matjaz cetina-zbirka resenih nalog

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO IN GEODEZIJO

MATJAŢ ČETINA

HIDROMEHANIKA

ZBIRKA REŠENIH NALOG

LJUBLJANA 1999

prof. dr. Matjaž Četina, dipl. ing. gradb.

HIDROMEHANIKA

Zbirka rešenih nalog

Recenzent:

Izdala in založila: Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo (FGG)

Univerza v Ljubljani

Tehnično urejanje: Matjaž Četina, Primož Duhovnik

Natisnila:

Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

Brez soglasja založnika je prepovedano vsakršno reproduciranje ali prepis v katerikoli obliki.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji

Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana

532(075.8)

ČETINA, Matjaž

Hidromehanika - zbirka rešenih nalog. Študijsko gradivo / Matjaž Četina. - Ljubljana :

Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 1999

ISBN

V S E B I N A

stran

1. HIDROSTATIKA 4

1.1 Sila hidrostatičnega pritiska na ravne in krive ploskve in njeno prijemališče 5

1.2 Vzgon in plavanje 76

2. KINEMATIKA IDEALNE NESTISLJIVE TEKOČINE 96

2.1 Potencialni (nevrtinčni) tok 97

3. DINAMIKA IDEALNE NESTISLJIVE TEKOČINE 114

3.1 Primeri uporabe Bernoullijeve in energijske enačbe za stalni tok v cevovodih 115

3.2 Uporaba teorije potencialnega toka za tok podtalnice (filtracija) 166

3.3 Teorem o gibalni količini za stalni tok 206

4. TOK REALNE TEKOČINE 240

4.1 Dinamična podobnost 241

4.2 Upor teles v toku 244

4

1. HIDROSTATIKA

5

1.1 Sila hidrostatičnega pritiska na ravne in krive ploskve in njeno prijemališče

6

1.1.1 Zapornica podane oblike, ki je vrtljiva okrog tečaja A, ločuje olje in vodo višine H in zapira

odprtino v tleh. Določi potrebno težo zapornice G, da ostane zaprta !. Širina odprtine in

zapornice na papir je L.

v = 1000 kg/m3

o = 800 kg/m3

H = 3 m

a = 0.5 m

L = 2 m

Rešitev:

a) Sile (po konponentah):

b) Določitev teže zapornice

ma

M A 25.02

5.0

2r ; 0 G

0***** vHvHGvVvVoVoVoHoH rFrGrFrFrF

G

vVvVoVoVoHoHvHvH

r

rFrFrFrFG

****

N5.5640725.0

4166.0*5.73570833.0*58861*706321*88290=

7

1.1.2 Loputa podane oblike in širine L ( na papir), ki je vrtljiva okrog tečaja A, zapira odprtino v

steni. Določi potrebno težo lopute, da pri podani višini vode ostane zaprta!

a = 2 m

b = 1 m

c = 3 m

L = 2.5 m

l = 5.2 m

v = 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Sile

NShgF T 5.613125.2*5.2*81.9*1000*** 111

mb

ahT 5.22

12

21

3

2

1 5.25.2*1* SmLbS

mhS

Jhh

T

TTS 5333.2

5.2*5.2

2083.05.2

* 11

111

3

433

1 2083.012

1*5.2

12

*TT Jm

bLJ

mhbar S 4667.05333.21211

NShgF T 66217515*5.4*81.9*1000*** 222

mc

bahT 5.42

312

22

2

2 155.2*6`* mLcS

mc

c 630sin

3

sin`

8

3029.98= 5769.02.5

3

l

ctg

mhS

Jhh

T

TTS 3333.9

9*15

459

`*``

22

222

mh

h TT 9

30sin

5.4

sin` 2

2

433

2 4512

6*5.2

12

`*m

cLJT

mba

hr S 3333.330sin

123333.9

sin` 22

NShgF T 5.1594125.2*5.6*81.9*1000*** 333

mb

cbahT 5.62

1312

23

mhS

Jhh

T

TTS 5128.6

5.6*5.2

2083.05.6

* 33

333

mbahr S 5128.3125128.633

b) Teža lopute

0AM

0**** 332211 rFrFrFrG G

ml

rG 6.22

2.5

2

N1053317.31=

6.2

4667.0*5.613125128.3*5.1594123333.3*662175*** 113322

Gr

rFrFrFG

9

1.1.3 Bazen širine l ( na papir) je potisnjen čez rob ravne strehe kot kaže skica. Pri kateri višini

vode H se bazen prevrne s strehe?

L1 = 7 m

L2 = 3 m

l = 5 m

= 45

v = 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Določitev višine vode H

2r ; **** 1111

LLlHgF

2r ; **** 2222

LLlHgF

3r ; *

2** 23

2

3

HLl

HgF

0AM

332211 *** rFrFrF

3**

2**

2*****

2***** 2

2

22

11

HLl

Hg

LLlHg

LLlHg

3*

2222

2

2

2

1 HL

HLL

3* 2

2

2

2

1

HLHLL

2

2

2

1

2

23

* LLH

HL

0*3**3 2

2

2

12

2 LLHLH

10

2

68.239

2

37*123*93*3

2

*12*9*3 2222

2

2

1

2

22

2,1

LLLLH

m3427.72

685.14H1 Rešitev problema

mH 3427.162

685.322 Fizikalno nemogoč rezultat

11

1.1.4 Stožec teže G pokriva okroglo odprtino na dnu posode. Ugotovi:

a) Ali se pri dani višini vode H stožec dvigne?

b) Minimalno potrebno višino vode Hmin, pri kateri odprtina ravno še ostane odprta!

b = 1 m

D = 2 m

h = 1 m

d = 1 m

G = 4 kN

H= 3 m

v= 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Sili, ki delujeta navzdol

NG 4000

mD

dhhDdhh 5.0

2

1*1*' ::'

mhhh 5.05.01'''

NhbHd

gF 13.115575.013*4

1**81.9*1000''*

4

***

22

1

b) Sila, ki deluje navzgor

FD h d h d

h g

N

2

2 2 2

2 2 2

4 3 4 3 4

2

4

1

3

1

4

05

3

05

405 981 1000 513650

**

**

` ** * *

**

**

. * .* . * . * .

"

=

Pri dani višini se stožec ne dvigne, ker je:

12

F G N F N1 21155713 4000 1655713 513650 . . .

c) Minimalna višina vode Hmin

GFFFGF 2121

GFhbHgd

2

"

min

2

***4

*

mhb

gd

GFH 6475.1

1000*81.9*1*

4*400050.5136

****

4*2

"

2

2min

13

1.1.5 Trikotna zapornica teže G, ki je vrtljiva okrog tečaja A, zapira odprtino v steni. Pri kateri

višini vode H se zapornica odpre?

a = 1 m

b = 0.5 m

= 60

v = 1000 kg/m3

G = 3000 N

Rešitev:

a) Sila vode

F g h S g ha b

h hv T v T T T * * * * * **

* . * ** .

. *2

1000 9811 05

224525

b) Prijemališče sile vode

h hJ

h S

h b a

a b h

h a

hh

hS T

T

T

T

T

T

T

T

T

' '' * sin

* * *sin

* * * sin

*sin

*. *

.

3 22

36 60 1811547

0 0481

c) Višina vode, da se zapornica odpre

0 AM

0*cos*3

* FrFa

G

03333.00481.0

**5.2452cos*3

*

T

Th

ha

G

14

3333.00481.0

3333.0*1547.10481.0

*1547.1'' T

T

T

TSFh

hh

hxhr

3333.0*1547.13

1*1547.1cos*

3'' TTT hh

ahx

996.11760cos*3

1*3000*5.817 Th

004.382*5.817 Th

mhT 4673.0

mahH T 0446.160sin*1*3

24673.0sin**

3

2

15

1.1.6 Zapornica teže G zapira trikotno odprtino v steni. Kolikšna sila F je potrebna za dvig

zapornice, ki je vrtljiva okrog tečaja A?

a = 3 m

b = 2 m

H = 10 m

= 30

G = 100 kN

Rešitev:

a) Hidrostatična sila

NShgF T 2648703*9*981.*1000***1

maHhT 930sin*3*3

210sin**

3

2

232

2*3

2

*m

baS

16

mhS

Jhh

T

TTS 0278.18

18*3

5.118

* '

''

mh

h TT 18

30sin

9

sin

'

433

5.136

3*2

36

*m

abJT

b) Sila za odpiranje

0AM

0*** 11 FG rFrFrG

Nr

rFrGF

F

G 75.1381135981.2

0278.1*264870866.0*100000** 11

ma

rG 866.030cos*3

3cos*

3

maH

hr S 0278.1330sin

100278.18

sin

'

1

marF 5981.230cos*3cos*

17

1.1.7 Krožna odprtina v poševni steni je zaprta z zapornico v obliki krožne plošče, teže Gz, ki ima

vrtišče v točki A. Zapornica je z vrvjo povezana s plavačem valjaste oblike dolžine L.

Določi gostoto plavača tako, da se bo zapornica odprla ravno takrat, ko bo valj potopljen do

polovice.

d = 1 m

D = 1 m

L = 2 m

c = 1.6 m

= 30

Gz = 1200 N

Rešitev:

a) Gostota plavača

NShgF T 99.80897854.0*05.1*81.9*1000***

mD

chT 05.130sin*2

16.1sin*

2

222

7854.04

1*

4

*m

DS

mhS

Jhh

T

TTS 1298.2

1.2*7854.0

04909.01.2

* '

''

mD

chT 1.22

16.1

2

'

18

444

04909.064

1*

64

*m

DJT

mchr SF 5298.06.11298.2'

NLd

gFW 75.77042

1*2*

4

1**81.9*1000

2

1**

4

***

22

mDrW 866.030cos*1cos*

mD

rG 433.030cos*2

1cos*

2

PPW FGF

*** GzFWP rGrFrF

Nr

rGrFF

W

GzFP 78.5548

866.0

433.0*12005298.0*99.8089**

NFFG PWP 97.215578.554875.7704

3

22

2

/9119.1392*1**81.9

97.2155*4

***

*4 *

4

*** mkg

Ldg

GL

dgG P

PPP

19

1.1.8 Krožna odprtina je zaprta z zapornico, ki je povezana s kroglastim plavačem. Določi gostoto

krogle tako, da se bo zapornica odprla ravno takrat, ko je krogla potopljena do polovice!

= 30

d = 1 m

c = 1.6 m

D = 1.6 m

Rešitev:

a) Velikost in prijemališče sile na ploskev

NShgF TZ 99.80897854.0*05.1*81.9*1000***

md

chT 05.130sin*2

16.1sin*

2

222

7854.04

1*

4

*m

dS

mhS

Jhh

T

TS 1298.27854.0*1.2

0491.01.2

`*``

md

ch T 1.22

16.1

2`

20

444

0491.064

1*

64

*m

dJ

b) Gostota krogle

VZGV FFF

KKKKG

rgVgF

*0391.21

3

8.0**4*81.9*

3

**4****

33

Nr

gV

gF VVVZ 56.105193

8.0**2*81.9*1000

2*3

**4**

2**

33

KVF *0391.2156.10519

0M

chFdF SZV `*cos**

6.11298.2*99.808930cos*1**0391.2156.10519 K

3/7819.26430cos*0391.21

6.11298.2*99.808930cos*56.10519mkgK

21

1.1.9 Zapornica podane oblike in teže G, ki je vrtljiva okrog tečaja A, zapira varnostno odprtino v

stranski steni bazena. Določi gostoto plavača p če je plavač valjaste oblike premera D ter

višine a in se pri dani višini vode H in dolžini vrvi y zapornica ravno začne odpirati!

a = 1.0 m

D = 3 m

b = 0.6 m

y = 3.6 m

H = 5 m

c = 0.8 m

d = 0.4 m

l = 1 m

= 60

G = 5000 N

v = 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Globina potopitve plavača

h H b y m 5 0 6 3 6 08. . .

b) Sila vode na zapornico F1 in njeno prijemališče hS'

NShgF Tv 25.416022.1*534.3*81.9*1000**1

md

cbHhT 534.3sin*2

4.08.06.05sin*

2

22.18.0*11*4.02

**2* m

clldS

mhS

Jhh

T

TTS 084.4

080.4*2.1

8.20.0080.4

'*''

mh

h TT 080.4

60sin

534.3

sin'

4

233233

0.208m=

2

1*8.0*

3

8.0

2

4.0

36

8.0*1

12

4.0*1

2

**

3236

**2

12

*

lccdcldlJT

22

c) Ravnotežni pogoj

N

r

rGrrFrGrM

P

GPPGA

66.442681

5.0*5000004.1*25.41602=

**F F 0***F :0 11

P11

md

chhr TS 004.12

4.08.0080.4084.4

2''1

mcd

rG 5.060cos*8.02

4.0cos*

2

r d c mP 2 0 4 2 08 60 1* *cos . * . *cos

d) gostota plavača

3

2

2

2

60.1611

8.0*1000

1*81.9*3*

4*44268 -=

****

4* ***

4

*

mkg

a

h

agD

Fah

DF v

p

PPvP

23

1.1.10 Zapornica v obliki krožne ploskve, teže GZ, zapira odprtino v poševni steni in se lahko vrti

okrog tečaja A. V točki B je povezana z vertikalno vrvjo z valjastim plavačem s premerom

osnovne ploskve D, višino a in težo GP. Določi dolžino vrvi y, da so bo pri dani višini vode c

zapornica ravno odprla!

d = 1 m

a = 2 m

D = 2.25 m

c = 0.433 m

= 60

GZ = 3000 N

GP = 2000 N

v = 1000 kg/m3

Rešitev:

a) določitev sile vode na zapornico

NShgF T 51.66727854.0*866.0*81.9*1000***

md

chT 866.060sin*2

1433.0sin*

2

222

7854.04

1*

4

*m

dS

b) Prijemališče sile

mSh

Jhh

T

TS 0625.17854.0*1

0491.01

*```

24

mdc

h T 199998.02

1

60sin

433.0

2sin`

444

0491.064

1*

64m

dJ

c) Globina potopitve

0 AM

cos**

`

***4

*cos*

2*

sin`*

2

d

F

gxD

Gd

Gc

hF vPZS

N

dG

chF

dF ZS

58.900660cos*2

1*3000

60sin

433.00625.1*51.6672*

60cos*1

1=

cos*2

*sin

`**cos*

1`

d) Dolžina vrvi y

y d c x m *sin *sin . . . 1 60 0433 02822 10168

25

1.1.11 Zapornica trikotne oblike je preko ročice povezana s plavačem valjaste oblike, teže G in

širine L. Sistem je vrtljiv okrog osi A. Izračunaj, če se pri podanih razmerah zapornica

odpre.

a = 0.5 m

b = 1 m

c = 0.5 m

d = 1.5 m

L = 1 m

D = 1 m

= 60

G = 2350 N

Rešitev:

a) Sila na trikotno ploskev

NShgF T 94.176925.0*7217.0*81.9*1000***

mb

chT 7217.060sin*3

15.0sin*

3

225.02

1*5.0

2

*m

baS

mSh

Jhh

T

TSS 9.0

25.0*8333.0

0139.08333.0

*```

mb

ch T 8333.03

5.05.0

3`

433

0139.036

1*5.0

36

*m

baJT

b) Sila vzgona

26

NLgD

W 38.38521*81.9*1000*2*4

1****

2*4

* 22

NGWV 38.1502235038.3582

c) Možnost odprtja zapornice

NmdD

VM zap 76.30045.12

1*38.1502

2*

NmhFM Sodp 95.15929.0*94.1769`*

odpzap MM

odpre ne se zapornica

27

1.1.12 Določi, če se pri podanih razmerah zapornica odpre. Zapornica je vrtljiva okrog tečaja A.

Plavač (kocka) je preko tečaja B vezan z drogom. Težo plavača zanemari. Širina zapornice

je L ( na papir).

h = 2 m

a = 0.5 m

b = 0.3 m

Gzap = 10 4

N

l = 2 m

v = 1 m

L = 1 m

Rešitev:

a) Sile, ki odpirajo zapornico

Nh

v

lFF

vzg

pl 25.1226

2

21

2*25.1226

2

*

NagFvzg 25.12265.0*81.9*1000** 33

NLbh

gFv 29431*2

3.0*2*81.9*1000*

2

***

Nmb

Fh

FM vpl

A

odp 55.15203

3.0*2943

2

2*25.1226

3*

2*

28

b) Sile, ki zapirajo zapornico

NLh

hFH 196201*2

2*81.9*1000*

2**

22

Nmb

hFM H

A

zap 271603

3.0*100002*

3

2*19620

3*10*

3

2* 4

Mzap > Modp zapornica ostane zaprta

29

1.1.13 Kvadrasta zapornica (h*b*L, kjer je L širina na ravnino papirja) mase m zapira

pravokotno odprtino v bočnem zidu, ki je nagnjen za kot proti horizontali. Zapornico

lahko z žico pomikamo vzdolž vodil, nameščenih v zidu rezervoarja. Kolikšna je najmanjša

sila F, potrebna za dvig zapornice iz začetnega položaja (ko je odprtina zaprta), če je

koeficient med zapornico in vodili k?

h = 1.8 m

b = 0.4 m

L = 2.4 m

H = 10 m

m = 2000 kg

k = 0.35

= 60

Rešitev:

a) Sila v žici

0* 32112 PGkGPPF

NgmG 42.1699160sin*81.9*2000sin**1

NgmG 981060cos*81.9*2000cos**2

NShgP T 65.7855396.0*4412.8*81.9*1000*** 111

mb

hHhT 3412.860cos*2

4.060sin*8.110cos*

2sin*1

30

2

1 96.04.2*4.0* mLbS

NShgP T 24.9323496.0*9.9*81.9*1000*** 122

mb

HhT 9.960cos*2

4.010cos*

22

NShgP T 84.38228432.4*0206.9*81.9*1000*** 33

mh

bHhT 0206.960sin*2

8.160cos*4.010sin*

2cos*3

2

2 32.44.2*8.1* mLhS

N

PGkGPPF

03.13954484.3822849810*35.042.1699124.9323465.78553

* 32121

31

1.1.14 Zapornica krožne oblike premera D, ki je vrtljiva okrog tečaja A, ločuje bazena z alkoholom

in glicerinom. Kolikšna mora biti teža zapornice G, da pri podanih višinah alkohola (H1) in

glicerina (H2) ravno še ostane zaprta?

D = 2 m

H1 = 6 m

H2 = 4 m

= 60

a = 790 kg/m3 (alkohol)

g = 1250 kg/m3 (glicerin)

Rešitev:

a) Sila alkohola in nejno prijemališče

NShgF Ta 03.1249971416.3*134.5*81.9*790*** 111

mD

HhT 134.560sin*2

26sin*

211

222

1 1416.34

2*

4

*m

DS

mSh

Jhh

T

TTS 9704.5

1416.3*9292.5

7854.09282.5

*'''

11

111

mh

h TT 9282.5

60sin

134.5

sin' 1

1

32

444

1 7854.064

2*

64

*m

DJT

mDH

hr S 0422.1260sin

69704.5

sin' 1

11

b) Sila glicerina in njeno prijemališče

NShgF Tg 55.1207321416.3*134.3*81.9*1250*** 222

mD

HhT 134.360sin*2

24sin*

222

222

2 1416.34

2*

4

*m

DS

mSh

Jhh

T

TTS 6879.3

1416.3*6188.3

7854.06188.3

*'''

22

222

mh

h TT 6188.3

60sin

134.3

sin' 2

2

444

2 7854.064

2*

64

*m

DJT

mDH

hr S 0691.1260sin

46879.3

sin' 2

22

c) Teža zapornice

0 AM

0*** 2211 GrGrFrF

Nr

rFrFG

G

25.23905.0

0691.1*55.1207320422.1*03.124997** 2211

mD

rG 5.060cos*2

2cos*

2

33

1.1.15 Polkrožna zapornica AB širine L ( na papir) in teže G je vrtljiva okrog tačeja A. Če jo

podpremo s silo F, zapornica ravno ostane še zaprta. Določi težo zapornice G!

R = 2 m

L = 2.5 m

F = 35000 N

Rešitev:

a) Horizontalna sila na zapornico

NLRR

gShgF TH 490505.2*2

2*2*81.9*1000**

2*****

mR

hSH 3333.13

2*2

3

*2

mR

rH 6667.03

2

3

b) Vertikalna sila na zapornico

NR

LgPgFV 56.770474

*2*5.2*81.9*1000

4

******

22

mR

rV 8488.0*3

2*4

*3

*4

34

c) Določitev teže zapornice

0 AM

0***2

**

VVHH rFrF

RRGRF

NR

R

RFrFrFG VVHH 85.20783

2*22

2*135004467.0*44.210526667.0*49050

*2

***

35

1.1.16 Polkrožna zapornica AB širine L ( na papir) in teže G je vrtljiva okrog tečaja A. Če jo

obremenimo s silo F, zapornica ravno ostane zaprta. Določi težo zapornice G!

R = 2 m

L = 2.5 m

F = 13500 N

Rešitev:

a) Horizontalna sila na zapornico

NLRR

gShgF TH 490505.2*2

2*2*81.9*1000**

2*****

mR

hSH 3333.13

2*2

3

*2

mR

rH 6667.03

2

3

b) Vertikalna sila na zapornico

NR

RLgPgFV 44.210524

*22*5.2*81.9*1000

4

******

22

22

2211 *** SrSrSr VV

mRR

R

RRRR

R

S

SrSrr

V

V 4467.0

4

*2

4

*2*

*3

2*422*

2

2

4

*

4

**

*3

*4*

2**2

2

22

22

22

2211

36

c) Določitev teže zapornice

0 AM

0***2

**

VVHH rFrF

RRGRF

NR

R

RFrFrFG VVHH 85.20783

2*22

2*135004467.0*44.210526667.0*49050

*2

***

37

1.1.17 Določi horizontalno in vertikalno silo HS pritiska na zapornico, ki ima vrtišče v točki A.

Zapornica ima obliko četrtine plašča valja; dolžina je L. Določi tudi prijemališče obeh delnih

sil glede na os A.

H = 10 m

R = 2 m

L = 1 m

Rešitev:

a) Horizontalna sila

NShgF HTHVH 2158202*11*81.9*1000***

mR

HhTH 112

210

2

221*2* mLRSH

mhS

Jhh

TH

THTHSH 0303.11

11*2

6667.011

*

433

6667.012

2*1

12

*m

RLJTH

mHhr SHH 0303.1100303.11

38

b) Vertikalna sila

NPgF VVV 02.2270191416.23*81.9*1000**

322

1416.231*4

*22*10*

4

** mL

RRHPV

2211 *** SrSrSrV

mR

RH

RRRH

R

S

SrSrrV 9795.0

4

*22*10

4**3

*2*2*42*10*

2

2

4

**

4

**

*3

*4**

2**2

2

2

2

2211

c) Skupna sila

F F F NH V 2 2 2 2215820 227019 02 31323459. .

39

1.1.18 Zapornica teže G v obliki polovice plašča valja je vrtljiva okrog tečaja A. S kolikšno silo F

jo moramo podpreti, da se pri dani višini vode H ne odpre?

H = 10 m

R = 2 m

L = 1 m ( na papir)

G = 10 kN

Rešitev:

a) Sili in prijemališča

NShgF TH 3139201*4*8*81.9*1000***

mSh

Jhh

T

TTS 1667.8

4*8

3333.58

*

4

33

3333.512

2*2*1

12

*2*m

RLJT

mRHhT 8210

241*2*2**2 mLRS

mRHhr SH 1667.22*2101667.8*2

NLgR

FV 05.616381*81.9*1000*2

2****

2

* 22

mR

rV 8488.0*3

2*4

*3

*4

mR

rG 2733.12*2*2

40

b) Določitev sile F

0 AM

0*2**** RFrFrGrF VVGHH

NR

rFrGrFF VVGHH 1.160143

2*2

8488.0*05.616382733.1*100001667.2*313920

*2

***

41

1.1.19 Ugotovi, ali se zapornica v danih pogojih odpre (okrog tečaja A v protiurni smeri)! Računaj

na 1m širine, težo zapornice zanemari!

a = 2 m

d = 1 m

L = 1 m

Rešitev:

a) Sile na zapornico

NShgF T 196202*1*81.9*100***1

ma

hT 12

2

2

221*2* mLaS

NLdad

gF 38.234721*1*28

1**81.9*1000**

2*4

***

22

2

3F se medsebojno uničita

42

b) Možnost zasuka zapornice

odpresezapornica

md

r

NmrFM

ma

r

NmrFM

z

5.02

19.117365.0*38.23472*

6667.03

2

3

130806667.0*19620*

2

22

1

110

43

1.1.20 Zapornica v obliki polovice cilindra s širino L ( na papir) in težo G zapira pravokotno

odprtino v zidu. Kolikšna je najmanjša sila F, potrebna za dvig zapornice, ki je vrtljiva okrog

tečeja A?

D = 2 m

L = 3 m

H = 10 m

G = 200 kN

Rešitev:

a) Sile in prijemališča

NShgF TH 5297406*9*81.9*1000***

mD

HhT 92

210

2

263*2* mLDS

mSh

Jhh

T

TTS 037.9

6*9

29

*

433

212

2*3

12

*m

DLJT

44

NLD

gVgFV 54.462283*2*4

2**81.9*1000*

2*4

*****

22

mR

rV 4244.0*3

1*4

*3

*4

b) Potrebna sila za odprtje zapornice

0AM

2

****D

FrFrGDhhF VVVSH

N

D

rFrGDhhFF VVVSH

98.6146002

4244.0*54.462284244.0*200000210037.9*529740*2

****2

45

1.1.21 Polkrožna zapornica polmera R in širine L ( na papir), teže GZ, se lahko vrti okrog tečaja

A. V točki B je povezana z vertikalno vrvjo s plavačem v obliki kocke teže GP. Določi

dolžino vrvi y, da se bo pri dani višini vode c zapornica ravno odprla!

A = 3 m

R = 1.5 m

C = 2 m

GZ = 55000 N

GP = 800 N

v = 103

kg/m3

L = 1 m

Rešitev:

a) Sili na zapornico

NhSgF TH 1030055.3*3*81.9*1000*** 231*5.1*2**2 mLRS

mRchT 5.35.12

mchr SHH 7143.127143.3

mSh

Jhh

T

TTSH 7143.3

3*5.3

25.25.3

*

46

4

33

25.212

5.1*2*1

12

*2*m

RLJT

NPgFV 4.346715343.3*81.9*1000**

322

5343.31*2

*5.1*

2

*mL

RP

mR

rV 6366.0*3

5.1*4

*3

*4

b) Globina potopitve plavača

0AM

0***** HHVZPPVV rFrGrGrFRW

N

R

rFrGrGrFW HHVZPPVV

73.1271471.5

7143.1*1030056366.0*550005.1*8006366.0*4.34671

****

mag

WhhagW 44.1

3*81.9*1000

73.127147

** ***

22

2

c) Dolžina vrvi

y c R h m 2 15 144 20599. . .

47

1.1.22 Polkrožna zapornica širine L je preko ročice, vrtljive okrog osi A, povezana s plavačem

kvadrataste oblike s stranico a in težo GP. Določi globino potopitve plavača h, pri kateri se

zapornica ravno začne odpirati!

a = 2 m

d = 2.5 m

c = 1 m

R = 2 m

G = 2000 N

L = 1 m

Rešitev:

a) Globina potopitve plavača

ZO MM

SHWPVVWW hFrGrFrF ****

hhhagFW *39240*2*81.9*100**** 22

NLR

gFV 51.154091*2

1**81.9*1000*

2

***

22

48

NShgF TH 392402*2*81.9*1000***

mRchT 211*

221*1*2**2 mLRS

mSh

Jhh

T

TTS 1667.2

2*2

6667.02

*

4

33

6667.012

*1*2

12

**2m

aLRJT

ma

drW 5.32

25.2

2

mR

rV 4244.0*3

1*4

*3

*4

mr

rFhFrGh

W

VVSHWP 6224.05.3*39240

4244.0*51.154091667.2*392405.3*2000

*39240

***

49

1.1.23 Določi maksimalno dopustno globino potopitve h valjastega plavača teže Gpl, da bo

polkrožna zapornica teže Gzap, ki se vrti okrog tečaja A, ravno še ostala zaprta. Plavač-valj je

preko tečaja B vezan z drogom d.

R = 1 m

L = 1 m ( na papir)

V = 1 m

Gzap = 104

N

l = 4 m

D = 2 m

c = 1 m

Gpl = 2.5*103

N

Rešitev:

a) Sile, ki odpirajo zapornico

NLR

gFV 51.154091*2

1**81.9*1000*

2

***

22

plvpl GFF 1

RV

lFFRVlF d

*F ** 1

d1

b) Sile, ki zapirajo zapornico

F gR

L NH * **

* * . **1

*14

21000 981

4

219620

2 2

50

c) Globina potopitve plavača

0AM

0**3

*4**2*

3

2* RF

RFGRF dVzapH

0*

*3

4*

3

4* 1

RV

lFFGF VzapH

N

l

RVFGFF VzapH

07.119324

11*

*3

4*51.1540910000

3

4*19620

**3

4*

3

4*1

plvpl GFF 1

plGFhD

g 1

2

*4

***

***

*42

1

Dg

GFh

pl

m

Dg

GFh

pl4683.0

2**81.9*1000

250007.11932*4

***

*422

1

51

1.1.24 Betonska pregrada dane oblike ima širino L ( na papir). Določi faktor varnosti pregrade

proti zdrsu K1 in proti prevrnitvi K2 okrog točke A. Koeficient trenja med podlago in

pregrado je k.

R = 3 m

a = 2 m

b = 1 m

c = 2 m

d = 0.5 m

L = 5 m

k = 0.75

b = 2800 kg/m3

v = 1000k g/m3

rT = 4*R / (3*)

Rešitev:

a) Sile na pregrado

NL

adgF vH 25.1532815*

2

25.0*81.9*1000*

2**

22

1

mda

rH 8333.03

25.0

31

NL

aRgF vH 6131255*

2

23*81.9*1000*

2**

22

2

mRa

rH 6667.13

32

32

NLdc

gF vV 245255*2

5.0*2*81.9*1000*

2

***1

mc

rV 6667.03

2

31

52

NLR

gF vV 02.3467145*4

3**81.9*1000*

4

***

22

2

mR

cbRrV 7268.4*3

3*4213

*3

*42

NLdc

gG b 686705*2

5.0*2*81.9*2800*

2

***1

mcrG 3333.12*3

2*

3

21

NLRbgG b 4120205*3*1*81.9*2800****2

mb

crG 5.22

12

22

NLR

RgG b 75.2652605*4

*33*81.9*2800*

4

***

22

22

3

mrbcr GG 6701.36701.012` 33

mR

R

RR

RRR

r G 6701.0

4

3*3

*3

3*43*

4

3*

2

3*3

4

*

*3

*4*

4

*

2*

`2

2

22

22

22

3

NLcbRagG b 16480805*213*2*81.9*2800****4

mcbR

rG 32

213

24

b) Koeficient proti zdrsu

432121121 ** GGGGFFkFFK VVHH

5101.4

25.153281613125

164808075.2652604120206867002.34671424525*75.0=

*

12

4321211

HH

VV

FF

GGGGFFkK

c) Koeficient proti prevrnitvi

44332211112211222 ********* GGGGHHVVVVHH rGrGrGrGrFrFrFrFK

6345.81021875

967.8822302=

*

*******

22

443322111122112

HH

GGGGHHVVVV

rF

rGrGrGrGrFrFrFK

53

1.1.25 Določi, s kolikšnim faktorjem varnosti proti zdrsu (K1) in prevrnitvi (K2) je zgrajena

betonska pregrada podane oblike in dimenzij. Računaj na širinski meter L ( na papir).

H = 140 m

b = 30 m

a = 60 m

b = 2.8 kg/dm3

v = 1 kg/dm3

k = 0.7 (koeficient

trenja)

L= 1m

Rešitev:

a) Možnost zdrsa

NLH

bagG b 576828001*2

140*3060*81.9*2800*

2***1

mbar 203060*3

2*

3

21

NLbHbgG b 906444001*30140*30*81.9*2800****2

mb

ar 452

3060

22

54

NLbb

gG b 123606001*2

30*30*81.9*2800*

2

***3

mb

ar 403

30*260

3

*23

NLHH

gF vH 961380001*2

140*140*81.9*1000*

2

***

mH

rH 6667.463

140

3

NLbb

gF vV 44145001*2

30*30*81.9*1000*

2

***

mb

arV 503

3060

3

** 3211 kGGGFKF VH

2021.1

96138000

7.0*1236060090644400576828004414500*3211

H

V

F

kGGGFK

b) Možnost prevrnitve

****** 3322112 VVHH rFrGrGrGKrF

3257.16667.46*96138000

50*441450040*1236060045*9064440020*57682800=

*

**** 3322112

HH

VV

rF

rFrGrGrGK

55

1.1.26 V steni med dvema bazenoma je vgrajena pravokotna loputa, ki lahko prosto niha okrog

tečaja T. S kolikšno silo in s katere strani jo moramo podpreti na njenem spodnjem robu, da

se ne bo premaknila iz vertikalnega položaja?

b = 2 m

H1 = 3.5 m

H2 = 4 m

s = 1 m

olj a= 0.7*103

kg/m3

glic = 1.26 kg/m3

Rešitev:

a) Sila in prijemališče glicerina (s pomočjo obtežnega diagrama)

Ns

HbgF glic 68.139051*

2

5.02*81.9*10*26.1*

2**

2

3

2

1

mHHH 5.05.3412

mHbHr 5.15.02*3

25.0*

3

21

b) Sila in prijemališče olja

Nsb

gF olja 137341*2

2*81.9*10*7.0*

2**

23

2

2

56

mbr 3334.12*3

2*

3

22

c) Sila, s katero pritiskamo

0 TM

0*** 32211 bFrFrF

Nb

rFrFF 26.1273

2

5.1*68.13905334.1*13734** 1223

Loputo moramo podpreti s silo 1273.26N s strani olja.

57

1.1.27 Določi, s kolikšnim faktorjem varnosti proti zdrsu (K1) in prevrnitvi (K2) je zgrajena

betonska pregrada podane oblike in dimenzij. Računaj na širinski meter!

H = 140 m

R = 30 m

a = 60 m

b = 2.8 kg/m3

v = 1 kg/m3

k = 0.7

L = 1 m

Rešitev:

a) Sile

NL

HRagG b 576828001*

2

140*3060*81.9*2800*

2

***1

mRar 203060*3

2*

3

21

NLRRHgG b 906444001*30*30140*81.9*2800****2

mR

ar 452

3060

22

NLR

gG b 08.194159851*4

30**81.9*2800*

4

***

22

3

58

mR

Rar 7324.42*3

30*43060

*3

*43

NLH

gF vH 961380001*2

140*81.9*1000*

2**

22

mH

rH 6667.463

140

3

NLR

RgF vV 62.18947191*4

30*30*81.9*1000*

4

***

22

22

mrRar VV 299.53299.233060'

4

*

32' 4

*'*

*3

*4*

4

*

2

*2

2

33

22

22

RR

RR

rR

RrRRRR

VV

mR

rV 299.23

41*6

30

41*6

'

b) Zdrs

** 3211 VH FGGGkKF

2352.1

96138000

62.189471908.194159859064440057682800*7.0*K 321

1

H

V

F

FGGGk

c) Prevrnitev

VVHH FrGrGrGrFrK ****** 3322112

3777.196138000*6667.46

62.1894719*299.5308.19415985*7324.4290644400*4557682800*20

*

**** 3322112

HH

VV

Fr

FrGrGrGrK

59

1.1.28 Zapornica v obliki valja premera D in dolžine L ( na papir) je vrtljiva okrog tečaja A. Pri

kateri višini vode H2 je zapornica zaprta oz v simetričnem položaju (glej sliko), tako da loči

olje od vode?

H1 = 6 m

o = 0.8 kg/m3

v = 1 kg/m3

D = 1.5 m

L = 3 m

rT = 4*R / (3*) (težišče

polkroga)

Rešitev

a) Sile na zapornico

NLD

gF oV 84.208023*2*4

5.1**81.9*800*

2*4

***

22

1

VV rmD

r 21 3183.0*2*3

5.1*4

*3*2

*4

NShgF ToH 1854095.4*25.5*81.9*800*** 111

mD

HhT 25.52

5.16

211

2

2

1 5.43*5.1* SmLDS

mSh

Jhh

T

TTS 2857.5

5.4*25.5

84375.025.5

* 11

111

2

433

1 84375.012

5.1*3

12

*TT Jm

DLJ

mDHhr SH 7857.05.162857.5111

22222 *44145*5.4*81.9*1000*** TTTvH hhShgF

2

2

2

2

22

222

1875.0

*5.4

84375.0

* T

T

T

T

T

TTS

hh

hh

Sh

Jhh

75.01875.0

2

5.11875.0

2

1875.0

22

2

2

2222 TT

T

T

TSHhh

Dh

hhDHhr

NLD

gF VV 55.260033*2*4

5.1**81.9*1000*

2*4

***

22

2

60

b) Višina vode H2

VVVVHHHH rFrFrFrF 11221122 ****

3183.0*84.208023183.0*55.260037875.0*18540975.01875.0

**441452

2

T

Th

h

mhT 2.475.0*444145

1875.0*441453183.0*84.208023183.0*55.260037875.0*1854092

md

hH T 95.42

5.12.4

222

61

1.1.29 V vertikalni steni med dvema rezervoarjema z vodo je nameščena železna zapornica

podanega prereza, ki je vrtljiva okrog tečaja A. Kolikšna je minimalna sila F v jekleni vrvi, s

katero lahko dvigujemo zapornico? Širina zapornice ( na papir) je L.

a = 4 m

b = 2 m

c = 3 m

= 30

L = 5 m

v = 1000 kg/m3

j = 7800 kg/m3

Rešitev:

a) Sile in prijemališča na zapornico

NLc

gF vH 2207255*2

3*81.9*1000*

2**

22

1

mcbrH 43*3

22*

3

21

NShgF TvH 159412525*5.6*81.9*1000*** 222

mcb

ahT 5.62

324

22

2

2 255*32* mLcbS

62

NLc

gF vV 01.1733575*4*2

3**81.9*1000*

2*4

***

22

1

NLc

gG j 68.13521845*8

3**81.9*7800*

2*4

***

22

1

mc

r 6366.02**3

3*4

2**3

*41

NL

ccbgF vV 3678755*

2

3*32*81.9*1000*

2

***2

NL

ccbgG j 28694255*

2

3*32*81.9*7800*

2

***2

mc

r 13

3

32

mhS

Jhh

T

TTSH 8205.6

25*5.6

0833.525.6

* 22

222

4

33

2 0833.5212

32*5

12

*m

cbLJT

NGG 68.4221609286942568.135218421

mGG

rGrGrG 4758.0

**

21

2211

mahr SHH 8205.248205.622

b) Sila za dvigovanje zapornice

0AM

0******* 222211221111 HHVVHHF rFrGrFrFrGrFrF

mdrF 9155.230sin*8309.5sin*

mccbd 8309.5332 2222

F

VHHHHV

r

rFrGrFrFrGrFF 221111222211 ******

N17.18399869155.2

1*

1*3678756366.0*68.13521844*220725

805.2*15941251*28694256366.0*01.173357

63

1.1.30 Zapornica v obliki četrtinke plašča valja (širine L na papir) in teže G je na zgornjem koncu

vrtljiva okrog tečaja A, na spodnjem pa s pomočjo sidra pripeta na zid. Določi vertikalno

silo, ki pri višini vode H deluje na sidro!

a = 1 m

R = 2 m

L = 2 m

G = 10000 N

H = 4.7 m

v = 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Horizontalna sila na zapornico in njeno prijemališče

NShgF HTHvH 1059484*7.2*81.9*1000***

mR

aHhTH 7.22

217.4

2

242*2* mLRSH

mhs

Jhh

THH

THTHSH 8235.2

7.2*4

3334.17.2

*

64

433

3334.112

2*2

12

*m

RLJTH

maRHhr SHH 1235.1127.48235.2

b) Vertikalna sila in njeno prijemališče

NPgF VvV 05.1283460832.13*81.9*1000**

322

0832.132*127.44

*2*2*

4

** mRaRH

RLPV

m

RaRHR

RaRHRRR

r v 9274.0

2*127.44

*2

127.4*2

2

3

2

*4

*

*24

**

*3

*4

'2

23

2

2

mrRr vV 0726.19274.02'

c) Vertikalna sila v sidru

0 AM

0**** RFrGrFrF GVVHH

NR

rGrFrFF GVVHH 25.124712

2

7268.0*100009274.0*05.1283461235.1*105948***

mR

r G 2732.12*2*2

'

mrRr GG 7268.02732.12'

65

1.1.31 Zapornica teže G, ki zapira talni izpust, ima obliko polkrožnega loka premera D in širino s

( na papir). Vrtljiva je okrog osi A in preko ročice dolžine L povezana z utežjo mase m.

Določi maso m tako, da se bo zapornica odprla pri višini vode H (lastno težo ročice lahko

zanemariš)!

D = 2 m

L = 3 m

s = 1.5 m

G = 10000 N

H = 2.5 m

v = 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Horizontalna komponenta sile hidrostatskega pritiska in njeno prijemališče

NShgF HTHvH 1030053*5.3*81.9*1000***

mD

HhTH 5.32

25.2

2

235.1*2* msDSH

mSh

Jhh

HTH

THTHSH 5952.3

3*5.3

15.3

*

433

112

2*5.1

12

*m

DsJTH

mHhr SHH 0952.15.25952.3

66

b) Vertikalna komponenta sile hidrostatskega pritiska in njeno prijemališče

NPgF VvV 27.231143562.2*81.9*1000***

322

3562.25.1*2*4

2**

2*4

*ms

DPV

m

D

rV 4244.0*3

2

2*4

*3

2*4

c) Težišče teže zapornice

r

D

mG

22

22

20 6366

* *

.

d) Masa uteži

0 AM

0***** LgmrFrGrF VVGHH

kgLg

rFrGrFm VVGHH 32.3716

3*81.9

4244.0*27.231146366.0*100000952.1*103005

*

***

67

1.1.32 S kolikšno silo moramo podpreti v točki C okroglo loputo, ki ima vrtišče v točki A, da ne bo

prišlo do iztekanja vode iz posode?

F0 = 102

N

S0 = 100 cm2

D = 1 m

H = 2 m

= 60

Rešitev:

a) Določitev sile, ki preprečuje odprtje zapornice

barmNS

Fp 1.0/10000

01.0

100 2

0

0

mg

pHh 0194.3

81.9*1000

100002

*

*

NShgF Tv 75.265997854.0*4524.3*81.9*1000***

mD

hhT 4524.32

60sin*10194.3

2

sin**

222

7854.04

1*

4

*m

DS

mhS

Jhh

T

TTS 0021.4

9865.3*7854.0

0491.09865.3

* '

''

mh

h TT 9865.3

60sin

4524.3

sin

'

444

0491.064

1*

64

*m

DJT

mh

hr S 5157.060sin

0194.30021.4

sin

*'

ND

rFFDFrF v

CCv 91.137161

5157.0*75.26599* **

68

1.1.33 Valjasta posoda, ki je na širšem delu zaprta, je s svojim ožjim delom, ki je brez osnovne

ploskve, nameščena v odprti krak rezervoarja, ki je napolnjen z vodo in zrakom pod tlakom

pA. Kolikšna mora biti teža posode, da miruje v narisanem položaju (se ne dviga oz.

spušča)?

pA = -0.3 bar

D = 1.5 m

d = 1 m

H = 5 m

h = 1 m

v = 103

kg/m3

Rešitev:

a) Izračun navidezne gladine

H Hp

gm

A

v

1

5

350 3 10

10 9 8119419

*

. *

* ..

b) Razlika sil hidrostatičnega pritiska, ki deluje navzgor: F1

Nd

HgF v 84.149614

1**9419.1*81.9*100

4

****

22

111

69

c) Razlika sil hidrostatičnega pritiska, ki delujejo navzdol: F2

NdDhgF v 95.963015.1*4

*1*81.9*1000*4

*** 2222

2

d) Ravnotežje sil

12 FGF

NFFG 89.533095.963084.1496121

70

1.1.34 Zapornica trikotne oblike zapira odprtino v vertikalni steni. V bazenu je sloj olja na sloju

vode. Določi silo hidrostatičnega pritiska na zapornico in njeno prijemališče!

h = 4 m

a = 2 m

v = 103

kg/m3

o = 0.8*103

kg/m3

Rešitev:

a) Težišča in vztrajnostni momenti likov

- trapeza

ca

ccaaHJ

ca

caHh TT

223 **4*

36 ;

*2*

3

- trikotnika

36

* ;

3

3HcJ

Hh TT

b) Velikost sile in njeno prijemališče na zgornji polovici zapornice

NShgF To 209283*8889.0*81.9*800*** 111

mca

cahhT 8889.0

12

1*22*

6

4*2*

3*21

2

1 32

4*

2

12

2*

2m

hcaS

mSh

Jhh

T

TTS 934.0

3*8889.0

1204.08889.0

* 11

11

4

22

3

22

3

1 1204.0

2

22

4

2

2

2*2*42

*288

2

2

42**4

*36*8

ma

a

aaaa

hJT

c) Velikost sile in njeno prijemališče na spodnji polovici zapornice

NShgF Tv 222361*2667.2*81.9*1000*** 222

mh

hv

o

6.11000

800*

2

4*

2

'

71

mhh

n 4.06.12

4

2

'

mh

nh

hT 2667.26

44.0

2

4

3*222

2

2 18

4*2

2*2*2

*m

haS

mSh

Jhh

T

TTS 3647.2

1*2667.2

2222.02667.2

* 22

22

4333

2 2222.036*8*2

4*2

36*8*2

*

36

*m

haHcJT

mnhh SdejS 7647.24.03647.222

c) Velikost sile in njeno prijemališče

NFFF 43164222362092821

*** 2211 SdejSS hFhFhF

1.8771m=43164

2.747*22236+0.934*20928=

**=

2211

F

hFhFh

dejSS

S

72

1.1.35 Zapornica podane oblike zapira odprtino v vertikalni steni. V bazenu je sloj olja na sloju

vode. Skolikšno vertikalno silo F moramo zapornico podpirati, da jo zadržimo v vertikalnem

položaju, če je vrtljiva okrog tečaja A?

h = 6 m

a = 3 m

v = 103

kg/m3

o = 0.8*103

kg/m3

Rešitev:

a) Sila na zgornjo polovico zapornice

NShgF To 706325.4*2*81.9*800*** 111

mh

hT 22

6*

3

2

2*

3

21

2

21 5.42*2

6*3

2*2

*m

haSS

mSh

Jhh

T

TTS 25.2

5.4*2

25.22

* 11

111

4

22

21 25.236

2

6*3

36

2*

m

ha

JJ TT

73

b) Sila na spodnjo polovico zapornice (navidezna gladina)

mh

hhgh

gv

ovo 4.2

1000

8.0*

2

6*

2 **

2** *

1

*

1

mhh

h 6.04.22

6

2

*

1

NShgF Tv 1500935.4*4.3*81.9*1000*** 222

mh

hh

hT 4.33

1*

2

66.0

2

6

3

1*

22

*

2

mSh

Jhh

T

TTS 5471.3

5.4*4.3

25.24.3

* 2

*

2

2*

2

*

2

mhhh SS 1471.46.05471.3*

22

c) Sila F

0AM

2211 *** SS hhFhhFhF

N

h

hhFhhFF SS 25.90497

6

1471.46*15009325.26*70632** 2211

74

1.1.36 Zapornica podane oblike zapira odprtino temeljnega izpusta v pregradi. V bazenu je sloj olja

na sloju vode. Določi, s kolikšno silo pritiska zapornica na podlago v točki B, če je vrtljiva

okrog točke A. Teža zapornice je G.

= 60

a = 3 m

b = 4 m

c = 2 m

G = 20 kN

v = 1000 kg/m3

o = 800 kg/m3

Rešitev:

a) Sila na zgornjo polovico zapornice

NShgF To 58.589032*7528.3*81.9*800*** 111

mb

ahT 7528.360sin*2

4*

3

23sin*

2*

3

21

2

1 22*2

2*4

2*2

*m

cbS

mhS

Jhh

T

TTS 3846.4

3333.4*2

4444.03333.4

* '

11

1'

1

'

1

mb

ahT 3333.42

4*

3

23

2*

3

2'

1

4

22

1 4444.036

2

4*2

36

2*

m

bc

JT

75

b) Sila na spodnjo polovico zapornice (navidezna gladina)

**sin*2

** *

1

hg

bag vo

mb

ahv

o 4641.360sin*2

43*

1000

800sin*

2**

1

NShgF Tv 29.792832*0415.4*81.9*1000*** 2

*

22

mb

hhT 0415.460sin*3*2

1*44641.3sin*

3

1*

2

*

1

*

2

2

12 2mSS

mSh

Jhh

T

TTS 7143.4

2*6667.4

4444.06667.4

* 2

* '

2

2* '

2

* '

2

4

12 4444.0 mJJ TT

mh

h TT 6667.4

60sin

0415.4

sin

*

2* '

2

mhb

ahhh 866.04641.360sin*2

43'sin*

2' 111

mh

hh SS 7143.560sin

866.07143.4

sin' ''

22

c) Sila na podlago v točki B

2

*cos****F 0 '

22

'

11

bGbFahFahM BSSA

N

b

bGahFah

FSS

B

86.691954

2

4*60cos*2000037143.5*29.7929333846.4*58.58903

2*cos***F '

22

'

11

76

1.2 Vzgon in plavanje

77

1.2.1 Prizmatična lesena palica gostote p, kvadratnega preseka (stranica a) ter dolžine L plava v

vodi v horizontalnem položaju tako, da je ena diagonala prečnega preseka vertikalna. Določi

globino potopitve h in preveri, če je palvanje stabilno. S kolikšno horizontalno silo F

moramo palico obremeniti, da se nagne za kot ?

p = 0.7 kg/m3

a = 0.1 m

L = 1 m ( na papir)

= 5

Rešitev:

a) Globina potopitve

WG

2

*2*****

2

122 haggLa vP

2

1

22 *** haa vvP

2222

1 003.01

7.01*1.01* mah

v

p

mh 0548.01

mhah 0866.00548.02*1.02* 1

b) Stabilnost plavanja

mha

h

haL

hL

P

JMCW 0156.0

0548.01.0*3

0548.0*2

*12

*8

**12

*2*22

3

2

1

2

3

1

2

1

2

3

1

12

*2*3

1hLJ

78

xa

CC GW 2

2*

2

1

2111

2

*2

*2**

32

2**hax

hhhh

aa

mha

hh

ha

x 0561.00548.01.0

0548.0*3

0548.00866.0

2

2*1.0*

32

2*

22

23

2

1

2

2

11

3

mxa

CC GW 0147.00561.02

2*1.0

2

2*

stabilno je plavanje ... GWW CCMC

c) Kot nagiba

NaLGMCrF GH 67.6881.9*1.0*1*700***g=G *sin** 22

mxamCCMCMC GWWG 0854.0056.02*1.02*r ; 0009.00147.00156.0 H

NGMC

F G 0698.067.68*5sin*0854.0

0009.0*sin*

rH

79

1.2.2 Stožec gostote s je obremenjen s silo F. Preveri stabilnost plavanja in kot nagiba.

s = 0.6 kg/dm3

v = 1 kg/dm3

H = 3 m

R = 2 m

F = 1000 N

Rešitev:


WGF

3

1*****

3**** 3

2

22 h

H

Rg

hrgGF vv

m

Rg

GFHh

v

5417.22**81.9*1000

66.739651000*3*3

***

**33

2

2

32

2

NH

RgG s 66.739653

3*2**81.9*600

3**** 22

mH

Rhr

H

Rhr

R

H

r

h6944.1

3

2*5417.2* ; *


mP

JMCW 8472.0

6418.7

4742.6

4

44

4742.664

6944.1*2*

64

*2*m

rJ

322 6418.73

5417.2*6944.1*

3** m

hrP

80

mhH

CC GW 3438.04

5417.2*3

4

3*3

4

*3

4

*3

stabilno je Plavanje 0 5035.03438.08472.0 mCCMCMC GWWG

c) Kot nagiba

sin*** GMCGRF

0787.3 0537.05035.0*66.73965

2*1000

*

*sin

GMCG

RF

81

1.2.3 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev dolžine l ( na papir), ki so zgoraj povezani z

deskami, katerih težo lahko zanemarimo. Preveri stabilnost plavanja, če je splav centrično

obremenjen s silo F!

l = 600 kg/m3

v = 1000 kg/m3

a = 1 m

b = 2 m

c = 0.5 m

d = 1.5 m

l = 10 m

F = 10000 N

Rešitev:


FGW

*2*****2**** Fcadlgcahlg lv

mcalg

Fcadlg

v

l 9408.05.01*2*10*81.9*1000

100005.01*2*5.1*10*81.9*600

*2***

*2****=h


mh

yCW 4704.02

9408.0

2

md

yCG 75.02

5.1

2

mP

JMCW 5062.6

5194.23

0208.153

35194.235.01*2*10*9408.0*2** mcalhP

4

233

233

0208.1532

1

2

5.02*10*1

12

1*10*2

12

5.0*10=

22**

12

**2

12

*

m

acbla

alclJ

ostabijeplavanjeCCMCMC WGWG ln 0 2265.62796.05062.6

myyCC CWCGWG 2796.04704.075.0

82

1.2.4 Plavač iz homogenega materiala, katerega prerez kaže slika, dolžine L ( na papir),

obremenimo s silo F. Določi težo plavača in gostoto materiala ter preveri stabilnost

plavanja! Za kolikšen kot bi se splav nagnil, če bi sila F delovala na robu splava?

a = 0.2 m

b = 0.8 m

h = 0.5 m

y = 0.4 m

L = 3 m

F = 800 N

Rešitev:

a) Teža in gostota plavača

WGF

NFyLagFWG 8.39088004.0*3*2.0*2*81.9*1000***2**

3/417.25556.1*81.9

8.3908

P*g

G= ** mkgPgG PP

356.13*5.0*2.0*23*2.0*8.0*2***2***2 mLhaLabP


2

***22

***2**2**2*h

haha

abhaabyG

mhaab

hhah

aab

yG 4654.05.0*2.0*22.0*8.0*2

2

5.0*5.0*2.0*25.0

2

2.0*2.0*8.0*2

**2**2

2***2

2***2

my

yW 2.02

4.0

2

myyCC WGGW 2654.02.04654.0

mP

JMC

P

W 2333.148.0

592.0

4

2323

592.02

2.08.0*2.0*3

12

2.0*3*2

2**

12

**2 m

abaL

aLJ

48.03*4.0*2.0*2***2 3mLyaPP

0 968.02654.02333.1 mCCMCMC GWWG

83

c) Kot nagiba

sin*** GMCGbF

7387.9 1692.0968.0*8.3908

8.0*800

*

*sin

GMCG

bF

84

1.2.5 Lesen splav, sestavljen iz dveh zabojnikov in krova (prečni prerez je podan na skici), dolžine

L, plava na vodi. Za kolikšen kot se nagne, če na njegov skrajni rob stopi človek z maso M.

Pri računu težo krova zanemarimo!

d = 0.05 m

a = 0.5 m

b = 0.4 m

L = 5 m

s = 3 m

M = 90 kg

lesa = 900 kg/m3

Rešitev:

a) Globina potopitve splava (brez človeka)

kg

LdadbVm lesalesalesalesa

7205*05.0*5.0*205.0*24.0*2*2*900

***2*2*2*2**

gmLhag lesa *2*****

mLa

mh 144.0

2*5*5.0*1000

720

2***

b) Globina potopitve splava (s človekom)

gmgmLhag lesa **2*****

mLa

mmh lesa 162.0

2*5*5.0*1000

90720

2***

c) Metacentrična razdalja

mCCMCMC GWWG 8985.13119.00175.14

mhb

CC GW 119.02

162.0

2

4.0

22

1

mP

JMCW 0175.14

81.0

3542.11

4

2323

3542.115*5.0*2

3

12

5.0*5*2**

212

**2 mLa

saLJ

3

1 81.05*162.0*5.0*2***2 mLhaP

85

d) Kot nagiba

Nas

gMMN 08.15452

5.03*81.9*90

2**

NgmG lesa 2.706381.9*720*

sin** MCGM GN

0.9018= 0157.08985.13*2.7063

08.1545

*sin

MCG

M

G

N

86

2.2.6 Plavač iz homogenega materiala gostote p, katerega prerez kaže slika, dolžine l ( na

papir), obremenimo s silo F. Določi globino potopitve in kot nagiba!

a = 0.2 m

b = 0.8 m

c = 0.7 m

l = 1 m

F = 40 N

p = 300 kg/m3

v = 1000 kg/m3

Rešitev:


FGW

2***** FGlahgv

mlag

FG

v

4602.02*1*2.0*81.9*1000

408.1765

2****=h

NcaablgG p 8.17657.0*2.0*22.0*8.0*2*1*81.9*300**2**2***

b) Kot nagiba

sin*** GMCGbF

4582.1 0255.07121.0*8.1765

8.0*40

*

*sin

GMCG

bF

mCCMCMC WGWG 7121.03599.0072.1

mP

JMCW 072.1

1841.0

1973.0

4

2323

1973.01*2.0*2

2.08.0*2

12

2.0*1*2**

2*2

12**2 mla

ab

alJ

31841.04602.0*1*2.0*2***2 mhlaP

myyCC CGCWWG 3599.02301.059.0

mh

yCW 2301.02

4602.0

2

m

abca

acab

cca

SS

acS

cS

yCG

59.0

2.0*8.0*27.0*2.0*2

2

2.07.0*2.0*8.0*27.0*2.0

**2**2

2***2

2***2

*2

2*

2**2 2

21

21

87

1.2.7 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev dimenzij a*a*L, ki so zgoraj povezani z deskami

(težo desk lahko zanemarimo). Za kolikšen kot se splav nagne, če ga obremenimo s silo F?

l = 0.6 kg/dm3

v = 1 kg/dm3

a = 0.5 m

b = 2 m

L = 3 m ( na papir)

F = 3000 N

Rešitev:


FGW

NgLaG l 5.1324381.9*600*3*5.0*3****3 22

FGlhagv *****3

mlag

FGh

v

368.03*5.0*81.9*1000*3

30005.13243

****3

b) Metacentrična razdalja

mha

CC GW 066.02

368.0

2

5.0

22

mP

JMCW 3804.11

6558.1

8438.18

4333

333

8438.185.02*25.02*25.0*3*12

3

1212

*2

12

*2*3*

m

ababaLJ

36558.13*368.0*5.0*3***3 mlhaP

mCCMCMC GWWG 3144.11066.03804.11

c) Kot nagiba

sin***2

* GMCGba

F

2.5819= 045.03144.11*5.13243

22

5.0*3000

*

*2

*

sin GMCG

ba

F

88

1.2.8 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev trikotnega prereza in dolžine L ( na papir).

Nosilci so zgoraj povezani z deskami, katerih težo lahko zanemarimo. Za kolikšen kot se

splav nagne, če na njegov rob stopi človek mase M? Preveri tudi stabilnost plavanja!

l=0.6kg/dm3 (gostota lesa)

v = 1 g/dm3 (gostota vode)

a = 0.5 m

b = 2 m

L = 3 m

M = 120 kg

Rešitev:


gLhh

gLaa

gM vl ***2

**3***

2

**3*

mLa

ML

h l

v

4203.0600*3*2

5.0*3120*

3*1000*3

2**

2*3*

**3

2 22

b) Metacentrična razdalja

mhaCC GW 0531.04203.05.0*3

2*

3

2*

3

2

mP

JMCW 8963.19

795.0

8176.15

mCCMCMC GWWG 8432.190531.08963.19

423

23

8176.153*4203.0*25.0*212

3*4203.0*3***2

12

**3 mLhba

LhJ

222

795.03*2

4203.0*3*

2*3 mL

hP

c) Stabilnost plavanja

GMCa

bagM G *sin*2

**

1.4118= 0246.075.6621*8432.19

2

5.025.0*81.9*120

*

2**

sin GMC

abagM

G

NgLa

G l 75.662181.9*3*2

5.0*600*3**

2**3

22

89

1.2.9 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev dolžine l ( na papir). Dva sta trikotnega, eden pa

pravokotnega prereza. Nosilci so zgoraj povezani z deskami, katerih težo lahko zanemarimo.

Za kolikšen kot se splav nagne, če na njem na narisanem mestu stoji človek z maso M?.

Preveri stabilnost plavanja!

l = 600 kg/m3

v = 1000 kg/m3

a = 0.8 m

b = 1.5 m

c = 1 m

l = 4 m

M = 100 kg

Rešitev:


gMGW *

gMaca

lghch

lg lv **2

*2****2

*2***22

1001*8.08.0*4*6001**4*1000 22 hh

889.01*2 hh

2

134.21

2

899.0*411h 0889.01* 1,2

2

hh

mh 5672.01

mh 5673.12 fizikalno nerealen rezultat

b) Stabilnost palvanja

stabilno je Plavanje 0 337.71414.04785.7 mCCMCMC GWGG

mP

JMCW 4785.7

556.3

5934.26

4

233

233

5934.262

15.1

2

8.04*5672.0

12

5672.0*4*2

12

1*4=

22**

12

**2

12

*

m

ab

clh

hlclJ

322

556.31*5672.0*42

5672.0*4*2**

2**2 mchl

hlP

90

hchh

hhch

yW **22

**3

2*2*

2*2*

22

m

chh

hchh

yW 3178.015672.0*5672.0

2

5672.0*15672.0*

3

2*5672.0

*

2

**

3

2* 22

acaa

aaca

yG **22

**3

2*2*

2*2*

22

m

caa

acaa

yG 4593.018.0*8.0

2

8.0*18.0*

3

2

*

2

**

3

2* 22

myyCC WGGW 1414.03178.04593.0

c) Kot nagiba

sin**2

** GMCbc

gM G

Nlcaa

gG l 36.339034*1*8.08.0*81.9*600**2

*2** 22

0.452= 10*887.736.33903*337.7

5.12

1*81.9*100

*

2**

sin 3 GMC

bc

gM

G

91

1.2.10 Splav je sestavljen iz štirih lesenih nosilcev pravokotnega prereza in dolžine L ( na papir),

ki so zgoraj povazani s prečnimi deskami (težo desk lahko zanemarimo). Določi globino

potopitve in kot nagiba, če splav obremenimo s silo F!

a = 0.4 m

b = 0.2 m

c = 0.3 m

d = 1 m

L = 5 m

l = 600 kg/m3

v = 1000 kg/m3

F = 1000 N

Rešitev:


FGW

FGhbLgv ***4**

mbLg

FGh

v

2655.02.0*5*4*81.9*1000

10006.9417

**4**

NbaLgG l 6.94172.0*4.0*5*81.9*600*4*****4

b) Kot nagiba

sin*** GF MCGrF

1.4676= 0256.09022.2*6.9417

7.0*1000

*

*sin

G

F

MCG

rF

mbd

rF 7.02.02

1

2

mCCMCMC GWWG 9022.2067.09694.2

mP

JMCW 9694.2

0619.1

1533.3

4

223

223

1533.32

2.0

2

1

2

2.03.02.0

2

1*5*2.0

12

5*2.0*2*2=

2222**

12

**2*2

m

bdbcb

dLb

LbJ

30619.15*2655.0*2.0*4***4 mLhbP

92

ma

yCG 2.02

4.0

2

mh

yCW 1327.02

2655.0

2

mCC GW 067.01327.02.0

93

1.2.11 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev in prečnih desk (težo desk lahko zanemarimo).

Določi kot nagiba, če splav obremenimo s silo F! Širina splava ( na papir) je L.

a = 0.5 m

b = 0.8 m

c = 3 m

d = 0.25 m

F = 1000 N

L = 8 m

l = 0.6 kg/dm3

v = 1 kg/dm3

Rešitev:


FGGW 21*2

FGGLbhdahgv 21*2****2**

bdLg

FGGhdah

v

***

*2***2 21

NLagG l 117728*5.0*81.9*600*** 22

1

NLdbagG l 6.153038*25.0*8.05.0*81.9*600****2

m

da

bd

daLg

FGGh

v

2462.025.05.0*2

8*25.0

25.05.0*289*81.9*1000

10006.1530311772*2

*2

*

*2***

*2 21


mGG

bhG

abG

yCG 8424.06.1530311772*2

2

8.02462.0*6.15303

2

5.08.0*11772*2

*2

2*

2**2

21

21

m

dbhah

bhdbhb

hah

yCW

717.025.0*8.02462.05.0*2462.0*2

2

8.02462.0*25.0*8.02462.08.0

2

2462.0*5.0*2462.0*2

=

***2

2**

2***2

mP

JMCW 4775.22

0619.4

3021.91

94

4

233233

91.3021m=

2

5.03

2

25.0*5.0*8

12

5.0*8*2

12

25.0*8

22**

12

**2

12

*

ac

daL

aLdLJ

30619.48*25.0*8.02462.05.0*2462.0*2****2 mLdbhahP

mCCMCMC GWWG 3521.221254.04775.22

myyCC CWCGGW 1254.0717.08424.0

c) Kot nagiba

sin**

2* GMCac

dF G

0.2396= 10*1777.4)6.1530311772*2(*3521.22

5.032

25.0*1000

*

2*

sin 3 GMC

acd

F

G

95

1.2.12 Splav je sestavljen iz prečnih desk in dveh votlih nosilcev dolžine l ( na papir), ki sta do

višine y napolnjena z nafto. Določi kot nagiba splava, če ga obremenimo s silo F! Lastno

težo splava (praznih nosilcev in prečnih desk) lahko zanemariš!

a = 1 m

b = 5 m

l = 10 m

y = 0.8 m

F = 1000 N

n = 860 kg/m3 (nafta)

v = 1000 kg/m3 (voda)

Rešitev:

a) Globina potopitve h

FGW

**2**2

**2**2

22

Fgly

glh

nv

mgl

Fgly

v

n 7487.081.9*1000*10

100081.9*860*10*8.0

**

****=h

22

Ngly

G n 24.5399481.9*860*10*8.0**2**2

22

b) Kot nagiba

sin**2

* GMCGb

F

0.23= 10*0141.45345.11*24.53994*2

5*1000

**2

*sin 3

GMCG

bF

mCCMCMC GWWG 5345.110342.05687.11

mhyyyCC CWCGGW 0342.07487.0*3

28.0*

3

2*

3

2*

3

2

mP

JMCW 5687.11

6059.5

8533.64

4

2323

8533.642

1

2

5*10*8.0*2

12

10*8.0*2

22***2

12

**2 m

ablh

lhJ

322

6059.510*7487.0*2

*2 mlh

P

96

2. KINEMATIKA IDEALNE NESTISLJIVE

TEKOČINE

97

2.1 Potencialni (nevrtinčni) tok

98

2.1.1 V kotu, katerega kraka oklepata kot , imamo točkast izvor jakosti q (debelina toka na

papir je 1 cm). Na razdalji r1 od izvora je hitrost vr1.

a) Določi jakost izvora

b) Določi enačbi tokovne funkcije in potenciala toka , če poznamo:

pri = 0 je = 0

pri r= r0 je = 0

c) Izriši tokovnice = 0, 1, 2 in 3 cm2/s ter ekvipotencialne črte = 0, 1, 2, 3 in 4 cm

2/s!

= 60

r1= 3cm

vr1= 0.955cm/s

r0= 1cm

Rešitev:

a) Jakost izvora

vq

rq

v rcm s

r

r

*

* * *

* * * * . * * * */

360

2

2

360

0955 2 3 60

36031 2

=

b) Enačbi tokovnic in ekvipotencialnih črt

rrr

qvr

****2

360*

*0

rrv

drr

qddr

rd

*

*3

1ln**3

crq

010 ln**3

c 0 rq

rr

0

ln**3

r

rq

qerr *3

*

0 *

99

r [cm]

0 1

1 1.4177

2 2.01

3 2.8497

4 4.0401

d

qddr

rd

*

180*

2*3*

cq

0 00 2 c

*3*q

*

*3

q

[rad]

0 0 0

1 /9 20

2 2*/9 40

3 /3 60

100

2.1.2 V horizontalni ravnini ( debeline 1cm na papir) imamo potencialni tik, kjer se voda iz

izvora jakosti q širi simetrično na obe strani med krakom , ki tvorita kot .

a) Določi enačbi tokovnice in ekvipotencialnih črt , če je:

pri = 0 je = 0

pri r0 = 2 cm je = 0.

b) Izriši tokovnice = 0, 1, 2, 3 ter 12, 13, 14 in 15 cm2/s (označi tudi smer toka)

c) Izriši ekvipotencialne črte = 0, 1, 2 in 3 cm2/s!

= 45

q= 6 cm2/s

Rešitev:

a) Enačbe tokovnic in ekvipotencialnih črt

rrr

q

r

q

r

qvr

**

*2

45*2***2

360*

*2***2

360*

*0

rrv

*2

d

qddr

rd

1**2

= cq

**2

= 00q

q*2

*

101

[rad] []

0 0 0

1 /12 15

2 2*/12 30

3 3*/12 45

12 180

13 13*/12 195

14 14*/12 210

15 15*/12 225

drr

qddr

rd

*

*2

2ln**2

crq

02200 ln**2

ln**2

=0 2r pri 0 rq

ccrq

cm

0

ln**2

r

rq

qerr *2

*

0 *

r [cm]

0 2

1 2.5985

2 3.3762

3 4.3866

102

2.1.3 V kotu horizontalnega kolena, katerega kraka oklepata kot , imamo točkast izvor vode

jakosti q.

a) Določi enačbo tokovnic in ekvipotencialnih črt, če poznamo robne pogoje ( označi še

smer toka):

pri = 0 je r = r0

pri r = 1 m je = 0.

b) Nariši tokovnice = 0, 1, 2 in 3 [m2/s], ter ekvipotencialne črte = 0, 1, 2 in 3 [m

2/s].

c) Določi hitrost vv v točkah A(x= 2m, y= 2m) ter B(x= 4m, y= 1m).

d) Določi tlak v točki B, če je tlak v točki A pA.

= 60

q= 3m2/s

pA= 0.1bar

Rešitev:

a) Enačba tokovnic in ekvipotencialnih črt

rrr

q

r

qvr

**

*3

*3

*0

rrv

d

qddr

rd

*3

*

*3

0= 0

**3

1 qcq

drr

qddr

rd

*

*3

r

rr

drqd

00

**3

103

0

0 ln**3

r

rq

00 r=r 0

0

ln**3

r

rq

Vrednost tokovnic Vrednost ekvipotencialnih črt

[ [rad r m

0 0 0 0 1

1 20 /9 1 1.4177

2 40 2*/9 2 2.01

3 60 /3 3 2.8497

c) Hitrost v točkah A in B

myxr AAA 8284.2822 2222

smr

qv

A

rA /0129.18284.2*

3*3

*

*3

myxr BBB 1231.41714 2222

smr

qv

B

rB /6948.01231.4*

3*3

*

*3

d) Tlak v točki B

2

*2

*22

BB

AA

vp

vp

barmNvvpp BAAB 10271.0/56.102716948.00129.1*2

100010*1.0*

2

222522

104

2.1.4 V kotu kolena, katerega kraka oklepata kot 120, imamo točkast ponor jakosti q. Debelina

toka na papir je 1 cm.

a) Določi enačbi tokovnic in ekvipotencialnih črt , če poznamo:

pri = 0 je = 0 ter pri

r0 = 1 cm je = 0.

b) Nariši tokovnice = -1, -2 in -3 cm2/s (označi smer toka) ter ekvipotencialne črte = -1, -

2 in -3 cm2/s.

c) Določi hitrost v v točkah A(r= 1cm, = 0) ter B(r= 2cm, = 0).

d) Na kakšni razdalji od ponora je tlak enak p= 0.1 N/m2, če je tlak v točki A enak pA= 0?

= 120

q = 4 cm2/s

Rešitev:

a) Enačbi tokovnic

rrr

qvr

***2

3*

*0

rrv

d

qddr

rd

*2

3*

*

*2

3*

0= ,0

**2

3*qc

q

drr

qddr

rd

**2

3*

00

ln**2

3*=

0= ,1

ln**2

3*

r

rq

r

crq

105

b) Vrednosti pri = -1, -2 in -3 cm2/s ter = -1, -2 in -3 cm

2/s

[] r cm

-1 30 -1 1.6881

-2 60 -2 2.8497

-3 90 -3 4.8105


r

qvr

**2

3*

scmr

qv

A

A /9099.11**2

3*4

*2

3*

scmr

qv

B

B /9549.02**2

3*4

**2

3*

d) Tlak v točki C

g

p

g

v

g

p

g

v CCAA

**2**2

22

g

p

g

v

g

v CCA

**20

*2

22

mg

p

g

v

g

v CAC 6222

10*3974.881.9*1000

1.0

81.9*2

0191.0

**2*2

smgvC /0128.081.9*2*10*3974.8*2*10*3974.8 66

cmv

qr

r

qv

C

C

C

C 4879.128.1**2

4*3

**2

3*

**2

3*

106

2.1.5 V kotu pravokotnega kolena imamo točkast ponor jakosti q.

a) Določi enačbo tokovnic in ekvipotencialnih črt, če poznamo robne pogoje:

pri = 0 je = 0 ter

pri r = 1cm je = 0.

b) Nariši tokovnici z vrednostima = -1 in -2 cm2/s ter ekvipotencialni črti = -1 in -2

cm2/s. Na tokovnicah označi tudi smer toka.

c) Določi hitrost vv v točkah A(x = 0, y = 2cm) ter B(x = 0, y = 4cm).

d) Določi tlak v točkah A(x = 0, y = 2 cm) ter B(x = 0, y = 4 cm), če je tlak v točki C(x = 0,

y = 1 cm) enak p0.

q = 3 cm2/s

p0 = 0

Rešitev:

a) Enačbi tokovnic

rrr

q

r

qvr

**

2*

4

**2

*0

rrv

d

qddr

rd

2*

*

2*

0= ,0

*2*

qcq

drr

qddr

rd

*

2*

rq

r

crq

ln*2*

0= ,1

ln*2*

107

b) Vrednosti pri = -1 in -2 cm2/s ter = -1 in -2 cm

2/s

[] r cm

-1 30 -1 1.6881

-2 60 -2 2.8497


r

qvr

*

2*

scmr

qv

A

A /9549.02*

2*3

*

2*

scmr

qv

B

B /4775.04*

2*3

*

2*

d) Tlak v točki C

g

p

g

v

g

p

g

v CCAA

**2**2

22

0*2**2

22

g

v

g

p

g

v CAA

scmr

qv

C

C /9099.11*

2*3

*

2*

mg

v

g

v

g

p ACA 62222

10*9433.1381.9*2

9549.0

81.9*2

9099.1

*2*2*

266 /1368.081.9*1000*10*9433.13**10*9433.13 mNgpA

mg

v

g

v

g

p BCB 62222

10*4291.1781.9*2

004775.0

81.9*2

019099.0

*2*2*

266 /17098.081.9*1000*10*4291.17**10*4291.17 mNgpB

108

2.1.6 Določi enačbo funkcije toka za:

a) Paralelni tok v smeri osi (-x): v1 = 2 cm/s (v koordinatnem izhodišču je 1= 0).

b) Paralelni tok pod kotom 45 glede na x-os: v2 = 1 cm/s (smer SV; v koordinatnem

izhodišču je 2=0).

c) Vsoto obeh tokov.

Nariši tokovnice za vse tri primere in označi smer sestavljenega toka!

Rešitev:

a) paralelni tok v smeri osi (-x): v1 = 2 cm/s

scmxy

uP /211

011 yx

vP

dydyy

dxx

d 20111

ycyx

cy*2 0

0 je 0

*211

1

11

b) Paralelni tok pod kotom 45 glede na x-os: v2= 1cm/s

xyuscmvu DD

22

2 /707.045cos*1cos*

yxvscmvv DD

22

2 /707.045sin*1sin*

yx

jeyx

cdydxdyy

dxx

d*707.0*707.0

0 0

707.0707.02

2

222

2

c) Vsota obeh tokov

3=1+2=-0.707*x - 1.2929*y

1) 1= -2*y 2) 2= -0.707*x + 0.707*y

y 1 2 x y

-0.5 1 1 1 2.41

-1 2 2 2 4.83

-1.5 3 3 3 7.24

-2 4

0.5 -1 -1 -1 0.41

1 -2 -2 -2 0.83

1.5 -3 -3 -3 1.24

2 -4

110

2.1.7 Določi potek tokovnic za superpozicijo ponora ob steni in paralelnega toka v negativni smeri

osi X. Določi tokovnico, ki razmejuje pretok iz ponora od paralelnega toka (= -8). Nariši še

tokovnice = -10, = -9, = -7 in = -6. Ugotovi in označi tudi razmejitveno točko na

abscisni osi (zastojna točka).

Paralelni tok: u= -1 cm/s,

pri y = 0 je 1 = 0

Ponor: q= 8 cm2/s, pri = 0 je 2= 0

Rešitev:

a) Paralelni tok

xu

y

11

yv

x

11

dyudyy

dxx

d *111

dyud *1

yyuy

cyu

*

00

*1

1

11

1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Y 0 1 2 3 4 5 6 -7

b) Ponor

r

q

rv

rr

**

22

*

22

rv

r

d

qddr

rd 22

2

*

8*

00

*2

2

22

qcq

111

2 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

0 1

8*

2

8*

3

8*

4

8*

5

8*

6

8*

7

8*

8

8*

112

2.1.8 Določi potek tokovnic za superpozicijo ponora v točki x = -2 cm, y = 0 in paralelnega toka v

negativni smeri y-osi. Določi tokovnico, ki razmejuje pretok iz ponora od paralelnega toka

( = 0). Ugotovi in označi tudi razmejitveno točko na ordinatni osi (zastojna točka). Nariši

še tokovnice = -2, -1, 1 in 2.

Paralelni tok: v = -1 cm/s,

pri x = 0 je 1= 2.

Ponor: q = 16 cm2/s; pri = 0 je 2 = -4

Rešitev:

a) Paralelni tok

xu

y

11

yv

x

11

dxvdyy

dxx

d *111

dxvd *1

22* 20

*1

1

11

xxv

x

cxv

1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

b) Ponor

r

q

rv

rr

**2*

22

*

22

rv

r

d

qddr

rd

*2

222

4*8

4**2

40

**2 2

2

22

qcq

2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

12

8*

11

8*

10

8*

9

8*

7

8*

6

8*

5

8*

2

3

8*

2

8*

8

0

8

4

3

8*

2

114

3. DINAMIKA IDEALNE NESTISLJIVE

TEKOČINE

115

3.1 Primeri uporabe Bernoullijeve enačbe

116

3.1.1 Po cevi teče voda iz bazena. V točki B vzdržujemo z ventilom stalni tlak. Določi, pri kateri

višini H1 nastopi kavitacija. Nariši tlačno in energijsko črto (upoštevaj idealno tekočino)!

y = 2 m

HB = 2.5 m

d1 = 10 cm

d2 = 20 cm

Rešitev:

g

vHy

g

p

g

vH B

*2**2

2

21

2

11

2

1

2

221 *

d

dvv

v.s.10*

:kavitacije nastop za pogoj 1 mg

p

BHyg

v

g

d

dv

*210

*2

*2

2

2

2

1

2

22

105.22*2

*16 2

2

2

2

g

vv

5.14**2*15 2

2 gv

smv /355.4966.1815

5.14*81.9*22

smd

dvv /42.17

10

20*355.4*

22

1

221

mH 4667.55.2281.9*2

355.4 2

1

118

3.1.2 Iz rezervoarja teče voda po cevovodu premera d. Pri B lahko z ventilom spreminjamo

pretok. Določi, v kakšnih mejah se lahko giblje pretok (Qmax in Qmin), če sta pogoja:

a) Pri A voda ne sme iztekati.

b) Pri C ne sme vdirati zrak v cevovod.

Zriši tlačno in energijsko črto za oba primera (idealna tekočina). Določi še maksimalno

možen iztok iz sistema, če cev v točki A zapremo, ventil v točki B pa je popolnoma odprt

(iztok na prosto)!

d = 20 cm

a = 2 m

b = 0.6 m

H = 3 m

Rešitev:

a) Voda ne izteka

smbaHg

v/8014.26.023*81.9*2b+a-H*g*2= v

*2

2

slsmd

vQ / 88/088.04

2.0**8014.2

4

** 3

22

min

b) Zrak se ne vsrkava

smaHg

v/4294.423*81.9*2a-H*g*2= v

*2

2

slsmd

vQ / 2.139/1392.04

2.0**4294.4

4

** 3

22

max

c) Maksimalen možen iztok

smHg

v/672.73*81.9*2H*g*2= v

*2

2

slsmd

vQ / 241/241.04

2.0**672.7

4

** 3

22

max

119

3.1.3 Voda (idealna tekočina) izteka iz rezervoarja po sistemu cevi s premeri d1, d2 in d3. V točki

A imamo iztok na prosto. Določi:

a) Energijsko in tlačno črto.

b) Pretok, ki izteka.

c) Minimalen dopusten premer d2, da ne pride do kavitacije!

d1 = 8 cm

d3 = 10 cm

= 60

L = 2 m

H = 8 m

Rešitev:

a) Energijska in tlačna črta

b) Pretok, ki izteka

Prerez 0-0 in 3-3

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

120

g

vzH

*2000

2

33

smzHgg

vzH /417.71962.58*81.9*2**2 v

*233

2

33

mLz 1962.560sin*2*3sin**33

slsmd

Q / 825.5/05825.04

1.0**417.7

4

**v 3

22

33

c) Določitev premera d2

Prerez 0-0 in 2-2

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

000

g

vzH

*21000

2

22

smzHgg

vzH /8877.16104641.38*81.9*210**2 v

*210 22

2

22

mLz 4641.360sin*2*2sin**22

mv

QdvQ 06627.0

8877.16*

05825.0*4

*

*4d

4

**

2

2

2

22

121

3.1.4 Kolikšna največ sme biti višina vode v posodi, da ne pride do kavitacije? Kolikšen je

maksimalni pretok pri mejnem stanju? Nariši tlačno in energijsko črto! Kolikšen bi bil

pretok v primeru, če bi vzeli d1=d3= 4 cm in d2 = 10 cm. Nariši tlačno črto tudi za ta primer!

(V točki A je iztok na prosto. Upoštevaj, da je tekočina idealna.)

a = 6 m

d1 = 10 cm

d2 = 4 cm

d1 = d3

Rešitev:

a) Pretok skozi cevovod

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

222

g

vz

g

vz

*20

*210

2

33

2

22

maz 46*3

2*

3

22

maz 63

25.6*4

10** 3

2

3

2

2

332 vv

d

dvv

sm

gv

g

v/4871.2

0625.38

12*81.9*2

0625.38

12**2 4106

*2

*125.63

2

3

2

smd

vQ /0195.04

1.0**4871.2

4

** 3

22

33

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

g

vaH

*2000

2

3

mg

vaH 3153.6

81.9*2

4871.26

*2

32

3

122

b) Pretok pri d3 = 4 cm

Q vd

m s l sB

a 3

3

2 2

3

42 4871

0 04

40 003125 3125*

*. *

* .. / . /

123

3.1.5 V horizontalno cev premera d1 je vgrajen venturimeter, na katerega je priključen živosrebrni

manometer. Kolikšno razliko višin h manometer pokaže, če teče po cevi pretok Q vode?

Določi tudi tlak v točki 2 (p2), če poznamo tlak v točki 1 (p1) ter izriši tlačno in energijsko

črto!

d1 = 20 cm

d2 = 7 cm

Q = 30 l/s

v = 1 kg/dm3

Hg = 13.6 kg/dm3

p1 = 3 bar

Rešitev:

a) Bernoulijeva enačba za prerez 1 in 2

2

***

2

***

2

222

2

111

vpgz

vpgz v

vv

v

2

*0

2

*0

2

22

2

11

vp

vp vv

g

vv

g

pp

v *2*

2

2

2

121

b) Kontinuitetna enačba

smd

Qv /9549.0

2.0*

4*03.0

*

4*22

1

1

smd

Qv /7953.7

07.0*

4*03.0

*

4*22

2

2

124

c) Razlike tlakov

ghhzgpgzp Hgvv ****** 1211

1**

*

21

v

Hg

v

Hg

v

hhhg

pp

Enačbo (c) vstavimo v (a) in dobimo:

m

g

vvh

g

vvh

v

Hgv

Hg2421.0

11

6.13*81.9*2

9549.07953.7

1*2

*2

1*222

1

2

2

2

1

2

2

d) Določitev tlaka v točki 2 (npr. iz enačbe (a)):

*2**

2

1

2

221

g

vvgpp v

barmNg

vvgpp v 7.2/25.270072

2

9549.07953.7*100010*3

*2** 2

225

2

1

2

212

125

3.1.6 Voda (obravnavaj jo kot idealno tekočino) izteka iz rezervoarja v točki A na prosto. Določi:

a) Pretok, ki izteka iz rezervoarja (izriši tudi energijsko in tlačno črto)

b) Za koliko lahko pretok povečamo, če v točki B namestimo črpalko neomejene moči (izriši

energijsko in tlačno črto)

c) Kolikšna je potrebna moč črpalke pri maksimalnem možnem pretoku iz primera b)?

Izkoristek črpalke je .

H = 6 m

a = 1 m

d1 = 0.18 m

d2 = 0.20 m

v= 1000kg/m3

= 0.85

Rešitev:

a) Prerez 0-0 in 2-2

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

000

g

vaH

*2000

2

2

smaHgv /9045.916*81.9*2**22

slsmd

vQ / 2.311/3112.04

2.0**9045.9

4

** 3

22

22

b) Črpalka, prerez 0-0 in 1-1

126

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

00

0

g

vaH

*210*200

2

1

smaHgv /5735.16101*26*81.9*210*2**21

slsmd

vQ / 7.421/4217.04

18.0**5735.16

4

** 3

22

11max

slsmQQQ / 6.110/1106,03112.04217.0 3

max

c) Moč črpalke

kWWEQg

P v 372.2008.2037285.0

1854.4*4217.0*81.9*1000*** maxmax

mEEE 1854.461854.1012

mHE 61

mg

va

g

v

g

pzE 1854.10

81.9*2

4245.131

*20

*2*

22

2

2

2222

smd

dvv /4245.13

20.0

18.0*5735.16*

22

2

112

127

3.1.7 Pri kakšnem d2 bi prišlo do kavitacije? Računaj za idealno tekočino! Nariši tlačno in

energijsko črto!

H1 = 20 m

H2 = 5 m

d1 = 5 cm

Rešitev:

a) Premer cevi 2

smHHgHgv /1552.17520*81.9*2**2**2 211

mEg

v

g

pz 20

*2*

2

111

mg

v

g

p20

*2*0

2

11

mg

v

g

p5

81.9*2

1552.1720

*220

*

22

11

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

111

g

v

g

v

g

p

*2100

*2*0

2

2

2

11

mg

v

g

p

g

v30102010

*2**2

2

11

2

2

smgv /2611.2430*81.9*230**22

cmv

vdd 2045.4

2611.24

1552.17*5*

2

112

128

b) Tlačna in energijska črta

129

3.1.8 a) Kolikšna mora biti višina HC, da v sistemu ne pride do kavitacije?

b) Kakšen pretok bi tekel po sistemu, če bi obdržali izračunano lego kolena C (za mejno

stanje), zamenjali pa bi premera cevi?

Računaj, kot da je tekočina idealna! Nariši tlačno in energijsko črto za oba primera!

H = 3 m

a = 2 m

d1 = 1.4 m

d2 = 2 m

Rešitev:

a) Določite višine HC

EaHg

v

g

pz

g

v

g

pz BC

*2**2*

2

22

2

11

CC HHaz

10*

1 g

p

ag

p

*

2

smHgvaHg

va /672.73*81.9*2**2

*20 2

2

2

smd

dvv /6572.15

4.1

2*672.7*

22

1

221

aHg

vHHa C

*210

2

1

mg

vHC 4948.210

81.9*2

6572.1510

*2

22

1

b) Pretok skozi sistem, če zamenjamo premera cevi

smd

dvvv /7593.3

2

4.1*672.7* ; 672.7

22

1

2212

130

smd

vQ /8102.114

2**7593.3

4

** 3

22

11

mg

vH

g

pC 7745.1

81.9*2

7593.34948.2

*2*

22

11

c) Tlačna in energijska črta

131

3.1.9 Določi potrebni tlak v hidroforju, da bo iz njega odtekal pretok Q. Kolikšen je maksimalni

možni pretok, če ustrezno povečamo tlak v hidroforju? Koliko ta znaša? Nariši tlačno in

energijsko črto za oba primera!

d1 = 3 cm

d2 = 2 cm

H = 2 m

Q = 3 l/s

a = 1.5 m

Rešitev:

a) Potrebni tlak v hidroforju

g

v

g

pz

g

v

g

pz

g

v

g

pzH

g

p

*2**2**2**

2

33

3

2

22

2

2

11

1

smd

Qv /2444.4

03.0*

003.0*4

*

*422

3

3

418.02*2

2444.45.1

*2*

22

3 mg

Hg

va

g

p

0.041bar=9.81*1000*0.418=g**0.418= p

b) Maksimalen tlak v hidroforju

g

vaH

g

p

*210

*

2

2max

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

222

g

va

g

va

*20

*210

2

3

2

2

25.2*2

3** 3

2

3

2

2

332 vv

d

dvv

sm

g

g

v

g

v/9495.6

0625.4

10*81.9*2

125.2

10**2 v

*210

*2

25.2*23

2

3

2

3

smvv /6363.1525.2*9495.625.2*32

barmN

g

vHagp

1924.0/11.19243

81.9*2

6363.152105.1*81.9*1000

*210**

2

22

2max

132

3.1.10 Voda izteka iz posode po ceveh s premeroma d1 in d2. V točki A imamo iztok na prosto, v

posodi pa vlada nadtlak p1.

a) Izriši energijsko in tlačno črto

b) Določi pretok iz sistema in kontroliraj možne podtlake

c) Za koliko lahko povečamo iztok iz sistema, če v točki B namestimo črpalko z izkoristkom

in neomejeno močjo? Izriši energijsko in tlačno črto tudi za ta primer

d) Določi maksimalno moč črpalke iz primera c).

p1 = 0.1 bar

H = 2 m

zB = 3 m

d1 = 0.17 m

d2 = 0.2 m

= 0.85

v = 1000 kg/m3

Rešitev:


b) Pretok iz sistema in kontrola podtlakov, prerez 0-0 in A-A

g

v

g

pz

g

v

g

pHz

v

AA

v *2**2*

2

2

2

010

g

v

g

pH

v *200

*0

2

21

smg

pHgv

v

/6968.781.9*1000

10*1.02*81.9*2

***2

5

12

133

smd

vQ /2418.04

2.0**6968.7

4

** 3

22

22

Kontrola tlaka (kritična je točka B):

v vd

dm s1 2

2

1

2 2

7 69680 2

01710 6529

* . *

.

.. /

Prerez 0-0 in B-B

g

v

g

pz

g

v

g

pHz

v

BB

v *2**2*

2

1

2

010

*2**

2

11

g

v

g

pz

g

pH

v

BB

v

mmg

vz

g

pH

g

pB

vv

B 10- > 7648.581.9*2

6529.103

81.9*1000

10*1.02

*2**

252

11

c) Pretok iz sistema s pomočjo črpalke

g

v

g

pz

g

v

g

pHz B

v

BB

v *2**2*

2

min

2

010

g

vz

g

pH B

B

v *2100

*0

2

1

smzg

pHgv B

v

B /0207.1410381.9*1000

10*1.02*81.9*210

***2

5

1

smd

vQ B /3182.04

17.0**0207.14

4

** 3

22

1max

134

slsmQQQ / 4.76/0764.02418.03182.0 3

max

d) Moč črpalke

WEQg

P v 03.812085.0

2108.2*3182.0*81.9*1000*** maxmax

mg

pH

g

vE

v

2108.281.9*1000

10*1.02

81.9*2

1299.10

**2

52

1

2

2

smd

Qv /1299.10

2.0*

4*3182.0

*

4*22

2

max2

135

3.1.11 Iz pokritega rezervoarja A, v katerem vlada nadtlak pn, je speljana cev podane oblike. V

točki B je iztok na prosto.

a) Izriši energijsko in tlačno črto,

b) Določi pretok Q iz sistema,

c) Določi minimalni premer cevi d1, da je pretok iz sistema še možen!

a = 3 m

b = 2 m

c = 0.5 m

d2 = 0.2 m

pn = 0.1 bar

Rešitev:

a) Izris energijske in tlačne črte

b) Določitev pretoka iz sistema

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

000

g

v

g

pba

*2000

*

2

20

smag

pbgva

g

pb

g

v/8674.103

81.9*1000

100002*81.9*2

***2

**2

02

0

2

2

smd

vQ 322

22 3414.0

4

2.0**8764.10

4

**

136

c) Določitev minimalnega premera cevi d1, da je pretok iz sistema še možen

Prerez 0-0 in 1-1

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

vcbab

g

pa

*210

*

2

10

10**2

0

2

1 cbabg

pa

g

v

smcg

pgv /0336.15105.0

81.9*1000

10000*81.9*210

***2 0

1

4

**

2

11

dvQ

mv

Qd 17.0

*0336.15

4*3414.0

*

4*

1

1

137

3.1.12 Izračunaj maksimalni možni dotok v zgornjo posodo in potreben podtlak v posodi (idealna

tekočina).

a = 1 m

H = 5 m

d1 = 2 cm

d2 = 4 cm

Rešitev:

a) Maksimalni možni dotok

zg

v

g

pz

g

v

g

pz

g

v

g

pz

g

v

g

pE

*2**2**2**2*

2

2

2

221

2

110

2

00

2*210

2

1 H

g

va

mH

ag

v5.8

2

5110

210

*2

2

1

smgv /9139.1281.9*2*5.8*2*5.81

slsmd

vQ / 057.4/004057.04

02.0**9139.12

4

** 3

22

11

138

b) Podtlak v posodi

2

2

22

*2*z

g

v

g

pa

mzg

va

g

p5313.45

81.9*2

2285.31

*2*

2

2

2

22

smd

dvv /2285.3

4

2*9139.12*

22

2

112

mag

p

g

p

g

pa

g

p5313.515313.4

**

**

22

2/5625.5426181.9*1000*5313.5**5313.5 mNgp

139

3.1.13 Voda izteka iz rezervoarja v točkah 2 in 3 na prosto.

a) Izriši energijsko in tlačno črto in označi vrednosti.

b) Določi polmer cevi d3 tako, da bo v točkah 2 in 3 iztekal enak pretok.

c) Preveri, če je iztok iz sistema pod pogoji iz tč. b) možen!

H = 6 m

d1 = 0.25 m

d2 = 0.2 m

a = 1.5 m

b = 1 m

Rešitev:

a) Energijska in tlačna črta in pomembne vrednosti

b) Iztok v točki 2: presek 0-0 in 2-2

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

000

smaHgvg

vaH 40.9)5.16(*81.9*2)(**2

*2000 2

2

2

slsmd

vQ 295295.04

2.0**4.9

4

** 3

22

222

140

Iztok v točki 3: presek 0-0 in 3-3

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

smbHgvg

vbH 72.11)16(*81.9*2)(**2

*2000 3

2

3

mv

Qd

dvQQ 179.0

72.11*

4*295.0

*

4*

4

**

3

23

2

3333

c) preveriti moramo podtlak v cevi 1: presek 0-0 in 1-1

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

V.S. 10m- 36.181.9*2

02.126

*2*

*2*000

22

11

2

11 mg

vH

g

p

g

v

g

pH

sm3

2321 590.0295.0*2Q*2QQQ

smd

v 02.1225.0*

4*590.0

*

4*Q22

1

11

Iztok iz sistema je možen

141

3.1.14 Iz posode A odteka Q vode po cevi 1, ki se nato v točki D razcepi v dva kraka. V točkah B in

C voda izteka na prosto. Določi:

a) Kolikšen je minimlno dopusten premer cevi d1?

b) Koliko vode izteka pri B, koliko pri C in kolikšna je višina b?

c) Nariši potek energijske in tlačne črte in označi vrednsoti!

H = 3 m

d2 = 12 cm

d3 = 5 cm

Q = 100 l/s

c = 2 m

Rešitev:

a) Minimalen premer cevi d1

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

vH

*210000

2

1

smHgvHg

v/9706.15103*81.9*210**2 10

*21

2

1

mv

Qd

dvQ 08929.0

9706.15*

1.0*4

*

*4

4

**

1

1

2

11

b) Iztok v točki C in višina iztoka B

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

g

vcH

*2000

2

3

smcHgvcHg

v/9045.923*81.9*2**2

*23

2

3

142

smd

vQ CC /0194.04

05.0**9045.9

4

** 3

22

3

smQQQ CB /0806.00194.01.0 3

smd

Qv B /1224.7

12.0*

4*0806.0

*

4*22

2

2

mg

vHb B 4144.0

81.9*2

1224.73

*2

22

c) Energijska in tlačna črta

143

3.1.15 Kolikšna največ sme biti moč črpalke Č, da je črpanje iz bazena B do višjeležeče točke A še

možno? Izračunaj maksimalni pretok za ta primer ter nariši energijsko in tlačno črto. Vodo

obravnavaj kot idealno tekočino.

H1 = 2 m

H2 = 5 m

d1 = d2 = d4 = 12 cm

d3 = 5 cm

= 0.8 (izkoristek črpalke)

Rešitev:


b) Maksimalni pretok

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

444

2

333

g

vH

g

vH

*20

*210*

3

2 2

42

2

32

144

smvvd

dvv /3627.156671.2*76.5*76.5

5

12** 4

2

42

3

2

443

10*

3

2

*2

*176.522

2

4

2

HHg

v

smH

gv /6671.2)176.5(

1*10

3

5*81.9*2

)176.5(

1*10

3**2

22

24

smd

vQ /03016.04

12.0**1136.7

4

** 3

22

44max

c) Moč črpalke

kWWEQg

P 723.237.27238.0

3626.7*03016.0*81.9*1000***

mg

vHHE 3626.7

81.9*2

6671.252

*2

22

421

145

3.1.16 Iz nižjeležečega bazena A črpalka Č, nameščena na razdalji LČ od spodnjega bazena, črpa

vodo v višjeležeči bazen B. Ob predpostavki vode kot idealne tekočine določi:

a) Maksimalni pretok Qmax, ki ga črpalka lahko črpa v zgornji bazen.

b) Izriši potek tlačne in energijske črte in označi vrednosti.

c) Kolikšna je je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?

H 1= 1 m

H2 = 2 m

L1 = 11 m

L2 = 2 m

LČ = 9.82 m

= 60

d1 = 0.1 m

d2 = 0.2 m

= 0.8

Rešitev:

a) Maksimalni pretok Qmax

g

v

g

pz

g

v

g

pz Č

Č*2**2*

22

211

g

vLHČ

*210sin*00

2

1

sin*10*2

1

2

ČLH

g

v

smLHgvČ

/9974.660sin*81.9101*81.9*2sin*10**2 1

smd

vQ /055.04

1.0**997.6

4

** 3

22

1max

smd

dvv /7494.1

2.0

1.0*9974.6*

22

2

112

146


c) Moč črpalke

mg

vHHLLE

Č4143.12

81.9*2

7494.12160sin*211

*2sin*

22

22121

WEQg

P È 25.83668.0

4143.12*055.0*81.9*1000*** max

147

3.1.17 Izračunaj maksimalni možni dotok vode (obravnavaj jo kot idealno tekočino) v zgornjo

posodo in določi potrebno moč črpalke Č. Izriši tudi potek tlačne in energijske črte.

Izkoristek črpalke je !

a = 1 m

H = 5 m

d1 = 2 cm

d2 = 4 cm

= 0.80

Rešitev:

a) Maksimalni pretok (prereza 0-0 in 1-1)

210

*2

2

1 H

g

va

smH

agvH

ag

v/9139.12

2

5110*81.9*2

210**2

210

*21

2

1

slsmd

vQ / 057.4/004057.04

02.0**9139.12

4

** 3

22

11

148

smd

dvv /2285.3

4

2*9139.12*

22

2

112

b) Moč črpalke

WHgQEgQ

P 17.2758.0

5313.5*81.9*1000*004057.0******

mg

vHE 5313.5

81.9*2

2285.35

*2

22

149

3.1.18 Iz pokritega spodnjega bazena A, kjer vlada relativni podtlak pA, črpalka Č črpa pretok Q

vode v višjeležeči bazen B. Ob predpostavki vode kot idealne tekočine določi:

a) Minimalni premer cevi d1, da bo črpanje še možno,

b) Izriši potek tlačne in energijske črte in označi vrednosti,

c) Kolikšna je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?

H1 = 1 m

H2 = 2 m

L1 = 11 m

L2 = 2 m

LČ = 8 m

pA = -0.3 bar

= 60

d2 = 0.2 m

Q = 35 l/s

= 0.8

Rešitev:

a) Minimalni premer cevi d1

g

v

g

pz

g

v

g

pz Č

Č*2**2*

2

1

2

00

0

g

vL

g

pH

Č

A

*210sin*0

*0

2

11

sin*10**2

1

2

1

Č

A Lg

pH

g

v

sm

Lg

pHgv

Č

A

/4597.460sin*81081.9*1000

300001*81.9*2

sin*10*

**2 11

mv

Qd

dvQ 09996.0

*4597.4

035.0*4

*

*4

4

**

1

1

2

11

150


c) Moč črpalke

WEQg

P 77.66008.0

3797.15*035.0*81.9*1000***

mEEE 3797.150581.23216.1312

mg

vHLLE 3216.13

81.9*2

1141.1260sin*211

*2sin*

22

22212

mg

pHE A 0581.2

81.9*1000

300001

*11

smd

dvv /1141.1

2.0

0999.0*4597.4*

22

2

112

151

3.1.19 Iz pokritega spodnjega bazena A, kjer vlada relativni podtlak pA, črpalka Č črpa pretok Q

vode v višjeležeči bazen B. Ob predpostavki vode kot idealne tekočine določi:

a) Minimalni premer cevi d1, da bo črpanje še možno.

b) Izriši potek tlačne in energijske črte in označi vrednosti.


H1 = 1 m

H2 = 2 m

L1 = 11 m

L2 = 2 m

LČ = 8 m

pA = -0.3 bar

= 60

d2 = 0.2 m

Q = 35 l/s

= 0.8

Rešitev:

a) Minimalni premer cevi d1

g

v

g

pz

g

v

g

pz Č

Č*2**2*

2

1

2

00

0

g

vL

g

pH

Č

A

*210sin*0

*0

2

11

sin*10**2

1

2

1

Č

A Lg

pH

g

v

sm

Lg

pHgv

Č

A

/4597.460sin*81081.9*1000

300001*81.9*2

sin*10*

**2 11

mv

Qd

dvQ 09996.0

*4597.4

035.0*4

*

*4

4

**

1

1

2

11

152


c) Moč črpalke

WEQg

P 77.66008.0

3797.15*035.0*81.9*1000***

mEEE 3797.150581.23216.1312

mg

vHLLE 3216.13

81.9*2

1141.1260sin*211

*2sin*

22

22212

mg

pHE A 0581.2

81.9*1000

300001

*11

smd

dvv /1141.1

2.0

0999.0*4597.4*

22

2

112

153

3.1.20 Iz nižjeležečega bazena A črpa črpalka pretok Q vode v pokrit višjeležeči bazen B. Pod

pokrovom vlada nadtlak pB (relativni sistem). Ob predpostavki vode kot idealne tekočine

določi:

a) Maksimalni pretok Q, ki ga še lahko črpamo.

b) Izriši tlačno in energijsko črto in označi vrednosti.


H1 = 1 m

H2 = 1 m

pB = 0.2 bar

L1 = 11 m

L2 = 2 m

= 60

d1 = 0.1 m

d2 = 0.2 m

L = 9.8 m

= 0.8

Rešitev:

a) Določitev pretoka Q

g

p

g

vLH

**2sin* 2

2

11

10*2

sin*2

11

g

vLH

sin*10*2

1

2

1 LHg

v

smLHgv /0217.760sin*8.9101*81.9*2sin*10**2 11

smd

vQ /0551.04

1.0**0217.7

4

** 3

22

11

154


c) Moč črpalke

WEgQ

P 381.90908.0

4540.13*81.9*0551.0*1000***

mg

vHHHzE 4540.13

81.9*2

7554.12583.11110387.2

*2`

22

2221

mLLz 2583.1160sin*211sin*21

mg

pH B 0387.2

81.9*1000

10*2.0

*`

5

2

smd

dvv /7554.1

2.0

1.0*0217.7*

22

2

112

155

3.1.21 Voda (obravnavaj jo kot idealno tekočino) doteka iz spodnje v zgornjo zaprto posodo, kjer

vlada nadtlak prel (relativni sistem). Črpalka Č je nameščena na odseku cevi 1 na razdalji LČ od

spodnjega rezervoarja. Določi:

a) Maksimalni možni pretok Q.

b) Izriši potek energijske in tlačne črte in označi vrednosti.


L = 6 m

LČ = 1 m

a = 1.5 m

H = 6 m

d1 = 5 cm

d2 = 10 cm

prel = 0.3 bar

= 0.8

Rešitev:

a) Maksimalni možni pretok

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

vLaČ

*210sin*00

2

1

30= 5.012

6

*2sin

L

aHa

sin*10*2

2

1

ČLa

g

v

smaLagvÈ

/6908.1430sin*1105.1*81.9*2sin*10**21

slsmd

vQ / 8.28/0288.04

05.0**6908.14

4

** 3

22

11max

smd

dvv /6727.3

10

5*6908.14*

22

2

112

156


c) Moč črpalke

- brez upoštevanja izgube na vtoku v zgornji rezervoar

mg

pHE rel 0581.9

81.9*1000

300006

*

WgQE

P 32048.0

1000*81.9*0288.0*0581.9***

- z upoštevanjem izgube na vtoku v zgornji rezervoar

mg

v

g

pHE rel 7456.9

81.9*2

6727.3

81.9*1000

300006

*2*

22

2

WgQE

P 18.34478.0

1000*81.9*0288.0*7456.9***

157

3.1.22 Vodo črpamo s pomočjo črpalke Č iz odprtega bazena A v zaprt bazen B, kjer živosrebrni

manometer kaže razliko h.

a) Izriši energijsko in tlačno črto.

b) Določi maksimalen možen pretok Qmax.

c) Določi potrebno moč črpalke pri Qmax.

d) Določi tlak pč na sesalni strani črpalke pri Qmax!

a = 2 m

b = 3 m

d1 = 0.1 m

d2 = 0.2 m

h = 0.2 m

Hg = 13.6 kg/dm3

c = 8 m

d = 2.5 m


Rešitev:

a) Izris energijske in tlačne črte

158

b) Določitev maksimalnega možnega pretoka Qmax

Prerez 0-0 in 1-1

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

10*2

*2

100002

1

2

1 bg

v

g

vb

smbgv /9706.15103*81.9*210**21

l/s 4.1251254.04

1.0**9706.15

4

** 3

2

11max sm

dvQ

c) Določitev moči črpalke

mg

v

g

pdcmbE 0325.14

81.9*2

9926.3

81.9*1000

2.6683.25.28

*2*E ; 3

22

2221

smd

dvv /9926.3

2.0

1.0*9706.15*

22

2

112

2

2 2.266832.0*81.9*13600** mNhgp Hg

mEEE 0325.1130325.1412

kWWEQg

N 9693.163034.169698.0

0325.11*1254.0*81.9*1000***max

d) Določitev tlaka na sesalni strani črpalke

Prerez 0-0 in Č-Č

g

v

g

pz

g

v

g

pz ČČ

È*2**2*

22

000

mg

vab

g

p

g

v

g

pab ČČ 8

81.9*2

7906.1523

*2**2*

22

1

2

1

barmNgpČ

7848.07848081.9*1000*8**8 2

159

3.1.23 Kolikšen maksimalni pretok lahko črpamo iz bazena A v bazen B? Kolikšna je potrebna

moč črpalke? Kakšna je razlika v potrebni moči črpalke, če cev v točki C odrežemo? Nariši

tlačno in energijsko črto!

h1 = 7 m

h2 = 0.5 m

h3 = 1.5 m

d = 0.2 m

= 0.8

Rešitev:

a) Pretok in moč črpalke

mg

v

mhhhz

mg

p

g

v

g

pzE

Č

S

S

ČS

1910*2

95.15.07

10*

*2*0

2

321

2

smgv /4294.41*81.9*21**2

smd

vQ /1392.04

2.0**4294.4

4

** 3

22

mg

vhhhh

g

v

g

pzE Č

ČČ5.8

81.9*2

4294.45.07

*2*2*

22

3321

2

mEEE SČ5.805.8

WEQg

P 32.145048.0

5.8*1392.0*81.9*1000***

160

b) Moč črpalke če cev odrežemo

mg

vhhhE 10127

*2

2

3211

WEQg

P 9.170638.0

10*1392.0*81.9*1000*** 1

c) Tlačna in energijska črta

161

3.1.24 Določi Qmax pri neomejeni moči črpalke. Zriši tlačno in energijsko črto ter označi posamezne

vrednosti.

H = 2 m

d1 = 0.8 m

d2 = 1 m

Rešitev:

a) Maksimalni možni pretok

22

2

21

1

2

1

**2**2z

g

p

g

vz

g

p

g

v

00*2

010*2

2

2

2

1 g

v

g

v

5625.1*8.0

1** 2

2

2

2

2

121 vv

d

dvv

10*2

*5625.1 2

2

2

2

2

g

vv

smvv /6669.114414.1

10*81.9*2 10*81.9*2*4414.1 2

2

2

smd

vQ /1632.94

1**6669.11

4

** 3

22

22

162

3.1.25 S črpalko Č poskušamo povečati gravitacijski iztok iz bazena. V točkah B in C izteka voda

(idealna tekočina) na prosto.

a) Izriši tlačno in energijsko črto.

b) Določi maksimalen pretok Qmax, ki lahko izteka iz bazena.

c) Pri Qmax določi iztoka Qc in QB ter potrebno moč črpalke!

H = 5 m

a = 1 m

b = 2 m

d = 0.1 m


v = 1 kg/dm3

Rešitev:

a) Tlačna in energijska črta

163

b) Določitev maksimalnega pretoka iz bazena

g

v

g

pz

g

v

g

pz AA

A*2**2*

22

000

g

vaH A

*21000

2

smaHgvaHg

vA

A /5735.161015*81.9*210**2 10*2

2

l/s 2.1301302.04

1.0**5735.16

4

** 3

22

max smd

vQ A

smaHgvaHg

vB

B /8589.815*81.9*2**2 *2

2

l/s 9.690696.04

1.0**8589.8

4

** 3

22

smd

vQ BB

smvvvd

vvd

v BACCBA /7146.78589.85735.16 4

**

4

**

22

slsmpd

vQ CC / 6.600606.04

1.0**7146.7

4

** 3

22

Preverba tlaka na sesalni strani črpalke

Hg

v

g

pb Č

*2

2

Č

*++a

v.s.10m- 1.0334m *

81.9*2

7146.7215

*2

22

Č

g

vbaH

g

pČ

c) Moč črpalke

WEQg

N 62.72285.0

0334.1*0606.0*81.9*1000***

mbaHg

vE Č 0334.1215

81.9*2

7146.7

*2

22

164

3.1.26 V kanalu pravokotnega preseka teče pretok Q z globino H1. V prerezu 2 se kanal zoži na

širino B2, dno pa ostane horizontalno. Določi globino H2 in hitrost v2 v prerezu 2.

B1 = 2 m

B2 = 1.5 m

H1 = 1.5 m

Q = 5 m3/s

Rešitev:

a) Uporaba Bernoulijeve enečbe

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

111

g

vH

g

vH

*20

*20

2

22

2

11

g

vH

g

vH

*2*2

2

22

2

11

b) Uporaba kontinuitetne enačbe

QQQ 21

22

2

11

1111111*

in v *

v ****BH

Q

BH

QQBHvBHv

c) Določitev višine H2

2

22

2

2

2

2

22

1

2

1

2

1 *

*2***2** HgBH

QH

gBH

QH

0*2*

**2** 2

2

22

22

1

2

1

2

1

3

2

gB

QH

gBH

QHH

081.9*2*5.1

5*

81.9*2*2*5.1

55.1

2

22

222

23

2

HH

05663.0*6416.1 2

2

3

2 HH

165

H2 f(H2) H2 f(H2)

2 2 0.4 0.36

2.5 5.93 0.5 0.28

1.8 1.080 0.6 0.19

1.6 0.45897 0.7 0.10

1.4 0.0928 0.8 0.027

1.35 0.0349 0.9 -0.0343

1.33 0.0151 0.86 -0.01

1.32 0.006 0.85 -0.005

1.31 -0.0027 0.84 0.000725

166

3.2 Uporaba teorije potencialnega toka za tok podtalnice (filtracija)

167

3.2.1 Preko treh slojev dolžine l, širine b in debeline d ( na papir) ter različne propustnosti k1, k2

in k3 pronica voda. Gladino H0 vzdržujemo konstantno in izmerimo še globino vode v

spodnjem piezometru H3.

a) Določi pretok Q,

b) Določi višino vode H1 in H2 v vmesnih piezometrih!

H0 = 20 cm

H3 = 15 cm

b = 30 cm

d = 1 m

l = 50 cm

k1 = 0.4*10-3

m/s

k2 = 0.3*10-3

m/s

k3 = 0.1*10-3

m/s

Rešitev:

a) Določitev pretoka

s*-k= v1D... ; *

gradkv

321 vvvv

1

11

11 *-= *k

lv

lkvv

2

22

22

l*-= *

kv

lkvv

3

33

33 *-= *k

lv

lkvv

03321 *3 HlH

lHHk

l

k

l

k

lv *3* 03

321

168

sm

k

l

k

l

k

l

HHlv /10*9579.1

0001.0

5.0

0003.0

5.0

0004.0

5.0

2.015.05.0*3*3 4

321

03

l/s 0587.010*8737.51*3.0*10*9579.1** 354 smdbvQ

b) Določitev višine vode v vmesnih piezometrih

1

10

011

1

111 *H

*3*2

* *

k

lvHl

HlHl

k

lv

lkv

mk

lvlHH 4553.0

0004.0

5.0*10*9579.15.02.0* 4

1

01

2

21

122

2

222 *H

*2

* *

k

lvHl

HlHl

k

lv

lkv

mk

lvlHH 6289.0

0003.0

5.0*10*9579.15.04553.0* 4

2

12

169

3.2.2 V navpični okrogli cevi premera D imamo na dolžini L1 pesek prepustnosti k1, na dolžini L2

pa pesek pepustnosti k2. Na vrhu s stalnim dotokom vzdržujemo konstantno gladino vode

H1, v piezometru pri dnu pa izmerimo višino vode H2. V kolikšnem času se prazno vedro

prostornine V napolni do vrha, ko je pretok skozi sistem že ustaljen?

H1 = 50 cm

H2 = 80 cm

D = 20 cm

V = 10 l

L1 = 1 m

L2 = 1.5 m

k1 = 0.4 mm/s

k2 = 0.2 mm/s

Rešitev:

a) Čas polnjenja vedra

vvv 21

gradkv *

1

11

1

11111 *H **

k

Lvv

L

Hkgradkv

2

22

2

22222 *H **

k

Lvv

L

Hkgradkv

21 HHH

mHHLLH 2.28.05.05.112121

sm

k

L

k

L

H

k

L

k

LvH /00022.0

0002.0

5.1

0004.0

1

2.2= v *

2

2

1

12

2

1

1

slsmD

vQ / 00691.0/10*91.64

2.0**00022.0

4

** 36

22

ssVtQ 86.6 min2486.144600691.0

10

Q

V = t *

170

3.2.3 Skozi prepusten sloj debeline h pronica voda. Merjena je globina vode G1 in G2 v dveh

vodnjakih (ni črpanja!). Sloj ima na dolžini L1 koeficient k1 in dalje k2. Določi pretok Q na

1m širine ( na papir).

L1 = 100 m

L2 = 60 m

G1 = 1 m

G2 = 4 m

h = 2 m

k1 = 2 mm/s

k2 = 1 mm/s

Rešitev:

a) Pretok skozi prepustno plast (Darcy-jev zakon)

gradkv *

1 D tok

1

11

1

111

* *

k

Lvv

Lkv

2

22

2

222

* *

k

Lvv

Lkv

vvv 21

12

2211 , GaGa

21

2

2

1

112 *

k

L

k

Lv

sm

k

L

k

L

GG

k

L

k

L

GaGav /10*2727.27

001.0

60

002.0

100

14 6

2

2

1

1

12

2

2

1

1

12

slsmvhQ / 0545.0/10*5455.5410*2727.27*1*2*1* 366

171

3.2.4 Skozi prepusten sloj debeline h pronica voda. Merjena je globina vode G1 in G2 v dveh

piezometrih. Sloj ima na dolžini L1 koeficient prepustnosti k1, na dolžini L2 - k2, in na

dolžini L3 - k3. Določi pretok na 1m širine!

L1 = 100 m

L2 = 60 m

L3 = 80 m

G1 = 1 m

G2 = 4 m

h = 2 m

k1 = 2 cm/s

k2 = 1 cm/s

k3 = 1.5 cm/s

Rešitev:

a) Pretok skozi plasti

12321 GG

3

33

2

22

1

11 ***

Lk

Lk

Lkkonstv

*

; *

; *

3

33

2

22

1

11

k

Lv

k

Lv

k

Lv

mGG 314k

L

k

L

k

L*v 12321

3

3

2

2

1

1

smv /10*8367.1

015.0

80

01.0

60

02.0

100

3

k

L

k

L

k

L

3 4

3

3

2

2

1

1

slsmvmhQ / 3675.0/10*6735.310*8367.1*1*2*1* 344

172

3.2.5 Iz vodnjaka A črpamo pretok Q. Določi, v kakšni razdalji od njega moramo izkopati vodnjak

B ( brez črpanja), da bo v njem gladina vode v globini H1. Izračunaj, v kolikšnem času bo

barvilo iz vodnjaka B doseglo vodnjak A!

T1 = 10 m

T2 = 8 m

H = 6 m

H1 = 3 m

Q = 4 l/s

k = 0.12 mm/s

r0 = 0.3 m

Rešitev:

a) Izpeljava enačbe in izračun oddaljenosti vodnjaka B

***2*2 rrrT

Qvr

rrv

*0

0**2*2

drrT

Qddr

rd

r

r r

dr

T

Qd

00

**2*2

02

0 ln**2* r

r

T

Q

* )*( * kgradkgradvgradkv

11 HTB

HTB 1

02

111 ln**2*

*r

r

T

QHTHTk AB

5239.4

10*4

*2*8*)36(*10*12.0*2***ln

3

3

21

0

Q

THHk

r

rAB

meerrAB 6582.27*3.0* 5239.45239.4

0

173

b) Čas zaznanja onesnaženja

dt

dr

rT

Qvr

**2*2

0

**2*2

0

r

r

T

AB

rdrQ

Tdt

surdnis

rrQ

Tr

Q

TT AB

r

rAB

25min58145548059045

6582.273.0*10*4

*8*

2*

*2*

2*

*2* 22

3

22

02

2

2

0

174

3.2.6 V vodnjaku naletimo na vodo v globini G1. Koeficient propustnosti vodonosnika je K.

a) Določi globino črpanja G2 pri pretoku Q. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji R od

vodnjaka znižan za s glede na nivo pred črpanjem,

b) Na razdalji R1 je prišlo do onesnaženja podtalnice. Po kolikšnem času onesnaženje

zaznamo v vodnjaku?

G1 = 1.2 m

s = 0.1 m

a = 9 m

b = 10 m

k = 10-4

m/s

r0 = 0.5 m

R = 200 m

R1 = 30 m

Q = 6 l/s

Rešitev:

Enačba črpanja

rbr

Qvr

***2

*0

rv

0***2

drbr

Qdrdr

rd

drrb

Qd

r

r

1*

**200

0

0 ln***2 r

r

b

Q

sGak 1 ; *

2000 ; * Gak

0

21 ln****2 r

R

bk

QGsG

0

21

ln

****2

r

R

GsGbkQ

175

a) Globina črpanja

**2*

ln*

*

ln

****2 0

2121

0

bk

r

RQ

GsGGsG

r

R

bkQ

mbk

r

RQ

sGG 0214.710**2*10

5.0

200ln*006.0

1.02.1**2*

ln*

4

0

12

b) Čas gibanja onesnaženja

22

***2

2

0

2

1 rRT

b

Q

min38 12 5447110802

5.0

2

30*

006.0

10**2

22*

**2=

222

0

2

1 urdnisrR

Q

bT

176

3.2.7 V vodnjaku naletimo na vodo v gladini G1. Koeficient prepustnosti vodnjaka je k.

a) Določi maksimalni možni pretok, če je s črpalko možno črpati vodo iz globine največ G2

pod terenom. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji R od vodnjaka znižan za s glede na

nivo pred črpanjem,

b) Nekje v okolici je prišlo do razlitja onesnaženja v podtalnico, ki smo ga pri

nezmanjšanem črpanju po času T zaznali v vodnjaku. Na kolikšni oddaljenosti od vodnjaka

je prišlo do razlitja?

G1 = 1.2 m

G2 = 7 m

s = 0.1 m

a = 9 m

b = 10 m

k = 10-4

m/s

r0 = 0.5 m

R = 200 m

T = 50 dni

Rešitev:

a) Izpeljava enačbe

***2* rrrb

Qvr

rrv

*0

0**2*

drrb

Qddr

rd

r

r r

dr

b

Qd

00

**2*

0

0 ln**2* r

r

b

Q

* )*( * kgradkgradvgradkv

0

21 ln**2*

**r

R

b

QGaksGak

slsmGsG

r

R

bkQ / 6/005978.0)012.17(*

5.0

200ln

*2*10*0001.0*

ln

*2** 3

21

0

177

b) Mesto razlitja

dt

drvr

dt

dr

rb

Q

**2*

rdrdtb

Q

*2*

0

0*2*

r

r

T

x

rdrdtb

Q

22*

*2*

2

0

2 rrT

b

Q x

mrTb

Qrx 6744.285.03600*24*50*

*10

00597.0*

*

22

0

178

3.2.8 V vodnjak A nalivamo Q vode. Pri tem je voda v vodnjaku A na globini G1, v piezometru B

pa na globini G2.

a) Določi koeficient prepustnosti vodonosnika k.

b) Za koliko lahko povečamo pretok nalivanja. če ohranimo enaki globini vode G1 in G2,

povečamo pa premer vodnjaka A na ro'?

Q = 10 l/s

r0 =0.5 m

G1 = 1 m

G2 = 3 m

R1 = 100 m

a = 10 m

b = 15 m

r0' = 1 m

Rešitev:

a) Izpeljava enačbe, koeficient propustnosti

*0 ;

***2 rv

rbr

Qvr

drbr

Qddr

rd

***2

0

0

0

0 ln***2

ln***2

***2

00

r

R

b

Q

r

R

b

Q

rr

dr

b

Qd

R

*k

210 ; GbaGba B

210 GbaGbaB

0

10 ln*

**2 r

R

b

QB

sm

GG

r

R

r

R

r

R

b

Qk

B

B

4

12

0

1

0

0

1

0

10

10*8108.2)13(*15**2

0.5

100ln*0.010

=

*b**2

ln*Q

*b**2

ln*Q

=k ln***2

*

179

b) Določitev povečanja pretoka če sta globini vode enaki in povečamo premer vodnjaka A

s

r

R

GGbkQ 3

4

'

0

1

12 m0115.0

1

100ln

13*15**2*10*8108.2

ln

***2*'

sQQQ l 5.1105.11'

180

3.2.9 V zaprtem vodonosniku črpamo Q vode iz vodnjaka 1. Pred črpanjem je nivo vode G0 pod

terenom, po črpanju pa G1 v vodnjaku 1 in G2 v piezometru 2.

a) Kolikšna je debelina propustnega sloja T2?

b) Določi globino G3 v piezometru 3!

Q = 15 l/s

T1 = 10 m

G0 = 3 m

G1 = 6 m

G2 = 4.5 m

r1 = 0.4 m

r12 = 50 m

r13 = 80 m

k = 0.15 mm/s

Rešitev:

a) Debelina propustnega sloja

mHHk

r

rQ

HH

r

r

TkQ 23.51

45.5*00015.0**2

4.0

50ln*015.0

***2

ln*

T *

ln

***2

12

1

12

212

1

12

2

mTGTTH 23.5523.514610 21211

mTGTTH 73.5623.515.55.410 22212

b) Globina G3 v piezometru 3

*

ln

***213

1

13

2 HH

r

r

TkQ

mTk

r

rQ

876.5623.51*00015.0**2

4.0

80ln*015.0

23.55***2

ln*

HH2

1

13

13

m354.4875.5623.5110HTTG GTTH 32133213

181

3.2.10 Iz vodnjaka A črpamo pretok Q. Kolikšna je denivelacija H0 v vodnjaku če izmerimo v

piezometrih B in C denivelaciji H1 in H2?

T1 = 12 m

T2 = 5 m

Q = 25 l/s

R1 = 30 m

R2 = 50 m

r0 = 0.5 m

H1 = 2 m

H2 = 1 m

Rešitev:

a) Koeficient propustnosti

*-= ; 2

kT

Qq

rr

qvr

*

*0

rv

drr

qddr

rd

*

crq

ln*

0

0 ln*r

rq

0

0 ln**r

rqk

ln**

1

212

r

rqk

sm

r

r/10*13.8

30

50ln*

12**5

025.0ln*

*

q=k 4

1

2

12

182

b) Denivelacija v vodnjku A

ln** 0

202

r

r

k

q

mr

r

k

q9848.1

5.0

50ln*

000813.0**5

025.011ln*

* 0

220

mTH 0152.109848.112010

183

3.2.11 V vodnjak A nalivamo Q vode. S pomočjo barvila ugotovimo, da pride voda do piezometra

B v času t. Poišči Q in določi, v kolikšni razdalji R2 moramo izkopati vodnjak C, da bo voda

v njem H2 pod terenom?

a1 = 10 m

a2 = 6 m

R1 = 40 m

R0 = 0.6 m

H0 = 1.5 m

t = 50 dni

H2 = 6.5 m

k = 2*10-4

m/s

Rešitev:

a) Določitev Q

1

0

***

***

**

0222

R

R

t

r drrdta

Qdrrdt

a

Q

dt

dr

ar

Qv

*2

1*

*

2

0

2

1

2

RRta

Q

slsmRRt

/ 489.3/00348.06.040*3600*24*50*2

*6*

*2

*a=Q 3222

0

2

12

b) Določitev globine H2

** rrr

qvr

rrv

*0

drr

qddr

rd

*

0

2

*2

02

0

202 ln**k- ln* *

2

0

2

0R

R

a

Q

R

Rqd

r

drqR

R

0

2

2

20 ln*** R

R

ak

Q

mHa 5.85.110010

mHa 5.35.610212

meeRQ

ak

R

R Q

ak

0054.133*6.0*R ***

ln5.35.8*

003489.0

**6*0002.0***

02202

0

220

2

184

3.2.12 Podtalnico bogatimo z dolivanjem Q vode v vodnjak A. V kolikšni globini H2 naletimo na

vodo v vodnjaku C, če poznamo denivelaciji H0 in H1 v vodnjakih A in B?

T1 = 12 m

T2 = 5 m

Q = 5 l/s

R1 = 10 m

R2 = 50 m

r0 = 0.5 m

H0 = 1 m

H1 = 2 m

Rešitev:

a) Določitev koeficienta propustnosti

rrT

Qgradkvr

**

2**

2

10

0

1

2

*ln**

2*

k

R

R

T

Q

mHTT 1615120210

mHTT 1525121211

smmsmR

R

T

Qk /9071.1/9071.1

1516

1*

5.0

10ln*

*5

2*005.01*ln*

*

2*

100

1

2

b) Globina vode v vodnjaku C

20

0

2

2

*ln**

2*

k

R

R

T

Q

mR

R

kT

Q4628.14

5.0

50ln*

9071.1**5

2*005.016ln*

**

2*

0

2

2

02

mTTHHTT 5372.24628.1417 22122212

185

3.2.13 Iz vodnjaka A črpamo pretok Q in pri tem izmerimo denivelaciji H1 in H2 v piezometrih B in

C. Določi:

a) Debelino propustnega sloja,

b) Denivelacijo H0 v vodnjaku A,

c) V kolikšnem času bi morebitno onesnaženje v piezometru C deseglo vodnjak A!

Q = 5 l/s

T1 = 9 m

H1 =2.5 m

H2 = 1.5 m

R0 = 0.6 m

R1 = 15 m

R2 = 35 m

= 150

k = 1.5*10-4

m/s

Rešitev:

Izpeljava enačbe črpanja

*0 v;

***2*

360*

2 rrrT

Qvr

drrT

Qddr

rd

***2*

360*

2

1

2

1

2

***2*

360*

2

R

Rr

dr

T

Qd

2

1

2

21 ln***2*

360*

R

R

T

Q

2

1

2

21 ln***2*

360**

R

R

T

Qk

*-k= grad=*k-grad= v * gradkv

111 HT

222 HT

a) Debelina prepustnega sloja T2

186

ln*

**2*

360**

2

1

2

12R

R

T

QHHk

m

R

R

HHk

QT 7881.10

35

15ln*

5.25.1*00015.0*150**2

360*005.0ln*

****2

360*

2

1

12

2

b) Denivelacija H0 v vodnjaku A

ln*

**2*

360**

2

0

2

02R

R

T

QHHk

mR

R

Tk

QHH 299.6

35

6.0ln*

150**2*7881.10*00015.0

360*005.05.1ln*

**2**

360*

2

0

2

20

c) Čas onesnaženja

0

2022

***2*

360*

***2*

360*R

R

t

r rdrdtT

Q

dt

dr

rT

Qv

sdnis

RRQ

Tt

84.22 min46 4084.3458782=

356.0*2*360*005.0

150**2*7881.10*

2*360*

**2* 222

2

2

02

187

3.2.14 V zaprtem vodonosniku črpamo iz vodnjaka A Q vode, pri čemer je voda v piezometru B za

GB pod terenom.

a) Izpelji enačbo črpanja.

b) Določi globino vode GA pod terenom v vodnjaku A.

c) V kolikšnem času onesnaženje iz piezometra C doseže vodnjak A?

= 60

= 30

T1 = 6 m

T2 = 10 m

r0 = 0.5 m

rAB = 100 m

rAC = 50 m

Q = 8 l/s

GB = 2 m

k = 8*10-4

m/s

Rešitev:

a) Enačba črpanja

rTr

Qvr

2*360

***2

*0

rv

drTr

Qdrdr

rd

2***2

4*

r

r

drrT

Qd

00

1*

*

*2

2

02

0 ln**

*2

r

r

T

Q

GTTk 12 ; *

012000 ; * GTTk

02

0 ln***

*2

r

r

Tk

QGG

0

02

ln*2

***

r

r

GGTkQ

b) Določitev globine vode pod terenom v vodnjaku A

188

ln*2

***

0

2

r

r

GGTkQ

AB

BA

mGTk

r

rQ

B

AB

373.5210**0008.0

5.0

100ln*008.0*2

**

ln**2

G 2

0

A

c) Čas gibanja onesnaženja iz vodnjaka C v vodnjak A

dt

dr

Tr

Q

Tr

Qvr

22

**

*2

*360

***2

rdrdtT

Q

2*

*2

0

02

**

*2r

r

T

AB

rdrdtT

Q

2

0

22

2

*2

1

2*

*

*20

rrr

TT

QAB

r

rAB

3.8s42min 9ur 288.24541235.050*2*008.0*2

10**

2**2

1** 222

0

22 dnisrrQ

TT AB

189

3.2.15 Kolikšen kot oklepata neprepustni plasti, če barvilo iz vodnjaka B doseže vodnjak A, iz

katerega črpamo Q vode, v času tAB? Določi tudi, kolikšna je denivelacija HB v vodnjaku B!

T1 = 15 m

T2 = 10 m

HA = 8 m

Q = 5 l/s

k = 2*10-4

m/s

r0 = 0.3 m

tAB = 60 dni

rAB = 50 m

Rešitev:

a) Določitev kota

***2*

360*

2 rT

Q

dt

drvr

***2*

360*

2 *

**2*

360*dr*r

2

2

0

2

02

r0

ABAB

t

r

tT

Qrrdt

T

Q AB

AB

8128.118

3.050**10

3600*24*60*360*005.0

**

*360*=

222

0

2

2

rrT

tQ

AB

AB

b) Določitev HB

****2*

360*

2 rrrT

Qvr

rrv

*0

drrT

Qddr

rd

***2*

360*

2

ABB

A

r

rr

dr

T

Qd

0

***2*

360*

2

02

ln***2*

360*

r

r

T

Q ABBA

*kv

02

ln***2*

360**

r

r

T

Qk AB

AB

190

02

ln****2*

360*

r

r

kT

Q ABAB

mHT AA 78151

mTHHT BBBB 8322.11678.1315 11

mB 1678.133.0

50ln*

0002.0*8128.118**2*10

360*005.07

191

3.2.16 Podtalnico bogatimo z dolivanjem vode Q v vodnjak A. Določi kot , če poznamo

denivalaciji H0 in H2 v vodnjakih A in C. Kolikšna je denivelacija H1 v vodnjaku B?

T1 = 15 m

T2 = 7 m

Q = 6 l/s

R1 = 15 m

R2 = 60 m

r0 = 0.5 m

H0 = 1 m

H2 = 9 m

k =2*10-4

m/s

Rešitev:

a) Izpeljava enačb

rTr

Qvr

****2

360*

2

*0

rv

drr

qddr

rd

***2

360*

2

0

2

0

r

*

**2

360* R

r

drqd

0

202 ln*

**2

360*

r

Rq

0

202 ln*

**2

360***

r

Rqkk

0

202 ln*

**2

360**

r

RqHHk

b) Določitev kota

=

Q

T k H H

R

r

*

* * * **ln

. *

* * * * **ln

..

360

2

0 006 360

2 7 2 10 9 1

60

051469481

2 2 0

2

0

4

c) Določitev H1

mr

R

kT

QHH 6835.5

5.0

15ln*

9481.146*10*2*7**2

360*006.01ln*

****2

360*4

0

1

2

01

192

3.2.17 V vodnjaku ob neprepustnem sloju (glej sliko) naletimo na vodo v globini G1. Določi

maksimalni možni pretok, če s črpalko lahko črpamo vodo iz globine največ G2 pod

terenom. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji 200 m od vodnjaka znižan za s glede na

nivo pred črpanjem. Koeficient prepustnosti vodonosnika je k!

G1 = 1.2 m

G2 = 7 m

s = 0.1 m

a = 9 m

b = 10 m

k = 10-4

m/s

r0 = 0.5 m

Rešitev:


rr

qvr

3

2***2

*0

rv

ddr

rd

r

rdr

r

qd

00 **4

*3

0

0 ln**4

*3

r

rq

0

0 ln**4

*3*

r

rqk

0

0 ln**4

*3*

r

rqk

sm

r

r

kq /10*985.3

5.0

200ln*3

*4*27.7*10

ln*3

*4** 244

0

0

mGa 27920

msGa 7.71.02.191

slsmbqQ / 985.3/10*985.310*10*985.3* 334

193

3.2.18 V vodnjaku ob neprepustnem sloju (glej sliko) naletimo na vodo v globini G1. Določi

maksimalni možni pretok, če s črpalko lahko črpamo vodo iz globine največ G2 pod

terenom. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji 200 m od vodnjaka znižan za s glede na

nivo pred črpanjem. Koeficient prepustnosti vodonosnika je k!

G1 = 1.2 m

G2 = 7 m

s = 0.1 m

a = 9 m

b = 10 m

k = 10-4

m/s

r0 = 0.5 m

= 90

Rešitev:


rr

q

r

qvr

3**

*2

4

3***2

*0

rv

ddr

rd

r

rdr

r

qd

00 **3

*2

0

0 ln**3

*2

r

rq

0

0 ln**3

*2*

r

rqk

0

0 ln**3

*2*

r

rqk

sm

r

r

kq /10*4831.4

5.0

200ln*3

*2*27.7*10

ln*3

*2** 244

0

0

mGa 27920

msGa 7.71.02.191

slsmbqQ / 4831.4/10*4831.410*10*4831.4* 334

194

3.2.19 Med dvema neprepustnima plastema teče podtalnica. Določi globino vode v piezometru G3

in pretok Q! (Prepustni sloj ima dva različna koeficienta prepustnosti.) Merilo 1:200.

G1 = 1 m

G2 = 2 m

k1 = 0.2 mm/s

k2 = 0.1 mm/

Rešitev:

a) Globina vode v piezometru

mGGH 1121221

mH

1667.06

1

6

211

2332 GGH

3221 5.5*8.2* H

2211 ** kkq

mk

k3333.01667.0*

1.0

2.0*

2

112

mGG 3.43333.0*5.51*1667.025.5*8.2* 2123

b) Pretok

mnvq 1**

skgradkv

1

111 **

smkq /10*3333.31667.0*10*2.0* 353

11

slsmqQ / 1333.0/10*3333.110*3333.3*4*4 345

196

3.2.20 Podtalnica teče skozi prepustno plast. Podan je nivo vode v dveh vodnjakih. Določi pretok in

silo precejnega pritiska na ploskev AB. Skica je narisana v merilu 1:200. Širina plasti je L.

H1 = 1 m

H2 = 1.2 m

k = 0.3 mm/s

L = 1 m

Rešitev:

a) Določitev pretoka

mn

H1059.0

17

8.1

mHHH 8.12.1212 21

slsmLkmQ / 1271.0/10*2706.11*10*3.0*1059.0*4*** 343

b) Sila na ploskev AB

točka ni I

m

zi m p

g

i

* [m]

Li [m] Fi [N]

A 3.5 2.6 2 0.63

0.75 5.7*103

4 4 2.58 1.66 0.92

1 10.6*103

5 5 2.47 1.22 1.25

0.8 10.8*103

6 6 2.36 0.86 1.5

0.7 11.0*103

7 7 2.26 0.55 1.71

0.62 10.9*103

8 8 2.15 0.27 1.88

0.5 9.5*103

9 9 2.05 0.046 2

0.1 2.0*103

B 9.3 2.015 0 2.015 SF 60.5*10

3

197

3.2.21 Pregrada AB zadržuje vodo, ki pronica skozi prepustno plast pod neprepustnimi zagatnicami

B-C-D-E-F. Podan je tlak v točki E. Določi H1 ter pretok , ki pronica pod zagatnicami v

področju prvih štirih tokovnic (po sliki). (Računajte na 1 širinski meter). Merilo 1:40.

m 0.6

m 1

m 0.8

DE

CD

BC

H2 = 1 m

k = 0.2 cm/s

PE = 26 kN/m2

= 103

kg/m3

Rešitev:

a) Višina H1

2.13n

12* HHn

mzg

pE

EE 6504.11

81.9*1000

10*26

*

3

EH *91

E

HHH

n

HHH

2.13*9*9 12

112

1

EHHH *2.13*9*9*2.13 121

mH

H E 044.32.4

1*96504.1*2.13

2.4

*9*2.13 21

b) Določitev pretoka

198

slsmn

HHkkn

skq / 3097.0/10*0969.3

2.13

044.31*10*2.0**** 34212

slqQ / 9291.03097.0*3*3

199

3.2.22 Pregrada AB zadržuje vodo, ki pronica skozi prepustno zemljino pod neprepustnimi

zagatnicami B-C-D-E-F. Določi sili na ploskvi B-C in C-D ter pretok, ki pronica pod

zagatnicami v področju prvih štirih tokovnic (slika). Sile in pretok računajte na širinski

meter. Merilo 1:40.

m 0.6

m 1

m 0.8

DE

CD

BC

H2 = 1 m

k = 0.2 cm/s

PE = 26 kN/m2

= 103

kg/m3

Rešitev:

a) Pretok pod pregrado

mHHH 21321

2.13n

mn

H1515.0

2.13

2

mns

kmnvSvq 1***1***

smmkq /10*303.01** 3

slsmqQ / 909.0/10*0909.910*303.0*3*3 43

71

200

3.2.23 Določi horizontalno silo vodnega pritiska na zagatno ceno, ki je zabita v prepustno plast.

Določi pretok, ki pronica pod zagatnico! (Vse na širinski meter L.). Merilo 1:200.

H1 = 5 m

H2 = 1 m

y = 4 m

d = 3 m

k = 0.1 mm/s

L = 1 m

Rešitev:

a) Pretok pod zagatnico

mHHH 41521

12n

mn

H3333.0

12

4

slsmkmQ / 1667.0/167.010*1.0*3333.0*5** 33

b) Horizontalna sila vodnega pritiska na zagatnico in njeno prijemališče

FL...sila z leve strani; FD...sila z desne strani (glej sliko)

iii

ii

ii hzg

p

g

pz

*

*

ii hg

p

*

201

mnHnHn

HHnH

nnn iiiiiiii 3333.0*5**** 1

211

01200

mHmH 1 ;5 21210

1 iii zzs (vertikalna površina)

mn

HHkonstH ii 3333.0

12

1521

5

1

1 *2

***i

i

ii

L shh

LgF

12

8

1 *2

***i

i

ii

D shh

LgF

DL FFF

Prijemališče

5) do 1(i *2

*3 1

1

1

ii

iii

iihh

hhszr ; 12) do 8(i

*2*

3 1

1

1

ii

iii

iihh

hhszr

L

i

ii

LF

rF

r

5

1

*

; D

i

ii

DF

rF

r

12

8

*

; F

rFrFr DDLL

F

**

Odčitamo in nato izračunane vrednosti zapišemo v tabeli: Slika Slika

ni zi pi hi Dsi Fi ri

FL,

FD

rL,

rD

F rF

[m] [m] [m] [m] [N] [m] [N] [m] [N] [m]

0 0 5 5.000 1.10 58087.9 0.563

FL=

24

74

92

.3

r L=

2.1

29

F=

10

24

47

.6

r F =

1.6

01

1 -1.10 4.667 5.767

0.99 59189.2 1.604

2 -2.09 4.333 6.423

0.81 52932.9 2.500

3 -2.90 4.000 6.900

0.70 48638.9 3.253

4 -3.60 3.667 7.267

0.40 28643.2 3.800

5 -4.00 3.333 7.333

0 0

6 -4.00 3.000 7.000

0 0

7 -4.00 2.667 6.667

0.45 27698.8 3.779

FD=

14

50

44

.6

r D=

2.5

02

8 -3.55 2.333 5.883

0.65 34378.9 3.235

9 -2.90 2.000 4.900

0.81 34390.7 2.513

10 -2.09 1.667 3.756

0.99 30053.5 1.630

11 -1.10 1.333 2.433

1.10 18522.8 0.627

12 0 1.000 1.000

202

Merilo 1:100

203

3.2.24 Skozi prepustno plast teče pretok Q na 1m širine ( na papir). Določi višino vode v

piezometru 1 (H1), če poznaš višino vode v piezometru 2 (H2)! Merilo 1:200

Q= 0.169 l/s

H2= 1.2m

k= 0.4mm/s

L= 1m ( na papir)

Rešitev:

a) Višina vode v piezometru 1

kLm

nQHkL

n

HmQ

**

* ***

slike iz 4

17

m

n

mH 7956.10004.0*1*4

17*10*169.0 3

mHzzHHHzHzH 9956.02.1247956.1 22112211

204

3.2.25 Podtalnica teče od leve proti desni med dvema neprepustnima plastema. Na podlagi podanih

tokovnic izriši ekvipotencialne črte in določi:

a) Pretok skozi prepustno plast na 1m širine ( na papir).

b) Vertikalno komponento sile na ploskev AB.

H1 = 1 m

H2 = 1.3 m

k = 0.3 mm/s

L = 1 m

Rešitev:

a) Pretok

vnq * ; qmQ *

smmvC /03.0 ; 241*4 mSC

slsmSvQ CC / 12.0/10*12.04*10*03.0* 333

b) H2

HHH 12

21 HzzH DC

skgradkv

'

** ; n

'

17n

na začetku

smmvs A /03.0*1

cmmk

sv101.0

10*3.0

1*10*03.0*3

3'

HmnCD 7.11.0*17* '

mHzzHH DC 3.17.120112

slsmLHn

mkQ / 12.0/12.01*7.1*

17

4*10*3.0*** 33

c) FV

BAV FFFFFFFF ,99,88,77,66,55,44,

2*cos* 4

4,4,

ppnF A

AA

mA 65.01.0*5.31*5.3 '

0

mA 6.0*5.0 '

4

0Az

mz 34.04

205

2*cos* 54

5,45,4

ppnF

2*cos* 65

6,56,5

ppnF

2*cos* 76

7,67,6

ppnF

2*cos* 87

8,78,7

ppnF

2*cos* 98

9,89,8

ppnF

2*cos* 9

,9,9B

BB

ppnF

m5.05

m4.06

m3.07

m2.08

m1.09

mD 07.01.0*3.01.0*3.0 '

9

mz 8.05

mz 15.16

mz 5.17

mz 75.18

mz 95.19

mzB 2

mnA 75.04,

mn 05.15,4

mn 8.06,5

mn 7.07,6

mn 6.08,7

mn 56.09,8

mn B 01.0,9

mABL 47.4

mzhg

pAAA

A 65.0065.0*

mzhg

p94.034.06.0

*444

4

mzhg

p3.18.05.0

*555

5

mzhg

p55.115.14.0

*666

6

mzhg

p8.15.13.0

*777

7

mzhg

p95.175.12.0

*888

8

mzhg

p05.295.11.0

*999

9

mzhg

pBBB

B 07.2207.0*

2*

2*

2*

2*

2*

2*

2*

*cos**9

,9

98

9,8

87

8,7

76

7,6

65

6,5

54

5,44

4,

B

B

AA

Vhh

nhh

nhh

n

hhn

hhn

hhn

hhn

gF

2

07.205.2*01.0

2

05.295.1*56.0

2

95.18.1*6.0

2

8.155.1*7.0

2

55.13.1*8.0

2

3.194.0*05.1

2

94.065.0*75.0

*984.0*81.9*103

VF

NFV 57.55692

206

3.3 Teorem o gibalni količini za stalni tok

207

3.3.1 Določi, s kolikšno silo (velikost in smer) moramo sidrati horizontalno koleno. Cev se v

točkah 1 in 2 nadaljuje.

Q = 100 l/s

d1 = 30 cm

d2 = 15 cm

= 30

p2 = 0.2 bar

Rešitev:

a) Velikost in smer sile

N

SpSpvvQFxxxxrx

07.18207496.24740786.306)4147.19007.4(*1.0*1000=

**** 112212

N

SpSpvvQFyyyyry

66.45907146.17608294.2*1.0*1000=

**** 112212

smd

Qv /4147.1

3.0*

4*1.0

*

4*22

1

1

0 ; /4147.1 111 yx vsmvv

smd

Qv /6588.5

15.0*

4*1.0

*

4*22

2

2

208

smvv x /9007.430cos*6588.5cos*22

smvv y /8294.230sin*6588.5sin*22

2

2

21

2

1

2*

2* p

vp

v

barmNvvpp 3501.0/54.350104147.16588.5*2

100010*2.0*

2

22252

1

2

221

Nd

pSpP 7496.24744

3.0**54.35010

4

***

22

11111

0 ; 7496.2474 111 yx PNPP

NSpP 4292.3534

15.0**10*2.0*

25

222

NPP x 0786.30630cos*4292.353cos*22

NPP y 7146.17630sin*4292.353sin*22

NFFF ryrxr 22.187766.45907.1820 2222

1736.14 2525.007.1820

66.459

rx

ry

F

Ftg

209

3.3.2 Določi smer in velikost sile, s katero moramo sidrati horizontalno koleno cevi, po kateri teče

Q vode. V točki B imamo iztok na prosto.

Q = 100 l/s

d1 = 30 cm

d2 = 15 cm

= 75

Rešitev:

a) Smer in velikost sile

N

SpSpvvQFxxxxxr

0432.1056

03.10614147.14646.1*1.0*1000**** 112212

NSpSpvvQFyyyyyr 6.5460466.5*1.0*1000**** 112212

smd

Qv x /4147.1

3.0*

4*1.0

*

4*22

1

1

01 yv

smd

Qv /6588.5

15.0*

4*1.0

*

4*22

2

2

smvv x /4646.175cos*6588.5cos*22

smvv y /466.575sin*6588.5sin*22

2222

1

2

212

2

21

2

1 55.150104147.1659.5*2

1000*

22*

2* mNvvpp

vp

v

xPNd

pSpP 1

22

11111 0332.1061

4

3.0**55.15010

4

***

01 yP

NFFF yrxrr 11.11896.54604.1056 2222

3658.27 51759.004.1056

6.546

xr

yr

F

Ftg

211

3.3.3 Določi silo vode na koleno cevi!

Q = 50 l/s

d1 = 20 cm

d2 = 10 cm

= 60

p1 = 0.4077 bar

Rešitev:

a) Sila na koleno

xxxxax SpSpvvQF 221121 ****

yyyyay SpSpvvQF 221121 ****

smd

Qv /5915.1

2.0*

05.0*4

*

*422

1

1

smd

dvv /3662.6

1.0

2.0*5915.1*

22

2

112

212

g

v

g

p

g

v

g

p

*2**2*

2

22

2

11

222

52

2

2

112 /28.21772

2

3662.65915.1*100010*4077.0

2

*mN

vvpp

222

11 0314.0

4

2.0*

4

*m

dS

2322

11 10*854.7

4

1.0*

4

*m

dS

smvv x /5915.111

01 yv

smvv x /1831.360cos*3662.6cos*22

smvv y /5133.560sin*3662.6sin*22

NSpSpx

83.12800314.0*40770** 1111

0* 11 y

Sp

NSpSpx

5.8560cos*10*854.7*28.21772cos*** 3

2222

NSpSpy

09.14860sin*10*854.7*28.21772sin*** 3

2222

NFax 06.16055.8583.12801831.35915.1*05.0*1000

NFay 75.42309.14805133.50*05.0*1000

NFFF ayaxa 06.166075.42306.1605 2222

7893.14 264.006.1605

75.423

ax

ay

F

Ftg

213

3.3.4 Curek premera d in hitrosti v pada na lopatico, ki je ukrivljena za kot proti horizontali in

pripeta na voziček mase m. Določi silo vozička na podlago, če:

a) Voziček miruje.

b) Voziček se oddaljuje od curka s hitrostjo vvoz. c) Voziček se približuje curku s hitrostjo vvoz.

V vseh treh primerih določi tudi absolutno hitrost vode (smer in velikost), ki odteka z

lopatice.

d = 10 cm

v = 6 m/s

m = 70 kg

= 60

vvoz = 4 m/s

Rešitev:

a) Voziček miruje

NvvQF yyay 86.2441962.50*0471.0*1000** 21

smvd

Q /0471.06*4

1.0**

4

* 322

01 yv

smvv y /1962.560sin*6sin*2

NgmFGFF ayayP 56.93181.9*7086.244*

60 ; /62 smvv

214

b) Voziček se oddaljuje od curka

smvvd

Q voz /0157.046*4

1.0**

4

* 322

smvvv voz /2461

01 yv

smvvv voz /2462

smvvvv vozyay /7321.160sin*46sin*22

NvvQF yyay 21.277321.10*0157.0*1000** 21

NgmFGFF ayayP 91.71381.9*7021.27*

smvvvv vozvozxa /5460cos*46cos*2

smvvv yaxa /2915.57321.15 222

2

2

221

19.1066= 3464.05

7321.1

2

2

xa

ya

v

vtg

c) Voziček se približuje curku

smvvd

Q voz /0785.046*4

1.0**

4

* 322

smvvv voz /10461

01 yv

smvvv voz /10462

smvvvv vozyay /6603.860sin*46sin*22

NvvQF yyay 17.6806603.80*0785.0*1000** 21

NgmFGFF ayayP 87.136681.9*7017.680*

smvvvv vozvozxa /1460cos*46cos*2

smvvv yaxa /7178.86603.81 222

2

2

221

83.4132= 6603.81

6603.8

2

2

xa

ya

v

vtg

215

3.3.5 Dva curka padata na ravno ploščo, ki je vrtljiva krog tečaja A. Na kolikšni razdalji l2 mora

delovati curek 2, da plošča miruje v navpični legi?

d1 = 0.1 m

v1 = 6 m/s

d2 = 0.2 m

v2 = 4 m/s

l1 = 1.2 m

Rešitev:

a) Sila curka na ploščo

NvQF 74.2826*0471.0*10000** 111

smd

vQ /0471.04

1.0**6

4

** 3

22

111

NvQF 65.5024*1257.0*10000** 222

smd

vQ /1257.04

2.0**4

4

** 3

22

222

b) Oddaljenost curka 2

0 AM

mF

lFllFlF 675.0

65.502

2.1*74.282* **

2

1122211

216

3.3.6 Na kvadratno ploščo z robom a in maso m, ki je obešena na tečaju O, udarja horizontalni

curek hitrosti v0 na razdalji l pod tečajem. Določi:

a) Potreben pretok Q, ki zadržuje ploščo v položaju, nagnjenem za kot proti vertikali.

b) Velikost in smer sile na tečaj O!

a = 1 m

m = 30 kg

d = 0.05 m

= 30

l = 0.6 m

= 1000 kg/m3

Rešitev:

a) Določitev pretoka Q

21** vvQF a

cos*1 vv

02 v

0M

2*sin**`*

agmFl a

2*sin**cos****

cos

agmvQ

l

2*sin**

*

4****

2

agm

d

QQl

217

sml

dagmQ /0155.0

4*1000*6.0*2

05.0**1*30sin*981*30

4***2

***sin** 322

b) Smer in velikost sile na tečaj O

0 OM

cos*

2*sin**

lN

agm

Nl

agmN 2.106

6.0*2

30cos*1*30sin*81.9*30

*2

cos**sin**

NNFOx 97.9130cos*2.106cos*

NgmNFOy 2.24181.9*3030sin*2.106*sin*

218

3.3.7 Gasilska cev je pritrjena na vrhu masivnega lesenega stebra višine H in širine l ( na papir),

ki nepritrjen stoji na tleh. Določi potrebno dolžino strebra pri dnu L, da se steber pri

maksimalnem pričakovanem iztoku iz cevi Qmax ne bo prevrnil! Preveri tudi možnost zdrsa!

Os cevi je na razdalji H1 od tal, v točki 2 je iztok na prosto!

d1 = 0.1 m

d2 = 0.03 m

H = 3 m

l = 0.5 m

H1= 3.2 m

Qmax = 20 l\s

l = 800 kg\m3 (gostota lesa)

k = 0.8 (koeficient trenja med stebrom in telmi)

Rešitev:

a) Določitev reakcijske sile na cev in s tem na steber

2601.89N=0.00785*397029.96+

29.2855.2*02.0*1000**** 221121max xxxxax SpSpvvQF

smpdp

Qv x 55.2

1.0*

24*02.0

*

4*22

1

max1

smd

Qv x 29.28

03.0*

4*02.0

*

4*22

2

max2

02 p

2222

1

2

212

2

21

2

1 96.39702955.229.28*2

1000*

2

2

*

2

*mNvvpp

vp

v

222

11 00785.0

4

1.0*

4

*m

dS

b) Možnost prevrnitve

*3

2***

2

**F 0**F 0 1ax1ax Lgl

LHHrGHM GA l*

mglH

H457.1

800*81.9*5.0*3

3*2.3*89.2601

2****

3*2**F=L 1ax

l

glLH

G **2

*l*

*3

2LrG

219

c) Preverimo še možnost zdrsa

F k G kH l

l g NH l * **

* * * . ** .

* . * * . .2

083 1457

205 800 9 81 6860 72 Fax

Zdrs ni kritičen.

220

3.3.8 Voda, ki teče po cevi, ima energijsko višino EC. Curek, ki brizga iz nje, pada na ploščo, ki se

pomika proti cevi s konstantno hitrostjo vpl. Določi silo (velikost in smer) curka na ploščo!

Določi absolutno hitrost vode, ki odteka s plošče!

EC = 1.835 m

vpl = 3 m/s

d = 10 cm

= 30

Rešitev:

a) Hitrost curka

Ev

gv g E m sC C

2

22 2 981 835 6

** * * . *1. /

b) Sila curka na ploščo

NvvQF xxax 23.857942.46*0707.0*1000** 21

NvvQF yyay 09.3185.40*0707.0*1000** 21

smd

vvQ pl /0707.04

1.0**36

4

** 3

22

smvv x /61

01 yv

smvvvv plplx /7942.4330cos*36cos*2

smvvv ply /5.430sin*36sin*2

NFFF ayax 31.32909.31823.85 2222

75= 7321.323.85

09.318

ax

ay

F

Ftg

c) Absolutna hitrost vode, ki odteka s plošče

smvvv yx /5753.65.47942.4 222

2

2

22

43.1868= 9386.07942.4

5.4

2

2

x

y

v

vtg

221

3.3.9 Voda, ki teče po cevi, pritrjena na obali, ima energijsko višino EC. Curek, ki brizga iz nje,

pada na lopatico, ki je pritrjena na lesenem plavaču valjaste oblike. Določi silo F na lopatico

ter izračunaj, za kakšen kot se plavač nagne (težo lopatice lahko zanemariš) !

d = 3 cm

EC = 2 m

a = 1 m

D = 1.7 m

b = 0.3 m

l = 600 kg/m3 (les)

v = 1000 kg/m3 (voda)

Rešitev:

a) Hitrost in pretok iz cevi

smEgvg

vE CC /2642.62*81.9*2**2

*21

2

1

smd

vQ /10*4278.44

03.0**2642.6

4

** 33

22

1

b) Sila na lopatico

NvvQF xxax 47.552642.62642.6*81.9*1000** 21

smv x /2542.61

smv x /2642.62

c) Globina potopitve

GW

mahghD

ghD

v

llv 6.0

1000

600*1* ***

4

****

4

* 22

222

d) Kot nagiba

sin*** GCW MCGyabF

3552.2 04109.0

101.0*05.13360

3.013.0*4742.55

*

*sin

G

CW

MCG

yabF

mCCMCMC GWWG 101.02.0301.0

mP

JMCW 301.0

3619.1

41.0

444

41.064

7.1*

64

*m

DJ

322

3619.16.0*4

7.1**

4

*mh

DP

myyCC CWCGGW 2.03.05.0

ma

yCG 5.02

1

2

mh

yCW 3.02

6.0

2

NaD

gG l 05.133601*4

7.1**81.9*600*

4

***

22

223

3.3.10 Voda izteka po cevi z odsekoma različnimi premeri na prosto. Curek pada na horizontalno

ploščo, ki se premika proti cevi s konstantno hitrostjo vpl.

a) Določi maksimalno možno višino H, pir kateri voda še izteka iz posode in izriši tlačno in

energijsko črto,

b) Določi silo (smer in velikost) curka na ploščo,

c) Določi absolutno hitrost (smer in velikost vode, ki odteka iz plošče!

vpl = 3 m/s

d1 = 0.1 m

d2 = 0.3 m

d3 = 0.2 m

= 30

Rešitev:

a) Maksimalna višina

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

vH

*210000

2

1

10*2

2

1 Hg

v

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

g

vH

*20000

2

3

Hg

v

*2

2

3

3

2

3

2

1

331

2

3

2

1

2

3

2

1

*41.0

2.0** 10

*2*2

*2

10*2

vvd

dvv

g

v

g

v

Hg

v

Hg

v

smg

vg

v/6166.3

15

81.9*2*10

15

*2*10 10161*

*23

2

3

mg

vH 6667.0

81.9*2

6166.3

*2

22

3max

224

b) Sila curka

NvvQF xxxa 27.1847302.56166.6*2079.0*1000** 21

NvvQF yyya 69.6873083.30*2079.0*1000** 21

smd

vvQ pl /2079.04

2.0**36166.3

4

** 3

22

33

smvvv plx /6166.636166.331

01 yv

smvvv plx /7302.530cos*36166.3cos*32

smvvv ply /3083.330sin*36166.3sin*32

NFFF yaxaa 95.71169.68727.184 2222

75 7321.327.184

69.687

xa

ya

F

Ftg

c) Absolutna hitrost curka vode

smv ya /3083.32

smvvv plxxa /7302.237302.522

smvvv yaxaa /2894.47302.23083.3 222

2

2

22

469.50 2112.17302.2

3083.3

2

2

xa

ya

v

vtg

225

3.3.11 Vodo iz rezervoarja preko natege dovajamo na horizontalno ploščo, ki se odmika s hitrostjo

vpl. Določi:

a) Iztok iz rezervoarja Q in minimalni dopustni premer d1, da še ne pride do kavitacije (izriši

tudi potek tlačne in energijske črte).

b) Velikost in smer curka na ploščo!

a = 1 m

b = 2 m

d2 = 0.2 m

= 20

vpl = 1.5 m/s

Rešitev:

a) Iztok iz rezervoarja in določitev dopustnega premera d1

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

000

g

vb

*20000

2

2

smbgg

vb /2642.62*81.9*2**2 v

*22

2

2

slsmd

vQ / 8.196/1968.04

2.0**2642.6

4

** 3

22

22

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

va

*210000

2

1

226

smagag

v/2883.13110*81.9*210**2 v 10

*21

2

1

mv

QdvQ 1373.0

*2883.13

1968.0*4

*

*4d

4

**

1

1

2

11

b) Sila curka

smd

vvQ plpl /1497.04

2.0**5.12642.6

4

** 3

22

22

NvvQF xxplax 00.434769.47642.4*1497.0*1000** 21

NvvQF yyplay 88.2436294.10*1497.0*1000** 21

smvvv plx /7642.45.12642.621

smvvv plx /4769.420cos*5.12642.6cos*22

01 yv

smvvv ply /6294.120sin*5.12642.6sin*22

NFFF ayaxa 64.24788.24300.43 2222

80 6713.500.43

88.243

ax

ay

F

Ftg

227

3.3.12 Z hidravlični sistem na sliki določi (vodo upoštevanj kot idealno tekočino):

a) Nariši tlačno in energijsko črto in označi vrednosti,

b) Pretok ter maksimalno dopustno višino kolena z1, ki ta pretok še omogoča,

c) Velikost in smer sile curka na ploščo, ki se približuje cevi s hitrostjo vpl!

H = 4 m

z2 = 1 m

d1 = 0.14 m

d2 = 0.2 m

vpl = 2 m/s

= 30

Rešitev:


b) Pretok, ter višina kolena

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

222

2

000

g

vzH

*2000

2

22

smzHgvzHg

v/672.714*81.9*2**2

*2222

2

2

smd

vQ /241.04

2.0**762.7

4

** 3

22

22

228

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

vzH

*21000

2

21

smd

dvv /6572.15

14.0

2.0*762.7*

22

1

221

mg

vHz

g

vzH 5052.1

81.9*2

6572.15410

*210

*210

22

21

2

21

c) Velikost in smer sile curka na ploščo

NvvQF xxxa 74.3933762.8672.9*3039.0*1000** 211

NvvQF yyya 45.1469836.40*3039.0*1000** 211

smd

vvQ pl /3039.04

2.0**2672.7

4

** 3

22

221

smvvv plx /672.92672.721

smvvv plx /3762.830cos*2672.7cos*22

smvvv ply /836.430sin*2672.7sin*22

NFFF ayaxa 29.152145.146974.393 2222

75 7321.374.393

45.1469

ax

ay

F

Ftg

229

3.3.13 Pretok Q vode (idelana tekočina) izteka po cevi z odsekoma različnimi premeri na prosto, pri

čemer curek pada na ploščo, ki se približuje s hitrostjo vpl. Na cev 2 priključen piezometer

kaže višino vode hS. Določi:

a) Višino vode v rezervoarju.

b) Premer cevi d2 in minimalni premer d1, da je Q še možen.

c) Izriši tlačno in energijsko črto.

d) Določi silo (smer in velikost ) curka na ploščo!

d3 = 0.2 m

Q = 114 l/s

hS = 0.54 m

= 30

vpl = 2 m/s

Rešitev:

a) Višina vode v rezervoarju

smd

Qv /6287.3

2.0*

4*114.0

*

4*22

3

3

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

g

vH

*20000

2

3

mg

vH 6711.0

81.9*2

6287.3

*2

22

3

230

b) Premer cevi 2 in 1

smghHvg

vhH SS /604.181*.9*2*54.06711.0*2*

*22

2

2

mv

Qd 3008.0

604.1*

4*114.0

*

4*

2

2

10*2

2

1 Hg

v

smHgv /4695.14106711.0*81.9*210**21

mv

Qd 1002.0

4695.14*

4*114.0

*

4*

1

1

c) Sila curka na ploščo

NvvQF xxax 35.1338746.46329.5*1768.0*1000** 21

NvvQF yyay 67.4978144.20*1768.0*1000** 21

smvvd

Q pl /1768.026329.3*4

2.0**

4

* 32

3

2

3

smvvv plx /6329.526329.331

smvvv plx /8746.430cos*26329.3cos*32

01 yv

smvvv ply /8144.2sin*26329.3sin*32

NFFF ayax 23.51567.49735.133 2222

75= 7321.335.133

67.497

ax

ay

F

Ftg

231

3.3.14 Voda izteka pri A na prosto. Iztekajoči curek pada na horizontalni zid, katerega kraka

oklepata kot .

a) Izriši energijsko in tlačno črto ter označi vrednosti.

b) Določi pretok iz sistema.

c) Določi maksimalno dopusten dvig cevi od horizontalne lege (H1).

d) Določi velikost in smer sile curka na zid!

H = 5 m

d1 = 0.2 m

d2 = 0.3 m

d3 = 0.25 m

= 120

Rešitev:

a) Izris energijske in tlačne črte ter označitev vrednosti

b) Pretok iz sistema

prerez 0-0 in A-A

g

v

g

pz

g

v

g

pz A

A*2**2*

2

3

2

000

smHgvg

vH 9045.95*81.9*2**2

*20000 3

2

3

slsmd

vQ 2.4864862.04

25.0**9045.9

4

** 3

22

33

232

c) Maksimalno dopusten dvig cevi od horizontalne lege (H1)

prerez 0-0 in B-B, upoštevamo kavitacijo:p

gmB

* 10

smd

Qv

dvQ 4759.15

2.0*

4*4862.0

*

4*

4

**

22

1

1

2

11

g

v

g

pz

g

v

g

pz B

B*2**2*

2

1

2

000

g

vHH

*21000

2

11

mg

vHH 793.2

81.9*2

4759.15105

*210

22

11

d) Velikost in smer sile curka na zid

NvvQF xxax 8.2407)9523.49045.9(*4862.0*1000)(** 21

NvvQF yyay 3.4170 )776.80(*4862.0*1000)(** 21

0 v; 9045.9 1y31 smvv x

smvv x 9523.460cos*9045.9)180cos(*32

smvv y 5776.860sin*9045.9)180sin(*32

5.48153.41708.2407 2222 NFFF ayaxa

60= 7321.18.2407

3.4170=tg

ax

ay

F

F

233

3.1.15 Voda izteka iz cevi 3 na prosto. Curek pada na ploščo, ki se oddaljuje s hitrosrjo vpl. Določi:

a) Potrtebni tlak v hidroforju, da bo iz njega tekel pretok Q.

b) Maksimalen možen pretok, če ustreno povečamo tlak v hidroforju. Koliko ta znaša?

c) Nariši tlačno in energijsko črto za oba primera.

d) Določi smer in velikost sile curka na ploščo pri pretoku Q iz sistema!

d1 =d2 = 3 cm

d2 = 2 cm

H = 2 m

Q = 3 l/s

a = 1.5 m

= 60

vpl = 1.5 m/s

Rešitev:

a) Prerez 0-0 in 3-3

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

333

2

000

g

va

g

pH n

*200

*0

2

3

*2*

2

3 g

va

g

pH n

barmNgg

vHa 4101.0/33.410181.9*1000*

81.9*2

2441.425.1**

*2p 2

22

3n

smd

Qv /2441.4

03.0*

4*003.0

*

4*22

3

3

Kontrola podtlaka (prerez 0-0 in 2-2)

234

smd

Qv /5493.9

02.0*

4*003.0

*

4*22

2

2

g

v

g

pa

g

pH n

*2**

2

22

mg

v

g

paH

g

p n 7297.381.9*2

5493.9

81.9*1000

33.4101152

*2**

22

22

b) Maksimalni možni pretok

g*2

v10

g*2

v ;

*10

*2

2

3

2

2max

2

2 g

paH

g

v

smv

v/9495.6 81.9*2*10v*4.0625 10=

g*2

v

g*2

*25.23

2

3

2

3

2

3

smvd

dvv /6363.159495.6*25.2

02.0

03.0**

2

3

2

2

332

mHag

v

g

p9615.1215

81.9*2

9495.6

*2*

22

3max

barmNgp 1924.0/69.1924281.9*1000*9615.1**9615.1 2

max

c) Smer in velikost sile curka na ploščo

NvvQF xxax 66.23721.17441.2*00194.0*1000** 21

NvvQF yyay 61.43765.20*00194.0*1000** 21

smd

vvQ pl /00194.04

03.0**5.12441.4

4

** 3

22

33

smvvv plx /7441.25.12441.431

smvvv plx /3721.160cos*5.12441.4cos*32

01 yv

smvvv ply /3765.260sin*5.12441.4sin*32

NFFF ayax 32.561.466.2 2222

60= 7321.166.2

61.4

ax

ay

F

Ftg

235

3.3.16 Vodo (obravnavaj jo kot idealno tekočino) s pomočjo črpalke Č dovajamo na horizontalno

lopatico, ki miruje.

a) Izriši tlačno in energijsko črto.

b) Določi maksimalen pretok, ki ga lahko črpamo in moč črpalke.

c) Pri Qmax določi silo curka (velikost in smer) na lopatico!

H = 6 m

d = 0.2 m

= 60


Rešitev:


b) Maksimalni pretok in moč črpalke

g

v

g

pz

g

v

g

pz Č

Č*2**2*

22

00

0

g

vH

*210000

2

236

smHg

v/8589.8610*81.9*2H-10*g*2= v 10

*2

2

kWWEQg

P 1203.3229.3212085.0

10*2783.0*81.9*1000***

mg

vHE 10

81.9*2

8589.86

*2

22

l/s 3.2782783.04

2.0**8589.8

4

** 3

22

max smd

vQ

c) Smer in velikost sile na lopatico

NvvQF xxax 28.36984294.48589.8*2783.0*1000** 21

NvvQF zzaz 2.2135672.70*2783.0*1000** 21

0 ; /8589.8 11 zx vsmvv

smvv x /4294.460cos*8589.8cos*2

smvv z /672.760sin*8589.8sin*2

NFFF azaxa 41.42702.213528.3698 2222

30= 5774.028.3698

2.2135

ax

az

F

Ftg

237

3.3.17 Vodo s črpalko Č izkoristka dovajamo na lopatico podane oblike, ki se odmika s hitrostjo

vL. Določi:

a) Energijsko in tlačno črto.

b) Maksimalni pretok, ki ga lahko zagotavlja črpalka in njeno potrebno moč pri tem.

c) Silo curka na lopatico in absolutno hitrost vode, ki z lopatice odteka!

H = 7 m

a = 2 m

d1 = 0.1 m

d2 = 0.08 m

vL = 10 m/s

= 0.8

Rešitev:


b) Določitev pretoka in moči črpalke

g

v

g

pz

g

v

g

pz

*2**2*

2

111

2

000

g

vaH

*21000

2

1

238

smaHgg

vaH /1552.171027*81.9*210**2 v

*210 1

2

1

smd

vQ /1347.04

1.0**1552.17

4

** 3

22

11max

smd

dvv /805.26

08.0

1.0*1552.17*

22

2

112

kWWEQg

P 245.5254.522448.0

6211.31*1347.0*81.9*1000***

mEEE

mHE

mg

vaE

6211.3176221.38

7

6211.3881.9*2

805.262

*2 12

1

22

22

b) Sile curka in absolutna hitrost odtekajoče vode

NvvQF xxa 06.2839805.16805.16*08447.0*1000** 21

smvvd

Q l /08447.010805.26*4

08.0**

4

* 32

2

2

2

smvvv Lx /805.1610805.2621

smvv xx /805.1612

smvvv lxxa /805.610805.1612

239

3.3.18 V pravokotnem kanalu širine b ( na papir) teče pretok Q. S pomočjo impulznega stavka

določi silo na zapornico, če je globina vode pred zapornco H1, za zapornico pa H2.

b = 20 cm

H1 = 60 cm

H2 = 5 cm

Q = 34 l/s

Rešitev:

a) Določitev sile na zapornico

xxxxx vvQPPvvQF 1221x12 **F- ; **

2112a **F :silo aktivno za PPvvQ xx

smbH

Qv x /2833.0

2.0*6.0

034.0

*1

1

smbH

Qv x /4.3

2.0*05.0

034.0

*2

2

NH

bgP 16.3532

6.0*2.0*81.9*1000

2***

22

11

NH

bgP 4525.22

05.0*2.0*81.9*1000

2***

22

22

NFa 74.2444525.216.3534.32833.0*034.0*1000

240

4. TOK REALNE TEKOČINE

241

4.1 Dinamična podobnost

242

4.1.1 Parametre vala, ki bi nastal po porušitvi pregrade, raziskujemo na hidravljičnem modelu v

laboratoriju. Pregrada je v naravi LN gorvodno od mesta, na modelu pa je ta razdalja LM. Na

modelu porušimo pregrado in izmerimo parametre v mestu: višino vode HM, hitrost vM,

pretok QM in čas potovanja vala od pregrade do mesta TM. Določi parametre za naravo(HN,

vN, QN in TN) in izračunaj potrebno višino pregrade na modelu, če je v naravi visoka HprN.

Upoštevaj Froudovo modelno podobnost!

LN= 3 km

vM= 0.5 m/s

HprN= 60 m

QM= 4 l/s

LM= 10 m

TM= 25 s

HM= 2 cm

Rešitev:

a) Modelno merilo

L

L

N

M

3000

10300

b) Froudova modelna podobnost

F FrN rM

- Hitrost:

v

g L

v

g L

v

v

L

L

N

N

M

M

N

M

N

M

2 2

* *

- Čas

L

T

L

T

L T

L T

T

T

N

N

M

M

N M

M N

N

M

*

*

- Pretok

Q

S

Q

S

Q

L

Q

L

Q

Q

L

L

Q

Q

N

N

M

M

N

N

M

M

N

M

M

N

N

M

2

2

2

2* * 25

2

243

Številčne vrednsoti

cmmH

HH

H prN

prM

prM

prN202.0

300

60

smvvv

vMN

M

N /6603.8300*5.0 * 21

smQQQ

QMN

M

N /3829.6235300*004.0 * 325

25

25

ssTTT

TMN

M

N 13min7013.433300*25 * 21

mHHH

HMN

M

N 602.0*300 *

244

4.2 Upor teles v toku

245

4.2.1 Kolikšna je sila vetra hitrosti v na steber višine L ter kvadratnega prereza s stranico a

(koeficient upora odčitaj iz tabel)? Določi dimenzije stebra ter potrebno hitrost vode na

modelu, če bi želeli koeficient upora stebra c določiti na fizičnem modelu z vodo v merilu

1:5 (=5)! Upoštevaj Reynoldsovo modelno podobnost! (dinamičen koeficient

viskoznosti).

v = 10 m/s

L = 10 m

a = 1.5 m

z = 1.27 kg/m3 (zrak)

v = 1000 kg/m3 (voda)

z = 1.778*10-5

kg/ms (zrak)

v = 1*10-3

kg/ms (voda)

Rešitev:

a) Sila upora za zrak

Nv

SCF z 19052

10*27.1*15*0.2

2

***

22

410 )366 , ( 0.2 eRtabelaRajarSkriptaC

OKav

Rz

ze 10 10*0714.1

10*778.1

27.1*5.1*10** 46

5

21510*5.1* mLaS

b) Hitrost vode na modelu

****

z

zNN

v

vMMeNeM

avavRR

sma

avv

vMz

vzNN

M /5714.31000*3.0*10*778.1

10*1*27.1*5.1*10

**

***5

3

ma

aa

a NM

M

N 3.05

5.1

mL

LL

L NM

M

N 25

10

matjaz cetina-zbirka resenih nalog

Documents