matrice matematika

7/30/2019 Matrice Matematika

1/22


2/22

dok su i kvadratne matrice reda , a ujedno i stupane i retane matrice

Nakon to smo definirali novi objekt, u ovom sluaju matricu, elimo ih nauiti usporeivati.Prvi korak je definirati kada su dva objekta jednaka.

Definicija 2.2 Matrice i sujednake ako su istog tipa i ako je

za sve parove indeksa

Poglavlja

Zbrajanje matrica Mnoenje matrice sa skalarom Mnoenje matrica Nul-matrica i jedinina matrica Transponirana matrica Jo o mnoenju matrica

Zbrajanje matrica

Uvedimo prvu operaciju s matricama. Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako sumatrice i istog tipa, tada je matrica

istog tipa kao i matrice i i vrijedi

Dakle, matrice se zbrajaju lan po lan. Svojstva zbrajanja su

(komutativnost) i

(asocijativnost)

Mnoenje matrice sa skalarom

Matrica se mnoi s nekim skalarom (brojem) tako da se svaki element matrice pomnoi s timbrojem. Drugim rijeima, elementi matrice su
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node24.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node29.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node24.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node29.html


3/22


4/22

Uoimo da mnoenje u obrnutom poretku nije definirano stoga to matrice nisu ulanane. Usljedeem primjeru su oba mnoenja definirana, ali umnoci nisu istog tipa:

U sljedeem primjeru su umnoci i istog tipa, ali nisu jednaki:

U ovom primjeru su, pak, oba umnoka jednaka:

Iz prethodnih primjera zakljuujemo kako, za razliku od mnoenja brojeva,

mnoenje matrica openito nije komutativno.

Budite oprezni, jer se ova injenica lako zaboravi kada se manipulira s formulama koje sadre

matrice.Teorem 2.1 [Svojstva mnoenja matrica]Za proizvoljne matrice , i i broj ,ukoliko su svi umnoci definirani vrijedi:(i)

(asocijativnost),(ii)

(distributivnost),(iii)

(distributivnost),


5/22

(iv)

.Primijetimo da zbog openite nekomutativnosti mnoenja matrica, moramo posebno navestidistributivnost prema mnoenju slijeva i zdesna.

Dokaz.

(i) neka je tipa , tipa i tipa . Tada je tipa , a

je tipa . Za proizvoljni element matrice vrijedi:

raspiemo sumu

zamijenimo redoslijed zbrajanja

grupiramo pribrojnike na drugi nain

Ostale tvrdnje dokazuju se slino

Nul-matrica i jedinina matrica

Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni element s obzirom na zbrajanje, odnosno


6/22

za svaki brojAnalogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve elemente jednake nuli. Nul-matricu

oznaavamo s , odnosno kada elimo naglasiti o kojem tipu se radi. Na primjer,

Kod mnoenja brojeva broj je neutralni element s obzirom na mnoenje, odnosno

za svaki brojAnalogija kod matrica jejedinina matrica . Ukoliko matrica nije kvadratna, jedininematrice u odnosu na mnoenje slijeva i zdesna su razliitog reda. Na primjer, lako vidimo da

je

Jedininu matricu oznaavamo s , odnosno s ako elimo naglasiti o kojoj dimenziji seradi. Openito je, dakle

i za svaku matricu tipa vrijedi

Jedinina matrica je poseban sluaj dijagonalne matrice. je dijagonalna matrica ako jedinine-nula elementi lee na njenoj dijagonali, odnosno

za

Transponirana matrica

Uvedimo jo jedan novi pojam. Transponirana matrica matrice je matrica koja jedefinirana sa
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#adiaghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#adiag


7/22


8/22


9/22

odnosno kao

(2.4)

pri emu su matrice , i zadane s

Istoznanost ova dva zapisa slijedi iz definicije jednakosti matrica 2.2. Matrica se zovematrica sustava, a vektor se zoveslobodni vektorili vektor slobodnih lanova. Zbog

jednostavnosti moemo izostaviti vektor jer se njegovo prisustvo podrazumijeva pa stoga

esto zapisujemoproirenu matricu sustava

Slino, sustav u obliku

moemo zapisati kao

gdje je odgovarajuanul-matrica.

Sada moemo lako dokazati sljedei teorem.

Teorem 2.2 Ako su i razliita rjeenja sustava , tada je

takoer rjeenje tog sustava za svaki .Dokaz.

Iz svojstava mnoenja matrica skalarom i mnoenja matrica slijedi

pa je teorem dokazan.Q.E.D.

Ovaj teorem nam zapravo kae da je uvijek ispunjen tono jedan od tri sluaja:

1. sustav nema rjeenje,
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#a1.4http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.html#sec:nulhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.html#sec:nulhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.html#amatshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#at1.5ahttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#a1.4http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.html#sec:nulhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.html#amatshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#at1.5a


10/22

2. sustav ima tono jedno rjeenje,3. sustav ima beskonano rjeenja,

kao to smo vidjeli u uvodu. Detalje o tome kada nastupa koji od ovih sluajeva daje namKronecker-Capellijev teorem 2.5.

Rjeavanje trokutastih sustava

Matrica jegornje trokutasta ako

Drugim rijeima, svi elementi koji lee ispod dijagonale su nula. Primjer gornje trokutastematrice reda pet je

Slino, matrica je donje trokutasta ako

odnosno elementi iznad dijagonale su nula.Teorem 2.3 Ako su svi dijagonalni elementi kvadratne gornje trokutaste matrice razliitiod nule, tada sustav ima jedinstveno rjeenje.Dokaz.

Ilustrirajmo prvo rjeavanje sustava za . Prvo napiimo sustav u skalarnom obliku

Peta jednadba sadri samo nepoznanicu i moemo je rijeiti odmah:

Dobivenu vrijednost od moemo uvrstiti u etvrtu jednadbu koju potom rijeimo i

dobijemo
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node22.html#cha:alghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node22.html#cha:alghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KC


11/22

Uvrtavanjem i u treu jednadbu te rjeavanjem te jednadbe dobijemo

Nastavljajui ovim postupkom dobijemo

i

Kako su po pretpostavci dijagonalni elementi razliiti od nule, ove formule jednoznano

odreuju . Ovaj postupak se oito moe izvesti za proizvoljnu dimenziju pa je teoremdokazan.Q.E.D.

Ovaj postupak se jednostavno moe izvriti na raunalu. Odgovarajui program uprogramskom jeziku C glasi

for (i=n;i>=1;i--){

for (j=n;j>i;j--)

b[i]=b[i]-u[i][j]*b[j];

b[i]=b[i]/u[i][i];

}

Nakon zavretka programa, rjeenje se nalazi na mjestu gdje se na poetku nalazio vektor.

Program za rjeavanje gornje trokutastog sustava u programskom jeziku Matlab izgleda netojednostavnije:

for i=n:-1:1for j=n:-1:i+1

b(i)=b(i)-u(i,j)*b(j)

end

b(i)=b(i)/u(i,i)

end

Isti program u programskom jeziku FORTRAN, ovaj put napisan koritenjem uzlazne petlje,izgleda ovako:

do k=1,n

i=n-k+1

do j=i+1,nb(i)=b(i)-u(i,j)*b(j)

enddo


12/22

b(i)=b(i)/u(i,i)

enddo

Broj raunskih operacija potrebnih za rjeavanje gornje trokutastog sustava iznosi

Na modernim raunalima (Pentium 350), koja izvravaju do milijuna operacija u sekundi,

rjeavanje trokutastog sustava dimenzije traje oko sekunde.

Postupak za rjeavanje donje trokutastog sustava je slian i dan je u sljedeemMatlab programu:

for i=1:nfor j=i+1:n

b(i)=b(i)-l(i,j)*b(j)

end

b(i)=b(i)/l(i,i)

end

Kako se trokutasti sustavi lako rjeavaju, rjeenje opeg (netrokutastog) sustava dobijemotako da pomou Gaussove eliminacije zadani sustav svedemo na trokutasti oblik.

Zadatak 2.3 Zadajte nekoliko gornje i donje trokutastih sustava i rijeite ih pomou opisanihMatlab programa. Pri tome moete koristiti program

Gaussova eliminacija

Lako vidimo da se rjeenje sustava ne mijenja ako izvrimo bilo koju od sljedeih radnji:(i)

neku jednadbu pomnoimo s brojem razliitim od nule,(ii)

zamijenimo dvije jednadbe,(iii)

jednu jednadbu pribrojimo drugoj,(iv)

zamijenimo dvije varijable.Radnje (i) i (iii) esto vrimo istovremeno: jednoj jednadbi dodamo drugu jednadbu

pomnoenu s nekim brojem.

Ove radnje odgovaraju sljedeim radnjama naproirenoj matrici sustava:

(i')

neki redak pomnoimo s brojem razliitim od nule;(ii')zamijenimo dva retka;
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zap


13/22

(iii')jedan redak pribrojimo drugome;

(iv')zamijenimo dva stupca u matrici .

Kombinirajui radnje (i') i (iii') imamo: jednom retku dodamo drugi redak pomnoen s nekim

brojem.

Koristei navedene transformacije matricu svodimo na gornje trokutasti oblik. Taj

postupak se zove Gaussova eliminacija. Neka je zadan sustav

(2.5)

Neka je . Tada stavimo

i oduzmemo prvu jednadbu pomnoenu s od -te jednadbe te dobijemo

sustav

gdje je

Primijetimo da je varijabla eliminirana iz tri posljednje jednadbe. Brojevi kojima se

u postupku eliminacije mnoi prva jednadba zovu se multiplikatori. Neka je i .Tada stavimo


14/22

i oduzmemo drugu jednadbu pomnoenu s od -te jednadbe . Rezultat jesustav

gdje je

Konano, stavimo

i oduzmemo treu jednadbu pomnoenu s od etvrte jednadbe. Rezultat je gornjetrokutasti sustav

gdje je

Dobiveni gornje trokutasti sustav sada rijeimo na nain koji je opisan u poglavlju2.3.

Broj raunskih operacija potrebnih za svoenje kvadratnog sustava reda na gornje trokutastioblik iznosi

Vidimo da je za vee dimenzije broj raunskih operacija potreban za rjeavanje trokutastogsustava zanemariv u odnosu na broj raunskih operacija potrebnih za svoenje na trokutastioblik. Na modernim raunalima (Pentium 350), koja izvravaju do milijuna operacija usekundi, svoenje sustava dimenzije na trokutasti oblik traje oko sekundi, dok

za traje sati, a za traje puta due, odnosno okogodina.
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node31.html#sec:trokhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node31.html#sec:trokhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node31.html#sec:trok


15/22

Postupak Gaussove eliminacije koji smo upravo opisali za sustav reda etiri na oit se nainmoe poopiti na sustave proizvoljnog reda. Ukoliko je neki od brojeva s kojima dijelimo

jednak nuli, potrebno je dodatno koristiti postupak pivotiranja koji je opisan u poglavlju 2.4.2.

Postupak Gaussove eliminacije moemo interpretirati i kao mnoenjeproirene matrice

sustavas lijeve strane s elementarnim matricama transformacije. Neka jeproirena matrica sustava (2.5) i neka je

Tada je

Dalje, neka je

Tada je
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node34.html#sec:pivothttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node34.html#sec:pivothttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sustavhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node34.html#sec:pivothttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sustav


16/22

Konano, neka je

Tada je

Primjeri

Sljedei primjeri pokazuju tri sluaja koja se mogu dogoditi prilikom rjeavanja sustavapomou Gaussove eliminacije.

Primjer 2.1 Rijeimo sustav


17/22

Tada imamo

Iz ovog gornje trokutastog sustava lako vidimo da je

Sustav ima jedinstveno rjeenje. Rjeenje sustava geometrijski odgovara toki u kojoj sesijeku tri ravnine.

Postupak rjeavanja sustava opisan u poglavlju2.4 idealan je za raunala. Kada sustavrjeavamo ''runo'', tada koristimo pojednostavljeno pisanje. Naime, zapisujemo samo

proirene matrice odgovarajuih sustava, a sa strane naznaimo koje operacije na retcima

vrimo. Pri tom operacije biramo tako da, ukoliko je mogue, izbjegnemo razlomke. Sustav izprimjera2.1 rjeava se na sljedei nain:
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node33.html#p1.6http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node33.html#p1.6http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node33.html#p1.6


18/22

Sljedei primjer pokazuje kako izgleda trokutasti oblik kada imamo parametarska rjeenja:

Primjer 2.2

etvrti redak glasi , to je tono. Iz treeg retka slijedi

a iz drugog retka slijedi

Vrijednosti nezavisnih varijabli i dobijemo iz prvog retka,

Sustav ima parametarsko rjeenje, odnosno beskonano rjeenja koja ovise o jednomparametru ,

Primijetimo da smo mogli i uzeti za parametar, odnosno

je takoer oblik rjeenja sustava.

Sljedei primjer pokazuje kako iz trokutastog oblika moemo zakljuiti da sustav nemarjeenja.

Primjer 2.3


19/22

etvrti redak glasi , to je nemogue pa sustav nema rjeenja.

Formalan opis sluajeva koji mogu nastati prilikom rjeavanja sustava daje nam Kronecker-Capellijev teorem2.5.

Napomena 2.1 U praksi se sustavi jednadbi esto rjeavaju koristei raunala, pri emudolazi do pogreaka zaokruivanja kako je opisano u poglavlju 1.7.1. Zbog toga se neka

pitanja vezana uz Kronecker-Capellijev teorem, kao to su utvrivanje linearne nezavisnostiskupa vektora (vidi poglavlje 2.5) i odreivanje ranga matrice (vidi poglavlje 2.6), ne mogurijeiti numerikim raunanjem.

Pivotiranje

Ukoliko je element kojim moramo dijeliti da bi dobili multiplikatore jednak nuli, tadamoramo zamijeniti odgovarajue retke proirene matrice sustava. Na primjer,

pa je rjeenje sustava
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node17.html#sec:arithttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node36.html#sec:zavhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node37.html#sec:ranghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node17.html#sec:arithttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node36.html#sec:zavhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node37.html#sec:rang


20/22

U praksi je poeljno vriti zamjenu redaka i kada je broj kojim dijelimo jako blizu nule.Gotovi programi uvijek vre zamjenu redaka i to na nain da se najvei element po apsolutnojvrijednosti u stupcu kojeg ponitavamo dovede na vodeu poziciju. Na taj nain uvijek vrijedi

to doprinosi numerikoj stabilnost algoritma.

Elementarne matrice transformacija

U poglavlju 2.4 smo vidjeli kako je pribrajanje jednom retku nekog drugog retka pomnoenognekim brojem ekvivalentno mnoenju s elementarnom matricom s lijeva. No, i ostale

operacije na retcima moemo interpretirati na slian nain. Neka je . Tada produkt

odgovara mnoenju drugog retka matrice s brojem . Openito, matrica se od

jedinine matrice razlikuje samo u jednom elementu i to i .

Na slian nain, pomou produkta

vrimo zamjenu prvog i treeg retka matrice . Openito, matrica se od jedininematrice razlikuje samo u etiri elementa i to

Matrica se zove matrica permutacije. Ona je simetrina, , i vrijedi

. Dakle, matrica je regularna, a njena inverzna matrica je upravo

(vidi poglavlje 2.8).

Zadatak 2.5 Neka je . Na koji nain moemo pomou mnoenja matriceelementarnim matricama treem stupcu dodati trostruki prvi stupac; zamijeniti drugi i petistupac; trei stupac pomnoiti s dva?

Inverzna matrica
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#sec:inverzhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#sec:inverz


21/22

Kod mnoenja realnih brojeva svaki broj razliit od nule ima svoj inverz, odnosno

U skupu kvadratnih matrica imamo sljedeu definiciju.

Definicija 2.5 Matrica je regularna (invertibilna, nesingularna) ako postoji

matrica za koju vrijedi

Matrica jesingularna ako nije regularna.

Matrica je, ukoliko postoji, jedinstvena. Tu tvrdnju dokazujemo na sljedei nain:

pretpostavimo da je neka druga matrica za koju vrijedi . Tada je

Stoga moemo uvesti oznaku . Matrica zove se inverzna matrica matrice. Dakle, za svaku regularnu matricu vrijedi

(2.7)

Kao to kod brojeva broj nula nema inverz, postavlja se pitanje da li su sve kvadratne matriceregularne. Odgovor na to pitanje daje sljedei teorem.

Teorem 2.6 Matrica je regularna ako i samo ako je .Dokaz.

Neka je i neka oznaava -ti stupac jedinine matrice. Po Kronecker-

Capellijevom teoremu 2.5 svaki od sustava ima jedinstveno rjeenje. Neka je

Tada je oito . Slino, povlai da svaki od sustavaima jedinstveno rjeenje. Ako stavimo

tada je oito , odnosno . Sada imamo

pa je , odnosno je regularna.
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KC


22/22

Obratno, neka je regularna. Pretpostavimo da teorem ne vrijedi, odnosno .

Kako su stupci od zavisni, zakljuujemo da postoji vektor takav da je .

No iz slijedi da je , to je kontradikcija.

Q.E.D.

Skup svih regularnih matrica ima sljedea svojstva:

(i)

,(ii)

,(iii)

za ,(iv)

za .Svojstvo (i) slijedi iz teorema 2.6, svojstvo (ii) vrijedi jer povlai ,svojstvo (iii) slijedi iz

a svojstvo (iv) slijedi iz (2.7).

Dokaz teorema 2.6 nam daje postupak za raunanje inverzne matrice. Naime, svi sustavi

imaju zajedniku matricu sustava pa proirene matrice svih sustava moemopisati zajedno,

Kada pomou elementarnih transformacija dobijemo oblik

tada je . Ukoliko se ne moe dobiti ovaj oblik, je singularna.Zadatak 2.7 Naite inverznu matricu matrice
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#eq:1.27http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#eq:1.27http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29

matrice matematika

Documents