material de estudio unidad i-a uniandes

UNIVERSIDAD UNIANDES BABAHOYO.

MATERIAL DE ESTUDIO.

TEMA I: PLANTEAMIENTO DEL MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PL.

GILMA TABLADA MARTÍNEZ.

INGENIERA EN MATEMÁTICAS.

NOVIEMBRE-2012

Ing. Gilma Tablada Martínez. Investigación Operativa.

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INDICE.

I. Investigación operativa.

Introducción……………………………………………………………………………… 3

Modelos matemáticos de Programación Lineal………………………… 3

Solución gráfica de un problema de Programación Lineal…………. 9

Ejercicios propuestos………………………………………………………………… 12


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1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA.

La Investigación Operativa es una rama de la matemática que surge y se desarrolla a fines de la década de 1940. En la actualidad tiene mucha aplicación en la administración de recursos, economía y análisis industrial. Esta disciplina también suele llamarse Optimización porque consiste de optimizar una función, que debe cumplir bajo un conjunto de condiciones. Las ecuaciones matemáticas que representan al conjunto de condiciones y a la función, son funciones lineales, por lo que se llama también Programación Lineal (PL).

MODELOS MATEMÁTICOS DE PL.

Las aplicaciones industriales han demostrado que necesitan también de las herramientas analíticas para la adopción de decisiones administrativas y económicas, entre otras.

Las herramientas analíticas pueden ser estructuradas y no estructuradas. Los métodos analíticos deben emplearse siempre que sean técnicamente factibles y se justifiquen económicamente. La intuición y los criterios personales de expertos también son recursos necesarios y legítimos en este proceso. La intuición es una herramienta válida en la construcción de modelos, siempre y cuando la lógica no se vea afectada por reglas empíricas o caprichosas.

Los problemas que se repiten con frecuencia y se distinguen por su claridad y homogeneidad, no sólo de los objetivos, alternativas y gastos, sino también de las propias soluciones, se les denomina estructurados y se les busca soluciones sobre la base de reglas y procedimientos previamente elaborados. El estudio de estas situaciones tiene una forma general de solución; puede realizarse, mediante un modelo que no significa un esquematismo pues requiere creatividad, ya que en la práctica, no existen dos situaciones problémicas exactamente iguales.

Los modelos pueden ser icónicos (Representación física a escala o mental), analógicos (Representación de los sistemas dinámicos) o simbólicos o matemáticos. Estos últimos pueden ser descriptivos o normativos.

Los modelos descriptivos representan una relación pero no indican un curso de acción. Son útiles para pronosticar la conducta del sistema pero no pueden identificar el mejor curso de acción que debe seguirse. Muchos de los modelos estadísticos son descriptivos, como por ejemplo los modelos de Regresión, también son descriptivos los modelos de línea de espera, ya que permiten a quien toma las decisiones pronosticar diversas características de los Sistemas, así como los modelos de simulación.

A los modelos Normativos en muchas ocasiones se les denomina Modelos de Optimización, son prescriptivos, porque señalan el curso de acción que debe seguirse para alcanzar el objetivo.

Un modelo normativo puede contener submodelos descriptivos, pero difiere del modelo descriptivo porque es posible determinar un curso de acción. Esto implica que


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se incorpora un objetivo al modelo, y que es posible identificar los efectos que diferentes cursos de acción tienen sobre el objetivo. La mayoría de los modelos normativos están constituidos por tres conjuntos básicos de elementos:

Variables de decisión y Parámetros, Restricciones y Una o más funciones objetivos.

Los modelos también se pueden clasificar atendiendo a otros puntos de vista en Determinísticos y Estocásticos, Lineales y no Lineales y en Estáticos y Dinámicos.

Por otra parte las decisiones complejas encierran generalmente factores que quedan fuera del alcance de las técnicas analíticas actuales; en este caso el analista no puede pasar de allí y ha de acabar recurriendo a un criterio alcanzado heurísticamente. El proceso heurístico de solución se basa en reglas empíricas o intuitivas que, cuando se aplican al problema proporcionan una o más soluciones. Para la fundamentación de este tipo de decisiones es necesaria la participación colectiva de especialistas que posean experiencia y calificación en la esfera correspondiente y además al uso de algunas técnicas vinculadas a este proceso. A estos fenómenos se les denomina no estructurados.

Los procesos de adopción de decisiones se acortan identificando sus características descriptivas dentro de un entorno decisorio.

Desde el punto de vista analítico y teniendo en cuenta las condiciones del medio exterior y el grado de información sobre el sistema se puede hacer una clasificación de los problemas de toma de decisiones, agrupándolos en cuatro grandes categorías:

Decisiones en Condiciones de Conflicto o frente a voluntades contradictorias: En esta categoría se encuentran las decisiones frente a voluntades contradictorias, cuando el medio exterior no es un testigo pasivo de las decisiones sino que encierra adversarios conscientes y organizados que tienden también hacia un objetivo. Esta categoría se utiliza en temas relativos a la teoría de juegos.

Decisiones en Condiciones de Incertidumbre: En este caso el futuro es totalmente incierto en el sentido de que son posibles varias hipótesis, sin que podamos atribuir a cada uno de ellos una probabilidad objetiva deducida de las repeticiones estadísticas o de las valoraciones subjetivas de los expertos o peritos. Este tipo de problema incluye aquellas situaciones indeterminadas durante las cuales cada estrategia pude conducir a resultados absolutamente desconocidos con anterioridad. Al parecer estas situaciones no ofrecen en la práctica esperanzas para el investigador, pero a pesar de todo, estas también pueden ser investigadas en cierto grado. Las decisiones bajo incertidumbre son necesarias cuando el analista desea incluir el efecto de diferentes situaciones futuras en su evaluación, pero le resulta imposible predecir la probabilidad de cada situación.


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Un paso más allá del Riesgo hacia lo desconocido es la entrada en la Incertidumbre. Ninguno de estos tratamientos ofrece una solución neta y precisa pero ambos proporcionan al menos un mejor conocimiento del problema.

Decisiones Probabilísticas o con Riesgo: Se considera que el futuro es probabilístico cuando las consecuencias de diversas decisiones posibles no pueden ser conocidas de antemano, pero se le puede atribuir un valor de probabilidad. Esto quiere decir que no estamos seguros de que una decisión nos reporte una determinada ganancia, pero sabemos que si tomamos esta decisión tendremos, por ejemplo una probabilidad de ganar una cierta cantidad , de ganar un valor y de perder . La existencia de tales probabilidades puede ser consecuencia del mismo mecanismo de elección, que se puede justificar por una regularidad estadística del proceso aleatorio que condiciona los resultados de las decisiones. Este último caso pudiera ser el de un Jefe de Abastecimiento de una Empresa que debe satisfacer las necesidades fluctuantes minimizando los gastos de almacenamientos, pero que puede utilizar como criterio de decisión la observación de las variaciones registradas en el pasado en cuanto al ritmo de pedidos recibidos. Este tipo de decisión es aquella en la cual cada Estrategia puede conducir a uno de los variados resultados diferentes, pero la probabilidad de la aparición de cada resultado durante el curso de acción es conocida o puede ser estimada. Las decisiones en condiciones de Riesgo son apropiadas cuando el analista puede obtener buenas estimaciones de las probabilidades de las condiciones futuras y de los efectos económicos de estas condiciones. En este caso pueden requerirse cuantiosas investigaciones y experimentaciones, pero si el costo no es probabilístico las ventajas de una fugaz visión del futuro pueden merecer el esfuerzo y el gasto.

Decisiones con futuro prácticamente conocido o con Certeza: Las consecuencias de una posible decisión se pueden predecir sin gran riesgo de error, son decisiones de tipo técnico en las que casi pueden definirse por adelantado los efectos de las mismas; algunos de estos efectos permanecen siempre ligados a la evolución futura de ciertos factores externos, evolución que es en general desconocida; pero puede ocurrir que la influencia de estos factores sean lo suficientemente débil o lo suficientemente estable para que podamos despreciar la incertidumbre que introduce. La elección de la decisión podrá hacerse entonces en principio por la definición previa de un criterio de valor, la enumeración de todas las decisiones posibles, la valoración de estas


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decisiones según el criterio adoptado y la selección de aquella que desde este punto de vista asegure el mejor resultado. Esto quiere decir que el aporte del razonamiento matemático está dado por las técnicas conocidas de la modelación matemática, el análisis económico contribuir a la definición del criterio, mientras que el Cálculo Combinatorio debe permitir la enumeración de las decisiones posibles si existen en gran número. En estas situaciones cada estrategia o curso de acción conduce a un resultado (salida). Las decisiones en condiciones de certeza incluyen la mayor parte de los planteamientos tradicionales en economía. Es a menudo cómoda y factible considerar todas las condiciones de un problema como si se conociesen con seguridad de hecho, al suponer certeza basamos el análisis en un conjunto de supuestos que creemos representan una gran expectativa de su realidad, la cual puede estar plenamente justificada en muchos casos como por ejemplo, los métodos de producción bien probados, los diseños experimentales, los materiales sometidos a control de calidad. Incluso en situaciones en las cuales se sabe que existen riesgos, es a menudo más práctico dar por cierto un conjunto de condiciones. En los casos en que es imposible o demasiado caro cuantificar los niveles de Riesgo para cada una de las diferentes alternativas, el supuesto de certeza ofrece un método práctico de análisis. Esta clasificación tiene evidentemente un carácter artificial, debido en particular a que la introducción de probabilidades nunca está del todo justificada, ni es nunca del todo imposible. El decisor tiene que prepararse conscientemente para adoptar decisiones y debe comprender que para ello se requieren medidas explícitas tales como una exposición exacta de los objetivos, la mayor cantidad y mejor calidad posible de información, una correcta aplicación de los instrumentos analíticos apropiados y la determinación de llevar adelante el análisis sin titubeos.

El proceso de solucionar problemas usando estrategias de optimización puede describirse a través de una secuencia de pasos o algoritmo.

Este proceso consiste en aplicar métodos cuantitativos para solucionar problemas y requiere de una sucesión sistemática de pasos que parten de la comprensión de la situación problémica, la definición correcta del problema, la aplicación de métodos eficientes de solución y por último, una interpretación acertada de los resultados obtenidos.

El algoritmo poder representarse gráficamente de la siguiente manera:

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

DEFINICIÓN DEL MM Y RESUMEN DE

DATOS


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Ejemplo 1. Problema de Programación Lineal.

Suponga que una compañía fabrica dos tipos diferentes de artefactos: manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante 2 horas, de 1 hora en la máquina B y de 1 hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las 3 máquinas es de 180, 160 y 100 respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de $4.00 y de $6.00 los eléctricos. ¿Cuántos de cada tipo de ellos se deben producir con el objetivo de maximizar la utilidad mensual?

Los datos del problema se resumen en la siguiente tabla:

Máquina A Máquina B Máquina C Utilidad/Unidad


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Para definir el modelo matemático que resuelve el problema, debemos tener claridad de la problemática, identificar la el objeto de optimización, las limitaciones o requerimientos en la problemática y las condiciones bajo las cuáles se debe resolver. Para expresar todo esto a través de expresiones matemáticas debemos definir también las variables de decisión:

El objeto de optimización es la Ganancia, que se debe maximizar.

Las limitaciones son:

Tiempo disponible para la máquina A. Tiempo disponible para la máquina B. Tiempo disponible para la máquina C. Condición de no negatividad para las variables de decisión.

El modelo, en términos generales sería:

Maximizar (

) (

)

Sujeto a:

(

) (

) {

(

) (

) {

(

) (

) {

( ) ( ) *

Para definir el modelo matemático necesitamos definir las siguientes variables:

Objetivo a maximizar:

→ .

Variables de decisión:

Manual 2h 1h 1h $4.00

Eléctrico 1h 2h 1h $6.00

Horas disponibles 180 160 100


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→ Es la cantidad de artefactos manuales a producirse.

→ Es la cantidad de artefactos eléctricos a producirse.

Las variables de decisión son también conocidas como variables estructurales

En términos de las variables definidas, conociendo los valores a ganar cuando se vende cada tipo de artefacto, los tiempos requeridos en cada máquina para cada tipo de artefacto y los tiempos disponibles de cada máquina, el modelo nos quedaría así:

Maximizar (Función objetivo)

Sujeto a:

}

2. Solución gráfica de un problema de Programación Lineal.

El método gráfico tiene grandes desventajas para resolver problemas de PL ya que cuando los modelos matemáticos que los representan tienen más de dos variables se dificulta la representación gráfica de los mismos. El método gráfico consiste de representar en el plano las rectas que delimitan a cada una de las restricciones y determinar cuál es la zona común para todas (absolutamente todas). A esta zona se llama Zona Factible (ZF).

La ZF puede ser cerrada, abierta o puede no existir.

- Zona Factible cerrada: Si la ZF es cerrada para un problema dado, significa que hay solución óptima. Ésta puede ser única o pueden existir múltiples soluciones.

(Conjunto de restricciones)


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- Zona Factible abierta: Si la ZF es abierta el problema tiene solución óptima cuando la FO se desea minimizar. Un problema de maximización no tendría solución.

- No existe ZF. El problema de PL no tiene solución óptima.

TEOREMA DEL PUNTO ESQUINA O VÉRTICE.

Si para un problema de PL, existe la ZF y es cerrada, entonces la solución óptima del problema se obtiene en un vértice o punto esquina de esa ZF.


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Teniendo en cuenta el resultado anterior, se calculan todos los puntos esquinas de la ZF, se evalúa la FO para esos puntos y se toma el punto en que la FO tenga el mayor valor o menor según sea el caso de optimización.

Para el ejemplo 1 el modelo es:

Maximizar Sujeto a: Las rectas que delimitan la ZF son: (1) (2) (3) Para cada recta se encuentran 2 puntos, se traza la recta en el plano cartesiano y se señalan los conjuntos de puntos que satisfacen a cada restricción del modelo de PL correspondiente al problema objeto de análisis.

El conjunto de puntos de puntos que satisface a todas las restricciones, se llama Zona Factible, y es el conjunto de puntos que contiene a la(s) solución(es) óptima(s) del problema.

El gráfico para este modelo es:

La Zona Factible encontrada tiene 5 vértices, que son Las coordenadas del punto C se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que forman las rectas (2) y (3).

}

(1)

(2) (3)


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Resolviendo el sistema se obtiene el siguiente resultado:

Las coordenadas del punto D se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que forman las rectas (1) y (3).

}

Resolviendo el sistema se obtiene el siguiente resultado:

Al evaluar la FO en dichos vértices se obtienen los siguientes resultados:

De los resultados anteriores el mayor es $520.00 y es la solución óptima.

Esta solución se obtiene para el punto (40, 60), lo que significa fabricar 40 artefactos manuales y 60 eléctricos.

Ejercicios propuestos.

1. Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:

}

Se pide:

a) Dibujarlo y hallar sus vértices.

b) Razonar si es posible maximizar en él la función ( ) .

c) En caso afirmativo, calcular el valor máximo correspondiente y puntos donde se

alcanza.

d) Razonar si es posible minimizar en él la función ( )

e) En caso afirmativo, calcular el valor mínimo correspondiente y puntos donde se

alcanza.

2. Escriba restricciones en los ejercicios del a) al e) como desigualdades lineales e identifique las variables usadas. En algunos casos, no toda la información es necesaria para escribir las restricciones.

Vértice o punto esquina.

Coordenadas FO: G = 4x +6y

A (0, 0) G(A) = 4(0) + 6(0) = 0

B (0, 80) G(B) = 4(0) + 6(80) = 480

C (40, 60) G(C) = 4(40) + 6(60) = 520

D (80, 20) G(D) = 4(80) + 6(20) = 440

E (90, 0) G(E) = 4(90) + 6(0) = 360


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a) Una canoa requiere de 6 horas de fabricación y un bote de remos de 4 horas. El departamento de fabricación dispone cuando más de 90 horas de trabajo cada semana.

b) Un enfermo necesita por lo menos 2400 mg de vitamina C cada día. Cada píldora Supervite proporciona 250 mg y cada píldora Vitahealth proporciona 350 mg.

c) Un candidato no puede gastar más de $8 500.00 en publicidad por radio y televisión. Cada anuncio por radio cuesta $150.00 y cada uno en televisión cuesta $750.00.

d) Un dietista de hospital tiene dos opciones de alimentos, una para pacientes con dieta de sólidos que cuesta $2.25 y una para pacientes con dieta de líquidos que cuesta $3.75. Hay un máximo de 400 pacientes en el hospital.

e) Almendras que cuestan $8 por libra deben mezclarse con maní que cuestan$3 por libra para obtener por lo menos 30 libras de varios tipos de nueces mezclados.

3. En cada uno de los siguientes ejercicios, escriba un sistema de desigualdades que describa todas las condiciones y trace una gráfica de la región factible.

a) Southwestern Oil suministra gasolina a 2 distribuidores localizados en el noroeste del país. Un distribuidor necesita por lo menos 3 000 barriles de gasolina y el otro necesita por lo menos 5 000. Southwestern puede enviar cuando más 10 000 barriles. Tome como el número de barriles enviados al distribuidor 1, y el número de barriles enviados al distribuidor 2.

b) Una empresa de california tiene que enviar 2 400 cajas de almendras desde su planta en Sacramento a San José y am San Antonio. El mercado de San José necesita por lo menos 1 000 cajas y el de san Antonio por lo menos 800 cajas. Sea el número de cajas por enviar a San José y el número de cajas por enviar a san Antonio.

c) Un dietista planea un paquete de frutas y nueces. Cada onza de fruta suministrará 1 unidad de proteína, 2 unidades de carbohidratos y 1 unidad de grasa. Cada onza de nueces suministrará 1 unidad de proteína, 1 unidad de carbohidratos y 1 unidad de grasa. Cada paquete debe proporcionar por lo menos 7 unidades de proteína, por lo menos 10 unidades de carbohidratos y no más de 9 unidades de grasa. Sea el número de onzas de frutas y el número de onzas de nueces por usarse en cada paquete.

d) Un fabricante de cemento produce cuando menos 3.2 millones de barriles de cemento anualmente. El Organismo de Protección Ambiental le comunica que su operación emite 2.5 libras de polvo por cada barril producido. Este organismo ha determinado que las emisiones anuales deben reducirse a 1.8 millones de libras. Para lograr esto, el fabricante planea reemplazar los actuales recolectores por dos


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tipos de precipitadores electrónicos. Uno de ellos reduce las emisiones a 0.5 libras por barril y cuesta $0.16 por barril. El otro reduce a 0.3 libras de polvo por barril y cuesta $0.20 por barril. El fabricante no quiere gastar más de 0.8 millones de dólares en los precipitadores. Necesita saber cuántos barriles debe producir con cada tipo de precipitador. Sea la cantidad de barriles producidos con el primer tipo de precipitador y la cantidad de barriles de cemento producidos con el segundo tipo.

4. Resolver de forma gráfica los siguientes modelos de P. L con variables estructurales no negativas:

a) Max

Sujeto a: –

b) Max

Sujeto a: – c) Min Sujeto a: d) Min Sujeto a: e) Max Sujeto a: f) Min Sujeto a: g) Min Sujeto a: h) Max


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Sujeto a: i) Max Sujeto a: j) Max Sujeto a: k) Max Sujeto a: l) Min Sujeto a: m) Max Sujeto a: n) Max Sujeto a:

– ñ) Max Sujeto a: o) Max Sujeto a: p) Max Sujeto a: q) Min Sujeto a:


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r) Max Sujeto a: s) Max Sujeto a: t) Max

Sujeto a:

u) Min

Sujeto a:

5. Escoja las variables adecuadas para representar el modelo de PL que represente

cada uno de los siguientes problemas y resuélvalos gráficamente:

a) Marina tiene una deficiencia alimenticia y se le aconseja tomar por lo menos 2 400 mg de hierro, 2 100 mg de vitamina B-1 y 1 500 mg de vitamina B-2. Una píldora Maxivite contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1 y 5 mg de vitamina B-2. Una píldora de Healthovite contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y 15 mg de vitamina B-2. Respectivamente cuestan $0.06 y $0.08. ¿Qué combinación de píldoras Maxivite y Healthovite satisfará el requerimiento de Marina a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?

b) Un taller mecánico fabrica 2 tipos de tornillos, que requieren tiempo en 3 grupos de máquinas. El tiempo promedio para cada grupo se refleja en la siguiente tabla:

Los programas de producción se elaboran diariamente. En un día hay 240, 720 y 160 minutos disponibles, respectivamente en estas máquinas. El tornillo de tipo 1 se

Grupos de máquinas.

I II III

Tornillo 1 0.1 min 0.1 min 0.1 min

Tornillo 2 0.1 min 0.4 min 0.02 min


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vende a $0.10 y el de tipo 2 a $0.12. ¿Cuántos de cada uno deben fabricarse por día para maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo?

c) Una panadería elabora pasteles y galletas. Cada lote de pasteles requiere 2 horas en el horno y 3 horas en el departamento de decorado. Cada lote de galletas requiere 1½ horas en el horno y 2/3 horas de decorado. El horno está disponible no más de 15 horas al día, mientras que el personal de decorado no puede emplearse más de 13 horas al día. ¿Cuántas horneadas de pasteles y galletas debe hacer la panadería para maximizar las ganancias si las galletas producen una ganancia de $20.00 por horneada y los pasteles producen una ganan de $30.00 por horneada?

d) Se dispone de 60 libras de chocolate y de 100 libras de mentas para hacer cajas de 5 libras de dulce. Una caja regular tiene 4 libras de chocolates y 1 libra de mentas y se vende en $10.00. Una caja de lujo tiene 2 libras de chocolates y 3 libras de mentas y se vende a $16.00. ¿Cuántas cajas de cada tipo deben hacerse para maximizar el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo?

e) Un criador de gatos tiene las siguientes cantidades de alimento para gatos: 90 unidades de atún, 80 unidades de hígado y 50 unidades de pollo. Para criar un gato siamés se requieren 2 unidades de atún, 1 de hígado y 1 de pollo por día, mientras que para un gato persa se requieren 1, 2 y 1 unidades, respectivamente, por día. Si un gato siamés se vende en $12.00 y un gato persa se vende en $10.00, ¿cuántos de cada uno deben criarse para obtener un ingreso total máximo? ¿Cuánto es el ingreso total máximo?

f) Una corporación de audio tiene almacenes en 2 ciudades A y B, donde almacena 80 y 70 aparatos eléctricos, respectivamente. C ordena 35 aparatos y D ordena 60. Cuesta $8.00 enviar un aparato de A hacia C y $12.00 enviar un aparato de A hacia D. Cuesta $10.00 enviar un aparato de B a C y $13.00 enviar uno desde B a D. ¿Cómo deben distribuirse las órdenes para mantener los costos de envíos tan bajos como sea posible? ¿Cuál es el costo mínimo de envío? Sugerencia: Si se envían

aparatos de A para C, entonces se envían a D, – aparatos.

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