material prof maria lúcia - módulo 2

8/18/2019 Material Prof Maria Lúcia - Módulo 2

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Parte 2

Espacos vetoriais reais

Introduziremos o conceito de espaco vetorial real, com enfase em espa-

cos vetoriais finitamente gerados, e estudaremos as suas propriedades. Apre-

sentaremos os conceitos de subespacos vetoriais, subespacos finitamente ge-

rados, intersecao de subespacos, combinacao linear, espacos vetoriais reais

finitamente gerados, conjuntos linearmente independentes ou linearmente de-

pendentes, base e dimensao de espacos vetoriais reais finitamente gerados,

coordenadas numa base e soma e soma direta de subespacos vetoriais reais.

Estudaremos transformacoes lineares entre espacos vetoriais reais de

dimensao finita, nucleo e imagem de transformacoes lineares, teorema do

nucleo e da imagem, representacao matricial de transformacoes lineares entre

espacos vetoriais reais de dimensao finita e suas propriedades; funcionais

lineares e suas propriedades.

Finalizaremos com a algebra das transformacoes lineares em espacos ve-

toriais reais de dimensao finita, apresentando as operacoes de adicao, multi-

plicacao por escalar e composicao de transformacoes lineares; transformacoes

lineares invertıveis, isomorfismo e automorfismo de espacos vetoriais.

Instituto de Matem´ atica

37 U F F



M.L.T.Villela

U F F 38



Espacos vetoriais e subespacos PARTE 2 - SEC ˜ AO 1

Espacos vetoriais e subespacos

Terminologia:

Espacos vetoriais reais sao

tambem chamados de

R-espacos vetoriais ou

espacos vetoriais sobre R.

Aqui diremos simplesmente

espacos vetoriais.

Definicao 1 (Espaco vetorial real)

Um espaco vetorial real e um conjunto nao vazio V munido com operacoes

de adicao e multiplicacao por escalar

+ : V × V −→ V

( v, w) −→ v + we

· : R × V −→ V

(a, v) −→ a · v,

tendo as seguintes propriedades, para quaisquer a, b ∈ R e u, v, w ∈ V :

A1 (Associativa): u + ( v + w) = ( u + v) = w;

A2 (Comutativa): u + v = v + u ;

A3 (Existencia de elemento neutro aditivo):

Existe θ ∈ V , tal que v + θ = v, para todo v ∈ V ;

A4 (Existencia de simetrico):

Para cada v ∈ V , existe u ∈ V , tal que u + v = θ;

Me1: 1 · v = v;

Me2 (Associativa): a · (b · v) = (a · b) · v;

AMe1 (Distributiva): a · ( u + v) = a · u + a · v;

AMe2 (Distributiva): (a + b) · v = a · v + b · v.

Os elementos de V sao chamados de vetores .

Exemplo 1

V = R e um espaco vetorial real com as operacoes usuais de adicao e multi-

plicacao de numeros reais.

Exemplo 2

C = {a + bi ; a, b ∈ R} com as operacoes usuais de adicao de numeros

complexos e a multiplicacao de um numero real por um numero complexo, a

saber,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e a · (c + di) = (a · c) + (a · d)i,

onde a, b, c, d ∈ R, e um espaco vetorial real.

Exemplo 3

V = Mm×n(R), com as operacoes usuais de adicao de matrizes e multi-

plicacao de um numero real por uma matriz, e um espaco vetorial real.

De fato, ja mostramos a validade de A1, A2, A3, Me1, Me2, AMe1 e AMe2.

So falta verificar A4. Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). Definindo B = (bij) por

bij = −aij, para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n, temos que(A + B)ij = aij + bij = aij + (−aij) = 0,


39 U F F



´ Algebra Linear I


para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Logo, A + B = 0m×n.

Verifique as oitopropriedades das operacoes. Exemplo 4R2 = {(x, y) ; x, y ∈ R} com as operacoes:

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) e a · (x, y) = (a · x, a · y),

onde x, y, x′, y′ ∈ R, e um espaco vetorial real.

Exemplo 5

R3 = {(x,y,z ) ; x,y,z ∈ R}, com as operacoes:

(x,y,z ) + (x′, y′, z ′) = (x + x′, y + y′, z + z ′) e

a · (x,y,z ) = (a · x, a · y, a · z ),

onde x, y, z, x′, y′, z ′ ∈ R, e um espaco vetorial real.Verifique as oito

propriedades das operacoes.

Exemplo 6

Inspirados nos Exemplos 1, 4 e 5, para cada natural n ≥ 1, vamos mostrar

que

Rn = {(x1, . . . , xn) ; x1, . . . , xn ∈ R},

munido com as operacoes:A adicao e feita coordenada

a coordenada e a

multiplicacao por escalar e

feita em cada coordenada.

(x1, . . . , xn) + ( y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e

a · (x1, . . . , xn) = (a · x1, . . . , a · xn),para quaisquer x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, a ∈ R, e um espaco vetorial.

De fato, sejam u = (x1, . . . , xn), v = ( y1, . . . , yn) e w = (z 1, . . . , z n) e

a, b ∈ R, entao:

A1 (Associativa):Em (1) usamos a definicao

da adicao de v + w; em (2),

a definicao da adicao de u e

v + w; em (3), em cada

coordenada, a

associatividade da adicao em

R; em (4) e (5), a definicao

da adicao no Rn .

u + ( v + w) (1)

= u + ( y1 + z 1, . . . , yn + z n)(2)=

x1 + ( y1 + z 1), . . . , xn + ( yn + z n)

(3)= (x1 + y1) + z 1, . . . , (xn + yn) + z n(4)= (x1 + y1, . . . , xn + yn) + (z 1, . . . , z n)(5)= ( u + v) + w

A2 (Comutativa):Em (1) e (3) usamos a

definicao da adicao no Rn e

em (2), em cada coordenada,

a comutatividade da adicao

em R.

u + v (1)

= (x1 + y1, . . . , xn + yn)(2)= ( y1 + x1, . . . , yn + xn)(3)= v + w

A3 (Existencia de elemento neutro aditivo): A n-upla o = (0 , . . . , 0) e o

elemento neutro, pois para todo u = (x1, . . . , xn) temos que0 e elemento neutro da

adicao em R. u + o = (x1 + 0 , . . . , xn + 0) = (x1, . . . , xn) = u .

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A4 (Existencia de simetrico): O simetrico de u = (x1, . . . , xn) e o elemento

v = (−x1, . . . , −xn), poisO simetrico de x ∈ R e −x,

pois x + (−x) = 0.

u + v = (x1 + (−x1), . . . , xn + (−xn)) = (0 , . . . , 0) = o.

Me2 (Associativa): Em (1) usamos a definicao

de b · v; em (2), a definicao

da multiplicacao pelo escalar

a; em (3), em cada

coordenada, a

associatividade da

multiplicacao em R ; em (4),

a definicao da multiplicacao

pelo escalar a · b; em (5), a

definicao de v.

a · (b · v) (1)

= a · (b · y1, . . . , b · yn)(2)=

a · (b · y1), . . . , a · (b · yn)

(3)=

(a · b) · y1, . . . , (a · b) · yn

(4)= (a · b) · ( y1, . . . , yn)(5)= (a · b) · v

AMe1 (Distributiva):Em (1) usamos a definicao

de adicao no Rn ; em (2), a

definicao de multiplicacao

por escalar no Rn ; em (3),

em cada coordenada a

distributividade em R; em

(4), a definicao de adicao no

Rn ; em (5), novamente, a

definicao de multiplicacao

por escalar no Rn .

a · ( u + v) (1)= a · (x1 + y1, . . . , xn + yn)(2)=

a · (x1 + y1), . . . , a · (xn + yn)

(3)= (a · x1 + a · y1, . . . , a · xn + a · yn)(4)= (a · x1, . . . , a · xn) + (a · y1, . . . , a · yn)(5)= a · u + a · v

Deixamos como Exercıcio mostrar:

Me1: 1 · v = v e

AMe2 (Distributiva): (a + b) · v = a · v + b · v.

Antes de darmos outros Exemplos de espacos vetoriais reais vamos mos-

trar mais algumas propriedades importantes.

Proposicao 1 (Propriedades adicionais)

Seja V um espaco vetorial real. Valem as seguintes propriedades:

(a) o elemento neutro e unico.

(b) o simetrico e unico.

Demonstracao:(a) Sejam θ e θ′ em V elementos neutros da adicao. Entao, Em (1) usamos que θ′ e

elemento neutro e em (2),

que θ e elemento neutro.θ (1)= θ + θ′ (2)

= θ′.

(b) Sejam u, u ′ ∈ V simetricos de v ∈ V . Entao, u + v = 0, u ′ + v = 0 e

u = 0 + u = ( u ′ + v) + u = u ′ + ( v + u ) = u ′ + 0 = u ′.

Daqui por diante, denotamos o elemento neutro aditivo de um espaco

vetorial V por 0V e o simetrico de v por − v.

Exemplo 7Seja n ∈ N fixado e t uma indeterminada. Definimos


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´ Algebra Linear I


P n(R) = {f(t) = a0 + a1t + · · · + antn ; aj ∈ R, para cada j = 0, . . . , n}.

Para f(t) = a0 + a1t + · · · + antn e g(t) = b0 + b1t + · · · + bntn em P n(R)

e k ∈ R definimosf(t) + g(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + · · · + (an + bn)tn e

k · f(t) = (k · a0) + (k · a1)t + · · · + (k · an)tn.

Com essas operacoes, P n(R) e um espaco vetorial.

Exemplo 8

Seja t uma indeterminada. Definimos o conjunto dos polinomios com coefi-

cientes reais como

P (R) = {a0 + a1t + · · · + antn ; n ∈ N e aj ∈ R, para cada j = 0, . . . , n}.

P (R) e um espaco vetorial com as operacoes usuais de adicao de polinomios

e multiplicacao de um numero real por um polinomio.

Observamos que P (R) =

n≥0

P n(R), alem disso, P 0(R) = R e

P 0(R) ⊂ P 1(R) ⊂ · · · ⊂ P n(R) ⊂ P n+1(R) ⊂ · · · .

Exemplo 9

Seja I ⊂ R um intervalo. Definimos

F (I) = {f : I −→ R ; f e funcao }.

F (I) e um espaco vetorial, com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao

por um numero real, a saber, para f, g ∈ F (I) e k ∈ R,

(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ I e

(k · f)(x) = k · f(x), para todo x ∈ I.

De fato, para quaisquer f, g, h ∈ F (I) e k, ℓ ∈ R, temos:

A1 (Associativa): Para todo x ∈ I,

Em (1), (2), (4) e (5) usamos

a definicao de adicao defuncoes e em (3), a


R.

(f + (g + h ))(x) (1)

= f(x) + (g + h )(x)

(2)= f(x) + (g(x) + h (x))(3)= (f(x) + g(x)) + h (x)(4)= (f + g)(x) + h (x)(5)= ((f + g) + h )(x),

logo f + (g + h ) = (f + g) + h .

A2 (Comutativa): Para todo x ∈ R, temos

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x).

Logo, f + g = g + f.

A3 (Existencia de elemento neutro aditivo): A funcao o : I −→ R definida

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por o(x) = 0, para todo x ∈ R, e o elemento neutro, pois o + f = f, para

todo f ∈ F (I).

A4 (Existencia de simetrico): Dada f ∈ F (I) tomamos g : I −→ R definidapor g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. Entao, f + g = o.

Me2 (Associativa): Para todo x ∈ I, temos

Em (1), (2) e (4) usamos a

definicao da multiplicacao de

uma funcao por um numero

real e em (3), a

associatividade da

multiplicacao de numeros

reais.

(k · (ℓ · f))(x) (1)

= k · (ℓ · f)(x)(2)= k · (ℓ · f(x))(3)= (k · ℓ) · f(x)(4)= ((k · ℓ) · f)(x),

logo, k · (ℓ · f) = (k · ℓ) · f.

Deixamos as propriedades Me1, AMe1 e AMe2 como exercıcio.

Os subconjuntos de um espaco vetorial que interessam sao os subespa-

cos vetoriais.

Definicao 2 (Subespaco vetorial)

Seja V um espaco vetorial real. Um subconjunto nao vazio W de V e chamado

um subespaco vetorial de V se, e somente se, W e um espaco vetorial com as

operacoes de V .

Exemplo 10 {0V } e V sao subespacos de V , chamados de subespacos triviais .

Quais condicoes W ⊂ V deve satisfazer para ser um subespaco? A

resposta esta a seguir.

Proposicao 2

Seja V um espaco vetorial. Um subconjunto nao vazio W de V e um su-

bespaco de V se, e somente se,

(a) 0V ∈ W ;

(b) se u, w ∈ W , entao u + w ∈ W ;

(c) se w ∈ W e k ∈ R, entao k · w ∈ W .

Demonstracao:

Fez o Exercıcio 1b?

(=⇒:) Suponhamos que W = ∅ seja um subespaco de V . Entao, pela de-

finicao de subespaco, W esta munido com as operacoes de V e valem (b) e

(c). Como existe w ∈ W e − w = (−1) · w ∈ W , logo 0v = w + (− w) ∈ W .

(:

⇐=) Suponhamos que W ⊂ V tenha as propriedades (a), (b) e (c). De (a)

segue que W = ∅. De (b) e (c) segue que as operacoes de V estao fechadasem W . As propriedades A1, A2, Me1, AMe1, AMe2 valem em W pois valem


43 U F F



´ Algebra Linear I


em qualquer subconjunto de V . Vale A3, pois 0V ∈ W e o elemento neutro

da adicao. Para cada w ∈ W , − w = (−1) · w ∈ W , valendo A4. Portanto,

W e um espaco vetorial.

Geometricamente, planos

que passam pela origem sao

subespacos vetoriais do R3.

Exemplo 11

W = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x − 2y + 3z = 0} e um subespaco do R3.

De fato:

(a) 0 − 2 · 0 + 3 · 0 = 0, logo, (0,0,0) ∈ W .

(b) Sejam u = (x,y,z ), w = (x′, y′, z ′) em W . Entao, x − 2y + 3z = 0,

x′ − 2y′ + 3z ′ = 0. Como u + w = (x + x′, y + y′, z + z ′), temos

Em (1) usamos adistributividade em R; em

(2), a comutatividade e


R e em (3), que u,w ∈ W .

(x + x′) − 2( y + y′) + 3(z + z ′) (1)= x + x′ − 2y − 2y′ + 3z + 3z ′

(2)= (x − 2y + 3z ) + (x′ − 2y′ + 3z ′)(3)= 0 + 0 = 0,

logo u + w ∈ W .

(c) Sejam u = (x,y,z ) ∈ W e a ∈ R.Em (4) usamos a

comutatividade da

multiplicacao e a

distributividade em R e em

(5), que u ∈ W .

Entao, x − 2y + 3z = 0, a · u = (a · x, a · y, a · z ) e

(a · x) − 2(a · y) + 3(a · z ) (4)= a · (x − 2y + 3z )

(5)= a · 0 = 0.

Logo, a · u ∈ W .

Geometricamente, retas no

plano que nao passam pela

origem nao sao subespacos

do R2 , enquanto retas no

plano passando pela origem

sao subespacos do R2.

Exemplo 12

U = {(x, y) ∈ R2 ; 2x − y = 3} nao e subespaco do R2, pois (0, 0) ∈ U.

W = {(x, y) ∈ R2 ; 2x − y = 0} e subespaco do R2.

Exemplo 13

Vamos mostrar que W e um subespaco de M2×2(R), onde

W = a bc d

∈ M2×2(R) ; a + b + c = 0 e 2a − b + d = 0.

Primeiramente, escrevemos A ∈ W como A =

a b

−a − b −2a + b

, onde

a, b ∈ R.

(a) E claro que tomando a = b = 0, temos

0 0

0 0

∈ W .

(b) Sejam A = a b

−a − b −2a + b e A′ = a′ b′

−a′

− b′

−2a′

+ b′ em

W . Entao,

M.L.T.Villela

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A + A′ =

a + a′ b + b′

(−a − b) + (−a′ − b′) −2a + b + (−2a′ + b′)

=

a +

a

′

b +

b

′

−(a + a′) − (b + b′) −2(a + a′) + (b + b′)

=

a′′ b′′

−a′′ − b′′ −2a′′ + b′′

∈ W, onde tomamos a′′ = a + a′

e b′′ = b + b′.

(c) Seja k ∈ R e A como em (b). Entao,

Usamos a distributividade e

a comutatividade da

multiplicacao em R.

k · A =

k · a k · b

k · (−a − b) k · (−2a + b)

= k · a k · b

−(k · a) − (k · b) −2(k · a) + (k · b)

=

a′ b′

−a′ − b′ −2a′ + b′

esta em W, onde

tomamos a′ = k · a e b′ = k · b.

Exercıcios

1. Seja V um espaco vetorial real. Mostre que:

(a) Para todo v ∈ V , temos 0 · v = 0V .

(b) Para cada v ∈ V , o simetrico de v e (−1) · v.

2. Mostre que os seguintes conjuntos sao espacos vetoriais reais, com as

operacoes usuais de adicao e multiplicacao por um numero real:

(a) R2 = {(x, y) ; x, y ∈ R}.

(b) R

3 = {(x,y,z

) ; x,y,z ∈ R

}.

(c) M2×2(R).

(d) P n(R), onde n ∈ N.

(e) P (R).

3. Seja V = {x ∈ R ; x > 0}. Para x, y ∈ V e k ∈ R, definimos:

x ⊕ y = x · y, onde · e a multiplicacao de numeros reais, e

k ⊙ x = xk, a k -esima potencia de x.

Mostre que V e um espaco vetorial real com as operacoes ⊕ e ⊙.


45 U F F



´ Algebra Linear I


4. Determine, em cada item, se o subconjunto W de V e um subespaco

vetorial de V :

(a) V = R2 e W = { (x, y) ∈ R2 ; x − 3y = 1 }.

(b) V = R2 e W = { (x, y) ∈ R2 ; x − 3y = 0 }.

(c) V = R3 e W = { (x, 2x, −3x) ; x ∈ R }.

(d) V = R3 e W = { (x,y,z ) ∈ R3 ; 2x + y − z = 2 }.

(e) V = R3 e W = { (x,y,z ) ∈ R3 ; 2x + y − z = 0 }.

(f) V = P 2(R) e W = { a + bt + ct2 ∈ P 2(R) ; 2a + b − c = 0 }.

(g) V = F (R) = {f : R −

→R ; f e funcao } e

W = {

f ∈ V ; f e funcao ımpar}.

(h) V = F (R) e W = {f ∈ V ; f e funcao par }.

(i) V = F (R) e W = C (R) = {f ∈ V ; f e contınua }.

(j) V = F (R) e W = D(R) = {f ∈ V ; f e derivavel }.

(k) V = R4 e W = { (x,y,z,w) ∈ R4 ; 2x − y + 3z − w = 0 }.

(l) V = Mn×1(R) e W = { X ∈ V ; AX = 0 }, onde A ∈ Mm×n(R) e

uma matriz dada.

(m) V = M2×2(R) e W = a b

c d ∈ V ; a + d = 0, b − 2d = 0 .

W e chamado um hiperplano

do Rn .

(n) V = Rn e W = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn ; a1x1 + · · · + anxn = 0 }, onde

a1, . . . , an sao numeros reais fixados nem todos nulos, isto e, tais

que (a1, . . . , an) = (0 , . . . , 0).

(o) V = Mn×n(R) e W = { A ∈ V ; At = −A}.

(p) V = Mn×n(R) e W = { A ∈ V ; At = A}.

5. Sejam V um espaco vetorial e U e W subespacos de V . Mostre que:

(a) U ∩ W e um subespaco de V ;(b) U ∪ W e um subespaco de V se, e somente se, U ⊂ W ou W ⊂ U;

(c) U + W = { u + w ; u ∈ U, w ∈ W } e um subespaco de V .

6. Determine U ∩ W e interprete geometricamente U, W e U ∩ W , onde

U = { (x,y,z ) ∈ R3 ; 2x + y − z = 0 } e

W = { (x,y,z ) ∈ R3 ; x + y + 2z = 0 }.

7. Determine U ∩ W , onde U = { (x,y,z,w) ∈ R4 ; x − w = 0 } e

W = { (x,y,z,w) ∈ R4 ; x + y + z = 0, y − w = 0 }.

M.L.T.Villela

U F F 46



Combinacao linear, dependencia e independencia linear PARTE 2 - SEC ˜ AO 2

Combinacao linear, dependencia e

independencia linear

Vamos aprender a construir subespacos de um espaco vetorial real. Para

isto introduzimos o seguinte conceito.

Definicao 3 (Combinacao linear)

Seja V um espaco vetorial. Sejam v1, . . . , vm em V e a1, . . . , am em R.

Dizemos que v = a1 v1 + · · · + am vm e uma combinac˜ ao linear de v1, . . . , vm.

Exemplo 14

Se V = R e v1 = 1, entao para todo v = a ∈ R temos v = a · 1 = av1 e

combinacao linear de v1.

Exemplo 15

V = R2, v1 = (1, 1) e v = (3, 3) = 3v1 e uma combinacao linear de v1.

Exemplo 16

Sejam v1 = (1, 1) e v2 = (1, −1) em R2. Observamos que dado (x, y) ∈ R2

existem a, b ∈ R tais que

(x, y) = av1 + bv2 = a(1, 1) + b(1, −1) = (a + b, a − b), pois a + b = x

a − b = ye um sistema possıvel e determinado, cujas solucoes sao a = x+y

2 e b = x−y

2 .

Portanto, qualquer vetor do R2 e combinacao linear de v1 e v2, a saber,

(x, y) = x+y

2 (1, 1) + x−y

2 (1, −1).

Exemplo 17

Sejam e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1). Para todo (x,y,z ) ∈ R3,

temos

(x,y,z ) = (x,0,0) + (0,y,0) + (0,0,z )

= x(1,0,0) + y(0,1,0) + z (0,0,1)

= xe1 + ye2 + ze3.

Exemplo 18

Sejam e1 = (1 , 0 , . . . , 0), e2 = (0 , 1 , 0 . . . , 0), . . . , en = (0 , 0 , . . . , 1) em Rn

Para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, temos

(x1, x2, . . . , xn) = (x1, 0 . . . , 0) + (0, x2, . . . , 0) + · · · + (0 , . . . , 0 , xn)

= x1(1 , 0 , . . . , 0) + x2(0 , 1 , 0 . . . , 0) + · · · + xn(0 , 0 , . . . , 1)

= x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.


47 U F F



´ Algebra Linear I

Combinacao linear, dependencia e independencia linear

Definicao 4 (Subespaco gerado)

Seja V um espaco vetorial real e sejam v1, . . . , vm em V . O conjunto W de

todas as combinacoes lineares de v1, . . . , vm e um subespaco de V chamado de

subespaco gerado por v1, . . . , vm e e denotado por W = [ v1, . . . , vm ]. Assim,

W = [ v1, . . . , vm ]

= {a1 v1 + · · · + am vm ; a1, . . . , am ∈ R},

e dizemos que v1, . . . , vm sao geradores ou geram W .

Precisamos mostrar que, efetivamente, W = [ v1, . . . , vm ] e um su-

bespaco de V . De fato,

(a) Tomando a1 = · · · = am = 0 ∈ R, temos 0V = 0v1 + · · ·+ 0vm ∈ W .

(b) Sejam u = a1 v1 + · · · + am vm e w = b1 v1 + · · · + bm vm em W .Entao,

Em (1) usamos a

comutatividade e


V e em (2), a

distributividade da

multiplicacao por escalar em

V .

u + w = (a1 v1 + · · · + am vm) + (b1 v1 + · · · + bm vm)(1)= (a1 v1 + b1 v1) + · · · + (am vm + bm vm)(2)= (a1 + b1) · v1 + · · · + (am + bm) · vm ∈ W,

pois aj + bj ∈ R, para todo j = 1, . . . , n.

(c) Sejam u = a1 v1 + · · · + am vm em W e k ∈ R. Entao, da distributi-

vidade e da associatividade da multiplicacao por escalar, temos

k · u = k · (a1 v1 + · · · + am vm) = (k · a1) v1 + · · · + (k · am) vm ∈ W ,

pois k · aj ∈ R, para todo j = 1, . . . , n.

Exemplo 19

Seja v1 = (1, 1) ∈ R2. Entao,

[ v1 ] = {a(1, 1) ; a ∈ R}

= {(a, a) ; a ∈ R}

= {(x, y) ∈ R2 ; x = y}.

Exemplo 20

Vamos determinar o subespaco W do R3 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0),

v2 = (1,0, −1) e v3 = (−1,2, −1).

v ∈ W = [ v1, v2, v3 ] se, e somente se, existem a1, a2, a3 ∈ R tais que

v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3. Assim,

v = (x,y,z ) = a1(1, −1, 0) + a2(1,0, −1) + a3(−1,2, −1)

= (a1 + a2 − a3, −a1 + 2a3, −a2 − a3)

Determinar o subespaco W e equivalente a determinar quais as condicoessobre x, y, z para que o sistema

M.L.T.Villela

U F F 48




a1 + a2 − a3 = x

−a1 + 2a3 = y

−a2 − a3 = z

tenha solucao.

Reduzindo por linhas a matriz ampliada associada ao sistema, obtemos:

1 1 −1 x

−1 0 2 y

0 −1 −1 z

∼1

1 1 −1 x

0 1 1 x + y

0 −1 −1 z

∼2

1 1 −1 x

0 1 1 x + y

0 0 0 x + y + z

Fizemos a seguinte sequencia de operacoes elementares:

em ∼1: L2

→L2 + L1;

em ∼2: L3 → L3 + L2.

O sistema tem solucao se, e somente se, x + y + z = 0. Logo,

W = [ v1, v2, v3 ] = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x + y + z = 0}.

Exemplo 21

Vamos determinar equacoes para o subespaco W de M2×2(R) gerado por

v1 =

1 1

1 1

, v2 =

1 1

0 1

e v3 =

1 1

0 0

.

Temos que v = x y

z w

∈ W se, e somente se, existem a, b, c ∈ R taisque v = av1 + bv2 + cv3. Assim,

x y

z w

= a

1 1

1 1

+ b

1 1

1 0

+ c

1 1

0 0

=

a + b + c a + b + c

a + b a

.

Logo, v = x y

z w ∈ W se, e somente se, o sistema

a + b + c = x

a + b + c = y

a + b = z a = w

tem solucao.

Reduzindo por linhas a matriz ampliada associada ao sistema, obtemos

1 1 1 x

1 1 1 y

1 1 0 z

1 0 0 w

∼1

1 1 1 x

0 0 0 y − x

1 1 0 z

1 0 0 w

∼2

0 0 1 x − z

0 0 0 y − x

0 1 0 z − w

1 0 0 w

.

Fizemos a seguinte sequencia de operacoes elementares:

em ∼1: L2 → L2 − L1; e em ∼2: L1 → L1 − L3; L3 → L3 − L4.


49 U F F



´ Algebra Linear I


Portanto,

W = x y

z w ∈ M2×2(R) ; y − x = 0=

x x

z w

; x,z,w ∈ R

=

x

1 1

0 0

+ z

0 0

1 0

+ w

0 0

0 1

; x,z,w ∈ R

.

Exemplo 22

Vamos determinar equacoes para W = [ (1,1,1,1), (2,1,0,0), (3,2,1,1) ],

subespaco do R4. Temos que

(x,y,z,w) = a(1,1,1,1) + b(2,1,0,0) + c(3,2,1,1),

x

y

z

w

= a

1

1

1

1

+ b

2

1

0

0

+ c

3

2

1

1

=

1 2 3

1 1 2

1 0 1

1 0 1

a

b

c

.


1 2 3 x

1 1 2 y

1 0 1 z

1 0 1 w

∼

1 2 3 x

0 −1 −1 y − x

0 −2 −2 z − x

0 −2 −2 w − x

∼

1 2 3 x

0 −1 −1 y − x

0 0 0 z − 2y + x

0 0 0 w − 2y + x

Logo, W = {(x,y,z,w) ∈ R4 ; x − 2y + z = 0 e x − 2y + w = 0}.

Definicao 5 (Vetores linearmente independentes ou dependentes)

Seja V um espaco vetorial real. Dizemos que os vetores v1, . . . , vn em V sao

linearmente independentes se, e somente se,

se a1 v1 + · · · + an vn = 0V , entao a1 = · · · = an = 0.

Caso contrario, existem a1, . . . , an em R, nem todos nulos, tais que

a1 v1+· · ·+an vn = 0V e dizemos que v1, . . . , vn sao linearmente dependentes .

Exemplo 23

0V e linearmente dependente em qualquer espaco vetorial V , pois 1 · 0V = 0V .

Exemplo 24

0V , v1, . . . , vn sao linearmente dependentes em qualquer espaco vetorial V ,

pois 1 · 0V + 0 · v1 + · · · + 0 · vn = 0V .

Exemplo 25Se v = 0V , entao v e linearmente independente.

M.L.T.Villela

U F F 50




De fato, suponhamos por absurdo que exista a ∈ R, a = 0 tal que a · v = 0V .

Entao,

0V = a−1 · 0V = a−1(a · v) = (a−1 · a) · v = 1 · v = v,

contradizendo o fato de v = 0V .

Exemplo 26

Os vetores v1 = (1, 2) e v2 = (2, 4) em R2 sao linearmente dependentes, pois

como v2 = 2v1, temos 2 · v1 − 1 · v2 = (0, 0).

Proposicao 3

Seja V um espaco vetorial real. Os vetores v1, . . . , vn em V , com n > 1, sao

linearmente dependentes se, e somente se, um deles e combinacao linear dos

outros. Equivalentemente, os vetores v1, . . . , vn em V , com n > 1, sao line-armente independentes se, e somente se, nenhum deles e combinacao linear

dos outros.

Demonstracao: Faremos a demonstracao da primeira afirmacao.

(=⇒:) Suponhamos que v1, . . . , vn sao linearmente dependentes. Entao, exis-

tem a1, . . . , an em R nem todos nulos, tais que a1 v1+a2 v2+· · ·+an vn = 0V .

Sem perda de generalidade, podemos supor que a1 = 0. Logo, Caso necessario,

reenumeramos os vetores.

a1 v1 = −a2 v2 − · · · − an vn,

v1 = −(a1−1 · a2) v2 − · · · − (a1−1 · an) vn e v1 e combinacao linear de v2, . . . , vn.

(⇐=:) Suponhamos, sem perda de generalidade, que v1 seja combinacao

linear de v2, . . . , vn. Entao, existem a2, . . . , an ∈ R, tais que v1 = a2 v2 +

· · · + an vn. Logo, 1 · v1 − a2 v2 − · · · − an vn = 0V e uma combincao linear

nula com nem todos os coeficientes nulos. Portanto, os vetores v1, . . . , vn sao

linearmente dependentes.

Exemplo 27

Dados dois vetores em qualquer espaco vetorial, para determinar se sao li-nearmente independentes ou dependentes nao e preciso fazer calculos, basta

olhar para os vetores.

v1 = (1,2,3) e v2 = (1,1, −1) sao linearmente independentes no R3.

f1(t) = 1 e f2(t) = 1 + t sao linearmente independentes em P 1(R).

A1 =

1 0

2 1

e A2 =

3 0

6 3

sao linearmente dependentes em M2×2(R).

Exemplo 28Vamos verificar se v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,1,2,1), v3 = (3,3,4,3), v4 =


51 U F F



´ Algebra Linear I


(−1,1, −1, 1) e v5 = (−1,3,0,3) sao linearmente dependentes ou indepen-

dentes. Sejam a1, a2, a3, a4, a5 ∈ R tais que a1 v1+a2 v2+a3 v3+a4 v4+a5 v5 =

(0,0,0,0). Entao,

0

0

0

0

= a1

1

1

1

1

+ a2

1

1

2

1

+ a3

3

3

4

3

+ a4

−1

1

−1

1

+ a5

−1

3

0

3

=

1 1 3 −1 −1

1 1 3 1 3

1 2 4 −1 0

1 1 3 1 3

a1

a2

a3

a4

a5

Vemos que obtemos um sistema linear homogeneo de m = 4 equacoes com

n = 5 incognitas. Logo, o numero r de linhas nao nulas da reduzida por

linhas da matriz associada ao sistema tem a propriedade

Veja no Exercıcio 8 uma

generalizacao desse

resultado.

r ≤ m = 4 < 5 = n.

Portanto, esse sistema tem solucao nao nula. Assim, os vetores sao linear-

mente dependentes.

Exemplo 29

Os polinomios f1(

t) =

1 +

t, f2(

t) =

t e f3(

t) =

1 +

t +

t

2

sao linearmentedependentes ou independentes em P 2(R)?

Fazemos a combinacao linear nula a1f1(t) + a2f2(t) + a3f3(t) = 0. Assim,

0 = a1(1 + t) + a2t + a3(1 + t + t2) = (a1 + a3) + (a1 + a2 + a3)t + a3t2.

Logo,

a1 + a3 = 0

a1 + a2 + a3 = 0

a3 = 0

Resolvendo o sistema, obtemos a3 = 0, a1 = −a3 = 0 e a2 = −a1 − a3 = 0.

Portanto, os polinomios sao linearmente independentes.

Proposicao 4 (Propriedade da independencia linear)

Sejam V um espaco vetorial e v1, . . . , vm vetores em V linearmente indepen-

dentes. Entao, cada v ∈ [ v1, . . . , vm ] se escreve de uma unica maneira como

combinacao linear de v1, . . . , vm.

Demonstracao: Sejam a1, . . . , am e b1, . . . , bm em R, tais que

a1 v1 + · · · + am vm = b1 v1 + · · · + bm vm.

Entao, (a1 − b1) v1 + · · · + (am − bm) vm = 0V . Como esses vetores sao

linearmente independentes, temos que aj − bj = 0, para todo j = 1, . . . , m .Portanto, aj = bj, para todo j = 1, . . . , m .

M.L.T.Villela

U F F 52




Mais uma propriedade interessante.

Proposicao 5

Seja V um espaco vetorial real e sejam v1, . . . , vm vetores em V tais que vm = a1 v1 + · · · + am−1 vm−1. Entao, [ v1, . . . , vm−1 ] = [ v1, . . . , vm ].

Demonstracao:

Essa inclusao independe do

vetor vm .

(⊂:) Como b1 v1 + · · · + bm−1 vm−1 = b1 v1 + · · · + bm−1 vm−1 + 0vm, para

quaisquer b1, . . . , bm ∈ R, segue que [ v1, . . . , vm−1 ] ⊂ [ v1, . . . , vm ].

(⊃:) Seja v ∈ [ v1, . . . , vm ]. Entao, existem numeros reais b1, . . . , bm, tais que

v = b1 v1+· · ·+bm−1 vm−1+bm vm. Substituindo vm = a1 v1+· · ·+am−1 vm−1,

obtemos:

v = b1 v1 + · · · + bm−1 vm−1 + bm(a1 v1 + · · · + am−1 vm−1)= (b1 + bma1) v1 + · · · + (bm−1 + bmam−1) vm−1.

Logo, v ∈ [ v1, . . . , vm ]. Portanto, [ v1, . . . , vm ] ⊂ [ v1, . . . , vm−1 ].

Usando os nossos conhecimentos de vetores no plano e no espaco, vamos

determinar os subespacos do R2 e do R3.

Exemplo 30

Vamos mostrar que os subespacos do R2 sao {(0, 0)}, retas que passam pela

origem ou R2.

De fato, e claro que {(0, 0)} e um subespaco do R2.

Seja W = {(0, 0)} um subespaco do R2. Entao, existe v1 = (0, 0), tal que

v1 ∈ W . Assim, [ v1 ] = {kv1 ; k ∈ R} ⊂ W . Se W = [ v1 ], entao W e a reta

que passa pela origem O na direcao de v1.

O

v1

[v1] = W

Caso contrario, [ v1 ] W e existe v2 ∈ W tal que v2 ∈ [ v1 ]. Nesse caso, v1 e

v2 sao linearmente independentes e [ v1, v2 ] ⊂ W .

Cada v ∈ R2 pode ser escrito como combinacao linear de v1 e v2. Por que?


53 U F F



´ Algebra Linear I


O

v1

[v1 ]

a2 v2

v = a1 v1 + a2v2

v2 ∈ [v1 ]

a1v1

Dado v ∈ R2, a reta paralela a v1 passando pelo ponto v intersecta a reta

passando pela origem O paralela a v2 no ponto a2 v2; assim como, a reta

paralela a v2 passando pelo ponto v intersecta a reta passando pela origem O

paralela a v1 no ponto a1 v1. Pela regra do paralelogramo, v = a1 v1 + a2 v2.

Assim, R2 = [ v1, v2 ] ⊂ W . Logo, W = R2.

Exemplo 31

Vamos mostrar que os subespacos do R3 sao {(0,0,0)}, retas que passam pela

origem, panos que passam pela origem ou R3.

De fato, e claro que {(0,0,0)} e um subespaco do R3.

Seja W = {(0,0,0)} um subespaco do R3. Entao, existe v1 = (0,0,0), tal que

v1 ∈ W . Assim, [ v1 ] = {kv1 ; k ∈ R} ⊂ W . Se W = [ v1 ], entao W e a reta

que passa pela origem O na direcao de v1.

O

v1

[ v1 ] = W

Caso contrario, [ v1 ] W e existe v2 ∈ W tal que v2 ∈ [ v1 ]. Nesse caso, v1 e

v2 sao linearmente independentes e [ v1, v2 ] ⊂ W .

Se W = [ v1, v2 ], entao W e o plano Π que passa pela origem O paralelo as

direcoes de v1 e v2.

v1

a1 v1

a1 v1 + a2 v2

O v2 ∈ [v1]

a2 v2

Π = [v1 ,v2 ] = W

M.L.T.Villela

U F F 54




Caso contrario, Π = [ v1, v2 ] W e existe v3 ∈ W tal que v3 ∈ [ v1, v2 ] e,

nesse caso, [ v1, v2, v3 ] ⊂ W .

Cada v ∈ R

3

pode ser escrito como uma combinacao linear de v1, v2, v3.Por que?

v1

a1 v1

v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3

u = a1v1 + a2 v2

a3 v3

O

v2 ∈ [v1]a2 v2

v3 ∈ [v1, v2 ]

Π = [v1 ,v2 ] W

A reta paralela a v3 passando por v intersecta o plano Π = [ v1, v2 ] no ponto

u . Assim, v − u = a3 v3, para algum a3 ∈ R. Como u = a1 v1 + a2 v2, entao

v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3.

Portanto, R3 = [ v1, v2, v3 ] ⊂ W , logo W = R3.

Exercıcios

1. Escreva (1,1,2) como combinacao linear de v1 = (1,0,1) e v2 =

(0,1,1).

2. Escreva (1,2,3,4) como combinacao linear de v1 = (1,1,1,1), v2 =

(1,1,1,0), v3 = (1,1,0,0) e v4 = (1,0,0,0).

Mostre que todo v ∈ R4 se escreve de uma unica maneira como com-binacao linear de v1, v2, v3, v4.

3. Mostre que

1 1

1 1

,

1 −1

1 1

,

1 1

0 0

1 0

0 0

e line-

armente dependente.

4. Mostre que {1, 1 + t, (1 + t)2} e linearmente independente em P 2(R).

5. Mostre que {(1,1,1), (0,1,1), (0,1, −1)} gera R3.

6. Sejam u, v, w vetores nao-nulos de um espaco vetorial real V .


55 U F F



´ Algebra Linear I


(a) Mostre que { u, v } e linearmente dependente se, e somente se, u =

av, para algum a ∈ R e a = 0.

(b) Mostre que se { u, v } e linearmente independente e { u, v, w } elinearmente dependente, entao w e combinacao linear de u, v.

7. Seja V um espaco vetorial real e v1, . . . , vm vetores de V . Mostre que:

(a) Se v1, . . . , vm sao linearmente independentes e v ∈ [ v1, . . . , vm ],

entao v1, . . . , vm, v sao linearmente independentes.

(b) Se vm e uma combinacao linear de v1, . . . , vm−1, entao temos que

[ v1, . . . , vm−1 ] = [ v1, . . . , vm ].

8. Mostre que qualquer subconjunto do Rm com v1, . . . , vn vetores tal

que n > m e linearmente dependente.Generalizacao do Exemplo

28.

9. Determine equacoes para W = [ v1, v2, v3, v4 ], onde v1 = (1,1,1,1), v2 =

(1,1, −1, 1), v3 = (1,1,0,1) e v4 = (1, −1,2,1).

10. Determine equacoes para W = [ v1, v2, v3 ], onde v1 = (1,0,1), v2 =

(0,1,1) e v3 = (2, −1, 1).

11. Mostre que em F (R) :

(a) {sen x, cos x} e linearmente independente;

(b) {1, sen2 x, cos2 x} e linearmente dependente;

(c) {ex, e2x, e3x} e linearmente independente.

12. Mostre que {2, tg2 x, sec2 x} e linearmente dependente em F

− π2

, π2

.

13. Encontre um sistema linear homogeneo cujo conjunto das solucoes W

seja gerado por (1, −2,0,3), (1, −1, −1, 4) e (1,0, −2, 5).

M.L.T.Villela

U F F 56



Base e dimensao PARTE 2 - SEC ˜ AO 3

Base e dimensao

Vamos estudar mais detalhadamente apenas os espacos vetoriais finita-mente gerados.

Definicao 6 (Espaco vetorial finitamente gerado)

Dizemos que um espaco vetorial real V e finitamente gerado se, e somente se,

existem v1, . . . , vm em V tais que V = [ v1, . . . , vm ].

Exemplo 32

Rn e espaco vetorial finitamente gerado, pois Rn = [e1, . . . , en ].

Exemplo 33

Para cada n ≥ 0, P n(R) e espaco vetorial finitamente gerado, pois

f(t) ∈ P n(R) se, e somente se, f(t) = a0 + a1t + · · · + antn,

para a0, . . . , an ∈ R. Logo, f(t) e uma combinacao linear de 1, t, . . . , tn e

assim, P n(R) = [1 , t , . . . , tn ].

Exemplo 34

O espaco vetorial P (R) de todos os polinomios com coeficientes reais nao e

finitamente gerado. Nao ha subconjunto finito de polinomios com coeficientes

reais que gere P (R). Um possıvel conjunto de geradores e 1, t, . . . , tn, . . .,

para todo n ≥ 0.

Definicao 7 (Base)

Seja V = {0} um espaco vetorial real finitamente gerado. Um subconjunto

α = { v1, . . . , vn} ⊂ V e chamado uma base de V se, e somente se,

(i) V = [ v1, . . . , vn ];

(ii) { v1, . . . , vn} e linearmente independente.

A propriedade (i) significa que α gera V , assim cada elemento v ∈ V e

uma combinacao linear dos vetores de α . A propriedade (ii) significa que a

combinacao linear e unica.

α e chamada de base

canonica do Rn .

Exemplo 35

α = {e1, . . . , en} e uma base do Rn. Com efeito, ja mostramos que

v = (x1, . . . , xn) = x1e1 + · · · + xnen,

logo α gera Rn.

Falta verificar que α e linearmente independente.

De fato, (0 , . . . , 0) = x1e1 + · · · + xnen = (x1, . . . , xn) se, e somente se,

x1 = · · · = xn = 0.


57 U F F



´ Algebra Linear I

Base e dimensao

Exemplo 36

α = {1 , t , . . . , tn} e uma base de P n(R). Ja mostramos que α gera P n(R).

Agora,

α e chamada de base

canonica de P n (R).

0 = a0 + a1t + · · · + antn se, e somente se, a0 = a1 = · · · = an = 0,

mostrando que α e linearmente independente.

Proposicao 6

Todo espaco vetorial V = {0} finitamente gerado tem uma base.

Demonstracao: Como V e finitamente gerado existe um conjunto finito de

geradores para V . Entre todos os conjuntos finitos de geradores consideremos

um que tenha o menor numero de geradores, digamos α = { v1, . . . , vn} ⊂ V .

Entao, V = [ v1, . . . , vn ]. Afirmamos que α e linearmente independente.

De fato, se n = 1, entao V = [ v1 ] = {0}, logo v1 = 0 e α = { v1}

e linearmente independente. Podemos supor que n ≥ 2. Suponhamos,

por absurdo, que α seja linearmente dependente. Pela Proposicao 3, um

dos vetores de α e combinacao linear dos outros. Sem perda de generali-

dade, podemos supor que vn = a1 v1 + · · · + an−1 vn−1. Pela Proposicao 5,

[ v1, . . . , vn−1 ] = [ v1, . . . , vn ] = V , contradizendo o fato de o numero mınimo

de geradores ser n. Portanto, α e uma base de V .

Observacao: Outra demonstracao da Proposicao acima pode ser feita. Como

V = {0}, todo conjunto com um vetor nao nulo e linearmente independente.

Escolhemos entre todos os subconjuntos finitos linearmente independentes

um que tenha o maior numero de elementos. Basta mostrar agora que esse

conjunto, forcosamente, gera V .

Portanto, uma base de um espaco vetorial nao nulo finitamente gerado

tem o mınimo de geradores e o maximo de vetores linearmente independentes.

Teorema 1

Seja V = {0} um espaco vetorial real finitamente gerado. Entao, todas as

bases de V tem o mesmo numero de elementos.

Demonstracao: Sejam α e β bases de V com, respectivamente, m e n ele-

mentos. Como α e base V e β gera V , entao m = mınimo de geradores ≤ n.

Como α e base V e β e linearmente independente, entao m = maximo de

vetores li ≥ n. Portanto, m = n.

E claro que V = {0} e um

espaco vetorial real

finitamente gerado.

Definicao 8 (Dimensao)

Seja V = {0} um espaco vetorial real finitamente gerado. Chamamos de

dimens˜ ao de V ao numero de elementos de uma base de V e denotamos pordimR(V ). Quando V = {0} definimos dimR(V ) = 0.

M.L.T.Villela

U F F 58




Exemplo 37

dimR(Rn) = n, pois {e1, . . . , en} e uma base do Rn.

Exemplo 38dimR(P n(R)) = n + 1, pois {1 , t . . . , tn} e uma base de P n(R).

Exemplo 39

Seja V um espaco vetorial real com dimR(V ) = n ≥ 1. Todo subespaco W

de V e finitamente gerado e dimR(W ) ≤ n. Vale que:

W = V ⇐⇒ dimR(W ) = dimR(V )

W V ⇐⇒ dimR(W ) < dimR(V )

Exemplo 40

Seja W = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x + y − 2z = 0 e 2x − y + 2z = 0}.W e um subespaco do R3. Vamos determinar a dimensao de W . Para isto,

vamos determinar uma base de W . Reduzindo por linhas a matriz associada

ao sistema homogeneo, obtemos:Fizemos a sequencia de

operacoes elementares:

em ∼1 : L2 → L2 − 2L1 ;

em ∼2 : L2 → −13

L2 e

em ∼3 : L1 → L1 − L2 .

1 1 −2

2 −1 2

∼1

1 1 −2

0 −3 6

∼2

1 1 −2

0 1 −2

∼3

1 0 0

0 1 −2

.

Temos n = 3 incognitas e posto r = 2. Logo, o grau de liberdade e n − r =

3 − 2 = 1. As incognitas x e y podem ser dadas em funcao da incognita z .

Logo, x = 0 e y − 2z = 0. Portanto,

Geometricamente, W e a

reta de intersecao de dois

planos que passam pela

origem.

W = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x = 0 e y − 2z = 0}

= {(0,2z,z ) ; z ∈ R}

= {(0,2,1)z ; z ∈ R}, mostrando que W = [(0,2,1)]

Como {(0,2,1)} e l.i., entao e uma base de W e dimR(W ) = 1.

Exemplo 41

Seja f(t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ∈ P 3(R). Definimos o subespaco W por

W = f(t) ∈ P 3(R) ; a0 − a1 + a2 − a3 = 0, a0 + a1 + 3a2 − 3a3 = 0,

3a0 + a1 + 7a2 − 7a3 = 0 .

Vamos determinar a dimensao de W .

Reduzindo por linhas a matriz associada ao sistema linear homogeneo nas

incognitas a0, a1, a2, a3, temos:Fizemos a sequencia de


em ∼1 : L2 → L2 − 2L1 ,

L3 → L3 − 3L1 ;

em ∼2 : L2 → 12

L2 ;

em ∼3 : L1 → L1 + L2 ,

L3

→L3 − 4L2 .

1 −1 1 −1

1 1 3 −3

3 1 7 −7

∼1

1 −1 1 −1

0 2 2 −2

0 4 4 − 4

∼2

1 −1 1 −1

0 1 1 −1

0 4 4 − 4

∼3

1 0 2 −2

0 1 1 −10 0 0 0

.


59 U F F



´ Algebra Linear I

Base e dimensao

Temos n = 4 incognitas e posto r = 2. Logo, o grau de liberdade e n − r =

4 − 2 = 2. As incognitas a0 e a1 podem ser dadas em funcao das r = 2

incognitas a2 e a3. Temos que

f(t) ∈ W ⇐⇒ a0 + 2a2 − 2a3 = 0 e a1 + a2 − a3 = 0⇐⇒ a0 = −2a2 + 2a3 e a1 = −a2 + a3.

Logo, f(t) ∈ W se, e somente se,

f(t) = (−2a2 + 2a3) + (−a2 + a3)t + a2t2 + a3t3

= (−2a2 − a2t + a2t2) + (2a3 + a3t + a3t3)

= a2(−2 − t + t2) + a3(2 + t + t3),

Leia de tras para a frente as

igualdades acima e faca

f(t) = 0.

mostrando que {−2 − t + t2, 2 + t + t3} gera W . Esse conjunto e linear-

mente independente, pois fazendo a sua combinacao linear igual a 0, com oscoeficientes a2, a3 ∈ R, obtemos

0 = a2(−2 − t + t2) + a3(2 + t + t3)

= (−2a2 + 2a3) + (−a2 + a3)t + a2t2 + a3t3

logo, a2 = 0 e a3 = 0.

Exemplo 42

Vamos determinar uma base e a dimensao de

W = {(x,y,z,w) ∈ R4; x − y + z − w = 0 e − 2x + 3y + 4z − w = 0}.

Reduzindo por linhas a matriz associada ao sistema, obtemos:Fizemos a seguinte sequencia

de operacoes elementares:

em ∼1: L2 → L2 + 2L1 e

em ∼2 : L1 → L1 + L2.

1 −1 1 −1

−2 3 4 −1

∼1

1 −1 1 −1

0 1 6 −3

∼2

1 0 7 − 4

0 1 6 −3

.

Logo, x + 7z − 4w = 0 e y + 6z − 3w = 0.

Portanto, v = (x,y,z,w) ∈ W se, e somente se,

v = (−7z + 4w, −6z + 3w,z,w)

= (−7z, −6z,z,0) + ( 4w, 3w, 0, w)

= z (−7, −6,1,0) + w( 4, 3, 0, 1),

mostrando que { v1 = (−7, −6,1,0), v2 = ( 4, 3, 0, 1)} gera W . Esse conjunto

e linearmente independente, pois

(0,0,0,0) = zv1 + wv2 = (−7z + 4w, −6z + 3w,z,w) ⇐⇒ z = w = 0.

Portanto, { v1, v2} e uma base W e a dimensao de W e 2.

Proposicao 7

Todo subconjunto de vetores linearmente independentes de um espaco ve-

torial real V de dimensao finita n ≥ 1 pode ser completado a uma base deV .

M.L.T.Villela

U F F 60




Demonstracao: Sejam dimR(V ) = n ≥ 1 e α = { v1, . . . , vr} ⊂ V um conjunto

linearmente independente com r ≤ n. Seja W = [ v1, . . . , vr ]. Se W = V ,

entao α e uma base de V , r = n e nada ha a fazer. Suponhamos que

W V . Entao, r = dimR(W ) < dimR(V ) = n e existe vr+1 ∈ V tal que

vr+1 ∈ [ v1, . . . , vr ]. Portanto, { v1, . . . , vr, vr+1} e linearmente independente.

Se V = [ v1, . . . , vr+1 ] acabamos. Caso contrario, existe vr+2 ∈ V tal que

vr+2 ∈ [ v1, . . . , vr+1 ]. Continuando, esse processo tem de parar, pois nao

podemos ter mais de n vetores linearmente independentes.

Exemplo 43

Determine uma base de W que contenha v1 = (0,1, −1, −1), onde

W = {(x,y,z,w) ∈ R4 ; x + 2y − z + 3w = 0}.

Como W e o espaco das solucoes de um sistema linear homogeneo de posto

r = 1 com n = 4 incognitas, entao o grau de liberdade e n − r = 4 − 1 = 3.

Portanto, dimR(W ) = 3.

Logo, uma base de W tem tres vetores de W linearmente independentes.

Vamos escolher v2 ∈ W tal que v2 ∈ [ v1 ] = {a(0,1, −1, −1) ; a ∈ R}. Assim,

{ v1, v2} e linearmente independente. Por exemplo, v2 = (0,3,0, −2).

Dando valores a primeira,

segunda e terceira

coordenadas, obtemos a

quarta coordenada dos

vetores de W .

Agora, devemos selecionar v3 ∈ W tal que v3 ∈ [ v1, v2 ]. Temos que

[ v1, v2 ] = {av1 + bv2 = (0, a + 3b, −a, −a − 2b) ; a, b ∈ R}.

Tomamos x = 1, y = 1 e

z = 0. Logo, w = −1.

Como toda combinacao linear de v1 e v2 tem a primeira coordenada nula,

escolhemos v3 = (1,1,0, −1). Portanto, α = { v1, v2, v3} ⊂ W e linearmente

independente e e uma base de W .

Definicao 9 (Vetor coordenada)

Sejam V um espaco vetorial real de dimensao n ≥ 1 e α = { v1, . . . , vn}

uma base de V . Para cada v ∈ V , existem a1, . . . , an em R unicamente

determinados tais que v = a1 v1 + · · · + an vn. O vetor coordenada de v na

base α , denotado por v ]α, e a matriz Mn×1(R) definida por

v ]α =

a1

...

an

.

Daqui por diante, as bases serao bases ordenadas , com a ordem em que

escrevemos os vetores da base. Por exemplo, na base α = { v1, v2, . . . , vn}, v1

e o primeiro elemento, v2, o segundo, . . . , vn, o n-esimo.


61 U F F



´ Algebra Linear I

Base e dimensao

Exemplo 44

Sejam V = Rn e α = {e1, . . . , en} a base canonica. Entao, para cada vetor

v = (x1, . . . , xn) temos que v ]α =

x1

...

xn

.

Exemplo 45

Sejam V = P3(R) e α = {1,t,t2, t3} a base canonica.

Dados f(t) = 2 + 3t − t2 + t3 e g(t) = −1 + t2 − 2t3, temos que

f(t)]α =

2

3

−11

e g(t)]α =

−1

0

1−2

.

Exemplo 46

Vamos determinar o vetor coordenada de v = (x,y,z ) ∈ R3 na seguinte base

α = { v1 = (1,0,0), v2 = (1,1,0), v3 = (1,1,1)} do R3.

Escrevendo v como combinacao linear de v1, v2, v3, temos:

(x,y,z ) = a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) = (a + b + c, b + c, c),

logo a + b + c = x

b + c = y

c = z


Fizemos a sequencia de


em ∼1 : L1 → L1 − L2;

em ∼2 : L2 → L2 − L3.

1 1 1 x

0 1 1 y

0 0 1 z

∼1

1 0 0 x − y

0 1 1 y

0 0 1 z

∼2

1 0 0 x − y

0 1 0 y − z

0 0 1 z

.

Logo, a = x − y, b = y − z e c = z e (x,y,z )]α =

x − y

y − z

z

.

Proposicao 8 (Propriedades do vetor coordenada)

Sejam V um espaco vetorial real de dimensao n ≥ 1 e α = { v1, . . . , vn} uma

base de V . Valem as seguintes propriedades, para quaisquer v, w ∈ V e

a ∈ R:

(a) ( v + w)]α = v ]α + w ]α;

(b) (a · v)]α = a ·

v ]α

.

Demonstracao: Sejam v = a1 v1 + · · · + an vn, w = b1 v1 + · · · + bn vn e a ∈ R.Entao,

M.L.T.Villela

U F F 62




v + w = (a1 v1 + · · · + an vn) + (b1 v1 + · · · + bn vn)

= (a1 + b1) v1 + · · · (an + bn) vn

e a · v = a · (a1 v1 + · · · + an vn) = (a · a1) · v1 + · · · + (a · an) · vn. Logo,

Usamos as definicoes da

adicao de matrizes e da

multiplicacao de um numero

real por uma matriz.

( v + w)]α =

a1 + b1

...

an + bn

=

a1

...

an

+

b1

...

bn

= v ]α + w ]α

e (a · v)]α =

a · a1

...

a · an

= a ·

a1

...

an

= a ·

v ]α

.

Exercıcios

1. Encontre uma base e a dimensao do espaco W das matrizes simetricas

dois por dois com coeficientes reais.

2. Encontre uma base α e de a dimensao do espaco das matrizes diagonais

tres por tres com coeficientes reais. Complete α a uma base β de

M3×3(R).

3. No Exercıcio 4 da Secao 1 (exceto itens (g), (h), (i) e (j)) de a dimensao

de V e determine uma base e a dimensao de cada subespaco W .

4. Seja W = {(x,y,z ) ∈ R3 ; 2x + y − 3z = 0}. Escolha v1 ∈ W tal que

v1 = (0,0,0). Determine v2 ∈ W tal que α = { v1, v2} e uma base de

W , justificando a sua construcao.

5. Complete {(1,0,1), (1,0,2)} a uma base α do R3, justificando a sua

resposta.

6. Diga quais das afirmacoes sao falsas ou verdadeiras, justificando a sua

resposta:

(a) W = { (x,y,z ) ∈ R3 ; yz = 0 } e um subespaco do R3.

(b) (1, −1, 2) pertence ao subespaco gerado por u = (1,2,3) e v =

(3,2,1).

(c) W = {(x,y,z,w) ∈ R4 ; x = y} tem dimensao 2.

(d) Sejam u, v, w vetores do espaco vetorial V . Se { u, v} e linearmenteindependente e w = 0, entao { u, v, w} e linearmente independente.


63 U F F



´ Algebra Linear I

Base e dimensao

(e) Sejam u, v, w vetores do espaco vetorial V . Se { u, v} e linearmente

independente e w ∈ [ u, v ] entao { u, v, w} e linearmente indepen-

dente.

(f) Se { v1, . . . , vn} ⊂ V e linearmente independente e dim(V ) = n,

entao { v1, . . . , vn w} e linearmente dependente, para todo w ∈ V .

7. Determine as coordenadas do vetor ( 4, −5, 3) ∈ R3 em relacao as se-

guintes bases do R3:

(a) α = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, a base canonica.

(b) β = {(1,1,1), (1,2,0), (3,1,0)}.

(c) γ = {(1,2,1), (0,3,2), (1,1,4)}.

8. Determine as coordenadas do polinomio f(t) = 4 − 5t + 3t2 ∈ P 2(R)

em relacao as seguintes bases de P 2(R):

(a) α = {1,t,t2}, a base canonica de P 2(R).

(b) β = {1 + t + t2, 1 + 2t,3 + t}.

(c) γ = {1 + 2t + t2, 3t + 2t2, 1 + t + 4t2}.

9. Seja W = {(x,y,z,w) ∈ R

4

; 2x − y + z + 3w = 0}.

(a) Mostre que α = {(1,2,0,0), (0,1,1,0), (0,0,3, −1)} e uma base de

W .

(b) Determine v ]α, para cada v = (x,y,z,w) ∈ W .

10. Seja V um R-espaco vetorial e α = { v1, v2, . . . , vn} uma base de V .

Mostre que para todo m ≥ 1, para todo a1, . . . , am ∈ R e para todo

w1, . . . , wm ∈ V :

(a1 w1 + · · · + am wm)]α = a1 · w1 ]α

+ · · · + am ·

wm ]α

.

M.L.T.Villela

U F F 64



Soma e soma direta de subespacos PARTE 2 - SEC ˜ AO 4

Soma e soma direta de subespacos

A partir de subespacos U e W de um espaco vetorial real V , podemosconstruir subespacos de V . Por exemplo, ja vimos que U∩W e um subespaco,

tal que U∩W ⊂ U e U∩W ⊂ W . Observamos que U∩W e o maior subespaco

de V contido em U e em W . Lembramos que a uniao de

subespacos nem sempre e

um subespaco.

Faca o Exercıcio 1.

Agora vamos construir o menor subespaco de V que contem U ∪ W .

Definicao 10 (Soma de subespacos)

Sejam V um espaco vetorial real e U e W subespacos de V . A soma dos

subespacos U e W e definida por

U + W = { v ∈ V ; v = u + w, tal que u ∈ U e w ∈ W }.

De fato, U + W e um subespaco de V , pois

(a) 0V ∈ U e 0v ∈ W e 0V = 0V + 0V .

Usamos a comutatividade e


V .

(b) Se v = u + w e v′ = u ′ + w′, com u, u ′ ∈ U e w, w′ ∈ W , entao

v + v′ = ( u + w) + ( u ′ + v′) = ( u + u ′) + ( w + w′) ∈ U + W ,

em virtude de u + u ′ ∈ U e w + w′ ∈ W .

(c) Se v = u + w com u ∈ U e w ∈ W e a ∈ R, entao

a · v = a · ( u + v) = a · u + a · w ∈ U + W ,

pois a · u ∈ U e a · w ∈ W .

Exemplo 47

Sejam U = [(1, 1)] e W = [(1, −1)] subespacos do R2. Entao, U∩W = {(0, 0)}

e

U + W = {a(1, 1) + b(1, −1) ; a, b ∈ R} = R2.

Exemplo 48

Sejam U = [(1,1,1)] e W = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x + y + z = 0} subespacos do R3.

Geometricamente, U e a reta pela origem ortogonal ao plano W que passa

pela origem e U ∩ W = {(0,0,0)}.

Sabemos que dimR(W ) = 2. Tomando w1 = (1, −1, 0) e w2 = (0,1, −1) em

W temos uma base de W e u 1 = (1,1,1) e uma base de U. Logo,

U + W = {a(1,1,1) + b(1, −1, 0) + c(0,1, −1) ; a,b,c ∈ R} = R3,

Como a dimensao do R3 e 3,

qualquer conjunto com tres

vetores linearmente

independentes do R3 e uma

base.pois α = { u 1, w1, w2} e uma base do R3.

Exemplo 49

Sejam U = {(x,y,z ) ∈ R3; x+ y−z = 0} e W = {(x,y,z ) ∈ R3; x+ y+z = 0}.

Geometricamente, U e W sao planos pela origem concorrentes, pois seus ve-tores normais η1 = (1,1, −1) e η2 = (1,1,1) sao linearmente independentes.


65 U F F



´ Algebra Linear I


Nesse caso, U ∩ W = [(1, −1, 0)] e a reta pela origem, intersecao dos pla-

nos. Faca um desenho para visualizar que a soma de quaisquer dois planos

concorrentes pela origem e R3. Logo, U + W = R3.

Vamos mostrar que ha uma relacao entre as dimensoes dos subespacos

U, W , U ∩ W e U + W , sempre que U e W tem dimensoes finitas.

Proposicao 9

Sejam U e W subespacos de dimensao finita de um espaco vetorial real V .

Entao,

dimR(U + W ) = dimR(U) + dimR(W ) − dimR(U ∩ W ).

Demonstracao: Suponhamos que U ∩ W = {0V }. Seja α = { v1, . . . , vℓ} umabase de U ∩ W . Entao, α ⊂ U ∩ W e um subconjunto linearmente indepen-

dente de U ∩ W , U e W . Podemos completar α a uma base β de U e a uma

base γ de W . Escolhemos { u 1, . . . , u r} ⊂ U e { w1, . . . , ws} ⊂ W , tais que

β = { v1, . . . , vℓ, u 1, . . . , u r} e uma base de U e γ = { v1, . . . , vℓ, w1, . . . , ws} e

uma base de W .

Vamos mostrar que δ = { v1, . . . , vℓ, u 1, . . . , u r, w1, . . . , ws} e uma base

de U + W , obtendo a formula proposta para as dimensoes,

dimR(U + W ) = ℓ + r + s

= (ℓ + r) + (ℓ + s) − ℓ

= dimR(U) + dimR(W ) − dimR(U ∩ W ).

(i) δ gera U + W :

Seja v = u + w, com u ∈ U e w ∈ W . Como β e uma base

de U e γ e uma base de W , entao, existem a1, . . . aℓ, b1, . . . , br ∈ R e

c1, . . . , cℓ, d1, . . . , ds ∈ R tais que

u = a1 v1 + · · · + aℓ vℓ + b1 u 1 + · · · + br u r e

w = c1 v1 + · · · + cℓ vℓ + d1 w1 + · · · + ds ws.

Portanto,

u + w = (a1+c1) v1+· · ·+(aℓ+cℓ) vℓ+b1 u 1+· · ·+br u r+d1 w1+· · ·+ds ws.

(ii) δ e linearmente independente:

Sejam a1, . . . aℓ, b1, . . . , br, c1, . . . , cs ∈ R, tais que

a1 v1 + · · · + aℓ vℓ + b1 u 1 + · · · + br u r + c1 w1 + · · · + cs ws = 0v. ( ⋆ )

Entao,

a1 v1 + · · · + aℓ vℓ + b1 u 1 + · · · + br u r = −c1 w1 − · · · − cs ws ∈ U ∩ W .

Portanto, existem d1, . . . , dℓ ∈ R, tais que−c1 w1 − · · · − cs ws = d1 v1 + · · · + dℓ vl,

M.L.T.Villela

U F F 66




logo d1 v1 + · · · + dℓ vl + c1 w1 + · · · + cs ws = 0V . Como γ e linearmente

independente, entao d1 = · · · = dℓ = c1 = · · · = cs = 0. Substituindo em

( ⋆ ), obtemos a1 v1+· · ·+aℓ vℓ+b1 u 1+· · ·+br u r = 0v. Como β e linearmente

independente concluımos que a1 = · · · = aℓ = b1 = · · · = br = 0. Logo, δ e

linearmente independente.

Quando U ∩ W = {0V }, temos ℓ = dimR(U ∩ W ) = 0, comecamos com

β = { u 1, . . . , u r} e γ = { w1, . . . , ws} bases de U e W , respectivamente, e

mostramos que δ = β ∪ γ e uma base de U + W . Nesse caso,

dimR(U + W ) = dimR(U) + dimR(W ).

Definicao 11 (Soma direta)

Sejam U

e W

subespacos do espaco vetorial V

. Dizemos que a soma U + W

e uma soma direta se, e somente se, U ∩ W = {0V }. Nesse caso, escrevemos

U ⊕ W .

Exemplo 50

Verifique que no Exemplo 47 temos U ⊕ W = R2 e no Exemplo 48 temos

U ⊕ W = R3 pois, em ambos os casos, U ∩ W = 0V . Enquanto, no Exemplo

49 a soma U + W = R3 nao e uma soma direta, pois dimR(U ∩ W ) = 1 = 0.

Exemplo 51

Vamos determinar o subespaco U + W do R4

, ondeU = [ u 1 = (1,1,2,1), u 2 = (1,2,1,0)] e

W = [ w1 = (1, −1,1,1), w2 = (1,1,2,0)].

Primeiramente, observamos que

v ∈ U + W ⇐⇒ v = u + w, onde u ∈ U e w ∈ W ,⇐⇒ v = a1 u 1 + a2 u 2 + b1 w1 + b2 w2,

com a1, a2, b1, b2 ∈ R,

⇐⇒ v ∈ [ u 1, u 2, w1, w2 ].

Logo, U + W = [ u 1, u 2, w1, w2 ].Quando fazemos operacoes elementares nas linhas de um matriz A, na pratica

fazemos combinacoes lineares com as linhas de A e o espaco gerado pelas

linhas de A e o mesmo espaco gerado pelas linhas nao nulas (sao linearmente

independentes) da reduzida R a forma em escada equivalente a A.

Vamos reduzir por linhas a matriz cujas linhas sao u 1, u 2, w1, w2.

1 1 2 1

1 2 1 0

1 −1 1 11 1 2 0

∼1

1 1 2 1

0 1 −1 −1

0 −2 −1 00 0 0 −1

∼2

1 0 3 2

0 1 −1 −1

0 0 −3 −20 0 0 −1

∼3

Fizemos a sequencia de


em ∼1 : L2

→L2 − L1 ,

L3 → L3 − L1 , L4 → L4 − L1 ;

em ∼2 : L1 → L1 − L2 ,L3 → L3 + 2L2 ;


67 U F F




1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

.

Logo, U + W = [e1, e2, e3, e4 ] = R4. Como dimR(U) = 3 e dimR(W ) = 3,

entao dimR(U ∩ W ) = 2. Nesse caso, a soma nao e soma direta.

Exercıcios

1. Sejam V um espaco vetorial real e U e W subespacos de V .

(a) Mostre que U ∩ W e o maior subespaco de V contendo U e W .

(b) Mostre U + W e o menor subespaco de V contendo U ∪ W .

2. Considere os seguintes subespacos do R3:

U = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x = 0},

W = {(x,y,z ) ∈ R3 ; y − 2z = 0} e

V = {(x,y,z ) ∈ R3 ; x = y = z }.

(a) Determine uma base e a dimensao de cada um dos subespacos

U,V,W,U ∩ V, U ∩ W, V ∩ W, U + V, U + W, V + W .

(b) Entre as somas de subespacos U + V, U + W, V + W quais sao

somas diretas?

3. Seja V um espaco vetorial real e U e W subespacos de V tais que

U ∩ W = {0V }. Mostre que se v = u + w = u ′ + w′, com u, u ′ ∈ U e

w, w′ ∈ W , entao u = u ′ e w = w′.

4. Considere o espaco vetorial real V = M2×2(R) e os subespacos

U =

x −x

y z

; x,y,z ∈ R

e W =

a b

−a c

; a,b,c ∈ R

.

(a) Determine as dimensoes de U, W , U ∩ W e U + W .

(b) Mostre que U + W = V .


69 U F F



´ Algebra Linear I


5. Consideremos os subespacos de Mn×n(R),

U = {A ∈ Mn×n(R) ; At = A} e W = {A ∈ Mn×n(R) ; At = −A}.

(a) Mostre que U ∩ W = {0}.

(b) De dimR(U), dimR(W ) e dimR(U + W ).

(c) Seja A ∈ Mn×n(R).

i. Mostre que se A = B + C, onde B ∈ U e C ∈ W , entao

At = B − C.

ii. Mostre que B = A+At

2 e C = A−At

2 .

iii. Mostre que Mn×n(R) = U ⊕ W .

material prof maria lúcia - módulo 2

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