matka 58 str 73-109 · 2012. 4. 13. · vladimir devidé, zagreb 1. u srednjoπkolskoj nastavi...

E-mail Matke:[email protected]

Web stranica Matke:www.math.hr/matka

Glavni i odgovorni urednik:Petar MladiniÊ (Zagreb)

PomoÊnica glavnog urednika:Renata Svedrec (Zagreb)

Urednice:Nikol RadoviÊ (Sisak), Tanja Soucie (Zagreb)

GrafiËki i likovni urednik:Ninoslav Kunc (Zagreb)

Lektorica:Ivana BabiÊ (Zagreb)

Ornamenti:Darko ÆubriniÊ (Zagreb)

Korektorica:Ivana KokiÊ (Dugi Rat)

Crteæi:Sanja BoljeviÊ (Zagreb)

Redakcijski kolegij:Luka »elikoviÊ (Osijek), Vladimir Devidé

(Zagreb), Blaæenka Divjak (Varaædin), Jasenka –uroviÊ (Rijeka), Marija Golac

(Zagreb), Ines Kniewald (Zagreb), Zdravko Kurnik (Zagreb), Anelko MariÊ

(Sinj), Maja MariÊ (Zagreb), MargitaPavlekoviÊ (Osijek), Mate Prnjak (Knin),

Marija Rako (Zagreb), Zvonimir ©ikiÊ(Zagreb), Nikica UgleπiÊ (Split), Vladimir

Volenec (Zagreb), Petar VranjkoviÊ (Zadar)

Slog i prijelom: Alegra d.o.o. ZagrebTisak: TISKARA ZELINA d.d. Sv. Ivan Zelina

Æiro-raËun HMD-a (za Matku): 2360000-1101530802

Devizni raËun: ZagrebaËka banka d.d. ZagrebSWIFT ZABA HR 2X,

account no. 2500-03688780 (za Matku).Cijena pojedinog primjerka je 20 kn,

za inozemstvo 5 eura.Godiπnja je pretplata 60 kn, za europske zemlje

20 eura, za ostale 40$.

Ovaj je broj Ëasopisa izaπao uz potporu Ministarstva znanosti,obrazovanja i πporta Republike Hrvatske.

Odgovore πaljite iskljuËivo na dopisnicama na adresu:

Uredniπtvo atke(za nagradni natjeËaj broj 54)10002 ZagrebBijeniËka cesta 30p.p. 335

Uz ime i prezime te mjesto stanovanjanavedite πkolu, razred i kuÊnu adresu.

Rjeπenja se primaju do kraja oæujka 2007. godine.

Na istu adresu do kraja oæujka 2007.godine primamo i rjeπenja strip zadatka

Tko ima smee oËi? s posljednje stranice,koja Êemo posebno nagraditi. Dobitnici

nagrada bit Êe odreeni izvlaËenjem.Rezultate Êemo objaviti u broju 59.

Rjeπenje nagradnog zadatka broj 52 potraæite na

stranici 142.

atka 15 (2006./2007.) br. 58

atka

NAGRADNINATJE»AJBROJ 54

Na slici je tlocrt gradske Ëetvrti u Matkogradu.Na koliko razliËitih naËinamoæete doÊi iz A u C? A

D C

B

73atka 15 (2006./2007.) br. 58

»lanciIvana Antoliπ, Svi su trokuti jednakokraËni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Vladimir Devidé, Torus I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76Nikol RadoviÊ, Koktel iluzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79Jelena GusiÊ, Bolji! Ali - koliko? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84Adrian Satja Kurdija, "Peti" pouËak o sukladnosti trokuta . . . . . . . . . . .88Franka Miriam Brückler, Trik s kockom i satom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91IntervjuLucija GusiÊ, Àngel Homero Flores Samaniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

PovijestTanja Soucie, Liu Hui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97Æeljko Brguljan, Put oko svijeta kapetana Ivana Visina . . . . . . . . . . . . .98Æeljko Buranji, Zadatci s vremensko-prostornih meridijana . . . . . . . . . .99

NatjecanjaMeunarodno matematiËko natjecanje "Klokan bez granica" 2006 . . . .100

Kriæaljke za atkaËe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

Enigmatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108Natjecanja

Meunarodno matematiËko natjecanje "Klokan bez granica" 2006 . . . .110Kutak za kreativni trenutak, Mozgalica 6 πtapiÊa . . . . . . . . . . . . . . . . . .122Zadatci za atkaËe poËetnike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123Odabrani zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127Sudoku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130RaËunala

Ivana KokiÊ, Kutovi i raËunalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131Rjeπenja zadataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136Kutak za najmlae

atka Izdaje osnivatelj

HRVATSKOMATEMATI»KO

DRU©TVOZagreb, BijeniËka 30

izlazi tijekom πkolske godineu Ëetiri broja

Ëasopis za mlade matematiËare

SADRÆAJ

74 atka 15 (2006./2007.) br. 58

SVI SU TROKUTI JEDNAKOKRA»NI

Ivana Antoliπ, 1. f, XV. gimnzaija, Zagreb

Jeste li znali da su svi trokuti jednakokraËni? Ako mi ne vjerujete, moædavas ovaj dokaz uvjeri.

Nacrtajmo trokut ABC , simetralu kuta ACBE i simetralustranice AB. ToËku u kojoj se simetrale sijeku oznaËimo sa S.Iz S nacrtajmo okomice na stranice AC i BC i njihovanoæiπta oznaËimo s E i F .

Trokuti ESCD i FSCD su sukladni prema pouËku kut,stranica, kut jer oba imaju pravi kut (to su kutovi CESE i

CFSE ), kut ECSE je sukladan kutu FCSE (Ëini ih simetralakuta ACBE ) i zajedniËka im je stranica CS.

Ako su ti trokuti sukladni, tada su i njihove stranice CE iCF sukladne. Zato vrijedi da je CE CF= .

Zatim nacrtamo duæine SA i SB. Te duæine odreujutrokute ASE i BSF .

Ti su trokuti sukladni prema pouËku dvije stranice i kut nasuprot veÊoj.Oba imaju pravi kut, ES FS= i AS SB= (jer je S na simetrali stranice

AB). Stranica AS je dulja od stranice SE, jer je AS hipotenuza. Stranica BS

je dulja od stranice SF jer je BS hipotenuza. Ako su ti trokuti sukladni tada su i njihove stranice AE i BF sukladne.

Zato vrijedi AE BF= . Dakle, kako je EC FC= i AE BF= tada je

AE EC BF FC+ = +

= =1 2 344 44 1 2 344 44

AC BC

pa je AC BC= . Dakle, trokut ABC je jednakokraËan, akako taj trokut nije specijalno izabran, to su svi trokuti jed-nakokraËni.

A

A

B

B

F

C

E

S

C

EF

S

simetrala kuta

simetrala kuta

simetrala kuta

simetrala kuta

75atka 15 (2006./2007.) br. 58

Jesam li vas uvjerila? Ako niste primijetili pogreπku u dokazu, a i dalje ste

uvjereni da svi trokuti nisu jednakokraËni provjerimo dokazprovodeÊi ranije izvedenu konstrukciju.

VeÊ nakon crtanja simetrala vidljiva je razlika izmeukonstrukcije i skice: toËka S se nalazi izvan trokuta ABC .Usprkos toj razlici, nastavit Êemo s dokazom. Iz toËke S

nacrtamo okomice na stranice AC i BC . ToËka E leæi nastranici AC , ali okomica SF ne sijeËe stranicu BC . ZatoÊemo produæiti stranicu CB preko vrha B do toËke F .

Trokuti ESC i FSC su sukladni prema pouËku kut,stranica, kut. Ako su ti trokuti sukladni, tada su sukladnei njihove stranice EC i FC .

Zatim nacrtamo duæine SA i SB. Trokuti AES i BSF su sukladni jer imajudvije sukladne stranice i sukladan kut nasuprot veÊoj stranici. Ako su ti troku-ti sukladni, tada su sukladne i njihove stranice AE i BF . Zato vrijedi da jeAE BF= .

Kako je EC FC= i AE BF= , tada je:

CA AE EC= +

FB FC= +

=X

FB BC+

FB FB BC= + +

pa je CA BC FB BC2 != + ,

πto znaËi da te dvije stranice nisu jednakih duljina.

Dokaz da su svi trokuti jednakokraËni ipak nije bio toËan, ali smo baremdokazali da nas uz malo znanja matematike i oπtro oko nitko ne moæe pre-variti.

AB

F

C

E

S

simetrala kuta

simetrala stranice

AB

F

C

E

S

simetrala kuta

simetrala stranice

76 atka 15 (2006./2007.) br. 58

TORUS I

Vladimir Devidé, Zagreb

1. U srednjoπkolskoj nastavi upoznajemo se s nizom geometrijskih tijela:kuglom, stoπcem, valjkom, prizmom, piramidom itd. U ovom Êemo ËlanËiÊuupoznati joπ jedno geometrijsko tijelo zanimljivih svojstava: torus.

Neka je (sl. 1.) p pravac u ravnini t kruga K omeenogkruænicom k, koji ne sijeËe k. Ako je pravac p Ëvrst, a trotira oko p, krug K opisivat Êe tijelo koje zovemo torus,a kruænica k opisivat Êe povrπinu torusa1. Oblik torusa bitÊe odreen ako je poznat polumjer r kruænice k i uda-ljenost R srediπta kruga K od pravca p.Niz predmeta iz svakodnevnog æivota ima pribliæno obliktorusa: zraËnica automobilske gume, pojas za spaπavanje,prsten, ... pa i neke vrste kolaËa i kobasica.

2. Da se na torusu lakπe "orijentiramo", moæemo na njemu uvesti "torusnuduæinu" i "torusnu πirinu", analogno kao πto na kugli govorimo o geografskojduæini i geografskoj πirini. Pri tom Êe meridijanima na kugli odgovaratikruænice na torusu koje nastaju kao pojedini poloæaji kruænice k kad krug Krotira oko pravca p (sl. 2.). Sjevernom odnosno juænom polu na kugli odgo-varat Êe na torusu sjeverna odnosno juæna "polarna kruænica" polumjera R.Ekvatoru na kugli odgovarat Êe na torusu dvije kruænice: njegov "vanjski"ekvator polumjera R r+ , i "unutarnji" ekvator polumjera R r- . U grani-Ënom sluËaju, kad je R r= , unutarnji Êe se ekvator stegnuti na jednu toËku.

slika 1.

slika 2.

1 Kadπto Êemo, ako ne bude opasnosti od zabune, umjesto "povrπina torusa" takoer reÊi samo"torus".

77atka 15 (2006./2007.) br. 58

3. Kruænice na povrπini torusa. Meridijane i paralele na torusu moæemoshvatiti presjecima povrπine torusa ravninama kroz njegovu os (pravac p),odnosno okomitim na nju. Zanimljivo je, meutim, da to nisu jedine kruænicena torusu!

Neka je (sl. 3.) T "sa strane" gledani torus, a t trag ravnine v,okomite na ravninu crtanja, koja u D1, odnosno u D2 diradvije merdijanske kruænice k1 i k2 torusa T πto leæe u istojravnini, naime u ravnini crtanja, i Ëine presjek povrπine torusaT i te ravnine. Dokazat Êemo da ravnina v sijeËe torus T udvije kruænice, c1 i c2, koje se sijeku u D1 i D2 (sl. 3. pokazu-je projekcije tih kruænica, c

1 i c2; ove krivulje su elipse). No,

prije nego li prijeemo na dokaz, nekoliko napomena:Zbog reËenog na svakom2 torusu postoje Ëetiri obitelji kruæni-ca: prvu Ëine meridijani, drugu paralele, a preostale dvijeupravo razmotreni parovi kruænica kao presjeci torusa ravni-nama v, kosim prema osi torusa, koje ga diraju u dvije toËke("bitangencijalne ravnine").

Lako se uvia da se po dvije kruænice iste obitelji nikad ne sijeku, kao i dasvaka obitelj za sebe potpuno prekriva povrπinu torusa. To znaËi da svakomtoËkom povrπine torusa prolazi toËno po jedna kruænica svake obitelji, dakleukupno toËno Ëetiri kruænice na povrπini torusa. Takoer se lako vidi da svakaparalela, kao i svaki meridijan, sijeËe svaku kruænicu bilo koje druge obiteljiu toËno jednoj toËki, i da se svaki par kruænica od po jedne iz treÊe i jedne izËetvrte obitelji sijeËe u toËno dvije toËke.Prijeimo sada na dokaz da su presjeci c

1, c2 bitangencijalnih ravnina v s

povrπinom torusa zaista kruænice.

slika 3.

slika 4.

2 Osim graniËnog sluËaja R r= , kad se upravo razmotrene posljednje dvije obitelji "kosih"kruænica poklapaju s meridijanima.

78 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Neka je na sl. 5. znaËenje od k1, k2; D1, D2, t isto kao na sl. 3. Neka su toËkeS1, S2 srediπta meridijanskih kruænica k1, k2. Neka je toËka O srediπte torusa(probodiπte njegove osi p s ekvatorijalnom ravninom), d neka je trag nekeravnine x okomite na p (koja sijeËe T u dvije paralele u smislu 2.)Ravninu v preklopimo oko t u ravninu crtanja. Paralela a kroz A sijeËe c1

odnosno c2 u toËki N1 odnosno N2, koje toËke nakon preklapanja u ravninucrtanja dolaze u poloæaj M1 odnosno M 2; time je OM OM OA1 2= = .

( , ,OA OM OM1 2 moæemo shvatiti stranicama rotacijskog stoπca kojemu je p

os, O vrh i baza odreena s a).Iz O nanesimo okomito na t duæinu duljine OE AS r1= = . Neka je F

sjeciπte produæenja AS1 s okomicom iz O na to produæenje.

Zbog jednakosti povrπine trokuta OBS1D i OAS1D (ista osnovica OS1 i jed-naka visina zbog paralelnosti d i OS1) i zbog S A S D1 1 1= bit ÊeOB S D S A OF S D OF1 1 1 1 1$ $ $= = , pa je OB OF= .

Kako je pored toga OA OM1= , pravokutni trokuti OAFD i OBM1D susukladni, pa je OAS BM O1 1E E= . Taj je kut zbog OE M B1 jednak kutu

EOM1E ; dakle OAS EOM1 1E E= .Nadalje je (pored OA OM1= ) i OE AS1= (po konstrukciji), pa je

OAS EOM1 1,D D . Odatle je konaËno EM OS R1 1= = , dakle neovisno opoloæaju x. Prema tome bit Êe geometrijsko mjesto toËaka M1 (kad se xmijenja) kruænica c1 sa srediπtem u E i polumjerom R, pa je i krivulja c1, odkoje je c1 preklopljeni poloæaj u ravninu crtanja, takoer kruænica polumjeraR, u ravnini v.Potpuno istim postupkom, uz nanoπenje duæine OE r1 = okomito na t nasuprotnu stranu, dobili bismo da je i c2 kruænica polumjera R.

slika 5.

79atka 15 (2006./2007.) br. 58

KOKTEL ILUZIJA

Nikol RadoviÊ, Sisak

Ne trebate se brinuti, ovaj koktel ne sadræi alkohol, nego geometrijskeiluzije. Vaπ jedini zadatak je uæivati u koktelu geometrijskih iluzija i dobro sezabaviti.

Slika 1.

Slika 4.

Slika 6. Slika 7. Slika 8.

Slika 5.

Slika 2.Slika 3.

80 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Slika 9.

Slika 14.

Slika 15.

Slika 10.

Slika 12. Slika 13.

Slika 11.

81atka 15 (2006./2007.) br. 58

Slika 16. Slika 17.

Slika 19.

Slika 20.

Slika 18.

Slika 21. Medvjed ili foka?

82 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Slika 23. Gdje je magarac?

Slika 25. Slika u slici?

Slika 28.

Slika 26. Æaba ili konj? Slika 27. Medvjed,kit,...,Ëovjek?

Slika 22. Slika 24.

83atka 15 (2006./2007.) br. 58

Slika 29.

Slika 32. Slika 33.

Slika 30.

Slika 31.

Escher:

Sve sastojke za ovaj koktel geometrijskih iluzija moæete naÊi na sljedeÊim Internetadresama:http://www.scientificpsychic.com/graphics/19.09.2006./http://www.brl.ntt.co.jp/IllusionForum/basics/visual/index-e.html/20.09.2006./http://psylux.psych.tu-dresden.de/20.09.2006./http://www.colorcube.com/illusions/illusion.htm/19.09.2006./http://www.mescher.com/home/homeuk.htm/20.09.2006./http://www.psycharts.com/opt_illus.html/19.09.2006./http://www.michaelbach.de/ot/19.09.2006./http://grand-illusions.com/20.09.2006./http://www.human.perfi.hr/20.09.2006./http://www.lhup.edu/20.09.2006./http://otica.fateback.com/20.09.2006./http://mathword.wolfram.com/20.09.2006./http://www.gifford.co.uk/20.09.2006./

84 atka 15 (2006./2007.) br. 58

BOLJI! - ALI - KOLIKO?

Jelena GusiÊ, Zagreb

Danica i Ante su se vraÊali s tenisa. Uzbueno su reketima davali ritamraspravi. Mislila sam da je rijeË o nekoj spornoj lopti, ali ne. Jedan su dru-gome klimali glavom i veselili se. Postala sam radoznala. Vidjeli su me i namoju radost dotrËali ispriËati πto je.

Ukratko, njih dvoje zajedno igraju tenis. Nekad pobijedi jedno, a nekaddrugo. Poæeljeli su usporediti koliko su dobri i veÊ neko vrijeme razmiπljajukako to "izmjeriti". Sad usporeuju svoje ideje. Izgleda da su doπli do istoganaËina usporeivanja, ali Êe joπ jednom sve ponoviti meni.

Najprije sam razmiπljala kako prikazati koliko je pobjednik uspjeπniji ujednom setu, poËela je Danica. Ako netko pobijedi 6:3, bolji je nego ako pobi-jedi 7:5, ali kako to izraziti? Ako joπ i kaæem da je pri 6:3 pobjednik dvostrukobolji, ili pri 7:5 bolji 1.4 puta, πto da kaæem pri rezultatu 6:0 - da jebeskonaËno puta bolji? Jasno da sam odmah okrenula rezultate, pa samgledala koliko je loπiji onaj koji je izgubio. Tada sam dobila brojeve 0.5, oko0.71 i 0. Ali kako ih interpretirati? Da jaËina slabijeg iznosi pola jaËine bo-ljeg, ili oko 0.71 boljeg, ili 0 boljeg? Niti ovaj mi se naËin nije svidio.

Potpuno sam isto mislio i ja. A onda sam shvatio da moram uzeti u obzirsve igre. Recimo, kod rezultata 6:3, odigrano je 9 igara i bolji je pobijedio u

njih 6. Dakle, njegova je uspjeπnost .96

0 67. . Moglo bi se reÊi da je 67%

seta dobio pobjednik. A sada je lagano za cijeli meË! Evo, recimo da je netkostvarno dobar i da je dobio meË rezultatom 6:3, 6:2, 6:1, tada je njegovauspjeπnost 0.75. Dakle, dobio je 75% meËa.

Dok je Ante govorio, Danica se neπto mrπtila. Mislila sam da joj nije jasnokako je to on izraËunao, pa sam predloæila da izraËunaju za joπ jedan meË.Pitala sam kolika je uspjeπnost pobjednika ako je rezultat meËa

7:5, 4:6, 7:6, 6:1.

PoËeli su raËunati. Oko 55%!, viknuo je Ante. Ah, kako on voli pribliæanrezultat, a ne toËan, gunala je Danica. I joπ krivo zaokruæuje! Mogao sibarem reÊi 60%. Ante je u Ëudu pogledao. Jesam zaokruæio, ali toËno. Rezultat je pribliæno 0.5714, pa kada ga zaokru-æim na najbliæih pet stotnina dobivam 0.55.Ma, rezultat je oko 0.5947, pa je zaokruæen na najbliæih pet stotnina 0.60,rekla je Danica. Pogledali su se i zaπutjeli.

Bilo je najbolje pregledati raËun da otkrijemo pogreπku. Danica je poËelaprva: U prvom je setu uspjeπnost bila 7 od 12, u drugom 4 od 10, u treÊem 7

85atka 15 (2006./2007.) br. 58

od 13 i u posljednjem 6 od 7. Dakle, srednja vrijednost ta Ëetiri rezultata je:

.4

127

104

137

76

0 5947.+ + +

i to je uspjeπnost.

Ante je nastavio: Istina, ja sam raËunao malo drukËije. »inilo mi se lakπe.Ali to bi trebalo biti svejedno. RaËunao sam s ukupnim rezultatom. U prvomje setu odigrano 12 igara, u drugom 10, u treÊem 13, a u Ëetvrtom 7, dakleukupno 42 igre. Pobjednik je pobijedio u 7 + 4 + 7 + 6, dakle u 24 igre, pa jesrednja vrijednost

.4224 0 5714. .

Ali, to mora biti svejedno! IzraËunati srednju vrijednost svih podataka ilisrednju vrijednost srednjih vrijednosti, mora biti svejedno! Pogledali su se iiπli traæiti pogreπku koju je netko od njih napravio.

Pustila sam ih da malo provjeravaju rezultate. Eh, kad se napravi glupapogreπka onda ju je teπko naÊi! Nema je i nema, a sigurno gledam u nju!,gunao je Ante.

Naravno da su dobro raËunali. Pa i prvi su put imali razliËite rezultate.Zato se valjda Danica mrπtila. Za meË 6:3, 6:2, 6:1 Ante raËuna srednju vri-

jednost svih podataka i dobiva .9 8 76 6 6 0 75

+ ++ + = (kad nam je rekao taj rezul-

tat nije niti zaokruæivao!) a Danica raËuna srednju vrijednost pojedinih

uspjeπnosti i dobiva .3

96

86

76

0 7579.+ +

.

Gledali su me zaËueno.

ZnaËi, kad imamo srednje vrijednosti, pa od njih traæimo srednju vrijednost,neÊemo dobiti srednju vrijednost svih podataka!, rekao je Ante.Mislim da opet pretjerujeπ, tiho je Danica prekoravala Antu. Nekad Êemodobiti. Odmah je jasno da Êe, ako su svi rezultati jednaki, biti svejedno kakoÊemo raËunati. Recimo ako je meË zavrπen 6:4, 6:4, 6:4. Tada je uspjeπnostsvakog seta 0.6, pa im je srednja vrijednost 0.6. Isto dobijeπ i ako sve zbro-jiπ, pa je ukupan rezultat 18:12 i uspjeπnost je opet 0.6. Pitam se samo ima lii drukËijih sluËajeva gdje Êe biti isto.

Predloæila sam im da smisle neki drugi primjer u kojemu Êe takoer bitisvejedno kako raËunaju. Napomenula sam da je malo teæe napraviti primjeriz tenisa gdje je, recimo, nemoguÊ rezultat 7:3 ili 5:4, ali neka se ne obaziruna ta pravila i nek probaju smisliti brojeve za koje Êe oba raËuna dati isto.Nije dugo proπlo i Ante se smijeπio: Evo: 4:6, 3:7, 9:1. Vidite da sam dobioisto.

86 atka 15 (2006./2007.) br. 58

I ja imam primjer, rekla je Danica. Uzela sam 12 ocjena: 3, 4, 5, 4, 5, 1, 3,3, 5, 5, 1, 2. Ako ih grupiram po 3, bez obzira u kojem rasporedu, uvijekdobijem istu vrijednost:

Ali, ako uzmem 4 grupe tako da u njima nije jednak broj ocjena, onda viπenije tako. Evo, ako prebacim samo jednu ocjenu, vidite πto Êu dobiti:

Dakle, ako u grupama ima jednak broj podataka, onda je svejedno.

Dobro su uoËili. Ako grupiramo podatke tako da ih ima jednako iraËunamo srednju vrijednost svake grupe, pa potom odredimo srednju vrijed-nost tih srednjih vrijednosti, dobit Êemo jednako kao da raËunamo srednjuvrijednost svih podataka!

Dakle, DaniËina i moja metoda daju razliËit rezultat, pa se moramo dogo-voriti koji je naËin raËunanja pravedniji, zakljuËio je Ante. InaËe, dok samtraæio primjer kada Êe rezultati biti isti, uoËio sam da je po naπem raËunumoguÊe da pobjednik meËa ne bude bolji.

Ocjene Sve ocjene

srednja ocjena

3, 45

4, 51

3, 35

5, 12

312

310

311

38

srednja ocjena srednjih ocjena

43

123

10311

38

1241+ + +

=

123 4 5 4 5 1 3 3 5 5 1 2

1241+ + + + + + + + + + +

=

Ocjene Sve ocjene

srednja ocjena

3, 4

5, 4,5, 1

3, 35

5, 12

27

415

311

38

srednja ocjena srednjih ocjena .4

27

415

311

38

48163

3 3958.+ + +

=

.123 4 5 4 5 1 3 3 5 5 1 2

1241

3 4167.+ + + + + + + + + + +

=

DaniËina metoda: Antina metoda:ukupno

1. igraË

2. igraË

uspjeπnost 1. igraËa

ukupno:

4 3 9

6 7 1

104

.3

104

103

109

3016 0 5333.

+ +=

103

109

.16 14

163016 0 5333.

+=

16

14

87atka 15 (2006./2007.) br. 58

I doista je tako! Da se to izbjegne trebalo bi odreivati ne obiËne srednjevrijednosti, nego takozvane teæinske srednje vrijednosti. »ak i tada moæe bititeπko za neke rezultate dobiti da je pobjednik bolji!Znate πto, veselo Êe Danica. Mislim da smo jako dobro smislili ovo raËuna-nje. Pa i meni nekada zna izgledati da je pobijedio loπiji. Gubitnik se baremtada moæe tjeπiti da je matematiËki bio bolji! Usput, Ëini mi se da smo dobilijoπ neπto. Ako izraËunamo da je netko od svog protivnika bio bolji u 60%meËa, to nam daje dobro predvianje za neki njihov novi meË. Moæemo reÊida je vjerojatnost da ponovo pobijedi 0.6. Mogli bismo predloæiti i sportskimkomentatorima da prije svakog meËa daju jedan takav podatak!

Nasmijali smo se i Ante i ja. Bila sam sigurna da Êe njih dvoje izraËunatitko je i koliko bolji i kolika je vjerojatnost pobjede u sljedeÊem meËu.

A vi, atkaËi, ne zaboravite. Vaæno je kako odreujemo srednju vrijednost.Moæda vam to pomogne da zakljuËna ocjena iz nekog predmeta bude veÊa.

Svojim Ëitateljima i suradnicima

Ëestit BoæiÊ i sretnu Novu 2007. godinu

æeli Uredniπtvo atke

88 atka 15 (2006./2007.) br. 58

"PETI" POU»AK O SUKLADNOSTI TROKUTA

Adrian Satja Kurdija, 1. r., V. gimnazija, Zagreb

U osnovnoj πkoli uËe se Ëetiri pouËka o sukladnosti trokuta, a "najza-nimljiviji" je onaj koji dokazuje sukladnost trokuta koji imaju jednake dvijeodgovarajuÊe stranice i kut nasuprot veÊoj od tih stranica. Zato je prirodnoupitati se: jesu li dva trokuta sukladna ako imaju jednake dvije odgovarajuÊestranice i kut nasuprot manjoj od njih? Do tog se pitanja najËeπÊe dolazirjeπavajuÊi neki geometrijski zadatak u kojemu se traæi takva sukladnost.

U rjeπavanju sljedeÊeg zadatka nailazi se na "peti" pouËak o sukladnostitrokuta.

U pravokutnom trokutu ABC toËka D je poloviπte hipotenuze AB, a S jesrediπte trokutu upisane kruænice. IzraËunajte veliËine πiljastih kutova troku-ta ABC ako je | | | |CS DS= .

Bez smanjenja opÊenitosti moæemo pretpostaviti da se toËke A i S nalazes iste strane teæiπnice CD. Naime, kada bi se toËka S nalazila na toj teæiπnici,trokut bi bio jednakokraËan, πto nije moguÊe jer tada ne bi bilo | | | |CS DS=

(ako ne vjerujete, provjerite!). Imamo, dakle, sljedeÊu sliku:

BuduÊi da je toËka S srediπte trokutu upisane kruænice, ona pripada sime-tralama unutarnjih kutova trokuta.

Moæemo li dokazati sukladnost trokuta ASC i ASD? Oni imaju dvijestranice jednake duljine (AS je zajedniËka stranica, a prema uvjetu zadatka je| | | |CS DS= ) i jednak kut nasuprot manjoj od tih stranica (zbog simetralekuta je CAS DASE E= ). Je li to dovoljno za sukladnost?

Napomena. Stranica CS je doista manja od AS, jer iz <CAB ACBE E sli-jedi <CAS ACSE E , a odavde | |< | |CS AS .

Dakle, trebamo ispitati sljedeÊu tvrdnju: Dva su trokuta sukladna ako sepodudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot manjoj od tih stranica.

A

C B

DS

89atka 15 (2006./2007.) br. 58

Razmotrimo πto nam ova tvrdnja "omoguÊuje". Pokuπajmo konstruiratitrokut kojemu su zadane stranice AB i | |AC , | |> | |AB AC , i kut ABCE (koji

se nalazi nasuprot manjoj stranici AC). Najprije konstruirajmo stranicu AB ikut ABCE :

Sada nanesimo stranicu AC iz toËke A na polupravac BC (krak kuta kojismo konstruirali). Imamo tri moguÊa sluËaja:

a) | |AC vb= , pa stranicu AC nije moguÊe nanijeti na pravac BC . U tomsluËaju rjeπenje ne postoji.

b )

| |AC vb= , pa kruænica ( , )k A AC dira pravac BC u jednoj toËki - to je traæe-na toËka C .

c) | |AC vb= , pa kruænica ( , )k A AC sijeËe pravac BC u dvije toËke C1 iC2. Oba trokuta ABC1 i ABC2 zadovoljavaju uvjete.

A B

A B

ACvb

A

C

B

AC vb

90 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Posljednji sluËaj nam je, naravno, najzanimljiviji, jer tu vidimo posljedice"petog" pouËka-trokuti ABC1 i ABC2 imaju jednake dvije stranice i kutnasuprot manjoj od njih, pa ipak nisu sukladni.

Dakle, kada bi trokuti iz naπeg zadatka bili nesukladni, oni bi bili poputtrokuta ABC1 i ABC2. Meutim, oni nam ne izgledaju baπ tako razliËiti, πtonas uvjerava da oni doista jesu sukladni. Dokaæimo to!

Promotrimo najprije kutove trokuta ABC1 i ABC2. Naime, kut AC B1Emora biti πiljast jer je on jedan od πiljastih kutova pravokutnog trokuta (kojije odreen visinom vb). SliËno, kut AC B2 mora biti tup, jer je on vanjski kutpravokutnog trokuta. BuduÊi da su kutovi AC B1 i AC B2 nasuprot (veÊoj)stranici, dolazimo do sljedeÊeg zakljuËka:

Trokuti koji imaju jednake dvije stranice i kut nasuprot manjoj od tihstranica sukladni su ako i samo ako su kutovi nasuprot veÊoj od tih stranicaoba πiljasti, oba pravi ili oba tupi.

Ovo je sad veÊ "potpuni" peti pouËak o sukladnosti trokuta. Dakle, da bi-smo dokazali sukladnost iz naπeg zadatka, dovoljno je pokazati da su oba

kuta ACS i ADS πiljasta. Za kut ACS 45… = to je oËito, a za πiljatost kutaADS dovoljno je pokazati da je kut ADC πiljast. To slijedi iz Ëinjenice da su,u jednakokraËnom trokutu ACD, oba kuta CAD i ACD veÊa od 45º, pa je nji-hov zbroj veÊi od 90º.

I nakon (konaËno!) dokazane sukladnosti trokuta ASC i ASD slijedi

| | | | | |AC AD AB21= = , odakle se lako nalazi da je trokut ABC "polovica"

jednakostraniËnog trokuta, te su mu, stoga, kutovi jednaki 30º, 60º i 90º.

BA

AC

C1

C2vb

91atka 15 (2006./2007.) br. 58

MATEMAGI»ARMATEMAGIcAR

TRIK S KOCKOM I SATOM

Franka Miriam Brückler, Zagreb

MatemagiËar Dagobert danas je odluËio koristiti obiËni sat (onaj skazaljkama, a ne digitalni) i obiËnu kocku za igranje. PoËetak trika je veÊuobiËajen: "trebam dobrovoljca - mogu li ja? - moæeπ, kako se zoveπ? -Miljenko - dobro, doi!"

Danas uopÊe neÊu gledati πto Miljenko radi, a na osnovi rezultata koji Êedobiti na satu, pogodit Êu koji mu je broj pao na kocki. Miljenko, sad Êu tiokrenuti lea, a govorit Êu ti πto da radiπ.

NeÊete potajno gledati?

Ne, kao i veÊina matemagiËnih trikova, tako i ovaj funkcionira na potpunopoπten naËin. Evo, okrenuo sam se. Prvo baci kocku, a onda zamisli bilo kojiprirodni broj. Bilo bi zgodno da je manji od 50 jer Êe inaËe trik predugo tra-jati. Jesi li bacio kocku i zamislio broj?

Jesam. [recimo da je Miljenko zamislio broj 17, a na kocki je pao 4]Sad uzmi sat u ruke i na njemu nai broj koji ti je pao na kocki. Neka ga

svi vide.

Miljenko nalazi oznaku za 4 sata na satu.

©to sad?Sad odbroji po satu, sat po sat, poËevπi s brojem koji ti je na kocki, do svog

zamiπljenog broja. Broji u smjeru kazaljke na satu. Nemoj brojati naglas, alislobodno pokazuj po satu tako da brojanje svi vide.

Zapamti broj sata na kojemu si stao. [Miljenko pamti: 9 sati] Sad se vratina broj s kocke, tj. na vrijeme od kojega si prethodno poËeo brojati, i ponoviistu stvar, samo broji sate unatrag, tj. idi po satima u smjeru suprotnom odkazaljke na satu.

Miljenko u glavi broji:

A na satu pokazuje:

1

5

2

6

3

7

4

8

5

9

6

10

7

11

8

12

9

1

10

2

11

3

12

4

13

5

14

6

15

7

16

8

17

9

Miljenko opet u sebi broji: 1

3

2

2

3

1

4

12

5

11

6

10

7

9

8

8

9

7

10

6

11

5

12

4

13

3

14

2

15

1

16

12

17

11Ali sad pokazuje:

92 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Jesi li gotov?Aha.Onda zbroji sat na kojemu si stao s onim koji si dobio u prethodnom bro-

janju. Reci mi rezultat, a ja Êu ti reÊi koji ti je broj pao na kocki.[Miljenko zbraja: 11 9 20+ = ] Zbroj mi je dvadeset!Imao si broj Ëetiri na kocki!Ne moæemo reÊi da je ikoga iznenadilo da je Dagobert to pogodio, sad ga

veÊ svi predobro znaju, ali ipak...A kako ste to znali? I mi bismo rado pred drugima izveli ovaj trik!Stvar je u tome da Dagobert dobro zna takozvanu modularnu aritmetiku.

To je aritmetika modulo nekog broja tj. aritmetika ostataka pri dijeljenju s timbrojem. Osnovni primjer modularne aritmetike je raËunanje sa satom: ako na5 sati dodamo njih 9, neÊemo dobiti 14 (ne postoji mjesto na satu na kojemupiπe 14), nego 2. To znaËi da je 2 5 9= + (modulo 12). SliËno je s oduzi-manjem: ako od 6 sati oduzmemo njih 11, neÊemo dobiti -5 sati, nego 7, tj.imamo 7 6 11= - (modulo 12). Brojanje od nekog sata (u naπem triku to jebio 4) u smjeru kazaljke na satu (to je prvo Miljenkovo brojanje) je pribra-janje broja (u triku: broja 17), ali modulo 12. Brojanje unatrag je oduzimanjemodulo 12. Miljenko je, dakle, odbrojavanjem izraËunao da je 4 17 9+ =

(modulo 12) i da je 4 17 11- = (modulo 12). Umjesto (modulo 12) obiËnose kratko piπe (mod 12).

E sad, trebaju nam dvije stvari:• svaki broj u modularnoj aritmetici moæemo zamijeniti njegovim ostatkom

pri dijeljenju s brojem s obzirom na koji raËunamo (dakle, u aritmetici (mod12) svaki broj moæemo zamijeniti njegovim ostatkom pri dijeljenju brojem12). Npr. broj 16 je (mod 12) jednak 4 jer je :16 12 1= i ostatak 4. To samoznaËi da ako je broj veÊi od 12, zamislimo da smo ga odbrojali u smjerukazaljke na satu, poËevπi od 1, i zapisujemo broj na kojem smo stali (ako bro-jimo 16 koraka od 1, stat Êemo na znaku za 4 sata). Piπemo: 16 = 4 (mod 12).Moæemo reÊi: u aritmetici (mod 12) broj n poistovjeÊujemo s onoliko satikoliko Êemo imati n sati nakon ponoÊi. Negativne brojeve odbrojavamo od 1u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a 0 poistovjeÊujemo s 12 jer jeostatak pri dijeljenju 12 s 12 jednak 0.

• kod zbrajanja i oduzimanja modulo nekog broja, ovdje (mod 12), vrije-di: ( ) ( )m n m n m2+ + - = (mod 12)(dakle, kao i u obiËnoj aritmetici, samo se broj na kraju svede na svoj ostatakpri dijeljenju s 12). Vidimo da je Miljenko imao m 4= i n 17= te je na krajuizraËunao ( ) ( )m n m n+ + - =21 + (-13), πto je (mod 12) isto πto i 9 11+

jer je 21 9= (mod 12) i -13 = 11 (mod 12). Miljenko je kao rezultat naveo9 11 20+ = . Taj broj je (mod 12) isto πto i dvostruki m tj. dvostruki broj s

93atka 15 (2006./2007.) br. 58

kocke, pa je sve πto je Dagobert trebao napraviti je naÊi ostatak pri dijeljenjuod 20 s 12, te ga podijeliti brojem 2.

Za one kojima je ovo prekomplicirano, kratka uputa za izvoenje trika: odbroja koji je Miljenko rekao treba oduzeti 12 onoliko puta koliko je potrebnoda dobijemo broj manji od 12, a onda ga podijeliti brojem 2 - to je broj skocke! (U triku koji je Dagobert izveo s Miljenkom to znaËi:

<20 12 8 12- = , :8 2 4= , dakle na kocki je bio 4.)Za one koji æele znati viπe: u modularnoj aritmetici se umjesto = koristi

znak / tj. piπe s 21 / 9 (mod 12). Takoer, u modularnoj aritmetici zbra-janje potpuno funkcionira kao i obiËno zbrajanje (nije bitan redoslijed zbra-janja, pribrajanje nule ne mijenja rezultat, svaki broj ima svoj suprotni), ipritom nije bitno raËunamo li kroz sve korake s ostatcima ili tek konaËnomrezultatu pogledamo ostatak modulo broja s obzirom na koji raËunamo.

Dragi MatkaËi, HrvatskomatematiËko druπtvo objavilo jenovu knjigu Matkine biblioteke.Njezin je naslov MatematiËkonatjecanje ‘’Klokan bez granica’’1999. - 2004. Knjigu su prirediliNeda LukaË, Petar MladiniÊ, RenataSvedrec, Sanja Varoπanec i ZlatkoVaroπanec.

Iz Predgovora:... Postoji pet natjecateljskih kate-

gorija. Skupinu E (ecoliers) ËineuËenici IV. i V. razreda osnovnihπkola, skupinu B (benjamins) ËineuËenici VI. i VII. razreda osnovnihπkola, skupinu C (cadets) ËineuËenici VIII. razreda osnovnih πkola iI. razreda srednjih πkola, skupinu J(juniors) Ëine uËenici II. i III. razredasrednjih πkola, a skupinu S (stu-dents) Ëine uËenici IV. razreda sred-njih πkola i prve godine studija.Natjecanje je pojedinaËno, provodise isti dan s istim zadatcima, a nekoriste se ni raËunala niti bilo kakvetablice s formulama. ...

... Ova je knjiga zbirka objavljenih

zadataka na natjecanju Klokan bezgranica od 1999. godine, kad seHrvatska prvi put pridruæila natje-canju, do zakljuËno 2004. godine.Namijenjena je uËenicima osnovnih isrednjih πkola, nastavnicimamatematike i svima onima koji volerjeπavati matematiËke zadatke.

Knjiga je formata atke, ima231 stranicu, a podi-jeljena je u πest poglavlja (godiπtanatjecanja).

Cijena knjige za pretplatnike atke, Ëlanove HMD-a i ËlanovePodmlatka HMD-a iznosi 50 kn,

a za ostale 80 kn. Knjigu moæetenaruËiti na adresu

Hrvatsko matematiËko druπtvoBijeniËka cesta 30p.p. 33510002 Zagrebuplatom na æiro-raËun 2360000 - 1101530802. Kako

biste izbjegli nesporazume okodostave kupljene knjige, molimoVas da nam dostavite Ëitljive osob-ne podatke i presliku uplatnice.

MATEMATI»KO NATJECANJE KLOKAN BEZ GRANICA 1999. - 2004.

94 atka 15 (2006./2007.) br. 58

INTERVJU

INTERVJU

Ángel Homero Flores Samaniego, porijeklom Meksikanac, inaπ je izbor za drugi od tri intervjua napravljena za vrijeme 8. sus-reta nastavnika matematike. Predavao je matematiku, fiziku i πpan-jolski, a zadnjih osam godina pouËava i profesore u radu s CASdæepnim raËunalima i s programom The Geometer's Sketchpad.Trenutno radi na svom doktorskom radu. Viπe o svom æivotu reÊiÊe nam on sam.

H. Flores: Rodio sam se u Meksiku 1958. godine, u mjestu kojese zove Nogales, blizu granice sa SAD-om. Kao dijete roditelji sume odveli u grad u srediπnjem Meksiku gdje sam iπao u πkolu.Oduvijek me zanimalo kako se i zaπto neke stvari dogaaju, pa samotiπao u glavni grad, Ciudad de Mexico, studirati fiziku. Tamo sam

diplomirao i magistrirao. Kad sam poËeo predavati matematiku, odluËio samistraæiti i to podruËje, pa imam magisterij iz matematike, a sada dovrπavam idoktorsku radnju iz metodike matematike. U Meksiku ne treba diplomiratineki predmet da bi ga se predavalo. Tako ja predajem matematiku jer samsluπao matematiku kad sam studirao fiziku. Da ponovo biram, ne bih studi-rao fiziku nego matematiku.

❑ atka: Jeste li imali nekog profesora koji je utjecao na Vas i Vaπodabir zanimanja.

H. Flores: Ne, ne bih mogao navesti nikoga tko je utjecao na mene u tomsmjeru. Profesori su bili strogi i nisam imao povjerenja u njih. Bojao sam sesatova matematike i moguÊnosti da Êe me prozvati pred ploËu. Mogu izdvojitijedino profesora knjiæevnosti. Moæda sam zbog njega i htio biti pisac, Ëak uneku ruku i jesam pisac. Izaπli su mi radovi o muzici u nekim Ëasopisima, aneko sam vrijeme predavao i πpanjolsku knjiæevnost. Evo kako je to bilo. Jedanje razred ostao bez profesora knjiæevnosti koji je napustio πkolu i nije im imaotko predavati. Kako sam ja objavio nekoliko priËa, rekli su mi da im mogu pre-davati, pa sam se prihvatio tog izazova. Bilo je to Ëudno iskustvo i za mene iza uËenike, pogotovo jer su me znali sa satova matematike. Tako sam predavaoknjiæevnost tri godine. InaËe, prvi posao koji sam dobio bio je prevoditeljski, i

Ángel Homero Flores SamaniegoLucija GusiÊ, Zagreb

95atka 15 (2006./2007.) br. 58

to neÊete vjerovati, s njemaËkog na πpanjolski. Prijavio sam se u neku tvrtkukoja je trebala prevoditelja za prevoenje s engleskog na πpanjolski, ali seispostavilo da njima treba prevoditi s njemaËkog. Donijeli su mi neke novineda prevedem neπto, ali novine nisu bile njemaËke nego nizozemske, pa sampretpostavio da ne znaju njemaËki. Traæio sam Der Spiegel i tada izmislio dvijereËenice i dobio posao. NauËio sam njemaËki jer sam htio posao obavljatidobro, tako da sam uz njega gubio sate i sate, a plaÊa nije bila dobra.

❑ atka: Kako to da ste se odluËili predavati, uËiti druge, Ëak i vansvoje zemlje?

H. Flores: Htio sam neπto dati. Na svojim prvim poslovima imao samosjeÊaj da mi ti ljudi daju neπto, da mi ljudi stalno neπto daju. JedannaËin da sve to vratim je predavanje. Predajem sa srcem. Nije bitan pred-met, bitno je da predajem. UËenici ponekad ne æele otiÊi kad zavrπi satjer im je na satu zabavno. Na kraju sata, ako dou blizu rjeπenja zadat-ka, mole za joπ nekoliko minuta da ga zavrπe, da vide πto Êe dobiti, ali drugiprofesori nestrpljivo Ëekaju pred vratima, ljutih lica. Zadatci i aktivnosti kojeradim sa svojim uËenicima, iako svi nisu spektakularni, mnogima su se svid-jeli, pa su me poËeli zvati da odræim predavanja. U poËetku je to bilo samo uMeksiku, a kasnije i diljem svijeta.

❑ atka: Gdje ste sve bili?H. Flores: PoËeo sam putovati 1984. godine. Prvo sam posjetio Srednju

Ameriku: Costa Ricu, Panamu, Kubu, pa Venezuelu, Kolumbiju, Argentinu iSAD. Bio sam i u Kini, na jednoj konferenciji. A πto se Europe tiËe upoznaosam Italiju, Sloveniju, a sada i Hrvatsku.

❑ atka: I kakav Vam je Zagreb?H. Flores: Jako mi se svia ovdje. Uvijek sam govorio da su gradovi kao

Zagreb ili Ljubljana gradovi u kojima bih mogao i volio æivjeti. Ljudi susrdaËni, samo su vam imena komplicirana.

❑ atka: Kakve su πkole u Meksiku, kakvo je obrazovanje?H. Flores: Naπ edukacijski sustav je kao ameriËki, uz manje razlike.

Imamo osnovnu πkolu za djecu od 5. ili 6. do 11. godine. Nakon toga slijedikratki period od tri godine, to je srednja πkola. Nakon 16. godine pripremamouËenike za studiranje i to zovemo bachillerato1. Ja predajem u takvoj πkoli.

1 Bachillerato je πpanjolski naziv za ono πto se u Francuskoj i Engleskoj naziva baccalau-reat(e). To je naziv za srednju πkolu poslije koje se ide na fakultet, ali je ujedno i naziv zazavrπni ispit - maturu u takvoj πkoli.

96 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Moja πkola, Colegio de Ciencias y Humanidades, dræavna je πkola za siro-maπnu djecu glavnog grada. U njoj je 8 kampusa i u svakom viπe od 2000djece. Osnovna i srednja πkola su obavezne za sve, dok je obrazovanje prijesamog studiranja, kao i studiranje izborno. Fakulteti su dræavni i plaÊaju sesvakih πest mjeseci, ali je taj novac doista simboliËan, nekoliko dolara posemestru.

❑ atka: Vole li djeca u Meksiku matematiku? Imate li programe zadarovitu djecu?

H. Flores: Na æalost, ne. U nekakvoj smo krizi, djeca ne æele studirati,æele raditi posao koji Êe im brzo donijeti novac. Znanost nije popularna, odteæih studija moæda postoji zanimanje joπ samo za medicinu. Rekao bih dakao narod gubimo etiËke vrijednosti. Zato u svojim predavanjima pokuπavampromovirati te vrijednosti. Proπlog semestra na drugoj godini baccalaure-atea, kada uËenici moraju izabrati predmete u kojima Êe se usavrπavati, imaosam briljantne studente kojima je iπla matematika. Doπli su me pitati πto bihim preporuËio. Kad sam im rekao da bi mogli biti dobri matematiËari, pitalisu me πto moraju uzeti da budu dobri profesori, jer bi æeljeli raditi πto i ja.Rekli su da sam najbolji profesor kojega su ikad imali. Takvi komentari nisurijetki jer se povezujem sa svojim uËenicima i oni mi vjeruju. A posebnih pro-grama za darovite nemamo.

❑ atka: Imate dvoje djece. ©to oni æele biti u æivotu?H. Flores: Da, imam kÊer i sina. Ona Êe uskoro imati 15 godina, a on ima

12. Vole matematiku, ali tko zna πto Êe raditi. Sin ne priËa πto bi htio biti, dokbi kÊi æeljela biti glumica. Izbor je na njima.

❑ atka: PoruËite neπto naπim MatkaËima.H. Flores: Moja poruka nije samo za one koji vole matematiku, nego za

sve. Mislim da je sve moguÊe uz malo upornosti i da je ipak ljubav najbitni-ja. Potrebna je ljubav kako bi se æelje ostvarile.

Tijekom intervjua prof. Flores je rekao neπto πto nas se dojmilo pa bismos tim i zavrπili ovaj prikaz:

Kad me pitaju πto sam u æivotu kaæem da sam profesor. Ljudi misle da jeto profesija. A ja se osjeÊam kao profesor. Ja jesam profesor. Ako vas zanimaπto sam studirao - to je bila fizika, ali ako vas zanima πto jesam, onda jeodgovor ja sam profesor.

97atka 15 (2006./2007.) br. 58

Liu Hui roen je 220. godine u Kini. Vrlo se malo zna o njegovom æivotu, osimda je napisao dvije knjige: komentar djela Jinzhang Suaushu, poznatiju podimenom Devet poglavlja matematiËke umjetnosti i Haidao Suanjing ili Morski otok- matematiËke upute.

Iako je matematika u Kini u to vrijeme bila vrlo vaæna, zanimanju matematiËarapridavao se mali znaËaj. Zbog toga su i autori matematiËkih radova iz tog vremenaËesto ostajali anonimni. Vrlo je vjerojatno da je tadaπnji stav o zanimanjumatematiËara razlog vrlo oskudnim informacijama o Liu Huiju. Jedino je poznato daje komentar djela Devet poglavlja matematiËke umjetnosti, knjige o praktiËnim pri-mjenama matematike pri rjeπavanju inæenjerskih i geodetskih zadataka te problemavezanih uz trgovinu i porez, Liu Hui napisao oko 263. godine.

U svojim komentarima Liu Hui je matematiËki objasnio zbog Ëega se opisanizadatci mogu rijeπiti na naËin predloæen u orginalnom djelu. Iako Huijevaobjaπnjenja nisu strogi dokazi, on je objasnio naËela na kojima se ta izraËunavanjatemelje. Nadalje, Liu Hui je istraæio koliko su precizne aproksimacije rjeπenjapredloæenih u originalnom radu. Postoje i dokazi da je Liu Hui poËeo istraæivati ishvaÊati ideje iz viπe matematike povezano s integracijom i derivacijama.

Liu Hui dao je aproksimaciju broja r kao 3.14159. Takoer, pokazao je ida mnoæenje polumjera s polovinom opsega kruga daje povrπinu kruga. Upetom poglavlju svojeg komentara, o inæenjerstvu, Liu Hui je takoerpokazao kako se izraËunavaju obujmi raznih geometrijskih tijela kao πto suprizme, piramide, valjci i stoπci. Obujam sfere, zanimljivo, nije izraËunao veÊje napomenuo da to ostavlja matematiËarima buduÊnosti. U osmom poglavljusvojeg komentara, Liu Hui je razmatrao linearne jednadæbe te pokazao kako seraËuna s pozitivnim i negativnim brojevima.

U svojem drugom djelu, koje se sastoji od devet zadataka, Liu Hui je pokazaokako se izraËunavaju visine objekata u daljini i pomoÊu Gou-gu pouËka(PitagorinogpouËka). U prvom zadataku Morski otok - matematiËke upute rijeË je o visini i uda-ljenosti morskog otoka. Od tada i naziv same knjige.

Iako nema informacija o Liu Huijevom æivotu, ipak se neπto o njemu moæenauËiti iz njegovih radova. Lui Hui bio je vrstan matematiËar s potpunim razumije-vanjem sloæenih ideja. Bio je orginalan, vrlo obrazovan. Poznavao je matematiku,ali i literarne i povijesne klasike Kine. Pisao je razumljivo i sa stilom pozivajuÊi sena velik broj izvora. Iz njegovih radova moæe se i zakljuËiti da je bio skromanËovjek kojemu su bili vaæni ljudi i kako oni æive, kao i ekonomske prilike u zemlji.Liu Hui je umro 280. godine, s napunjenih 60 godina.

POVIJEST

POVIJESTLiu Hui

Tanja Soucie, Zagreb

98 atka 15 (2006./2007.) br. 58

PUT OKO SVIJETA KAPETANA IVANA VISINA

Æeljko Brguljan, Zagreb

Povodom 200. godiπnjice roenja kapetana Ivana Visina (1806.-1868.)prisjetimo se njegovog velikog pomorskog podviga. Kapetan Visin roen je uPrËanju1 u Boki Kotorskoj, starom pomorskom gnijezdu slavnih pomoraca, 3.studenog 1806. godine. Osnovnu i pomorsku πkolu zavrπio je u rodnomPrËanju, a kapetanski je ispit poloæio u Trstu. Nakon viπe godina plovidbe iπtednje ostvario je svoju nakanu da, slijedeÊi tradiciju svojih predaka, postanebrodovlasnik. NaruËio je 1850. godine jedrenjak u rijeËkom brodogradiliπtu,kod poznatog brodograditelja Andrije Zanona. Brod je bio tipa brik (brod sdva jarbola opremljen kriænim jedrima), dug 30 m, nosivosti 311 tona,opremljen s dva topa, a ime je dobio kada je kapetan Visin, vidjevπi ga,oduπevljeno uskliknuo: Splendido!

Kapetan Visin i poruËnik Fridrih Bellavita (1832.-1884.), takoer izPrËanja, s joπ 9 Ëlanova posade otisnuli su se brikom Splendido 11. veljaËe1852. godine iz Antwerpena na put oko svijeta. Nakon sedam i pol godinadramatiËnih borbi s olujnim morem, gusarima i zaraznim bolestima, i nakonπto se kompletna posada, osim Visina i Bellavite, nekoliko puta izmijenila,stigli su u Trst 30. kolovoza 1859. godine. Preπavπi 101 297 nautiËkih milja,od toga 30 160 u podruËjima ciklona, prvi su austro-ugarski dræavljani kojisu uspostavili trgovaËke veze s mnogim dalekim zemljama. Za njihovezasluge car Franjo Josip odlikovao je kapetana Visina bijelom poËasnom zas-tavom i viteπkim kriæem reda Franje Josipa, a kapetan Bellavitu zlatnimkriæem za zasluge. Kapetan Ivan Visin jedini je odlikovan bijelom poËasnomzastavom Merito Navali, izmeu 1850. kada je ustanovljena pa do propastiAustrije 1918. UruËena mu je sveËano 31. srpnja 1860. godine na ratnombrodu Belona koji je za tu prigodu doplovio u Trst.

Zadatak 1.Koliko je dana kapetan Visin sa svojim jedrenjakom proveo na putu (ne

ukljuËujuÊi boravke u lukama)?Broj je dana putovanja jednak razlici godine kada su krenuli na put i zbro-

ja tonaæe broda, broja topova kojima je brod bio opremljen i devetostrukogbroja Ëlanova ukupne posade broda.

Zadatak 2.Koliko je brik Splendido na svom putu oko svijeta preπao kilometara ako

nautiËka milja ima metara jednako godini u kojoj su krenuli na put?

Rj: 1852-(311 + 2 + 9 #11) = 1440 dana putovanjaRj: 101 297 $1.852 = 187 602.04 km1N PrËanj, L PrËanju (izvorno)

99atka 15 (2006./2007.) br. 58

ZADATCI S VREMENSKO-PROSTORNIH MERIDIJANA

Æeljko Buranji, Zagreb

UËenici jednog razreda napisali su kontrolni iz matematike. TreÊina njihnetoËno je rijeπila po 1 zadatak, Ëetvrtina razreda po 2 zadatka, πestina po 3zadatka, dok je osmina netoËno rijeπila sva 4 zadatka.

Koliko je uËenika toËno rijeπilo sve zadatke ako u razredu nije viπe od 30ljudi?

HERON (1. st. pr. Kr.)Ispod zemlje su bila Ëetiri izvora. Prvi izvor napuni bazen za 1 dan, drugi

za 2 dana, treÊi za 3 dana i Ëetvrti za 4 dana.Za koliko vremena se napuni bazen sa sva Ëetiri izvora zajedno?

BUGARSKAOtac po imenu Nikolaj sa sinom i otac po imenu Petr sa sinom pecali su

ribu. Broj riba koje je ulovio Nikolaj zavrπava znamenkom 2, a broj riba kojeje ulovio njegov sin znamenkom 3. Broj riba koje je ulovio Petr takoerzavrπava znamenkom 3, a broj riba koje je ulovio njegov sin znamenkom 4.Broj riba koje su zajedno ulovili naπi ribolovci jednak je kvadratu nekogprirodnog broja.

Kako se zove Nikolajev sin?

RUSIJANa rubu ceste nalazi se kilometarski stup. Cesta vodi iz mjesta A u mjesto

B. Na svakom stupu upisana je udaljenost - kako od mjesta A, tako i odmjesta B. Udaljenost od A do B iznosi 999 km.

Na koliko kilometarskih stupova su u oba natpisa napisane samo dvijerazliËite znamenke?

NJEMA»KA2 pehara i 1 zdjelica jednako teæe kao 2 vrËa. 5 zdjelica jednako teæi kao

2 boce i 1 vrË. 2 boce i 3 vrËa jednako teæe kao 5 pehara.Koliko pehara, zdjelica i boca teæe jednako kao 3 vrËa?

Nagradit Êemo svakog MatkaËa koji nam poπalje rjeπenja najmanje triju od postavl-jenih zadataka!

100 atka 15 (2006./2007.) br. 58

NATJECANJANATJECANJA

ME–UNARODNO MATEMATI»KO NATJECANJE "KLOKAN BEZ GRANICA" 2006.

Pod pokroviteljstvom Hrvatskog matematiËkog druπtva 16. oæujka 2006.godine odræano je po osmi put Meunarodno matematiËko natjecanje "Klokanbez granica". U isto vrijeme s pribliæno istim zadatcima natjecali su se uËeniciu Austriji, Bjelorusiji, Brazilu, Bugarskoj, Kataloniji, Cipru, »eπkoj, Estoniji,Finskoj, Francuskoj, Gruziji, NjemaËkoj, Maarskoj, Italiji, Kazahstanu,Latviji, Litvi, Makedoniji, Meksiku, Moldaviji, Nizozemskoj, Norveπkoj,Pakistanu, Poljskoj, Portoriku, Rumunjskoj, Rusiji, Srbiji i Crnoj Gori, Slo-vaËkoj, Sloveniji, ©panjolskoj, ©vedskoj, ©vicarskoj, Ujedinjenom KraljevstvuVelike Britanije i Sjeverne Irske, Ukrajni, Sjedinjenim AmeriËkim Dræavama,Venezueli i Hrvatskoj. U tih 38 zemalja svijeta natjecalo se viπe od 3 600 000sudionika, πto ovo natjecanje Ëini najveÊim πkolskim natjecanjem svijeta.

U Hrvatskoj su se natjecali uËenici u 253 osnovnih i 50 srednjih πkola izsvih æupanija i to u πest kategorija: LEPTIRI∆I - II. i III. razred osnovneπkole - (557 uËenika), ECOLIERS - IV. i V. razred osnovne πkole - (6750uËenika), BENJAMINS - VI. i VII. razred osnovne πkole - (5387 uËenika),CADETS - VIII. razred osnovne i I. razred srednje πkole - (3946 uËenika),JUNIORS - II. i III. razred srednje πkole - (2578 uËenika), STUDENTS -IV. razred srednjih πkola - (924uËenika). Ukupno se natjecalo 20 142uËenika.SljedeÊe natjecanje bit Êe odræano 15. oæujka 2007. godine. Slijede zadatci sovogodiπnjeg natjecanja.

LeptiriÊi (II. i III. razred osnovne πkole)

Pitanja za 3 boda

1. Ivana ima dvije lutke, tri jabuke, jednu Ëokoladu, dvije banane, πestkruπaka i jedan bicikl. Koliko komada voÊa ima Ivana?

A) 3 B) 5 C) 10 D) 11 E) 15

2. Mala roendanska svjeÊica izgori za 15 minuta. Na klokanovoj roendanskojtorti ima 8 svjeÊica i sve su upaljene istodobno. Za koliko Êe minuta izgorjeti?A) 8 min B) 15 min C) 120 minD) 1 sat i 20 min E) 15 sati

101atka 15 (2006./2007.) br. 58

3. IzraËunaj: 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ - + - + - + - =

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. Ova Ëetiri crteæa prikazuju brojeve od 1 do 4 viene u ogledalu.

Koja Êe od slika biti sljedeÊa u nizu?

A) B) C) D) E)

Pitanja za 4 boda

5. Darko ima 8 πtapova. Jednog od njih slomio je po polovici. Koliko sadaima πtapova?A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

6. Otac, majka i sin Koko stoje jedan iza drugoga u redu za kupnju kinoulaznica. Na koliko naËina oni mogu stajati u redu?

A) 9 B) 8 C) 6 D) 4 E) 3

7. U daljini vidimo obrise starog dvorca. Koji od dijelova ne pripada tomobrisu?

A) B) C) D) E)

8. Pinokio ima 4 cm dugi nos. Svaki put kad slaæe, nos mu se udvostruËi.Koliko je dug Pinokijev nos ako je slagao 2 puta?

A) 6 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 16 cm E) 24 cm

102 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Pitanja za 5 bodova

9. Koje se od prikazanih tijela razlikuje od ostala Ëetiri?A) B) C) D) E)

10. U Markovom razredu ima dvadeset uËenika. DjevojËica je Ëetiri puta viπeod djeËaka. Koliko je djeËaka u Markovom razredu?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

11. Matej, ©imica, Luka i Petra imaju samo jednog kuÊnog ljubimca: maËku,psa, ribu ili kanarinca. ©imica ima dlakavog ljubimca, Luka ima pticu, aMatej i ©imica ne vole maËke. Koja od sljedeÊih tvrdnji nije istinita:

A) Petra ima psa B) Luka ima kanarinca C) ©imica ima psa D) Petra ima maËku E) Matej ima ribu

12. Koliko je πljiva na treÊoj vagi ako je i ona u ravnoteæi?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Ecoliers (IV. i V. razred osnovne πkole)

Pitanja za 3 boda

1. Barbara crta tri razliËite figure u istom redoslijedu. Koja Êe figura bitisljedeÊa?

A) B) C) D) E)

103atka 15 (2006./2007.) br. 58

2. Kolika je vrijednost izraza 2 0 0 6 2006˚+$ $ $ ?

A) 0 B) 2006 C) 2014 D) 2018 E) 4012

3. Mario je od kvadra na slici sloæio novu "konstrukciju".Koliko je kocaka uklonio iz kvadra?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. JuËer je Katarina imala roendan. Sutra je Ëetvrtak. Kojeg je dana u tjed-nu bio Katarinin roendan?

A) utorak B) srijeda C) Ëetvrtak D) subota E) nedjelja

5. Ivo je igrao pikado. Na poËetku je imao 10 strjelica. Za svaki pogodak ucentar dobio je joπ dvije dodatne strjelice. UËinio je ukupno 20 bacanja ipotroπio sve strjelice. Koliko je puta pogodio centar?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 5 E) 4

6. »etvero ljudi moæe sjediti za stolom kvadratnog oblika. Za πkolsko slavljeuËenici su sloæili zajedno 7 takvih stolova u jedan dugaËki stol oblika pra-vokutnika. Koliko ljudi moæe sjediti za takvim dugaËkim stolom?

A) 14 B) 16 C) 21 D) 24 E) 28

7. Klokan ulazi u zgradu. Prolazi samo kroz sobe "trokutastog"oblika. Na kojem Êe izlazu izaÊi iz zgrade?

A) A B) B C) C D) D E) E

8. U svom novËaniku Stanko ima novËanicu od 5 kuna i po jednukovanicu od 1 i 2 kune. Koji od sljedeÊih iznosa Stanko ne moæeplatiti bez usitnjavanja novca?

A) 3 kune B) 4 kune C) 6 kuna D) 7 kuna E) 8 kuna

104 atka 15 (2006./2007.) br. 58

K R I Æ A LJ K A

K R I Æ A LJ K A

ZA PETA©E ZA PETA[E

Zdravko Kurnik, Zagreb

VODORAVNO: 1. Duljina stranice kvadrata kojemu je povrπina jednaka1296. 3. 7 7 11 11$ $ $ . 6. 400 256 12 707$- -^ h . 8. NajveÊi zajedniËkidjelitelj brojeva 336, 624 i 864. 9. :4197 47. 11. Prosti djelitelj broja1722. 13. Obujam kvadra kojemu su duljine bridova 9, 16 i 49. 15. 4 4 4 4 4 4$ $ $ $ $ . 16. Zbroj svih jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

OKOMITO: 1. Najmanji zajedniËki viπekratnik brojeva 156 i 796. 2. :222222 222 30 30 7 7 2 2 2$ $ $ $- - + . 3. 99999 12345 56789 11 111 10000- - - +^ ^h h . 4. Broj svih prirod-nih brojeva manjih od 75 i djeljivih brojem 3. 5. NajveÊi peterozna-menkasti broj sastavljen od razliËitih znamenaka. 7. :17 19 41 13$ +^ h . 10. Umnoæak dvaju susjednih prirodnih brojeva. 12. Dekadska jedinica.14. NajveÊi zajedniËki djelitelj brojeva 1134 i 1188.

1

6 7 8

9 10

11 12 13 14

15 16

2 3 4 5

105atka 15 (2006./2007.) br. 58

K R I Æ A LJ K A

K R I Æ A LJ K A

VODORAVNO: 1. Nazivnik

manjeg od razlomka 6910 i

7911 .

3. . :1554 14

43 545 45

241+ +b l .

7. 4 5 6 7 29$ $ $ $ . 9. UmnoæaknajveÊeg jednoznamenkastog inajmanjeg dvoznamenkastogprostog broja.

10. .8883

43 2

21 0 125- - - .

11. Opseg jednakostraniËnogtrokuta kojemu je duljina stran-

ZA ©ESTA©E ZA [ESTA[E

1

7 8 9

10 11

12 13 14

15 16 17

2 3 4 5

18

6

19 20

ice rezultat umnoπka 10033

12160 220$ $ . 12. Prosti djelitelj broja 10 770.

14. Povrπina trokuta kojemu je duljina stranice 3

50 , a duljina pripadne visine 72514 .

15. Dekadska jedinica. 16.61

95

1813

36 1001$ $+ +b l . 19. Obujam kocke kojoj je

duljina brida jedan od brojeva 21, 42, 63. 20. :441 .

OKOMITO: 1. VeliËina vanjskog kuta trokuta u stupnjevima kojemu su nesus-jedni kutovi 16° i 56°. 2. Duljina osnovice jednakokraËnog trokuta kojemu je

duljina kraka 93, a opseg 280. 3. Najmanji zajedniËki nazivnik razlomka1514 i .

5554

4. :38

49

51$b l . 5. :

81

161

241

801

2 5 5 5$ $ $+ + +b l . 6. : :17171

5101

2$-b l .

8. Prosti djelitelj broja 2 334. 11. Najmanji zajedniËki nazivnik razlomaka ,21

109

i 1312 . 12. 400

2019 60

43 33

51 10- - + . 13. DIV. 14. 12 12 13 4$ $+^ h .

16. VeliËina treÊeg kuta trokuta kojemu je veliËina svakog od druga dva kuta 61°.

17. Duljina stranice trokuta kojemu je povrπina 2

289 , a duljina pripadne visine 317 .

18. Opseg kvadrata kojemu je povrπina jednaka 4

169 .

106 atka 15 (2006./2007.) br. 58

K R I Æ A LJ K A

K R I Æ A LJ K A

ZA SEDMA©E ZA SEDMA[EVODORAVNO: 1. Broj odkojega 47.2 posto iznosi2006. 4. Vrijednost izraza

x x2 2 3 3$ $ $+ +^ ^h h za

x 10= . 7. Prosti djeliteljbroja 8 055. 8. Svota koju Êenakon godinu dana moÊipodiÊi uËenik koji je uloæio2000 kuna uz kamatnu stopuod 2.4 %. 9. 7 7 13$ $ . 12. Iznos koji dobiva Brankaako ona i Jelena dijele svotu

1

7 8

9 10

11 12 13

15 16 17 18

2 3 5

14

6

19 20

4

od 3000 kuna u omjeru :34 91. 15. MMCDL. 17. Koeficijent obrnute propor-

cionalnosti u kojoj je ,45947

b l par obrnuto proporcionalnih veliËina.

19. Glavnica koja uz kamatnu stopu 2.5 % za godinu dana donosi kamate od 22.7 kuna. 20. Umnoæak ( ) ( ) ( ) ( )f f f f4 8 12 36$ $ $ ako je f funkcija zadana jed-

nakoπÊu f x x72=^ h .

OKOMITO: 1. Rjeπenje jednadæbe : :x20 22 1 22+ =^ h . 2. Ordinata toËkekoja je simetriËna toËki T(10, -27) s obzirom na ishodiπte. 3. Nepoznati broj x ujednakosti ( , ) ( , )x 4 4 600 4+ = . 4. Vrijednost argumenta x ako je vrijednost

funkcije ( )f x x6011

= jednaka 233 . 5. Zbroj

( ) ( ) ( ) ( )f f f f5 2 25 3 50 4 75 55+ + + - ako je f funkcija zadana jednakoπÊu

( )f x x54

= . 6. Apscisa toËke koja je osnosimetriËna toËki T(-68, 67) s obzirom

na os y. 8. Prosti djelitelj broja 4 336. 10. Vrijednost funkcije ( )f x x3

40= za

x 2821= . 11. Vrijednost funkcije ( )f x x

8= za x352= . 13. Vrijednost izraza

x x10 10$- +^ ^h h za x 27= . 14. Obujam kvadra kojemu su duljine bridova 2,13 i 29. 15. Nepoznati Ëlan razmjera : :x145 5 1= . 16. Postotak koji od 7 750

iznosi 4 495. 18. Koeficijent proporcionalnosti u kojoj je ,25

175

b l par propor-

cionalnih veliËina.

107atka 15 (2006./2007.) br. 58

K R I Æ A LJ K A

K R I Æ A LJ K A

ZA OSMA©E ZA OSMA[E

VODORAVNO: 1. Zbroj ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f f f1 3 5 7 9+ + + + ako je f funkcija zadana jed-

nakoπÊu ( )f x x2= . 4. 3 3 3 11 1112 3 4$ $ - . 8. 2 2 5 2 52 5 2 2$ $ + +^ h . 10. Opseg romba koje-

mu su duljine dijagonala 24 i 70. 11. Povrπina pravokutnika kojemu je duljina jedne stran-

ice 80, a duljina dijagonale 8 181. 13. 79 972 2$ . 16. 20 10 20 10$- +` `j j. 17.

9 10 11 39 9 10 113 3 3 $+ + + + +^ h. 20. Vrijednost izraza a b a b5 5 2006$+ - +` `j j

za ,a b10 11= = . 21. Prve tri decimale iracionalnog broja 2006.

OKOMITO: 1. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta kojemu duljine kateta a i b zadovo-ljavaju sustav jednadæbi ,a b a b4 2 8 130- = - - = . 2. Zbroj

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f f f f4 16 36 64 100 144 20+ + + + + + ako je f funkcija zadana jednakoπÊu

( )f x x= . 3. Prve dvije decimale iracionalnog broja 213 . 5. :17 27

173$ .

6. 7 5 3 442 2 2$ - -` j . 7. Duljina stranice jednakostraniËnog trokuta kojemu je duljina

visine 14 3. 9. Vrijednost izraza x x x 10003 2+ + + za x 4= - .

12. :7 6 5 4 22 22 25 4 3 2- + - + +` j . 13. 66 96 99$ $ . 14. Vrijednost izraza

x xy y151 22 2$ - +` j za x 1001= , y 999= . 15. :5

222511 2

2 23+b bl l . 16. Duljina druge

katete pravokutnog trokuta kojemu je duljina jedne katete 255, a duljina hipotenuze 257.

18. 45 362 2- . 19. 1444.

1

8 9 10

11 12

13 14

16 17 18 19

2 3 4 6

15

7

20 21

5

ENIG ATKA

©ALJIVE TISKARSKE POGRE©KEPrije odlaska u πkolu Ana je skratila KOZU.

*Naπ uËitelj matematike voli citirati poslovicu: GROÆ–E se kuje dok je

vruÊe.*

Sitna KA©ICA poËela je sipiti odmah iza prvog sata.*

Nasuprot πkole uzdiæe se prekrasna MRKVA.*

Kad je otvorila vrata uËionice, uËiteljicu jedoËekala velika SALAMA.*

Seljakova ÆARULJA otelila je ove godine dva teleta.

Zdravko Kurnik, Zagreb

REBUS S DVA RJE©ENJA

REBUS

ISPUNJALJKAIzmijeπajte malo slova u rijeËima

RAZNO, DANAS, JEDAN,KOÆAR, NAKIT, VOJAK, ALKARtako da dobijete sedam muπkih i

æenskih imena. Upiπete li taimena vodoravno u lik ispunjaljke,

na posebno oznaËenim poljimadobit Êete ono πto najviπe volite u

matematici.

AR AR AR AR AR AR

ρ DO CCC

ENIGATKA ENIGAA K T

KVADRATIOd 24 πtapiÊa jednake duljine sloæenje kvadrat 3x3. Na njemu Êete lako

uoËiti joπ 4 kvadrata 2x2 i 9 kvadrata1x1. Na crteæu je, dakle, ukupno 14

kvadrata. Koliko najmanje πtapiÊa tre-bate ukloniti, pa da ne ostane ni jedan

kvadrat?

pomicaljkaRijeËi pomaknite ulijevo ili udesno, tako da vam tri okomita stupca

otkriju tri matematiËka pojma (dva broja i jedan skup toËaka).

USPJEH

SFERE

DUDOVI

VAGANJE

SUMAND

JANUAR

DOPUNJALJKA

Upisane „brojeve” u liku treba dopunitislovima tako da se dobije πest poznatihrijeËi. Pazite! Za neka dopunjavanja ima

viπe moguÊnosti, a cilj zadatka je daupisana slova Ëitana redom daju naziv

dijela matematike koji se uËi u osnovnoj πkoli.

© E S TP E T

T R IJ E D A N

S T OO S A M

110 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Pitanja za 4 boda

9. Na lijevoj strani Duge ulice nalaze se kuÊni brojevi 1, 3, 5, ..., 19. Nadesnoj strani iste ulice nalaze se kuÊni brojevi 2, 4, 6, ...., 14. Koliko kuÊa imau Dugoj ulici?

A) 8 B) 16 C) 17 D) 18 E) 33

10. Æica na desnoj slici preoblikovana je u pravokutnik. Koji je od sljedeÊihpravokutnika moguÊe rjeπenje?

11. Brojevi na slici su cijene prijevoznih karata izmeu susjednih gradova.Petar æeli stiÊi iz mjesta A u mjesto B za πto je moguÊe manji iznos. Koji jenajniæi ukupni iznos koji mora platiti?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 180

12. ©est kuglica razliËitih masa (1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g i 6 g) smjeπteno je utri kutije, po dvije kuglice u svaku. Ukupna masa kuglica smjeπtenih u prvukutiju iznosi 9 grama, a onih u drugoj kutiji 8 grama. Kolike su pojedinaËnemase kuglica u treÊoj kutiji?

A) 3 g i 1 g B) 5 g i 2 g C) 6 g i 1 g D) 4 g i 2 g E) 4 g i 3 g

13. Na slici je "brojËani cvijet". Marija je iπËupala latice s brojevima koji pridijeljenju sa 6 daju ostatak 2. Koliki je zbroj brojeva na laticama koje jeMarija iπËupala?

A) 46 B) 66 C) 84 D) 86 E) 114

A) B)C)

D) E)

A

20

60

80

30

10

70

B

1020

60

81858

4838

28

111atka 15 (2006./2007.) br. 58

14. ©est je brojeva napisano na kartama, kao πto je prikazano na slici. Kojije najmanji broj koji se od tih karata moæe sloæiti a da se upotrijebe sve karte?

A) 1234567890 B) 1023456789 C) 3097568241D) 2309415687 E) 2309415678

15. Izmeu dviju toËaka nacrtane su 4 "staze". Koja je "staza" najkraÊa?

A) B) C) D) E) sve su iste duljine

16. »etiri vrane, Danka, Branka, Lenka i Zdenka, stoje na ogradi. Danka stojitoËno u sredini, izmeu Branke i Lenke. Udaljenost izmeu Branke i Dankejednaka je udaljenosti izmeu Lenke i Zdenke. Danka je udaljena 4 metra odZdenke. Koliko je udaljena Branka od Zdenke?

A) 5 m B) 6 m C) 7 m D) 8 m E) 9 m

Pitanja za 5 bodova

17. Smijeπ pomicati i zakretati svaku od donjih figura kako æeliπ, ali ne smijeπmijenjati njezin oblik. Koja od figura nije upotrijebljena u ovoj "slagalici"?.

A) B) C) D) E)

18. Konstrukcija na slici sloæena je i slijepljena od 10 kocaka. Roman je obo-jao cijelu konstrukciju sa svih strana, ukljuËujuÊi i dno. Koliko je strana koca-ka obojeno?

A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 42

112 atka 15 (2006./2007.) br. 58

19. U izrazu 2002 ❑ 2003 ❑ 2004 ❑ 2005 ❑ 2006 ❑ , svaki kvadratiÊ moæeπ za-mijeniti znakovima operacija + ili -. Koji rezultat nije moguÊe dobiti?

A) 1998 B) 2001 C) 2002 D) 2004 E) 2006

20. Ivan je gradio kuÊe od karata. Na slici su kuÊe koje je Ivan izgradio, jed-nokatnica, dvokatnica i trokatnica.

Koliko mu karata treba da bi izgradio Ëetverokatnicu?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

21. Irena, Ana, Karolina, Olga i Helena stanuju u istoj kuÊi: dvije od njih sta-nuju na prvom katu, a preostale na drugom. Olga ne stanuje na katu s Karo-linom i Helenom. Ana ne stanuje na katu s Irenom i Karolinom. Koje od dje-vojaka stanuju na prvom katu?

A) Karolina i Helena B) Irena i Helena C) Irena i OlgaD) Irena i Karolina E) Ana i Olga

22. U jednom je mjesecu bilo 5 ponedjeljaka. Taj isti mjesec nije mogao imatiA) 5 subota B) 5 nedjelja C) 5 utoraka D) 5 srijeda E) 5 Ëetvrtaka

23. U svaki od devet kvadratiÊa velikog kvadrata treba upisati jedan od bro-jeva 1, 2 ili 3 tako da u odreenom retku ili stupcu budu razliËiti brojevi.ZapoËet Êemo upisivanjem broja 1 u gornji lijevi kvadratiÊ. Koliko razliËitihkvadrata moæemo napisati? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8

jednokatnica2 karte

dvokatnica7 karata

trokatnica15 karata

113atka 15 (2006./2007.) br. 58

24. DjeËja igraËka visi sa stropa i u ravnoteæi je na svih 5 mjesta oznaËenih s. Jednaki dijelovi imaju jednake mase. Masa jednog od dijelova

je 30 grama. Kolika je masa dijela oznaËenog upitnikom?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

Benjamins (VI. i VII. razred osnovne πkole)

Pitanja za 3 boda

1. IzraËunajte nepoznati broj ?3 2006 2005 2007˚= ˚+$ +

A) 2005 B) 2006 C) 2007 D) 2008 E) 2009

2. Na slici je prikazano πest brojeva napisanih na πest kartica. Poredamo lizadane kartice u niz jednu do druge, koji Êemo najveÊi broj dobiti?

A) 9 876 543 210 B) 4130975682 C) 3097568241 D) 7568413092 E) 7685413092

3. Za kvadratnim stolom moæe sjediti Ëetvero ljudi. Za πkolsku zabavuuËenici su spojili 10 stolova u jedan dugi stol. Koliko je uËenika moglo sjestiza taj stol?

A) 20 B) 22 C) 30 D) 32 E) 40

4.

Kolika je cijena jedne lopte?

A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500

= 500 kn = 1200 kn

?30

114 atka 15 (2006./2007.) br. 58

5. Izaberite sliku na kojoj je kut meu kazaljkama 150°.

A) B) C) D) E)

6. Na lijevoj strani PreradoviÊeve ulice su neparni kuÊni brojevi od 1 do 39.Na desnoj strani su parni kuÊni brojevi od 2 do 34. Koliko je kuÊa uPreradoviÊevoj ulici?

A) 8 B) 36 C) 37 D) 38 E) 73

7. Na koliko naËina moæete doÊi do broja 2006 ako slijedite strjelice na slici?A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6

8. Polovica jedne stotnine je:A) 0.005 B) 0.002 C) 0.05 D) 0.02 E) 0.5

Pitanja za 4 boda

9. Kocki na slici pripada jedna od prikazanih mreæa. Koja?

E) nijedna od njih

10. Treba nam 9 kg boje da obojimo cijelu kocku. Koliko trebamo boje daobojimo samo bijeli dio?

;

boja boja

A) 2 B) 3 C) 4.5 D) 6 E) 7

A) B)

C) D)

115atka 15 (2006./2007.) br. 58

11. U kvadrat su upisana Ëetiri jednaka kruga, polumjera 5 cm, kao na slici.Nad stranicama kvadrata nacrtani su jednakokraËni trokuti. Kolika je duljinapodebljane linije?


12. Kolika je razlika izmeu zbroja prvih 1000 parnih i zbroja prvih 1000neparnih prirodnih brojeva?

A) 1 B) 200 C) 500 D) 1000 E) 2000

13. Papir ima oblik πesterokuta jednako dugih stranica (vidi sliku). Ako gapreklopimo tako da se tri oznaËena vrha dodiruju u srediπtu πesterokuta, kojiÊemo lik dobiti?

A) πesterokraku zvijezdu B) dvanaesterokutC) osmerokut D) kvadrat E) trokut

14. Kvadrat sadræi 10 # 10 malih kvadratiÊa. Ti mali kvadratiÊi su obojenidijagonalno u crveno, bijelo, plavo, zeleno, sivo, crveno, bijelo, plavo,... Kojaje boja u kvadratiÊu koji se nalazi u desnom donjem uglu?

A) crvena B) bijela C) plava D) zelena E) siva

15. | |AB 4= cm, | |BC 1= cm. E je poloviπte od AB, F je poloviπteod AE, G je poloviπte od AD i H je poloviπte od AG. Kolika jepovrπina zatamnjenog pravokutnika?

A) 41 cm2 B) 1 cm2 C)

81 cm2 D)

21 cm2 E)

161 cm2

16. 1111111111 A) 111111111- 111111111 + 11111111 B) 1010101010

- 1111111 + 111111 C) 100000000

- 11111+ 1111 D) 999999999

- 111+ 11 E) 0

- 1-----------

?

A

c b p z sp z

p zsz

s

?

ss

F E B

C

G

D

H

b

116 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Pitanja za 5 bodova

17. Koliko postoji razliËitih kocki kojima su tri strane plave, a tri crvene?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

18. Na duæinu OE, Ëija je duljina | |OE 2006= jedinica, stavljamo toËke A, B,

C, tako da je duljina | | | |OA BE 1111= = jedinica, a duljina | | | |OC OE107= .

Koji je poredak slova na duæini OE?

A) OABCE B) OACBE C) OCBAE D) OBCAE E) OBACE

19. Promjer kruænice na slici je 10 cm. Koliki je opseg podebljanog lika akosu svi pravokutnici meusobno jednaki?


20. Koji od zadana tri broja predstavlja tri toËke na brojevnom pravcu koje sumeusobno jednako udaljene?

A) , ,31

41

51 B) 12, 21, 32 C) 0.3, 0.7, 1.3 D) , ,

101

809

81 E) 24, 48, 64

21. Ana je zbrojila najveÊi i najmanji dvoznamenkasti broj koji je djeljiv bro-jem tri. Ivan je zbrojio najveÊi i najmanji dvoznamenkasti broj koji nijedjeljiv brojem tri. Za koliko je Anin broj veÊi od Ivanovog?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

22. Branka gradi kvadrate od πibica tako da manjem kvadratu dodaje odreenbroj πibica i tako dobiva veÊi kvadrat (vidi sliku). Koliko πibica mora dodatitridesetom kvadratu da bi dobila trideset i prvi?

A) 124 B) 148 C) 61 D) 254 E) 120

23. Dva prijatelja, Boπko i Vlado, pale logorsku vatru da prirede veËeru. Bo-πko je skupio 8, a Vlado 7 jednakih cjepanica. Kad se vatra rasplamsala pri-druæio im se Karlo koji je takoer æelio iskoristiti njihovu vatru da si pripre-mi veËeru. Karlo je spreman platiti dvojici prijatelja 30 kn ukupno. Kako ÊeKarlo pravedno podijeliti novac Boπku i Vladi?

A B

117atka 15 (2006./2007.) br. 58

A) Boπku Êe dati 22 kn, a Vladi 8 knB) Boπku Êe dati 20 kn, a Vladi 10 kn C) Boπku Êe dati 15 kn, a Vladi 15 knD) Boπku Êe dati 16 kn, a Vladi 14 kn E) Boπku Êe dati 18 kn, a Vladi 12 kn

24. Strane kocke oznaËene su slovima. Prva slika prikazuje jednu odmoguÊih mreæa kocke, a druga je slika takoer jedna od mreæa te kocke.Koje se slovo nalazi ispod znaka upitnika?

A) A B) B C) C D) E E) nemoguÊe je odrediti

Cadets (VIII. razred osnovne i I. razred srednje πkole)

Pitanja za 3 boda

1. Natjecanje Klokani u Europi se odræava svake godine od 1991. Dakle, kojepo redu Êe biti natjecanje 2006. godine?

A) 15. B) 16. C) 17. D) 13. E) 14.

2. ( ) ( )20 0 6 20 0 6$ $+ - + =

A) 0 B) 106 C) 114 D) 126 E) 12

3. ToËka O je srediπte pravilnog peterokuta. Koliki je dio peterokuta osjenËan?

A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40%

4. Baka je rekla svojim unucima: Ako svakome od vas ispeËem 2 pite, ostatÊe mi tijesta za joπ 3 pite. U tom sluËaju svaki od od vas neÊe dobiti 3 pite,jer Êe mi nedostajati tijesta za zadnje dvije pite. Koliko unuka ima baka?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5. Koju mreæu ima kocka prikazana na slici:

A) B)

C) D) E)

118 atka 15 (2006./2007.) br. 58

6. | |AB 4= cm, | |BC 1= cm. E je poloviπte od AB, F je poloviπte od AE, Gje poloviπte od AD i H je poloviπte od AG. Kolika je povrπinazatamnjenog pravokutnika?

A) 41 cm2 B) 1 cm2 C)

81 cm2 D)

21 cm2 E)

161 cm2

7. Anketa provedena u Minsku pokazala je da je od 2006 intervjuiranih uËe-nika 1500 sudjelovalo u natjecanju Klokani, a 1200 u natjecanju Medvjedi.Koliko je uËenika sudjelovalo u oba natjecanja ako se zna da 6 uËenika nijesudjelovalo niti u jednom natjecanju?

A) 300 B) 500 C) 600 D) 700 E) 1000

8. Tijelo na slici sastavljeno je od dvije kocke. Manja kocka ima bridoveduljine 1 cm i postavljena je na veÊu kocku koja ima brid duljine 3 cm. Kolikaje povrπina prikazanog tijela.

A) 56 cm2 B) 58 cm2 C) 60 cm2 D) 62 cm2 E) 64 cm2

Pitanja za 4 boda

9. Dvije stranice trokuta dugaËke su 7 cm. Duljina treÊe stranice je cijeli brojizraæen u centrimetrima. Koji je najveÊi moguÊi opseg trokuta izraæen u cen-timetrima?

A) 14 B) 15 C) 21 D) 27 E) 28

10. Tri utorka u mjesecu padaju na parne datume. Na koji dan pada 21. dan utom mjesecu?

A) srijeda B) Ëetvrtak C) petak D) subota E) nedjelja

11. Vjekoslava, Dubravko i –urica su πtedjeli kako bi kupili πator za kampi-ranje. Vjekoslava je uπtedjela 60% cijene πatora, dok je Dubravko uπtedio40% od preostale cijene πatora. Na ovaj naËin –urica je sudjelovala u cijeniπatora s 30 eura. Kolika je cijena πatora?

A) 50 eura B) 60 eura C) 125 eura D) 150 eura E) 200 eura

A F E B

C

GD

H

119atka 15 (2006./2007.) br. 58

12. Nekoliko izvanzemaljaca putuje kroz svemir u raketi ZVIJEZDA 1. Nekiod njih su zeleni, drugi su naranËasti, a treÊi plavi. Zeleni izvanzemaljciimaju 2 ticala, naranËasti 3, a plavi 5 ticala. U brodu se nalazi isti broj zelenihi naranËastih stvorenja, dok je plavih za 10 viπe od zelenih. Svi zajedno imaju250 ticala. Koliko se plavih izvanzemaljaca nalazi u svemirskom brodu?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

13. Kada klokan ©ime skaËe s lijeve noge, moæe skoËiti 2 metra, a kada skaËes desne noge, moæe skoËiti 4 metra. No, ako skaËe s obje noge, moæe skoËiti7 metara. Koji je najmanji broj skokova u kojima ©ime moæe odskakutatitoËno 1000 metara?

A) 140 B) 144 C) 175 D) 176 E) 150

14. Kada neki pozitivan broj kvadriramo, on se uveÊa za 500%. Koji je to broj?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

15. Branka gradi kvadrate od πibica tako da kvadratu dodaje odreen brojπibica i tako dobiva veÊi kvadrat (vidi sliku). Koliko πibica mora dodatitridesetom kvadratu da bi dobila trideset i prvi?

A) 124 B) 148 C) 61 D) 254 E) 120

16. Koliko jednakokraËnih trokuta povrπine 1 ima stranicu duljine 2?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Pitanja za 5 bodova

17. Marin i Ante nacrtali su kvadrat 5#5 i oznaËili srediπta malih kvadrata.Nakon πto su nacrtali prepreke unutar velikog kvadrata, pokuπali su otkriti nakoliko je naËina moguÊe doÊi iz toËke A u toËku B koristeÊi se πto kraÊimputem. Kretanje je dopuπteno iz centra u centar samo vertikalno i horizontal-no. Koliko takvih najkraÊih putova postoji iz A u B?

A) 6 B) 8 C) 9 D)11 E) 12

120 atka 15 (2006./2007.) br. 58

18. Zadnja je znamenka troznamenkastog broja 2. Ako premjestimo zadnjuznamenku na prvo mjesto, broj je umanjen za 36. Koliki je zbroj znamenakaoriginalnog broja?

A) 4 B) 10 C) 7 D) 9 E) 5

19. Vlak se sastoji od pet vagona - I, II, III, IV i V. Na koliko se naËina moæepostaviti vlak tako da je vagon I uvijek bliæi lokomotivi od vagona II?

A) 120 B) 60 C) 48 D) 30 E) 10

20. Danica vozi bicikl iz mjesta A u mjesto B stalnom brzinom. Ako poveÊasvoju brzinu za 3 m/s, doÊi Êe u mjesto B 3 puta bræe. Koliko Êe puta bræeDanica stiÊi do mjesta B ako poveÊa svoju brzinu za 6 m/s?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 4,5 E) 8

21. Ako je zbroj triju pozitivnih brojeva jednak 20.1, tada umnoæak dvajunajveÊih brojeva meu njima ne moæe biti

A) veÊi od 99 B) manji od 0.001 C) jednak 75D) jednak 25 E) svi sluËajevi A) - D) su moguÊi

22. Ako je umnoæak dvaju cijelih brojeva jednak 2 3 5 75 2 3$ $ $ , tada njihovzbroj moæe biti

A) djeljiv s 8 B) djeljiv s 5 C) djeljiv s 49D) djeljiv s 3 E) nijedan od uvjeta A) - D) ne moæe se postiÊi

23. Pravilni peterokut OABCD (vidi sliku) je reflektiran u odnosu na duæinuOA (npr. vrh D reflektiran je u vrh D'). Tako dobiveni peterokut reflektira seu odnosu na duæinu 'OD (npr. vrh A' = A reflektira se u toËku A''; vidi sliku),itd. Koji je najmanji broj takvih operacija koji je potreban da se peterokutvrati u poËetnu poziciju?

A)6 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

A

B

C

DO

A" D'2

1

121atka 15 (2006./2007.) br. 58

24. U prvom je redu 11 karata, od kojih svaka sadræi 2 slova. Drugi red po-kazuje presloæene karte. Koja se kombinacija slova moæe pojaviti u donjojliniji drugog retka?

A) ANJAMKILIOR B) RLIIMKOJNAA C) JANAMKILIROD) ANMAIKOLIRJ E) RAONJMILIKA

Rjeπenja:LeptiriÊi

Ecoliers

Benjamins

Cadets

Priredila: Neda LukaË, Zagreb

1.

D

2.

B

3.

B

4.

C

5.

E

6.

C

7.

C

8.

D

9.

E

10.

A

11.

A

12.

C

1.

D

2.

B

3.

D

4.

A

5.

D

6.

B

7.

E

8.

B

9.

C

10.

E

11.

B

12.

A

13.

A

14.

D

15.

E

16.

B

17.

C

18.

D

19.

B

20.

D

21.

E

22.

E

23.

C

24.

B

1.

B

2.

E

3.

B

4.

B

5.

E

6.

C

7.

D

8.

A

9.

D

10.

A

11.

D

12.

D

13.

E

14.

D

15.

A

16.

B

17.

B

18.

E

19.

C

20.

D

21.

B

22.

A

23.

E

24.

D

1.

B

2.

D

3.

D

4.

D

5.

D

6.

A

7.

D

8.

B

9.

D

10.

E

11.

C

12.

D

13.

B

14.

B

15.

A

16.

D

17.

E

18.

B

19.

B

20.

B

21.

E

22.

D

23.

B

24.

D

122 atka 15 (2006./2007.) br. 58

KU

TA

K

KUTAK

ZA KREATIVNI T

RENUTAK

ZA KREATIVNI TRENUTAK

Ova mozgalica je vrlo stara i ne zna joj se autor. Dajemo dvije inaËice.

Nagrada:

Svaki atkaË koji poπalje rjeπenje (nacrtano, opisano ili napravljeno)

dobit Êe jednu knjigu iz atkine biblioteke

ili atkinu biljeænicu.

Mozgalica6 πtapiÊa

Problem: Od 6 πtapiÊa (bez lomljenja ili rezanja) naËinite figuru:

a) koja ima 4 jednakostraniËna trokutab) koja ima 6 jednakostraniËnih trokuta

Pripremite: 6 πtapiÊa jednake

duljine

123atka 15 (2006./2007.) br. 58

ZADATCI ZA MATKA»E PO»ETNIKE

ZADATCI ZA MATKACE POCETNIKE

Za ovaj broj atke zadatke su nam poslali atkaËi Ana PetriÊ, HrvojeKorbar, Petra MatkoviÊ, Mate IviÊ i Jasna BabiÊ. Zadatke je ilustrirala

atkaËica Jelena Grbavec iz Zagreba. Zahvaljujemo na suradnji.

Nagradit Êemo i objaviti ime svakog atkaËa koji nam poπalje rjeπenjanajmanje triju postavljenih zadataka.

Z 1. Martin u πetnji

Martin od kuÊe do πkole prijee 454 metra. Svaki dan Martin ide u πkolu,u trgovinu, πkolu stranih jezika i u glazbenu πkolu. Od kuÊe do trgovine ima3 puta viπe nego do πkole, do πkole stranih jezika ima 2 puta manje nego doπkole, do glazbene πkole ima 4 puta viπe nego do πkole stranih jezika, a doknjiænice ima koliko do trgovine i glazbene πkole zajedno.

Koliko metara prijee u jednome danu, a koliko u jednom mjesecu?

Z 2. Tombola

Na jednoj tomboli djeca daju svoje podatke. RaËunalo sluËajnim izabirombira jedno dijete. Kolika je vjerojatnost da Êe izabrano dijete:

a) biti viπe od 145 cm, b) baviti se zimskim sportom,c) biti muπkog roda,d) biti roeno 1994. godine, e) biti teæe od 30 kg, f) baviti se sportom s loptom?

Ime

Ana

Ivan

Ante

Ivana

Andrija

Zdenka

Vesna

Petar

odbojka

klizanje

139 cm

146 cm

42 kg

46 kg

1994.

1994.

Sport

skijanje

plivanje

nogomet

gimnastika

rukomet

odbojka

Visina

143 cm

156 cm

134 cm

146 cm

148 cm

139 cm

Teæina

34 kg

45 kg

28 kg

36 kg

45 kg

43 kg

Godina roenja

1995.

1993.

1999.

1994.

1994.

1995.

124 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Z 3. MagiËni kvadrat

Dopunite prazna polja u tablici tako da dobijete magiËni kvadrat.

Z 4. Majstor »ekiÊ

Majstor »ekiÊ izrauje drvene kutijice za olovke. Imao je 208 ËavliÊa, a

za izradu nekoliko kutijica portoπio je 43 tog broja. Koliko je ËavliÊa potroπio?

Koliko je kutijica napravio ako za spajanje jedne kutijice koristi 12 ËavliÊa?

Z 5. Na putu

Od Zagreba do Donje Stubice i natrag, na putu dugom 70 km, neki je

automobil potroπio 7.8 litara goriva, πto Ëini 51 punog spremnika. Koliko

litara benzina stane u spremnik tog automobila? Koliki put automobil moæeprijeÊi s punim spremnikom?

Z 6. Konstruirajte trokute

Koliko razliËitih trokuta moæete konstruirati ako je opseg trokuta 24cm? Kolika je najmanja moguÊa duljina stranice takvog trokuta? Moæete lipredvidjeti najveÊu moguÊu duljinu stranice? Kako?

Z 7. U zrakoplovu

Zrakoplov je poletio iz Londona za New York u 10:25 prijepodne, a u New York je po lokalnom vremenu sletio u 11:35 prijepodne. Koliko je trajao let od Londona do New Yorka?

Z 8. Povrπina lika

IzraËunajte povrπinu nacrtanog lika:

31

51

154

3011

cm

125atka 15 (2006./2007.) br. 58

Z 9. Olimpijske igre

Na olimpijskim igrama u Ateni otvaranje je gledalo 50 321 osoba, a zat-varanje 43 205 osoba. Cijena ulaznica je bila 25, 50 i 100 eura. Pri tome je47% gledatelja kupilo ulaznice za 50 eura, 28% gledatelja kupilo je ulazniceza 25 eura, a 25% je kupilo ulaznice za 100 eura. Koliko je eura zaradilagrËka Vlada ako je 10% prihoda uzeo Meunarodni olimpijski odbor?

Z 10. Razlomci

Na tri su kartice napisani brojevi 5, 7 i 8. KoristeÊi samo te kartice sloæi:a) najveÊi moguÊi razlomak,b) najmanji razlomak,c) razlomak najbliæi broju jedan,d) razlomak najbliæi broju tri.

Z 11. Pravokutnici (1)

Duljine stranica pravokutnika razlikuju se za 2 cm. Produljimo li objestranice za 3 cm, dobit Êemo pravokutnik koji ima 33 cm2 veÊu povrπinu odpoËetnoga. Kolike su duljine stranica obaju pravokutnika?

Z 12. Umnoæak

Prikaæite broj -42 kao umnoæak triju faktora, pri Ëemu je jedan od faktoranegativan. Je li rjeπenje jednoznaËno odreeno? Ispiπite sva rjeπenja ako ih jeviπe.

Z 13. Disneyland

Ulaznice za Disneyland u Orlandu stoje 56 ameriËkihdolara. Na grafikonu su podatci o posjeÊenosti kroztjedan dana.

a) Koliko su zaradili taj tjedan (bez poreza)?b) Koliko su zaradili kad su platili porez od 25%?

Z 14. Bomboni

Bomboni se pakiraju u vreÊice mase 0.25 kg i 100 g. U jednoj su trgovininaruËili 3 kg tih bombona. Pronaite sve moguÊnosti kako je moguÊe zado-voljiti njihovu narudæbu. Je li moguÊe isporuËiti naruËenu koliËinu ako traæe5 veÊih vreÊica? Obrazloæite odgovor!

ponedjel

jakutorak

srijed

a

Ëetvrta

kpeta

ksubota

nedjel

ja

30002389

1543

19742411

1982

2432

2910

2500

2000

1500

1000

500

0

126 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Z 15. Ogradite vrt!

Perin otac æeli ograditi svoj pravokutni vrt dimenzija 20 m # 15 m, alitako da oko vrta ostane staza (iste πirine) za hodanje. Kolika je maksimalnaπirina staze ako ima 82 m ograde?

Z 16. Koliko je uËenika u VII. d?

U razrednom odjelu VII. d ocjenu odliËan iz matematike ima 101 uËenika,

ocjenu vrlo dobar 103 uËenika, ocjenu dobar

52 uËenika, ocjenu dovoljan

61

uËenika. Koliko je uËenika u VII. d ako je jedan uËenik negativno ocijenjen?

Z 17. Pravokutnici (2)

Opseg pravokutnika je 52 cm. Pronaite sve kombinacije duljina stranica,izraæene prirodnim brojevima u centimetrima, koje zadovoljavaju zadaniuvjet. Koji od njih ima najveÊu, a koji najmanju povrπinu?

Z 18. A cijena raste...

Svake godine cijena nekog proizvoda naraste za 10%.a) Za koliki se postotak promijenila cijena nakon 2 godine?b) Za koliki se postotak promijenila cijena nakon 3 godine?c) Za koliki se postotak promijenila cijena nakon 5 godina?d) Za koliki se postotak promijenila cijena nakon 10 godina?e) Nakon koliko Êe godina cijena premaπiti dvostruku poËetnu vrijednost?f) Ako je ove godine cijena tog proizvoda 450 eura, kolika Êe mu biti cije-

na 2010. godine?

Z 19. Dalekovod

Visina stupa dalekovoda je 25 m, a trafostanice 4 m. Od vrha stupa dokrova trafostanice postavljen je elektriËni vod. Kolika je duljina postavljenogvoda ako je udaljenost trafostanice od podnoæja stupa 54 m?

Z 20. Podjela zarade

Marko je na nekom poslu radio 36 sati, a Pero 45 sati. Jedan od njih zara-dio je 2700 kn. Kolika je ukupna zarada?

850. Nacrtajte 6 duæina i na svakoj duæini istaknite 3 toËke tako da ukupanbroj istaknutih toËaka bude 9. Kako?

851. Je li moguÊe od 17 πtapiÊa, svaki duljine 6 cm sastaviti metar?

852. Mljevenjem raæi dobit Êe se dva puta viπe raæenog braπna negomekinja. Koliko je raæi samljeveno ako se mljevenjem dobilo 35metriËkih centi braπna viπe nego mekinja? (1q = 100 kg)

853. Brat i sestra imaju svatko izvjesnu svotu novca. Ako brat da sestri 24 kn,onda Êe svatko od njih imati jednako kuna. Ako sestra dade bratu 27 kn, ondaÊe brat imati 2 puta viπe kuna od sestre. Koliko kuna ima brat, a koliko sestra?

854. U kutiji se nalazi 11 crvenih, 9 plavih, 7 zelenih i 4 æute kuglice. Kolikokuglica treba izvaditi iz kutije, ne gledajuÊi u kutiju, kako bismo bili sigurnida je u kutiji ostalo:

a) ne manje od 5 plavih kuglica, b) barem jedna kuglica od svake boje, c) ne viπe od 5 plavih kuglica?

855. Ako neki prirodni broj pomnoæimo brojem 147, pa dobivenom umnoπku ispus-timo zadnje dvije znamenke, a zatim tako dobiveni broj pomnoæimo brojem 19, tenovodobivenom umnoπku ispustimo znamenku jedinica, dobit Êemo broj 657. Koji je poËetni broj?

127atka 15 (2006./2007.) br. 58

ODABRANI ZADATCI

ODABRANI ZADATCIVlado StoπiÊ, Zagreb

128 atka 15 (2006./2007.) br. 58

856. Moæe li zbroj nekih 2006 uzastopnih prirodnih brojeva biti djeljiv bro-jem 2006?

857. Dokaæite, da je za svaki prosti broj n veÊi od 3, ili broj n - 1, ili broj n + 1 djeljiv brojem 3.

858. Dva uËenika igraju ovakvu igru: svaki uËenik naizmjeniËno upisuje uprazno polje tablice 3 # 3 po volji jedan cijeli broj. Nakon πto je tablica po-punjena, uËenik koji je zapoËeo igru odredi zbroj prvog i treÊeg reda, a drugiuËenik odredi zbroj prvog i treÊeg stupca. Pobjednik je onaj uËenik Ëiji jedobiveni zbroj veÊi. Tko Êe pobijediti?

859. Napisan je niz prirodnih brojeva 1 2 3 4 . . . 2005 2006, pri Ëemu subrojevi malo razmaknuti jedan od drugog. Je li moguÊe izmeu svaka dvasusjedna broja niza staviti znak ili + ili - , tako da zbroj brojeva danog nizabude 2006 ?

860. Je li moguÊe da prirodni broj zavrπava brojem 2006 i da je djeljiv bro-jem 2007?

861. Kada simetrala kraka AC jednakokraËnog trokuta ABC: a) sijeËe krak BC ,b) sijeËe osnovicu AB,c) prolazi vrhom B?

129atka 15 (2006./2007.) br. 58

862. Zbroj kuÊnih brojeva na jednoj strani ulice izmeu dvaju raskriæja jednakje 333. Koji je peti kuÊni broj na toj strani ulice izmeu ta dva raskriæja?

863. Prirodni brojevi od 1 do 1 000 000 napisani su u nizu 1, 2, 3, 4, 5, . . 999 999, 1 000 000. Ispod svakog broja zapiπemo zbroj njegovih znamenaka.Taj postupak nastavimo tako da opet ispod svakog dobivenog zbrojanapiπemo zbroj njegovih znamenaka. Nakon nekoliko takvih uzastopnih pos-tupaka, dobit Êemo niz jednoznamenkastih brojeva. HoÊe li u tako dobiven-om nizu biti viπe jedinica ili petica?

864. Dan je trokut ABC . Na stranici AB odabrana je toËka N , tako da je| | : | | :BN NA 2 3= , a na stranici BC odabrana je toËka M , tako da| | : | | :AP PM 5 2= , pri Ëemu je toËka P presjek duæina CN i AM . Koliki jeomjer | | : | |CP PN ?

FORUM PODMLATKA HMD-a

»asopis PlayMath i Nastavna sekcija HMD-a pokrenuli su Forum podmlatkaHMD-a na adresi: http://playmath.skolstvo.t-com.hr/forum

Forum vodi skupina srednjoπkolaca i studenata, Ëlanova Podmlatka HMD-a.Namijenjen je svim mladim matematiËarima (i onima koji se tako osjeÊaju), prven-stveno uËenicima. On ima nekoliko ciljeva, a prvi od njih je povezivanje uËenika.

Forum ima nekoliko podforuma:- Obavijesti- Prijedlozi- PlayMath- Matka- Ostali Ëasopisi, literatura i internet,- Natjecanja- Software- ...Nadamo se da vas je navedeno motiviralo da i vi pristupite Forumu.

130 atka 15 (2006./2007.) br. 58

SUDOKU

SUDOKU

Sudoku 1 Upiπite brojeve od 1 do 4, ali tako da se ni u jednom retku,stupcu ili kvadratu 2 # 2 ne ponavlja niti jedan broj.

Sudoku 2 Upiπite brojeve od 1 do 6, ali tako da se ni u jednom retku ili stupcu ili kvadratu 2 # 3 ne ponavlja niti jedan broj.

Sudoku 3 Upiπite brojeve od 1 do 9, ali tako da se ni u jednom retku, stupcu ili kvadratu 3 # 3 ne pon avlja niti jedan broj.

SUDOKU XUz klasiËni sudoku pojavljuju se i njegove varijacije. Jedna od njih je i sudoku X. Princip rjeπavanja je isti, uz dodatnu oteæa-vajuÊu okolnost: po dijagonalama nije dopu-πteno ponavljanje brojeva! Pokuπajte rijeπiti!

Nagradit Êemo MatkaËe koji nam poπalju rjeπenje zadataka.

Mladen MarkobaπiÊ, Zagreb

2

1

31

4

6

2 1

5

6

5

6

1

4

4

1 2

9

7

6

6

8 2

6 2

8 1 3

5

7 3

9

379412

7

6 2

32

7

3

1

6 8

5

15

3 4

9

4 7

2

4

7

671

5 3 9

1

6

131atka 15 (2006./2007.) br. 58

RA»UNALA

RACUNALA

U πestom razredu raËunala nam neÊe biti od velike pomoÊi u aritmetici, aliÊe nam puno pomoÊi u geometriji. U proπlom broju, uz pomoÊ raËunala i pro-grama za dinamiËnu geometriju Sketchpad, vidjeli smo da je zbroj veliËinaunutarnjih kutova u svakom trokutu 180º. SljedeÊe pitanje koje se nameÊe jekoliki je zbroj veliËina vanjskih kutova trokuta? Primjer 1. odgovara na topitanje, ali i na pitanje koliki je zbroj veliËina unutarnjih kutova Ëetverokuta.

Primjer 1.a) IzraËunajmo zbroj vanjskih kutova u trokutu.b) IzraËunajmo zbroj unutarnjih kutova u Ëetverokutu.

Rjeπenje:a) Primjer Êemo rijeπiti koristeÊi program za dinamiËnu geometriju

Sketchpad. KoristeÊi traku s alatima nacrtamo trokut ABC i na njemuoznaËimo vanjske kutove. U izborniku Mjerenja odaberemo naredbu Kut iizmjerimo vanjske kutove trokuta ABC . Zatim koriπtenjem naredbeRaËunalo u izborniku Graf izraËunamo zbroj veliËina tih kutova.

PomiËuÊi vrhove trokuta moæemo primijetiti da se mijenjajuveliËine vanjskih kutova, ali zbroj uvijek ostaje stalan i iznosi 360º.

KUTOVI I RA»UNALOIvana KokiÊ, Zagreb

.A AA 138 281 2E = °

.B BB 136 781 2E = °.C CC 84 941 2E = °

zbroj=360.00°

132 atka 15 (2006./2007.) br. 58

b) Primijenimo li analogni postupak na Ëetverokut ABCD, dobit Êemo:

PomiËuÊi vrhove Ëetverokuta ABCD uoËili smo da je zbroj veliËina unu-tarnjih kutova Ëetverokuta stalan i iznosi 360º. Rezultate mjerenja moæemoprikazati u tablici tako da u izborniku Graf odaberemo naredbu Tabeliranje.

Pokuπajte sada sami otkriti koliki je zbroj veliËina vanjskih kutovaËetverokuta.

Sada kada znamo koliki je zbroj veliËina unutarnjih kutova trokuta odnosnoËetverokuta, u programu Microsoft Excel moæemo napraviti tablicu koja Êe nampomoÊi pri izraËunavanju veliËine nepoznatog kuta. Tablica, odnosno raËunalo,neÊe nam biti od velike pomoÊi ako trebamo rijeπiti samo jedan ili dva zadatka,ali ako ih je viπe, znatno Êe nam ubrzati rjeπavanje zadataka. Prednost koriπtenjaraËunala je i u tome πto kad jednom napravimo tablicu ili na neki drugi naËiniskoristimo raËunalo, tu pomoÊ moæemo traæiti kad god nam je potrebna.

Primjer 2.Odredimo veliËinu nepoznatog kuta ako je:a) 45 32…, …;= =a b b) .98 12 5…, …,= =a b

c) . .16 54 65 22…, ….= =b c

.DAB 85 77E = °

.ABC 60 62E = °.BCD 134 78E = °

.CDA 78 84E = °zbroj=360.00°

DABE ABCE BCDE CDAE

85.77° 60.62° 134.78° 78.84°

62.26° 53.22° 99.17° 145.35°

19.89° 153.30° 67.17° 119.64°

56.91° 175.54° 13.28° 114.27°

139.73° 65.45° 75.31° 79.51°

90.00° 90.00° 90.00° 90.00°

zbroj

360.00°

360.00°

360.00°

360.00°

360.00°

360.00°

133atka 15 (2006./2007.) br. 58

Rjeπenje:Prvi korak je unos zadanih podataka u tablicu. Nakon toga kliknemo u

Êeliju gdje æelimo da se ispiπe rezultat i u polje za formule upiπemo = 180 -(zatim oznaËimo Êeliju u kojoj piπe 45, potom upiπemo + i kliknemo na Êelijuu kojoj piπe 32). Upis formule zavrπimo zatvaranjem zagrade. U polju za for-mule se ispisuje =180 - (45 + 32). Pritiskom na tipku Enter u odabranoj seÊeliji ispisuje rezultat 103. Sada Êeliju gdje smo upisali formulu kopiramo uobje Êelije ispod.

Isti primjer moæemo rijeπiti i programiranjem u nekom od programskihjezika, npr. u programu QBASIC:

input ainput bkut = 180 - (a + b) print b

Osim pri otkrivanju matematiËkih zakonitosti i pojednostavljivanju raËu-nanja raËunalo nam moæe biti i od velike pomoÊi kada neπto moramo pre-cizno nacrtati ili konstruirati. U sljedeÊem primjeru pokazano je kako sekoriπtenjem parametara u programu Sketchpad moæe konstruirati Ëetverokut.

Primjer 3.Konstruirajmo paralelogram ABCD ako je zadano:

a) | |AC 6= cm, | |BD 4= cm, BSCE 45…,=

b) | | .AC 5 5= cm, | |BD 3= cm, ASBE 120….=

Rjeπenje:U izborniku Graf odaberemo naredbu Novi parametar i u dijaloπkom

okviru upiπemo ime parametra | |AC , vrijednost 6 i obavezno odaberemomjernu jedinicu cm. Isti postupak ponovimo za parametar | |BD Ëija je vri-jednost 4 cm, te za parametar Kut Ëija je vrijednost 45º s tim da kod parame-tra Kut za mjernu jedinicu odaberemo stupnjeve (degrees).

45

98

16.54

32

12.5

65.22

103

69.5

98.24

nepoznatikut

134 atka 15 (2006./2007.) br. 58

POSTUPAK KONSTRUKCIJE:1. Nacrtamo toËku S.2. U izborniku Mjerenja odaberemo naredbu RaËunalo i izraËunamo

| | /BD 2 (miπem kliknemo na parametar | |BD i zatim upiπemo /2).3. OznaËimo toËku S i izraËun | | /BD 2, pa konstruiramo kruænicu sa

srediπtem u toËki S polumjera | | /BD 2 (u izborniku Konstrukcije odaberemonaredbu Kruænica: srediπte + polumjer).

4. Na dobivenoj kruænici odaberemo proizvoljnu toËku i imenujemo je B.5. Nacrtamo pravac SB (u izborniku Konstrukcije odaberemo naredbu

Pravac).6. Drugo sjeciπte pravca i kruænice oznaËimo D.7. Pravac SB rotiramo (zaokrenemo) oko toËke S za 45º.- Kliknemo na parametar Kut = 45º i u izborniku Transformacije odabe-

remo naredbu OznaËite kut.- Dvokliknemo na toËku S i oznaËimo pravac SB.

- U izborniku Transformacije odaberemo naredbu Rotirajte- U dijaloπkom okviru veÊ je odabran okret za

oznaËeni kut, pa samo potvrdimo klikom na Rotirajte8. U izborniku Mjerenja odaberemo naredbu RaËunalo

i izraËunamo | | /AC 2 (miπem kliknemo na parametar| |AC i zatim upiπemo /2).

9. OznaËimo toËku S i izraËun | | /AC 2 i konstruiramokruænicu sa srediπtem u toËki S polumjera | | /AC 2.

10. Sjeciπta kruænice i rotiranog pravca oznaËimo s Ci A.

11. Spojimo toËke A, B, C i D.

Za rijeπiti b) zadatak dovoljno je dvokliknuti na svakiod parametara i promijeniti im vrijednosti. Ako pak æeliteimati oba rjeπenja, onda prije promjene vrijednosti para-

metara u izborniku Datoteka odaberite naredbu Opcije datoteke. Udijaloπkom okviru kliknete na padajuÊi izbornik Dodavanje stranice iodaberete naredbu Kopiranje te iz padajuÊeg izbornika odaberete stranicu nakojoj je traæena konstrukcija.

Primjer se mogao rijeπiti i nekim drugim programom za dinamiËnugeometriju.

NAGRADNI ZADATAK:U nekom programskom jeziku napiπite program za raËunanje

povrπine trokuta. Obavezno napiπite koji ste programski jezik koristili.

.

.

AC

BD

cm

cm

12 00

8 00

=

=

Kut = 45.00°

.

.

AC

BD

cm

cm

26 00

24 00

=

=

Sketchpad je alat dinamiËne geometrije za konstru-

kcije i istraæivanje uËenicima, studentima,

nastavnicima, istraæivaËima, umjetnicima i

svim drugim matematiËarima kojima treba

vizualizacija. Uporabom Sketchpada moæete

konstruirati toËne slike, zatim interaktivno njima

upravljati, istovremeno ËuvajuÊi matematiËke

odnose. DinamiËna interakcija omoguÊava

vam velike moguÊnosti istraæivanja,

analiziranja i razumijevanja matematike kao nikada

do sada.

Dynamic Geometry ®- program

Precizna crtanja i mjerenja postaju laka,

omoguÊavajuÊi vam kreiranje i analiziranje zamrπenih

konstrukcija. Otkrijte svojstva i ispitajte moguÊnosti

svojeg crteæa njegovim jednostavnim povlaËenjem. Svi

drugi dijelovi i mjerenja neprestano se mijenjaju, otkri-

vajuÊi da matematiËki ostaju nepromjenjivi, neovisno

o povlaËenju. Istraæite svojstva cijele grupe crteæa

upravljajuÊi dinamiËno samo jednim crteæom.

Uporabom πestara i ravnala istraæite euklidsku

geometriju. Primijenite: translaciju, rotaciju, refleksiju,

dilataciju kako bi stvorili crteæ sjajne simetrije.

Potpuna analitiËka i algebarska podrπka omoguÊava

vam mjerenje kordinata i odreivanje jednadæbi, crtanje

i ponavljanje cijelih porodica funkcija. Integrirajte

geometriju s algebrom, trigonometrijom i raËunanjem.

Sketchpad pamti vaπe konstrukcije i uopÊava ih radi

lakπe kasnije uporabe. Dokument s viπe stranica povezu-

je geometrijske animacije, matematiËke zapise, para-

metarske boje, tekst i poveznice prema Webu potiËuÊi

uËenike i studente kreirati bogate prezentacije, a na-

stavnike oblikovati efikasne

aktivnosti i okruæenja za

uËenje. Sketchpad®

je u prodaji. Moæete ga naruËiti na

www.proven.hr

prizma kapljica zrake kutevi

Prizma lomi svjetlo razliËitih boja u razliËi-tim πirinama spektra

Povucite toËke kako biste prilagodili indeksloma svjetlosti crvenoj i ljubiËastoj boji

www.proven.hr [email protected]

136 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Enigmatka

Dopunjaljka. Vidi tablicu na rubu.PoËela je... Luk, kvadar, pravac, paralela, ordinata, suma,opseg, osnovica, tona, centar, πirina, okomica, kamate.Mala kombinacija.

Rebus 1. Znanje je moÊ (Z na NJE je M o ∆),Rebus 2. πkola (© kola), Rebus 3. trokut (T ro K u T).Pomicaljka. BROJ, NULA, OSAM..Mnogokuti. Jednim potezom olovke moæe se nacrtati samo peterokut.

Rjeπenja odabranih zadataka

835. Ako otpilimo jedan vrh kocke, onda Êe na svakom od 3 brida kocke koji "izlaze"iz vrha koji smo otpilili biti jedan novi vrh. To znaËi da Êe tako dobiveno tijelo, a toviπe nije kocka, imati ukupno 8 1 3- + , tj. 10 vrhova.

836. Znamenka 4 napisana je 10 puta kao znamenka desetica i 5 puta kao znamenkajedinica, tj. ukupno 15 puta. Primjetimo da su svi kuÊni brojevi na jednoj strani svakeulice neparni, a na drugoj strani parni. Lako odredimo da ima 5 neparnih kuÊnih bro-jeva sa znamenkom 4, tj. 41, 43, 45, 47 i 49, a 15 - 5, tj. 10 parnih kuÊnih brojeva saznamenkom 4. Prema tome, znamenka 4 napisana je viπe puta na strani ulice s parn-im kuÊnim brojevima.

837. Rijeπimo zadatak uporabom "stupËiÊa". Na slici prvi stupËiÊ predoËuje ukupnukoliËinu vode jednog vrËa i dvije πalice, a drugi stupËiÊ predoËuje koliËinu vodejedne πalice. Iz slike lako zakljuËujemo da je 740 380- , tj. 360 koliËina vode u 3πalice. Zato je :360 3 , tj. 120 koliËina vode ujednoj πalici, a 120 380+ , tj. 500 koliËinavode u jednom vrËu. Prema tome, u vrË moæe-mo naliti najviπe 500 g, a u jednu πalicu 120 gvode.

RJE©ENJA ZADATAKA IZ BROJA 57.

U D A RT E N AA M O RO K O TK U K AU Æ A RR O M AO

RAZLOMAK S O R

7 80G R O ©R E L IA N A LL A K O

21 6374 3555 093

740

1

1

1 1

$

$

380

.π

π

)v

π

838. Kako u jednom paketu za VI. razred ima 14 12- , tj. dvije knjige viπe nego u jed-nom paketu za V. razred, pri Ëemu je ukupan broj knjiga za VI. razred za 12 veÊi negoza V. razred, to zakljuËujemo da je :12 2, tj. 6 paketa za V. razred i 6 paketa za VI.razred. Prema tome, ukupno je bilo 6 12$ , tj. 72 udæbenika za V. razred, a 6 14$ , tj.84 udæbenika za VI. razred.

839. Neka je | |BC a= i | |CD b= (vidi sliku). Tada zbog | | | | | |AC AB BC= + slije-di jednakost | |AC a27= + , a zbog | | | | | |BD BC CD= + vrijedi jednakost| |BD a b= + . BuduÊi da je | | | |AC BD= to zamjenom dobivenih vrijednosti vrijedijednadæba a a b27 + = + , ili b 27= , tj. | |CD 27= cm. Dalje je lako. Naime, zbog jednakosti | | | | |CE CD DE= + dobivamo da je | |DE72 27= + ili| |DE 72 27= - , tj. | |DE 45= cm.

840. BuduÊi da je 2 2 2 2 2 2 2 128$ $ $ $ $ $ = , zakljuËujemo da je umnoæak...a 2 2 2 2$ $ $ $= , koji ima 700 faktora, jednak umnoπku

...a 128 128 128 128$ $ $ $= , koji ima 100 faktora. Nadalje, kako je 3 3 3 3 81$ $ $ = ,to je umnoæak ...b 3 3 3 3$ $ $ $= , koji ima 400 faktora, jednak umnoπku

...b 81 81 81 81$ $ $ $= , koji ima 100 faktora. Osim toga, zbog 5 5 5 125$ $ = , slije-di da je umnoæak ...c 5 5 5 5$ $ $ $= , koji ima 300 faktora, jednak umnoπku

...c 125 125 125 125$ $ $ $= , koji ima 100 faktora. BuduÊi da svaki od tri dana broja a, b, c ima 100 razliËitih faktora, zakljuËujemo daje > >a c b.

841. Neka je x kuna cijena knjige. Neka su Iva, Ana i Lea imale redom a, b, c kuna.Tada vrijede ove jednakosti: x a 18= + , x b 7= + , x c 10= + . Iz prve dvije jed-nakosti slijedi nova jednakost b a7 18+ = + ili b a 18 7= + - , tj. b a 11= + . Izzadnje jednakosti zakljuËujemo da je >b 11, jer je >a 0, a to znaËi da Ana ima viπeod 11 kn. Kako Lei nedostaje 10 kn za kupnju jedne knjige, a Ana ima viπe od 11 kn,zakljuËujemo da Ana i Lea mogu zajedno kupiti jednu knjigu.

842. Lako zapaæamo da je broj ljeπnjaka koje je skupio svaki par uËenika djeljiv bro-jem 3. To znaËi da je ukupan broj ljeπnjaka koje su skupili svi uËenici takoer djeljivbrojem 3. Kako broj 2006 nije djeljiv brojem 3, to zakljuËujemo da nije moguÊe dasu svi uËenici skupili ukupno 2006 ljeπnjaka.

843. OznaËimo svaki dukat jednim od sedam brojeva, 1, 2, 3, . . .7. Prvim mjerenjemusporedimo mase dukata pod brojevima 1, 2 i 3 s dukatima pod brojevima 4, 5 i 6.Ako su mase jednake, onda se na svakoj zdjelici vage nalazi jedan neispravni dukat,a dukat pod brojem 7 je ispravan. Drugim mjerenjem usporedimo mase dukata pod brojevima 1 i 2. Ako oni imaju jed-naku masu, onda je svaki od njih ispravan, a to znaËi da su dukati pod brojevima 1,2, 7 ispravni.

137atka 15 (2006./2007.) br. 58

138 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Ako jedan od ta dva dukata (1 ili 2) ima veÊu masu od drugoga, onda je taj dukatispravan, a isto su tako ispravni i dukati pod brojevima 3 i 7. Ako je nakon prvog mjerenja jedna od zdjelica vage prevagnula, tj. dukati na tojzdjelici imaju veÊu masu od dukata na drugoj zdjelici vage, onda su sva tri dukata natoj zdjelici vage ispravna.

844. S obzirom na broj poËetnih toËaka istaknutih na pravcu, razlikujemo 2 sluËaja.

1°. Neka je broj poËetnih toËaka na pravcu paran, tj. 2n. Tada je ukupan broj razma-ka neparan, tj. n2 1- . Ako na svaki razmak istaknemo jednu toËku, onda smo ukup-no istakli neparan broj toËaka. Kako je zbroj parnog i neparnog broja neparan broj,zakljuËujemo da je nakon prvog isticanja toËaka ukupan broj istaknutih toËaka napravcu neparan. Dalje, nakon prvog isticanja toËaka, ukupan je broj razmaka meudobivenim toËkama paran. To znaËi da smo drugim postupkom istakli paran brojtoËaka, a zbroj parnog i neparnog broja toËaka je opet neparan broj. Zato Êe nakondrugog, kao i nakon svakog sljedeÊeg postupka, ukupan broj istaknutih toËaka napravcu biti neparan.

Kako je 2006 paran broj, to zakljuËujemo da, ako je poËetni broj istaknutih toËaka napravcu paran, opisanim postupkom na pravcu nikad neÊe biti 2006 toËaka.

2°. Neka je broj poËetnih toËaka na pravcu neparan, tj. n2 1+ . Tada je ukupan brojrazmaka paran, tj. 2n. To znaËi da je nakon prvog postupka broj istaknutih toËaka napravcu paran. Kako je zbroj parnog i neparnog broja neparan broj, zakljuËujemo daÊe nakon prvog isticanja toËaka ukupan broj toËaka biti neparan. Svakim sljedeÊimpostupkom isticanja toËaka dolazi do ponavljanja veÊ opisanog sluËaja. Zato zakljuËujemo da, ako je poËetni broj istaknutih toËaka na pravcu neparan,opisanim postupkom na pravcu nikad neÊe biti 2006 toËaka. Prema tome, nakon viπe uzastopnih postupaka danih u zadatku, nije moguÊe da uku-pan broj istaknutih toËaka na pravcu bude 2006.

845. Radi lakπeg razumijevanja, kao i lakπeg rjeπavanja ovog zadatka, vidi atku br.55, Odabrani zadatci, zadatak 811.

Zbog <n n 1+ vrijedi nejednakost < <n

nnn

1 21

1+ +

+ .

Zbog >n n5 4+ + vrijedi nejednakost > >nn

nn

45

56

1++

++ .

Zato vrijedi viπestruka nejednakost

< < < <n

nnn

nn

nn

1 21

156

45

+ ++

++

++ ili < < <

nn

nn

nn

nn

1 21

56

45

+ ++

++

++ .

139atka 15 (2006./2007.) br. 58

846. Neka je toËka S presjek simetrala vanjskih kutova kod vrhova B i C trokutaABC . Za dokaz navedene tvrdnje u zadatku dovoljno je dokazati da toËka S leæi nasimetrali kuta BACE trokuta ABC . Prema pouËku o simetrali kuta (svaka toËka simetrale kuta jednako jeudaljena od krakova kuta), zakljuËujemo da je toËka S jednako udalje-na od krakova BM i BC , tj. | | | |SM ST= , jer ona leæi na simetrali BSvanjskog kuta CBME trokuta ABC . Isto je tako toËka S jednako udal-jena od krakova BC i CN , tj. | | | |ST SN= , jer ona leæi na simetrali CS

vanjskog kuta BCNE trokuta ABC . To znaËi da je | | | | | |SM ST SN= = ,iz Ëega slijedi da je toËka S jednako udaljena od polupravaca AB i AC

trokuta ABC . Zato prema obratu pouËka o simetrali kuta zakljuËujemoda toËka S leæi na simetrali kuta BACE trokuta ABC . Za kruænicu sa srediπtem u toËki S, koja je sjeciπte triju simetrala kutova navedenihu zadatku, kaæemo da je pripisana trokutu ABC .

847. Da bismo izraËunali dani zbroj, najprije ga valja malo srediti tako da nazivniksvakog danog razlomka "djelomiËno" racionaliziramo. Naime, prvi razlomak proπirit

Êemo brojem 2 1-` j, drugi brojem 3 2-` j, treÊi brojem 4 3-` j i tako

sve do zadnjeg razlomka koji Êemo proπiriti brojem 100 99-` j.

Nakon takvog postupka nazivnici danih razlomaka bit Êe jednaki redom, 2, 2 3$

3 4$ ,..., 99 100$ , odnosno 2, 2 3$ , 3 4$ , ... , 99 100$ . Zato dani zbroj moæemo pisati redom

...2 2 1

1

2 3 3 2

1

99 100 100 99

1

$ $++

++ +

+=

` ` `j j j

...2

2 1

2 3

3 2

3 4

4 3

99 100

100 99

$ $ $

-+

-+

-+ +

-=

...12

1

2

1

3

1

3

1

4

1

99

1

100

11

101

109

- + - + - + + - = - = .

848. a) OËito je a znamenka desetica jednog i b znamenka desetica drugog od dvajutraæenih brojeva. Ostaje da odredimo u kojem je od dva traæena broja na mjestujedinica znamenka c odnosno d . To znaËi da su moguÊi parovi traæenih dvozna-menkastih brojeva ili ac i bd , ili ad i bc. To Êemo odrediti tako da odredimo razlikuumnoæaka ovih dvaju parnih brojeva. Dakle,

ac bd ad bc$ $- = (10a + c) (10b + d) - (10a + d) (10b + c)ab ad bc cd100 10 10+ + + - (100ab + 10ac + 10bd + cd)ab ad bc cd ab ac bd cd100 10 10 100 10 10+ + + - - - - =

( )ad bc ac bd ad bc ac bd10 10 10 10 10+ - - = + - - =

( ) ( ) ( ) ( )a d c b d c d c a b10 10- - - = - -7 A .

A B M

C

N

S

T

140 atka 15 (2006./2007.) br. 58

Zbog uvjeta zadatka da je >a b slijedi da je >a b 0- , a zbog <d c slijedi da je<d c 0- . To znaËi da je umnoæak ( ) ( ) <d c a b10 0- - . Iz toga slijedi da je razlika

umnoæaka negativna, tj. <ac bd ad bc 0$ $- , pa je <ac bd ad bc$ $ ili>ad bc ac bd$ $ . Prema tome, umnoæak ad bc$ je najveÊi moguÊ.

b) Na sliËan naËin odredimo dva dvoznamenkasta broja Ëiji je umnoæak najmanjimoguÊ. Zbog < < <d c b a zakljuËujemo da jedan od traæenih brojeva poËinje zna-menkom d , a drugi znamenkom c. Zato su moguÊi ovi parovi traæenih dvozna-menkastih brojeva: db i ca, ili da i cb. Odredimo razliku umnoæaka ovih dvajuparova brojeva. Dakle,

( ) ( ) ( ) ( )db ca da cb d b c a d a c b10 10 10 10$ $- = + + - + + =( )cd ad bc ab cd bd ac ab100 10 10 100 10 10+ + + - + + + =

cd ad bc ab cd bd ac ab100 10 10 100 10 10+ + + - - - - =

( )ad bc bd ac ad bc bd ac10 10 10 10 10+ - - = + - - =

( ) ( ) ( ) ( )a d c b d c d c a b10 10- - - = - -7 A .

Zbog >a b slijedi da je >a b 0- , a zbog <d c slijedi da je <d c 0- . To znaËi da jeumnoæak ( ) ( ) <d c a b10 0- - , iz Ëega slijedi da je razlika umnoæaka negativna, tj.

<db ca da cb 0$ $- , pa je <db ca da cb$ $ . Prema tome, umnoæak db ca$ je najmanji moguÊ.

849. Trokutu BCD moæemo opisati kruænicu. ToËka A pripada kruænici opisanojtrokutu BCD, jer je toËka A presjek simetrale kuta BCDE i simetrale stranice BD(vidi atku br. 32, UËimo geometriju, zadatak 4.). Trokut ABD je jednakokraËan jerje | | | |AB AD= , iz Ëega slijedi da je ABD ADBE E= . Zato je

( ) :ABD 180 140 2E = - , tj. ABD 20E = °. Osim toga je CDB CABE E= , jer su toobodni kutovi nad tetivom. BuduÊi da je BEA 110E = °, prema pouËku o zbrojuunutarnjih kutova za trokut ABE lako odredimo traæeni kut. Naime, iz

ABE BEA BAE 180E E E+ + = ° slijedi BAE130 180¡ E+ = °, odnosnoBAE 50E = °. Zbog BAE CAB CDBE E E= = dobivamo da je CDB 50E = °.

Rjeπenja kriæaljki za MatkaËe

1

6 7 8

9 10 11

12 13 14 15

16 17

2 3 4 52 1 2 4

3

9 7

9 0 5 4 6

2 8 2 6

3 3 7 5 4 8

6 4 1 3 2 0

1

7 8 9

10 11 12

13 14 15 16

18 19 20 21

2 3 4 53 1 4 4

2

3 5

7 0 8 0 9

6 9 1 5 4

9 3 8 1

7 1 8 5 6 2

17

56

8

7

1

22 232 7 0 6 9 5 2

5. razred

6. razred

B

AD

E

C

141atka 15 (2006./2007.) br. 58

Rjeπenja nagradnih zadataka iz 56. broja

Rjeπenja zadataka za MatkaËe poËetnike

1. Vanjski rub pojasa oko igraliπta je 80 cm dulji nego njegov unutarnji rub.2. Vrpca Êe biti dovoljno duga. Opseg Ëaπe je (skoro uvijek) veÊi od visine Ëaπe.3. UobiËajena nogometna lopta ima dvanaest peterokuta.4. Na domjenku je podijeljeno 720 poljubaca (svaki od 20 gostiju morao je poljubiti18 osoba, dakle podijelio je po 36 poljubaca).5. Kao slika kocke mogla je nastati druga slika.6. KolaË se moæe prerezati tako da se rezne povrπine oblikuju kao trokut (vidi slikuuz rjeπenje zadatka 18), kvadrat ili pravokutnik.7. Letvicama koje prekrivaju Ëetiri susjedna polja nije moguÊe bez preklapanjapokriti okrnjenu πahovsku ploËu.8. Da se dosegne visina stropa (pribliæno 3.2 m), novinski papir debljine 0.1 mmmora se preklopiti 15 puta.9. 1 + 2 + 3 + … + 1000 = (1 + 1000) + (2 + 999) + (3 + 998) + ... + (500 + 501) == 500 $ 1001 = 500 500.10. Vjerojatnost za jedan "paπ" je 1 : 6 (= 6 : 36), i time je puno manja od vjerojat-nosti za jednu πesticu (11 : 36).11. Devet krugova moæemo povezati kao πto pokazuje slika

Tih je devet krugova moguÊe povezati stri ravne crte, ako nije zahtijevano da crtemoraju prolaziti kroz srediπte pojedinogkruga:

12. »etiri istraæivaËa poredana su prema svojim brzinama: A, B, C i D. Preko mostaprvo prelaze A i B. Nakon toga A se vraÊa natrag s dæepnom svjetiljkom. Zatim prekorijeke prelaze C i D, dok B vraÊa svjetiljku natrag. Na kraju opet preko mosta prelazeA i B. Na taj naËin prijelaz preko rijeke traje samo 24 minute.

1

7 8 9

10 11

12 13

15 16 17

2 3 52 6 8 2

2

9 3

2 4 7 8 6 4

1 0 1 5 0 7

6 2 1 8 9

3 4 8 1 6 4 3

4

14

53

9

1

8

18 195 9 0 7 0 5 6 0

1

7 8 9

10 11

12 13

15 16 17

2 3 4 51 3 4

2

0 6 2

8 7 1 1 9

9 9 5 2 0

1 6 3 5

7 0 8 7 6 2

14

65

8

9

3

18 193 8 3 4 2 4 4

7. razred 8. razred

142 atka 15 (2006./2007.) br. 58

13. Mali se trokut unutar kruænice okrene za 180° i tako se ne mijenja njegovapovrπina, ali se zato odmah vidi da je povrπina vanjskog trokuta Ëetiri puta veÊa odpovrπine unutarnjeg trokuta.

14. Tko je otkrio sve pogreπke u ovoj zadaÊi, naπao je tri pogreπke. Pogreπne su dvijejednadæbe, a tvrdnja da su u zadaÊi Ëetiri pogreπke - nije toËna.

15. Ako se promisli da se jedna upaljena æarulja zagrije i da ostane zagrijana joπ nekovrijeme poslije isklapanja, dovoljno nam je otiÊi u potkrovlje samo jedanput. Pritomse uklopi prva sklopka za rasvjetu, priËeka se pet minuta i zatim isklopi. Nakon togase uklopi druga sklopka i odlazi se u potkrovlje. Tamo se kratko dodirnu dvije æaru-lje koje ne svijetle. Sad je razvrstavanje jednostavno: prvoj sklopki pripada æaruljakoja ne svijetli, ali je topla, drugoj sklopki æarulja koja svijetli, a treÊoj sklopki æaru-lja koja ne svijetli i koja je hladna.

16. Pogleda se pod sasvim malim kutom na crteæ; najbolje je stranicu dovesti u vi-sinu vrha nosa i stisnuti jedno oko tada se jasno moæe proËitati tajna poruka:HALLO. Tanke popreËne linije kvadrata iz te su perspektive joπ jedva vidljive. Oneu ovom zadatku sluæe samo za zbunjivanje.

17. Da bi se izraËunala duljina puta koju je preπao pas, nije potrebno zbrajati njegovepojedine dijelove. Ona se moæe izraËunati iz brzine i trajanja kretanja. Lovcu su zaprelaæenje udaljenosti od 10 km potrebna 2 sata hoda. Isto tako dugo kretao se i pas.On trËi brzinom od 15 km na sat, dakle preπao je put od 2 $ 15 km = 30 km.

18. VeÊini ljudi teπko je predoËiti dva pravca koji se sijeku u prostoru. Kod toga trebasamo spojiti toËke A i C i sve postaje jasno! Dobiva se jednakostraniËni trokut.BuduÊi da je zbroj svih kutova u trokutu uvijek 180°, a jednakostraniËni trokut imakutove jednakih veliËina, veliËina traæenog kuta je 60°.

19. Za rjeπavanje treba razrezati stranicu plaπta stoπca duæ izvodnice na kojoj je sje-dio kukac i raπiriti plaπt u ravninu. Dobit Êemo kruæni isjeËak. BuduÊi da je promjerbaze stoπca 10 cm, opseg je 10 r centimetara. To je, dakako, i duljina luka kruænogisjeËka razvijenog plaπta stoπca. Polumjer kruænog isjeËka odnosno izvodnice stoπca

iznosi 20 cm. Kad bi plaπt bio cijeli krug, imao bi opseg 40r cen-timetara. Sad je jasno: kruæni isjeËak je Ëetvrtina punog kruga, aizvodnice stoπca su pod pravim kutom. ObiÊi stoæac za kukca znaËida treba hodati po razvijenom plaπtu stoπca od sredine njegovoggornjeg (vodoravnog) ruba do sredine lijevog (okomitog) ruba.NajkraÊi put je ravna linija Ëija se duljina moæe izraËunati uz pomoÊPitagorinog pouËka: oko 14.14 cm.

20. Sto kilograma svjeæih jagoda sastoji se od 99 kg vode i jednog kilogramasuhe tvari jagode. BuduÊi da tijekom dana moæe ispariti samo voda, ali ne i suhatvar, suπene jagode naveËer joπ uvijek sadræe 1 kg suhe tvari. Kako se jagode sadasastoje od 98%vode, onda jedan kilogram suhe tvari predstavlja 2% mase jago-da. Iz toga slijedi da 100%, dakle ukupna masa suπenih jagoda, iznosi toËno 50kg. Rezultat je iznenaujuÊi: iako je sadræaj vode smanjen samo za 1%, ukupnamasa jagoda se prepolovila!

Rjeπenja zadataka iz kutka za najmlae

1. 18 8 10- = . 2. 27 16 11- = . 3. 42 55 5 102+ + = .

4. ;5 9 45 54$ = . 5. 89 8 9 88+ - = . 6. 16 4= .

Rjeπenje Nagradnog natjeËaja broj 52.

Uvjet zadatka zadovoljavaju brojevi oblika ab za koje vrijedi ab ba x2+ = .BuduÊi da je ab a b10= + i ba b a10= + , onda vrijedi jednakostab ba a b a b11 11 11+ = + = +^ h. Odatle slijedi da je a b 11+ = . Traæeni broje-vi su 29 i 92, 38 i 83, 47 i 74 te 56 i 65.

Rjeπenja su poslali i atkinim biljeænicama nagraeni su atkaËi: NevenkaKriæan, 8.r., O© S. S. KranjËeviÊa, LovreÊ; Danica Kavelj, 8.r., O© S. S.KranjËeviÊa, LovreÊ i Ines NosiÊ, 8.r., O© S. S. KranjËeviÊa, LovreÊ.

Rjeπenje stripa Zaπto je parnica igubljena?

Ima 6 nasljednika i svaki Êe dobiti po 12 milijuna dolara, tj. redom

, ,271

70 471

56 671

42$ $ $+ + + ,...

Rjeπenje mozgalice Tri ploËice

Uzme se kraj na ploËici s drπkom i provuËe se kroz rupu na poËetku te ploËice. Nakontoga se kruæna i duga ovalna ploËica provuku kroz nastalu petlju.

143atka 15 (2006./2007.) br. 58

KU

TAK

ZA

NAJMLA–E

Gledaπ li

1.

3.

4.

5.

11.. Koliko psiÊa kuja Perdita donese na svijet u crtanomfilmu 101 dalmatiner?

123 8 0 22 3 4 3$ $ $ $+ +

22.. U crtiÊu Petar Pan djeca u Nigdjezemskoj provode 31

dana. Koliko sati dnevno djeca provode u Nigdjezemskoj?

33.. Koliko godina ima Zvijer u crtiÊu Ljepotica i Zvijer kadaje poniπtena kletva i kada se zvijer pretvara u princa?

Neparan dvoznamenkasti viπekratnik broja 7 koji u svojem zapisu sadræidvije uzastopne znamenke.

55.. Koliko je godina proπlo od roenja prave Pocahontas doprvog prikazivanja istoimenog Disneyjevog filma?

Troznamenkasti broj djeljiv brojem 25 kojmu je zbroj znamenaka jednak 4.

44.. Koliko godina dobre vile u crtiÊu Trnoruæica mora-ju provesti bez koriπtenja svojih moÊi?

Dvoznamenkasti kvadrat broja koji je i sam kvadrat nekog broja, aËiji je zbroj znamenaka prost broj.

2.

Rjeπenja matematiËkih zadataka pomoÊi Êe tipronaÊi odgovore na pitanja vezana uz crtiÊe.

KUTAK ZA

NAJ

MLAD

E

Disneyjeve crtiÊe?

6.

7.

8.

77.. Koji je ukupan broj toËaka koji se pojavljuje na psima ufilmu 101 dalmatiner?

156230 2365894 2456987 1490841+ + +

88.. U koliko sati poËinje bal u crtanom filmu Pepeljuga?Dvoznamenkasti viπekratnik broja 10 koji se moæe napisati kao umnoæakdvaju uzastopnih brojeva, a koji nije djeljiv brojem 3.

99.. Koliko je godina proteklo od prvog prikazivanjaDisneyjevog crtiÊa Pinokio do prvog prikazivanja crtanogfilma MaË u kamenu?

Najmanji dvoznamenkastiprosti broj koji poËinje parnomznamenkom.

66.. Na koliko se sati Herkules odrekao svoje snage kako bispasio svoju voljenu Meg?

Za koliko je zbroj brojeva 307 i 125 veÊi od razlike brojeva 33 i 15?

9.

matka 58 str 73-109 · 2012. 4. 13. · vladimir devidé, zagreb 1. u srednjoπkolskoj nastavi...

Documents