matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · martin...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematyka a sztukiplastyczne
Wrocław, 2 czerwca 2010
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 2: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/2.jpg)
Martin Gardner
11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, którymimo braku wykształcenia matematycznego zrobił dlapopularyzacji tej nauki więcej, niz jakikolwiek zawodowymatematyk. Nazywał się Martin Gardner.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 3: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/3.jpg)
Nicolas Bourbaki
W 1935 roku grupa francuskich matematyków założyła przy EcoleNormale Superiere „Stowarzyszenie Nicolasa Bourbakiego” i zaczęlipublikować książki pod tym pseudonimem.
Początkowo byli to: Claude Chevalley, Jean Coulomb, JeanDelsarte, Jean Dieudonne, Charles Ehresmann, Rene de Possel,Szolem Mandelbrojt i Andre Weil. W późniejszym okresie dołączylido nich Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, AlexanderGrothendieck, Samuel Eilenberg, Serge Lang i Roger Godement.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 4: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/4.jpg)
Nicolas Bourbaki
Opublikowali osiem tomów Elements de mathematique.
Wszystko od aksjomatów i w największej możliwej ogólności.Ponieważ wielu z nich to naprawdę wielcy matematycy, udało imsię wywrzeć wielki wpływ na podejście do matematyki.
Jednakże jedyna ich książka, którą da się czytać ze zrozumieniem,to Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej.
W roku 1970 na kolejnym ICM w Nicei Jean Dieudonne rzucił wtrakcie swego referatu hasło Precz z Euklidesem!
Ich wpływ na szkolnictwo to czyste szkodnictwo (porównaj artykułW.I. Arnolda w „Wiadomościach matematycznych” 37 (2001)).
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 5: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/5.jpg)
Człowiek, który ocalił geometrię
Żył w latach 1907 – 2003. Studiował w Cambridge, potemwiększość życia spędził na Toronto (Kanada). Był jednym zwielkich geometrów XX wieku.
Robert Moody, proponując nadanie temu geometrze doktoratuhonoris causa przez York University w Toronto, powiedział:
Modern science is often driven by fads and fashions, andmathematics is no exception. His style, I would say, is singularlyunfashionable. He is guided, I think, almost completely by aprofound sense of what is beautiful.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 6: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/6.jpg)
Człowiek, który ocalił geometrię
Tym geometrą był Harold Scott MacDonald Coxeter.
Właściwie MacDonald Scott Coxeter.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 7: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/7.jpg)
HSM Coxeter
Coxeter zajmował się wielościanami, teorią grup dyskretnych,kombinatoryką i geometrią nieeuklidesową.
Napisał 12 książek, na polski przetłumaczono „Wstęp do geometriidawnej i nowej”. Gorąco zachęcam do czytania (lub choćbyprzeglądania) w dowolnym miejscu, w którym się ta książkaotworzy.
Do Coxetera jeszcze wrócimy.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 8: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/8.jpg)
Scientific American
Z Wikipedii:
Najstarszy amerykański miesięcznik popularnonaukowy wydawanyod 28 sierpnia 1845 roku. Jego celem jest propagowanienajnowszych osiągnięć technicznych i naukowych poza wąskieśrodowisko naukowców i popularyzacja nauki wśród szerokiejpubliczności.
Szczególną popularność wśród czytelników zyskała rubrykaMathematical Games prowadzona przez Martina Gardnera.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 9: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/9.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 10: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/10.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 11: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/11.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 12: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/12.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 13: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/13.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 14: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/14.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 15: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/15.jpg)
Martin Gardner
Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.
Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya
tangram
parkietaż Rogera Penrose’a
kryptografia z kluczem publicznych (RSA)
fraktale
polyomino
hex
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 16: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/16.jpg)
Kontynuacje działu Mathematical Games
Po Gardnerze rubrykę, jako Metamagical Themas przejął DouglasHofstadter (autor książki Godel, Escher, Bach).
MATHEMATICAL GAMESMETAMAGICAL THEMAS
http://ocw.mit.edu/high-school/courses/godel-escher-bach/http://bib.tiera.ru/ i wyszukiwarka: hofst, plik djvu
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 17: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/17.jpg)
Kontynuacje działu Mathematical Games
Po nim rubrykę Mathematical Recreations, zakończoną w 2001roku, prowadził Ian Stewart.
W numerze z września 1999 Ian Stewart pisze o Sztuceeleganckiego układania kafelków. I tym się teraz zajmiemy.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 18: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/18.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 19: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/19.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 20: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/20.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 21: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/21.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 22: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/22.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 23: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/23.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 24: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/24.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 25: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/25.jpg)
Ile jest rodzajów tapet?
Odpowiedzi:
dowolnie dużo
potencjalnie nieskończenie wiele
itp.
nie zadowalają matematyka
Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:
Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?
„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.
Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 26: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/26.jpg)
Krata
W gruncie rzeczy każda tapeta (lub wzorzysty materiał) jest opartana pewnej kracie. Wynika to ze sposobu produkcji (wałki drukująwzory na beli tapety lub materiału).
Taka krata to w zasadzie płaski kryształ.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 27: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/27.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 28: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/28.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 29: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/29.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 30: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/30.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 31: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/31.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 32: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/32.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 33: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/33.jpg)
Krata na ścianie łazienki
Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.
Jak ona powstaje?
Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).
Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?
Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).
Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).
Jakie symetrie ma taka krata?
Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 34: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/34.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 35: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/35.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 36: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/36.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 37: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/37.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 38: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/38.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 39: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/39.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 40: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/40.jpg)
Symetrie kraty łazienkowej
W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez
a) kształt kafelka
b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)
c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.
Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...
Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...
Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.
Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 41: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/41.jpg)
Sieć
Weźmy np. cyfrę 6, ułóżmy na płaszczyźnie i zastosujmy do niejwspomnianą grupę przekształceń, generowaną przez translacje:przesunięcie w prawo o odległość d i w górę pod kątem 45◦ oodległość d
√22 . Otrzymamy poniższy wzorek:
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 42: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/42.jpg)
Obszar fundamentalny
Połączmy sąsiednie punkty sieci odcinkami. Otrzymamyrównoległobok o wierzchołkach (w oznaczeniach grupy)1, X , Y , XY . Jest to obszar fundamentalny, bo istniejewzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy płytkami tegoparkietażu i przekształceniami grupy o tej własności, że każdeprzekształcenia przeprowadza dowolny punkt takiej płytki na punkttak samo usytuowany w nowej płytce.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 43: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/43.jpg)
Inne obszary fundamentalne
Sąsiednie punkty sieci można łączyć nie tylko odcinkami, tzn.obszar fundamentalny nie musi być równoległobokiem. Musi miećjednak takie samo pole, jak równoległobok fundamentalny(dlaczego?).
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 44: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/44.jpg)
Czy tylko figury „szkolne”?
Elementami tworzącymi wzór mogą być bardzo różne figury.
Najciekawsze są takie figury, które (podobnie jak kwadraty)pokrywają całą płaszczyznę, przy czym nie zachodzą na siebie.Takie pokrycie płaszczyzny wielokątami nazwiemy parkietażem.
Ale to nie muszą być wielokąty! I tu wkracza sztuka.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 45: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/45.jpg)
Parkietaże foremne
Parkietaż jest foremny, gdy wszystkie tworzące go wielokąty sąprzystającymi wielokątami foremnymi.
Istnieją tylko 3 takie parkietaże:
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 46: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/46.jpg)
Dowód
Każdy parkietaż ma swój symbol Schlafliego {p, q}: w wierzchołuschodzi się p wielokątów o q bokach.
Kąt wewnętrzny p-kąta foremnego ma miarę(1− 2p )π, jesli qtakich kątów schodzi sie w wierzchołku a wielokąty mają wypełniaćcałą płaszczyznę, to(1− 2p
)π =2πq, skąd
1p+1q=12czyli (p − 2)(q − 2) = 4.
To równanie ma tylko 3 rozwiązania w liczbach naturalnych: 4 · 1,2 · 2, oraz 1 · 4, a one dają opisane parkietaże.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 47: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/47.jpg)
Grupy symetrii dwuwymiarowej
Istnieje 17 grup symetrii krystalografii dwuwymiarowej.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 48: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/48.jpg)
Grupy symetrii dwuwymiarowej
Istnieje 17 grup symetrii krystalografii dwuwymiarowej.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 49: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/49.jpg)
Grupy symetrii dwuwymiarowej
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 50: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/50.jpg)
Grupy symetrii dwuwymiarowej
Opisał je wszystkie rosyjski krystalograf J. S. Fiedorow w 1891roku, a potem G. Polya i P. Niggli w 1924.
Podobno w egipskich świątyniach użyto 16, a w pałacu Alhambramożna znaleźć wszystkie 17 (wg mahometan II przykazaniezabrania przedstawień nawet ludzi, stąd wzory abstrakcyjne).
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 51: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/51.jpg)
Alhambra
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 52: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/52.jpg)
Alhambra
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 53: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/53.jpg)
Alhambra
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 54: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/54.jpg)
ICM 1954
W roku 1954 ICM odbył się w Amsterdamie. Z tej okazjizorganizowano wystawę prac holenderskiego grafika MauritsaCornelisa Eschera. Poniżej praca Dzień i noc.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 55: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/55.jpg)
M. C. Escher 1898–1972
Wykonał 448 prac (litografie, drzeworyty itp.)
http://www.mcescher.com/
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 56: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/56.jpg)
M. C. Escher 1898–1972
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 57: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/57.jpg)
M. C. Escher 1898–1972
http://www.mcescher.com/
Dwie przecinające się płaszczyzny (1952)
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 58: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/58.jpg)
Escher i Coxeter
W roku 1957 ukazał się artykuł Coxetera Crystal Symmetry and ItsGeneralizations (Trans. Royal Soc. Canada 51(1), 1957). Coxeterposłał Escherowi książeczkę A Symposium on Symmetry, gdziezamieszczono dwie prace Eschera. Jednak to nie ich opublikowaniewstrząsnęło Escherem, a jeden z rysunków we wspomnianej pracyCoxetera.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 59: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/59.jpg)
Escher i Coxeter
W roku 1958 Escher napisał w liście do Coxetera:„Mimo że tekst Pańskiej pracy okazał się o wiele za trudny dlaprostego samouka, który tylko nauczył się pokrywać płaszczynęwzorami, kilka ilustracji, a zwłaszcza jedna, wstrząsnęły mną.
Od kilku lat interesują mnie wzory z malejącymi motywami,których rozmiary ciągle maleją wraz ze zbliżaniem się motywów dogranicy. To zadanie jest łatwe, gdy granicą jest punkt w centrumwzoru. Nieobca jest mi również granica, która jest linią prostą, alenigdy nie byłem w stanie wykonać wzoru, w którym malałyby wrazze zbliżaniem się do okręgu, tak, jak to jest na Pańskim rysunku.Próbowałem zrozumieć, jak skonstruowany jest Pana wzór, alezdołałem tylko znaleźć środki i promienie największych okręgów.[...] Czy istnieją inne sposoby zbliżania się do granicznego okręgu?[...] Mimo mej niewiedzy, użyłem Pańskiego modelu w dużymdrzeworycie (wykonawszy tylko wycinek 120◦, odbiłem gotrzykrotnie). Przesyłam Panu kopię.”
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 60: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/60.jpg)
Circle limit I
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 61: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/61.jpg)
Escher i Coxeter
Odpowiadając na list Eschera, Coxeter napisał, że płaszczyznęeuklidesową można pokryć białymi i czarnymi trójkątami na trzytylko sposoby:
jeśli kąty każdego trójkąta z danego parkietażu płaszczyzny mająmiary πp ,
πq ,πr i w jednym wierzchołku spotyka się p białych i p
czarnych trójkatów, w innym q białych i q czarnych, a w trzecim ri r , to grupę symetrii takiego parkietażu oznacza się symbolem(p, q, r), bo generowana jest ona przez obroty o okresach p, q orazr . A ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa π, więc
1p+1q+1r= 1,
stąd jedynymi trzema sposobami są: (3, 3, 3), (4, 4, 2) oraz(6, 3, 2).
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 62: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/62.jpg)
Escher i Coxeter
Jeśli rozważamy geometrię na sferze, to rolę prostych odgrywająkoła wielkie (przecięcia sfery płaszczyznami, przechodzącymi przezjej środek). Wtedy suma kątów trójkąta (tzn. takiej figury nasferze, której bokami są spójne fragmenty kół wielkich) musi byćwiększa od π, więc wszystkie grupy symetrii określa nierówność
1p+1q+1r> 1,
której rozwiązaniami są trójki liczb (p, 2, 2), (3, 3, 2), (4, 3, 2) oraz(5, 3, 2).
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 63: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/63.jpg)
Escher i Coxeter
Natomiast w geometrii hiperbolicznej suma kątów trójkąta jestzawsze mniejsza od π, więc możliwości jest nieskończenie wiele,albowiem nierówność
1p+1q+1r< 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnychwiększych niż 2.
W liście do syna Escher napisał: „nie zrozumiałem z tego anisłowa...”.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 64: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/64.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 65: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/65.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.
Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 66: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/66.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 67: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/67.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 68: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/68.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 69: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/69.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,
inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 70: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/70.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,
złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 71: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/71.jpg)
Model Poincarego
H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:
Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.
Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.
Izometriami są:
symetrie względem średnic,
obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 72: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/72.jpg)
Model Poincarego
Model Poincarego jest konforemny, tzn. odległości euklidesowe sązniekształcone, ale kąty euklidesowe są zachowane.
Przykład nieeuklidesowości: przez dany punkt przechodzi wieleprostych nieprzecinających danej (czyli równoległych do danej).
Co to jest ekwidystanta danej prostej na płaszczyźnieeuklidesowej, a co na hiperbolicznej?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 73: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/73.jpg)
Trójkąty i czworokąty w modelu Poincarego
Trójkąt to figura, której trzema bokami są fragmenty prostych(łuków okręgów ortogonalnych lub średnic).
Trójkąt asymptotyczny ma sumę kątów wewnętrznych równą zero!
Ma też skończone pole, mimo że jego boki są nieskończonejdługości!
W to twierdzenie nie potrafił uwierzyć Charles Dodgson i twierdził,że geometria hiperboliczna jest absurdem.
A jak wygląda czworokąt?
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 74: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/74.jpg)
Rysunek Coxetera
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 75: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/75.jpg)
Niedoskonałości Circle limit I
Escher pisze w liście do Coxete-ra: Będąc pierwszą próbą, Circ-le Limit I zawiera wiele niedo-skonałości: nie dość, że kształ-ty ryb, będąc wielokątnymi abs-trakcjami, pozostawiają wieledo życzenia, to na dodatek ichustawienie jest złe. Nie ma aniciągłości przepływu, ani jedno-rodności koloru w każdym rzę-dzie.”
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 76: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/76.jpg)
Circle limit III
Od tych niedoskonałości wolny jest Circle limit III z roku 1959.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 77: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/77.jpg)
Circle limit III
W Hadze w roku 1968 odbyła się retrospektywa twórczościEschera. Do katalogu tej wystawy esej opisujący matematyczneaspekty w twórczości Eschera napisał oczywiscie H.S.M. Coxeter.Znalazło się w nim zdanie:
Moim zdaniem, drzeworyt byłby jeszcze piękniejszy bez tychbiałych łuków, które w sposób sztuczny dzielą każdą rybę na dwienierówne części i nie mają matematycznego znaczenia.
Kiedy po trzech latach esej wszedł w skład książki The World ofM.C. Escher, Coxeter usunął ostatnie 5 słów.
Matematyka a sztuki plastyczne
![Page 78: Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022802/5c771ee109d3f2a94e8b7962/html5/thumbnails/78.jpg)
Circle limit III: doskonałość artysty
Escher nie dożył niestety czasu, w którym ukazały się dwiematematyczne prace Coxetera poświęcone dziełu Circle limit III.
W jednej z nich Coxeter, stosując rachunki za pomocątrygonometrii hiperbolicznej dochodzi do wniosku, że te białe linieto nie proste, ale ich ekwidystanty i dochodza do brzegu dysku podkątem niemal równym 80◦. Po zmierzeniu kątów na rysunkuokazało się, że tak jest w rzeczywistości, mimo że Escher myślał, iżsą prostopadłe.
W drugiej pracy, z roku 1964, Coxeter opisał „tessellations”(parkietaże) płaszczyzny hiperbolicznej i okazało się, że Escher 6lat przed nim odkrył i umieścił w Circle limit III parkietaż typu(3, 8), [6(8, 8)], (8, 3).
Matematyka a sztuki plastyczne