mathematique i (algebre)

8/4/2019 Mathematique I (Algebre)

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Universite Mohamed PremierFaculte Des Sciences

Departement De Mathematiques Et

InformatiqueOUJDA.

FILIERE SMP-SMC (S1)MATHEMATIQUES I (ALGEBRE)

Presente par

Mhammed ZIANE

Annee universitaire: 2005-2006


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Table des matieres

1 Polynomes et fractions rationnelles 3

1.1 Notion de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Vocabulaire sur les polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Operations sur les polynomes . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 PGCD et algorithme dEuclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Algorithme dEuclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Zeros dun polynome et irreductibilite . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Decomposition en facteurs irreductibles dans R[X] . . . . . . . 101.8 Fractions rationnelles sur R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Decomposition en elements simples . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 Pratique de la decomposition dans C(X) . . . . . . . . . . . . . 121.11 Pratique de la decomposition dans R(X) . . . . . . . . . . . . . 14

1.11.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Notions sur les espaces vectoriels 182.1 Structure despace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Famille libre et generatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Produit et somme despaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 232.4.1 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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3 Applications lineaires, Matrices 26

3.1 Applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.1 Injection, surjection et bijection . . . . . . . . . . . . . 273.1.2 Proprietes du noyau et de limage dune application

lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Matrice dune application lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Representation sous forme de tableau . . . . . . . . . . 303.2.2 Operations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Transposition dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Effet dun changement de base sur les matrices dap-plications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Methodes pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Operations elementaires sur les matrices . . . . . . . . 343.4.2 Application, famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 373.4.3 Application, calcul du rang dune matrice . . . . . . . . 38


4 Notion de determinant 42

4.1 Applications multilineaires alternees . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Calcul pratique du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.1 Regles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.2 Calcul a laide des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.3 Calcul de linverse dune matrice . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 Methode pratique de calculer linverse dune matrice . 45


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Chapitre 1

Polynomes et fractions

rationnelles

Il ne sagit pas ici de developper la theorie des polynomes mais seule-ment de donner quelques resultats utiles en analyse (calcul de primitives etdintegrales,...).

1.1 Notion de corps

Dans ce cours, nous nous interessons principalement a deux ensembles denombres. Lensemble des nombres reels (note R) et Lensemble des nombrescomplexes (note C).

Ces deux ensembles sont des corps ( un corps est note K).Afin de rester general, nous allons enoncer les proprietes que doit verifier

un corps :a) Un corps doit etre muni dune operation daddition interne + qui pour

tout scalaire et associe le scalaire + .Cette operation verifie les proprietes suivantes :(i) L addition est commutative ( + = + ).(ii) L addition est associative (( + ) + = + (+ ).(iii) Il existe un unique scalaire 0 tel que K, + 0 = .(iv) Pour tout scalaire , il existe un unique scalaire tel que :

+ () = 0

.

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On dit que le couple (K, +) forme un groupe commutative.

b) Un corps doit etre aussi muni dune operation de multiplication internenotee (.) qui pour tout scalaire et associe le scalaire .. Cette operationverifie les proprietes suivantes :

(i) La multiplication est commutative (. = .).(ii) La multiplication est associative ( (.). = .(.)).(iii) Il existe un unique scalaire 1 tel que K, .1 = .(iv) Pour tout scalaire , il existe un unique scalaire 1 tel que :

.1 = 1

.

c) La multiplication est distributive par rapport a laddition :(i) ,, K, .(+ ) = .+ .

Remarque 1.1.1 1) R,C et Q munis de laddition et de la multiplicationusuelles sont des corps.

2) Montrer que lensemble des entier naturelle muni de laddition et dela multiplication usuelles nest pas un corps.

1.2 Vocabulaire sur les polynomes

On note K[X] lensemble des polynomes a une indeterminee a coefficientsdans le corps K. K[X] est donc lensemble des polynomes P tels que

P =n=0

anXn

ou (an) est une suite delements de K tous nuls a partir dun certain rang.Deux polynomes sont egaux si et seulement si les coefficients des termes

de meme puissance sont egaux deux a deux. Le degre dun polynome P estle plus grand des entiers n tels que an soit non nul. On le note par deg(P)(On convient que le polynome nul a pour degre ).

On appelle valuation de P le plus petit des entiers n tels que an soit nonnul. On la note par val(P) (On convient que le polynome nul a pour valuation+).

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1.2.1 Operations sur les polynomes

Si P et Q deux polynomes de K[X] tels que

P =n=0

anXn et Q =

n=0

bnXn

ou (an) et (bn) deux suites delements de K tous nuls a partir dun certainrang, alors :

1. Le polynome somme secrit P + Q, avec

P + Q =

n=0cnX

n,

ou cn = an + bn

2. Le polynome produit secrit P Q, avec

P Q =n=0

dnXn,

ou dn =

i+j=n aibj

Exemple 1.2.1 Soient P = 1 + 2X+ 3X2 et Q = 3X+ X2 deux polynomes acoefficients reels. Alors

P + Q = (1 + 0) + (2 + 3)X+ (3 + 1)X2 = 1 + 5X+ 4X2

et pour le produit, on doit calculer les coefficiens dn. d0 =

i+j=0 aibj = a0b0 = 0

d1 =

i+j=1 aibj = a0b1 + a1b0 = 3.

d2 =

i+j=2 aibj = a0b2 + a1b1 + a2b0 = 7.

d3 =

i+j=3 aibj = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0 = 11.

d4 =

i+j=4 aibj = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0 = 3.

etP Q = 3X+ 7X2 + 11X3 + 3X4.

Proprietes 1.2.1 Soient P et Q deux polynomes a cofficients dans K.1. deg(P Q)= deg(P)+deg(Q)

2. val(P Q)= val(P)+val(Q)

3. deg(P + Q) sup{deg(P),deg(Q)} avec egalite si deg(P) = deg(Q).4. val(P + Q) inf{val(P),val(Q)} avec egalite si val(P) = val(Q).

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1.3 Division euclidienne

Dans toute la suite on identifiera souvent le polynome P avec la fonctionpolynome

P: K Kx P(x)

Theoreme 1.3.1 (De la division euclidienne) Soient A et B deux po-lynomes de K[X], B = 0. Il existe un unique couple (Q, R) de polynomes deK[X] tel que :

A = BQ + R avec deg(R) < deg(B).

Les polynomes Q, R sappellent respectivement quotient et reste de la divisioneuclidienne de A par B.

Demonstration Unicite Soit (Q, R) un autre couple solution. Alors on a :

0 = B(Q Q) + (R R),

cest a dire, B(Q Q) = (R R) et donc

deg(R R) = deg(B) + deg(Q Q).

Or deg(R

R) est inferieur a sup

{deg(R), deg(R)

}, donc strictement inferieur

a deg(B). Cela implique que Q = Q et par suite R = R.Existence On la montre par recurrence sur le degre de A. Lorsque deg(A) 0, alors

1. une famille generatrice de n vecteurs est une base de E.

2. une famille libre de n vecteurs est une base de E.

Exemple 2.3.3 On considere les vecteurs x1 = (1, 2, 3) et x2 = (1, 0, 2) deR3. Construire un vecteurx3 pour que x1, x2, x3 soient lineairement independants(resp. lineairement dependants).

Le vecteur x3 = (0, 1, 0) convient car il nexiste aucun , R tels quex1 + x2 = (0, 1, 0).

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2.4 Produit et somme despaces vectoriels

2.4.1 Produit

Soient E1,..,En des espaces vectoriels sur le meme corps K. On peut mettresur lensemble produit E1 ...En, forme des n-uples (x1,...,xn), avec xi Eipour tout i = 1..n, une structure despace vectoriel en definissant

1. laddition : (x1,...,xn) + (y1,...,yn) = (x1 + y1,...,xn + yn)

2. la multiplication par un scalaire K : (x1,...,xn) = (x1,...,xn)La structure mise sur Kn est le produit de n exemplaires de K.

Theoreme 2.4.1 Si E1,..,En des espaces vectoriels sur le meme corps K,

alors

dim(E1 ... En) =n

i=1

dim(Ei).

En particulier, dimK(Kn) = n

2.4.2 Somme

Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels. On appelle somme de E1 et E2 lesous-espace vectoriel de E defini par

E1 + E2 ={

x1 + x2: x1

E1, x2

E2}

Theoreme 2.4.2 Si E1 et E2 deux espaces vectoriels, alors

dim(E1 + E2) = dim(E1) + dim(E2) dim(E1 E2)La decomposition de x en x = x1 + x2 nest pas necessairement unique. Si

cest le cas, On dit que la somme de E1 et E2 est directe, et on note E1 E2.Definition 2.4.1 On dit que E1 et E2 sont supplementaire dans E si

E = E1 E2.Theoreme 2.4.3 Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F admet un

supplementaire dans E.

Theoreme 2.4.4 Si E1 et E2 deux espaces vectoriels, alors les proprietessuivantes sont equivalentes

1. E1 et E2 sont supplementaire dans E.

2. E1 E2 = (0) et dim(E) = dim(E1) + dim(E2).

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2.5 Exercices corriges

Exercice 2.5.1 Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les rela-tions suivantes : K et x E.

1. 0x = 0 = 0 (lequel de ces 0 est dans K).

2. (x) = ()x = (x).3. (1)x = x.4. ()(x) = x.

Solution 2.5.1 1. En utilisant le caractere gras pour le 0 de E.0x = (0 + 0)x = 0x + 0x,

puis on utilise les proprietes des groupes,

0 = 0x + (0x) = 0x + 0x + (0x) = 0x.

On utilise les proprietes des espaces vectoriels,

0 = (0 + 0) = 0 + 0,

puis on utilise les proprietes des groupes,

0 = 0 + (0) = 0 + 0 + (0) = 0.

2. En utilisant les proprietes des espaces vectoriels et la question 1)

(x) + (x) = ( + )x = 0.

Donc x est loppose de x, et ()x = (x).3. Cas particulier de 2) avec = 1.

4. On remplace dans 2) x parx et en tenant compte que (x) = x.Exercice 2.5.2 Soient les polynomes

P1 = (X+ 1)(X 1)(X 2), P2 = 2X(X 1)(X 2) et P3 = (X+ 1)(X 1)X

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1. Dire, sans les developper, si les polynomes P1,P2,P3 forment une famille

libre de R3[X] (lensemble des polynomes a coefficients reels de degreinferieur a 3).

2. Dire si ces vecteurs forment une base de R3[X].

Solution 2.5.2 1. Cherchons si on peut trouver les scalaires a,b,c nonnuls tels que

aP1 + bP2 + cP3 = 0.

Notons Q le polynome du membre de gauche . Donc

Q = a(X + 1)(X 1)(X 2) + b2X(X 1)(X 2) + c(X+ 1)(X 1)X.

On obtientQ(1) = 12b et Q(0) = 2a.

On en deduit a = b = 0. Alors, il reste

cP3 = 0

et comme P3 nest pas nul, on a egalement c = 0. Le famille de vecteursest donc libre.

2. La famille de vecteurs contient 3 vecteurs et lespace R3[X] est de di-mension 4. la famille ne constitue pas une base de R3[X].

Exercice 2.5.3 On definit lensemble des polynomes a coefficients reels noteR[X] par :

R[X] = {u Rn/n0 tel que n > n0, un = 0}Pour (u)n Rn, on peut definir la fonction polynome :

P(X) =k=n0k=0

ukXk.

On admet que lensemble R[X] est un espace vectoriel surR

1. Monter que lensemble des polynomes a coefficients reels de degre 3(note R3[X]) est un sous-espace vectoriel de R[X] .

2. Trouver une base de R3[X].

3. Les 4 polynomes {Pi(X) = ( + X)i, i = 1..4} forment-ils une base deR3[X] ?

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Chapitre 3

Applications lineaires, Matrices

3.1 Applications lineaires

Definition 3.1.1 Soient E et F deuxK-espaces vectoriels et soit une appli-cation f: E F. f est une application lineaire si et seulement si

(x, y) E2, , K, f(x + y) = f(x) + f(y).

Remarque 3.1.1 On note par :

L(E, F) lensemble des applications lineaires de E dans F.

L(E) lensemble des applications lineaires de E dans E.E lensemble des applications lineaires de E dans K.

Exemple 3.1.1 Lapplication definie par :

f: R2 R2(x, y) (x + y, x)

est une application lineaire. Lapplication definie par :

g: R2 R2(x, y) (x2, y)

nest pas une application lineaire. Soit E unR-espace vectoriel et soit R.

lapplication lineaire h definie par :

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h: E Eu u

est une application lineaire appelee homothetie vectoriel le de rapport . SoitI un intervalle de R. On note E = C1(I) lensembles des fonctions

de classe C1 sur I. On note F lensemble des fonctions defines sur I.Alors, lapplication :

d: E Ff f

ou f est la derivee de f, est une application lineaire.

Proprietes 3.1.1 Lespace des images ou des antecedants dun sous-espacevectoriel est un sous-espace vectoriel. En particulier :

1. A = {x E/f(x) = 0} est un espace vectoriel. On lappelle le noyau def et on le note Ker(f).

2. B = {y F/x E, f(x) = y} est un espace vectoriel. on lappellelespace image de f et on le note Im(f). on appelle rang de f (noterg(f)) la dimension de Im(f).

Applications 3.1.1 1. Soit le systeme de 3 equations a 3 inconnues sui-vant :

2x + 2y 2z = 0x + y z = 0x + 3y +z = 0

Monter que lensemble des solutions du systeme (S) peut etre interpretecomme le noyau dune application lineaire que lon determinera.

2. Soit lequation differentielle suivante :

f(x) + x2f(x) + f(x) = 0

Monter que lensemble des solutions de lequation differentielle peut etre

interprete comme le noyau dune application lineaire que lon determinera.

3.1.1 Injection, surjection et bijection

Definitions 3.1.1 Soient E et F deux ensembles quelconques et soit f uneapplication de E dans F. On dit que :

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1. f est injective ssi (x, y) E2, f(x) = f(y) = x = y.2. f est surjective ssi y F, x E/f(x) = y.3. f est bijective ssi y F, il existe un unique x E tel que f(x) = y.

3.1.2 Proprietes du noyau et de limage dune applica-tion lineaire

Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f une application lineaire deE dans F.

1. f est injective ssi Ker(f) = {0}.

2. f est surjective ssi Im(f) = F.3. dim(Ker(f))+ rg(f) = dim(E) (Propriete du rang).

4. Si dim(E)=dim(F), alors f surjective f injective f bijective.

Applications 3.1.2 Montrer que les applications suivantes :

f: R3 R2(x,y ,z) (x, y)

etg: R3 R3

(x,y ,z) (x,y ,x)sont lineaires et decriver leurs noyaux et leurs espaces image.

3.1.3 Somme de sous-espaces vectoriels

Soit (E, +, .) est un K-espace vectoriel, et F,G deux sous-espaces vectorielE, lapplication lineaire

f: F G E(x, y) x + y

Definition 3.1.2 Soit (E, +, .) est unK-espace vectoriel, et F,G deux sous-espaces vectoriel E, le sous-sepace vectoriel de E, image de lapplication f,est appele somme des sous-espaces F et G. On le note F + G.

Theoreme 3.1.1 1. F + G est le plus petit sous-espace vectoriel de Econtenant F et G.

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2. F+ G est lintersection des sous-espaces vectoriels de E contenant F et

G.3. F + G est lensemble des sommes x + y, x F, y G.

Definition 3.1.3 On dit que la somme F + G est directe si F G = . Onle note F GTheoreme 3.1.2 H = F G si et seulement si tout element h de H secritdune facon unique h = f + g, f F, g G.

3.2 Matrice dune application lineaire

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension respective m et n etsoit f une application lineaire de E dans F. Soit B = {e1,...,em} une base deE et B = {f1,...,fn} une base de F. Soit x E et x1, . . ,xm ses coordonneespar rapport la base B. on a :

x =i=mi=1

xiei

f(x) = f(i=mi=1

xiei) =i=mi=1

xif(ei). (3.1)

On en deduit que la connaissance de f est equivalente a la connaissancede f pour les vecteurs de la base B.La decomposition des m vecteurs f(ei) par rapport a la base B nous donne

m relation de type :

f(ei) =j=nj=1

ijfj . (3.2)

la relation (3.1) secrit :

f(x) =i=mi=1

xi

j=nj=1

ijfj

On inversant les signes somme, on obtient :

f(x) =j=nj=1

[i=mi=1

xiij ]fj

On en deduit que f est totalement determinee par les mn coeffitients ijdonnes par la relation (3.2).

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3.2.2 Operations sur les matrices

1. Addition de deux matrices Soient A, B deux matrices de Mmn(K).On note A = (ai,j) et B = (bi,j). On pose C = A + B avec C = (ci,j)definie par :

ci,j = ai,j + bi,j i, j2. Multiplication dune matrice par un scalaire Soit A une matrice

de Mmn(K) (On note A = (ai,j)) et soit K. On pose D = A avecD = (di,j) definie par :

di,j = ai,j i, j3. Multiplication de deux matrices Soit A = (ai,j) (resp. B = (bj,k) une

matrice de Mmn(K) (resp. Mnl(K). On pose E = AB avec E Mml(K)et E = (ei,j) definie par :

ei,j =k=nk=1

ai,kbk,j i, j

3.2.3 Transposition dune matrice

Soit M une matrice a m lignes et n colonnes. La transposee de la matriceM est la matrice a n lignes et m colonnes obtenue a partir de M en echangeant

les lignes et les colonnes.On note par tM la transposee de M

Exemple 3.2.1 La transposee de la matrice a 2 lignes et 3 colonnes

A =

1 1 00 1 1

est la matrice a 3 lignes et 2 colonnes

tA =

1 0

1 1

0 1

Definition 3.2.2 1. On dit que la matrice M est symetrique si elle estegale a sa transposee (tM = M).

2. On dit que la matrice M est antisymetrique si elle est egale a lopposede sa transposee (tM = M).

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Exemple 3.2.2 Soit la matrice A donnee par :

A =t

1 0

2 1

t 1 01 22 1

1 02 2

0 1

1 0

0 1

Calculons la matrice A.

A = t

1 0

2 1

t 1 01 22 1

1 02 2

0 1

1 0

0 1

=t 1 0

2 1 1 1 2

0 2 1 1 0

2 20 1

1 00 1 = t

1 0

2 1

3 4

4 3

1 0

0 1

= t

3 4

10 11

1 0

0 1

= t

2 4

10 10

=

2 10

4 10

.

3.3 Matrice de passage

Les matrices de passage sont aussi appelees matrices de changement debase.

3.3.1 Formules de changement de base

Soient E un espace vectoriel de dimension n sur le corps K, et B ={e1, e2, . . ,en} une base de E.soit B = {f1, f2, . . ,f n} une autre base de E. Di-sons commodement que B represente lancienne base et que B

represente lanouvelle base. On se donne les nouveaux vecteurs de la base B en fonctiondes anciens par des formules

fj =n

i=1

ai,jei

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ou ai,j K. Trouver les formules de changement de base, cest trouver la re-lation entre les anciennes coordonnees (x1, x2,...,xn) dun vecteur u E danslancienne base et les nouvelles coordonnees (x1, x

2, . . ,x

n) du meme vecteur

dans dans la nouvelle base. on a

u =n

i=1

xiei =n

j=1

xjfj =n

j=1

xj

ni=1

ai,jei =n

i=1

(n

j=1

xjai,j)ei.

dou

i {1, 2, . . ,n} xi =n

j=1

ai,jxj

Ces egalites secrits matriciellement

x1.

.

.

xn

=

a1,1 ... a1,n. .

. .

. .

xn ... an,n

x1.

.

.

xn

qui conduit a la definition de la matrice

P =

a1,1 ... a1,n. .

. .

. .

xn ... an,n

La matrice carree P dont les colonnes sont les coordonnees de la nouvellebase en fonction de lancienne, est appelee Matrice de passage de la baseB a la base B, notee P(B, B). Avec cette definition, se sont les anciennescoordonnees X du vecteur u en fonction des nouvelles coordonnees X de upar la formule X = P X.

3.3.2 Effet dun changement de base sur les matricesdapplications lineaires

Soit f: E F une application lineaire de matrice M = M(f, B, B) dansles bases B de E et B de F. Soient C une nouvelle base de E et C une nouvellebase de F. Notons P et Q respectivement les matrices de passage de B a C

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et de B a C, X et X les vecteurs colonnes des cordonnees de u dans B etC respectivement, Y et Y les vecteurs colonnes des cordonnees de f(u) dansles bases B et C respectivement.

Les anciennes coordonnees sont obtenues a partir des nouvelles en ecrivantX = P X et Y = QY.Par definition de M on a Y = M X. Par consequentQY = M P X dou Y = Q1M P X, et cela signifie que la matrice M =Q1M P nest autre que la matrice de lapplication lineaire f dans les nouvellesbases C et C.

Si B = B et C = C on a le theoreme suivantTheoreme 3.3.1 Soitf: E E une application lineaire, soient B etB deuxbases de E, alors

M(f, B) = P1M(f, B)P,ou P est la matrice de passage de la base B a la base B.Dans la demonstration on a P = Q

Definition 3.3.1 Soient A et B deux matrices. On dit que A et B sontequivalentes ssi il existe une matrice P telle que :

A = P1BP

Remarque 3.3.1 Les matrices M(f,

B) et M(f,

B) sont equivalentes.

3.3.3 Rang dune matrice

Le rang dune matrice est le nombre maximal de vecteurs colonnes dela matrice lineairement independants. Ce nombre est constant pour toutematrice equivalente.

Remarque 3.3.2 Soit f une application lineaire et A = M(f) (la matricede f), alors rang(A)= rang(f)

3.4 Methodes pratiques

3.4.1 Operations elementaires sur les matrices

Il ya trois types d operations elementaires sur les lignes dune matrice :

1. Echange de deux lignes.

34


36/49

2. Multiplication dune ligne par un scalaire non nul.

3. Ajouter a une ligne un multiple scalaire dune autre.

Il ya aussi trois types d operations elementaires sur les colonnes dune ma-trice :

1. Echange de deux colonnes.

2. Multiplication dune colonne par un scalaire non nul.

3. Ajouter a une colonne un multiple scalaire dune autre.

Definition 3.4.1 1. Deux matrices de type (m, n) sont dites ligne-equivalentesi on peut passer de lune a lautre en effectuant des operations elementaires

sur les lignes.2. Deux matrices de type (m, n) sont dites colonne-equivalente si on peut

passer de lune a lautre en effectuant des operations elementaires surles colonnes.

Definition 3.4.2 On dit quune matrice A = (ai,j) de type (m, n) est echelonneesil existe des entiers j1,j2,..,jp tels que 1 j1 j2 .. jp = n tels que :

1. Tous les elements de la premiere ligne sont nuls jusqu a la colonnej1 1 et a1,j1 = 0.

2. Tous les elements de la deuxieme ligne sont nuls jusqu a la colonnej2 1. et a2,j2 = 0.

3. Tous les elements de p-ieme ligne sont nuls jusqu a jp 1 et ap,jp = 0.la colonne j1 1.

Les indices de colonnes j1,j2,..,jp sappellent les echelons.

Exemple 3.4.1 La matrice

A =

0 1 0 5 0

0 0 1 5 0

0 0 0 0 10 0 0 0 0

est une matrice echelonnee. Les indices de colonnes 2,3,5 sont les echelonsde A et la quatrieme colonne nest pas une colonne a echelon.

35


37/49

Definition 3.4.3 Une matrice A est dite echelonnee reduite si A est echelonnee

et de plus chaque colonnes echelon jk na que des zeros sauf la k-ieme lignede la colonne jk contient 1.

Exemple 3.4.2 La matrice

A =

0 1 0 5 0

0 0 1 5 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

est une matrice echelonnee reduite.

Theoreme 3.4.1 Toute matrice estligne-equivalente a une matrice echelonneereduite.

Exemple 3.4.3

A =

0 0 5 5 12

0 1 3 2 7

0 2 1 1 50 1 2 3 4

En echangeant la premiere et la deuxieme ligne on obtient

0 1 3 2 7

0 0 5 5 120 2 1 1 50 1 2 3 4

En ajoutant a la ligne 3, -2 fois la ligne 1 et a la ligne 4, la ligne 1. Onobtient

0 1 3 2 7

0 0 5 5 12

0 0 5 5 90 0 5 5 11

on multiplie la ligne 2 par

1

5 on obtient

0 1 3 2 7

0 0 1 112

50 0 5 5 90 0 5 5 11

36


38/49

On ajoute a la ligne 3, 5 fois la ligne 2 et a la ligne 4, -5 fois la ligne 2 on

obtient

0 1 3 2 7

0 0 1 1 125

0 0 0 0 3

0 0 0 0 1

on multiplie la ligne 3 par1

3et on ajoute a la premiere ligne, -3 fois la

deuxieme ligne on obtient

0 1 0 1 15

0 0 1 1

12

50 0 0 0 1

0 0 0 0 1

On ajoute a la ligne 4, la ligne 3; a la ligne 1,1

5fois la ligne 3 et a la ligne

2, -12

5fois la ligne 3 on obtient

0 1 0 1 00 0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

3.4.2 Application, famille de vecteurs

Soit la famille {v1, v2, . . ,vn} de vecteurs de Km.Probleme 3.4.1 Si W est le sous-espace engendre par cette famille, alorsdonner une base de W et en particulier sa dimension.

Pour resoudre ce probleme, on ecrit les vecteurs en ligne et on obtient lamatrice :

A =

a1,1 a1,2 ... a1,na2,1 a2,2 ... a2,n...

am,1 am,2 ... am,n

On echelonne la matrice A et on trouve r lignes avec au moins un coefficientnon nul et m r lignes nulles. ces lignes forment une nouvelle famille de

37


39/49

vecteurs equivalente a la famille de depart. Soit {w1, w2, . . ,wr} cette nouvellefamille. Alors le sous-espace engendre par {v1, v2, . . ,vn} possede comme base{w1, w2, . . ,wr}.

En particulier dim(W) = r.

3.4.3 Application, calcul du rang dune matrice

Comme les operations elementaires sur les lignes dune matrice conservele rang de la matrice , on peut effectuer des operations elementaires sur leslignes de la matrice jusqua lobtention dune matrice echelonnee.

Exemple 3.4.4 On veut calculer le rang de la matrice A ci-dessous :

A =

1 5 9 13 17

3 7 11 15 19

2 6 1 0 11

1 3 14 21 16

On echelonne la matrice A on obtient la matrice echelonnee suivante

1 5 9 13 17

0 8 16 24 320 0 18 28 14

0 0 0 0 0

Nous lisons sur la mtrice echelonnee que le rang de la matrice initiale A est3.


Exercice 3.5.1 Soit E lespace vectoriel des polynomes a coefficients reelsde degre strictement inferieur a 4. On considere lapplication u: E E qui atout polynome P associe le reste de la division de P par X2

1.

1. Soient les polynomes

P1 = 1, P2 = X 1, P3 = X2 1 et P4 = (X2 1)(X+ 1).

Montrer que (P1, P2, P3, P4) est une base de E et donner la matrice delapplication lineaire par rapport a cette base.

38


40/49

2. Determiner limage et le noyau de u.

3. Montrer que Ker(u) Im(u) = E.4. Ecrire la matrice associee au par rapport a la base canonique (1, X , X 2, X3)

de E.

5. Calculer u2.

Solution 3.5.1 1. Toute famille de polynomes de degres differents estlibre. Ces quatre polynomes, dans un espace vectoriel de dimension 4, forment une base.

u(P1) = 1, u(P2) = X 1, u(P3) = 0, et u(P4) = 0.

A = M(u, (Pi)) =

1 0 0 00 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

.

2. Il est claire que (P1, P2) engendre limage de u et de plus cest un systemelibre. Il sagit donc dune base de Im(u). Le noyau est de dimension4 dimIm(u) = 2 et contient (P3, P4) lequel est libre. Par suite, (P3, P4)est une base de Ker(u).

3. La reunion dune base (P1, P2) de Im(u) et dune base (P3, P4) de Ker(u)

est une base de E, d ou le resultat.4. u(1) = 1, u(X) = X, u(X2) = 1 et u(X3) = X; d ou,

B = M(u, (1, X , X 2, X3)) =

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

.

5. A2 = A, B2 = B ; u2 = u.

Exercice 3.5.2 Montrer que le vecteur Z est dans le sous-espace vectorielde R4 engendre par la famil le de vecteurs v1,v2 et v3 :

Z =

97

4

8

, v1 =

7

429

, v2 =

45

17

, v3 =

94

4

7

.

39


41/49

Solution 3.5.2 Le vecteur Z est dans le sous-espace engendre par v1,v2 et

v3 sil secrit comme combinaisons lineaire de ces trois vecteurs ; ce que veutdire que les quatres vecteurs v1,v2, v3 et Z sont lineairement dependants. Onforme la matrice A formee par les 4 vecteurs :

A =

7 4 9 94 5 4 72 1 4 49 7 7 8

La marice echelonnee reduite de A est :

A =

1 0 0 7.50 1 0 3

0 0 1 5.5

0 0 0 0

Ce qui montre que le vecteur Z = 7.5v1 + 3v2 + 5.5v3. Donc il est bien dans lesous-espace vectoriel de R4 engendre par v1,v2 et v3.

Exercice 3.5.3 Soit S R4 le sous-espace vectoriel engendre par les co-lonnes de la matrice

A =

1 2 0 1

2 3 1 01 3 3 12 1 1 0

1. Trouver la dimension de S. Trouver le nombre dequations pour ca-

racteriser les vecteurs de S.

2. Donner un systeme dequations homogene dont S est lensemble de so-lutions .

Solution 3.5.3 1. Effectuons des operations elementaires sur les colonnesde la matrice A :

A =

1 2 0 1

2 3 1 0

1 3 3 12 1 1 0

1 0 0 0

2 1 1 21 5 3 22 3 1 2

40


42/49

1 0 0 0

2 1 0 01 5 8 82 3 4 4

1 0 0 0

2 1 0 01 5 1 02 3 1/2 0

La derniere matrice est une forme echelonnee par rapport aux colonnes.pour une telle matrice, le sous-espace engendre par les colonnes est dedimension egale aux nombres de colonnes non nulles. Donc il est de di-mension 3. Comme les operations elementaires laisse inchange le sous-espace engendre par les colonnes, le sous-espace S est de dimension 3.Il faut donc 4 3 = 1 equation pour caracteriser les vecteurs de S.

2. Continuons les operations elementaires sur les colonnes

1 0 0 0

2 1 0 0

1 5 1 02 3 1/2 0

1 0 0 0

0 1 0 0

9 5 1 04 3 1/2 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1/2 1/2 1/2 0

La derniere matrice est la forme echelonnee reduite suivant les co-lonnes. Nous lisons sur la forme reduite que lespace S est forme desvecteurs

x1

1

0

0

1/2

+ x2

0

1

0

1/2

+ x3

0

0

1

1/2

=

x1x2x3

x1/2 x2/2 + x3/2

Il sensuit que les vecteurs de S sont caracterises par lequation

x4 = x1/2 x2/2 + x3/2ou, de maniere equivalente, par : x1 + x2 x3 + 2x4 = 0

41


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Chapitre 4

Notion de determinant

Dans ce chapitre on se limite aux matrices carrees. Soit E un espacevectoriel de dimension finie n et B = {e1, e2, . . ,en} une base de E. Soit f: E Eet soit M sa matrice associee relative a B.

4.1 Applications multilineaires alternees

Soient E1,...,En et F des espaces vectoriels sur K et f: E1 ..En F uneapplication. On dit que f est une application multilineaire si elle est lineaire

par rapport a chacune de ces variables : pour tout i {1, . . ,n} et tout xj Ej,lapplication

: Ei Fx f(x1,..,x,..,xn) est lineaire.

Si n = 2, une application multilineaire est dite aussi application bilineaire.

Definition 4.1.1 Une application multilineaire f est dite alternee si

f(x1, . . ,xn) = 0

chaque fois que deux vecteurs sont egaux.

Definition 4.1.2 SiF = K etEi = E(i), alors f est dite forme multilineairesur E.

42


44/49

Definition 4.1.3 Le determinant dans la base B est lunique forme multi-lineaire alternee sur E telle que

detB

(B) = 1.On note le determinant dune famille de vecteurs {v1, v2, . . ,vn} de E

detB

(v1, v2, . . ,vn)

Exemple 4.1.1 (Pour n=2) Soient E = R2, B = {e1, e2} une base de E etv1 = ae1 + be2, v2 = ce1 + de2 deux vecteurs de E. Le determinant de la famil lede vecteurs {v1, v2} est :

detB

(v1, v2) = detB

(ae1 + be2, ce1 + de2)

= detB (ae1, ce1 + de2) + detB (be2, ce1 + de2)

= detB

(ae1, ce1) + detB

(ae1, de2) + detB

(be2, ce1) + detB

(be2, de2)

= detB

(ae1, de2) + detB

(be2, ce1)

= ad detB

(e1, e2) + bc detB

(e2, e1)

= ad detB

(e1, e2) bc detB

(e1, e2)

= (ad bc)detB

(e1, e2)

= (ad bc).Theoreme 4.1.1 Soit B une base de E.

1. La famille{

x1

, . . ,xn}

est liee ssi detB

(x1,...,x

n) = 0

2. La famille {x1, . . ,xn} est une base de E ssi detB

(x1,...,xn) = 0Definition 4.1.4 On appelle determinant de la matrice dordre n A le determinantdans la base canonique de Kn de la famille de vecteurs colonnes de la matriceA.On le note :

detB

(A) =

x1,1 x1,2 ... x1,j ... x1,nx2,1 x2,2 ... x2,j ... x2,n. . . . .

. . . . .

. . . . .

xi,1 xi,2 ... xi,j ... xi,n. . . . .

. . . . .

xm,1 xm,2 ... xm,j ... xm,n

43


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4.2 Calcul pratique du determinant

4.2.1 Regles simples

Dans les cas qui suivent le determinent est nul

1. Au moin une ligne ou une coloonne de zeros.

2. Deux lignes ou deux colonnes identiques.

3. Une ligne (resp. une colonne) combinaison linaire des autres lignes(resp. colonnes).

Et nous avons les proprietes suivantes :

1. le determinat ne change pas si on a joute a une ligne une combinaisonlineaire des autres lignes.

2. le determinat ne change pas si on ajoute a une colonne une combinaisonlineaire des autres colonnes.

Exemple 4.2.1 1. Montrer que le determinant de

A =

1 3 21 0 2

2 1 4

est nul.2. Montrer que le determinant de

B =

3 1 22 1 1

1 0 1

est nul.

4.2.2 Calcul a laide des cofacteurs

Soit la matrice carree A dordre n, de terme general ai,j.

Definition 4.2.1 On appelle mineur de lelement ai,j le determinant obtenuen supprimant la ligne i et la colonne j, note Ai,j .

Definition 4.2.2 On appelle cofacteur de lelement ai,j le scalaire (1)i+jAi,jet la matrice formee par les cofacteurs est appelee comatrice de A , notee Ac.

44


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Developpement dun determinant suivant une ligne ou une colonne

1. Soit la i0 eme ligne de A, le determinant est donne par :

detB

(A) =j=nj=1

ai0,j(1)i0+jAi0,j

2. Soit la j0 eme colonne de A, le determinant est donne par :

detB

(A) =i=ni=1

ai,j0(1)i+j0Ai,j0

4.2.3 Calcul de linverse dune matriceSi la matrice est inversible , on a :

A1 =1

det(A)

t

Ac

Exemple 4.2.2 Soit

A =

1 1 03 1 1

0 2 2

1. Montrer que le determinant de A est 2.2. Montrer que :

A1 =

2 1 03 1 1/2

3 1 1

4.2.4 Methode pratique de calculer linverse dune ma-trice

Pour calculer pratiquement linverse dune matrice donnee A, on effectue

simultanement les memes operations elementaires sur les lignes de A et de I,jusqua ce que A soit transformee en I; I est alors devenue linverse de A.

Exemple 4.2.3 Soit

A =

1 1 10 2 3

5 5 1

45


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Nous formons le tableau suivant :

(A | I3) = 1 1 10 2 3

5 5 1

|1 0 0

0 1 0

0 0 1

Retronchons de la ligne 3, 5 fois la ligne 1, nous obtenons :

1 1 10 2 3

0 0 4|

1 0 0

0 1 0

5 0 1

Divisons la ligne 2 par 2, nous obtenons 1 1 10 1 3/2

0 0 4|

1 0 0

0 1/2 0

5 0 1

Retronchons la ligne 2 de la ligne 1, on a :

1 0 1/20 1 3/2

0 0 4|

1 1/2 00 1/2 0

5 0 1

Divisons la ligne 3 par -4, on a :

1 0 1/20 1 3/2

0 0 1

|1 1/2 00 1/2 0

5/4 0 1/4

Ajoutons a la ligne 1, 1/2 fois la ligne 3, on a :

1 0 0

0 1 0

0 0 1

|13/8 1/2 1/8

15/8 1/2 3/8

5/4 0 1/4

Dou

A1 =

13/8 1/2 1/815/8 1/2 3/8

5/4 0 1/4

46


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Exercice 4.3.1 Sachant que le determinant de la matrice

A =

a b cd e f

g h i

est 5. Calculer les determinants des matrices suivantes :

B =

a + d b + e c + f

d e f

g h i

et C =

a b c

2d + a 2e + b 2f + c

g h i

Solution 4.3.1 Comme on a ajoute la ligne 2 a la ligne 1, la determinantB reste inchange (det(B) = 5).

Comme on a multiplie la ligne 2 par 2 et on a ajoute la ligne 1 a la ligne2, le determinant de C est :

2

a b c

d e f

g h i

= 2 5 = 10

Exercice 4.3.2 On considere les scalaires a1,...,an et b1, . . ,bn tels que tousles ai sont distincts eti, ai+bi = 0. On veut calculer le determinant suivant :

1

a1 + b1...

1

a1 + bn. .

. .1

an + b1...

1

an + bn

1. Decomposer en elements simples la fraction rationnelle

R = (b1 X)...(bn1 X)(X+ a1)...(X+ an)

.

2. Exprimer n en fonction de n1.3. Calculern.

47


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Solution 4.3.2 1. Comme la partie entiere de R est nulle et tous les poles

de R sont simples, alors la decomposition theorique de la fraction R est

R =n

k=1

kX+ ak

(4.1)

ou les k sont des coefficients a determiner.

Calculons les k pour k allons de 1 a n. En Multipliant la relation 4.1par X+ ak et prenons X = ak on obtient

k =n1j=1 (bj + ak)j=k(aj ak) .

2. En remplaant la ligne n, (Ln) parn

i=1 iLi, on obtient

1

n

1

a1 + b1...

1

a1 + bn. .

. .

R(b1) ... R(bn)

.

Comme tous les R(bj) sont nuls pour j allant de 1 a n 1,

1

n

1

a1 + b1...

1

a1 + bn. .

. .

0 ... R(bn)

.

En developpant le determinant par rapport a la derniere ligne , on a :

n = R(bn)n

n1 = (b1 bn)...(bn1 bn) j=k (aj an)(bn + a1)...(bn + an) n1j=1 (bj + an)

n1 (4.2)

3. Comme

1 =1

a1 + b1 ,

la relation de recurrence (4.2) nous donne

n = i

mathematique i (algebre)

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