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CHAMPS & PARTICULES Mcanique Quantique
Alain Bouquet
Laboratoire AstroParticule & Cosmologie
Universit Denis Diderot Paris 7, CNRS, Observatoire de Paris & CEA

1 - Le corps noir Kirchhoff (1860) Stefan (1879) Boltzmann (1884) Wien (1893) Planck (1900) Einstein (1905) de Broglie (1924) Schrdinger (1926)
2 - Les raies spectrales Kirchhoff (1860) Balmer (1885) Rydberg (1888) Bohr (1913) Sommerfeld (1914) Heisenberg (1925) Born (1925) Dirac (1925)
Petite chronologie de trois axes convergents
22/01/13 Alain Bouquet Particules 10 2
3 - La mcanique analytique Newton (1687) Maupertuis (1744) Lagrange (1788) Poisson (1811) Fourier (1822) Hamilton (1834) Poincar (1890) Dirac (1930) von Neumann (1932)

Unit de la mcanique quantique
n Mcanique des matrices (1925) n Les systmes physiques sont
reprsents par des matrices n Les rsultats de mesures effectues
sont des valeurs propres de ces matrices
n Lvolution temporelle est donne par une quation matricielle impliquant le hamiltonien:
i X/t = [X,H]
n Mcanique ondulatoire (1926) n Les systmes physiques sont
reprsents par des fonctions (donde) n Les rsultats de mesures effectues
sont les valeurs propres doprateurs diffrentiels
n Lvolution temporelle est donne par une quation diffrentielle impliquant le hamiltonien:
i /t = H
n Dirac (1925) n La notion de matrice est secondaire:
cest le commutateur qui importe
n Schrdinger (1926) n Mcanique ondulatoire et mcanique
des matrices sont mathmatiquement identiques
n Dirac (1930) n c-nombres et q-nombres
n von Neumann (1932) n tat vecteur (espace de Hilbert) n observable oprateur n mesure projecteur probabilits

Mcanique classique

Systmes
n Objets n particules/corpuscules/molcules/
atomes/ions
n objets tendus [modlisables comme des ensembles dobjets lmentaires ou des objets continus: fluides, champs]
n Environnement n inexistant ou ngligeable systme
isol
n reprsent par une force extrieure
n reprsent par un autre systme
Pesanteur

Modlisation

tats dun systme classique (non quantique)
n tat dun systme n Coordonnes de position de chacun des composants n Systme de 3 particules isoles en 2 dimensions x1, y1, x2, y2, x3, y3
n Insuffisant car lvolution du systme dpend aussi des vitesses vx1, vy1, vx2, vy2, vx3, vy3
n Et ventuellement des forces entre les particules F12, F23, F13
n lesquelles dpendent en gnral des positions et parfois aussi des vitesses
x
y
x
y
x
y

tats dun systme classique (non quantique)
n Dfinis pour N particules par la donne des coordonnes qi [i = 1N] et des vitesses qi (ou des impulsions pi = miqi)
x
y
x
y
Un tat Un autre tat
x
y
Un autre tat encore
Lensemble des tats dun systme classique na aucune structure particulire
La somme de deux tats na aucun sens

n 2/t2 + g/l sin = 0 (t) = (t0) cos (t-t0) pour petit
2 = g/l
Pendule simple dans un champ de gravit uniforme
modlisation
indpendant de la masse m

Espace de phase du pendule simple
n tat du systme dfini par n langle n la vitesse angulaire = /t
n Ensemble de tous les tats possibles {,} = espace de phase
n Le systme parcourt au fil du temps t une trajectoire dtermine par les conditions initiales (t0) et (t0)
'

quations de Newton
F = M
n = v/t = 2x/t2 2x/t2 F(x,v)/M = 0
n quation diffrentielle du 2 ordre
n solutions dpendant de 2 conditions initiales : x(t0) et v(t0) par exemple, ou x(t0) et x(t1)
n Exemple ultra-simple : particule soumise une force F constante
n 2x/t2 = F/M v = x/t = [F/M] t + c1 x(t) = [F/M] t2 + c1t +c2
n x(t) = [F/M] (t-t0)2 + v(t0) (t-t0) + x(t0)
n ou x(t) = [F/M] (t-t0)(t-t1) + { x(t0) [t-t1] + x(t1) [t-t0] }/{t0 t1}

Cela peut devenir trs compliqu
n (systmes d) quations diffrentielles ou aux drives partielles
n qui ne sont pas ncessairement faciles rsoudre n mcanique des fluides quation de Navier-Stokes :
n physique des gaz, mme parfaits quation de Boltzmann n lectrodynamique quation de Maxwell
n Principe gnral : minimisation de laction n principe de Fermat en optique n principe de Maupertuis en mcanique intgrales de chemin de Feynman

Principe de moindre action de Maupertuis
n Optique : principe de Fermat n La lumire suit le chemin qui prend le moins de temps
n Analogie
n Mcanique : principe de moindre action
n L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'tre suprme : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantit d'Action employe pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible. (Maupertuis 1744)
n Action S = (Ec Ep) dt Ec = nergie cintique (ex: MV2) Ep = nergie potentielle

La mcanique analytique de Lagrange et de Hamilton
n Newton + Maupertuis Lagrange :
n coordonnes gnralises q(t) et leurs drives v = q/t
n fonction de Lagrange L(q, v) = Ecintique Epotentielle
n quations du mouvement (Euler-Lagrange) en minimisant laction S = L dt
L/q = d/dt [L/v]
n ou Hamilton :
n impulsions gnralises p = L/v
n fonction de Hamilton H(p,q) = pv L = Ecintique + Epotentielle = Etotale
n quations du mouvement (Hamilton-Jacobi)
dq/dt = H/p et dp/dt = H/q
drives secondes
drives premires

La mcanique analytique : cas simplissime
n Point matriel de masse M soumis une force F constante, 1 dimension
n Newton F = M M 2q/t2 = M v/t = F v = F/M t q = F/M t2
n Lagrange
n Ec = Mv2 Ep = F q L(q,v) = Ec Ep = Mv2 + F q
n Euler-Lagrange L/q = d/dt [L/v]
n F = d/dt[ Mv ] = M dv/dt = M n Hamilton
n p = L/v = Mv v = p/M
n H(p,q) = Ec + Ep = M [p/M]2 Fq H(p,q) = p2/2M Fq
n p/t = H/q = F p = F t
n q/t = H/p = p/M q = F/M t2
q

La mcanique quantique
n est la base de n la physique n la chimie n llectronique
Processeur Intel 40486 (1990)
n joue un rle conomique prpondrant n directement
n lectronique grand public n lectronique industrielle n lectronique militaire
n indirectement n communications n commerce

New York Stock Exchange

Le cur de la mcanique quantique
L'ensemble des tats possibles d'un systme quantique possde une structure
d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes
Toute modification d'un systme quantique rsulte de lapplication dun oprateur
faisant passer dun tat un autre

Heisenberg & Schrdinger
n Matrice Mmn composantes dun oprateur M dans la base In>
n Diagonalisation de la matrice M recherche des vecteurs propres de loprateur M
n Termes diagonaux valeurs propres de loprateur M
n Valeurs relles oprateur M hermitien
n quation dvolution i d/dt M = [H,M] volution temporelle de
n Fonction donde (x,t) vecteur I(t)> appartenant un espace vectoriel
n Diffrentiation /x oprateur impulsion P
n Diffrentiation /t oprateur hamiltonien H
n Solutions de lquation de Schrdinger valeurs propres et vecteurs propres de H

tats quantiques

Nombres complexes
n z = x + iy x, y rels n z = ei
n (reprsentation dArgand)
n + 2 z z
n Relation dEuler : ei + 1 = 0
partie imaginaire
-1
partie relle
x
z y
rels
imaginaires
phase module

Espaces vectoriels
n Dfinis sur un corps (en gnral les nombres rels ou complexes) dont les lments sont appels scalaires
n Les lments de lespace vectoriel sont des vecteurs V1, V2
n Proprits essentielles:
n La somme de deux vecteurs est un vecteur du mme espace
V3 = V1 + V2
n Le produit dun vecteur par un scalaire est un vecteur du mme espace
V4 = V1
n Exemples n Les nombres rels ou complexes eux-mmes n Les fonctions (la somme de deux fonctions est une fonction, le produit dune fonction par un
nombre est une fonction) n Les matrices NxM N lignes et M colonnes n Les points de lespace (physique) n Le champ de gravitation, le champ lectromagntique
22/01/13 A

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