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MATEMÁTICA BÁSICA II
GENERALIDADES I
ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN:
1.- Resolver:
a) el 3% de 200
200 100%
X 3%
x=200(3 %)(100%)
x=6
b) el 853% de 930
x= 930(0,086)
x= 79,98
c) el 756% de 1000
x= 1000(0,082)
x= 82
d) el 756% de 500
x= 500(0,0675)
x= 33,75
e) el 965% de 700
x=700(0,0983)
x= 68,81
f) el 589% de 534
x= 534(0,06125)
x= 32,71
g) el 697% de 480
x= 480(0,06777)
x= 32,53
Ejercicios en clase:
1. 8 3/5 de 930
X= 93(0,086)
X= 79,98
2. 6 ¾% de 500
X= 500 (0,0675)
X= 33,75
3. 9/8 % de 534
X= 534 (0,06125)
X= 32,77
4. 7 6 /7 de 1000
X= 1000 (0,082)
X= 82
Qué porcentaje de:
a) 1000 es 250
1000 100%
250 x
x=250(100 %)
1000
x= 25%
b) 5000 es 150
x=150(100 %)
5000
x= 3%
c) 2500 es 300
x= 300(100 %)
2500
x= 12%
d) 3000 es 80
x=80(100 %)
3000
x= 2,67%
e) 200,35 es 3,710
x=3,710(100 %)
200,35
x= 1,85%
De qué cantidad es:
a) 8 el 25%
8 25%
X 100%
X=8(100 %)
25 %
X=32
b) 0,54 el 1,6%
0,54 1,6%
X 100%
X=0,54(100 %)
1,6 %
X= 33,75
c) 0,65 el 15%
0,65 15%
X 100%
X= 0,65(100 %)
15 %
X= 4,33
d) 55 el 372%
55 372%
X 100%
X= 55(100 %)3,2857 %
X=1.673,91
Problemas:
1. Una empresa ofrece a la venta de electrodomésticos cuyo precio de lista es $700 con un descuento del 15% y el respectivo impuesto.
a) Determine el valor de la facturab) X=700(1+0,12)(1-0,15)X= 700(1,12) (0,85)X=666,40
c) El descuento en efectivod) X=700-666,40X= 33,60
e) Porcentaje en efectivo que beneficie al clienteX=33,60/700X=4,8%
2. Un almacén ofrece cocinas cuyo precio de lista es $850 con una rebaja del 138
1% por la venta al contado y su respectivo impuesto.
a) El valor de la facturaX=850(1+0,12) (1-0,13125)X=850(1,12) (0,86875)X=827,05
b) Descuento en efectivoX= 850-827,05X=22,95
c) Porcentaje real que aplica al clienteX=22,95/850X=2,7%
3. Una tienda ofrece un producto cuyo precio de lista es $310 con su respectivo impuesto y descuentos especiales del 5,17 % por sus compras al contado.Halle el precio de la factura.
X= 310(1+0,12) (1-0,05) (1-0,17)X=310 (1,12) (0,95) (0,83)X=273,76
4. Una persona acude a un centro de cómputo y la proforma establece que el precio es $950 con una rebaja del 6% si la proforma es fechada el 5 de octubre del 2014 y se ofrece un descuento especial del 4% para aquellas personas que adquieran en los próximos 8 días siguientes. Hall el precio de la factura si esta persona compra ese equipo el 10 de octubre del mismo año.
PV= PC+U
U=PV-PC
PC= PV-U
X=950 (1-0,06) (1-0,04)
X= 950 (0,94) (0,96)
X= 857,28
5. Un comerciante compra mercadería en $2500 y lo vende en $ 3000.
Hallar la utilidad con el precio de costo.
U=PV-PC
U=3000-2500
U=500
U/PV
X=500/3000*100
X= 16,67%
Hallar la utilidad con el precio de venta.
U/PC
X= 500
2500 (100)
X= 20%
U=PV-PC
PC=120
U= 0,13*PV
PV= ?
120=PV-0,13PV
120= PV (1-0,13)
120= 0,87PV
PV=1200,87
PV=137,93
CÁLCULO DE ia) (1+i) = 23, 7580
i = 23, 7580-1
i = 2275, 80%
b) (1+i ¿¿10 = 23, 7090
i = (23, 7040) (1/10) – 1
i = 37, 24
c) 8, 35 + (1+i ¿¿−170= 15.60-3, 8027
0,13 PV= PV – 120
(1+i ¿−170= 15.60-3, 8027-8, 35
i = -0.7253
d) (1+i ¿¿29= 28.67+34
(1+i ¿¿29= 28.67+ 0.75
(1+i ¿¿29= 29.42
(29.42)(1/29)-1*100
i = 0.1237
i = 12.37%
e) (1+0,97¿¿n= 0,652
-n= log 0,652log 1,97
n = 0,693
f) (1+0,270¿¿n= 0,290 + 78
(1+0,270¿¿n= 0,290 + 0,875
n = log 1,165log 1,27
n = 0,639
CÁLCULO DE “n”(1+0,97)−n= 0,625
-n =log 0.625log 1.97
n = −0.200.04
n = 0,693PROGRESIONES
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
u=Último término
a= Primer término
n= Total de términos
d= Diferencia
s= Sumatoria
GENERALIZACIÓN DE LA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
a a+d a+2d a+3d a+4d a+5d a+6d …
EJEMPLOS:
1. T39 = a+38d
2. T246 = a+245d
3. T412 = a+411d
FÓRMULAS:
Cuando al sumar conocemos el primero (a) y último término (u).
S=n2(a + u)
Cuando al sumar conocemos el primer término (a).
S=n2 [2+a(n -1) d]
Cuando buscamos el enésimo número o último. (u).
U= a+(n-1) d
CÁLCULO DE “d “(DIFERENCIA)
Para poder calcular la diferencia debemos seleccionar 2 términos consecutivos y restar el segundo término menos el primer término.
d = 18-14
d = 4
d = 42-49
d = -7
d = 51-42
d = 9
Ejercicios:
1. 6, 15, 24, 33, 42,…
2. 80, 75, 70, 65, 60,...
3. 2, 6, 10, 14, 18, 22,…
4. 70, 63, 56, 49, 42,…
5.87,
95 ,
2335,8635,…
Hallar el termino 19 y la suma de los 19 primeros términos de la siguiente progresión.
2, 7, 12, 17, 22,…
a =2
d =12-7
d = 5
u = ? a+(n-1) d
u =2 + (19-1) 5
u = 2 +18(5)
u = 2 + 90
u = 92
s = n2 (a+u)
s = 192 (2 + 92)
s = 893
0,12,1 ,1
12…
U = a + (n-1) d
U = 0 + (20-1) (0,5)
U = 9 12
S = 202 (0+9,5)
S = 95
-75,-60-45…
U = a + (n-1) d U = -75 + (20-1) (15) U = 210
S = 202 (-75 + 210)
S = 1.350
PROBLEMA:
6. Una persona adquiere un terreno y se compromete a cancelar $ 200 el primer mes, $ 270 el segundo mes, $ 370 el tercer mes y así sucesivamente, determine el C.T del terreno, si esta persona realiza pagos por 3,5 años.
Datos:
a =200
d = 70
n = 42
u = a+(n-1) d
u= 200+ (3,5 – 1) 70
u = 3070
S = n2 (a + u)
S = 412
¿200+3070)
S = 68.670
PROGRESIÓN GEOMÉTRICAa = Primer término
u = Último término
r = Razón
n = Total términos
GENERALIZACIÓN DE LA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1T 2T 3T 4T 5T 6T
a a.r a. r2 a . r3 a . r4 a . r5
Ejemplos:
T37= a. r36
T259= a.r258
FÓRMULAS:
Cálculo de la razón (r)
r= 2560−640
r = -4
r = 19248
r = 4
U = a.r(n−1)
U = a−a . rn
1−r
Cuando conozco el primer término
S = a−u. r
1−r
Cuando conozco el primer y último término
S = a−ur1−r
Ejercicios:
3, 12, 48, 192, 768,…
6, 42, 294, 2058,...
81, 27, 9, 3, 1, 13, ...
10, -40, 160, -640, 2560, -10240,…
Hallar la suma y el término 20 de la siguiente progresión.
3, 18, 108,…
DATOS:
a = 3
r = 6
n = 20
u = ?
S = ?
u = 3.6(20−1)
u = 3¿
u = 1,82*1015
S = a−arn
1−r
S = 3−3¿¿
S= 2,19¿
Hallar la suma y el término 20 de la siguiente progresión
3,18, 180,…
DATOS:
a = 3
r = 6
n = 20
u = ?
s = ?
U = 3 (6¿20−1
U = 3 (6¿19
U = 1.82 ¿
S=a−a . rn
1−r
S=3−3¿¿
S=2,19 x15
INTERÉS ( i )
Tasa de interés: Es la división entre: InteresCapital
FORMULA
i= IC
Ejercicios:
Calcule la tasa de interés de un capital de $ 930 que
produce un interés de $55.
i = IC
i = 55
930
i = 5,9%
Hallar la tasa de interés de un capital de $900 que produce una tasa de interés de $135.
i = IC
i = 135900
i = 13%
INTERÉS SIMPLE
Es la ganancia solo del capital a la tasa de interés el tiempo
es utilizado en el corto plazo. El interés simple va en
función del capital (c), tasa (i), y tiempo (t).
FORMULA:
I = C* i *t
I = Interés Simple
C = Capital
i = tasa de interés
t = Tiempo
Hallar el interés simple de un capital de $5300 colocados al
7 14 % durante 3 años.
DATOS:
C = 5300
i = 0, 0725
t = 3
I = C*I*t
I = (5300) (0, 07525) (3
360)
I = 1152, 75
Hallar el interés simple de un capital de $13500 colocados
al 9 34 % durante 5 años.
DATOS:
C = 13500
i = 0, 0975
t = 5
I = C*I*t
I = (13500) (0, 0975) (5
360)
I = 6581, 25
Hallar el interés simple de un capital de $11600 colocados
al 13% durante 11 meses.
DATOS:
C =11600
i = 0,13
t = 11
I = C*I*t
I = (11600) (0, 13) (1112)
I = 1382, 33
Hallar el interés simple de un capital de $25000 colocados
al 19% durante 7 meses.
DATOS:
C =25000
i = 0,19
t = 7
I = C*I*t
I = (25000) (0, 19) (712)
I = 2770, 83
Hallar el interés simple de un capital de $300 colocados al
7% durante 5 meses.
DATOS:
C = 300
i = 0,07
t = 5
I = C*I*t
I = (300) (0, 07) (512)
I = 8,75
Hallar el interés simple de un capital de $7350 colocados al
16% durante 230 días.
DATOS:
C = 7350
i = 0, 16
t = 230
I = C*I*t
I = (7350) (0, 16) (230360)
I = 751, 33
CLASIFICACION DE INTERES SIMPLE.
INTERÉS SIMPLE EXACTO (I.S.E):
Para el cálculo del interés simple exacto utilizamos el año
calendario 365 días o 366 si es año bisiesto.
INTERÉS SIMPLE ORDINARIO (I.S.O):
Para el cálculo del interés simple ordinario utilizamos el año
comercial (la tabla) todos los meses 30 días total anual de
360 días.
CÁLCULO DE TIEMPO:
Para el cálculo del tiempo Siempre debemos restar la fecha
final menos la fecha inicial.
Tiempo Exacto.
Tiempo Aproximado.
EJEMPLOS:
1.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 5 de mayo de
2003 hasta el 21 de diciembre del mismo año en sus dos
formas.
TIEMPO APROXIMADO.
2003 12 292003 05 5
0000 07 24
T.A = 7 (30) + 24
T.A = 234 días.
2.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 29 de Mayo del
2007 hasta el 4 de Abril del 2008.
TIEMPO APROXIMADO.
2007 15 312007 05 290000 10 02
T.A = 10(30)+2
T.A = 303 días.
3.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 6 de noviembre
del 2006 hasta el 3 de febrero del siguiente año.
TIEMPO APROXIMADO.
2006 13332006 116
0000 0227
T.A = 2 (30) + 27
T.A = 87 días.
TIEMPO EXACTO
Hallar el interés de (T.E) tiempo exacto de un capital de
$4800. Colocados al 9 14 % desde el 5 de septiembre del
2009 hasta el 10 de mayo del siguiente año.
TIEMPO EXACTO
−130248+365
247dias
T.E = 247 días.
Ejercicios:
ISE con TA
I = C*i*t
I = 4800(0, 0925) (245365
¿
I = 298, 03
ISE con TE
I = C*i*t
I = 4800(0, 0925) (247365
¿
I = 300, 46
ISO con TA
I = C*i*t
I = 4800 (0, 0925) (245360
¿
I = 302, 17
IS0 con TE
I = C*i*t
I = 4800(0, 0925) (247360
¿
I = 304, 63
Hallar el interés ISO e ISE con sus dos formas de tiempo
T.A Y T.E de un capital de $5900. Colocados al 7 % desde el
7 de Julio del 2009 hasta el 20 de Abril del 2011.
TIEMPO APROXIMADO
−2010 16 202009 07 71 913
T.A = 9 (30) + 13
T.A = 643 días.
TIEMPO EXACTO
−116188+730
652dias
ISE con TA
I = C*i*t
I = 5900(0, 07) (643365
¿
I = 727, 56
ISE con TE
I = C*i*t
I = 5900(0, 07) (652365
¿
I = 737, 74
ISO con TA
I = C*i*t
I = 5900(0, 07) (643360
¿
I = 737, 66
IS0 con TE
I= C*i*t
I= 5900(0,07) (652360
¿
I= 747,99
CÁLCULO DEL MONTOFORMULA:
M = C + I
El monto es igual al capital más interés.
Hallar el monto de un capital de $8500 colocados al 13% durante 8 meses.
I = 8500(0, 13) ( 8
12)
I = 736, 67
M = C+I
M = 8500+736, 67
M = 9236, 67
M = C (I + i + t)
M = 8500(1+0, 13 (8
12¿¿
M = 9236, 67
Hallar el monto de un capital de $ 8000 al 13% durante 179 días.
I = 8000 (0,13) (179360
¿
I = 517, 11
M = C (1 + i.t)
M = 8000 (1 + (0,13) (179360
¿
M = 8517, 11
Hallar el monto de un capital de $ 12800 al 3% mensual durante 130 días.
M = C + (1 + i.t)
M = 12800 (1 + (0,03) (13030
¿
M = 14, 464
Hallar el monto de un capital de $ 7200 colocados al 5% donde el 3 de mayo del 2011 hasta el 5 de marzo del 2012.
M = C + (1 + i.t)
M = 7200 (1 + (0,05) (307360
¿
M = 7507
CÁLCULO EL TIEMPO
I = C.i.t
t = IC . i
Hallar el tiempo para que un capital de $ 9600 produzca un interés de $ 305 al 4%.
t =IC . i
t = 305
9600 (0,04 )
t = 0, 7942 años
t = 0, 7942 (360)
t = 286 días
t = 0, 7942* 12
t = 9 meses
r = 9 meses, 286 días
En qué capital un capital de $ 5900 genera $ 1300 colocados al 16%.
t = IC . i
t = 1300
5900 (0,16 )
t = 1, 377 años
t = 1, 377 (12)
En qué tiempo un capital de %8200 se triplicara con una tasa del 19%.
Monto 8200 (3) = 24600
t = M−Cc .i
t = (24600−8200 )
(8200 ) (19 )
t = 10,53
t = 10 años
t = 0, 52 (12)
t = 6 meses
t = 0, 3157 (30)
t = 9 días
r = 10 años 6 meses 9 días
En qué tiempo un capital de $ 8300 se convertirá en $ 15300 colocados al 1,3% mensual.
t = M−Cc .i
t = (15300−8300 )(8300 ) (0,013 )
t = 64,87
t = 64 meses
t = 0, 87 (30)
t = 26 días
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES
I = C*i*t
i = Ic . t
A que tasa de interés se coloca un capital de $5000 para qu genere un interés de $ 230 en 215 días.
i = Ic . t
i = 230
5000( 215360 )
i = 7,023%
A que tasa de interés se coloca un capital de $5800 para que genere un interés de $ 390 en 190 días.
i = Ic . t
i = 390
5800( 19030 )
i = 1, 0617% mensual.
A que tasa de interés se coloca un capital de $8100 para que genere un interés de $ 11100 desde el primer de marzo hasta el primero de julio del mismo año.
−18260
122diasi = M−C
C . t
i = ¿¿
i = 9,1074% días.
A que tasa de interés se coloca un capital de $13000 para que genere un interés de $ 17100 durante 11 meses.
i = M−CC . t
i = ¿¿
i = 34, 4056 % meses.
GRAFICA DE TIEMPOS Y VALORES
EJEMPLOS:
Determine el valor actual del día de hoy de un documento de $1700 que se vence en 220 días con una tasa de interés del 8%.
i = 0,08
1700
0 220
C = M
(1+i ( t ))
C = 1700¿¿
C = 1620,76
El 15 de Mayo se suscribe un documento por $3000 sin interés a 270 días plazo. Calcule el valor actual, el 25 de Julio del mismo año. Con una tasa del 11%.
3000 i = 0,11
1700
15 de mayo 25 de julio 9 de febrero (40)
135 203 270
C = M
(1+i (t ))
C = 3000
(1+0,11( 199360 ))
C = 2828,04
Un pagare firmado el 9 de mayo por $5600 a 230 días plazo, con una tasa del 17% es negociado a 110 días antes de su vencimiento con una tasa del 2% mensual.
Hallar el valor de esta transacción.
3600 i= 0, 17 6208, 22
9mayo i= 0, 02 mensual 25 dic
129 359
M= 5600(1+0, 17) (230360)
C= 6208,22
(1+0,02( 11030 ))
TIEMPO EXACTO
40 - 206 + 365 = 199 días
C= 5784, 06
SALDOS DEUDORES
Método de Acumulación de Interés (Método Lagarto) Método de Saldos Deudores
Una persona adquiere un préstamo por $7000 a 4 años plazo con una tasa del 17 %, determine el valor de la cuota mensual que debe cancelar por medio de los dos métodos.
M. Lagarto
M= C (1+i.t) CM= M
¿cuotas
M= 7000 (1+0, 17(4)) CM= 11760
48
M= 11760 CM= 245
I= M-C
I= 11760 – 7000
I= 4760
M. Saldos Deudores
VCSI= D
¿cuotas
VCSI= 7000
48
VCSI= 145, 83
I1= 7000(0, 17) (1
12¿ I2= 6854, 17(0, 17)(
112
¿
I1= 99, 17 I2= 97, 10
C1= 145, 83 + 99, 17 C2= 145, 83 + 97, 10
C1= 245 C2= 242, 93
I3= 6708, 34(0, 17) (1
12¿ C3= 145, 83 + 95, 03
I3= 95, 03 C3= 240 86
d= 242, 93 – 7000 u= a + (n – 1) d
d= -2, 07 u= 245 + 47(- 2, 07)
s= n2 (a + u) u= 147, 71
s= 9425, 04 cm= 5¿cuotas
i= 9425, 04 – 7000 cm= 94 ,2548
i= 2425, 04 cm= 196, 36
DESCUENTO
Descuento Racional Simple Bancario Bursátil
Dr= M- C
Calcular el descuento racional de un documento de $ 3600 firmado el 5 de mayo a 190 días plazo, si se descuenta el 2 de septiembre del mismo año con una tasa del 9%.
t= 190 d 3600
5 mayo 2 septiembre 11 noviembre
125 245 315
C= 3600
(1+0,09( 70360 ))
C= 3538, 08
Dr= 3600 – 3538, 08
Dr= 61, 92
Hallar el descuento racional de una serie de bonos que totalizan $5000 y cuyo vencimiento es dentro de dos meses. Suponiendo que una tasa de interés del 9 %.
i= 0,09 5000 5000
0 2 meses
C=M
1+ i∗t
C=5000
(1+0,09( 212 ))
C= 4926, 11
Dr= M-C
Dr= 5000-4926, 11
Dr= 73, 89
I= C*i*t
I= 4926, 11(0, 09)(1/6)
I= 73, 89
Un pagare por $ 9600 se firma el 6 de octubre a 260 días plazo con una tasa de interés del 25% semestralmente. Se descuenta el 15 de diciembre del mismo año con una tasa el 32% trimestral. Halle el importe de esta operación.
i= 0, 25 t= 260d 9600 13066, 67
6 Octubre 15 Diciembre 23 Junio
279 349 179
M=C*(1+i*t)
M= 9600 (1+0,25(260180
¿¿
M= 13066,67
t= 174- 349+365
t= 190 Dias
C= 13066,67
1+0,32(19090
)
C= 7798, 41
Dr= 13066, 67-7798, 41
Dr= 5268, 26
I= 7798, 41(0, 32) (199 )
I= 5268,26
DESCUENTO BANCARIO
Db= M*d*t
Db= Descuento bursátil.
M= Monto
d= Tasa de descuento
t= Tiempo
Cuál es el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagare de $7000 el día de hoy a 130 días plazo considerando una tasa de descuento del 11%.
7000 7000
0 d= 0, 11 130 d
Db= M*d*t
Db= 7000(0, 11)(130360
¿
Db= 278, 06
Calcular el descuento bancario de un documento de $6300 dólares firmado el 12 de Marzo a 220 días plazo si se descuenta el 20 de junio el mismo año con una tasa de descuento del 17%.
6300 t= 220d 6300
12 de Marzo 20 de junio 71+ 220 71 171 291
t= 291-171t= 120 d
C= 6300(1-0, 17(120360
¿¿
C= 5943
Db= 6300(0, 17) (120360
¿
Db= 357
D= M-C
D= 6300-5943
D= 357
Determine el valor en efectivo que reciba una persona de una entidad financiera por $12000 a 270 días plazo. Si se aplica una tasa de descuento del 11%.
12000 12000
0 d= 0,11 270d
C= 12000(1-0,11(270360))
C= 11010
D= M-CD= 12000-11010D= 990
I= 12000(0,11) (270360
)
I=990
Cuanto de dinero se debe solicitar una persona a una institución financiera para obtener $3500 pagaderos en 190 días plazo con una tasa de descuento del 15%.
M= C
(1−d∗t)
M= 3500
(1−0,15( 190360 ))
M= 3800,90
Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un
A que tasa de interés es equivalente una tasa de descuento del 19% durante 130 días.
i= 0 ,19
(1−0 ,19 (130360 ))
i= 20, 39%
A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 1% durante 7 meses.
i= 0 ,11
(1−0 ,11( 712 ))
i= 11, 75%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 9, 35% durante 130 días.
d= 0 ,0935
1+0 ,0935( 130360 )
d= 9, 04%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés del 11, 75% durante 11 meses.
d= 0 ,1175
(1+0 ,1175( 1112 ))
d= 10, 607%
Una persona realiza el descuento de una letra de cambio suscrita a 200 días plazo por el valor de $1900, 50 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 6% el mismo día el Banco Internacional redescuento ese documento en el Banco Central con una tasa del 2%. ¿Cuánto recibe la persona y cuanto el Banco Internacional?
cb= M (1-dt)
cb= 1900(1-0, 06( 50360
¿¿
cb= 1884, 17 Persona
cb= 1900(1-0, 02( 50360
¿¿
cb= 1894, 72 Banco Internacional
ECUACIONES DE VALOR
Se utiliza para remplazar un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias fechas de vencimiento por uno o varios valores previo acuerdo en re-deudas se aplica en:
Remplazar un conjunto de obligaciones o deudas por un solo valor.Comparar ofertas para compra o venta.Calcular el monto de una serie de depósitos a corto plazo.Calcular el capital de una serie de depósitos a corto plazo.
Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $15000 a 60 días pazo, $20000 a 120 días pazo, $20000 a 190 días plazo, $30000 a 240 días pazo, $25000 a 320 días pazo. La empresa desea reemplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 7% por un solo pago a los 340 días plazo.
i = 0,07
15000 20000 20000 30000 25000 X
60 120 190 240 320 340
F.F
t1 = 280 X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5
t2 = 220 X = 15000(1 + 0,07(280/360)) + 20000(1 + 0,07(220/360)) + 20000(1+ t3 = 150 0,07(130/360)) + 30000(1 + 0,07(100/360)) +25000(1 + 0,07 (20/t4 = 100 360))t5 = 20 X = 112936,11
En el problema anterior determine el valor del pago único si se realiza el día de hoy.
X 15000 20000 20000 30000 25000
0 60 120 190 240 320
X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5
X= 15000
(1+0,07 ( 60360 ))
+ 20000
(1+0,07 ( 120360 ))
+ 20000
(1+0,07( 190360 ))
+ 30000
(1+0,07( 240360 ))
+25000
(1+0,07 ( 320360 ))
X = 105856,41
En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a los 100 y 260 días plazo considérese como fecha focal los 260 días.
15000 X 20000 20000 30000 X 25000
60 100 120 190 240 260 320
F.F
X = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1
X = 15000(1+0,07(260/360)) – x (1+0,07(160/360)) + 20000(1+0,07(140/360)) +
20000(1+0,07(70/360)) + 30000(1+0,07(20/360)) + 25000
(1+0,07 ( 60360 ))
X = 111228,36 – 1,031x
X + 1,031x = 111228,36
2,031x = 111228,36
X = 111228,36
2,031
X = 54765,32
M= 1000(1+0, 03(6))
M= 1180
M= 2000(1+0, 04(540360))
M= 2120
M= 4600(1+0, 01(10))
M= 5060
X 1180 5060 2120
5 6 10 18
F.F
X= C1+C2+C3
X= 1180(1-0, 07( 612))+5060(1-0, 07(5
6))+2120(1-0,
07(1812))
X= 7800, 93
Una persona tiene las siguientes obligaciones $2000 a 50 días plazo, $3000 a 110 días plazo con una tasa del 11%, $4000 a 190 días plazo con una tasa del 20% trimestral, $6000 a 220 días plazo con una
tasa del 18% mensual. Esta persona desea liquidar sus deudas por dos pagos iguales a los 130 y 250 días con una tasa del 19% semestral si la F.F es 130.
M= 2000
M= 3000(1+0, 11(110360))
M= 3100, 83
M= 4000(1+0, 20(19090 ))
M= 5688, 89
M= 6000 (1+0, 18(22030 ))
M= 13920
2000 3100, 83 X 4688, 89 13920
50 110 130 190 220
F.F
X= M1+M2+C1+C2-C3
X= 2000 (1+0, 19(80
180))+ 3100, 83 (1+0, 19(20
180))+
5688 ,89
(1+0 ,19( 60180 )) +
13920
(1+0 ,19( 90180 )) -
X
(1+0 ,19( 120180 ))
X= 23397, 56 – 0, 8875X
X+0, 8875X = 23397, 56
X= 23397 ,561 ,8876
X= 12395, 40
Una persona tiene las siguientes obligaciones $2000 a 130 días plazo con una tasa del 2% de interés mensual, $3000 a 170 días plazo, $4000 a 220 días plazo con una tasa del 13% trimestral esta persona desea saldar todas sus deudas por dos pagos iguales a los 190 días y 300 días respectivamente con una tasa del 14% tome como fecha focal 190.
M1= 2000(1+0,02(13030
¿¿
M1= 2173, 33
M2= 3000
M3= 4000(1+0, 13(22090
¿¿
M3= 5271, 11
2173, 33 3000 x 5271, 11 x
130 170 190 220 300
F. F
X= M1+M2+C1-C2
X= 2173, 33(1+0, 14(60
360)) + 3000(1+0, 14(20
360)) +
5271,11
(1+0 ,14 ( 30360 )) –
1 X
(1+0 ,14 ( 110360 ))
X= 10457, 70 – 0, 9589X
1, 9589x = 10457, 70
X= 10457 ,701 ,9589
X= 5338, 55
En el problema anterior determine el valor original de la deuda si la tasa de interés es del 7% en forma adelantada.
X 6000 6000 6000 6000
0 1 2 3 4
F.F
X= 6000 + 6000
(1+0 ,07 ( 112 )) +
6000
(1+0 ,07 ( 212 )) +
6000
(1+0 ,07 ( 312 )) +
6000
(1+0 ,07 ( 412 ))
CUENTAS DE AHORRO
DEPOSITO INTERES A FAVOR +
RETIRO INTERES EN CONTRA -
CAPITAL I= C.i.t
TIEMPO F.F – F.I
Margarita abre una cuenta de ahorros el 9 de enero con $3000 el 2 de febrero retira $1200 el 9 de julio retira $150.
Si la cuenta de ahorros gana una tasa de interés del 7% determine el saldo al final del primer semestre.
F.F= 181
INTERES A FAVOR INTERES EN CONTRA
I1= 3000(0, 07)(172360) I1= 500(0, 07)(
148360)
I1= 100, 33 I1= 14, 39
I2= 700(0, 07)(117360) I2= 1200(0, 07)(
71360)
I2= 15, 93 I2= 16, 57
I.F = 100, 33 – 15, 93 I3= 150(0, 07)(21
360
)
I.F = 116, 26 I3= 0, 61
I.C = 14, 39 + 16, 57 + 0, 61
I.C = 31, 57
I.L = IF- IC
I.L = 116, 26 – 31, 57
I.L = 84, 69
M = C + I
M = 1850 + 84, 69
M = 1934, 69 al 30 de Junio
FECHA DEP. RET. SALDO INTERES
+ -
9 Enero 3000 3000 100,33
2 Febrero 500 2500 14,39
3 Marzo 700 3200 15, 93
20 Abril 1200 2000 16, 57
9 Junio 150 1850 0, 61
30 Junio 84, 69(int)
1934, 69 116, 26 31, 57
Viviana tiene una cuenta de ahorro con un saldo de $600 al 30 de junio, en el segundo semestre realiza los siguientes movimientos: 3 de julio deposita $800, 4 de agosto retira $150, 9 de septiembre deposita $1000, 10 de octubre $400, 20 de noviembre deposita $1100, 20 de diciembre retira $ 900 si la tasa de interés es del 6% liquide la cuenta al 31 de diciembre.
FECHA DEP. RET. SALDO INTERES
+ -
30 Junio 600 18, 40
3 Julio 800 1400 24, 13
4 Agosto 150 1250 3, 73
9 Septiembre
1000 2250 18, 83
10 Octubre 400 1850 5, 47
20 Noviembre
1100 2950 7, 52
20 Diciembre 900 2050 1, 65
31 Diciembre 58, 03 (int)
2108, 03
68, 88 10, 85
INTERÉS COMPUESTO
El interés simple se utiliza a corto plazo y se calcula una sola vez, mientras que el interés compuesto se utiliza a largo plazo.
Determine el monto simple y el monto compuesto de un capital de $4000 con una tasa del 9% durante 4 periodos.
M= C (1+i) 1er Período M= 400(1+0, 09)(4) I1= 4000(0, 09)(1)M= 5440 I1= 360 I= 5440 – 4000 M1= 400 + 360I= 1440 M1= 4360
I2=4360(0, 09) (1)
I2= 392, 40 M2= 4360 +92, 40 M2= 4752, 40 I3= 4752, 40(0, 09)(1) I3= 427, 72
I= 5646, 33 - 400 M3= 4752, 40 + 427, 72
I= 1646, 33 M3= 5180, 12
I4= 5180, 12(0, 09) (1)
I4= 466, 21 M4= 5180, 12 + 466, 21
M4= 5646, 3
ANUALIDADES ANTICIPADAS
M=R(1+ i)[ (1+i )n−1i ] C=R+R [ 1+(1+i )−n+1
i ]Una persona deposita al principio de cada trimestre $900 con una tasa de interés del 14% convertible trimestralmente ¿Cuánto abra acumulado después de 5 años y 9 meses?
M=900 (1+0,035)[ (1+0,035 )23−10,035 ]
M=3202,55//
Una persona realiza pagos al principio de cada mes por un valor de $120 con una tasa del 18% compuesta mensualmente cuanto abra pagado de capital en 3 años 8 meses.
C=120+120 [ 1−(1+0,015 )−43
0,015 ]C=3902,55//
AMORTIZACIONES
R=C∗i¿¿
EJERCICIO
Una persona consigue un préstamo de $5000 con una tasa del 12% convertible semestralmente el cual será amortizado mediante pagos iguales cada 6 meses durante 5 años realice la respectiva tasa de amortización.
R=5000(0,06)
¿¿
R=679,34//
PeriodoCapital inicial interés cuota
Capital final
1 5000 300 679,34 379.34
2 4620,66 277,24 679,34 402,10
3 4218,55 253,11 679,34 426,23
4 3792,32 227,54 679,34 451,80
5 3340,51 200,43 679,34 478,91
6 2861,60 171,69 679,34 507,64
7 2353,95 141,23 679,34 538,10
8 1815,84 108,95 679,34 570,38
9 1245,45 74,72 679,34 604,61
10 640.84 38,45 679,34 640,89
1793,36 6793,40 5000