mathématiques sn module 10 les identitÉs trigonomÉtriques réalisé par : sébastien lachance
TRANSCRIPT
Mathématiques Mathématiques SNSN
MODULE 10MODULE 10Les Les IDENTITÉSIDENTITÉS
TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
Radian et longueur d’arcRadian et longueur d’arc
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Dans tout cercle de rayon «Dans tout cercle de rayon « r r », on », on détermine la longueur d’un arc AB détermine la longueur d’un arc AB de la façon suivante :de la façon suivante :
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
rr
AA
BBm AB = m AB = x x rr
Exemples : Exemples :
m AB = 1,5 x 6m AB = 1,5 x 6
m AB = 9 cmm AB = 9 cm
Dans un cercle de rayon Dans un cercle de rayon 6 cm6 cm, quelle est la , quelle est la mesure de l’arc mesure de l’arc intercepté par un angle intercepté par un angle au centre de au centre de 1,5 rad 1,5 rad ??
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
a) a) 7766
radrad
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
a) a) 7766
radrad Réponse :Réponse : - 3- 3
22
( , )( , )-1-1
22
b) b) - - 44
radrad
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
( , )( , )
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
a) a) 7766
radrad Réponse :Réponse : - 3- 3
22
( , )( , )-1-1
22
b) b) - - 44
radrad Réponse :Réponse : 22
22
- 2- 2
22
c) c) 1111
44radrad
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
a) a) 7766
radrad Réponse :Réponse : - 3- 3
22
( , )( , )-1-1
22
Réponse :Réponse : - 2- 2
22
( , )( , ) 22
22
( , )( , )b) b) - - 44
radrad Réponse :Réponse : 22
22
- 2- 2
22
c) c) 1111
44radrad
d) d) 1010
33radrad
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
a) a) 7766
radrad Réponse :Réponse : - 3- 3
22
( , )( , )-1-1
22
Réponse :Réponse : - 2- 2
22
( , )( , ) 22
22
( , )( , )b) b) - - 44
radrad Réponse :Réponse : 22
22
- 2- 2
22
c) c) 1111
44radrad
d) d) 1010
33radrad Réponse :Réponse : - 3- 3
22
( , )( , )-1-1
22
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
e) e) - 8- 8
66radrad
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
( , )( , )
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
e) e) - 8- 8
66radrad Réponse :Réponse : 33
22
-1-1
22
f) f) - - 22
radrad
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
( , )( , )
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
e) e) - 8- 8
66radrad
f) f) - - 22
radrad Réponse :Réponse :
g) g) radrad
00 - 1- 1
- 5- 5
( , )( , )Réponse :Réponse : 33
22
-1-1
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.
h) h) 1111
88radrad
( , )( , )
e) e) - 8- 8
66radrad
f) f) - - 22
radrad Réponse :Réponse : 00 - 1- 1
( , )( , )Réponse :Réponse : 33
22
-1-1
22
( , )( , )Réponse :Réponse : - 1- 1 00g) g) radrad- 5- 5
( , )( , )Réponse :Réponse : coscos1111
88sinsin
111188
( - 0,3827 , - 0,9239 )( - 0,3827 , - 0,9239 )
Les 3 Les 3 identitésidentités
trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
11
P(P() = ( , )) = ( , )xx yy
xx
yy
cos cos sin sin
Par Pythagore :Par Pythagore :
xx22 + + yy22 = 1 = 122
Donc :Donc :
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 11
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 22
coscos22 coscos22 coscos22
1 + tan1 + tan22 = sec = sec22
RAPPELRAPPELRAPPELRAPPEL
coscos
11== sec sec
sin sin
11== cosec cosec
tan tan
11== cot cot
À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 33
sinsin22 sinsin22 sinsin22
cotcot22 + 1 = cosec + 1 = cosec22
Ex. #1 :Ex. #1 : DémontrerDémontrersecsec22
11++
coseccosec22
11== 11
11++
11== 11
coscos22
11
sinsin22
11
++ == 11coscos22 sinsin22
== 1111
Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !
On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).
Ex. #2 :Ex. #2 : DémontrerDémontrer cos x cos x tan x = sin x tan x = sin x
== sin xsin xcos x cos x
cos xcos x
sin xsin x
== sin xsin xsin xsin x
Ex. #3 :Ex. #3 : SimplifierSimplifier (1 + tan(1 + tan22x) cosx) cos22xx
(sec(sec22x) cosx) cos22xx
coscos22xx
11 coscos22xx
11
Ex. #4 :Ex. #4 : DémontrerDémontrer tantan22x – tanx – tan22x sinx sin22x = sinx = sin22xx
tantan22x (1 – sinx (1 – sin22x) = sinx) = sin22xx
tantan22x (cosx (cos22x) = sinx) = sin22xx
(cos(cos22x) = sinx) = sin22xx
coscos22xx
sinsin22 x x
sinsin22x = sinx = sin22xx
Ex. #5 :Ex. #5 : DémontrerDémontrer – – sin x = cot x cos xsin x = cot x cos x
sin xsin x
11
– – sinsin22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
11
sin xsin x
1 – sin1 – sin22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
coscos22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
coscos x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x
sin xsin x
cotcot x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x
Autres Autres identitésidentités
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))
Somme de Somme de uu et et vv
cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( + ) . = , calculer précisément sin ( + ) .44
33
44
33
sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))
Somme de Somme de uu et et vv
cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( = , calculer précisément sin (uu + + vv) .) .44
33
sin ( + ) = sin ( + ) = 44
33
sin ( )sin ( )44
cos ( )cos ( )33
++ sin ( )sin ( )33
cos ( )cos ( )44
sin ( ) = sin ( ) = 771212
( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( ) 22
22
33
22
11
22
22
22
sin ( ) = sin ( ) = 771212
( )( ) ++ ( )( ) 22
44
66
44
sin ( ) = sin ( ) = 771212
+ 2 + 2
66
44
22
44
sin (sin (uu – – vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(vv) cos() cos(uu))
Différence entre Différence entre uu et et vv
cos (cos (uu – – vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément cos ( = , calculer précisément cos (uu – – vv) .) .3344
2233
cos ( – ) = cos ( – ) = 3344
2233
cos ( )cos ( )3344
cos ( )cos ( )2233
++ sin ( )sin ( )3344
sin ( )sin ( )2233
cos ( ) = cos ( ) = 1212
( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( )- 2- 2
22
- 1- 1
22
33
22
22
22
cos ( ) = cos ( ) = 1212
( )( ) ++ ( )( ) 22
44
66
44
+ 6 + 6
cos ( ) = cos ( ) = 1212
cos (cos (- - ) = cos ) = cos
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P(P() = ( , )) = ( , )cos cos
xx
- -
P(P(-- ) = ( , )) = ( , )cos (cos (- - ))
cos (cos (- - ) = cos ) = cos
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P(P( ) = ( , )) = ( , )coscos
Exemple :Exemple :
33
33
33
11
22
xx
11
22
--
33
P( P( ) = ( , )) = ( , )coscos--
33
--
33
11
22
coscos
33
coscos --
33
Donc :Donc :
==
= =
33
sin (sin (- - ) = - sin ) = - sin
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P(P() = ( , )) = ( , )sinsin yy
- -
P(P(-- ) = ( , )) = ( , )sin (sin (-- ))
- y- y
sin (sin (- - ) = - sin ) = - sin
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
yy
- y- y
Exemple :Exemple : = =
33
33
--
33
P(P( ) = ( , )) = ( , )sinsin
33
33
P( P( ) = ( , )) = ( , )sinsin--
33
--
33
- - 3 3
22
33
22
- - 3 3
22
33
22
sinsin --
33
-- sin sin
33
Donc :Donc :
==