[maths] 2.5.1 matrices y determinantes mpf
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Matrices y determinantes par alumnos de 2º bachilleratoTRANSCRIPT
MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES
James Joseph Sylvester (3 September 1814 – 15 March 1897) was an English mathematician. He made fundamental contributions to matrix theory
MATRICES Y DETERMINANTES
CONTENIDO
•Operaciones con matrices: Suma, resta, multiplicacion por escalares.•Combinación lineal de matrices•Tipos de matrices•Multiplicación de matrices•Determinantes. Introducción.•Menor complementario y Matriz adjunta.•Matriz Inversa.•Rango de una matriz.•Propiedades de los Determinantes.•Cálculo de determinantes.•Métodos numericos para el cálculo de determinantes y matriz inversa.
MATRICES Y DETERMINANTES
1,1 1,2 1,3 1, 1,
2,1 2,2 2,3 2, 2,
3,1 3,2 3,3 3, 3,
mxn
,1 ,2 ,3 , ,
,1 ,2 ,3 , ,
... ...
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ...
j n
j n
j n
i i i i j i n
m m m m j m n
a a a a a
a a a a a
a a a a a
A
a a a a a
a a a a a
1
2
3
1,...,,1,...,
1 2 3 j n
...
...
C C C ........ C ... C
i mi j ijj n
i
mmxn
F
F
F
a a
F
F
Sea ℳmxn el conjunto de todas las posibles matrices
MATRICES Y DETERMINANTES
Sea ℳmxn El elemento ai,j de la matriz
MATRICES Y DETERMINANTES
Se define suma de matrices como C = A + B ∊ℳmxn como
, ,
1,2,..,,
1, 2,..,
mxn mxn mxn
ij ij ij i j i j
M xM M
i mA B C A B c a b a b
j n
Se define multiplicación por un escalar a C = αA ∊ℳmxn como
*
*, 1...
1...
, *
mxn mxn
i mij ij ijj n
RxM M
A C c A a a
SUMA, RESTA y MULTIPLICACION POR ESCALARES
MATRICES Y DETERMINANTES
EJEMPLOS
34
03
12
70
43
35
)3(740
0433
13)2(5
44
40
23
MATRICES Y DETERMINANTES
EJEMPLOS
9245
3108
2335
2571
)1(8 70 51 23
55 34 32 )2(9 =
= 7 7 4 5
0 7 5 7
MATRICES Y DETERMINANTES
EJEMPLOS
232
451
704
831
605
429
603
1054
325
2833)2(1
)4(65015
740249
MATRICES Y DETERMINANTES
Sean A1, A2, ..., An son matrices ℳmxn y α1, α2, ... αn son numeros reales R∊
1 1 2 2 .... n nA A A
COMBINACION LINEAL
MATRICES Y DETERMINANTES
Realiza la siguiente operación de matrices:
EJERCICIO
5 4 5 4
3 1 1 0 1 2 3 1
2 2 1 2 2 1 0 1
2 3 2 30 3 2 1 2 1 0 3
1 2 0 3 3 2 1 3
1 2 2 0 2 0 0 1x x
A B
COMBINACION LINEAL
MATRICES Y DETERMINANTES
5 4
6 2 2 0 3 6 9 3 3 8 11 3
4 4 2 4 6 3 0 3 10 1 2 1
0 6 4 2 6 3 0 9 6 3 4 7
2 4 0 6 9 6 3 9 11 10 3 15
2 4 4 0 6 0 0 3 4 4 4 3x
COMBINACION LINEAL
EJERCICIO. SOLUCIÓN
MATRICES Y DETERMINANTES
Sean las matrices columna siguientes.
EJERCICIO
COMBINACION LINEAL
1 2 3 42 3 2A A A A
1 2 3 4
2 1 1 0
1 2 2 1; ; ;
3 2 3 1
1 0 1 2
A A A A
Calcula la combinación lineal dada por
MATRICES Y DETERMINANTES
EJERCICIO. SOLUCIÓN
COMBINACION LINEAL
1 2 3 4
2 1 1 0 6
1 2 2 1 82 3 2 2 3 2
3 2 3 1 13
1 0 1 2 5
A A A A
MATRICES Y DETERMINANTES
a) Matriz fila, b) Matriz columna, c) Matriz rectangular, d) Matriz cuadrada, e) Matriz traspuesta, f) Matriz simetrica g) Matriz asimetrica h) Matriz triangular i) Matriz diagonal, j) Matriz escalar:k) Matriz identidadl) Matriz nulam) Matriz regularn) Matriz singular
TIPOS DE MATRICES
MATRICES Y DETERMINANTES
MULTIPLICACION DE MATRICES
1...11...
,
mxn nxp nxp
n
ij ij ij ij ik kji mkj p
M xM M
A B C A B c a b c a b
MATRICES Y DETERMINANTES
MULTIPLICACION DE MATRICES
MATRICES Y DETERMINANTES
MULTIPLICACION DE MATRICES
MATRICES Y DETERMINANTES
MULTIPLICACION DE MATRICES
MATRICES Y DETERMINANTES
EJEMPLOS
DETERMINANTES
AVANCE
1,1 1,21,1 2,2 1,2 2,1
2,1 2,2
a aa a a a
a a
3 13 1 2 1 3 2 5
2 1
DETERMINANTES
REGLA DE SARRUS
1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 1,3 2,1 2,2 1,3
3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3
1,1 2,2 3,3 1,2 2,3 3,1 1,3 2,1 3,2 1,3 2,2 3
...... ... .... (Regla de Sarru
(
s)
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
,1 1,2 2,1 3,3 1,1 2,3 3,2 )a a a a a a
DETERMINANTES
Ejercicios
1 2 3
0 2 1 1 2 7 2 1 2 0 2 3 2 2 3 2 1 1 0 2 7 14 4 12 2 0 ...
2 2 7
... 10 10 10 10 0
1 2 2
1 3 0 1 1 3 1 0 2 1 2 1 1 2 3 2 1 1 0 1 1 ...
1 1 1
... 3 0 2 6 2 0 5 4 9
1 2 3
0 2 1
2 2 7
1 2 2
1 3 0
1 1 1
DETERMINANTES
Determinantes de orden superior a 3.
1 1 2 1 3 1 4 1
1 3 0 1
2 4 3 0
0 2 2 4
1 3 3 1
4 3 0 3 0 1 3 0 1 3 0 1
( 1)( 1) 2 2 4 2( 1) 2 2 4 0( 1) 4 3 0 1( 1) 4 3 0
3 3 1 3 3 1 3 3 1 2 2 4
4 3 0 3 0 1 3 0 1
2 2 4 2 2 2 4 4 3 0 8 36 ( 48 6) 2 6 6 ( 6 36) 36 8 (6)
3 3 1 3 3 1 2 2 4
98 2 42 22 204