matemáticas discretas - univalle · aplicar el algoritmo de euclides para encontrar mcd(91,287)...
TRANSCRIPT
![Page 2: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/2.jpg)
* Algoritmo de Euclides* Combinación lineal* Inverso de a mod m
![Page 3: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/3.jpg)
Algoritmo de Euclides
Teoría de números
public int mcd(int a, int b){x=a;y=b;int x, r;while (y != 0){
r= x mod y;x= y;y= r;
} return x;}
![Page 4: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/4.jpg)
Teoría de números
(300a.c - ?)
Euclides
• Matemático y geómetra griego
• Se le conoce como el padre de la geometría
![Page 5: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/5.jpg)
Teoría de números
Fragmento de Los elementosde Euclides escrito en papiro
![Page 6: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/6.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
Teoría de números
![Page 7: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/7.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
• 287 = 91 3 + 14
Teoría de números
![Page 8: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/8.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
• 287 = 91 3 + 14
91 = 14 ? + ?
Teoría de números
![Page 9: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/9.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
• 287 = 91 3 + 14
91 = 14 6 + 7
Teoría de números
![Page 10: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/10.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
• 287 = 91 3 + 14
91 = 14 6 + 7
14 = 7 ? + ?
Teoría de números
![Page 11: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/11.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
• 287 = 91 3 + 14
91 = 14 6 + 7
14 = 7 2 + 0
Teoría de números
![Page 12: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/12.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(287,91)
• 287 = 91 3 + 14
91 = 14 6 + 7
14 = 7 2 + 0
Se toma el último residuo diferente de 0, en este caso, mcd(287,91)=7
Teoría de números
![Page 13: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/13.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287)
Teoría de números
![Page 14: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/14.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287)
mcd(91,287)=7
• Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempredividiendo el mayor (287) entre el menor (91)
287 = 91 3 + 14
91 = 14 6 + 7
14 = 7 2 + 0
Teoría de números
![Page 15: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/15.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar:
• mcd(342,76)
Teoría de números
![Page 16: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/16.jpg)
• mcd(342,76)
342 = 76 4 + 38
76 = 38 2 + 0
• mcd(342,76) = 38
Teoría de números
![Page 17: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/17.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar:
• mcd(48,512)
Teoría de números
![Page 18: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/18.jpg)
• mcd(48,512)
512 = 48 10 + 32
48 = 32 1 + 16
32 = 16 2 + 0
• mcd(48,512) = 16
Teoría de números
![Page 19: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/19.jpg)
Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar:
• mcd(252,198)
Teoría de números
![Page 20: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/20.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
![Page 21: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/21.jpg)
Teorema: si a y b son enteros positivos, entonces existen enteros s y t tales que mcd(a,b)=a (s) + b (t)
Teoría de números
![Page 22: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/22.jpg)
Teorema: si a y b son enteros positivos, entonces existen enteros s y t tales que mcd(a,b)=a (s) + b (t)
Teoría de números
El mcd(a,b) se puede expresar como una combinación lineal de a y b
![Page 23: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/23.jpg)
mcd(252,198) = 18
Teoría de números
![Page 24: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/24.jpg)
mcd(252,198) = 18 = 252 x + 198 y
Teoría de números
![Page 25: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/25.jpg)
mcd(252,198) = 18 = 252 (4) + 198 (-5)
Teoría de números
![Page 26: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/26.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
![Page 27: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/27.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
54 = 252 – 198 1
36 = 198 - 54 3
18 = 54 - 36 1
Se despejan los residuos
![Page 28: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/28.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
54 = 252 – 198 1
36 = 198 - 54 3
18 = 54 - 36 1
Se reemplazan siempre en la ecuación que tiene al mcd
![Page 29: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/29.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
54 = 252 – 198 1
18 = 54 – (198 - 54 3) 1
![Page 30: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/30.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
54 = 252 – 198 1
18 = 54 – 198 1 + 54 3
![Page 31: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/31.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
54 = 252 – 198 1
18 = 54 4 – 198 1
![Page 32: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/32.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
54 = 252 – 198 1
18 = 54 4 – 198 1
![Page 33: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/33.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
18 = (252 – 198 1) 4 – 198 1
![Page 34: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/34.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
18 = 252 4 – 198 4 – 198 1
![Page 35: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/35.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
18 = 252 4 – 198 5
![Page 36: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/36.jpg)
• mcd(252,198)
252 = 198 1 + 54
198 = 54 3 + 36
54 = 36 1 + 18
36 = 18 2
• mcd(252,198) = 18
Teoría de números
18 = 252 (4) + 198 (-5)
![Page 37: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/37.jpg)
• Exprese el mcd(512,48)=16 como una combinación lineal
512 = 48 10 + 32
48 = 32 1 + 16
32 = 16 2 + 0
Teoría de números
![Page 38: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/38.jpg)
• Exprese el mcd(512,48)=16 como una combinación lineal
512 = 48 10 + 32
48 = 32 1 + 16
32 = 16 2 + 0
Teoría de números
32 = 512 – 48 10
16 = 48 – 32 1
![Page 39: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/39.jpg)
• Exprese el mcd(512,48)=16 como una combinación lineal
512 = 48 10 + 32
48 = 32 1 + 16
32 = 16 2 + 0
Teoría de números
16 = 48 – (512 – 48 10) 1
16 = 48 – 512 1 + 48 10
16 = 48 11 – 512 1
16 = 48 (11) + 512 (-1)
![Page 40: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/40.jpg)
• Exprese el mcd(322,51)=1 como una combinación lineal
322 = 51 6 + 16
51 = 16 3 + 3
16 = 3 5 + 1
3 = 1 3 + 0
Teoría de números
![Page 41: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/41.jpg)
• Exprese el mcd(322,51)=1 como una combinación lineal
322 = 51 6 + 16
51 = 16 3 + 3
16 = 3 5 + 1
3 = 1 3 + 0
Teoría de números
16 = 322 – 51 6
3 = 51 – 16 3
1 = 16 – 3 5
![Page 42: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/42.jpg)
• Exprese el mcd(322,51)=1 como una combinación lineal
322 = 51 6 + 16
51 = 16 3 + 3
16 = 3 5 + 1
3 = 1 3 + 0
Teoría de números
16 = 322 – 51 6
3 = 51 – 16 3
1 = 16 – 3 5
1 = 322 (16) + 51 (-101)
![Page 43: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/43.jpg)
• Exprese el mcd(235,37)=1 como una combinación lineal
235 = 37 6 + 13
37 = 13 2 + 11
13 = 11 1 + 2
11 = 2 5 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
![Page 44: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/44.jpg)
• Exprese el mcd(235,37)=1 como una combinación lineal
235 = 37 6 + 13
37 = 13 2 + 11
13 = 11 1 + 2
11 = 2 5 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
13 = 235 – 37 6
11 = 37 – 13 2
2 = 13 – 11 1
1 = 11 – 2 5
![Page 45: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/45.jpg)
• Exprese el mcd(235,37)=1 como una combinación lineal
235 = 37 6 + 13
37 = 13 2 + 11
13 = 11 1 + 2
11 = 2 5 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
13 = 235 – 37 6
11 = 37 – 13 2
1 = 11 – 13 5 + 11 5 = 11 6 – 13 5
![Page 46: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/46.jpg)
• Exprese el mcd(235,37)=1 como una combinación lineal
235 = 37 6 + 13
37 = 13 2 + 11
13 = 11 1 + 2
11 = 2 5 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
13 = 235 – 37 6
1 = 37 6 – 13 12 – 13 5 = 37 6 – 13 17
![Page 47: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/47.jpg)
• Exprese el mcd(235,37)=1 como una combinación lineal
235 = 37 6 + 13
37 = 13 2 + 11
13 = 11 1 + 2
11 = 2 5 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
1 = 37 6 – (235 – 37 6) 17
![Page 48: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/48.jpg)
• Exprese el mcd(235,37)=1 como una combinación lineal
235 = 37 6 + 13
37 = 13 2 + 11
13 = 11 1 + 2
11 = 2 5 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
1 = 37 6 – 235 17 + 37 102
1 = 37 108 – 235 17
1 = 37 (108) + 235 (-17)
![Page 49: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/49.jpg)
• Exprese el mcd(426,37) como una combinación lineal
mcd(426,37) = __ = 426 (__) + 37 (__)
Teoría de números
![Page 50: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/50.jpg)
El inverso de a mod m
• Dado a mod m, su inverso se denota como a
Teoría de números
![Page 51: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/51.jpg)
El inverso de a mod m
• Dado a mod m, su inverso se denota como a
• Se cumple que a a 1 (mod m)
Teoría de números
![Page 52: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/52.jpg)
El inverso de a mod m
• Dado a mod m, su inverso se denota como a
• Se cumple que a a 1 (mod m)
Teoría de números
Se tiene 3 mod 7
a = -2
Se puede verificar que:
(-2) 3 1 mod 7
![Page 53: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/53.jpg)
El inverso de a mod m
• Solo existe un inverso si mcd(a,m)=1
Teoría de números
![Page 54: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/54.jpg)
El inverso de a mod m
• Para encontrar a, calcule mcd(a,m), debe ser 1
• Exprese mcd(a,m)=1 como una combinación lineal
1 = a (s) + m (t)
• El coeficiente que acompaña a a, es decir s, es el inverso a
Teoría de números
![Page 55: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/55.jpg)
• Encuentre el inverso de 235 mod 37
Teoría de números
![Page 56: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/56.jpg)
![Page 57: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/57.jpg)
• mcd(235,37) = 1
• 1 = 235 (-17) + 37 (108)
Teoría de números
![Page 58: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/58.jpg)
• mcd(235,37) = 1
• 1 = 235 (-17) + 37 (108)
• -17 es el inverso de 235 mod 37
Teoría de números
![Page 59: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/59.jpg)
• Se puede verificar que
a a 1 (mod m)
ya que
-17 235 1 (mod 37)
-3995 1 (mod 37)
Teoría de números
![Page 60: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/60.jpg)
• Encuentre el inverso de 3 mod 7
Teoría de números
![Page 61: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/61.jpg)
• Encuentre el inverso de 3 mod 7
7 = 3 2 + 1
3 = 1 3 + 0
• Se verifica que mcd(7,3)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 7 – 3 2
1 = 3 (-2) + 7 (1)
• El inverso de 3 mod 7 es -2
Teoría de números
![Page 62: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/62.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 3
Teoría de números
![Page 63: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/63.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 3
7 = 3 2 + 1
3 = 1 3 + 0
• Se verifica que mcd(7,3)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 7 – 3 2
1 = 3 (-2) + 7 (1)
• El inverso de 7 mod 3 es 1
Teoría de números
![Page 64: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/64.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
Teoría de números
![Page 65: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/65.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
26 = 7 3 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(26,7)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
Teoría de números
![Page 66: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/66.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
26 = 7 3 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
5 = 26 – 7 3
2 = 7 – 5 1
1 = 5 – 2 2
![Page 67: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/67.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
26 = 7 3 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
5 = 26 – 7 3
1 = 5 – (7 – 5 1) 2 = 5 3 – 7 2
![Page 68: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/68.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
26 = 7 3 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
1 = (26 – 7 3) 3 – 7 2
![Page 69: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/69.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
26 = 7 3 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
Teoría de números
1 = 26 3 – 7 9 – 7 2 = 26 3 – 7 11
1 = 26 (3) + 7 (-11)
![Page 70: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/70.jpg)
• Encuentre el inverso de 7 mod 26
26 = 7 3 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
• Como 1 = 26 (3) + 7 (-11), el inverso de 7 mod 26 es -11
Teoría de números
1 = 26 3 – 7 9 – 7 2 = 26 3 – 7 11
1 = 26 (3) + 7 (-11)
![Page 71: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/71.jpg)
Encuentre el inverso de:
• 5 mod 7
Teoría de números
![Page 72: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/72.jpg)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(5,7)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
Teoría de números
![Page 73: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/73.jpg)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(5,7)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 5 (3) + 7 (-2)
Teoría de números
![Page 74: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/74.jpg)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(5,7)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 5 (3) + 7 (-2)
• El inverso de 5 mod 7 es 3
Teoría de números
![Page 75: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/75.jpg)
Encuentre el inverso de:
• 3 mod 17
Teoría de números
![Page 76: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/76.jpg)
• Encuentre el inverso de 3 mod 17
17 = 3 5 + 2
3 = 2 1 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(3,17)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
Teoría de números
![Page 77: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/77.jpg)
• Encuentre el inverso de 3 mod 17
17 = 3 5 + 2
3 = 2 1 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(3,17)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 3 (6) + 17 (-1)
Teoría de números
![Page 78: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/78.jpg)
• Encuentre el inverso de 3 mod 17
17 = 3 5 + 2
3 = 2 1 + 1
2 = 1 2 + 0
• Se verifica que mcd(3,17)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 3 (6) + 17 (-1)
• El inverso de 3 mod 17 es 6
Teoría de números
![Page 79: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/79.jpg)
>Encuentre el inverso de:
• 9 mod 32
Teoría de números
![Page 80: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/80.jpg)
• Encuentre el inverso de 9 mod 32
32 = 9 3 + 5
9 = 5 1 + 4
5 = 4 1 + 1
4 = 1 4 + 0
• Se verifica que mcd(9,32)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
Teoría de números
![Page 81: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/81.jpg)
• Encuentre el inverso de 9 mod 32
32 = 9 3 + 5
9 = 5 1 + 4
5 = 4 1 + 1
4 = 1 4 + 0
• Se verifica que mcd(9,32)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 9 (-7) + 32 (2)
Teoría de números
![Page 82: Matemáticas Discretas - Univalle · Aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar mcd(91,287) mcd(91,287)=7 • Para aplicar el algoritmo de Euclides se inicia siempre dividiendo](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040407/5ea740d75282a2173b1efbde/html5/thumbnails/82.jpg)
• Encuentre el inverso de 9 mod 32
32 = 9 3 + 5
9 = 5 1 + 4
5 = 4 1 + 1
4 = 1 4 + 0
• Se verifica que mcd(9,32)=1. Ahora se expresa como combinación lineal
1 = 9 (-7) + 32 (2)
• El inverso de 9 mod 32 es -7
Teoría de números