[maths] 6.3.2 compuertas logicas
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Algebra de las compuertas lógicas. Simplificación de circuitos digitales. Mapas de Karnaugh.TRANSCRIPT
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COMPUERTAS LÓGICAS
By Miguel Pérez Fontenla, January 2012
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By Miguel Pérez Fontenla, January 2012
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COMPUERTAS LÓGICAS
Entendemos por circuito lógico a una especie de máquina compuesta por:•unos dispositivos de entrada-salida y•un único dispositivo de salida.
Donde:•En cada instante cada dispositivo tiene un bit de información (un 0 ó un 1)•El circuito, según los valores de entrada nos da una salida de un solo bit de información•Se puede introducir una sucesión de bits en cada dispositivo de entrada y obtendremos una sucesión de bits en la salida.
Definición: Circuito lógico
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Definición: Compuerta OR
A B Y=A+B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101 y B=11100011 la respuesta sería Y = A + B = 10010101 + 11100011 = 11110111
Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/or.swf
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COMPUERTAS LÓGICAS
Circuito eléctrico: Compuerta OR
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COMPUERTAS LÓGICAS
Circuito eléctrico: Compuerta OR
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Definición: Compuerta AND
A B Y = A · B
1 1 11 0 00 1 00 0 0
De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101 y B=11100011 la respuesta sería Y = A · B = 10010101 · 11100011 = 10000001
Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/and.swf
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COMPUERTAS LÓGICAS
Circuito eléctrico: Compuerta AND
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COMPUERTAS LÓGICAS
Circuito eléctrico: Compuerta AND
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta NOT de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Definición: Compuerta NOT
A
1 0
0 1
De esta manera, si a la compuerta llegase un octeto digital, por ejemplo A=10010101 la respuesta sería
Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/not.swf
10010101 01101010Y A
Y A
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COMPUERTAS LÓGICAS
Circuito eléctrico: Compuerta NOT
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COMPUERTAS LÓGICAS
TeoremaLos circuitos lógicos forman un álgebra de Boole.
DemostraciónLas tablas de verdad de las compuertas OR, AND y NOT son idénticas a las correspondientes de las operaciones lógicas disyunción ∧, conjunción ∨ y negación ∼.Sólo se deben cambiar los 1 por V y los 0 por F.De esta manera, se satisfacen las mismas leyes que en el álgebra de proposiciones y por tanto forman un álgebra de Boole.
Álgebra de Conjuntos Álgebra de proposiciones Álgebras de Boole Circuitos lógicos
Unión ⋃ Disyunción ∨ Suma + OR
Intersección ⋂ Conjunción ∧ Producto · AND
Complementario c Negación ∼ Complemento ‘ NOT
Conjunto vacío ∅ Falsedad f Elemento 0 0 0
Conjunto universal U Tautología τ Elemento 1 1 1
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta NOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Otras compuertas lógicas : Compuerta NOR
A B
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nor.swf
Y A B
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta NAND de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Otras compuertas lógicas : Compuerta NAND
A B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nand.swf
Y AB
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta YES de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Otras compuertas lógicas : Compuerta YES
Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal
A
1 0
0 1
Y A
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COMPUERTAS LÓGICAS
La compuerta XOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:
Otras compuertas lógicas : Compuerta XOR
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COMPUERTAS LÓGICAS
EjercicioAplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.
A
B
C
Y
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COMPUERTAS LÓGICAS
EjercicioAplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.
Paso 1
A
B
C
A
A
B
B
B Y ABC ABC AB
C
C
A
ABC
ABC
AB
Simulador diseño de circuitos : http://logic.ly/demo/
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COMPUERTAS LÓGICAS
EjercicioAplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.
Paso 2
La salida
por la ley distributiva y complemento es
Y por la identidad
por lo que el circuito equivale a este otro minimal
Y ABC ABC AB
1 ...Y AC B B AB AC AB
Y AC AB
A
B
C
A
C
ABA
B
AC
Y AC AB
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COMPUERTAS LÓGICAS
EjercicioObserva que las tablas de verdad del circuito inicial y del simplificado son iguales:
A 11110000
B 11001100
C 10101010
00001111
00110011
ABC 10000000
00100000
00001100
10101100
A
B
ABC
ABY ABC ABC AB
A 11110000
B 11001100
C 10101010
00001111
AC 10100000
00001100
10101100
A
AB
Y AC AB
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 2Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.
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COMPUERTAS LÓGICAS
SIMPLIFICACIÓN CIRCUÍTOS LÓGICOS
Definición: Número de literales EL
Dada una expresión de Boole E de suma de productos, denotamos por EL el número de literales de E, de forma que si alguno está repetido lo contaremos el número de veces que se repita
Definición: Número de sumandos ES
Dada una expresión de Boole E de suma de productos, denotamos por ES el número de sumandos que posee E.
Definición. Expresión de Boole más simple que otra.Dadas dos expresiones de Boole E y E’ escritas en forma de suma de productos, decimos que E es más simple que E’ si y y al menos una de las dos desigualdades es estricta, es decir que o bien , o bien
Definición: Forma minimalUna expresión de Boole E en forma de suma de productos diremos que está en forma minimal si no existe ninguna otra expresión de Boole F en forma de suma de productos que sea más simple que E.
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COMPUERTAS LÓGICAS
IMPLICANTES PRIMOSDada una expresión de Boole E, un producto fundamental P se llama implicante primo de E P es el único producto fundamental que cerífica la propiedad P + E = E
TeoremaSea E una expresión de Boole en forma minimal de suma de productos, entonces cada sumando de E es un implicante primo de E
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MAPAS DE KARNAUGH
MAPAS DE KARNAUGH
Una expresión de Boole E en forma de suma de productos diremos que está en forma minimal si no existe ninguna otra expresión de Boole F en forma de suma de productos que sea más simple que E.
Maurice Karnaugh
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MAPAS DE KARNAUGH
Caso de 2 Variables
Caso de 2 variables
Con dos variables x e y los productos fundamentales que se pueden descomponer son cuatro:xy xy’ x’y x’y’
Para simplificarlos se usa el diagrama siguiente con los posibles casos que pueden presentarse:
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MAPAS DE KARNAUGHCaso de 3 Variables
Con tres variables x, y y z los productos fundamentales que se pueden descomponer son ocho:xyz xyz’ xy’z xy’z’ x’yz x’yz’ x’y’z x’y’z’
Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son:
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MAPAS DE KARNAUGH
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MAPAS DE KARNAUGH
Caso de 4 variables
Con tres variables x, y , z y t los productos fundamentales que se pueden descomponer son dieciséis:xyzt xyzt’ xyz’t xyz’t’ xy’zt xy’zt’ xy’z’t xy’z’t’x’yzt x’yzt’ x’yz’t x’yz’t’ x’y’zt x’y’zt’ x’y’z’t x’y’z’t’
Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son:
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MAPAS DE KARNAUGH
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MAPAS DE KARNAUGH
![Page 31: [Maths] 6.3.2 compuertas logicas](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022102618/5588975bd8b42a467d8b45a4/html5/thumbnails/31.jpg)
MAPAS DE KARNAUGH
![Page 32: [Maths] 6.3.2 compuertas logicas](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022102618/5588975bd8b42a467d8b45a4/html5/thumbnails/32.jpg)
COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 2Encontrar una expresión de Boole para cada uno de los dos circuitos de interruptores siguientes:
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 3Demostrar las siguientes leyes del álgebra de Boole
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 4Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 5Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 5Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 6Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 7Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 8Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 9Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 10Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Dibujar el circuito lógico que corresponde a las siguientes expresiones de Boole y calcular su tabla de verdad.
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Ejercicio 13
Y AB ABC
Y A BC B
Y AB A C
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COMPUERTAS LÓGICAS
Ejercicio 14
Rediseñar el siguiente circuito de forma que sea minimal