maths à petits pas
DESCRIPTION
Maths à Petits PasTRANSCRIPT
Pierre GREHANT
Maths
à
petits pas
de Pythagore à eiπ
ebook 2013
Auto-éditionpar
bernard.grehant(a)gmail.com
Toutes lesfigures sont de l'auteur
C) Pierre Gréhant 2004-2013
ISBN 978-2-9527235-6-5
-- , --
Avertissement de l’Editeur
Mon père Pierre Gréhant est né le 20 juillet 1913, d’une mère russe,
Sonia, et d’un père parisien et médecin, Stéphane, fils de Nestor, ce
dernier étant lui-même médecin et physicien, compagnon de Claude
Bernard.
Etudiant (ou plutôt élève) un peu dilétante du fait de fréquents
déménagements entre France et Maroc, Pierre préfère le métier
d’ingénieur. Mais s’engage, presque aussitôt diplômé, dans les
Brigades Internationales, pour soutenir la république espagnole. Il
reste clandestinement en Espagne, pour continuer en vain le combat,
après le rapatriement de celles-ci, ce qui lui vaut aujourd’hui d’être
noté comme mort sur place, sur le site des Brigades. Après la mort de
Franco, Pierre reçoit la médaille Sangre y Dolor, qui pour lui compte
tout autant que la Croix de Guerre avec palmes, qui proviendra de la
suite. Car il revient d’Espagne pour être aussitôt mobilisé, comme
officier artilleur.
Puis quatre années de captivité, en Oflag. Après la libération, une
nouvelle vie professionnelle et familiale. Madeleine lui donne trois fils
et une fille. La carrière, c’est l’Onera, la Snecma, puis... l’Algérie
toute jeune et indépendante, où il croyait voir se bâtir le socialisme
égalitaire de ses rêves. Déception sur ce plan, mais pas dans les
rapports humains, de voisinage et de travail.
Lors de la retraite, enfin, un contact officiel avec le plaisir
d’enseigner, sur des postes contractuels dans l’Eucation nationale, en
BTS et diverses classes. Poursuite d’une passion du comprendre et du
faire comprendre, qui s’est poursuivie d’un bout à l’autre de ces 91
ans d’une existence bien remplie.
Une mention enfin pour l’IREM de Paris 6, où cotoyer des vrais
matheux lui apportait plus que tout élixir de jouvence.
MATHS A PETITS PAS 3
Ce livre, nous avons décidé de le mettre à disposition de tous, en
l’état, avec ses faiblesses sans doute, mais aussi ses belles tentatives
de rendre les choses aussi simples que captivantes.
« Nous », c’est avant tout mon ancien étudiant et ami, JM, qui ne
souhaite apparaître qu’à travers ces deux lettres, bien qu’ayant
consacré énormément de temps à la mise en forme des pages
manuscrites. Qu’il en soit très chaleureusement remercié.
Aussi soignés fussent-ils, les écrits de Pierre Gréhant nécessitaient
beaucoup plus qu’une simple saisie. Difficultés de vocabulaire
(souvent), incohérences (parfois), ou simplifications abusives ? JM
était là pour agiter des petis drapeaux. Certains ont pu être discutés
avec l’auteur jusqu’à trouver le mot juste ou le compromis nécessaire.
D’autres sont pour l’essentiel conservés, en notes de bas de page. On
reste perplexe sur certains choix de vocabulaire qui, pour éviter le
terme consacré, risquent parfois ... de plus compliquer que simplifier.
Le lecteur est donc prévenu : le produit qu’il tient entre les mains n’est
pas peaufinéà
l’extrème. Peut-êtreàne pas laisser entre toutes les
mains (et pas entre celles d’élèves de 3ème comme l’aurait souhaité
l’auteur) du fait de ces imperfections. Mais, dans un monde éditorial
où manuels scolaires et ouvrages de vulgarisation sont maintenant
d’une très grande qualité, livres sans doute pour la plupart inconnus de
Pierre, il reste peut-être une petite place pour la vision un peu décalée
d’un baroudeur des maths.
Bonne lecture à tous !
Bernard Gréhant
12/2013
Attention : le format d’édition de nombreuses figures oblige à les
grossir de façon souvent démeusurée pour les rendre lisibles. Mais en
effectuer la reprise eût représenté bien trop de travail. Il faut nous en
excuser. De même pour les inévitables erreurs typographiques qui
peuvent subsister. Comme me le dit JM, il resterait tellement de points
à discuter sur le fond qu’il ne faut pas s’attarder à l’excès sur la forme.
4 MATHS A PETITS PAS
Préface de JM
Une belle soirée de mai s’annonçait ; j’avais gardé d’excellents
souvenirs de cette formation achevée vingt ans plus tôt. Les étudiants
fraîchement diplômés n’étaient pas encore nés lorsque j’étais à leur
place ! Je me sentais vieillir…
J’avais hâte de retrouver les copains perdus de vue mais aussi les
enseignants qui furent parmi les meilleurs que j’ai eu la chance
d’avoir. Justement, l’un d’eux arriva au bar…
Lorsque je l’ai connu, Bernard enseignait l’électronique. Aujourd’hui,
il défend les couleurs de notre industrie Rhône-Alpine en pratiquant la
veille technologique et les brevets.
Lorsqu’il apprit, qu’à l’inverse, j’avais quitté l’industrie pour rejoindre
l’éducation nationale, Bernard me proposa de mettre en forme le
manuscrit que venait d’achever son Père, alors âgé de 91 ans. Là, je
me sentis rajeunir…
C’est avec beaucoup de plaisir que j’ai accepté cette mission et chaque
fois que j’achevais un chapitre, je m’empressais de le transmettre à
son auteur toujours très enthousiaste.
Malheureusement, deux mois plus tard, Pierre Gréhant décédait.
Jusqu’aux derniers moments il continuait à parler de ce que je
considère comme l’une des plus belles activités de l’esprit : les
Mathématiques.
Entre le mois de novembre 2005 où j’écrivais ces lignes et
aujourd’hui, où je les reprends, que de temps passé sans mettre la
dernière touche à l’ouvrage, du fait de priorités diverses. Que Pierre
me pardonne. Il aurait adoré les merveilles permises par certains
logiciels de géométrie dynamique, qui ont tant évolué depuis 2004.
J’aurais aimé que nous puissions faire un plus long bout de chemin
ensemble.
Que vous soyez un passionné de Mathématiques ou non, si vous
prenez autant de plaisir à lire cet ouvrage que j’ai eu à le mettre en
forme, nul doute que son défunt auteur « jubilera de plaisir, au paradis
des Mathématiciens » …
JM
Novembre 2005 et Décembre 2013
MATHS A PETITS PAS 5
Les Accroches de l’Auteur
Mathsà petits pas...
... conduisant à un objectif déterminé,
présenté dans les toutes dernières pages
Pour les élèves de prépas, lecture reposante et mise en ordre
(parfois inattendue) de leurs connaissances.
Pour les jeunes élèves (peut-être à partir de la troisième), lecture
gratifiante et à coup sûr bénéfique pour la suite de leurs études.
On aura besoin parfois d’une petite aide extérieure.
Incitation à s’intéresser aux Maths, et à finir par les aimer.
A mes petits-enfants, leurs épouses et époux...
A Laura et à mes futurs arrière-petits-enfants.
Pierre Gréhant – Mai 2004
6 MATHS A PETITS PAS
CHAPITRE 1
LES CINQ PREMIERS ETATS
INTRODUCTION 1
Six états
Dans cette introduction, nous ferons passer les nombres par six états
successifs. Cette « Histoire des Nombres » est plus intéressante qu'on pourrait
le croire à première vue. Elle fait penser à la théorie de l'évolution et aussi à la
conquête de l’espace. L'espace dont il s'agit ici est le plan (!"#). Un nombre,
nous le verrons, se représente par un point ! situé dans ce plan (!"#) et par
le segment [!"] reliant le point ! au point origine !. Dans chaque état (de
un à six) les nombres disposent d'un « domaine » à l'intérieur duquel ils
peuvent être déplacés et fixés suivant leur valeur.
Au début (« état 1 ») ce domaine est très réduit. C'est un segment [!"] de
longueur 10 unités, placé sur l'axe (!"), et chaque nombre (il y en a dix) est
représenté par un point isolé. « L'évolution » consiste à passer d'un état à l'état
suivant, qui sera plus étendu et plus riche en possibilités, et qui englobera en
lui-même tous les états précédents.
Dans « l'état 4 », le domaine est la droite infinie (!") et les nombres ne sont
plus isolés. Ils sont « tassés » en nombre infini à l'intérieur de chaque
intervalle (intervalle de longueur unité qui sépare les nombres isolés des états
précédents.)
A l’état noté 5, les nombres permettent de donner un sens à l'équation :
! = !"² + !" + !
Cette équation représente une courbe géométrique, la parabole. Quand on
écrit :
! = !"² + !" + ! !" ! = 0
cela veut dire qu'on coupe la parabole par la droite horizontale d’équation
! = 0. Les valeurs de x correspondant aux points d'intersection sont les
!"#$%&"'! de l’équation :
!"² + !" + ! = 0
Les coefficients !,!,!" ! fixent la position de la parabole dans de plan (!"#).
1 Cette introduction est manifestement destinée à l’enseignant
(Les notes de bas de page non signées JM sont de l’éditeur)
MATHS A PETITS PAS 7
Si la parabole est placée de façon à être coupée par la droite horizontale
d’équation ! = 0, les points d’intersection existent, et on peut calculer les
solutions. Sinon, on dit que les solutions n'existent pas. Par contre, dans l’état
noté 6, il y a toujours des solutions et celles-ci ont une bonne signification
géométrique.
Dans « l'état 6 », la représentation géométrique des nombres s'étale dans un
domaine couvrant tout le plan (!"#). Elle n'est plus limitée à la droite (!").
On fait appel à deux nombres de l'état 5, ! !" ! pour représenter le segment
[!"]. ! est la longueur du segment [!"] et ! est l'angle que le segment
[!"] fait avec la demi-droite [!").
L’état 6 possède de nombreux avantages. Il permet de résoudre l’équation
« !² = −1 » et rend évidente la « règle des signes » de la multiplication (plus
par moins égale moins, moins par moins égale plus, etc.).
La « correspondance »
Dans les pages suivantes, on fera souvent appel à la notion de
correspondance.
On considère deux collections d’objets identiques, ou pouvant être considérés
comme identiques, ou bien des collections de signes (chiffres) représentant
des nombres. Soit donc deux collections. On fait correspondre chaque
élément de l'une à un élément de l'autre. On peut supposer qu’on les a réunis
par un fil. Mais ce fil peut être remplacé par une vision abstraite qui fait
disparaître le fil matériel tout en conservant le principe de la liaison entre les
deux objets.
8 MATHS A PETITS PAS
« ETAT 1 »
Les dix doigts
Les mains étant fermées, on peut sortir successivement chacun des dix doigts.
Ceci fait dix « situations » qui reçoivent chacune un nom (un, deux, trois,
etc.…) et une représentation écrite, dite numérique ( 1, 2, 3 etc. …). On
appelle « chiffres » ces signes numériques.1
Petits nombres
Soit une collection d’objets semblables. On « relie » chaque objet de la
collection à l’extrémité d’un doigt. Tous les doigts non utilisés pour la
correspondance sont repliés. Le nom de la « situation » que forment ainsi les
doigts est donné à la collection des objets, à laquelle on attribue naturellement
la représentation numérique correspondante. Le nom ainsi défini est ce qu’on
appelle un nombre du premier état.
Représentation géométrique
Une demi droite [!") sert de support à des « segments unité » juxtaposés. On
réalise une correspondance entre un état des doigts et les premiers segments
juxtaposés partant du point !. On représente le nombre par un point !
marquant la position du dernier segment de la correspondance. Le point
! tel que !" = 10 marque la limite du domaine. Chaque nombre a ainsi un
nom, une représentation graphique et une place dans un domaine.
doigts sortis
segment unité
correspondance
! !
! !
1 Pierre passe sous silence le cas du dix, qui nécessite deux chiffres. JM
MATHS A PETITS PAS 9
Domaine de l’état 1
Le domaine est constitué, sur le segment !" = 10 par le point zéro 0 et par
les extrémités des segments unitaires juxtaposés (10 segments). Les points
situés en dehors de ces points ainsi définis ne figurent pas dans le domaine et
aucun nombre ne leur correspond.
!
! !
Addition et multiplication
Ce sont des procédures choisies pour combiner deux nombres et obtenir un
troisième nombre appartenant au même domaine. Dans notre cas, on a choisi
les procédures arbitrairement, et on a constaté que les résultats avaient un
intérêt pratique.
Addition ! + !
Soit !, le segment sur [!") représentant le premier nombre, et !, le segment
représentant le second. On fait glisser le second sur [!") de telle sorte que
son origine (anciennement le point !) vienne coïncider avec l’extrémité du
segment !. On obtient ainsi un segment plus long que ! et que !, auquel
correspond un nouveau nombre.
Comme pour l’état 1, le domaine est limité par le point ! (!" = 10), on ne
peut pas effectuer d’addition avec tous les nombres du domaine.
segment !
segment !
segment ! + !
Représentation numérique.
! = 2
! = 4
! + ! = 6
On dispose d’une table expérimentale qui permet d’écrire directement les
égalités.
Evidemment, on risque très vite de sortir d’un domaine aussi petit, quand on
procède à l’addition des nombres.
10 MATHS A PETITS PAS
Multiplication a X b (ou produit a. b ou encore ab)
On réalise une correspondance entre chaque segment d'une unité de a et un
nombre convenable de segments b juxtaposés et égaux au segment b, qu'on
aura fait glisser le long de la demi-droite |[Ox). L'ensemble de ces segments
juxtaposés représente le nombre aXb.
Exemple :
H- Segment a
segment b
Cl
-─ _─--T correspondance
b b
Segment a X b
(0 dXb M
Représentation numérique : a = 2
b = 3
aXb = 6
Une table de multiplication (expérimentale) donne immédiatement les
résultats.
X 1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Q Q
1 0 10
Mais, là aussi, le nombre de multiplications possibles est très limité si l'on
souhaite que le résultat soit lui-même compris dans le domaine OL= 10
: s :
Trois propriétés fondamentales
On remarque que :
a+b = b+a et aXb = bXa
3-- 2 = 2--3 et3X2= 2X3
cela s'appelle la réciprocité(commutativité).
On aussi :
a+(b+c)= a+b+c
ax(b×c)= axb×c
2+(3+4)=2+3+4=9
2×(3×1)= 2×3×1 = 6
cela s'appelle l 'associativité
Notons maintenant la distributivité :
ax(b+c)=(axb)+(axc)
2×(3+1)=(2x3)+(2×1)
2X4 = 6 -- 2 = 8
Acestroispropriétés, je donne le nom de« critères ».
Liste des critères
Nousavonsrencontré les critères dans le casparticulierprécédent.
Il est important de savoir que ces mêmes critères vont s'appliquer également
aux nombres des états2,3,4,5 et 6.
On pourrait définir ces nombres de différentes façons à partir de la position
despoints qui les représentent dans le plan (xOy), mais seuls seront reconnus
officiellement comme étant des nombres véritables ceux qui pourront
satisfaire à la liste des critères que nous venons de voir, liste à laquelle
viendront s'ajouter de nouvelles conditions, suivant les cas, mais qui
garderonttoujourslestrois critèresprincipaux que nousvenons devoir.
NOmbrezéro
LepointO de lademi-droite [Ox)représente la quantité 0. "
On a :
d --0 = a
Ca X () = 0
" Lezéro mériteraitun chapitreà luitout seul.JM
1 -- , --
Passage à « l’état 2 »(nombre supérieur à dix)
On appellera « base », le nombre représenté dans l’état 1 par le segment [!"],
c’est à dire le nombre 10.
La collection regroupe cette fois un grand nombre d’objets. Dans la
collection, on classe les objets par groupes de dix, et chacun de ces groupes
est considéré comme un objet d’une nouvelle collection. On compte le
nombre de ces nouveaux objets. Supposons que ce compte donne un nombre
inférieur à dix, et qu’il reste des objets de la collection initiale (en nombre
inférieur à dix). Le compte final sera : tant de groupes de dix, les dizaines,
plus un reste, les unités.
La représentation numérique utilisera au moins deux chiffres, le chiffre le
plus à droite figurant le reste, et le(s) plus à gauche figurant le nombre des
groupes de dix.
Mais on peut continuer : si le compte des groupes de dix donne un nombre
supérieur à dix, on répête l’opération, cette fois sur la collection des groupes
de dix, qu’on regroupe à nouveau par dix : le nombre de ces nouveaux
groupements constitue le nombre de centaines, leur reste consitue le nombre
résiduel de dizaines.
Et ainsi de suite...
On arrive ainsi aux nombres de l’état 2.
MATHS A PETITS PAS 13
« ETAT 2 »
L’état 2 recueille tous les nombres entiers, aussi grands soient-ils.
Représentation graphique
Le segment [!"] représentant le nombre peut s’étendre jusqu’à l’infini le
long de la demi-droite [!"). Cette demi-droite porte maintenant une infinité
de segments unité juxtaposés. Le domaine est constitué par les points qui
séparent chacun de ces segments unité. On reporte sur la demi-droite [!"),
successivement, des segments qui représentent, par leur longueur, les objets
de la collection. Dans le cas des nombres compris entre dix et cent, ces objets
sont des groupes de dix objets de la collection primitive.
On portera après un segment qui représentera les restes. Pour les nombres
compris entre cent et mille, les objets de la nouvelle collection seront des
groupes de cent, et le reste sera constitué par des groupes de dix, puis par des
unités.
Représentation numérique
Sur des colonnes verticales numérotées de droite à gauche, on réserve la
colonne 1 aux unités, la colonne 2 au nombre des groupes de 10, la colonne 3
au nombre des groupes de cent, etc. ...
Les colonnes de numéro plus bas contiennent les restes.
Remarque
Les développements qui vont suivre, concernant les nombres de l'état 2
(procédures et vérification des critères) peuvent paraître inutiles et superflus,
car ils ne font qu'énoncer des questions que l'habitude a rendues évidentes.
Mais ces développements ont quand même un intérêt. Ils montrent un modèle
et fournissent un cadre qui sera applicable à toutes les procédures et procédés
de contrôle utilisés dans mes états suivants.
Il y a deux procédures principales, celle de l'addition et celle de la
multiplication.
10 20 24
! !
! !
!
14 MATHS A PETITS PAS
Dans chacune on a affaire à un premier nombre a et à un second nombre, le
nombre b.
Ces deux nombres occupent deux lignes horizontales superposées dans un
système de colonnesverticales numérotées de droite àgauche. Lesunités de a
et de b occupent la colonne n°l. Soit r le nombre de chiffres de a et S le
nombre de chiffres de b. Chaque chiffre sera repéré par le numéro de la
colonne verticale qu'il occupe. Parexemple, a, représente le chiffre de a qui
occupe la colonne p(pétantcompris entre1 et r). De même, b,
représente le chiffre de b qui occupe la colonne la colonne
q(q étant compris 1 et s).
Nousvoyons l'importance descolonnesverticales et de leur numérotation.
Par exemple :
6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 Numéro des colonnes
2 | 7 | 1 | 8 Nombre aà 4 chiffres
(r =4)
3 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 Nombre bà 6chiffres
(s = 6)
Nombre a : à 4 chiffres
d = 8; d, = 1 ; a3 = 7 et a 4 = 2
Nombre b : à 6 chiffres
b, = 9;b,= 5;b3 = 1; b, =4;bg = 1 et bg =3
Procédure de l'addition
Sur une troisième ligne horizontale, on ajoute dans chaque colonne le chiffre
de a et le chiffre de b.(Cecigrâce àunetable expérimentale d'addition). Si la
somme obtenue est constituée par un seul chiffre, c'est ce chiffre qui est
inscrit dans la colonne considérée.Si le résultat donne un nombre constitué de
deux chiffres, c'est le chiffre des unités qui est inscrit dans la colonne
considérée, et celui (l) des dizaines sera retenupour être ajouté à la somme
qui sera obtenue, dans la colonne suivante (à gauche) quand on fera, dans
cette colonnevoisine adjacente, la même opération d'addition.
Quand on arrivera à la dernière colonne, on aura, sur la troisième ligne
horizontale, le résultat a+b.
Donnonsun exemple d'addition : 75812+56753
: s : s
Tout se passe comme indiqué plus haut, en utilisant 6 colonnes verticales 1 à
6.
6 5 4 3 2 1 !"#é!" !"# !"#"$$%&
1 1 1 !"#"$%"&
7 5 8 1 2 !"#$%& ! + 5 6 7 5 3 !"#$%& ! 1 3 2 5 6 5 !"#$%& ! + !
Procédure de la multiplication (ou « produit »)
Les nombres ! et ! sont placés comme précédemment.
On appellera « chiffre actif» successivement, chacun des chiffres
!! (! est compris entre 1 et ! ) .
On commence par calculer successivement les produits partiels du nombre !
par chacun de!
chiffres actifs!!.
Ces produitpartiels occupent ! lignes
horizontales superposées. Chaque produit partiel sera obtenu de la façon
suivante :
Une table expérimentale de multiplication donne comme résultat de la
multiplication de deux chiffres, soit un chiffre d'unités, soit un nombre de
deux chiffres, le plus à droite indiquant des unités et le plus à gauche
indiquant un nombre de dizaines.
Sur la ligne horizontale numéro ! des produits partiels, obtenue à partir du
chiffre actif!! ,
onplacera
dans la colonne!
le résultat de lamultiplication
(produit)!!× !! si
ce produit ne contient quedes
unités etsi
il neconsiste
qu'en un seul chiffre. Si il y a un chiffre des dizaine, on laissera dans la
colonne!!
le chiffre des unités et on retiendra le chiffre desdizaines
pour
l'ajouter, dans la colonne verticale suivante ! + 1, au produit qui devra être
calculé ensuite !!×!!.Si, comme
c'est possible,ce produit comportait deux
chiffres, il faudrait agir comme précédemment, en reportant une retenue dans
la colonne ! + 3.
Et on fait ainsi de proche en proche en faisant intervenir successivement tous
les chiffres jusqu’à !!.
Onaura ainsi
obtenu le produit partiel!!×!.
On formera unautre
produit
partiel en faisant appel au chiffreactif !!!! suivant
eten
agissant exactement
de la même manière que précédemment.
On aura finalement les ! produits partiels, les uns au-dessous des autres.
Chacun sera décalé d’un cran vers la gauche par rapport au précédent.
16 MATHS A PETITS PAS
Il faudra maintenant faire une addition de tous ces produits partiels.
(procédure de l'addition voir ci-dessus). Le résultat de cette addition sera le
résultat duproduit aXb.
Donnonsun exemple de multiplication :4532X754.
On utilise les six colonnes précédentes,plusune septième,placée àgauche de
la colonne 6. Dans le paragraphe précédent on a indiqué que les produits
partiels étaient directement écrits les uns en dessous des autres. On admet
pour cela (c'est ce qui se passe dans la pratique) que chaque produit
élémentaire b,×a, est écrit directement, en séparant mentalement la retenue
éventuelle du chiffre des unités, et en ajoutant (mentalement aussi) cette
retenue éventuelle auproduitélémentaire suivantb,×a,,.
Dans l'exemple ci-dessous on détaille ces opérations et on retrouve à part les
produitspartiels et la somme obtenue en les additionnant.
On consacre un rectangle à chaque produitpartiel et dans ce rectangle, ily a
trois lignes superposées, en tenant compte des colonnes verticales. Une ligne
des retenues.Une ligne des produits b,Xa, où onne retient que le chiffre des
unités.
Puisune ligne deproduit définitif, quitient compte de l'addition des retenues.
7 6 5 | 4 | 3 2 1 Numéro des colonneS
4 | 5 | 3 | 2 Nombre a
X 7 | S | 4 Nombre b
/ | 2 | / Retenue
6 | () | 2 | 8 addition
1 | 8 | 1 | 2 | 8 produit a×4
2 | 2 | / / Retenue
() | 5 | 5 | () - addition
-- 2 | 2 | 6 | 6 | 0 | produit a×5
l Retenue addition
2 | 3 | 2 | / Retenueproduit
8 | 5 | 1 | 4 addition
-- 3 | 1 | 7 | 2 | 4 produit a ×7
| | | | |
3 | 4 | 1 | 7 | 1 | 2 | 8 produit a × b
: s : 7
On a ainsipour le calcul duproduit a ×7
7X2,retenue 1 unités4
7X3,retenue 2 unités 1
7×5,retenue 3 unitéS 5
7×4,retenue 2 unitéS8
On remarque qu'au dessus de la retenue 2 qui provient de la multiplication
7X4, ily aune autre retenue l quiprovient de l'addition 8+3= 11 ce qui
donneune retenuetotale2+1 = 3.
Puissance et exposants
Nousavonsvu l'associativité de la multiplication :
(a × a× a)×(aX a) = a× a× a× a× a
on écrit :
3 - 4 4 y y , 4 4 - y y , 44 y y
a*= aXaXa ("'a cube", ou : "'apuissance 3", ou : "'a exposant 3')
a*= axa("a carré", ou : "'apuissance 2", ou : "'a exposant 2 )
a*= axaxaxaxa ("'apuissance 5", ou : "a exposant 5")
Les nombres a sont« élevés à la puissance de leurs exposants». Deux mots
particuliers sil'exposant n de d"vaut2(carré)ou3(cube).
Onvoit que : a*×a*= a* etplusgénéralement: a"×a"= a"**
On retiendra que les nombres se multiplientquand lespuissances s'ajoutent.
Puissance de dix
10*=10×10= 100(nombre cent)
10*=10x10x10=1000(nombre mille)
10*=10×10×10×10= 10000(nombre dix mille)
. 10°=1000000(nombreun million)
C'esttrès commode d'utiliser des puissances de dixpour exprimer desgrands
nombres :
Distance de laTerre auSoleil = 148.10°km
km 107
Vitesse de la lumière = 3.10*-= 3.108 s
Racines
Inversement, on a : V100 =10
on a : /10 000 = 100
on a : /1000 000= 1000
plus généralement, on a: Van= a
13 -- , --
Pour la racine carrée, on peut écrire ! ou plus simplement :
4 = 2
16 = 4.
Mais tous les nombres entiers n’ont pas de racines... à l’intérieur de l’état 2.
Prenons deux nombres consécutifs de l’état 2, par exemple 3 et 4.
On a : 32 = 9 et 42 = 16, et donc : 9=3 et 16=4.
On peut en déduire que : 10, 11, 12, 13, 14 et 15 sont plus
grands que 3 et plus petits que 4... mais il n’y a rien, dans l’état 2, entre 3 et
4 !
Autres bases que 10
N’importe quel nombre peut servir de base. Les premières civilisations nées
en Mésopotamie utilisaient la base 60. De nos jours, on emploie, en
informatique, la base deux qui utilise juste le chiffre 0 et le chiffre 1.
MATHS A PETITS PAS 19
« ETAT 3 »
Nombres entiers négatifs
Les nombres considérés dans l’état 2 étaient des nombres entiers positifs
appelés « entiers naturels ». Ils occupaient juste la demi-droite [!").1 Les
nombres de l’état 3 occupent maintenant la droite infinie (!"), en étant
toujours séparés l’un de l’autre par un petit segment unité. Ceux qui se
trouvent sur la partie (!′!] à gauche du point zéro !, sont appelés « nombres
négatifs ».
A chaque nombre positif ! correspond un nombre négatif –!, symétrique par
rapport au point !.
Le domaine des nombres de l’état 3 est donc constitué par l’ensemble
ponctuel de tous les points de la droite (!"), séparés chacun du précédent ou
du suivant, par le petit segment unité.
Chaque nombre de l’état 3 est représenté géométriquement par un segment
[!"] dont la longueur correspond au nombre d’unités qui le composent. Le
point ! peut se trouver maintenant d’un côté ou de l’autre du point !.
Les nombres de l’état 3, qu’ils soient positifs ou négatifs, sont dits « entiers
relatifs ».
Addition
Le segment [!"] est orienté et il garde toujours son orientation.
Orientons la droite (!") de gauche à droite.
Si le point !!est à droite de !, alors la mesure algébrique du segment [!!
!]
, notée !!! est positive : !!! = !!!.
Si le point !! est à gauche de !, alors la mesure algébrique du segment
!!! , notée !!! est négative : !!! =−!!!.
Soit ! = !!! et ! = !!!
Le segment [!!!] tel que !!! = ! + ! sera obtenu en reportant le segment
! à la suite du segment !.
1Notations : [0x) : demi-droite horizontale partant de 0vers la droite ; (x’0] : demi-droite
horizontale venant de la gauche pour se terminer en 0 ; (x’0x) ou simplement (0x) : droite
horizontale complète, passant par 0.
20 MATHS A PETITS PAS
Exemples :
q = 7; b =-3; a+b=4
M,
3 ->
(0 X
a = -8; b = 5; a + b = -3
M,
(0 %
M,
O) %
M,
sé es »
(0 X
On écrit+(-a)=-a
Multiplication et« règle des signes»
On exécute leproduit aXb comme si les nombres a et b appartenaient à l'état
2, mais on soumet le résultatà«la règle des signes» :
Plusparplus donne plus.
Pluspar moins donne moins
Moinsparplus donne moins
Moinspar moinsdonneplus.
Exemples :
a = 3;b = -7;aXb = -21
q = -4;b= -7;aXb = 28
: s : p
Vérification des critères
Tous les critères sont convenablementvérifiés. Voyonspar exemple celui de la
distributivité :
ax(b+ c)= axb+ axc
a = 2;b = -3;c=4
2×(-3+4)=2×(-3)+2x4
2X1 = -6 --8
2 = 2
La règle des signes n'est pas «tombée du ciel». Elle ne s'explique pas
directement. Elle a été adoptée pour que la procédure du produit satisfasse aux
critères, notammentà celui de la distributivité.
Comme lesprécédentes règles, cette règle-cis'appliquera naturellement aux
états suivants.
-- , --
« ETAT 4 »
Les inverses
On créé maintenant un nouveau type de nombres.
Pour tout nombre ! de l’état précédent, on admet qu’il existe un nombre
1
! tel que ∶
1
! ×! = 1
Ce nombre !
!
est appelé l’inverse de !.
La procédure de cette multiplication reste analogue à ce qu’elle était dans les
états précédents : on juxtapose des petits segments de longueur !
!
, en nombre
égal à !, et on considère le point terminant le dernier segment : c’est le résultat.
Ici ce point sera le point ! tel que !" = 1 (segment unité).
Cela revient à diviser le segment unité en ! petits segments égaux. Le nombre !
peut être très grand, ce qui signifie que le segment !
!
peut être très petit.
Le domaine des nombres !
!
est le segment unité. Ce segment peut être
entièrement « bourré » par tous les segments!! possibles.
Les nombres rationnels
On peut considérer maintenant les nombres obtenus en juxtaposant ! segments
de longueur!
!
. C’est donc la multiplication de!
!
par !, notée simplement !!. On
peut aussi le noter : !! (« b sur a »)
Un tel nombre !! est appelé « rationnel », le mot latin ratio signifiant le rapport
de deux quantités, la fraction, le quotient.
L’ensemble des nombres rationnels constitue notre quatrième état.
Si ! est plus petit que !, le nombre!!
est représenté par un point de la droite
(!") intérieur au segment unité.
Si ! est plus grand que !, le nombre!!
est représenté par un point de la droite
(!") extérieur au segment unité.
Si ! est très grand, ce qui est possible, le nombre!!pourra se trouver n’importe
où sur la droite (!") infinie des deux côtés : à droite si b est positif, à gauche si
b est négatif, pour autant que a soit positif, et l’inverse si a est négatif.
MATHS A PETITS PAS 23
Domaine
Le domaine des nombres appartenant à l’état 4 est donc la quasi-totalité de la
droite (!") et non plus seulement les points isolés qui étaient considérés
précédemment. Ces points isolés, ceux de l’état 3, appartiennent quand même
aussi à l’état 4 : par exemple, le nombre 21/3 de l’état 4 vaut 7, qui appartient à
l’état 3 et à l’état 2. Par contre les nombres voisins 20/3 et 22/3 n’appartiennent,
eux, qu’à l’état 4.
Nous verrons plus loin qu’il faudra encore d’autres nombres (appelés cette fois
« irrationnels ») pour que la droite soit complète.
Un nombre rationnel non entier est souvent dit fractionnaire, ou fraction, qui
s’exprime comme le rapport ou quotient de deux nombres.
Les fractions
Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie le haut (numérateur) et
le bas (dénominateur) par le même nombre. De la même façon, on peut diviser
le numérateur et le dénominateur par le même nombre.1On peut ainsi donner aux deux fractions un même dénominateur.
Addition
23= 2×73×7 = 1421 et,d!autrepart ∶ 47 = 4×37×3 =
12
21
23 + 47 = 1421 + 1221 =
14
+
12
21 = 2621
Une fois que les fractions présentent un même dénominateur, on peut ajouter les
numérateurs.
Multiplication
23× 47 =2×43×7 = 8
21
On multiplie entre eux et les numérateurs et les dénominateurs.
1 Pourvu que ce nombre ne soit pas nul. JM
24 MATHS A PETITS PAS
Vérification des critères
Tous les critères sontconvenablementvérifiés.Vérifions surun exemple ce que
donne le critère de la distributivité :
a×(b + c) = a×b + a× c
P e _ 2 b = _ 3
renons : a= ; = c= ;
b -- 3+3x2 9 t d : a ×(b + ) = éx * = *C - 4 * 4 GUClOIlC : OI c) = 4 2
x b = éxé= t : X = éx = 1
a × p = x = ; et : a × c = x =
a × b + a × C -- 1 - --
%-
*
Difficulté : les irrationnels
Nous avons vu que tous les intervalles formés, en nombres infini, par les
segments unité disposés sur la droite (Ox) étaient«bourrés»par des nombres
appartenantà l'état4.
Or, chose assez surprenante, et qui a longtemps laissé perplexes les savants de
l'antiquité, il existe des nombres qui s'ajoutent, sans se mélanger, aux nombres
de l'état4.Cesont les nombres irrationnels, qui justifient l'existence de l'état 5.
On verra apparaître deux nombres irrationnels, le nombre v2 et le nombre T
(«pi»)
Mais avant de les introduire, il faudra démontrer le théorème de Pythagore, et,
avant celui-ci, lethéorème deThalèssur lequel s'appuie notre démonstration.
-- , -- ,
« ETAT 5 »
Les irrationnels : aucune périodicité
En représentation décimale, les nombres !! (! !" ! sont des nombres de l’état 3,
mais ! ne peut pas être nul) sont caractérisés par le fait que les chiffres qui
suivent la virgule reproduisent toujours des séries de groupes identiques,
périodiques. Ceci parce que, dans une division, dans la suite des restes
successifs, on finit toujours par retomber sur un reste déjà vu.
Exemple : 87= 1,!"#$%&142857142857…
Le groupe périodique 142857 se reproduit indéfiniment. Ce n’est pas le cas
pour les nombres irrationnels où les décimales se succèdent, jusqu’à l’infini,
sans aucune périodicité.
Nous verrons en particulier, que le nombre 2 existe cependant à coup sûr car
on peut obtenir géométriquement le segment [!"] de longueur !, mais ne
peut pas être défini par un nombre !! de l’état 4.
Dans ce triangle rectangle,
dont les côtés OI et IA ont une
longueur : 1, le théorème de
Pythagore, qu’on verra par la
suite, montre que le côté OA a
pour longueur:√2.
Donc : longueur de OM = √2.
Heureusement, les nombres irrationnels peuvent être approchés aussi près qu’on
le désire par un nombre rationnel!!.
C’est cette valeur approchée qui sera
utilisée dans la pratique.
L’état 5 donne cependant une véritable place à ces nombres curieux...
26 MATHS A PETITS PAS
Un peu de géométrie
Dans les pages suivantes, nous allons nous occuper de triangles, en supposant
connues des connaissances intuitives se rapportant aux longueurs et aux angles.
On appellera !,!,! les côtés du triangle, !,!,!
les sommets respectivement opposés aux côtés
a, b, c !" !,!,!, les angles correspondant
chacun à son sommet.
Cinq cas d’égalité
1. Les angles représentés en rouge, qui sont
opposés par le sommet sont égaux.
Car la rotation de 180° de la partie droite
amène sur la partie gauche.
2. Les angles ß ayant leurs côtés
respectivement parallèles sont égaux car
on peut les faire glisser pour les amener
l’un sur l’autre.
β
On parle « d’angles correspondants ».
β
3. Les deux angles ! !" ! dont les côtés sont
respectivement perpendiculaires sont égaux,
car si on fait tourner ! de 90 degrés, on
retombe sur les cas des angles dont les côtés
sont parallèles.
αβ
90°
α
β
B C
A
a
b
c
α
β γ
MATHS A PETITS PAS 27
4. Deux angles situés entre deux droites parallèles et
formés de part et d'autre d'une droite sécante à celles
ci sont dits angles alternes internes et ont même
Il(eSUII(e.
C1 = C , et W = W, .
5. Il en va de même pour les angles situés à l'extérieurs 3
des parallèles et formés de par et d'autre de la sécante.
Ces derniers sont dits angles alternes externes et ils ont * 3
même mesure.
Ainsi, a, = a4 et V3 = V4 .
Somme des angles d'un triangle 4
Montrons que, comme onvoitsur la figure,que cette somme esttoujours égale à
180 degrés.
C = Ct
(angles alternesinternes) 1809
f8 = ß
(angles correspondants)
y+ a,+ 6 =180°
donc a + ß+y=180°
Nousavonsmaintenanttous lesingrédientspouraborder lethéorème deThalès !
3 -- , --
Théorème de Thalès
Dans un triangle ABC, on désigne par a la longueur du côté [BC], par b la
longueur de [AC] et par c la longueur de [AB].
On divise le côté [!"] en ! petits segments égaux et jointifs, de longueur b/m.1
Deux faisceaux parallèles aux côtés [BC] (faisceau 1) et [AB] (faisceau 2)
découpent sur ces côtés un nombre, toujours égal à !, de petits segments,
également égaux entre eux et également jointifs, donc de longueur a/m sur [BC]
et c/m sur [AB].
Côté b très grossi
Côté [AB] très grossi
Faisceau n°1cm très petit parallèle à a
Faisceau n°2
parallèle à c
Côté d très grossi
dmtrès petit
C
a
Faisceau n°2
Côté a très grossi
parallèle à c
am très petit
D’un point ! situé sur [!"] et distant de ! de ! petits segments (segments
initiaux divisant !") on trace une parallèle (!") à la base (!"). Le faisceau 2
découpera sur cette petite base du triangle !"# ! petits segments dont la
longueur unitaire (c’est le point capital de la démonstration) est égale à celle des
segments découpés par le même faisceau sur la base [!"].
1 En supposant que la longueur du segment AC n’est pas un nombre irrationnel
B
A
ED
bc
d
MATHS A PETITS PAS 29
A Onvérifie,sur la figure :
C b b b
mn mn AC = b = m-; AE = n -
177 177
C C
AB = C = m-; AD = n-
100 100
Cl CL
a BC = a = m- ; DE = n-
m * 107 17
- y v ,, AE - DE - ADIlvient le théorème deThalès : AC " BC - AB
Théorème de Pythagore
Le théorème deThalèsva nous conduire à celui de Pythagore, qui s'applique à
untriangle rectangle.Ontrace la hauteur dutriangleABCrectangle enA,ce qui
donne naissanceà deuxnouveauxtriangles rectanglesABH etACH.
L'angle en A du triangleABH(notéBAH) est égal à l'angle en C du triangle
ABC(notéACB)et L'angle en A du triangle ACH (noté CAH) est égal à
l'angle en B dutriangleABC(noté ABC), c'estune conséquence dufait que la
sommedes angles d'untriangle est égale à 180 degrés.
Appelons a la longueur du côté [BH| et a, celle du côté [HC| des petits
triangles.
On a lasomme a + a,= a.
Imaginons qu'on retourne face pour face les petits triangles et qu'on les coince
dans les angles correspondantsdu triangleABC, lethéorème de Thalès donnera :
les égalités :
0 -- , --
D'où l'on tire
axa =c* et axa,=b*
Onfait la somme :
axa, +axa,= b*+ c*
Applications-«Nombres réels»
et on obtient le résultat :
Nous pouvons maintenant aborder le calcul des nombres irrationnel et trouver- 3 - - -
les racines v2 v3, V3. Nous consacrerons ensuite, dans le chapitre suivant,
plusieurs pages aux équations du deuxième degré. Nous calculerons également
TT.
Mais, dès à présent se trouve justifiée la figure de la page 26, qui permet de
loger les nombresirrationnelssur notre droite des nombres.On appelle nombres
réels tous les nombres de l'état 5, englobant donc à la fois les nombres
rationnels et irrationnels. Cette fois, la droite (0x) est complètement emplie de
nombres entiers naturels, entiers relatifs, rationnels etirrationnels.
Expressions de (a+b)* et(a+b)*
On effectue les multiplications
(a + b).(a + b)= a*+ ab+ ab+b*
= a*+2ab+b*
(a + b).(a + b).(a + b) = (a*+2ab+b*).(a + b)
= a*+ a*b+2a*b+2ab*+ab*+ b*
= a*+3a*b+3ab*+ b*
Supposons que b est petit devant a. Par exemple : b= a/10
Alors b* et b* seront trèspetits et négligeables devant a* et a*. En effet :
b2 = a2/100 et : b3 = a3/1000
-- , -- , -1
(a+b)* = a*+2ab
(a+b)* = a*+3a*b
Le signe = (ou encore as)signife :«appoximativement égal».Onprend
l'habitude de noter e une quantitépetite : ici on remplace donc b par e :
(a+ e)* = a*+2ae
(a+ e)* = a*+3a*z
Calcul approchéde r=v2
Elevons au carré des deuxcôtés dusigne égal : jr2 = 2
Onpart d'unevaleur approchée de r = r ,par exemple l,4.On faitune série
d'approximations successives.
On écrira r= r + e ; 2= r*=(r, + e,)*
On utilise alors la première équation approchée de la pageprécédente : "
2= r*+2r, e,
soit :
2- r*
2r
On recommence en posant r, = r + e et on obtiendra un nouvel e, e,.On
continuerajusqu'à ce qu'on arrive àun e négligeable.
8 =
r2 = 2 r= r + e, r = 1,4
(r, + e )*= r*+2r e, =2
2 – r* 2 2
8 = avec r =1,44 = 1,96
2r
- 2-1,96 - 0,04 = 0.011
e =-H-=-=v
r, = 1,4+0,011 = 1,411
- 2-(1411)* 2-19988- - = 0,0028
*2 - TTTT 2,822
r,= 1,411+0,0028= 1,4138
2-(1,4138)* 0,0012
- - = 0,0004
*3 - TTTTEET - 7E77
r, = 1,4138+00004= 1,142
l r : - \ -
Pierre aurait dû mettre le signe - ou=
-- , --
Unefeuille de calcul comme enpage suivante (note l) conduità unevaleur de r
égale à1414zDonc v2=1414à10 *près (ouà l'ordre 3), valeur qu'on
prendrapar la suite.
Calcul approché de r = V3
On utilise exactement la même méthode en utilisant la formule d'approximation
3-7-2
T 2- *
On calcule r=v3en partantd'une valeurapprochée : 17
r* = 3 ; r = r + e, ; r = 1,7
(r + e )*= r*+ 2e,=3
3 – r* 2
- ; r2 = 1,72 = 2,89& 1 2r h*
3-289* 011 0,032
e =-=-=-=v
r,= 1,7+0,032=1,732
3- 1,7322 0000176
*2 - TT7EET - TETE= 0,00005
r,= 1,732+000005=1.73205
Onprendrav3 a 1,732
Lafeuille de calcul ci-après conduit égalementàunevaleur de r égale à 1,732,
valeur qu'onprendraparla suite
" Les moyens de calculs modernes nous permettent facilement d'effectuer des
calculs avec une dizaines de chiffres significatifs et ainsi de vérifier que cet
algorithme converge rapidement
Un tableur nous donne une valeur approchée à l'ordre 9 en quatre itérations
seulement !
v3 - 1,732050808
jn | r% Tm &n Écart avec lavaleur
connueà10T*près
1 | 3 | 1.7 0.032352941 0.03205081
2 1.732352941 -0.000302107 -0.00030213
3 1.732050834 -2.6347E-08 -2.6347E-08
4 1.732050808 -1.28198E-16 0
-----
Calcul approché de r = */3
On emploietoujours la même méthode mais en utilisant cette fois l'expression :_,-3
8 -* quivient de ladeuxième équation approchée de lapage33.
On calcule r= V3enpartant d'une valeur approchée: 14
r3 = 3 r= r + e, r = 1,4
(r, + e,)*= r*+3e, r*=3
3- r* 2 - 1 A2 - 3 -
8 = avec r*= 1,44 =1,96 et r*=2,7442
h*
- 3-2,744 - 0,256
=--=--=0,0435
* - TETOT - EEE
r,= 1,4+0,0435= 1,4435
3-14435=--=-0,0012
*2 TTTT352
r,=1,4435-00012= 1,4423
Onprendra V3 - 1442 (vérification(1442)*= 2998 = 3)
Lafeuille de calcul " conduit égalementà une valeurde r égaleà1442
à10 *près(ouà l'ordre3),valeur qu'onprendrapar lasuite.
" Un tableur nous donne une valeur approchée à l'ordre9en quatre itérations
seulement !
V3 - 144224957
n | r3 Tm Cn écart
1 |3 | 1.4 0.043537415 0.04224957
2 1.443537415 -0.001286696 -0.00128784
3 1.442250719 -1.1486E-06 -1.1486E-06
4 1.44224957 -9.14758E-13 -9.1482E-13
e4 -- , --
CHAPITRE 2
VOYAGE DANS L’ETAT 5 VERS LA PARABOLE
Avant d’entrer dans le vif du sujet, voyons quelques notions qui seront bien
utiles par la suite.
Notion de repère
Maintenant, à tout « nombre réel » (on dit aussi, simplement : « à tout réel »)
de l’état 5 correspond un point M pouvant être représenté sur la droite.
Appelons I le point de cette droite correspondant au nombre 1. Alors la droite
(OI) est dite munie d’un repère (O;I)
Soient deux droites (OI) et (OJ), respectivement munies d’un repère (O;I) et
(O;J) ayant la même origine O.
Ces deux droites forment un repère que l’on appelle repère (O;I;J).
Lorsque les deux droites (OI) et (OJ) sont
perpendiculaires et que les segments [OI] et
[OJ] ont même longueur, on dit que le plan est
muni d’un repère orthonormé (O;I;J).
Bien sûr, il est possible de construire d’autres
types de repères, mais nous ne nous intéresserons qu’aux repères
orthonormés, car ils permettent de mettre en évidence des propriétés de
symétrie et de calculer aisément la distance entre deux points quelconques du
plan.
Coordonnées d’un point.
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;I;J).
Nous admettrons qu’à tout point M du plan
correspond un unique couple de réels (x;y).
x étant la distance à O du point issu de la projection
orthogonale de M sur la droite (OI).
y étant la distance à O du point issu de la projectionorthogonale de M sur la droite (OJ).Ce couple de nombres réels (x;y) est appelé coordonnées du point M dans le
repère (O;I;J).
On dit que : x est l’abscisse du point M
y est l’ordonnée du point M
(OI) ou (Ox) est l’axe des abscisses
(OJ) ou (OY) est l’axe des ordonnées.
O I
J
O I
J
Ax
y
M
MATHS A PETITS PAS 35
Notion de fonction
Une fonction fest un procédé qui permet d’associer à tout nombre x, élément
d’un ensemble de départ D, un nombre unique y élément d’un ensemble
d’arrivée A.
On note : f : D→Ax y ou f(x) = y
On dit que « y est l'image de la variable x par la fonction f »
Ou bien que « x a pour image y = f(x) et y a pour antécédent x ».
Courbe représentative
On appelle courbe représentative de la fonction f, l'ensemble des points M (x
; y) tels que y = f(x), où x parcourt l’ensemble D.
Autrement dit :
y = f(x) est l'équation de la courbe représentative de f.
Fonctions et équations
Il ne faut pas confondre ces deux termes. Une fonction f représente une
relation entre une variable x et son image y qui dépend de x par la nature des
opérations qui sont symbolisées dans le signe f(x). Une fonction est
représentée par une courbe dans le plan muni d’un repère (O;I;J).
On a affaire à une équation quand on cherche quelles sont les valeurs de x
pour lesquelles l’image y vaut une certaine valeur, f(x) = K. Résoudre
graphiquement une équation revient à lire l’abscisse des points d’intersections
de la courbe d’équation y = f(x) et de la ligne droite horizontale d’équation y
= K.
Algébriquement, on cherche à résoudre un système à deux équations
⎩
⎨
⎧ y = f(x)
y = K .
qui se ramène à une seule équation f(x) = K ou f(x) - K = 0.
C'est le plus souvent sous cette dernière forme que se présente une équation,
avec une deuxième membre égal à zéro.
Equation de deuxième degré
La forme la plus générale des équations du 2ème degré est :
y = ax² + bx + c = 0.
Mais il est commode d'envisager, pour l'étude, l’équation équivalente :
y = x² + bx + c = 0 , dans laquelle a = 1.
En fin d'étude on revient à la première forme en remplaçant b par ba et c par c
a.
36 MATHS A PETITS PAS
Les « racines »
Les points d'intersection des deux courbes d’équations y = f(x) et y = K ont
naturellement pour ordonnée la valeur K.
Les abscisses de ces points d'intersection (on suppose que les intersections
sont, bien existantes) sont appelées « racines » du système⎩⎨⎧y = f(x)
y = K.
Ce sont naturellement aussi, quand elles existent, les solutions de l’équation
correspondante f(x) - K = 0. Sous cette forme, les abscisses représentent les
points d’intersection de la courbe d’équation y = f(x) - K avec la ligne
horizontale figurée par l’axe (Ox) qui a pour équation y = 0.
Les figures qui suivent ci-dessous et aux deux pages 38 et 39 donnent
l’exemple de : x2 – 2x – 8 = K pour différentes valeurs de K, puis pour K=-8.
MATHS A PETITS PAS 37
=-8 : Intersection de f(x) avecy=-8
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -
- - - - - -
|- - - - - - -
- - - - --- - - - - - - - --- - - - - - - --- - - - , - - - --- - - - - - --- - - - - - - - - - - l - - - --- - - - i - - - --- - - - i - - - --- - - - - - - - - - - - -- - - --- - - - - - - - ---
- - - -- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - | - - - - - 2 - - - -- - - - --- - - - - - a - --- - - - - - - - --- - - - l - - - --- - a - l - - --- - - a - - a - -- --- - - - --- - - - r - - - --- - - -- a - - --- - - -- -- - t - - -- - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - QC :- - - - - - - - - - - - - - C - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - -
|- - - - - - - - - -
- - - - --- - - - - - - - --- - --- - -- --- - - - - -- - -- - - - - - --- -- - - - - --- - - - --- - - - - - --- --- - - - - - --- - - - - r - --- - --- -- --- - - - - --- ---
- - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - -
|- - - - - - - - - -
- ------ ---- ----- - - - - --- - - - - -- ---- - - - - - - ---- ---- - - - - -- - - - - -- --- ----- ---- --- - - - - - ---- - - - - - - ---- -- - - - - - - - -- - - - - -- --- ---
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|- - - - -- - - - - -
- - - - --- - - - _ - - - --- - - - - - - - --- - - - , - - - --- - - - - - -- --- - - - _ - - - - - - l - - - --- - - - i - - - --- - - - - - - --- - - - _ - - - - - - -- - - --- - - - -- - - ---
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- e - = --- = - = -- = -- = --- = - - r - e - --- = - - r - e - --- = - e - e - l --- = - e - e - - - e - | -- a - --- a - - t - e - --- - a - a - - * - - a - - a - --- = - - t - a - --- a - - 1 - - - ---
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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-- -
n r - r
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- - - - - - - - - - - - - - - - - -
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- a - - -- a - - a - - a - --a - - - r - - a - -- a - - l - - - --- - a - - a - - - - a - - a - ----- - - - --- a - - - a - - --- - a - - a - - -- a - - a - - - - t - - - --- a - - 1 - - - ---
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- - - - --- - - - - - - - --- - - - - - - - --- - - - l - - - --- - - - - - - - --- - - - - - - - -- --- - - - --- - - - r - - - --- - - - - - - - -* - - - - - - - --- - - - l - - - --- - - - l - - - ---
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - -- - - - -- - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - -
|- - - - - - - - - - -
- = - = --- = - = -- = - = --- = - = - - = - --- = - = , = - = --- = - = -- = - = --- = - = -- = - - = - = | = - = --- = - = -- = - = --- = - = -- = - = --- = - = -- = - = --- = - - i - = - --- = - = i = - = ---
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- -- - - -- - - - -- - -- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - -
|- - - - - - - - - -
- e - - - - - r - - - * - - - t - e - --- - - - t - - - * - - - r - - - * - - - - - a - - - - | - - - --- - - - t - - -- * - - - r - - - * - - - - - - - - - - t - - - - - t - - - ---
- - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - -
|- - - - - - - - -
- - -- - - - - - - - --- - - - - - - - ---- - - a - - - --- -- - - - -- --- - - - - - - - - - - - - - --- --- - - - -- ---- - - - - - - --- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ---
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - --- = - - - - - - --- - - - r - - - --- = - - r - - - --- = - - - - - - --- - - - - - - - - --- - - - --- a - - r - - - --- - a - - a - - -* - - a - - a - - - - t - - - --- a - - t - - - ---
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - -- - - - -- - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - -
e3 -- , --
-8 : Intersection de f(x)– K avec l’axe y = 0
Encadrement par les nombres entiers
A chaque valeur de x correspond un point sur l’axe (Ox). Si les coefficients a,
b, c sont les nombres entiers, aux points représentés sur l’axe (Ox) par des
nombres entiers vont correspondre, sur l’axe (OY) également des points
correspondant à des nombres entiers. Les points correspondant à tous les
nombres rationnels et irrationnels possibles représentés sur l’axe (Ox) sont
encadrés par des points correspondant à des nombres entiers. Les points
correspondant sur la courbe d’équation y = f(x) à tous les points divers de
(Ox) seront également encadrés par des points correspondant aux nombres
entiers. Dans notre étude, nous pourrons donc nous occuper que des nombres
entiers.
K =
MATHS A PETITS PAS 39
Fonction f telle que f(x)= x*: la parabole centrée
C'est une fonction fondamentale. La courbe qui la représente dans le plan
(YOx) est appelée parabole. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la
parabole possède un axe de symétrie qui la coupe en son sommet. Toute la
courbe est située au dessus de ce sommet.
Equation (x-p).(x-q)=0
En développant ceproduit ontrouve :
x*-(p+q)x +pq =0 .
C'estune équation du deuxième degré que l'on peut écrire aussi :
y= x + bx+ c=0
enposantpq=b etpq = c
Cette représentation a l'avantage de faire immédiatement connaître les deux
racinesp et q,maistoutes les équations x*+ bx + c=0
nepeuventpas se mettre sous cetteforme.
De y=x*+ bx+cày,=x,*
Il est important de constater qu'on peut toujours, en opérant une
transformation sur la variable x et son image y, passer de n'importe quelle
courbe d'équation :
y=x*+ bx + c à la parabole d'équation :
y = x *
Utilisons deuxparamètresm et n etposons x et y tels que :
X3 = X -- In
|* = y- n
partons maintenant d'une courbe d'équation : y = x*+ bx+ c etremplaçons y
par y2 -- h et xpar x2- m
On trouve
y + n =(x - m)*+ b(x - m)+ c
y,+ n=x *-2x, m + m*+ bx,-bm + c
y =x *+(b-2m)x, + m* -bm + c- n
Choisissonsm et n defaçon à obtenir : y = x *
Ilfaut pour cela faire
(b-2m)=0
* " ,Ilvient :
n -2
n = m*- bm + c
*dans la deuxième expression, remplaçonsm parsavaleur : I]-
40 -- , --
J/) = J/) =
<=)>
b
2
/h)2
I - -- C JV1 =
:
b
2
-h) 2
JV1 = -- c
On voit quetoute courbe d'équation y= x*+ bx + c peut être déplacée dans
le plan (YOx) de façon à venir coïncider avec la parabole fondamentale
d'équation y = x *
Exemple : passage de y= x*- 6x + 5 à y = x *
-
formulc dc transformation :
y= y + n
X = X7- Fi
b
m-5
*2: _ , 2
p =-+ c
4
-- , -- , 1
Inversement, on peut prévoir qu'avec des paramètres de transformation
appropriés, on pourra passer de la parabole d'équation y = x* à n'importe
quelleparabole d'équation
y= x*+bx+ c représentée dans le plan (YOx).
De y=x* à y,=x,*+bx,+c
Utilisonsdeuxnouveauxparamètres m, et n .
Remplaçons dansy= x* ypar y2 + netxparx - m3
On obtient
y -- n3= (x2 - m,)* soit
y2= (x - m3)*- nou encore
y = x *-2mx + m *- n,
Choisissons m, et n, defaçon à obtenir : y =x *+ bx + c
Ilfaut pour cela faire
| (-2m )= b
hm *- n3 = c
Ilvient :
b
m=-5
m *- c = n ,
dans la deuxième expression, remplaçons m3 parsavaleur :
m3 =
b
2
- b
2
//] - b m ,=-
alors ! "* 2 --> h)2
m *- c = n , n --c
Exemple(page suivante) :passage de y =x* ày = x *- 6x - 5
-- , --
A formule de transformation :
y= y2 -- F1 ,
Y X = X3- F13
' - b
"1 m=-5
*, **** jy2
F1 ,= 7 - *
*.&,
|
y= x
A
() --
y = x *- 6x + 5
-- *
Généralisation auxparaboles quelconques
Dans lesdeuxcasvusprécédemment, si on part de laforme
X . _ __ 2 r | v - * b C
y= ax*+ bx+ c oùa n'estpas égal à l, il faut remplacerbpar a et c par a
J/] = b //] = b
-- - 2a 2a
On a ainsi dansle premier cas : -2 c *** 4ac-b*
" I " , n - TE
W1 ,= - b JW ) = - b
• v * 2a * " " 2a
dans le deuxième cas p,2 *-* b*-4ac
* 4a a * - 4a
Symétrie des paramètres m et m2 ; n et n,
On remarque que n3=-n etque m3=-m
Cela correspond bien au fait que l'on a , dans le deuxième cas, une
transformation inverse de laprécédente.
Sommet de la parabole d'équation y=x*
Le sommetO de laparabole fondamentale d'équation : y= x* , viendra, après
déplacement ,se confondre avec le sommetD de la parabole d'équation : y =
ax + bx + c , représentative de la fonction étudiée. Cela nous permettra
d'avoir les coordonnées de ce sommet dans leplan(YOx).Cette connaissance
nous renseignera sur l'existence des racines, et en cas d'existence sur leur
valeur.
Les coordonnées dupointOsont : x =0 ; y= 0
Les coordonnées dupointtransforméDseront :
X3 = X -- m3
y =y- n2
d'où
JX2 =()+ m3= m3
y =0- n3 =- n3
Remplaçons m , et n,par leur valeur :
b
m ,=- -
2a * w b b*-4ac
JV] b*-4ac d'où D(-* ; * 4a )
* -4a
-- , --
Exemple : Déplacement deOpourlaparabole d'équation y = x *- 6x -- 5
A
v xb4ae Nb4ae
2a | 2a
4 |
--«
A 1 r- C E f r,
{ 1 T7 T3 " A1 / ─--
- 1
|
-2
b2-4ac
- 4E2
- 3
y, = x2 -5x+ 5
--- b --*_________________
- 4 2a : D
-
-
- E
r , , b , b*-4ac
Coordonnéesde D :(- 2a* 4a )
Aveca= 1 ;b=-6; c=5,soit : D(3 ; -4).
-- *
Existence des racines
On voit sur la figure ci-dessous que la parabole représentant la fonction étudiée telle
que y2 = ax2²+ bx
2 + c (qui a les mêmes racines que l’équation ax2²+ bx
2 + c = 0)
ne peut couper l’axe (Ox) (y = 0) que si le point transformé du point O se trouve en
dessous de l’axe (Ox), c’est à dire qu’il faut que n2 soit positif.
b²-4ac4a² ≥ 0. Cette expression est positive quand son
numérateur est positif. C’est à dire quand : b²- 4ac ≥ 0.
On appelle discriminant et on note Δ ce numérateur ( Δ = b²- 4ac).
Il y a donc des racines quand
Il y aura deux racines distinctes quand on aura le discriminant strictement
positif. Aucune racine si le discriminant est strictement négatif et deux racines
confondues si le discriminant est nul.
Valeur des racines
Sur la figure ci-dessous, le sommet de la parabole d’équation
y2 = ax2²+ bx
2 + c est repéré par D. L’axe de symétrie est (CD), C étant sur
l’axe (Ox).
Les racines, de valeur r1 et r2 sont en A et en B.
Le segment [CD] a une longueur n2 .Du fait qu’il s’agit d’une parabole, les
segments [AC] et [CB] auront une longueur n2.
L’abscisse du point C est la même que celle du point D, c’est à dire m2.
Les valeurs des deux racines seront donc :
r1= - b2a - b²-4ac2a et r2= - b2a + b²-4ac
2a
Exemple : soit la parabole d’équation y = x² - 2x – 8 déjà rencontrée plus
haut.
b²-4ac = (-2)²- 4.1.(-8) = 36 or 36 ≥ 0 donc l’équation x² - 2x – 8 = 0
admet deux racines distinctes qui sont :
b²-4ac- b
2a - 2a=2
2
b²-4ac
2a=2
2
r1 = = - 2-6
2
+62
et r2
=-b2a+ = 4
46 MATHS A PETITS PAS
Les racines : autre démonstration
Il existeune suite d'opérationspurement algébriques (voir la feuille de calcul
ci-dessous).Onvoit commentonpeut agir en effectuant les mêmes opérations
des deux cotés dusigne égal. Donnonsun exemple :
Partons de : Ajoutons des deux cotés la quantité-a
2b-- a= c
2b--a-a=c-a -- On déplace un terme de la somme de
2b= c-a l' autre coté du signe égal en changeant son
signe.
2b c = a Divisons des deuxcôtéspar2
2 2
b= -- -- On déplace un facteur d'un produit ou
2 d'un quotient de l'autre côté du signe égal en
passant du numérateur au dénominateur, ou
inverSement
Par cette méthode,on arrive évidemmentauxmêmesrésultats que ci-dessus.
dx2 + bx + c = ()
h) C • ww r r
<= > X2+ * " , () (avec a différent de zéro)
-- x 2 x - é - o-xe 2 x --2a Cl 2a
h) R)2 h)2 c
<= > 2 -- - -- - --_ -JX 25 x 4q* 4a* a
h) P)2 b* 4ac<= > /Y-2 - -p =-_-
(x +2 * " IE 4q* 4q*
Or, on reconnaît dans le membre degauche le carré de (x + ,
- b 2 b*-4ac<= (x+ / - 4a
b , .. |b-4ac b , b*-4ac
( 57 - \ / ou ( 57 --\|
- b | Nb-4ac - b Nb-4ac= _-+-- OU1 jx = ----
2a 2a 2a 2a
= -b + V|b*-4ac = -b - v|b*-4ac
-- , -- , 7
Calculons π...
L’hexagone de côté 1
On part d’un hexagone régulier inscrit dans uncercle de rayon 1.
On construit cet hexagone en faisant tourner six fois
un triangle équilatéral de côté 1.Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral a des angles de 60°. Sixfois 60° = 360°.Par ailleurs, une hauteur menée à partir d’un
sommet B du triangle ABC découpe sur le côtéopposé [AC] deux segments égaux. Dans notre
cas, chacun de ces segments aura un longueur
½ ½
1
30°
B
C
A
égale à ½.
C’est autour du sommet B que nous avons fait tourner le triangle.
Valeurs successives de π.
La valeur exacte de π sera égale à la longueur de l’arc de 180° pris sur notre
cercle de rayon 1.Une première valeur très approchée sera obtenue en prenant la somme des 3
premiers côtés de notre hexagone. On aurait ainsi 3.
Mais un double emploi du théorème de Pythagore permet d’opérer sur un
demi-polygone ayant un nombre double de côtés, c’est à dire sur six segments
qui auront tous une longueur légèrement supérieure à un demi.
La même opération peut être répétée un grand nombre de fois, n fois. On
double chaque fois le nombre de côtés appartenant au demi-polygone, on
obtient chaque fois une longueur de côté légèrement supérieure à la moitié du
côté précédent, ce qui améliore chaque fois la valeur de π.
48 MATHS A PETITS PAS
S1
2 = - Sl)2 . - S1BC2= 1 + 1 2\ | 1
AC = s = AB + Bc = #2 -- | -- 1--2 - d'ou
s =AC=\/2-2N | 1- :2
en généralisant : s,=\12-2\|1- =N2-v4-(s)
Tableau des5premiers dédoublements
( )
On voit sur les figures comment se fait la double application successive du
théorème de Pythagore.
Dans le tableau qui suit, chaque ligne montre les calculs qui permettent de
passer d'un côté si d'un polygone au côté sn d'un polygone de nombre de
côtés double. Le paramètre n correspond au nombre de doublement
successifs.
La ligne n part de la longueur du polygone précédent pour aboutir à la
longueur sn .. la formule quipermet de passer de s à sn estla suivante :
sn = \2-V4-(s )
La ligne n=3 du tableau, qui aboutit à un sn = s3 = 0.26l l correspond à un
polygone de 12 côtés, ce qui suppose deux doublement depuis le demi
polygone de3 côtés.
On aainsi nombre de côtés pour s,égale 3 ×2**.
Lavaleur de 7t pourn=3sera 12× 0.2611= Ts=3.1332
On avait s3 = 0.5177 qui correspondait à s, = 0.5177, qu'il fallait multiplier
par6pour obtenir lavaleurprécédente de T, T =3.1062.
Letableauvajusqu'à n=5.
-- *
n Sn4 Sn * 4-S * 4-Sn* 2- 2NIs S, côtés JUn
V4-S*
1 1 1 3 3 0000
2 1 1 3 1 7321 02679 05177 6 3 1062
3 05177 02680 3 7320 1 9319 00681 02611 12 3 1332
4 02611 0 0681 3 9319 1 9830 00170 0 1306 24 3.1344
5 0 1306 0 0170 3 9830 1 9957 00043 006545 48 3 1416
Remarque :
Les résultats ci-dessus ne sontpas rigoureusement exacts carils ont été établis
avecun nombre limité de décimales. De ce fait, on a la chance detomberplus
tôtqueprévusur lavaleur Ts=3.1416.
( T=314159265358979 à1o"près)
50 -- , --
CHAPITRE 3
LE SIXIEME ETAT - LES NOMBRES COMPLEXES
« ETAT 6 »
Les nombres complexes
Contrairement aux nombres vus précédemment, qui ne dépendaient chacun
que d’une seule variable, les nombres ressortissant du sixième état dépendent
chacun de deux variables séparées ce qui rend les opérations d'addition et de
multiplication très différentes de ce qu'elles étaient précédemment.
Par contre, les critères auxquels ces nombres à deux variables sont soumis
sont exactement les mêmes que ce qu'ils étaient dans les cinq premiers états.
Notamment le critère « distributivité de la multiplication par rapport à
l'addition ». Cette question sera développée au cours des pages suivantes et
des figures correspondantes.
Les vecteurs
Les vecteurs ont été utilisés depuis longtemps en mécanique pour représenter
les forces. Ils sont figurés par de petites flèches, originaires du point O du
plan (YOx), et caractérisées par leur longueur ρ et par l'angle θ qu'elles font
avec l'axe (Ox). Le vecteur peut se déplacer dans tout le plan sans changer de
valeur, à condition de rester toujours parallèle à une même direction. Parti du
point O, chaque vecteur peut être caractérisé par deux variables ρ et θ. Il peut
aussi être défini par les coordonnées x et y de son extrémité.
Le fait que les vecteurs dépendent de deux variables fait qu'ils peuvent
naturellement représenter les nombres complexes, objets du sixième état.
Addition des vecteurs
On vérifie expérimentalement, en mécanique que deux forces non parallèles
agissant sur le même point et représentées par deux vecteurs sont équivalentes
à une seule force qui serait représentée par la diagonale du parallélogramme
construit sur les deux vecteurs concourants. L'extrémité de ce vecteur
« résultante » coïncide avec l'extrémité du deuxième vecteur qui serait placé
de façon à avoir son origine à l'extrémité du vecteur numéro un.
MATHS A PETITS PAS 51
Multiplication des vecteurs
La multiplication consiste à associer une troisième grandeur à deux grandeurs
qui sont les deux facteurs de la multiplication. Une procédure décrit ce qu’il
faut faire pour obtenir cette troisième grandeur.
En ce qui concerne les vecteurs, il y a deux procédures possibles, que l’on
appelle, l’une, le produit scalaire, dans lequel la troisième grandeur est un
nombre réel, et l’autre, le produit vectoriel, dans lequel la troisième grandeur
est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les deux premiers. Ces deux
multiplications font donc « sortir du domaine », et ne peuvent être utilisées
pour multiplier des nombres complexes.
Multiplication des nombres complexes
On définit une nouvelle procédure de multiplication pour les nombres
complexes, qui puisse donner un résultat compris dans le domaine des
nombres complexes, et satisfaire tous les critères, notamment celui de la
distributivité.
La multiplication des nombres complexes est obtenue : en additionnant les
angles θ (qu’on appelle « arguments ») et en multipliant les longueurs ρ
(qu’on appelle « modules »).
On a ainsi : ρ(a.b) = ρ(a) . ρ(b) en notant ρ(a) : module de a
et θ(a.b) = θ(a) + θ(b) en notant θ(a) : argument de a
Dans ces conditions, on va vérifier que, si on prend trois nombres a, b, c, on a bien :
a.(b + c) = a. b + b . c
Exemple
Les figures qui suivent présentent trois nombres complexes a, b et c caractérisés
chacun par ρ et par θ et repérés aussi chacun par les coordonnées x et y. On laisse
provisoirement de côté ce repérage par x et y et on ne considère que les paramètres
ρ et θ , qu’on appelle aussi module ρ et argument θ.
Les figures qui suivent montrent successivement :
les trois nombres a, b, c,
le vecteur s = b + c (s pour somme),
le vecteur a . b = b’le vecteur a . c = c’le vecteur a . s = s’
On vérifie que b’ + c’ = s’, ce qui montre que le critère de distributivité est satisfait.
Cette vérification est facile à faire en utilisant les figures. Et en utilisant uniquement
les paramètres ρ et θ .
52 MATHS A PETITS PAS
(l ,I
:f
. l5
s ss se
Somme s=b+c :
Y
* | 1Spour somme)
| | | |
s- f + .
Sfx :) -----
-- ) 82
- - 1 76
-
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|--
(} &2
b '= q b
,
Y'
|
|---------
-
|--
----
------- .--
- --
--
a | 5 5
*- ( 5 _ 9- f * _ - f 4
t - 3 | t - 5g | * - 3
- A(x : - Bx: - B tx :
x- ( 43 | x- f5 | x- f)f6
-t.25 1 - 6 | | -- .39
-
-
-
x
-- , --
{S pour somme)
x-- , y
:fS
-:
-
/
-'#
x
---
---
--
-
(.32 ( 43- ( g9
s s s ss
La multiplication par a, qui transforme s en s’transforme de la même façon b
en b’ et c en c’.
On retrouve s’ = b’+ c’ qui correspond à : a.s = a.(b + c)
Toute la figure initiale subit la rotation de 30° ( valeur de l’argument θ de a)
et la multiplication par 0.5 (valeur du module ρ de a).
Conclusion :
La multiplication sous la forme : ρ(a.b) = ρ(a). ρ(b)
et : θ(a.b) = θ(a) + θ(b)
satisfait le critère de distributivité et est donc confirmée !
56 MATHS A PETITS PAS
On arrive alorsautrèsimportant résultat suivant :
Considérons le nombre complexe i(p= 1 , 6 = % et multiplions lepar lui
même(élevons le au carré).
On obtient : ii= i*(p= 1 ; 6= 7t)
On revient alors aux cordonnéesen x ety
On a i (x =0; y= 1)
i(x=-1 ; y= 0)
autrement dit :
p* = - 1
On aun carré qui est négatif, chose impossible dans les étatsprécédents.
Réciproquement, on a : N—1 = i .
1
i2
: s : 7
Nouvelleprésentation
Onpeut représenter maintenanttout nombre complexez sous laformex + iy
x s'appelle la«partie réelle dez» etys'appelle la«partie imaginaire dez».
Multiplions(p + iq)par (r + is) on obtient :
Produit=(pr- qs)+ i(ps-qr)
Un tableau reprend sous cette forme les opérations effectuéesprécédemment
avec lesp et les 6
On retrouve le résultatimportants'= b' + c'.
Exemple :
a= 0,43+ i.0.25 b= 0.50+i061
p C] 1 S
b' =a.b
=(043050-025061)+i ..(043061+0,250,50)
=0.06+i. 039
a= 0,43+ i.0.25 c= 0,32+i.1,15
p C] I S
c'= a.c
=(0.43 . 0.32 -025 .. 1,15)+i.(0.43 .. 1,15+0.25.032)
=-0,15+i. 057
a= 0,43+ i.0.25 s= 0,82+i.1.76
p C] Ir S
s' = a.s
=(0.43 . 082 -025 .. 1,76)+i.(0.43 .. 1,76+0.25.082)
=-0,09+i. 0,96
b +c =(006+i. 039)+(-0,15+i. 0.57)
=(006-0,15)+ i. (039+0,57)
=-0,09+i.096
- S'
53 -- , --
Equation du second degré : solutions complexes
Les nombres complexes permettent d’obtenir une solution dans tous les cas,
même quand le discriminant est négatif.
Prenons pour exemple l’équation suivante :
x² - 2x + 10 = 0
Calculons le discriminant
Δ = 4 – 40 = - 36
Le discriminant étant négatif, l’équation n’admet pas de solution réelle. Il est
pourtant possible de trouver deux nombres complexes solution de cette
équation, puisque, dans le domaine complexe, √Δ = 6i.
Ces nombres sont :
x1 = 1 + 3i et x2 = 1 – 3i
MATHS A PETITS PAS 59
CHAPITRE 4
CUBES ET PYRAMIDES
Pyramides : quelques propriétés
Une pyramide est polyèdre (une forme géométrique 3D comprenant plusieurs
faces planes) dont une face, la base, est un polygone de n côtés, et dont toutes
les autres faces sont des triangles reliant chaque côté à un point constituant le
sommet de la pyramide, appelé apex.
Quand on ne précise pas, la base de la pyramide est supposée rectangulaire,
ou carrée.
Observons les coupes réalisées dans une pyramide : le plan de coupe est
perpendiculaire à la base, qui est fixe, et passe par le sommet A, qu’on
déplace d’une figure à l’autre, horizontalement puis verticalement.
Sur la première pyramide, trois plans parallèles à la base ont découpé 3
surfaces dont on voit les traces 1, 3, 4. Ces traces se déplacent
horizontalement, mais conservent une même longueur, si A se déplace
60 MATHS A PETITS PAS
horizontalement. Elles s’écartent mutuellement ou se rapprochent, toujours en
conservant la même longueur, si A se déplace verticalement.
Il en résulte :
- Que l’on peut déplacer le sommet A d’une pyramide dans un plan parallèle
à sa base sans changer le volume.
- Que pour les pyramides de base identique et de hauteurs différentes, les
volumes sont uniquement proportionnels aux hauteurs.
Il résulte également de ceci qu’une pyramide à base carrée a deux fois le
volume d’une pyramide de même hauteur construite sur le triangle obtenu en
coupant le carré par sa diagonale.
MATHS A PETITS PAS 61
Lestroisvolumes pyramidaux du cube
On peut décomposerun cube en troispyramidesidentiques.
Dans le cubeABCDEFGH,on inscritla En appliquant,auvolume 1,un quart detour
pyramide debaseABCDetdesommetH, suivantl'axe(CD)suivid'un quart detour
c'est levolume 1. suivantl'axe(DH),on obtientlevolume2.
A
G
En appliquant,auvolume 1,un quart detour
suivantl'axe(AD)suivi d'un quart detour suivant
l'axe(DH),
on obtient levolume3.
B3
Enjuxtaposant les trois pyramides, de telle sorte que les faces colorées dans le
tableau ci dessous coïncident exactement, on reconstitue bien un cube : celui
dans lequels'inscrivait la pyramide de départ.
Volume | Base Base Base autresfaces
1 ABCD HBA HDA HBC HDC
2 A2E32C2D2 H2B2C2 |H2D2C2 |H2B2A2 | H2D2A2
3 A3E33C3D3 H3B3C3 | H3D3C3 |H3B3A3 |H3D3A3
1+2+3 | ABCD ABFE E3C(F HIDAE HEFG HDCG
5 -- , --
Calculons levolume despyramides :
Levolume l est donc égal autiers duvolume ducube :
v - xvrw 3
Pourun cube d'arête a,on a : V=a
Pour chaquepyramide de hauteur a et de base carrée d'aire a*on a :
v - x a-× a*× a
- 1
Autrement dit :V = 3 x surface de base× hauteur.
s Ess ce
CHAPITRE 5
SINUS ET COSINUS
Définitions : sinus, cosinus, radians
Dans un triangle rectangle OMH, d’angle droit en H, on appelle θ l’angle
(OH, OM) et on définit les grandeurs sinus de θ et cosinus de θ, notées :
sin(θ) et cos(θ) par les quotients MH/OM et OH/OM :
sin θ =MHOM et cos θ =
OH
OM
Nous avons vu au chapitre 3 qu’un vecteur⎯⎯→OM
issu d’un point O du plan
YOx pouvait être défini de deux façons différentes, par ρ et θ d’une part, et
par x et y d’autre part. L’introduction des sinus et des cosinus permet d’établir
dans tous les cas la relation qui existe entre ces deux groupes de variables.
x = f1 (θ)
y = f2 (θ)
On écrit
x = ρ . cos (θ)
y = ρ . sin (θ)
Les angles se mesurent communément en degrés : sur un cercle, une
circonférence complète représente 360°. Cependant, les mathématiciens
préfèrent le plus souvent exprimer la valeur d’un angle par la longueur de
l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon R = 1. L’unité de mesure est alors
le radian. On a l’équivalence entre 360° et 2π.R, donc entre 360° et π puisque
R = 1. De même : 180° eq. π, 90° eq. π/2, 60° eq. π/3,45° eq. π/4, 30° eq. π/6.
Valeur de sinus et de cosinus aisées à calculer
Nous pouvons facilement déterminer les valeurs de cosinus et de sinus, pour
trois valeurs d’angle, dans les figures qui suivent, dans lesquelles ρ = 1 :
3 = 1cos 30° = 2 sin 30° 2
cos 45° = 22 sin 45° =2
2
cos 60° = 12 sin 60° = 32
64 MATHS A PETITS PAS
Ces résultats ont été obtenus facilement, en appliquant le théorème de
Pythagore au triangle OMH rectangle en H., H étant la projection du point M
sur l’axe Ox.
Triangle équilatéral
O
M
Carré et diagonale
45°
cos60°
= 12 sin 60° = 3
2
cos30°
= 3
2
sin30° = 12 cos
45°= 2
2
sin 45° = 2
2
3
2
60°
30°1
1
2
1
1
HO 2
2
22 22 2
22
2
2
2
1 1 1
1
1²+1² = 2
Autres valeurs
Nous verrons plus loin, mais pas dans ce chapitre comment on peut calculer
les sinus et cosinus de tous les angles compris entre 0 et 2 π radians.
Pour le moment, on admettra qu’on dispose d’une calculatrice ou d’une table
donnant toutes les valeurs en fonction de l’angle.
Valeurs déduites
On peut ajouter aux valeurs données plus haut les valeurs suivantes qui se
déduisent de symétries :
sin(α
+ π2) = cos α
cos(α
+ π2) = - sin α
sin (α + π) = - sin α
H
M
MATHS A PETITS PAS 65
Angle nul, angle droit et angle plat
On constate
cos 0
cos π/2
cos π
= 1 sin 0 = 0
= 0 sin π/2 = 1
= -1 sin π = 0
Ajoutons encore les valeurs déduites
sin (π2- α) = cos α et cos (π2- α) = sin α
Expression de cos (α + β) et de sin (α + β).
Nous allons montrer, grâce aux nombres complexes, que :
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
On a vu (a + ib) ( c + id) = (ac – bd) + i (ad + bc)
posons (1) = a + ib = nombre complexe z1
(2)= c + id = nombre complexe z2
Le résultat de l’égalité ci-dessus, le produit (1) . (2) représente en variables x
et y, avec i = vecteur de longueur 1 sur l’axe Oy, un vecteur (ac – bd) + i (ad
+ bc) que nous noterons (3) + i (4).
Les parenthèses (3) et (4) représentent les projections de ce vecteur produit
respectivement sur les axes Ox et Oy.
Remplaçons maintenant les variables x et y par les variables ρ et θ.
Remplaçons
(1) devient
(2) devient
(3) devient
(4) devient
a par ρ1 cos (α)
b par ρ1 sin (α)
c par ρ2 cos (β)
d par ρ2 cos (β)
ρ1 cos (α) + i ρ1 sin (α)
ρ2 cos (β) + i ρ2 sin (β)
ρ1 cos (α) ρ2 cos (β) - ρ1 sin (α) ρ2sin (β)
ρ1 cos (α) ρ2 sin (β) + ρ1sin (α) ρ2 cos (β)
66 MATHS A PETITS PAS
En application des règles du produit des nombres complexes, le vecteur
produit s’écrira :
x = ρ1ρ2 cos (α + β) , y = ρ1ρ2 sin (α + β)
x = (3) , y = (4)
on a donc
ac – bd = (3)
ad . bc = (4)
soit cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
et sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
On retrouve les formules d’addition.
Cas où β est très petit (β noté ε)
On introduit les équivalences sin ε = ε et cos ε = 11
sin (α + ε)
cos (α + ε)
= sin α cos ε + cos α sin ε
= sin α + cos α . ε
= cos α cos ε - sin α sin ε
= cos α - sin α . ε
On utilisera plus tard, au chapitre des dérivées, ces résultats importants.
Tracé mécanique d’une sinusoïde.
On peut imaginer facilement un dispositif mécanique fournissant un tracé de courbe
sinus ou cosinus.
On peut voir ci-après le schéma d’un tel dispositif où un crayon trace
mécaniquement une courbe y = sin x (en bleu) ou cos x (en rouge).
cosinus(angle)
sinus(angle)
0.8661
45
0.707
0.5
2
3
π
2 angle
- en radian0
9060 120
135
π
150 180
225 315 2π
360
- en degré
π
30
-0.5
-0.707
-0.866
-1
1Une justification eût été bienvenue...
MATHS A PETITS PAS 67
OA= cos(c + f)
Projection deOM surOX= projection deOB+projection de B
O TE TA
y M
Y \ sin f
O
Axes auxiliaires Y"OX"
y
Y
O
F
O
Axes auxiliaires Y"OX"
X"
53 -- , --
O
3
F -* \ O
OH = OG -- GH
OH= sin(c +f)
: s : ec
Calculs correspondantà la figure D( cos(O + [3))
Angle aupointD= : - OU cos* - O )=sin O
ComposantesdeOM:OB etBM
OB=cos[3
BM=Sin ()
Projection deOMsur l'axeOx -
Projection deOB moins la Projection deBM
Projection deOB =OB cOS O.
=cos[3 cos O
Projection deBM =BM cOS é* - O )
=BMSin O
=sin [3 sin O
Projection deOMsur l'axeOx =cos[3 cos O -sin [3 sin O
cos(C +f3)=cos f3 cos O -sin f3 sin O
7() -- , --
Calculs correspondantà la figure F( sin(o + 3))
angle aupointE=o (côtésperpendiculaires)
ComposantesdeOM:OB etOF
OB=cos[3
OF=BM=sin 3
Projection deOMsur l'axeOY -
Projection deOB plus la Projection deOF
Projection deOB =OE =OB cOS O
=cos[3sin O
Projection deOF =GH=BM cOS O
=BMSin O
=sin 3 cos O
Projection deOMsur l'axeOY =cos[3sin O -sin [3 cos O
sin(O + [3)=cos [3 sin O - sin 3 cos O
: s : 7
CHAPITRE 6
LES INTEGRALES SANS LES DERIVEES
Dans ce chapitre, il n’est pas fait appel à la notion de dérivée...
Retour sur les collections
Un nombre caractéristique est associé à chaque objet d’une collection.
Une intégration consistera à faire la somme de ces nombres caractéristiques
individualisés, les objets étant choisis d’une certaine façon.
Alignement des objets
Les objets de la collection sont alignés sur un segment horizontal [OM], pris
sur l’axe (Ox) du plan (YOx). Le centre de chaque objet se trouve à une toute
petite distance dx du centre de son voisin. Tous les objets sont contigus et ils
occupent la totalité du segment [OM]. A chaque objet est associé un nombre
y, qui est représenté par un segment vertical passant par son centre et partant
de l’axe (Ox). Le nombre caractéristique attribué à chaque objet est défini
comme étant égal au produit y.dx. La valeur de ce produit est représentée par
l’étroite bande verticale ayant une base égale à dx et une hauteur égale à y.
Chaque objet peut être surmonté ainsi d’une bande verticale étroite
représentant par la valeur de sa surface le nombre caractéristique qui lui est
attribué.
Chaque objet est repéré sur le segment [OM] par un nombre x qui est égal à la
distance qui le sépare du point O.
Les nombres y varient d’une façon progressive en passant d’un objet à l’objet
voisin. Supposons que l’on retouche un peu les sommets des petites bandes
verticales jointives de façon à obtenir une courbe continue. On ne modifiera
pas sensiblement la surface de chaque bande, ni la surface totale qu’elles
forment quand on les réunit toutes ensemble.
Limitation du nombre des objets.
On commence à ne considérer que les objets situés sur le segment [Ox].
Comme à chaque x correspond un objet et qu’à chaque objet correspond un y,
on peut écrire y = f(x). Cette fonction de x définit la courbe formée par les
sommets des bandes verticales.
La surface limitée par le segment [Ox], par cette courbe, et par les verticales
passant par les points O et x représente la somme des surfaces y.dx, c’est à
dire la somme des nombres caractéristiques des objets considérés.
72 MATHS A PETITS PAS
On écrit : Valeur de l’intégrale = ⌡⌠0x
f(x) dx.
Appelons I cette valeur. On voit que I dépendra et de la fonction f et des deux
bornes : 0 et x. La première borne 0 peut être remplacée par une autre borne x1
et on écrira alors :
I = ⌡⌠x1x f(x)
dx.
Mais le plus souvent, la première limite sera le point zéro.
La valeur y = f(x) peut représenter une grandeur quleconque :
a - un nombre sans dimension,
b - une longueur,
c – une surface,
d - un prix par unité de longueur, (tissu)
e - une consommation par km, (automobile)
f - etc...
Dans cas b, et celui-là seulement, la surface définissant l’intégrale sera
représentative d’une vraie surface puisque f(x) est multipliée par une longueur
dx.
Dans les autres cas, il faudra considérer que c’est le nombre d’unités de
surface contenues dans la surface réelle limitée par la courbe d’équation y =
f(x) qui est égale aux nombres d’unités exprimées par la valeur de l’intégrale.
Les unités mesurant le résultat des intégrales ci-dessus seront respectivement
des unités :
a - de longueur,
b - de surface,(on l’a vu)
c - de volume,
d - de prix,
e - de consommation,
f - etc.
... et, de manière générale, dx peut représenter toute autre chose que la longueur
d’un très petit segment, mais nous restons pour l’instant dans cette situation.
Résolution des intégrales
On dit qu’une intégrale est résolue quand on peut donner la valeur en fonction
de la variable x de l’expression.
⌡⌠0xf(x) dx.
Dans ce chapitre, quelques exemples où la valeur de l’intégrale a déjà été
déterminée par ailleurs d’une façon directe.
MATHS A PETITS PAS 73
Exemples
Plusieurs objets géométriques peuvent être décomposés en petits éléments
partiels dépendant d’une variable x et multipliés par une petite valeur dx.
Par exemple, un triangle dont la base est égale à la hauteur peut être
décomposé en petites bandes parallèles à la base ayant chacune une surface
x.dx.La surface totale du triangle pourra être exprimée par la somme ⌡⌠0x
x dx
Le volume d’une pyramide ayant pour base horizontale un carré de coté x et
une hauteur également égale à x peut être décomposé en petits éléments carrés
de côté x variable et de hauteur dx, la surface de chaque élément étant égale à
x² et le volume à x²dx.
Le volume total de la pyramide, dans ces conditions, est égal à la somme
⌡⌠x x² dx.
0
Or on connaît la surface du triangle du début de ce paragraphe et le volume de
la pyramide que nous venons de considérer.
74 MATHS A PETITS PAS
Conne dx est trèspetit,
la plaquette apour :
surface S= x*
volume V= x*dx
- -
3
Pyramide de Volume V= | x*dx=
()
2 3
Letriangle a, comme surface, * et lapyramide apourvolume * (voir le
chapitre cubes etpyramides).Onpeut alors écrire les résultats :2 3
| x de - et | de -
Le cercle
De la mêmefaçon,la constructiongéométrique donnéesur la figure ci-après
montre que l'on a | " sin oz doz= 1- cos oz
()
AA -
y -- -
--
-:
- dC | sign C. , dC , yinC.
()
*S, &/ -- -| si,2C dC
- t)
- , S /
si,C. "
* c, T,
-- – - C3
- : 2 *
| |A v7 ; -
(Q| | | r «-- 1 Y
| | | | | -
l - cosC.
| | | | |
- un C » bre TSij * éSf lij j 0 j'g dx= dC , cosf--C
- d* est une longueur (5 )
- dx est une longueur dx= dC , sinC(.
- | sn c *-| a - t - cos *- f) 1
- (1- cos ** est une longueur)
- -
: s : s
C’est encore un cas de résolution directe d’intégrale. Ce résultat sera utilisé
pour le calcul de la surface d’une sphère.
On le vérifie en comparant une surface prise sur le cercle de rayon 1 avec une
surface prise sur la courbe y = sin α. Sur la figure apparaît une surface égale à
⌡⎮⌠0αsin² α dα. On n’a pas , pour elle de valeur directe, mais on peut la vérifier
en la comparant à la surface correspondante prise sur la courbe y = sin²α.
76 MATHS A PETITS PAS
Courbes y = f(x) et Y = ⌡⎮⌠ f(x) dx
0
x
On présente souvent ces deux courbes ensemble dans le même système
d’axes.
Reprenons l’exemple de la pyramide, on a y =x² et Y =x33, on vérifie sur la
figure que la surface hachurée limitée par la courbe y contient le même
nombre d’unités de surface que la verticale Y correspondante contient
d’unités de longueur.
Exemple pour une borne x = 2, y = 4,
Y =83 = 2 + 2
3
La surface hachurée contient bien deux petits carrés de côté 1 plus deux tiers d’un.
Comparaison des surfaces.
Pour vérifier l’égalité des surfaces, on peut les mesurer avec un appareil de
précision appelé planimètre, dont le fonctionnement repose sur plusieurs
résultats du calcul intégral.
Mais on peut aussi comparer, sur une balance de laboratoire, le poids de ces
surfaces découpées dans une même feuille de papier.
MATHS A PETITS PAS 77
FigureA
F= 2 x= | 2 de)
*- 4
Mcsurc dc la surfacc dc 2-- 5
y= k
2 Unités
() | 2 3 4 " X
---
2 ... .. Unité--- *.| 5 UnitéS de
surface
| de x)
Figure B
|AA E3
j = | C dC = |
- _ .. | | 3 1 24 | )
- C =--- x -=- x-=-
- Pour HEH-
-
y=sin C
le carréABDCapour surface 1j
1 - F
Pour *=* : sin * d =t)
1 * | sin c d = 1 - cos :32 ( )
() C (.
73 -- , --
FigureC
1 - cos C.
T 3 1 E
Pour 6 ' 24 8
y=sin C
le carréABDCapour surface l
t | * 1
Pour * = * : «sin * d*- ;1 f)
8
- -
() ( T) |
|AA B
Les deux surfaces ont méne aire
le carréABDC apour surface l | * sin c d = 1
E f)
y= sin C*
| -- ' --
CHAPITRE 7
ANALYSE COMBINATOIRE
Permutation
Soient n objets alignés sur une planche d’étagère. Nous voulons les déplacer
sur une autre planche et les aligner également mais en les rangeant dans un
ordre différent. Cette opération a pour nom « permutation ».
Combien peut-on réaliser de permutations différentes ? Le but de l'étude, des.
permutations est la détermination de ce nombre de possibilités différentes.
Pour effectuer le déplacement des objets d'une planche sur l'autre, on peut agir
de la façon suivante...
On choisit au hasard un premier objet sur la première planche et on le dépose
sur la deuxième planche de l'étagère, où il sera le premier objet du nouvel
alignement.
Il y a n façons d'opérer le choix de ce premier objet.
On choisit au hasard un deuxième parmi les objets restés sur la planche, et on
le met sur la deuxième planche, en deuxième position dans le nouvel
alignement. Il y a n-1 façons d’opérer ce deuxième choix.
On opère de la même façon, en choisissant toujours au hasard, et quand on a à
déplacer l'objet numéro p du premier alignement, il y a toujours n-p
possibilités de choix.
On voit qu'à la fin de l'opération il y aura eu en tout n (n-1) ( n-2) … 2.1
possibilités de choix.
La quantité : n (n-1) (n-2) … 2.1 s’appelle « factorielle n » et s’écrit n!
Arrangements
Cette fois-ci on ne déplace pas l’ensemble des objets de la première planche,
mais seulement un nombre p de ces objets. On crée ainsi un deuxième
alignement limité à p objets. Comme les choix se font de la même façon que
ci-dessus, on aura toujours n possibilités pour le premier choix qui donne le
premier objet du nouveau groupement, ( n – 1) pour le choix du deuxième
objet et (n – (p-1)) pour le choix du dernier objet du groupe de p. L'ensemble
des possibilités, de choix sera donc égal au produit n(n - 1)(n – 2)…(n – (p-1))
Le nombre des arrangements possibles de n objets pris p à p est donc égal à
l'expression ci-dessus.
Remarquons que ce nombre est égal au produit de tous les entiers de 1 à n,
dont on aurait retiré tous les termes de 1 à (n-p) :
n !n (n - 1)(n – 2)…(n – (p-1)) =
(n-p)!
80 MATHS A PETITS PAS
Combinaisons
Remarquons que parmi tous les arrangements possibles, il y en a d'une
catégorie particulière, ceux qui contiennent les mêmes objets, simplement
rangés dans un ordre différent. Dans un groupe de p objets, il y a p! façons de
ranger les objets les uns par rapport aux autres. Le nombre de ces
arrangements particuliers sera donc égal au nombre des arrangements
ordinaires divisé par p!
On appelle « combinaisons » ces rangements p objets parmi n, où on
considère comme équivalents les groupes constitués par p objets, quel que
soit l'ordre où ils sont rangés. On notera le résultat : C(n,p) et il vaut :
n (n - 1)(n – 2)…(n – (p-1))p! = n !
p !(n-p)!
(a+b)n avec n plus grand que 3
Nous avons déjà utilisé
( a + b)² = a² + 2ab + b² et
( a + b )3 = a3 + 3 a²b + 3ab² + b3
Nous allons déterminer le mode opératoire permettant de calculer ( a + b)n
dans tous les cas.
Développement de (a+b)5
On a à multiplier cinq parenthèses :
( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )
Le terme en a5 est fourni par la multiplication des a pris dans les cinq
parenthèses. Il n’y a qu'un seul choix possible. On aura 1 fois a5.
Chaque terme en a4 sera obtenu en choisissant au hasard quatre parenthèses
sans tenir compte de l’ordre dans lequel on les prendra. Le coefficient de a4
sera donc égal à 5. On aura 5 a4.
Le terme en a3 sera obtenu en prenant chaque fois au hasard trois parenthèses
dans le groupe de 5, ceci sans tenir compte de l'ordre dans lequel on les
prendra. Le coefficient de a3 sera donc égal au nombre de combinaisons de 5
objets pris 3 à 3 : c’est à dire à C(5,3) = 5.4.33.2.1= 10.
Pour des raisons de symétrie, un coefficient de a2 sera également égal à 10. le
coefficient de a étant égal à 5. Les coefficients des b sont évidemment déduits
de ceux des a pour donner des produits du 5° degré.
Finalement on a
( a + b )5= a5 + 5a4b + 10 a3b² + 10a²b3 + 5ab4 + b5
MATHS A PETITS PAS 81
Vérification
Vérifions que dans le calcul des coefficients de l'exemple ci-dessus, les
coefficients, que nous connaissons par ailleurs, correspondent bien à ce que
donnent lescombinaisonsindiquées.
5.4.3.2.l
5432 1
5.4.3.2
= 5
= 1()
Coefficientde a* : C(55)= |
Coefficientde a" : C(54)=
:Coefficientde a* :C(53)=
*
1
.1
= S
Coefficientde a* :C(52)=-= 10
Coefficientde a : C(5,1)=
Exemple
(3+2)*=5*=3125
( a+b) =a +5ab+ 10a'b + 10ab +5ab"+b*
a=3 : b=2
a°=243
(3+2)* =3*+53"2+10 3*2 +10322 +532 +2
=243+5 81 2+ 1() 27 4+ 1() 9 8+53 16+32
=243 -- 81()-- 1()80--720 --240+ 32=3125
on retrouve bien (3+2)*=3125
3 -- , --
CHAPITRE 8
DERIVEES PLUS INTEGRALES
La tangente en trigonométrie
On donne comme définition le rapport du sinus au cosinus.
sin a
cos a
Dans le cas d’un triangle OMB de coté OB = 1 et d’angle en O = a, [OB]
étant horizontal et [BM] vertical, la tangente est représentée par MB.
a
O MB
Deux quantités infiniment petites, divisées l’une par l’autre peuvent
parfaitement donner un résultat de division non nul.
On écrit : tg a =
Notion de dérivée
Premier exemple. Prenons une sécante sur une courbe tracée dans, le plan
(YOx). Appelons dx la projection de cette sécante sur l'axe (Ox) , et dy cette
projection sur l'axe (OY) . Si dx et dy sont des grandeurs ordinaires, non
infiniment petites, le rapport dydx sera une grandeur ordinaire. Supposons
maintenant que les deux points qui déterminent la sécante sur la courbe se
rapprochent infiniment de façon à transformer la sécante en tangente. Les
deux quantités dy et dx deviendront infiniment petites, mais leur rapport
restera parfaitement défini. Ce sera la tangente trigonométrique de l’angle a
que la tangente géométrique fait avec l'horizontale. Ce sera la dérivée de la
courbe d’équation y = f(x) au point de contact. On écrira
y’=f’(x)= dy
dx
Deuxième exemple.
Soit S la surface limitée par une courbe d’équation y = f(x), par l’axe (Ox) et
par une verticale (AM) partant de l’axe (Ox) d’un point A d’abscisse x.
On aura AM = f ( x ) . Déplaçons légèrement la verticale (AM) d'une petite
quantité dx
On crée une petite bande verticale de hauteur AM et de largeur dx. La surface
de cette bande est AM.dx = y dx.= dS.
Cette bande verticale empiète sur la surface S. La surface restante de S après
le déplacement de la verticale (AM) sera S – dS. On dira que S a varié de dS.
MATHS A PETITS PAS 83
Si on divise la surface de la petite bande verticale par dx, on aura un résultat
de division égal à AM ( à très peu de chose près ). Si dx devient infiniment
petit, le résultat de la division sera toujours égal à AM.
AM sera la dérivée dSdx . Rappelons que dans l'exemple précédent, la dérivée
de f pouvait également être représentée par un segment, le segment limité sur
une verticale passant à une longueur unité du point de contact par son
intersection avec la tangente au point de contact, et l'horizontale issue de ce
point de contact.
Nous avons représenté surune
figure une courbe d’équation y = x² et une
x3autre courbe d’équation y = 3 qui est l’intégrale de la première, c’est à dire
qui représente la surface S.
On vérifie sur la figure que les segments représentatifs de la même dérivée
sont bien égaux.
Par ailleurs, sur la même figure, se trouve représentée une deuxième surface
xégale à la surface S = ⌡⌠0 f(x) dx.
C'est un rectangle dont le petit côté est l’unité de longueur et le grand côté est
égal à l’intégrale ⌡⌠0xf(x) dx.
84 MATHS A PETITS PAS
Dérivée d'une fonction composée
Soit y=f(u) et u =g(x)
-- e -On cherche la dérivéef(x)= dix
dy dy du
Or on a*- : *
On multiplie la dérivée defpar rapport à upar la dérivée degpar rapport à x.
Dérivée Successives
Onpeut dériverune dérivée.On obtientalorsune dérivée seconde.
On peut dériverun certain nombre defois et obtenir ainsi des dérivées d'ordre
n notéesf"()
Quand il s'agit depuissances de x,à chaque dérivation, le degré diminue d'un
point.On arrivevite àune constante,puis à unzéro.
Exemple
Sur la feuille de calcul ci-après, on trouve les dérivées successives de
y=(3+ 2x)*
On peut penser que cette expression peut être représentée par un
développement :
A + Bx+ Cx + Dx
Les coefficientsA,B,C,etDpeuvent être obtenus en appliquant laformule :
(a+b)*= a +3ab+ 3ab*+ b*
Maisilspeuvent aussi être déterminésparune méthode basée sur l'emploi des
dérivées successives.
On voit sur la feuille de calcul que les deux méthodes fournissent bien les
mêmes coefficients.
Méthodebasée sur l'emploi des Application de laformule :
dérivées successives :
f)=A + Bx+Cx + Dx3 ( a+b) =a +3ab+3ab*+b
=(3+2x)* avec a=3 et b=2x
f()=B+ 2Cx+3Dx
=6(3+ 2x)*
f*()=2C+ 6Dx
=24(3+ 2x)
f* )= 6D
=48
6D=48 D=8
2C=24.3=72 | C=3
B= 6 3 =54 Ti B=5
A=3*=27 A= 27 SOif
f()=
27+ 39.2x+33(2x)*+ (2x)*
f)=27+ 54x+ 36x*+ 8x f)=27+ 54x+36x + 8x
: s : s
X j
j = | 2 dx= 2x
()
* 2 dx = 2x )-2 = 2 - = - I.3 |
r - s - r f - l ; dl
dérivée de I = OUI -
X7- X ; dx
r - r 2 ( -x r - r di 2dxdérivée de l = 2 ( xl = 2 ou dérivée de I = --=- 2
X7- X ; dx dx
35 -- , --
INTRODUCTION AUX DERNIERS CHAPITRES
Les 8 premiers chapitres ont surtout servi à nous fournir des « Outils de travail »
(Propriété des nombres, Intégration et dérivation). Nous allons les utiliser pour
entreprendre un passionnant voyage d’exploration dans l'immense et mystérieux
domaine peuplé par les Objets Mathématiques. Nous allons visiter plusieurs de ces
sites choisis arbitrairement, sites qui abritent chacun des Objets Mathématiques
possédant des propriétés remarquables. Ces objets doivent naturellement provoquer
de l'admiration pour les mathématiciens d'autrefois auteurs de leur découverte, et
aussi de l’étonnement. Comment ceci peut-il exister ?On la chance, chaque fois de
pouvoir présenter des explications logiques permettant de comprendre leur
existence et leur fonctionnement .
Le premier site abordé (chapitre 9) sera celui qui abrite le fait, a priori
extraordinaire, que n'importe quelle fonction peut, au voisinage d’un point, être
développée en une suite infinie de puissances de x, divisées chacune par un nombre
n! qui augmente jusqu'à l'infini, et multipliée chacune aussi par un coefficient
approprié. Les termes successifs deviennent de plus en plus petits et peuvent ainsi
être rapidement négligés.
Le deuxième site (chapitre 10) contient une application du précédent. Il montre un
moyen pratique de calculer tous les cosinus et tous les sinus.
Le troisième site (chapitre 11) laisse découvrir une fonction E(x) qui est un véritable
phénomène. Cette fonction possède 3 propriétés tout à fait remarquables qui seront
considérées tour à tour.
Le site suivant (chapitre 12) contient la plus belle découverte qui couronne notre
exploration. Il montre une spirale composée de segments de plus en plus petits, en
nombre infini, qui finit par s’enrouler autour d’un point du plan (YOx). Ce point du
plan est indiqué par ailleurs par un vecteur partant du point origine 0 et déterminé
par sa longueur et par l’angle qu’il fait avec l'axe (Ox).
Nous montrons un exemple sur une grande feuille. La spirale est tracée en bleu et le
vecteur en rouge. On voit comment ils vont à la rencontre l’un de l’autre. On donne
la formule qui est à l’origine de ce tracé et on donne les calculs qui expliquent le
secret de ce qui se passe.
MATHS A PETITS PAS 87
CHAPITRE 9
FORMULE DE TAYLOR
Sur ce premier site rencontré dans notre exploration, nous allons faire une
découverte plus que surprenante… et qu’il nous faudra interpréter avec soin.
Nous allons commencer par un petit problème qui est résolu à tout instant par les
calculatrices graphiques ou par les outils de représentation de données utilisés dans
les tableurs comme Excel, le problème du « lissage » : comment représenter
graphiquement une fonction dont on ne connaît que quelques points ?
Soit une fonction F dont le tracé nous est inconnu entre les points correspondant
aux abscisses a et b. La fonction F existe, mais nous ignorons son « expression
analytique », c’est à dire la relation entre x et F(x), notamment lorsque x est compris
entre a et b, ce qui nous empêche par exemple de tracer une représentation « vraie »
de la fonction.
Par contre, nous connaissons quand même la valeur de F pour quelques points
(appelons k leur nombre) sur ce tronçon.
Cherchons à remplacer la partie [a ; b] de ce tracé par une fonction algébrique
simple de la forme :
f(x) =f(a) + A1(x - a)+ A2(x – a )2+ … + Ak(x – a)k
dans laquelle on va déterminer les k coefficients A1, A2 ... , Am, ... Ak. de manière à
ce qu’il y ait égalité vraie en k points différents. Ainsi, cette nouvelle expression
donne un tracé passant par k points différents et connus, pris sur le tronçon. Ce
nouveau tracé ne coïncide pas, en dehors des k points donnés avec le tracé réel de F,
mais si le nombre des points k est grand, il pourra y avoir une coïncidence
acceptable.
Exprimer la fonction algébrique telle que y = f (x) nécessite de connaître les
coefficients Am.
Pour chacun des k points connus, x et f(x) deviennent, dans la relation précédente,
de simples valeurs numériques, comme le sont a et f(a) . De même, les termes : (x
a), (x-a)², etc., sont à leur tour de simples valeurs numériques multipliant A1, A2, etc.
avec des valeurs différentes.
En appliquant la relation précédente à chaque point connu de l’intervalle [a ; b],
nous obtenons donc k équations différentes, dans lesquelles apparaissent partout A1,
A2, …Am, Ak , avec des facteurs multiplicatifs différents.
Un tel système comportant autant d’équations qu’il y a d’inconnues donne en
général une solution, c’est-à-dire un ensemble de valeurs A1,…, Ak.
88 MATHS A PETITS PAS
Courbe d'équationy= F(x) et courbe d'équation y=fx)
passantpar3points de la courbe d'équation y = F(x)
A
V
= FT» * -- ' (x)
à d—- A1(x3- a) +A2Cxs- a)*+As(x -a)'
/ E A1(x2- a) +A (x - a) +As(x -a)'
( A(x - a)+A(x -a) +As(x - a)'
F(a)
F(0)-
() a JX | Xo JX3 b *
Fx )=Fa)+A(x -a)+A (x - a) +As(x - a)'
F(x )=F(a)+ A (x -a) +Ax - a) +As(x - a)'
Fx)=F(a)+ A(x,-a)+A(x,- a) +As(x - a)'
Inconnues : les 3A
Connues : les (x,-a)" et lesF(x)
Sanstrop entrer dans le détail, nous allons voir comment on peut résoudre ce
système avec des outils modernes, quiutilisent des méthodesvieilles de trois
siècles, et à quel point on obtient rapidement une coïncidence satisfaisante
entre la fonction approchée f obtenue par cette méthode et la fonction
«vraie»F,au moins dans le domaine considéré.
Mais nous allons employer aussi une autre méthode pour trouver les
coefficients A, recherchés, méthode basée sur les dérivées successives
multiples. Mieux, nous allonstout simplement considérer que le nombre k de
points est infini ! Autrement dit, cette fois, la fonction f représente
véritablementF...
POSOnS :
F()=F(a)+ A(x- a) +A(x- a)* ... +A,(x- a)"+
A,(x- a)" A, (x- a)" ". + A(x- a)* + .
jusqu'à l'infini.
Et dérivonsmfois de suite des deuxcôtés du signe«=».On désigne par F"
la dérivée de rangm.
F"(x)= 0+ 0+ 0+ ... + mlA,+(m + 1)A, (x- a)+ ... + (k)(k-1)(k
2). (k-m).(-a)*"
Lestermessitués avant leterme de degré m sont nuls,à cause du nombre de
dérivations qui dépasse le degré. Leterme de degré m est conservé. Il ne
dépend plus de x. Lestermessuivants dépendent encore dex
: s : gc
Pour les éliminer, il faut faire x = a. Il reste alors :F(m)(a) = m! Am ce qui donne : Am= F(m)(a)
m!
On a ainsi toute la suite cherchée :
F(x) = F(a) + F’(a)(x - a) + F(2)(a)
(x–a
)22 + F(3)(a) ( x – a )3
3!
+ … + F(n)(a)
(x– a
)n
n!
Cette équation extraordinaire, établie par le mathématicien anglais Brook
Taylor (1685-1731) à ne pas confondre avec le célèbre américain créateur au20ème siècle de « l’organisation scientifique du travail» (... du travail à la
chaîne), donne le « développement » d’une fonction F au-delà d’un point,
d’abscisse a, où la fonction est encore connue.
Arrêtons-nous sur ce qu’elle nous dit : pour connaître la valeur d’une fonction
en une abscisse x différente de a, il suffit de connaître pour l’abscisse a la
valeur de la fonction et de toutes ses dérivées successives.
Ainsi donc, la connaissance d’un grand nombre de paramètres, relatifs à
l’abscisse a, suffit à complètement déterminer « l’avenir » de la fonction F
quand on s’écarte de a. Nous avions le tracé exact de F jusqu’au point
d’abscisse a, et grâce à Taylor, nous pouvons le prolonger au-delà de a.
Vue sous cet angle, la formule de Taylor nous incite à croire que l’avenir est
totalement inscrit dans le passé ! Plutôt surprenant, cet implacable
déterminisme…
En fait, utiliser la formule de Taylor pour déterminer l’avenir de la fonction
(au delà de a) suppose qu’on connaît déjà… l’avenir de la fonction !
Simplement, celui-ci est exprimé sous une autre forme, masquée : par les
dérivées.
En effet, la dérivée première F’(a) nous dit comment la fonction F varie,
linéairement, autour de a : elle nous indique comment nous pourrions
prolonger la courbe représentative de F, par un tronçon rectiligne tangent à la
courbe représentative au point d’abscisse a. Bien-entendu, le tracé ainsi
prolongé devient manifestement faux quand on s’écarte sensiblement de a. La
dérivée seconde F(2) est là pour corriger, en indiquant comment la dérivée
première elle-même varie au-delà de a, quand on s’écarte assez pour ne plus
tolérer l’approximation par la tangente. Et ainsi de suite, la dérivée d’ordre
trois indiquant comment varie à son tour la dérivée seconde.
Chacune de ces dérivées correspond à une vision de plus en plus large, et sa
valeur en a ne peut être connue avec une précision satisfaisante qu’à la seule
90 MATHS A PETITS PAS
condition d’avoir une vision de la fonction F sur des horizons d’autant plus
larges autour de a que l’ordre de la dérivée est important.
Il n’y a donc pas d’avenir dicté par le passé : il y a une fonction F qui peut se
calculer à l’abscisse x :
soit par sa forme analytique, si on connaît l’expression F(x),
soit par son prolongement à partir d’une abscisse a, à condition de connaître
en a une infinité de données (les dérivées successives) qui « condensent » en
ce point toute l’information sur l’avenir (et le passé) de la fonction.
Et si maintenant on fait a = 0, on obtient le développement :
F(x)=
F(0)+
F’(0)(x)+
F(2)(0)x22+ F(3)(0) x33!
+ … +F(n)(0)
xn
n!
La fonction F peut donc en particulier s’exprimer comme un simple
polynôme en x : le coefficient numérique multipliant le terme xn est égal à la
valeur à l’origine de la dérivée d’ordre n, divisée par factorielle n (n !).
En général, le développement reste limité, en nombre de termes parce que les
dérivées d’ordre n s’annulent au-delà d’une certaine valeur de n.
Vérifions sur un exemple :
F(x) = 5x3 + 4x2 – 3x + 7
F1(x) = 15x2 + 8x – 3
F2(x) = 30x + 8
F3(x) = 30
F4(x) = 0 et Fn(x) = 0 pour tout n supérieur à 3 .
Pour x = 0, F(0) = 7,
et ses dérivées valent respectivement : -3, 8,30, 0
Donc :
F(x) = (7) + x.(-3) + x2. (8)2!+ x3. 303! + x4. (0)
4!= 5x3 + 4x2 – 3x + 7
On retombe donc exactement sur l’expression analytique de F(x) lorsqu’on la
reconstitue à l’aide de la formule de Taylor.
Mais que se passe-t-il quand les dérivées successives ne s’annulent jamais ?
C’est là que nous allons franchir les plus beaux de nos « petits pas »…
MATHS A PETITS PAS 91
On supposetracée la courbe d'équation y = F() entre les points a et b. Ceci,
c'estpour montrer qu'on peut admettre l'existence des coefficientsA ,A , A3,
.A
Une fois qu'on a montré leur existence, onpeut les calculer d'une autre façon
en utilisant les dérivéessuccessivesaupointde coordonnées(a F(a)).
On n'aplusbesoin alors dutronçon de la courbe d'équation y= F(x) entre les
points a et b, car F(x)peut alors être remplacée parf(x)« npoints ».
La courbe d'équation y =f()«troispoints» a étéprésentée uniquementpour
servir d'exemple simple.
Sur la courbe d'équation y= F(x) ci-dessous, onprélève troispoints
d'abscisses x ; x ; x3et d'ordonnées respectives F(x ) , F(x ) : F(x,). La
connaissance de ces coordonnées nouspermettra de déterminer les
coefficientsA , A3 ;A3qui vontservir à construire la courbe d'équation y=
f(x) *3 points'passant par lestrois pointsprélevés.
f() 3 points =f(a)+ A(x-a)+A(x- a)*-As(x- a)*
Pour lestroispoints considérés, on a donc :
f( )= f(a) + A(x -a) +A(x - a) +As(x - a)*
f(x)=f(a) + A(x -a) +A(x - a) +As(x - a)*
f(x,) =f(a) + A(xs-a) A(xs- a ) +As(xs - a)*
ce quipeuts'écrire :
f( )-f(a)= A(x - a) +A(x - a) +As(x - a )
f(x)-f(a)= A(x - a) A(x - a) +As(x - a )
f(x3)-f(a) = A (x3-a)+A (x3- a)*+ A3(x3- a)*
2VCC a =2f(a)=4
x = 3 f(x )= 6 (x - a)= 1
x =4 f(x )= 12 (x - a)= 2
x3= 5 f(x,)= 24 (x3- a)= 3
2=A ( 1)+A(1 ) + As( 1 ) 2 = A , .. 1 --A ,. 1 --A3.. 1
8= A(2) +A(2)* As(2)* <=>|8=A .2 +A,.4 As. 8 .
20= A,(3)+A(3) +As(3 )* 20= A) . 3 +A,. 9+As. 27
A,-#3
<=>J A ,= 1
4 #
e) -- , --
F(x,)24
22
20
18
16
14 1
" ,
10 |
8
F(x,) 6 : y=fx)
*3 points*
F(a) 4 -
2
(l X X X
O 05 1 1 5 2 25 3 35 4 4 5 5
Ala construction de la courbe d'équation y=f(x) *3points , on ajoute les
points x, ; x5 , x d'abscisses 2,5 : 3,5 : 4,5 et d'ordonnées respectives :f(2,5)
;f(35);f(45)
f(x) =f(a) + A(x,- a) A(x - a) + As(x,- a)*
f( ) =f(a) + A(xs- a) A(xs- a) + As(xs- a)
f( ) =f(a) + A(x - a) +A (x - a) + As(x - a )'
2VCC Cl = 2 f(a) =4
x 4 = 2,5 f(x ) = 133 (x - d) = 0,5 A, *
JX5 = 3,5 f(x ) =9,5 (x5- a) = 1,5 A = 1
x = 4,5 f(x,) = 18 (x - d) = 2,5 4 *
Onpeut donc calculer :
f(25)=4+ # 05 + 1 (05)*+ # 05 - 4 *
f45 -4 # 25 - 125 25 - 17:
On cherche lestangentesaux3points connus d'abscisses x , x2 et x3
f()= A +2 .A(x- a)+ 3.As(x- a)
--
f’(x1)= A1 + 2 . A2(x1 – a )+ 3.A3(x1 – a)2
f’(x2)= A1 + 2 . A2(x2 – a )+ 3 . A3(x2 – a )2
f’(x3)= A1 + 2 . A2(x3 – a )+ 3 . A3(x3 – a)2
avec a = 2 f(a) = 4
x1 = 3 (x1 – a) = 1
A1=23
x2 = 4 (x2 – a) = 2 A2= 1
x3 = 5 (x3 – a) = 3A3= 13
f’(x1
)= 23 + 2 .1(1 )+
3 . 13(1)2 = 3 2
3
f’(x2)= 23 + 2 .1( 2)+
3 .13(2)2 = 8 2
3
f’(x3)= 23 + 2 .1(3 )+
3 .1
3
( 3)2
=15
23
24.00
22.00
20.00
18.00
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
94 MATHS A PETITS PAS
CHAPITRE I()
DEVELOPPEMENTLIMITES
Noustrouvons sur ce siteune belle application du chapitre précédent.
Onytrouve le développement en série dusinus et du cosinus.
On est favorisé avec ces deux expressions car les dérivées successives sont
toujours,en alternance, des cosinus et des sinus, et aussipar le fait que l'on a
toujours sin 0égale 0etcos0égale 1 .
Les développements obtenus ont donc toujours des numérateurs ou bien nuls
oubien égauxà+1 et à-1 .. Ce chapitre esttrès court maistrèsimportant.
Cosinus
y no ro * / o / o : o2 3 J1
cos(x)= 1 + x cos (0) + * coso – * coso -- cos"o
2 3
prenons n = 6 : cosy - 1 - x coso - coso - cos"o
4 5 6
JX JX JX
T7 cos"(0) FT cos"(0) Z7 cos"(0)
coso 1 : emo : ecoso no # coso #e
sinO * ( cosO2 4 6
JX JX JX
Donc . cos(x)= 1 - 7 IT - 77
r • • fT
Vérifionspourunevaleur connue, x = I *
é * # * # *cosé - 1 --------- 1-- + --
Le résultat arrondià l'ordre4 estbien le même :
2 4 6
JX JX JX
JX cos(x) l - 24 720
- () 785398 / 6 () 707I()678 () 707I()32 / 5
: s : cs
Sinus
y no ro * o * o * o
sin(x)=0+ xsin'(0) + * sno – *no -- *mo
prenons n = 6
2 3 4 5 6
sin(x)= x sin'(0) + sino – sino sn"o sino *
sin"(0)
- x* . x* x" , x* x°
sin(x) = x (cos(0))+ E (-sin(0)) + * (-cosO IT (sin(0)) 5T (cos(0)) Z7
(-sin(0))
3 5
JX JX
sin(x) = x- ET ET
vérifionspourunevaleur connue, x= 4 *
TU\3 /TU5
,, 1 ' 'sin() - --- T5
à l'aide d'une calculatrice ou d'untableur, on a :
3 5
JX JX
JX Sin(x JY -----(x) 6 / 2()
- 078539816 0 70710678 070714305
Le résultat arrondià l'ordre4 estbien le même
-- , --
CHAPITRE 11
LA FONCTION EXPONENTIELLE
Nous avons annoncé que sur ce site on découvrirait un véritable phénomène.
C’est la fonction :
Exp(x) = 1 + x + x22 + x3
3! + … +
xn
n!
1
Nous verrons successivement trois propriétés remarquables.
Rappelons le sens de l’expression n ! (factorielle n)
n ! = n(n-1)(n-2)(n-3)…….3.2.1.Pour n infini, n! devient gigantesque et les termes successifs xn
n! deviennent
négligeables ainsi que les suites qu’ils peuvent former.Les numérateurs xn peuvent être soit des nombres ordinaires, soit des nombres
complexes.
Rappel sur la multiplication de deux nombres complexes :
On ajoute les angles et on multiplie les longueurs...
1 L’introduction de l’exponentielle à partir de son développement semble originale et bien
intéressante...
X
Y
OO
a
A
b
B
B’
b’
MATHS A PETITS PAS 97
Première propriété : Dérivée de Exp(x) = Exp(x)
Cette première propriété n’a rien d'extraordinaire.
Elle résulte directement de la façon dont Exp(x) est constituée.
Exp(x) = 1 + x + + + … +
xnx3x2
2 3! n!x2 x3 x(n-1)
Exp’(x) = 0 + 1 + x + 2 + 3! + … +(n-1)!
Les termes sont simplement décalés d'un cran. Et Les termes correspondant à
n infini étant négligeables, on peut conclure que la dérivée en un point x est
bien égale à la valeur de la fonction pour ce même x.
Si on trace la courbe représentative de Exp(x), appelée « exponentielle », on
trace la dérivée au point d’abscisse x en menant de ce point une horizontale de
longueur 1, et à partir de l’extrémité de cette horizontale, une verticale de
longueur égale à l’ordonnée du point x considéré. On joint l’extrémité de cette
verticale au point d’abscisse x, et on a la tangente à la courbe en ce point.
7 y =E(x)
Exponentielle
8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
E(1)
1
Deuxième propriété : Exp(a).Exp(b) = Exp(a+b)
On représente les trois expressions E par un développement :Exp(a)
= 1 + a + a22+ a3
3!+ … +
an
n!
Exp(b)= 1 + b + b22+ b33!+ … +
bn
n!
0
1
2
3
4
5
6
98 MATHS A PETITS PAS
Exp(a+b) = 1 + a+b + (a+b)2
2
+ (a+b)3
3!+ … +
(a+b)n
n!
Soient
A = (1 + a + a2
2 +
a3
3! + … +
ann!)( 1 + b + b22 + b33! + … +
bn
n!)
et B = (1 +a+b
+(a+b)22 + (a+b)33! + … +
(a+b)nn!
)
Il faut montrer que A = B, terme à terme.
Sur la figure jointe, on a pris n = 4 et 2n = 8. Il faut se représenter la même
figure avec n et 2 n beaucoup plus grands, tendant vers l'infini.
Sur la figure, les termes représentés par la produit A .B sont contenus dans le
carré ABCD.
Nous allons montrer plus loin que pour n suffisamment grand, tous les termes
situés sous la diagonale BD sont négligeables.
Appelons A' l'ensemble des termes contenus dans le triangle ABD situé au
dessus de la diagonale BD.
On aura à montrer l’égalité terme à terme, au dessus de la diagonale BD du
produit
termes de A’
(1 + a + a22 + a3
3! + … +
an
n!
)(1 + b + b22 + b33! + … +
bn
n!)
=(1+a+b
+(a+b)22 + (a+b)33! + … +
(a+b)nn!
)
Rappelons comment on obtient le développement de ( a + b )n
On considère les n parenthèses
( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )….. ( a + b )
On cherche le nombre p de façons de prélever p parenthèses afin d’obtenir un
terme en bp. On trouve n(n-1)(n-2)…(n-p) mais comme dans ce nombre
figurent les p permutations possibles que nous ne devons pas retenir, car
l’ordre des p parenthèses est indifférent, il faut diviser
n(n-1)(n-2)…(n-p+1) par p!. (n)(n-1) ….(n-p+1)
Résultat, le coefficient de an-pbp est p!
On peut multiplier en haut et en bas par (n-p) ! et on obtient le coefficient
n!plus commode actuellement pour nous, (n-p)!p!
MATHS A PETITS PAS 99
( a + b)n
La suite B étant constituée par l’addition de termes n ! , on voit que
dans cette suite, le coefficient multipliant le terme an-pbp sera 1
(n-p) !p !
Appelons degré total d’un terme afbg la somme f+g.
Rangeons les termes de A’ ayant le même degré total n sur une même ligne, et
faisons leur correspondre, sur la même ligne, le terme de B (a+b)n
n! ayant le
même exposant n.
On constate que sur chaque ligne, à chaque terme de A’, il correspond un
terme de B de même valeur.
Remarquons notamment l’égalité, des deux côtés, de l’égalité et1
(n-p) !p !
1
(n-p) !p !
des coefficients du terme an-pbp.
Montrons maintenant que quand n est grand, les termes de A situés au
dessous de la diagonale BD sont négligeables.
Nous remarquons sur la figure que les termes de même degré total sont
alignés sur une oblique parallèle à la diagonale BD.
Poussons l’opération précédente de rangement sur une même ligne des termes(a+b)n
n ! et des termes correspondants de degré total n appartenant à l’ensemble
A.
Allons jusqu’à l’oblique correspondant aux termes de degré total 2n.
Les termes de A compris entre cette oblique et la diagonale BD ont une
somme
(a+b)(n+1) (a+b)(n+2) (a+b)(n+3) (2n)
+ + + …. +
(a+b)
(n+1) ! (n+2) ! (n+3) ! (2n) !=
Cette somme est une queue de développement en série qui peut être
considérée comme étant nulle.
E2n(a+b) - En(a+b)
Le triangle BCD, compris à l’intérieur de cette surface BEFD ne contient
donc que les termes qui peuvent être négligés, ce qui justifie la prise en
considération des seuls termes A’ contenus dans le triangle ABD.
100 MATHS A PETITS PAS
A B E
3 4 5 6 7 8
/ Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl
2
Cl
2 3 | 4 | | 5 | 6 | 7 | 8 |
b ab a’b a’b a'b | a^b a^b a^b >
2 3 | 4 | | 5 | 6 | 7 | A´ 8/
b° ab’ a’b’ a’b’ a’b2 | a’b’ a“b” /^ a^b
2 2 2 2 2 3 / 2,4 ! 2 7 / 2 3 |
b° ab’ a’b’ a’b’ a’b’ b a b°
37 37 373 37 37 3747 3 | 7 | 3 | 8 |
b' ab’ a’b’ a’b’ a’b’ a b a b"
4 | 4 | 4 / 2 4 / 3 ! TAM 45 46 47 48
D b' ab’ a’b’ a’b’A´B C b a b a b a b
5 | 5 | 5 || 2 5/A3 | 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 5 | 7 | 5 | 8 |
b" ab" a b% b" a"b" a b" a "b" a b" a b"
6/ 6 | 3 | 6 | 4 | 6 | 5 | 6 | 6 | 6 | 7 | 6 | 8 |
b' ab^ a^b a^b a^b a^b a^b a^b a^b
7/ 2 7 | 3 | 7 | 4 | 7 | 5 | 7 | 6 | 7 | 7 | 7 | 31
b" ab a b a b a b a b a b a b a b
F 8/ 81 8/2 8/3/ 81.4 | 8 | 5 | 8 | 6 | 8 | 7 | 8 | 81
MA s pe pas 101
A" B
1 1
A + b (ab)
1
* ab - * a-b)*
E - ao - E 2/
a ab ab b a + b)*
3/ 2 2 3/ 3/
4 3 3 1 4 4
d' a'b , a*b* ab , b" (ab)
7 T : " T 7 4 !
p JV] - J]
d" , d'* b (ab)"
n/ (n-p)pl nl nl
1 1
A + b a + b
/
a2+2ab+b2 a2+2ab+ b2
2 2
a*+3ab+3ab*+b* a"+3ab+3ab*+b*
3! 3 !
a"+4a'b+6ab*+4ab +b" a"+4a'b+6ab*+4ab +b"
4! 4 !
j/7 n ! JV1
a -- : a * -- bnn!
10 -- , --
A B
Termesde l'oblique n+1 (ab"*
Termesde l'oblique n+2 (ab"
Termes de l'oblique n+3 (ab"
Termesde l'oblique2n (ab)*
(2n)!
Somme ducôtéA =Somme du côtéB
TermesdeAcompris entre la E,(a+b)- E,(a+b)= 0
diagonale BDet l'oblique EF
Tous cestermespeuventêtre
négligés, enparticulier les
termes contenus dans le
triangle BCD.
Il suffit doncde considérer les
termes dutriangleABD, c.à.d.
lestermesA'.
Vérification
Vérifions que Exp(2) Exp(3)= Exp(5)
Calculons,à l'aide d'un tableur,unevaleur approchée de Exp(1) : Exp(2) ;
Exp(3); Exp(5) ; Exp(2)Exp(3) et E(2)E(3)-E(5) en utilisant le
développement :3 JV1
JX JX JX
Expy - l - x -- * * -- 7 avec n = 16
-- , -- , 10
1 1 1 1 1 1 1
+ x x 1 2 3 4 5
+x22 x2
2 0.5 2 4.5 8 12.5+x33! x3
3! 0.1667 1.3333 4.5 10.667 20.833
+x44! x4
4! 0.0417 0.6667 3.375 10.667 26.042
+x55! x5
5! 0.0083 0.2667 2.025 8.5333 26.042
+x66! x6
6! 0.0014 0.0889 1.0125 5.6889 21.701
+x77! x7
7! 0.0002 0.0254 0.4339 3.2508 15.501
+x88! x8
8! 2E-05 0.0063 0.1627 1.6254 9.6881
+x99! x9
9! 3E-06 0.0014 0.0542 0.7224 5.3823
+
x1010! x10
10! 3E-07 0.0003 0.0163 0.289 2.6911
+x11
11!
x11
11! 3E-08 5E-05 0.0044 0.1051 1.2232
+x1212! x12
12! 2E-09 9E-06 0.0011 0.035 0.5097
+x13
13!
x13
13! 2E-10 1E-06 0.0003 0.0108 0.196
+x1414! x14
14! 1E-11 2E-07 5E-05 0.0031 0.07
+x1515! x15
15! 8E-13 3E-08 1E-05 0.0008 0.0233
+x1616! x16
16! 5E-14 3E-09 2E-06 0.0002 0.0073
= E(x) 2.7183 7.3891 20.086 54.598 148.41
Exp(2).Exp(3) ≈ 148.41 et Exp(2).Exp(3)- Exp(5) ≈ 0.0029
Nous pouvons constater que la différence Exp(2).Exp(3)- Exp(5) est
négligeable.
Le tableur nous donne également une valeur approchée de Exp(1) à l’ordre 4 :
Exp(1) ≈ 2,7183
Cette valeur de Exp(1) sera souvent utile dans la suite.
On désine par e cette valeur particulière : Exp(1) = e ≈ 2,7183 .
x 1 2 3 4 5
104 MATHS A PETITS PAS
Troisième propriété : (Exp(x))a = Exp(ax)
Montrons cette propriété sur un exemple, en utilisant la deuxième propriété :
(Exp(x))3= Exp(x). Exp(x). Exp(x) = (Exp(x). Exp(x)). Exp(x) =
Exp(2x).Exp(x) = Exp(3x)
On a bien : (Exp(x))3= Exp(3x)
Exp(1) est donné par le développement. C’est un nombre e et non plus une
fonction.
e ≈ 2,7183
Il y a stricte équivalence entre Exp(x) et ex, le nombre e porté à la
puissance x, ce qui ouvre, nous le verrons, de nombreuses perspectives.
MATHS A PETITS PAS 105
CHAPITRE 12
FORMULE DE MOIVRE
Nous arrivons sur ce site à une formule d'apparence magique dont la
découverte constitue le but avoué de l'ensemble de notre exploration.
C'est la formule de Moivre : "
[cos(b)+ i. sin(b)]"=[cos(n ×b)+i. sin(n ×b)]
ce qui s'écrit encore(e")"=e"
Moivre estun mathématicien anglais d'origine française. Il est né à Vitry-le
François en 1667. Il est mort à Londres en 1754. Il est assez étonnant de
penser quetout ce que nous avonsprésenté dans ce travail était déjà connu du
temps de LouisXV.
Reprenonsl'expression de l'exponentielle, maisavec le nombre complexe ix
en exposant,au lieu de x.
* , x ( ( ( ( (
e - 1 # ----------- :
x* ix * x" ix ° x °
57-57 T 57-7
lb b b b b b/ 2 / 3/ 4 / 5/ 6
e*= 1 + ix-
e" = I +
Or on avu que :2 4 6
JX JX JX
cosw = l ----*
x* x°
sin(x) = x- ET ET
Donc,si on multiplie sin(x)par i, et qu'on ajoute à cos(x) :
2 4 6 . 3 . 5
- - JX JX JX - IX IX
cos(x) + i sin(x) - l - T-7 - x - TFT
- I – - x x - ix ° x °
- 1 - x - 57-5T 7 FT - 7
- e*
C'est la formule d'Euler : e*= cos(x)+ i sin(x) xen radians
" Il est probable que Pierrevoulait surtout mettre en avant l'extraordinaire formule d'Euler,
dont celle de Moivre estune conséquence
10 -- , --
Dans ce dernier voyage, nous allons montrer deux chemins parvenant aumême résultat : atteindre un nombre ez dans le plan complexe :
- par la voie directe
- par la voie du développement de l’exponentielle en série de Taylor.
On prend donc : ez avec z = a + bi
ea+bi= ea. ebi= ea. (cos b + i sin b)
avec par exemple a = 2 et b = π/4 :
z=2+ π4 i
• Voie directe :
ea= e(2) ≈ 7.3891
ebi = cos b + i sin b = cos π + i sin π
4 4
ez = nombre complexe tel que ρ ≈ 7,3891 et θ = π
4
Par la suite, on prendra 2,5 cm pour une unité. Le nombre complexe ez sera
donc représenté par un vecteur incliné de 45° et de longueur : 7,3891.2,5 =
18,47 cm.
MATHS A PETITS PAS 107
• Voie du développement de l'exponentielle en série:
2* 2" 2* -° -"
e*= / -- 2 ----+-- +-- +-- +---- +--
2 3/ 4/ 5/ 6/ n !
On calcule et on représente les différents nombres complexes de cette série et on
les ajoute comme desvecteurs, lesuns à la suite desautres.
- Encommençantpar l. Pourune échelle2,5cm pouruneunité, le premier
vecteur est donchorizontal et mesure2,5 cm enpartant de 0à 1:
- Ensuite,on représente z.On a :
z=p(cos 6 + i sin 6)= a+ i.b
a= 2
A l'échelle :
a : 2,5 .2=5 cm b :
- T
b -
() 1
p = \ | 2 + é) =2, 15
25 #- 1,98 cm p=25 \|(2 +é) - 537cm
p= 2,15
()
b=
%
a = 2
- Leterme suivant estz2 ,égalàz2 Il suffit de calculer son modulep* car
on saitqu'il est incliné d'un angle double duprécédent. Et ainsi de suite.
n n !11
[O
1l
[Oidem
(cm)
| | ()
2 26)
3 3()
4 24 40
5 120 SG)
6 720 66)
7 5040 7()
2 1487
4 6169
O) O202
21 315
45 8
98 41
21 1 45
p !
2 1487
2 3084
1 6534
() 8881
O 3817
(0 1367
()042
S 37
5 77
4.14
222
096-
0.34 -
(0 1 1 _
103 -- , --
Z. 7T . e
C avec :z=2+* i ,par deuxchemins
r- r- ,3 Il z=a bi - -- 1 , ,
Till 3l e = et - e". e* ·.. -, * --
r e*= cosb i sin b *. -- / &
d'où e = e* cosb isin b) rig gth : T - 1
ETLES DEUX PARCOURS
CONDUISENTAUMEMERESULTAT
LA DESTINATION FINALE DE NOTRE
BEAU VOYAGEENMATHEMATIQUE !
: s : oc
« Bonus de JM »
20 juin 2004 : Fête des Pères … et Fête des Randonneurs
Que dirais-tu, Pierre, d’ajouter à ton dernier chapitre deux parcours de
choix, qui sont présentés aux pages suivantes ?
Mais avant, petite vérification de la formule qui sert de boussole et de
charpente à ton livre, pour donner un nouvel exemple :
f(x)=
f(0)+ x.f1(0) + x2.
f2(0)
2!
+ x3.f3(0)
3!
+x4.
f4(0)+ … + xn.fn(0)n!
4!
Vérification avec :
f(x) = x3 – x
f1(x) = 3x2 – 1
f2(x) = 6x
f3(x) = 6f4(x) = 0 et fn(x) = 0 pour tout n supérieur à 3 .
Pour x = 0, f(0) = 0,
et ses dérivées valent respectivement : -1,0,6,0
Donc :
f(x) = (0) + x.(-1) + x2. (0)2!+ x3. 63! + x4. (0)
4!= x3 – x
OK ! La vérification pourrait aussi être faite avec l’équation de la parabole
utilisée dans les chapitres précédents.
- Maintenant, allons vers une autre valeur d’exponentielle complexe : eiπ/2
La voie du calcul direct, avec la formule d’Euler :
eiπ/2 = cos(π/2) + i sin(π/2) = i
La voie de la formule de Taylor :
z2 z3 z4 z5 z6 znez = 1 + z + 2+ 3!
+ 4! + 5! + 6! + … + n!
avec z = iπ/2 = i.1,57 environ. Le tableur donne les valeurs successives de
chaque terme, alternativement imaginaire ou réel, et du cumul.
110 MATHS A PETITS PAS
RE IM RE signé IM signé RE cumul
0 1,0000 1 1,0000 1,0000
1 1,5708 1 1,5708 1,0000
2 1,2337 -1 -1,2337 -0,2337
3 0,6460 -1 -0,6460 -0,2337
4 0,2537 1 0,2537 0,0200
5 0,0797 1 0,0797 0,0200
6 0,0209 -1 -0,0209 -0,0009
7 0,0047 -1 -0,0047 -0,0009
8 0,0009 1 0,0009 0,0000
9 0,0002 1 0,0002 0,0000
10 0,0000 -1 0,0000 0,0000
11 0,0000 -1 0,0000 0,0000
12 0,0000 1 0,0000 0,0000
13 0,0000 1 0,0000 0,0000
14 0,0000 -1 0,0000 0,0000
15 0,0000 -1 0,0000 0,0000
IM
Ce qui conduit à un parcours convergeant rapidement vers i :
Unité = 8 cm
- Et enfin, allons vers la belle valeur d’exponentielle complexe : eiπ
+1
+ i
0
La voie du calcul direct, avec la formule d’Euler :
eiπ = cos(π) + i sin(π) = -1
RE
MATHS A PETITS PAS 111
On procède de même, avec z = i.π, soit z = i.3,14 environ :
RE IM RE signé RE cumul IM cumul
0 1,0000 1 1,0000 1,0000 0,0000
1 3,1416 1 1,0000 3,1416
2 4,9348 -1 -4,9348 -3,9348 3,1416
3 5,1677 -1 -3,9348 -2,0261
4 4,0587 1 4,0587 0,1239 -2,0261
5 2,5502 1 0,1239 0,5240
6 1,3353 -1 -1,3353 -1,2114 0,5240
7 0,5993 -1 -1,2114 -0,0752
8 0,2353 1 0,2353 -0,9760 -0,0752
9 0,0821 1 -0,9760 0,0069
10 0,0258 -1 -0,0258 -1,0018 0,0069
11 0,0074 -1 -1,0018 -0,0004
12 0,0019 1 0,0019 -0,9999 -0,0004
13 0,0005 1 -0,9999 0,0000
14 0,0001 -1 -0,0001 -1,0000 0,0000
15 0,0000 -1 -1,0000 0,0000
Et on aboutit cette fois à un parcours venant s’enrouler autour de la valeur -1 :
IM
RE
+1-1
0
Unité = 2 cm
112 MATHS A PETITS PAS
ANNEXE
LA « PREUVEPAR9»
Utilité des vérifications1
Nous venons de faire un grand nombre de multiplications. Il est toujours utile de les vérifier. Il
n’est pas nécessaire de cela pour les refaire. On peut utiliser un important résultat d’arithmétique,
portant sur les nombres entiers :
Le reste de la division par n du résultat d’un produit est égal au produit des
restes des divisions par n des deux termes du produit.
Notons « reste() » tous les restes que nous allons rencontrer.
= reste(Anreste(ABn) ) . reste(Bn)
Ceci se démontre en posant A = n.a + a’ et B = n.b + b’, avec a et b quotients de la division de A
et de B par n et a’b’ restes de ces divisions.2Divisons par n (n.a + a’).(n.b + b’), il vient :
(n.a + a’).(n.b + b’)n=
n².ab + n.ab’ + n.a’b + a’b’n
le reste de cette division sera a’b’
n
En effet, les autres termes du numérateur sont divisibles par n et auront donc un reste nul.
On évalue donc séparément les restes du produit A.B et les restes de A et de B. Si le reste du
premier produit n’est pas égal au produit des deux autres restes, il est certain que la multiplication
effectuée A.B est fausse.
Exemple avec n = 4
Vérifions la multiplication :
14 . 23 = 322
On a successivement :
14 = 4 . 3 + 2 le reste est 2 (a’ = 2)
23 = 4 . 5 + 3 le reste est 3 (b’ = 3)
322 = 4 . 80 + 2 le reste est 2
on a bien reste(a’. b’) = reste( 6) = 2 car 6 = 4 . 1 + 2
Intérêt de n = 9
La preuve par neuf est la plus commode, car le reste de la division d’un nombre par neuf est facile
à obtenir.
La notation r(M) voudra dire maintenant : reste de la division par neuf du nombre M.
Il est très facile d’effectuer cette division par neuf, et surtout de connaître le reste de cette division.
Deux théorèmes utilisés.
Nous avons déjà vu :
r(A. B)= r(A). r(B)
1Pierre était très attaché aux vertus du calcul « à la main»... et aux vertus de ce qui peut
apparaître aujourd’hui tout à fait désuet. Il avait placé ce chapitre à la suite du calcul de π.
Il a paru plus logique de l’isoler, mais la position finale n’est guère satisfaisante car elle
masque quelque peu la fin officielle du parcours, page 109.
2 Il est utile de rappeler qu’une fraction N/D (N pour numérateur et D pour Dénominateur)
est égale à D. Q + R ( Q pour quotient et R pour reste) . JM
MATHS A PETITS PAS 113
on admettra également que cela s'étend àunplusgrand nombre de facteurs :
r(A.B ..C)= r(A). r(B) . r(C)
Cherchons r(10).Onpose la division
_10|9
| | |
Ona donc r(10)= l
Cherchons r(7).Onpose la division
_ 7 |9
7|()
Ona donc r(7)=7
Cherchons maintenant r(20).
Ona r(20)= r(2 .. 10)= r(2) . r(10)=2.. l=2
Demême r(400)=r(4 .. l 0 .. 10)= r(4). r(10) . r(10)=4.. l .. l=4
En ajoutant, on obtient :
r(7+20+400)=7+2+4=13
Or,ce reste 13estencore divisibleparneuf
Onaun vrai reste r(13)=4 car 13=9.. l+4
Finalement,levrai reste sera donnépar : rr(427)=4.
Onvoit que dans certains cas, lorsque rM donneraun résultatsupérieur à neuf,ilfaudra remplacer
le symbole rpar rr.
On utilisera aussile symbole R quisignifie indifféremment,suivantlescas, rou rr.
Exemple
Prenons la multiplication de427x22, onveutvérifier le résultat9394
La somme des chiffres
Onanoté querM était égalà la somme obtenue en additionnant les chiffresdunombre M. Dans
ces conditions :
r(427)= 13
r(13)=4=R(427)
r(22)=4=R(22)
r(9394)=25
r(25)=7
rr(9394)= r(25)=7=R(9394)
on doitvérifier
R(9394)=R(427). R(22)
OrR(9394)=7
et R(427) .. R(22)=4.4= 16avec R(16)=7
donc on abien R(9394)= R(427) .. R(22)
En pratique
On obtient les rM enfaisant mentalement lasomme des chiffres, et en retirant de cette somme9
chaque fois que lasomme dépasse ce chiffre.
Une«croixdeSaint-André»(X)fournitquatre emplacementsoù l'oninscrit respectivement
R(A) : R(B): R(R(A) .. R(B))* etR(A. B)
* Le R devantla parenthèse n'a lieu d'être que si la quantité entreparenthèses estsupérieure à9
R(427)=4
R(9394)=7 R(22)=4
R(R(427)R(22))
=7R(R(A).. R(B))
11 -- , --
Pierre Gréhanten 1995, contemplant leMur d'Hadrien
s s s ans
Publication électronique
Dépôt légal automatique
ISBN 978-2-9527235-6-5
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