mathchem skript cas ws14

8/18/2019 Mathchem Skript CAS WS14

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Einf ̈uhrung in die

mathematische Behandlungder Naturwissenschaften

Prof. Dr. H Ebert und Dr. D Ködderitzsch

-3-2

-10

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3-3

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1

2

3

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.30.4

The general theory of quantum mechanics is now almost complete. [...] The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, [...]

P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London A123 (1929) Seite 714-33


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Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 41.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Verknüpfungen und Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . 211.5.2 Ganze, rationale und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Analytische Geometrie und Lineare Algebra 342.1 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Einf ̈uhrung des Vektorbegriffs in Anlehnung an dieEuklidsche Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einemSkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3 Das skalare Produkt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.4 Das Kreuzprodukt und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.5 Geraden- und Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.6 Lineare Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem

Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.4 Elementare Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.5 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.6 Inverse von quadratischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.2 Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.3.3 Berechnung einer Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4.2 Lösbarkeit eines LGS’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.5 Basistransformation und Symmetrieoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 90

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2 Inhaltsverzeichnis

2.5.1 Koordinaten eines Vektors bezüglich einer festen Basis . . . . . . . 902.5.2 Basistransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5.3 Symmetrieoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.6 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.6.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.2 Lösung eines Eigenwertproblemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.3 Eigenschaften eines Eigenwertproblemes . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Funktionen einer Variablen 1053.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.1.2 Darstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.1.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.1.4 Verknüpfung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.2 Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2.3 Methoden der Grenzwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.2 Eigenschaften von stetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.4 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.4.1 Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.4.2 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.4.3 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.4.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.4.5 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.5 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5.1 Definitionen und geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5.2 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.5.3 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.5.4 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.5.5 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.5.6 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1633.5.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6.1 Geometrische Deutung und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6.2 Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.6.3 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . 1743.6.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.6.5 Integration gebrochen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . 1833.6.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.6.7 Interpolation und numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.7 Potenzreihenentwicklung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.7.1 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195


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INHALTSVERZEICHNIS 3

3.7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4 Funktionen mehrerer Veränderlicher 2044.1 Definition, Einf ̈uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.2 Der Begriff der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.3 Mehrdimensionale Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.3.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.3.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.3.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.3.4 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.3.5 Kettenregeln f ̈ur die partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . 226

4.4 Mehrdimensionale Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.4.1 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.4.2 Wegintegrale (2. Art) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.4.3 Wegintegrale f ̈ur Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.4.4 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

5 Verwendete Abkürzungen 251

Index 253

Liste der CAS Beispiele 257

c H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition


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Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Literatur

• L. PapulaMathematik f ̈ur ChemikerEnke Verlag, StuttgartISBN 3-432-88133-9, vergriffenSignatur: Ausgabe 1982: VC 6000 P218(2),Ausgabe 1991: VC 6000 P218(3) (10 Exemplare)

• L. PapulaÜbungen und Anwendungenzur Mathematik f ̈ur ChemikerEnke Verlag, StuttgartISBN 3-432-88953-4, vergriffenSignatur: Ausgabe 1988: VC 6000 P218 U2(2),Ausgabe 1992: VC 6000 PC218 U2(3)

• L. ZachmannMathematik f ̈ur Chemiker

Verlag Wiley-VCHISBN 3-527-29224-1, EUR 52,95Signatur: Ausgabe 1972: VC 6000 Z16,Ausgabe 1974: A 813,Ausgabe 1977: VC 6000 Z16(3),Ausgabe 1984: VC 6000 Z16(4)+2,Ausgabe 1990: VC 6000 Z16(4)

• N. RöschMathematik f ̈ur ChemikerSpringer Verlag, Berlin

ISBN 3-540-56824-7, EUR 24,95Signatur: Ausgabe 1993: VC 6000 R718 (12 Exemplare)

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KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 5

• M. StockhausenMathematik f ̈ur Chemiker

Steinkopff VerlagISBN 3-7985-1025-3, vergriffenbestellbar über Zentralbibliothek

• K. JugMathematik in der ChemieSpringer Verlag, BerlinISBN 3-540-55771-7, vergriffenSignatur: Ausgabe 1993: VC 6000 J93(2)

• I. N. Bronstein, K. A. SemendjajewTaschenbuch der MathematikB. G. Teubner Verlagsgesselschaft, Stuttgart, EUR 29,95Signatur: Ausgabe 1964: SK 110 B869(4)

• G. BrunnerMathematik f ̈ur ChemikerSpektrum VerlagBand I und Band II, ca EUR 31,00

• E.A. ReinschMathematik f ̈ur Chemiker

Teubner, Wiesbaden 2004 ISBN 3-519-00443-7Signatur: Ausgabe 2004: VC 6000 R374 +4

• D. GuedjDas Theorem des PapageisLübbe, 2001ISBN 3-4550-2546-3, EUR 9,95

• S. SinghFermats letzter SatzTaschenbuch, DTV, München 2000

ISBN 3-4233-3052x, EUR 10,00bestellbar über Zentralbibliothek

Leider sind die Bücher von Papula vergriffen und daher nur in der Bibliothek erhältlich.Die letzten beiden Bücher sind zwei Beispiele daf ̈ur, daß Mathematik durchaus unterhal-tend und spannend sein kann.



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6 1.2. Mengen

1.2 Mengen

D ”Unter einer Menge M versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl-unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Gan-zen.” (Georg Cantor 1845-1918)

M

m1

m2

m3

m4

NM = {m1, m2, m3, m4}M = {m3, m4, m1, m2} d.h. die Reihenfolge ist beliebig

oder M = {mi|i = 1,.., 4}oder M = {mi|mi erf ̈ullt die Eigenschaft ...}

speziell M = {}oder M = Ø bezeichnet die leere Menge

D Die Bestandteile oder Objekte in einer Menge nennt man Elemente. F ̈ ur “ m ist Element der Menge M ” schreibt man: m ∈ M . Geh ̈ ort ein Objekt n nicht zur Menge M,so sagt man “n ist nicht Element von M”: n ∈ M .

Beispiel: M = {a,b,c} : a ∈ M , d ∈ M

CAS-Beispiel

Definition der Mengen M und N . Vergleiche M und N .

M : { a ,b , c, d };N : { a , b, c , d ,d , a };


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Offensichtlich sind beide Mengen gleich, da die Elemente d und a in N nicht zweifach zuberücksichtigen sind.

Die Abfrage ob die Menge M das Element a bzw. x enthält erfolgt über elementp:

e l e m e n t p ( a , M ) ;

e l e m e n t p ( x , M ) ;

Liste die Elemente einer Menge M auf und bestimme die Anzahl der Elemente.

reset ();

M : { a ,b , c, d };

n : 0;

fo r i in M do

(

print ( " D ie M en g e M h at d as E l em e nt " , i ) ,n : n + 1

);

print ( " A n z ah l d e r E l e me n t e in d er M e ng e M : " ,n ) ;

Zunächst wurden mit reset() alle internen Speicher gelöscht. Die Variable i durchläuftdurch die Schleifenkonstruktion for i in M do ... nacheinander alle Elemente derMenge M . Um die Anzahl der Elemente festzustellen wird dabei die Variable n hoch-gezählt. n muß zunächst initialisiert werden, d.h. auf den Wert 0 gesetzt werden. DieAnweisung n : n + 1 ist nicht im Sinne einer mathematischen Gleichung zu verstehen,sondern bewirkt daß der Variablen n als neuer Wert das Ergebnis der Operation n + 1

zugewiesen wird.

D Sind alle Elemente a einer Menge A gleichzeitig auch in einer Menge B enthalten, sonennt man A Teilmenge von B: A ⊆ B. B wird als Obermenge von A bezeichnet: B ⊇A. Besitzt B Elemente, die nicht in A enthalten sind, so wird A als echte Teilmengevon B bezeichnet: A ⊂ B.

Symbolisch lassen sich Zusammenhänge zwischen Mengen durch sogenannte Venn-Diagrammedarstellen:

A

B

A ⊆ BA ist Teilmenge von B



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8 1.2. Mengen

Beispiel: A = {a,b,c}, B = {a,b,c,d} : A ⊆ B bzw. B ⊇ A

D Die Vereinigungsmenge M zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente,die zur Menge A oder zur Menge B geh ̈ oren.

M = A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

A

B

A ∪ BA vereinigt mit B

Beispiel: A =

{a,b,c,d

}, B =

{c,d,e,f

} : A

∪ B =

{a,b,c,d,e,f

}

CAS-Beispiel

Bilden der Vereinigungsmenge zweier Mengen mittels des Operators union:

reset () ;

M : { a ,b , c, d };

N : { a ,b , c, d };

P : { c ,d , e, f };

Q : { x ,x , z };

union ( M ,N ) ;

union ( M ,P ) ;

union ( M ,Q ) ;

D Die Schnittmenge M zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zur Menge A als auch zur Menge B geh ̈ oren.

M = A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}


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A

B

A ∩ BA geschnitten mit B

Beispiel: A = {a,b,c,d}, B = {c,d,e,f } : A ∩ B = {c, d}

CAS-Beispiel

Bilden der Schnittmenge zweier Mengen mittels des Operators intersection:

reset ();

M : { a,b ,c ,d }; N : { a,b ,c ,d }; P : { c,d ,e ,f }; Q : { x,x ,z };

i n t e r s e c t i o n ( M ,N ) ;

i n t e r s e c t i o n ( M ,P ) ;

i n t e r s e c t i o n ( M ,Q ) ;

D Die Differenzmenge M zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente,die zur Menge A aber nicht zur Menge B geh ̈ oren.

M = A \ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

A

B

A \ BDifferenzmenge von A und B

Beispiel: A = {a,b,c,d}, B = {c, f , g} : A \ B = {a,b,d}

CAS-BeispielBilden der Differenzmenge zweier Mengen mittels des Operators setdifference:



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10 1.2. Mengen

reset () ;

M : { a, b, c, d}; N : { a,b ,c ,d }; P : { c,d ,e ,f }; Q : { x,x ,z };

s e t d i f f e r e n c e ( M ,N ) ;s e t d i f f e r e n c e ( M ,P ) ;

s e t d i f f e r e n c e ( M ,Q ) ;

Mit setdifference läßt sich feststellen, ob A eine Teilmenge von B ist, da dann A\B dieleere Menge ergeben muß.

A : {a ,b ,c }; B : {a ,b ,c ,d };

s e t d i f f e r e n c e ( A ,B ) ;

s e t d i f f e r e n c e ( B ,A ) ;

Im obigen Beispiel gilt offensichtlich A ⊂

B aber B ⊂

A, d.h. B ist nicht Teilmenge vonA.

S RechenregelnKommutativ- bzw. Vertauschungsgesetze

A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

Assoziativ- bzw. Verkn ̈ upfungsgesetze

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C

Distributiv- bzw. Verteilungsgesetze

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

CAS-Beispiel

Überprüfung der Rechenregeln:

reset () ;

A : { a ,b , c , d }; B : { c , d ,e , f }; C : { e ,f , g , h ,i } ;

union ( A , B ) ; union ( B , A ) ;

i n t e r s e c t i o n ( A , B ) ; i n t e r s e c t i o n ( B , A ) ;

union ( union ( A , B ) , C ) ; union ( A , union ( B , C ) ) ;i n t e r s e c t i o n ( i n t e r s e c t i o n ( A , B ) , C ) ; i n t e r s e c t i o n (A , i n t e r s e c t i o n ( B , C ) ) ;


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union ( A , i n t e r s e c t i o n ( B , C ) ) ;

i n t e r s e c t i o n ( union ( A , B ) , union ( A , C ) ) ;

i n t e r s e c t i o n ( A , union ( B , C ) ) ;

union ( i n t e r s e c t i o n ( A , B ) , i n t e r s e c t i o n ( A , C ) ) ;

D Sind a und b beliebige Elemente, so bezeichnet (a,b) ein geordnetes Paar oder Dupel. Entsprechend wird (a,b,c) als Tripel und (x 1,x 2,x 3,...,x n) als n-Tupel bezeichnet.

D Das kartesische Produkt M zweier Mengen A und B ist die Menge aller geord-neten Paare (a,b), die sich aus den Elementen a ∈ A und b ∈ B bilden lassen.

M = A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

entsprechend:

A × B × C = {(a,b,c)|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }A × A = A2 = {(a1, a2)|a1 ∈ A, a2 ∈ A}

CAS-Beispiel

Bilden des kartesischen Produktes zweier Mengen:

reset ();

A : { a ,b , c, d }; B : { c ,d };

c a r t e s i a n _ p r o d u c t ( A , B );



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12 1.3. Verknüpfungen und Gruppen

1.3 Verknüpfungen und Gruppen

D Eine Verknüpfung – repr ̈ asentiert durch das Symbol ◦ – ist eine eindeutige Vor-schrift, die zwei Elementen a und b einer Menge M ein drittes Element c zuordnet.

c = a ◦ b

Die Menge M heißt bzgl. der Verkn ̈ upfung ◦ abgeschlossen, falls c ∈ M ist; d.h. es gilt:c = a ◦ b ∈ M ∀a, b ∈ M

! Die Reihenfolge einer Verknüpfung zweier Elemente ist nicht notwendigerweise belie-big, d.h. a ◦ b muß nicht gleich b ◦ a sein !

Beispiel: M = {C n3 |Drehungen‡ um n3 · 360◦ (n = 0, 1, 2)}

1

2 3

3

1 2

2

3 1

3

1 2

C 03 = E

C 13 = C 3C 23

Die Verknüpfung ◦ zweier Elemente von M läßt sich hier als Hintereinanderausf ̈uhrungzweier Drehungen interpretieren. Das Ergebnis aller möglichen Verknüpfungen, die sichdabei ergeben wird in der Verknüpfungstafel zusammengefaßt:

‡Drehungen sind immer im mathematischen Sinn zu verstehen; d.h. bei positivem Drehwinkel gegenden Uhrzeigersinn


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b

◦ E C 3 C 23

a

E C 3C 23

E C 3 C 23

C 3 C 23 E

C 23 E C 3

a ◦ b

a ◦ b impliziert daß zuerst Rotation b und dann Rotation a auszuf ̈uhren ist.

D Ist auf einer Menge G eine Verkn ̈ upfung ◦ definiert, so wird G als Gruppe bez ̈ uglich ◦ bezeichnet, falls folgende Gruppenaxiome erf ̈ ullt sind:

a) die Menge G ist bzgl. ◦ abgeschlossen:a ◦ b = c ∈ G ∀a, b ∈ G

b) es gilt das Assoziativgesetz:a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ∀a,b,c ∈ G

c) es existiert ein linksneutrales Element e, so daß gilt:e ◦ a = a ∀a ∈ G

d) es existiert zu jedem Element a ∈ G ein linksinverses Element a−1 ∈ G, so daß gilt:

a−1

◦ a = e ∀a ∈ G

D Eine Gruppe G wird abelsch oder kommutativ genannt, falls die Verkn ̈ upfung ◦kommutativ ist, d.h. es gilt:

a ◦ b = b ◦ a ∀a, b ∈ G

D Gruppen mit endlich vielen Elementen nennt man endlich. Die Ordnung einer

Gruppe gibt die Anzahl der Elemente an. Statt Verkn ̈ upfungstafel spricht man bei einer Gruppe von einer Gruppentafel.

D Ist U ⊆ G, wobei G eine Gruppe bzgl. ◦ ist, und ist U ebenfalls eine Gruppe bzgl.◦, so nennt man U Untergruppe von G.

S Kürzungsregel 1c H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition


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G sei eine Gruppe bzgl. ◦, dann gilt:

a ◦ b = a ◦ c =⇒ b = c ∀a, b, c ∈ G (1.1)

Ba ◦ b = a ◦ c

a−1 ◦ a

◦ b = a−1 ◦ a ◦ ce ◦ b = c

S Jedes linksneutrale Element einer Gruppe G ist gleichzeitig auch rechtsneutrales Ele-ment (einfach: neutrales Element).

B Es gilta = e ◦ a

a−1 ◦ a = a−1 ◦ (e ◦ a)e = a−1 ◦ (e ◦ a) (1.2)

Weiterhin gilt auch

e = e ◦ ee = (a−1 ◦ a) ◦ ee = a−1 ◦ (a ◦ e) (1.3)

Gleichsetzen von (1.2) und (1.3) f ̈uhrt auf a−1 ◦ (e ◦ a) = a−1 ◦ (a ◦ e). Anwendung derKürzungsregel 1 f ̈uhrt schliesslich auf e ◦ a = a ◦ e, d.h. e ist links- und rechtsneutralesElement. Zusätzlich ist noch strenggenommen die Eindeutigkeit zu zeigen.

S F ̈ ur alle Elemente a einer Gruppe G gilt:(a−1)−1 = a


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B Sei b ∈ G. Dann ist wegen d) b−1 ◦ b = e. Setze b = a−1. Dann folgt:(a−1)−1 ◦ a−1 = e

((a−1)−1 ◦ a−1) ◦ a = e ◦ a(a−1)−1 ◦ (a−1 ◦ a) = a

(a−1)−1 ◦ e = a(a−1)−1 = a

S Jedes linksinverse Element einer Gruppe G ist gleichzeitig auch rechtsinverses Ele-ment (einfach: inverses Element).

B Sei b ∈ G. Dann ist b−1 ◦ b = e. Setze b = a−1:(a−1)−1

◦a−1 = e

a ◦ a−1 = eD.h. a−1 ist links- und rechtsinverses Element von a.

S Kürzungsregel 2G sei eine Gruppe bzgl. ◦, dann gilt:

b ◦ a = c ◦ a =⇒ b = c ∀a, b, c ∈ G (1.4)

B siehe Kürzungsregel 1

S Eindeutige Lösung einer GleichungG sei eine Gruppe bzgl. ◦, dann gilt:

1) a ◦ x = b =⇒ x = a−1 ◦ b2) x ◦ a = b =⇒ x = b ◦ a−1

∀a, b ∈ Gc H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition


18/260


B1) a ◦ x = b

a−1 ◦ a ◦ x = a−1 ◦ bx = a−1 ◦ b

2) entsprechend


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1.4 Funktionen

D Seien A und B zwei beliebige Mengen, so versteht man unter einer Funktion oder Abbildung f von A nach B

f : A −→ Beine eindeutige Vorschrift, die einem x ∈ A genau ein y ∈ B zuordnet:

f : x −→ y = f (x)y heißt Funktionswert oder Bildpunkt von x.

Die Menge aller x ∈ A, denen durch f ein y ∈ B zugeordnet wird ist der Definitions-bereich D(f ) der Funktion.

Die Menge B ist der Wertevorrat W (f ) der Funktion.

Die Menge aller Bildpunkte der Elemente einer Teilmenge U von A heißt Bildmengevon U .

f (U ) = {f (x)|x ∈ U ⊆ A}Offensichtlich gilt: f (U ) ⊆ B.

Die Bildmenge von A wird als die Bildmenge der Funktion f bzw. Wertebreich derFunktion f , kurz Im(f ), bezeichnet.

AB

f

f (A) = I m(f )

Fallen B und f (A) = Im(f ) zusammen, so spricht man von einer Abbildung von Aauf B. Die Funktion f : A −→ B wird dann als surjektiv bezeichnet.Gilt

f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ Ad.h. zwei verschiedene Elemente x1, x2 besitzen immer verschiedene Bildpunkte, dann

nennt man die Funktion injektiv oder eineindeutig.Ist f : A −→ B sowohl surjektiv als auch injektiv, so nennt man f bijektiv.



20/260

18 1.4. Funktionen

Zu jeder bijektiven Abbildung f : A −→ B gibt es eine Umkehrfunktion f −1 mit:

f −1 : B −→ Ay −→ x ∈ A (mit f (x) = y)

Zu jeder Funktion f : A −→ B geh ̈ ort ihr Graph G(f ), der als Teilmenge des direkten Produktes von A und B definiert ist:

G(f ) = {(x, y)|x ∈ A ∧ y = f (x) ∈ B}

G(f ) ⊂ A × B

Anmerkung: Zu jedem x ∈ A gibt es genau ein y ∈ B mit (x, y) ∈ G. Dieser Sachverhaltbietet eine alternative Möglichkeit den Funktionsbegriff einzuf ̈uhren ohne den Ausdruck“Vorschrift” zu verwenden.

Beispiele:• A und B sind endliche Mengen

B

•••••

Im(f ) =

f (A)

G(f )

A × B

• • • • • • • • • • • A

• A, B ⊂ IRIR ist die Menge aller reellen Zahlen (s.u.)


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G(f ) ⊂ A × B

B

y = f (x)

Im(f ) = f (A)A x

(x, y)

A × B

• surjektive FunktionA, B ⊂ IR, f (A) = BJedes y ∈ B wird mindestens einmal als Funktionswert angenommen.

xA

y

f (A) = B

• injektive FunktionA, B ⊂ IR, f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2Jedes y ∈ B wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen.



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20 1.4. Funktionen

xA

y

B

• bijektiv Funktion mit UmkehrfunktionA, B ⊂ IR, f und f −1 sind surjektiv und injektiv d.h. bijektiv jedes y ∈ B wird genau einmal als Funktionswert angenommen.

x

A

x y

B

y

BA


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1.5 Zahlen

1.5.1 Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion

D Der “nat ̈ urliche Z ̈ ahlprozeß”, der ausgehend von der “0” die natürlichen Zahlen(IN = {0, 1, 2, 3, . . .}) erzeugt, l ̈ aßt sich durch die Peano-Axiome formalisieren:

a) Die nat ̈ urlichen Zahlen bilden eine Menge IN mit dem ausgezeichneten Element “0”.

b) Auf IN ist eine Abbildung ν : IN

−→ IN

\ {0

} erkl ̈ art, die zu n

∈ IN den Nachfolger

ν (n) angibt.

c) n1 = n2 =⇒ ν (n1) = ν (n2)

d) Enth ̈ alt eine Teilmenge A ⊆ IN die Zahl 0 und ist mit jedem n ∈ A auch ν (n) ∈ A,so ist A = IN (Prinzip der vollst ̈ andigen Induktion).

Statt 0, ν (0), ν (ν (0)), ν (ν (ν (0))), . . . schreibt man 0, 1, 2, 3, . . .

! Alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen lassen sich “rein logisch” aus den Peano-Axiomen ableiten. Insbesondere ist festzuhalten:

• Auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine Ordnung (kleiner, gleich, größer)gegeben, mit der Eigenschaft: f ̈ur beliebige x, y ∈ IN gilt entweder x < y oder x = yoder x > y.

• Es lassen sich die bekannten Rechenoperationen einf ̈uhren:

−Addition−Multiplikation

kommutativ

−Subtraktion−Division

Alternative Formulierung f ̈ur das Prinzip der vollständigen Induktion:

A(n) sei eine Aussage über die Zahl n (n ∈ IN). Ist die Aussage f ̈ur n = n0 richtig undfolgt aus der Richtigkeit von A(k) f ̈ur ein beliebiges k ∈ IN, k ≥ n0, diejenige von A(k +1),



24/260

22 1.5. Zahlen

so ist A(n) f ̈ur alle n ∈ IN, n ≥ n0 erf ̈ullt.

! Die “Aussagenkette” muß nicht unbedingt bei n0 = 0 gestartet werden.

Beispiel:

S F ̈ ur jedes n ≥ 1 gilt:n

i=1 i = 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)

2

Induktionsanfang: Die Aussage ist richtig f ̈ur n = n0 = 1.

Induktionsannahme: Die Aussage ist richtig f ̈ur ein k ≥ 1.Induktionsschritt:

k+1i=1

i = ki=1

i + (k + 1)=

k(k + 1)

2 + (k + 1)

= k(k + 1) + 2(k + 1)

2

= (k + 1)(k + 2)

2

= (k + 1)[(k + 1) + 1]

2

Dies ist genau die Beziehung die f ̈ur (k+1) erwartet wird! Damit folgt aus der Korrektheitder Aussage f ̈ur k die f ̈ur (k + 1). Da die Aussage f ̈ur n = n0 = 1 korrekt ist, ist sie somitf ̈ur alle n ≥ 1 korrekt.

CAS-Beispiel

Berechne die Summe s = 100

k=1 k aller natürlichen Zahlen k von 1 bis 100.

reset () ;

s : 0;

for i : 1 thru 100 do s : s +i ;s ;


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Durch die Schleifenkonstruktion for i: 1 thru 100 do ... ; werden alle natürlichenZahlen i von 1 bis 100 durchlaufen. Die Zahlen i werden dabei aufsummiert, wobei die

Zwischensumme in der Variable s gespeichert wird.Kürzer geht es mit der Funktion sum:

su m ( i , i , 1 , 1 0 0 ) ;

Für eine unbestimmte obere Summationsgrenze n schreibt man:

nusum ( i , i , 1 , n ) ;

Vollkommen entsprechend lassen sich kompliziertere Summen wie

nk=m k,

(n−1)l=0 (2 l +1),nk=1 k2 oder nk=1 k3 auswerten:

nusum ( k , k , m , n ) ;

nusum ( 2 * l +1 , l , 0 , ( n - 1 ) );

nusum ( k ^2 , k , 1 , n );

nusum ( k ^3 , k , 1 , n );

1.5.2 Ganze, rationale und reelle Zahlen

IN bildet bzgl. der Addition keine Gruppe.

D Die Menge ZZ der ganzen Zahlen entsteht durch Erweiterung der Menge IN durch Erg ̈ anzung mit den inversen Elementen bzgl. der Addition.

Es gilt: IN ⊂ ZZ

S ZZ bildet bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe.

Die Ordnung von IN wird auf ZZ übertragen.

ZZ∗ = ZZ \ {0} bildet bzgl. der Multiplikation keine Gruppe.

D Die Menge Q der rationalen Zahlen ist die Menge aller Zahlen, die sich durch p/q mit p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ = IN \ {0} darstellen lassen.

Q = {x|x = p/q, p ∈ ZZ, q ∈ IN∗}



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24 1.5. Zahlen

Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q

D Auf einer Menge K sei eine Addition + und eine Multiplikation · definiert. K wird Körper genannt, falls

a) K eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition bildet mit dem neutralen Element ”0”

b) K ∗ = K \ {0} eine abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation bildet c) das Distributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ K gilt.

S Q ist ein geordneter K ̈ orper. Die Ordnung von ZZ ¨ ubertr ̈ agt sich auf Q durch p

q

< p

q ⇐⇒ p

·q < p

·q

S Jede rationale Zahl l ̈ aßt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen und umgekehrt.

Beispiel:

1

6 = 0, 166666 . . . = 0, 16

0, 16 = 1

10(1 + 0, 6)

= 1

10(1 +

1

10(6 + 0, 6))

Nebenrechnung: 0, 6 = 1

10(6 + 0, 6)

9 · 0, 6 = 6

0, 6 =

2

3


27/260


Damit: 0, 16 = 1

10(1 +

2

3)

= 1

10 · 5

3

= 1

6

S Die Gleichung x2 = 2 besitzt keine L¨ osung in Q.∃x(x2 = 2, x = p/q ∈ Q)

B Annahme: Behauptung doch erf ̈ullt (*):( p/q )2 = 2 mit p ∈ ZZ, q ∈ IN∗ .

Es gilt: p und q sind nicht beide gleichzeitig gerade (**) – ansonsten wird solange gekürztbis dies erf ̈ullt ist. Nun ist aber nach Annahme:

p2 = 2q 2 ,⇓

d.h. p ist gerade.§ Setze p = 2m

(2m)2 = 2q 2

4m2 = 2q 2

2m2 = q 2

⇓q ist gerade

Dies stellt einen Widerspruch zu obiger Aussage (**) dar. Damit muß die ursprünglicheAnnahme (*) falsch sein; d.h. die Aussage des Satzes ist richtig!

Dennoch muß es Zahlen r mit der Eigenschaft r2 = 2 geben.

Satz des Pythagoras r2 = a2 + b2

§ Dies gilt, da f ̈ur p = 2n gerade =⇒ p2 = 4n2 gerade und p = (2n+1) ungerade =⇒ p2 = 4n2+ 4n+ 1ungerade.



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26 1.5. Zahlen

a

br

speziell

a = 1

b = 1 r2 = 2

r nennt man irrationale Zahl.

Jede irrationale Zahl läßt sich durch einen unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruchdarstellen.

D Die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellenZahlen IR.

Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IRIR ist ein geordneter Körper

d.h. u.a.

x > y =⇒ x + z > y + z

und

x > 0, y > 0 =⇒ x · y > 0


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Graphische Darstellung mittels der Zahlengeraden:

0 1

Nullpunkt

y1 < x x y3 > x

y2 = x

Intervalle (Teilmengen) von IR

[a, b] = {x |a ≤ x ≤ b, x ∈ IR} abgeschlossen a b

] a, b] = {x |a < x ≤ b, x ∈ IR} halboffen )a b

[a, b [ = {x |a ≤ x < b, x ∈ IR} halboffen (a b

] a, b [ = {x |a < x < b, x ∈ IR} offen ) (a b

CAS-Beispiel

Löse die Gleichung x2 = 2:

solve ( x ^2 = 2 , x );

Auch Maxima liefert keine rationale Zahl als Ergebnis, sondern die beiden Lösungen +√

2und −√ 2, die zu einer Lösungsmenge zusammengefaßt sind.Natürlich läßt sich mit der Funktion solve auch die sogenannte Mitternachtsformel er-halten, d.h. die Lösungen der Gleichung a x2 + b x + c = 0 erhält man mit:

solve ( a * x ^2 + b * x + c = 0 , x );

Die einzelnen Lösungen werden in einer Lösungsmenge A abgelegt.

kill ( A , a , b , c , x ) ;

A : solve ( a * x ^2 + b * x + c = 0 , x );

a : 2;

b : 3;

c : -1 ;

fo r l :1 th ru 2 doblock ( [ x , T E S T ] ,



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28 1.5. Zahlen

print (" Lo es un g " ,l ,": " , ev ( rhs ( A [ l ] ) ) ) ,

x : ev ( rh s ( A [ l ] ) ) ,

TEST : a * x ^2 + b * x + c ,

print ( " E i n s e tz e n l i e fe r t ( s y m b o l is c h ) : " , T E S T ) ,

print ( " E in s et z en l i ef e rt ( n u m er i sc h ) : " , float ( T E S T ) )

);

In der vorausgegangen Auflistung der Lösungen wurden die einzelnen Lösungen in derListe A abgespeichert. Auf die Lösung l kann nun über A[l] direkt zugegriffen werden.Wie man sieht muß die Gleichung nicht neu gelöst werden, sondern es wird bei einernachträglichen Festlegung der Koeffizienten a, b und c auf die zuvor erfolgte allgemeineLösung zurückgegriffen.

Für die getroffene Wahl der Koeffizienten a, b und c ist das Ganze gut gegangen, d.h. die

Lösungen der Gleichung sind reelle Zahlen. Hätten wir f ̈ur c = +2 gewählt, so würde diesnicht mehr zutreffen. Dies gilt bereits f ̈ur den Spezialfall a = 1, b = 0 und c = 1, der imfolgenden behandelt wird.

Der Befehl kill löst Variablenbindungen im Speicher. rhs entnimmt einer Gleichung(x = y) die rechte Seite und ev forciert das Auswerten eines Ausdrucks.

1.5.3 Komplexe Zahlen

S Die Gleichung r2 = −1 besitzt keine L¨ osung in IR.∃r (r2 = −1, r ∈ IR)

B

x > 0, y > 0 =⇒ x · y > 0x 0

damit gilt f ̈ur r ∈ IR

r = 0 =⇒ r2 = 0r = 0 =⇒ r2 > 0

d.h. der Fall r 2


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i2 = −1.

D Die Menge der komplexen Zahlen C ist die Menge aller Zahlen der Form z = x + iy mit x, y ∈ IR

x wird Realteil von z genannt; x = Re (z )

y wird Imaginärteil von z genannt; y = Im (z )

N Alternative Schreibweise: z = (x, y) ∈ IR2

D Die Addition auf C ist definiert durch:(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) ∈ C

⇑Abgeschlossenheit

Beispiel:

(5 + i3) + (7 − i2) = 12 + i

D Die Multiplikation auf C ist definiert durch:

(x + iy) · (u + iv) = x · u + x · iv + iy · u + iy · iv= (x · u + i2y · v) + i(x · v + y · u)= (x · u − y · v)

+i (x · v + y · u)

∈ C

∈ IR

∈ IR

⇑Abgeschlossenheit

Beispiel:

(5 + i3) · (7 − i2) = 35 − (−6) + i(−10 + 21)= 41 + i11

S C ist ein K ̈ orper bzgl. der Addition und Multiplikation.

Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C



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30 1.5. Zahlen

C ist nicht geordnet; d.h. z 1 < z 2 ergibt keinen Sinn

CAS-Beispiel

Löse die Gleichung x2 = −1 nach x auf:reset () ;

solve ( x ^2= -1 , x );

Die imaginäre Zahl i wird also von MAXIMA durch %i dargestellt. %i ist daher ein reser-vierter Variablennamen und darf vom Nutzer nicht verwendet werden.

Das Rechnen mit komplexen Zahlen erfolgt nun in der Weise wie man es vom Umgangmit reellen Zahlen gewohnt ist:

( 5+ % i * 3) + ( 7 -% i * 2 );

r e c t f o r m ( (5 + % i *3 ) * ( 7 -% i * 2 )) ;

Einige kompliziertere Beispiele sind:

r e c t f o r m ( (5 + % i *3 ) / ( 7 -% i * 2 )) ;

r e c t f o r m ( ( 1 + % i ) ^ 4 ) ;

r e c t f o r m ( ( 5 +% i * 3 ) ^ 2 / ( 1 +% i ) ) ; ;

Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

x

y Im(z )

Re(z )

z = x + iy = (x, y)

z ∗ = x − iy

|z | = r

|z ∗

|

φ

D z ∗ = x − iy wird die zu z = x + iy komplex konjugierte Zahl genannt.

D Der Ausdruck |

z

| =

√ z z ∗ wird Absolutbetrag der komplexen Zahl z genannt.

√ z z ∗ =

(x + iy)(x − iy) = x2 + y2


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CAS-Beispiel

Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gibt es einige spezielle Funktionen: conjugateliefert zu z das kompex konjugierte z ∗, den Real- und Imaginärteil von z erhält man mitrealpart bzw. imagpart und den Absolutbetrag schließlich mit abs:

z : 5 + 12*% i;

c o n j u g a t e ( z ) ;

r e a l p a r t ( z ) ;

i m a g p a r t ( z ) ;

ab s ( z ) ;

sqrt ( r e a l p a r t ( z )^ 2 + i m a g p a r t ( z ) ^2 ) ;

Damit kann man sich leicht von der Korrektheit der Relationen (z ∗)∗ = z , Re(z ) =12

(z + z ∗) sowie Im(z ) = 12i

(z − z ∗) überzeugen:z : 5 + 12*% i;

c o n j u g a t e ( c o n j u g a t e ( z ) ) ;

( z + c o n j u g a t e ( z ) ) / 2 ;

( z - c o n j u g a t e ( z) ) / ( 2* %i );

Darstellung in Polarkoordinaten (r, φ):

Aus der Eulerschen Formel (Ableitung erfolgt später)

eiφ = cos φ + i sin φ

ergibt sich die Darstellung (f ̈ur z = 0):

z = x + iy φ = sign(y) arccos x

|z | , −π < φ ≤ π= |z | cos φ + i |z | sin φ=

|z

|(cos φ + i sin φ)

= |z | eiφ= reiφ

r ist der Absolutbetrag und φ die Phase der komplexen Zahl z . Die Vorzeichenfunktionist definiert als

sign(x) =

−1 f ̈ur x 0

In dieser Darstellung lassen sich die Multiplikation, Division und das Potenzieren kom-plexer Zahlen besonders einfach ausf ̈uhren. Mit z 1 = r1e

iφ1 und z 2 = r2eiφ2 gilt:



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32 1.5. Zahlen

Multiplikation:

z = z 1 · z 2= r1e

iφ1 · r2eiφ2= r1r2e

iφ1eiφ2

= r1r2ei(φ1+φ2)

φ1

z = z 1z 2

φ1

Re(z )

Im(z )

z 1z 2

Division:

z = z 1/z 2

= r1

r2 ei(φ1−φ2)

φ2

z = z 1/z 2

φ2

Re(z )

Im(z )

z 1

z 2

Potenzieren:

z

n

= z

n

1= rn1 e

iφn


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Re(z )

Im(z )z 3

z 1

z 2

z 4



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Kapitel 2

Analytische Geometrie undLineare Algebra

2.1 Vektoralgebra

Motivation:- geometrisch anschauliche Zusammenhänge mathematisch auszudrücken- Möglichkeit geometrische Objekte Rechenoperationen zu unterwerfen- Einf ̈uhrung von Begriffen, die in vielen anderen Bereichen Anwendung finden

2.1.1 Einf ̈uhrung des Vektorbegriffs in Anlehnung an dieEuklidsche Geometrie

Repräsentation von Punkten im Ortsraum durch n-Tupel

- Punkte auf einer Geraden

P ←→ x ∈ IRxE

0 P

- Punkte in einer Ebene

P ←→

(x1, x2) ∈

IR2 = IR×

IR

x1

E 1

x2

E 2

P

34


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KAPITEL 2. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA 35

- Punkte im 3-dimensionalen Ortsraum

P

←→ (x1, x2, x3)

∈ IR3 = IR

×IR

×IRx1

x3

x2

P

E 2

E 3

E 1

Jeder Punkt im Ortsraum läßt sich eindeutig einem Punkt eines abstrakten Raumes zu-ordnen.

! Bei der Zuordnung von Punkten des Ortsraumes zu Zahlentripeln hängen die Koor-dinaten von der Wahl des Koordinatensystems ab.

! Es wird im folgenden immer ein (rechtwinkliges) kartesisches Koordinatensystemvorausgesetzt

D Unter dem n-dimensionalen Raum IRn versteht man die Menge aller geordneten n-Tupel (x1, x2, . . . , xn) mit xi ∈ IR. Jedes n-Tupel repr ̈ asentiert einen Punkt im Raum IRn. Die Gr ̈ oßen xi sind seine Koordinaten.

D Unter einem Vektor v des IRn versteht man das n-Tupel, das sich aus der Differenz der Koordinaten zweier Punkte des IRn ergibt.

v =

x1,B − x1,Ax2,B − x2,A

.

.. .

..xn,B − xn,A

=

v1v2...

vn



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36 2.1. Vektoralgebra

N Schreibweise in der Regel als Spaltenvektor gelegentlich als Zeilenvektor(v1, v2, . . ., vn)

Symbol: v, v, v u.s.w.

Geometrische Deutung:

x2

x3

x1

v

v1

v2

v3

B

A

v =−→AB

- Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke- Der Aufpunkt (A) ist nicht in Raum festgelegt

! Die Koordinaten v1, v2, . . . , vn bzw. Komponenten v1, v2, . . . , vn eines Vektorshängen von der Wahl des Koordinatensystems ab.

D Ortsvektoren sind ortsfeste Vektoren mit dem Ursprung als Aufpunkt.

O

P

P

r =

−→

OP

r =−→

OP


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2.1.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikation miteinem Skalar

D Zwei Vektoren a und b aus IRn sind gleich wenn ihre Koordinaten gleich sind.ai = bi i = 1, . . . , n

Beispiel:

a b b b

b

b

gleich gleich ungleich ungleich ungleich

D Zwei Vektoren a und b aus IRn werden zu einem Vektor c addiert indem man die Koordinaten addiert.

c = a + b mit ci = ai + bi i = 1, . . . , n

bzw.

c1...

cn

=

a1 + b1...

an + bn

Beispiel:

a b

a

b

a + b = c = b + aa

b

S Die Addition von Vektoren ist kommutativ.a + b = b + a



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B

a + b =

a1 + b1

...an + bn

=

b1 + a1...

bn + an

= b + a

D Zwei Vektoren werden voneinander subtrahiert indem ihre Koordinaten vonein-ander subtrahiert werden:

c = a − b =

a1 − b1

...an − bn

=

c1...

cn

Beispiel:

a

b

a

− b

a − b

D Der Nullvektor ist ein Vektor dessen Koordinaten alle gleich Null sind.

0 =

00...0

S Die Menge aller Vektoren aus IRn bildet bzgl. der Vektoraddition eine kommutativeGruppe, da die Gruppenaxiome

G1: Abgeschlossenheit a, b ∈ IRn =⇒ a + b = c ∈ IRn


41/260


G2: Assoziativgesetz a + ( b + c) = (a + b) + c

G3: Existenz eines neutralen Elements 0 + a = a, 0

∈ IRn

G4: Existenz eines inversen Elements a−1 + a = 0, mit a−1 = −asowie das Kommutativgesetz a + b = b + a

erf ̈ ullt sind.

D Multiplikation eines Vektors mit einem SkalarEin Vektor a ∈ IRn wird mit einem Skalar λ ∈ IR multipliziert indem jede Koordinate des

Vektors mit λ

multipliziert wird. b = λa mit bi = λai i = 1, . . . , n

Beispiel:

a b b b b

λ > 1 0 < λ


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f ̈uhren auf den Nullvektor c = 0 mit ci = 0, i = 1, . . . , n

D Die Addition von k Vektoren ai (i = 1, . . . , k), die mit Vorfaktoren λi versehen sind,nennt man Linearkombination.

b =k

i=1

λiai = λ1a1 + . . . + λkak

=

λ1a1,1 + λ2a1,2 + . . . + λka1,k...

λ1an,1 + λ2an,2 + . . . + λkan,k

Beispiel:

a1

λ1a1

a2

λ2a2

a3

λ3a3

b

Schwerpunkt:

rSp =

i

mirii

mi

elektrisches Dipolmoment:

d =

i

q iri

Im folgenden wird zunächst der Typ eines Vektors definiert, dessen Koordinaten reelleZahlen sind. vs und vs sind Spalten- bzw. Zeilenvektoren. Die Funktion transposef ̈uhrt den Spaltenvektor vs in einen Zeilenvektor über - umgekehrtes gilt f ̈ur den Vektor

vz. Es werden die drei Spaltenvektoren a, b und c definiert, a und b addiert und schließlicheine Linearkombination gebildet.


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2.1.3 Das skalare Produkt zweier Vektoren

D Das innere oder skalare Produkt (a, b) zweier Vektoren a und b ∈ IRn ist gegeben durch die reelle Zahl:

(a, b) =n

i=1

aibi

= a1b1 + a2b2 + . . . + anbn

! Unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems (Beweis folgt später).

Allgemein definiert man f ̈ur komplexwertige Koordinaten:

(a, b) =n

i=1

a∗i bi mit a, b ∈ Cn

=

ni=1

aib∗i

∗= ( b, a)∗

S Rechenregeln (λ ∈ IR; a, b, c ∈ IRn)a) (a, b) = ( b, a) Kommutativgesetz

b) (a, b + c) = (a, b) + (a, c) Distributivgesetz

c) λ(a, b) = (λa, b) = (a, λ b)

Bzu a) (a, b) =

ni=1

aibi =n

i=1

biai = ( b, a)

D Die Länge eines Vektors a ∈ IRn ist definiert durch die reelle Zahl a mit:

a = (a, a) = ( ni=1

a2i )1/2 bzw. (

ni=1

a∗i ai)1/2 f ̈ ur a ∈ Cn



44/260


N |a| = a “a-Betrag”

Beispiel:

n = 2 : Satz des Pythagoras:a1

a2a |a| =

a21 + a

22•

D Unter Normierung eines Vektors versteht man die Multiplikation mit einem Ska-lar, so daß der neue Vektor a eine vorgegebene L¨ ange λ besitzt:

a = λ|a|a

Speziell: λ = 1 f ̈uhrt a in einen sogenannten Einheitsvektor über.

a = e = 1|a|a mit |e | = 1

Beispiel:

a = 1−12 =⇒ |a| = √ 6 und e = 1√ 6a = 1√ 6

1

−12 = 1/

√ 6

−1/√ 62/

√ 6


45/260


N ea, êa oder â.

Speziell: Einheitsvektoren längs der Koordinatenachsen ex, ey, ez oder x̂, ŷ, ẑ

D Zwei Vektoren a und b sind orthogonal zueinander falls (a, b) = 0 ist.

Bedeutung des skalaren Produkts im Ortsraum

N In diesem Zusammenhang schreibt man üblicherweise a · b statt (a, b)

Speziell: b ist Einheitsvektor parallel zu einer der Koordinatenachsen, z.B. b = e1.

x1

x2

a

e1

a1 = a cos α

a · e1 = a1

a2a3 ·

1

00

= a1= a cos α

α

Da das Skalarprodukt unabhängig vom Koordinatensystem ist, gilt allgemein:

a · b = ab cos


46/260


B

m

Zeeman-Energie E = − m · B

Arbeit W gegen eine konstante Kraft F (Erdanziehung) längs eines Weges s

W = F · s F =

− F grav

F grav = mg = mg

00−1

s = a

123

W = mga(0 · 1 + 0 · 2 + 1 · 3)

= 3mga

Berechnung des skalaren Produktes zweier Vektoren a und b oder über eine SchleifeBerechnung über die interne Funktion scalarProduct Positionen der H-Atome in CH4mit C am Ursprung Die folgende graphische Darstellung kann übersprungen werden.Berechnung des Tetraederwinkels

2.1.4 Das Kreuzprodukt und Spatprodukt

D Das Kreuzprodukt a × b zweier Vektoren a und b ∈ IR3 ist definiert durch:

c =

c1c2c3

= a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

= a × bMerkregel

c =

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

+ + + − − −


47/260


= e1a2b3 + e2a3b1 + e3a1b2

− e1a3b2 − e2a1b3 − e3a2b1

Bedeutung des Kreuzprodukts im Ortsraum

α

A

a

b

A = a × b gibt die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms an:

A = a × b = |a| b sin αwobei Â die Orientierung der Fläche angibt. Die Vektoren a, b und A bilden ein Rechts-system.

Für den Speziallfall a =

a1a20

, b = b1b2

0

ist dieser Zusammenhang leicht zu zeigen:

b2

b1 a1

a

b

a2



48/260


A = a ×

b mit A3 = (a1b2 − a2b1)

d.h. die Fläche des Parallelograms, das von a und b aufgespannt wird, ist gleich derDifferenz der Rechteckflächen a1b2 und a2b1.

S Rechenregelna) a × b = − b × ab) λ(a × b) = (λa) × b = a × (λ b)

c) a × ( b + c) = a × b + a × cd) a × ( b × c) = (a × b) × ce) Zyklische Vertauschung:

(a × b) · c = ( b × c) · a = (c × a) · b f ) Grassmannscher Entwicklungssatz:

a × ( b × c) = b(a · c) − c(a · b)g) Lagrangesche Identit ̈ at:

(a × b) · (c × d) = (a · c)( b · d) − (a · d)( b · c)

Anwendungen:

Drehmoment D = r × F

×

F r

D

Drehimpuls L = r × p


49/260


p = mvr

m

Lorentzkraft F = qv × B

D Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c ∈ IR3 ist definiert durch:(a × b) · c

a

bc

S Das Spatprodukt (a × b) ·c gibt das Volumen des durch die Vektoren a, b, c aufge-spannten Parallelepipeds an:V = (a × b) · c

! V ≥ 0 falls a, b, c ein Rechtssystem bilden; sonst gilt V


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Den Rauminhalt der primitiven Elementarzelle errechnet man mittels des Spatproduktes.Der Würfel als nichtprimitive Elementarzelle hat das doppelte Volumen, nämlich 1. Daf ̈ur

enthält er aber 2 Atome/Elementarzelle

2.1.5 Geraden- und Ebenengleichung

Im folgenden wird i.allg. von a, b, . . . ∈ IR3 ausgegangen.

D Der Abstand zweier Punkte A und B ist die L¨ ange des Vektors, der sich als Differenz ihrer Ortsvektoren rA und rB ergibt:

dAB = dBA = |rA − rB|

S Alle Punkte deren Ortsvektoren durch r = a + λ b λ ∈ IR; b = 0

gegeben sind, liegen auf einer Geraden.

0 r = a + λ b

a

b

Abstand eines Punktes zu einer Geraden:


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P λ

P

b rP λ = a + λ b

dλ × b

dλ = rP λ − rP

drP

O

a

Es gilt:

d b = dλ × b mit dλ = rP λ − rP wobei λ willkürlich gewählt werden kann

d =

dλ × b b=

dλ × b̂Speziell: λ = 0

d = (a − rP ) × b̂=

a × b̂ − rP × b̂

S Alle Punkte deren Ortsvektoren durch r = a + λ b + µc λ, µ ∈ IR; b × c = 0

gegeben sind, liegen auf einer Ebene.

0

µca

λ b

S Hessesche Normalformc H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition


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Alle Punkte deren Ortsvektoren die Gleichung

n̂ · r = d d ∈ IR; n̂ = 0

erf ̈ ullen, liegen auf einer Ebene senkrecht zum Einheitsvektor n̂ im Abstand d zum Ur-sprung.

n̂

dn̂r

2.1.6 Lineare Vektorräume

D Sei V eine abelsche Gruppe bzgl. +, K ein K ̈ orper und α eine Abbildung mit der Eigenschaft:

α : K × V −→ V (λ, a) −→ α(λ, a) = λa

dann heißt V linearer Vektorraum falls die Eigenschaften

Abgeschlossenheit

a) λa + µ b ∈V Assoziativgesetz b) λ(µa) = (λµ)aDistributivgesetze

c) (λ + µ)a = λa + µad) λ(a + b) = λa + λ b

∀λ, µ ∈ K ∀a, b ∈ V

erf ̈ ullt sind.

a ∈ V heißt Vektorλ ∈ K heißt Skalar

! Im allgemeinen wird im folgenden V = IRn und K = IR vorausgezetzt; das Adjektiv


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“linear” entf ̈allt.

D p Vektoren a1, . . . ,a p eines Vektorraumes V heißen linear abhängig wenn es λ1, . . . , λ p ∈ IR gibt, die nicht alle gleichzeitig 0 sind, so daß

λ1a1 + . . . + λ pa p = 0

Nicht linear abh ̈ angige Vektoren heißen linear unabhängig.

a

linear abhängig linear unabhängig

c

b

D Gibt es in einem Vektorraum eine maximale Zahl k von linear unabh ̈ angigen Vek-toren, so heißt k die Dimension von V , sonst heißt V unendlich dimensional.

Ndim V = k oder V k statt V

D Ist V k ein Vektorraum der Dimension k, so heißen je k linear unabh ̈ angige Vektoren eine Basis von V k.

N Die Basisvektoren a1, . . . ,ak spannen den Vektorraum V k auf .

S Ist V k ein Vektorraum der Dimension k und bilden a1, . . . ,ak eine Basis, so l ̈ aßt sich c H. Ebert & D. Ködderitzsch, 13. Ausgabe – WS 2014/15– CAS edition


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jeder Vektor b aus V auf eindeutige Weise als Linearkombination

b =

ki=1

λiai

darstellen.

Ba1, . . . ,ak sind linear unabhängig

b, a1, . . . ,ak sind damit linear abhängig

=⇒ λb b + λ1a1 + . . . + λkak = 0

b = −λ1λb

a1 − . . . − λkλb

ak

oder b = λ1a1 + . . . + λkak

damit ist b als Linearkombination darstellbar.

Eindeutigkeit:Annahme es gelte weiter: b = µ1a1 + . . . + µkakDifferenz bilden =⇒ 0 = (λ1 − µ1)a1 + . . . + (λk − µk)ak

= ν 1a1 + . . . + ν kak

Es gilt ν i = 0 ∀i wegen der linearen Unabhängigkeit der ai.Damit λi = µi ∀i und damit ist die Eindeutigkeit bewiesen.

S Alternative Formulierung: Jedem Vektor b eines linearen Vektorraumes V k der Di-

mension k wird bez ̈ uglich der festen Basis a1, . . . ,ak durch die Vektorgleichung

b = λ1a1 + . . . + λkak

in umkehrbar eindeutiger Weise ein geordnetes k-Tupel (λ1, . . . , λk) zugeordnet

b ←→ (λ1, . . . , λk) .

N Die λi heißen Komponenten von b bzgl. der Basis a1, . . . ,ak


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Alternativ:

λi : Koordinaten

λiai : Komponenten

Berechnung der Komponenten

λ1a1 + . . . + λkak = b

ai = a1,i...

ak,i

f ̈uhrt auf

λ1a1,1 + λ2a1,2 + . . . + λka1,k...

λ1ai,1 + λ2ai,2 + . . . + λkai,k...λ1ak,1 + λ2ak,2 + . . . + λkak,k

=

b1...

bi...bk

Dies stellt ein System von k linearen Gleichungen in den Unbekannten λ1,...,λk dar. DerLösungsweg wird später behandelt.

D Den ¨ Ubergang bei der Festlegung der Komponenten eines Vektors bzgl. einer Basis a1, . . . ,ak zu einer Festlegung bzgl. einer Basis a

1, . . . ,a

k nennt man Basistransforma-

tion.

a2

a1

a2

a1

b1 = λ1 a1

b2 = λ2 a2

b2 = λ2 a

2

λ1 a1 =

b1 b



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Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Basisvektoren müssen nicht notwendigerweise orthogonal zueinander sein.

Ein Verfahren einen Satz von orthogonalen Basisvektoren zu erhalten ist das SchmidtscheOrthogonalisierungsverfahren.

Sei ai i = 1,...,k ein Satz von Basisvektoren. Setze:

b1 = a1

b2 = a2 − (a2 · b1) b1 b12 = a2 − (a2 · e b1)e b1

b3 = a3 − (a3 · b1) b1b21

− (a3 · b2) b2b22

= a3 − (a3 · e b1)e b1 − (a3 · e b2)e b2allg.

bi = ai −i−1

j=1

ai · b jb2 j

b j = ai −i−1

j=1

(ai · e bj ) e bj

Beispiel:

a1 =

112

a2 =

201

a3 =

310

b1 = a1 =

112

b2 = a2 − (a2 · b1)

b1 b12=

201

− 4 · 1

6 ·

112

=

4/3−2/3−1/3

b3 = a3 − (a3 · b1)

b1b21

− (a3 · b2) b2b22

=

310

− 4 · 16 · 11

2

− 103 · 3

7 · 4/3−2/3

−1/3

= 3/7

9/7−6/7


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Normierung (auf 1) f ̈uhrt zu einem Satz von orthonormalen Basisvektoren ei (orthogonalund normiert):

e1 = a1

a1

ei =

ai −i−1

j=1

(ai · e j)e jai −i−1

j=1

(ai · e j)e j

Gegeben sei ein Satz von 3 Basisvektoren a1, a2, a3. Finden Sie ein orthogonales Basis-system mittels des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens

Überprüfung der Normierung Überprüfung der Orthogonalität



58/260

56 2.2. Matrizen

2.2 Matrizen

Motivation- Lösung linearer Gleichungssysteme- Beschreibung von Basistransformationen

u.s.w.

2.2.1 Definitionen

D Ein Schema

A = (Aij) i=1...mj=1...n

=

A11 A12 . . . A1nA21 A22 . . . A2n

... ...

... ...

Am1 Am2 . . . Amn

von m ·n Elementen Aij ∈ IR heißt eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, kurz m × n-Matrix.

Nm = n die Matrix heißt quadratisch

Ai1 Ai2 . . . Ain i-te Zeile

A1 jA2 j

...

Anj

j-te Spalte

Ai1 Ai2 . . . Ain

i-ter Zeilenvektor

A1 jA2 j

...Anj

j-ter Spaltenvektor

Diagonalelemente alle Aij mit i = j

Nicht – oder Außer –


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diagonalelemente alle Aij mit i = j

Diagonalmatrix

A11

A22 0. . .

0 . . .

Ann

d.h. Aij = 0 f ̈ur i = j

Einheitsmatrix

11 0

. . .

0 .

. .1

d.h. Aij = 0 f ̈ur i = j

Aij = 1 f ̈ur i = j

Nullmatrix

0 d.h. Aij = 0 f ̈ur alle i, j

Obere Dreiecksmatrix

0

d.h. Aij = 0 j < i

Untere Dreiecksmatrix

0

d.h. Aij = 0 j > i

Bandmatrix

0

0

d.h. Aij = 0 f ̈ur |i − j| > l

Symmetrische Matrix Aij = A ji



60/260

58 2.2. Matrizen

Antisymm. Matrix Aij = −A ji

Transponierte Matrixzur Matrix A = (Aij)

A11 A21 A31 . . . Am1

A22... A33

.... . .

A1n . . . . . . . . . Amn

A = (Aij) i=1...m

j=1...n

AT = (A ji) j=1...ni=1...m

2.2.2 Gleichheit, Addition, Subtraktion und Multiplikationmit einem Skalar

D Zwei m × n-Matrizen A = (Aij) und B = (Bij) (Aij, Bij ∈ IR) heißen gleich wenn f ̈ ur alle Elemente

Aij = Bij i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , n

gilt.

D Zwei m× n-Matrizen A und B werden addiert/subtrahiert indem ihre Elemente addiert/subtrahiert werden.

C = A ± Bbzw. (C ij) = (Aij) ± (Bij) mit C ij = Aij ± Bij

S Die Addition von Matrizen ist kommutativ.

S Die Menge aller m × n-Matrizen A = (Aij) mit Aij ∈ IR bildet bzgl. der Matrixad-dition eine abelsche Gruppe.

D Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.

λA = (λAij)


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d.h. λ

A11 . . . A1n

... ...

Am1 . . . Amn

=

λA11 . . . λA1n

... ...

λAm1 . . . λAmn

Matrizen lassen sich durch arrays darstellen, die als solche zunächst definiert werden

müssen. Im folgenden wird eine 2×3-Matrix definiert und die Elemente A[i,j] belegt:Definition und Wertzuweisung lassen sich in einem machen, indem die Werte reihenweiseangegeben werden. Die Addition der beiden Matrizen kann nun wie folgt durchgef ̈uhrtwerden: Einfacher lassen sich Matrizen mittels der Anweisung matrix erzeugen: lieferteine 3×2-Nullmatrix.Die vorausgegangene Addition der Matrizen A und B ergibt sich aus:

2.2.3 Matrixmultiplikation

D Das Produkt einer m × n-Matrix A mit einer n × p-Matrix B ist definiert durch die m × p-Matrix C mit dem Elementen

C ij =n

k=1

AikBkj (i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , p)

C A B

m = m · n

p pn

! Die Matrixmultiplikation ist im allg. nicht kommutativd.h. i.allg. : AB = BA

Beispiel:

1 23 1

0 12 2

= 4 52 5



62/260

60 2.2. Matrizen

0 12 2

1 23 1

=

3 18 6

D Eine Matrix B heißt Links- bzw. Rechtsinverse einer Matrix A falls gilt BA = E bzw. A B = E

D Eine Matrix A heißt regulär, falls es eine Matrix B gibt, die gleichzeitig Links-und Rechtsinverse von A ist; sonst singulär.

! A und B müssen notwendigerweise quadratisch sein.

NB = A−1

Operationen mit Matrizen lassen sich am einfachsten ausf ̈uhren, wenn vordefinierte

Funktionen verwendet werden. Dazu müssen die Matrizen entsprechend definiert werden.Addition: Multiplikation: Die Multiplikation der 2×3-Matrix mit der 3×2-Matrix f ̈uhrt je nach Reihenfolge auf eine 2×2- bzw. eine 3×3-Matrix, d. h. die Multiplikation ist nichtkommutativ A*C f ̈uhrt natürlich zu nichts, da die Dimensionen nicht passen.

Transposition: Inversion Die letzten beiden Anweisungen müssen natürlich zum selbenErgebnis f ̈uhren, da f ̈ur quadratische Matrizen eine linksinverse Matrix gleichzeitig einerechtsinverse Matrix ist.

Darstellung von Vektoren als Matrizen:

a =

a1...

an

= a b =

b1...

bn

= bEntsprechende Berechnung des Skalarprodukts:

a· b =

n

i=1 aibi = a1 a2 . . . an

b1b2...

an


63/260


= aTb



64/260

62 2.2. Matrizen

2.2.4 Elementare Umformungen

D Unter einer elementaren Umformung einer Matrix versteht man die Manipula-tion einer einzelnen Zeile oder Spalte dieser Matrix und die einfache Kombination solcher Manipulationen.

! Im folgenden nur Zeilenumformungen – Spaltenumformungen laufen analog!

1. Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einem Skalar λ:

A =

A11 A12 . . . A1 j . . . A1mA21 . . . . . . A2 j . . . A2m. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ai1 Ai2 . . . Aij . . . Aim. . . . . . . . . . . . . . . . . .

An1 An2 . . . Anj . . . Anm

→ A =

A11 A12 . . . A1 j . . . A1mA21 . . . . . . A2 j . . . A2m. . . . . . . . . . . . . . . . . .

λAi1 λAi2 . . . λAij . . . λAim. . . . . . . . . . . . . . . . . .An1 An2 . . . Anj . . . Anm

kompakter durch Zeilenvektoren ai ausgedrückt:

A =

a1...

ai...

an

→ A =

a1...

λai...

an

Dies läßt sich ausdrücken durch eine Matrixmultiplikation:

A = U 1A mit U 1 =

1 0 . . . 0 . . . 0 00 1 . . . 0 . . . 0 0

... . . . ... ...0 0 . . . λ . . . 0 0...

... . . .

...0 0 . . . 0 . . . 1 00 0 . . . 0 . . . 0 1

← i

CAS-Beispiel

Es wird zunächst eine beliebige 4

×4-Matrix A erzeugt. Der folgende Aufruf von UMAT1

liefert eine 4×4-Umformungsmatrix U1, die die 3. Zeile mit 13 multiplizieren soll. DieMultiplikation U 1 A liefert das gewünschte Ergebnis:


65/260


B : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;

U M AT 1 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U M A T 1 [ 3 , 3 ] : 1 / 3 ;U M A T 1 . B ;

Alternative:

rowop ( B , 3 , 3 , 1 - ( 1 / 3 ) ) ;

UMAT1 und auch die folgenden Prozeduren UMAT2, UMAT3 und UMAT4 legen die aufgestelltenMatrizen U 1,...,U 4 unter den Variablen U1,..., U4 ab. Diese Variablen sind nach Aufruf der jeweiligen Prozedur global verf ̈ugbar.

2. Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile:

A =

a1...

aia j...

an

→ A =

a1...

ai + a ja j...

an

=

A11 A12 . . . A1m. . . . . . . . . . . .

Ai1 + A j1 Ai2 + A j2 . . . Aim + A jmA j1 A j2 . . . A jm. . . . . . . . . . . .

An1 An2 . . . Anm

Ausdrücken durch Matrixmultiplikation:

A = U 2A mit U 2 =

1 0 0 . . . 0 0 00 1 0 . . . 0 0 0...

.... . .

... . . . ...

0 0 1 . . . 1. . .

0 0 1... ...

0 0 0 . . . 0 1 00 0 0 . . . 0 0 1

← i

↑ j

CAS-Beispiel

Der folgende Aufruf von UMAT2 liefert eine 4×4-Umformungsmatrix U2, die Zeile 1 zu Zeile3 addieren soll. Die Multiplikation U 2 A liefert das Ergebnis:



66/260

64 2.2. Matrizen

A : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;

U MA T 2 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U MA T 2 [3 , 1] : 1 ;U M A T 2 ;

U M A T 2 . A ;

Alternative:

rowop ( A , 3 , 1 , - 1 ) ;

3. Addition einer mit einem Skalar λ ∈ IR \ {0} multiplizierten Zeile zu einer anderenZeile:

a1...

aia j...

an

1→

a1...

λaia j...

an

2→

a1...

λaia j + λai

...an

1→

a1...

1λ

λaia j + λai

...an

=

a1...

aia j + λai

...an

A = U 3A mit U 3 = U 1U 2U 1

alternative Möglichkeit den i-ten zum j-ten Zeilenvektor zu addieren:

1

λa j

→ 1

λa j + ai

→ λ(

1

λa j + ai) = a j + λai

CAS-Beispiel

Der folgende Aufruf von UMAT3 liefert eine 4×4-Umformungsmatrix U3, die das -2-Facheder Zeile 1 zu Zeile 4 addieren soll. Die Multiplikation U 3 A liefert das Ergebnis:

A : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;

U MA T 3 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U MA T 3 [4 , 1] : - 2;

U M A T 3 ;

U M A T 3 . A ;

Alternative:

rowop ( A , 4 , 1 , 2 ) ;

4. Vertauschen zweier Zeilen:

a1...

aia j...

an

2→

a1...

aia j + ai

.

..an

1−→λ=−1

a1...

−aia j + ai

.

..an

2→

a1...

a ja j + ai

.

..an

3−→λ=−1

a1...

a jai...

an


67/260


Als Kombination von elementaren Umformungen ausgedrückt:

A = U 4A mit U 4 = U 3U 2U 1U 2

CAS-Beispiel

Der folgende Aufruf von UMAT4 liefert eine 4

×4-Umformungsmatrix U4, die Zeile 2 und 4

vertauschen soll. Die Multiplikation U 4 A liefert das Ergebnis:

A : matrix ( [ 1 , 2 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 5 , 6 ] , [ 3 , 0 , 2 , 1 ] , [ 2 , - 3 , 4 , 1 ] ) ;

U MAT4 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U M AT 4 [ 4 , 4] : 0 ;

U M AT 4 [ 2 , 2] : 0 ;

U M AT 4 [ 2 , 4] : 1 ;

U M AT 4 [ 4 , 2] : 1 ;

U M A T 4 ;

U M A T 4 . A ;

Alternative:

r o w s w a p ( A , 2 , 4 ) ;

Im folgenden wird gezeigt, daß sich U4 aus den anderen U-Matrizen erhalten läßt. Da 2U2-Matrizen auftauchen, wird nach dem ersten Aufruf von UMAT2 die Matrix U2 unter U2agespeichert.

UMA T2 a : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U MA T 2a [ 4 , 2] : 1 ;

U MAT1 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U MA T1 [ 2 ,2] : - 1;

U MAT2 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U MA T2 [ 2 ,4] : 1;

U MAT3 : d i a g m a t r i x ( 4 , 1 ) ;

U MA T3 [ 4 ,2] : - 1;

U M A T 3 ;

U M A T 3 . U M A T 2 . U M A T 1 . U M A T 2 a . A ;

Das Ergebnis der Multiplikation U 3 U 2 U 1 U 2a stimmt mit U4 überein.



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66 2.2. Matrizen

S Mittels elementarer Umformungen l ̈ aßt sich jede quadratische Matrix auf die Form

1 0 0 0 0 0 0 00 1 00 0 1

. . .

0 1 00 1 00 0 00 0 0

0 . . . 00 0 0 0 0 0 0 0

bringen.

B1) A11 durch Vertauschen von Zeilen (Spalten) zu einem Element = 0 überf ̈uhren.

2) Durch Multiplikation der 1. Zeile mit 1

A11 erreicht man, daß A11 = 1 wird.

3) 1. Spalte und 1. Zeile bis auf A11 auf 0 bringen.

4) Behandeln der Restmatrix wie zuvor.

5) Vollständige Induktion.

2.2.5 Rang einer Matrix

D Die maximale Anzahl linear unabh ̈ angiger Zeilen-/Spaltenvektoren einer Matrix heißt der Zeilen-/Spaltenrang dieser Matrix.

S Eine elementare Umformung ¨ andert den Zeilen-/Spaltenrang einer Matrix nicht.

B zu Umformung vom Typ 1: Zeilenrang r, ai Zeilenvektoren, r ≤ n


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vorher:

ri=1

λiai!

= 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, . . . , r

nachher:

ai =

λa j f ̈ur i = jai sonst

ri=1

λiai != 0 ⇒

ri=1

λi ai = 0

λi = λi ∀i = j

λ j

= λ j

λ f ̈ur i = j ⇒

λi

= 0 ∀

i = 1, . . . , r

⇒ λi = 0 ∀i = 1, . . . , r

S Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich ihrem Spaltenrang und wird kurz mit Rangbezeichnet.

B Der letzte Satz zusammen mit der Tatsache, daß jede Matrix auf die Form

Spaltenrang

Zeilenrang

1 0 0 0 0 0 0 00 1 00 0 1

. . .

0 1 00 1 0

0 0 00 0 0

0 . . . 0

0 0 0 0 0 0 0 0

gebracht werden kann.

CAS-Beispiel



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68 2.2. Matrizen

Im folgenden wird durch mehrere elementare Umformungen die 3×3-Matrix A auf dieForm einer Einheitsmatrix gebracht.

A : matrix (

[ 1, 2 , 3 ] ,

[ 2 , -3 , 6 ] ,

[ 3, 0 , 1 ]

);

load ( m a t h c h e m ) ;

U M A T 3 ( 3 , 3 , 1 , - 3 ) . % ;

U M A T 3 ( 3 , 2 , 1 , - 2 ) . % ;

U M A T 1 ( 3 , 2 , - 1 / 7 ) . % ;

U M AT 3 ( 3 , 3 , 2 , 6 ) . % ;

U M A T 1 ( 3 , 3 , - 1 / 8 ) . % ;

U M A T 3 ( 3 , 1 , 2 , - 2 ) . % ;

U M A T 3 ( 3 , 1 , 3 , - 3 ) . % ;

Mann kann auch die einzelne Operationen in einem Schritt rechnen lassen:

A : matrix ( [ 1 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 6 ] , [ 3 , 0 , 1 ] ) ;

u ma t : U MA T 3 (3 , 1 , 3 , -3 ). U M A T3 ( 3 , 1 ,2 , - 2 )

. U M A T 1 ( 3 , 3 , - 1 / 8 ) . U M A T 3 ( 3 , 3 , 2 , 6 )

. U M A T 1 ( 3 , 2 , - 1 / 7 ) . U M A T 3 ( 3 , 2 , 1 , - 2 )

. U M A T 3 ( 3 , 3 , 1 , - 3 ) ;

u m a t . A ;

Man kommt in diesem Beispiel nur mit Zeilenumformungen aus. Warum?Versuchen Sie die Matrix B umzuformen:

B : m a t r i x ( [ 3 , 4 , 5 ] , [ 1 / 8 , 6 , 1 2 ] , [ 0 , 2 , 4 ] )


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! Die Zeilen-/Spaltenvektoren einer Matrix spannen einen Vektorraum der Dimensionr auf.

D (alternativ) Eine quadratische n × n-Matrix deren Rang r = n ist, heißt regulär,sonst singulär.

2.2.6 Inverse von quadratischen Matrizen

S Ist der Rang r einer n × n-Matrix A gleich der Dimension n dieser Matrix, soexistiert ihre inverse Matrix A−1, die gleichzeitig Links- und Rechtsinverse ist, mit der Eigenschaft:

A A−1 = E = A−1 A

B Invertierbarkeit von Matrizen.Ist r = n, so gibt es eine Reihe von k elementaren Umformungen U i (i = 1, . . . , k) mit

ki=1

U i

A = E ⇒

ki=1

U i = A−1

Die rechtsinverse Matrix A−1r ist gleich der linksinversen Matrix A−1l :

Es gilt: A−1l A = E und A A−1r = E

A A−1r A = E A = A

A−1l A E

A−1r A = A−1l A E

E A−1r A = E

A−1r A = E ⇒ A−1r = A−1l



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70 2.2. Matrizen

Das Gauß-Jordan Verfahren zur Matrixinversion:

Forme eine n

×n-Matrix A, deren Rang gleich ihrer Dimension ist, mittels elementarer

Umformungen auf die Einheitsmatrix E um. Wende die gleichen Umformungen auf dieEinheitsmatrix E an: es entsteht dabei die inverse Matrix A−1.

CAS-Beispiel

Im folgenden wird die Matrix A schrittweise in eine Einheitsmatrix übergef ̈uhrt. Die selbenUmformungen werden auf die Einheitsmatrix E angewendet.

A : matrix ( [ 1 , 2 , 3 ] , [ 2 , - 3 , 6 ] , [ 3 , 0 , 1 ] ) ;

E : d i a g m a t r i x ( 3 , 1 ) ;

A1 : rowop ( A , 3 , 1 , 3 ) ;

A2 : rowop ( A 1 , 2 , 1 , 2 ) ;

A3 : rowop ( A 2 , 2 , 2 , 1 - ( - 1 / 7 ) ) ;

A4 : rowop ( A 3 , 3 , 2 , - 6 ) ;

A5 : rowop ( A 4 , 3 , 3 , 1 - ( - 1 / 8 ) ) ;

A6 : rowop ( A 5 , 1 , 2 , 2 ) ;

A7 : rowop ( A 6 , 1 , 3 , 3 ) ;

E1 : rowop ( E , 3 , 1 , 3 ) ;

E2 : rowop ( E 1 , 2 , 1 , 2 ) ;

E3 : rowop ( E 2 , 2 , 2 , 1 - ( - 1 / 7 ) ) ;E4 : rowop ( E 3 , 3 , 2 , - 6 ) ;

E5 : rowop ( E 4 , 3 , 3 , 1 - ( - 1 / 8 ) ) ;

E6 : rowop ( E 5 , 1 , 2 , 2 ) ;

E7 : rowop ( E 6 , 1 , 3 , 3 ) ;

E7 sollte am Ende die inverse Matrix A−1 enthalten.Überprüfen sie dies.

A ^ ^ - 1 ;

Das Gauß Verfahren:

Ausgangspunkt: A A−1 = E

1) Bringe A durch elementare Umformungen auf obere Dreiecksform A:

i

U i A

A−1 =

i

U i E

A E A A−1 = E


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a j

0

ai

j

A jj

Aij

ai → ai − a jAij/A jjei → ei − e jE ij/E jjai, a j, ei, e j : Zeilenvektoren

Für jede Spalte j = 1, . . . , nFür jede Zeile i = ( j + 1), . . . , n

2) Löse das Gleichungssystem A A−1 = E f ̈ur A−1:

i

0

X = A

·

Y = A−1

j

=

Z = E

j

i

nk=1

X ikY kj = Z ij

X iiY ij +n

k=i+1

X ikY kj = Z ij

Y ij = (Z ij −n

k=i+1

X ikY kj )/X ii

Für jede Spalte j = 1, . . . , nFür jede Zeile i = n, . . . , 1

Beispiel:



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72 2.2. Matrizen

1) Forme A in eine obere Dreiecksmatrix um. Wende dieselben elementaren Umfor-mungen auf E an.

A 1 2 02 0 21 1 1

E 1 0 00 1 0

0 0 1

1 2 00 −4 2

mathchem skript cas ws14

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