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COLEGIO DE BACHILLERES

SECRETARÍA ACADÉMICA

COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO

COMPENDIO FASCICULAR

MATEMÁTICAS I

FASCÍCULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN

AL ALGEBRA FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE

ALGEBRAICO: EXPRESIONES

ALGEBRAICAS FASCÍCULO 3. ECUACIONES: MODELOS

GENERALIZADORES

DIRECTORIO Roberto Castañón Romo Director General Luis Miguel Samperio Sánchez Secretario Académico Héctor Robledo Galván Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto

Derechos reservados conforme a la Ley © 2000, COLEGIO DE BACHILLERES Prolongación Rancho Vista Hermosa núm. 105 Col. Ex Hacienda Coapa Delegación Coyoacán, CP 04920, México, D.F. ISBN 970-632-202-7 Impreso en México Printed in México Primera edición:3000

P R E S E N T A C I Ó N G E N E R A L

El Colegio de Bachilleres en respuesta a la inquietud de los estudiantes por contar con materiales impresos que faciliten y promuevan el aprendizaje de los diversos campos del saber, ofrece a través del Sistema de Enseñanza Abierta este compendio fascicular; resultado de la participación activa, responsable y comprometida del personal académico, que a partir del análisis conceptual, didáctico y editorial aportaron sugerencias para su enriquecimiento y así aunarse a la propuesta educativa de la Institución. Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa del Sistema de Enseñanza Abierta a sumarse a este esfuerzo y utilizar el presente material para mejorar su desempeño académico.

PRESENTACIÓN DEL COMPENDIO FASCICULAR

. Estudiante del Colegio de Bachilleres te presentamos este compendio fascicular que servirá de base en el estudio de la asignatura “Matemáticas I” y funcionará como guía en tu proceso de Enseñanza-Aprendizaje. Este compendio fascicular tiene la característica particular de presentarte la información de manera accesible, propiciando nuevos conocimientos, habilidades y actitudes que te permitirán el acceso a la actividad académica, laboral y social. Cuenta con una presentación editorial integrada por fascículos, capítulos y temas que te permitirán avanzar ágilmente en el estudio, comprensión y aplicación de los diferentes métodos y lenguajes matemáticos, enfocados al estudio y solución de fenómenos o problemas, así como en el descubrimiento de la utilidad de las matemáticas para conocimiento de la realidad.

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MATEMÁTICAS I

FASCÍCULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL

ÁLGEBRA

Autores: Raúl E. de la Rosa Macías

Ma. Guadalupe Lucio

Javier Páez

Alejandro Rosas Snell

Juan Zúñiga Contreras

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INTRODUCCIÓN SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL

ÁLGEBRA

PROPÓSITO

1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES

1.1.1 ORÍGENES DE ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS PARA OPERAR CON

NÚMEROS DE DIFERENTES SISTEMAS 1.1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y

ALGORITMOS DE LOS NÚMEROS REALES (R ) 1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z ) 1.1.5 LOS NÚMEROS RACIONALES (Q ) 1.1.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES (Q’ ) 1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

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Í N D I C E

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RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACIÓN

CAPÍTULO 2. DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA

PROPÓSITO

2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS

2.1.1 MÉTODO POR ENSAYO Y ERROR 2.1.2 RAZONES Y PROPORCIONES 2.1.3 DIAGRAMAS DE OPERACIONES

2.2 MODELOS ALGEBRAICOS

RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACIÓN

RECAPITULACIÓN GENERAL ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN AUTOEVALUACIÓN ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN GLOSARIO

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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

La Aritmética, como elemento de la cultura matemática se desarrolló a partir de la necesidad de operar con números, si bien es imposible establecer con exactitud el momento en el cual esta necesidad se generalizó podemos afirmar que, en la actualidad, una gran parte de las disciplinas científicas y de las actividades cotidianas tiene que ver con el conocimiento matemático, por lo menos en sus aspectos básicos, sólo por mencionar algunos ejemplos: en el cálculo de áreas, si queremos construir una casa, en los estados financieros y contables de las empresas, en las estadísticas de distintos fenómenos, en la información periodística, de noticias en la radio y televisión, etc. Al plantear las reflexiones anteriores, nos introducimos al desarrollo de algunos métodos, algoritmos y procedimientos que nos permite comprender la importancia de adquirir un nivel eficaz de operatividad con los números, para facilitar así la resolución de problemas aritméticos y algebraicos, para este fascículo se estudiará. En el primer capítulo una breve semblanza sobre el origen de algunos sistemas de numeración, además aprenderás a desarrollar la operatividad de los números reales con signos de agrupación con base enlas experiencias que tienes sobre el conocimiento y manejo de las operaciones fundamentales de la aritmética. En el segundo capítulo estudiarás Métodos Aritméticos y Algebraicos que te ayudarán en la solución de problemas. A continuación encontrarás un diagrama temático estructural cuya función es que conozcas e identifiques los puntos que vas a estudiar.

INTRODUCCIÓN

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NÚMEROS REALES

APLICANDO LAS PROPIEDADES DE CAMPO

SUPRIMIENDO SIGNOS DE AGRUPACIÓN

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

LOS MODELOS ALGEBRAICOS

para resolver operaciones

y resolver

para generalizar

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A continuación se enlistan los símbolos que vas a utilizar para este fascículo: FR = Conjunto de números reales Q = Conjunto de los números racionales Q= Conjunto de los números irracionales Z = Conjunto de los números enteros Z+= Conjunto de números enteros positivos Z-= Conjunto de números enteros negativos IN = Conjunto de los números naturales

SIMBOLOGÍA

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ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES

1.1.1 Orígenes de Algunos Sistemas de Numeración 1.1.2 Métodos y Algoritmos para Operar con Números de

Diferentes Sistemas. 1.1.3 Propiedades de las Operaciones y Algoritmos de los

Números Reales (R ) 1.1.4 Los Números Enteros (Z ) 1.1.5 Los Números Racionales (Q ) 1.1.6 Los Números Irracionales (Q’)

1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

CAPÍTULO 1

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Con el estudio de este capítulo operarás con los números reales y aplicarás las propiedades de sus operaciones que ya conoces. ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO LOGRARÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

A identificar métodos, técnicas y procedimientos que te faciliten resolver problemas de carácter numérico.

Por medio de un breve bosquejo histórico del surgimiento de algunos sistemas numéricos y su relación con la necesidad de contar y medir que la humanidad ha enfrentado, además conocer las características principales de estos sistemas nos permitirá observar las ventajas de utilizar el sistema decimal para presentar y operar con los números reales.

Para resolver operaciones con mayor rapidez y eficacia, esto con la finalidad de que reflexiones acerca del uso de las propiedades de las operaciones, como éstas que simplifican el trabajo operativo, y además nos permiten establecer algoritmos. También desarrollarás habilidades que te ayudarán a iniciar el estudio del álgebra.

PROPÓSITO

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CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES En este tema estudiarás las principales características de algunos sistemas numéricos como: El egipcio, el romano, el maya y el decimal, así como algunos métodos y algoritmos para ejercitar las propiedades de los números reales y la elaboración de operaciones con el conjunto de los números enteros, racionales, irracionales y reales. 1.1.1 ORÍGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMÉRICOS ¿Te has preguntado alguna vez cuántas operaciones aritméticas has realizado desde que ingresaste a la escuela primaria?, o más fácil, ¿cuántas habrás hecho durante este día? Quizá te parezca ocioso calcular. ¿Cuántas veces late nuestro corazón durante nuestra vida? o, ¿cuántos Kilómetros habremos recorrido desde que aprendimos a caminar? y ¿cuántas preguntas hemos planteado en este párrafo? Es extraño para ti que un escrito comience con tantas preguntas; en realidad lo que pretendemos es que reflexionemos juntos acerca de que el proceso de operar con números, aun sin darnos cuenta, forma parte de nuestra experiencia diaria. Los símbolos numéricos que conoces y utilizas en tu vida diaria surgieron, en primera instancia, como una necesidad de expresar cantidades, así como las palabras expresan objetos o ideas.

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Para ello el hombre utilizó símbolos muy rudimentarios como marcas en troncos de árboles o sobre bastoncillos, cuerdas con nudos, etc.; el manejo de estos símbolos fue inoperante por ejemplo: para representar el 10 lo hacían de la siguiente manera (IIIIIIIIII) o agrupaban (|||| |||| ). Al enfrentar la necesidad de representar con pocos símbolos un mayor número de objetos hizo posible el surgimiento de los sistemas de numeración.

1o. Contar y medir Expresar con símbolos

Los sistemas de numeración de la antigüedad más conocidos fueron el egipcio (a base de punto y rayas), el romano (que utilizaba signos en forma de cuña o cuneiformes) y el maya (con puntos y rayas), de los cuales te damos algunos ejemplos en el siguiente cuadro.

Indo-arábigo Egipcio Griego Maya Romano 1 I

2 II

3 III

4 IV

5 III II __ V

6 III III F . VI

7 IIII III .. VII

8 IIII IIII ... VIII

9 .... IX

10 X

100 P C

En el sistema maya, como se observa en el cuadro, cada símbolo representa un valor y de éstos se conservan dos características importantes: primero el valor que representa el símbolo y, segundo, el agrupamiento de los símbolos, para denotar cantidades mayores; ejemplos: En el sistema maya se agrupaba en forma vertical así cinco y uno para obtener seis en esta forma de agrupar se suman los valores de los símbolos.

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Numerales indoarábigos: Los símbolos numéricos que utilizamos actualmente se originaron en la India, pero se atribuye a los árabes su difusión por Europa, por lo cual se le conoce con el nombre de sistema indoarábigo. Originalmente el sistema hindú contaba con los dígitos del uno al nueve, pues el concepto de cero apareció mucho después; sólo dos culturas antiguas denotaron al cero con un símbolo especial: el maya y la hindú, ésta última utilizó un símbolo llamado Sunya para expresar lugares vacíos; los árabes tradujeron la palabra Sunya por Sifer, la cual al ser latinizada cambió a Céfiro, de donde se originó la palabra Cero. Actualmente, el sistema indoarábigo que se utiliza usa diez símbolos (dígitos) para representar los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos dígitos se combinan en un sistema posicional para representar cualquier cantidad; esto quiere decir que se le asigna un valor al dígito según la posición que ocupa, y, viceversa, por la posición del dígito se sabe cuántas unidades, decenas, centenas, etc., contiene la cantidad representada por un número. Además del valor que se le asigna a un dígito, este sistema (indoarábigo) se caracteriza por agrupar de diez en diez; en este sentido, 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así, sucesivamente; por esta razón se dice que nuestra numeración es decimal o de base 10 y posicional. Otros sistemas existentes son: sistema binario o de base 2, sistema de base 4, 5, 7. . . . . En el siguiente ejemplo veremos cómo se le asigna valor a un dígito según su posición. El número 5555 está formado por un mismo símbolo en diferentes lugares; es decir, tiene 5 unidades, 5 decenas, 5 centenas y 5 unidades de millar. 5 5 5 5 5 x 1 = 5 5 x 10 = 50 5 x 100 = 500 5 x 1000 = 5000 total = 5555 = 5000 + 500 + 50 + 5. Usualmente los números naturales se escriben representados en esta forma 4375, 408, 59. Si nos preguntamos, ¿realmente qué significa 4375?, lo averiguaremos al leer el número así: cuatro mil trescientos setenta y cinco. Este número 4375 puede escribirse en forma desarrollada: 4375 = 4 x 1000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 5 ó bien 4375 = 4000 + 300 + 70 + 5.

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La posición del 4 indica que se le asocia un valor de 4000 unidades, la del 3 indica 300 unidades, el 7, 70 unidades, y el 5, 5 unidades. Esta última forma puede simplificarse aún más si se emplean exponentes para escribir los múltiplos de 10; por ejemplo: 1000 = 10 x 10 x 10 = 103 100 = 10 x 10 = 102 10 = 101 4375 = 4 x 103 + 3 x 102 + 7 x 101 + 5 x

Escribe los siguientes números en forma desarrollada 8427 47531 6541 19479 En los siguientes ejemplos se presenta una cantidad y su organización en unidades, decenas y centenas. 2 3 6 6 = 6 3 x 10 = 30 2 x 100 = 200 236 1 2 6 9 9 = 9 6 x 10 = 60 2 x 100 = 200 1 x 1000 =1000 1269

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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Observa la siguiente operación 1235 + 987 2222 (1 x 1000) + (2 x 100) + (3 x 10) + 5 (0 x 1000) + (9 x 100) + (8 x 10) + 7 (1 x 1000) + (11 x 100) + (11 x 10) + 12 1000 + 1100 + 110 + 12 = 2222 Observa que el dígito 2 tiene distintos valores según su posición, por ejemplo, el segundo de izquierda a derecha representa dos centenas. Una vez que se llegó a la utilización de símbolos para representar números se pudo operar con ellos; pensamos que la necesidad del hombre para calcular es antiquísimo. Los cálculos más complejos practicados por el hombre primitivo eran, al parecer, los destinados a señalar el paso de los días y meses.

2o. Calcular Operar con números

En algunos sistemas de numeración aparecen las operaciones de la multiplicación y la adición, pero no en todos se puede operar fácilmente, como se observa en el siguiente ejemplo: Suma CMXCVIII CCXXV__ MCCXXIII Si no lo lograste prueba con la utilización de los números que conoces 998 + 225 El sistema de numeración egipcio tiene como características el sistema de base 10 y cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces y escribirse en columna de derecha a izquierda, además no es posicional. Para multiplicar los egipcios utilizaban otro procedimiento. Este procedimiento apareció en un papiro que compró en 1858, en Egipto, Alexander Henry Rhind 1833-1863, por lo que se llama “Papiro de Rhind”, en el cual se explica que la multiplicación se efectúa por duplicaciones sucesivas.

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Hagamos el siguiente ejemplo para mostrar este procedimiento: Multipliquemos 19 por 7. multiplicando por multiplicador Los egipcios solían tomar el número mayor (multiplicando) y duplicarlo sucesivamente (19 + 19 = 38;. 38 + 38 = 76); por otra parte, para el número menor se toma la unidad y se duplica sucesivamente (1 + 1 = 2 2 + 2 = 4), posteriormente procedían a sumar, es decir: Sumar los números de 1 19 + 19 Se suman los correspondientes base 2 y sumarlos hasta 2 38 + 38 del multiplicando para obtener obtener el valor del multiplicando 4 76 el resultado. 7 133 Observa que los números que sumamos son aquellos con los que se obtiene el menor elemento de la multiplicación el multiplicador; como en este caso el menor es el 7 sumamos 1 + 2 + 4 = 7. La marca se utilizó para designar estos elementos. Realicemos la siguiente multiplicación por duplicación; multiplica 17 por 5: + 1 17 17 2 34 68 + 4 68 85 5 85 total Observa que los números que se deben sumar son los que tienen marca ¿Cómo harías para colocar las marcas? Utilicemos nuevamente este procedimiento para multiplicar 27 por 22: 1 27 54 2 54 108 4 + 108 432 8 216 594 16 432 22 594 total Para que aclares posibles dudas y te familiarices con este procedimiento, realiza las siguientes operaciones de multiplicación por duplicación. multiplica 36 por 8 multiplica 43 por 9 multiplica 41 por 5 multiplica 68 por 1 multiplica 75 por 7 multiplica 79 por 6

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Si te interesan estos tipos de multiplicación, se te sugiere investigar el método llamado Multiplicación por Mediación y Duplicación, también utilizado por los egipcios. (Consulta la bibliografía).

¿Te das cuenta de la ventaja que tiene utilizar sistemas de numeración posicional? Esto nos ha permitido desarrollar métodos para facilitar operaciones, por ejemplo:

Realiza la siguiente operación 123456789 987654321 + 123456789 987654321 2 . ¿Por qué empezaste a sumar por el lado derecho? . ¿Qué hiciste con los números que “llevabas”? . ¿Qué características tiene el resultado? . ¿Recuerdas qué significa el valor posicional? Ahora que conoces algunas características del sistema decimal, enfocaremos nuestra atención en algunos algoritmos y métodos que facilitan las operaciones. 1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS PARA OPERAR CON NÚMEROS DE DIFERENTES

SISTEMAS a) Algoritmo de la Adición Tomemos por ejemplo la operación siguiente: Notación desarrollada. 28 = 20 + 8 = 2 decenas + 8 unidades 1 Ponemos 7 y (Llevamos 1, + 9 = 9 = 9 unidades 28 porque convertimos 10 = 20 + 17 = 2 decenas +17 unidades + 9 unidades a una decena) sumamos unidades 37 = 20 + (10 + 7) = (20 + 10) + 7 = 30 + 7 37 = 3 decenas + 7 unidades


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En el ejemplo anterior mostramos el hecho de llevar una decena. Este método se aplica cuando llevamos centenas, millares, etcétera. Observa el siguiente ejemplo: 1 57 + 64 121 57 = 5 decenas + 7 unidades + 64 = 6 decenas + 4 unidades (Recuerda que 10 unidades son una decena y que = 11 decenas + 11 unidades 10 decenas son una centena) = (1 centena + 1 decena) + (1 decena + 1 unidad) 121 = 1 centena + (1 decena + 1 decena) + 1 unidad = 1 centena + 2 decenas + 1 unidad = 121 Así como existe un algoritmo para sumar se ha desarrollado uno para multiplicar. b) Algoritmo de la multiplicación Realiza la siguiente multiplicación: Método de Scaciero 8 2 5 25 x 8 4 0 8 x 5 = 40 1 6 0 8 x 20= 160 Total 2 0 0 Seguramente multiplicaste 8 x 5, anotaste el 0 y llevaste 4, después multiplicaste 8 x 2 y al resultado le sumaste el 4 que llevabas 4 25 x 8 200

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Analiza el siguiente ejemplo: 69 x 25 345 = 5 x 69 1380 = 20 x 69 1725 = (20 + 5) x 69 . ¿Por qué cuando multiplicamos la segunda cantidad dejamos un espacio al

principio? . ¿Por qué tomamos el número de abajo para multiplicar el de arriba? . ¿Por qué iniciamos de derecha a izquierda? . ¿Qué pasará si invertimos las cantidades de la operación? 25 x 69 Realiza esta multiplicación igual que el procedimiento anterior. Así como existe un algoritmo para sumar y multiplicar existe uno específico para dividir. ¿Lo recordarás? Podemos concluir que: Algoritmo: Es el procedimiento empleado para obtener el resultado de una operación. La palabra algoritmo es una deformación de ALKHOWARIZMI, nombre de un célebre matemático árabe que vivió en el siglo IX a.C. y que fue el primero que manejó estos procedimientos.

Ahora que conoces el algoritmo de la suma, ¿podrías encontrar un método eficaz para encontrar el resultado de la suma de los primeros 100 números naturales 1+2+3´+....+98+99+100=? Seguramente lo primero que se te ocurre pensar es, ¡qué suma tan grande!, pero trata de resolverla y luego lee la siguiente anécdota: En una pequeña escuela de Brunswick, Alemania, en 1785, asistía un niño de ocho años de edad, Carlos F. Gauss, discípulo del maestro Büttner. Cierto día en que el maestro deseó tomarse un buen descanso, pensó tener a sus alumnos ocupados en realizar un problema bastante laborioso, como el de obtener la suma de los 100 primeros números naturales.


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No había transcurrido ni tres minutos cuando, con sorpresa no muy agradable, Büttner fue interrumpido por el pequeño Gauss, quien le informó haber terminado. El resultado es 5050; el profesor tuvo que aceptar que el resultado era correcto. ¿Cuál fue el método empleado por Gauss? pon atención: Gauss observó que el primer número más el último dan 101; que el segundo número más el penúltimo dan 101; que el tercero más antepenúltimo dan 101:

ALGORITMO

1 + 2 + 3 + 4 ....... ..... + 97 + 98 + 99 + 100 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 101. . . . Se formarían así, reflexionó Gauss, cincuenta de esas parejas cuyas suma es 101, por lo que la suma pedida se obtiene con una simple multiplicación del valor de la suma por el número de parejas formados (101 x 50 = 5050). Con los conocimientos aritméticos adquiridos hasta el momento ya puedes resolver problemas más complicados. Se te sugiere resuelvas los siguientes problemas: ¿Puedes obtener el número mayor que se escribe, si usas tres veces la cifra 2 sin utilizar signos aritméticos? Para saber cuál es el número mayor que utiliza tres dígitos 2, pensaremos ¿cuál será la disposición adecuada para hallar este número? ¿Qué te parece si lo anotamos de la siguiente manera (22)2 el resultado es (22)2 = 24 = 16. También podemos escribir 222 ó 222(222 = 484), pero el mayor número lo obtendremos con la disposición 222(222 = 4194,304) En el ejemplo anterior observamos claramente que para obtener el número mayor deben anotarse los números (2) en la forma 222, ¿ocurriría lo mismo si tuviéramos tres dígitos 9? Para contestar esta pregunta, apoyémonos en el ejemplo anterior:

(99)9 = 981 = 1.966270505 x 1077

ahora 999(9.1351725 x 1017) ó 999(2.9512665 x 1094) ¿Te das cuenta que el número mayor se obtiene con la disposición 999?

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Realiza los siguientes ejercicios: Usa tres dígitos 3 y escribe el número mayor que puedas obtener:

(33)3 =

Utiliza tres dígitos 4 y escribe el número mayor que puedas obtener:

(44)4 =

Para resolver estos problemas necesitaste utilizar algunas características de los números reales; a estas características se les llama propiedades. 1.1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y ALGORITMOS DE LOS NÚMEROS

REALES (R) Los Números Naturales (N) Uno de los conjuntos de números que conoces es el conjunto de los números naturales (N = 1,2,3,...). Este conjunto de números ha sido muy importante para la humanidad, los primeros 10 los puedes encontrar en los dedos de tus manos. Ver figura 1.

Figura 1. He aquí la calculadora de menor costo para principiantes.


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Recuerda que los algoritmos permiten realizar las operaciones con números.

¿Cómo se multiplica cualquier número por 10? Observa los siguientes ejemplos: 4 x 10 = 40 3891 x 10 = 38910 Para multiplicar un número por 10 solamente es necesario anotar un cero a la derecha del número; comprobemos que esto es cierto mediante el algoritmo de la operación 26 x 10 = 260. Comprueba este algoritmo y utiliza las propiedades. Forma desarrollada: 26 x 10 = (20 + 6) x 10 notación desarrollada = (2 x 10 x 10) + (6 x 10) propiedad distributiva = (2 x 100 ) + (6 x 10) = propiedad asociativa = 260 notación posicional Ahora intenta sumar los primeros 10 números naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. ¿Recuerdas el método de Gauss? Solución: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 11 X 5 = 55 ¿Cuánto sumarán los primeros doce números naturales pares?

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Solución: 2 +4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 +18 + 20 + 22 + 24

26 x 6 = (20 + 6)6 = 120 + 36 = 156

¿Cuánto sumarán los primeros doce números naturales impares? Solución: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 1 + 23 = 24 3 + 21 = 24 . . . . 11 + 13 = 24 24 x 6 = (20 + 4) · 6 = 120 + 24 = 144 En los ejemplos anteriores observaste que el método de Gauss para la suma de números naturales es una herramienta útil para calcular el resultado y también viste que existen números naturales pares e impares. Recuerda que el conjunto de los números naturales pares = {x/x=2n, nN} y el conjunto de los números naturales impares = {x/x=2n+1, nN} Por otra parte, para calcular el producto (26) (6) se utilizó una técnica que frecuentemente es usada por todos nosotros, que consiste en descomponer en forma desarrollada la primera cantidad en la suma de (20 + 6) y luego multiplicamos por 6:

26 x 6 = (20 + 6) · 6 = 120 + 36 = 156

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¿Será posible aplicar esta técnica para multiplicar mentalmente?

Haz la prueba con algunos números. Observa que los resultados de la adición y la multiplicación son números naturales, entonces podemos decir que el conjunto de los números naturales es cerrado cuando se trata de una adición o una multiplicación. Esto quiere decir que si el conjunto dado es el de los números naturales y la operación es la adición o la multiplicación, el resultado será otro número natural. Por ejemplo: 4 + 5 = 9 y 2 x 6 = 12 Todos son números naturales 1. PROPIEDAD DE LA CERRADURA Por tanto: Si sumamos o multiplicamos dos números naturales el resultado es un número natural, entonces se dice que el conjunto de los números naturales es cerrado conforme a la operación dada. Sin embargo, es importante aclarar y reflexionar que el conjunto de los números naturales no siempre es cerrado conforme a la sustracción (resta) o la división; por ejemplo: 4 10 6 no es un número natural

64

1.5 no es un número natural

2010

2 sí es un número natural

38 8 30 sí es un número natural 2. PROPIEDAD CONMUTATIVA Otra propiedad observable al sumar o multiplicar los números naturales es el orden en el cual se realiza la operación y no afecta el resultado, de tal forma que: 4 + 5 = 5 + 4 = 9 y 4 x 5 = 5 x 4 = 20 A estas dos expresiones se les describe al decir que las operaciones de la adición y multiplicación tienen una propiedad conmutativa; entonces: Si sumamos o multiplicamos dos números naturales y les cambiamos el orden, el resultado no se altera.

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Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente. 1. En una reunión de amigos hay cuatro mujeres y tres hombres. Si cada uno de los

asistentes saluda de beso a los del sexo opuesto y de apretón de mano a los de su mismo sexo, ¿Cuántos saludos tienen lugar?

2. Ahora se trata de verificar si aprendiste a contar con números naturales ¿cuántos

rectángulos hay en la siguiente figura?

3. Para solucionar algunos problemas es muy útil llegar a conocer una regla general.

Encontrar el n-ésimo termino de una sucesión es encontrar dicha regla para todos los términos de la sucesión.

¿Puedes completar la sucesión y encontrar la regla? a) 2,4,6,8,10, __, __, __, ..._________________________________________________ b)1,3,5,7,9, __, __, __,...___________________________________________________ - Aplica el principio posicional del sistema decimal y señala el valor del dígito

indicado para cada caso. a) 2345; 3 d) 2335489;4 b) 10004;1 e) 9378954;7 c) 23456;5 f) 9254361;2

4. Realiza el cálculo de las siguientes multiplicaciones, utiliza la técnica que se empleó en la sección anterior. a) (28) (15) = c) (32) (19) b) (65) (123) = d) (25) (17) 5. Aplica el método de Gauss para la suma de números naturales, calcula la suma de la

siguientes series. a) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 27 + 30 b) 5 + 10 + 15 + 20 + 25 ... + 60 + 65 c) 7 + 14 + 21 + 28 + 35 + ... + 77 + 84


28

3. PROPIEDAD ASOCIATIVA Otra propiedad que se manifiesta es cuando se trata de sumar o multiplicar más de dos números; por ejemplo: 6 + 7 + 8. Por lo regular se suman dos números a la vez. Surge la pregunta acerca de si se debe sumar 6 + 8 y al resultado sumarle 7, entonces (6 + 8) + 7 = 14 + 7 = 21, o si se suma 6 al resultado de la suma de 8 y 7, esto es, 6 +(8 + 7) = 6 + 15 = 21. Al multiplicar (6) (7) (8) lo podemos hacer (6 7) (8) = 42 8 = 336 ó también (6) (7 8) = 6 56 = 336. Si te das cuenta no importa qué números se sumen o multipliquen primero, es decir:

Pueden asociarse los números en una u otra forma y obtener el mismo resultado. A esta propiedad de la adición y multiplicación se le llama propiedad asociativa.

4. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Existe otra propiedad de la adición y multiplicación de enorme importancia. Imagina que se quiere realizar el producto de 6 (12 + 7), lo cual se expresa como 6(12 + 7), donde el punto indica o denota una multiplicación. El resultado se puede obtener de dos maneras diferentes: a) suma 12 y 7, así: 6(12 + 7) = 6(19) = 114 b) multiplica primero por 6, así: 6(12 + 7) = 6(12) +6(7) = 72 + 42 = 114 A la propiedad anterior se le llama propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición.

PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LAS OPERACIONES

Adición Multiplicación Cerradura: Si a y b son números naturales, entonces a + b también es un número natural. Conmutividad: Si a, b, son números naturales, entonces: a + b = b + a Asociatividad: Si a, b, c son números naturales, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)

Cerradura: Si a y b son números naturales, entonces a b también es un número natural. Conmutividad: Si a y b son números naturales, entonces: a b = b a. Asociatividad: Si a, b, c son números naturales, entonces: a (b c) = (a b) c Distributividad: Si a, b, c son números naturales, entonces: a (b + c) = (a b) + (a c)

En los ejercicios anteriores utilizaste algunas propiedades; identifica cuáles fueron. Dentro del conjunto de los números naturales existen números que sólo tienen dos divisores exactos, a estos números se les llama números primos, es decir sólo se dividen entre la unidad o entre sí mismos; pero si dividimos 60 entre 5, tendremos 12; por lo que podemos decir que 5 es divisor exacto de 60, pero también podemos decir que 60 es múltiplo de 5. Trata de encontrar cuántos divisores tiene 16.

29

Tu respuesta será 5 con toda seguridad 1, 2, 4, 8, 16; pero si se te ocurre preguntarte por los divisores de 154, quizá digas que algunos pueden ser 1, 7, 11 y el mismo 154. Resulta un poco difícil encontrar los divisores 7 y 11, no así, el 1 y el 154, los cuales resultan valores fáciles de hallar. De manera semejante, ¿puedes contestar cuántos y cuáles son los divisores del número 19? Si tu respuesta es: son dos, el 1 y el 19, acertaste. Con base en el desarrollo anterior, el número 1 no es primo, porque solamente tiene un divisor, él mismo. Si se excluye el 1, diremos que: un número natural es primo si y sólo si tiene dos divisores, él mismo y la unidad (1). El matemático griego Eratóstenes (siglo III a.C.) ideó un método conocido con el nombre de “criba de Erastóstenes”; este método permite encontrar los números primos que están entre el 2 y el 50.

¿Podrías hallar esos números con la definición de número primo? Inténtalo. Recuerda que los números primos los has utilizado para obtener el mínimo común múltiplo (factores primos) y para hallar el común denominador, cuando aprendiste a sumar y restar racionales (fracciones). ¿Cuál es el procedimiento? Más adelante encontrarás el procedimiento o podrás consultar con tu asesor

Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente, una vez que encuentres la solución trata de encontrar una más directa 1. Este ejercicio requiere de un poco de atención ¿Cuántos cuadrados hay en la

siguiente figura?


30

2. Observa detenidamente la figura que a continuación te mostramos. Según parece tiene algo muy especial pues en algunos monumentos de la Grecia Antigua aparece. Trata de reproducirla con un trazo ininterrumpido, sin que cruces las líneas y sin levantar el lápiz, la única restricción adicional es que hagamos menos de 10 giros.

3. ¿Cuál es la regla general que nos permite hallar todos los términos de los siguientes

casos? 3,6,9,12,15,__,__,__,__; 10,13,16,19,__,__,__ 4. Trata de explicar con tus propias palabras por qué ocurre que las sumas horizontales

y verticales dan el mismo resultado. 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 2 + 3 + 4 = 10 7 + 5 + 3 + 1 = 16 5 + 6 + 7 + 8 = 26 5 + 3 + 7 + 1 = 16 9 + 10 + 11 + 12 = 42 3 + 5 + 1 + 7 = 16 15 + 18 + 21 + 24 = 78 16 + 16 + 16 + 16 = 64 5. ¿Qué puede decirse acerca de la suma de dos números naturales impares? 3 + 5 = 8 3 + 17 = 20 13 + 19 = 32 7 + 11 = 18 6. Considera la suma de los números naturales impares consecutivos. Encuentra un

patrón y considera los 10 primeros números impares consecutivos. 3 + 5 = 8 11 + 13 = 24 5 + 7 = 12 13 + 15 = 28 7 + 9 = 16 15 + 17 = 32 9 + 11= 28 17 + 19 = 36 19 + 21 = 40

31

7. Para los griegos que estudiaron la naturaleza de los números, principalmente los

pitagóricos, resultó sorprendente encontrarse con una sucesión llamada de los números triangulares (observa la figura), cuyos primeros elementos son: 1,3,6,10,15,...¿Cuál será la regla que gobierna a estos números? La figura que se muestra es un apoyo visual para encontrar el n-ésimo término de la sucesión.

* * ** * ** *** ** *** **** 1 3 6 10 1,3,6,10,15,__,__,__, 8. En la siguiente figura anota correctamente los dígitos del 1 al 8 de tal manera que

dígitos consecutivos no queden en casillas adyacentes (juntas). 9. Quizás ya conoces algunos cuadrados mágicos, se les llama así porque al sumarse

sus elementos numéricos horizontal, vertical y diagonalmente dan como resultado el mismo número, trata de realizar un cuadrado 4 x 4 cuya suma sea 34.

1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) Te has preguntado alguna vez: ¿cómo se expresa una deuda o una cuenta de cheques sobregirada?, ¿cómo se representa la temperatura cuando cae abajo de 0º?, ¿sabes qué tipo de números fueron tus respuestas? Los números enteros. (Z)

Cheques Cuenta Disponible pagó

Uno 1,000.00 1,500.00 Dos 2,000.00 3,000.00 Tres 3,000.00 5,000.00

Totales 6,000.00 9,500.00 ¿Cuánto está sobregirada la cuenta?

32

Ciudad Temperatura C en

invierno Monterrey -4ºC Mérida 35ºC Mexicali -10ºC D.F 0ºC Chihuahua -15ºC

A continuación utilizaremos nuevamente la regla de Gauss para calcular el valor de la suma de las series propuestas. ¿Cuánto sumarán los primeros veinticinco números enteros negativos? (Z) (-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (- 5) + (-6) .... + (-23) + (-24) + (-25) - 26 - 1 + (- 25) = -26 - 2 + (- 24) = -26 - 3 + (- 23) = -26 : - 12 + (- 14) = - 26 Por lo tanto: Como el (- 25) es un número impar es necesario sumarle al resultado que obtuvimos el número que queda sólo (sin pareja), en este caso el (- 13) (- 26) (12) = (- 20 - 6) (10 + 2) (- 1) + (- 2) ...+ (- 24) + (-25)= (- 26) (12) + (- 13) = - 200 - 60 - 40 - 12 = - 312 - 13 = - 312 = - 325

¿Cuánto sumarán los primeros cien números enteros negativos? (- 1) + (- 2) + (- 3) + .... + (- 98) + (- 99) + (- 100) - 101 - 1 + (- 100) = - 101 - 2 + (- 99) = - 101 - 3 + (- 98) = - 101 (- 101) (50) = - (100 + 1) (50) = - (5000 + 50)

Suma: = - 5050 ¿Cuál es la suma de la siguiente serie?

33

0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 + 0 + 4 4 1 3 2 5. PROPIEDAD NEUTRO O IDÉNTICO DE LA ADICIÓN 0 + 0 + 0 = 0 0 + 4 = 4 1 + 0 = 1 4 + 1 + 3 + 2 = 10 0 + 3 = 3 2 + 0 = 2 En los ejemplos anteriores nuevamente se utilizó la herramienta del método gaussiano, pero ahora con unas series que incluyen números enteros negativos; por otra parte, el tercer ejemplo de esta serie se utilizó una propiedad que intuitivamente manejas desde la secundaria, se trata de la suma de número entero con el cero.

a + 0 = a

Es momento para recordar que este elemento cero lo conoces como elemento idéntico o neutro, para la suma

¿Cuál es la suma en la siguiente serie? (- 5) + (- 1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 3 + 23 = 26 - 5 + (-1) = - 6 7 + 19 = 26 (26) (3) = 78 11 + 15 = 26 Suma: - 6 + 78 = 72 ¿Cuál es la suma en la siguiente serie?

34

1 + (- 1) + 2 + (- 2) + 3 + (- 3) + 4 + (- 4) + 5 0 0 0 0 0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 5 0 0 + 5 = 5 Para realizar la suma asociamos cada número positivo con su opuesto, lo que hace recordar que al sumar un número con su opuesto el resultado es: cero. a + (- a) = 0

A este número opuesto se le llama inverso aditivo

¿Cuál es el resultado de la suma?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 0 1 0 1 0 Suma: 0

¿Cuál es la suma en la serie siguiente? 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 0 1 0 1 0 1 Suma: 1

35

En estos ejercicios podemos ver que al restar y sumar secuencialmente el número 1 obtenemos en el primer caso una suma igual a 0, mientras que en el segundo caso la suma es igual a 1, esto nos hace reflexionar acerca de esta situación; trata de explicar con tus propias palabras por qué es así. Ya estudiaste uno de los sistemas numéricos más sencillos, el conjunto de los enteros junto con las operaciones de adición. Si realizamos la siguiente multiplicación, 4375 por 1 = 4375, vemos que el resultado es el mismo que el número propuesto (4375). ¿Habrá otro número que al multiplicarlo por otra cantidad dé la misma cantidad? La respuesta es no. Entonces el único número del conjunto de los naturales que al multiplicarlo con cualquier número de los naturales da como resultado otra vez el mismo número es el número 1, es decir:

1 a = a Neutro Multiplicativo

¿Crees que existe un número que al sumarlo con otra cantidad dé como resultado dicha cantidad?, es decir, ¿existe un número de tal modo que al realizar a + p = a para el conjunto dé los números naturales? La respuesta es no. Entonces, al conjunto de los números naturales está limitado para realizar operaciones aritméticas, por tal razón debemos aumentar al conjunto de los naturales y añadirle un nuevo número o elemento. Este elemento lo representamos por medio del cero (0) y se le llama identidad aditiva, el cual tiene la propiedad siguiente:

Neutro Aditivo o Idéntico

a + 0 = 0 + a = a y 0 + 0 = 0 El conjunto de los número enteros positivos se denota por Z+ Cuando tratamos de resolver la expresión x + 10 = 0 y abarcamos sólo el conjunto de los números enteros positivos no tenemos solución, pues aquí no existe el - 10, entonces es necesario ampliar el conjunto de los Z+ de forma que resulte un nuevo conjunto, que contenga a los números enteros positivos y a todos sus inversos aditivos (números enteros negativos), a este nuevo conjunto se le llamará genéricamente conjunto de los números enteros, denotado por Z y formado por ...- 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... Por tanto, el conjunto de los números enteros abarca los siguientes números o elementos:

enteros positivos ( Z+): 1, 2, 3, ... también son naturales el número cero: 0

enteros negativos (Z-): .... - 3. - 2 - 1

Z

36

Recuerda que el producto del número cero y cualquier otro número entero siempre es cero, por ejemplo: 4 0 = 0 4 = 0 Al generalizar tendremos que si a pertenece a los Z, entonces 0 a = 0 En este conjunto de los números enteros (Z) se define dos operaciones básicas la de la adición y la multiplicación con las propiedades de los números. Al presentar el conjunto de los números enteros en la recta numérica retomamos un concepto importante como es el de sentido. Esto lo ilustramos con la recta numérica que tú conoces, en la cual se le asigna una posición con respecto al número cero (origen); a la izquierda del cero están todos los enteros negativos y a la derecha del cero, todos los enteros positivos. La siguiente gráfica ilustra el conjunto de los números enteros.

enteros negativos cero enteros positivos En el servicio meteorológico dijeron que la temperatura más alta fue de 8º y la más baja fue de -8º, ¿por qué se dice que la temperatura promedio fue de 0º? ¿Qué relación hay entre el 8 y el -8? Observa en la recta numérica que para cada número positivo existe uno negativo. En la gráfica anterior es fácil observar que el simétrico de 4 es -4; como recordarás, a este simétrico se le llama inverso aditivo; por lo que decimos que cualquier número entero a, tiene su inverso aditivo que es un entero que está n unidades de otro lado del cero; sobre la recta numérica esto es el entero -a.

¿Cómo aplicarías el concepto de sentido para realizar operaciones? Este concepto de sentido, hacia la izquierda del cero (negativo) o hacia la derecha del cero (positivo), lo podemos comprobar con la operación de la sustracción. Por ejemplo, al realizar 4 - 6 llegamos al resultado fácilmente, al utilizar la recta numérica de la siguiente forma: hacemos un movimiento hacia la derecha (sentido positivo) a partir del cero de cuatro unidades, seguido de otro movimiento de seis unidades hacia la izquierda (sentido negativo a partir del cuatro, el punto final es - 2, como se ilustra:

-4 4 -3 -2 0 -1 1 2 3

37

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 ¿Te resulta fácil entender el ejemplo anterior? Si no fue así, ilustra sobre la recta numérica la siguiente operación - 5 - 2:

ADICIÓN DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 La operación la haces con un movimiento de 5 unidades a la izquierda del cero, seguido por 2 unidades más , a la izquierda. El resultado es -7; de ahí que - 5 - 2 = 7, entonces:

(- 5) + (- 2) = - (5 + 2) = - 7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 -5 Con base en lo anterior, observarás que la operación de sustracción puede ser considerada como la opuesta de la adición, por tanto, cualquier problema de sustracción puede transformarse en un problema de adición, por ejemplo:

problemas de sustracción

problemas equivalentes en la adición

4 - 2 11 - 5 - 5 - 3 3 - (-4)

4 + (- 2) 11 + (- 5)

(- 5) + (- 3) 3 + 4

Resuelve los ejemplos anteriores y representándolos en la recta numérica.

38

Por tanto, definimos que, si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces:

a - b = a + (- b)

Veamos otro ejemplo para mostrar el procedimiento anterior: realiza la adición equivalente de 6-4 e ilústralo sobre la recta numérica:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

6- 4 = 6 + (- 4) = 2

6

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - 4 El resultado que muestra la gráfica es 2. Al retomar estos conceptos mencionaremos las reglas para la multiplicación de números enteros: a) El producto de dos enteros positivos es positivo. b) El producto de un entero positivo y un entero negativo es negativo. c) El producto de dos enteros negativos es positivo.

39

Propiedades de los Números Enteros

Adición Multiplicación Cerradura: La adición de cualesquiera dos números enteros a y b es siempre un entero. Conmutatividad: Para cualesquiera dos enteros a y b; a + b = b + a. Asociatividad: Para cualesquiera tres enteros a, b y c; a + (b + c) = (a + b) + c. Identidad de la Adición. El número cero (0) es la identidad para la adición. a + 0 = 0 + a = a. Inverso aditivo: Todo número entero tiene un inverso aditivo, a + (- a) = 0

Cerradura: El producto de dos enteros a y b siempre es un entero. Conmutatividad: Para cualesquiera dos enteros a y b; a b = b a. Asociatividad: Para cualesquiera tres enteros a, b y c; a (b c) = (a b) c. Identidad de la Multiplicación: El número 1 es la identidad para la multiplicación; 1 a = a 1 = a. Distributividad: Para cualesquiera tres enteros; a, b y c; a (b + c) = a b + a c y (a + b) c = a c + b c.

En los ejemplos siguientes se muestran algunas propiedades de la multiplicación de números enteros.

¿Cuál es el valor de la suma?

(1 2) + (1 3) + (1 4) + (1 5) + (1 6) + (1 7 ) + (1 8) Solución: Al multiplicar el término común con cada uno de los sumandos tenemos: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 3(10) + 5 por el método Gauss) = 30 + 5

= 35

¿Cuál es el valor de la suma?

(12 1) + (12 2) + (12 3) + (12 4) + ... + (12 19) + (12 20) = 12 + 24 + 36 + 48 + ... + 228 + 240 10(12 + 240) = 120 + 2400 (propiedad es distributiva) = 2520 Analiza los siguientes ejemplos: ¿Cuál es el producto?

40

( -1) (3) (1) (-4) (-1) (5) (1) (- 6) - 3 - 3 12 -12 -60 -60 360 Producto = 360 ¿Observaste cuándo el producto sucesivo de números enteros es positivo? Ahora revisa éste:

¿Cuál es el producto? (2) (5) (-3) (-4) (-2) 10 - 30 120 -240 Producto - 240 ¿Observaste cuándo el producto de números enteros es negativo? ¿Cuál es el producto? (0) (0) (0) (0) (0) 0 0 0 0 Producto: 0 En los ejemplos anteriores observaste algunas características propias de la multiplicación de números enteros. Debes recordar las leyes de signos de la multiplicación que aprendiste en la secundaria; sí aún no te queda claro, fija tu atención en el número de factores con signo negativo y explica tus propias conclusiones.

41

1.1.5 LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) Analiza las siguientes situaciones: a) Un automóvil recorre 400 km. en 5 hr. b) El promedio de goleo de Hugo Sánchez es de 3 por cada 2 partidos c) Compre 3 llantas y lleve otra gratis a)

Distancia Tiempo 100 km 1 hr. 15 min 200 km 2 hrs. 30 min 400 km 5 hrs. 800 km 10 hrs.

b)

Goles Partidos 3 2 6 4 9 6

12 8 c)

Núm. llantas

Compradas Gratis

3 1 6 2 9 3

12 4 15 5 18 6

En cada una de estas afirmaciones existe la comparación cuantitativa de dos cantidades.

a) 400/5 b) 3/2 c) 3/1 Estas expresiones representan una división. La división de dos números enteros no siempre es exacta, esto produce fracciones como 1/2, 4/5, 8/7, etc. Entonces el conjunto de los números enteros se extiende para incluir dichas fracciones, dando como resultado los números racionales, denotado por:

Q ...- 4/2, - 2/2, 0/2, 1/1, 4/2....

42

Un número racional es aquel que puede escribirse en la forma a/b, donde a y b son números enteros, a a se le llama numerador, a b se le llama denominador y b es diferente de cero (no se permite dividir entre cero). Un número racional se puede escribir como a/b ¿Conoces otras formas de representar un racional?

Al hacer la conversión 23

0.666 , resulta que también es un número racional.

Al introducir en el conjunto de los números enteros fracciones de la forma a

b, podemos

hablar de igualdad de fracciones o números racionales.

Por ejemplo, 15

y 5

25 representa n el mismo número racional, por lo que podemos

concluir ab

cd

si y sólo si ad = bc

Realicemos la operación: 15

525

1 25 5 5 25 25

Si utilizamos la igualdad de números racionales podemos probar el siguiente resultado,

que te permitirá reducir resultados en la forma ab

, entonces:

ab

(ak)(bk)

,k 0;

entonces: a(bk) b(ak)

Para que este concepto sea más claro, vamos a reducir 2030

.

2030

(2 10)(3 10)

23

Ahora inténtalo tú, reduce 636

La solución es: 636

6 16 6

16

43

Hagamos otro ejemplo: encuentra un número racional que tenga un denominador 45 y

sea igual a 79

.

La solución es:

79

7 59 5

3545

A continuación definiremos las operaciones con los números racionales.

El producto de dos números racionales ab

y cd

se define como:

ab

cd

a cb d

acbd

Por ejemplo: multiplica 45

por 79

: 45

79

4 75 9

2845

La suma de dos números racionales ab

y cd

está definida como:

ab

cd

ad bcbd

y cuando: d = b se tiene:

ab

cb

a cb

Por ejemplo suma: 37

y 49

: 37

49

3 9 7 47 9

27 2863

5563

La diferencia de dos números racionales ab

y cd


ab

cd

ab

cd

ad bcbd

por ejemplo, realiza 15

16

15

16

15

16

44

1 6 1 5

5 66 530

130

Para definir la división debemos conocer el recíproco de un número. El recíproco de ab

es ba

cuando ab

0 ; lo anterior se observa cuando multiplicamos ab

por b

a, donde

el resultado es 1. Por lo que podemos decir, el producto de cualquier número racional distinto de cero por su recíproco es 1, por tal razón, el recíproco de un número racional también se le llama inverso multiplicativo, entonces:

El cociente de dos números racionales ab

y cd


abcd

ab

dc

adbc

, cd

0

Con base en la expresión anterior, se permite en la división de dos números racionales invertir el divisor y pasarlo como multiplicador, por ejemplo:

2538

25

83

1615

y

3456

34

65

1820

910

Las operaciones con números racionales o fracciones constituyen un avance en el manejo de cantidades que no son enteras, por ejemplo cuando vamos de compras a la tienda podemos solicitar un kilo y medio de frijol, lo podemos traducir al lenguaje aritmético como:

1 12

En los ejemplos que a continuación se muestran observarás que las operaciones con frecuencia requieren del manejo de las operaciones con números enteros, de las operaciones básicas con fracciones y de la intuición que has desarrollado.

a) 1 1

1 1

1 12

43

45

b) 3 1

1 1

1 34

4011

c) 1 2

1 3

2 1

1 13

113

d)

13

12

1 13

12

1 87

Con el objeto de retroalimentar tu conocimiento acerca de las operaciones con fracciones, resolveremos un ejemplo que te servirá de base para contrastar lo que ya sabes con el algoritmo que se te muestra. Adición de Números Racionales. ¿Cuál es el valor de la suma?

12

14

18

Recuerdas que había que calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. 2,4,8 2 1,2,4 2 1,1,2 2 1,1,1 (2)(2)(2) = 8

12

14

18

4 2 18

78

Este proceso utiliza tres de las primeras cuatro operaciones: suma, división y multiplicación de números enteros.

46

¿Te has preguntado por qué se utiliza este algoritmo? ¿Habrá algún otro que nos conduzca al mismo resultado? Quizás el siguiente proceso conteste en parte las preguntas anteriores. Este algoritmo está basado en el concepto de fracción equivalente. ¿Cuándo se dice que dos fracciones son equivalentes? Ejemplo:

12

24

¿Por qué?

Son equivalentes por principio básico de la proporcionalidad. (1)(4) = (2)(2) 4 = 4 ¿Ya te acordaste? Bien, resolvamos el ejemplo: Paso 1. Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) 2,4,8 2 1,2,4 2 1,1,2 2 1,1,1 (2)(2)(2) = 8

47

Paso 2 Encuentras las fracciones equivalentes:

12

? ?8

12

? ?8

12

(4)4

48

12

44

48

sumamos:

14

? ?8

48

28

18

78

12

? ?8

14

22

28

18

18

18

18

¿Cuál es la suma de las fracciones? 12

13

14

Paso 1. Calcular el mínimo común múltiplo. 2,3,4 entonces (m.c.m.) = 12 Paso 2. Calcular las fracciones equivalentes. 12

66

612

; 13

44

412

; 14

33

312

Sumamos equivalentes: 6

124

123

126 4 ( 3)

12712

¿Cuál es el valor de la suma? 12

14

16

18

110

112

48

Paso 1 Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) 2, 4, 6, 8, 10, 12 2 1, 2, 3, 4, 5, 6 2 1, 1, 3, 2, 5, 3 2 1, 1, 3, 1, 5, 3 3 1, 1, 1, 1, 5, 1 5 1, 1, 1, 1, 1, 1 (23)(3)(5) = (8)(3)(5) = 120 Paso 2 Calcula las fracciones equivalentes: 12

6060

60120

; 14

3030

30120

; 16

2020

20120

1

81515

15120

; 110

1212

12120

; 112

1010

10120

Sumemos las fracciones equivalentes 60

12030

12020

12015

12012

12010

12037

120

A continuación observarás unos ejemplos que te harán recordar cómo se multiplican las fracciones o números racionales. ¿Cuál es el producto de números racionales?

34

23

15

37

612

15

37

660

37

18420

370

49

Si recordaste cómo se resuelve la suma de números racionales (fracciones), ahora podrás comparar ese conocimiento con el algoritmo mostrado anteriormente que utiliza el concepto de fracción equivalente; trata de encontrar las analogías o semejanzas entre ambos métodos, de tal manera que puedas utilizarlos cuando se requiera. Respecto a la multiplicación, trata de contestar las siguientes preguntas: ¿Cuándo el producto de fracciones es negativo? ¿Cuándo el producto de fracciones es igual a la unidad?

¿Se cumple para todo número racional (fracción) la proposición ab

(1) ab

para

b 0 ?

¿Un número racional ab

a

( ) para b 0 puede interpretarse como cociente?

Ejemplo:

a) 1 1

1 1

1 12

0

1 1

1 112

0

porque: 1 12

12

1 11 2

0

porque: 112

1 12

21

1 11

0

1 1 0 0 0


50

Ejemplo:

b) 3 1

1 1

1 34

4011

3 1

1 174

4011

porque: 1 34

74

3 1

1 47

4011

porque: 174

47

3 1117

4011

porque: 1 47

117

3 711

4011

porque: 1117

711

3311

711

4011

porque: 4011

4011

Ejemplo:

c) 1 2

1 3

2 1

1 13

113

51

1 2

1 3

2 123

113

porque: 1 13

23

1 2

1 3

2 32

113

porque: 123

32

1 2

1 372

113

porque: 2 32

72

1 2

1 67

113

porque: 372

67

1 2137

113

porque: 1 67

137

1 1413

113

porque: 2

137

1413

1

131

13

Ejemplo:

d)

13

12

1 13

12

1 87

52

13

12

1 16

1 87

porque: 13

12

16

16

1 16

1 87

porque: 13

12

2 36

16

16

76

1 87

porque: 1 16

76

17

1 87

porque:

16

67

17

porque 17

1 87

53

Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente; una vez que encuentres la solución, trata de encontrar una más directa. Observa en cada ejercicio las propiedades que utilizas. 1. ¿Cuál es la regla que nos permite encontrar el n-ésimo término de la sucesión?

32

1 12

0 12

, , , , , .......... , ........ , ....... , ______________

2. Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices no

adyacentes. Aquí n representa el número de lados de un polígono. ¿Cuál es la regla general para determinar cuántas diagonales tiene un polígono de 50 lados sin dibujarlo?

3. Sin levantar el lápiz y sin cruzar los segmentos de recta resuelve los problemas siguientes. a) b)


Con tres segmentos une los 4 puntos

Con cuatro segmentos une los 9 puntos

54

Problemas 1. Aplica las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, además

resuelve los problemas.

a)

3 3 33

( )

b)

2415

1040

58

c) 12

65

159

d) 14

13

34

23

e) 14

13

34

68

f) 1 23

56

23

2. Usa las propiedades de la multiplicación y división de fracciones. Resuelve.

a)

32

12

2

b) 32

12

14

3

c) 3 2 12

4 1 14

d) 1 23

24

14

55

3. A las fracciones siguientes deberás reducirlas hasta encontrar el resultado.

a) 2 1

1 34

b) 32 1

4

1 1

1 12

c) 2 1

1 1

1 1

1 23

d) 3 1

1 12 3

( )( )

4. Si una pelota se deja caer desde una altura de 10 m y rebota aproximadamente la

mitad de la distancia en cada caída, calcula la distancia recorrida por ésta después de tres rebotes.

1.1.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES. (Q’) Los griegos (600 años a.C.) descubrieron la existencia de números que no eran racionales, a este conjunto de números lo llamamos “Conjunto de los números irracionales” denotado por Q’. Este descubrimiento hecho por miembros de una sociedad secreta fundada por Pitágoras muestra que los números irracionales no se pueden expresar como cociente de dos enteros y tienen una representación decimal infinita no periódica; por ejemplo:

2 , 3 , o, 6.101001000....

Con base en la clasificación de los números, la unión del conjunto de los números racionales con el de los números irracionales se le conoce como el conjunto de los números reales, denotado por RQ unión Q’ = R. De esta manera podemos recordar que los números racionales son aquellos que se expresan como el cociente de dos enteros y tienen expansión decimal finita o infinita periódica. Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como cociente de dos enteros y su presentación decimal es infinita no periódica.

56

Resuelve los siguientes ejercicios: 1) Establece en cada uno de los siguientes problemas qué propiedades se aplican. a) 5 + 7 = 7 + 5 b) (8 + 4) + 2 = 8 + (4 + 2) c) 8 + (4 + 2) = 8 + (2 + 4) d) 5(3 +8) = 5(8 + 3) e) 4(6 7) = 4(7 6) f) 5 (3 8) = 5 (8 3) 2) Ilustra sobre la recta numérica la operación indicada. a) 4 - 5 d) - 4 - 3 g) 5 - 3 b) 4 + 6 e) - 6 + 5 h) 6 - 6 c) 8 - 5 f) 4 + (- 6) i) 7 + (- 4) 3) Obtén el producto de cada multiplicación. a) (- 4) (5) = c) (- 12) ( - 11) = e) (0) x (- 10) = b) (6) (- 7) = d) (-0) (0) = f) 7 x 0 = 4) Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado (si es posible).

a) 17

14

b) 34

47

c) 14

17


57

d) 47

35

e) 45

28

f) 38

14

18

g) 15

14

37

h) 12

18

14

i) 12

78

75

j) 12

78

75

k) 34

17

25

58

Hasta aquí se han revisado las operaciones con los números reales sus propiedades y los algoritmos, el siguiente diagrama muestra la clasificación de los números reales y las relaciones entre los diferentes subconjuntos de números.

Q' 2 3 6101001000, , . ...

ó NATURALES (N) Z- (...- 3, - 2 -1,) Z+ ó N (1, 2, 3, ...)

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

NÚMEROS REALES ( FR )

EL NÚMERO CERO: 0

ENTEROS NEGATIVOS

Z-

ENTEROS POSITIVOS

Z+

NÚMEROS ENTEROS

(Z)

NÚMEROS IRRACIONALES

(Q’ )

NÚMEROS RACIONALES

(Q )

59

1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Como ya sabes, el conjunto de los números reales en sus operaciones de adición y multiplicación cumplen con las propiedades de campo; la utilización de estas propiedades así como los algoritmos de las operaciones te permiten resolver situaciones como las siguientes: 1) Si cobraras por realizar un trabajo $100000.00, y el material que empleaste costó

$13000. ¿Cuánto ganarías por horas si el trabajo lo terminas en seis horas? Para contestar la pregunta, primero tendrías que restar el costo del material a la cantidad que cobrarías y en seguida dividir ese resultado entre el número de horas trabajadas para obtener el monto por hora, o sea: 100000 - 13000 = 87000 costo real del trabajo, entonces: 87000/6 = 14500 ganancia por hora Como observas, para obtener el resultado realizaste dos operaciones, las cuales se representan de la siguiente manera: En donde la sustracción de 100000 y 13000 se debe dividir entre 6 para encontrar el resultado. 2) Si un comerciante compra 80 piezas de lechuga a $300 cada una y vendió 75 de ellas

a razón de $600 la pieza y desechó el resto, ¿cuánto obtuvo de ganancia? Para resolver este problema tendrás que determinar el costo de las 80 lechugas, restárselo al total de la venta de las 75 lechugas vendidas y a este resultado restarle el costo de las 5 de desecho, o sea: 80 x 300 = 24000 ..... costo de la compra 75 x 600 = 45000 ...... total de la venta 5 x 300 = 1500 ...... total del desecho ganancia = (75) (600) - (80) (300) - 5 (300) = 45000 - 24000- 1500 = 21000 - 1500 = $19,500 Como observas en los dos ejemplos anteriores, se realizó más de una operación aritmética, las cuales se agruparon y utilizaron algunos símbolos para representarlas. Estos símbolos son los paréntesis ( ), los corchetes y las llaves, se les llama símbolos de agrupación y se usan para señalar de una manera más sencilla más de una operación, al indicar el orden preciso en que se deben efectuar. Cuando se escribe 300 + 25 como (300 + 25), se considera la suma de 300 + 25 como una cantidad; la expresión 500 - (60 + 70) significa que la suma de 60 y 70 se va a restar de 500. ¿Cómo expresarías el enunciado tres veces la suma de 3 y 7 menos cuatro veces la suma de 5 y 40?

60

Solución:

3(3 + 7) - 4(5 + 40) =

donde el resultado se puede obtener de la siguiente manera: a) Si utilizas la propiedad distributiva, tendrás: 3(3 + 7) - 4(5 + 40) = (3) (3) + (3) (7) - (4) (5) - (4) (40) = 9 + 21 - 20 - 160 = 30 - 180 = - 150 b) o bien 3(3 + 7) - 4(5 + 40) = 3(10) - 4(45) = 30 - 180 = - 150 De los ejemplos anteriores se pueden mencionar algunas sugerencias prácticas para realizar operaciones con números reales donde se involucren signos de agrupación.

Las cantidades o números agrupados se deben considerar como todo

Ejemplo:

6 + (2 5)

Indica que la multiplicación 2 por 5 se efectúa primero y el producto se suma con 6 y da como resultado 16. 6 + (25) = 6 + (25)=6+10 = 16 Por lo regular, la multiplicación de los números reales se representan con un punto intermedio o con los signos de agrupación. Ejemplo: 4(3 + 6) = 4(3 + 6) = 4(9) = 36 Cuando un signo de agrupación está precedido por un signo positivo (más), los signos de los términos no se alteran, cuando va precedido por un signo negativo (menos) los términos si cambian de signo.

61

Ejemplos:

a) (1) (7) (4) + (7 - 5) - (12 - 6) + 42

6

= 28 + 2- 6 + 7

= 28 + 2 - 6 + 7 = 31 b) 5 - 6 - (6 - 2) - (4 - 0) - 6(1 + 3 - 0) + (- 2) (6 - 3)= 5 - 6 - 4 - 4 - 6 (4) + (- 2) (3) 5 - 6 - 0- 24 - 6 = 5 - 6 - 0 - 24 - 6 = 5 - 6 + 0 + 24 + 6 = 29 Utiliza las sugerencias para eliminar signos de agrupación y vamos a resolver los siguientes ejemplos: c) 5 - 2(8 - 3) = 5 - 2(5) simplifica el paréntesis primero. = 5 - 10 realiza primero la multiplicación antes de restar. = - 5 Nota: Pudiste eliminar el paréntesis al utilizar la propiedad distributiva y luego restar. 5 - 2(8 - 3) = 5 - 16 + 6 = - 5 Es muy frecuente en este tipo de ejemplos que cometas el siguiente error. 5 - 2(8 - 3) = 3(8 - 3) = 3(5) = 15 El error como observas es en restar el 2 de 5, esto no se puede hacer ya que el 2 multiplica al resultado de la operación del paréntesis.

62

Tienes que distinguir entre operaciones como:

d) 6 - 3(4 + 8) y e) 6 - 3 + (4 + 8)

La primera expresión te indica que a 6 le vas a sustraer el producto de 3 por la suma de 4 y 8. Mientras que la segunda expresión te indica simplemente 6 menos 3 más la suma de 4 y 8, al resolver las expresiones tendrás: 6 - 3(4 + 8) = 6 - 3(12) 6 - 3 + (4 + 8) = 6 - 3 + (12) = 6 - 36 = 6 - 3 + 12 = - 30 = 15

f) 5 - 2 3 - (6 - 2) = 1o. Resolver (6 - 2) = 5 - 2 3 - (4) 2o. Eliminar paréntesis = 5 - 23 - 4 3o. Resolver 3 4 = 5 - 2 - 1 4o. Eliminar corchetes = 5 + 2 5o. Resolver 5 + 2 = 7 Multiplica antes de restar y acuérdate de los ejemplos anteriores. Nota: Puedes aplicar la propiedad distributiva para encontrar el resultado y empezar a simplificar primero los paréntesis, luego los signos de corchetes y al final, si existen, las llaves.

Multiplica antes de restar y acuérdate de los ejemplos anteriores. Puedes aplicar la propiedad distributiva para encontrar el resultado y empezar a simplificar primero los paréntesis, luego los signos de corchetes y al final, si existen, las llaves.

Problemas

1. En los siguientes problemas anota en el cuadro el número que corresponda a una respuesta correcta.

a) 6 + 2 = 0 b) - 3 2 = 18 c) 2 - 2 - 3 = 0


63

d) 42 + = 20 e) 6 3+ = - 6 f) 7 - 2 + 5 = - 42 2. Coloca signos de operación ( +, -, x, ) y paréntesis de tal forma que las siguientes

operaciones sean correctas. Ejemplo: (3 1) 2 = 1 (3 - 1) 2 = 1 a) __ 12 __ __ 4 __ 2 __ 2 __ = 4 b) __ 4 __ 10 __ __ __ 2 __ __ 3 __ __ = 36 c) __ __ 2 __ __ 7 __ 6 __ __ 3 __ __ __ 8 __ 10 __ = 3 d) 8 __ __ __ 6 __ 4 __ __ 2 __ = 4 e) __ 8 __ 6 __ __ __ 4 __ 2 __ = 7 Potencias Como recordarás, en secundaria calculaste operaciones con potencias y con esto conociste algunas propiedades de esta operación. Por ejemplo:

23 = (2) (2) (2) = 8 34 = (3) (3) (3) (3) = 81 Los elementos que componen la utilización de potencias son: base 23 exponente Ahora extenderemos la utilización de potencias con base negativa Ejemplo: (- 2)3 = (- 2) (- 2) (- 2) = - 8 (- 3)4 = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) = 81 (- 6) (- 6) (- 6) = (- 6)3 = - 216 (- 4) (- 4) (- 4) (- 4) = (- 4)4 = 256

64

¿Cuándo una potencia resulta negativa? Si la base es negativa, ¿cuándo la potencia es positiva? Ahora, ¿recuerdas cómo se calcula la potencia de un número racional?

Realiza los siguientes ejercicios: ¿Cuál es el número mayor que puedes formar con tres números? Solución: Problemas 1. Compara los valores obtenidos al calcular las potencias y encuentra la mayor potencia. a) con cuatro números 2 b) con cuatro números 3 c) con cuatro números 5 d) con tres números 9 2. Sigue los pasos y aplica los conocimientos que tienes sobre potencias. - Elige cualquier número impar. - Encuentra los dos números consecutivos que sumados componen ese número. - Eleva esos dos números al cuadrado - Calcula la diferencia entre esos dos cuadrados ¿Qué fue lo que obtuviste? ¿Puedes repetir el proceso para otro número impar? Explica lo que observaste. 3. Calcula las potencias que siguen a continuación. a) 2 25 4

b)

45

3

3

c) 2 34

2 2

2


65

d)

43

5

3

e) 6 23

2 2

2

f) 2 22

10 9

4

Si aprendiste a utilizar adecuadamente las propiedades de campo de los números reales, los signos de agrupación y los procedimientos algoritmos de solución de las operaciones básicas adición, sustracción, producto y cociente, realizarás problemas de nivel de abstracción más elevados que te permitirán lograr el objetivo del tema que es Operar con números reales.

Hasta aquí estudiaste: Los símbolos de agrupación los cuales son: los paréntesis ( ), los corchetes y las llaves y se usan para señalar de una manera sencilla más de una operación, al indicar el orden preciso en que deben efectuarse. Y no olvides que las cantidades o números agrupados se pueden considerar como un todo.


66

En el siguiente esquema te presentamos una síntesis de los aspectos más relevantes del capítulo que acabas de estudiar, con la intención de que obtengas una idea clara de la secuencia que seguiste en tus aprendizajes, para que puedas entender y manejar estos conocimientos. Operando con los números reales

Necesidad de contar y medir en todas las culturas.

Surgimiento de los sistemas numéricos (sistema decimal, fundamentado en los conceptos de base y posición).

Orígenes de Algunos Sistemas Numéricos

Método de multiplicación por duplicación de los egipcios.

Procedimiento de Gauss.

Solución de problemas.

Métodos y algoritmos

Los números reales (R)

Conjunto de números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (Q)

Propiedades de las operaciones

Asociativa, distributiva, conmutativa, cerradura.

Incluyen los signos de agrupación.

RECAPITULACIÓN

67

Después de haber revisado los contenidos de este tema realiza las siguientes actividades, para que verifiques tu aprendizaje. 1. Si realizas una rifa de una libreta estilo francés con 90 números de 1 al 90, ¿cuál sería

el monto de la venta de estos números si su precio es el indicado por el número del boleto? Por ejemplo, si eligen el número 35, su valor será de $35, y así respectivamente.

2. En las siguientes expresiones, establece las propiedades que se aplican. a) 25 + 35 = 35 + 25 b) (17 + 13) + 20 = 17 + (13 + 20) c) 16(2 x 15) = (16 x 2) x 15 d) 8(11 x 13) = 8(13 x 11) e) 100 + 0 = 100 3. Con base en el significado de la propiedad asociativa, plantea distintas formas de

realizar las siguientes operaciones y argumenta por qué los resultados son los mismos:

250 + 375 + 220 + 40 = 13 x 5 x 7 x 4 = 126 - 200 - 14 - 18 = 4. Justifica cada paso en la siguiente operación y nombra la propiedad que se emplea: (5 + 8) + (6 + 2) = (5 + 8) + 6 + 2 = 5 + (8 + 6 + 2 = 5 + (6 + 8) + 2 = 5 + (6 + 8) + 2 = 5 + 6 + (8 + 2) = 21

ACTIVIDADES INTEGRALES

68

5. Realiza las siguientes operaciones con números reales: a) (- 1) (- 3) = b) ( - 4) (- 7) = c) (- 3 ) (+ 8) (9) d) - (-5) (- 3) (- 1) (12) = e) - 6 (6 + 8) + 8 - 32 + 16 = f) 3 + 48 - 16 - 3 + 57 = g) (3 + 45) = h) (4 + 3) 2 = i) 2 4 2 5 1 ( ) = j) 4 + (25) = k) (- 3) + ( - 7) + (- 1) + (4) + (9) + (- 15) = l) (0) + (1) + (- 1) + (- 16) + (16) = ll) - - (- 2) + 3(6 - 8) 4 - 5 (5 + 2) = m) - (- 2) - 4 (4 - 6) 3 + (7 - 3) = n) 3 - 7(5 - 6) - 3( - 2) - 5(- 4) - 6 + (5 - 7) =

o)

9

5

3

9

1

8

p)

2

5

5

4

5

6

2

3

5

4

5

6

q) 67 + 4(3 + 5) + 2(7 - 2)3 = r) (- 5) (- 2) 3 +2(1 - 1) - 7 (3 + 5) =

69

A continuación se presentan las respuestas de los ejercicios realizados, compáralas con las que obtuviste y rectifica aquellas que sean diferentes. 1. Tu respuesta debe ser (45) (91) = 4095 2. Las propiedades que aplicaste son: a) Conmutativa de la adición b) Asociatividad de la adición c) Asociatividad de la multiplicación d) Conmutatividad de la multiplicación e) Identidad aditiva. 3. Si la propiedad asociativa permite asociar o agrupar cantidades de diferente manera,

algunas de las formas en que puedes realizar dichas operaciones son las siguientes: 250 + 375 + 220 + 40 = (250 + 375) + (220 + 40) = 250 + (375 + 220) + 40 = (250 + 375 + 220) + 40 13 x 5 x 7 x 4 = (13 x 5) (7 x 4) = 13 x (5 x 7) x 4 = 13 x (5 x 7 x 4) 126 - 200 - 14 - 18 = (126 - 200) - 14 - 18 = (126 - 200 - 14) - 18 = 126 + (- 200 - 14 - 18) 4. Asociativa Asociativa Conmutativa Asociativa Asociativa Cerraduras de la adición

AUTOEVALUACIÓN

70

5. a) 3 b) 28 c) -216 d) 180 e) - 92 f) 89 g) 48 h) 14 i) 29 j) 14 k) -13 l) 0 ll) -124 m) 70 n) - 2080

o) 3

40

p) 35

q) 349 r) -26 Nota: De las respuestas k) a la r) se te sugiere poner atención en la eliminación correcta

de los signos de agrupación y el orden de las operaciones. Recuerda cómo se eliminan los signos.

71

DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA

2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS

2.1.1 Método por Ensayo y Error 2.1.2 Razones y Proporciones 2.1.3 Diagramas de Operaciones

2.2 MODELOS ALGEBRAICOS

CAPÍTULO 2

73

En el capítulo anterior operaste con los números reales, y aplicaste las propiedades de sus operaciones. Para este capítulo: ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO APRENDERÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

PROPÓSITO

Al valorar la importancia del álgebra para la solución de problemas que con la aritmética son más laboriosos de resolver.

Comparando los métodos aritméticos y los algebraicos; analizando los ejemplos que se incluyen en el contenido, y desarrollando las actividades que se proponen.

Para identificar los modelos algebraicos como una herramienta que nos ahorran tiempo y esfuerzo en la solución de problemas concretos.

75

CAPÍTULO 2

DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA

2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS Generalmente aprendemos matemáticas como un proceso mecánico, donde lo único que se requiere es sumar, restar, multiplicar o dividir dos cantidades; sin embargo, las matemáticas son la base del razonamiento y toma de decisiones en muchas de nuestras actividades, simplemente si tuviéramos prisa, ¿cómo tomaríamos la decisión de aplicar un procedimiento u otro para concluir una actividad, sin calcular el tiempo que nos lleva cada alternativa? en este caso nos auxilia la aritmética, que es una área de las matemáticas con las que te has relacionado desde que conociste los números para realizar operaciones con ellos. Ahora bien, en ocasiones nos enfrentamos a problemas que con la aritmética es muy laborioso solucionar, porque no tenemos todos los datos, y por consecuencia no podemos tomar una decisión certera. En estos casos nos auxilia el álgebra, por ejemplo: Imagínate que te ofrecen trabajo de vendedor en dos compañías; en la primera te ofrecen un sueldo base de $ 500.00 mensuales, más el 4% de comisión sobre las ventas totales del mes; y en la segunda únicamente el 7% de comisión sobre las ventas totales del mes. Además sabes que el promedio de ventas en un mes supera los $10,000.00 por vendedor y que tú eres muy hábil en este tipo de trabajos. ¿Por qué compañía te decidirías? Si no sabes álgebra seguramente aceptarías la oferta de la primer compañía, pero si tienes conocimientos algebraicos, antes de decidir harías algunos cálculos, que te ayudarían a tomar la decisión más certera.

76

Pero iniciemos analizando las ventajas del álgebra, para lo cual es necesario conocer los alcances de los métodos aritméticos como son: El Método de Ensayo y Error que nos permitirá ejercitar las operaciones aritméticas, aplicadas a la resolución de problemas. El Método de Razones y Proporciones nos ayudará a rescatar nuestros conocimientos de proporcionalidad. Finalmente el Método de Diagramas de Operaciones que establece el puente para llegar al álgebra. 2.2.1 MÉTODO POR ENSAYO Y ERROR Para solucionar un problema por el método de ensayo y error, necesitamos intentar encontrar el valor correcto resolviéndolo con cantidades aproximadas, si con la primera el resultado es mucho menor del que esperamos, debemos aumentarla y si se excede, debemos disminuirla.También es indispensable que leamos, las veces que sea necesario el planteamiento del problema para definir: qué datos tenemos, qué es lo que necesitamos encontrar, y qué procedimiento podemos aplicar. Recuerda también que para resolver un problema aritmético, únicamente requieres de las operaciones básicas y analizarlo correctamente. EJEMPLO Se tiene un terreno cuadrado cuyos lados miden 30 metros y se tiene bardeada una porción rectangular de 20 metros de largo por 8 de ancho. Si se quiere ampliar el área bardeada a 364 m2, además aumentar la misma longitud en su largo como en su ancho, ¿qué longitud se debe ampliar la barda en cada lado? Para tener una mejor idea del problema que se plantea, podemos recurrir a la figura 2. 20m ? 8m 30m ? Figura 2. El área sombreada

corresponde a la actualmente bardeada. La línea punteada delimita el área deseada. ¿A cuánto corresponde la longitud ampliada?

Antes de continuar, recuerda que para calcular el área de un rectángulo, multiplicamos la longitud del largo por la del ancho. Así, el área que actualmente está bardeada es de 160 m2 y el área que deseamos obtener, es 364 m2. Como debemos obtener estas nuevas longitudes al sumar la misma cantidad al ancho y largo actuales, para resolver el problema tenemos que encontrar un número tal, que al sumarlo a 20 y 8, el producto de los resultados respectivos sea 364.

77

Podemos enfrentar este problema de diversas maneras, por el momento lo vamos a hacer con el método de ensayo y error que consiste en ir probando o ensayando varios valores hasta llegar al resultado correcto. Sumemos 1 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos:

(20 + 1) x (8 + 1) = 21 x 9 = 189

Esta cantidad es menor a la deseada. Sumemos entonces 2 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos:

(20 + 2) x (8 + 2) = 22 x 10 = 220

que es todavía menor que la cantidad requerida. Sumemos ahora 10 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos nuevamente:

(20 + 10) x (8 + 10) = 30 x 18 = 540

que es mayor que la cantidad requerida. Esto es, si aumentamos 2 metros a cada lado, obtenemos un área de 220 m2 y si aumentamos 10 metros a cada lado obtenemos un área de 540 m2. Como al aumentar la longitud de los lados aumenta el área y el área que buscamos está entre 220 y 540, el número que buscamos debe estar entre 2 y 10. Hagamos la prueba con 5:

(20 + 5) x (8 + 5) = 25 x 13 = 325

que es todavía menor que 364, así que probaremos con otro número que sea mayor que 5 y menor que 10. Ya que 325, el valor correspondiente a 5, está más cercano a 364 que lo está 540, el valor correspondiente a 10, probaremos con un número que sea más cercano a 5 que a 10. Hagámoslo con 6:

(20 + 6) x (8 + 6) = 26 x 14 = 364

que es el área que buscamos. Así, para resolver el problema se requiere de aumentar 6 metros a la longitud del largo y del ancho, respectivamente.

78

EJEMPLO Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00 pesos diarios, más $ 2.00 pesos por kilómetro recorrido; otra compañía cobra por la renta del mismo auto $ 80:00 pesos diarios, más $ 2.50 pesos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en la dos compañías? Resolveremos el problema nuevamente por el método de ensayo y error. Consideremos varios valores, correspondientes a kilómetros recorridos para calcular el costo respectivo en cada una de las compañías. Con 50 kilómetros: Costo en la primera compañía:

120.00 + 50 x 2.00 = 120.00 + 100.00 = 220.00 Costo en la segunda compañía:

80.00 + 50 x 2.5 = 80.00 + 125.00 = 205.00

En este caso el costo en la primera compañía es mayor que en la segunda. Con 60 kilómetros: Costo en la primera compañía:


80.00 + 60 x 2.5 = 80.00 + 150.00 = 230.00

En este caso, nuevamente, el costo es mayor en la primera compañía que en la segunda. Con 70 kilómetros: Costo en la primera compañía:


80.00 + 70 x 2.50 = 80.00 + 175.00 = 255.00 Todavía el costo es mayor en la primera compañía que en la segunda. Para tener una mejor visión del problema resumiremos los datos en una tabla.

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Kilómetros Recorridos

Costo en la Primera Compañía

Costo en la Segunda Compañía

50 220.00 205.00 60 240.00 230.00 70 260.00 255.00

Tabla 1. La primera columna corresponde a los kilómetros recorridos, la segunda el costo de

rentar el automóvil en la primer compañía al recorrer el número de kilómetros indicado en cada renglón, y la tercera, el costo que tiene rentarlo en la segunda compañía al recorrer, también, el número de kilómetros indicado en cada renglón.

Como puedes observar, el tener concentrados los datos relevantes del problema en la tabla nos puede ayudar a analizarlos. De estos datos observamos que cuando crece el número de kilómetros recorridos, los dos costos también crecen. Asimismo vemos que el costo en la primer compañía es mayor que en la segunda, aunque la diferencia entre los dos costos disminuye cuando aumentamos el número de kilómetros. Si analizas con cuidado la tabla te darás cuenta que por cada 10 kilómetros que se aumenta, los costos para la primera compañía aumenta 20.00 pesos y los de la segunda 25.00 pesos. De esta manera podemos obtener calcular valores, sin tener que hacer tantos cálculos. Consideremos nuevos valores para los kilómetros recorridos, 80, 90, 100 y 110 por ejemplo, calculemos los dos costos correspondientes para cada uno de ellos, al aumentar de 20.00, en 20.00 en la primera columna y de 25.00 en 25.00 en la segunda concentremos los datos en la tabla y aumentemos cuatro renglones a la tabla anterior.

Kilómetros Recorridos

Costo en la Primera Compañía

Costo en la Segunda Compañía

50 220.00 205.00 60 240.00 230.00 70 260.00 255.00 80 280.00 280.00 90 300.00 305.00 100 320.00 330.00 110 340.00 355.00

Tabla 2. Se aumentaron los renglones correspondientes a 80, 90, 100 y 110 km recorridos. Se

calculó el costo para la primer compañía al aumentar de 20 en 20 pesos, y para la segunda de 25 en 25.

Como puedes observar, el kilometraje que se requiere para que el costo de la renta sea igual en las dos compañías es 80. Además, observa que cuando el número de kilómetros es mayor que 80, el costo de la renta en la segunda compañía es ahora mayor que en la primera y que la diferencia crece. Ahora observa que el método de ensayo y error, nos sirve para solucionar problemas donde nos hace falta un dato, y lo que tenemos que hacer es aproximarnos con diversos valores y comparar los resultados obtenidos hasta encontrar el correcto ¿Te pareció muy complicado el procedimiento? ¿Crees que exista una forma más sencilla para solucionarlos?

80

2.1.2 RAZONES Y PROPORCIONES El método de razones y proporciones se aplica como un auxiliar del método de ensayo y error, en problemas donde dos datos están relacionados, y se pueden expresar como una fracción, para obtener un tercer dato que también está relacionado y se conoce como constante o coeficiente de proporcionalidad. Recuerda que antes de analizar el procedimiento de resolución para los ejemplos que se plantean, debes intentar solucionarlos y comparar el procedimiento que realizaste con el que aparece en el fascículo. EJEMPLO

La inflación en los últimos tres años fue de 35%, 20% y 13 % respectivamente ¿Cuál era el precio de un artículo hace tres años si ahora cuesta $338.66? si suponemos que su precio ha crecido al mismo ritmo que la inflación. Para aclarar el problema revisa la tabla 3.

INFLACIÓN DE HACE A HACE %

3 años 2 años 35 2 años 1 año 20 1 año A la actualidad 13

Tabla 3. Los últimos tres años abarcan el actual, el anterior y el de

hace dos. La inflación se determina en función del año anterior.

Este problema lo podemos solucionar desde diversos métodos, sin embargo, primero lo abordaremos desde el método de ensayo y error, para lo cual se calcula la devaluación de 100 y 200 pesos de hace 3 años, considerando los porcentajes inflacionarios. Para calcular la inflación de $100.00 analiza la siguiente tabla:

TIEMPO VALOR DE $100.00 Hace 3 años $100.00 Hace 2 años 100.00 + 35% Hace 1 año (100.00 + 35%) + 20%

Actualmente (100.00 + 35%) + 20%+ 13% Tabla 4. En la segunda columna aparece como se incrementó el valor de los $100.00 de acuerdo a la inflación. Hace dos años: Para obtener el valor que conforme a la inflación tomaron hace dos años los 100.00 pesos de hace tres años, le sumamos la cantidad correspondiente al porcentaje de inflación de ese año (35%).

100.00 + 0.35 (100.00) = 135.00 (1)

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reagrupamos, en vista de la propiedad distributiva*, (1 + 0.35) (100.00) = 135.00 (1’) Hace un año: De la misma manera, para obtener el equivalente que conforme a la inflación tomaron hace un año los 135,000 pesos de hace dos, sumamos la cantidad correspondiente al porcentaje de inflación de ese año (20%). 135.00 + 0.20 (135.00) = 162.00 (2) (1 + 0.20) (135.00) = 1.20 (135.00) = 162.00 (2’) * Recuerda que para sumarle un X% a una cantidad, se multiplica la cantidad por 1.X

dado que 1 corresponde 100% y X al porcentaje que se le suma. Este año: Para calcular el valor actual procederemos en forma análoga. 162.00 + 0.13(162.00) = 183.06 (3) (1 + 0.13) (162.00) = 1.13 (162.00) = 183.06 (3’) Se hicieron los cálculos cuando se multiplicaron las cantidades por 1.35, 1.20 y 1.13 respectivamente. Ahora procedamos a calcular el costo actual de 200 pesos. Así para calcular a cuánto eran equivalentes hace dos años, de acuerdo con el índice de inflación, 200.00 de hace tres, multiplicamos 200.00 por 1.35. 1.35(200.00) (4) Observamos que: 200.00 = 2(100.00) (5) Entonces: 1.35(200.00) = 1.35 (200.00) = 1.35 (2(100.00)) (6)

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Al reagrupar: 1.35 (2(100.00)) = 2(1.35(100.00) (7) O sea, que el valor correspondiente de hace dos años, de acuerdo a la inflación, de los 200.00 pesos de hace tres años, es el doble del correspondiente a 100.00 Para calcular los valores para hace un año y para este año, duplicamos los encontrados para 100.00 respectivamente. Hace un año:

2(162.00) = 324.00

Este año:

2(183.06) = 366.12

Al resumir los resultados anteriores diremos que 200.00 es el doble de 100.00 y que también los valores correspondientes a 200.00, respecto a la inflación (270; 324.00; 366.12) son el doble de los que toma 100.00 (135.00; 162.00; 183.06) respectivamente. Decimos entonces que los dos conjuntos de valores son proporcionales y los escribimos: Hace tres años 200.00 = 2(100.00) Hace dos años 270.00 = 2(135.00) Hace un años 324.00 = 2(162.00) Este año 366.12 = 2(183.06) O bien: 200 00

100 00270 00135 00

324 00162 00

36612183 06

2..

.

...

..

En este caso al número dos le llamamos el coeficiente de proporcionalidad. Al repetir el proceso anterior veremos que si en lugar de 200.00 tomamos otra cantidad, los valores obtenidos también serán proporcionales con los correspondientes a 100.00. Por ejemplo, sabemos que 50.00 es la mitad de 100.00, luego, 50.00 pesos de hace tres años equivalen según la inflación a:

83

Hace dos años:

12

135 00 67 50( . ) .

Hace un año:

12

162 00 8100( . ) .

Este año:

12

183 06 9153( . ) .

En este caso 12

es el coeficiente de proporcionalidad.

Retomemos el problema original, que era encontrar el valor que tenían 338.66 pesos actuales, hace tres años. Apoyándonos en los valores que hemos encontrado podemos calcular el coeficiente de proporcionalidad. Para tener una mejor visión del problema resumimos los datos en la siguiente tabla:

HACE TRE AÑOS HACE DOS AÑOS HACE UN AÑO ESTE AÑO $ 50.00 $ 67.50 $ 81.00 $ 91.53 100.00 135.00 162.00 183.06

? ? ? 338.66 200.00 270.00 324.00 366.12

Tabla 5

Para calcular el coeficiente de proporcionalidad para 338.66 pesos actuales, podemos dividir dicha cantidad entre cualquier valor de este año. Calculemos el coeficiente de proporcionalidad: 338.66 = 1.85 183.06 o sea que:

338.66 = 1.85 (183.06)

Como los valores del segundo y tercer renglón deben ser proporcionales y por la igualdad anterior sabemos que el coeficiente de proporcionalidad es 1.85, para calcular los valores del tercer renglón basta con multiplicar por 1.85 los del segundo: 185.00 = 1.85(100.00) 249.75 = 1.85(135.00) 299.70 = 1.85(162.00)

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y para completar la tabla 6 con estos valores tenemos:

HACE TRES AÑOS HACE DOS AÑOS HACE UN AÑO ESTE AÑO

$ 50.00

$ 67.50

$ 81.00

$ 91.53

100.00

135.00

162.00

183.00

185.00

249.75

299.70

338.66

200.00

270.00

324.00

366.12

Tabla 6

Hemos visto como la proporcionalidad nos ayudó a resolver el problema. Tal vez en este momento te puede parecer, que sin usarla hubiera sido más fácil; esto se debe en parte a que, en el curso del mismo, se introdujo el concepto de proporcionalidad, pero para llegar a que los $338.66 son equivalentes a $185,00 de hace tres años, tendríamos que haber hecho muchos más cálculos si únicamente hubiéramos aplicado el método de ensayo y error. Resolveremos ahora el siguiente problema con el método de ensayo y error, nos apoyaremos en el concepto de proporcionalidad. Puedes observar cómo su uso nos ahorra mucho trabajo. EJEMPLO En 1980 la población del estado de Sonora tenía aproximadamente 1’500,000 habitantes. si suponemos que la tasa media de crecimiento de 1975 a 1980 fue el 5% anual. ¿Cuántos habitantes tenía en 1975 y cuál fue el último año que tuvo este estado menos de 1’250,000? Calcularemos el crecimiento de diferentes poblaciones, con la misma tasa de crecimiento que la enunciada en el problema. Si partimos de una población de 1’000,000 habitantes en 1975, tendremos: 1976: 1’000,000 + 0.05 (1’,000,000) = 1’000,000 + 50,000 = 1’050,000

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Antes de continuar, obtengamos una forma más simple de hacer los cálculos: 1’000,000 + 0.05 (1’000,000) = (1 + 0.05) (1’000,000) = = 1.05 (1’000,00) = 1’050,000 Así, para calcular la población después de un año, si la tasa de crecimiento es de 5% anual, se multiplica el número de pobladores por 1.05. 1977: 1.05 (1’050,000) = 1’102,500 1978: 1.05 (1’102,500) = 1’157,625 1979: 1.05 (1’157,625) = 1’215,506.2 1980: 1.05 (1’215,506.2) = 1’276,281.5 A pesar de que para los dos últimos años el resultado fue un número no entero y de que no podemos tener un número no entero de personas, para efectuar los cálculos usaremos estos números. Aunque solamente tengamos los valores correspondientes a una población de 1’000,000 habitantes en 1975, empecemos a construir la tabla para tener mayor claridad, en ella no consignamos la parte decimal de los números correspondientes a 1979 y 1980.

1975 1976 1977 1978 1979 1980 1,000,000 1,050,000 1,102,500 1,157,625 1,215,506 1,276,281

Tabla 7 Añadimos un renglón en la tabla, aquél que corresponde al valor 1’500,000 en 1980.

1975 1976 1977 1978 1979 1980 1,000,000 1,050,000 1,102,500 1,157,625 1,215,506 1,276,281

? ? ? ? ? 1,500,000 Tabla 8

Los valores del segundo renglón son proporcionales a los del primer renglón (¿por qué?), por lo tanto, si calculamos el coeficiente de proporcionalidad calcularemos los valores que hacen falta.

86

1500 0001276 281

1175, ,, ,

.

La constante de proporcionalidad es entonces 1.175. Para conocer cuántos habitantes había en 1975, multiplicamos 1,000,000 por 1.175:

1.175 (1,000,000) = 1,175,000

Si solamente quisiéramos saber cuantos habitantes había en 1975, ya hubiéramos terminado; pero como también queremos saber cuándo fué el último año que hubo menos de 1,250,000; efectuamos entonces los demás cálculos:

1.175 (1,050,000) = 1,233,750 1.175 (1,102,500) = 1,295,437

En este momento ya podemos responder la segunda pregunta, por lo que no necesitamos seguir calculando. El último año que hubo menos de 1’250,000 habitantes fue en 1976, no fue necesario por tanto, terminar de llenar la tabla.

1975 1976 1977 1978 1979 1980 1,000,000 1,050,000 1,102,500 1,157,625 1,215,506 1,276,281 1,175,000 1,233,750 1,295,437 ? ? 1,500,000

Tabla 9 En la resolución del problema anterior, viste que efectivamente el uso de la proporcionalidad nos ahorró bastante trabajo, de hecho solamente hubo que ensayar con un valor y después hicimos uso de ella, para calcular directamente, por medio de la constante de proporcionalidad, los valores que buscábamos. Puedes ahora preguntarte, ¿podemos aplicar la proporcionalidad para resolver todos los problemas que hemos visto?, y si no es así, ¿cómo podremos saber cuándo hacer uso de ella? Observe el siguiente ejemplo: EJEMPLO Se tiene un terreno cuadrado cuyos lados miden 30 metros, se tiene bardeada una porción rectangular de 20 metros de largo por 8 de ancho. si se quiere ampliar el área bardeada a 364 m2 y aumentar la misma longitud en su largo como en su ancho, ¿qué longitud se debe ampliar la barda en cada lado?

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LARGO ANCHO ÁREA 20 8 160 21 9 189 22 10 220 25 13 325 26 14 364 30 18 540

Para ello calculamos los cocientes 364

2026

814

160, ,

2026

0 769 .

814

0 571 .

160

3640 439 .

Ya que los cocientes no son iguales, los renglones no son proporcionales y no podemos, por tanto, resolver este problema usando la proporcionalidad. Observa que el método de razones y proporciones, únicamente lo podemos aplicar cuando se determina el coeficiente de proporcionalidad. ¿Te pareció más sencillo este método que el de ensayo y error? ¿Cuál es la razón? 2.1.3 DIAGRAMAS DE OPERACIONES Hasta ahora hemos visto como resolver aritméticamente ciertos problemas con el método de ensayo y error. Nos apoyamos en ocasiones, cuando el problema lo permite, en la proporcionalidad. Es importante insistir en que estos problemas tienen una importante diferencia, con aquellos que estábamos acostumbrados a resolver. Por lo general, siempre teníamos que calcular o encontrar una cierta cantidad y era claro qué operaciones había que realizar con los datos numéricos del problema. Por ejemplo: si nos encontrábamos de viaje en alguna ciudad de los Estados Unidos de Norteamérica y el costo de una comida fue de 23 dólares, es claro que, para saber cual fue su costo en pesos mexicanos, bastaría con multiplicar 23 por el número de pesos que cuesta comparar un dólar (lo que usualmente se conoce como el tipo de cambio peso-dólar).

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Esto es, operábamos con cantidades conocidas y nos interesábamos por el resultado de operar con ellas. En los problemas que hemos planteado en este fascículo, conocemos los resultados de ciertas operaciones y lo que nos interesa es saber la cantidad de que partimos. Por ello en los problemas que ahora queremos resolver, no es tan claro qué operaciones aritméticas debemos realizar con los datos numéricos del problema, para encontrar la cantidad de que partimos. De hecho, como se vio, tuvimos que hacer “algo más” que operaciones aritméticas. Este “algo” adicional fue la implementación de un método para resolverlos. Este método, como ya hemos dicho, se conoce usualmente como el método de prueba y error o ensayo y error. como te podrás dar cuenta, el nombre del método es muy descriptivo, máxime si recuerdas que para encontrar la cantidad deseada, probábamos con algunos valores hasta que encontrábamos aquel que satisficiera las condiciones del problema, es decir, hasta que ya no hubiera error. Aún cuando en algunos casos este método puede resultar seguro, en algunos otros puede ser inútil o cuando menos excesivamente laborioso. El siguiente es un ejemplo donde se determinarán las operaciones que hay que realizar con los datos numéricos, para llegar a la cantidad de que partimos, no es tan sencillo y resolverlo por el método de ensayo y error es tardado y, como ya se ha dicho, laborioso. EJEMPLO Pedro pensó un número, que multiplicó por 2; al resultado le sumó 5 para después dividir por 5, restar 1, multiplicar por 8 y, finalmente, sumar 7. El resultado que obtuvo fue el número 39. ¿Cuál es el número que pensó Pedro? Resuelve el problema por el método de ensayo y error. Una vez que lo hayas hecho, lee el método de solución que te proponemos. Para resolver este problema pensaremos lo siguiente: ¿podemos saber cuál es el número que obtuvo Pedro antes de realizar la última operación (sumar 7) y cuyo resultado le dio 39? Es decir, ¿cuál es el número que al sumarle 7 da 39? No cuesta mucho trabajo convencerse de que, para obtener este número, basta con que a 39 le restemos 7 (lo inverso de sumar 7). Así pues, como 39 - 7 = 32, ya sabemos que el resultado que obtuvo Pedro, después de haber realizado las primeras cinco operaciones fue 32. Ahora nos preguntaremos: ¿cuál es el número que Pedro obtuvo antes de multiplicar por 8 y cuyo resultado le dio 32? Es decir, ¿cuál es el número que multiplicado por 8 da 32? Como en el caso anterior, es fácil darse cuenta que, para encontrar este número, basta con que a 32 lo dividamos por 8 (lo inverso de multiplicar por 8) de modo que, como 32/8 = 4, llegamos a la conclusión de que 4 fue el resultado que Pedro obtuvo después de realizar las primeras cuatro operaciones con el número que pensó. Seguramente a estas alturas, ya te diste cuenta del método que empleamos para encontrar cada uno de los números que Pedro obtuvo conforme realizó las operaciones, y de este modo llegar al número inicial. De hecho, nuestro problema queda ilustrado gráficamente de la siguiente manera:

89

x 2 + 5 5 - 1 x 8 + 7 ? ? ? ? ? ? 39 y el método que usamos para resolverlo es de la siguiente forma: 2 - 5 x 5 + 1 8 - 7 10 20 25 5 4 32 39 Como podrás observar, de esta manera es fácil determinar cuales son las operaciones, que hay que realizar con los datos numéricos del problema. A los diagramas construidos les llamaremos diagramas de operaciones. Compara ahora la manera en que solucionamos el problema por medio de los diagramas de operaciones, con la manera en que lo hiciste con el método de ensayo y error. Podrás darte cuenta, en primer lugar, de que el número de operaciones que tuviste que realizar fue bastante menor, a menos que el primer número que hayas escogido para probar haya sido 10, lo cual sería realmente una casualidad. En segundo lugar, verás que la manera de resolver el problema se aplica a cualquier otro número, para el cual el problema tenga solución. Así, si se tiene el número 55 como resultado de efectuar las operaciones descritas con un número, que se pensó al aplicar el método del diagrama de operaciones se obtiene: 2 - 5 x 5 + 1 8 - 7 15 30 35 7 6 48 55 Desafortunadamente, con el método anterior no es posible resolver una buena variedad de los problemas, que enfrentamos. Más aún, si hacemos una pequeña modificación al ejemplo te darás cuenta que el método que empleamos ya no funciona. EJEMPLOS Pedro pensó un número al cuál multiplicó por 2, al resultado le sumó 5, para después dividir por 5, sumar el número que pensó, multiplicar por 8 y finalmente restar 3 y obtendrás como resultado el número 61. ¿Cuál es el número que pensó Pedro? Si aplicamos el método empleado en el problema anterior, llegamos a un punto en el cual ya no podemos avanzar.

90

Esto se ve más claramente en el siguiente diagrama: 2 - 5 x 5 ? 8 + 3 ? ? ? ? 8 64 61 El método de diagramas de operaciones únicamente requiere saber cuál es la operación inversa que corresponde ¿Crees que exista una forma más sencilla de resolver este tipo de problemas? ¿Cómo te imaginas que podrías plantearlos?

Para que ejercites los tres métodos que analizamos en este tema, resuelve los siguientes problemas por el método que se indica. POR ENSAYO Y ERROR: 1) Dos trenes salen de la estación al mismo tiempo, uno hacia el norte y otro hacia el sur

¿cuánto tiempo tardan en distanciarse 845 km entre ambos, si la velocidad del primero es de 100 km/h, y el segundo va a 95 km/h?

Respuesta: ____________________ Para resolver este problema, deberás aumentar las horas. Si con esto no llegas al resultado exacto, transforma las horas a minutos. Para dar la respuesta, vuelve a transformar los minutos a horas. 845 km t = ? 2 1 N E 2) ¿Qué número habrá que sumar a 25 y 30, para que el producto de los resultados sea

1974? Respuesta: ______________ Recuerda que cuando hablamos de producto, nos referimos al resultado de una multiplicación.


91

3) Se invierten $1,000.00 en el banco a un interés de 10% anual ¿cuántos años tendrán que pasar para obtener más de $ 5,000.00 si se reinvierten los intereses?

Recuerda que para sumarle el 10% a una cantidad se multiplica la cantidad por 1.1. POR RAZONES Y PROPORCIONES 4) Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00

diarios, más $2.00 por kilómetro recorrido; otra compañía cobra por la renta del mismo auto $80.00 diarios, más $2.50 por kilómetro recorrido ¿cuántos kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en las dos compañías?

Respuesta: ________________

Para solucionar este problema, primero aplica el método de ensayo y error para dos valores; después encuentra el coeficiente de proporcionalidad; con éste, calcula el valor que se solicita.

Si no lo puedes solucionar por este método, escribe en media cuartilla las razones.

5) Dos trenes salen de la estación al mismo tiempo, uno hacia el norte y otro hacia el sur ¿cuánto tiempo tardan en distanciarse 768 km entre ambos, si la velocidad del primero es de 80 km/h y del segundo de 90 km/h?

Inicia la resolución de este problema por ensayo y error; después obtén el coeficiente de proporcionalidad y calcula el valor que se solicita.

Si no puedes resolverlo por este método explica las razones en media cuartilla. POR DIAGRAMAS DE OPERACIONES 6) Juan abrió una cuenta de cheques con una cierta cantidad el día primero de enero. El

día 5 hizo un depósito de $200.00; el 10 extendió un cheque por una cantidad igual a la mitad de su saldo del día 5; el día 15 hizo un depósito por una cantidad que le triplicó su saldo del día 10 y el día 25 hizo un retiro de $ 50.00 ¿Cuál es la cantidad inicial con la que abrió Juan su cuenta de cheques, si el banco le informa que a fin de mes tiene un saldo de $400.00?

Respuesta: ______________________

Lee con cuidado el problema, al tiempo que haces el diagrama original una vez que lo tengas terminado, realiza las operaciones.

7) José compra un cierto producto cada año. En 1988 le costó una cierta cantidad.

Para 1989 lo compró $50.00 más barato; en 1990 era cuatro veces más caro que en 1989; en 1991, en una oferta, lo compró a mitad de precio del año anterior y en 1992 compró el producto en $400.00, lo que representa $100.00 más que en 1991. ¿Cuál fue el precio del producto en 1989?

Respuesta: ______________________ Lee con cuidado el problema, no te confundas con los años, el procedimiento es

exactamente el mismo que en el caso anterior.

92

Hasta aquí hemos revisado tres métodos aritméticos que nos sirven para solucionar problemas donde nos hace falta un valor. Las operaciones que aplicamos en la mayoría de los casos, fueron las básicas: suma, resta, multiplicación y división, también aplicamos el por ciento, en los problemas que solucionamos por razones y proporciones. En el siguiente mapa conceptual podrás observar la síntesis de este tema:

También incluimos que cuando no contamos con dos datos en un problema no podemos solucionarlos con los métodos aritméticos. Este tipo de problemas se resuelven con los modelos algebraicos que abordaremos en el siguiente tema, con la finalidad de reconocer su lenguaje.


MÉTODOS ARITMÉTICOS

PROBLEMAS

permiten solucionar

por

ENSAYO Y ERROR

VALORES APROXIMADOS

con

RAZONES Y PROPORCIONES

con

COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDAD

DIAGRAMAS DE OPERACIONES

OPERACIONES INVERSAS

con

que se apoya en

93

2.2 MODELOS ALGEBRAICOS Los modelos algebraicos son una herramienta que nos ayuda a solucionar problemas cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. Para construir este tipo de modelos, debemos traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para lo cual representamos las incógnitas con una literal; formamos una expresión, y hacemos uso de la igualdad “=“ para así establecer la ecuación a resolver. EJEMPLOS Queremos saber qué número le tenemos que sumar a 10 y restar al 18 para obtener la misma cantidad. Para iniciar la construcción de un modelo algebraico, debemos precisar el valor (o valores) que deseamos encontrar, sin recurrir al ensayo y error; a éste valor le llamaremos incógnita. En el problema planteado, la incógnita es el número que le tenemos que sumar a 10 y restar a 18 para obtener la misma cantidad. Posteriormente, es necesario representar la incógnita con una letra o literal x. Al sustituir el valor que deseamos encontrar por la literal “x”, en el ejemplo que estamos analizando, formaríamos la expresión 10 + x, así como 18 - x. Si decimos que los resultados de estas expresiones deben ser iguales entonces podemos representarlas con la siguiente expresión:

10 + x = 18 - x

Encontrar el número buscado, se reduce entonces, a encontrar un número tal, que al ser sustituido por la literal x, en la expresión anterior, haga que en ambos lados se obtenga el mismo valor. No ha sido una casualidad que usemos la palabra expresión para referirnos a 10 + x, 18 - x, así como a 10 + x = 18 - x. El concepto expresión está relacionado al lenguaje o lengua. Es muy común usar como sinónimos expresión y oración. En el siguiente cuadro podemos ver como las expresiones x; 10 + x; 18 - x, así como 10 + x = 18 - x son semejantes a una oración, a través de las cuales comunicamos una idea concreta.

94

LENGUAJE COMÚN EXPRESIÓN Queremos saber qué número x le tenemos que sumar a 10 10 + x y restar a 18 18 - x para obtener la misma cantidad 10 + x = 18 - x

Tabla 10. En la columna izquierda, aparecen oraciones o ideas en el lenguaje cotidiano. En la columna derecha, puedes observar una forma de representar esas ideas al substituir el valor que queremos encontrar por “x”. Las expresiones que aparecen en la columna de la derecha de la tabla 10, son oraciones de un lenguaje cotidiano, el cual es traducido a un lenguaje algebraico. Ahora bien cuando dos expresiones involucran el signo igual ( = ), son llamadas igualdades ó ecuaciones. Las expresiones que aparecen a cada lado del signo =, se llaman miembros de la ecuación. Es necesario aclarar que en este capítulo, únicamente estamos analizando como se construyen los modelos algebraicos, por lo que no abordaremos el procedimiento para resolverlos. Dichos procedimiento lo estudiarás en los siguientes fascículos de esta asignatura. Con la única finalidad de que compruebes que la ecuación tiene el mismo valor en ambos miembros, te proporcionamos el valor de “x”, el cual es 4. Entonces, sustituyendo las incógnitas por el valor de 4, encontramos que dicha igualdad se cumple:

10 + 4 = 18 - 4

14= 14 EJEMPLO Actualmente, mi padre tiene 46 años y yo tengo 17. ¿Dentro de cuántos años, mi edad será exactamente la mitad de la edad que tendrá mi padre? Es claro que actualmente mi edad (17 años), es menor que la mitad de la de mi padre (23 años). En este ejemplo, es importante destacar la dificultad para determinar cuáles son las operaciones aritméticas que se realizarán con los datos numéricos, para encontrar el valor que requerimos (el número de años que tienen que pasar para que, en ese momento, mi edad sea la mitad de la de mi padre). Independientemente de que este ejemplo parezca más complicado que el anterior, procederemos de la misma forma. Primero determinemos nuestra incógnita, que en este caso es el número de años que tiene que transcurrir para que mi edad sea la mitad de la de mi padre.

95

Ahora sustituyamos la incógnita, por la literal x, para así formar las expresiones que solucionarán este problema. Observa la tabla 11, en la que aparece la traducción del problema del lenguaje común, al lenguaje algebraico:

LENGUAJE COMÚN EXPRESIÓN Edad actual de mi padre 46 Mi edad actual 17 Después de ciertos años x La edad de mi padre será 46 + x Yo tendré 17 + x De tal forma que la mitad de la de mi padre. 46

2 x

Será igual a la mía 17

462

xx

Tabla 11. Con esta tabla hemos traducido el problema del lenguaje común al lenguaje algebraico, hasta obtener la ecuación que le dará solución.

Así, las expresiones algebraicas que obtenemos son: x x x; ;46 462

, así

como 1746

2

x

x.

Y a su vez, esta última es la ecuación que dará respuesta a nuestro problema. Igual que en el ejemplo anterior , te daremos el valor de “x” para que compruebes que en ambos miembros de la ecuación se obtiene la misma cantidad, cumpliéndose de esta forma la igualdad. El valor de “x” es 12, y al sustituirlo en la ecuación encontramos que:

17 1246 12

2

29 582

29 29 Lo cual quiere decir que dentro de 12 años mi edad (29 años) será exactamente la mitad de la de mi padre (58 años).

96

Antes de dar otros ejemplos y como una prueba de la utilidad y amplia aplicabilidad de la herramienta que hasta aquí hemos desarrollado, haremos uso de ella para resolver el ejemplo. EJEMPLO Pedro pensó un número al cual multiplicó por 2, a cuyo resultado le sumó 5, para después dividir por 5, sumar el número que pensó, multiplicar por 8, finalmente restar 3 y obtener como resultado el número 61. ¿Cuál es el número que pensó Pedro? Como dijimos en el problema anterior, el primer paso consiste en identificar las cantidades que deseamos conocer. En este problema, es claro que esta cantidad es el número. Al hacer uso de esta letra, el resto de los elementos del problema quedarían expresados de la siguiente manera: Pedro pensó un número x al cuál multiplicó por dos (2x), a cuyo resultado le sumó cinco (2x + 5), para después dividir por cinco 2 5

5x

, sumar el número que penso

2 55

xx

, multiplicar por ocho 8

2 55

xx

, y finalmente restar tres 8

2 55

3x

x

, y

obtenemos como resultado el número 61; 8 2 55

3 61x x

. Todo esto queda

resumido en la tabla 12.

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO Pedro pensó un número x el cual multiplicó por 2 2x a cuyo resultado le sumó 5 2x + 5 para después dividir por 5 2 5

5x

sumar el número que pensó 2 5

5

xx

multiplicar por 8 8

2 55

xx

para finalmente restar 3 8

2 55

3x

x

obteniendo el número 61 8

2 55

3 61x

x

Tabla 12. En esta aparece la traducción del problema del lenguaje común al algebraico.

97

Así la ecuación:

82 5

53 61

xx

representa el problema planteado en lenguaje algebraico. A partir de aquí empezaremos a realizar operaciones, de tal forma que obtengamos diferentes ecuaciones equivalentes, hasta lograr despejar la incógnita x. Por ahora ya no haremos este trabajo. Sin embargo, te podrás dar cuenta que tomando x = 5 en la ecuación anterior, obtienes la igualdad 61 = 61. Es decir, el número que pensó Pedro fue 5. EJEMPLO Un caballo y un mulo caminaban juntos y llevaban pesados sacos sobre sus lomos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo? En este problema necesitamos dos datos: el número de sacos que lleva el caballo y el número de sacos que lleva el mulo. Para diferenciarlos, debemos asignarles literales que no sean iguales. Representemos con la letra “x” el número de sacos que lleva el caballo y con la letra “y” el número de sacos que lleva el mulo. Expresemos ahora el resto de los elementos del problema haciendo uso de estas letras. El mulo dice: “Si yo te tomara un saco”, de modo que el caballo quedaría ahora con x - 1 sacos, “mi carga”, que ahora sería igual a y + 1 sacos, “sería el doble que la tuya”, es decir, tendríamos la ecuación:

2(x - 1) = y + 1

y el mulo continua diciendo: “Y si yo te doy un saco”, de modo que su carga sería ahora de y - 1 sacos, “tu carga”, que ahora sería de x + 1 sacos, “se igualará a la mía”, es decir, tendríamos la ecuación:

y - 1 = x + 1

98

Lo hecho anteriormente quedaría resumido en el siguiente cuadro:

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO Si de tu carga x tomara un saco x - 1 y a mi carga y se le agregara y + 1 mi carga sería el doble de la tuya y + 1 = 2 (x - 1) y si te doy un saco y - 1 tu carga x + 1 se igualará a la mía y-1 = x+1

Tabla 13 Observa que para solucionar este problema debemos encontrar el valor de “x” así como el de “y”. Además que se forman dos ecuaciones. Como te habrás dado cuenta, este problema tiene algunas diferencias sustanciales con los anteriores. En este caso el número de cantidades a determinar son dos y por lo tanto hay dos incógnitas. En segundo término, el problema queda modelado por dos ecuaciones en las que aparecen ambas incógnitas, a saber:

y + 1 = 2(x - 1) y - 1 = x + 1

En este caso decimos que para encontrar la solución del problema, tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Observa que en este caso, la solución debe estar dada por un par de números que, al ser sustituidos por x y y en estas ecuaciones, en ambas debemos de obtener una igualdad. De hecho, puedes verificar fácilmente que, al tomar y = 7 y x = 5 obtienes estas igualdades. El siguiente ejemplo nos permitirá dar una clasificación más precisa de las ecuaciones.

Realiza lo siguiente: A un terreno de forma cuadrada se le quitó una franja de 3 km de ancho de su costado oriental y una franja de 4 km de ancho de su costado norte, con lo cual su superficie quedó reducida a la mitad. ¿De qué dimensiones era el terreno original?


99

Como en los dos problemas anteriores, lo primero que tenemos que hacer es determinar cuál es o cuáles son las cantidades que hay que encontrar. Ya que el problema pide determinar las dimensiones de un terreno de forma cuadrada, basta con encontrar cuánto mide uno de sus lados (el resto de los lados medirán lo mismo). Digamos que la letra x representa la longitud de cada lado del cuadrado. A fin de poder expresar el resto de los elementos del problema en términos de la incógnita x, nos auxiliaremos de un dibujo que nos represente la situación descrita en el problema (este es un recurso muy útil siempre que el problema lo permita). N x

Figura 3. El terreno completo. El cuadrado de arriba representa nuestro terreno. A la superficie original del terreno xx, se le quita una franja de 3 km de ancho en su parte oriental y una franja de 4 km de ancho en su costado norte. x N x- 3 3

Figura 4. El terreno señalando los 3 km y 4 km que se le quitará del lado oriente y norte.

100

Por lo que la superficie del nuevo terreno, ahora representada por (x - 3) (x - 4) queda igual a la mitad de la superficie original, es decir.

(x-3) (x-4) = x x2

Al desarrollar la expresión del primer miembro de la ecuación obtendríamos el siguiente modelo algebraico.

x xx2 7 12

2

2

Escrita la ecuación de esta manera, es fácil distinguir sus semejanzas y sus diferencias con la ecuación del problema de las edades. Esta ecuación y la de ese problema tienen en común la propiedad de que en ambas aparece una sola incógnita. Sin embargo, en esta última ecuación la incógnita aparece elevada al cuadrado, mientras que en la primera la incógnita aparece elevada a la potencia 1. Esta diferencia hace que las ecuaciones reciban nombres distintos. en el caso de la ecuación del problema de las edades decimos, que tenemos una ecuación de primer grado (dado que la incógnita sólo aparece elevada a la 1 con una incógnita, mientras que en el problema del terreno cuadrado se dice que la acuación es de segundo grado (dado que la incógnita aparece elevada al cuadrado) con una incógnita.

Traduce al lenguaje algebraico los siguientes problemas: 1) Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00

diarios, más $2.00 por kilómetro recorrido. Otra compañía cobra por la renta del mismo auto $80.00 diarios más $2.50 pesos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en las dos compañías?

Modelo Algebraico: ____________________ 2) La inflación en los últimos tres años fue de 35%, 20% y 13% respectivamente. ¿Cuál

era el precio de un artículo hace tres años si ahora cuesta $338.66? Si suponemos que su precio ha crecido al mismo ritmo que la inflación.

Modelo Algebraico: ____________________ Recuerda que nuestro objetivo es traducir del lenguaje común al algebraico, por lo que no es necesario que llegues a la solución a través del modelo algebraico.


101

En este tema aprendiste a traducir sin problema del lenguaje común al lenguaje algebraico, para formar modelos algebraicos; que no son mas que una forma de representar los problemas que queremos resolver. En el siguiente mapa conceptual aparecen los conceptos más importantes del tema y sus relaciones.


MODELO ALGEBRAICO

LETRA O

LITERAL LA INCÓGNITA (S)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ECUACIÓN

DE PRIMER GRADO DE SEGUNDO GRADO

CON UNA INCÓGNITA

CON DOS INCÓGNITAS x x2 3 2

por ejemplo

por ejemplo por ejemplo

10 + x = 18 - x y + 1 = 2(x +1)

que es

64 + x

por ejemplo por ejemplo

x ó y lo que se quiere

obtener del problema

sus elementos son

102

En este capítulo te presentamos algunas ideas para resolver un tipo de problemas, aquéllos en los que conocemos los resultados de cierto tipo de operaciones, además nos interesa conocer la cantidad de que partimos. Usamos para su resolución el método de ensayo y error, el cual por lo general involucra procedimientos largos y laboriosos, y nos hemos apoyado, cuando el problema lo admitió, en el concepto de proporcionalidad, para hacer más eficientes estos procedimientos. Vimos también un primer modelo de algunos de ellos los diagramas de operaciones y establecimos así procedimientos más generales que los de ensayo y error. Finalmente propusimos el uso del lenguaje algebraico, para establecer modelos algebraicos generales de estas situaciones, que nos permitirán establecer procedimientos también generales para la resolución de estos problemas. Esto es, buscamos a través de la utilización de los métodos descritos para la resolución de estos problemas, los más generales y eficientes. Hasta este momento hemos propuesto el lenguaje algebraico para establecerlos, por medio del uso de modelos algebraicos, en particular, del establecimiento de ecuaciones.

RECAPITULACIÓN

103

Con la finalidad de que compares los procedimientos para solucionar problemas para los diferentes métodos que hemos analizado en este capítulo resuelve los siguientes problemas: 1.La suma de 3 números consecutivos es 186. a) Determinar esos 3 números aplicando el método de ensayo y error. b) Interpreta el enunciado en un modelo algebraico. 2.La señora Arzate invierte en el banco $4,500.00 y le da un rendimiento de $720.00

mensuales. ¿Cuánto deberá invertir para ganar $740.00; $780.00 y $880.00 a) Resuelve el problema mediante el método de ensayo y error. b) Resuelve el problema aplicando razones y proporciones c) Interpreta el problema en un modelo algebraico. 3) Una industria textil que fabrica hilos de algodón, tiene un gasto semanal de mano de

obra para la elaboración de su producto de $15,820.00 En el departamento de batientes se gasta una cierta cantidad. En el departamento de

cardas gasta $280.00 más que en el de batientes. En el departamento de estiradores gasta $1,680.00 menos que en el segundo departamento. En el de troziles gasta $560.00 más que en el departamento de estiradores y en el departamento de coneras se gasta una cantidad igual a la de cardas.

a) Intenta resolver el problema aplicando diagramas de operaciones y si no lo lograste,

indica por qué. b) Interpreta el problema mediante el modelo algebraico.


104

A fin de que compruebes que los procedimientos que aplicaste para resolver los problemas de las actividades integrales, te presentamos a continuación los resultados a los que debiste llegar. 1. La suma de 3 números consecutivos es 186. a) El número inicial es 61; ya que 61+62+63=186 b) El modelo algebraico es: x + (x + 1) + (x + 2) = 186 2.La señora Arzate invierte en el banco $4,500.00 y le da un rendimiento de $720.00

mensuales. a) Debiste buscar el tanto por ciento de intereses que recibe la señora Arzate, hasta

encontrar 16% y posteriormente buscar las cantidades que al obtenerles el 16% dé como resultado, los valores planteados

b) En este caso no es necesario determinar el % de interés de 4500.00, ya que

podemos obtener las cantidades desconocidas obteniendo el coeficiente de proporcionalidad de la siguiente manera.

4500 720 1 740 2 780 3 880

Paso 1: 740720

102774500

4624 6 . ? . 4625

Paso 2: 780720

108334500

4874 8 . ? . 4875

Paso 3: 880720

122224500

5499 9 . ? . 5500

AUTOEVALUACIÓN

105

c) Debiste establecer una ecuación para cada valor dado: 4500 (x) = 720 x1x = 740 x2x = 780 x3x = 880 3. Una industria textil que fábrica hilos de algodón, tiene un gasto semanal de mano de

obra para la elaboración de su producto de $15820.00 - - 280 + 1680 - 560 ? ? a) ? C C 15820 Este problema no se puede resolver aplicando este método, ya que existen varias incógnitas que tenemos que obtener. b) x + (x + 280) + (x + 280 - 1680) + (x + 280 - 1680 + 560) + (x + 280) = 15820 ó x + (x + 280) + (x - 1400) + (x - 840) + (x + 280) = 15820 Resolviendo el modelo, obtenemos como solución x = 3500

106

En el siguiente esquema te presentamos una síntesis de los aspectos más relevantes de este fascículo, para que tengas la posibilidad de repasar los temas que ya estudiaste.

RECAPITULACIÓN GENERAL

ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2

OPERANDO CON LOS NÚMEROS

REALES (R)

MÉTODO ARITMÉTICO

MODELO ALGEBRAICO

BOSQUEJO HISTÓRICO

NECESIDAD Y MEDIR EN

TODAS LAS CULTURAS

SEGUIMIENTO DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS.

SISTEMA DECIMAL

FUNDAMENTADO EN EL CONCEPTO

DE BASE Y POSICIÓN

LOS NÚMEROS REALES (R)

CONJUNTO DE NÚMEROS

NATURALES (N) ENTEROS (Z)

RACIONALES (Q) IRRACIONALES (Q’)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

CERRADURA ASOCIATIVA

CUNMUTATIVA DISTRIBUTIVA

ELEMENTO NEUTRO Ó IDÉNTICO ELEMENTO INVERSO

MÉTODOS Y ALGORITMOS

MÉTODO DE MULTIPLICACIÓN POR DUPLICIDAD DE LOS EGIPCIOS

PROCEDIMIENTO DE GAUSS

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MÉTODO POR ENSAYO Y

EEROR

VALORES APROXIMADOS

RAZONES Y PROPORCIONES

COEFICIENTE DE PROPORCIONA-

LIDAD

DIAGRAMAS DE

OPERACIONES

OPERACIONES INVERSAS

INCÓGNITAS


ECUACIONES

SEGUNDO GRADO

PRIMER GRADO

CON DOS VARIABLES

CON UNA VARIABLE

107

Resuelve los siguientes problemas considerando lo que estudiaste en el fascículo y si tienes dudas, revisa los ejemplos y ejercicios que trabajaste. 1. Escribe en forma desarrollada y en potencias de diez las siguientes cantidades. a) 2897 = b) 53,915 = c) 234,756 = 2. Aplica el método que se te indica para resolver los siguientes ejercicios: a) Determina el resultado del producto 98 x 67 por duplicación de los egipcios. b) Escribe la expresión y el resultado de la siguiente serie de números aplicando

el método de Gauss. (- 40) + (- 37) + (- 34) + .......+ 29 + 32 + 35 3. Justifica las propiedades que se están aplicando en cada paso de las siguientes

operaciones. a) (3 + 2) + (5 + 8) = (2 + 3) + (8 + 5) = 2 + (3 + 8 + 5) = 18 b) (7 + 6 ) + 3(2 + 8) = (6 + 7) + 3(8 + 2) = (6 + 7) + (24 + 6) = (6 + 7 + 24 + 6) = 43 4. Realiza las siguientes operaciones con números reales. a) (5 + 8)2 = b) - 3 + 5(6 - 1) - 2 - 2 + 5 (2) = c) - - (-3) + 4 (7 - 9) 5 - (6 + 3) = d) 2 - 6 (4 - 5) - 2(- 1) - 4( - 3) - 5 + (4 - 6) =

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

108

e) 25

32

15

=

f)

13

65

815

23

37

g)

87

13

25

h) 3

812

25

311

118

15

310

i) 4 1

1 38

j) 3

3 12

1 25

5. Resuelve los siguientes problemas, aplicando el método de ensayo y error. a) ¿Qué número habrá que sumar a 4 y 11 para que el producto de ambos sea el

mínimo común múltiplo de 10 y 24? b) Un individuo dispone de un terreno cuadrado que mide 18 m por lado, en el cual

desea cultivar verdura en una parte cuadrada cuya área sea de 132.25 m2 como lo muestra la figura.

La condición que el quiere es que el área cultivada quede centrada en el terreno, con el fin de que exista un camino alrededor.

¿Cuánto debe medir cada lado de la parte cultivada?

109

¿Cuánto debe medir el ancho del camino que rodea la parte cultivada?

ANCHO

D E

L ÁREA CULTIVADA C 18 m A M I N O

18 m 6. Resuelve los siguientes problemas aplicando el método de proporcionalidad. a) El precio de venta de un engrane actualmente es de 27.6 dólares y hace un año costaba 24 dólares. Si un rodillo metálico actualmente cuesta 43.7 dólares ¿Cuánto costaba hace un

año considerando que el aumento de ambos productos fue en la misma proporción.

b) Don Arnulfo dejó una herencia de $750,000.00 para sus 4 hijas; a Lulú le tocó

la mitad, a Bety la cuarta parte, a Ema la quinta parte y a Cata el resto. El hermano de Arnulfo cuando se muera pretende dejar una cierta cantidad de

herencia, la cual se deberá repartir a sus cuatro sobrinas en la misma proporción que la herencia de Arnulfo. Si a Bety le pretende dejar $420,000.00 ¿Qué cantidad de herencia dejará su tío?

7. Plantea el modelo algebraico que permite obtener la solución de cada enunciado que

a continuación aparece. a) Un puente tiene una determinada longitud de largo, la cual está compuesta

por tres secciones, la central tiene 100 mts. de largo y cada sección de los extremos representa una sexta parte de la longitud total del puente. Con base a lo anterior, construye el modelo algebraico que representa la longitud del puente.

110

b) La suma de dos números enteros nos da como resultado 24 y la diferencia del triple de cada uno de ellos nos da el mismo resultado de la suma. ¿Cuáles son esos números?

c) Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su área

mide 432 m2. Construye el modelo algebraico que representa el valor del área.

111

1. A continuación te presentamos los resultados de los problemas anteriores para que puedas comparar tus resultados, y así conocer los avances de lo que has aprendido.

a) 2 x 1000 + 8 x 100 + 9 x 10 + 7 2 x 103 + 8 x 102 + 9 x 101 + 7 x 1 b) 5 x 10,000 + 3 x 1000 + 9 x 100 + 1 x 10 + 5 5 x 104 + 3 x 103 + 9 x 102 + 1 x 101 + 5 x 1 c) 2 x 100,000 + 3 x 10,000 + 4 x 1000 + 7 x 100 + 5 x 10 + 6 2x 105 + 3 x 104 + 4 x 103 + 7 x 102 + 5x 101 + 6 x 1 2. a) 1 98 2 196 4 392 8 784 16 1568 98 + 196 + 6272 = 6566 32 3136 64 6272 b) Expresión: ( - 5) x 13 Resultado: - 65 3. a) Conmutativa Asociativa Cerradura b) Conmutativa Distributiva Asociativa Cerradura

AUTOEVALUACIÓN

112

4. a) 26 b) 8 c) - 20 d) - 784 e) 17/10 f) 23/315 g) - 16/105 h) - 241/79200 i) 28/5 j) 27/14 5. a) (4 + 4) x (11 + 4) = 120 M.C.M de 10 y 24 es 120 El número que habrá que sumar es “4” b) Lado = 11.5 x 11.5 = 132.25 m2 Cada lado debe medir 11.5 mts. Ancho = 3.25 mts. 6. a)

PRODUCTO HACE UN AÑO ACTUAL ENGRANE 24

27.6

RODILLO ¿ ?

43.7

K 43 727 6

1583..

.

Precio del rodillo hace un año = 1583 24. ( ) = 38 dólares b)

PERSONA HERENCIA LULÚ BETY EMA CATA ARNULFO

750,000

375,000

187,500

150,000

37,500

HERMANO

¿ ?

420,000

113

K 420 000187 500

2 24,,

.

Herencia del hermano = 2.24 (750,000) = $ 1,680,000.00 7.

a) x x x 100 16

16

b) x + y = 24; 3x - 3y = 24 ó x y

x y

243 3 24)

c) (3x) (x) = 432

114

Al aplicar los conocimientos que adquiriste realiza las siguientes situaciones, esto te servirá para reforzar tu aprendizaje sobre este tema. A. Trata de conseguir un ticket de las compras en una tienda de autoservicio, una nota

de remisión cuando se compran varios artículos de diferentes especies un recibo de luz o de teléfono o cualquiera de ellos cuando tiene crédito a su favor.

B. Identifica en estos documentos cómo las personas, una máquina registradora o en su

caso una computadora utilizan algunas propiedades de los números reales para facilitar las operaciones.

. ¿Las identificaste? . ¿Te das cuenta de la importancia que tienen estas propiedades? . ¿Te habrás imaginado que estas propiedades fueran utilizadas constantemente en nuestra vida cotidiana? Pregunta a tu asesor si lo anterior es factible y, si lo es pide su ayuda para encontrar otros ejemplos. Ahora que conoces, trata de utilizarlas de manera que faciliten tus actividades cuando tratas de operar con números.

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

115

En este apartado encontrarás algunos términos que se vieron a lo largo del fascículo y que podrás consultar su significado. ALGORITMO. Es el procedimiento empleado para obtener el resultado de una

operación. La palabra algoritmo es una deformación de ALKHOWARIZMI, nombre de un célebre matemático árabe que vivió en el siglo IX a C.

NÚMERO. Expresión de la cantidad con relación a una unidad. INVERSO ADITIVO. Es un número opuesto de signo contrario. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES: Es el conjunto de los números que se

pueden asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera que cada punto está a una distancia r del punto fijo 0.

NÚMERO PRIMO. Son los números naturales mayores que la unidad que sólo tienen

dos divisores exactos, es decir sólo se dividen entre la unidad y entre sí mismos.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. El valor absoluto o valor numérico de un número

real negativo es el número mismo positivo.

GLOSARIO

116

ALARCÓN et al.: Matemáticas 1. Enseñanza Media Básica. FCE, México, 1990. ALARCÓN et al.: Matemáticas 2. Enseñanza Media Básica. FCE, México, 1991. BARNETT Y NOLASCO: Álgebra Elemental. Estructura y Aplicaciones. Editorial Mc.

Graw-Hill. México, 1986. BRITON Y BELLO: Matemáticas Contemporáneas. 2a. Edición. Harla México, 1982. GAUSS Carlos F. El Develador de las Incógnitas. Editorial Pangea. GRIJALBO: El Parque. Biblioteca Juvenil, México, 1975. PERELMAN et al: Álgebra Recreativa. Ediciones Quinto Sol, Harla, México, 1983. PHILIPS ET AL: Álgebra con Aplicaciones. Harla, México, 1983. ROBLEDO Y CRUZ: Matemáticas uno Primer Grado. 4a. reimpresión. Trillas, México. TONDA Y NOREÑA: Los Señores del Cero. Editorial Pangea.


1


MATEMÁTICAS I

FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE

ALGEBRAICO:EXPRESIONES

ALGEBRAICAS.

Autores: Rosa Ma. Espejel Mendoza

Mario Luis Flores Fuentes

Rolando Pous Villalpando

Pedro Romo Altamirano

Estela Ruiz Hernández

Andrés Sosa Estrada

3

INTRODUCCIÓN 7 CAPÍTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE

ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 9

PROPÓSITO 11 1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

ALGEBRÁICA 13 1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES

ALGEBRAICAS 22

1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES 22 1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS 28 1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 38 1.2.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 64

RECAPITULACIÓN 78 ACTIVIDADES INTEGRALES 79 AUTOEVALUACIÓN 82

CAPÍTULO 2. LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. 87

PROPÓSITO 89

Í N D I C E

4

2.1 PRODUCTOS NOTABLES 91

2.1.1 PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN 91

2.1.2 PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS

CONJUGADOS 94 2.1.3 EL CUADRADO DE UN BINOMIO 97 2.1.4 EL CUBO DE UN BINOMIO 100 2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON 102

2.2. FACTORIZACIÓN 111

2.2.1 FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN 111 2.2.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE

TÉRMINOS 114 2.2.3 FACTORIZACIÓN DE UN TRIMONIO

CUADRADO PERFECTO 115 2.2.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE

CUADRADOS 119 2.2.5 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS 120 2.2.6 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE

CUBOS 125 2.2.7 FACTORIZACIÓN DE LOS TRINOMIOS DE LA

FORMA x² +bx + c y ax² + bx + c 126

2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 135

2.3.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 135 2.3.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES

ALGEBRAICAS RACIONALES 153

5

RECAPITULACIÓN 170 ACTIVIDADES INTEGRALES 171 AUTOEVALUACIÓN 173

RECAPITULACIÓN GENERAL 175 ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 176 AUTOEVALUACIÓN 179 ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 182 GLOSARIO 183 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 184

7

Son muchas y muy diversas las actividades del ser humano en las que es suficiente usar procedimientos aritméticos para resolver problemas; sin embargo, son también muchas en las que éstos no bastan. A partir de este fascículo veremos otro tipo de ejemplos más específicos y estudiaremos procedimientos más generales para resolver problemas. El método algebraico, de hecho presente en toda la matemática puesto que la solución de gran número de problemas requieren del cálculo algebraíco. El álgebra tiene su propio lenguaje, el lenguaje algebraico, por medio del cual se puede obtener expresiones generales que pueden operarse y aplicarse en muchas y muy variadas situaciones particulares. Aunque en el fascículo uno estudiaste algunos elementos de este método algebraíco y su importancia, para este fascículo estudiarás la operatividad de las expresiones algebráicas, utilizando los conocimientos que tienes sobre expresiones y operaciones aritméticas y retomando problemas sobre este tema, para que puedas manejar ejemplos y des solución a problemas.

I N T R O D U C C I Ó N

8

El siguiente esquema indica los temas y subtemas que estudiarás y la vinculación que existe entre ellos.

FASCÍCULO 2

OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA

CAPÍTULO 1

OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CAPÍTULO 2

LENGUAJE ALGEBRAÍCO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

TERMINOLOGÍA Y

NOTACIÓN

OPERACIONES CON


9

OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:


1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA 1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.2.1 Reducción de Términos Semejantes 1.2.2 Adición y Sustracción de Polinomios 1.2.3 Multiplicación de Polinomios 1.2.4 División de Polinomios

C A P Í T U L O 1

11

Al finalizar el estudio de este fascículo conocerás con mayor detalle la terminología que se emplea en álgebra, así como la notación que se usa comúnmente, gracias a la cual podrás operar con las expresiones algebraicas. ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMOLO APRENDERÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

P R O P Ó S I T O

Diversos métodos para resolver problemas, además conocer las ventajas del método consistente en establecer modelos algebraicos para la solución de problemas.

A través de la elaboración de operaciones algebraicas tal como; la suma, la sustracción, multiplicación y división de polinomios, aplicando las propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes.

Para encontrar la solución de ecuaciones que te ayudarán a resolver un gran número de problemas diarios.

13

CAPÍTULO 1

OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. En el fascículo 1 estudiaste diversos métodos para resolver problemas, además de conocer las ventajas del método consistente en establecer modelos algebraicos para la solución de los problemas, modelos que has empleado, aunque no les llamaras así; por ejemplo: la fórmula que se utiliza para calcular el área de un triángulo. Si conocemos la medida b de la base y la medida h de la altura de un triángulo y queremos obtener su área, sustituimos en la fórmula las letras por los datos númericos. Así, si la base mide 12 metros y la altura 8, el área del triángulo es: Otros ejemplos que has visto son los siguientes: Estas igualdades, que expresan ciertos fenómenos o Leyes de la Física y la Geometría, son expresiones algebraicas de las que iniciaremos su estudio, pues éstas nos permitirán operar de una manera fluida y se facilitará con ello la resolución de problemas

A = bh 2

A = (12m) ( 8m) = 48m2

2

f =ma A = r2 a = Vf - Vo t

14

Como ejemplo de expresiones algebraicas tenemos:

A las letras, que en las expresiones algebraicas representan a números reales cualesquiera, se le llaman literales. Si en una expresión algebraica se sustituyen las literales por números reales y se efectúan las operaciones indicadas, se obtiene como resultado un número real, llamado valor numérico de la expresión para esos valores. En los casos en que las literales aparezcan en el denominador hay que tener cuidado de que el valor del denominador sea distinto de cero al efectuar la sustitución. Cuando se trate de raices, se debe tener cuidado de que al sustituir las literales por números no resulten raíces pares de números negativos, porque sus resultados no son números reales. Observa el siguiente ejemplo: Ejemplo: Calcular el valos numérico de la expresión algebraica Para los siguientes valores de x: Solución: a) Al sustituir a x por 7 obtenemos: b) Si sustituimos a x por 12 resulta:

a) x = 7; b) x = 12, y c) x = -5.

a) 3a + 2b

b) 2x + 6y - 3z

c) 8x - y

d) 6x 5a

e) 6x3

f) x

2

212

3

=

x

x

35

7 37 5

412

16

=

15

, , , .

c) Si x = -5, obtenemos: Mientras por una parte 8 no es un número real, por otra no es posible dividirlo entre cero; por lo tanto, si x toma el valor de -5, la expresión no simboliza un número real. Cuando en una expresión algebraica aparece únicamente la operación de multiplicación de números y potencias positivas enteras de las literales, ésta recibe el nombre de término, como se muestra a continuación: Ahora revisaremos los elementos que conforman un término, para lo cual tomaremos el ejemplo de la expresión 3

2a4b5

Como ya sabes, un término es el producto de dos o más factores (los factores son elementos de la multiplicación). En este caso los factores son: 32

, 4 5. a y b

b2 3x2

5 2x

2

432 zyax

3

17 .

12 3

12 5

9

17

5 3

5 5

8

0¡?

16

Al factor numérico se le conoce como coeficiente numérico del término y se acostumbra escribirlo al principio del término. Por otra parte, cada uno de los factores es coeficiente del producto de los otros. Así: Al producto de los factores literales se le llama parte literal del término. Un factor literal está compuesto por base y exponente. En el siguiente cuadro se muestra la base y el exponente de los factores literales de

Factor literal Base Exponente a

4 a 4 b

5 b 5

32

4 5a b .

32

factor numérico

a b

4 5,

factores literales

coeficiente numérico

a4 es coeficiente de 3

25

b

b5 es coeficiente de 5

24

a

Entonces podemos decir un factor es un número, una letra o la combinación de números y letras que indican cuantas veces entra la literal como sumando.

32

a b4 5

coeficiente numérico parte literal

17

¿Cómo se puede determinar el grado de un término algebraico?

Recuerda que a

4 indica un producto de cuatro factores iguales y b5 un producto de

cinco factores iguales: a a a a a

4 b b b b b b

5 Observa que en el ejemplo anterior significa multiplicación y que no se usa el signo de x para no confundir con la literal x que en algunas expresiones se utiliza.

¿Qué producto indicaría X8?

Otro elemento del término es el signo (positivo o negativo), que corresponde al signo del coeficiente numérico. Así, si tenemos que en la expresión 3 2

x su signo es positivo y en la expresión 4 6

y el signo es negativo, puedes observar que en los casos con signo positivo no se acostumbra anotar éste. Otro elemento es el grado de un término, el cual puede ser absoluto o en relación a una literal. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de las literales o variables, de ahí tenemos que:

Término Grado absoluto del término

a2 2

5y 1

3 2xy 3

6 2 4x y 6

9x yn n 2n

Observa que el exponente 1 no se escribe, además de que el término 7 2 4

x y es de grado 6 por la suma de los exponentes (2+4) de los factores literales. Por otro lado, el grado de un término con respecto a una literal corresponde a su exponente, es decir, en 7 2 4

x y el grado del término con respecto a x es 2 y con respecto a y es 4.

18

Con el propósito de comprender los conceptos vistos se presenta el siguiente cuadro: Término Coeficiente

númerico Factores literales

Grado absoluto

Grado respecto a x

Grado respecto a

y

4 2 3x y -4 x y

2 3 5 2 3

3 3 4x y 3 x y

3 4 7 3 4

xy2 -1 xy

2 3 1 2 34

6 2x y 3

4 x y

6 2 8 6 2

x 1 x 1 1 0

8 8 0 0 0 0 Al clasificar los elementos de cada una de las expresiones siguientes se cometieron 4 errores, encuéntralos.

5 4x y coeficiente -5 base x, y exponente 4,1

x2 coeficiente no tiene; base x___ exponente 2

6a coeficiente 6 base a exponente no tiene

3 2xy coeficiente 3 base x exponente 1,2

En las expresiones algebraicas los términos están separados los signos de más (+) o menos(-). Esta expresión tiene tres términos : 5 2

x ; 2x ; 3 . Esta expresión tiene dos terminos: 9 2

m ; 4 2n .

3) 5 Esta expresión tiene un término: 5.

1) 5 2 32x x

2) 9 42 2m n


19

Como puedes ver, estas expresiones algebraicas están compuestas por un término o la suma de dos o más términos. A este tipo de expresiones se les llama monomios o polinomios según sea el caso. A los polinomios los podemos clasificar según el número de términos que contengan. Si una expresión algebraica tiene un término se le llama monomio, si tiene dos, binomio; si tiene tres términos, trinomio, y así consecutivamente. Observa los siguentes ejemplos:

“Expresiones Algebraicas” Clasificacion 1) 3 62 2 5x y xy binomio

2) 6 2x binomio 3) 6 2 62a b a trinomio 4) 6y monomio

5) 6 3 4 82xy xy x polinomio

Los polinomios, como los términos, tiene grado, que puede ser grado del polinomio o grado con respecto a la variable. Así, en el ejemplo 1 3 62 2 5x y xy el grado del polinonio es seis (6), que corresponde al grado del término de mayor grado, en este caso 6 5

xy . El grado del polinomio respecto a x es dos ya que corresponde al

mayor exponente de esa variable en el polinomio 3 2 2x y - 6xy5

Realiza las siguientes actividades: 1. De los siguientes términos señala la parte literal, el coeficiente numérico y el grado

absoluto del término. a) 3x3y5

b) 4ab3

c) 23

xy2

d) a


20

1 Término Coeficiente numérico Parte literal Grado absoluto

a) 3 3 2x y 3 x y3 2 5

2. Clasifica los polinomios por su número de términos y señala su grado absoluto y con

respecto a una variable. a) 3x 3x 22 b) 8x y 3x y 6x y 86 1 5 2 3 3 c) x 162 d) x 2xy y2 2 e) x 8 f) 6

1 Expresión Algebraica

Clasificación por el núm. de términos

Grado absoluto Grado con respecto

a x a) 3 3 22

x x trinomio 2 2

21

Hasta el momento hemos visto que en el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar números reales y que las expresiones algebraicas están conformadas por una serie de elementos tales como: TERMINO, COEFICIENTE, LITERAL, EXPONENETE, GRADO y que se clasifican en MONOMIO (un término), en BINOMIO (dos términos), TRINOMIO (tres términos) y POLINOMIO (cuando son dos o más términos).

UN TÉRMINO DOS O MÁS TÉRMINOS

MONOMIO BONOMIO, TRINOMIO, POLINOMIO

COEFICIENTE NUMÉRICO LITERALES EXPONENTES

GRADO ABSOLUTO

GRADO CON RESPECTO A UNA LITERAL



22

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS En este tema estudiarás las expresiones algebraicas como el elemento de las operaciones matemáticas, por ejemplo, la Adición y Sustracción de polinomios, la Multiplicación de Polinomios así como, la División de polinomios, para lo cual se consideran las propiedades y condiciones que se establecieron en el tema anterior. 1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Como en el tema anterior aprendiste a distinguir cuáles expresiones algebraicas son términos y que elementos constituyen a estos últimos, ahora operarás con ellos. En el estudio de las Matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones como 3x, 4 2x , 2 3x . Representamos a x por un segmento de longitud x, a x2 por un cuadrado de lado x, y a x3 por un cubo de arista x como se ve en la siguiente figura: 1

Figura 1 De acuerdo con la interpretación anterior, ¿cuáles de las siguientes sumas crees que pueden expresarse como un solo término?:

a) 2 3 2x x+ ; b) 4 23 3x x+ ; c) 2 5x x+ ; d) 6 2 2x x- Para saber cuándo podemos reducir la suma de dos o más términos a un solo término necesitamos observar su conformación.

¿Recuerda cuáles son los componentes de un término? Considera la expresión -3 x2 y3

x x

x2 x x3

x

x

x

-3 x2 y3

coefieciente numérico

exponentes

parte literal

literales

23

Analicemos los términos de cada uno de los siguientes grupos: a) -3x2 ; 4 2x Estos dos términos tienen la misma parte literal, es decir, las literales y sus respectivos exponentes son iguales. b) 5 3a ; -2a2 . Las partes literales de estos términos son diferentes aun cuando se trata de la misma literal porque tienen diferentes exponentes:

c) 2 3 2x y , -3x y3 2

4

Los dos términos tienen la misma parte literal. d) . .0 5 2 4x y , 12 4 2. y x , -3.5 4 2x y . Únicamente los dos primeros términos coinciden en la parte literal ya que por la propiedad conmutativa. x y y x2 4 4 2= .

e) 34

4m , -5m n4 , 12

4m , 23

4m n , 13

4m .

Aquí tienen la misma parte literal el primero, el tercero y el quinto y por otra parte, el segundo y el cuarto términos. Hemos encontrado que algunos términos coinciden en su parte literal. Éstos reciben el nombre de términos semejantes y su importancia es muy grande en la simplificación de expresiones algebraicas. Por lo tanto términos semejantes son dos o más términos cuyas partes literales son iguales.

24

Identifica los terminos semejantes en cada uno de los siguientes incisos. a) 2 2x y , -3xy2 , 4 2y x , -x y2 . b) 3 1v , 2 2v , -4v1 , 5 2v * .

c) 2 r2 , 4r , r2 , -3r en donde =3.141592 En expresiones como V1, V2 los números 1 y 2 son subíndices. Se usan para indicar que V1 es la velocidad de un móvil y V2 la del otro.

Las expresiones algebraicas son un conjunto de número y/o letras que representan números reales; por lo tanto cumplen con todas las propiedades conmutativa y asociativa de la adición y de la multiplicación, y la distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, puede extenderse a más de dos sumandos o factores según sea el caso, esto es:

1) La suma o el producto de un número finito de números reales no es afectado por la

forma en que se ordenen o asocien. por ejemplo: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]a c b d f e a b c d e f a b c d e f+ + + + + = + + + + + = + + + + + .

2) El producto de un número real a, por la suma de un número finito de números reales, es igual a la suma de los productos de a, por cada uno de los sumandos. Por ejemplo:

( )a b c d e ab ac ad ae+ + + = + + + . La más sencilla de las operaciones con expresiones algebraicas es la suma de términos semejantes. Se acostumbra llamar a esta operación reducción de términos semejantes, y la forma de llevarla a cabo se observa en los siguientes ejemplos: 1) Reducir los términos 8 62 2x x+ . Solución: 8 6 142 2 2x x x+ = .


25

Este resultado se obtuvo al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición en su modalidad ax+bx=(a+b)x a nuestro ejemplo, como vemos en seguida:

( )8 6 8 6 142 2 2 2x x x x+ = + = . Observa que hemos sumado los coeficientes numéricos de los términos dejando intacta la parte literal. 2) Simplificar la expresión 8y3 - 7y3 Solución:

8y3 - 7y3 = (8 - 7) y3

= 1 y3 = y3

3) Simplificar la expresión 3 7 11ab ab ab+ - Solución:

( )3 7 11 3 7 11ab ab ab ab+ - = + - = -1ab = -ab Recuerda que -1(a) = -a para todo número real a. Veamos otros ejemplos en donde no todos los términos son semejantes. Simplificar la siguiente expresión: 1) 3 22b b+ . Solución: Esta suma no se puede reducir porque los términos no son semejantes. Recuerda la interpretación geométrica que le dimos a x, y x 2, en la que la primera se representa una línea mientras que la segunda se refiere a una superficie. 2) a+b-a+b. Trata de identificar qué propiedad utilizarías antes de ver la solución. Solución: Aquí conmutamos y asociamos a los términos semejantes: a+b-a+b=(a-a)+(b+b) =(1-1)a+(1+1)b

=0a+2b

= 0+2b =2b.

26

3) 6.5h + 2.5k +6-1.7h + 3.4k Solución: 6.5h + 2.5k + 6-1.7h + 3.4k = (6.5h - 1.7h) + (2.5k + 3.4k) + 6 = (6.5 - 1.7)h + (2.5 + 3.4)k + 6 = 4.8h + 5.9k + 6. Con la práctica puedes suprimir algunos pasos del proceso, como se ve en los siguientes ejemplos:

1) 13

12

14

43

12

13

43

12

14

12

2 2 3 2 3x x x x x x x x

= + +53

14

12

2 3x x x

2) 3E+2D-F-4E+3D-F=-E+5D-2F. Una de las finalidades del aprendizaje de las operaciones con expresiones algebraicas es el llegar a resolver diversos problemas que se presentan cotidianamente o en algunos casos relacionados con diferentes ciencias. Por el elemento únicamente llevaremos a cabo uno de los pasos que se siguen en la resolución de esos problemas: la obtención de la expresión algebraica para una cierta cantidad. Observa los siguientes ejemplo: 1) Escribe la expresión algebraica que se utiliza para obtener el perímetro de un triángulo tal que, uno de sus lados mide x unidades, otro 4

5 de éste y el tercero la mitad del

primero. Solución:

El perímetro solicitado es 2310

x .

2) Expresar algebraicamente el precio total de un pantalón cuyo precio es x pesos más el 10% del IVA. Solución: El 10% de x es 0.1x, así que el precio total del pantalón es x+0.1x=(1+0.1)x=1.1x Observa que la expresión1.1x es el precio con el IVA incluido, de cualquier artículo de precio x.

27

El estudio de las expresiones algebraicas como elementos de las diferentes operaciones matemáticas, se hace tomando en cuenta en todo momento las propiedades y condiciones establecidas en el tema anterior.

Esto es muy comprensible, porque las letras únicamente simbolizan valores, y

en consecuencia, los cálculos matemáticos aplicados a esos símbolos se hacen con los valores del coeficiente y del exponente de los términos en las expresiones algebraicas.

Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Identifica los términos semejantes en los siguientes incisos.

a) 1.8c , 2 5 2. c , 3 4 2. c , -2c .

b) -mv 2

5

2mv mv2

3

-mv2 .

c) 3 2x , 4xy -2xy 5 2y 2. Simplifica las siguientes expresiones además de reducir los términos semejantes. a) x xy xy y2 22 2+ - + b) a ab ab b2 22 2+ + + c) 27 18 12 18 12 83 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b- + + + +

d) 18

16

29

16

29

827

3 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b+ + - - -

e) a b a b a b a b a b a b1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3+ + + - - f) 8 6 12 92 2a ab b b+ - + RECUERDA:


28

1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS En la solución de problemas como el siguiente se observa la utilidad de denominar procedimientos para resolver operaciones con polinomios. Se tiene una mesa rectangular a la que se desea poner como adorno en la orilla cinta metálica. Si las dimensiones de la mesa son las que muestra la siguiente figura. 2

¿Cuál es la cantidad de cinta que se usa? Para determinar la cantidad de cinta a usar, necesitamos resolver operaciones con polinomios. A partir de este momento llamaremos polinomio a expresiones algebraicas como: 0, 7, 3x (monomios); 5 72y - , -4xy + 3x (bonomios); 6 2 84 3x y x z w (trinomio), los cuales podemos escribir en forma general como: P x a x a x a x an

nn

no( ) ... ,

11

1 con n Z , n 0 y a FR

de lo que concluimos que 1x

y 7 + x no son polinomios.

Ahora vamos a iniciar con las operaciones básicas de adición y sustracción de polinomios. En vista de que las literales de las expresiones algebraicas representan números reales, los polinomios representan numeros reales, por lo que en las operaciones con ellos se aplican las propiedades de los números reales.

3x-4 2y+5

2y+5

3x-4

Figura. 2

29

Para hacer más fácil el trabajo con polinomios es conveniente ordenarlos ya sea de forma creciente a decreciente, de esta menera:

P x x x x( ) 4 2 8 63 2

P x x x x( ) 4 6 2 83 2 En forma decreciente es la manera más utilizada.

P x x x x( ) 8 2 6 42 3 En forma creciente.

P x x x( ) 9 3 44

P x x x x x( ) = -9 + + + -4 3 20 0 3 4 En forma decreciente, que es la manera más utilizada P x x x x x( ) = -4 + + + -3 0 0 92 3 4 En forma creciente Para ilustrar el proceso que se emplea para sumar polinomios, utilizando las propiedades de los números reales, observa los siguientes ejemplos: Sumar los monomios 5 3x y - 9 3x . 5 5 93 3 3 3x x x x+ -9 = -( ) = -( )5 9 3x por propiedad distributiva. = -4x 3 . Observa que para sumar monomios simplemente se reducen términos semejantes. Ejemplos: Para resolver la suma de los polinomios ( ) ( ), 8 7 6 4 3 74 2 2x x x x x se realizan los siguientes pasos: 1. ordenar en forma decreciente los exponentes de los términos de cada polinomio. ( ) ( )7 6 8 4 7 34 2 2x x x x x por conmutatividad.

términos agregados

30

2. Hacer que los polinomios sean completos. ( ) ( )7 0 6 8 0 0 0 4 7 34 3 2 4 3 2x x x x x x x x 3. Agrupar los términos semejantes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 0 0 0 6 4 8 7 0 34 4 3 3 2 2x x x x x x x x por propiedad

asociativa y conmutativa. 4. Reducir términos semejantes:

7 2 34 2x x x . 5. Así el resultado de la suma de los polinomios originales queda de la siguiente manera:

(-8x + 7x4 + 6x2) +(-4x2 - 3 + 7x) = 7x4 + 2x2 - x - 3

Observa que los términos cuyo coeficiente es cero no se escriben.

Ejemplo: Efectúa la suma de los polinomios (4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3y) Observa que en estos polinomios algunos términos tienen dos literales pero la forma de resolver esta suma es igual: (4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (-10x3y+3xy3 +7) ¿Notaste que los polinomios han sido ordenados con respecto a la literal x en forma decreciente? (4x3 y - 10x3 y) + (5x2 y2+0x2 y2) + (9x y3 + 3xy3) + (8+7) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15

Por lo tanto: (4x3 y +5x2 y2 + 9x y3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3 y) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15

Ejemplo:

Suma los polinomios 35

12

23

14

72

3 2 2x x x x

.

31

Observa que los coeficientes son racionales, sin embargo, en éste ejemplo el procedimiento es el mismo:

a) 35

23

12

14

72

3 2 2x x x x

b) 35

23

0 12

0 14

72

3 2 3 2x x x x x x

c) 35

0 23

14

0 12

72

3 3 2 2x x x X x x

d) 35

0 23

14

0 1 12

72

35

512

33 2 3 2

x x x x x x

Por lo tanto:

35

12

23

14

72

3 2 2x x x x

= 3

55

1233 2x x x

Ejemplo:

Suma los polinomios 73

65

52

54

89

32

25

2 2 4 3 2 3 4 4 3 2xy x y x y x y x y x y xy

.

En este ejemplo se tienen coeficientes racionales y dos literales; sin embargo, el procedimiento para sumar es igual.

52

65

73

32

89

54

25

4 3 2 2 4 3 3 4 2 2x y x y xy x y x y x y xy

;

52

0 65

73

32

89

54

25

4 3 3 4 2 2 4 3 3 4 2 2x y x y x y xy x y x y x y xy

52

32

89

0 65

54

73

25

4 3 4 3 3 4 3 4 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y xy xy

32

52

32

89

0 65

54

73

25

4 3 3 4 2 2

x y x y x y xy

x y x y x y xy4 3 3 4 2 289

4920

4115

Por lo tanto:

73

65

52

54

89

32

25

89

4920

4115

2 2 4 3 2 3 4 4 3 2 4 3 3 4 2 2xy x y x y x y x y x y xy x y x y x y xy

Por lo tanto en la suma de tres o más polinomios que incluyen dos o más literales se emplea el mismo procedimiento. Para restar polinomios se debe recordar que por definición a-b=a+(-b). Esto significa que en la resta de números reales al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo.

Por lo consiguiente, es importante que identifiques el inverso aditivo de cualquier polinomio. ¿Recuerdas cómo se localizan en la recta numérica los inversos aditivos de los números reales?

Polinomios Inverso aditivo

3 6 42x x 3 6 4 3 6 42 2x x x x

6 3 22y y 6 3 2 6 3 22 2y y y y

12 6 82xy xy 12 6 8 12 6 82 2xy xy xy xy

sustraendo

minuendo

a - b

33

Ahora puedes realizar la sustracción de polinomios. Resuelve las siguientes operaciones:

x x4 45 3 8 7 2 5 3 8 7 2

El procedimiento aritmético que utilizaste para realizar la operación anterior se utiliza para restar polinomios; por ejemplo, para restar los polinomios.

7 8 6 2 6 4 83 4 3 2 4x x x x x x x se obtiene el inverso aditivo del

sustraendo.

sustraendo inverso aditivo

2 6 4 83 2 4x x x x 2 6 4 83 2 4x x x x Una vez obtenido éste se procede a efectuar la suma de polinomios, aplicando el procedimiento adecuado.

8 7 6 8 6 4 24 3 4 3 2x x x x x x x

8 7 0 6 8 6 4 24 3 2 4 3 2x x x x x x x x

8 8 7 6 0 4 6 24 4 3 3 2 2x x x x x x x x

8 8 7 6 0 4 6 24 3 2x x x x.

7 8 6 2 6 4 8 16 4 83 4 3 2 4 4 3 2x x x x x x x x x x x .

Observa que en la sustracción de polinomios lo que realmente se hace es sumar al minuendo, el inverso aditivo del polinomio correspondiente al sustraendo. Si en la solución de la siguiente sustracción de los polinomios.

3 2 6 6 82 2x x x x .

se obtiene como resultado 2x2 - 4x + 2, se estaría cometiendo un error, realiza en tu cuaderno la operación, ¿Cuál es el error?


34

Resta los siguientes polinomios: a) 7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y xy x y x y x y .

7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y xy x y x y x y .

inverso aditivo del sustraendo ordenando los polinomios: b) 8 7 5 6 6 3 4 53 3 2 4 4 2 3 3 2x y x y xy x y x y x y .

completando los polinomios: c) 0 8 7 5 6 6 3 4 0 54 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4x y x y x y xy x y x y x y xy

Agrupando términos semejantes: d) 0 6 8 3 7 4 5 0 6 54 2 4 2 3 3 3 3 2 2 4 4x y x y x y x y x y x y xy xy

Sacando factor común: e) 0 6 8 3 7 4 5 0 6 54 2 3 3 2 4 x y x y x y xy . Efectuando operaciones: f) 7 8 5 6 4 6 5 3 6 5 3 5 112 3 3 4 2 4 2 3 3 4 2 3 3 2 4x y x y xy x y x y x y x y x y x y xy . Otra manera de resolver las adiciones y sustracciones de polinomios es colocándolos en forma vertical, aunque se debe cuidar que en la misma columna queden los términos semejantes. Ejemplo: Suma de polinomios: 8 3 7 2 3 43 2 2x x y x x

8 3 0 73 2x x x + 0 2 3 43 2x x x 8 3 113 2x x x

35

Ejemplo: Si se tiene la sustracción: 7 8 6 2 6 4 83 4 3 2 4x x x x x x x .

Recuerda que en la sustracción, al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo, por lo que se le cambia de signo a todos y cada uno de los términos del sustraendo y se suman los polinomios.

8 7 0 64 3 2x x x x + 8 6 4 24 3 2x x x x 16 4 84 3 2x x x x.

Ejemplo:

Realiza la operación de : 35

12

23

14

72

3 2 2x x x x

.

35

23

0 12

3 2x x x

+ 0 14

72

3 2x x x

35

1112

43 2x x x .

Ejemplo: Resta los polinomios: 7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y x y x y x y x y

0 8 7 5 64 2 3 3 2 4x y x y x y x y

+ 6 3 4 0 54 2 3 3 2 4x y x y x y x y

6 5 3 5 114 2 3 3 2 4x y x y x y x y Cuando se realizan operaciones de adición y sustracción es necesario trabajar, en algunos casos, con signos de agrupación, por lo que a continuación te presentamos algunos ejemplos tomando en cuenta las siguientes reglas:

36

REGLAS: Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (+) se deja el signo que

tenga cada término que se halle dentro de él. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (-) se cambia el signo a cada

término que se halle dentro de él. Ejemplo:

6 3 4 8 2ab a a ab a .

Recuerda que para restar se suma el inverso aditivo. Se inicia con la eliminación del signo de agrupación que contiene menor número de términos. (Paréntesis.) 6 3 4 8 2ab a a ab a .

Se continúa con el signo de agrupación que contiene menor número de términos, después de los paréntesis. (Corchete.) 6 3 4 8 2ab a a ab a . Después se aplica el procedimiento para la solución de la adición y la sustracción de polinomios: 6 8 3 4 2ab a Así, el resultado de suprimir signos de agrupación es:

6 3 4 8 2 2ab a a ab a ab a

Ejemplo:

2 5 2 3x x y x y

Al aplicar el mismo procedimiento, obtenemos:

2x 5x 2y x 3y

2 5 2 3x x y x y 2 5 2 3x x y x y 2 5 2 3x x x y y 6x y

37

Ahora retomemos el problema de la mesa rectangular. 3 4 3 4 2 5 2 5x x y y . Con lo que al hacer la adición tenemos:

3 4 3 4 2 5 2 5x x y y = 3 4 3 4 2 5 2 5x x y y = 3 3 2 2 4 4 5 5 x y = 6 4 2x y La expresión algebraica que representa la cinta metálica a utilizar es 6 4 2x y

Resuelve las siguientes operaciones: a) 3 9 1 2 3 7 42 3 3x x x x x

b) 34

143

95

75

83

67

32

2 3 2x x x x x

c) 8 5 2 9 53 2 3x x x x bx

d) 3 8 4 5 2 92 2 2 2x y xy xy x y

e) 27

83

45

34

27

54

3 2 3 2 2 3x y x y xy xy x y

f) 2 1 63a x a a x

Recordemos que las dimensiones de esta mesa son 3x-4 y 2y+5. Como ya sabes el perímetro es la suma de los lados de la figura, por lo tanto hay que obtener la suma de los polinomios.


38

1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Como ya se tiene conocimiento de los polinomios y en particular se aprendió la forma de sumarlos, iniciaremos ahora el estudio de la multiplicación de polinomios. Para efectuar el producto de polinomios haremos uso de las operaciones de los números reales. Empezaremos nuestro estudio con la multiplicación de dos potencias de la misma base: Ejemplo: Multiplicar x2 por x3 . Solución:

2 factores

3 factores

x x2 3 x x x x x es decir, x x2 3 5 : 2 factores

3 factores 5 factores

x x2 3 x x x x x x x x x x . Se observa en el ejemplo que se han sumado los exponentes. Ejemplo: Multiplica xm por x2 . Solución:

m factores

2 factores m+2 factores

x xm 2 x x x x .......

x x , es decir, x x xm...... 2 .

En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros no negativos, entonces:

m factores

n factores

a am n a a a a .......

a a a ..... ,

m+n factores

es decir, a a am n m n .

39

Esto nos conduce a lo que llamamos la primera ley de los exponentes, la cual se enuncia de la siguiente manera: Ejemplo: Multiplicar y y y y5 2 5 2 7 ¿Cómo multiplicarías 5 2a por 4a ? Observa que en este ejemplo hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa del producto.

5 4 5 42 2a a a a . Sustituimos las factores 5 y 4 por su producto, es decir:

5 4 202 2a a a a ;

5 4 20 202 2 1 3a a a a

Ejemplos:

2 5 2 5 102 2 1 3m m m m ( ) : ,

5 6 5 6 30 302 5 2 5 2 5 7x x x x x x ;

3 8 24 242 6 2 6 8a a a a ;

7 8 7 8 56 565 5 1 5 6y y y y y y

3 6 3 6 18 182 8 2 8 2 8 10b b b b b b

El producto de dos potencias de la misma base, es igual a la base elevada a la suma de sus exponentes.

40

Ejemplo: La siguiente figura representa la cubierta de una mesa.

figura. 3 El área de la figura se obtiene a través de una multiplicación de monomios, es decir, A=(4m)(2m)=8m2 . Se observa en el ejemplo, que la solución resulta ser otro monomio en el cual ha cambiado no sólo el coeficiente, la expresión de la variable (concretamente, su exponente) y el grado del monomio, sino también su característica esencial ya que al multiplicar longitudes se obtienen superficies. Esto nos muestra que la multiplicación de expresiones algebraicas produce cambios importantes; por ejemplo, al multiplicar una potencia por un tiempo, se obtiene trabajo; si se multiplica una masa por una aceleración, se obtiene fuerza, etc. De esta manera, se puede comprender mejor el carácter de la multiplicación algebraica y su importancia.

Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y la regla de los signos se ha obtenido el producto de monomios. En los ejercicios que se dan a continuación deberás obtener el producto de monomios con la aplicación de las propiedades y leyes correspondientes. Indica como en los ejemplos planteados cuáles propiedades o reglas utilizaste. 1) (8mn)(m2) 6) x x xp p 1 2) (-6x2 y)(3xy) 7) x y yn n n y2 3) (-5ab)(-4a2b) 8) x xy ym m 2 4) (x3 y2 z6)(2x2 y3 z3 )(5xyz) 9) x x x x2 2 2 23 5 2 5) (-6x2yz)(2x3 yz2 ) 10) 8 27 2 3 7m n m n

2m

4m


41

Sabemos que el área de una figura como la siguiente, se obtiene por medio de una multiplicación de los monomios. Determina cuál es el monomio resultante de la región sombreada.

figura. 4 a) Monomio resultante del cuadro mayor: __________________________. b) Monomio resultante del cuadro menor: __________________________. c) Monomio resultante de la región sombreada: ______________________. Una vez que te haz familiarizado con potencias de la misma base, determinaremos la potencia de otra potencia Ejemplo: (34)5 = 3 3 3 3 34 4 4 4 4 , y por la primera ley de los exponentes: 5 Factores 5 Sumandos (34)5 = 34+4+4+4+4 = 320 , Se observa en el ejemplo que se han multiplicado los exponentes. Ejemplo: (b2)n = b2 b2........b2 ; n factores n sumandos (b2)n = b2+2+2+..........+2 , esto es, (b2)n = b2 n

y 3y

3y

42

En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros positivos entonces. (am)n = am am am ......... am ; n factores n sumandos (am)n = am+m+m+.........+m Por lo tanto, (am)n =am n . Esto nos conduce a la que llamaremos segunda ley de los exponentes: Ejemplo: (x2 )3 = x2 x2 x2 ; 3 factores 3 sumandos (x2 )3 = x2+2+2 = x6, es decir, (x2)3 = x6. Observa que se han multiplicado los exponentes. El siguiente ejemplo nos servirá para mostrar cómo obtener el producto de monomios. Ejemplo: Multiplicar (5a2)3 por (2a)2. (5a2)3 (2a)2 Al aplicar la segunda ley de los exponentes se obtiene: (5a2)3 (2a)2 = (53a6)(22a2).

La potencia de otra potencia de la misma base, es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

43

Por la propiedad conmutativa de la multiplicación cambiamos el orden de los factores 53 a6 22 a2 y asociamos de diferente manera. (5a2)3 (2a)2 = (53 22)(a6 a2). Efectuamos operaciones: (125 4) = 500. es decir, (5a2)3 (2a)2 = 500 (a6a2). Por la primera ley de los exponentes, se tiene: 500(a6a2) = 500(a6+2)= 500a8; por lo tanto. (5a2)3 (2a)2 = 500a8

Obten los siguientes productos: a) (3x2)3 (x)2 b) (-8a3)(2a2)2 c) (-6a5)2(-2a)3 d) (3y5)(-6y2)3 A continuación determinaremos la potencia de un producto. Ejemplo: (a b)5 = (a b) (a b) (a b) (a b) (a b). 5 factores Al continuar los factores y asociar de diferente manera: (a b)5 = (a a a a a) (b b b b b). 5 factores 5 factores es decir, (a b)5 = a5 b5.


44

Ejemplo: (xy)n = (xy) (xy) (xy) .............. (xy) n factores Al conmutar los factores y asociar de diferente manera: (xy)n =(x · x · x · x ...... · x) (y · y · y · y ...... · y). n factores n factores (xy)n = xn · yn En general, si a y b son dos números reales y m es un número entero positivo, entonces: (a · b)m =(ab)(ab).....(ab) m factores = a · a · a · ....... · a b · b · b ....... · b m factores m factores (a · b)m = ambm Ejemplo: a) (xy)m = xm · ym · b) (3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 = 144. c) (a2 · b3)3 = a2·3 b3 · 3 = a6 b9. d) (5a2)3 = 53a2·3 = 125a6 . La ley anterior también podemos utilizarla para obtener el producto de un monomio; por ejemplo: Multiplicar (3a2)2 por (5b)3.

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevados a la misma potencia.

45

Por la tercera ley de los exponentes, se tiene: (3a2)2 (5b)3 = (32a4)(53b3). Por la propiedad conmutativa, combinamos el orden de los factores 32, 53, a4,b3 y asociamos de diferente manera: (3a2)2(5b)3 = (3253)(a4b3). Efectuamos el producto y se tiene: (3a2)2(5b)3 = (1125)(a4b3)

Obtener el producto de los siguientes monomios. a) (-3x)3 (ab)2 c) (4y5)2 (x3y2)5 e) (-a2b5)2 (-3a2b2)3 b) (a2b2)3 (3a3b)2 d) (m2n)3 (-8xy2)2 f ) -(3x2y3)5 (2x3y)2

A continuación se determinará la forma de elevar una fracción a un exponente. Para ello veamos el siguiente ejemplo:

xy

xy

xy

xy

3

.

3 factores Asociado:

xy

xy

xy

= x x x

y y yxy

3

3 .

Se observa en el ejemplo que tanto el numerador x, como el denominador y se elevan al exponente 3. En general, si a y b son dos números enteros diferentes de cero y m es un número entero positivo entonces:


46

ab

ab

ab

ab

a a ab b b

m

• • •• • •

m factores m factores

es decir, ab

ab

m m

m

Esto nos conduce a la cuarta ley de los exponentes la cual se enuncia de la siguiente manera: Para elevar una fracción a un exponente, tanto el numerador como el denominador se elevan a dicho exponente. Ejemplos:

xy

xy

b b b

ab

ab

ba

ba

5 5

5

3 3

3 3

2

3

3 6

9

2

5 5

10

4 4 64

Ahora trataremos la división de potencias de la misma base distinta de cero. El cociente de dos potencias de la misma base distinta de cero, presenta tres casos, los cuales dependen de que el exponente del dividendo (numerador) sea mayor, igual o menor que el del divisor (denominador), es decir.

aa

a si m nn

an

m

n

m n

n m

11

si m

si m .

a)

b)

c)

d)

47

Primer caso: aa

a sim nm

nm n

Ejemplo: 88

8 8 8 8 88 8 8

8 85

35 3 2 • • • •

• •;

ó 88

8 8 88 8 8

8 8 1 8 85

32 2

• •• •

• • • ;

m factores aa

a a a aa a a a

am

nm n • • • •

• • • •

n factores

Por lo tanto, aa

am

nm n si m>n, lo cual nos muestra el primer caso de la quinta ley de

los exponentes. Ejemplos:

a) 1010

10 105

25 2 3 c) 6

66 6

8

48 4 4

b) mm

m m8

38 3 5 d) y

yy y

44 1 3

Ahora, obtengamos el producto de monomios. Ejemplos:

Multiplicar

6

6

3

3

4

2

2 5

2 3

x

x

y

y•

48

Para la ley de los exponentes se tiene:

6

6

3

36 3

6 3

4

2

2 5

2 32 2 2

2 2 2 4

x

x

y

yx y

x y

•

Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores 4222 ,3,,6 yx , es decir,

6

6

3

36 3

4

2

2 5

2 32 2 2 4x

x

y

yx y• • •

Se sustituyen los factores 62 y 32 por su producto, esto es: 6 3 3242 2 2 4 2 2 x y x y

Por lo tanto:

6

6

3

3324

4

2

2 5

2 32 4x

x

y

yx y•

Obtén el producto de los siguientes monomios aplicando las propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes. Justifica la respuesta.

ax

x

xx

) •4

4

22

8

3

3

b

a

a)

3

3

2 7

2 5 c b

b) 8

8

6

5

d

x

x)

2

2

3 5

3 2

e

x

x)

5 3

6 2

f

a

a)

4

4

2 2

2 3


49

Segundo caso aa

m

n 1 si m = n.

Aquí el cociente es igual a uno ya que una cantidad dividida entre sí misma da la unidad. Ejemplo:

33

3 33 3

12

2

•

•.

En general, si a es un número real diferente de cero y m y n son números enteros no negativos, entonces: m factores

aa

a a a a aa a a a a

m

n • • • • •• • • • •

,

1 ya que m = n.

n factores

es decir, a

a

m

m 1, lo cual demuestra el segundo caso de la quinta ley de los exponentes.

Ejemplos:

am

m) ,

3

3 1 b) ,88

12

2 cn

n) ,

5

5 1 db

b) .

10

10 1

En el tercer caso de la quinta ley de los exponentes, a

a a

m

n n m

1 , donde mn.

Ejemplo:

66

6 6 66 6 6 6 6 6

6 6 66 6 6

16 6 6

1 16

16

3

6 3 3 • •

• • • • •• •• •

•• •

•

Ejemplo:

2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 21

2 2 21 1

2

1

2

18

2 2

2 5

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 3 2 3 6

x

x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x • •

50

En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros no negativos en donde m<n, entonces: m factores a

a

a a a a a

a a a a a

m

n

• • • • •• • • • •

n factores m factores

a a a a

a a a a a a a a an m

• • • •• • • •

•• • • •

.

1 1 1

m factores n-m factores

es decir, aa a

m

n n m

1 si mn, que es el tercer caso de la quinta propiedad de los

exponentes. Ejemplos:

a

a

a a

a a a a

a a

a a a a a a a a

2 2

2 4

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 1

•• • •

••

•• •

Ejemplo:

66

6 6 66 6 6 6 6 6

6 6 66 6 6

16 6 6

1 16

16

3

6 3 3 • •

• • • • •• •• •

•• •

•

Ejemplo:

2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 21

2 2 21 1

2

1

2

18

2 2

2 5

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 3 2 3 6

x

x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x • •

51

En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros no negativos en donde m<n, entonces: m factores a

a

a a a a a

a a a a a

m

n

• • • • •• • • • •

n factores m factores

a a a a

a a a a a a a a an m

• • • •• • • •

•• • • •

.

1 1 1

m factores n-m factores

es decir, aa a

m

n n m

1 si mn, que es el tercer caso de la quinta propiedad de los

exponentes. Ejemplos:

a

a

a a

a a a a

a a

a a a a a a a a

2 2

2 4

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 1

•• • •

••

•• •

52

Resuelve los siguientes ejercicios y justifica tu respuesta:

a

x

x)

4

4

2 2

2 2

c

y

y)

2

2

3

3 6

b

m

m)

3 4

3 5

d

a b

a b)

5

5

2 2

2 3

También se puede obtener el producto de monomios al aplicar esta ley. Ejemplo:

Multiplica

33

22

2

3 3

x

x

x

x•

Al aplicar el tercer caso de la quinta ley de los exponentes:

33

22

13

12

13

12

13 2

112

2

3 3 3 2 3 1

2

2 3

x

x

x

x x x

x x

x x x

• •

•


53

Simplifica los siguientes monomios:

a

x

x)

5

5

2

4

c

xy

xy)

4

4

4 3

4 5

b

x

x)

2

6

d

a b

a b)

3

3

2

2 3

Una vez que te has familiarizado con las leyes de los exponentes, ahora estudiaremos los exponentes cero. Hemos definido ya las potencias con exponentes enteros positivos y obtenido leyes para operar con ellas. Necesitamos ahora dar una interpretación a las potencias con exponentes cero y negativos que nos permita hacer extensivas a ellas las leyes ya establecidas. Exponente cero La interpretación que se le da a a 0 (siendo a 0), deberá hacer cierta la igualdad. a a a an n n0 0• . la cual se ha obtenido al extender la primera ley de los exponentes. Entonces a= 1, porque 1 es el número que multiplicado por an nos da un producto igual a an. (Recuerda que el elemento neutro de la multiplicación es el 1.) Con base en el razonamiento anterior se ha convenido que: ao = 1 para a 0 la expresión a carece de significado para a = 0. Exponentes negativos. El significado que se le asigna a a-n , en donde n es un número positivo y a o, deberá ser congruente con la extensión que deseamos hacer de la primera ley de los exponentes, esto es, tendrá que hacer verdadera la igualdad. a a a an n n n • ,0 1

54

puesto que a an n 1; entonces: a n debe ser el inverso multiplicador de an , es decir,

aa

n

n

1 ;

aceptando entonces para a n el significado siguiente:

aa

n

n

1 ; para a 0 y, n entero positivo.

Ejemplo:

simplificar y escribir sin exponentes cero o negativos 53

2 3

2

x y

x

Solución:

53

53

53

2 3

2

2 2 3 4

3x y

x

x y x

y

Simplifica y escribe sin exponentes cero o negativos las siguientes expresiones:

ax

x) 8

6

3

5

3

b

y z

y z) 6

2

2 3

5 0

cxy

x y) 410

2

2 5

da

a) 312

4

10 e

x y

a y) 2

3

5 3

8 5

fa b c

a b c) 5

15

3 5 1

2 2 1

2

Hay otras propiedades que se usan con frecuencia y que pueden establecerse en forma sencilla a partir de las definiciones de exponentes negativos y de las leyes de los exponentes.


55

Caso 1 Ejemplo:

ab

a

b

2

5

2

5

1

1

pero

1

11

12

52

5a

ba

b

Por lo tanto a

b

b

a

2

5

5

2 .

En general, si a y b son números reales y, m y n son enteros, entonces (excluida la división entre cero):

a

b

b

a

n

m

m

n

.

Caso 2 Ejemplo:

a

b

a

b

2 2

2

Pero a

b

a

b

2

2

2

2

1

1

1

11

12

2

2

2a

b

a

b •

56

Por lo tanto ab

ba

ba

2 2

2

2

En general, sí a y b son números reales cualesquiera y, m y n son enteros, entonces (excluida la división entre cero):

a

b

b

a

n n

Simplifica y expresa los resultados. Emplea solo exponentes positivos.

a xy

)

6

xy

xy

x

y

6 6

6

6

6

1

1 ;

Pero

1

1 11

6

6 6

6 6

6

6x

y xy y

xyx

•

Simplifica y escribe las respuestas. Utiliza sólo exponentes positivos.

ax y

x y

ba

b

)

)

86

105

2 3

1 2

3

5

3 2

ca

b

dx y

)

)

4

5 5

2

21


57

Una vez que nos hemos familiarizado con la multiplicación de monomios, resultará más fácil, al utilizar para ello la propiedad distributiva, obtener el producto de un monomio por un polinomio. Ejemplo. a) Multiplicar xm por x x 2 . Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:

x x x x x x xm m m 2 2• •

Pero, x x x y x x xm m m m• • , 1 2 2 por lo que x x x x xm m m 2 1 2

b x x)5 2 3 Mediante la propiedad distributiva se obtiene: 5 2 3 5 2 5 3x x x x x • •

Al usar las propiedades conmutativa y asociativa obtenemos: 5 2 3 5 2 5 3x x x x x • • •

Efectuando operaciones: 5 2 3 10 152x x x x

También se pueden omitir los pasos intermedios y operar de la siguiente manera: a) Multiplicar x y2 por 3 2 53 2 3xy x y xy ;

x y xy x y xy x y x y x y2 3 2 3 3 2 5 3 3 43 2 5 3 2 5

b x y xy x y xy x y x y x y)2 3 8 3 6 16 63 2 2 5 2 4 3 5 7 4 4

58

Multiplica los polinomios siguientes. En los cinco primeros omite los pasos intermedios y en los siguientes indica las propiedades y leyes que aplicaste para llegar al producto:

a a n a n an

b ax bx cx d

c a b c d

d a b

e x x x y y

p q q p

m

)

)

)

)

)

abcd

a

8 2 5 6

2 8

1

2 5 6 2

2 3

10 2 2 2

2322

232

232

232

232

832 )

3 )

53 )

6513 )

7324 )

bababaj

yxxyyxi

xxxxh

nmnmmg

xyyxxf

Veremos ahora cómo multiplicar polinomios. Ejemplo: Multiplicar ( x + 3 ) por ( x + 5 ) Mediante la propiedad distributiva: x x x x x x x x x 3 5 5 3 3 5 5 3 152• • • • . Al reducir términos semejantes, se tiene: x x x x 3 5 8 152 . Este mismo producto se puede resolver de la siguiente manera: x x x x x 3 5 3 3 5, usando la propiedad distributiva del primer factor respecto al segundo.


59

Al aplicar nuevamente la propiedad distributiva, se tiene:

x x x x x x

x x x x x

3 5 3 5 3 5

3 5 3 5 152

• • • • ;

.

y al reducir términos semejantes, obtenemos: x x x x 3 5 8 152 . En la resolución de los siguientes ejemplos veremos que se han omitido algunos pasos intermedios.

a x xy y x y x x y y x x y xy y) 2 2 3 2 2 2 2 32 2 2

x x y xy y3 2 2 33 También se puede resolver así:

x xy y x y x x y x y xy xy y2 2 3 2 2 2 2 32 2 2

x x y xy y3 2 2 33 A veces, al multiplicar polinomios de este tipo se acostumbra ordenarlos en columnas y cada término de polinomios se multiplica por todos y cada uno de los del otro polinomio, disponiendo los productos parciales de manera que queden en columna los términos semejantes; este procedimiento es análogo al de la multiplicación de números expresados en forma decimal.

60

Ejemplo: Multiplica 3 2 5 63 2x x x por 3 5x

Al ordenar los polinomios en columnas y seguir el procedimiento indicado, se tiene: 3 2 5 63 2x x x 3 5x 9 6 15 184 3 2x x x x 15 10 25 303 2x x x 9 9 5 43 304 3 2x x x x Para multiplicar polinomios como éste x xy y x y2 22 , se puede utilizar

cualquiera de los procedimientos siguientes. x xy y2 22 x xy y2 22 x y x y x x y xy3 2 22 x y xy y2 2 32 x y xy y2 2 32 x x y xy3 2 22 x x y xy y3 2 2 33 3 x x y xy y3 2 2 33 3 Observa que de estos dos procedimientos el más práctico es el primero, aunque en las dos formas se llega a la misma solución.

61

De las siguientes multiplicaciones, resuelve las cinco primeras siguiendo los pasos correspondientes. Enuncia las propiedades y leyes aplicadas, las siguientes cinco en forma abreviada y las últimas ordenándolas en columnas:

a a ab b a b

b x xy y x xy y

c a y

d y y

e x x x

f x x x x x x

g m n m m n mn n

h x y x xy y

i a a a

j x x y

k x x x x

l x x x x

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

2 2 2 2

2 2 2 2

2

4 3 2 2

2 2 2 3

2 3

2 2

2

5 2

3 2 4

3 5

3 7 2 9

1 1

3 5 3 3 4 2 2

3

1 1

5

3 3 5 2 6

7 2

3

3 8

3

2

5 3 2 6 8 5

3 2

2

2 2

2 2

x x

m y y

n x x y

o a ab b a b

P x x x x

m

)

)

)

)

Para obtener productos de polinomios con coeficientes racionales simplemente, cómo en los casos anteriores, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y la regla de los signos.


62

Ejemplo:

Multiplica 12

2a por 45

3a b.

12

45

2 3a a b

Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores 12

45

2 3 a a b y

se asocia de diferente manera, esto es: 12

45

12

45

2 3 2 3a a b a a b• • • .

Al utilizar las propiedades descritas: 12

45

410

2 3 5a a b a b• .

Se simplifica el coeficiente 4

10, esto es:

12

45

25

2 3 5a a b a b•

Ejemplo: Multiplicar 45

23

52x x

por

34

x

Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:

45

34

23

34

5 34

2x x x x x• • •

Por las propiedades conmutativas y asociativas se obtiene:

45

23

5 34

35

12

154

2 3 2x x x x x x

63

Ejemplo:

Multiplicar 12

13

14

2 2a ab b

por

23

32

a b

Por la propiedad distributiva, tenemos:

12

23

12

32

13

23

13

32

14

23

14

32

13

34

29

12

16

38

13

3536

23

38

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

a a a b ab a ab b b a b b

a a b a b ab ab b

a a b ab b

• • • • •

Por lo tanto,

12

13

14

23

32

13

3536

23

38

2 2 3 2 2 3a ab b a b a a b ab b

El mismo polinomio se puede resolver en otra forma:

12

13

14

23

32

12

13

14

23

12

13

14

32

2 2 2 2 2 2a ab b a b a ab b a a ab b b

Aplica nuevamente la propiedad distributiva y termina el proceso. Ahora resuelve el producto y completa el orden de los polinomios en columnas. 12

13

14

23

32

2 2a ab b

a b

13

29

16

3 2 2a a b ab

34

2a b

13

3a

64

Determina el producto en las siguientes expresiones con coeficientes racionales, en los cuatro primeros deberás seguir todos los pasos indicando las propiedades que utilizaste. Los siguientes cuatro ejercicios los resolverás ordenando los polinomios en columnas y los últimos cuatro resolverás, aplicando la propiedad distributiva.

a y por y x

b x xy y x y

c a b x y

d x x x x

e a a a a

f x x x x x

)

)

)

)

)

)

x

25

56

13

12

13

14

23

32

12

13

23

23

12

23

1 25

38

23

15

13

34

83

12

12

23

2 2

2

2 3

3 2 2

g a a a

a a a

i x x x x

j x x x

k y y y

l m mn

)

)

)

)

)

h) 35

54

83

15

13

23

1 25

12

18

23

13 5

34

23

13

25

34

38

14

6 34

22

14

23

2

2

3 2

2 3

3 2 2

1.2.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Una vez familiarizados con las operaciones de sumar y multiplicar polinomios, resulta fácil determinar la manera de obtener el cociente de ellos. Para dividir polinomios, es necesario recordar la ley de los signos, la de los coeficientes para la multiplicación; asimismo el algoritmo, que comúnmente utilizas para dividir aritméticamente. Empecemos nuestro estudio con la división de polinomios.


65

Ejemplo: Dividir 4 5x entre 2 2x Pasos a seguir: a) Se dispone la operación en forma de fracción (dividiendo entre divisor), es decir

42

5

2

x

x dividendo

divisor b) Se separan los términos y al aplicar las leyes de los exponentes se obtiene: 42

42

25

2

5

23x

x

x

xx •

¿Cómo puedes comprobar la división de polinomios? Ejemplo: Dividir 20 a b c2 3 4 entre 4 a b c0 1 2 Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior se tiene: 204

204

52 3 4

0 1 2

2

0

3

1

4

2

4 2

2

a b c

a b c

a

a

b

b

c

c

b c

a

• • •

Ejemplo: Dividir 15 2 3 6x y z entre 20 2 2x yz Siguiendo los pasos anteriores:

1520

1520

2 3 6

2 2

2

2

3 6

2

x y z

x yz

x

x

y

y

z

z• • •

Simplificando.

1520

34

2 3 6

2 2

2 8

4

x y z

x yz

y z

x

66

Ejemplo: Dividir 10 3 5a b c entre 2 2a b.

102

53 5

24a b c

a bab c

.

Aquí se observa que cuando en el dividendo hay una literal que no existe en el divisor, en este caso la letra c, dicha letra aparece en el coeficiente. Lo mismo ocurre si c se cuestiona en el divisor con exponente cero ya que tendríamos:

c

cc c c0

1 0 1 .

Ejemplo: Dividir a b cm n p entre 5 2 2ab c .

a b c

ab ca b c

m n pm n p

51

52 21 2 2

.

Forma de comprobar la división de monomios. Para comprobar una división de monomios se multiplica el cociente por el divisor, el resultado debe ser el dividendo: Ejemplo: 63

23

2x

xx

Por que 2 3 62 3x x x

67

Obtén el cociente en cada una de las siguientes divisiones. En las cinco primeras determina los pasos que se siguen, tal como se hizo en los ejemplos y los restantes en forma simplificada, pero comprobando la solución. a x xy

b x x y

c a b c ab c

d a b c a b

e x y x y

f x y z y z

g x y m

)

)

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

entre

entre

entre x

entre m

5 6

10 5

18 2

108 20

25 5

3

9

4 2

6 2

6 4 2 2 2

7 8 5 6 2

2 5 4 2

5 4 2 5 2

3 2 5 2

h a b c a bc

i z y z

j b c y c

k x y xy

l x y x y

m a b c a b c

n x y z z

n k

)

)

)

)

)

)

)

entre

y entre x

a entre a

entre

entre

entre

entre

16 4

10 2

25 5

12 6

4 2

8 2 5 2 2

6 2 3 2

5 2 8 3

3 0 5

1 5 2 2

3 2 0 2 6 5

2 2 0 2

División de un polinomio entre un monomio Aquí se utiliza la propiedad distributiva para expresar el cociente de un polinomio y un monomio como suma de fracciones, como en polinomios, o como una suma de un polinomio y una o más fracciones, es decir,

a b

c

a

c

b

c


68

Ejemplo: a) Dividir 20 25 15 53 2 4x x x entre x Aplicando la propiedad distributiva se obtiene: 20 25 15

5205

255

155

4 5 33 2

4

3

4

2

4 4 2 3x x x

xxx

xx

xx x x x

b a a aa

aa

aa

aa

a a

c m m mm

mm

mm

mm m

mm m

)

)

2 2 1 2

12 4 64

124

44 4

64

3 1 14

32

2 5 2 54

4 2

2

4

2

2

2 2 22

2

Como sabemos, la comprobación de la división se obtiene al multiplicar el cociente por el divisor. Comprobaremos por medio de una multiplicación el primero de los casos anteriores. En el inciso a.

Si multiplicamos el cociente 4 5 3

2 3x x x

por el divisor 5 4x , obtenemos el

dividendo:

5 4 5 3 20 25 15 20 25 1542 3

4 4

2

4

33 2x

x x xxx

xx

xx

x x x

, que es el dividendo.

1) Comprueba en los incisos b y c

69

1) Procediendo como en el ejemplo, encuentra el cociente en cada una de las siguientes divisiones y compruébalo.

Dividir: a x y a x x

b a ab a b a

c m m n mn m

d x x x

e m m m n m n m n m

f m y z xy z y z xy z

g x y z x y z x y z entre x yz

m m m m m

n n n

)

)

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

x entre x

entre

entre

3 5 3

3 5 6 5

6 8 20 2

5 6

8 10 20 12 2

5 10 20 5

3 9 12 3

2 3 2 4 2

3 2 2 3

3 2 2

2 1 1 2

9 2 7 4 5 6 3 8 2

2 5 3 2 3 3 3 3 2 3

2 3 2 3 1 5

Obtención del cociente de un polinomio entre otro polinomio. La división de polinomios se puede efectuar de la misma manera que la división aritmética, con grandes números, usando el algoritmo de Euclides; por ejemplo, dados los números 632 y 23, obtengamos el cociente por medio del algoritmo citado, es decir, 27

23 632 -46

172 161

11 (63 entre 23 da 2, como 2 por 23 es igual a 46, el residuo parcial es 17). (Ahora, 172 entre 23 da 7 como 7 por 23 es igual a 161 y el residuo parcial es 11). Comprobación.


70

Por lo tanto 632 = 23 x 27 + 11, El dividendo es igual a divisor por cociente más residuo. Ahora se obtendrá el cociente de polinomios aplicando el algoritmo de Euclides. Para empezar a dividir un polinomio entre otro, se disponen los términos del dividendo y divisor en orden decreciente respecto al grado de una literal. Se termina el proceso de división cuando el grado del residuo, en una variable es menor que el del divisor o cuando el residuo es cero. Ejemplo: Dividir 6 3 2 2 32x x x entre Pasos a seguir; 1) Se divide el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor.

62

32xx

x 2 3 63

3 22x xx

x

2) Se multiplica este primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso aditivo de su producto.

3 2 3 6 92x x x x 2 3 6 3 23

2x x xx

6 92x x. 3) Se suma el dividendo con el polinomio obtenido.

2 3 6 3 23

2x x xx

6 92x x. 6 2x

4) Se divide el primer término de esta suma entre el primer término del divisor.

62

3x

x 2x+3 6 3

3 322x x

x

6 92x x 6 2x

71

5) Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inverso aditivo de este producto.

3 2 3 6 9x x 2x+3 6 3

3 3

22x x

x

6 92x x 6 2x 6 9x 6) Para terminar, sumamos.

2x+3 6 33 3

22x xx

6 92x x 6 2x 6 9x 11.

Por lo tanto, el resultado de la división es: 3x-3 residuo 11 ó 3 3 112 3

xx

Y la comprobación es: 6 3 2 2 3 3 3 112x x x x . Dividendo igual a divisor por cociente más residuo. Ejemplo: Dividir 2 2 4 23x x entre x , sin mencionar los pasos del algoritmo. Se disponen los términos del dividendo y del divisor en orden decreciente y como en el dividendo falta el término x2 se debe dejar un lugar para este término.

x x xx x

2 2 4 22 4 4

3

2

2 43 2x x

4 4 2

4 8

2

2

x x

x x

4 2

4 810

xx

Por lo tanto el resultado es: 2x2 - 4x +4 Residuo -10 ó 2 4 4 102

2x xx

72

Y la comprobación es: 2x3 - 4x -2 = (x+2) (2x2 -4x + 4) + (-10)

1) Aplica el algoritmo de Euclides sin mencionar los pasos y resuelve las siguientes divisiones de polinomios: a n n n

b x x entre x

c b b b b

d x

e x x x

)

)

)

)

)

entre

b entre b

x entre x

entre

6 11 35 3 5

4 4 2

4 10 12 9 2 3

4 14 6

8 4 1 2 2

2

3

4 3 2 2

2

3

División de monomios entre monomios con coeficientes racionales. Ejemplo:

Dividir 52

13

3 2a a entre , esto es:

5

2 3

3 2a a .


73

Ahora vamos a multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. El inverso multiplicativo de: 13

322

aa

es .

Por lo tanto, 52

13

52

3 152

3 2

3

2

3

2

a a

aa

aa

• .

Por las leyes de los exponentes, se tiene: 52

13

152

32a a a .

División de polinomios entre monomios con coeficientes racionales. Se puede proceder del mismo modo que en el campo de los números racionales; por ejemplo:

Dividir 13

38

23

3 2x x y entre x .

Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

13

38

32

3 2x x yx

Ahora se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación. 36

916

3 2xx

x yx

.

Simplificando términos, se obtiene: x xy2

2916

.

Por lo tanto, 13

38

23

12

916

3 2 2x x y x x xy

.

74

Comprobación: Se multiplica el divisor por el cociente, para obtener el dividendo, esto es: 13

38

23 2

916

26

1848

13

38

3 22 3 2

3 2x x y x x xy x x y x x y

.

(dividendo = divisor por cociente).

Procede como en los ejemplos anteriores y divide los siguientes polinomios. Comprueba la solución:

1 38

25

2 34

23

3 27

12

38

35

4 34

23

12

12

5 34

57

5 4 3 2

5 2 3 4

3 2 3 2 2 2

3 2 2 2 2

3 4 2 2 3

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

entre

a b a b

x y z entre x y z

a a b ab a b

y x y xy y x

a b c a bc

Para dividir polinomios entre polinomios con coeficientes racionales se aplica el algoritmo de Euclides. Ejemplo:

Dividir 1

3

28

45

4

15

2

3

4

5

3 2 2x x y xy x y entre .


75

Pasos que se siguen: 1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

23

45

13

2845

415

12

3 2 2

2

x y x x y xy

x

2. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso aditivo

de ese producto.

23

45

13

2845

415

12

3 2 2

2

x y x x y xy

x

13

25

3 2x x y

3. Se suma el dividendo con el polinomio obtenido.

23

45

13

2845

415

12

3 2 2

2

x y x x y xy

x

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

4. Se divide el primer término de esta suma entre el primer término del divisor.

23

45

13

2845

415

12

13

3 2 2

2

x y x x y xy

x xy

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

76

5. Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inverso

aditivo de este producto.

23

45

13

2845

415

12

13

3 2 2

2

x y x x y xy

x xy

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

29

415

2 2x y xy

6. Sumando los dos polinomios.

23

45

13

2845

415

12

13

3 2 2

2

x y x x y xy

x xy

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

29

415

2 2x y xy

0 0

Por lo tanto el resultado de la división es: 12

13

2x xy

Y la comprobación es: 13

2845

415

23

45

12

13

3 2 2 2x x y xy x y x xy

Compruébalo desarrollando el producto.

77

Efectúa las operaciones siguientes desarrollando los pasos propuestos.

a a a ab b entre a ab b

b x x y y xy x y

)

)

entre

13

3536

23

38

12

13

14

116

58

53

14

32

3 2 2 2 2

3 2 3 2

Hasta aquí estudiamos: La suma de polinomios: Se obtiene por las sumas parciales de los términos semejantes, cuyos resultados se escriben a continuación del otro con sus respectivos signos. Sustracción de polinomios: Para restar dos polinomios se suma al polinomio minuendo el inverso aditivo o recíproco del polinomio sustraendo. Multiplicación de polinomios: El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, luego se reducen los términos semejantes. División de polinomios: Para dividir dos polinomios se ordenan los polinomios del dividendo y el divisor en orden decreciente. Con respecto a la misma literal y se aplica el algoritmo de Euclides.



78

En este apartado encontrarás una síntesis de los temas y subtemas que estudiaste a lo largo del capítulo.

En el esquema que revisaste se desglosó una expresión algebraica para que ubiques cada uno de los elementos que has aplicado en los problemas que se plantearon dentro de cada uno de los temas. Ahora resuelve la siguiente operación algebraica 2 3 5 2 32a a a

RECAPITULACIÓN

-4x2y3 + 3x3 =

TÉRMINO

GRADO ABSOL.

TÉRMINO COEFICIENTE NUMÉRICO

FACTORES LITERALES

GRADO Y

GRADO X

-4x2 y3 -4 x2y3 5 2 3

FACTORIZACIÓN

MONOMIO POLINOMIOS

BINOMIO TRINOMIO POLINOMIO

OPERACIONES

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN SUSTRACCION SUMA

-4x2y3 + 3x3 =


79

Con el fin de que conozcas el nivel de tu aprendizaje realiza las siguientes actividades y si tienes alguna duda revisa los temas que estudiaste en este capítulo. 1) Encuentra una expresión algebraica para las siguientes cantidades.

a) El perímetro de un rectángulo de largo x y ancho y.

b) El área de un paralelepípedo con las siguientes dimensiones:

Largo a, ancho b, altura c.

c) La cantidad de dinero que totalizan n billetes de 50,000 pesos.

d) La cantidad de dinero que totalizan m billetes de 10.000 pesos y n billetes de 20,000 pesos.

e) La cantidad a cobrar por un disco que costaba x pesos si el vendedor ofrece un

descuento de 30%. 2. Con tus propias palabras escribe los pasos a seguir para resolver adiciones y

sustracciones de polinomios. 3. Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y la regla

de los signos, has obtenido los métodos para multiplicar y dividir polinomios, de tal manera que los ejercicios que se te proponen a continuación, te servirán para reafirmar tu aprendizaje. Resuélvelos e indica los propiedades y reglas que utilices.


80

a a ba b

b ab

c x y z x y

d x y x yz x z x y

e x y z x

f a b c a b c a abc

g a a b

h x y x y

i a

m n m

n

n

)

)

)

)

)

)

)

)

)

615

42

2 4

8 2 3 2

3 6 5 6

4 2 2 3

38

15

52

27

34

2 3

1 2

2

5

2 1

2 5 3 2

2 3 2

2 3

3 4 2 5 2

2 5

5 5

2 5 2 2 2

2 3 2 5

2

8 2

2 3 4 2 2

2 2

23

53

54

13

38

12

3 34

35

4 2

6 3 5 3

10 5 2 3 5

b a b c x

j y z y z y

k x y x xy

l x x

m xy x x y x y

n x y x x x

)

)

)

)

)

81

Aplica el algoritmo de Euclides para resolver las siguientes divisiones con polinomios.

o x x x

p n n n

q a a

r x y xy xy x y

s m n m n m m n

t a a b b a b

u x x y xy y x xy

)

)

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

entre

entre

entre

entre

2

2

5

2 5 2 2

5 3 2 2 3

4 3 2 3 2 3

3 2 2 3 2

6 10 2

7 9 1

43

23

53

23

14

53

12

65

38

23

38

12

65

13

710

1930

34

25

9

10

13

3536

56

34

12

13

12

116

58

158

94

14

32

2

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3

y

v x x y xy y x xy y

w a a b ab b a b

)

)

entre

entre

82

En este apartado encontrarás las respuestas de las Actividades Integrales; compara tus respuestas y si en alguna no llegaste al mismo resultado, verifícala y en caso necesario vuelve a revisar el tema.

1. a) x x y y x y 2 2

b) El área de un paralelepípedo es la suma de las áreas de sus caras: ab ab bc bc ac ac ab bc ac 2 2 2 .

c) 50 000n

d) 10 000 m + 20 000n

e) El descuento es 0.3x, entonces la cantidad a cobrar por el disco es:

x x x x 0 3 1 0 3 0 7. . . .

2. Si entendiste esta parte del tema habrás observado la necesidad de seguir una serie de pasos para resolver en forma adecuada las operaciones de adición o sustracción de polinomios, sin que los pasos requieran un orden fijo, sino más bien la habilidad que tengas en el manejo de las expresiones algebraicas.

En la realización de las actividades de consolidación, debiste considerar que:

Los polinomios se ordenan en forma decreciente.

Hacer que los polinomios sean completos.

Agrupar los términos semejantes (vertical u horizontal).

AUTOEVALUACIÓN

a

b

c

83

Sumar o sustraer los coeficientes.

En la sustracción, se debe obtener el inverso aditivo del sustraendo.

3. Obtener el producto y el cociente de polinomios son operaciones que requieren de la aplicación de las propiedades y leyes que permiten encontrar la solución deseada.

Los resultados de los ejercicios propuestos en las actividades de consolidación son los siguientes:

613254544525243

233532

322412232

326242352

4

1012

5

2

5

21

32

612483224 )

63618530156563 )

64162328 )

44842 )

424 )

52

156 )

cbacbacbacbaabcacbacbaf

zyxzxyxxxzyxe

yzxzyxyxyxzxyzxyxd

yzxyxyxyxzyxc

a

b

b

ab

a

b

ba

baa

nnn

mnmmnm

22252222252

6555

752

910

45

35

32

43 )

75

72

25 )

403

51

83 )

xcbabxaxcbabai

yxyxyxh

babaag

nn

84

2875232

81

3215

83

31

45 ) zyzyyzyzyj

xxyxxxxyxn

yxy

x

x

yyxyxxxym

xxxl

xyxyyxxxyxyxk

5636532510)

3523536 )

224 )

59

49

103

83

53

433

21 )

2322

222432

628

2332

23

2323234

32

332235

42252

45

2

2

65

125

165

56

21

83 )

169

59

43

32

83

56

21 )

203

52

35

41

32

35 )

232

34 )

118 ó 1 81 97 )

224 ó 2 42 106 )

ab

a

b

abaentrebbaat

mnn

m

n

mnmentremnmnms

xx

yyyxentrexyxyyxr

aaentreaq

nnresiduonnentrennp

xxresiduoxxentrexxo

85

223223

223223

223223

23

41

23

41

49

815

85

161 )

23

32

21

31

21

43

65

3635

31 )

65

31

109

52

43

3019

107

31 )

bababaentrebabbaaw

yxyxyxentreyxyyxxv

yxyxyxentreyxyyxxu

87

LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

2.1 PRODUCTOS NOTABLES

2.1.1 Productos de dos Binomios con Término Común. 2.1.2 Producto de dos Binomios Conjugados 2.1.3 El Cuadrado de un Binomio 2.1.4 El Cubo de un Binomio 2.1.5 El Binomio de Newton

2.2 FACTORIZACIÓN

2.2.1 Factorización por Factor Común 2.2.2 Factorización por Agrupación de Términos 2.2.3 Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto 2.2.4 Factorización de una Diferencia de Cuadrados 2.2.5 Factorización de una Suma de Cubos 2.2.6 Factorización de una Diferencia de Cubos 2.2.7 Factorización de Trinomios de la forma: x2+bx+c y ax2+ bx +c

2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

RACIONALES 2.3.1 Reglas para Simplificar Expresiones Algebraicas Racionales

a)Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Monomios b)Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomios c)Conversión de una Fracción a otra Equivalente con Numerador Denominador dado.

C A P Í T U L O 2

88

d)Reducción de una Fracción a una Expresión Entera o Mixta e)Reducción de una Expresión Mixta a Fraccionaria f) Reducción de Fracciones al Mínimo Común Denominador g) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Monomios h) Cálculo del Mmínimo Común Múltiplo de Polinomios

2.3.2 Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales

a) Adición de Fraciones b) Sustracción de Fracciones c) Multiplicación de Fracciones d) División de Fracciones

89

En este capítulo estudiarás los procedimientos para desarrollar productos notables y factorización:

¿QUÉ APRENDERÁS?

¿CÓMO LO LOGRARÁS?

A diferenciar y desarrollar los tipos de productos notables, y los de factorización; así como a simplificar fracciones algebraicas racionales.

Al analizar los procedimientos para obtener los productos notables; factorizar una expresión y simplificar fracciones algebraicas racionales. Al desarrollar las actividades que se propone, y comparar tus resultados con los que aparecen en el fascículo para verificar que el procedimiento que aplicaste es correcto

Para obtener los conocimientos básicos que necesitarás en las próximas asignaturas de Matemáticas, así como en física, Química y Biología entre otras

¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

P R O P Ó S I T O

91

CAPÍTULO 2

LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. 2.1 PRODUCTOS NOTABLES. En muchos casos, para resolver un problema tenemos que recurrir al álgebra, y cuando formamos los modelos algebraicos nos enfrentamos a expresiones como las siguientes:

x x x x 6 8 14 482

Y aunque parecen complejas en realidad son expresiones de fácil solución, debido a que se han establecido algunas reglas que nos ayudan a solucionarlas rápidamente con precisión. Para las cuales iniciaremos analizando, los productos que cumplen con una regla fija y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, esto es, sin verificar la multiplicación; a estos les llamamos productos notables. 2.1.1 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN. La expresión dada (x+a) (x+b) es un producto de dos binomios, donde puedes ver que x es un término que está en ambos binomios, por lo cual se dice que es término común. Los términos +a y +b son términos no comunes. Por lo anterior, a la expresión ( x + a ) ( x + b ) se le denomina producto de dos binomios con término común.

92

Observa la siguiente tabla:

Productos de dos binomios con un término común

Término común Términos no comunes

1 4 10

2 3 8

3 62

3

4 2 7 2 2

5 6 5

6 11 1

7 3 10

8 2 8 2 6

9 3 7

10 2 9

2 2

3 3

2 2

2 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x x

y y

k k

x x

x x

z z

x x

y y

x x

y y

x

y

k

x

x

z

x

y

x

y

2

2

2

3

2

2

4 10

3 8

62

3

7 2

6 5

11 1

3 10

8 6

3 7

2 9

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Si a los ejemplos 1, 3, 5, 7, 9 se les aplica el procedimiento para multiplicar dos binomios, se tiene:

1 4 10. x x

x x x

x x

x x

2

2

2

10 4 40

10 4 40

14 40

3 6 23

. k k

k k k

k k

k k

2

2

2

23

6 4

23

6 4

163

4.

93

5 6 5. x x

x x x

x x

x x

25 6 30

5 6 30

30

7 3 103 3. x x

x x x

x x

x x

3 2 3 3

6 3

6 3

10 3 30

10 3 30

7 30

9 3 72 2. x x

x x x

x x

x x

2 2 2 2

4 2

4 2

7 3 21

7 3 21

4 21.

Observamos que este tipo de productos se efectúa del mismo modo en que se multiplican dos binomios cualesquiera; sin embargo, esto lo hacemos tan frecuentemente que es válido tener una regla adecuada, la cual se obtiene observando detenidamente los ejemplos anteriores.

x a x b x a b x ab 2 .

Por consiguiente, el producto de dos binomios con un término común es un trinomio cuyo primer término es el cuadrado del término común, su segundo término es el producto de la suma de los términos no comunes por el término común y el término es el producto de los términos no comunes. Analiza como se aplica cada paso de esta regla en los siguientes ejemplos. Para x x 1 9 1er. Paso x x x 1 9 2 . El cuadrado del término común. 2o. Paso x x x x 1 9 1 92 . El producto de la suma de los términos no comunes por el término común.

94

3er. Paso x x x x 1 9 8 1 92 El producto de los términos no comunes. x x x x 1 9 8 92

Para y y2 28

5

2

3

1er. Paso: y y y2 2 228

5

2

3

El cuadrado del término común.

2o. Paso: y y y y2 2 4 28

5

2

3

8

5

2

3

El producto de la suma de los

términos no comunes por el término común.

3er. Paso y y y y2 2 4 28

5

2

3

34

15

8

5

2

3

El producto de los términos

no comunes.

y y y y2 2 4 28

5

2

3

34

15

16

15

Ahora apliquemos los tres pasos de la regla:

m m m m

p a p a p a p a

y y y y

x x x x

8 3 5 24

10 33 43 330

6 3 9 18

2

2 3 2 3 4 6 2 3

2

2.1.2 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS. El producto 103 por 97 que es una operación aritmética, se puede escribir como 100 3 100 3 dado que 103 = 100 + 3 y 97 = 100 - 3. Quedando el producto

103 97 100 3 100 3 , observamos que el producto dado se puede escribir como el producto de dos binomios, los cuales tienen un término común (100) y un término (3) que difieren sólo en el signo (uno es positivo y el otro es negativo).

95

De esta manera, también en Álgebra se presenta este tipo de expresiones, por ejemplo:

x x 4 4 donde x es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.

y k y k , Donde y es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.

12

3 12

3

a a

Donde 3a es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo. En este tipo de expresiones los términos que sólo difieren en el signo se les llama conjugados o simétricos. Para mayor identificación de este tipo de productos se dan a continuación los siguientes ejemplos:

Producto de dos binomios Termino común o igual

Término simétrico o conjugado

1

2 2 3 2 3

3 2 1 1 2

4 3 3

5 6 6

6

2 2

3 2 4 3 2 4

.

.

.

.

.

.

a x a x

a b a b

x x

ax y ax y

x m x x m x

x y x ym n m n

aa

xy

x

xm

2

2

6

2

3

x xb b

ax ax

m x m x

yn n

;;

;;

;

;

3 31 13 3

2 4 2 4

y

A los productos de binomios como los anteriores se les llama productos de binomios conjugados, porque tienen una parte idéntica y una parte simétrica. Si a los ejemplos 1, 3, 5, se les aplica el procedimiento para multiplicar binomios, se tiene:

1. a x a x

a ax ax x

a x x a x

a x

2 2

2 2

2 2

96

3 2 1 1 22 2. x x

2 4 1 2

4 2 2 1

4 1

2 4 2

4 2

4

x x x

x x

x

5 6 63 2 4 3 2 4. x m x x m x

36 6 6

36 6 6

36

6 2 7 2 7 4 8

6 2 7 4 8

5 4 8

x m x m x m x

x m x m x

x m x

En los ejemplos anteriores observamos que...

Por lo tanto, el modelo matemático para el desarrollo del producto de binomios conjugados es:

x y x y x y 2 2 Analicemos la aplicación de la regla paso por paso: Para 6 3 6 3 x x 1er. Paso: 6 3 6 3 62 x x El cuadrado del término idéntico.

2do. Paso:

6 3 6 3 36 3

6 3 6 3 36 9

2

2

x x x

x x x Menos el cuadrado del término simétrico.

Para 6 25

6 25

2 2x x

1er. Paso: 6 25

6 25

25

2 22

x x

El cuadrado del término idéntico, que en este

caso no solo es el primero que aparece en los binomios.

El producto de binomios conjugados es un binomio cuyo primer término es el cuadrado de la parte idéntica menos el cuadrado del término conjugado.

97

.

2do. Paso: 6 25

6 25

425

62 2 2 2x x x

Menos el cuadrado del término

simétrico.

6 25

6 25

425

362 2 4x x x

Ahora apliquemos directamente estos dos pasos:

y y y

m m m

x m x x m x x m x

x x x

2 2 4

2

3 2 4 3 2 4 6 4 8

85

85

6425

2 2 4

5 5 25

2.1.3 EL CUADRADO DE UN BINOMIO. Interpretación geométrica del producto notable. Un agricultor necesita conocer la superficie del terreno que va a sembrar y sólo conoce su dimensión x + y por lado. Dibujemos el terreno: - Identificación del producto notable. Utilizando la definición de potencia y la operación de multiplicación con polinomios: x y x y x y x xy yx y x xy y

2 2 2 2 22

( x + y )

Para calcular la superficie se puede utilizar la fórmula para obtener la superficie de un cuadrado:

A = ( ) ( ) A = 2

Como en nuestro caso = x + y, la fórmula resulta.

A = (x+y)2

98

Para mayor comprensión desarrollemos otros dos ejemplos:

a b a b a b a ab ba b a ab b

a b a b a b a a b b a b

a a b b

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3

2 2 2 3 3 .

De los dos últimos ejemplos apreciamos que en el proceso de desarrollo de todo binomio al cuadrado siempre aparece una expresión que se identifica de la siguiente forma:

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de los dos términos más el cuadrado del segundo.

Es por esto que se puede representar mediante el modelo matemático o fórmula:

x y x xy y 2 2 22

Esta fórmula puede manejarse con mayor precisión si en el desarrollo de un binomio se utiliza su representación mediante signos de agrupación en la formula:

2 2 22

Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para el producto notable se escribe de la forma.

x y x y x y x xy y 2 2 22 .

Comprueba que este producto notable se dedujo correctamente desarrollando el binomio

x y 2

mediante la multiplicación de polinomios. Como te darás cuenta, el primer término resulta positivo, el segundo negativo y el tercero también positivo. Para multiplicar el producto notable anterior, desarrollaremos binomios al cuadrado que requerirán simplificarse mediante operaciones combinadas con expresiones algebraicas.

99

Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio: m n m m n n

2 2 22

m mn n2 22 . Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio:

2 23

2 2 2 23

23

32

3 2 32

x x x

4 83

49

6 3x x .

Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio:

4 2 4 2 4 2 22 2 2

x y x x y yn m n n m m

16 16 42 2x x y yn n m m Desarrollamos este mismo ejemplo por medio de la multiplicación de polinomios y comparemos el número de operaciones y la dificultad con que se realizan en esta forma y mediante el uso del producto notable. 4 2

4 2

16 8

x y

x y

x x y

n m

n m

n n n m

8 4x y yn m m m 16 16 42 2x x y yn n m m Resultado final. ¿Cuál consideras como mejor método para desarrollar el cuadrado de un binomio, el de multiplicación de polinomios o el producto notable con su regla particular?

100

2.1.4 EL CUBO DE UN BINOMIO Interpretación geométrica del producto notable. Supongamos que un ingeniero necesita un tanque cúbico de dimensiones x + y por arista y que desea calcular su volumen. Dibujemos el tanque: x + y x + y x + y Su volumen podrá calcularse mediante la fórmula para obtener el volumen de un cubo V=3 como en nuestro caso =x+y y la fórmula resulta:

V x y 3

- Identificación del producto notable. 1. Aplicando la definición de potencia y la multiplicación de polinomios:

x y x y x y x y x xy yx y x y x x y xy y 3 2 2 3 2 2 33 3 .

2. Aplicando leyes de los exponentes para descomponer la potencia y emplear el producto notable del cuadrado de un binomio, así como la multiplicación de polinomios:

x y x y x y x y x xy y x x y xy y 3 2 2 2 3 2 2 32 3 3 .

Observa que el resultado final es siempre el mismo, independientemente de la forma de desarrollar el binomio. Esto significa que se cumple la propiedad de campo de los números reales denominada conmutativa. “El orden de los factores no altera el producto”. Así es como resulta el producto notable de:

El cubo de un binomio: x y x x y xy y 3 3 2 2 33 3 .

101

Es importante aclarar que no todos los binomios se presentan con literales, sino que puede encontrarse cualquier expresión algebraica. Por ejemplo, podría representarse un modelo algebraico con figuras geométricas.

+ 3 2 33 3 23 O bien mediante signos de agrupación en la forma:

3 3 2 2 33 3

El producto notable se identifica de la siguiente forma:

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado de este mismo por el segundo término, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para el producto notable se escribe en la forma:

x y x x y xy y 3 3 2 2 33 3

Como podrás observar al desarrollar el cubo de una diferencia de dos términos, el primero del desarrollo es positivo, el segundo negativo y, así, sucesivamente; los términos son positivos y negativos alternadamente hasta completar su desarrollo. El desarrollo de este producto notable en diversos ejercicios nos mostrará como se aplica el conocimiento anteriormente adquirido en operaciones combinadas con expresiones algebraicas. Ejemplo. Desarrollemos el siguiente binomio:

3 14

3 3 3 14

3 3 14

14

23

3 2 2 22

23

ax by ax ax by ax by by

27 274

916

164

3 3 2 2 2 2 4 3 6a x a bx y ab xy b y

Calculemos ahora la potencia anterior por medio de multiplicación de polinomios y comparemos el número de operaciones y dificultad con que se realizan en esta forma y mediante el uso del producto notable.

102

3 14

3 14

3 14

3 14

23

2 2 2ax by ax by ax by ax by

9 34

34

116

3 14

27 94

94

316

94

316

316

164

27 274

916

164

2 2 2 2 2 4 2

3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 3 6

3 3 2 2 2 2 4 3 6

a x abxy abxy b y ax by

a x a bx y a bx y ab xy a bx y ab xy ab xy b y

a x a bx y ab xy b y

Ejemplo.

58

410

58

3 58

410

3 58

410

410

2 3 3 4 3 2 3 3 2 3 2 3 4 2 3 3 4 2 3 4 3x y a b x y x y a b x y a b a b

125512

300640

240800

641000

125512

1532

310

8125

6 9 3 4 4 6 6 8 2 3 9 12

6 9 3 4 4 6 6 8 2 3 9 12

x y a b x y a b x y a b

x y a b x y a b x y a b

Si te diste cuenta, este binomio contiene términos racionales; no obstante, su desarrollo se realiza en forma exactamente igual al ejemplo anterior. A partir de la multiplicación de polinomios, propiedades de las potencias y el producto notable del cuadrado de un polinomio, hemos obtenido el modelo del producto notable del cubo de un binomio. ¿Cuál es el mejor método para calcular el cubo de un

binomio: el de multiplicar polinomios o el de aplicar la regla del producto notable correspondiente?

2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON. Para el desarrollo del binomio de Newton se pueden aplicar dos procedimientos, uno corresponde al llamado triángulo de Pascal y el otro a la propiamente denominada fórmula del binomio de Newton. Primero haremos el cálculo de un binomio elevado a cualquier potencia mediante el triángulo de Pascal. Como recordarás, hemos encontrado el producto notable de un binomio al cuadrado y el de un binomio al cubo mediante el modelo:

x y x xy y

x y x x y xy y

2 2 2

3 3 2 2 3

2

3 3 .

103

A fin de obtener el producto notable de un binomio a la cuarta potencia y llegar así al modelo x x y x y xy y4 3 2 2 3 44 6 4 , uno de los caminos que podemos elegir es aplicar el producto notable de un binomio al cuadrado y la multiplicación de polinomios.

x y x y x y x xy y x xy y x x y x y xy y 4 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 3 42 2 4 6 4 .

Dada la laboriosidad involucrada en el desarrollo para binomios con exponente mayor a 3, presentamos aquí los siguientes productos notables que podrán calcularse por simple inspección.

x y x x y x y x y xy y

x y x x y x y x y x y xy y

x y x x y x y x y x y x y xy y

x y x x y x y x y x y x y x y xy y

5 5 4 3 2 2 3 4 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

8 8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8

5 10 10 5

6 15 20 15 6

7 21 35 35 21 7

8 28 56 70 56 28 8 .

Retomando las propiedades de las potencias, recordemos que:

x y x y x y

x y

1

0

1 1

1

Si observamos la regularidad y simetría de los coeficientes del desarrollo de los binomios anteriores y los ordenamos en filas, podemos dibujar un triángulo llamado de Pascal. Éste fue descubierto por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1 Observando con atención, en este triángulo se puede descubrir que cada coeficiente se puede obtener sumando los dos que se encuentran arriba de este último.

104

Dibujemos la sección del triángulo de Pascal que corresponde a los productos notables que tienen exponente desde cero hasta tres.

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

Ahora calculemos las dos siguientes filas que corresponden a los coeficientes de los binomios a la cuarta y quinta potencias.

1 1 1

1 2 1 1 + 3 + 3 + 1

1 + 4 + 6 + 4 + 1 1 5 10 10 5 1

De esta forma observa que construyendo el triángulo de Pascal podemos calcular los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia entera de un binomio, siempre que se conozcan los coeficientes que corresponden al desarrollo de la potencia inmediata anterior de un binomio. Con respecto de la parte literal, volviendo a las potencias de los binomios presentados anteriormente, tenemos lo siguiente: Para los exponentes de los términos del desarrollo se observa que el primer elemento del binomio su exponente va disminuyendo una unidad de cada término que se agrega al desarrollo, mientras que en el segundo elemento del binomio se reduce su exponente también en una unidad en la misma forma. Ejemplo. Vamos a desarrollar los siguientes binomios aplicando el triángulo de Pascal:

1 3 1 3 4 3 1 6 3 1 4 3 1 1 81 108 54 12 1

2 2 4 2 5 2 4 10 2 4 10 2 4 5 2 4 4

32 320 1280 2560 2560 1024

4 4 3 2 2 3 4 4 3 2

3 2 5 3 5 3 4 2 1 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 4 2 5

15 12 2 9 4 6 6 3 8 10

.

.

x x x x x x x x x

a b a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

Ahora observa como se construye la fórmula del binomio de Newton y como se aplica al cálculo de binomios elevados a determinadas potencias.

105

El procedimiento para desarrollar el producto notable de un binomio elevado a cualquier potencia entera n se deduce como una fórmula general, observando la variación de los coeficientes y exponentes de sus términos y el número de éstos.

x y

x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x n x yn n

x yn n n

x yn n n n n n y

nn n n n n

n

0

1

2 2 0 2 1 1 2 2 2

3 3 0 3 1 1 3 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1

1 1

12 11

2 2 12 1

13 11

3 3 1 12 1

3 3 1 3 23 2 1

11

2 11 2

3 2 11 2 3 1

• • • n n n 1 2 3 1

A este producto notable se le llama binomio de Newton, y fue desarrollado por el físico inglés Isaac Newton (1642-1727). De acuerdo con este binomio se aprecia la obtención de cualquier término del desarrollo se encuentra con el siguiente procedimiento: 1. El coeficiente del primer y último término del desarrollo del binomio es uno. 2. El coeficiente de cualquier otro término se calcula multiplicando el exponente que

tiene el primer elemento del binomio en el término anterior por su respectivo coeficiente y dividiendo el producto entre el número de términos anteriores.

3. El exponente del primer elemento del binomio coincide con el del mismo binomio en el

primer término del desarrollo, y a partir del segundo término se va reduciendo en una unidad en cada término que se agrega al desarrollo.

4. El exponente del segundo elemento del binomio comienza con valor cero y se va

incrementando en una unidad a partir del segundo término del desarrollo.

106

-Desarrollo del binomio de Newton empleando la fórmula general. A partir del binomio de Newton, desarrollemos los siguientes binomios. El primero de ellos lo obtendremos en varias fases para ilustrar la aplicación del

procedimiento anterior.

1 5 8 3. m n FASE 1: 5 8 1 53 3m n m Primer término.

FASE 2:

5 8 1 53 11

5 83 3 2 1m n m m n

Segundo término

FASE 3:

5 8 1 53 11

5 83 2 12 1

5 83 3 2 1 2m n m m n m n •

Tercer término

FASE 4:

5 8 1 53 11

5 83 2 12 1

5 8 1 83 3 2 1 2 3m n m m n m n n •

Último término

31

3 62

3 1 2 3 13 2 1

66

1• •

5 8 1 5 3 5 8 3 5 8 1 83 3 2 1 2 3m n m m n m n n

125 600 960 5123 2 2 3m m n mn n Conclusión del desarrollo. ¿Cuál procedimiento permite calcular más fácilmente

potencias de binomios: el del triángulo de Pascal o el del binomio de Newton?

107

A fin de que practiques el desarrollo de los productos notables, multiplica los siguientes binomios utilizando la regla correspondiente. Una vez que los resuelvas, compara tus resultados con las respuestas que aquí aparecen. BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.

1 3 5

2 5 2

3 19 10

4 2 12

2 32

5 1 72 2

.

.

.

.

.

x x

x x

n n

x x

x x

6 8 1

7 5 6

8 2 7

9 9 12

10 3 8

4 4

5 5

2 2

.

.

.

.

. .

a a

ab ab

a a

xy xy

a ax x

RESPUESTAS: 1 8 15

2 3 10

3 9 190

4 4 2 34

5 8 7

2

2

2

2

4 2

.

.

.

.

.

x

x

n

x

x

x

n

x x

x

6 7 8

7 30

8 5 14

9 3 108

10 5 24

8 4

2 2

10 5

2 4 2

2

.

.

.

.

. .

a

a

a

x

a

a

b ab

a

y xy

ax x


108

BINOMIOS CONJUGADOS. RESPUESTAS:

11

12

13 3 1 3 1

14 2 2

15

3 3

.

.

.

.

.

a x x a

m n m n

a a

y y y y

x y x ym n m n

11

12

13 1 9

14 4

15

2 2

2 2

2

6 2

2 2

.

.

.

.

.

a

m

y

x

x

n

a

y

ym n

CUADRADO DE UN BINOMIO RESPUESTAS:

16

17 4 2

18 3 2

19

20

2

2

2

4 4 2

1 1 2

.

.

.

.

.

a b

m

x y

x y

x yx x

16 2

17 16 16 4

18 9 12 4

19 2

20 2

2 2

2

2 2

8 4 4 8

2 2 1 1 2 2

.

.

.

.

.

a

x

x

ab b

m m

x xy y

x y y

x y yx x x x

CUBO DE UN BINOMIO.

21 3

22 4 6

23 5

24 2

25

3

3

2 3

3

3

.

.

.

.

.

a

x

x y

a x

mx ny

26 1 4

27 1

28 2 3

29 92

83

30 215

5

3

3 3

3

2 23

23

.

.

.

.

.

n

a

m y

ab a b

xy x y

109

RESPUESTAS: 21 9 27 27

22 64 288 432 216

23 15 75 125

24 8 12 6

25 3 3

26 64 48 12 1

27 3 3 1

28 8 36 54 27

29 7298

16 96 51227

30 83375

3 2

3 2

6 4 2 2 3

3 2 2 3

3 3 2 2 2 2 3 3

3 2

9 6 3

3 2 2 3

3 6 4 5 5 4 6 3

3 3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

x

m

a

a a

x x x

x y x y y

a a x ax x

x m nx y mn xy n y

n n n

a a

m m y my y

a b a b a b a b

x y 4

1510 1254 3 5 3 6 3x y x y x y .

BINOMIO DE NEWTON.

31 2

32 13

25

334

1

34 3

10

7

2 6

3 2 9

.

.

.

.

x

m n

ax

x y

RESPUESTAS: 31 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20

32 12187

143645

282025

562025

1123375

2249375

44846875

12878125

334096

3512

15256

516

1516

32

1

34 19683 59049 78732 61236 30618 10206

2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

6 12 5 10 4 83 6

2 4 2

27 24 2 21 4 18 5 15 8 12 10

)

)

)

)

x x x x x x x x x x

m m n m n m n m n m n mn n

a x a x a x a x a x ax

x x y x y x y x y x y 2268 324 279 12 6 14 3 16 18x y x y x y y .

110

Por medio de los productos notables se obtuvieron los productos de los factores de la siguiente forma: Para x x 3 5 se obtuvo el producto x x2 2 15

Para 23

6 23

6y y

se obtuvo el producto

49

362y

Para x

12

2

se obtuvo el producto x x2 14

Para x y 2 3 se obtuvo el producto x x y xy y3 2 2 36 12 8

Para 2 43 2 5a b se obtuvo, a través del binomio de Newton:

32 320 1280 2560 2560 102415 12 2 9 4 6 6 3 8 10a a b a b a b a b b Y acordamos que éstos:

Corresponden a una regla general. Nos permiten encontrar el producto de la multiplicación de dos binomios por

simple inspección. Son procedimientos más sencillos que los de multiplicación de

polinomios.

En el siguiente tema: factorización; se analizará el procedimiento

inverso, es decir dado el producto encontraremos los factores.


111

2.2 FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es escribirla mediante el producto indicado de sus factores; para lo cual existen algunas reglas que analizaremos en este apartado. Además es importante que identifiques y desarrolles los productos notables que estudiaste en el capítulo anterior de este fascículo. 2.2.1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN. Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común, la aplicación correcta de la propiedad distributiva nos permitirá expresar el polinomio como el producto de dos factores donde uno de ellos será el factor común. Visualizaremos lo anterior con los siguientes ejemplos. EJEMPLO: Factorizar el polinomio 2 2x x cada término del polinomio tiene como factor x. Por tanto x es el factor común. Escribimos el factor común x como coeficiente de un paréntesis. Así: x . Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término del polinomio entre el factor común. De la siguiente forma:

2 2x

x

x

xx

2

Y tendremos que: 2 22x x x x EJEMPLO. Factorizar la expresión 2 83 2 2a b a b . Los coeficientes 2 y 8 tienen como factor común 2, en su parte literal los factores comunes son a y b, que tomaremos con su menor exponente, esto es, a yb2 . De acuerdo con esto, el factor común de la expresión es 2 2a b , el cual escribimos como el coeficiente de un paréntesis. Así: 2 2a b .

112

Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término del polinomio entre el factor común, en la siguiente forma:

22

3

2a ba b

a

82

42 2

2a ba b

b

Y tendremos que: 2 8 2 43 2 2 2a b a b a b a b EJEMPLO. Factorizar la expresión 20 10 303 2 2 3 2 2x y x y x y . Los coeficientes 20, 10 y 30 tienen como factor común al 10, porque es el divisor mayor. De la parte literal los factores comunes son x, y, que tomaremos con su menor exponente, esto es:

x y2 2;

Por lo anterior, el factor común de la expresión resulta ser 10 2 2x y , el cual se escribe como el coeficiente de un paréntesis. Así: 10 2 2x y Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término del polinomio entre el término común. 2010

23 2

2 2

x y

x yx ;

1010

2 3

2 2

x y

x yy ;

3010

32 2

2 2

x y

x y

Y tendremos lo siguiente: 20 10 30 10 2 33 2 2 3 2 2 2 2x y x y x y x y x y . Como puedes observar, para factorizar por factor común un polinomio se procede como sigue:

1. Se busca el factor común de los términos del polinomio (primero el coeficiente y después las literales). Si los coeficientes resultan tener varios factores se saca como factor común el mayor y de las literales se toman aquellas que aparezcan en todos los términos y con menor exponente.

113

2. El factor común obtenido se escribe como el coeficiente de un paréntesis.

3. Se divide cada término del polinomio entre el término común y los

cocientes se escriben dentro del paréntesis. En este tipo de factorización se presenta el caso de que el factor común del polinomio dado, sea otro polinomio por ejemplo, si observamos detenidamente el polinomio a x b x 1 1 tienen como factor común al polinomio ( x + 1 ). En estos casos, ya

identificado el factor común, se procede de la misma forma que en los casos anteriores. EJEMPLO. Factorizar la expresión x a a 1 3 1 . El polinomio (a + 1 ) es el factor común de la expresión y lo escribimos como coeficiente de un paréntesis ( a + 1 ) ( ). Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de la expresión entre el término común.

Así:

x a

ax

11

;

3 11

3a

a

Y tenemos que x a a a x 1 3 1 1 3 . EJEMPLO: Factorizar la expresión 2 3 2 7 3 2x x x El polinomio 3 2x es el factor común de la expresión y lo escribimos como coeficiente de un paréntesis. Así: 3 2x Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de la expresión entre el término común, esto es:

2 3 23 2

2x x

xx

;

7 3 23 2

7x

x

Por tanto tenemos que 2 3 2 7 3 2 3 2 2 7x x x x x .

114

En algunos casos los polinomios no pueden ser factorizados por este método, como el polinomio 7x2 - 4x +3b donde no aparece un factor común ni en los coeficientes ni en las literales. Dada la expresión 4m(a2 + x - 1) + 3n (x - 1 + a2) ¿El factor común es el polinomio (a2 + x - 1)? Si la respuesta es afirmativa, ¿Cuál es el otro factor para completar la factorización de la expresión? 2.2.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común, como en los siguientes casos: 1 4 4

2 3 33 4 12 3

3 2

.

.

.

ax ay a y

am m amx xy y

Para factorizar dichos polinomios no se puede aplicar el procedimiento de factorización por factor común a toda la expresión, ya que no todos los términos tienen el mismo factor común. Para lograr su factorización debemos primero agrupar términos que tengan el mismo factor común y así poder factorizar el polinomio por el método anterior. La agrupación de términos se puede hacer generalmente de más de una forma, con tal que los términos agrupados tengan algún factor común y siempre que las cantidades quedadas dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean exactamente iguales. EJEMPLO. Factorizar el polinomio ax ay x y 4 4 por agrupación de términos. Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen por factor común a. Los dos últimos términos del polinomio tienen por factor común “4” y por tanto: ax ay x y 4 4 ax ay x y4 4 agrupando términos.

a x y x y4 factorizando cada grupo por factor común.

x y a 4 factorizando toda la expresión anterior por factor común.

115

EJEMPLO. Factoriza el polinomio siguiente por agrupación de términos:

2 6 5 152y y y

Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen el mismo factor común “2y” y los dos últimos términos del polinomio tienen el factor común “5”. Por lo tanto: 2 6 5 152y y y 2 6 5 152y y y agrupando términos.

2 3 5 3y y y factorizando cada grupo por factor común.

y y3 2 5 factorizando toda la expresión anterior por factor común. EJEMPLO. Factorizar el polinomio 8ac - 4ad - 6bc + 3bd, por agrupación de términos. Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen factor común “4a”. Los dos últimos términos del polinomio tienen factor común “3b”. Por lo tanto: 8 4 6 3ac ad bc bd 8 4 6 3ac ad bc bd agrupando términos 4 2 3 2a c d b c d factorizando cada grupo por factor común. 2 4 3c d a b factorizando toda la expresión anterior por factor común. Al efectuar el procedimiento de factorización es necesario tener cuidado con los signos, pues al agrupar términos se debe aplicar correctamente la propiedad distributiva. 2.2.3. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Ya sabes que un trinomio es un polinomio que consta de tres términos algebraicos. Conoces también que factorizar una expresión algebraica significa escribirla en forma equivalente mediante el producto de otras expresiones más sencillas. Pero, ¿qué es un cuadrado perfecto?

116

Podemos construir este concepto en la siguiente forma. Si queremos calcular la raíz de un número entero tenemos dos posibilidades: 1. Raíz exacta: 25 5 , porque 5 252 2. Raíz inexacta: 8 2.8 Porque (2.8)2 = 7.84 8 400 4 8 16 De estos dos números, el 25 se llama cuadrado perfecto por tener raíz exacta. De la misma manera un término o cualquier expresión algebraica formará un cuadrado perfecto cuando tenga raíz exacta. Ejemplos:

4 4 2

6 6 6

2 2

6 3 2 3

x x x

x x x

Entonces, para que un trinomio sea cuadrado perfecto se requerirá que tenga raíz exacta y, por tanto, debe poder representarse como el cuadrado de otra expresión algebraica. Por otra parte, recordemos que al desarrollar el cuadrado de un binomio obtenemos un trinomio.

x y x xy y 2 2 22 .

Si aplicamos la propiedad de identidad y tratamos de calcular la raíz del trinomio obtendremos lo siguiente:

x xy y x y x y2 2 22 . Lo anterior significa que para extraer la raíz de un trinomio necesitamos expresarlo como el cuadrado de un binomio, es decir, escribirlo en forma equivalente mediante, el producto de un binomio por sí mismo.

117

Al procedimiento para realizar lo anterior se le denomina factorización de un trinomio cuadrado perfecto y se representa mediante la fórmula:

x xy y x y2 2 22 .

Esta factorización debe identificarse en la siguiente forma:

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio, cuyos términos corresponden a los dos cuadrados del trinomio.

Como puede apreciarse en este modelo, la factorización de un trinomio cuadrado perfecto es la operación inversa al desarrollo del producto notable de un binomio al cuadrado. Si el término no cuadrático del trinomio tiene coeficiente negativo, su factorización corresponde al cuadrado de una diferencia de dos términos, según la fórmula:

x xy y x y2 2 22 . De igual forma que los productos notables, estas dos fórmulas de factorización se pueden representar mediante signos de agrupación en la forma siguiente:

2 2 2

2 En las siguientes actividades se utiliza esta representación para factorizar trinomios cuadrados perfectos. EJEMPLO. Corroboremos que el siguiente trinomio es cuadrado perfecto para poder realizar su factorización.

9 12 42 2m mn n

118

Procedimiento: 1. Se extrae la raíz de los dos términos cuadráticos y se calcula el doble

producto de ambas raíces.

9 12 4 9 3 22 2 2m mn n m m , n ; 4n2 2 3 2 12m n mn Como el doble producto de las raíces de los términos cuadráticos es igual al término no cuadrático, se concluye que el trinomio es cuadrado perfecto. 2. Se representa el trinomio mediante signos de agrupación para obtener la

factorización.

9 12 4 3 2 3 2 2 3 2 3 22 2 2 2 2m mn n m m n n m n m n EJEMPLO. Factoricemos el trinomio siguiente:

49 70 25 7 2 7 5 5 7 5 7 54 2 3 6 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2x x y y x x y y x y x y

49 7 25 5 2 7 5 704 2 6 3 2 3 2 3x x y y x y x y , ;

EJEMPLO. Tratemos de factorizar el siguiente trinomio: 36 30 25

36 6 25 5

2

2

x x

x x

;

2 6 5 60x x

El doble producto no coincide con el término no cuadrático del trinomio y, por tanto, éste no es cuadrado perfecto, por lo que no puede factorizarse con el procedimiento anterior.

119

EJEMPLO. Factoricemos el trinomio: 1 49 142 a a Como los términos no están en el orden que tiene la fórmula para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, se aplica la propiedad conmutativa para reordenarlos.

49 14 1 7 2 7 1 1 7 1 7 1

49 7 1 12 7 1 14

2 2 2 2 2

2

a a a a a a

a a a a

; ;

2.2.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS. Recuerda el modelo matemático para el producto notable de dos binomios conjugados del que se obtiene la fórmula:

x y x y x y 2 2. Ésta nos proporciona una diferencia de cuadrados. Si ahora aplicamos la propiedad de identidad observamos que una diferencia de cuadrados se puede representar equivalentemente como un producto de dos binomios conjugados.

x y x y x y2 2

Nuevamente se aprecia que la factorización es una operación inversa a la del desarrollo de un producto notable. Una vez más el modelo anterior se puede representar mediante signos de agrupación.

2 2

120

Este procedimiento de factorización debe identificarse en la forma siguiente: Una diferencia de los cuadrados de dos términos algebraicos se factoriza como el producto de dos binomios conjugados, cuyos términos son iguales a los que están elevados al cuadrado. Para comprender este tipo de factorización utilicemos su representación mediante signos de agrupación para factorizar diferencias de cuadrados. EJEMPLO. Diferencias de cuadrados con coeficientes enteros.

9 254 6a b 1. Se extrae raíz cuadrada de ambos términos para representar la diferencia de cuadrados según el modelo:

9 25 3 54 6 2 2 3 2a b a b

2. Con estas raíces se escribe el producto de binomios conjugados.

9 25 3 5 3 5 3 5 3 5 3 54 6 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3a b a b a b a b a b a b .

EJEMPLO. Diferencia de cuadrados con coeficientes racionales. m n p p mn q p mn p p mn q p mn q p

2 46 2

23

23

23

23

4994 7

32 7

32 7

32 7

32

Con base en el producto notable de dos binomios conjugados obtuvimos el modelo matemático para factorizar una diferencia de cuadrados. 2.2.5. FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS. Como se explicó en la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, un término es cuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta. ¿Cuándo sería un término un cubo perfecto? De igual forma un término es cubo perfecto cuando tiene raíz cúbica exacta.

121

Esto lo puedes ver en los siguientes ejemplos: 27 33 3 es la raíz cúbica exacta de 27, porque 3 273 216 63 6 es la raíz cúbica exacta de 216, porque 6 2163

x x63 2 x2 es la raíz cúbica exacta de x6 , porque x x2 3 6

8 293 3x x 2 3x es la raíz cúbica exacta de 8 9x , porque 2 83 3 9x x .

Aplicando el procedimiento para multiplicar un binomio por un trinomio, obtenemos los resultados para los siguientes ejemplos: EJEMPLO.

a b a ab b a b

a ab b

2 2 3 3

2 2

,

a b a a b ab3 2 2 a b ab b2 2 3 a 3 b3 EJEMPLO.

x x x x2 32 4 2 8 , ya que:

x x2 2 4 x 2 x x3 22 4 x 2 4 82x x y3 8

122

EJEMPLO.

y y y y 3 3 9 272 3 , ya que:

y y2 3 9 y 3 y y y3 23 9

3 9 272y y y3 27 Analizando cada uno de los resultados observamos que se obtiene una suma de cubos. Por otra parte, si a los ejemplos anteriores les aplicamos la propiedad de identidad, obtendremos una expresión algebraica, la cual se representa mediante un producto de otras expresiones, es decir, tendremos una expresión factorizada.

a b a b a ab b

x x x x

y y y y

3 3 2 2

3 2

3 2

8 2 2 4

27 3 3 9

De esto deducimos que el modelo matemático para factorizar una suma de cubos tiene la siguiente forma:

x y x y x xy y3 3 2 2

Para su correcta aplicación, conviene identificar este modelo de la siguiente forma: La factorización de una suma de cubos es el producto de un binomio por un trinomio, donde el binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos cúbicos y el trinomio es el cuadrado de la primera raíz cúbica, menos el producto de ambas raíces cúbicas, más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.

123

Aplicaremos esta regla con la ayuda de signos de agrupación.

3 3 33 33 33

233 33 33

2

a) Para obtener el binomio se extrae la raíz cúbica de cada término y éstas se

suman.

3 3 33 33

b) para obtener el trinomio, se eleva al cuadrado el valor de la primera raíz y se le

resta el producto de ambas raíces; al final se suma el cuadrado de la segunda raíz.

3 3 33

233 3

3 33

2

Apliquemos el modelo obteniendo para factorizar las siguientes sumas de cubos. EJEMPLO. w3 125

- La raíz cúbica de los términos. w w33

3 125 5

- El cuadrado de la primera raíz. w w2 2

- El producto de ambas raíces w w5 5 - El cuadrado de la segunda raíz 5 252 Por lo tanto: w w w w2 2125 5 5 25

124

EJEMPLO. 64 6 3x y

- La raíz cúbica de los términos: 64 463 2

33

x x

y y

- El cuadrado de la primera raíz 4 162 2 4x x

- El producto de ambas raíces 4 42 2x y x y

- El cuadrado de la segunda raíz y y2 2 - Por lo tanto: 64 4 16 46 3 2 4 2 2x y x y x x y y

EJEMPLO. 18

64273

3 6

aa y

En este caso el procedimiento se desarrollará sin indicar los pasos, en la siguiente forma:

18

6427

12

43

14

23

1693

3 6 22

2 2 4

aa y

aay

ay a y

125

2.2.6. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS Para la factorización de la diferencia de cubos, el modelo matemático sólo difiere del modelo anterior en los signos de dos de sus términos como se observa a continuación:

x y x y x xy y3 3 2 2 .

Dado que el binomio x y3 3 lo puedes escribir en la forma: x y3 3

. Como ejemplos para factorizar una diferencia de cubos calcularemos un ejercicio que contenga los mismos términos que el de una suma de cubos, de manera que observes las diferencias en los resultados. EJEMPLO. w3 125

- la raíz cúbica de ambos términos w w33 3 125 5 ;

- el cuadrado de ambas raíces w2 25 25, - el producto de ambas raíces 5w Por tanto: w w w w3 2125 5 5 25

Observa los siguientes casos para mayor comprensión de esta regla. EJEMPLO: 8 27 2 3 4 6 93 3 2 2x y x y x xy y

EJEMPLO: 1 27 1 3 1 3 93 6 2 2 2 4 x y xy xy x y

126

2.2.7. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA x bx c ax bx c2 2 ; Existen algunos trinomios que no son cuadrados perfectos y que también son factorizables, sólo que mediante un procedimiento diferente. A continuación presentamos ejemplos de trinomios del tipo: x bx c2 1 5 6

2 11 24

2

2

.

.

x x

x x

3 20

4 6 27

2

2

.

. .

x x

x x

Como puedes observar, estos trinomios constan de un término cuadrático, otro de primer grado y otro constante, llamado término independiente, por lo que son trinomios de una sola variable con coeficientes constantes. El procedimiento de factorización para este caso lo describimos mediante ejemplos. EJEMPLO. Factorizar el trinomio. x x2 3 10 La expresión factorizada de este tipo de trinomios es un producto de dos binomios con un término común, el cual se obtiene al extraer la raíz cuadrada del término cuadrático.

x x2 Los segundos términos de ambos binomios son dos números cuyo producto resulta igual al término independiente y cuya suma es igual al coeficiente del término de primer grado, esto es:

5 2 10

5 2 3

Por lo tanto, la factorización completa de trinomio en este caso resulta:

x x x x2 3 10 5 2 Cabe aclarar que los dos números pueden pertenecer a cualquiera de los dos binomios. Es decir, también se puede escribir:

x x x x2 3 10 2 5

127

EJEMPLO. Factorizar el siguiente trinomio.

x x2 13 30 - Buscamos el término común. Y calculamos los términos no comunes:

15 2 30

15 2 13

- Escribimos la factorización del trinomio.

x x x x

x x x x

2

2

13 30 15 2

13 30 2 15

ó

A continuación analizaremos algunos ejemplos de trinomios de la forma ax bx c2 . 1 6 5 4

2 2 5 3

3 3 2

2

2

2

.

.

.

x x

x x

x x

Como podrás observar, éstos no corresponden a trinomios cuadrados perfectos, y su diferencia con los trinomios vistos en el caso anterior es que los coeficientes del término cuadrático tienen un valor distinto de uno. Por tal motivo su método de factorización es diferente. EJEMPLO. Factorizar el trinomio. 2 3 22x x - Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término

constante.

Así: 2 2 4

128

- El producto obtenido lo descomponemos en factores de tal manera que la suma de

éstos sea igual al coeficiente del término de primer grado.

Así:

4 1 4

4 1 3

- Sustituimos, en el trinomio dado, el coeficiente del término de primer grado por la suma

de los factores y le aplicamos al propiedad distributiva. Así: 2 3 22x x 2 4 1 22x x - Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de factorización por

agrupación de términos, con el cual se concluye la factorización del trinomio.

Así: 2 3 22x x

2 4 1 2

2 4 2

2 4 2

2

2

2

x x

x x x

x x x

2 2 1 2

2 2 1

x x x

x x

EJEMPLO. Factorizar el trinomio 6 5 42x x . Multiplicamos el coeficiente del término del segundo grado por el término constante. Así: 6 4 24 El producto obtenido lo descomponemos en factores, de tal manera que la suma de los factores sea igual al coeficiente del término de primer grado.

Así:

8 3 24

8 3 5

Sustituimos en el trinomio dado el coeficiente del término de primer grado por la suma de los factores y le aplicamos la propiedad distributiva. Así: 6 5 42X X 6 8 3 42x x

129

Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de agrupación de términos, con lo cual se concluye la factorización del polinomio. Así: 6 5 42x x 6 8 3 42x x

6 8 3 4

6 8 3 4

2 3 4 1 3 4

3 4 2 1

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

Para mejor entendimiento de cómo se factoriza un trinomio de la forma ax bx c2 , daremos dos ejemplos más en los cuales no se mencionarán los pasos como en los ejemplos anteriores, pero es necesario observar que en cada ejercicio se efectúan dichos pasos. EJEMPLO. Factoriza el trinomio 6 7 22x x .

6 2 12

4 3 12

4 3 7

6 7 2 6 4 3 22 2x x x x

6 4 3 2

6 4 3 2

2 3 2 1 3 2

3 2 2 1

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

EJEMPLO. Factorizar el trinomio. 5 13 62x x

5 6 30

15 2 30

15 2 13

5 13 6 5 15 2 62 2

x x x x

5 15 2 6

5 15 2 6

5 3 2 3

3 5 2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

130

En los dos últimos ejemplos escribe en cada renglón los pasos que se realizaron para factorizar. Ahora ya sabes factorizar los trinomios de las formas x bx c y ax bx c2 2 recuerda que su única diferencia es el coeficiente del término de segundo grado. Es importante que, dado un trinomio a factorizar, identifiques qué forma tiene a fin de que puedas emplear el procedimiento adecuado.

Para que practiques la factorización de polinomios, resuelve los siguientes ejercicios; una vez que las conlcuyas, verifica que el procedimiento que aplicaste es el correcto, a través de las respuestas que aquí se presentan. a) FACTOR COMÚN.

1 4

2 6 18

3 10 15 304 8 5 8

5 10 4 3 14 4 3

6 6 8 2

2

3 2 2

6 2 3 3 2

4 3 2

.

.

.

.

.

.

z

z z

m b m b

x y x y x yp p

x x x

x x x

b) FACTOR COMUN Y AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

7 3 40 9

8 2 4 3 69 2 2 2

10 6 9 3

2

2 2

4 3 2

.

.

.

.

x x bx

x xy xy yw y z x y z

m m m

11 3 6 2

12 10 20 1513 7 2 3 5 2 3

14 3 12 2 8

15 4 8 2

3 2 2 3

2 2

2 2

.

.

.

.

.

xy xb cy cb

x y x y xym m m

a ab ab b

x xy xy y


131

c) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

16 14 49

17 2

18 4 4

19 9 30 25

20 18 81

2

4 2 2

2 2

2 2

18 9

.

.

.

.

.

x

t

a

x

t y y

mn n m

b ab a

a

21 7 49

229

23

1

23 2536 3

24 16y 216

25 2

42

3 24

2

.

.

.

.

. ( ) ( )

x

r

125

a

2

2

6

2

x

r

x x

y w w

a a b a b

d) DIFERENCIA DE CUADRADOS.

26 4 9

27 81 4

28 49 144

29 36 1

30

2

2

2 2 2 2

4 4

2 4 4 2

.

.

.

.

.

b

x

a x b y

a b

r s v w

31 19

3236 25

33 1

34 3 2

6

2

2

.

.

.

.

x

a

x - 1

16a

2

2

2

x

a b

e) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

35 8 27

36 512 27

37 1

38 216

3 3

9

3 3 3

3 6 9

.

.

.

.

x

a

x y

a

y z

b c

39 827

40 27

3

3

.

.

x

y

f) TRINOMIOS DE LA FORMA x bx c

ax bx c

2

2

41 2 15

42 12 6

43 2 5 2

44 5 14

45 9 8

46 3 5 2

2

2

2

2

2

2

.

.

.

.

.

.

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x x

47 10 21

48 3 2 8

49 7 30

50 30

51 6 5 6

52 5 4

2

2

2

2

2

2

.

.

.

.

.

.

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x x

RESPUESTAS: A continuación se da la solución a los ejercicios que ya resolviste, para que verifiques tu aprendizaje.

132

a)

1

2 3

3 2 3 6

4 5

5 10 14

6 3 4 1

4 2

2

.

.

.

.

.

.

z 4 - z

6m

5x

p + 8

4x - 3

2x

2

2

2

b mb

y x y xy

z

x

x x

b)

78 2 2 3

9 2 2

10 3 2 3 12 2

.

.

.

.

No es factorizable.

x y x y

y z w x

m m m

11 2 3

12 5 2 4 3

13 2 3 7 5

14 4 3 2

15 2 4

2 2

.

.

.

.

.

y b x c

xy x xy y

m m

a b a b

x y x y

c)

16 7

17

18 2

19 3 5

20 9

2

2 2

2

2

9 2

.

.

.

.

.

x

t y

n m

b a

a

21

223

1

23 15

56

24 44

25 2

2

2 2

32 2

2

.

.

.

.

.

No es factorizable

r

x

y w

a b

d)

26 2 3 2 3

27 9 2 9 2

28 7 12 7 12

29 6 1 6 1

30

2 2 2 2

2 2 2 2

.

.

.

.

.

b b

x x

ax by ax by

a b a b

v w rs v w rs

31 13

13

326 5 6 5

33 2

34 7 2 2

3 3

.

.

.

.

x

x x

a x a x

x

a b a b

Los binomios que representan una suma de cubos son los ejercicios señalados con los números 35, 36, 37; los ejercicios 38, 39 y 40 representan una diferencia de cubos.

133

Para el caso del ejercicio 39 debiste aplicar la propiedad conmutativa de la suma, para obtener la diferencia de cubos.

827

827

827

3 3 3y y y

e)

35 2 3 4 6 9

36 8 3 64 24 9

37 1 1

38 6 6 36

2 2

3 3 6

2 2 2

2 3 2 4 2 3 6

.

.

.

.

x y x xy y

a a a

xyz x y z xyz

ab c a b ab c c

39 23

23

49

40 3 3 9

2

2

.

.

y y y

x x x

f)

41 5

42 3 2

43 2 1

44 2

45 1

46 3 2

.

.

.

.

.

.

x+ 3

4x - 3

x+ 2

x+ 7

x - 8

x+1

x

x

x

x

x

x

47 7 3

48 2 3 4

49 10 3

50 6 5

51 2 3 3 2

52 1 5 4

.

.

.

.

.

.

x x

x x

x x

x x

x x

x x

134

En este tema analizamos las diferentes formas de factorización y acordamos que para llevarlas a cabo es necesario: 1. Identificar el tipo de polinomio. 2. Aplicar los pasos de la regla correspondiente para cada tipo de factorización. Así, aplicamos la factorización para polinomios:

DE LAS FORMAS OBTUVIMOS SUS FACTORES

A TRAVÉS DE

20 10 30

6 4 21 14

9 12 4

13 30

2 15

6 5 4

9 25

125

8 27

3 2 2 3 2 2

2

2 2

2

2

2

4 6

3

3 3

x y x y x y

x x x

m mn n

x x

y y

x x

a b

w

x y

10 2 3

3 2 2 7

3 2

2 15

3 2 5

3 4 2 1

3 5 3 5

5 5 25

2 3 4 6 9

2 2

2

2 3 2 3

2

2 2

x y x y

x x

m n

x x

y y

x x

a b a b

w w w

x y x xy y

Factor Común

Agrupación de términos

Trinomio Cuadrado Perfeco

Trinomio Cuadrado No

Perfecto

Trinomio x2+bx+c

Trinomio ax2+bx+c

Diferencia de cuadrados

Suma de Cubos

Diferencia de Cubos


135

2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Una expresión racional se forma por un cociente o la división de dos expresiones: cuando estas expresiones son polinomios se dice que se forman fracciones algebraicas.Y éstas pueden ser: a) polinomios enteros b) polinomios fraccionarlos c) polinomios racionales. d) polinomios irracionales. Se define como fracción algebraica al cociente que se forma entre dos expresiones algebraicas, de las cuales analizaremos las que se forman con polinomios enteros o racionales. Sea la fracción algebraica x/y, la cual se forma por dos expresiones algebraicas, la “x”, que ocupa el lugar del dividendo y correspondiéndole el numerador de la fracción, y a la “y”, que ocupa el lugar del divisor y le corresponde el denominador de la fracción. Ambos son los términos de la fracción. Representación como divisor Como fracción.

x y y x ; xy

Numerador

Denominador 2.3.1 REGLAS PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Los principios que se aplican en Aritmética tienen igual aplicación en Álgebra y para el caso de las fracciones algebraicas tienen validez también citando entre otras a: 1) Cuando el numerador de una fracción es multiplicado o dividido por una cantidad, la

fracción queda para el primer caso multiplicada por dicha cantidad o bien queda dividida entre esa cantidad para el segundo caso.

Primer caso: a) multiplica. Segundo caso: b) divide.

64

2 124

a a

624

34

aa

136

2) Cuando el denominador de una fracción es multiplicado o dividido por una cantidad, la fracción queda multiplicada por dicha cantidad para el primer caso y para el segundo caso queda dividida por dicha cantidad.

Primer caso: a)multiplicar Segundo caso: b) divide

2

10 3230

x x

2102

25

xx

3) Cuando tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican o dividen por una misma cantidad la fracción no se altera.

Primer caso: a) multiplica Segundo caso: b) divide.

32

3 32 3

96

32

3 32 3

32

xy

xy

xx

xy

xy

xy

ó

1020

10 220 2

510

xy

xy

xy

Se entiende como reducción de una fracción algebraica el cambio que se le realiza sin afectar su valor. La división de polinomios de igual base permite recordar tres casos particulares, siendo: a) Exponente del numerador Exponente del denominador.

x

xx x

xx x x x

x xx x x x

4

24 2 2

2

22

1 1 ya que x2

b) Exponente del numerador = Exponente del denominador.

xx

x xx

x x xx x x

3

33 3 0

311

1 =1 ya que x3

c) Exponente del numerador Exponente del denominador.

xx

x x3

53 5 2 ya que :

x x x

x x x x x x

12 x

x 2

21

Existen casos de la división de potencias en donde no coinciden sus bases, formando cocientes que no se pueden reducir sino sólo simplificar.

137

Una fracción algebraica se simplifica cuando los términos se cambian por valores primos, señalando entonces que la fracción es irreducible y ha quedado expresada en su forma más simple. Existen cambios en los signos que pueden hacerse en una fracción sin que ésta se altere, de acuerdo con los casos:

a) Sea la fracción ab

, ésta puede quedar expresada por

ab

o bien

ab

también por

ab

b) Cuando los términos de la fracción son polinomios se pueden cambiar los signos de la forma siguiente:

Sea la fracción m nx y

, para cambiar el signo del numerador hay que cambiar el signo

de cada término del polinomio, quedando - m + n y haciendo lo mismo con el denominador, o sea, cambiando el signo por - x + y , concluyendo: c) Cuando en el numerador o denominador de una fracción hay productos indicados, se pueden hacer los cambios de signos: Se puede cambiar el signo a un número par de factores sin cambiar el signo de la fracción.

abxy

a bx y

abxy

a bxy

abxy

abx y

abxy

a bx y

abxy

a bx y

En este caso se ha cambiado el signo a cuatro factores, y siendo el cambio valor múltiplo par, el signo de la fracción no cambia.

138

Se puede cambiar el signo a un número impar de factores y, por consiguiente, se cambia el signo de la fracción.

abxy

a bxy

abxy

a bx y

abxy

abx y

abxy

a bx y

Si aplicamos los principios anteriores en la fracción.

x xy y

1 23 4

Los cambios de signo pueden expresarse:

x xy y

1 23 4

1 23 4

x xy y

x xy y

1 23 4

1 23 4x x

y y

x xy y

1 23 4

1 23 4x x

y y

x xy y

1 23 4

1 23 4

x xy y

En la simplificación de fracciones algebraicas, citaremos los siguientes casos: A) Simplificación de Fracciones Cuyos Términos Sean Monomios.

Regla: Se dividen el numerador y el denominador entre sus factores comunes hasta que éstos sean primos entre sí.

EJEMPLO. Simplificar: 936

14

3 3

5 6 2 3x yx y x y

Se cambian los signos de “x” en el primer binomio del numerador y de “y” en el primer binomio del denominador sin cambiar el signo de la fracción.

Se cambian los signos de todos los términos del segundo binomio del numerador así como de los dos binomios del denominador y se modifica el signo de la fracción.

Se cambian los signos del primer binomio del numerador y se modifica el signo de la fracción al cambiarlo.

Se cambian los signos en los cuatro términos de los dos binomios del numerador sin cambiar el signo de la fracción.

139

1) Se calculan los factores primos de los coeficientes 9 y 36 y las partes literales se dividen entre sí. 9 3 36 2 3 3 18 2 1 9 3 3 3 1

3 32 2 3 3

1

3 3

6 5

3

63 6 3

3

x yy x

yy

y yy

xx

x xx

3

53 5 2

21

2) Reduciendo los términos algebraicos que forman la fracción:

3 32 2 3 3

12 2

14

3 3

5 6 3 2 2 3x y

x y y x x y

B) Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomios. Regla: Se descomponen en factores comunes tanto los términos del numerador como del denominador y se suprimen los más posibles.

EJEMPLO. Simplificar: 8 274 12 9

3

2a

a a

Nota: Para este caso hay que recordar los casos de factorización. De manera de simplificar tanto el numerador como el denominador hay que definir por medio de cuál caso de la factorización se pueden descomponer en el producto de factores los polinomios que forman la fracción algebraica. Para el numerador de la fracción, se observa que se trata de la suma de cubos. Por lo que aplicando su regla particular de factorización tenemos:

8 27 2 3 4 6 93 2a a a a

140

En el denominador se tiene un trinomio cuadrado perfecto, el cual queda aplicándole su regla particular de factorización:

4 12 9 2 32 2a a a

Sustituyendo los factores del numerador y del denominador y simplificando factores comunes, tenemos:

8 274 12 9

2 3 4 6 9

2 3

2 3 4 6 9

2 3 2 3

8 274 12 9

4 6 92 3

3

2

2

2

2

3

2

2

aa a

a a a

a

a a a

a a

aa a

a aa

EJEMPLO. Simplificar:

a a a

a a a a

2 2

2 2

1 2 3

2 1 4 3

Para poder simplificar esta fracción algebraica es importante identificar por medio de su clasificación a todas y cada uno de las expresiones que aparecen tanto en el numerador como en el denominador para que con el uso de las reglas de factorización se realice la simplificación. Identificación de expresiones algebraicas:

a2 1 se clasifica como una diferencia de cuadrados.

a a2 2 3 se clasifica como un trinomio de la forma x bx c2

a a2 2 1 se clasifica como un trinomio cuadrado perfecto.

a a2 4 3 se clasifica como un trinomio de la forma x bx c2

Una vez que se han identificado y clasificado las expresiones algebraicas procederemos a su factorización. La diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados.

141

a a a2 1 1 1

El trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.

a a a2 22 1 1

Los trinomios cualesquiera se factorizan como productos de binomios con término común.

a a a a

a a a a

2

2

2 3 3 1

4 3 3 1

Sustituyendo las expresiones algebraicas en la función por simplificar.

a a a

a a a a

a a a a

a a a

2 2

2 2 2

1 2 3

2 1 4 3

1 1 3 1

1 3 1

ordenando todos los

binomios.

a a a aa a a a

1 1 1 31 1 1 3

1

EJEMPLO. Simplificar: ax ax y x xy

2

29

3 3

Al numerador ax a2 9 se factoriza por factor común.

ax a a x

ax a a x x

2 2

2

9 9

9 3 3

Al denominador 3 3 2x y x xy se factoriza por agrupación de términos.

3 3 32x y x xy x y x x y ,

3 3 32x y x xy x y x Factorizamos por factor común. Sustituyendo las transformaciones realizadas en la fracción:

Y se observa que el binomio es una diferencia de cuadrados, la cual factorizada queda: x x 3 3

Donde los dos términos de esta expresión tienen de factor común al binomio ( x - y ).

142

ax ax y x xy

a x xx y x

2

29

3 33 3

3

Por lo tanto:

ax ax y x xy

a x xx y x

a x xx y x

2

29

3 33 3

33 3

3

a xy x

3

Con lo cual eliminamos el binomio ( x - 3 ) tanto del numerador como del denominador, quedando así el resultado.

C) Conversión de una Fracción a otra Equivalente con Numerador o Denominador Dado. PRIMER CASO. Cuando se indica el numerador equivalente.

Sea la fracción 23

ab

y debe convertirse a otra con numerador. 6 2a

Se procede a determinar el factor que, multiplicado por el numerador original, obtenga el numerador equivalente. 6 2 32a a a . 3 3 9b a ab

23

69

2ab

aab

Por lo que para no afectar a la fracción original, habrá que multiplicar también el denominador por este factor. Obteniéndose la nueva fracción, que es equivalente a la primera.

Con el objeto de poder eliminar el binomio ( x - 3 ) del numerador es necesario cambiar el signo de los términos de binomio ( 3 - x ) del denominador, y para no alterar el signo de la fracción debemos cambiar el signo del otro binomio del denominador, ya que haciendo el cambio de signo a dos factores (número par) no se cambia el signo de la fracción.

143

SEGUNDO CASO. Cuando se indica el denominador equivalente.

Sea la fracción 54 3y

y debe convertirse a otra con denominador 20 2 4a y .

Se procede a determinar el factor que, multiplicado por el denominador original, obtenga el denominador equivalente. 20 4 52 4 3 2a y y a y .

5 5 25

54

2520

2 2

3

2

2 4

a y a y

ya ya y

TERCER CASO. Con polinomios, señalando denominador.

Sea la fracción yy

23

convertida a otra fracción con el denominador y y2 6 .

Hay que determinar el factor que, multiplicado por el denominador original, obtenga el nuevo denominador. y 2

y y y 3 62

y y2 3

2 62 6

yy

0 y y y 2 2 42 * Quedando la conversión:

yy

y yy y

yy y

23

2 23 2

46

2

2

Producto de binomios conjugados. D) Reducción de una Fracción a Expresión Entera o Mixta

Para no afectar a la fracción original, habrá que multiplicar también el numerador por este factor.

El binomio ( y + 2 ) deberá multiplicarse con el numerador original para no alterar la fracción.

144

Como hemos dicho, una fracción representa la división de un numerador entre un denominador. Por lo que para convertir una fracción a expresión entera o mixta se realiza la operación de división entre los elementos de la fracción. Si ésta es exacta, la fracción equivale a una expresión entera. Si no es exacta, se determina el residuo para formar la expresión mixta. EJEMPLO. Reducir cada fracción, pudiendo ser una expresión entera o mixta.

1 4 22

42

22

2

2 3 12 43

4 43

3 2 3 22

3 22

) exp.

) exp.

x xx

xx

xx

x x entera

a aa

a aa

mixta

a a2 4

3 3 12 43 2a a a 3 3a

12 4

12

2

2

a

a

-4

3 6 3 5 33 2

2 1 13 2

3 2

2 2) exp.x x xx

x xx

mixta

2 1x

3 2 6 3 5 32 3 2x x x x 6 3x +4x

3 3

3 2

2

2

x x

x

x 1 E) Reducción de una Expresión Mixta a Fraccionaria Para realizar esta conversión se debe multiplicar la parte entera por el denominador; a este producto se le suma o resta el numerador, según que tenga delante la fracción, dividiendo todo entre el denominador, y, de ser posible, se simplifica la fracción.

145

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas y compara tus resultados con los que aquí aparecen, para verificar que tu procedimiento fue el correcto. SIMPLIFICA RESPUESTAS

1 32 2

2 2 33

3 82 8

2 3

2

3

2

. )

. )

. )

aba x a

x xx

aa a

1 32

2 1

3 2 44

2

. )( )

. )

. )

x

ba x a

a aa

COMPLETA RESPUESTA.

4 32

5 5 3 15

6 15 3 10

2 2

2

2

. )

. )

. )

a ba b a ab b

xa

x x

xx x x

4 3 5 2

53

6 2

2 2

2

. )

. )

. )

a ab b

ax

x x

Reducir a expresión entera o mixta.

7 10 15 25

8 2 31

2

4 3 2

2

. )

. )

a aa

a a aa a

7 2 3 25

8 2 2 21

22

. )

. )

aa

a a aa a


146

Reducir a fracción.

9 3 52

2. ) a

aa

9 12

3 2.) a a a

a

F) Reducción de Fracciones al Mínimo Común Denominador. Esta reducción consiste en convertir fracciones con diversos denominadores en fracciones equivalentes con igual denominador, siendo éste el menor posible. Se realizan los siguientes pasos: a) Si es posible, se deben simplificar las fracciones dadas. b) Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, siendo éste el denominador común. c) Para obtener los numeradores equivalentes se divide el mínimo común múltiplo (denominador común) entre cada denominador original y el cociente se multiplican por el numerador respectivo. EJEMPLO. Reducir las fracciones al mínimo común denominador.

1) Sean 2 32

542 2a a x

, ,

Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores a a x, , ;2 42 2 siendo 4 2 2a x el denominador común. Ahora dividamos entre cada denominador y su cociente lo multiplicaremos por su numerador respectivo, quedando:

4 4 2 2 4

484

42

2 32

3 2

46

4

44

54

5

45

4

2 22

2

2 2

2

2 2

2 2

22

2

2

2 2

2

2 2

2 2

22

2

2

2 2

2

2 2

a xa

axa

ax

a xaxa x

a xa

xa

x

a xx

a x

a xx

ax

a

a xa

a x

;

;

;

147

2) Reducir: 13

16

2 392 3x

xx

xx

, , al m. c. d. (Mínimo común denominador).

Se calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de todos los denominadores 3 6 92 3x x x, , , siendo 18 3x el denominador común.

183

6 13

1 618

618

186

3 16

3 118

3 318

189

2 2 39

2 2 318

4 618

3

2 2 3 3

32

2

3

3 2

3

3

3 3 3 3

xx

xx

xx

xx

xx

x xx

x xx

x xx

xx

xx

xx

xx

;

;

;

3) Reducir: xx

xx x

xx x

31

23 2

422 2 2, , al m.c.d.

Calculando el m.c.m. de los denominadores.

x x x

x x x x

x x x x

2

2

2

1 1 1

3 2 2 1

2 2 1

Dividiendo el m.c.m. x x x 1 1 2 entre cada denominador.

x x xx x

x xx

x xx x x

x xx x x

x x xx x

x xx x

x xx x x

x xx x x

x x xx x

x xx x

x xx x x

x xx x x

1 1 21 1

2 31

3 21 1 2

5 61 1 2

1 1 22 1

1 22

2 11 1 2

2 21 1 2

1 1 22 1

1 42

4 11 1 2

5 41 1 2

2

2

2

2

2

2

148

4) Reducir las expresiones mixtas a fracciones.

1 2 31

2 1 31

3 2 31

3 51

2 2

3 1 5 185 6

1 5 6 5 18

5 6

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2

2

2 3 2

2

)

)

)

x

a

x

xx x

xx x

xx x

x

b a ba b

a b a b a b

a ba b a b

a bb

a b

x xx x

x x x x x

x x

x x x x xx x

x xx x

x xx x

xx

3 2 3 2

2

2

2

6 11 6 5 185 6

11 245 6

8 33 2

82

x y

xx y y

x y

2

33 6

9

2 2

2 Señala los errores tenidos en el cambio de la fracción.

¿Observaste que el signo del segundo término en el numerador debe ser negativo y, además, faltó anotar la literal x en dicho término?

9 6 3

33 2 1

3 2 2 32x y x y xy

xyx xy

¿Observaste que el signo del segundo

término debe ser negativo y el tercer término de la expresión entera está mal simplificado, debiendo quedar como y2 ?

x y x yx y

x y x y x y

x yx y x y x y x y

x yx y

2 2 2 2

2 2

Explica los pasos de transformación necesarios

hasta llegar al resultado anotado.

Al reducir la fracción a expresión entera se cometieron algunos errores. Señálalos.

149

Falta realizar la suma de binomios conjugados anotada en el numerador y después simplificar la expresión resultante.

x y x y

x y

x y

x yx y x y

x yx y

2 2 2 2 2 22 22 2

Recuerda que... Se define como el común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas a toda expresión que es divisible exactamente con cada una de las expresiones algebraicas. Se conoce como el mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible en forma exacta por cada una de las expresiones algebraicas dadas. g) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Monomios. Se calcula el m.c.m. de los coeficientes y se consideran a todas las literales, comunes o no, afectadas por su mayor exponente que se tenga en las expresiones dadas. Ejemplos. Calcular el m.c.m. de: 1) ax2 y a x3 El m.c.m. de las literales comunes y no

comunes afectadas en su mayor exponente serán a3 y x2 por lo que el m.c.m. a x3 2

2) 8 2ab c y 12 3 2a b El m.c.m. de las literales para ab c2 y a b3 3

será con las literales comunes y no comunes con su mayor exponente, quedando: a b c3 2 .

150

Se calcula el m.c.m. de los coeficientes 8 2 12 2 4 2 6 2 2 2 3 3 1 1 m.c.m. de 8 y 12 = 2 33 1 Juntando ambos m.c.m. (coeficientes y literales).

m.c.m. = 2 33 1 3 2a b c

3) 10 36 243 2 2 2 4a x a mx b m, , 10 2 36 2 5 5 12 2 1 4 3 2 3 a x mx m3 2 2 2 4, , a b 1 m.c.m. a b m x3 2 4 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 m.c.m. 2 3 53 2 3 2 4 2a b m x

m.c.m. 2 3 53 2 m.c.m. 360 3 2 4 2a b m x

h) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Polinomios. Para el cálculo del m.c.m. de polinomios se descomponen las expresiones algebraicas dadas en sus factores primos. El producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente determinará el m.c.m.

Se calculan los factores primos de todos los coeficientes.

se analizan las literales de todas las expresiones para considerar las de mayor grado.

151

EJEMPLOS. Calcular el m.c.m. de: 114 7 212) ,a x La expresión 14 2a queda integrada por sus factores 2 7 2a .

La expresión 7 21x queda integrada por sus factores 7 3x

Por lo que m.c.m.

2 7 3 14 3

14 3

2 2

2

a x a x

a x

.

2) 4 8 4 6 62 2 2 2ax axy ay b x b y , ; factorizando cada expresión.

4 8 4 4 2 4 22 2 2 2 2 2 2ax axy ay a x xy y a x y a x y

6 6 6 2 32 2 2 2b x b y b x y b x y

m.c.m. 2 3 122 2 2 2 2a b x y ab x y

m.c.m. 12 2 2ab x y . 3) 2 8 3 3 18 2 10 12 6 24 243 4 3 2 5 4 3 2x x x x x x x x x x , , , . Factorizando cada polinomio, tenemos: 1er. POLINOMIO. 1er. Paso: Por factor común.

2 8 2 43 2x x x x

2o. Paso: Por diferencia de cuadrados.

2 2 2x x x

152

2o. POLINOMIO 1er. Paso: Por factor común.

3 3 18 3 64 3 2 2 2x x x x x x

2o. Paso: Factorización de un trinomio de la forma

x bx c

x x x

2

23 3 2

.

3er. POLINOMIO. 1er. Paso: Por factor común.

2 10 12 2 5 65 4 3 3 2x x x x x x

2o. Paso: Factorización de un trinomio de la forma

x bx c

x x x

2

32 3 2

4to. POLINOMIO 1er. Paso: Por factor común.

6 4 42x x

2do. Paso: Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. 6 2 2x x

M.C.M.

6 3 2 2 2

6 4 3 2

3

3 2

x x x x x

x x x x

153

2.3.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. A) Adición de Fracciones. Para realizar cualquier tipo de adición de expresiones algebraicas racionales es conveniente seguir los siguientes pasos:

1) Se deben simplificar las fracciones iniciales del problema, cuando esto sea posible.

2) Si las fracciones son de distinto denominador, hay que calcular el mínimo

común denominador. 3) Se realizan las multiplicaciones indicadas. 4) Se suman los numeradores de las fracciones resultantes quedando dividido

entre el común denominador. 5) Se reducen términos semejantes en el numerador. 6) Simplificamos la fracción resultante, de ser posible.

Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de adición de expresiones algebraicas racionales en los siguientes ejemplos: A) Cuando las fracciones tienen denominadores con un solo término (monomios).

Simplificar la adición: x aax

xx x

42

25

1102

No es posible simplificar las fracciones iniciales, por lo que debemos calcular el mínimo común múltiplo para tener el mínimo común denominador, ya que son diferentes denominadores. 2 2 5 5 10 2 1 1 5 5 1 ax x2 x Se divide el m.c.d. entre cada denominador y su cociente se multiplica por el numerador correspondiente.

En los coeficientes de los denominadores se tienen los factores primos comunes 2 5 .

En la parte literal de los denominadores se tienen a las literales comunes afectadas de su mayor exponente a, x2 , quedando el mínimo común denominador (m.c.d.) por 2 5 102 2ax ax .

154

x a

axx

x xx x a a x ax

ax

4

22

51

105 4 2 2 1

102 2

102

5 5 20 2 410

2 2

2axax

x x ax ax a axax

se reducen términos semejantes.

10

52 5 17 4

10

2

2

2

2axx

a x ax aax

1010

42

25

110

5 17 410

2

2

2

2axx

ax x aax

xx x

x ax aax

B) Cuando las fracciones tienen denominadores con varios términos (polinomios).

Simplificar la adición: 13 3

12 2

112x x x

Se determina que no es posible simplificar las fracciones dadas, por lo que hay que calcular el m.c.m. de los denominadores para tener el m.c.d. Como los denominadores son polinomios diferentes, será necesario factorizarlos de acuerdo con cada caso particular.

3 3 3 1

2 2 2 1

x x

x x

Se extrae el factor común.

x x x2 1 1 1 Se factoriza la diferencia de cuadrados.

m c m x x. . . 6 1 1

se obtiene el resultado ya que no es posible simplificar esta fracción.

155

A continuación se divide el m.c.d. entre cada denominador y su cociente se multiplica por el numerador correspondiente. Esta división se realiza con los denominadores ya factorizados.

6 1 13 1

2 1

6 1 12 1

3 1

6 1 11 1

6

x xx

x

x xx

x

x xx x

Se concentra lo realizado particularmente para cada denominador.

13 3

12 2

11

2 1 3 1 66 1 12x x x

x xx x

Realizando las multiplicaciones.

1

3 31

2 21

12 2 3 3 6

6 1 12x x xx x

x x

1

3 31

2 21

15 7

6 1 12x x xx

x x

Realiza la adición de fracciones algebraicas y señala si se cometieron errores al solucionar el ejercicio. a a a

1

326

3 412

4 1 2 2 3 412

a a a

3 6 12 2 4 4 4 3 4

12a a a

3 3 6 2

3 3 3 3 1112

a

1 1 1

Simplificando términos semejantes en el numerador.

Como no se puede simplificar la fracción, ésta queda como resultado.

156

Desarrollando la suma de fracciones siguiente, indica si faltan o no pasos de transformación para validar el resultado señalado.

x yx y

x yx y

x y x y x y x yx y x y

x y x yx x x y

x y x yx y

2 2 2 2

2 2

Falta realizar los siguientes pasos:

x yx y

x yx y

x y x yx y

x xy y x xy yx y x y

x yx y

x yx y

resultado

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 .

Observa los siguientes ejemplos:

1 25

325

5 2 1 35 5

2 10 35 5

5 105 5

5 225

25 5 5 25

325

5 105 5

5 225

2 33

45

5 3 3 4

15

2

2

22 2

2 2

2 2

2 2

2 2

)

. . :

. . .

)

xx

xx x

x xx x

x x

m c m xx x

ox

x

m c m x x xx

xx

xx x

ox

x

a bab

a b aba b

ab a b a b ab

a b

5 15 3 1215

8 315

8 315

8 315

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b aba b

a b aba b

ab a ba b

a bab

157

b) Sustracción de Fracciones. Para realizar la resta de fracciones se deben seguir los siguientes pasos: 1) Se simplifican las fracciones iniciales del problema, cuando esto sea posible. 2) Si las fracciones son de distinto denominador, hay que calcular el mínimo

común denominador. 3) Se multiplican las expresiones indicadas. 4) Se restan los numeradores y la diferencia queda afectada del común

denominador. 5) Se reducen términos semejantes en el numerador. 6) Simplificamos la fracción resultante, de ser posible. Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de restas de fracciones algebraicas en los siguientes ejemplos: A) Cuando las fracciones tienen denominadores con un solo término (monomios).

a ba

aba b

a ba

aba b

ab a b ab

a b

23

4 36

23

4 36

2 2 1 4 3

6

2

2

2

2

2

2

2 4 4 3

6

2 4 4 36

2 36

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

a b ab ab

a b

a b ab aba b

a ba b

No es posible simplificar las fracciones iniciales por lo que debemos calcular el m.c.m. de los denominadores; m.c.m. 6 2a b

Se obtienen los productos parciales:

63

2 2 2

66

1 1 4 3

2

2

22

a ba

ab ab a b

a ba b

ab

;

;

Se realizan las multiplicaciones del numerador. Restando los numeradores. Reduciendo términos.

158

B) Cuando las fracciones tienen denominadores con varios términos (polinomios).

2 1 1 32 2 3x x x x

xx x

x x x x

x x x x

x x x x x x x m c m x x x

x x x xx

x x

x x xx x x

2

2

3 2

2 2 3

1

1

1 1 1 1 1

2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 31 1

; . . .

x x xx x

x

x x xx x x

1 11

1

1 11 1

1

;

2 1 1 3 2 2 1 1 3

1 12 2 3x x x xx

x xx x xx x x

01 1

0

x x x

x x x

x xx

1 11

1

Se realizan las multiplicaciones indicadas en el numerador, y se suprimen los signos de agrupamiento

correctamente.

Reduciendo términos semejantes en el numerador.

Se calcula el m.c.m. para que sea el m.c.d. por su regla correspondiente de factorización.

Se dividen el m.c.d. con cada denominador y su cociente se multiplica por elnumerador correspondiente respetando el signo.

159

Realicemos otros ejercicios. Deberás observar qué se realizó en cada paso.

1 3 22

2 54

2

2) x xx

xx

2 4 2 1 2 2 ó 4 1

x x x

m c m x

xx

x x

xx

x x x

2 2

2

2

22

2

4

42

2 2 3 2

44

2 5

,

. . .

;

;

x xx

xx

x x x x

xx x x x

x

2

2

2

2

2 2

23 2

22 5

4

2 3 2 2 5

42 6 4 2 5

4

2 6 4 2 5

44

4

2 2

2 2x x x x

xx

x

Se reducen términos

semejantes del numerador.

22

CÁLCULO DEL M. C. M.

Se realizan las divisiones parciales del m.c.d. con cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador sin olvidar el signo del sustraendo.

Se realizan las operaciones

algebraicas indicadas en el numerador.

160

2) realizar xx

xx

14 4

28 8

xx

xx

x x x xx x

14 4

28 8

2 1 1 1 28 1 1

2 1 3 2

8 1 1

2 2 1 3 2

8 1 1

2 4 2 3 28 1 1

78 1 1

78 1

2 2

2 2

2 2

2

2

2

x x x

x x

x x x x

x x

x x x xx x

x xx x

x xx

C) Multiplicación de Fracciones. Para realizar esta operación debemos seguir los siguientes pasos: 1) Los términos de las fracciones que se van a multiplicar son convertidas a sus

factores primos comunes y no comunes. 2) Se simplifican, eliminando los factores comunes tanto de los numeradores

como de los denominadores.

Se calcula el m.c.m., y para tener el m.c.d. con cada denominador se indican los productos con cada numerador. Se indica en el numerador que hay un binomio al cuadrado y también se realiza el producto de binomios con término común. Se realiza por productos notables el cuadrado del binomio. Se realiza la operación de multiplicación y se suprimen los signos de agrupamiento cambiando los del sustraendo. Se reducen términos semejantes en el numerador, asimismo, en el denominador se puede cambiar el producto de binomios conjugados por su diferencia de cuadrados, la cual se refleja en el resultado.

161

3) Se multiplican las expresiones restantes después de la simplificación de

factores comunes tanto del numerador como del denominador. Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de multiplicación de fracciones algebraicas. EJEMPLO.

23

34 2

2 32 2 2 3

23

34 2 4

3

2 2

2

3

2 2

2

ab

bx

xa

a b b x xa a b b b x

ab

bx

xa

xab

EJEMPLO.

3 32 4

4 4

3 32 4

4 4 3 1 22 2 1

3 32 4

4 4 3 1 2 22 2 1

3 32 4

4 4 3 22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x xx x

xx

x xx x

x xx x x

xx

x xx x

x x xx x x

xx

x xx x

xx

Las fracciones se descomponen en sus factores, ordenándolos. Se simplifican los factores comunes tanto del numerador como del denominador, obteniéndose directamente el resultado.

Se factorizan todas y cada una de las expresiones algebraicas. Sustituyéndose por sus factores. Se simplifican los factores primos comunes tanto del numerador como del denominador. Se realizan los productos indicados en la fracción resultante.

162

Factorizando:

3 3 3 1

4 4 2

2 4 2 2

1

3 32 4

4 4 3 62

2 2

2

2

2

x x

x x x

x x

x x x x

xx

x xx x

xx

,

EJEMPLO. Multiplicar las siguientes fracciones.

aa a

a aa a

aa a

a a a a aa a a a a a

a

2

2

2

2 21

26

3 7 43 4

4 3

1 1 3 2 3 42 1 3 4 1 3

1

por factor común Binomio al cuadrado por factor común por factor común obteniéndose su resultado.

Factorizando todas y cada una de las expresiones que aparecen en las fracciones. Simplificando factores comunes tanto en el numerador como en el denominador.

163

EJEMPLO. Acontinuación realizaremos la multiplicación de expresiones mixtas. Multiplica:

aa

aa

3 5

12 5

4

Recuerda que debemos reducir las expresiones mixtas a fracciones como ya se explicó.

aa

a aa

a aa

a aa

aa

a aa

a aa

a aa

3 51

3 1 51

2 3 51

2 81

2 54

2 4 54

2 8 54

2 34

2 2

2 2

Con las fracciones obtenidas realizaremos su multiplicación como ya hemos visto.

a aa

a aa

a a a aa a

2 22 81

2 34

4 2 3 11 4

Simplificando factores comunes tanto del numerador como del denominador, tenemos:

aa

aa

a a

3 5

12 5

42 3

Con la aplicación de la regla de los productos notables para la multiplicación de binomios con término común obtenemos el resultado de este ejercicio.

aa

aa

a a

3 5

12 5

462

164

EJEMPLO.

Multiplicar. a ab

a ab

1

A) Se convierten las expresiones mixtas a fracciones:

a ab

ab ab

a ab

a b ab

ab a ab

abb

111 1 1

B) Se multiplican las fracciones obtenidas.

a ab

a ab

ab ab

abb

a ab

a ab

ab a abb b

a ab

a ab

a b a bb b

a ab

a ab

a b bb b

a ab

a ab

a

1 1

1 1

1 1

11

1

1

2 2 2

2

2

d) División de Fracciones. La forma más directa de realizar esta operación de división con fracciones algebraicas es convertir la mecanización a una multiplicación de fracciones como ya se ha visto. Para lograr lo anterior, al divisor se le debe invertir. Esto es, que la fracción se identifique con el divisor, su numerador pasará a ser denominador y el denominador pasará al lugar del numerador. Veamos con un ejemplo lo dicho.

Dividir x x2 48 entre x2 16

4

165

El numerador anterior también se puede representar como:

x x x

x x x x xx

x xx x

x xx x

2 2

2 2 2

2

48

164

48

164

48

416

4 48 4 4

4 44 2 4 4

Dividendo Divisor

x x x xx

2 248

164 2 8

Divisor invertido

4162x

x x x xx

2 248

164 2 8

Para realizar la división de fracciones de la expresión:

xx

x x xx x

3

2

3 2

212564

5 2556

Primero debemos convertir la operación indicada a una multiplicación.

xx

x x xx x

xx

x xx x x

3

2

3 2

2

3

2

2

3 212564

5 2556

12564

565 25

Se procede a realizar la multiplicación de fracciones como se explicó en el punto anterior y es conveniente precisar que todas las expresiones que aparecen en las fracciones se pueden factorizar.

x x x x3 2125 5 5 25

166

Suma de cubos - factorizada - producto de binomio y trinomio.

x x x2 64 8 8 Diferencia de cuadrados - factorizada - producto de binomios conjugados.

x x x x2 56 7 8 Trinomio - factorizado - producto de binomios con término común.

x x x x x x3 2 25 25 5 25

Polinomio -factorizado - con factor común.

xx

x x xx x

xx

x xx x

xx

x x xx x

x x x x x

x x x x x

xx

x x xx x

3

2

3 2

2

3

2

2

3 2

3

2

3 2

2

2

2

3

2

3

2

12564

5 2556

12564

565 25

12564

5 2556

5 5 25 8 7

8 8 5 25

12564

5 25

56

5 78

2 358

2

2x x

x xx x

x x

Calcula el m.c.m. de las siguientes expresiones. RESPUESTAS.

11 24 36 40 60

12 3 8 10 12 16

13 4

14 3 12 2 2 6 6

15 25 125 2 10

16 15 20 5 3 3 1

27 18 3

2 3 2 4 2 5 3 6

3 2 2 3 2 2

3 2 2

3 3 2 3 2

2 3

3 2 3 2

4 3 2

. , , ,

. , , , ,

. , ,

. , , ,

. , ,

. ,

y

a x a y x y a y

a ab b a b a b

x x x x y xy

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

11 360

12 240

13 4 1

14 6 1 1

15 2 5 5 5 25

16 15 3 1 1

3 3 6

3 3

2 2

3 2

2

2 2 2

.

.

.

.

.

.

a x y

a b

x y x

x x x x

x x x x

x x x

167

Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

RESPUESTAS.

17 3 2

1812

215

430

19 3 2 3 3

20 3 25 3

1 8525 9

2

2

.

.

.

.

nm mn mx y x y y x

a bab

a mam a

a aa

a

17 3 2

18 560

19 3 2

20 7 2725 9

2

2

2

.

.

.

.

n m mnm n

x y

am bm ababm

aa a

168

213

42

821

88

22 35

4 33

22 3 6 2015

23 13

24

36

23 412

24 14

13

24 14 3

25

3

2 3

2 2 3

2 3

2 2 2

. .

. .

. .

. .

. .

25

x x x

a bab

aba b

a b aba b

x x x x

x x x x

a x

a x

xa x

a

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

26 2 310 10

150

9 1450 50

26 125

27 26

84 2

27 23

28 2 22

32 3

28 1

294 4

32 4

ax x

a x a x

aa

a aa

x xx

x

x xx

x xx x

a ab b a

. .

. .

. .

.

b

a b

x xx

x xx x

xx

a aa a

a aa a

a a aa a

a aa

x

2

23

307 10

162 84 4

3054

31 7 106 7

3 42 15

2 32 8

317

32

3

2

2

2

2

2

2

2

2

3 2

2

2

29

.

. .

. .

.2

11

232 1

331

302

4233

72 10

34 8 26 1516 9

6 13 59 1

34 3 14 3

356

33 54

935

13

2

2 2

2

2

2

2

2

3 2

2

2

xx

x

a a a aaa

x xx

x xx

xx

a aa a

a aa a a

x

.

.

. .

. .

169

En este tema analizamos las reglas para simplificar fracciones algebraicas y operamos con ellas, acordando que:

Los productos notables y la factorización son la base para operar con fracciones algebraicas.

Saber operar con fracciones algebraicas, es fundamental para resolver cualquier

operación algebraica.


170

En el desarrollo de este capítulo se dedujeron los modelos matemáticos para los principales productos notables y procedimientos de factorización; de la misma manera se llevó a cabo la aplicación de estos procedimientos en la simplificación de expresiones algebraicas racionales.

RECAPITULACIÓN


FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES

Son todos aquellos que

cumplen con una regla fija para su

desarrollo

Es la operación inversa a los productos.

TIPOS

DE DOS BINOMIOS CON UNA TÉRMINO COMÚN. DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS, EL CUADRADO DE UN BINOMIO EL TRIÁNGULO DE PASCAL EL BINOMIO DE NEWTON.

TIPOS

POR FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO DIFERENCIA DE CUADRADOS. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS. TRINOMIOS DE LAS FORMAS

x2 + bx + c ax2 + bx + c

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.

Es cuando una fracción se expresa en su forma más simple

REGLAS De acuerdo a los principios de la aritmetica. Dependiendo de los exponentes. Cambio de los signos. Cuando los términos son monomios. Cuando los términos son polinomios. Fracciones equivalentes. Reducción de expresiones entera o mixta. Reducción de expresión mixta a fraccionaria. Reducción de mínimo común denominados. Cálculo del m.c.m. en monomios y polinomios

OPERACIONES

Adición. Sustracción. Multiplicación. División.

171

A fin de que apliques el conocimiento adquirido, deberás factorizar las siguientes expresiones algebraicas y simplificar las expresiones algebraicas racionales, entre las cuales aparecen casos particulares para los binomios y los trinomios. También se necesita la aplicación de varios procedimientos de factorización para algunas de dichas expresiones. Es necesario que, antes de desarrollar un producto notable, factorizar un polinomio o simplificar una expresión algebraica racional, pongas mucha atención en su estructura algebraica. 1. Desarrolla los siguientes productos notables:

1 7 11

2 12

32

3 2 5

4 2

5 3 3

6 5 6

7 2

2

4 4

4

2 3

2 2

7

.

.

.

.

.

.

.

x

x x

x y

a b

y y y y

ab ab

x

8 2 3

9

10 9 5

11 2

12 2 2 2 2

13

14 3 8

3

2 2

2 3 5

3

3 4 2

.

.

.

.

.

.

.

m

m n m n

a a

a b

y x x y

a b

a b

x x


172

II. Factoriza o simplifica, según sea el caso, los siguientes polinomios y expresiones algebraicas racionales:

1 4

2 8

3 36 21 30

4 6 18

5 4 320

6

7 9 4 12

8 2 18 4025

9 2 6 3

10 129 1

23 1

33 1

3 4

3 3 3

2 3 4

2

2

2

2 2

2

2

2

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

m

c

a

x

a x

ax ax ax

x x

c

a ab b

n a an

y yy

xy y zx z

xx

xx

xx

11 94

19

12 6 6 513

14 2 31

2 13 5 2

15 81 4

16 19

12 3

17 6 11 10

18 1 16

19 1

2 2 2 2 4

2

2

2

2

2

6 2 8

3

2

2

2

2 2

2 2

3

.

.

.

. •

.

.

.

.

.

a x abxy b y

x xm n x m n

x xx

x xx x

a b c

xx

x xx x

x ax a

x x

m

173

Con la finalidad de que tengas una orientación en cuanto a las técnicas que se debieron emplear en la realización de la actividad anterior, revisa y compara tus respuestas; en caso de que te sea necesario, se clasifican aquí los ejercicios de dicha actividad en grupos. 1. Productos notables. - Producto de un binomio con término común: 2, 6 y 10 - Producto de binomios conjugados: 5, 9 y 12. - Cuadrado de un binomio: 1, y 11. - Cubo de un binomio: 4, 8 y 13. - Binomio de Newton: 3, 7 y 11. II. Factorización. - Expresiones algebraicas que requirieron la aplicación de un solo tipo de

factorización: números 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 15 y 17. - Expresiones que se factorizan mediante el empleo de varias técnicas de

factorización: números 3 y 13. - Casos especiales de binomios y trinomios: números 17 y 18. - Expresiones algebraicas racionales a simplificar mediante el empleo de varias

técnicas de factorización: números 8, 10, 14 y 16.

AUTOEVALUACIÓN

174

A continuación presentamos las soluciones de los ejercicios de la citada actividad integral. 1. Productos notables. 1 49 154 121

2 34

3 16 160 600 1000 625

4 6 12 8

5 9

6 30

7 14 84 280 560 672 448 128

8 8 36 54 27

9

10 4 45

11 10 40 80 80

2

8 4

4 3 2 2 3 4

6 4 2 2 3

4 2

2 2

7 6 5 4 3 2

3 2

2 2

4 2

10 8 3 6 6 4 9 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x x

x x

x x y x y xy y

a a b a b b

y y

a b ab

x x x x x x x

m m m

m n

a a

a a b a b a b a

b b

x y

a a b a b b

a a b b

x x x x x x

12 15

2 2

3 2 2 3

6 3 4 8

32

12 4 4

13 3 3

14 9 48 64

.

.

.

II. Factorización.

1 1 4

2 2 2 4

3 3 2 3 4 5

4 6 3

5 20 16

6 1

7 3 2

82 4

59 3 2

103 1

3

2 2 2

2

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x x

m ax m amx a x

ax x x

x x

c c

a a b

n a

yy

x y Zx

x

11 32

13

12 3 2 2 3

13 1

14 2 33 2

15 9 2 9 2

161 1

31

317 2 5 3 2

18 5 1 1 3

19 1 1

22

3 4 3 4

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ax by

x x

m n xxxa bc a bc

x xx x

x a x a

x x

m m m

ó x2

175

La siguiente síntesis te ayudará a que recuerdes lo que estudiaste a lo largo del fascículo.

OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA

CAPITULO 1

OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO;


CAPITULO 2

LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTO NOTABLES,

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CLASIFICACIÓN

MONOMIO POLINOMIO

PRODUCTOS NOTABLES

FACTORIZACIÓN OPERACIONES BÁSICAS

SUMA SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO COMÚN DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS EL CUADRADO DE UN BINOMIO EL CUBO DE UN BINOMIO EL TRIÁNGULO DE PASCAL EL BINOMIO DE NEWTON

POR FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS, DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS. DE TRINOMIO DE LAS FORMAS. x2 + bx + c ax2 + bx + c

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


176

Realiza las siguientes actividades considerando lo que estudiaste en ambos capítulos y si tienes alguna duda revisa las actividades anteriores. 1. Completa la siguiente tabla:


CLASIFICACIÓN POR EL No. DE TÉRMINOS

GRADO ABSOLUTO

GRADO CON RESPECTO A “X”

35

2 5 3x y z

3 6 4 22xy xy x

52

23

12

3 2 2 3xy x y x y

2. Resuelve las siguientes operaciones de expresiones algebraicas.

A x y x

B xy xy xy xy

C x y x y x y x y x y

D y y y y y y

E m y m m y m

F x y z x yz x y

G a b a b ab

H a ab b a

x y x y

)

)

)

)

)

)

)

)

2 5 3

3 2 2

8 3 3 713

12

14

43

14

53

3 2 5 4 2 6

6 6

2 8 6

14

23

14

2 2

2 2

2 5 3 3 2 5 3 3 2 5

2 2 2

3 2 6 2 2

2 2

32

3

13

14

12

16

536

16

13

12

2 3

1

2 2

b

I x y z xy z

J a a a

K a ab b a b

a b c

m m

)

)

)


177

3. Desarrolla los siguientes productos notables:

A x x

B y y y y

C x y

D x y

E n

F n

G x

)

)

)

)

)

)

)

2 3 2 13

3 3

2 3

25

13

4

4 3

3

2 2

2

2 22

3

3

6

4. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

A a xy x y

B x y x y x y

C x

D a b b

E a

F m m

G x m

H w

I

J x

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

x

a

a

y

24 36

16 8 24

2 1

411 28

12 13 35

30 13 10

14 25

827

8 125

2 2 2 4

3 2 2 4 2

2

4 2 24

2

2

2

2

3

3

178

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas racionales.

A x x x y yx x x

B aa a

C aab b b

Dx x x

xx x x

)

)

)

)

3 12 45 14

8 274 12 9

1

11

11 2

11 2 3

3 2

4 3 2

3

2

2

179

Con la finalidad de que puedas comparar las respuestas que obtuviste revisa este apartado. 1.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CLASIF. POR EL No. DE TÉRMINOS

GRADO ABSOLUTO

GRADO CON RESP. A “X”

35

2 5 3x y z

MONOMIO 10 2

3 6 4 22xy xy x

POLINOMIO 3 1

53

23

12

3 2 2 3xy x y x y

TRINOMIO 4 3

2.

A x y

B xy xy

C x yDE m y

F x y z

G a b a b

H a a b ab b

I x y z

J a a

K a b

x y x y

a b c

m m

)

)

)))

)

)

)

)

)

)

5 5

4 4

605 1

36

16 121

1658

53

13

23

12

12

13

2

2

3 3

7 4 7

2 2 1 1

3 2 2 3

1 2 3

1 2

AUTOEVALUACIÓN

180

3.

A x x

B y

C x xy y

D x xy y

E n n

F n n n

G x x x x x

)

)

)

)

)

)

)

y

n

x

4 163

1

9

4 12 9

425

415

19

12 48 64

64 144 108 27

18 135 540 1215 1458 729

2

4 2

2 2

42

2 4

3 2

3 2

6 5 4 3 2

4.

A xy a xy

B x y xy x y

C x

D a b

E a a

F m m

G x x

H w w

I y y y

J x x x

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

12 2 3

8 2 1 3

1

2

7 4

3 7 4 5

6 5 5 2

12 5

12 5

23

23

49

2 5 4 10 25

2 2 2

2 2

2

22 2

2

2

181

5.

Ax x y

x x

B a aa

Ca b

D xx x

)

)

)

)

2 3

7

4 6 92 3

1

51 3

2

2

182

Con la finalidad de que apliques los conocimientos adquiridos realiza las siguientes actividades: 1) Visita el Museo UNIVERSUM y observa la relación y el uso del lenguaje

algebraico y de las expresiones algebraicas con otras asignaturas tales como: Física, Química, Economía, etc.

Registra y sistematiza tus observaciones, puedes apoyarte en los siguientes lineamientos.

Investiga donde esta ubicada la sala de matemáticas y anota las

explicaciones sobre el tema estudiado.

Busca en otras salas tal como (física, Química, etc.) y has un listado de como utilizan las expresiones algebraicas para plantear problemas de la vida cotidiana.


183

En este apartado encontrarás algunos términos que se vieron a lo largo del fascículo. Coeficiente: Factor numérico de un término algebraico que indica cuantas veces

se toman como sumando, la parte literal. Cuando no aparece escrito se le considera igual a la unidad.

Exponente: Es un número real o una variable que se coloca arriba y a la

derecha de una base conforma por una cantidad o una variable. El valor del exponente indica las veces se va a multiplicar la base por sí misma.

Grado de un Término: Es el valor numérico de las suma de los exponentes que se

encuentran en las variables del término. Lenguaje Algebraico: Es el modo de expresar o indicar en forma verbal o escrita

compuestas por números y las letras operaciones. Parte Literal: Es el conjunto de letras y exponentes que van precedidas del

coeficiente y que pertenecen al término algebraico. Término Algebraico: Es la representación simbólica de un valor usando símbolos

algebraicos que no se encuentran separados entre sí por un signo (+) o un signo (-).

Término semejante: Son aquellos que conservan idéntica su parte literal

manifestándose la única variación en el coeficiente.

GLOSARIO

184

BALDOR A.: Álgebra elemental. Ediciones y Distribuciones Códice, Madrid, 1974. BARNETT, S. A., y Nolasco: Álgebra elemental estructurada y aplicaciones, 2a. Ed..

McGraw-Hill, México. BRITTON Y BELLO: Matemáticas contemporáneas. DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. Publicaciones Cultural, México, 1967. GOBRAN, Alfonse: Álgebra. Iberoamericana, México, 1986. DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. Publicaciones Culturales, México, 1967. PERELMAN Y.: El divertido juego de las Matemáticas. Círculo de lectores, Ediciones Martínez Roca, Barcelona, 1968. PHILLIPS et al.: Álgebra con aplicaciones. Haria, México, 1983. REES P. K et al.: Álgebra. McGraw-Hill, México, 1980.



MATEMÁTICAS I

FASCÍCULO 3. ECUACIONES: MODELOS

GENERALIZADORES

Autores: Jorge Luis Alaníz Miranda

Fernando Castillo Beltrán

Guillermo Coronel Ortega

Juan Matus Parra

Roberto Rodríguez Maciel

2

Javier Darío Cruz Ortiz

3

INTRODUCCIÓN 5

CAPÍTULO 1. MODELOS GENERALIZADORES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO 7

PROPÓSITO 9

1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 12

1.1.1 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 12

1.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER

GRADO CON UNA INCÓGNITA POR EL MÉTODO ALGEBRAICO 20

1.1.3 SOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER

GRADO Y SU INTERPRETACIÓN GRÁFICA 27 1.1.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN

LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 41

RECAPITULACIÓN 51

ACTIVIDADES INTEGRALES 52

Í N D I C E

4

AUTOEVALUACIÓN 53

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 55

PROPÓSITO 57

2.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 60

2.1.1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 60

2.1.2 MÉTODO GRÁFICO 60 2.1.3 MÉTODO ANALÍTICO 75

A) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUMA Y RESTA 76

B) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN 80

C) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN 84

D) MÉTODO POR DETERMINANTES 88

RECAPITULACIÓN 113

ACTIVIDADES INTEGRALES 114

AUTOEVALUACIÓN 116

RECAPITULACIÓN GENERAL 121

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 122

AUTOEVALUACIÓN 124

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 129

GLOSARIO 130

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 131

5

Una de las preocupaciones más antiguas que el hombre ha tenido, es buscar procedimientos más sencillos que simplifiquen y faciliten la resolución de problemas matemáticos. El álgebra en este renglón ha hecho enormes aportes que han permitido la evolución y progreso de la Ciencia Matemática. Con la aplicación de las ecuaciones de primer grado se resuelven problemas aritméticos, geométricos, trigonométricos, físicos, etc., y en otras áreas de conocimiento como la química, la biología, física entre otras. También podemos considerarla en nuestra vida cotidiana y por ello es necesario aprender a interpretar, construir y operar con modelos algebraicos, por ejemplo, con frecuencia encontramos diversos modelos de prendas de vestir, de relojes, de comportamientos humanos, etc. De igual manera, el razonamiento nos permite representar, mediante modelos matemáticos aquellas situaciones problemáticas que para su solución requieren la relación de proposiciones. El saber establecer el modelo algebraico adecuado para solucionar un problema. En muchos casos, nos enfrentamos a problemas en los cuales desconocemos los datos que están relacionados y el encontrarlos es básico para tomar una decisión. Estos problemas pueden dar lugar a una ecuación lineal o a un sistema de ecuaciones, en el que plantean dos modelos algebraicos que se resuelven simultáneamente, a través de diversos métodos. Para este fascículo estudiaremos los planteamientos de problemas que dan lugar a modelos generalizadores (ecuaciones lineales), así como los modelos algebraicos para la solución de problemas. El siguiente esquema te ubicará en la relación que tiene cada uno de los temas que estudiarás:

I N T R O D U C C I Ó N

6

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

PLANTEAMIENTOS DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA (MÉTODO ALGEBRAICO)

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y SU

INTERPRETACIÓN GRÁFICA

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

7

MODELOS GENERALIZADORES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 1.1.1 Planteamiento de problemas que dan lugar a una Ecuación de Primer Grado con una Incógnita. 1.1.2 Solución de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita por el

Método Algebraico. 1.1.3 Solución de Ecuaciones de Primer Grado y su Interpretación Gráfica. 1.1.4 Solución de Problemas que dan lugar al Planteamiento de una Ecuación

de Primer Grado con una Incógnita.

C A P Í T U L O 1

9

Con el estudio de este capítulo integrarás y aplicarás los conocimientos adquiridos en los temas anteriores: ¿QUÉ APRENDERÁS?



P R O P Ó S I T O

Lograrás desarrollar la observación y el espíritu crítico que debes tener para el planteamiento y resolución de problemas matemáticos, problemas de otras ciencias que requieren de modelos matemáticos y problemas que se te presentan en tu vida cotidiana.

Estudiando situaciones de la vida real que generan problemas que requieren el planteamiento de ecuaciones de primer grado y su solución, a través de la identificación de los elementos fundamentales de estos problemas y traduciéndolos al lenguaje algebraico.

Con la solución de ecuaciones de primer grado, nos permitirá aplicar en diferentes problemas aritméticos, geométricos, trigonométricos físicos, etc., y conocer el valor de sus variables.

11

CAPITULO 1

MODELOS GENERALIZADORES: ECUACIONES DE

PRIMER GRADO En los fascículos anteriores estudiamos tanto el concepto como la operación de números reales con lo que logramos pasar de la Aritmética al Álgebra y llegar al conocimiento de sus elementos, simbología, nomenclatura y operaciones. Ahora nuestro objetivo es plantear y solucionar problemas que conduzcan a una ecuación de primer grado, y que pueden presentarse en la vida real. Con frecuencia hemos escuchado decir a algunas personas: “Tengo muchos problemas. Ya no sé que hacer para salir de esto”. Y sucede que cuando nos plantean su problema en ocaciones es más fácil encontrar una solución. Esto sucede porque podemos analizar el problema observando los factores que intervienen. Por ejemplo el siguiente problema: Dos atletas Juan y Carlos corren en una pista; si Juan hizo un tiempo de “x” y Carlos hizo 5 minutos menos que Juan. ¿Qué tiempo hizo cada uno?, si la suma de ambos tiempos es de 40 minutos. PREGUNTAS:

¿Reconoces las variables e incógnitas?

¿Como sería el modelo matemático para el problema planteado? A través del análisis y la relación de las actividades que contiene este fascículo podrás resolver estas preguntas.

12

1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Con el estudio de este fascículo lograrás integrar los conocimientos adquiridos en los temas anteriores, analizarás problemas que conduzcan al planteamiento de una ecuación de primer grado conjugando los aspectos algebraicos y geométricos, con el fin de conocer los métodos de solución (algebraico y gráfico). Recordarás que una ecuación es un tipo de igualdad que se satisface únicamente para ciertos valores. Por pertenecer a las igualdades contiene dos miembros separados por un signo igual.

PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO Los diferentes valores que forman cada uno de los miembros se llaman términos y se encuentran separados por signos ( + ) más o ( - ) menos. Cada miembro puede tener más de un término. Las letras que figuran en la ecuación, y de cuyo valor depende que se cumpla con la igualdad, se llaman incógnitas. Por ejemplo: 3 2 6x x 1.1.1 PLANTEAMIENTOS DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UNA ECUACIÓN DE

PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En este subtema se establece en primer lugar una comparación de los diferentes modelos que existen para representar situaciones o fenómenos y cómo en matemáticas también hay modelos que se expresan por medio de proposiciones lógicas y después se transforman en ecuaciones.

ECUACIÓN INCÓGNITAS PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

3 2 6x x

x

43

5

2 3 4x a a

x

x

x

3 2x

x 43

2 3x a

x 6

5

4 a

13

Por ejemplo:

Las compañías fraccionadoras construyen una casa modelo para que los compradores la vean y conozcan el tipo de casa que ofrecen. Ésta representa a todas las que de ese tipo se construirán en el fraccionamiento propuesto (figura 1).

Figura 1.

Así mismo, las compañías distribuidoras de automóviles exhiben uno que es el modelo del año, y que representa a todos los automóviles de una marca y clase (figura 2) que se construyeron en ese año.

Figura 2.

El sentido de la palabra “modelo” en estos ejemplos, es muy distinto al sentido que se le da en matemáticas o en la frase ”modelos matemáticos” o “modelos algebraicos”.

14

En matemáticas también hay modelos que representan diferentes situaciones o fenómenos; estos modelos primero se expresan por medio de proposiciones lógicas y después se transforman en ecuaciones. Veamos el siguiente ejemplo: Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor A hizo un tiempo “x” al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el doble del tiempo del corredor A , menos 5 minutos, ¿qué tiempo hizo cada uno, si la suma de los tiempos es de 40 minutos. Proposiciones del problema:

Si el tiempo del corredor A es “x”, entonces, el tiempo del corredor B es 2x - 5, y como la suma de los dos tiempos es 40 minutos, la relación de las proposiciones se puede expresar así:

x + (2x - 5) = 40 que es el modelo matemático del problema propuesto.

La ecuación de primer grado con una incógnita es el modelo matemático que se obtiene al transformar una proposición lógica en una simbólica. Ahora analiza los problemas que se plantean a continuación y compáralos con el anterior. 1. La edad de Pedro y la de su primo suman 40 años. Si Alberto tiene el doble de la edad de Pedro, menos 5 años, ¿qué edad tiene cada uno? 2. Para obtener 40 litros de una solución normal se mezclan dos soluciones de diferente concentración. Si el número de litros de la solución A es el doble de litros de la solución B, menos cinco litros, ¿cuántos litros se requieren de cada solución? 3. A dos familias se les repartió azúcar de un bulto de 40 kg. Si la familia B recibió el doble de kilogramos que recibió la familia A, menos 5 kg., ¿cuánto recibió cada familia? 4. El número de tornillos que producen dos obreros en una fábrica es de 40 por turno. Si el obrero B produce el doble de tornillos que produce el obrero A, menos cinco, ¿cuántos tornillos produce cada uno? Después de analizar y comparar los problemas ¿qué similitud encuentras entre ellos? ¿responden al modelo matemático que se obtuvo del primer problema? En efecto, un modelo matemático puede representar a un conjunto de proposiciones lógicas que describen problemas diferentes. Observa que en estos problemas se tienen dos incógnitas o valores desconocidos, cuyo valor se quiere conocer. Estas incógnitas están relacionadas de tal manera que una se puede expresar en términos de la otra.

15

Hay ocasiones en que “no es obvio” como expresar una incógnita en términos de “otra”, por lo que es necesario usar otra letra para representar a esta incógnita, dando lugar a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y no a una sola ecuación. Por otra parte, hay problemas que pueden presentar más de dos incógnitas. EJEMPLO: Tres obreros producen 100 piezas por turno. Si el obrero B produce el doble de piezas que el obrero A, menos cinco, y el obrero C produce dos tercios de lo que produce el obrero B ¿cuántas piezas produce cada uno? Las incógnitas son: Número de piezas que produce A: x Número de piezas que produce B: 2 5x

Número de piezas que produce C: 2 2 53

( )x

Como entre los tres obreros producen 100 piezas, debe entenderse que su suma es 100:

x x x

( ) ( )2 5 2 2 5

3100

y esta expresión matemática es el modelo matemático del problema.

A continuación te presentamos algunos modelos matemáticos, pero al contrario de lo que hemos expuesto hasta aquí, invertimos el procedimiento para que propongas por lo menos dos problemas que satisfagan cada uno de los siguientes modelos:


1. 2 3 5x

2. 5 2 12x

3. x x ( )3 1 17

4. 2 2 1 11x x ( )

5. x x 3 5 2 22( )

6. 3 4 9 5y

7. 5 1 24x x ( )

8. 4 25

2 14z z ( )

9. 22 3

100x x x

10. x x x

12

13

19

17

16

Nuevamente, si analizas los problemas que se listaron en los ejemplos anteriores y los comparas con los ejercicios que acabas de realizar , notarás que los primeros problemas están planteados en lenguaje cotidiano y los ejercicios en lenguaje algebraico o simbólico, Más aún, para lograr la transformación de lenguaje común a lenguaje algebraico se observa en general el siguiente procedimiento: Para reafirmar este procedimiento se desarrollan los siguientes ejemplos : 1) La suma de tres números enteros consecutivos es 75. Obtener dichos números. PROCEDIMIENTO:

¿ Qué se desea conocer del problema? a) Ya que leímos detenidamente el problema, se concluye que se desea conocer tres

números. ¿Qué datos nos proporciona el problema ? b) Los datos son: -que se tienen tres números enteros -que son consecutivos -que suman 75 -las incógnitas son los números consecutivos

Nota:

En éste como en otros casos, es conveniente recordar o investigar los conceptos que se requieren

PROCEDIMIENTO: a) Leer detenidamente el problema, a fin de reflexionar sobre la información dada y

entender qué es lo que se desea obtener. b) Identificar los datos (cantidades conocidas) y la o las incógnitas (cantidades

desconocidas o por conocer), así como las relaciones entre ellos, datos e incógnitas.

c) Separar cada una de las partes del problema, nombrando a la o a las incógnitas.

Si es una incógnita representarla con una de las últimas letras del alfabeto (u, v, w, x, y, z). En caso de que sean dos o más incógnitas considerar una de ellas como referencia y las demás se representan con la misma letra relacionándola con los datos correspondientes.

d) De acuerdo con las condiciones del problema, se expresa la igualdad

correspondiente, que es el modelo matemático requerido. A este modelo matemático, en estos casos, se le conoce como ecuación de primer grado con una incógnita.

17

En general, un número consecutivo “es el que sigue en el orden considerado”. Para el problema se requiere de un “número entero consecutivo”; entonces se trata de números consecutivos cuya diferencia entre dos contiguos es de uno. ¿Cómo se establece el modelo? c) Se nombran y representan; en este problema, incógnitas; y se determina a la

expresión algebraica de cada una de ellas. ¿Cómo se determina el modelo algebraico? d) Se expresa la igualdad.

La suma de los tres números enteros consecutivos es 75.

x x x ( ) ( )1 2 75 2) La edad de Juan es el triple de la de Pedro y hace cinco años la edad de Pedro era un

quinto de la de Juan. Obtener las edades actuales de Juan y de Pedro. a) Se lee detenidamente el problema. Se requiere calcular la edad de las dos personas. b) Datos. La edad de Juan es el triple de la de Pedro. Hace cinco años la edad de Pedro

era un quinto de la de Juan. c) Incógnitas. Edad actual de Pedro y Juan. d) Se expresa la igualdad correspondiente. Hace cinco años la edad de Pedro era un

quinto de la de Juan.

x x

5 3 55

( )

Nombre de las incógnitas Representación algebraica

Edad actual de Pedro Edad actual de Juan Edad de Pedro hace 5 años Edad de Juan hace 5 años

x 3x

x - 5 3x -5

Nombre de las incógnitas Representación algebraica

Número menor Número intermedio Número mayor

x x + 1 x + 2

(Recuerda el concepto de número consecutivo)

18

Analiza nuevamente los ejemplos y responde estas preguntas: a) En el primer ejemplo se consideró como referencia el número menor, la pregunta es:

¿se pueden considerar como referencia las otras dos? ¿Cómo expresar cada una de estas incógnitas?

b) Con base en lo anterior, ¿las siguientes expresiones son equivalentes? “x” es una unidad mayor que “y”, “y” es una unidad menor que "x”. c) Si la expresión “hace cinco años” se le consideró como “sustraendo a 5”, ¿cómo se

considerar la expresión “dentro de cinco”. d) Estos son ejemplos sencillos de dos expresiones equivalentes, expresiones como las

anteriores son las que se deben saber interpretar para transformarlas a lenguaje algebraico.

Analiza este otro ejemplo: 3. Dos vendedores, A y B, se encuentran en diferentes ciudades. Por razones de trabajo deben encontrarse en una ciudad que está entre las dos ciudades. ¿Dónde está A y dónde está B? Las tres ciudades se localizan en una línea recta. La distancia que separa a los vendedores y que deben recorrer en automóvil es de 640 km. Si A viaja a 70 km/h y B a 90 km/h, ¿a qué distancia de la ciudad de A se encuentra la ciudad donde deben entrevistarse?, ¿cuánto tiempo tarda cada vendedor para llegar a su destino? a) En este caso , se considera que deben utilizarse: d = vt; que es la expresión

algebraica (fórmula) de distancia en movimiento uniforme. Se desea saber cuál es la distancia.

b) Datos -velocidad del automóvil de A: 70 km/h -velocidad del automóvil de B: 90 km/h -distancia entre las dos ciudades de donde parten A y B: 640 km -incógnitas. Distancia de donde parte A a la ciudad de encuentro; tiempo empleado por

cada vendedor para llegar a la misma ciudad. c) Incógnitas -tiempo empleado por A para llegar a la ciudad: x -tiempo empleado por B para llegar a la ciudad: x -distancia recorrida por A : 70x -distancia recorrida por B: 90x.

19

d) Por las condiciones del problema: 70x + 90x = 640 Ahora a) En este caso, ¿del modelo propuesto se obtiene directamente la distancia requerida? b) Entonces, ¿qué es lo que obtienes del modelo? c) Si ya determinaste que obtendrías del modelo propuesto, ¿ahora que harías para

calcular la distancia recorrida? En caso necesario consulta a tu asesor de contenido

Expresa el modelo matemático o ecuación de primer grado de los siguientes problemas, y compara tus resultados con las soluciones que te proporcionamos a continuación de dichos problemas. 1. La suma de tres números enteros consecutivos suman 81. ¿Cuáles son esos

números? 2. Tres números enteros pares consecutivos suman 114. Obtener esos números. 3. La edad de Raúl es de dos tercios la edad de su padre. Si la suma de las dos edades

es 110, calcula la edad de cada uno. 4. Hace 5 años la edad de Juan era la mitad de la que tendrá dentro de 7 años. ¿Cuál es

su edad actual? 5. ¿Hace cuánto tiempo la edad de Benito era el triple de la de Daniel? Si actualmente

Benito tiene 50 años y Daniel 24. 6. Si debes pagar $75.00 de una compra que haces en un almacén y tienes 27 monedas

de $1.00 y $5.00 respectivamente ¿cuántas monedas deberás pagar de $1.00 y de $5.00?

7. Un camión regular parte de A hacia B con una velocidad de 80 km/h. El expreso parte

de A hacia B también, con una velocidad de 100 km/h. ¿En cuántas horas alcanzará el expreso al regular y a qué distancia, si el segundo parte una hora antes?


20

Respuestas 1) x x x ( ) ( )1 2 81 2) 2 2 2 2 4 114x x x ( ) ( )

3) 23

110x x

4) x x

5 72

5) 50 3 24 x x( ) 1.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA POR

EL MÉTODO ALGEBRAICO En el tema anterior aprendiste a obtener los modelos matemáticos de problemas propuestos, ahora es conveniente resolver dichos modelos para obtener la solución de problemas. A los modelos matemáticos que se obtuvieron en los problemas planteados, se les conoce con el nombre de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Una ecuación de la forma 3 5 19x es una igualdad cuyos elementos son: 3x - 5 = 19

primer miembro signo igual segundo miembro Cualquiera de sus miembros puede tener más de un término. La ecuación de primer grado es una igualdad, toda vez que cada miembro está separado por el signo igual (=). Ahora bien, hallar el valor que hace verdadera a una ecuación de primer grado con una incognita, es obtener la raíz de la ecuación o el conjunto solución de la misma. Para ello es necesario aplicar las propiedades de la igualdad y las propiedades de campo de los números reales. ¿Las recuerdas?

6) x+5(27-x)=75 7) 80 1 100( )x x

21

Propiedades de la igualdad Sean a, b, c FR Propiedades de los números reales Sean a, b, c FR

1. PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA a + b = b + a PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

(PRODUCTO) ab = ba 2. PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA a + (b + c) = (a + b) + c PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

(PRODUCTO) a (bc) = (ab) c 3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA a (b+c) = ab + ac 4. ELEMENTO NEUTRO ADITIVO a + 0 = a ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO a 1 = 1 5. ELEMENTO INVERSO ADITIVO a + (-a) = 0 ELEMENTO INVERSO MULTIPLICATIVO (1/a) (a) = 1 (a-1) (a) = 1

(PCS) (PCM) (PAS) (PAM) (PD) (ENA) (ENM) (EIA) (EIM)

1. PROPIEDAD REFLEXIVA a = a 2. PROPIEDAD SIMÉTRICA si a = b entonces b = a 3. PROPIEDAD TRANSITIVA si a = b y b = c entonces a = c 4. PROPIEDAD DE LA IGUALDAD DE LA SUMA si a = b entonces a + c = b + c 5. PROPIEDAD DE LA IGUALDAD DE LA MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO si a = b entonces a * c = b * c

(PRI) (PSI) (PTI) (PIS) (PIM)

22

Observa las iniciales a la derecha de cada una de las propiedades enumeradas. Estas son las que se anotarán a la derecha de la ecuación para resolver según se vaya aplicando cada propiedad. Ecuaciones equivalentes: Es cuando dos o más ecuaciones admiten las mismas soluciones EJEMPLO: Observa los siguientes ejemplos: 1. 2.

3 8 4 6x x 3 8 8 4 6 8x x ( ) ( )

3 0 4 2x x 3 4 2x x

3 4 4 4 2x x x x ( ) ( ) x 0 2

( )( ) ( )( ) x 1 2 1 x 2

(PIS) (EIA) (ENA) (PIS) (EIA) y reducción de términos semejantes (ENA) (PIM)

8 3 3 3 5y y y y ( ) ( ) 5 0 5y 5 5y

( ) ( )( )15

5 15

5y

y 1

(EIA) (ENA) (PIM)

(EIM)

14 5 6 3y y y 8 5 3y y

8 5 5 3 5y y 8 0 3 5y y

8 3 5y y

reducción de términos semejantes

(EIA) (ENA) (PIS)

(PIS)

23

3. 4.

Hasta el momento, con la observación y el análisis que has hecho de los ejemplos; has podido comprender la solución de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, pueden presentarse ecuaciones en las cuales intervienen más de una literal, dichas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones literales o fórmulas.

2 6 9 5 3 0( ) ( ) x x 12 18 5 3 0 x x

18 3 12 5 0x x 21 7 0x

21 7 7 0 7x ( ) ( ) 21 0 0 7x ( )

21 7x ( )( ) ( )( ) 21 7 7 71 1x

3 1x 3 3 1 31 1x( ) ( )( )

x 13

(PDA) (PCS) (PC) reducción de términos semejantes (PIS) (EIA) (ENA) (PIM) (EIM)

(PIM) (EIM)

(PIS) y reducción de términos semejantes

34

35 100 35

x x

20 34

35 100 35

20x x

15 700 2000 12x x 15 12 700 2000 12 12x x x x

27 700 2000 0x 27 700 2000x

27 700 700 2000 700x 27 0 2700x

27 2700x 1

2727 2700 1

27( ) ( )x

x 100

(PIM)

(PD)

(EIA) (ENA) (PIS) (EIA) (ENA)

(PIM)

(EIM)

Convertir la siguiente ecuación a una equivalente pero entera, multiplicando ambos lados por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores 4 y 5 que es el 20.

24

Ecuaciones literales son aquellas en las que los coeficientes y términos independientes se representan con las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d,...). Ejemplo: Fórmula es la expresión de una ley o principio general por medio de símbolos o letras. Dichas expresiones algebraicas o fórmulas son resultados del conocimiento en sus diferentes áreas: Física, Química, Economía, Geometría, etc. Ejemplos: d = vt, A = bh/2. Tanto las ecuaciones literales como las fórmulas se pueden resolver en la misma forma ejemplificada anteriormente.

Resuelve los siguientes ejercicios considerando las propiedades de la igualdad y de los números reales.

a) Sea 22

1a yy a a

resolver para y

(EIM)


22

1a yy a a

, (PIM) a y a( ) 2

a y a a yy a a

a y a( )( ) ( ),

2 22

1 2 (ENM)

a a y y a( ) ,2 2 (PD)

2 22a ay y a , (PIS)

2 2 2 22 2 2a a ay y a a ( ) ( ), (EIA)

0 2 2 2 ay y a a , (ENA)

ay y a a2 2 2 , (PSI)

ay y y y a a( ) ( ) ,2 2 2 (EIA)

ay y a a( ) ,0 2 2 2

y a a a( ) , 1 2 2 2

Se factoriza el 1er miembro

y a a a a a( )( ) ( )( ) 1 1 2 2 11 2 1

y a a

a

2 21

2

y a aa

2 21

2

(PIM)

(Se cambian signos de los terminos)

25

b) Sea M LF f

( )25 1 resolver para f:

Para hallar la solución de la ecuación por el método algebraico se aplican las propiedades de campo y las de la igualdad para dejar la incógnita en un solo miembro y con coeficiente igual a la unidad.

FM FLF f

( )25 1

FM Lf

( )25 1

FM Lf

L 25

FM L Lf

L L ( ) ( )25

FM L Lf

25 0

FM L Lf

25

f FM L Lf

f( ) 25

f FM L L( ) 25

M LF f

25 1

f FM LFM L

LFM L

( )( ) ( )

25

f LFM L

25( )

(PIM)

(ENM)

(PD)

(PIS)

(EIA)

(ENA)

(PIM)

(PIM)

(ENM)

(ENM)

26

Una vez que hallas comprendido estos procedimientos , procura considerarlos en la solución de los siguientes ejercicios. I. Aplicando las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad resuelve

las siguientes ecuaciones: 1. 5 2 3 10x x 2. 2 3 7 6 2 12x x x x 3. 5 2 6 3 8 2( ) ( )x x 4. 6 7 2 4 2 5 3 ( ) ( )x x x 5. 7 2 4 4 6 0( ) ( )x x 6. 4 3 5 5 3 5 1 8( ) ( )z z z

7. x x x4

12 2

13 6

23

8. 2 28

14

3 29 18 2

13

0

x x

9. 49 8

2572 6

118

18

z z z

10. 2 6 32 32 1 92 0( ) ( )x x x 11. 2 6 32 5 2 5 0( ) ( )x x x II. Aplicando las fórmulas o expresiones algebraicas propuestas, resuelve o despeja la variable que se propone

1. v bh

3, resolver para h

2. p wt

, resolver para t


27

3. s vt at

2, resolver para t

4. L L t2 1 1 ( ), resolver para t

5. vhc

E E 1

1 2( ), resolver para c

6. p fvv s

, resolver para v y s

7. s Lr ar

1, resolver para r.

¿Qué es un plano cartesiano?

1.1.3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y SU INTERPRETACIÓN

GRÁFICA Hasta aquí has aprendido a obtener la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita aplicando las propiedades de campo y de la igualdad. Sin embargo, existe otro método que se conoce como método gráfico que consiste en la representación gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas en el plano cartesiano. Conviene recordar en qué consiste el plano cartesiano y después obtener la gráfica correspondiente. En la primera unidad se estudió el conjunto de lo números reales y su correspondiente recta real, en la que cada punto de esta le corresponde un número real y sólo uno. El plano cartesiano es aquel que contienen dos rectas numéricas perpendiculares (forman ángulos de 90°) que se intersectan en un punto llamado origen, considerando horizontal una de las rectas y consecuentemente vertical a la otra, a los valores considerados sobre la recta (o eje) horizontal se les llama abscisas y en general se les representa con “x”. Del origen a la derecha los valores son positivos y del origen a la izquierda, negativos. A los valores considerados sobre la recta (o eje) vertical se les llama ordenadas y en general se representan con “y”. Del origen hacia arriba los valores son positivos y del origen hacia abajo, negativos. Al par de valores (x, y), en este orden, se les llama coordenadas. Dichas coordenadas sirven para ubicar o localizar puntos sobre el plano cartesiano. Por lo tanto, un punto cualquiera ubicado en el plano cartesiano es la representación geométrica de un par ordenado P(x,y). Por último, las rectas mencionadas generan en el plano cuatro regiones llamadas cuadrantes. A partir de la región comprendida entre las dos semirectas de valores positivos se numeran los cuadrantes en sentido contrario a las manecillas del reloj.

28

En la gráfica 1 se tienen dos rectas perpendiculares que se cortan a 90° ; a la recta horizontal se le llama eje se las abscisas (xx’) y a la recta vertical se le llama eje de las ordenadas (yy’) . y x’ Un punto del plano cartesiano se localiza ubicado sobre los ejes xx’, yy’ los puntos correspondientes a los valores ordenados dados (x, y). Según la Gráfica 1, ¿dónde localizas el punto (2,3)? Recuerda que el primer número siempre representa a las abscisas. Para localizar un punto en el plano cartesiano a partir de un par de valores, por ejemplo (3,4), se localiza la abscisa 3 y la ordenada 4, y se trazan líneas paralelas a cada uno de los ejes; la intersección de éstas es el punto P(3, 4), como muestra la Gráfica 2.

II I

IV III

_ x

_

_

_

_

_

_

_

I I I I I I I I

Gráfica 1

x

y y’

_ _

_

_

_

_

_

_

_

I I I I I I I I

4

.3

2

1

-1

-2

-3

-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Gráfica 2

x’

y’

P(3,4)

y’

29

Realiza los ejercicios considerando lo que ya revisaste. A) De acuerdo con lo propuesto y a las figuras que se muestran: a) ¿Cuál es el signo de las abscisas y de las ordenadas en el primer cuadrante? b) ¿Y en el resto de los cuadrantes? c) Expresa los signos de esas coordenadas en un paréntesis. Ejemplo: cuadrante I (+, +). B) En el plano cartesiano localiza los puntos: 1. A(2, 6) 2. B(-3, 4) 3. C(-2, -7) 4. D(0, -4) 5. E(1, -3)

6. F(2, -2) 7. G(3,-1) 8. H(4, 0) 9. I(5, 1) 10. J(6, 2)


30

Como una forma de verificar lo que has aprendido cómo localizar los puntos en el plano cartesiano, dados sus pares de valores reales ordenados correspondientes, debiste obtener la siguiente gráfica. Gráfica 3 En ella se puede observar que los pares de valores de los ejercicios 4 al 10 se encuentran ubicados en línea recta. Observa atentamente el punto H(4, 0). Ahora veamos como sería su análisis. De la correspondencia (x, y) (4, 0) se obtienen dos ecuaciones de estos valores ordenados: La ecuación 1 se iguala a 0, resultando de esta manera una tercera ecuación :

(1)

(2)

B

A

J

0

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

I H

y

y’

x’ x

C

D E

F G

(3) x - 4 =0

y = 0

x = 4

31

Aplicando la PTI a las ecuaciones 2 y 3 obtenemos una cuarta ecuación: Retomando estos datos resuelve la ecuación siguiente: donde “x” se sustituye por el valor de la ecuación 1. Aplicando las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad el resultado es: En esta última ecuación nuevamente se iguala a cero y se obtiene: y aplicando la PTI a las ecuaciones 2 y 7 se tiene: Observa que es la misma que (4), y que por lo tanto la solución gráfica de la ecuación 2 5 3x es x 4 y que corresponde al punto (4,0) Ahora hagamos un paréntesis para recordar: Por último se puede interpretar que sobre el eje horizontal de las abscisas los valores de “x” pueden ser “varios” o “pueden variar”, y por lo tanto, se puede proponer que “x” es una “variable”. Con base en lo anterior y conociendo el cálculo numérico de expresiones algebraicas, si asignamos valores a “x” se pueden obtener los valores de “y” en y x= - 4. Observa la tabla siguiente:

y x 4 (4)

2 5 3x (5)

x 4 (6)

(7) x 4 0

y x 4 (8)

Si a R, entonces: a < 0, a = 0, o a > 0 Si a = x, entonces: x R, y x < 0, x = 0, ó x > 0

x

0

1

2

3

4

5

6

-4

-3

-2

-1

0

1

2

PUNTOS

D

E

F

G

H

I

J

32

De este modo, si a la variable “x” se le asignan valores se obtiene la correspondiente a “y” a través de una función con dos literales, a la primera le llamaremos variable independiente (x) y a la segunda variable dependiente (y). Localizar la posición de un punto en el sistema cartesiano resulta sencillo, pues bastará con encontrar, sobre los ejes respectivos, los valores que corresponden a las abscisas y a las ordenadas, para trazar desde esos puntos rectas perpendiculares a cada eje. El punto de intersección de las rectas, así trazadas nos definen la posición del punto propuesto.

¿Que podemos concluir de lo antes expuesto? Nuestra conclusión es que la ecuación de primer grado se puede graficar en el plano cartesiano y su figura es una línea recta; la solución en esa gráfica se obtiene en la abscisa “x” del punto de intersección de la recta con el eje horizontal. Así mismo, que a la “x” se le da el nombre de variable independiente por los valores que se le pueden asignar dentro de los reales y que la variable dependiente corresponde a “y”, puesto que su valor se determina por los valores de “x”.

33

Ejemplo: Observa la siguiente ecuación

x x

2

2

3

3

4

1

12

x x

2

2

3

3

4

1

12 ,

x x x x

2

2

3

3

4

3

4

3

4

1

12

x x

2

2

3

3

40

1

12

x x

2

2

3

3

4

1

12

122

2

3

3

412

1

12( ) ( )x x

12

2

2

3

3

41( ) ,

x x

(se realizan los cocientes) 12

2

24

3

36

41

x x

6 8 9 1x x

3 8 1x

3 8 8 1 8x

3 0 1 8x

(EIM)

3 9x

( )( ) ( ) 3 3 9 31 1x

x 3

PIS 34

x

(ENA)

(PIM)

(EIM)

(se reducen términos semejantes)

(PIS)

(EIA)

(ENA)

(PIM)

EIA

PD

34

Ahora comprobar gráficamente la misma ecuación:

Gráfica 4 1) De la solución x 3 se tiene x 3 0 por lo planteado anteriormente, y x 3. 2) Se construye la tabla de valores:

x

-5

-4

-3

-2

-1

y x= + 3 -2 -1 0 1 2 PUNTOS A B C D E

Nuevamente observa que la línea recta y=x+3, intersecta al eje horizontal xx’ en el punto (-3, 0) entonces, la solución de la ecuación Comprobación:

32

23

3 34

112

32

23

94

112

9 46

27 112

136

2612

136

136

( )

x1 5 , x2 4 , x3 3 , x4 2 , x5 1 ,

y1 5 3 2 y2 4 3 1 y3 3 3 0 y4 2 3 1 y5 1 3 2

(D) (E)

(C)

(B)

(A)

1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

y

x -1 -2

0

y´

x´

es x 3

x x2

23

34

112

35

Analiza el siguiente problema: En el Valle de la Muerte que se ubica en California, las temperaturas en el día y en la noche son de 145° F y -70° F ¿a cuántos grados centígrados corresponden estas temperaturas? Para resolver este problema recuerda que las divisiones de las escalas termométricas son proporcionales (figura 3), lo cual nos permite establecer la siguiente proporción. De esta ecuación se obtiene:

Figura 3

180100

32

FC

F C95

32

180°

32 0

212 100

°F °C

( 1 )

( 2 )

36

Si graficamos la ecuación (2) obtenemos la recta de la gráfica 5.

* Para dar respuesta al problema anterior, se deben trazar perpendiculares por los puntos conocidos de las escalas Farenheit hasta tocar la recta, y en un punto trazar una perpendicular al eje C; en este punto se halla el valor en C equivalente a grados F.

Gráfica 5

37

Realiza lo siguiente: a) La temperatura normal del cuerpo humano es de 36 °C. ¿A cuánto equivale en grados °F? b) En la cuidad de México se han registrado temperaturas hasta de -10 °C que han causado la muerte de algunos indigentes. ¿A cuántos °F corresponde esta temperatura? ¿Observas alguna ventaja al utilizar el método gráfico? En este ejemplo se puede concluir que el método gráfico tiene sus ventajas, pues una vez que hemos trazado la gráfica podemos hallar todos los valores que nos interesan con el simple hecho de trazar perpendiculares a los ejes hasta tocar la recta, sin tener que realizar ninguna operación. Veamos ahora la solución de la ecuación: por el método gráfico. Por el método algebraico de la ecuación propuesta se llega a 2 7 0x . De manera que y x 2 7 . Ahora obteniendo la tabla de valores correspondiente:


210

214

321

3105

0x x

p x y (x, y) A -2 -11 (-2, -11)

B 0 -7 (0, -7)

C 4 1 (4, 1)

D 5 3 (5, 3)

Porque x1 2 , y1 2 2 7 ( ) y1 4 7 y1 11

38

Una vez que se ubican los puntos correspondientes a las parejas de valores se tiene la gráfica de la figura 6. La recta corta el eje horizontal (xx’) en el punto P(7/2, 0). El valor de la abscisa es x = 7/2; observa que se lee en forma aproximada, lo cual representa una desventaja. Únicamente nos queda verificar si ese valor corresponde a la ecuación dada. Comprobación: y x 2 7

y 2 7

27 7 7 0( ) .

En este caso el valor “observado” fue el correcto. Como puedes concluir, este método presenta las siguientes desventajas: a) Es muy laborioso b) Cuando la recta corta al eje horizontal (xx’) en un punto intermedio, entre dos valores enteros consecutivos, el valor que se obtiene para “x” es aproximado.

y

1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

3

2

1

y´

x x´

(D)

(C)

(B)

(A)

Gráfica 6

39

Comprueba lo que has aprendido, resolviendo los siguientes ejercicios: I. Lee cuidadosamente la pregunta, realiza las operaciones necesarias y selecciona la respuesta correcta llenando el espacio inferior de la letra correspondiente. 1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de parejas ordenadas corresponde a la recta de la gráfica 7? a) {(-3, -1), (0, 1), (-2, 0)} b) {(1, 3), (-1, -1), (0, 2)} c) {(2, 4), (0, 2), (-1, -1)} d) {(-2, 0), (-1, 1), (0, 2)} 2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que se indica en la gráfica 8? a) 2 3 0x b) 5 2 0x c) 4 5 0x d) 3 6 0x


a b c d

Gráfica 8

a b c d

Gráfica 7

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

-2

4 3 2 1

x´ x

y

y´

0 1 2

-1

-2

x´ x

y

y´

40

3. ¿Cuál es la raíz de la ecuación cuya gráfica se indica en la gráfica 9? a) {-2} b) {2} c) {0,2} d) {2, 0} 4. ¿Cuál de los siguientes valores es la raíz de la ecuación cuya recta se indica en la gráfica 10? a) {0, 5/2} b) {-5/2, 0} c) {5/2} d) {-5/2}

a b c d

a b c d

Gráfica 9

Gráfica 10

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

-2 -3 -4 -5

2 1

x´ x

y

y´

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

-2 -3 -4

4 3 2 1

x´ x

y

y´

41

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene la solución que muestra la gráfica 11? a) 5 20 0x b) x x 3 2 1 c) x 6 2 d) 3 5 5 x II. Siguiendo el proceso establecido en los ejemplos anteriores, obtener la solución de las siguientes ecuaciones por el método gráfico. 1.1.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE

UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En los dos primeros subtemas se planteó cómo se expresa un problema en lenguaje simbólico (algebraico), expresión que es el modelo matemático; éste a su vez, es una ecuación con una incógnita de primer grado a la cual dimos solución. Ahora estudiaremos el problema en su totalidad, integrando esas dos actividades. ¿Recuerdas el problema de los vendedores? 1) Dos vendedores, A y B viven en diferentes ciudades, pero por razones de trabajo deben encontrarse en una ciudad que está entre las dos primeras; las tres ciudades se localizan en una misma recta. La dinstancia entre las dos cuidadas de donde parten en automóvil es de 640 km. Si A viaja a 70 km/h, y B a 90km/h a que distancia de donde parte A se encuentra la ciudad en la que deben reunirse y en cuántas horas llegarán, si parten al mismo tiempo?

a b c d

Gráfica 11

1. 4 9 4x

2. 9 16 3 4x x

3. 3 2 5 2 3 7 5( ) ( )x x

4. 3 54

2 33

3x x

5. 4 34

12

12

4 12 4( ) ( )x x

6. 3 3 1 4 9 5 0( ) ( )x x

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

-2

4 3 2 1

x´ x

y

y´

42

Fórmula: d = vt. Incógnitas: t y d Distancias: dA = 70t, dB = 90t Por las condiciones del problema: 70t + 90t = 640. Resolución 70 90 640t t 160 640t 160 160 640 1601 1( ) ( ) t

t 640160

t 4 El tiempo que les lleva desplazarse a cada uno de los vendedores hasta el lugar de reunión es de 4 horas. Como el vendedor A viaja a vA = 70 km/h, entonces dA 70 km/h x 4 h = 280 km. Distancia que recorre dB = 90 km/h. x 4 h = 360 km. Distancia que recorre dA = 70 km/h. x 4 h = 280 km. De esta manera queda resuelto el problema; sin embargo, es necesario tener la certeza de que el resultado es verdadero. Como la ecuación de primer grado es una proposición abierta que solo es verdadera para ciertos valores (igualdad), entonces la ecuación debe comprobarse. 70 90 64070 4 90 4 640280 360 640

t t

( ) ( )

a) Obtención del método matemático o transformación de la proposición lógica planteada

(lenguaje cotidiano a una proposición abierta (lenguaje algebraico) o ecuación de primer grado.

b) Resolución de la ecuación de primer grado c) Comprobación. En caso de que no cumpla ésta se procede a hacer una revisión

general donde se detectará el error u omisión. 2) Tres obreros producen 100 piezas por turno. Si el obrero B produce el doble de piezas

que produce A menos cinco, y el obrero C produce dos tercios de lo que produce B. ¿Cuántas piezas produce cada uno?

a) Elaboración del modelo

PIM EIM

Si analizas todo el proceso de resolución del problema anterior , comprobarás que presenta tres fases en general.

43

Número de piezas que produce A: x Número de piezas que produce B: 2 5x


( )x

b) Solución

x x x

( ) ( ) ,2 5 2 2 5

3100

3 2 5 2 2 53

3 100

3 3 2 5 2 2 5 3003 6 15 4 10 30013 25 30013 25 25 300 2513 0 300 2513 300 2513 325

13 13 325 1332513

25

1 1

x x x

x x xx x xxxxxx

x

x

x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.

Número de piezas que produce A: x = 25 Número de piezas que produce B: 2x- 5 = 2(25) - 5 = 45


2 2 25 53

30( ) [ ( ) ]x

c) Comprobación

(PIM) (3)

(PD)

REDUCCION DE TÉRMINOS (PIS) (+25) (EIA) (ENA REDUCCION DE TÉRMINOS

(EIM) (13)-1 (PIM)

DIVISIÓN DE DOS ENTEROS

SOLUCIÓN

44

25 45 30 100100 100

Como se puede notar en la comprobación, solamente existe un valor que hace verdadera a la ecuación, cualquier otro valor la hace falsa; probemos con los siguientes valores para la ecuación:

x x x

( ) ( )2 5 2 2 5

3100

Para x = 20 obtenemos:

20 2 20 5 2 2 20 53

100

20 35 703

100

2353

[ ( ) ] [ ( ) ]

100

Con esto se concluye que sólo para x=30 cumple la igualdad. Cabe aclarar que existen otros tipos de igualdades que son verdaderas para cualquier valor de la variable como la siguiente: 3 2 4 6 12( )x x Probemos para x = 2 , 3 2 2 4 6 2 123 0 12 120 0

[ ( ) ] ( )( )

Para x 5 , 3 2 5 4 6 5 12

3 10 4 30 1218 18

( ) ( )( )

,

A este tipo de igualdades se les llama identidades.

etcétera.

45

Contesta las siguientes preguntas: 1. En el problema de los obreros se tomo como referencia la producción de A (x), y

entonces la producción de B fue 2 5x según el problema. a) Si se hubiera considerado la producción de B como “x”, ¿cómo expresarías la

producción de A? b) ¿Y la de C? 2. La edad de Juan es el triple de la de Pedro, y hace cinco años la edad de Pedro era un

quinto de la de Juan. ¿Que edad tiene actualmente Juan y Pedro? Edad actual de Juan: 3x hace cinco años: 3 5x Edad actual de Pedro: x , hace cinco años: x 5 Hace cinco años la edad de Pedro era un quinto de la de Juan.

x x

x x

x x

x xx xx xx xx xx xx x x xx xx xx

x

x

x

5 3 55

5 3 55

5 5 5 3 55

5 5 3 55 25 3 55 25 25 3 5 255 0 3 5 255 3 5 255 3 205 3 3 3 205 3 0 205 3 202 20

2 2 20 2202

10

1 1

,

( ) ,

( ) ,,

,,

,,

,

( ) ( ) ,

,

.


PIM (5)

EIM

PD PIS (+25) EIA ENA Reducción de términos PIS (-3x) EIA ENA

PIM (2)-1

EIM

Reducción de términos

División de dos enteros

Solución

46

Edad actual de Pedro: x 10 años Edad actual de Juan: 3 3 10 30x ( ) años Comprobación

10 5 3 10 55

5 30 55

5 255

5 5

( )

3. De dos soluciones de ácido de diferente concentración se pretende obtener otra

solución. Los componentes de la primera están en relación uno a uno de ácido y agua, y en la segunda cuatro a uno, también de ácido y agua. Si se necesitan 15 litros de la nueva solución, cuya relación debe ser tres a uno, ¿cuántos litros se necesitan de cada una de las dos primeras soluciones?

Incógnitas: se desconoce la cantidad en litros de las dos primeras soluciones. Datos: se conocen las relaciones de ácido y agua de las tres soluciones y el número de litros de la solución que se desea obtener. Cantidad en litros de la primera solución: x Cantidad en litros de la segunda solución: 15 x Relación de los componentes de la primera solución: 1 1 1/ Relación de los componentes de la segunda solución: 4 1 4/ Relación de los componentes de la solución por obtener: 3 1 3/ Por lo tanto: 1 4 15 3 15

4 15 4560 4 45

3 60 453 60 60 45 603 0 153 15

3 3 15 3153

5

1 1

x xx xx x

xxxx

x

x

x

( ) ( ),( ) ,

,,

,,

,

( ) ( ) ,

,

,

Cantidad en litros de la primera solución : x = 5

Producto de dos enteros (PD)

PIS (-60)

ENA PIM (-3)-1 EIM

Reducción de términos semejantes

EIA

División de dos enteros

Solución

47

Cantidad en litros de la segunda solución: 15 - x = 15 - 5 = 10 Comprobación 1 5 4 15 5 3 155 4 15 5 455 4 10 455 40 4545 45

( ) ( ) ( )( )( )

1) Una persona deposita en cuenta de ahorros, un capital por el que se le paga el 12% de intereses. Acuerda con el Banco hacer otro depósito que es mayor en $500,000 al capital inicial y por el que se le pagará el 15% de intereses. ¿Cuál fue el depósito total, si al cabo de un año recibió en total $1,680,000? En este caso se emplea la fórmula:

C c ct r

100

C monto total c capital inicial ya que “t” = 1 por ser un año t es el tiempo en años r es el interés Incógnita: c = capital inicial, depositado al 12%. c + 500,000 = capital inicial incrementado, depositado al 15%. Así que: al final del año, el monto total del capital inicial:

C c c112

100

y el monto total del segundo depósito que es el capital inicial más $500,000 es:

C c c2 500 000 500 000 15100

( , ) ( , )

48

Así que el monto total C de los dos capitales al final del año será:

C C C

c c cc

c c c c

c c c

c c c

c c

c ccc

1 2

12100

500 00015 500 000

10012100

500 000 15 500 000100

1680 000

2 12100

500 000 15 7 500 000100

1680 000

2 500 000 12 15 7 500 000100

1680 000

2 500 000 27 7 500 000100

1680 000

200 50 000 000 27 7 500 000 168 000 000227 57 500 000 168 000 000227 168

( , ),

)

, ( , ) , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , , ,, , , ,,000 000 57 500 000

227 110 500 000110 500 000

227486 78414

, , ,, ,

, ,

, .

c

c

c

El depósito total es: c c ( , ) , . ( , . , ) , , .500000 48678414 48678414 500000 147356828 Observa que en los ejemplos 1 y 4 se usaron subíndices que son los números o letras pequeños anotados abajo a la derecha de la literal respectiva. Esto es con el fin de hacer la diferenciación correspondiente; así, en el primer problema dA se debe interpretar como la distancia que recorre el vendedor A. En el caso del ejemplo 4, C1 debe entenderse como el monto del primer capital depositado, etcétera. Algunos ejemplos de problemas que dan lugar a ecuaciones de primer grado, se trataron con dos o más incógnitas. ¿Consideras que se podrían plantear como ecuaciones con dos incógnitas de primer grado? ¿Por qué? -Mediante la aplicación de las propiedades se iguala a cero la ecuación ax b 0 . -Se sustituye el cero por la variable “y”.

Recuerda que el método gráfico es otra forma de conocer el valor de la incógnita y para ello la secuencia de operaciones es:

49

-Se elabora una tabla de valores y para ello se asignan valores a la variable “x”, obteniendo para cada valor de “x”, un valor de “y”. este par de valores forman la pareja ordenada (x, y). -Por la forma en que se obtienen los valores de las parejas ordenadas, a “x” se le llama variable independiente y a “y” variable dependiente. A la “x” también se le llama abscisa y a la “y”, ordenada. -Cada pareja ordenada se llama coordenada y representa un punto en el plano cartesiano. 1. Dos viajeros se desplazan en su automovil a partir de los pueblos A y B

respectivamente, la distancia entre éstos es de 100 km en línea recta. Ambos parten a la misma hora; el que parte de A viaja a 90 km/h y el de B a 70 km/h.

Considerando que B se localiza a la derecha de A y que los viajeros se desplazan en la misma dirección y sentido. ¿A que distancia de A el viajero que parte de este pueblo alcanzará al que parte de B?

2. El patio de carga y descarga de una fábrica es de forma rectangular, si se tiene que

cercar tres de sus lados (se excluye uno de los lados mayores) y el largo es 10 m mayor que el triple de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del largo y ancho, si se necesitan 110 m de malla de alambre?

Observa y analiza el procedimiento utilizado para resolver los problemas anteriores. Con los conocimientos que has adquirido y con el apoyo de tu asesor resuelve los siguientes problemas dando tanto una solución algebraica como gráfica.

50

Hasta aquí se estudió el tema de ecuaciones de primer grado, donde se analizó el proceso de solución, por medio del método algebraico y su interpretación gráfica, así mismo se plantearon problemas para establecer modelos matemáticos que se le conoce como ecuación. Así por ejemplo:

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

MODELO MATEMÁTICO ECUACIÓN DE

PRIMER GRADO

SOLUCIÓN MÉTODO

ALGEBRAICO

INTERPRETACIÓN

GRÁFICA

Leer detenidamente el problema

Identificar los

datos y la o las incógnitas

Separar cada

una de las partes del problema, nombrando a la o las Incógnitas

3 8 4 6x x

3 8 8 4 6 83 4 23 4 4 4 2

21 2 1

2

x xx xx x x xx

xx

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

Se pueden dar valores para x y así obtener los puntos que se grafican en el plano cartesiano


PROCEDIMIENTO

51

El siguiente esquema te ayudará a recordar cada uno de los temas que se revisaron en este capítulo: Ahora con los conocimientos que has adquirido resuelve el siguiente problema dando una solución gráfica como algebraica. Miguel, Carlos y Raúl al sumar sus edades obtuvieron un total de 26 años. Si Carlos es 3 años menor que el doble de la edad de Miguel, y Raúl es un año mayor que la mitad de Miguel. ¿Que edad tiene cada uno?

RECAPITULACIÓN

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

COMPROBACIÓN

TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE SIMBÓLICO (ALGEBRAICO)

- SEPARACIÓN DE LOS DATOS

- SIMBOLOGÍA DE LAS INCÓGNITAS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

ANÁLISIS

PROBLEMA

52

Estos ejercicios se han preparado para que apliques lo que aprendiste en este capítulo. Resuélvelos algebraicamente e interprétalos gráficamente indicando el punto donde la línea recta se intersecta al eje “x” de las abscisas. 1. Un carpintero debe hacer marcos rectangulares, y para ello cuenta con tiras de madera cuya longitud es de 75 cm. Si el largo del marco debe ser 15 cm mayor que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de los marcos? 2. El segundo de tres números enteros es dos tercios del primero, el tercero es menos un quinto del segundo. Los tres números suman 23. Obtén los números. 3. Si el numerador de una fracción se le resta cinco y al denominador se le suma 2, la fracción resultante es menos un tercio. El denominador es una unidad mayor que el numerador. Obtén la fracción original. 4. Dos números suman 16 y su diferencia es menos cinco. Obtén los números. 5. La sección transversal de una barra de acero es la de un triángulo isósceles. El perímetro de dicho triángulo es de 64 cm. Si la razón entre uno de los lados iguales y el tercero es de 5/6. Obtén las dimensiones de la sección de la barra. 6. Se requiere cercar con malla de alambre un terreno de forma rectangular. Si el largo es el triple del ancho, menos 10 m, y el perímetro es de 620 m, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 7. El ancho y la longitud de un rectángulo está en razón de 3/4, si las dimensiones se incrementan en tres unidades lineales, el área se incrementa en 135 m2 . ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 8. Los terrenos que ofrece una compañía fraccionadora tienen 400 m de perímetro. Si estos son rectangulares y el ancho es dos tercios del largo, ¿cuáles son las dimensiones de cada terreno? 9. Una persona vendió boletos para dos rifas; el boleto de una costó $1.00 y el de la otra $5.00. La persona vendió 25 boletos en total y obtuvo $49.00 pero no tomó nota de cuantos boletos vendió para cada rifa. Obtén el número de boletos vendidos para cada una. 10. Una ama de casa pagó $114.00 por 13 kg. de arroz y frijol, el kilogramo de arroz y frijol cuesta $8.00 y $10.00 respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de arroz y cuántos de frijol compró?


53

Las respuestas que a continuación te presentamos son la solución de los problemas anteriores; compáralas con las que obtuviste. Si encuentras alguna diferencia realiza nuevamente el ejercicio y si tienes alguna duda consulta a tu asesor. 1. Modelo matemático: 2 2 15 75x x ( ) (11.25, 0) largo 26.25 cm ancho 11.25 cm

2. Modelo matemático: x x x

23

215

23 (15, 0)

1er. número: 15 2do. número: 10 3er. número: -2

3. Modelo matemático: xx

53

13

(3, 0)

Numerador: 3 Denominador: 4 4. Modelo matemático: x x ( )16 5 (5.5, 0) Número menor: 5.5 Número mayor: 10.5

5. Modelo matemático: Lb

56

, 2 56

64( )b b (24, 0)

Dimensiones: b = 24 L = 20 6. Modelo matemático: 2 2 3 10 620x x ( ) (80, 0) Dimensiones: ancho: 80 m largo: 230 m

AUTOEVALUACIÓN

54

7. Modelo matemático: A x x ( ),3

4 ( )( )x x A 3 3

43 135 (24, 0)

Dimensiones: x m

x m

2434

18

8. Modelo matemático: 2 2 23

400x x ( ) (120, 0)

Dimensiones: x m

x m

12023

80

9. Modelo matemático: x x 5 25 49( ) (19, 0) Venta: boletos de la rifa de $1.00 : 19 boletos de la rifa de $5.00 : 6 10. Modelo matemático: 8 1013 114x x (8, 0) kilogramos de arroz: 8 kilogramos de frijol: 5

55

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.1.1 Solución de Problemas que dan lugar al Planteamiento de un Sistema de Ecuaciones Lineales 2.1.2 Métodos Gráficos 2.1.3 Métodos Analíticos

a) Método de Eliminación por Suma y Resta b) Método de Eliminación por Sustitución c) Método de Eliminación por Igualación d) Método por Determinantes

C AP Í T U L O 2

57

Como establecimos desde el Fascículo I el álgebra nos ayuda a tomar decisiones para solucionar problemas concretos, y para ello debemos traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. En el capítulo anterior aprendiste a resolver problemas que dan lugar a ecuaciones de primer grado con una incógnita. Pero existe otro tipo de problemas, en los que tenemos que encontrar más de un valor, por ello en este capítulo: ¿QUÉ APRENDERÁS?

A establecer los modelos algebraicos para problemas que dan lugar a ecuaciones de primer grado con dos y tres incógnitas.


Los métodos que nos permiten solucionar un sistema de ecuaciones, como: el gráfico, el de suma o resta; el de sustitución; el de igualación, y por determinantes


Tomar decisiones para solucionar problemas de Física, Química y Biología, entre otras áreas del conocimiento.

P R O P Ó S I T O

59

CAPÍTULO 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Conforme avanzamos en nuestros estudios, nos enfrentamos a problemas cada vez más complejos, los cuales rebasan la aritmética y por lo tanto, debemos aplicar el álgebra. Así, en Estadística, Física o Biología, encontramos problemas con dos incógnitas y su solución nos permite comprender las teorías o principios que se estén tratando, a través de un sistema de ecuaciones podemos encontrar los valores requeridos y asegurar nuestra comprensión del contenido. Resolver un sistema de ecuaciones es realmente sencillo y nos permite interpretar objetivamente un problema.

60

2.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.1.1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Existen problemas en los que es necesario encontrar dos o tres datos que están relacionados, y al traducirlos al lenguaje algebraico se forman dos o tres ecuaciones lineales de dos o tres incógnitas. En estos casos decimos que se forma un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones se puede solucionar por el método gráfico y los métodos analíticos, los cuales estudiaremos en este capítulo. Para la solución de problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se resolverán gráficamente y analíticamente. Para la solución de problemas que dan lugar a sistema de ecuaciones con tres incógnitas, se resolverán únicamente aplicando el método analítico, por determinantes. Es importante señalar que para explicar cada uno de los métodos gráficos y analíticos se procederá primero a mencionar el problema que dé como planteamiento un sistema de ecuaciones, posteriormente se resolverá el sistema por medio del método que se va a explicar. 2.1.2 MÉTODO GRÁFICO En este tema estudiaremos algunos problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, y para solucionarlo aplicaremos el método gráfico, el cual permite encontrar los valores de las incógnitas a partir del plano cartesiano, que dan solución al problema. Te recomendamos que analices con detenimiento cada paso en la resolución de los sistemas comparando la explicación con el procedimiento realizado. Ejemplos: A continuación se plantean una serie de problemas con los procedimientos y soluciones para cada uno de ellos, así como sus representaciones gráficas.

61

Problema El perímetro de un rectángulo es de 18 cm. El doble de largo, excede el ancho 6 cm ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Datos Perímetro = 18 m El doble del largo excede al ancho 6 cm Largo del rectángulo = x Ancho del rectángulo = y Sistemas de ecuaciones 2 182 6( )x yx y

Procedimiento I. Despejamos “y” en la ecuación (1) y (2) 2 182 2 182 18 2

18 22

92 62 6

2 62 6

( )x yx yy x

y x

y xx yx yy x

y x

II. Tabulamos los valores: Para esto le asignamos valores a “x” para obtener los de “y”

x y = 9 - x y P(x, y) x y = 2x - 6 y P(x, y) 0 1 2 3 4 5 6

y = 9 - 0 y = 9 - 1 y = 9 - 2 y = 9 - 3 y = 9 - 4 y = 9 - 5 y = 9 - 6

9 8 7 6 5 4 3

(0,9) (1,8) (2,7) (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)

0 1 2 3 4 5 6

y = 2(0) - 6 y = 2(1) - 6 y = 2(2) - 6 y = 2(3) - 6 y = 2(4) - 6 y = 2(5) - 6 y = 2(6) - 6

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

(0, - 6) (1, - 4) (2, - 2) (3, 0) (4, 2) (5, 4) (6, 6)

III. Graficamos los valores

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (4)

62

Gráfica 12 IV. Interpretación Observa que en las dos tabulaciones al asignarle el valor de 5 a “x” obtenemos como valor de “y” 4; que es el punto donde se intersectan las dos rectas y corresponde a la solución del sistema. Por lo tanto: Largo del rectángulo ; x = 5 Ancho del rectángulo ; y = 4 La solución del sistema es simultánea porque los valores satisfacen ambas ecuaciones. V. Comprobación Sustituimos los valores de las variables en la ecuaciónes (3) y (4).

y xyy

99 54

- - - - - - - - - (3)

y xyyy

2 62 5 610 64

( )

- - - - - - - - - (4)

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

x´ x

y

y´

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P(5,4)

2x=y+6

2x+2y=18

63

Al obtener el mismo resultado en ambas ecuaciones, se comprueba que los valores para “x” y “y” son correctos. Problema Al comprar cuatro caramelos y siete lápices pagué $29.00. Más tarde compre dos caramelos y cinco lápices y pagué $19.00, ¿cuál es el costo de los caramelos y los lápices? Datos

LENGUAJE COMÚN

LENGUAJE ALGEBRAICO

Costo de un caramelo

x

Costo de un lápiz

y

Costo de cuatro caramelos más siete lápices es de $29.00

4 7 29x y

Costo de dos caramelos y cinco lápices es de $19.00

2 5 19x y

Sistema de ecuaciones 4 7 292 5 19

x yx y

Procedimiento I. Despejamos “y” en las dos ecuaciones del sistema 4 7 297 29 4

29 47

x yy x

y x

2 5 195 19 2

19 25

x yy x

y x

II. Tabulamos los valores: para lo cual le asignamos valores a “x”

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (4)

64

x

y x

29 47

y P(x,y)

0 1 2 3 4 5 6 7

y

y

y

y

y

y

y

y

29 4 07

29 4 17

29 4 27

29 4 37

29 4 47

29 4 57

29 4 67

29 4 77

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

297

257

3

177

137

97

57

17

0 297

,

1 257

,

2 3,

3 177

,

4 137

,

5 97

,

6 57

,

7 17

,

III. Graficamos los valores

x y x

19 25

y P(x,y)

0 1 2 3 4 5 6 7

y

y

y

y

y

y

y

y

19 2 05

19 2 15

19 2 25

19 2 35

19 2 45

19 2 55

19 2 65

19 2 75

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

195

175

3

135

115

95

75

1

0 195

,

1 175

,

2 3,

3 135

,

4 115

,

5 95

,

6 75

,

71,

65

Gráfica 13 IV. Interpretación El punto de intersección en la gráfica, es la solución del sistema de ecuaciones, por lo tanto: Costo de un caramelo = x $2.00 Costo de un lápiz = y $3.00 V. Comprobación Sustituimos los valores en las ecuaciones (3) y (4): Al obtener el mismo resultado en ambas ecuaciones, concluimos que los valores son correctos.

y x

y

y

y

y

29 47

29 4 27

29 87

217

3

( )

y x

y

y

y

y

19 25

19 2 25

19 45

155

3

( )

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (4)

66

A partir de estos problemas, podemos observar que existe un punto en común para ambas rectas (puntos de intersección), que determina los valores de “x”; “y”, el cual es la solución del problema. Así, cuando las dos rectas se intersectan en un punto, el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se clasifican como solución única. El resultado de un sistema de ecuaciones es la solución simultánea y en la gráfica es el punto de intersección. Analicemos el siguiente problema: Problema Se desea saber cuáles son los números que sumados dan 15 y su diferencia es 3. Datos

LENGUAJE COMÚN

LENGUAJE ALGEBRAICO

Cuales son los números

x y,

Que sumados dan 15

x y 15

Y su diferencia es 3

x y 3 Sistema de ecuaciones x yx y

153

Procedimiento I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones y xy x

153

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (4)

67

II. Tabulamos los valores: para lo cual le asignamos valores a “x”

x y =15 - x y P(x, y) x y =x - 3 y P(x, y) 0

2

4

6

yyyy

15 015 215 415 6

1513119

( , )( , )( , )( , )

0152134116 9

0

2

4

6

yyyy

0 32 34 36 3

3

1

1

3

( , )( , )( , )( , )

0 32 14 16 3

III. Graficamos los valores Gráfica 14

0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

-2

-3

x´ x

y

y´

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P(9,6)

x-y=3

x+y=15

68

IV. Interpretación: El punto donde se intersectan ambas rectas, corresponde a los valores para “x” y “y” que satisfacen ambas ecuaciones , es decir, a la solución del problema por lo que podemos decir que los números son: x = 9 y = 6 V. Comprobación Substituimos las literales por los valores encontrados en las ecuaciones (3) y (4) Al observar que en la gráfica se intersectan las dos rectas de las ecuaciones lineales, decimos que es un sistema con solución única. Ahora bien, existen casos donde las rectas de las ecuaciones lineales coinciden sobre el mismo plano, cuando esto sucede, decimos que dichas ecuaciones son equivalentes; veamos esto en el siguiente sistema de ecuaciones: Sistema de ecuaciones 2 6 04 12 2

x yx y

Procedimiento I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones 2 6 02 6

6 22 6

x yx yy x

y x

4 12 24 12

22 6

x yx y

y x

y xyy

1515 96

- - - - - - - - - (3)

y xyy

39 36

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (4)

69

Observa que al despejar “y” las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes ó iguales II. Tabulamos los valores

x y = 2x - 6 y P(x,y) 2 4 6 8

y = 2(2) - 6 y = 2(2) - 6 y = 2(2) - 6 y = 2(2) - 6

-2 2 6 10

(2, -2) (4, 2) (6, 6) (8, 10)

III. Graficamos los valores Gráfica 15 IV. Interpretación Debido a que las ecuaciones del sistema son equivalentes, ambas corresponden a la misma recta, por lo que se dice que el sistema tiene múltiples soluciones. También existen sistemas en los que no se llaga a la solución. Esto se presenta cuando las rectas de las ecuaciones lineales son paralelas entre sí (no se intersectan en ningún punto).

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1 2 3 4 5

0

y´

x x´

y

2x-y-6=0 4x-12=2y

70

Veamos esto en el siguiente sistema de ecuaciones: Sistema de ecuaciones y xx y

2 42 1

Procedimiento I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones y xy x

2 42 1

II. Tabulamos los valores : para lo cual le asignamos valores a ““x””

x

y = 2x + 4

y

(x, y)

3

2

1

0

1

2

3

yyyyyyy

2 3 42 2 42 1 42 0 42 1 42 2 42 3 4

( )( )( )( )( )( )( )

20246810

( , )( ,( , )( , )( , )( , )( , )

3 221 2

0 41 62 83 10

0)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

x

y = 2x - 1

y

(x, y)

3

2

1

0

1

2

3

yyyyyyy

2 3 12 2 12 1 12 0 12 1 12 2 12 3 1

( )( )( )( )( )( )( )

7

5

3

1

1

3

5

( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )

3 72 51 3

0 1112 33 5

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (4)

71

III. Graficamos los valores Gráfica 16 IV. Interpretación Debido a que las rectas de las ecuaciones del sistema son paralelas entre sí, se dice que el sistema no tiene solución, por lo cuál es incompatible o inconsistente. Problema En un salón de clases con 48 alumnos, a cada uno de ellos se les pidió una cuota: $20.00 por varón y $30.00 por mujer, recaudándose $1,140.00 . ¿Cuántas alumnas y cuántos alumnos hay en el grupo?

LENGUAJE COMÚN

LENGUAJE ALGEBRAICO

Número de alumnos

x

Número de alumnas

y

Total de alumnos

x y 48

Cuota por alumno

20 30 1140x y

5 4 3 2 1

y´

x x´

y

1 2 3 4 5 -2 - 1 - 1

y=2x+4

2x-y=1

0

72

Sistema de ecuaciones x y

x y

4820 30 1140

Procedimiento I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones y x

y x

48

38 23

II. Tabulamos los valores : para lo cual le asignamos valores a “x”

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (4)

x

y = 48 - x

y

P(x, y)

10203040

yyyy

48 1048 2048 3048 40

3828188

( , )( , )( , )( , )

10 3820 2830 1840 8

Nota: los datos se redondearon

x y x 38 - 2

3

y

P(x, y)

10

20

30

40

y 38 10 - 23

( )

y 38 20 - 23

( )

y 38 30 - 23

( )

y 38 40 - 23

( )

31

25

18

11

(10,31)

(20,25)

(30,18)

(40,11)

73

III. Graficamos: Gráfica 17 IV. Interpretación En este caso se trata de un sistema de ecuaciones lineales de solución única, y obtenemos que: Número de hombres = 30 Número de mujeres = 18

0 30

18

y´

x x´

y

20x+30y=1140

x+y=48

74

Soluciona los siguientes problemas por el método gráfico identificando el tipo de sistema del que se trate. El cuádruplo de un número excede en seis al triple del otro; mientras que el óctuplo del primero es 22 unidades menos que el séptuplo del segundo. Determina ambos enteros.

x = _________ y = _________ sistema: _______________ 1. Guillermo invirtió parte de su dinero al 22% y el resto al 15%. El ingreso por ambas

inversiones fue de $3,000.00; si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera sido de $2,940.00. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión? x = _________ y = _________ sistema: _______________

2. Un hombre rema ocho millas en un río contra corriente durante dos horas y de

regreso hace una hora. Encuentra las velocidades de la corriente y del hombre remando en aguas tranquilas.

x = _________ y = _________ sistema: _______________

3. Si a una solución de ácido al 20%, se agrega otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones de ácido se tienen de cada solución?

x = _________ y = _________ sistema: _______________


75

NOTA: Como puedes observar el procedimiento para resolver un problema donde interviene un sistema de ecuaciones, aplicando el método gráfico es: Identificar los elementos del problema distinguiendo los datos conocidos y las

incógnitas a conocer y traducir el problema del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

Establecer el sistema de ecuaciones. Despejar “y” en ambas ecuaciones. Realizar la tabulación asignándole valores a “x” para obtener los valores de “y”. Graficar los datos y localizar los puntos de la intersección para definir los valores de

“x” y “y”. Comprobar el resultado. Las gráficas que representan un sistema de ecuaciones se pueden clasificar en: Sistema con solución única; cuando la interpretación gráfica de las dos ecuaciones

corresponden a dos rectas que se intersectan, en un determinado punto. Sistema con múltiples soluciones; cuando la interpretación gráfica de las dos

ecuaciones corresponden a una misma recta. Sistema sin solución; cuando la interpretación gráfica de las dos ecuaciones

corresponden a dos rectas paralelas entre sí. En el último caso también se dice que el sistema es incompatible o inconsistente. 2.1.3 MÉTODO ANALÍTICO Hasta aquí has aplicado el método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas; sin embargo, en algunos casos, éste no es exacto, ya que se deben estimar las coordenadas de un punto sobre la gráfica. En este tema analizaremos otros métodos que son más exactos: los analíticos; que son por eliminación o por determinantes.

76

Los métodos por eliminación consisten, como su nombre lo indica, en eliminar una de las variables, obteniendo una ecuación con una incógnita, tomando como base el sistema original, y se pueden resolver por suma o resta; por sustitución y por igualación. El método por determinantes se forma por los coeficientes de las variables correspondientes a cada ecuación. a) Método de Eliminación por Suma o Resta. En este método se elimina una de las variables sumando o restando las ecuaciones del sistema, para lo cuál es necesario que el coeficiente de la variable que se eliminará sea igual en ambas ecuaciones. Ejemplos: Analiza los siguientes sistemas de ecuaciones: Sistema de ecuaciones 3 74 5 2

x yx y

Procedimiento I. Ordenamos las ecuaciones para que los términos semejantes queden en la misma

columna. 3 73 7

x yx y

II. Multiplicamos una de las ecuaciones para que el coeficiente de una de las variables

sea igual en ambas ecuaciones. 5 3 715 5 35

( )x yx y

III. Eliminamos la incógnita cuyos coeficientes son iguales, por medio de una resta. _ IV. Resolver la ecuación que resulta, para encontrar el valor de “x” .

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (3)

15 5 354 5 2

11

x yx y

x

= 33

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (2)

77

11 33

33113

x

x

x

V. Sustituimos el valor de “x” en una de las ecuaciones iniciales para encontrar el valor de “y” . 3 73 3 79 72

x yy

yy

( )

VI. Comprobamos los valores encontrados para “x” y “y”, sustituyéndolos en las ecuaciones (1) y (2). 3 73 3 7 29 7 22 2

x y

( )

4 5 24 3 5 2 212 10 22 2

x y

( ) ( )


x yy x

Procedimiento I. Ordenamos las ecuaciones 13 4 575 2 29

x yx y

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

78

II. Multiplicamos la ecuación (2) por 2 para que el coeficiente de “y” sea igual en ambas ecuaciones.

2 5 2 2910 4 58

( )x yx y

III. Sumamos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar la variable “y”. 13 4 5710 4 58

23

x yx y

x

= 115

IV. Resolvemos la ecuación (4) para obtener el valor de “x” . 23 115

11523

5

x

x

x

V. Sustituimos “x” en la ecuación (1) ó (2) para obtener el valor de “y”. 2 29 52 29 5 52 29 252 4

422

y xyyy

y

y

( )

VI. Comprobamos los valores encontrados para “x” y “y”, sustituyéndolos en las ecuaciones (1) y (2). 13 57 413 5 57 4 265 57 865 65

x y

( ) ( )

2 29 52 2 29 5 54 29 254 4

y x

( ) ( )

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (2)

79

Sistema de ecuaciones 12

14

5

12

34

3

x y

x y

Procedimiento Observa que en este sistema, los términos semejantes están ordenados y que el coeficiente de “x” es igual en ambas ecuaciones. Por lo tanto: Restamos la ecuación (1) y (2) para eliminar la variable “x” y encontrar el valor de “y”.

12

14

5

12

34

3

x y

x y

Sustituimos “y” en la ecuación (2) para obtener el valor de “x”. 12

34

3

12

34

8 3

12

244

3

12

6 3

12

3 6

3 26

x y

x

x

x

x

xx

( )

( )

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

_

y 8

- - - - - - - - - (2)

80

Comprobemos los valores encontrados para “x” y “y”. 12

14

5

12

6 14

8 5

x y

( ) ( )

62

84

5

3 2 55 5

12

34

3

12

6 34

8 3

62

244

3

3 6 33 3

x y

( ) ( )

b) Método de Eliminación por Sustitución Este método consiste en despejar a una de las variables en una ecuación y posteriormente sustituir la variable despejada en la segunda ecuación; de esta manera se obtiene una ecuación con una incógnita y se resuelve. Ejemplos: Analiza este procedimiento en los siguientes sistemas. Sistema de Ecuaciones 4 2 102 3

x yx y

I. Despejar “y” de ecuación (2) y x 3 2

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (1)

81

II. Sustituir “y” en la ecuación (1) para obtener el valor de “x” 4 2 104 2 3 2 104 6 4 108 10 6

1682

x yx xx xx

x

x

( )

III. Sustituir “x” en la ecuación (3) para obtener el valor de “y”. y xyyy

3 23 2 23 4

1

( )

IV. Comprobación: Sustituir los valores de “x” y “y” en las ecuaciones (1) y (2) 4 2 104 2 2 1 10

8 2 1010 10

x y

( ) ( )

2 32 2 1 3

4 1 33 3

x y

( )


x yx y

I. Despejar “x” en la ecuación (1) 2 5 12 1 5

1 52

x yx y

x y

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

82

II. Sustituir “x” en la ecuación (2) para obtener el valor de “y”. 3 2 8

3 1 52

2 8

3 152

2 8

2 3 152

2 8

3 15 4 1619 16 3

x yy y

y y

y y

y yy

( )

( )

y

y

19191

III. Sustituir “y” en la ecuación (3) para obtener el valor de “x”.

x

x

x

x

1 5 12

1 52

422

( )

IV. Comprobación: Sustituir los valores de “x” y “y” en las ecuaciones (1) y (2). 2 5 12 2 5 1 14 5 1

1 1

x y

( ) ( )

3 2 83 2 2 1 86 2 88 8

x y

( ) ( )

- - - - - - - - - (1)

83

Sistema de ecuaciones x yx y

3 52 3

I. Despejar “x” en la ecuación (1) x yx y

3 55 3

II. Sustituir “x” en la ecuación (2) para obtener el valor de “y” 2 32 5 3 3

10 6 3

x yy y

y y

( )

7 3 10771

y

y

y

III. Sustituir “y” en la ecuación (3) para obtener el valor de “x” x yxxx

5 35 3 15 32

( )

IV. Comprobación: Sustituir los valores de “x” y “y” en las ecuaciones (1) y (2) x y

3 52 3 1 52 3 55 5

( )

2 32 2 1 3

4 1 33 3

x y

( ) ( )

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (2)

84

c) Método de Eliminación por igualación En este método, se elimina una variable al despejarla en las dos ecuaciones del sistema, se igualan para obtener el valor de la otra variable; el resultado se sustituye en una de las ecuaciones despejadas y se resuelve para obtener el valor de la primer variable. Ejemplos: Analiza este procedimiento con los siguientes sistemas: Sistema de ecuaciones 3 2 53 4 1

x yx y

I. Despejar “x” en las ecuaciones (1) y (2) 3 2 53 5 2

5 23

3 4 13 1 4

1 43

x yx y

x y

x yx y

x y

II. Se igualan las ecuaciones (3) y (4) para obtener el valor de “y” 5 2

31 4

35 2 1 4

2 4 1 56 6

66

1

y y

y yy yy

y

y

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (5)

85

III. Se sustituye el valor de “y” en la ecuación (3) ó (4) para obtener el valor de “x”

x y

x

x

x

x

5 23

5 2 13

5 23

331

( )

IV. Comprobación: Se sustituye “x” y “y” por los valores obtenidos en las ecuaciones (1) y (2) 3 2 53 1 2 1 53 2 55 5

x y

( ) ( )

3 4 13 1 4 1 13 4 1

1 1

x y

( ) ( )

Sistema de ecuaciones x yx y

3 22

I. Despejar “x” en las ecuaciones (1) y (2). x yx yx yx y

3 22 3

22

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (4)

86

II. Se igualan las ecuaciones (3) y (4) para obtener el valor de “y”.

2 3 23 2 24 4

441

y yy yy

y

y

III. Se sustituye el valor de “y” en la ecuación (3) ó (4) para obtener el valor de “x” . x yxxx

22 12 11

( )

IV. Comprobación: Se sustituye “x” y “y” por los valores obtenidos en las ecuaciones (1) y (2). x y

3 21 3 1 21 3 2

2 2

( )

x y

21 1 21 1 22 2

( )

Sistema de ecuaciones m pm p

102 3 5

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (5)

87

I. Se despeja m en ambas ecuaciones. m pm pm pm p

m p

1010

2 3 52 5 3

5 32

II. Se igualan las ecuaciones (3) y (4) para obtener el valor de p.

10 5 32

20 2 5 32 3 5 205 15

1553

p p

p pp pp

p

p

III. Se sustituye p en la ecuación (3) o (4) para obtener el valor de m. m pmmm

1010 310 37

( )

IV. Comprobación: Se sustituyen los valores de m y p en las ecuaciones (1) y (2). m p

107 3 107 3 10

( )

2 3 52 7 3 3 514 9 55 5

m p

( ) ( )

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (5)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

88

d) Método por determinantes Para comprender el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones por éste método, debemos partir de la ecuación lineal general: ax by c+ = Si un sistema se forma por dos ecuaciones lineales, para distinguirlas debemos utilizar subíndices en los coeficientes o en las constantes, así tenemos que:

a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

Utilizaremos el método de suma y resta para solucionar este sistema y llegar al de determinantes. Primero, despejemos la variable “x” , para lo cual multiplicaremos ambas ecuaciones por un valor que haga que los coeficientes de “y” sea el mismo. En este caso multiplicaremos la ecuación (1) por b2 y la ecuación (2) por b1. A través de una resta eliminaremos la variable “y”. Segundo despejamos la variable “x” , para ello debemos factorizar el primer miembro de la ecuación por factor común:

x a b a b b c b c( )1 2 2 1 2 1 1 2 Es importante aclarar que para que el sistema tenga solución es necesario que:

a b a b1 2 2 1 0

Si es así entonces obtenemos que:

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

a x b y c1 1 1

b2

a b x b b y b c1 2 1 2 2 1

- - - - - - - - - (1)

a x b y c2 2 2

b1

a b x b b y b c2 1 1 2 1 2

- - - - - - - - - (2)

a b x b b y b c1 2 1 2 2 1

a b x b b y b c2 1 1 2 1 2 _

a b x a b x b c b c1 2 2 1 2 1 1 2

89

xb c b ca b a b

2 1 1 2

1 2 2 1

Tercero, para despejar “y” seguimos el mismo procedimiento, que se realizó con “x” multiplicando la ecuación (1) por el coeficiente de “x” de la ecuación (2)*1 y la ecuación (2) por el coeficiente de “x” de la ecuación (1), en este caso -a 2 ; a1 respectivamente: SUMAMOS FACTORIZAMOS

y a b a b a c a c( )1 2 2 1 1 2 2 1 DESPEJAMOS

ya c a ca b a b

1 2 2 1

1 2 2 1

Así obtenemos los valores para “x” y “y” : Como te darás cuenta, para obtener los valores de las variables “x” y “y” éste procedimiento es largo por lo que es conviene aplicar el determinante. Como vamos a obtener el valor de dos variables, el determinate será de dos por dos.

* Si bien el coeficiente de x es positivo, lo consideraremos como negativo para eliminar la variable x por suma

a x b y c1 1 1

a2

a a x a b y a c1 2 2 1 2 1

- - - - - - - - - (1)

a x b y c2 2 2

a1

a a x a b y a c1 2 1 2 1 2

- - - - - - - - - (2)

a a x a b y a c1 2 2 1 2 1

a a x a b y a c1 2 1 2 1 2 +

a b y a b y a c a c2 1 1 2 2 1 1 2

xb c b ca b a b

1 2 2 1

1 2 2 1 y

a c a ca b a b

1 2 2 1

1 2 2 1

90

El determinante se forma por los valores que obtuvimos en el procedimiento anterior. Observa que el denominador de ambas variables es igual, por lo que se dice que es el determinante del sistema; así encontramos que:

denominador = a b a ba b

a b1 2 2 1

1 1

2 2

Entonces el determinante se forma colocando en la primer columna los coeficientes de “x” y en la segunda los de “y” y se resuelve: a ba b a b a b1 1

2 21 2 2 1= -

Entonces para encontrar el valor de “x” tenemos el determinante:

x

c bc ba ba b

1 1

2 2

1 1

2 2

Ahora bien para obtener el determinante de “y” consideramos su numerador:

Numerador = a c a ca ca c1 2 2 1

1 1

2 2

El cual se forma colocando en la primer columna los coeficientes de “x” y en la segunda los términos independientes, y se resuelve: a ca c a c a c1 1

2 21 2 2 1= -

Así para encontrar el valor de “y” tenemos el cociente de los determinantes:

y

a ca ca ba b

1 1

2 2

1 1

2 2

Ejemplos: Una vez establecido el procedimiento para construir los determinantes de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, los aplicaremos en los siguientes problemas:

91

Problema EL perímetro de un rectángulo es de 18 cm. El doble de largo, excede al ancho 6 cm ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Este problema lo resolvimos por el método gráfico y encontramos que el sistema de ecuaciones es: 2 182 6( )x yx y

Realizamos la multiplicación en (1) y pasamos a “y” en el primer miembro en (2) para obtener un par de ecuaciones de la forma ax by c+ = . 2 182 2 18( )x yx y

2 62 6

x yx y

Aplicamos el determinante para “x” y “y” con las ecuaciones:

2 2 182 6

x yx y

x

c bc ba ba b

1 1

2 2

1 1

2 2

18 26 12 22 1

18 122 4

x

x

18 122 4

306

5

y

a ca ca ba b

1 1

2 2

1 1

2 2

2 182 62 22 1

12 362 4

12 362 4

246

4

Entonces obtenemos que: x

y

5

4

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (2)

92

Los cuales son los mismos valores que obtuvimos por el método gráfico. Problema Una balsa navega en un río una distancia de 15 km. en 1.5 hrs siguiendo el curso de la corriente, y en contra de la corriente recorre 12 km. en 2 hrs. ¿Cuál será la velocidad de la balsa en contra de la corriente y cuál al seguir su curso? Datos Distancia siguiendo el curso Tiempo siguiendo el curso Distancia en contra del curso Tiempo en contra del curso

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO Velocidad de la balsa

x

Velocidad de la corriente

y

Velocidad siguiendo la corriente

x y

Velocidad contra la corriente

x y

La velocidad es igual a la distancia sobre el tiempo v

d

f

Por lo que la velocidad siguiendo el curso es igual a la distancia que recorrió sobre el tiempo que ocupó

x ykm

hrs

15

15.

Y la velocidad en contra del curso es igual a la distancia que recorrió sobre el tiempo que ocupó

x ykm

hrs

12

2

Sistema de ecuaciones

x y

x y

1515122

.

Realizamos las operaciones en ambas ecuaciones.

=15 km =1.5 hrs =12 km = 2 hrs.

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

93

x yx y

106

Aplicamos el determinante para “x” y “y”.

x

c bc ba ba b

1 1

2 2

1 1

2 2

10 16 11 11 1

10 61 1

162

8( )( )

y

a ca ca ba b

1 1

2 2

1 1

2 2

1 101 61 11 1

6 101 1

42

2( )( )

Comprobamos los valores: x y

108 2 1010 10

Por lo tanto: Velocidad de balsa = 8 km/h Velocidad de la corriente = 2 km/h Velocidad siguiendo la corriente = 10 km/h Velocidad contra la corriente = 6 km/h Ahora analiza los siguientes ejemplos: Sistema de ecuaciones 5 9 78 10 2x yx y

x y

68 2 66 6

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

94

Solución

x

7 92 105 98 10

70 1850 72

70 1850 72

8822

4( )( )

y

5 78 2

5 98 10

10 5650 72

10 5650 72

6622

3( )( )

Comprobación: 5 9 75 4 9 3 7

20 27 77 7

x y

( ) ( )

Sistema de ecuaciones x y y

x y x

3 623

22 9 2 8( )

Procedimiento Se realizan las operaciones necesarias para que las dos ecuaciones queden de la siguiente forma: ax by c . x y y

x y y

x y y

x y yx y

3 623

63 6

23

6 63

66

123

2 2 42 4

( )

22 9 2 822 9 18 84 9 8

x y xx y x

x y

( )

8 10 28 4 10 3 2

32 30 22 2

x y( ) ( )

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (4)

95

Solución Con las ecuaciones (3) y (4) aplicamos los determinantes para “x” y “y”. 2 44 9 8

x yx y

x

4 18 92 14 9

36 818 4

4422

2( )( )

y

2 44 82 14 9

16 1622

022

0( )

Comprobación: 2 42 2 0 44 0 44 4

x y

( )

Hasta aquí hemos analizado el procedimiento para solucionar un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Ahora revisaremos la solución de problemas que dan lugar a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas; para lo cual aplicaremos el método de determinantes. La ecuación lineal general con tres incógnitas es de la forma:

ax by cz d

Como el sistema se forma por tres ecuaciones lineales debemos utilizar subíndices en los coeficientes y en la constante para distinguirlas: a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 9 84 2 9 0 88 0 88 8

x y

( ) ( )

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2)

96

Ahora formamos el determinante del sistema con los coeficientes de las incógnitas:

denominador = a b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Para desarrollarlo, repetimos abajo de la tercera fila, las dos primeras y se resuelve: a b ca b ca b ca b ca b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

Obtenemos el determinante para “x” sustituyendo los valores “a” por los valores de “d” d b c

d b c

d b c

d b c

d b c

d b c d b c d b c d b c d b c d b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

Obtenemos el determinante para la “y” sustituyendo los valores de “b” por los de “d” a d c

a d c

a d c

a d c

a d c

a d c a d c a d c a d c a d c a d c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

97

Obtenemos el determinante para “z” sustituyendo los valores “c” por los valores “d” a b da b da b da b da b d

a b d a b d a b d a b d a b d a b d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

Entonces obtenemos que para encontrar los valores de “x”, “y” y “z” tenemos los determinantes:

x

d b cd b cd b cd b cd b ca b ca b ca b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

Observa que el denominador de las tres variables es el mismo y que en el numerador la constante sustituye al coeficiente de la incógnita que se está buscando. Otro aspecto que es importante puntualizar, es que en la resolución de los determinantes los productos que van “hacia abajo” son positivos y los que van “hacia arriba” son negativos. Ejemplos: Ahora apliquemos estos determinantes en los siguientes problemas: Problema La suma de tres términos es 160; la cuarta parte de la suma del mayor y el mediano equivale al menor menos 20. Si la mitad de la diferencia del mayor menos el menor se le suma el número de en medio se obtiene 57. ¿Cuáles son cada uno de los números?

y

a d ca d ca d ca d ca d ca b ca b ca b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

z

a b da b da b da b da b da b ca b ca b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

98

Datos

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO La suma de tres números es 160

x y z+ + = 160

Número menor

x

Número mediano

y

Número mayor

z

La cuarta parte de la suma del mayor y mediano equivale al menor menos 20

z yx

+= -

420

La mitad de la diferencia del mayor menos el menor se le suma el número mediano se obtiene 57

z xy

-+ =

257

Sistema de ecuaciones x y zz y x

z x y

160

420

257

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (3)

99

Procedimiento Se hacen las operaciones necesarias para obtener ecuaciones de la forma ax by cz d z y x

z y x

z y x

z y xx z y

z x y

z x y

z x y

z x yx y z

420

44

20

4 44

4 80

4 804 80

257

22

57

2 22

2 114

2 1142 114

( )

( )

Entonces el sistema a resolver es: x y z

x y zx y z

1604 80

2 114

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (4) - - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (5)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (4) - - - - - - - - - (5)

100

Aplicamos los determinantes para “x”, “y” y “z”:

x

x

x

x

x

160 1 180 1 1

114 2 1160 1 1

80 1 11 1 14 1 11 2 1

1 1 14 1 1

160 160 114 114 320 801 8 1 1 2 4

160 160 114 114 320 801 8 1 1 2 4

320 807 2 42409 42405

48

x

y

1 160 14 80 11 114 1

1 160 14 80 1

580 456 160 80 114 640

5

y

y

y

y

y

80 456 160 80 114 6405

536 240 5265

776 5265

2505

50

101

z

z

z

z

z

1 1 1604 1 801 2 114

1 1 1604 1 80

5114 1280 80 160 160 456

5114 1280 80 160 160 456

51166 856

53105

62

Entonces obtenemos que: El número menor = x 48 El número medio = y 50 El número mayor = z 62 Comprobación x y z

16048 50 62 160160 160

z y x

420

62 504

48 20

28 28

z x y

257

62 482

50 57

7 50 5757 57

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

102

Problema La suma de las tres cifras de un número es 16. La suma de las cifras de las centenas y la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades, y si al número se le resta 99, las cifras se invierten. Hallar el número.

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO Cifra de las centenas

x

Cifra de las decenas

y

Cifra de las unidades

z

La suma de las tres cifras es 16

x y z 16

La suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades

x y z 3

Si al número se le resta 99 las cifras se invierten

100 10 99 100 10x y z z y x

Sistema de ecuaciones x y zx y z

x y z z y x

163

100 10 99 100 10

Procedimiento Ordenamos los datos x y zx y z

33 0

100 10 99 100 10100 10 10 100 9999 99 99

x y z z y xx x y y z z

x z

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (4)

- - - - - - - - - (3) - - - - - - - - - (5)

103

Trabajaremos con el sistema de ecuaciones: x y zx y z

x z

163 0

99 99 99

x

x

x

x

x

16 1 10 1 399 0 9916 1 10 1 31 1 11 1 3

99 0 991 1 11 1 3

1584 0 297 99 0 099 0 297 99 0 99

1584 0 297 99 0 099 0 297 99 0 991584 297 99

99 297 99 991980396

5

( ) ( )( ) ( )

)

y

y

y

y

y

1 16 11 0 3

99 99 991 16 11 0 3

3960 99 4752 0 297 1584

39699 4752 297 1584

3964653 1881

3962772396

7

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (4) - - - - - - - - - (5)

104

z

z

z

z

1 1 161 1 0

99 0 991 1 161 1 0

39699 0 0 1584 0 99

39699 1584 99

3961584396

4

.

Entonces obtenemos que: Cifra de las centenas = x 5 Cifra de las decenas = y 7 Cifra de las unidades = z 4 Comprobación x y z

165 7 4 16

16 16

100 10 99 100 10100 5 10 7 4 99 100 4 10 7 5

500 70 4 99 400 70 5475 475

x y z z y x

( ) ( ) ( ) ( )

Sistema de ecuaciones x y z

x y zx y z

2 33 4

2 6

x y z

35 7 3 4

12 12( )

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (3)

105

Procedimiento Como están ordenadas las tres ecuaciones, aplicamos directamente los determinantes.

x

x

x

x

x

3 2 14 1 16 1 23 2 14 1 11 2 13 1 11 1 21 2 13 1 1

6 4 12 6 3 162 3 2 1 1 12

6 4 12 6 3 162 3 2 1 1 12

16 199 1233

1

y

y

y

y

y

1 3 13 4 11 6 21 3 13 4 1

38 18 3 4 6 18

38 18 3 4 6 18

35 2

3331

106

z

z

z

z

z

1 2 33 1 41 1 61 2 33 1 4

36 9 8 3 4 36

36 9 8 3 4 36

330 36

363

2

Entonces obtenemos que: xyz

11

2

Comprobamos

x + 2y = -31+ 2(-1) - 2 = -3

1- 2 - 2 = -31- 4 = -3

-3 = -3

z

x y z

2 61 1 2 2 6

1 1 4 66 6

( ) ( )

Sistema de ecuaciones x y z

x yx z

2 3 53 3

4 6

3 43 1 1 2 4

3 1 2 42 2 4

4 4

x y z

( ) ( )

- - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

- - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - (3)

107

Observa que a las ecuaciones (2) y (3) les hace falta una variable y por lo tanto consideramos sus coeficientes como cero:

x

x

x

x

5 2 33 1 0

6 0 15 2 33 1 01 2 33 1 04 0 11 2 33 1 0

5 0 0 18 0 61 0 0 12 0 6

5 18 61 12 6

19191

y

y

y

y

y

1 5 33 3 04 6 11 5 33 3 0

193 54 0 36 0 15

193 54 36 15

1951 51

19019

0

108

z

z

z

z

z

1 2 53 1 34 0 61 2 53 1 3

196 0 24 20 0 36

196 24 20 36

1918 56

193819

2

Por lo tanto: xyz

= -1==

02

Comprobación

x + 2y + 3z = 5-1+ 2(0) + 3(2) = 5

-1+ 6 = 55 = 5

4 64 1 2 6

4 2 66 6

x z

3 33 1 0 3

3 3

x y

( ) - - - - - - - - - (1)

- - - - - - - - - (2)

- - - - - - - - - (3)

109

A fin de que ejercites la aplicación de los métodos analíticos, resuelve los problemas y los sistemas de ecuaciones por el método que se indica. Por el método de suma o resta.

1. 2 16

25 5x y

y x

2. x y

x y

2 73 35

3. x yx y

83 48

4. y xx y

27 35

Por el método de sustitución

11. 2 16

25 5x y

y x

12.x y

x y

2 73 4 35

13. x yx y

83 48

14. y xx y

27 35

15. x y

x y

123 1 4


16. 7 225 14a ba b

17.3 5 93 9k pk p

18. 7 423 48a ta t

19.

45

14

11

35

14

18

r s

r s

20. 43

32

0x y

5. x y

x y

123 1 4

6. 7 225 14a ba b

7. 3 5 93 9k pk p

8. 7 423 8a ta t

9.

45

14

11

35

14

18

r s

r s

10. x y

x y

1743

32

0

110

Por el método de igualación

21. 2 16

25 5x y

y x

22. x y

x y

2 73 35

23. x yx y

83 48

24. y xx y

27 35

25. x y

x y

123 1 4

Por el método de determinantes 31. Si a cinco veces el mayor de dos números se le añade siete veces el menor, la suma

es 316, y si a nueve veces el menor se le resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números.

32. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es dos y el residuo

cuatro, y cinco veces el menor se divide entre el mayor, el cociente es dos y el residuo 17. Hallar los números.

33. Si al mayor de dos números se le añade siete veces el menor la suma es 316, y si a

nueve veces el menor se le resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números.

34. Si el mayor de dos números se divide entre el menor, el cociente es dos y el residuo

cuatro, y si cinco veces el menor se divide entre el mayor, el cociente es dos y el residuo 17. Halla los números.

35.

5 31

x yx y

36. 8 9 62 5 4

x yx y

26. 7 225 14a ba b

27. 3 5 93 9k pk p

28. 7 423 8a ta t

29. 4 5 1 4 113 5 1 4 8

/ // /

r sr s

30. x y

x y

1743

32

0

111

37. 5 2

54

233

2 0

x y y

x y x

38. Daniel tiene $575 dólares en billetes de uno, cinco y diez dólares. En total posee 95,

el número de los billetes de un dólar más el número de los billetes de cinco dólares corresponden a cinco unidades más que el doble del número de los billetes de diez dólares. ¿Cuántos billetes de cada tipo tiene Daniel?

39. La suma de tres números da 33, el mayor tiene dos unidades menos que el doble del

menor, el triple del número menor corresponde a una unidad menos que la suma de otros dos números. Encuentra los tres.

112

En este tema, aprendiste a resolver problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones, con dos o tres incógnitas; los métodos que aplicaste son: Para aplicar cualquier método debemos. Identificar los datos conocidos. Identificar los datos desconocidos Traducir el problema del lenguaje común, al lenguaje algebraico. Construir nuestro sistema de ecuaciones simultaneas A partir de aquí, debemos seleccionar el método por el que solucionaremos el sistema y aplicar los pasos correspondientes. Observa la tabla 1

POR SUMA Y RESTA

POR SUSTITUCIÓN

POR IGUALACIÓN

POR DETERMINANTES

i. Ordenar las ecuaciones.

ii. Si es necesario, multiplicar una de las ecuaciones por el coeficiente de una de las variables de la otra ecuación.

iii. Sumar o restar las ecuaciones.

iv. Resolver la ecuación que resulta.

v. Sustituir el valor de la variable en una de las ecuaciones iniciales.

vi. Comprobar los valores encontrados

i. Despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.

ii. Sustituir en la otra ecuación la variable despejada.

iii. Resolver la ecua-ción.

iv. Sustituir el valor de la variable en la ecuación despejada.

v. Comprobar los valores encontrados.

i. Despejar en ambas ecuaciones la misma variable.

ii. Igualar las ecuaciones despejadas y solucionar la igualación.

iii. Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones despejadas.

iv. Comprobar los valores.

i. Si es necesario hacer las operaciones para que las ecuaciones queden de la forma ax by c ó ax by cz d


Tabla 1

MÉTODO ANALÍTICO POR ELIMINACIÓN

POR DETERMINANTES

SUMA O RESTA SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN

113

El esquema que aparece a continuación, incluye los conceptos más importantes que se analizaron en este capítulo y tiene la finalidad de que verifiques la comprensión de cada uno de ellos. por Recuerda que para solucionar un sistema de ecuaciones puedes aplicar cualquiera de estos métodos, y siempre llegarás a los mismos resultados. Señala en el esquema el método que te parezca más sencillo y argumenta tus razones en el siguiente espacio: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

RECAPITULACIÓN

SISTEMA DE ECUACIONES

DOS INCÓGNITAS

TRES INCÓGNITAS

MÉTODO GRÁFICO

Se pueden resolver por

formado por

Se pueden resolver por

PLANO CARTESIANO

MÉTODOS POR ELIMINACIÓN

Utilizando a través de

MÉTODO POR DETERMINANTES

SUMA Ó RESTA SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN

MÉTODO ANALÍTICO

114

Estos ejercicios han sido preparados para que apliques lo aprendido en este capítulo. Debe resolverlos puesto que reafirmarán tu aprendizaje. a) Establece el modelo algebraico y la solución de los siguientes problemas: 1. El costo total de cinco libros de texto y cuatro cuadernos de trabajo es de $648.00; el

costo de otros seis libros de texto iguales y tres cuadernos es de $756.00. ¿Cuál es el costo de cada artículo?

2. En Inglaterra, 12 libras de papas y seis de arroz cuestan 7.32 dólares, mientras que

nueve libras de papas y 13 de arroz cuestan 9.23 dólares. ¿Cuál es el precio por libra de cada producto?

3. Cuando una persona maneja de su casa al trabajo a 60 km/h, llega cuatro minutos

antes de lo normal y cuando lo hace a 40 km/h llega seis minutos después de lo usual. ¿Cuál es la distancia de la casa a su oficina, la velocidad a la que normalmente conduce y el tiempo que tarda en el recorrido?

b) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes.

1. 4 3 12 5 1

x yx y

4.

4 2 72 9

x yx y

2.

4 10 811 9 15

x yx y

5.

42

32

36

53

23

2

x y x y

y x

3. 9 12 43 2 3

x yx y

6.

x y x y

x y x y y

3 8 2 7 2

1 3 3

2 2 2 2

2 2 2 2


115

c) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas por determinantes.

1. x y zx y zx y z

113 13

2 2 7 3.

x y z

x y

x z y

32 3

1

411

2. 3 2 14 28

2 3 43

x yx z

x y z

116

A continuación se proporcionan los resultados que debiste obtener. a) Problemas Libros x

Cuadernos y 5 4 6486 3 756

x yx y

x

648 4756 3

5 46 3

1944 302415 24

10809

= 120

y

5 6486 756

93780 3888

91089

y 12 Por lo tanto, cada libro cuesta $120.00 y cada cuaderno $12.00

2. papas = parroz = a

12 6 7 329 13 9 23

p ap a

.

.

p

aaaaa

7 32 69 23 1312 69 13

9516 55 38156 54

39 78102

0 39

12 0 39 6 7 326 7 32 4 686 2 64

2 64 60 44

.

. . . . .

. .. ... /.

=

CADA LIBRA DE PAPA CUESTA 0.39 DLS. Y CADA LIBRA DE ARROZ 0.44 DLS.

AUTOEVALUACIÓN

117

3. v km h 60 / t t 4 Ecuación (1) d ? v km h 40 / t t km h d t 6 40 6/ / Ecuación (2) Recuerda que la expresión algebraica (fórmula) utilizada para determinar la velocidad es igual a la distancia sobre el tiempo. v d t / d v t t d v / Como el tiempo está dado en minutos y hay que expresarlo en horas se obtiene: -4 minutos = -4/60 horas 6 minutos = 6/60 horas Obtenemos las siguientes ecuaciones:

60460

d

t

40660

d

t

Despejar el tiempo.

t d

t d

t d

t d

460 60

604

60660 40

40660

d t 4 60 Multiplicar por 60 la ecuación (3) para eliminar denominadores. 3 12 120d t Multiplicar por 120 la ecuación (4) d t 60 4 Despejar la ecuación (3)

Ecuación (3)

Ecuación (4)

118

3 60 4 12 120t t Sustituir la ecuación (4)

180 12 12 120t t Efectuar operaciones.

24 120 18024 60

24 602 5

t tt

tt

//

El tiempo normal son 2/5 de hora, que multiplica dos por 60 obtenemos el tiempo expresado en minutos.

2 5 60 24/ t 24 minutos Sustituir el tiempo en la expresión d t 4 60 , o bien 3 12 120d t .

ddd km

60 2 5 424 420

/

3 12 1203 120 12

120 123

120 25

12

348 12

3603

20

20

d td t

d t

d

d km

d km

119

Hasta el momento has encontrado el tiempo usual y distancia que se recorre normalmente, por lo tanto, encontrar la velocidad promedio a la que normalmente se conduce se utiliza la expresión: v d t v km h / ; / / / /20 1 2 5 100 2 50 / . Comprobación Distancia diaria de 20 km. Tiempo usual es de 2/5 h es decir, 24 minutos. Si viaja a 60 km/h, la distancia de 20 km la recorre en: v d t t d v h / ; / / / ;20 60 1 2 es decir, 30 minutos Como se puede observar arriba 4 minutos después de lo usual. b) Soluciones.

1. x

y

1717

2. xy

32

La ecuación 1 la multiplicamos por (-1) para quitar el término negativo (-4x).

3. x

y

65

310

En la ecuación 1 aplicamos el elemento inverso aditivo.

4. x

y

23296

5. Para cada una de las ecuaciones busca su m.c.m. y multiplica ambos miembros de la

ecuación por m.c.m. Establece las operaciones indicadas y reduce términos semejantes, aplicando las propiedades de campo de los números reales

xy

10

120

6. Para la solución se efectúan los productos notables (binomios elevados al cuadrado) en ambas ecuaciones.

El sistema a resolver queda:

2 2 182 3 10

x yx y

y la solución es xy

178

c) 1. 2. 3.

xyz

245

xyz

578

xyz

984

121

Observa detenidamente el esquema que te ayudará a que recuerdes lo que estudiaste en ambos capítulos


ECUACIONES MODELOS GENERALIZADORES

MÉTODO ALGEBRAICO

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DOS INCÓGNITAS

TRES INCÓGNITAS

PROBLEMATIZACIÓN

MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO ANALÍTICO

PLANO CARTESIANO

MÉTODO POR ELIMINACIÓN

MÉTODO POR DETERMINANTES

SUMA O RESTA

SUSTITUCIÓN

IGUALACIÓN

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE SIMBÓLICO

SEPARACIÓN DE LOS DATOS

SIMBOLOGÍA DE LAS INCÓGNITAS

ELABORACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

COMPROBACIÓN

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA

SISTEMA DE ECUACIONES

se pueden resolver por

utilizando

por

se forman por

a través

122

Resuelve los siguientes ejercicios considerando los temas que revisaste en el fascículo y aplicando cada uno de los métodos para su solución 1) Determina la solución de las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones

aplicando el método algebraico. A) x 8 12

B) x5

1 9

C) 12 8 13 0x x D) 3 9 5 6x x E) 2 1 3 1x x F) x x x 2 1 8 3 3 G) 10 6 2 2 x x x

H) 23

1 14

1 13

2 16

x x x x

I) x y

x y

43 0

(por suma o resta)

J)12 14 2012 14 19

x yy x

(por suma y resta)

K) 4 3 88 9 77

y xx y

(por sustitución)

L) x y

x y

813

12

1 (por sustitución)

LL) 6 18 8524 5 5

x yx y

(por igualación)


123

M)

32

11

12

7

x y

x y

(por determinante)

N) 3X + y + z = 1 x + 2y - z = 1 x + y + 2z = -17 (por determinantes) 2) Representa gráficamente las ecuaciones de los incisos A); D); F); I); J); Y LL): 3) Plantea el modelo algebraico y determina la solución de los siguientes problemas A) Durante una venta especial, Araceli vendió 19 capas para dama más que la mitad de las que vendió Jazmín. Si entre ambas vendieron 157 capas ¿cuántas vendieron cada una? B) La base de un triángulo tiene la misma longitud que el lado de un cuadrado. El segundo lado del triángulo es 2 cm más largo que la base y el tercer lado es 6cm más largo que dicha base. Si el perímetro del triángulo es igual al del cuadrado. Hallar la longitud del lado mayor del triángulo C) El largo de un parque de juegos excede en 25 m al doble de su ancho y se necesitan 650 m de malla de alambre para cercarlo. Hallar sus dimensiones. D) La renta y los ahorros del Sr. González hacen un total mensual de $1,000.00. Si ahorrará $50.00 más al mes, sus ahorros serán la mitad de su renta. ¿Cuál es su renta? E) Un equipo de béisbol compró 7 bates y 5 pelotas en $590.00. Después compró 3 bates y 6 pelotas en $330.00 ¿cuál es el precio de cada objeto? F) El promedio de 2 números es 5/48. Un cuarto de su diferencia es 1/96. Hallar los dos números.

124

A continuación se proporcionan los resultados de las actividades de consolidación para que puedas compararlos con las soluciones que obtuviste: 1. A) x = -4 B) x = 50 C) x = -8

D) x 38

E) x = 2 F) x = 3 G) x = 5 H) x = -3 I) x = 2 ; y = 6

J) x =12

; y = -1

K) x = -4 ; y = 5 L) x = 18 ; y = 10

LL) x =56

; y = 5

M) x = 6 ; y = 2 N) x = 5 ; y = -6 ; z = -8

AUTOEVALUACIÓN

125

2. A) y x 4 D) y x 8 3 F) y x 3

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0

0

y

y´

x x´

y

y´

x x´

38

-2 -1

3

2

1

0

y

y´

x´

-3

3 x

126

I) y x1 4

J) y x167

107

y2 y1 1 -1 .

y x2 3

y x275

1912

0

y

y´

x x´

0

y

y´

x x´

6

4

-4 2

y2 y1

P(2,6)

12

1914

53

1912

107

127

LL) y x113

8518

y x2245

1

0

y

y´

x x´

856

524

56

y 2

y1

P( 56

5, )

128

3.

A) Modelo = x x

12

19 157

Araceli vendió 65 capas Jazmín vendió 92 capas

B) Modelo = x x x x ( ) ( )2 6 4

Longitud del lado mayor del triángulo: 14 cm. C) Modelo = 2 2 25 2 650( )x x

Dimensiones: largo 225 m; ancho 100 m.

D) Modelo = x y

y x

1000

502

Renta: $700.00

E) Modelo = 7 5 5903 6 330

x yx y

Bate: $70.00 Pelota: $20.00

F) Modelo =

x y

x y

25

48

41

96

Números: 18

y 112

129

Al aplicar los conocimientos que adquiriste trata de resolver las siguientes situaciones para reafirmar tu aprendizaje sobre este tema. a) Observa y anota como se utilizan las ecuaciones para representar reacciones

químicas. b) Elabora un ejemplo. Recuerda que las ecuaciones tienen muchas aplicaciones para resolver problemas de otras áreas y de tu vida cotidiana.


130

Este apartado te ayudará a que puedas conocer el significado de algunos términos que se utilizaron a lo largo del fascículo. Ecuación: Es un tipo de igualdad que se satisface para ciertos valores. Ecuaciones equivalentes: Dos o más ecuaciones que admiten la misma solución. Ecuación lineal: Es una que representa la expresión de una función lineal. Ecuación numérica: Es la ecuación en cuyos términos no existen más letras que

las correspondientes a las incógnitas. Grado de una ecuación: Es el valor del exponente mayor que aparece en las

incógnitas de la ecuación. Igualdad: Es una expresión algebraica compuesta por dos miembros

separados por el signo “ = “ . Incógnitas: Son las letras que figuran en la ecuación y de cuyo valor

depende que se cumpla con la igualdad.

GLOSARIO

131

A continuación encontrarás algunos títulos de textos que te ayudarán al estudio del fascículo. ALLENDOERFER, C. B. y Oakley, C O.: Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Colombia, McGraw Hill, 1973. ANFOSSI, A.: Álgebra. BALDOR, A.: Álgebra elemental. Ediciones y Distribuciones Códice, España, 1981. BARNETT, Rich.: Álgebra elemental. Mc. Graw-Hill, México, 1969. CABALLERO et al. : Matemáticas. Esfinge, México 1957. CROWHURST: Introducción al Álgebra, Geometría y Trigonometría. Buenos Aires,

Grijalbo, 3a ed., vol. II, 1969. DÍAZ Barriga Gazales, A. J.: Ecuaciones y desigualdades de primer grado. México,

CECSA 1979. DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. México, Publicaciones Cultural, 1967. DROOGAN, I. y Wooton, W.: Elementos del álgebra para bachillerato. México, Limusa,

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DIRECTORIO

Dr. Roberto Castañón Romo Director General

Mtro. Luis Miguel Samperio Sánchez

Secretario Académico

Lic. Filiberto Aguayo Chuc Coordinador Sectorial Norte

Lic. Rafael Torres Jiménez

Coordinador Sectorial Centro

Biol. Elideé Echeverría Valencia Coordinadora Sectorial Sur

Dr. Héctor Robledo Galván

Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto

Lic.José Noel Pablo Tenorio Director de Asuntos Jurídicos

Mtro. Jorge González Isassi Director de Servicios Académicos

C.P. Juan Antonio Rosas Mejía Director de Programación

Lic. Miguel Ángel Báez López Director de Planeación Académica

M.A. Roberto Paz Neri Director Administrativo

Lic. Manuel Tello Acosta Director de Recursos Financieros

Lic. Pablo Salcedo Castro

Unidad de Producción Editorial

AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN DE:

Leonel Bello Cuevas Javier Dario Cruz Ortiz

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