Lek 1Ündsän aguulga1. Matri tüün däär xiïx üïldlüüd (Matrix Operations)

• Matri tüün däär xiïx üïldlüüd.

• n ärämbiïn todorxoïlogq ba tüüniï qanaruud.

• Todorxoïlogqiïg ärämbä buuruulax argaar bodox.

• Urwuu matri .• Matri yn rang.

1

Matri tüün däär xiïx üïldlüüd (Matrix Operations )

m mör, n baganataï, m × n toogoor (wektor, funk ) zoxiogdson täg² ön ögtxüsnägtiïg matri gänä.A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

äswäl towqoor

A = (aij)mn

[

i = 1, 2, . . . , nj = 1, 2, . . . ,m

]

1. Mör baganyn too n´ tän üü matri yg kwadrat matri 2. Näg baganataï (n = 1) bol bagana matri 3. Näg mörtäï (m = 1) bol mör matri gänä4. Matri yn büx älement n´ tägtäï tän üü bol ug matri yg täg matri 2

5. Kwadrat matri yn züün dääd bulangaas baruun dood bulang xolboson diago-naliïg gol diagonal´6. Kwadrat baruun dääd bulan züün dood bulan xoëryg xolboson diagonaliïgxajuugiïn diagonal´7. Kwadrat matri yn gol diagonalias busad baïran dax´ älementüüd n´ tägtäïtän üü baïwal ug matri yg diagonal´ matri 8. Diagonal´ matri yn diagonal´ däärx älementüüd n´ tän üü baïwal skal¶rmatri 9. Skal¶r matri yn diagonal´ däärx älementüüd n´ nägtäï tän üü baïwal nägjmatri gäj närlänä.The Equality of Two Matri es.A = B if and only if aij = bij for all i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , mExample 1:

[

6 92 8

]

=

[

6 92 8

]

3

Addition and Subtra tion of Matri es.

A + B =[

aij

]

+[

bij

]

=[

aij + bij

]

i.e. the addition of A and B is de�ned as the addition of ea h pair of orrespondingelementsRemark. Two matri es an be added (equal) if and only if they have the samedimension.Example :

[

a11 a12 a13

a21 a22 a23

]

+

[

b11 b12 b13

b21 b22 b23

]

=

[

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23

]

Addition, Subtra tion and Their Properties• A + B = B + A

• A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B4

The subtra tion of Matri es

A − B is de�ned by[aij] − [bij] = [aij − bij]Example :

[

19 32 0

]

−

[

6 81 3

]

=

[

13 −51 −3

]

S alar Multipli ationλA = λ[aij] = [λaij]i.e. to multiply a matrix by a number is to multiply every element of that matrix bythe given s alar.

5

Example :7

[

3 −10 5

]

=

(

21 −70 35

)

Example :−1

[

a11 a12 a13

a21 a22 a23

]

=

[

−a11 −a12 −a13

−a21 −a22 −a23

]

Multipli ation of Matri esGiven two mari es Am×n and Bp×q, the onformability ondition for multipli ation

AB is that the olum dimension of A must be equal to be the row dimension of B, i.e.,the matrix produ t AB will be de�ned if and only if n = p. If de�ned, the produ t

AB will have the dimension m × q6

The produ t AB is de�ned by

A = (aij)mn, B = (bjk)ns =⇒ C = A · B = (cik)ms

cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk =n

∑

j=1

aijbjk jExample:[

a11 a12

a21 a22

] [

b11 b12

b21 b22

]

=

[

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

]

Example:

A2×2 =

[

3 54 6

]

B2×2 =

[

−1 04 7

]

AB =

[

−3 + 20 35−4 + 24 42

]

=

[

17 3520 42

]

(AB 6= BA) 7

The Transposes of Matri esThe transpose of a matrix A is a matrix whi h is obtained by inter hanging therows and olumns of the matrix A. It is denoted by A′ or AT .Example: For A =

[

3 8 −91 0 4

]

A′ = AT =

3 18 0−9 4

Thus, by de�nition, if a amtri A is m × n, the its transpose A′ must be n × m

8

Example: For D =

1 0 40 3 74 7 2

its transpose D′=

1 0 40 3 74 7 2

= D

A matrix said to be symmetri if A′ = A.Properties of Transposes1. (A′)′ = A2. (A + B)′ = A′ + B′3. (AB)′ = B′A9

n-ärämbiïn todorxoïlogq ba tüüniï qanaruud

A matri yn todorxoïlogqiïg detA = |A| = △A gäe

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A matri yn i dügäär mör k dugaar baganyg daraxad üldäx (n − 1)ärämbiïn matri yn todorxoïlogqiïg n ärämbiïn kwadrat matri yn

aik älementiïn minor gääd Mik gäj tämdäglänä.Mik-g (−1)i+k tämdägtäï awsnyg aik älementiïn algebryn güï äält gäjnärlääd Aik = (−1)i+kMik gäj tämdäglänä.

�mar q todorxoïlogqiïg i dügäär mör, k dugaar baganaar n´ zadalj boloxbögööd änä zadral n´ anxny todorxoïlogqtoïgoo tän üü baïna.10

A matri yn k-dugaar baganyn zadargaa:

|A| =

n∑

i=1

aikAik =

n∑

i=1

(−1)i+kaikMik

A matri yn i - dügäär möriïn zadargaa:

|A| =

n∑

k=1

aikAik =

n∑

k=1

(−1)i+kaikMikThr: Todorxoïlogqiïn al´ näg möriïn (baganyn) älementüüdiïg öör möriïn(baganyn) älementüüdiïn algebryn güï äältüüdäär ürjüülj nämsän niïlbärtägtäï tän üü baïna.Ööröör xälbäl

n∑

j=1

akjAij = 0,

n∑

i=1

aijAik = 0tän ätgälüüd ¶magt bielänä gäsän üg.11

Ji²ää: Gurawdugaar ärämbiïn todorxoïlogqiïn xuw´d:

a11A21 + a12A22 + a13A23 = − a11

∣

∣

∣

∣

a12 a13

a32 a33

∣

∣

∣

∣

+ a12

∣

∣

∣

∣

a11 a13

a31 a33

∣

∣

∣

∣

− a13

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a31 a32

∣

∣

∣

∣

=

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a11 a12 a13

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

12

Todorxoïlogqiïg ärämbä buuruulax argaar bodox.

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(1)

(??)�d a11 6= 0, a12 6= 0 baïg.Tägwäl I baganyn büx älementüüdiïg −a12

a11

-äär ürjüülän II baganyn xar-galzax älementüüd däär n´ nämbäl todorxoïlogqiïn qanar ësoor

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 0 a13 · · · a1n

a21 a′

22 a23 · · · a2n

· · · · · · · · · · · · · · ·

an1 a′

n2 an3 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣Xärwää a1j = 0, j = 3, n bol xäwäär üldääj, a1j 6= 0 bol I möriïn tägääs¶lgaataï ug älementüüdiïn xuw´d a12� yg a′

12 bolgodogtoï adilaar I baganynälementüüdiïg −a1j

a11

� äär ürjüülän tuxaïn baganyn xargalzax älementüüd däärnämnä. 13

Ädgäär üïldlüüdiïn ä äst

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 0 0 · · · 0

a21 a′

22 a′

23 · · · a′

2n

· · · · · · · · · · · · · · ·

an1 a′

n2 a′

n3 · · · a′

nn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=a11A11 + 0 · A12 + ... + 0 · A1n = a11A11 = a11M11bolno.

n-ärämbiïn |A| todorxoïlogqiïn M11 n´ (n − 1) ärämbätäï.Iïmd n ärämbiïn todorxoïlogqiïg bodoxyn orond (n − 1) ärämbiïn todorx-oïlogqiïg bodnox.Änä argyg zöwxön nägdügäär möriïn xuw´d bus duryn mör, baganyn xuw´d xärägläjbolno.Ji²ää: |A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 42 1 3 1−3 −2 1 35 9 −2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

todorxoïlogiïg bod.14

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 42 1 3 1−3 −2 1 35 9 −2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 0 −3 22 1 3 11 0 7 5

−13 0 −29 −10

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)2+2 · 1 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 −3 21 7 5

−13 −29 −10

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 18 171 7 50 62 55

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)2+1 · 1 ·

∣

∣

∣

∣

18 1762 55

∣

∣

∣

∣

= 17 · 62 − 18 · 55 =

=18 · (62 − 55) − 62 = 126 − 62 = 64

Todorxoïlogqiïn gol diagonaliïn al´ näg talyn älementüüd tägtäï tän üübaïwal ug todorxoïlogqiïg gurwaljin xälbärtäï todorxoïlogq gänä.�mar q todorxoïlogqiïg, todorxoïlogqiïn qanaruudyg a²iglan xuwirgaltxiïj gurwaljin xälbärt ²iljüülj bolno.Iïmd todorxoïlogq n´ gol diagonaliïn älementüüdiïn ürjwärtäï tän üü.

15

Thr: (Laplasyn teorom) |A| =

∣

∣

∣

∣

B 0C D

∣

∣

∣

∣

= |B| · |D|

Ji²ää:|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 3 −2 14 2 3 46 7 2 22 −3 4 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

l2 = l2 − 2l1l3 = l3 − 3l1l4 = l4 − l1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 3 −2 10 −4 7 20 −2 8 −10 −6 6 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

l3 = l3 −1

2l2

l4 = l4 −3

2l2

)

=

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 3 −2 10 −4 7 20 0 9

2−2

0 0 −9

2−5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (l4 = l4 + l3) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 3 −2 10 −4 7 20 0 9

2−2

0 0 0 −7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)1+1 · 2 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−4 7 20 9

2−2

0 0 −7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=2 · (−1)1+1 · (−4) ·

∣

∣

∣

∣

9

2−2

0 −7

∣

∣

∣

∣

= 6 2 · (−4) ·9

6 2· (−7) = 4 · 63 = 252.

16

Urwuu matri

n ärämbiïn kwadrat matri A - iïn xuw´d:

A ·B = E baïx B matri or²in baïwal tüüniïg baruun urwuu matri gänä.

C · A = E baïx C matri yg züün urwuu matri gänä.Xärwää matri yn baruun, züün urwuu matri n´ or²in baïwal tädgäär n´xoorondoo tän üü baïna.C = C · E = C(AB) = (CA)B = E · B = B ⇒ C = B = A−1.Thr: Kwadrat matri A n´ urwuutaï baïx⇐⇒ n´ tüüniï todorxoïlogq |A| n´tägääs ¶lgaataï baïx ¶wdal µm. ö.x ül böxöx matri baïx (nonsingularity)

A−1 =1

|A|· B.änd

B =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

· · · · · · · · · · · ·A1n A2n · · · Ann

=

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

· · · · · · · · · · · ·An1 An2 · · · Ann

T

= adjA

17

Ji²ää: A =

[

a b

c d

] bol A−1 ol.

A−1 =adjA

|A|=

1

ad − cb

[

d −b

−c a

]

Ji²ää: A =

[

3 21 0

] bol A−1 ol.A−1 =

1

−2

[

0 −2−1 3

]

=

[

0 11

2−3

2

]

Example: Find the inverse of B =

4 1 −10 3 23 0 7

Sin e |B| = 99 6= 0, B−1 exists. The ofa tor matrix is:

∣

∣

∣

∣

3 20 7

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

0 23 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 33 0

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

1 −10 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4 −13 7

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

4 13 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −13 2

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

4 −10 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4 10 3

∣

∣

∣

∣

=

21 6 9−7 31 35 −8 12

18

ThenadjB =

21 −7 56 31 −89 3 12

Hen eB−1 =

1

99

21 −7 56 31 −89 3 12

Odoo urwuu matri yg olox öör nägän argyg awq üz´e.Änä arga n´ A matri yn ard E matri biqij, n×2n xämjääst (A|E) ma-tri zoxiogood x¶lbar xuwirgalt xiïx zamaar (E|A−1)matri yg olno.Änä matri d buï A−1 matri n´ bidniï olox urwuu matri µm.

Ji²ää: A =

2 1 03 0 57 6 4

bol A−1 ol.19

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 03 0 57 6 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −37 6= 0.

=⇒

(A|E) =

2 1 0 1 0 03 0 5 0 1 07 6 4 0 0 1

∼

2 1 0 1 0 00 3 −10 3 −2 00 −5 −8 7 0 −2

∼

6 0 −10 −3 0 00 3 −10 3 −2 00 0 −74 36 −10 −6

∼

∼

−222 0 0 −180 −24 300 111 0 −69 −24 300 0 37 −18 5 3

∼

1 0 0 30

37

4

37− 5

37

0 1 0 −23

37− 8

37

10

37

0 0 1 −18

37

5

37

3

37

A−1 =

30

37

4

37− 5

37

−23

37− 8

37

10

37

−18

37

5

37

3

37

= −1

37

−30 −4 523 8 −1018 −5 −3

.20

Matri yn rang.

A = (aik)mn matri yn ¶mar näg s ärämbiïn minor tägääs ¶lgaataï baïg.Tägäxäd s + 1 ärämbiïn büx minor n´ tägtäï tän däg baïwal tär tägääs ¶l-gaataï s ärämbiïn minoryg A matri yn suur´ minor gänä.Suur´ minor n´ matri ad xäd xäd baïj bolno. A matri yn suur´ minor n´

s ärämbätäï baïxad s - ääs ix ärämbiïn büx minor n´ tägtäï tän änä.Matri yn suur´ minoryg öör däärää aguuldag mörüüdiïg suur´ mörüüd, baganu-udyg suur´ baganuud gänä.Matri yn suur´ minoryn ärämbiïg tüüniï rang gänä.Ö.x. Matri yn rang n´ ²ugaman xamaaralgüï mörüüdiïn(baganuudyn) tootoï tän üü baïna.0 ≤ r(A) ≤ min{m, n}

21

Matri yn rangiïg olox ündsän xoër arga baïdag.1. X¶lbar xuwirgaltyn arga: Matri uudad x¶lbar xuwir-galt xiïxädrang n´ öörqlögdöxgüï. Iïmd x¶lbar xuwirgalt xiïx zamaar suur´ minor n´ ilxaragdaj buï matri baïguulj anxny matri yn rangiïg oldog.Suur´ minor n´ daraax gurwan xälbärtäï baïj bolno.

Bmn (s ≤ m, s ≤ n), (s = m ≤ n), (s = n ≤ m)

2. Minor xürääläx arga. A-yn ¶mar näg k-ärämbiïn M 6= 0 minor awna.Ixäwqlän II ärämbiïn minor awdag. Daraa n´ M -yg xüräälsän k +1 - ärämbiïnminoruudyg bodoj üznä. C1n−k ·C

1m−k.Xäräw tädgäär n´ bügd tägtäï tän wäl r(A) = k, suur´ minor n´ M bolno.Xäräw M -yg xüräälsän M ′ gäsän ¶mar näg minor n´ tägääs ¶lgaataï baïwal

M -yg xürääläx ajillagaag zogsooj M -yn orond M ′-g taw´j ömnöx ajillagaagdawtana. gäx mätqilän k = min{m,n} xürtäl änä ajillagaa dawtagdaj bolno.Änä üed A-matri yn rang n´ r(A) = k = min{m, n} bolno.

22

Ji²ää: A =

2 0 −1 0 13 −2 5 1 5−1 1 2 4 −24 −3 3 5 0

bol r(A)-g ol.

M = M 1212 =

∣

∣

∣

∣

2 03 −2

∣

∣

∣

∣

= −4 6= 0.

M 123

123 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 0 −13 −2 5−1 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 −113 −2 53 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −(13 + 6) == −19 6= 0.

M 123123 = M ′ - iïg xüräälsän xoër minor biï.M 1234

1234 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 0 −1 03 −2 5 1−1 1 2 44 −3 3 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 −1 013 −2 5 13 1 2 410 −3 3 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

13 −2 13 1 410 −3 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −42 6= 0.

=⇒r(A) = 4.

23