούν κατά 33,333 χρηματικές μονάδες. Το επόμενο θέμα στο οποίο δίνει απάντηση το δεύτερο μέρος αποτελεσμάτων του WinQSB, σχετίζεται με τα όρια μέσα στα οποία μπορεί να μεταβάλλεται το δεξιό μέλος του 1ου περιορισμού (διάστημα εφικτότητας) ώστε οι δυϊκές τιμές να παραμένουν οι ίδιες. Έτσι βλέπουμε ότι για την πρώτη ύλη «ώρες στο τμήμα της μίξης», με τρέχουσα τιμή 230, τα όρια εφικτότητας είναι μεταξύ 140 και 500. Το διάστημα αυτό συμπίπτει προφανώς με εκείνο που βρέθηκε με τη γραφική ανάλυση ευαισθησίας και δημιουργείται από την κίνηση του ση-μείου Γ πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ (βλ. εικόνα 2.13). Ανάλογα ερμη-νεύονται τα ευρήματα για το δεύτερο περιορισμό (εικόνα 2.15). Η δυϊκή τιμή του τρίτου περιορισμού λογικά είναι μηδέν, αφού αν μπορούσε να αυξηθεί η απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2, αυτό δε θα σήμαινε απολύτως τίποτα για την εταιρεία, μια και τη συμφέρει να παράγει λιγότερα από την ήδη μέγιστη απορροφητικότητα των 120 μονάδων. Το διάστημα εφικτότητας του b3 είναι μεταξύ 90 και άπειρο (το γράμμα Μ παριστά έναν πολύ μεγάλο θετικό αριθμό, πρακτικά το άπειρο), με περίσσευμα 30 μονά-δες. Το άπειρο ως άνω όριο υπογραμμίζει το γεγονός ότι, επειδή υπάρχει περίσσευμα αυτού του «πόρου», αν αυξηθεί η διαθέσιμη ποσότητά του δεν πρόκειται να αλλάξει ούτε η βέλτιστη λύση ούτε η αντικειμενική τιμή του προβλήματος. Αν όμως η διαθέσιμη ποσότητα του «πόρου» μειωθεί σε επί-πεδο μικρότερο από 120-30=90 μονάδες, τότε η βέλτιστη λύση θα αλλάξει (βλ. εικόνα 2.16).



99

Η ταχύτητα με την οποία το λογισμικό επιλύει ένα π.γ.π. μας επιτρέ-πει να επιβεβαιώσουμε, σε πραγματικό χρόνο, θεωρητικές απαντήσεις ποικί-λων σεναρίων. Για παράδειγμα, οι οθόνες από το WinQSB στην εικόνα 2.18 αποδεικνύουν αντίστοιχα ότι i) καμιά αλλαγή δε χρειάζεται να γίνει στην υπάρχουσα βέλτιστη γραμμή

παραγωγής αν η εταιρεία χαμηλώσει το συντελεστή κέρδους του διαλύ-ματος ΔΛ1 από τις 300,000 δρχ. ανά 1000 lit που είναι στις 275,000 δρχ. Τα εβδομαδιαία κέρδη θα ανέρχονται στις 2.75(70)+5(90) = 642.5 εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.

ii) νέο βέλτιστο σχέδιο που προβλέπει την παραγωγή x1 = 63,333 και x2 = 93,333 lit των διαλυμάτων ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα πρέπει να υιοθε-τηθεί αν ο διαθέσιμος χρόνος εργασίας στο τμήμα της μίξης μειωθεί από 230 σε 220 ώρες. Τα εβδομαδιαία κέρδη θα πέσουν τότε στις

667656.3110660 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ

Εικόνα 2.18 Επίλυση του παραδείγματος 2.11 για (i) c1 = 2.75 και (ii) b1 = 220.



100

Με την ίδια ευκολία μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της αντικειμενικής συνάρτησης καθώς οι παράμετροι του προβλήματος κινούν-ται σε όλο το φάσμα της πιθανής μεταβολής τους κι όχι μέσα στα ευρεθέντα όρια αριστότητας (αντικειμενικοί συντελεστές) ή εφικτότητας (δεξιά μέλη των περιορισμών).

Σύμφωνα με τα μέχρι στιγμής ευρήματα, το εύρος εφικτότητας του b1 είναι το [140, 500], ενώ η δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού ισούται με 0.33333. Ως απόκριση στη ζητηθείσα παραμετρική ανάλυση για το b1, τo WinQSB δημιούργησε μια λεπτομερή αναφορά των αλλαγών που πραγμα-τοποιούνται στο δοθέν π.γ.π. ως αποτέλεσμα της μεταβολής στις διαθέσιμες ώρες του τμήματος μίξης (εικόνα 2.19).

Τα ευρήματα συμφωνούν με τα αντίστοιχα της γραφικής ανάλυσης που βρίσκονται στις σελίδες 81-83 του βιβλίου (βλ. εικόνα 2.14). Η πρώτη γραμμή της αναφοράς επιβεβαιώνει79 ότι, καθώς οι διαθέσιμες ώρες στο τμήμα μίξης αυξάνονται από τις 230 που δόθηκαν στις 500, η τιμή της αντι-κειμενικής συνάρτησης Z μεγαλώνει από τις 660 μονάδες που είναι και φτάνει τις 750, με ρυθμό ίσο με τη δυϊκή τιμή (Slope) των 0.33333 μονάδων. Μόλις οι διαθέσιμες ώρες ξεπεράσουν τις 500 (δεύτερη γραμμή), η τιμή Z παραμένει σταθερή, μια και η δυϊκή τιμή του περιορισμού καθίσταται μηδέν και ο περιορισμός χαλαρός με περίσσευμα ωρών ίσο, με όλες τις επιπλέον των 500 ώρες. Από την άλλη μεριά (τρίτη γραμμή), ανά λιγότερη ώρα που θα διατίθεται στο τμήμα της μίξης και μέχρις των 140 ωρών (από 230 που είναι), η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται από 660 σε 630 μονάδες με ρυθμό 0.33333 μονάδων77. Η επόμενη γραμμή υποδεικνύει ότι αν οι διαθέσιμες ώρες υποχωρήσουν κάτω από τις 140 και φτάσουν τις 120 (τέταρτη γραμμή), η Z τιμή μειώνεται από 630 σε 600 μονάδες με ρυθμό ίσο με τη νέα δυϊκή τιμή των 1.5 μονάδων. Περαιτέρω μείωση των διαθεσίμων

79 Γνωστά από την ανάλυση ευαισθησίας του προβλήματος.

Εικόνα 2.19 Παραμετρική ανάλυση του δεξιού μέλους b1 του πρώτου περιορισμού (δια-θέσιμες ώρες στο τμήμα μίξης).



101

ωρών από τις 120 (πέμπτη γραμμή), θα ρίξει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από τις 600 μονάδες στις 0, με το ρυθμό να είναι 5 μονάδες. Τέλος (έκτη γραμμή), για b1 < 0 το πρόβλημα γίνεται αδύνατο.

Μεταβολές επέρχονται και στη βέλτιστη γραμμή παραγωγής: για τιμές του b1 στο διάστημα [120, 500] παράγονται και τα δύο διαλύματα, για b1 ≥ 500 μόνο ΔΛ1, ενώ για b1 ≤ 120 μόνο ΔΛ280.

Το λογισμικό έχει την επιπλέον δυνατότητα γραφικής αναπαράστασης (εικόνα 2.20) της παραμετρικής αναφοράς που δημιούργησε: επίδραση των αυξομειώσεων της τιμής του b1 στο διάστημα [0, ∞) πάνω στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Z.

Η μεταφορά στο περιβάλλον εργασίας του LINDO του μοντέλου που αναπτύχθηκε για το παράδειγμα 2.10 είναι προφανής (εικόνα 2.21). Για την επίλυσή του, αρκεί να πατήσουμε το κουμπί της γραμμής εργαλείων του προγράμματος. Τότε, στο σχετικό παράθυρο αποτελεσμάτων δημιουργούν-ται η αναφορά επίλυσης του π.γ.π. και, αν απαντήσουμε θετικά στο σχετικό ερώτημα, η αναφορά ευαισθησίας της λύσης του. 80 Για b1 = 120, 500 υπάρχουν εναλλακτικές βέλτιστες γραμμές παραγωγής.

Εικόνα 2.20 Μεταβολή του ύψους των εβδομαδιαίων κερδών Z σε σχέση με τις διαθέσιμες ώρες b1 στο τμήμα μίξης.



102

Εικόνα

2.21

Τα παράθυρα

εργασίας, κατάστασης

και

αποτελεσμάτων του παραδείγματος

2.10

στο

περιβάλλον του

LIN

DO

. Σημειώστε την ονοματο-

λογία μεταβλητών και περιορισμών και το ξεκάθαρο

διαχωρισμό των αποτελεσμάτων σε

δύο

τμήματα

: την

αναφορά

επίλυσης

(με τις

βέλτιστες,

περι-

θώριες

και

δυϊκές τιμές

) και

την αναφορά για την ανάλυση ευαισθησίας

(αντικειμενικών συντελεστών και δεξιών μελών)

.



103

Η αναφορά επίλυσης χωρίζεται σε τρία τμήματα. Το πρώτο αφορά την αντικειμενική συνάρτηση, το δεύτερο τις μεταβλητές, ενώ το τρίτο τους περιορισμούς.

Αρχικά, το λογισμικό δίνει την τιμή Z της αντικειμενικής συνάρτησης για τη άριστη λύση (OBJECTIVE FUNCTION VALUE 50500) καθώς επίσης και το πλήθος των βημάτων που πραγματοποίησε η μέθοδος Simplex για να φτάσει σ’ αυτή (LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3). Επειδή στο LINDO η αντικειμενική συνάρτηση θεωρείται ως η πρώτη εξίσωση του προ-βλήματος, πριν τη βέλτιστη τιμή του Z εμφανίζεται ο αριθμός 1.

Στη συνέχεια, για την κάθε μεταβλητή τυπώνεται η βέλτιστη τιμή της (VALUE) και το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας (REDUCED COST). Συνε-πώς, και σύμφωνα με το γραμμικό πρότυπο που αναπτύχθηκε στη σελίδα 65, η γραμμή παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος σχηματίζεται από την παραγωγή 4.5 τρακτέρ και 7 γερανών.

Ακολουθούν οι τιμές των περιθώριων μεταβλητών (SLACK OR SUR-PLUS) για τον κάθε περιορισμό, και, δίπλα ακριβώς, οι δυϊκές (DUAL PRI-CES). Αν στους περιορισμούς του προβλήματος δεν είχαν αποδοθεί ονόμα-τα, τότε οι σειρές αυτές θα είχαν αριθμηθεί αυτόματα από το 2 μέχρι το 6.

Η πλεονάζουσα μεταβλητή του τρίτου περιορισμού ισούται με 70 και συνεπώς η άριστη λύση δημιουργεί ένα (εβδομαδιαίο) πλεόνασμα 70 ωρών στο στάδιο του ποιοτικού ελέγχου. Ανάλογα, από τις τιμές των περιθώριων μεταβλητών του 4ου (= 16.5) και 5ου περιορισμού (= 6.5) συμπεραίνουμε ότι στην ευρεθείσα λύση της βέλτιστης εβδομαδιαίας παραγωγής υπάρχει πλεόνασμα 16.5 : 3 = 5.5 γερανών (σε σχέση με τον απαιτούμενο συνδυα-σμό τρακτέρ-γερανών) και 6.5 οχημάτων81 (σε σχέση με τις εξασφαλισμένες πωλήσεις).

Η δυϊκή τιμή που αντιστοιχεί στον 1ο περιορισμό είναι ίση με 150, στον 2ο περιορισμό με 175, ενώ στον 3ο, 4ο και 5ο περιορισμό ισούται με 0. Επομένως, για κάθε επιπλέον ώρα που θα εξασφαλίζει η αυτοκινητοβιομη-χανία στο στάδιο Α, θα αυξάνει τα κέρδη της κατά 150 χ.μ. Ανάλογα, κάθε επιπλέον ώρα στο τμήμα Β θα αυξάνει τα κέρδη κατά 175 χ.μ. Το γεγονός αυτό, έχει ισχύ μόνο σ' ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών που προσδιορίζεται στη συνέχεια, στην ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών μελών.

Η ανάλυση ευαισθησίας της ευρεθείσας βέλτιστης λύσης έχει τίτλο RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED και σχηματίζεται από 81 Φανερά, πρόκειται για τους 5.5 γερανούς της περιθώριας τιμής του 4ου περιορισμού και 1 τρακτέρ.



104

δύο μέρη τα οποία περιγράφονται διεξοδικά στη συνέχεια. Το τμήμα που επιγράφεται OBJ COEFFICIENT RANGES αφορά την

ανάλυση ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών cj του προβλήματος. Για την κάθε μεταβλητή, στη στήλη CURRENT COEF δίνεται ο αντίστοι-χος αντικειμενικός συντελεστής, ενώ οι στήλες ALLOWABLE INCREASE και ALLOWABLE DECREASE δίνουν τη μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση και ελάττωσή του η οποία δε μεταβάλλει την άριστη λύση:

2333.333 ≤ Δc1 ≤ 3000 1500.000 ≤ Δc2 ≤ 3500

(τα εύρη αριστότητας προκύπτουν άμεσα). Επειδή η λύση είναι μη εκφυλι-σμένη82: i) οσάκις η μεταβολή του συντελεστή είναι μικρότερη από τα επιτρεπό-

μενα όρια, η τρέχουσα βέλτιστη λύση παραμένει η μοναδική βέλτιστη λύση του προβλήματος.

ii) αν κάποιος συντελεστής αυξηθεί όσο επιτρέπεται να αυξηθεί, τότε το πρόβλημα αποκτά εναλλακτική βέλτιστη λύση στην οποία, αν πρόκει-ται για πρόβλημα μεγιστοποίησης όπως εδώ, η αντίστοιχη μεταβλητή θα έχει μεγαλύτερη τιμή (μικρότερη σε προβλήματα ελαχιστοποίησης).

iii) αν κάποιος συντελεστής ελαττωθεί όσο επιτρέπεται να ελαττωθεί, τότε το πρόβλημα αποκτά εναλλακτική βέλτιστη λύση, στην οποία, σε προβλήματα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) η αντίστοιχη μετα-βλητή θα έχει μικρότερη (μεγαλύτερη) τιμή.

Στο τμήμα των αποτελεσμάτων που επιγράφεται RIGHTHAND SIDE RANGES βρίσκεται η ανάλυση ευαισθησίας για τα δεξιά μέλη των περιορι-σμών (bi). Για κάθε περιορισμό, στη στήλη CURRENT RHS δίνεται η τρέ-χουσα τιμή, ενώ οι στήλες ALLOWABLE INCREASE και ALLOWABLE DECREASE αναφέρουν τη μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση και ελάττωσή του η οποία διατηρεί σταθερές τις δυϊκές τιμές (δε μεταβάλλει την άριστη βάση):

47.143 ≤ Δb1 ≤ 90 40.000 ≤ Δb2 ≤ 73.333 Δb3 ≤ 70 16.500 ≤ Δb4 Δb5 ≤ 6.5

(τα εύρη εφικτότητας προκύπτουν άμεσα).

82 Η λύση ενός π.γ.π. χαρακτηρίζεται ως μη-εκφυλισμένη, όταν το πλήθος των θετικών συνιστωσών της, είτε αυτές αντιστοιχούν σε μεταβλητές απόφασης είτε σε περιθώριες μεταβλητές, ισούται με το πλήθος των περιορισμών του προβλήματος.


mcda - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2tsantas/downloadfiles/solver.pdf · Βασικές Έννοιες...

Documents