materia de matematicas herman gallegos macas

| Unidades 1

Unidades 1. Lógica matemática

2. Conjunto

3. Numero reales

4. Funciones variables real

5. Trigonometría

6. Geometría plana y del espacio

7. Vectores

8. Geometría analítica del plano

9. Números complejos

10. Matrices y sistemas lineales y no lineales

11. Estadística y probabilidades

| Unidades 2

Contenido Unidades ....................................................................................................................................... 1

Lógica matemática ........................................................................................................................ 7

Proposición .................................................................................................................................... 7

Negación ........................................................................................................................................ 7

Proposiciones compuestas ............................................................................................................ 7

Tablas de verdad ........................................................................................................................... 8

Tabla de verdad de conjunción ................................................................................................. 8

Tabla de verdad de condicional ................................................................................................ 8

Tabla de verdad de la disyunción .............................................................................................. 9

Tabla de verdad de la disyunción exclusiva .............................................................................. 9

Tabla de verdad bi condicional ................................................................................................. 9

Definición de tautología ................................................................................................................ 9

Definición de Contradicción ........................................................................................................ 10

Definición de contingencia .......................................................................................................... 10

Definición de falacia .................................................................................................................... 12

Variación de la condicional ......................................................................................................... 13

Definición de implicación lógica .................................................................................................. 14

Definición de equivalencia lógica ................................................................................................ 14

Leyes de la lógica ......................................................................................................................... 14

Unidad 2 ...................................................................................................................................... 17

Conjuntos .................................................................................................................................... 17

Definición de Cardinalidad. ......................................................................................................... 18

Cuadrado de un binomio ......................................................................................................... 38

Suma de la diferencia de dos cantidades ................................................................................ 39

Producto de dos binomios con termino repetidos ................................................................. 39

Productos de dos binomios con términos diferentes ............................................................. 39

Cubo de un binomio ................................................................................................................ 39

Cuadrado de un polinomio ...................................................................................................... 40

Factorización ............................................................................................................................... 40

Factor común monomio y polinomio ...................................................................................... 40

Factor común por agrupación de términos. ........................................................................... 41

Diferencia de cuadrados perfectos ......................................................................................... 41

Suma y diferencia de cubos perfectos .................................................................................... 41

| Unidades 3

Trinomio de la forma ............................................................................................................... 42

Trinomio de la forma ............................................................................................................... 42

Trinomio cuadrado perfecto ................................................................................................... 43

Trinomio cuadrado perfecto por adicción y sustracción ........................................................ 43

Operaciones con fracciones algebraicas ..................................................................................... 44

Multiplicación de fracciones algebraicas .................................................................................... 44

División de fracciones algebraicas .............................................................................................. 45

Fracciones compuestas (fracciones compuestas) ....................................................................... 45

Método de división sintética ....................................................................................................... 45

Racionalización ............................................................................................................................ 46

Definición de valor absoluto ....................................................................................................... 46

Intervalo cerrado ......................................................................................................................... 46

Intervalo abierto.......................................................................................................................... 47

Intervalo semi abierto ................................................................................................................. 47

Intervalos con extremo infinito ................................................................................................... 47

Ecuaciones lineales de primer grado .......................................................................................... 48

Problemas sobre ecuaciones lineales o de primer grado ........................................................... 48

Ecuaciones de Segundo grado .................................................................................................... 50

Método de factorización ............................................................................................................. 50

Método de la formula general .................................................................................................... 50

Complementar cuadrados ........................................................................................................... 50

Inecuaciones lineales de primer grado ....................................................................................... 51

Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones) .............................................................. 52

Regla de la suma ......................................................................................................................... 53

Regla de producto (Multiplicación) ............................................................................................. 53

Permutaciones ............................................................................................................................ 53

Permutaciones con repetición ................................................................................................ 54

Permutaciones Circulares PCn ................................................................................................ 55

Combinaciones ............................................................................................................................ 56

Numero combinatorio ................................................................................................................. 57

Coeficiente binomial ............................................................................................................... 57

Binomio de Newton ................................................................................................................ 57

Formula del término General .................................................................................................. 58

Progresiones Aritméticas ............................................................................................................ 58

| Unidades 4

Interpolación de medios Aritméticos .......................................................................................... 59

Progresiones Geométricas .......................................................................................................... 60

Funciones de variable real .......................................................................................................... 61

Dominio y rango de una función real .......................................................................................... 61

Rango de una función de variable Real ...................................................................................... 62

Función lineal .............................................................................................................................. 62

Ecuaciones línea recta ................................................................................................................. 64

Ecuaciones de punto y pendiente ............................................................................................... 64

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos ........................................................................ 64

Ecuación general de la recta ....................................................................................................... 65

Ecuaciones de la recta de la abscisa y ordenada ........................................................................ 65

Ecuación normal de la recta ........................................................................................................ 66

Función cuadrática .................................................................................................................... 66

Función exponencial ................................................................................................................... 69

Función logarítmica ..................................................................................................................... 69

Unidad 5 ...................................................................................................................................... 69

Trigonometría .............................................................................................................................. 69

Teorema de Pitágoras: ............................................................................................................ 69

Hipotenusa: ............................................................................................................................. 69

Cateto o lado: .......................................................................................................................... 70

Funciones trigonométrica ....................................................................................................... 70

Funciones Trigonométricas de 30° y 60° ................................................................................. 70

Ley del Seno y del Coseno ........................................................................................................... 71

Ley del coseno: ........................................................................................................................ 71

Ley del seno: ............................................................................................................................ 72

Identidades Trigonométricas ...................................................................................................... 72

FORMULAS .............................................................................................................................. 74

Capitulo 6 .................................................................................................................................... 75

Geometría Plana y del Espacio .................................................................................................... 75

Polígonos.- ................................................................................................................................... 75

Los polígonos regulares ........................................................................................................... 75

Los polígonos irregulares ........................................................................................................ 76

Perímetro.- .................................................................................................................................. 76

Área o Superficie.- ....................................................................................................................... 77

| Unidades 5

Área de polígonos regulares.- ..................................................................................................... 78

Apotema (ap).- ............................................................................................................................ 78

Elementos de la Circunferencia y Círculo .................................................................................... 79

Ángulos en la Circunferencia ....................................................................................................... 80

Angulo Central.- ...................................................................................................................... 80

Angulo Inscrito.- ...................................................................................................................... 81

Angulo Interior.- ...................................................................................................................... 81

Angulo exterior.- ..................................................................................................................... 81

Angulo semi-inscrito.- ............................................................................................................. 82

Relación entre Angulo central e inscrito.- ................................................................................... 82

Capitulo 7 .................................................................................................................................... 83

Vectores en el plano y el espacio ................................................................................................ 83

Multiplicación de un escalar por un vector ............................................................................. 84

Modulo de un Vector .............................................................................................................. 85

Suma de Vectores ....................................................................................................................... 85

Diferencia de vectores ................................................................................................................ 86

Producto escalar de 2 Vectores .................................................................................................. 86

Producto de dos valores (Producto Cruz) ................................................................................... 87

Unidad 9 ...................................................................................................................................... 93

Números complejos. ................................................................................................................... 93

Multiplicación de un numero complejo por un número cualquiera. .......................................... 93

Número Complejo Conjugado: .................................................................................................... 93

Suma de números complejos: ..................................................................................................... 94

Diferencia de números complejos. ............................................................................................. 94

Multiplicación de número complejos,......................................................................................... 95

División de números complejos.- ................................................................................................ 95

Representación Grafica De Los Números Complejos .................................................................. 95

Coordenadas polares de números complejos. ............................................................................ 96

Capítulo 10 .................................................................................................................................. 97

Matrices: ..................................................................................................................................... 97

Matriz rectangular: .................................................................................................................. 97

Matriz cuadrada: ..................................................................................................................... 97

Matriz Transpuesta: ................................................................................................................ 97

Multiplicación de una matriz por una escalar: ............................................................................ 98

| 6

Suma de matrices: ....................................................................................................................... 98

Diferencia de matrices: ............................................................................................................... 99

Multiplicando matrices: .............................................................................................................. 99

Matriz identidad 1: .................................................................................................................... 100

Matriz inversa: ........................................................................................................................... 100

Matriz de adjuntos: ................................................................................................................... 101

Capítulo 11 ................................................................................................................................ 102

Estadística y probabilidad ......................................................................................................... 102

Estadística: ................................................................................................................................ 102

Población: .................................................................................................................................. 102

Muestra: .................................................................................................................................... 102

| Lógica matemática 7

Lógica matemática Es el estudio de las proposiciones simples y compuestas.

Proposición Es una oración que se puede decir que es verdadera o es falsa, se la representa con la

letra del alfabeto en minúscula, para indicar si es verdadera se utiliza el número 1 y si es falsa

el numero 0

Ejemplo

a: Machala es la capital de la provincia de El Oro (1)

b: Bogotá es la capital del Ecuador (0)

c: El número 2 es par (1)

d: 4 y 7 son números impares (0)

e: El planeta tierra está ubicado en el tercer lugar dentro del sistema solar (1)

f: amarillo, azul y rojo son colores primarios (1)

Negación Su símbolo es una , se escribe lo contrario

Ejemplo

a: Quito es la capital del Ecuador (1)

(0)

b: (1)

(0)

c: 2 y 6 son pares (1)

(0)

d: El valor de pi es 3.14 (1)

(0)

Proposiciones compuestas Son 2 proposiciones unidas por un conector lógico y se clasifican en:

a) Conjunción ⋀ a y b

b) Disyunción ⋁ a o b

| Tablas de verdad 8

c) Disyunción exclusiva V b

d) Condicional a implica b

e) Bi condicional

Tablas de verdad Son los valores de verdad de cada una de las proposiciones compuestas

Tabla de verdad de conjunción Si las dos proposiciones son verdaderas la conjunción es verdadera y las demás son

falsas

p q p ⋀ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Ejemplo

⋀

p q p ⋀ q

1 1 0 1 0

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 0 0

Tabla de verdad de condicional En la condicional si la proposición es verdadera y la otra es falsa la condicional es falsa

en los demás casos es verdadera

p Q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ejemplo (p ⋀ q) → (q ⋀ r)

p q r (p ⋀ q) (q ⋀ r) (p ⋀ q) → (q ⋀ r)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 1

| Definición de tautología 9

Tabla de verdad de la disyunción Si en las dos proposiciones son falsas la disyunción es falsa en las demás son

verdaderas

p Q p ⋁ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Tabla de verdad de la disyunción exclusiva Si las 2 proposiciones son verdaderas o las dos son falsas la disyunción exclusiva va ha

ser falsa caso contrario las demás son verdaderas

p Q p V q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Tabla de verdad bi condicional Si las 2 proposiciones son verdaderas o son falsas la bi condicional es verdadera y las

demás falsas

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ejemplo (p ⋀ q) (q ⋁ r)

p q r (p ⋀ q) (q ⋁ r) (p ⋀ q) (q ⋀ r)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 0

Definición de tautología Se llama tautología cuando la última columna de todos los valores sale verdaderos (1)

| Definición de Contradicción 10

Definición de Contradicción Cuando todo los valores de la ultima columna salen falsos (0)

Definición de contingencia Cuando los valores de la ultima columna son verdaderos y otros falsos.

Ejemplo

⋀

p q r (p q) (q ⋀ r) (p q) (q ⋀ r)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0

Contingencia

Ejercicios

Indique si son proposiciones 1547 es un numero impar Si es (1) Cuenca es capital de Uruguay Si es (0) ¡Cuanta alegría hay en este país! No es El numero 7 es triste No es ¡Levántese por favor! No es Desde hace mucho tiempo no enfermado del asma No es Mañana lloverá en Guayaquil Si es (1) Las oraciones en tiempo futuro si son proposiciones porque no se sabe si son verdaderas o falsas. X+4=0 No es El 12 de agosto fue jueves No es porque no se especifica el año. ¿Estas haciendo deporte? No es Caracas es Capital de Colombia Si es (0) (335)2=4 Si es (1)

√ √ Si es (0)

| Definición de contingencia 11

(a ⋀ b) (b ⋁ c)

a b c (a ⋀ b) (b ⋁ c) (a ⋀ b) (b ⋁ a)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Contingencia

(p q) ⋀ (q r)

a b c (p q) (q r) (p q) ⋀ (q r)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1

Contingencia

(┐p q) v (q ┐r)

p q r ┐p ┐r (┐p q) (q ┐r) (┐p q) v (q ┐r)

1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1

Contingencia

(d v e) (e ⋀ p)

e b p (d v e) (e ⋀ p) (d v e) (e ⋀ p)

1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0

1 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 1

Contingencia

| Definición de falacia 12

┐(p q) (p ⋁ r)

p r q (p q) ┐(p q) (p ⋁ r) ┐(p q) (p ⋁ r)

1 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1

Tautología

(p ⋀ r) (r ⋁ p )

p q r (p ⋀ r) (r ⋁ p ) (p ⋀ r) (r ⋁ p )

1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 0 1

Tautología

(┐a b) v (┐a ⋀ c )

a b c ┐a (┐a b) (┐a ⋀ c ) (┐a b) v (┐a ⋀ c )

1 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 1 0 1

Contingencia

Definición de falacia Es una forma proporcional no tautológica según la definición una falacia puede ser una

contradicción o una contingencia ya que unen ambos casos corresponden a una forma

proposicional no tautológica.

| Variación de la condicional 13

(p ⋀ q) ┐q

p q ┐q (p ⋀ q) ┐(p q) (p ⋁ r)

1 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

Contingencia Falacia

(r ┐p) ⋀(p V q) ⋀ ⋀ r)

Se realiza las operaciones dentro de los 3 paréntesis, al final se analiza el resultado con los

operadores.

p r q ┐p (r ┐p ) (p V q) ⋀ r) (r ┐p) ⋀(p V q) ⋀ ⋀ r)

1 1 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

Contingencia Falacia

Variación de la condicional Son las reciprocas, contra reciprocas e inversas

A la condicional se le llama implicación

Condicional Reciprocas Contra reciprocas Inversa

p= hipótesis q= conclusión De la definición anterior para obtener la reciproca simplemente debes de intercambiar la

hipótesis y conclusión, para obtener la contra reciproca debes de cambar hipótesis y

conclusión y negar cada una de ellas y finalmente para obtener la inversa debes mantener el

orden original y negar cada una de ellas.

Determine la reciproca, contra reciproca e inversa


| Definición de implicación lógica 14



Definición de implicación lógica Sea A y B dos formas proporcionales, se dice que implica lógicamente a B, denotado por A B si y solo si A B es una tautología

p q

1 1 1 1

1 0 1 1

0 1 0 1

0 0 1 1

Implicación lógica

p q Ʌq

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Implicación lógica

Definición de equivalencia lógica Sean A y B dos formas proporcionales, se dice que su equivalente lógicamente A B denotado

por A B, si y solo si A B es una tautología.

p r ┐q ┐p

1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

Leyes de la lógica Las leyes lógicas son expresiones tautológicas, es decir expresiones siempre verdaderas en las

cuales se puede apoyar para realizar demostraciones.

| Leyes de la lógica 15

| Leyes de la lógica 16

Ejercicios de implicación de las leyes de lógica

Cuando se aplica las leyes de lógica si el resultado es 1, la forma proposicional es una

tautología, si el resultado es 0 es una contradicción, si el resultado es 0 y 1 es una

contingencia, recuerde que la contradicción y contingencia son falacias

1.- Aplicando las leyes lógicas determine si la forma proporcional es una tautología,

contradicción

Ley condicional

Ley del tercer excluido

Es una tautología

2.-

Ley de condición

Ley de asociación

Ley del tercer excluido

Ley de absorción

Pero el valor de verdad 0

Es una Contradicción

3.-

Ley conmutativa

Ley distributiva

Ley de contradicción

Ley de identidad

Es una contingencia Falacia

| Unidad 2 17

Unidad 2

Conjuntos Conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o

propiedad común bien definida, se la representa con letras mayúsculas y sus elementos van

entre llaves, a los elementos se los escribe con letra minúscula.

A={a, e, i, o, u}

B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

C={amarillo, azul, rojo}

c c

Cuando un elementos pertenece a un conjunto se utiliza el signo Pertenece, cuando un

elementos no pertenece a un conjuntos se utiliza el Símbolo No pertenece.

D= {1, 2, 3, 4}

1 D 2 D 8 D

6 D 3 D 9 D

7 D 4 D 10 D

Descripción de conjuntos.

A los conjuntos se los puede describir de 3 Maneras.

1. Por comprensión

2. Por expresión o tabulación

3. Diagrama de Venn

Por comprensión. Es cuando se escribe una característica común de los elementos del

conjunto. Ejemplo:

A= {X/X Vocales} (X tal que X)

B= {X/X Números dígitos}

C= {X/X Colores de la Bandera de Ecuador}

D= {X/X Días de la semana}

E= {X/X Útiles escolares}

Por extensión o Tabulación. Es cuando se escribe los elementos que forman el conjunto.

A= {a, e, i, o, u}

| Definición de Cardinalidad. 18

B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

C= {Amarillo, Azul, Rojo}

Por diagrama del Venn. Es cuando se realiza un gráfico.

A B C

A= {Enero, Febrero, Marzo, Abril……..}

A= {X/X Meses del Año}

A

B= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

B= {X/X Números Pares}

B

Definición de Cardinalidad. Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto, se lo representa con la N (…) =

A= {1, 2, 3, 4} N (A) = 4

B= {5, 6, 7, 8, 9, 10} N (B) = 6

C= {20, 21, 22, 23, 24} N (C) = 5

D= {30, 31, 32, 33, 34} N (D) = 5

Tipo de Conjunto.- Existen los siguientes tipos de conjuntos

1. Vacío.- Es el que no tiene elementos se lo representa N (A) = 0 “ø”

2. Conjunto unitario.- Tiene un solo elemento N (A) = 1 para expresar ejemplos de

conjunto vacío se escribe algo que no exista en la realidad.

a, e, i,

o, u

0, 1, 2,

3, 4, 5,

6, 7, 8, 9

Amarill

o, Azul,

Rojo

Enero,

Febrero

…..

2, 4, 6,

8, 10,

12, 14


A = {X/X Es un numero par e impar a la vez}

B = {X/X Un cuadro de 6 lados}

Ejemplo de conjunto unitario.

A = {Sol}

B = {4}

3. Conjunto finito.- Tiene una cantidad finita de elementos.

A = {X/X Estaciones del año}

B = {X/X Habitantes del Ecuador}

4. Conjunto infinito.- Tiene una cantidad infinita de elementos.

A = {X/X Números Enteros}

B = {X/X Números impares}

5. Conjunto universo o Preferencia.- Todos los elementos que consideran en un

problema su símbolo es Re U, el grafico se lo representa por un rectángulo.

Re U

Re {X/X Letras del Alfabeto}

Re {X/X Números Reales}

Relaciones entre conjuntos.

Entre dos conjuntos pueden haber los siguientes relaciones igualdad, Disjunto, Intersecantes.

1. Igualdad.- Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

A = B

2. Disjuntos.- Dos conjuntos son distintos cuando no tienen elementos repetidos.

3. Intersecaste.- Cuando tienen por lo menos un elemento en común.

Cuantificadores.- En matemáticas se puede considerar 3 tipos de frases o expresiones.

1. Verdaderas.

5 + 3 = 8

2 < 6

2. Falsas.

5 + 3 = 10

2 > 6

3. Expresiones distintas o abiertas.

5x + 3y = 8

2x < 6


Existen dos tipos de cuantificadores que son el cuantificador Universal y el cuantificador

Existencial.

Cuantificador Universal.- Su símbolo es ∀, utiliza las expresiones “Para todo” “todo” “Para

Cada” “Cada”, constituyen el lenguaje formal un cuantificador universal. Ejm:

∀ x, 2+x3=5x “Se lee para todo numero y se cumple que 2x + 3x = 5x”

∀y, 6y + 10y = 16y Se lee “Para todo numero y se cumple que 6y + 10y = 16y”

Cuantificador Existencial.- Su símbolo es Ǝ se utiliza las expresiones “Existe” “Algún” “Algunos”

“Por lo menos uno” “Basta que uno”, constituyen el lenguaje formal en un cuantificador

existencial.

Ǝx, 2x + 2 = 4 Se lee “Al menos un numero y para el cual 2x + 2 = 4”

Ǝy, 8y + 6 = 20 Se lee “Existe al menos un numero y para el cual 8y + 6 = 20”

Operaciones entre conjuntos.

Entre dos conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones unión, intersección,

diferencia, diferencia simétrica, complementación.

1. Unión de conjuntos.- Es otro conjuntos formado por los elementos de ambos

conjuntos, si existe elementos repetidos se los escribe una sola vez su símbolo es U.

En el grafico se raya en un solo sentido.

A = {1,2,3,4,5,6} B = {4,5,6,7,8,9} C = {4,5,10,12,13}

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A B

2. Inserción de Conjuntos.- Es otro conjunto formado por los elementos repetidos en los conjuntos su símbolo es ∩ en el grafico se raya dónde van los elementos repetidos.

A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,4,6,7,8,9} C = {4,6,10,11,12,13}

A ∩ B = {1,4,6}

1

2

3

7

8

9

4

5

6

1 2 3

7 8 9

4 5 6


3. Diferencia de Conjuntos.- Es otro conjunto formado por los elementos del conjunto

minuendo que no pertenece al conjunto sustraendo su símbolo es - en el grafico se

raya la parte del conjunto minuendo 5\5 parte entre cruzada.

A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,4,6,7,8,9} C = {4,6,10,11,12,13}

A – B = {2,3,5}

A B

4. Diferencia simétrica.- Su símbolo es ∆, es un conjunto formado por los elementos que

pertenezcan a la unión de los conjuntos pero no pertenecen a la intersección de los

conjuntos. (No se consideran a los elementos repetidos.)

A ∆ B = {2,3,4,5,6,7,8,9}

A B

5. Complemento de un conjunto.- Su símbolo es C, es otro conjunto formado por la

diferencia entre el conjunto referencial y el conjunto al cual se le saca el

complemento.

Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}

A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,4,6,7,8,9} C = {4,6,10,11,12,13}

AC = Re – B = {7,8,9,10,11,12,13}

1. Re = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,8} C = {1,3,6,7}

Hallar los Conjuntos.

(A U B) ∩ (CC ∩ B)C

A U B = {1,2,3,4,5,6,8}

Cc = Re - C = {2,4,5}

BC = Re – B = {1,3,5,7}

CC ∩ BC = {5}

(CC ∩ B)C = Re - (CC ∩ B) = {1,2,3,4,6,7,8}

(A U B) ∩ (CC ∩ B)C = {1,2,3,4,6,8}

Conjunto potencia.- Su símbolo es la letra P mayúscula, es el conjunto que tiene él como

elementos todos los subconjuntos de un conjunto se lo representa P (A) =

{X/X C A} para calcular el número de subconjuntos se lo eleva el número 2 al número de

elementos del conjunto.

2 3 5

7 8 9

146

2 3 5

7 8 9


N (P(A)) = 2 N(A) Elemento del conjunto A.

Dado A = {1,2,3} Determine P (A)

N (P(A)) = 23 = 8 Tiene 8 Subconjuntos.

P (A) = {{1},{2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} , A}

Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, un conjunto es un conjunto del

mismo conjunto.

1. B = {a,b,c} Hallar P (B)

N (B) = (P(B)) = 23 = 8

P (B) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} , B}

2. Si A = {x,y,{x}} Hallar P (A)

P (A) = {{x}, {y}, {{x}}, {x,y}, {x{x}}, {y{x}}, , A}

3. Determine el valor de la verdad de las proposiciones.

a. X P (A) = 0

b. {x} P (A) = 1

c. {{{x}}} P (A) = 0

d. {{x}} P (A) = 1

e. P (A) = 1

Problemas de Conjuntos.- Se los conoce como problemas de carnalidad (conteo).

Los problemas de conjuntos se pueden resolver de la siguiente manera.

1. Realizando un grafico

2. En otros problemas se tiene que utilizar las siguientes formas.

N (A U B) = N (A) + N (B) – N (A B)

3. También se puede resolver los problemas de conjunto utilizando ecuaciones.

Ejemplo:

En una encuesta realizada a 500 alumnos se obtuvo la siguiente información, 220 estudian

matemática, 18 estudian física, 300 estudian química, 150 física y química, 120 estudian

matemática y químicas, 60 estudian matemática y física, 50 estudian tres materias. Determine

cuantos alumnos no estudian materia alguna.

Re

N (Re) = 500

N (M) = 220

20

90

80

10

50 100 70


N (F) = 180

N (Q) = 300

N (F ∩ Q) = 150

N (M ∩ Q) = 120

N (M ∩ F) = 60

N (M ∩ F ∩ Q) = 50

No estudian ninguna materia = 500 – 420 = 80

Cuantos estudiantes estudian por lo menos una materia = 90 + 80 + 20 = 190

Cuantos estudiantes estudian matemáticas o física pero no química = 90 + 20 + 10= 120

Cuantos estudiantes estudian matemáticas o química pero no física = 90 +70 + 80 = 240

Predicado de una variable.- Son expresiones en término de una variable que al ser

remplazados por los elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones se lo

representa en minúsculas y entre paréntesis se pone la letra x.

p(x), q(x), r(x)

Ejemplo:

Re = {Quito, Lima, Bogotá, Caracas, Santiago}

p (x): x es la capital de Ecuador

p(Lima)= (Lima es la capital de Ecuador. (0)

p(Quito)= Quito es la capital de Ecuador (1)

p (Bogotá)= Bogotá es la capital de Ecuador (0)

Conjunto de verdad de un predicado.- Es el conjunto formado por todo el elemento

referencial para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. “Ap (x)”

Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

P(x): x es número par

Ap (x): {2, 4, 6, 8, 10}

q(x): x es número impar.

Aq(x): {1, 3, 5, 7, 9}

Complemento de un conjunto de verdad.- Es un conjunto formado por todos los elementos

que no pertenezcan al conjunto de verdad de un predicado pero que sean parte del conjunto

referencial “A┐p (x)” “Acp(x)”


Re = {20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}

p(x): x es numero par.

q(x): x < 27

r(x): x < 29

s(x): x es número impar

Ap(x): {20, 22, 24, 26, 28, 30}

Aq(x): {20, 21, 22, 24, 25, 26, 27}

Ar(x): {20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29}

As(x): {21, 25, 27, 29}

A┐p (x): {21, 25, 27, 29}

A┐q (x): {28, 29, 30}

A┐r (x): {30}

A┐s (x): {20, 22, 24, 26, 28, 30}

Cuantificadores

Existen dos tipos de cuantificador que son el cuantificador universal y el cuantificador

existencial.

Definición del cuantificador universal.- El cuantificador universal “∀” actua sobre un

predicado P (x) para formar la proposición ∀cp(x) que se lee “todo por cumple p(x)” o “cada x

cumple p (x)”. El cuantificador universal ∀xp(x) es verdadero si el conjunto de verdad del

predicado p (x), es igual al conjunto referencial. Si le falta un elemento es falso.

Definición de cuantificador existencial.- El cuantificador existencial “Ǝ” actúa sobre un

predicado p (x) para formar la proposición. Ǝxp(x) que se lee “Existe por lo menos un x que

cumple p(x)” o “algún x cumple p(x)”

Ǝxp(x) es verdadero si el conjunto de verdad de p(x) tiene menos un elemento que no

pertenezcan al referencial es falso si no tiene elementos que pertenezcan al referencial.

Ejemplo:

Re = {1,2,3,4,5} x el predicado p(x) = x > 2

Determinar el valor de verdad de las proposiciones.

a) ∀xp(x) falso por que los elementos del conjunto de verdad son diferentes.

b) Ǝxp(x) verdadero por que todos los elementos del conjunto Ap(x) son iguales.

Ap(x) = {2,3,4,5}


Definición de par Ordenado.- Un par ordenado es un conjunto formado por dos componentes

representado como (x,y), en el cual x se denomina primera componente y “y” se denomina

segunda componente. Como lo indica el nombre el orden es importante los pares ordenados

2, 3 y 3,2 no son iguales.

Definición de plano cartesiano.- El producto cartesiano entre los conjuntos A y B representado

como “AxB”, está formado por los pares ordenados (x,y) en los cuales la primera componente

pertenece al conjunto “A” y la segunda componente pertenece al conjunto “B”. Ejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {a, b} Determine AxB

AxB = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

BxA = {(a,1), (a,2,), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

Relación.-

Una relación de A en B, que se representa como r: A→B es cualquier subconjunto del producto

cartesiano A x B, y se A donomina conjunto de partida y B se denomina conjunto de llegada.

Definición de Dominio.- El dominio de “r:” representado como “Dom r” es el conjunto

formado por los elementos del conjunto de partida que está en la relación.

Definición de Rango.- El rango se representa por “Rg r” es el conjunto formado por los

elementos del conjunto de llegada que están relacionados.

1. A = {1,2,3} B = {3,5,7,9}

R = {(1,5), (3,9)} es relación de A en B

El conjunto r si es un relación de A en B porque los pares ordenados (1,5), (3,9)

pertenecen a (AxB).

2. A = {a,b,c} B = {2,4,6,8} Determine si los siguientes conjuntos son relación de B en A.

R = {(a,2), (b,6), (b,8)} 0 no es un relación de B en A

R= {(2,a), (2,b), (2,c)} 1 si es una relación de B en A

Definición de fusión.- Un función de A en B es una relación de A en B que asigna que cada

elemento de A en único elemento de B.

Según la definición anterior el dominio de una función es igual al conjunto de partida por cada

elemento de conjunto de partida se relaciona un único elemento del conjunto de llegada, en

un diagrama sagital esto significa que cada elemento del conjunto de partida de salir

exactamente una flecha, para representar una función se utiliza f, también se puede utilizar las

letras d, h.

Cabe notar que toda función no es una relación para no toda relación representa una función.

Es una expresión y = f (x), x representa la variable independiente y la letra y representa la

variable dependiente.


A = {1,2,3,4} B = {1,4,9,12,16}

r: A → B

r: {(x,y)} y = x2

Determine si r es una función.

r: A → B

SI ES UNA FUNCION

r= {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}

Tipos de función.- Existen los siguientes tipos de función inyectiva. Sobreyectiva, biyectiva e

inversa.

Función inyectiva.- Una función es inyectiva cuando se asigna a cada elemento del rango un único elemento dominio, de manera practica una función es inyectiva cuando los elementos de una partida de cada elemento del conjunto de partida debe salir una sola flecha.

A = {2,4,5} B = {8,64,125,216}

f = A → B “y el cubo de x”

f = {(2,8), (4,64), (5,125)}

dom f: {2,4,5}

rg f: {8,64,216}

Dedición sobre inyectiva.- Una función es sobre inyectiva cuando el rango es igual al conjunto

de llegada. En una función sobre inyectiva no deben sobrar elementos en el conjunto de

llegada cada elemento debe tener una sola flecha de llegada. Ejemplo:

A = {-1, 0, 1} B = {0, 1}

F: A → B “y es el cuadrado de x”

1 2 3 4

1 4 9

12 16

2 4 5

8 64

125 216


F = {(-1,1), (0,0), (1,1)}

Dom f = {-1, 0, 1}

Rg F = {0,1} = B la función

es sobreyectiva.

Función biyectiva.- es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la función biyectiva es N (A) = N

(B).

En la función sobreyectiva N (A) es N (A) > N (B)

A = {Guayas, El Oro, Los Ríos} B = {Machala, Guayaquil, Babahoyo}

F A→ B “y es la capital de X”

F= {(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Los ríos, Babahoyo)}

Dom f {Guayas, El oro, Los Rios} = A es Inyectiva

Rg f {Machala, Guayaquil, Babahoyo} = B es sobre inyectiva.

Definición de Función inversa.- El símbolo de F-1 solo las funciones biyectiva tiene función

inversa. Se invierten el orden de los pares ordenado.

-1 0 1

0

1

Guayas

El Oro

Los Rios

Machala

Guayaquil

Babahoyo


Números irracionales.-

Son aquellos que no pueden ser expresados como división de enteros, se lo representa con la

letra I mayúscula, algunos ejemplos de estos números son:

√ ,-√ , e, . Los irracionales se clasifican en:

Algebraicas y trascendentes.-

Los algebraicos son todos aquellos que tienen la forma √

, siempre que esta raíz no se exacta

y los trascendentes son e, , los números decimales que no son periódicos y no tienen un

numero finito de decimales son irracionales.

Números Reales.-

Se lo representa con la letra R mayúscula y se obtienen de la unión de los números racionales

con los irracionales R= QUI

Recuerda que el conjunto de números reales es subconjunto de los enteros y el conjunto de

los enteros es subconjunto de los racionales. Utilizando el diagrama de Venn para representar

los conjuntos numéricos se tiene.

I Q ᶻ Enteros

ᶰ Naturales

Irracionales Racionales

Las siguientes proposiciones son verdaderas:

N c Z c Q c R (1)

I Q= (1)

Q Z=Z (1)

Z N=N (1)

1) Determina cuál de los siguientes números es racional

(0) Irracional

1,232323 (1) Racional periódica puro


(0) Irracional

√

(0) Irracional

2) Determina el valor de verdad de la proposición:

El producto de números irracionales es un número irracional

La proposición es falsa. En muchos casos se cumple como en el producto entre √ √ =√ .

Sin embargo no siempre es así para justificar que la expresión es falsa basta que idees un

contraejemplo aquí uno si se realiza el producto entre los irracionales

Contraejemplo= √ √ = √ =4

Representación decimal de números irracionales

√ = 1,414213562373095

Este número puede representar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

isósceles cuyos catetos tienen medida igual a 1

√ = √ = √

√ = 1,73205080…

Este número puede representar la longitud de la altura de un triángulo equilátero cuyos lados

miden 2 unidades

h=√ = √ =√


Este número resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su

diámetro

Una circunferencia tiene un diámetro de 8 m determine el valor

L= 25,13

= 3.14125

Notación Científica.- sirve para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas se

escribe como un número entre el 1 y el 9 multiplicando por una potencia de 10 cuyo

exponente nos indica los lugares que se mueve la coma.

Si la coma se mueve para la izquierda el exponente es positivo, si la coma se mueve hacia la

derecha el exponente es negativo.

La coma debe estar ubicada siempre después de la primera cifra que tiene valor en el lado

izquierdo ejemplos.

12000=

0,00036=

142000000=

1348=

0,00016=

0,00028=

Correcciones

1,2853 1.2853

1564,21 1,56421

0,0024 = 2,4

0,00364 = 3,64


Suma y Resta en notación científica

Para sumar y restar en notación científica primero se iguala los números a la mayor potencia

de 10 y luego se resuelve ejemplo.

1) 3,45

(3,45+0,0221+0,512) = 3,983

2) 4,72

0,0472

0,0472 = -5,75999

Multiplicación en notación científica.-

Se multiplica las partes numéricas y se suma los exponentes de la potencia de 10, ejemplo.

1) (3,42 ( ) = 7,781

2) (2,81 ( ) = 12,334 1,2334

3) (7,6 ( ) = 370,272

División en notación científica

Se divide las partes numéricas y se resta los exponentes de la potencia de 10

= 3,4 2,4

= 4,6 1,2

= 6,8 2,3

Potenciación en notación científica

Se eleva la parte numérica y la potencia de 10 al exponente del ejercicio

= 3,9304


Radicación en notación científica

Se extrae la raíz a la parte numérica y a la potencia de 10 en ocasiones se debe mover la coma

para poder extraer la raíz

√ 8

√

5

√ √ √

√ √ √

Ejercicios combinados en notación científica

√ √

=

=

=

Operaciones Binarias

Son operaciones que se realizan dentro del conjunto de números y que el resultado de esa

operación también está dentro del mismo conjunto de números por ejemplo.

La suma de números enteros es binaria porque al sumar un número entero y otro número el

resultado es un número entero


10

c

Cuando realizar la operación de división de números no siempre se va a obtener como

resultado un número entero por lo tanto la división de números enteros no es binaria.

Propiedades de las operaciones binarias

1. Propiedad clausurativa o cerradura

∀

Cuantificador signo de operación (suma, resta, multiplicación, división) Universal La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operación binaria debe permanecer al

conjunto que se toma como referencia.

Números enteros (z)

4+6=10

10-4=6

3 c

6x4=24

2. Propiedad Conmutativa

∀

La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la

operación Ejemplos.

c

3. Propiedad asociativa

∀ c c c


La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la

operación Ejemplo.

4. Propiedad de poseer elemento neutro

∀

La propiedad de poseer elemento neutro (n) indica que al realizar la operación entre cualquier

elemento del referencial y este elemento; o viceversa no lo modifica al primero Ejemplo.

Elemento neutro de la suma

Elemento neutro de la multiplicación

5. Propiedad de poseer elemento inverso

∀

La propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operación entre cualquier

elemento del referencial y este elemento, o viceversa se obtiene el elemento neutro (n).

Esta propiedad solo deberá probarse en caso de que existir elemento neutro.

Por definición toda operación binaria cumple con la propiedad clausurativa, las restantes

propiedades pueden o no cumplirse, según sea el caso, sin perjuicio de que la operación sea

binaria.


a* inverso

Elemento neutro

Divisores y múltiplos de un numero entero (z)

6

Los divisores de un número son todos los números por los cuales se puede dividir el número

exactamente

1 2 3 6 cuál es el múltiplo….

Es el 6

Un múltiplo es un número que contiene exactamente a otros números en muchas ocasiones es

necesario saber si un número entero divide a otro sin necesidad de efectuar la división. Para

ello, se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad.

Un número es divisible por 2

Si termina en 0 en cifra par:

Ejemplos.

20 si es divisible para 2

1462 si es divisible


Un número es divisible para 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3

3: si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3

Ejemplos.




Un número es divisible para 5 cuando termina en 0 o en 5

Ejemplo.

40

55

Un número es divisible para 10 cuando termina en 0 o en más ceros

10

20

100

Números primos y números compuestos

Los números primos son números mayores que no tienen como divisores el número 1 y el

mismo número.

7 divisores 1y7

11 divisores 1y 11

El conjunto de números primos está formado por los siguientes números

{ }

Los números que tienen más divisores se llaman números compuestos

20 divisores 1, 2, 4, 5, 10,20

10 divisores 1, 2, 5,10

1. Clasifica los siguientes números en primos o compuestos en caso de ser compuesto descomponlos y en sus factores primos


A=225 Compuesto 5,3 225 3 2264 2 B=2264 Compuesto 2,283 75 3 1132 2 C=29 Compuesto 1,29 25 5 566 2 D=31 Compuesto 1,31 5 5 283 283 1 1

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

20 10 40 2 10 5 20 5 mcd 2x5=10 2 1 4 20 10 40 2 10 5 20 2 4 5 5 10 2 mcm=4x10=40 5 5 5 5 10 1 1 1

Ejercicios de aplicación de máximo común divisor = mcd

Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidades de 3 artículos diferentes, respectivamente

necesita elaborar paquetes por cada artículo de tal forma que el número de unidades de todos

los paquetes sea el mismo y el más grande posible.

El vendedor necesita calcular el número de unidades que debe tener cada paquete y cuantos

paquetes por artículo obtendrá.

24 36 48 2 12 18 24 2 4 6 9 12 3 mcm=4x3=12 unidades 2 3 4 paquetes

24 artículos salen 2 paquetes



Ejercicios de aplicación de mínimo común múltiplo

Un fabricante tiene 3 productos en su inventario, los cuales se realizan periódicamente cada

2, 6 ,10 semanas respectivamente, el fabricante necesita calcular cual será el mínimo tiempo

que debe transcurrir en semanas para que la revisión de los 3 productos coincidan


2 6 10 2 1 3 5 3 4 1 5 5 mcm=6x5=30 1

Teorema: Un teorema muy importante relacionado al mínimo común múltiplo y al máximo

común divisor es el que sigue. Para dos números enteros mayores que uno se cumple que la

multiplicación de los números es igual a la multiplicación del máximo común divisor por el

mínimo común múltiplo Ejemplo.

20 10 2 20 10 2 10 5 5 mcd=10 10 5 2 4 mcm=20 2 1 5 5 5 5 1 1

20 (10)= mcd (McM)

20 (10)= 10 (20)

200=200

Productos notables:

Son multiplicaciones que se realizan aplicando reglas.

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado de la primera cantidad + o – el duplo de la

primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

1º cantidad 2º cantidad


Suma de la diferencia de dos cantidades

Minuendo Sustraendo

Es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo

Producto de dos binomios con termino repetidos

Es igual a la multiplicación de los primeros términos de ambos binomios, para obtener el

coeficiente del segundo término se suma algebraicamente los coeficientes del segundo y

tercer término y se escribe la letra del primer término con exponente la mitad, el tercer

término se obtiene multiplicando los términos segundo por el tercero

+

x

Productos de dos binomios con términos diferentes Se multiplica cada término del primer binomio por los términos del segundo binomio y luego

se reduce los términos semejantes Ejemplo.

Cubo de un binomio

Es igual al cubo de la primera cantidad más el triple de la primera cantidad elevada al cuadrado

por la segunda cantidad más el triple de la primera cantidad por la segunda cantidad elevada al

cuadrado más la segunda cantidad elevada al cubo

Si el binomio tiene signo menos la respuesta lleva los signos alternados

+

| Factorización 40

Cuadrado de un polinomio

Es igual a la suma de los cuadrados de cada termino más el duplo de las combinaciones

binarias que se puedan formar, se debe tener en cuenta la ley de signos.

Las combinaciones binarias siempre se forman de un término con lo que está a su derecha.

Ejemplo.

c

c c

c c

c c c

c

Factorización

Factor común monomio y polinomio El factor común monomio es el número y letras repetidas en todos los términos del ejercicio

para resolver se escribe el factor común monomio y se abre con un paréntesis en el que se

escribe el resultado de dividir cada término del ejercicio para el factor común monomio.

Se debe tener presente que los números y letras repetidos se los toma como el menor

exponente

El factor común polinomio es un binomio o trinomio repetido en todos los términos del

ejercicio o con el menor exponente.

| Factorización 41

Factor común por agrupación de términos. Tiene cuatro o seis términos cada dos términos tienen algo en común. Para resolver se agrupa

en paréntesis los términos que tienen algo en común luego se factoriza el factor común

monomio y a continuación se resuelve el factor común polinomio.

Diferencia de cuadrados perfectos Tiene dos términos separados por el signo menos, ambos términos tienen raíz cuadrada

exacta. Para resolver se escribe en un paréntesis al suma de las raíces cuadradas multiplicado

por otro paréntesis en el que se escribe la diferencia de las raíces cuadradas Ejemplo.

Suma y diferencia de cubos perfectos

Se lo conoce por que tiene dos términos separados por el signo menos, ambos términos tienen

raíz cubica exacta.

Para resolver se escribe en un paréntesis la suma o la diferencia de las raíces cubicas, según el

signo que tenga el ejercicio luego en otro paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz

cubica y luego se escribe un signo contrario al primer paréntesis y se multiplica las dos raíces

cubicas más el cuadrado de la segunda raíz cubica. Ejemplo

| Factorización 42

Trinomio de la forma

c

Se lo reconoce por que el primer término tiene siempre coeficiente uno y raíz cuadrada exacta.

El segundo y tercer término pueden ser positivos o negativos.

Para resolverlo se abre dos paréntesis en el primer paréntesis se escribe la raíz cuadrada del

primer término del ejercicio, este mismo valor se lo escribe como primer término del segundo

paréntesis.

En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del ejercicio, en el segundo

paréntesis se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el

tercer término.

Si los signos de ambos paréntesis son iguales se buscan dos números que al multiplicar den el

tercer término y sumados el coeficiente del segundo término.

Si los signos son diferentes se buscan dos números que al multiplicados den el tercer término y

restados el coeficiente del segundo término, Ejemplo.

mayor menor

Trinomio de la forma

c

Se lo conoce por que el coeficiente del primer término es diferente de uno para resolverlos se

multiplica el coeficiente del primer término por el tercer término.

El primer paréntesis se escribe el coeficiente del primer término y la raíz cuadrada de la letra

del primer término, este valor también se escribe en el segundo paréntesis luego se procede

| Factorización 43

como en el caso del trinomio de la forma c, finalmente se divide ambos paréntesis

para el coeficiente del primer término.

Trinomio cuadrado perfecto Tiene tres términos el primero y el tercero tiene raíz cuadrada exacta y signo positivo, el

segundo término debe ser el doble de la raíz cuadrada del primero por la raíz cuadrada del

tercer término y puede ser positivo y negativo.

Para resolverlo se escribe entre paréntesis la raíz cuadrada del primer término, el signo del

segundo término y la raíz cuadrada del tercer término. Ejemplo

m 6

Se eleva el paréntesis al cuadrado

5 2

1

Trinomio cuadrado perfecto por adicción y sustracción Es parecido al trinomio cuadrado perfecto pero tiene incompleto el segundo término, para

resolverlo se debe sumar una misma cantidad y también restar esa cantidad para completar un

trinomio cuadrado perfecto. Se factorisa el trinomio cuadrado perfecto y luego se resuelve la

diferencia de cuadrados, Ejemplo.

| Operaciones con fracciones algebraicas 44

Diferencia de cuadrados

Operaciones con fracciones algebraicas 1. Suma de fracciones algebraicas 2. Diferencia de fracciones algebraicas 3. Suma y diferencia de fracciones algebraicas

Primero se factoriza todos los denominadores y luego se saca el mínimo común múltiplo de

todos los denominadores se lo escribe como el denominador de las respuestas.

A continuación se divide el mínimo común múltiplo para cada denominador y el resultado se

multiplica por el numerador, luego se simplifica términos semejantes en el numerador,

Ejemplo.

MCM=

Multiplicación de fracciones algebraicas Se factoriza el numerador y denominador de cada fracción y luego se simplificas, Ejemplo.

| División de fracciones algebraicas 45

División de fracciones algebraicas Se factoriza numerador y denominador de cada fracción y luego se convierte la división en

multiplicación invirtiendo la fracción que esta alado derecho del signo de división, Ejemplo.

Fracciones compuestas (fracciones compuestas) Son fracciones que tienen operaciones en el numerador y denominador, Ejemplo.

Método de división sintética

Divisores del 4

+1

( ) Se vuelve a aplicar división sintética

+2

| Racionalización 46

Racionalización

√

√ √

√ √

√ √

√

√ √

√ √

√ √

Definición de valor absoluto El valor absoluto de un número x se representa por | | y es un número no negativo tal que:

| | {

Si x es un número positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número. Si x es un número

negativo, su valor absoluto es su valor numérico cambiado de signo.

| | | | | | | | | | Propiedades del valor absoluto

Las siguientes propiedades de valor absoluto resultan de mucha utilidad en el trabajo de

números reales.

1. | | | || |

2. |

|

| |

| |

3. | | | | | | 4. | | | | | |

Ejemplo.

| | | || | | |

Intervalo cerrado 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 8, 9, 10, 11,12

[ ] a b

Un intervalo cerrado es un subconjunto de los números reales que contiene a todos los valores

que se encuentran entre a y b incluyendo los extremos a y b.

| Intervalo abierto 47

Intervalo abierto

3, 4,5 21, 22, 23,24

- + a b

Un intervalo abierto es un subconjunto de los números reales que contiene a todos los valores

que se encuentran entre a y b sin incluir a los extremos

Intervalo semi abierto

] 3, 4, 5, 6, 7,8

a b

) 4, 5, 6, 7, 8,9

a b

Intervalos con extremo infinito

- +

a

Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales menores que a incluyendo el valor a

- +

a

| Ecuaciones lineales de primer grado 48

Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales menores que a sin incluir el valor a

- +

a

Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales mayores que a incluyendo el valor a

- +

a

Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales mayores que sin el incluye el valor a

Ecuaciones lineales de primer grado

Problemas sobre ecuaciones lineales o de primer grado Para resolver problemas se sigue los siguientes pasos

a) Leer todo el problema b) Asignar la incógnita al que representa menor cantidad c) Con los datos del problema se plantea la ecuación d) Se debe utilizar lenguaje matemático como por Ejemplo.

| Problemas sobre ecuaciones lineales o de primer grado 49

Hallar cuatro números pares enteros consecutivos cuya suma sean 172

Primero= Segundo= Tercero= Cuarto= Ecuación

Dentro de 40 años la edad de pedro será el doble de su edad actual. Cuantos años tiene pedro

Pasado Presente Futuro

Pedro X X+40

Actualmente Pedro tiene 40 años

La edad de Patty dentro de 30 años será el quíntuple de la edad que tiene hace 10 años. Cual

será la edad actual.

| Ecuaciones de Segundo grado 50

Ecuaciones de Segundo grado a) Método de Factorización

b) Formula general

c) Por el método de complementar cuadrados

Método de factorización

Método de la formula general

√

√

√

√

Complementar cuadrados Se dividen todo los términos del coeficiente x2

| Inecuaciones lineales de primer grado 51

Se divide el coeficiente de x a la primera para dos y el resultado se eleva al cuadrado, este

valor se suma a ambos en la ecuación

Trinomio cuadrado perfecto

(

)

Raíz cuadrada en ambos lados

(

)

√(

)

√

Inecuaciones lineales de primer grado

( 3

| Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones) 52

Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones) Se la representa así n! significa que es igual a la multiplicación descendente desde el valor del

numero hasta el 1.

Ejemplo

5!=5x4x3x2x1=120

6!=6x5x4x3x2x1=720

7!=7x6x5x4x3x2x1=5040

Al realizar la operación con factorial recuerde que puede detenerse donde usted quiera

siempre que el ultimo numero le ponga factor y se pueda simplificar 2 factoriales iguales.

Ejemplo

5!=5x4x3!

1)

2)

El factor siempre será número positivo

| Regla de la suma 53

Regla de la suma Si una primera tarea se puede realizar P formas, mientras que un 2da tarea se puede realizar

de Q formas, pero ambas tareas no se pueden hacer al mismo tiempo entonces existen p + q

formas de hacer las tareas. Ejemplos

Fernanda tiene una fiesta en la noche, por lo cual ha decidido irse con sus zapatos favoritos y

con su blusa color morada, pero aun no decide con que falda o con que pantalón de cuantas

formas puede ir vestida a la fiesta. Si su armario tiene 4 faldas y 5 pantalones

Faldas = 4 Pantalones = 5 Formas = 4 + 5 = 9 Andrés quiere adquirir un repuesto para su auto solo existe en 3 ciudades donde los venden

Guayas, Quito, Cuenca, En Guayaquil hay 4 locales, en Quito 3 y en Cuenca 7.

Cuantas formas puede adquirir el repuesto.

Guayaquil =4 Quito = 3 Cuenca = 7 Posibilidades 14

Regla de producto (Multiplicación) Cuando un suceso puede ocurrir de m maneras y otro suceso puede ocurrir de n maneras sin

que afecte del uno al otro esas formas de ocurrir. Ejemplos

Un joven tiene 3 camisas y 2 corbatas ¿De cuantas maneras puede vestirse?

Camisas=3 Corbatas = 2 Formas 3 x 2=6

La producción de camionetas se da en 4 modelos de carrocería, 5 clases de motores y 8 colores

diferentes.

De cuantas maneras pueden presentarse una camioneta terminada.

Carrocería = 4 Motor = 5 Colores = 8

Permutaciones Se la representa con la letra P, es un arreglo que se puede formar con todo los elementos o

parte de un conjunto donde si nos importa el orden de los elementos.

Sus formulas son:

| Permutaciones 54

n= Número de elementos

r= Cantidad de elementos tomados

Ejemplo

Calcular el número de permutaciones de 10 objetos tomado de 4 en 4

De cuantas maneras se pueden sentar 3 personas en una banca

Cuantas permutaciones se puede hacer con las letras de la cadena MONDAY si:

a) 4 letras son usadas al mismo tiempo

b) Se usan toda las letras

c) Se usan toda las letras, eligiendo una vocal para la primera posición

a.-

b.-

c.-

MONDAY= 6 letras

2 5 4 3 2 1 = 240 formas

Permutaciones con repetición

Llamamos permutaciones de n elementos cuando un elemento aparece A veces, otro B veces y asi…

Ejemplo

| Permutaciones 55

Cuantas palabras no necesariamente pronunciadas se pueden formar con la palabra MISSISSIPPI I=4 S=4 P=2

=34650

Queremos ordenar 7 libros, 4 son de matemáticas, 2 de lenguaje y 1 de física

También se presentan permutaciones con repetición cuando ponemos n elementos y

tomamos de r en r

Cuantas permutaciones con repetición se pueden realizar con 3 elementos, si se tomamos de 2

en 2

Sin permutación sin repetición

2.-

Permutaciones Circulares PCn

Las permutaciones circulares de n elementos se refiere a los diferentes ordenamientos que se

pueden realizar alrededor de un círculo.

De cuantas maneras se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa

PC=10

| Combinaciones 56

De cuantas maneras se pueden sentar 8 personas formando un circulo

PC=8

Combinaciones

AB-BA = Permutaciones

AB = Combinaciones

Se llama combinaciones de n elementos tomados de r en r a los diferentes grupos que se

pueden formar tomando r elementos en cada grupo diferente en un elemento combinatorio n

se toman cuenta el orden de los elementos por lo cual en este casi es así AB=BA

En los ejemplos por lo general es cuando se forman comités, grupos du guardias, etc.

Ejemplo

De cuantas maneras pueden elegirse un comité de entre 18 personas, si el comité debe tener

a) 3 miembros

b) 14 miembros

a)

n=18

r=3

b)

n=18

r=14

| Numero combinatorio 57

A una reunión asisten 10 personas que se inter saludan entre todos, cuantos saludos se han

intercambiado

De cuantas formas se pueden mesclar los 7 colores del arcoíris tomados de 3 en 3

Para cierto experimento se selecciona 3 ratones de un grupo de 5 blancos y 4 cafés

a) De cuantas maneras se pueden escoger 3 ratones blancos

b) De cuantas maneras se pueden escoger 2 ratones blancos y 1 café

c) De cuantas maneras se puede escoger 1 ratón blanco y 2 cafés

Numero combinatorio

Coeficiente binomial Es un número que está asociado con las combinaciones de n elementos tomadas de r en r

Ejemplo

El número combinatorio se puede calcular utilizando la calculadora

Binomio de Newton Sirve para calcular potencia de binomio elevando a un numero entero

Su fórmula es:

( ) (

) (

) (

)

| Progresiones Aritméticas 58

Donde a y b pertenecen a los números reales

( )

( ) (

) (

) (

) (

)

Formula del término General

(

)

Hallar el 5 término de

(

)

( )

Determinar el término central

(

)

( )

Progresiones Aritméticas Es una serie creciente o decreciente en la cual cada termino después del primer termino es

formado sumando una cantidad fija al termino precedente, esta cantidad se llama diferencia.

| Interpolación de medios Aritméticos 59

Sus fórmulas son

Hallar el 8vo termino de la progresión aritmética 2,4,6,8…….

a=2 n=8 d=4-2=2

Si la suma de 7 elementos de una progresión aritmética es -7 y su diferencia es 2. Hallar el

primer término de esa progresión

Interpolación de medios Aritméticos

3_ _ _ _ _ _38

| Progresiones Geométricas 60

Progresiones Geométricas Una progresión geométrica es una serie tal que cada término, después del primero resulta de

la multiplicar términos precedente por un número fijo, llamado razón.

Hallar el 9 término de una progresión geométrica

10,20,40,…………………….

Hallar el numero de términos una progresión geométrica que comienza por 7 y termina en 448

sabiendo que su razón es 2

| Funciones de variable real 61

Halla la suma de los 6 primeros términos de 3,6,12,24……

Funciones de variable real En la función de la variable real tanto la variable independiente como la variable dependiente

pertenece al conjunto de números reales.

Función de la recta

Función cuadrada

Función exponencial

Función logarítmica


Dominio y rango de una función real El dominio de la función es todos los valores que pueden tomar la variable independiente y

que pertenece al conjunto de números reales

√

Si la función contiene un cociente, esto no existe, si el denominador se hace 0, por lo que se

debe excluir del dominio aquellos valores de, que provocan esta situación

Si la función contiene una raíz de índice para esta existirá solo si el radicando es positivo o 0

1.- Determine el dominio de la función

Dom f = R todo los números reales

2.- Hallar el dominio de

| Rango de una función de variable Real 62

Dom f= R-{3}

3.- Determinar el dominio

√

Dom f

4.- Determinar el dominio

√

Cuando el radica esta en el denominador la expresión solamente

puede ser positiva

Dom f =

Rango de una función de variable Real Se despoja x en la función de rango, son los valores de x

Determine el rango de

Rango todo los números reales

Función lineal Es una línea recta que no pasa por el origen y se la expresa de la siguiente manera.

X

Y

| Función lineal 63

Donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen y

Ordenada

Pendiente

Intersección de X

Intersección de Y

Pendiente

A la ecuación de la recta se la conoce como ecuación de la pendiente y ordenada

en el origen

Hallar la ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen

Intersección de X

Intersección de Y

En la recta cual es el valor de la pendiente y cual es la ordenada

Pendiente =8

Y

X

(0,6)

(-3,0)

| Ecuaciones línea recta 64

Ordenada =16 En la recta la pendiente vale 4 y la ordenada 12

Falso

Ecuaciones línea recta 6 ecuaciones de recta de pendiente y ordenada en el origen

Ecuaciones de punto y pendiente

Punto

Pasa por el punto (4,6) y m=3

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos

Hallar la ecuación de rectas por los puntos A=(6,4) y B =(8,10)

(4,6)

(8,10)

(6,4)

Y

X

Y

X

| Ecuación general de la recta 65

Ecuación general de la recta

En la ecuación general de la recta se toma la ecuación de rectas paralelas II

Dos rectas perpendiculares, tienen pendiente invertida y cambiadas de símbolo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y es paralela a la recta

Punto (2,3) m=3

Ecuaciones de la recta de la abscisa y ordenada Abscisa = a (a,0) abscisa en el origen Ordenada=b (0,b) ordenada en el origen

Esta ecuación se refiere a la intersección de la recta con los puntos x

Hallar la ecuación e la recta que tiene de abscisa en el origen 6 y la ordenada en el origen 4

Y

X

| Ecuación normal de la recta 66

Ecuación normal de la recta

c

La ecuación normal de la recta tiene el valor positivo P que va del origen en forma

perpendicular y la recta A y B, formando un ángulo de inclinación

Halla la ecuación normal de la recta que tiene un valor p=4 y su ángulo es 30º

c

c

Función cuadrática Se refiere a la ecuación de segundo grado

El grafico representa una parábola si

Y

X

Y

X

p

a

b

| Función cuadrática 67

a>0 hacia arriba

a<0 hacia abajo

Para graficar una parábola se asigna valores a la variable independiente y luego se marca los

puntos

Graficar la siguiente parábola

X Y

0 -6

1 -10

2 -12

3 -12

-1 0

-2 8

-3 18

Y

X

Y

X

Y

X

𝟐 𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓

| Función cuadrática 68

Vértice

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

El vector de la parábola tiene una coordenada y nos indica el punto donde vira la parábola , el

vértice indica si trata de un mínimo o máximo

(

)

(

)

(

)

(

)

x y

0 2

1 7

2 16

3 29

-1 1

-2 4

-3 11

Y X

𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐

X

Y

| Función exponencial 69

Función exponencial

Tiene como base constante y y el exponente es una variable

X Y

0 1

1 2

2 4

3 8


X Y

1 3

2 3.30

3 3.48

4 3.60

Unidad 5

Trigonometría

Teorema de Pitágoras: Sirve para calcular la hipotenusa y los catetos.

Hipotenusa: Es igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos de ambos lados.

X

Y

X

Y

| Trigonometría 70

√

Cateto o lado: Es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el cuadrado del otro lado.

√ √

1. En triangulo rectangular a = 3 b = 4 hallar el valor c.

√

√

√

C = 5

Funciones trigonométrica

Ceno A =

cosecante A =

Coseno A =

secante A =

Tangente A =

cotangente A =

El cateto opuesto es el que está al frente del ángulo, y cateto adyacente es el que está a lado

del ángulo.

1. hallar las funciones trigonométricas de los ángulos A y B del triángulo.

Ceno A =

B =

cosecante A =

B =

Coseno A =

B =

secante A =

B =

Tangente A =

B =

cotangente A =

B =

Funciones Trigonométricas de 30° y 60° Las funciones trigonométricas de 30° y 60° se los encuentran en un triángulo equilátero cuyos

lados miden 2 unidades.

2

2 2 30

R

| Ley del Seno y del Coseno 71

R=√ √ √

Sen 30= ½

Cos 30=√

Tag 30=

√ =

√ √

√

√

Ctg 30=√

Sec 30=

√

√ √

√

√

Csc 30=√

Sen 60=√

Cos 60=

Tag 60=√

Ctg 60=

√

√ √

√

√

Sec 60=

Csc 60=

√

√ √

√

√

Ley del Seno y del Coseno Se aplica en triángulos oblicuángulos que se dividen en dos grupos los acutángulos que tienen

3 ángulos agudo y el obtusángulo que tienen un Angulo absoluto

Ley del coseno: En todo triangulo un rectángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de

los 2 otros lados menos el duplo de la multiplicación de dichos lados de multiplicación por el

coseno del Angulo que forman dichos lados

| Identidades Trigonométricas 72

a2=b2+c2-2bc Cos A

b2=a2+c2-2ac Cos B

c2=a2+b2-2ab Cos C

√

√

√

C2= a2+b2-2ab Cos C

C2=(600m)2+(80m)2-2(60)(80) cos 700

C2=3600+6400-3283,39

C2=6716,61m2

√

Ley del seno: En todo triangulo no rectángulo el lado del triángulo sobre el seno del ángulo opuesto es igual

a otro lado del mismo triangulo sobre el seno de su ángulo opuesto.

Sen B(81,95) 80m Sen 70

Sen B= 80M Sen 70/81.951

Sen B= 0.92

<)= 66,54

Identidades Trigonométricas Para resolver identidades trigonométricas se utiliza las siguiente formulas conocidas como

relaciones fundamentales

A

B

C

a

b

c

A

B

C

a

b

c

70

A C

b=80

c=81,94

70

B


De las formulas se pueden despejar y también se puede elevar al cuadrado al cubo cuando

requiere hacer remplazo.

Elevado al cubo Elevado al cuadrado

Elevado al cubo Elevado al cuadrado

1) Tanx .Ctgx=1 2) (Senx+Cosx)2

Sen2+2Senx+Cosx+Cos2x=

2Sen+Cosx+1=2SenxCosx+1

(Senx+Cosx)2+(Senx-Cosx)2=2

Sen2x+2SenCosx+Cos2x+Sen2x-2SenxCosx+Cos2x=2

1+1=2

2=2

Sec2x+Csc2x=Sec2x.Csc2x

+


Csc2 x.Sec2 x=Sec2 x.Csc2 x

+

+

Senx.Cosx+Cosx+Seny Cosx.Cosy Cosx.Seny+ Senx.Cosx Senx.Seny

+

FORMULAS

Senx.Cscx=1

Cosx.Secx=1

Tangx.Cotgx=1

Sen2x+Cos2x=1

Sec2x=1+tan2x

Csc2x=1+ctg2x

| Capitulo 6 75

+ 1

2Cosx-Senx-Cosx

+

1=1

Capitulo 6

Geometría Plana y del Espacio

Polígonos.- son figuras geométricas planas que tienen tres o más lados pueden ser regulares e irregulares.

Triángulo equilátero

Cuadrado, rombo

Regulares Pentágono regular

Hexágono regular

Polígonos

Irregulares

Los polígonos regulares Tienen todos sus lados iguales son ejemplos de polígonos regulares el triángulo equilátero

| Perímetro.- 76

Los polígonos irregulares Son aquellos que no tienen sus lados iguales son ejemplos el triángulo isósceles, triángulos:

escaleno, triangulo, rectángulo, cuadriláteros, cuadrado, romboide, trapecio.

Perímetro.- Es igual a la suma de todos los lados de la figura geométrica ejemplos.

c √

c √

c √

c √

c

Calcular un perímetro de un rectángulo que mide de largo 20m y 12 m de ancho

Hallar el perímetro del círculo que tiene de radio 8m

Hallar el perímetro del romboide que mide 10m de lado

| Área o Superficie.- 77

Hallar el perímetro del trapecio que mide de base mayor 20m de base menor 12m altura 8m

c √

c √

c √

c

Hallar el perímetro del pentágono regular cuyo lado mide 14m

Área o Superficie.- Se lo representa con la A mayúscula cada figura geométrica tiene su fórmula para calcular el

área.

Triangulo

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Trapecio

Romboide

| Área de polígonos regulares.- 78

Área de polígonos regulares.-

El área de cualquier polígono regular es igual a perímetro por apotema sobre dos

Apotema (ap).-

Es la línea que va del centro del polígono al punto medio de un lado del polígono

Hallar el área del polígono regular que mide de lado 8m y radio 5m

| Elementos de la Circunferencia y Círculo 79

√

√

√

Elementos de la Circunferencia y Círculo

O= Centro

AB= Diámetro

OC= Radio

DE= Cuerda

L1= Secante

El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia

En la figura de radio

las cuerdas son paralelas si la cuerda

√

unidades encuentre la distancia que separa las dos cuerdas

| Ángulos en la Circunferencia 80

√

||

CB= Diámetro

√

√

√

√

√

√

√

Ángulos en la Circunferencia

Angulo Central.- Es aquel cuyo vértice es el centro de la circunferencia, y sus lados están sobre los

radios ejemplo

Angulo centro

Vértice

| Ángulos en la Circunferencia 81

Angulo Inscrito.- Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados están sobre las cuerdas

o secantes.

Angulo inscrito

Vértice

Angulo Interior.- Es aquel que está formado por la intersección de dos cuerdas cuales quiera

Angulo interior

Vértice

Angulo exterior.- Es aquel que está formado por dos secantes o dos tangentes; o una secante y una

tangente que parten de un mismo punto exterior a la circunferencia.

Angulo exterior

ApB

Vértice

| Relación entre Angulo central e inscrito.- 82

Angulo Exterior

ApB

Vértice

Angulo Exterior

ApB

Angulo semi-inscrito.- Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son una tangente y una

cuerda respectivamente

Angulo semi- abierto

ApT

Vértice

Relación entre Angulo central e inscrito.-

Una propiedad muy útil que relaciona el ángulo central con el ángulo inscrito es:

La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central para ángulos

que intersecan la circunferencia en los mismos puntos

| Capitulo 7 83

Angulo inscrito

Angulo central

Medida

Capitulo 7

Vectores en el plano y el espacio Los vectores en el plano se representan en coordenadas rectangulares de la siguiente manera

| Vectores en el plano y el espacio 84

Los vectores en el espacio en coordenadas rectangulares se representan con 3 valores que

corresponden a los ejes x,y,z

Para graficar se utiliza un plano cartesiano en el espacio conocido como sistema de la mano

derecha o también sistema de la mano izquierda

Multiplicación de un escalar por un vector Un escalar es un número que se lo debe multiplicar por los valores del vector

| Suma de Vectores 85

Modulo de un Vector Para sacar el modulo de un vector se aplica el teorema de Pitágoras

⌊ ⌋

⌊ ⌋ √

⌊ ⌋ √

⌊ ⌋ √

⌊ ⌋

⌊ ⌋

⌊ ⌋ √

⌊ ⌋ √

⌊ ⌋ √

⌊ ⌋

Vector Unitario.- Para obtener el Vector Unitario se obtiene el modulo del vector y luego

se divide los valores del vector para el modulo

Suma de Vectores Para sumar vectores se suman los valores de i , de j y de k

| Diferencia de vectores 86

Diferencia de vectores Para realizar la diferencia se escribe el vector minuendo y al vector sustrayendo se le cambia

los signos y luego se resuelve

Producto escalar de 2 Vectores Se lo conoce como producto punto de 2 vectores y la operación viene de la siguiente manera

en el producto punto se debe tener en cuenta lo siguiente+

| Producto de dos valores (Producto Cruz) 87

Producto de dos valores (Producto Cruz) El producto vectorial es otro vector que es perpendicular a cada uno de los vectores que se

multiplica

Cuando el producto vectorial no sale un vector es nulo

VECTOR NULO

Cuando no sale un vector, uno los vectores paralelos para realizar el producto vectorial se

utiliza determinantes, y ese determinante se resuelve en desarrollo por menores que consiste

en utilizar la primera fila con cada letra se forman un nuevo determinante, eliminando la fila y

la columna de esa letra, también se utiliza el cofactor que resulta sumar el vector de la fila mas

el numero de columnas del resultado si es par se pone signo mas, si el resultado es impar se

coloca signo menos.

Ejemplo

Encuentre el producto cruz de

Cofactor

| Capitulo 8 88

[

] [

] [

] [

]

( ) ( ) ( )

Capitulo 8

Geometría analítica La geometría analítica es la aplicación del algebra a la geometría se utiliza el plano

cartesiano para representar las ecuaciones de rectas, circunferencias, parábolas, elipses e

hipérbola.

Distancia entre dos Puntos.

d= √ 2

dbc= √ √

dab= √ √

Punto medio de un Segmento.

x =

| Área de polígonos en función de las coordenadas de sus vértices. 89

Ejemplo:

De un triangulo sabiendo (-2,1) (2,-3) (5,2). Hallar las coordenadas de los vértices.

-3, 4 9, 0 1,8

Área de polígonos en función de las coordenadas de sus vértices. Se grafica el polígono y se forma un determinante con las coordenadas de los vértices.

A=

Si se toma los vértices en sentido contrario las agujas del reloj en el área sale positivo.

Si se toma los vértices de las agujas del reloj el área sale negativo.

Hallar el área del triangulo cuyos vértices son (2,3) (5,7) (-3,4)

A

B

C

B 5,2

C 2,-3

A -2,1

Se repite la primera

| Líneas y puntos notables del triangulo 90

A=

=

A =

= 11.5

Líneas y puntos notables del triangulo Todo triangulo tiene:

- 3 alturas

- 3 medianas

- 3 mediatrices

- 3 bisectrices

- Baricentro

Es el punto de inserción de las 3 medianas del triangulo.

Mediana: Es la recta que va del vértice, al punto medio del lado opuesto.

| Mediatriz: 91

Mediatriz: Es la recta que sale del lado punto medio de un triangulo en forma de perpendicular.

Circuncentro: Es el punto de intersección de los 3 mediatrices del Angulo.

Altura: Es la recta que va del vértice al lado opuesto en forma perpendicular.

Ortocentro: Es el punto de intersección de la altura de un triangulo.

| Bisectriz: 92

Bisectriz: Es la recta que divide a 2 triángulos en 2 partes iguales.

Incentro: Es el punto de intersección de los 3 bisectrices del triangulo.

Bisectrices

Incentro

| Unidad 9 93

Parte Imaginaria

Parte Real Parte

Real

Parte Imaginaria

Respuesta

Unidad 9

Números complejos. El número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria.

Z= x + y (x, y)

El numero complejo también puede ser expresado como un par ordenado x, y. Tanto la

parte real como la parte imaginaria pueden ser positivas o negativas.

Z= 4 + 8i (4,8) Z= 6 + 10i (6,10)

Multiplicación de un numero complejo por un número cualquiera. Se multiplica ese número por cada término del número complejo tomando en cuenta cada

signo.

1. Z= 6 + 8i 3Z= 3(6+8i) = 18 + 24i 3Z= 3(6+8) = (18 + 24)

2. Z1 = -4 +8i

7Z1 = 7(-4+8i) = -28 + 54i

7Z1 = 7(-4,8i) = (-28 ,54i)

Número Complejo Conjugado: el número complejo conjugado es un número que tiene los mismos términos del número

complejo pero la parte imaginaria tiene signo cambiado, se lo representa con una barra en

la parte superior de la letra.

1. Z= -8 +6i = -8 – 6i

Z= (-8, 6i) = (-8, 6i) (-8, 6i) (-8, -6i)

2. Z= -7 -8i = -7+8i

= (-7, 8i) (-7, -8i) (-7, 8i)

3. Z= -6 -5i = -6 + 5i

= (-6, 5i)

4. Z= -20 - 40i = -20-40i

| Suma de números complejos: 94

= (-20, 40i)

La letra i es igual i = √ ; ( i )2 = √ 2 = i2 = -1

Es importante conocer la potencia de i que van variando en forma cierta para potencias enteras del 1 al 4.

I1 = i I2 = -1 I3 = i2 · i = ( -1 ) i = -i I4 = i2 · i2 = ( -1) ( -1 ) = 1 Una forma practica de deducir el valor de la potencia in con n>4 es dividiendo n para 4 y trabajar con el residuo de esta división. I21 = ( 14)5 i = ( i)5 i = i I62 = ( 14)15 i2 = ( i)15 i2 = ( 1) (-1) = -1 I92 = ( 14)22 i3 = ( 1) (-1) = -1 I96 = ( 14)24 = ( 1)24 = 1 I135 = ( 14)-33 i3 = ( 1)33 - i = -1 I202 = ( 14)50 i2 = ( 1)50 - i = -1

Suma de números complejos: Para sumar números complejos se suman las partes reales y luego las partes imaginarias realizando sumas algebraicas. Z1 = 1 – i Z2 = -3 + 4i

a) Z1 + Z2 = ( 1 – i) +3 (-3 + 4i)= -2 + 3i b) 2Z1 + 3Z2= 2(2-1) + 3(-3 + 4i)=

22-2i-9+12i= -7+10i// (-7,10)// c) 5Z1+6Z2= 5(1+i) +6(-3+4i)

5-5i(-18+24i)= -13+19i // (-13+19)//

Diferencia de números complejos. Para realizar la diferencia se le cambian los signos al número complejo sustraendo y luego

se resuelve como en la suma

Z1=1-i Z2=-3+4i

Z1-Z2= (1-i) – (-3+4i) = 1 - i + 3 - 4i = 4 - 5i = (4,-5)//

Z2- Z1 = ( -3+4i) – (1-i) = -3 + 4i – 1 + I = -4 + 5i //

Z2- Z1 = (-3 + 4i ) – (1 + i) = -3 – 4i – 1 – I = -4 – 3i = (-4 – 3)//

Z2- Z1 = (-3+4i) – (1+i) = -3+4i-1-I = -4+3i = (-4,3) //

| Multiplicación de número complejos, 95

3 Z2- 2Z1= (-9+12) – (2-2i) =(-9+12) (-2+2i) = (-11+14i) //

Multiplicación de número complejos, Para multiplicar números complejos se multiplica cada término del primer número

complejo por todos los términos del segundo número complejo, teniendo en cuenta la

potencia de i.

Z1= 1-i Z2= -3+4i

Z1Z2 = ( 1-i) (-3+4i) = -3+4i-3i+4i2 = -3+7i-4(-1) = -3+7i+4= 1+7i =(1,7) //

2Z1 3Z2= (2-2i) (-16+32i) =-18+24i+18i-24i2 = -18+24i+18i-24(-1) = -18+42i +24 =6+42i=

(6,42)

Z1= 6+3i Z2= -4+8i

2Z1 4Z2 = (16+6i) (-16+32i) =-192+384i-96i+192i2 = 192+288i +192(-1) = -192 +288i –

192 = 384+288i //

División de números complejos.-

Para dividir números complejos se multiplica por una fracción formada por el complejo

conjugado del denominador y luego se resuelve.

=

=

//

Representación Grafica De Los Números Complejos

Un numero complejo se lo representa en el plano cartesiano, la parte real va en el eje X y la

parte imaginaria va en el eje Y.

Z=6+4i

Y (6,4i)

r

X

6

La línea que une al origen con el punto se designa con la letra r y se llama modulo del número complejo su fórmula es:

| Coordenadas polares de números complejos. 96

R: | | | | √

R: | | | | √

R: | | | | √ √

R= √ √ //

El ángulo teta se lo conoce como ángulo de argumento y selo calcula con la segunda formula

tangƟ=

tangƟ=

= 0,64

≮Ɵ=33,69°

Z1= 1+√

Ɵ √

Coordenadas polares de números complejos. Las coordenadas polares de números complejos son (r;Ɵ).

(r;Ɵ)

(2,60°) (2;

)

senƟ=

cosƟ=

rsenƟ=y rcos=x

Remplazamos:

X+yi=rcosƟ +rsenƟ

Saco factor común

X+yi=r

tangƟ =𝑦

𝑥

tangƟ=

≮Ɵ=60° =𝜋

//

R= |𝑍| √

R= √ (√ )

R= √

R=2

| Capítulo 10 97

Z1 = 1+√ = 2

[

]

Capítulo 10

Matrices: Es un arreglo de filas y columnas que va dentro de un corchete o paréntesis {},

Matriz rectangular: Es aquella que tiene diferente el número de filas y el número de columnas.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene igual el número de filas y el número de columnas.

En la matriz cuadrada se distingue la diagonal principal

Matriz Transpuesta:

Su símbolo es una A elevada a una T mayúscula .

Es otra matriz formada por el intercambio de los elementos de las filas por las columnas.

Coordenadas

trigonométricas

| Multiplicación de una matriz por una escalar: 98

Multiplicación de una matriz por una escalar: Se multiplica el escalar por cada término de la matriz.

Ejemplo

Suma de matrices: Solo se puede sumar matrices cuadradas, para sumar las matrices se suma los elementos que

ocupan el mismo orden en las dos matrices.

Ejemplo

| Diferencia de matrices: 99

Diferencia de matrices: La diferencia de matrices se puede realizar entre matrices cuadradas, para la diferencia de

matrices se le cambia los signos a la matriz que hace de sustraendo y luego se realiza como en

una suma.

Ejemplo

Multiplicando matrices: La multiplicación de matrices de matrices se realiza entre dos matrices que no necesariamente

deben ser cuadradas para resolver se va multiplicando los elementos de la primera fila de la

matriz A por cada elemento de la primera columna de la matriz B, estos resultados se suman

para obtener un solo valor.

Luego se multiplica los elementos de la primera fila de la matriz a por los elementos de la

segunda columna de la matriz P, si la segunda matriz tuviera una tercera columna se

multiplicaría la primera fila de la materia A por la tercera columna de la matriz B y se suman

estos resultados para obtener un solo valor.

El mismo procedimiento con la primera y la segunda fila de la matriz A.

| Matriz identidad 1: 100

Matriz identidad 1: La matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene la diagonal principal formada por

números 1.

Ejemplo

De acuerdo a la matriz cuadrada tendrá la matriz identidad

Matriz inversa: Su símbolo es A-1. Para que una matriz tenga matriz inversa debe ser una matriz cuadrada y el

valor del determinante de la matriz debe ser diferente de 0.

La matriz inversa se calcula por la siguiente formula

A-1 = Matriz inversa.

= Determinante de la matriz.

= Matriz de adjuntos de A.

= Matriz transpuesto.

| Matriz de adjuntos: 101

Matriz de adjuntos: La matriz de adjuntos se obtiene con los cofactores de cada elemento de la matriz.

Ejemplo

a) Calcular el determinante

Como el valor del determinante es diferente que cero la matriz A si tiene matriz inversa.

b) Calculo de la matriz de adjuntos Ad.

c) Calcula de la matriz traspuesta del matriz adjunto.

d) Aplicamos la formula

| Capítulo 11 102

Capítulo 11

Estadística y probabilidad

Estadística: Es la ciencia que reúne y organiza los datos informativos de una población.

Ejemplo:

Cuando se organiza los datos de las personas nacidas en el cantón Machala en el 2013.

Población: Son todos los individuos que se toma en cuenta para un estudio estadístico.

Ejemplo:

Si realizamos un estudio de los alumnos que realizan el curso de nivelación en la Universidad,

la población son todos los alumnos.

Muestra: Es una parte representativa de los individuos que integran una población

Ejemplo

En los estudiantes que asisten al sistema de nivelación de la Universidad la muestra podría ser

alumnos del paralelo “B” de Ingeniería en Sistemas.

Tabla de distribución de frecuencia: Es un cuadro donde se organiza la información

reconectada mediante encuestas.

Ejemplo:

Los estudiantes de 8vo de Basica de la escuela La Providencia obtuvieron las siguientes

notas en la materia de matemáticas:

MATEMATICAS

14 13 12 12 14 18 20 20

14 15 15 16 16 17 18 19

19 18 16 13 12 14 15 16

20 18 14 15 16 18 13 19

| Muestra: 103

fi Fi hi Hi

Notas Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulativa

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulad

12 3 3 3/32=0.09 0.09

13 3 3+3=6 3/32=0.09 0.09+0.09=0.18

14 5 6+5=11 5/32=0.16 0.18+0.16=0.34

15 4 11+4=15 4/32=0.13 0.34+0.13=0.47

16 5 15+5=20 5/32=0.16 0.47+0.16=0.63

17 1 20+1=21 1/32=0.03 0.63+0.03=0.66

18 5 21+5=26 5/32=0.16 0.66+0.16=0.82

19 3 26+3=29 3/32=0.09 0.82+0.09=0.91

20 3 29+3=32 3/32=0.09 0.91+0.09=1

32 1

Formula

Las notas de química de los estudiantes del paralelo “B” de Ingeniería de Sistemas son

las siguientes:

7 7 8 8 9 10 10 9 7 7

7 8 8 9 9 10 10 7 7 8

7 8 7 9 10 10 7 7 8 8

10 10 7 8 8 9 9 7 7 8

fi Fi Hi Hi

Notas Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulativa

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulad

7 14 14 14/40=0.35 0.35

8 11 14+11=25 11/40=0.28 0.35+0.28=0.63

9 7 25+7=32 7/40=0.18 0.63+0.18=0.81

10 8 32+8=40 8/40=0.20 0.81+0.20=1.01

40 1

| Muestra: 104

materia de matematicas herman gallegos macas

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