matematyka dyskretna - relacje

5HODFMH �� 0DWHPDW\ND'\VNUHWQD

55((//$$&&--((

5HODFMD Z\UD*D ]ZL�]HN ]DFKRG]�F\ SRPLG]\ ]DGDQ\PL RELHNWDPL

a > b, a ≥ b, a = b, A ⊆ B, a | bOdcinki a, b, c WZRU]� WUyMN�W�

Dowolny podzbiór R ⊆ A1 × ... × An nazywamy n-argumenWRZ�

rr eellaaccjj �� na zbiorze A1 × ... × An.Dowolny podzbiór R ⊆ An nazywamy n-argumenWRZ� rr eellaaccjj �� wzbiorze A.Gdy n � PyZLP\� *H UHODFMD MHVW ELQDUQD�

Zamiast (a, b) ∈ REG]LHP\ F]DVHP SLVDü aRb.

5HODFM ELQDUQ� Z ]ELRU]H VNR�F]RQ\P PR*HP\ SU]HGVWDZLDü ]D

SRPRF� JUDIX OXE ]D SRPRF� PDFLHU]\ ELQDUQHM�

A = {1, 2, 3, 4}aRb :⇔ ((a + b) mod 4 ≥ 2) ∧ (a > b)

a \ b 1 2 3 41 0 0 0 02 1 0 0 03 0 0 0 04 0 1 1 0

2

3 4


Relacja binarna R ⊆ A2 jest:(1) zzwwrr oottnnaa wtwg ∀a ∈ A (aRa)(2) ssyymmeettrr yycczznnaa wtwg ∀a, b ∈ A (aRb → bRa)(3) pprr zzeecchhooddnniiaa wtwg ∀a, b, c ∈ A (aRb ∧ bRc → aRc)(4) pprr zzeecciiwwzzwwrr oottnnaa wtwg ∀a ∈ A (~ aRa)(5) aannttyyssyymmeett rr yycczznnaa wtwg ∀a, b ∈ A ((aRb ∧ bRa) → a = b)

Dla relacji binarnej R w zbiorze A UHODFM�

R← = {(a, b) ∈ A2 : (b, a) ∈ R}QD]\ZDP\ UHODFM� ooddwwrr oottnn�� do relacji R.5HODFM R = ∅ nazywamy ppuusstt��.5HODFM R = A2 nazywamy ppeeáánn��.

5HODFM ELQDUQ� R w zbiorze A, która jest zwrotna, symetryczna iSU]HFKRGQLD QD]\ZDP\QD]\ZDP\ UHODFM� ttyyppuu rr óówwnnoowwaa**nnoo��ccii.

5HODFMDPL W\SX UyZQRZD*QR�FL V� QS�� Z N, ⇔ w zbiorzewszystkich schematów logicznych.

'OD GRZROQHM UHODFML W\SX UyZQRZD*QR�FL R w zbiorze A i dowolnegoa ∈ A zbiór [a]R = {b ∈ A : aRb} nazywamy kkllaass�� aabbssttrr aakkccjj iielementu a Z]JOGHP UHODFML R.

Przyjmijmy [A]R = {B ⊆ A : ∃a∈A (B = [a]R)}


PPooddzziiaaááeemm zbioru A QD]\ZDP\ GRZROQ� URG]LQ B VSHáQLDM�F�

QDVWSXM�FH ZDUXQNL�

(1) ∀B∈B (B ≠ ∅)(2) ∀B,C∈B (B ≠ C → B ∩ C = ∅)(3) $%

%=

∈� B

Zasada abstrakcji.'OD GRZROQHM UHODFML W\SX UyZQRZD*QR�FL R w zbiorze A rodzina [A]R

MHVW SRG]LDáHP ]ELRUX A.

Lemat'OD GRZROQHM UHODFML W\SX UyZQRZD*QR�FL R w zbiorze A i dladowolnych elementów a, b ∈ A:

aRb ⇔ [a]R = [b]R ⇔ [a]R ∩ [b]R ≠ ∅

Dowód lematu.(1) aRb ⇒ [a]R = [b]R:=Dáy*P\� *H aRb� 3RND*HP\ >a]R ⊆ [b]R

Wówczas x ∈ [a]R ⇒ aRx ⇒ xRa ⇒ xRb ⇒ bRx ⇒ x ∈ [b]R.Analogicznie pokazujemy [b]R ⊆ [a]R

(2) [a]R = [b]R ⇒ [a]R ∩ [b]R ≠ ∅:=H ]ZURWQR�FL R mamy a ∈ [a]R

(3) [a]R ∩ [b]R ≠ ∅ ⇒ aRb:[a]R ∩ [b]R ≠ ∅ ⇒ ∃x(x ∈ [a]R ∧ x ∈ [b]R) ⇒ (aRx ∧ bRx) ⇒(aRx ∧ xRb) ⇒ (aRb)

*


Dowód zasady abstrakcji.�� .D*G\ ]ELyU URG]LQ\ >A]R jest niepusty:B ⊆ [A]R ⇒ ∃a∈A (B = [a]R) ⇒ ∃a∈A (a ∈ B)

�� .D*GH GZD Uy*QH ]ELRU\ URG]LQ\ >A]R V� UR]á�F]QH�

3U]\SX�üP\� *H B, C ∈ [A]R oraz B ≠ C.Z definicji [A]R LVWQLHM� b, c ∈ A WDNLH� *H B = [b]R oraz C = [c]R.Z lematu [b]R = [c]R ⇔ [b]R ∩ [c]R ≠ ∅6W�G B ≠ C ⇔ B ∩ C = ∅

(3) �@>

$%5

$%=

∈�$[D[%[

5$D$%5

∈⇒∈∃⇒∈ ∈∈�@>�

@>�

�5

$%5%[[[$[

@>@>

∈∈⇒∈⇒∈

*

Dla dowolnej funkcji f : A → B relacja R ⊆ A2 RNUH�ORQD ]DOH*QR�FL��

aRb ⇔ f(a) = f(b� MHVW UHODFM� W\SX UyZQRZD*QR�FL�

DowódTrywialne.

'OD GRZROQHM UHODFML W\SX UyZQRZD*QR�FL R w zbiorze A istnieje zbiórB oraz funkcja f : A → B WDND� *H ∀a,b∈A [aRb ↔ f(a) = f(b)].

Dowód.:\VWDUF]\ SU]\M�ü B = P(A) oraz f(x) = [x]R

(funkcja kanoniczna A → [A]R).*


&]VWR GHILQLXM�F IXQNFM f : [A]R → B SRSU]H] LQQ� IXQNFM g : A → BSLV]�F f([a]R) = g(a).

R ⊆ N2

aRb ⇔ |a – b| mod 6 = 0f([a]R) = a mod 3

1DOH*\ Z WDNLHM V\WXDFML XZD*Dü� *HE\ f E\áD RNUH�ORQD MHGQR]QDF]QLH

tzn. aRb ⇒ f(a) = f(b).

R ⊆ N2

aRb ⇔ |a – b| mod 6 = 0f([a]R) = a mod 4 ?!

4, 10 ∈ [4]R

ale f(4) = 0 ≠ 2 = f(10)

3U]\NáDG\�

=ELyU OLF]E Z\PLHUQ\FK MDNR SRG]LDá ]ELRUX Z2 na klasy abstrakcjirelacji R ⊆ Z2 × Z2 RNUH�ORQHM ]DOH*QR�FL��

(a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc

-DN XGRZRGQLü� *H a � _ n2 – 2 dla n ∈ N ?

R ⊆ N2

aRb ⇔ |a – b| mod 3 = 05R]ZD*P\ IXQNFM f : N → {0, 1, 2} f(n) = n2 mod 3.=DXZD*P\� *H aRb ⇒ 3 | |a – b| ⇒ 3 | |(a – b)(a + b)| ⇒3 | |a2 – b2| ⇒ f(a) = f(b)

:\VWDUF]\ VSUDZG]Lü� F]\ WZLHUG]HQLH MHVW SUDZG]LZH GOD GRZROQLH

wybranych reprezentantów poszczególnych klas abstrakcji relacji R.

matematyka dyskretna - relacje

Documents