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Serena Morigi Università di Bologna 1

MatriciMatrice: tabella di m righe ed n colonne

AT matrice trasposta di A=(aij) di elementi aij

T=aji


Matrici

Matrice quadratam = n

A sottomatrici

Matrice rettangolarem ≠ n


Matrici

Matrici simmetriche

A = AT

Matrici anti-simmetriche

A = -AT


Operazioni fra Matrici

Somma di matrici

Moltiplicazione per scalare


Prodotto di Matrici

ABBAgeneraleIn ⋅≠⋅


Prodotto di matrici{ } { }

{ }pj

mibacpmcBAC

pnbBnmaAn

kkjikijij

ijij

,..,1,..,1

,)(

)(),(

1 =

==×=⋅=

×=×=

∑=

Algoritmofor i = 1:m

for j = 1:p

for k = 1:n

C(i,j)=C(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

end

Complessità computazionale:

)2(22 3

1 1 1

nèàcomplessitlapnmpermpnm

i

p

j

n

k===∑∑∑

= = =


Matrici

=

nn

n

n

n

u

uuuuuuuuu

U

0..0.....

...0

..0

..

333

22322

1131211 Matrice triangolare superiore (Upper)

=

nnnn lll

lllll

l

L

..0......0.00..0

21

333231

2221

11 Matrice triangolare

inferiore (Lower)

aij=0 se i>j

aij=0 se i<j


Matrici Diagonali

),..,,(

0..0.....0...00..000..00

213

2

1

n

n

ddddiagD

d

dd

d

D =

=Matrice diagonale

Matrice identità

=

10..0.....0..1.00..0100..001

I


Prodotto Scalare <x,y>

[ ] ∑=

⋅=

•=•=m

iii

m

Tm

T yx

y

yy

xxxyxp1

2

1

21 ....

Algoritmo

p=0;

for i = 1:m

p=p+x(i)*y(i);

end

pdot =dot(x,y);


Prodotto ScalareFunzione CCC nn →×⋅⋅ :,

che verifica le seguenti proprieta’:nCxxxxxx ∈∀=⇔=≥ 00,,0,1.

2. nCyxxyyx ∈∀= ,,,

3. CCzyxzyzxzyx n ∈∀∈∀+=+ βαβαβα ,,,,,,

Esempi∑=

ℜ==x

i

nii

T inyxxyyx1

,

∑=

==n

i

nii

H Cinyxxyyx1

,


Norme vettoriali

Funzione { }0: ∪ℜ→• +nCche verifica le seguenti proprieta’:

nCxxxx ∈∀=⇔=≥ 00,01.

2. CCxxx n ∈∀∈∀= ααα

3. nCyxyxyx ∈∀+≤+ ,

(disuguaglianza triangolare)


Norme vettoriali –NORMA 2

Norma 2 o norma Euclidea

Esempio n=4

−

=

3012

x14

2=x

( )∑=

===n

ii

T xxxxxx1

22

,


Norme vettoriali –NORMA 1

∑=

=n

iixx

11

Esempio n=4

−

=

3012

x 61

=x


Norme vettoriali –NORMA INFINITO

inixx

,...,2,1max

==

∞

Norma infinito o norma Chebyshev

Esempio n=4

−

=

3012

x 3=∞

x


Circonferenze in norma p (in R2)

-1 1

-1

1Luogo dei punti che sono a distanza 1 dal centro

norma-2

norma-1norma-infinito

{ }{ }{ }1:

1:

1:

22

22

12

1

=∈=

=∈=

=∈=

∞∞ xRxC

xRxC

xRxC


Norme vettoriali

Teorema. Siano''' , ⋅⋅

due norme vettoriali. Allora le due norme sono

equivalenti, nel senso che esistono due costantiβαβα ≤<ℜ∈ 0,, tali che per ogni

nCx ∈

''''' xxx βα ≤≤

∞∞≤≤ xnxx

2

∞∞≤≤ xnxx

1

212xnxx ≤≤


Norme matriciali

Funzione { }0: ∪ℜ→• +nxnCche verifica le seguenti proprieta’:

nxnCAAAA ∈∀=⇔=≥ 00,01.

2. CCAAA nxn ∈∀∈∀= ααα

3. nxnCBABABA ∈∀+≤+ ,

4. nxnCBABAAB ∈∀≤ ,


Norme matriciali

nnxnp

CxCA

p

p

xA

xAx

∈∈≠

= ,0

sup

Definizione. La norma definita da

viene detta norma matriciale indotta dalla norma vettoriale o norma naturale⋅

Ad ogni norma di vettore possiamo associare una norma di matrice nel modo seguente:

Per le norme naturali si ha: 10

sup =≠

=

p

p

xI

xIx

p

xAAx ≤


Norme matriciali indotte -esempi

2x

norma 1

norma 2- Euclidea

∞x norma infinito

- Chebyshev

1x ∑==

=n

iij

njaA

1,...,2,11 max

∑===∞

n

jijni

aA1,...,2,1

max

)(2 AAA Tρ=

ρ(A) raggio spettrale di A: massimo autovalore in modulo di A

(massimo somma colonne in modulo)

(massimo somma righe in modulo)


Norme matriciali - esempi

norma 1

norma 2- Euclidea

norma infinito

−−−

−−

=

109105600

314118071

A22

1=A

??2

=A

20=∞

A

∑=

==n

iijnj aA

1,..,11

max

∑===∞

n

jij

niaA

1,...,2,1max

)(2

AAA Tρ=

16

19

11

2022 20 7 17


Norme matriciali

∑=

=n

jiijF

aA1,

2 Norma di Frobenius o Schur(non è una norma indotta)

Tutte le norme matriciali sono equivalenti

∞∞≤≤ AnAA

n 2

1

ijjiijjianAa

,2,maxmax ≤≤

121

1 AnAAn

≤≤

FFAAA

n≤≤

2

1


Norme matriciali

§ Data una norma di vettore ed una norma di matrice, diciamo che le due norme sono compatibili se

nnxn xAxAAx ℜ∈ℜ∈∀≤

§ Se e’ una norma matriciale compatibile, allora⋅

AA ≤)(ρ

§ Sia A una matrice simmetrica , allora ∞= AA

1

max22

2)()()()( λρρρρ ===== AAAAAA T

§ Sia A una matrice simmetrica definita positiva, allora

max2λ=A


Matrice definite in segno

Se per ogni x non nullo il numero reale xTAx mantiene lo stesso segno, si dice che la matrice A è definita in segno, in particolare:

negativadefinitaAxxnegativatasemidefiniAxxpositivatasemidefiniAxx

positivadefinitaAxx

T

T

T

T

,0,0,0,0

<

≤

≥

>

Altrimenti A è indefinita.


Criterio di Sylvester

Una matrice simmetrica A è definita positiva

se e solo se

dove det(Ak) rappresenta il determinante della matrice di ordine k formata dalle intersezioni delle prime k righe e k colonne di A

nkAk ,..,1,0)det( =>

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