Mathematik der Börsenspekulation

Optionshandel an der Börse

Was sind Optionen?

Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht,

• ein festgelegtes Gut (z.B. eine Aktie)• zu einem festgelegten Preis

(dem Ausübungspreis)• in einem festgelegten Zeitraum (amerikanische

Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt (europäische Option)

zu kaufen.

Verkäufer KäuferOption

Optionspreis

Kursentwicklung

Ausübung: Käufer kauft das Gut zum Ausübungspreis der Option

Keine Ausübung

Ablauf eines Call-Optionsgeschäfts

Pay-off-Diagramm beim Kauf einer Call-Option

-5

5

15

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Aktienkurs (€)

Ge

win

ne

/Ve

rlu

ste

(€

)

Herr X kauft für 2,50 € eine Call-Option mit Ausübungspreis 63 €.

Die Siemens Aktie

Die Kursentwicklung während der letzten 7 Jahre(in Euro)

0

50

100

150

200

0

5

10

15

20-2

2,61

%

-15,

92%

-9,2

2%

-2,5

3%

4,17

%

10,8

7%

17,5

6%

24,2

6%

30,9

6% und

größ

er

Rendite

Häu

figke

itHistogramm der Monatsrenditen

Den Schwerpunkt der Verteilung gibt das arithmetische Mittel m und die typische Abweichung die Standardabweichung s.

m m+sm-s

Entwicklungsrahmendes zukünftigen Aktienkurs

90,63 €

68,80 €

52,23 €

39,65 €

78,95 €

59,93 €

45,50 €

52,20 €

68,77 €

59,90 €

·1,15 (m+s)

·0,87 (m-s)

59,93 €4,13 €

52,23 €0 €

68,80 €8,80 €

Ausübungspreis der Call-Option 60,00 €

Ausübung

Keine Ausübung

Rekursionsschritt

Ausübungszeitpunkt der Option

Eine Periode vorher

Aktienkurs

Optionspreis

Die 4,13 € errechnen sich aus den beiden Endpreisen der Option, 8,80 € und 0 €, wenn man fordert, dass es keinen sicheren Gewinn geben kann (Arbitrage).

Vom Binomial-Modellzur Black-Scholes-Formel

• Mit dem Binomial-Modell lässt sich die Black-Scholes-Formel gewinnen, indem man die Anzahl n der Perioden gegen Unendlich laufen lässt.

• Die Black-Scholes-Formel gibt den Optionspreis in Abhängigkeit von: – dem aktuellen Kurswert– der Ausübungsfrist– dem Ausübungspreis– der Volatilität und– dem Zinsfaktor

Preise verschiedener Siemens Call-Optionen nach der Black-Scholes-Formel

48 53 58 63 68 73 78

0,00

5,00

10,00

15,00

Op

tio

ns

pre

ise

(€

)

Ausübungspreis (€)

1 Monat

2 Monate

3 Monate

6 Monate

  48 53 58 63 68 73 78

1 Monat 12,14 7,52 3,99 1,72 0,60 0,18 0,04

2 Monate 12,51 8,40 5,16 2,90 1,50 0,72 0,32

3 Monate 12,96 9,13 6,08 3,83 2,30 1,32 6,73

6 Monate 14,30 10,34 8,18 5,99 4,31 3,06 2,14