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Matrices Pág. 1
MENORES Y
COFACTORES
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Matrices Pág. 2
MenoresMenores
Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden n (n≥2), el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A.
23028657475
64
12
2 34
7516M11 =
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Matrices Pág. 3
Pasos para hallar los MenoresPasos para hallar los Menores
Dada la matriz A, hallar el menor M11 y describa los pasos
1.- Suprimimos la fila i y la columna j según corresponda:
2.- Formamos el determinante con los números sobrantes
3.- Hallamos el determinante
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Matrices Pág. 4
EjerciciosEjercicios
Dada la matriz A. Hallar el menor M12, M22 y M32
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Matrices Pág. 5
CofactoresCofactores
El cofactor A i j de la entrada a i j se define como el menor M i j multiplicado por:
ijjiij MA 1
El cofactor nos da como resultado el signo del menor.
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Matrices Pág. 6
Signos de los CofactoresSignos de los Cofactores
En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:
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Matrices Pág. 7
EjercicioEjercicio
Dada la matriz A, hallar los cofactores A11, A12, A22, A32
2211 1111
ijji MA
8811 312
2112 MA
4411 2222
22 MA
0011 3223
32 MA
MENOR COFACTOR
M12 = 8
M22 = 4
M32 = 0
M11 = -2
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Matrices
Para la matriz A:
987
654
321
A
a. El menor de a31 b. El menor de a22
c. El cofactor de a23 d. El cofactor de a32
Calcule lo siguiente:
EjercicioEjercicio
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Matrices Pág. 9
MATRIZDE
COFACTORES
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Matrices
nnnn
n
n
c
ccc
ccc
ccc
A
21
22221
11211
Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz y se denota por AC
Matriz de CofactoresMatriz de Cofactores
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Matrices Pág. 11
Ejercicio de Matriz de CofactoresEjercicio de Matriz de Cofactores
Encontrar la matriz cofactor de:
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Matrices Pág. 12
Ejercicio de Matriz de CofactoresEjercicio de Matriz de Cofactores
Respuesta: La Matriz cofactor de A es:
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Matrices
Para la matriz A:
987
654
321
A
Encuentre la matriz cofactor AC
EjercicioEjercicio
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Matrices Pág. 14
MATRIZADJUNTA
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Matrices
nnnn
n
n
tc
ccc
ccc
ccc
AAAdj
21
22212
12111
)(
Donde AC es la matriz de cofactores
La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Matriz AdjuntaMatriz Adjunta
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Matrices
Ejercicio de Matriz AdjuntaEjercicio de Matriz Adjunta
221
541
312
A
Obtenga la matriz adjunta de A
952
777
17418
AAdj
Solución
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Matrices Pág. 17
DETERMINANTEDE
UNA MATRIZ
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Matrices
DeterminanteDeterminante
El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por det (A) o | A |, es un valor escalar.
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Matrices
Sea A=[a11] una matriz de orden 1. Se define
el determinante de A, como:
11)det( aA
4AEjemplo:
4)det( A
Determinante de una matriz de orden 1Determinante de una matriz de orden 1
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Matrices
Cuando la matriz A es de orden 2, el
determinante es:
12212211det aaaaA
2221
1211
aa
aaA
Se observa que es la diferencia de los productos de los elementos de las diagonales en el orden dado:
- a21a12
+ a11a22
Determinante de una matriz de orden 2Determinante de una matriz de orden 2
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Matrices
14)det( A
12
-2
41
23
A
EjemploEjemplo
14)1)(2()4)(3(41
23
A
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Matrices
1. Evalúe el determinante de la siguiente matriz:
65
48
155
32
x
2875
2
x
x
2. Encuentre el valor de x, si:
EjerciciosEjercicios
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Matrices
Cuando la matriz A es de orden 3, el determinante es:
Determinante de una matriz de orden 3Determinante de una matriz de orden 3
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
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Matrices
ObservaciónObservación
El determinante de una matriz A de orden n (n ≥ 2) puede calcularse multiplicando cada entrada de cualquier fila o columna por su respectivo cofactor y sumando los productos resultantes.
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Matrices
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11.(-1)1+1
a22 a23
a32 a33 + a21
.(-1)2+1 a12 a13
a32 a33 + a31
.(-1)3+1 a12 a13
a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a31.(-1)3+1
a12 a13
a22 a23 + a32
.(-1)3+2 a11 a13
a21 a23 + a33
.(-1)3+3 a11 a12
a21 a22
Calculo del determinante usando la primera columna y sus respectivos cofactores
Calculo del determinante usando la tercera fila y sus respectivos cofactores
Determinantes con el uso de cofactoresDeterminantes con el uso de cofactores
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Matrices
034
120
312
A
Calcular el determinante de A usando cofactores
131211 3)1(2det AAAA
Sea:
26834)1(32
EjemploEjemplo
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Matrices
EjemploEjemplo
321
542
356
A
Hallar el determinante de A utilizando los cofactores de la primera columna
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Matrices
1. Si todos los elementos de una fila (renglón) o columna de A son nulos, entonces |A| = 0.
0
000
132
716
A
2. Si dos filas o columnas de A son idénticas, entonces |A| = 0.
0
101
232
616
A 0
341
115
341
B
Propiedades de los determinantesPropiedades de los determinantes
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Matrices
3. El determinante del producto de dos matrices de orden n es: |AB| = |A||B|.
4. |AT| = |A|
5. |I| = 1
Propiedades de los determinantesPropiedades de los determinantes
Ejemplos:
· El determinante de la matriz I3 = èççæ
ø÷÷ö
1 0 0 0 1 0 0 0 1
es igual a 1.
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Matrices
134
327
145
A
111
122
110
B
1. Evalúe el determinante de las siguientes
matrices:
2. Para que valor de a el determinante es cero:
a
a
a
42
012
321
EjerciciosEjercicios