MATRICES

Y

DETERMINANTES

MATRICESUna matriz es todo arreglo rectangular

de números reales definidos en filas y/o columnas entre paréntesis o

corchetes. Así tenemos:

5 1

7 2

3 8

A

1 0 3

2 1 0B

0 5 1

3 2 0

4 1 1

C

NOTACION MATRICIAL

Las matrices se denotan por letras mayúsculas y los elemento se designan con aij.

Donde:

i = es la i – ésima fila o renglón

j= es la j – ésima columna

NOTACION MATRICIAL

Así notamos: En la matriz A:

a11=5

Columna 1

Fila 1

5 1

7 2

3 8

A

Así notamos:

En la matriz B:

b21 =2

Columna 1

Fila 2

NOTACION MATRICIAL

1 0 3

2 1 0B

FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ

El arreglo de los elementos en cualquier línea horizontal forman un renglón o fila de la matriz.

Ej:

5 1

2 2

3 8

A

Renglón o fila 1

Renglón o fila 2

Renglón o fila 3

FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ

El arreglo de los elementos en cualquier línea vertical forman un columna de la matriz. Ej:

5 1

2 2

3 8

A

Columna 1

Columna 2

DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ

Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:

5 1

2 2

3 8

A

A tiene 3 filas y 2 columnas

3 2( )ij xA aDe: tenemos:

DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ

Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:

2 3( )ij xB b

B tiene 2 filas y 3 columnas

De: tenemos:1 0 3

2 1 0B

DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ

Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:

0 5 1

3 2 0

4 1 1

C

A tiene 3 fila y 3 columnas

3 3( )ij xC cDe: tenemos:

En las siguientes alternativas entre paréntesis ponga V si es verdadero y F si es falso

2 3 7

1 0 4A

1 3

1 0B

a) a22 = b22

b) a12 < b21

c) a23 + b12= a13

d) a12+ a23 > b12

e) A (aij)3x2

f) B (bij))2x2

g) Los elementos del primer renglón de la matriz A son 2y 1

(V)

(V)

(V)

(V)

(F)

(F)

(F)

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ VECTOREs un arreglo que tiene únicamente un renglón o

una columna. Ej:

2 3 1R

4

0

1

C

Matriz renglón

Matriz

columna

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ RECTANGULAREs una matriz cuyo número de renglones es

diferentes de las columnas, es decir m n

3 1A 2

1C

4 1

2 0

1 1

B

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ NULA O CERO

Es una matriz con todos los elementos ceros. Ej:

0 0 0A 0 0

0 0C

0

0

0

B

0 0 0

0 0 0D

0 0

0 0

0 0

E

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ CUADRADA

Es una matriz que tiene el mismo número de renglones y columnas es decir m=n. Ej:

2A3 3 3

2 0 1

4 1 2

C

1 0

1 2B

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR

Estas matrices se dividen en:Matriz Triangular superiorMatriz Triangular Inferior.

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los

elementos bajo la diagonal principal o secundaria iguales a cero. Esto es aij=0 si i > j.

Ej:

3 3

1 3 5

0 2 4

0 0 6xA

2 1 0

5 4 0

1 0 0

B

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a

cero. Esto es aij=0 si i < j. Ej:

3 3

1 0 0

5 4 0

3 2 6xA

0 0 1

0 1 0

2 4 2

B

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ SIMETRICA

Toda matriz cuadrada es simétrica, si los elementos opuestos respecto a la diagonal principal o

secundaria son iguales, es decir a12=a21 , a32 = a23. etc . Ej:

3 3

1 2 1

2 3 0

1 0 6xA

3 3

5 0 3

0 1 4

3 4 8xB

TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero.

Esto es aij=0 si i = j. Toda matriz diagonal es una matriz triangular superior e inferior a la vez. Ej:

3 3

1 0 0

0 3 0

0 0 6xA

2 2

1 0

0 4xB

Nota: Algún elemento de la diagonal principal puede ser cero, pero no todos

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus

elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero, y los elementos de la

diagonal principal son iguales entre sí. Esto es aij=0 si i = j, aij=k con k

Ej:

3 3

2 0 0

0 2 0

0 0 2xA

2 2

4 0

0 4xB

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1 y se

denota Inxn. Ej:

2 2

1 0

0 1xI

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1xI

4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

xI

TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ TRANSPUESTA

Sea A una matriz de orden m x n, la transpuesta “A” es de orden n x m, es decir las filas se

transforman en columnas. La matriz transpuesta se denota Ej:

Sea hallar

F1 = C1F2 = C2F3 = C3

TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ ANTISEMETRICA

Es una matriz cuadrada cuyos elementos opuestos a la diagonal principal, son valores opuestos. Los

elementos de la diagonal son todos cero

En la matriz antisimétrica se cumple que:

1.

2.

IGUALDAD DE MATRICESMATRIZ ANTISEMETRICA

Dos matrices son iguales si:

1. Tienen igual dimensión.

2. Los elementos correspondientes son iguales.

TALLER DE MATRICES 3.docx