matrice inversă
TRANSCRIPT
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 1/20
Exercitii
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 2/20
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 3/20
Domenii de utilizare a matricilor
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 4/20
Matrice inversă.
Ecuaţii matriceale
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 5/20
Calculul inversei unei matrici
Definiţie. Fie A . Matricea A senumeşte inversabilă dacă există matriceaB cu proprietatea că ,
fiind matricea unitate.
Matricea B din definiţie se numeşteinversa matricii A şi se notează .
Deci
∈ ( )C n
Μ
∈ ( )C n
Μn
I A B B A =⋅=⋅n I
1−= A B
n I A A A A =⋅=⋅ −− 11
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 6/20
Teoremă. Matricea A esteinversabilă dacă şi numai dacă
O astfel de matrice se numeştenesingulară.
∈ ( )C n
Μ( ) .0det ≠ A
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 7/20
Construcţia lui presupune următorii paşi:
Pasul 1. (Construcţia transpusei)
1− A
Dacă
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
... ... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
atunci construim transpusa lui A
=
nnnn
n
n
t
aaa
aaa
aaa
A
...
... ... ... ...
...
...
21
22212
11211
.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 8/20
Pasul 2. (Construcţia adjunctei)
Matricea
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
D D D
D D D
D D D
A
1 ... 1 1
... ... ... ...
1 ... 1 1
1 ... 1 1
2
2
1
1
2
2
22
22
21
12
1
1
12
21
11
11
*
obţinută din At
, inlocuind fiecare element cu complementulsău algebric se numeşte adjuncta matricii A.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 9/20
Pasul 3. (Construcţia inversei)
Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că:
,
... 0 0 0
... ... ... ... ...
0 ... 0 0
0 ... 0 0
**
=⋅=⋅
d
d
d
A A A A
.11 **
n I A
d A A A
d =
=
iar de aici
Ultimele egalităţi arată că ( )*1
det
1 A
A A ⋅=−
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 10/20
La ce foloseşte matricea
inversă?
La rezolvarea
ECUAŢIILORMATRICEALE.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 11/20
Clasificarea ecuaţiilor matriceale
C AX =C XA =C AXB
=
1.
3.
2.
unde A, B, C sunt matrici cunoscute,iar X este matricea de aflat.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 12/20
Ecuaţii matriciale
C AX
=C XA
=C AXB
=,
unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matriceade aflat se numesc ecuaţii matriciale.
, ,
Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici pătratice inversabile.
Ecuaţiile de forma
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 13/20
Vom prezenta în continuare otehnica de rezolvare a fiecărei
ecuaţii în parte.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 14/20
C AX =1−
A
( ) ( ) C A X C A IX C A X A AC A AX A111111 −−−−−−
=⇔=⇔=⇔=
C A X
1−
=
1. Pentru rezolvarea ecuaţiei
înmulţim la stânga egalitatea cu
şi avem:
Deci soluţia ecuaţiei date este
.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 15/20
C XA =1−
A
1−= CA X
2. Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei
vom înmulţi la dreapta cu
şi analog vom găsi
soluţia ecuaţiei matriciale.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 16/20
C AXB =1−
A
1− B
11 −−= CB A X
3. Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei
înmulţim egalitatea la stanga cu
şi la dreapta cu
şi obţinem
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 17/20
Să se rezolve ecuaţia:
0
1
1
1
= x x
x x
x x
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 18/20
⇔=+−⇔=−⋅+−⋅+−⋅ +++ 0
1
1 1
10
1 )1(
1 )1(
1
1)1(1 312111
x x
x x
x
x x x
x
x
x x
x x
x
x x x
x
x
x x x x x x x x −⇔=−+−−−⇔ 10)()(1 222 ⇔=+−⇔=−++− 01320 2323322 x x x x x x
⇒=+−−−⇔=−−−⇔=+−−⇔ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 x x x x x x x x x x
10)1(0)12)(1( 1
2=⇒=−⇒=−−−⇒ x x x x x
21
1981012
3
2
2
−=⇒
=⇒=+=∆⇒=−−⇒
x
x x x
−∈ 1,2
1 x
Deci
.
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 19/20
Să se rezolve ecuaţia:
0
011
1 0 1
1 1 0
1 1 0
=
x
x
x
x
5/17/2018 Matrice invers - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matrice-inversa 20/20
⇔=−⋅+−⋅+−⋅+−⋅ ++++ 0
1 1
0 1
1 0
)1(
0 1 1
1 1
1 0
)1(1
0 1
1 0 1
1 1
)1(1
0 1
1 0
1 1 0
)1(0 41312111
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
⇔=−+−⇔ 0
1 1
0 1
1 0
0 1 1
1 1
1 0
0 1
1 0 1
1 1
0
x
x
x
x x
x
x
x
[ ] [ ] −⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⇔ )1001111(1111100)1101101()1111100(0 x x x x x x x x
[ ] ⇔=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅− 0)010111()111100( x x x x x x x
⇔=−+−−+−+−⇔ 0)1()21()1( 32 x x x x x x
⇔=+−−+−−−⇔ 0121242
x x x x x x⇔=+−⇔=−+−⇔ 042042 2424
x x x x x
042
00)42(
3
1
3
=+−⇒
=⇒=+−⇔
x x
x x x x