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Matemáticas Sesión # 9. Derivadas
Contextualización
Comencemos ahora el estudio del cálculo. Las ideas propias
del cálculo son totalmente diferentes a las del algebra y la
geometría. La fuerza e importancia de estas ideas y de sus
aplicaciones serán aclaradas a lo largo de esta sesión.
En esta sesión introduciremos la llamada derivada de una
función y aprenderás reglas importantes para encontrar estas
derivadas.
Se verá también como se usa la derivada para analizar la
razón de cambio de una cantidad, tal como la razón a la que la
posición de un cuerpo está cambiando.
Introducción
Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva.
¿Son útiles las rectas tangentes en otras curvas?
¿Qué es una recta secante?
¿Cómo se aplica el concepto de recta tangente en la derivada de una función?
Éstas y otras preguntas responderemos a lo largo de la explicación de esta sesión y nos ayudaran a entender de manera mas clara el concepto de derivada de una función.
Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Dydx.jpg solo para fines educativos.
Explicación
Definición de derivada
La derivada de una función f es la función denotada por f´ y definida por:
(Siempre que este límite exista). Si puede encontrarse f´(x), se dice que f es diferenciable y f´(x) se llama derivada de f en x, o derivada de f con respecto a x. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.
Explicación
Ejemplo1: Encuentra la derivada por medio de su definición de la
función f(x) = x2
Observe que al tomar el limite tratamos a x como una constante porque
era h y no x la que estaba cambiando.
Explicación
Ejemplo2: Encontrar una ecuación de una línea tangente. Si f(x)=2x2+2x+3
en el punto (1,7).
Solución: iniciamos encontrando primero la derivada por definición ya que
el resultado de esta derivada es la pendiente de la línea tangente a la
función en cuestión:
Explicación
Ahora sustituimos el valor de x=1 en la derivada de la función
f´(x)=4x+2
f´(1)= 4(1)+2=6
La línea tangente a la grafica en (1,7) tiene entonces pendiente de 6.
La ecuación buscada es:
y – y1=m(x-x1)
y – 7=(6)(x-1)
y=6x-6+7 entonces la ecuación es: y = 6x +1
Explicación
Cálculo de derivadas
Reglas de diferenciación.
La diferenciación directa de una función por medio de la definición de la derivada, puede ser muy tediosa. Afortunadamente existen reglas que permiten efectuar la diferenciación en forma por completo mecánica y eficiente.
Regla 1. Derivada de una constante
f(x) = c, entonces f´(x) = 0 donde c es cualquier número real.
Regla 2. Derivada de xn
Si f(x) = xn, entonces f´(x) = nxn-1
Explicación
Regla 3. Factor constante
Si f es una función diferenciable y c es una constante, entonces cf(x) es diferenciable si c[f´(x)]
Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.
Regla 4. Regla del producto
Si f y g son funciones diferenciables, entonces
Esto significa que, multiplicamos la primer función por la derivada de la segunda función y sumamos la segunda función por la derivada de la primer función.
Explicación
Regla 5. Regla del cociente.
Si f y g son funciones diferenciables, entonces
Esto es, el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, entre el denominador al cuadrado.
Explicación
Ejemplos: Encuentra la derivada de la función con el uso de la reglas.
1. F(x) = 4
F´(x) = 0
2. F(x) = x3
F´(x) = 3x2
3. F(x) = x7
F´(x) = 7x6
4. F(x) = 4x2
F´(x)=4(2x) = 8x
Explicación
5. F(x) = 5x6
F´(x) = 5(6x5) = 30x5
6. F(x) = 3x4+2x3-7x2-4x+20
F´(x)=12x3+6x2-14x-4
En este ejemplo cuando tenemos una función con n términos sumándose o
restándose se debe de derivar término por término.
Explicación
7. F(x) = (x+4)(x2-4x+4)
F´(x) = (x+4)(2x-4)+(x2-4x+4)(1)
F´(x) = (2x2-4x+8x-16)+ (x2-4x+4)
F´(x) = 3x2-12
En este ejemplo se aplicó la regla de producto y después de aplicar la regla se debe de resolver las multiplicaciones y simplificar.
En este problema se aplicó la regla del cociente y después de aplicarla se resuelven las multiplicaciones del numerador y se simplifican. El denominador nunca se desarrolla.
Explicación
Aplicación de derivadas
Una aplicación muy importante de la derivada implica el movimiento de un
objeto viajando en línea recta. Esto nos da una manera conveniente de
interpretar la derivada como una razón de cambio.
Para denotar el cambio en una variable x, se usa el símbolo de ∆x (léase
“delta x”). Por ejemplo, si x cambia de 1 a 3, entonces el cambio en x es
∆x = 3-1 = 2. El nuevo valor de x(=3) es el viejo valor más el cambio, esto
es, 1 + ∆x.
De manera similar, si t se incrementa en ∆t, el nuevo valor es t + ∆t esta
razón de cambio nos servirá para trabajar la aplicación más usual de la
derivada que es en la física en el movimiento rectilíneo de los cuerpos.
Explicación
Si s= f(t) es la función de posición de un objeto que se mueve en línea recta,
la velocidad media del objeto en el intervalo [t, t+∆t] está dada por
Y la velocidad en el tiempo t está dada por
Esto es, la velocidad en el tiempo t es la primera derivada de la función de
posición de un objeto.
Explicación
Ejemplo: encontrar
a) la velocidad media y
b) b) la velocidad
Si suponemos que la función de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta es
s=f (t)= 3t2+5, donde t está en segundos y s en metros.
Solución:
Se tiene aquí, t= 10 y ∆t= 10.1-10 = 0.1
Explicación
b. La velocidad está dada por . Cuando t = 10, la velocidad es:
v= 6t = 6(10) = 60 m/s
Obsérvese que la velocidad media en el intervalo [10, 10.1] es cercana a la velocidad
en t= 10. Esto era de esperarse porque la duración del intervalo es pequeña.
Conclusión
La línea tangente a una curva en un punto P es la posición límite de las líneas secantes. La pendiente de la tangente en un punto P se le llama pendiente de la curva en P.
Si y = f(x), la derivada de f en x es la función definida por el limite
Geométricamente, la derivada nos da la pendiente de la curva y = f(x) en el punto (x, f(x)). Una ecuación de la tangente en un punto particular (x1, y1) se obtiene evaluando f´(x), que es la pendiente m de la recta tangente y sustituyendo en la forma punto-pendiente de las ecuaciones de recta.
Cualquier función que es diferenciable en un punto debe también ser continua ahí.
Las reglas básicas para encontrar derivadas se aplican en funciones donde suponemos que son diferenciables.
En la siguiente sesión aplicaremos la operación contraria a la derivación llamada Integración o anti derivada, sus reglas y aplicaciones.
Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Limites, derivada por definición. Recuperado el día 17 de abril del 2014 de: http://www2.uah.es/fsegundo/calcTeleco/esquemas/LimitesDefinicionDerivada.pdf
Reglas de derivación. Recuperado el día 17 de abril del 2014 de: http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reglas/FTBasicas.pdf
Videos para resolver la derivada de una función con el uso de las reglas:
Regla de las potencias. Recuperado el dia 17 de abril del 2014 de: https://es.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_tutorial/v/power-rule
Propiedades de las derivadas. Recuperado el dia 17 de abril del 2014 de: https://es.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_tutorial/v/derivative-properties-and-polynomial-derivatives
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.