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Matrices Exercices p���1
Matrices : coefficients et dimensions
Exercice n°1 : Trois athlètes participent à un triathlon. Les temps de parcours sont données dans ce tableau. On souhaite représenter les données par une matrice ��� où le coefficient ��� est le temps de parcours, en minutes, de l’athlète ��� lors de l’épreuve ��� .
1- Donner les valeurs des coefficients suivants : ��� et ��� .2- Écrire la matrice ��� .3- Quelle opération faut-il effectuer sur la matrice A pour obtenir la matrice ��� exprimant les temps de parcours en heures ? Écrire la matrice B.
Exercice n°2 : Soit les matrice ��� et ��� .
1- Donner les dimensions des matrices ��� et ��� .2- Lire sur la matrice ��� les coefficients : ��� ; ��� ; ��� et ��� .3- Lire sur la matrice ��� les coefficients : ��� ; ��� ; ��� et ��� .4- Peut-on calculer la somme de ��� et ��� ? Si oui, la calculer.
Somme de deux matrices, produit d’une matrice par un réel
Exercice n°3 : 1- Calculer les sommes matricielles suivantes :
a) ��� b) ���
2- Calculer les produits suivants :
a) ��� b) ��� c) ���
Exercice n°4 : Soit les matrices ��� , ��� et ��� .
Déterminer les réels ��� et ��� tels que ��� .
A = aij( )aij i j
1er athlète 2ème athlète 3ème athlète
Course à pied (épreuve 1) 45 62 34
Natation (épreuve 2) 35 24 28
Cyclisme (épreuve 3) 92 95 104
a13 a32A
B = bij( )
A =7 −3 −2 54 1 0 −53 1 9 −1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ B =
−2 1 4−5 −6 61 2 −43 0 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A BA a23 a34 a13 a31B b21 b42 b33 b13
A B
1 0 24 1 −1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ 0 2 1
−1 −1 0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 34 1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− 5 −2
−1 −1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −2 −1
0 −1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3×1 05 20 −3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ −5 ×
−2 / 5 1 4 / 53 /15 −2 00 2 /15 3 / 5
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
14×
32 48−12 −896 036 −20
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A = x 30 2x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
B =y −21 y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ S = −1 1
1 7⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x y A + B = S
Matrices Exercices p���2
Exercice n°5 : Soit ��� s , ��� et ��� .
Déterminer les réels ��� , ��� et ��� tels que ��� .
Produit de deux matrices, matrice identité
Exercice n°6 : 1- Justifier l’existence des produits et donner la dimension de ��� :
a) ��� b) ���
c) ��� d) ���
2- Dans chaque cas, calculer la matrice ��� .
Exercice n°7 : 1- Calculer les produits matriciels suivants :
a) ��� et ���
b) ��� et ���
2- Peut-on en déduire une règle sur les produits ��� et ��� de deux matrices ��� et ��� ?
Exercice n°8 : Soit les matrices ��� , ��� .
Donner la dimension de la matrice ��� puis la calculer. Que remarque-t-on ?
Exercice n°9 : 1- Calculer les produits matriciels suivants :
a) ��� b) ���
2- Quelle conjecture peut-on faire concernant une matrice carrée constituée de ��� sur la diagonale et de ��� partout ailleurs ?
A =0 −a aa 0 −a−a a 0
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
X =x y zy z xz x y
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
M =3 0 32 2 21 4 1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
x y z A + X = M
A
A =1 35 −22 1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟× −3
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A = 1 0 −14 2 −2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1 1 30 5 −21 2 1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
A = −25
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 −3( ) A =1 0 00 1 00 0 1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
5 −23 41 −1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
A
1 32 1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟× 3 3
2 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 32 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟× 1 3
2 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 11 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟× 0 3
2 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 32 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟× 2 1
1 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A × B B × A A B
A = 1 −11 −1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
B = 2 32 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A × B
1 −35 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟× 1 0
0 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 0 00 1 00 0 1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ×
1 −17 −5−2 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
10
Matrices Exercices p���3
Puissance et inverse d’une matrice
Exercice n°10 : 1- Calculer le produit matriciel suivant : ��� .
2- Que peut-on dire de la matrice ��� ?
Exercice n°11 : Soit la matrice ��� .
1- Calculer les matrices ��� puis ��� . 2- En déduire, sans calcul supplémentaire, que ��� est inversible et donner ��� .
Exercice n°12 : Soit les matrices ��� et ��� .
1- a)Calculer la matrice produit ��� .b) En déduire que si ��� est non nul alors ��� est inversible puis donner ��� .
2- En déduire (sans calculatrice) si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui,
donner les matrices inverses : a) ��� b) ��� .
Exercice n°13 : 1- À l’aide de la calculatrice, dire si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui,
donner leur inverse : a) ��� b) ��� .
2- Calculer les matrices ��� , ��� , ��� et ��� .3- L’égalité suivante est-elle vérifiée pour ces matrices : ��� ?
Exercice n°14 : Soit les matrices ��� et ��� .
1- À l’aide de la calculatrice, dire si la matrice ��� est inversible.2- Calculer les matrices ��� puis ��� puis conjecturer la matrice ��� .3- a) Écrire la matrice ��� puis ��� .b) En déduire la matrice inverse de ��� .
9 3 44 1 26 2 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟×
1 1 −20 −3 2−2 0 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
A =9 3 44 1 26 2 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
A = 12
−1 3− 3 −1
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
A2 A3
A A−1
A = a bc d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
B = d −b−c a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A × Bad − bc A A−1
A = 8 53 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A = 2 34 6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A =−1 1 −23 −2 33 −1 −1
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
B =5 2 92 4 101 3 7
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
A + B A × B A2 B2
A + B( )2 = A2 + 2AB + B2
A =2 −2 −4−1 3 41 −2 −3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
B = 2A − I3
AA2 A3 An
B B2
B