matemáticas discretas tc1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/1.jpg)
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 1/38
Matemáticas DiscretasTC1003
Inducción MatemáticaDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
![Page 2: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/2.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 2/38
Inducción Matemática: Historia
Inducción Matemática es unmétodo de prueba relativa-mente reciente: el primer usoconocido lo hizo el sacerdo-te italiano Francesco Mauroli-co (1494-1575) en su publica-ción “Arithmeticorum libri duo”(1575).
![Page 3: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/3.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 3/38
Inducción Matemática: Historia
En el siglo 17 tanto Piere deFermat como Blaise Pascal uti-lizaron inducción matemáticapara hacer demostraciones.
![Page 4: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/4.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 4/38
Inducción Matemática: Historia
En 1883 Augustus De Morganfue el primero que describió elproceso cuidadosamente y lenombró inducción matemática.
![Page 5: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/5.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminablede fichas de dominó.
![Page 6: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/6.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminablede fichas de dominó. Supon-ga que las fichas están estra-tegicamente colocadas de talforma que si cualquiera caye-ra hacia adelante tumbaría lasiguiente ficha hacia adelante.(Paso Inductivo)
![Page 7: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/7.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminablede fichas de dominó. Supon-ga que las fichas están estra-tegicamente colocadas de talforma que si cualquiera caye-ra hacia adelante tumbaría lasiguiente ficha hacia adelan-te. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera fichacae hacia adelante.(Base In-ductiva)
![Page 8: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/8.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminablede fichas de dominó. Supon-ga que las fichas están estra-tegicamente colocadas de talforma que si cualquiera caye-ra hacia adelante tumbaría lasiguiente ficha hacia adelan-te. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera fichacae hacia adelante.(Base In-ductiva)¿Qué pasará con las fichas dedominó?
![Page 9: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/9.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminablede fichas de dominó. Supon-ga que las fichas están estra-tegicamente colocadas de talforma que si cualquiera caye-ra hacia adelante tumbaría lasiguiente ficha hacia adelan-te. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera fichacae hacia adelante.(Base In-ductiva)¿Qué pasará con las fichas dedominó?¡Caerán todas!
![Page 10: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/10.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/38
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula,desigualdad, condición, etc) P(n) que está definidapara los enteros apartir de un entero fijo a (Paran = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . )
![Page 11: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/11.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/38
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula,desigualdad, condición, etc) P(n) que está definidapara los enteros apartir de un entero fijo a (Paran = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Supongaque las dos siguientes afirmaciones son ciertas:
![Page 12: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/12.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/38
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula,desigualdad, condición, etc) P(n) que está definidapara los enteros apartir de un entero fijo a (Paran = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Supongaque las dos siguientes afirmaciones son ciertas:■ P(a) es verdadero.
![Page 13: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/13.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/38
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula,desigualdad, condición, etc) P(n) que está definidapara los enteros apartir de un entero fijo a (Paran = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Supongaque las dos siguientes afirmaciones son ciertas:■ P(a) es verdadero.■ Para cualquier entero k mayor o igual que a:
Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto.
![Page 14: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/14.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/38
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula,desigualdad, condición, etc) P(n) que está definidapara los enteros apartir de un entero fijo a (Paran = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Supongaque las dos siguientes afirmaciones son ciertas:■ P(a) es verdadero.■ Para cualquier entero k mayor o igual que a:
Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto.
Entonces la afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
es verdadera.
![Page 15: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/15.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/38
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:
![Page 16: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/16.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/38
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.
![Page 17: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/17.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/38
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para
cualquier entero k ≥ a . . .
![Page 18: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/18.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/38
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para
cualquier entero k ≥ a . . .◆ suponiendoque P(k) es verdadera (Hipótesis
inductiva)
![Page 19: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/19.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/38
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para
cualquier entero k ≥ a . . .◆ suponiendoque P(k) es verdadera (Hipótesis
inductiva)◆ entonces muestreque P(k + 1) también es
verdadera.
![Page 20: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/20.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 8/38
Inducción Matemática: Ejemplo 1
Suponiendo como válidas las reglas de derivación
ddx
x = 1
y que
ddx
( f (x) · g(x)) = g(x) ·ddx
f (x) + f (x) ·ddx
g(x)
![Page 21: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/21.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 8/38
Inducción Matemática: Ejemplo 1
Suponiendo como válidas las reglas de derivación
ddx
x = 1
y que
ddx
( f (x) · g(x)) = g(x) ·ddx
f (x) + f (x) ·ddx
g(x)
Demuestre que para todo entero n ≥ 1
ddx
xn= n xn−1
![Page 22: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/22.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:
![Page 23: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/23.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1.
![Page 24: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/24.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La fórmula quedebemos demostrar para n = 1 queda:
ddx
x1= 1 x1−1
![Page 25: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/25.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La fórmula quedebemos demostrar para n = 1 queda:
ddx
x1= 1 x1−1
es decir,ddx
x = 1
pero esto es uno de los datos que tenemos en elproblema. Por tanto, la afirmación es cierta paran = 1.
![Page 26: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/26.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ddx
xk= k xk−1
![Page 27: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/27.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ddx
xk= k xk−1
Mostremos que entonces se cumple:
ddx
xk+1= (k + 1) xk+1−1
= (k + 1) xk
(La igualdad anterior se debe probar)
![Page 28: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/28.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ddx
xk= k xk−1
Mostremos que entonces se cumple:
ddx
xk+1= (k + 1) xk+1−1
= (k + 1) xk
(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemoscon el lado izquierdo de la igualdad que queremosdemostrar y hagamos un truco matemático:
![Page 29: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/29.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ddx
xk= k xk−1
Mostremos que entonces se cumple:
ddx
xk+1= (k + 1) xk+1−1
= (k + 1) xk
(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemoscon el lado izquierdo de la igualdad que queremosdemostrar y hagamos un truco matemático:
ddx
xk+1=
ddx
(
xk · x)
![Page 30: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/30.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/38
Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:
![Page 31: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/31.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/38
Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:
ddx
xk+1=
ddx
(
xk · x)
= xddx
xk+ xk d
dxx
![Page 32: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/32.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/38
Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:
ddx
xk+1=
ddx
(
xk · x)
= xddx
xk+ xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva ddx xk= k xk−1, entonces
tenemos que la igualdad anterior queda:
![Page 33: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/33.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/38
Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:
ddx
xk+1=
ddx
(
xk · x)
= xddx
xk+ xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva ddx xk= k xk−1, entonces
tenemos que la igualdad anterior queda:
ddx
xk+1= x
ddx
xk+ xk d
dxx = x·k xk−1
+ xk · 1
![Page 34: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/34.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/38
Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:
ddx
xk+1=
ddx
(
xk · x)
= xddx
xk+ xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva ddx xk= k xk−1, entonces
tenemos que la igualdad anterior queda:
ddx
xk+1= x
ddx
xk+ xk d
dxx = x·k xk−1
+ xk · 1
Si hacemos álgebra en el lado derechoobtenemos:
![Page 35: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/35.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/38
Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:
ddx
xk+1=
ddx
(
xk · x)
= xddx
xk+ xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva ddx xk= k xk−1, entonces
tenemos que la igualdad anterior queda:
ddx
xk+1= x
ddx
xk+ xk d
dxx = x·k xk−1
+ xk · 1
Si hacemos álgebra en el lado derechoobtenemos:
ddx
xk+1= (k + 1) xk
![Page 36: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/36.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/38
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Portanto hemos probado que si d
dx xk= k xk−1 es
verdadera, entonces ddx xk+1
= (k + 1) xk es tambiénverdadera.
![Page 37: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/37.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/38
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Portanto hemos probado que si d
dx xk= k xk−1 es
verdadera, entonces ddx xk+1
= (k + 1) xk es tambiénverdadera.Es decir, hemos probado el paso inductivo.
![Page 38: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/38.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/38
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Portanto hemos probado que si d
dx xk= k xk−1 es
verdadera, entonces ddx xk+1
= (k + 1) xk es tambiénverdadera.Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el pasoinductivo, el principio de inducción matemáticadice que la afirmación es cierta:
![Page 39: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/39.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/38
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Portanto hemos probado que si d
dx xk= k xk−1 es
verdadera, entonces ddx xk+1
= (k + 1) xk es tambiénverdadera.Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el pasoinductivo, el principio de inducción matemáticadice que la afirmación es cierta:
Para todo entero n ≥ 1,ddx
xn= n xn−1
.
![Page 40: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/40.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/38
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2n + 1 ≤ 2n
![Page 41: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/41.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/38
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2n + 1 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:
![Page 42: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/42.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/38
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2n + 1 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 3.
![Page 43: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/43.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/38
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2n + 1 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 3. La desigualdadque debemos demostrar para n = 3 queda:
2 · 3+ 1 ≤ 23
![Page 44: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/44.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/38
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2n + 1 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 3. La desigualdadque debemos demostrar para n = 3 queda:
2 · 3+ 1 ≤ 23
es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero.
![Page 45: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/45.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/38
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2n + 1 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 3. La desigualdadque debemos demostrar para n = 3 queda:
2 · 3+ 1 ≤ 23
es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero. Por tanto,la afirmación es cierta para n = 3.
![Page 46: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/46.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquierase cumple:
2k + 1 ≤ 2k
![Page 47: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/47.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquierase cumple:
2k + 1 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
![Page 48: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/48.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquierase cumple:
2k + 1 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)Trabajemos con el lado izquierdo de ladesigualdad que queremos demostrar:
![Page 49: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/49.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquierase cumple:
2k + 1 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)Trabajemos con el lado izquierdo de ladesigualdad que queremos demostrar:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2
![Page 50: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/50.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2
![Page 51: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/51.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2
![Page 52: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/52.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
![Page 53: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/53.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k
![Page 54: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/54.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
![Page 55: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/55.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
![Page 56: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/56.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
![Page 57: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/57.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo.
![Page 58: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/58.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/38
Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k
+ 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:
Para cualquier entero n ≥ 3, 2n + 2 ≤ 2n
![Page 59: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/59.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 16/38
Note que en la demostración anterior hemoshecho uso de lo siguiente:■ Si A ≤ B, entonces A +C ≤ B +C.■ Si A ≤ B y B ≤ C, entonces A ≤ C.
![Page 60: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/60.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/38
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
![Page 61: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/61.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/38
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:
![Page 62: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/62.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/38
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 4.
![Page 63: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/63.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/38
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 4. La desigualdadque debemos demostrar para n = 4 queda:
42 ≤ 24
![Page 64: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/64.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/38
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 4. La desigualdadque debemos demostrar para n = 4 queda:
42 ≤ 24
es decir, 16≤ 16, pero esto es verdadero.
![Page 65: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/65.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/38
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 4. La desigualdadque debemos demostrar para n = 4 queda:
42 ≤ 24
es decir, 16≤ 16, pero esto es verdadero. Portanto, la afirmación es cierta para n = 4.
![Page 66: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/66.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 18/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquierase cumple:
k2 ≤ 2k
![Page 67: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/67.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 18/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquierase cumple:
k2 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
![Page 68: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/68.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 18/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquierase cumple:
k2 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)Trabajemos con el lado izquierdo de ladesigualdad que queremos demostrar:
![Page 69: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/69.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 18/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquierase cumple:
k2 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)Trabajemos con el lado izquierdo de ladesigualdad que queremos demostrar:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1
![Page 70: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/70.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1
![Page 71: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/71.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1
![Page 72: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/72.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
![Page 73: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/73.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k
![Page 74: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/74.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
![Page 75: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/75.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
![Page 76: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/76.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
![Page 77: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/77.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo.
![Page 78: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/78.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/38
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como parak ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k
+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k
= 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:
Para cualquier entero n ≥ 4, n2 ≤ 2n
![Page 79: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/79.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 20/38
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1+ 2+ · · · + n =k∑
i=1
i =n(n + 1)
2
![Page 80: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/80.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 20/38
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1+ 2+ · · · + n =k∑
i=1
i =n(n + 1)
2
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:
![Page 81: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/81.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 20/38
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1+ 2+ · · · + n =k∑
i=1
i =n(n + 1)
2
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1.
![Page 82: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/82.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 20/38
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1+ 2+ · · · + n =k∑
i=1
i =n(n + 1)
2
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La igualdad quedebemos demostrar para n = 1 queda:
1∑
i=1
i = 1 =1 · (1+ 1)
2= 1
![Page 83: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/83.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 21/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
![Page 84: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/84.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 21/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
Mostremos que entonces se cumple:
![Page 85: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/85.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 21/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
Mostremos que entonces se cumple:
LHS =k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 1+ 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
(La igualdad anterior se debe probar)
LHS =k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i
+ k + 1
![Page 86: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/86.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 22/38
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior
queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i
+ k + 1
![Page 87: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/87.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 22/38
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior
queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
![Page 88: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/88.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 22/38
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior
queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Haciendo álgebra tenemos:
k(k + 1)2
+ k + 1
![Page 89: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/89.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 22/38
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior
queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Haciendo álgebra tenemos:
k(k + 1)2
+ k + 1 =k(k + 1)+ 2(k + 1)
2
![Page 90: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/90.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 22/38
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior
queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Haciendo álgebra tenemos:
k(k + 1)2
+ k + 1 =k(k + 1)+ 2(k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
![Page 91: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/91.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 23/38
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
![Page 92: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/92.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 23/38
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
![Page 93: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/93.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 23/38
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo.
![Page 94: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/94.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 23/38
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:
Para cualquier entero n ≥ 1,n∑
i=1
i =n(n + 1)
2
![Page 95: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/95.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 24/38
Inducción Matemática: Ejemplo 5
Suponga una sucesión de números a1, a2, a3,. . . que cumplen la siguientes reglas:■ Regla 1: a1 = 1, y■ Regla 2: an+1 = 2an + 1 para n ≥ 1.
![Page 96: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/96.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 24/38
Inducción Matemática: Ejemplo 5
Suponga una sucesión de números a1, a2, a3,. . . que cumplen la siguientes reglas:■ Regla 1: a1 = 1, y■ Regla 2: an+1 = 2an + 1 para n ≥ 1.Pruebe que la fórmula para los números an paran ≥ 1 es:
an = 2n − 1
![Page 97: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/97.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:
![Page 98: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/98.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1.
![Page 99: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/99.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La igualdad quedebemos demostrar para n = 1 queda:
a1 = 21 − 1 = 1
![Page 100: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/100.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La igualdad quedebemos demostrar para n = 1 queda:
a1 = 21 − 1 = 1
pero esto es verdadero por la regla 1.
![Page 101: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/101.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/38
DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La igualdad quedebemos demostrar para n = 1 queda:
a1 = 21 − 1 = 1
pero esto es verdadero por la regla 1. Por tanto,la afirmación es cierta para n = 1.
![Page 102: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/102.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 26/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ak = 2k − 1
![Page 103: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/103.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 26/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ak = 2k − 1
Mostremos que entonces se cumple:
ak+1 = 2k+1 − 1
(La igualdad anterior se debe probar)
![Page 104: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/104.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 26/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
ak = 2k − 1
Mostremos que entonces se cumple:
ak+1 = 2k+1 − 1
(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemoscon el lado izquierdo de la igualdad que queremosdemostrar: por la regla 2:
ak+1 = 2ak + 1
![Page 105: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/105.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1
![Page 106: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/106.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k − 1) + 1
![Page 107: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/107.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
![Page 108: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/108.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
![Page 109: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/109.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
![Page 110: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/110.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo.
![Page 111: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/111.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/38
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anteriorqueda:
ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:
Para cualquier entero n ≥ 1, an = 2n − 1
![Page 112: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/112.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
![Page 113: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/113.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x float
![Page 114: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/114.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x floatif (n = 1) then[a] return(A[1])
![Page 115: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/115.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x floatif (n = 1) then[a] return(A[1])else[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))
![Page 116: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/116.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x floatif (n = 1) then[a] return(A[1])else[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))end ifend proc
![Page 117: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/117.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x floatif (n = 1) then[a] return(A[1])else[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))end ifend proc
![Page 118: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/118.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/38
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x floatif (n = 1) then[a] return(A[1])else[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))end ifend proc
![Page 119: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/119.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 29/38
Afirmación para n ≥ 1:
SD(A, n, x) =∑n
i=1 A[i]xn−i
= A[n] + A[n − 1] x1+ · · · + A[1] xn−1
![Page 120: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/120.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 29/38
Afirmación para n ≥ 1:
SD(A, n, x) =∑n
i=1 A[i]xn−i
= A[n] + A[n − 1] x1+ · · · + A[1] xn−1
y su ejecución se realiza con 2(n − 1) FLOPs.
![Page 121: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/121.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 30/38
DemostracionBase inductiva:
![Page 122: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/122.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 30/38
DemostracionBase inductiva:Debemos demostrar que para n = 1 el programaregresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i= A[1] x1−1
= A[1].
![Page 123: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/123.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 30/38
DemostracionBase inductiva:Debemos demostrar que para n = 1 el programaregresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i= A[1] x1−1
= A[1].
Pero esto es verdadero, pues el programa paran = 1 sale por la línea [a] entregando esto.
![Page 124: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/124.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 30/38
DemostracionBase inductiva:Debemos demostrar que para n = 1 el programaregresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i= A[1] x1−1
= A[1].
Pero esto es verdadero, pues el programa paran = 1 sale por la línea [a] entregando esto.Además, como no realiza ninguna operación depunto flotante se coincide con la fórmula para elnúmero de FLOPs invertidos: 2 (1− 1) = 0.
![Page 125: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/125.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 30/38
DemostracionBase inductiva:Debemos demostrar que para n = 1 el programaregresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i= A[1] x1−1
= A[1].
Pero esto es verdadero, pues el programa paran = 1 sale por la línea [a] entregando esto.Además, como no realiza ninguna operación depunto flotante se coincide con la fórmula para elnúmero de FLOPs invertidos: 2 (1− 1) = 0. Portanto, la afirmación es cierta para n = 1.
![Page 126: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/126.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 31/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
SD(A, k, x) =k∑
i=1
A[i]xk−i
Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs.
![Page 127: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/127.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 31/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
SD(A, k, x) =k∑
i=1
A[i]xk−i
Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
![Page 128: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/128.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 31/38
Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:
SD(A, k, x) =k∑
i=1
A[i]xk−i
Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y que lo hace en 2(k + 1− 1) = 2k FLOPs.
![Page 129: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/129.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/38
Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1:
![Page 130: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/130.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/38
Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1.
![Page 131: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/131.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/38
Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1. Por lotanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando:
![Page 132: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/132.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/38
Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1. Por lotanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)
![Page 133: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/133.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/38
Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1. Por lotanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)
Por la hipótesis inductiva:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×k∑
i=1
A[i]xk−i
![Page 134: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/134.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/38
Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1. Por lotanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)
Por la hipótesis inductiva:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×k∑
i=1
A[i]xk−i
Por propiedades matemáticas lo anterior queda:
SD(A, k + 1, x) = A[n] +k∑
i=1
A[i]xk+1−i=
k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
![Page 135: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/135.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/38
Además, haciendo en conteo de las operacionesrealizadas
![Page 136: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/136.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/38
Además, haciendo en conteo de las operacionesrealizadas■ la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y
![Page 137: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/137.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/38
Además, haciendo en conteo de las operacionesrealizadas■ la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y■ la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una
suma y una multiplicación.
![Page 138: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/138.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/38
Además, haciendo en conteo de las operacionesrealizadas■ la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y■ la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una
suma y una multiplicación.Es decir, que el número de operacionesinvolucradas serán
2(k − 1)+ 2 = 2k
![Page 139: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/139.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/38
Además, haciendo en conteo de las operacionesrealizadas■ la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y■ la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una
suma y una multiplicación.Es decir, que el número de operacionesinvolucradas serán
2(k − 1)+ 2 = 2k
Esto es exactamente lo que se quería demostrar.
![Page 140: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/140.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva,
![Page 141: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/141.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k,
![Page 142: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/142.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k, elprograma ejecutado para n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
![Page 143: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/143.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k, elprograma ejecutado para n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1− 1) FLOPs.
![Page 144: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/144.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k, elprograma ejecutado para n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1− 1) FLOPs. Lo que esexactamente la afirmación para n = k + 1.
![Page 145: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/145.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k, elprograma ejecutado para n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1− 1) FLOPs. Lo que esexactamente la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo.
![Page 146: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/146.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/38
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k, elprograma ejecutado para n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1− 1) FLOPs. Lo que esexactamente la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera para enteros n ≥ 1.
![Page 147: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/147.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 35/38
Inducción Matemática Fuerte
El principio de Inducción Matemática tiene unaformulación diferente conocida como el Principiode Inducción Matemática Fuerte:Suponga que las dos siguientes afirmaciones sonciertas:■ P(a) es verdadero.■ Para cualquier entero k mayor o igual que a: Si∀i, a ≤ i ≤ k, P(i) es cierto, entonces P(k + 1) escierto.
Entonces la afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
es verdadera.
![Page 148: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/148.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 36/38
Inducción Fuerte: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:
![Page 149: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/149.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 36/38
Inducción Fuerte: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.
![Page 150: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/150.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 36/38
Inducción Fuerte: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para
cualquier entero k ≥ a . . .
![Page 151: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/151.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 36/38
Inducción Fuerte: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para
cualquier entero k ≥ a . . .◆ suponiendoque P(s) es verdadera para toda
a ≤ s ≤ k (Hipótesis inductiva)
![Page 152: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/152.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 36/38
Inducción Fuerte: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n)
Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para
cualquier entero k ≥ a . . .◆ suponiendoque P(s) es verdadera para toda
a ≤ s ≤ k (Hipótesis inductiva)◆ entonces muestreque P(k + 1) también es
verdadera.
![Page 153: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/153.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 37/38
Inducción Matemática: Ejemplo 7
Considere el programa:Pow(float x, int n)
if (n = 1) thenreturn (x);
end if;if (n es par) then
return (Pow(x*x,n/2));end if;return ( x*Pow(x*x,(n-1)/2);
end proc
Afirmación: Para todo entero n ≥ 1, Pow(x,n)entrega xn y el total de multiplicaciones de puntoflotante realizadas es menor o igual que2 · ⌊log2(n)⌋
![Page 154: Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-042.pdf · 2011-03-08 · Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/38 Inducción Matemática: Idea](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050409/5f863a1674199421b63b43a2/html5/thumbnails/154.jpg)
HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Induccion FuerteMetodo 2Ejemplo 7Ejemplo 8
Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 38/38
Inducción Matemática: Ejemplo 8
Considere el programa:BB(int x[], int n, int m, int llave)
casiMitad = n + (m-n)/2;if (x[casiMitad] =∗ llave) then
return (casiMitad);end if;if (x[casiMitad] >∗ llave) then
return (BB(x,n,casiMitad-1,llave);end if;return (BB(x,casiMitad+1,m,llave); end proc
Afirmación: Para todo entero n ≥ 0, BB(x,k,k + n,llave) entrega la
posición de llave en el arreglo ordenando x de menor a mayor que
ocupa llave y el número de comparaciones que realiza
(verificaciones de igualdad de llave o de verificación de llave menor
o igual como =∗ o como >∗) es menor o igual que 2 · ⌈log2(n + 1)⌉