material 1 integración inmediata
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5Integrales inmediatas.Funciones trigonomtricasdirectas
1. Recordatorio de trigonometra
En el libro de Matemticas 11. Geometra y trigonometra del autor. se com-prueban las funciones e identidades siguientes: 1
1 cos xsen x = -- = 1/1 - cos- X = tan x cos x = --cot x cotx1 sen xeos x = -- = 1/1 - sen- x = cot x sen x = --secx tan x1tan x = -- = -'sec2x - 1
cotxsenxcosx
1 cos xcotx =-- = I/csc2x-l =--tanx senx
1see x = -- = -,1 + tan- xcosx
1esc x = -- = -,1+ cot2 xsenx
Funciones trgonomtrtcas recprocas
sen x ese x = 11
sen x = cscx1
ese x = senx
cos x sec x = 11
cos x = seex1
sec x = cosx
1 Fuenlabrada, Samuel. Matemticas lI. Geometra y trigonometra. McGraw-Hill. Mxico, 1995.pgs. 77. 79 Y 119.
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36 CAPTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonomtricas directas
tan x cot x = 1
1tan x = cotx
cot x = tan x1
Identidades trtgonomtrtcas del Teorema de Pitgoras (Ptagrtcas).
sen- x + cos- X = 1
sen? x = 1 - cos- X
cos- x = 1 - sen- x
sec- x - tan? x = 1
tan- x = sec- x - 1
sec- x = 1 + tan- x
ese- x - cot- x = 1
ese- x = 1 + cot- x
cot- x = ese- x - 1
2. Frmulas de integracin de las funciones trigonomtricas directas
f sen u du = - cos u + e
feos u du = sen u + e
f sec u tan u du = see u + ef sec- u du = tan u + e
f ese u eot u du = - ese u + e
f ese- u du = - cot u + e
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Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas 37
3. Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas
3.1 El integrando es el producto de la potencia de una funcin trigonomtrica por su diferencial.
Ejemplo:
3 sen- x cos x dx = Sol. sen" x + e
Si la funcin es
u = sen xu(x) = sen x
du(x) = cos x dx
Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando. se tiene
= 3 f u2 duintegrando
u3= 3-+ e3
con el valor de u queda
= sen ' x + e
3.2 Sustituyendo el integrando por una identidad pitagrica.
Ejemplo:
f tan- 7x dx = 1Sol. - tan Zx:> + e7
como tan- x = sec- x - 1
Sustituyendo en el integrando
= f (sec- 7x - 1) dxcompletamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7.
= ..!. f (sec? 7x - 1) 7 dx7
= t f sec- 7x (7) dx - t f 7 dxintegrando
1= "7 tan 7x - x + e
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38 CAPTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonomtricas directas
3.3 El integrando se sustituye por una identidad trigonomtrica recproca.
Ejemplos:
1.
1como csc x = --senx
al elevar al cuadrado ambos miembros
1csc- x = ---sen- x
y sustituyendo en el integrando
= -3 J ese- x dxintegrando
= 3 cot x + e
J dx -2. cos- x ..Jtanx + 2 -
1como sec x = --cosx
al elevar al cuadrado ambos miembros
1sec- x = ---cos? X
se sustituye en el integrando
_ J sec2 x dx- ..Jtanx+ 2
= J (tan x + 2f ~sec- x dxSi la funcin es
u=tanx+2
ux) = tan x + 2du (x) = sec- x dx
se sustituye en el integrando
Sol. 3 cot x + e
Sol. 2 ..Jtanx + 2 + e
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Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas 39
integrando1
u212
1
= 2 u2
con el valor de u queda
1
= 2(tan x + 2)2
= 2 ...Jtanx + 2 + C
3. f sen 3x dx =(1 - cos 3X)3
Sol. - 1 + C6(1 - eos 3x)2
= f (1 - eos 3X)-3 sen 3x dxSi la funcin es
u = 1 - cos 3xu(x) = 1 - eos 3x!
du (x) = sen 3x (3) dxI ,,~ , ;