matemáticas geometría del plano métrica del plano y
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Geometría del plano: Métrica del plano ylugares geométricos. Representacióngráfica de parábolas
MatemáticasGeometría del plano
Métrica del plano y lugares geométricos.Representación gráfica de parábolas
Imagen en Wikimedia Commons de Escarlati bajo Dominio Público
1. Plano Euclideo
Imagen en Flickr de slideshow bob bajo CC
En un principio lasmatemáticas estabandivididas en camposseparados, como eran laaritmética, la geometríay el álgebra. En el sigloXVII se produce la felizunión entre la geometríay el álgebra, surgiendo lageometría analítica . En
este nuevo campo losproblemas geométricosque antes se resolvíancon regla y compáspueden ahora plantearsemediante ecuacionesalgebraicas y viceversa,un problema meramentealgebraico, como es laresolución de un sistemade ecuaciones, puedeahora plantearse desdeel punto de vista
geométrico. Para dar el paso de empezar a ver puntos y rectas del plano como ecuacionestenemos que tener en cuenta lo siguiente.
Todo el edificio de la geometría analítica se fundamenta en estos dosconceptos básicos:
1. La definición en el plano de unos ejes de coordenadas , tambiénllamados ejes cartesianos (en homenaje a Descartes , considerado elfundador de esta geometría).
2. Cada punto del plano viene referenciado por un par de números queson las coordenadas de dicho punto respecto al sistema de ejes decoordenadas que hemos establecido.
En la siguiente presentación se muestra lo que hemos explicado más arriba.
Importante
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En geometría analítica cuando estudiamos las posiciones relativas de puntos yrectas en el plano sin tener en cuenta las distancias entre estos decimos quenos encontramos en el Plano Afín . Cuando damos un paso más, y definimosla distancia entre dos puntos cualquiera del plano como la longitud delsegmento rectilíneo que los une, y empezamos a tener en cuenta la distanciaen el estudio de los distintos elementos geométricos decimos que estamos enel Plano Euclídeo (en homenaje a Euclides , uno de los más grandesmatemáticos de la antiguedad).
1.1. Distancia entre dos puntos
Vértice geogésico cerca del Mirador de Valcabado
Imagen en Flickr de alpoma bajo CC
Si tenemos dos puntos la distancia
entre ellos viene dada por la siguientefórmula:
Esta fórmula es importante ya que es labase principal de este tema. No soloporque nos va a permitir hacer estudiosde distancias sino porque la misma nosva a abrir las puertas al estudio de loslugares geométricos, donde veremosentes más complejos, como son lacircunferencia y la mediatriz de unsegmento.
En la siguiente presentación sepretende aclarar este concepto.
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En la siguiente escena de GeoGebra puedes probar a variar la posición de los puntos yverás como varía la distancia entre ellos.
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La distancia entre es:
Dados los puntos , comparar las distancias
1.2. Distancia de un punto a una recta
Imagen en Flickr de Nakazawa K bajo CC
La distancia de un punto a unarecta es la medida de la longituddel segmento perpendicular a dicharecta que va desde al punto decorte del segmento con la recta.
El modo más fácil de hallarla es através de la siguiente fórmula.
donde el punto y la recta
.
En la siguiente presentación se explica cómo proceder a la hora de hallar ladistancia de un punto a una recta.
Importante
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Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta
1.3. Distancia entre dos rectas paralelas
Imagen en Flickr de vivaiquique bajo CC
La distancia entredos rectas se definecomo la menordistancia que hayentre doscualesquiera de suspuntos. Su distanciadepende, por tanto,de la posiciónrelativa que tenganesas dos rectas.Tenemos lossiguientes casos:
1. Si las rectas secortan o soncoincidentes sudistancia es cero,ya que hay al
menos un punto común a las dos rectas y la distancia de un punto a símismo es nula.
2. Si las dos rectas son paralelas, basta tomar un punto cualquiera P deuna de ellas y hallar la distancia a la otra recta, tal como se muestra enla siguiente presentación.
Importante
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Halla la distancia entre .
Dada la recta r de ecuación y la recta s de ecuación:
1. Halla el valor de la constante a sabiendo que r y s son paralelas.
2. Halla la distancia entre las dos rectas.
2. Lugares geométricos
Imagen en Flickr de aldoaldoz bajo CC
Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que comparten entre síuna misma propiedad. Esta propiedad va a estar relacionada con la distancia adeterminados puntos o rectas especiales o por sumas y rectas de distancias que semantienen constantes. En el plano un lugar geométrico adopta la forma de una líneacontinua, ya sea recta o curva. En geometría analítica esta propiedad hemos de traducirlaa una ecuación algebraica y para ello va a ser fundamental la siguiente fórmula.
Ya debes saber que esta fórmla nos da la distancia entre dos puntos cualesquiera delplano. Conociendo la fórmula del lugar geométrico esto nos va a permitir realizar unaserie de operaciones con el mismo; como puede ser hallar los puntos de corte con los ejes,la intersección con rectas u otros lugares geométricos, etc. Nosotros por razones deprogramación solo vamos a ver como ejemplos de lugares geométricos la circunferencia yla mediatriz de un segmento pero el estudio de estos no se agota en absoluto aquí. Lacircunferencia forma parte de una familia particular de curvas, llamadas cónicas, quepresentan multitud de aplicaciones en muchas ramas de la ciencia y la tecnología,hablamos algo sobre las mismas en el apartados posteriores de este tema.
2.1. Circunferencia
Imagen en Flickr de Fersanam bajo CC
Llamamos circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano tales queequidistan de un punto fijo llamado centro. La forma tradicional de trazar unacircunferencia en la antiguedad era marcar el centro de la misma, y en este atar un cordelde una longitud determinada en cuyo extremo había un punzón o cualquier tipo deinstrumento que marque el recorrido. Al girar el cordel el punzón describía esta figurageométrica como se muestra en la siguiente escena de geogebra si pulsas sobre el botónsituado en la parte inferior izquierda de la misma.
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Para deducir la ecuación de la circunferencia, expresamos analíticamente lacondición:
Siendo a y b las coordenadas del centro de la circunferencia. Si desarrollamosla anterior ecuación obtenemos la ecuación general de la circunferencia quees la siguiente:
Importante
ecuación general de la circunferencia
Si el centro C coincide con el origen de coordenadas, se tiene que la ecuación resultante, conocida como la ecuación reducida de lacircunferencia, es la siguiente:
En la aplicación de GeoGebra de más abajo se pueden modificar los valores de a, b y r através de las barras de deslizamiento de dichos parámetros. Para ello pon el cursor delratón en los puntos de las barras de deslizamiento, haz clic con el botón izquierdo ymanteniendo pulsado el mismo, al mover el ratón cambiarán los valores de a, b y r yverás cómo cambia la forma y posición de la circunferencia así como las ecuaciones que larepresentan.
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Si no puedes ver la escena de geogebra de más arriba accede a la siguiente página .
Halla la ecuación de la circunferencia centrada en el origen y que pasa por elpunto (2,2).
Halla la ecuación de una circunferencia sabiendo que uno de sus diámetrostiene por extremos los puntos A(-6,4) y B(-6,8).
Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(1,-1) que pasa por el puntoP(3,3). Halla los puntos de corte de dicha circunferencia con el eje deabscisas.
En la siguiente página del Proyecto Descartes puedes encontrar más información sobre lacircunferencia.
2.2. Mediatriz de un segmento
En la siguiente presentación se te muestra como en la geometría clásica se calcula lamediatriz de un segmento, al pulsar en la pantalla irás pasando de una diapositiva a otra.
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Dado un segmento delimitado por dos puntos: A y B, del plano, llamamosmediatriz de dicho segmento a la recta perpendicular al mismo cuyos puntosP(x,y) equidistan de los extremos, es decir; se cumple la siguiente condición:
Importante
En la siguiente escena de geogebra puedes variar los puntos A y B y ver cómo vacambiando la mediatriz del segmento que une a ambos así como la ecuación de la misma.El punto P que forma parte de la mediatriz, también lo puedes mover a lo largo de lamisma y comprobar que las distancias a los extremos del segmento (puntos A y B) semantienen constantes.
Fuente propia bajo Dominio público
Si no puedes ver bien la escena de geogebra accede a la siguiente página .
A la hora de resolver un problema de este tipo se procede de la siguiente forma:
Dados los puntos halla la mediatriz del segmentoformado por estos.
Dados los puntos halla la mediatriz del segmentoformado por estos.
Los siguientes ejercicios son de ampliación e incluyen la aplicación de conceptos vistos enapartados y temas anteriores.
Considera la recta r de ecuación y los puntos: .
1. Prueba que la recta que pasa por los puntos A y B es paralela a r.
2. Halla el área de un triángulo ABC sabiendo que el punto C estásituado sobre la recta r.
Dado el triángulo de vértices los puntos del plano A(-3,0), B(3,3) y C(-1,5).
1. Encuentra la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa porel punto C.
2. Encuentra la mediatriz del segmento de extremos A y B.
En la siguiente página del Proyecto Descartes puedes encontrar más informaciónreferente a la mediatriz de un segmento.
3. Representación gráfica de parábolas
Imagen en Flickr de Rodrigo_Soldon bajo CC
En este apartado vamos a estudiar unacurva de la familia de las cónicas perodentro del ámbito de la representacióngráfica de funciones. Se trata de laparábola. Esta curva se presenta en unaamplia variedad de fenómenos de lanaturaleza y tiene una fuerte presenciaen distintas áreas de conocimientorelacionadas con las ciencias, latecnología y las artes. De hecho nosestamos encontrando con ella decontinuo. La vemos en un partido defútbol, cuando contemplamos latrayectoria que sigue el balón hasta queentra en la portería, como podemosobservar en el vídeo de abajo. Tambiéncuando nos quedamos extasiados
contemplando el chorro de agua que mana de una fuente.
3.1. La función cuadrática
Una función cuadrática es aquella cuya expresión analítica general es dela forma :
Su gráfica es una parábola de eje vertical .
El coeficiente de , informa de la abertura de la parábola respecto aleje de ordenadas OY.
Si , la parábola está abierta hacia arriba.
Si la parábola está abierta hacia abajo.
Fuente propia realizada con GeoGebra bajo Dominio público
Vértice
El vértice de cualquier parábola de la forma es el punto ,siendo:
Importante
O sea, para la primera coordenada aplicamos la fórmula -b/2a y para la segunda,sustituimos en valor obtenido en la función y calculamos la imagen.
Los puntos de corte con el eje de abscisas son siendo las soluciones de la ecuación de segundo grado
Al aplicar la fórmula, si recuerdas, dentro de la raíz cuadrada aparecía b 2 -4ac, portanto, el número de soluciones y el número de puntos de corte depende del signo de estaoperación.
Si , la parábola
corta en dos puntos al eje OX
Si la parábola
corta en un punto al eje OX
Si
no corta al eje OX
Fuente propia con GeoGebra bajo Dominio público Fuente propia con GeoGebra bajo Dominio públicoFuente propia con GeoGebra ba
Una parábola se puede expresar en función de los puntos de corte con el eje de abscisasde la forma:
El punto de corte con el eje de ordenadas se obtiene haciendo es decir es
el punto
Fuente propia realizada con geogebra bajo Dominio público
Un caso particular de la función cuadrática es cuando hacemos b=0 y c=0 obteniendo la
forma simple:
En este caso el eje de la parábola coincide con el eje de ordenadas y el vértice seencuentra en el mismo.
Fuente propia realizada con GeoGebra bajo Dominio público
Las funciones cuadráticas tienen un dominio igual al conjunto de los reales, es decir, cualquier valor se puede sustituir en la función.
Si el coeficiente a es positivo ,
La función primero es decreciente
Importante
Fuente propia con GeoGebra bajo Dominio público
Fuente propia con GeoGebra bajo Dominio público
En el vértice tiene elmínimo absoluto
Después es creciente.
Su recorrido va desdeel valor del vértice hasta
, esto es
Si el coeficiente a esnegativo
La función primero escreciente
En el vértice tiene elmáximo absoluto
Después esdecreciente
Su recorrido va portanto desde el valor
hasta el delvértice, esto es
En ocasiones la función cuadrática se presenta en la forma:
, donde son las coordenadas del vértice de laparábola.
Esta forma es interesante porque dándoles distintos valores a podemos ver lasdistintas formas que adopta la parábola como se puede apreciar en la siguiente escena degeogebra. Mueve los deslizadores y podrás ver las variaciones queexperimenta la parábola así como las dos formas que puede adoptar la ecuación de la
Importante
misma.
Fuente propia bajo Dominio público
Si no puedes ver la siguiente escena puedes dirigirte a la siguiente página .
Puedes pasar la ecuación de una parábola de la forma a
de la siguiente forma:
Por lo tanto, igualando coeficientes tenemos que
Puedes hacer la conversión inversa, de a usandolas equivalencias que hemos obtenido más arriba.
En las siguientes actividades se pretende que aprendas como las distintas variaciones dea, h y s influyen en la forma y posición de la parábola.
El deslizador "a" va a representar un coeficiente por el que multiplicamos la x². Es decir,
mientras mantengamos h=s=0, vamos a representar la función .
Vuelve a dejar el deslizador a=1 y vamos a trabajar con h. Ese valor va a ser un número
que le vamos a restar a la variable, es decir, tendríamos la función .Como podrás apreciar, al mover el deslizador, esa h corresponde al valor del eje de laparábola. Recuerda que la gráfica es simétrica respecto de ese eje.
Ya has comprobado que restarle un número a la variable tiene el efecto de que la gráficase mueve horizontalmente, vamos a ver otro movimiento. Para ello vuelve a dejar h=0.
Ahora vamos a utilizar el valor de s. Esa cantidad se la vamos a sumar a la función, es
decir, la gráfica está preparada para representar la función .
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Mueve el deslizador "a" para ver el efecto que produce sobre la gráfica de lafunción y contesta si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.
a. Mientras más grande sea el valor de , en valor absoluto esdecir sin considerar el signo, más cerrada está la curvarespecto al eje vertical.
b. Si el coeficiente es negativo, la curva está abierta haciaabajo.
c. Si a vale cero no existe parábola.
d. Cuando a es positivo, el mínimo valor de la función seobtiene en el vértice.
Cuando le resto un número h a la variable en la función cuadrática, el efectoes que el eje de la parábola se traslada horizontalmente y por tanto toda lagráfica.
¿Hacia dónde se traslada la gráfica?
Pregunta Verdadero-Falso
¿Hacia dónde se traslada la gráfica de la función?
En esta página del proyecto Descartes puedes encontrar más información sobreparábolas.
3.2. Ejercicios de representación gráfica deparábolas
Imagen en Flickr de Artemedion bajo CC
El proceso a seguir para larepresentación de una funciónen la forma
es elsiguiente.
a. Cálculo del eje .
El eje de la parábola nosla da la expresión
.
b. Cálculo del vértice .
La abscisa del vértice ya latenemos pues es el valoranterior, para hallar laotra componente bastasustituir en la función yhallar su valor.
c. Cálculo de otrospuntos .
Una vez fijado el vértice,sólo nos falta saber cómose comporta la función enpuntos cercanos a él. Lousual es hallar los puntosde corte con los ejes yaque esos puntos nos danmucha información. Parahacer esto se procede dela siguiente forma:
1. Puntos de corte con el eje X.Resolvemos la ecuación ax^2+bx+c=0
Las soluciones que obtenemos son las abscisas de los puntos de
corte con el eje X.
2. Puntos de corte con el eje Y.
Hacemos en la función y obtenemos
. Por tanto el punto de corte con eje Y es
En el caso de que tengamos la función en la forma lospasos que daremos para hallar la representación gráfica son idénticos a losmencionados más arriba. No obstante, aquí podemos obtener directamente el
vértice de la parábola lo cual junto al signo del coeficiente a ya nospuede permitir crear un esbozo de la forma de la misma.
Importante
nº de semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
entregadohasta elmomento
Enviar
Imagen en Flickr de visualpanic bajo CC
Nuestro amigo Esteban está juntandodinero para comprarse un iPod. Depronto aparece una oferta y quiereaprovecharla, pero al hacer recuentoobserva que le faltan 100 euros.Consigue que su padre se los preste conel compromiso de devolvérselos. Comoal principio va a tener más problemashasta que empiece a ahorrar, le proponea su padre darle 1 euro la primerasemana, 3 la segunda, 5 la tercera y asísucesivamente hasta condonar ladeuda.
Rellena la siguiente tabla colocando encada celda lo que ha entregado hastaese momento a su padre, para así sabercuándo ha cubierto la deuda completa.
Atención: en la tabla no debes colocarlo que entrega cada semana sino lo queha entregado en total a su padre hastaese momento.
Si los valores que has obtenido en la tabla anterior los representamos en unos ejes decoordenadas, obtenemos la siguiente gráfica. La línea discontinua no tendría sentidodibujarla en este caso, sólo lo hacemos para que veas cuál es la evolución real de losvalores de la función.
Actividad de rellenar huecos
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Como ves por la tabla o la gráfica, a cada valor le corresponde precisamente su cuadrado.
En este caso podemos encontrar fácilmente su expresión algebraica que sería .
Imagen en Flickr de titoalfredo bajo CC
En una empresa que fabricaalfombras, tienen un determinadodiseño que solo fabrican enalfombras cuadradas. Puedenrealizar una alfombra de cualquiermedida, pero siempre cuadrada.Escribe la función que relaciona lamedida del lado de la alfombra con lasuperficie que va a cubrir esaalfombra.
a. La gráfica número corresponde a la función
b. La gráfica número corresponde a la función
c. La gráfica número corresponde a la función
d. La gráfica número corresponde a la función
Enviar
Completa los espacios en blanco indicando qué número de gráfica correspondea cada expresión analítica.
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Gráfica 1 Gráfica 2
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Gráfica 3 Gráfica 4
Explica de forma razonada cómo has resuelto la actividad anterior.
Imagen enFlickr de Alessandro Zilio bajo CC
Antonio, uno de los empleados deTRANS VELOX en Córdoba, tieneuna pequeña discoteca en el centrode la ciudad.
Un día que estuvo en la caseta,invitó al gerente a que se llegarapor la noche.
La discoteca abre sus puertas a lasnueve de la noche, sin ningúncliente, y las cierra cuando se hanmarchado todos.
Llamamos al número dehoras que está abierta la discotecae al número de clientes que
hay en cada momento. Suponemos que la expresión analítica que relaciona alnúmero de clientes con el número de horas que lleva abierta la discoteca es:
a. ¿Cuántos clientes tiene a las 10 de la noche? ¿Y a las 12?
b. ¿A qué horas hay en la discoteca 80 personas?
c. Dibuja la gráfica correspondiente a la expresión anterior.
d. Determina el número máximo de clientes que van un sábado por lanoche a la discoteca y a qué hora ocurre.
e. Un sábado que estuvo Ignacio había menos de 80 personas y más de50. ¿A qué hora estuvo?
f. ¿A qué hora cierra Antonio?
Vamos a considerar una de las funciones que viste en el apartado anterior quetuviese por ejemplo un coeficiente 2 multiplicando al cuadrado, como eje larecta y estuviese desplazada hacia arriba 4 unidades. La expresión
que vimos era
Utiliza los conocimientos adquiridos anterioemente y opera esa expresiónpara obtener una expresión más simplificada.
Representa la función realizando el estudio previo de losvalores importantes.
Imagen en Flickr de Sauce Babilonia bajo CC
El dueño de una papelería harecibido una remesa de bolígrafosdedicados a la serie de televisión ElInternado . Sabe que si los vende a3 euros puede vender unos 20ejemplares a la semana. Para ganarmás dinero decide subir los preciospero observa que por cada 50céntimos más que aumente el preciovende dos bolígrafos menos.
¿Cuál sería la función que relacionael número de veces que sube el
precio con el dinero que recauda por la venta? Representa gráficamente lafunción.
A la vista de la gráfica que has representado en el apartado anterior, ¿cuál esel precio que debe poner a los bolígrafos para obtener el máximo beneficio?¿Cuál será ese beneficio máximo?
Para practicar puedes utilizar las actividades que la profesora ConsolaciónRuiz propone en su página de Funciones polinómicas .
Para saber más
4. Apéndice
Fotografía en Flickr de S@Z bajo CC
4.1. Curiosidades
La medición de todo tipo de distancias es una práctica fundamental del serhumano desde el principio de los tiempos. Ya en la antiguedad Eratósteneslogró medir la circunferencia terrestre y mucho después, en 1838, FriedrichBessel obtuvo la primera medida de la distancia a la tierra de una estrella, la61 Cygni (11 años-luz). Hoy en día la medición de distancias la podemoshacer muy fácilmente a nivel geográfico utilizando aplicaciones como Googleearth.
Google Map también dispone de una herramienta para medir distancias, enesta página se te explica cómo hacerlo.
Una de las curvas en la cual el hombre ha encontrado más propiedades yaplicaciones es la parábola. Nos la podemos encontrar en los faros de loscoches o en nuestras cotidianas antenas parabólicas con las que podemosacceder a la televisión vía satélite.
En la siguiente escena de geogebra puedes ver la propiedad que tiene la curva
Curiosidad
Curiosidad
Fotografía en Flickr de Humanoide bajo CC
antena parabólica hacia un satéliteconcreto, todas las señalesprocedentes del mismo que sereflejan en su superficie seconcentran en el mismo punto,llamado foco de la parábola, que esdonde se encuentra la antenareceptora, facilitando la captación delas señales extremadamente débilesprocedentes de los satélites enórbita. Eso ocurre no solo con lasseñales de radio y televisión sino contodo tipo de elementos, como laspartículas de colores de la escena demás abajo, las cuales siguen una trayectoria paralela al eje de la parábola y alrebotar en la superficie de la misma se dirigen todas al mismo punto: el focode esta.
Si no puedes ver la anterior escena puedes acceder a la siguiente página .
Según antiguas leyendas esta propiedad de la parábola fue utilizada porArquímedes para quemar las velas de las galeras romanas que asediaban
Siracusa. Para ello creó grandes reflectores parabólicos que concentraban losrayos del sol en los barcos romanos provocando incendios en los mismos como
Fotografía en Flick de Kanijoman bajo CC
Otra curva de la familia de las cónicascuya presencia es fundamental enAstronomía es la elipse. Todos loscuerpos que giran alrededor del Soldescriben una trayectoria elíptica,como es el caso de Los objetospróximos a la tierra , los cualessuponen un riesgo para nuestroplaneta por la posibilidad de unacolisión con el mismo. En estesimulador de la NASA puedes ver las
órbitas de estos astros y determinar sialguno de ellos puede chocar o no connuestro mundo. Si preferimos mejorno pensar en el tema en este otrosimulador podemos ver las órbitas de
los principales satélites que giranalrededor de la tierra, las cuales, comono, también son elípticas.
Curiosidad
Fotografía en Flick de mato chan bajo CC
En la vida cotidiana hay untipo de curva que sueleconfundirse con la parábola yque también es muycorriente. Por ejemplo si tehas fijado en la carretera endos postes de luz o deteléfonos, la línea queforman los cables recibe elnombre de catenaria .
4.2. Para saber más
En otros temas de este curso te hemos hablado del programa gratuito degeometría dinámica Geogebra . En esta unidad este software te puederesultar especialmente útil para entender los conceptos que se explican en losdistintos temas que la componen. En el siguiente enlace tienes una relaciónde videotutoriales que te pueden resultar muy útiles para aprender a utilizareste programa.
El estudio de las cónicas ha sido una de las ramas de la geometría másfecunda en cuanto a sus múltiples aplicaciones en todos los campos de laciencia, la técnica y las artes. En esta presentación te exponemos como seaborda el estudio de esta familia de curvas.
Para saber más
Para saber más
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Fuente propia bajo Dominio público
Si no puedes ver la anterior presentación puedes acceder a la siguientepágina .
La Escuela de AtenasEL ESTUDIO DE LAS
CÓNICAS A LOLARGO DE LAHISTORIA (I)
Problemas como el dela duplicación del cubodieron lugar a laaparición de nuevasfiguras geométricas,como era el caso de lassecciones cónicas, quepermitían abordar losmismos mediante eluso de la regla y elcompás, como era
Para saber más
descubridor de laparábola y la hipérbola equilátera y no es hasta Aristeo (hacia 330 a. C.) queaparecen las cónicas como secciones planas de un cono circular.
Euclides
Imagen en Wikimedia Commons
de 5ko bajo Dominio Público
EL ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A LOLARGO DE LA HISTORIA (II)
Al parecer el Libro de los lugares sólidos deAristeo que trata de las secciones cónicasson continuación de los cuatro libros queEuclides (365 a. C. a 300 a. C.) escribiósobre las mismas. Libro quelamentablemente se ha perdido. Arquímedes(287-212 a. C.) también obtuvo interesantesprincipios sobre secciones cónicas en uno desus escritos titulado Cuadratura de laparábola donde expone numerosaspropiedades sobre las mismas.
EL ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A LO LARGO DE LA HISTORIA (III)
El estudio más completo sobre las cónicas lo culminó Apolonio de Perga(262-190 a. C.). Este famoso escrito constaba de 8 libros que son lossiguientes:
Libro IModos de obtención y propiedades fundamentales de las
cónicas. Incluye también teoremas sobre el trazado detangentes.
Libro IITeoría de los ejes principales, las asíntotas y los diámetros
conjugados.
Para saber más
Para saber más
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Libro IVDivisión armónica de rectas. Mayor núm
intersección y de contacto de dos seccio
Libro VSe resuelven problemas extremales: se
mínima distancia a las cónicas. Normal, curvatura.
Libro VI
Análisis del problema de semejanza de y la generalización del problema sobre lfamilia de conos que pasan a través de udada.
Libro VIISe investigan las cuestiones relacionad
de las longitudes de los diámetros conjuetc.
Libro VIIISe desconoce su contenido.
reconstrucción del texto extraviado inteproblemas próximos al material teórico
Detalle de La Escuela de Atenas
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de Yamara bajo Dominio Público
EL ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A LOLARGO DE LA HISTORIA (IV)
Hypathia (370-415 d. C.) recogió denuevo las principales propiedades deestas curvas en su libro: Sobre lascónicas de Apolonio . Otros autores queescribieron sobre la obra de Apoloniofueron: Pappus (siglo IV d. C.), SerenusAntissensis (IV), Eutoquio (VI),Abalphat de Ispahán (X), Abdomelek deChiraz (XIII).
Para saber más
Fray Luca Pacioli (1495)
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de Eugene a bajo Dominio Público
EL ESTUDIO DE LASCÓNICAS A LO LARGODE LA HISTORIA (V)
La obra de Apoloniocomienza a filtrarselentamente haciaOccidente por vía de lamatemática árabe. Elprimer texto griego de LasCónicas que aparece enOccidente es el queFrancisco Filelfo, nacido enTolentino en 1398, se trajode Constantinopla aVenecia en 1427. Laprimera versión al latín delos cuatro primeros librosde Las Cónicas fuerealizada por elmatemático Juan Bautista
Memo, en Venecia. Revela grandes lagunas en el conocimiento del griego,pero a pesar de ello, al morir Juan Bautista, un sobrino suyo, Juan MaríaMemo, editó la obra en 1537. En 1566, en Bolonia, Federico Commandinopublica una segunda traducción, mucho mejor, de los cuatro primeros libros,basada en los textos griegos. Una segunda edición de esta obra fue impresaen París en 1626.
EL ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A LO LARGO DE LA HISTORIA (VI)
Johannes Kepler (1571-1630) se dedico a estudiar el movimiento elíptico delos planetas. A partir de 1629 comienzan a conocerse en Occidente losprimeros manuscritos árabes de la obra de Apolonio, que contenían más librosque los hasta entonces conocidos. Borelli en 1659 publica los libros V, VI y VIIde Las Cónicas a partir de un manuscrito persa del matemático Abalphat deIspahán. En 1710 se publican los siete libros conservados de las Cónicasgracias a los esfuerzos de Gregory, profesor de geometría de Oxford, yEdmond Halley, este último autor de una edición príncipe de Las cónicas en1687.
Para saber más
Para saber más
Descartes
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de Dedden bajo Dominio Público
CÓNICAS A LO LARGO DE LAHISTORIA (VII)
Con Descartes, en su Geometríade 1637, el estudio de lascónicas toma un nuevo giro: sutratamiento analítico comolugares geométricos en elplano. Por su parte Pierre deFermat en 1629 ya habíarestaurado algunos trabajos deApolonio, estableciendoteoremas parciales sobresecciones cónicas. Utilizando lageometría en coordenadas a lamanera de Descartes. Tambiéncabe resaltar E. Torricelli(1608-1647) quien siguiendo aGalileo y Cavalieri investigósobre la parábola en el estudiode la caída de los graves, sobreel volumen de revoluciónengendrado por la hipérbola,sobre la cuadratura de la
parábola y sobre la caracterización de propiedades de las tangentes ahipérbolas y parábolas. Un nuevo impulso lo dio el arquitecto e ingeniero G.Desargues (1591-1661), quién se ocupó de las secciones cónicas de Apolonio.Aleccionado por los estudios matemáticos de Desarguez, Blaise pascal(1623-1662) realizó el descubrimiento de su conocido teorema sobre lasección cónica, más adelante, en 1648, sería autor de una extensa obra sobrelas cónicas.