matemàtiques
TRANSCRIPT
ORIENTACIONS PER A UN DESENVOLUPAMENT
ENCULTURADOR DEL CURRÍCULUM DE
MATEMÀTIQUES
Xavier Vilella Miró
Juliol, 2007
Identitat, igualtat i diversitat
Tres principis, tres eixos bàsics de l’educació intercultural. Com ja s’ha
dit, no es tracta d’incorporar nous continguts ni noves estratègies o formes
organitzatives revolucionàries, desconegudes per part de mestres i professors.
Llavors, de què es tracta?
Des del meu punt de vista, hi ha dues peces claus per a fer realitat
aquesta educació basada en presentar la cultura de manera que connecti amb
els referents culturals de context, i faciliti l’adquisició de competències
necessàries per a la vida i per a la comprensió del món en el que vivim:
- les tasques que proposem als alumnes,
- i la gestió que d’aquestes activitats fem a l’aula de matemàtiques.
La tria de les propostes que llencem a la classe és una funció específica
del professorat: hauria de ser un àmbit de decisió exclusiu nostre i una
responsabilitat innegable. Però sovint aquesta funció es delega en el llibre de
text que es fa servir.
“Seguir el llibre” és un eufemisme d’una delegació de decisions i
responsabilitats que mai hauria de permetre el mestre1 o el professor, donat
que si aquest determinat llibre de text tingués la transcendència que
aparentment se li dona, la seva redacció s’encarregaria als més afamats
educadors matemàtics del món en general, i del nostre país, en particular, i
1 Estalviaré a qui llegeixi aquest informe l’ús de “els/les mestres i els/les professors/professores”, com el
de “els/les alumnes” o “els/les nens/nenes”, sense que això signifiqui cap mena de menyspreu a la
importància del gènere a l’hora d’escriure per part de l’autor.
això, com sabeu, no és així, en la majoria de casos. També s’hauria de notar
aquesta transcendència en la fase de tria de llibre de text en cadascun dels
centres, cosa que tampoc revesteix d’aquesta importància i profunda reflexió.
Finalment, la crítica dels llibres de text, des del nostre sector professional, seria
intensa, argumentada, exigent, i revisada constantment, cosa que tampoc es
produeix.
Per tant, podem concloure que la delegació de la responsabilitat en la
tria de les activitats proposades als alumnes a l’aula de matemàtiques en el
llibre de text no es fa, en general, de forma conscient, després d’un debat sobre
l’adequació d’aquesta tria als alumnes concrets de cada centre educatiu, sinó
atenent a altres variables i, per tant, és un primer obstacle en el camí de
l’educació intercultural a la que pretenem arribar.
Així doncs, la tria d’activitats ve molt sovint condicionada per aquest
recurs anomenat llibre de text. Però també el currículum hi juga un paper
important. De fet, el currículum hauria de marcar les línies de treball dels llibres
de text. Però la realitat és que les editorials són empreses fetes per a guanyar
diners i sempre poden argumentar que fan els llibres que els professionals
volen comprar, no els millors llibres per a educar (en el supòsit que sàpiguen
quins podrien ser aquests llibres). I afirmen que els llibres que es volen comprar
tenen unes característiques molt concretes, relacionades amb un ús mecànic i
que no exigeixi la presa de decisions, amb una llarga llista d’exercicis les
solucions dels quals estigui disponible al mestre o professor, etc.
Per tant, si volem arribar a fer realitat a les aules els tres principis d’una
educació intercultural caldrà aconseguir que el professorat assumeixi la
responsabilitat professional de triar les activitats que proposarà a l’aula seguint
uns criteris dels que parlo més endavant.
Respecte del currículum, cal restablir la seva importància, cal que el
professorat comprengui quin és el seu paper, que va lligat al punt anterior. Cal
que reflexioni sobre els diferents currículums que conviuen en un centre
educatiu (l’oficial, l’implementat, l’après, l’ocult) i com es relacionen,
s’interfereixen, interactuen. Aquesta veritable autoavaluació hauria de formar
part del dia a dia de tot el professorat. Avui dia hi ha programes de formació
continua del professorat que treballen d’alguna manera en aquesta línia, com el
de pràctica reflexiva del Departament d’Educació de la Generalitat i també
alguns assessoraments a centre.
El segon aspecte clau del que parlava és la gestió de l’activitat a l’aula
de matemàtiques. Una bona activitat rica, oberta, complexa, amb repte
matemàtic, pot trair els principis d’identitat, igualtat i diversitat, si la gestió que
se’n fa a l’aula no és l’adequada. En aquest sentit, un punt essencial serà la
gestió de la participació que es faci: tota aula de matemàtiques és una
comunitat de pràctiques, siguin aquestes les que siguin, però el professorat ha
d’aconseguir que es converteixi en una comunitat d’indagació2. Aquest procés
de transformació incorpora elements imprescindibles per fer de la participació
un eix de treball en valors a l’aula. La participació rica ajuda a treballar, des de
les matemàtiques, els valors personals, morals i socials. Alhora, donat que
permet l’entrada a l’aula del coneixement de fora del centre, en un ambient de
debat entre iguals en el que finalment es pot produir la validació de
coneixement matemàtic, també ajuda a trencar la invisibilitat del divers, i
possibilita la negociació de significats. Hi ha respecte, hi ha reflexió, hi ha
eficàcia, hi ha diàleg, hi ha crítica. Més endavant posaré alguns exemples
sobre tot això.
Amb unes fotografies i bones intencions, no n’hi ha prou
Podríem pensar que tenir en compte la realitat multicultural de les
nostres aules vol dir presentar dibuixos i fotografies multiculturals per a il·lustrar
les explicacions i els exercicis: amb alumnes de diferents ètnies o races
treballant plegats, per exemple. O bé parlar a classe de les aportacions dels
àrabs en l’arribada a Europa i el desenvolupament de l’àlgebra. O fer saber als
nostres alumnes que els maies, abans de l’arribada de Colom a Amèrica, ja
coneixien el zero i l’usaven en el seu sistema de numeració vigesimal. És cert
que això cal tenir-ho en compte, però la realitat va molt més enllà d’aquest
aspecte. Cal usar imatges on apareguin diferents models d’alumnes, és clar
que sí, com aquesta:
2 Estem treballant aquest tema en el grup EMiCS (Educació Matemàtica i Context Sociocultural), Grup
de Recerca Consolidat de la Direcció General de Recerca de la Generalitat de Catalunya. Alguns dels
primers resultats del nostre treball els podeu trobar al núm. 232 de la Biblioteca de UNO, que porta per
títol “Matemáticas e interculturalidad”, de l’editorial Graó.
Hem de parlar de les aportacions no occidentals al desenvolupament de
les nostres Matemàtiques. Tot això és correcte i s’ha de fer. Però aquestes
actituds ben intencionades no passen de l’anècdota. Si volem arribar a la
categoria, cal fer un altre plantejament, molt més profund, molt més
compromès, molt més complex: l’enculturació del currículum de Matemàtiques.
Equitat, també a l’aula de Matemàtiques
Hi ha qui pensa que les matemàtiques, com són universals i s’expressen
amb un llenguatge lògic i estructurat universalment acceptat, no participen en la
responsabilitat de assegurar l’equitat per a tot l’alumnat. Creuen que unes
classes ben preparades, ben explicades, amb exemples i exercicis d’aplicació,
són les ideals per oferir a tothom les mateixes oportunitats d’aprendre i, si hi ha
diferents resultats, no són deguts a la didàctica utilitzada sinó a les diferències
individuals de cada alumne. Uns arriben a accedir l’estructuració de les
Matemàtiques i d’altres no, i no s’hi pot fer res més.
Aquest plantejament, molt determinista, avui dia (i des de fa anys) és
refutat completament per la investigació en educació matemàtica. Els estudis
realitzats a diferents parts del món mostren que:
- la universalitat de les Matemàtiques només té sentit (i no en
termes absoluts) en el seu punt final de producció acabada i
contrastada, acceptada per la comunitat mundial de matemàtics, però no
és així en termes d’educació matemàtica.
- les matemàtiques formen part de la cultura d’un poble i en
són un dels seus més importants productes culturals
- a les aules de matemàtiques apareix el conflicte cultural
però sovint resulta invisible als ulls del professorat
- els alumnes més afectats per aquesta mena de conflictes
són els alumnes immigrats que provenen de països pobres
Universalitat de les MatemàtiquesCal tenir en compte que moltes maneres de fer matemàtiques són el
resultat de la interacció entre les persones i l’entorn i, per tant, les pràctiques
matemàtiques que ens inventem els humans es corresponen amb la cultura en
la que estem immersos3. Un exemple del que dic el trobem en alguns
algoritmes, com el de la resta. Us presento4 dues restes efectuades per un
alumne magrebí que es va passar un any aprenent les taules, i a sumar i
restar, a l’aula d’educació especial d’una escola perquè els mestres que el van
acollir en arribar al nostre país no van ser capaços d’establir correctament el
que sabia. Una decisió errònia que va fer perdre en part a aquest alumne un
any de formació. Ell restava així:
El fet que existeixin algoritmes diferents per a realitzar les mateixes
operacions ens indica que cal tenir en compte i, fins i tot, presentar als alumnes
algunes d’aquestes realitats, donat que modelen el seu pensament sobre la
3 Bishop,Alan J. (1999): “Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva
cultural”. Ed. Paidós, temas de educación. Barcelona.4 Gorgorió, N, Planas, N., Vilella, X. (2000): “The cultural conflictin the mathematics classroom:
overcoming its invisibility”, en A. Ahmed, J. M. Kramer y H. Williams (Eds.): Cultural diversity in
mathematics (Education): CIEAEM51 (pp. 179-185). Chichester: Horwood Publishing.
relació entre les matemàtiques i les cultures del món5. Els alumnes han de
saber que la manera concreta de fer matemàtiques no és idèntica arreu del
món, i que alguns companys seus acabats d’arribar de terres llunyanes poden
saber fer matemàtiques, pensar matemàticament, però usant pràctiques
diferents.
També cal tenir en compte que això no afecta exclusivament als
alumnes vinguts de països del tercer món, sinó que afecta a alumnes que
vinguin, per exemple, dels EEUU o d’altres punts d’Amèrica. En aquests
països, les divisions es fan una mica diferents de les nostres6:
Per tant, convé mostrar a l’alumnat exemples de pràctiques
matemàtiques diferents no solament de països pobres, que podria fer creure
que tots els altres (els països rics) tot ho fem igual, a la manera anomenada
“occidental”, i que els diferents són els països pobres. I això no és cert.
Les raons de mostrar aquesta mena d’exemples a l’alumnat no s’acaben
en la conveniència de ser inteculturalment correctes, sinó que cal tenir en
compte que mostrar diverses maneres de fer matemàtiques ajuda a reforçar la
comprensió profunda dels conceptes i procediments matemàtics involucrats en
5 Vilella X. (2007): “Enseñar y aprender matemáticas en un aula multicultural: análisis y pautas” Editorial
Horsori, Barcelona. En prensa.6 Conferència impartida en la Societat Catalana de Matemàtiques sota el títol “Matemàtica i cultures: una
relació pendent d’aprofundir”
aquestes pràctiques i no quedar-se en els aspectes més formals, en els que
moltes vegades es queden els alumnes.
Una manera interessant de presentar una activitat d’aquesta mena a
classe podria ser mostrar als alumnes dos maneres de fer una mateixa
proposta, i deixar que siguin ells qui descobreixin les semblances i diferències.
Un debat en gran grup acabaria l’activitat, i el professor ha de destacar
específicament el concepte profund que hi ha darrere de totes dues maneres
de fer.
L’aula de MatemàtiquesCal partir de la idea que cadascú té d’una aula de matemàtiques, del que
s’hi ha de fer, cal establir de quina idea d’aula de matemàtiques partim.
Si l’aula de matemàtiques s’entén com:
- un espai de transmissió del saber matemàtic acumulat
durant mil·lenis, les coses aniran d’una manera.
- Si, en canvi, la considerem com un espai que ajudi als
alumnes a comprendre la realitat, a reconstruir el coneixement
matemàtic, i que permeti transformar la realitat, aniran d’una altra
manera.
En el primer cas, la conseqüència immediata serà la frustració: ni amb
totes les hores de la setmana dedicades a donar Matemàtiques podrem
transmetre una petita part del coneixement atresorat durant tant de temps; pocs
alumnes, molt pocs, podran accedir a aquest coneixement enciclopèdic.
Possiblement, tampoc serviria de massa una vegada l’alumne intenti usar-lo
per comprendre – i, eventualment, canviar - el món actual en el que viu. No cal
insistir en que els culturalment més diversos quedaran immediatament exclosos
d’aquesta aula de matemàtiques. D’altres aniran caient pel camí.
Si atenem al socioconstructivisme, el coneixement és una construcció
personal en interacció amb altres persones. Cal que l’alumne s’impliqui en
l’aprenentatge, i cal un professor que acompanyi i doni suport a cadascun dels
alumnes en aquest camí. Per tant, l’aula de matemàtiques ha de tenir un
vessant instructiu, però encara és més important el vessant formatiu.
Podem considerar l’aula7:
- com un espai d’implicació, en el que es crea un conflicte
cognitiu a partir del qual es promou l’activitat mental dels alumnes: cal
que les tasques que es proposen tinguin sentit per als alumnes.
- Com un espai d’autoconeixement, en el que l’alumne faci
una reflexió personal sobre el propi aprenentatge i sobre les pròpies
capacitats. Cal, per tant, analitzar i reflexionar sobre el procés seguit en
la resolució de les tasques proposades. Això es relaciona amb
l’avaluació, que no es pot dedicar a buscar allò que l’alumne no sap fer,
allò que cal corregir, ans al contrari, cal anar-los descobrint les seves
qualitats. Valorar més el que s’ha après que no el que no se sap. En
aquest ambient de treball, l’error ha de ser considerat una oportunitat de
debat en grup, de reforç de conceptes, de refer una part del camí per
aconseguir l’aprenentatge de tothom. Pels alumnes culturalment molt
diferents això és crucial.
- Com un espai d’autonomia, si entenem l’educació com
aprendre a aprendre, saber posar en marxa els recursos personals de
cadascú per afrontar els reptes de la vida. A més autonomia, menys
ajudes caldrà donar. Les activitats que es proposin als alumnes han de
permetre la planificació i la recerca, només així es poden desenvolupar
la iniciativa i l’autonomia.
- Com un espai de comunicació, donat que el llenguatge
permet construir i reestructurar el coneixement. L’aprenentatge, que és
personal, es basa en un procés que és social, resultat de la interacció.
Interacció entre iguals i amb el professor.
o Cal afrontar la negociació de les normes de classe
(socials), i de les normes a l’hora de resoldre una activitat
matemàtica (normes de la pràctica matemàtica). Explicitar-les és
una condició necessària per a afrontar amb garanties un activitat.
o Fomentar els informes escrits sobre les activitats.
o Promoure la revisió i avaluació de textos sobre
activitats matemàtiques, tant a nivell personal com en grup.
7 Adámiz-Echevarría, M. del Mar, et al. (2000): “Com ens ho fem? Propostes per educar en la diversitat”.
Biblioteca de Guix, nº 119, Ed. Graó, Barcelona.
Què ens diu la investigació en Educació Matemàtica sobre les
tasques a proposar?
La majoria d’investigacions en Educació Matemàtica, a nivell
internacional, dels últims 15 anys mostren que el paper més important del
professor de Matemàtiques és preparar contextos de treball en els que els
alumnes reflexionin sobre el que fan, en el camí d’una reconstrucció del
coneixement matemàtic. Aquesta reconstrucció es basa en un currículum que
ha de tenir tres components fonamentals8:
- el component simbòlic: el seu principi és abraçar, caldran
activitats per a tots els conceptes. Mostra a l’alumne quines són les
idees matemàtiques que val la pena conèixer.
- el component social9: en aquest cas, el principi és
exemplificar, usant situacions realment paradigmàtiques. Mostra als
alumnes com s’utilitzen les matemàtiques.
- el component cultural: com i per què es van generar les
idees matemàtiques. Mostra com és l’activitat matemàtica, com
s’inventen, i els permetrà començar a accedir al nivell tècnic de les
matemàtiques.
Aquests tres components han de ser presents en el currículum,
superposats, en interacció, i equilibrats. Cadascun d’aquests components
demana un tipus diferent d’activitats.
1. Per al component simbòlic , que es basa en conceptes,
caldrà:
a. explicar fenòmens,
b. cercar patrons i regularitats en situacions diverses,
c. posar èmfasi en l’estructura i no en els detalls,
d. representar usant diferents codis,
e. generalitzar,
f. connectar conceptes i estructures,
8 Bishop,Alan J. (1999): “Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva
cultural”. Ed. Paidós, temas de educación. Barcelona.9En la traducció al castellà del seu llibre Bishop ustilitza el terme “Societal”
g. presentar models.
Cal, per tant, crear entorns adequats per a aquesta mena d’activitats.
Entorns en els que l’activitat estigui relacionada amb un context real, que porti a
discussions conceptuals, a la reflexió i l’anàlisi mitjançant preguntes
intencionals, i que acabi amb explicacions, argumentacions, raons,
comunicació d’idees matemàtiques. Interacció entre alumnes, necessitat de la
demostració, les regles de la raó com a recurs...
Un exemple d’aquest tipus d’activitats seria la que presento a
continuació. Es tracta d’una activitat introductòria a l’àlgebra per a alumnes
d’ESO. Habitualment, es pretén que l’alumnat comprengui la utilització del
llenguatge simbòlic a partir d’una seqüència d’activitats en les que un text es va
convertint en una equació. Primer, passant potser per un dibuix de l’objecte
(cosa que és més que discutible des del punt de vista del significat, donat que
la variable no és l’objecte sinó algun atribut d’ell, com per exemple el preu), i
després el dibuix es substitueix per la x. L’encert que pugui haver en aquesta
manera de presentar el tema no és compartit per diferents grups de recerca i
innovació de Catalunya10, que proposen maneres alternatives de començar-lo.
L’activitat comença amb una reflexió molt poc habitual a les aules
de matemàtiques: ¿què puc saber i què no puc saber del cert sobre una
informació que se’m dona? Amb una bateria de 20 preguntes, totes elles
buscant la reflexió i el debat, es pot introduir als alumnes en el
pensament algèbric a partir del pensament aritmètic, de la
proporcionalitat.
QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (1)
2 pizzas i 3 amanides costen 19,90 euros.
1) Pots saber què costa 1 pizza i 2 amanides? Raona la resposta.
10 Grup Vilatzara (2006): “
2) 4 pizzes i 6 amanides, quant costen? Per què?
3) Explica què més puc saber amb aquestes dades.
4) Raona que 2 pizzes no poden costar 20 euros.
5) Raona que 1 amanida no pot costar més de 6 euros.
6) Raona que cada pizza no pot costar més de 9 euros.
7) Raona que 4 pizzes i 7 amanides costen més de 39 euros.
8) Digues 5 possibles preus de l’amanida i els corresponents de cada
pizza.
QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (2)
Observa el preu de 4 porcions i 6 refrescos: 17,60 €
9) Raona per què no puc saber el preu d’1 porció i 1 beguda
10) Què podem saber del preu de 4 begudes i 2 porcions?
11) Digues 5 coses que podem asegurar a partir de la informació que
tenim.
12) Raona si pots saber el preu de 8 porcions i 12 begudes
QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (3)
Observa el preu de 3 porcions i 3 begudes: 12 €
13) Raona per què ara ara puc saber el preu conjunt d’una porció i una
beguda. Quant és?
14) Explica per què puc saber quant costen 5 begudes i 5 porcions
15) Indica 6 coses que podem saber a partir de les dades que tenim ara.
16) Raona per què no puc saber el preu de 2 porcions i una beguda
només amb la informació d’aquesta 3ª part.
17) Si sabem també el que coneixíem abans (el preu de 6 refrescos i 4
porcions), explica com ho fas per esbrinar el menú d’1 porció i 3 begudes
18) Pots saber el preu de 5 porcions i 15 begudes? Raona la resposta
19) Pots saber ara el preu de cada beguda i el preu de cada porció?
20) Calcula-ho, si has dit que sí.
En aquesta activitat, el context pot ajudar a establir alguns
possibles preus de la pizza, l’amanida o la beguda, però el professor
s’assegurarà que els alumnes vegin la diferència entre estimar alguns
possibles preus i establir amb certesa els preus que s’han pagat en
aquest cas concret.
Els alumnes queden inicialment molt sorpresos de que se’ls
demani una argumentació sobre si es pot o no saber el preu de alguna
cosa: estan acostumats sempre a buscar resultats, i les matemàtiques
són per a ells una tècnica per a obtenir resultats. Ara veuen que es pot
disposar de molta informació encara que el resultat exacte no sigui
possible obtenir-lo.
Aquesta mena de tasques són indispensables si volem que els
alumnes ampliïn la seva visió del que són les matemàtiques i per a què
serveixen. Més endavant parlaré més a fons dels contextos.
2. Per al component social , l’activitat més adequada és el
projecte matemàtic . El projecte estudia la relació entre Societat i
Matemàtiques. El format és el de la resolució de problemes oberts,
llargs, amb poc enunciat, en els que l’alumne ha de treballar de forma
molt autònoma. En els projectes matemàtics, cal que apareguin
situacions socials reals, valors de predicció i de control de l’entorn físic,
avantatges i inconvenients de l’augment del control de les situacions,
discutir el progrés que poden representar els possibles avantatges, les
fonts d’informació, i l’anàlisi crítica del procés realitzat. El projecte
matemàtic és una activitat en context, en la que es poden formular
moltes preguntes, plantejar molts problemes, i cada projecte permet
aprofundir més en un o altre aspecte.
En aquest entorn de treball l’alumne ha d’inspirar-se en experts, treure
idees , inspirar-se en altres autors.
Alguns exemples possibles són11:
a. les torres de guaita al litoral,
b. la hivernació dels ossos
c. la construcció de les piràmides d’Egipte,
d. la determinació del metre com a unitat internacional,
e. la durada d’un any,
f. l’orientació al Pol Nord,
g. Rellotges de sorra, d’aigua i de sol,
h. la perspectiva a la pintura,
i. la codificació de missatges secrets,
j. la proporció àuria a l’arquitectura,
Altres més lligats amb el món actual són:
a. comprar un automòbil,
b. l’home a la lluna,
c. la predicció meteorològica,
d. el creixement planificat de pobles i ciutats,
e. les enquestes d’opinió,
11 Alguns d’aquests aspectes estan desenvolupats en els treballs del Grup Vilatzara i específicament en un
llibre seu: Grup Vilatzara, (2006): “¿Se puede viajar con las matemáticas?” Colección Matemáticas y
f. les dades informàtiques,
g. la millora del trànsit a les cruïlles,
h. la gestió de cues,
i. els residus i la seva gestió,
j. robòtica i qualitat de vida
Pel professor, la creació de contextos d’aquesta mena és una dificultat i,
per tant, el llibre de text podria proposar-ne alguns en els que quedi clar el
lligam que s’ha de donar entre els coneixements dels alumnes i la situació
social que es va a explorar. D’aquesta manera, el professor rep l’ajuda del llibre
en aquest punt, i pot triar els que millor s’adaptin als seus alumnes. No oblidem,
però, que el més convenient és que l’alumne pugui escollir tant com pugui ser
possible el projecte en el que vol treballar.
3. Per al component cultural , convé que el professor creï un entorn
adequat per a la investigació. Un entorn en el que l’alumne sigui creatiu
per a comprendre millor de quina manera es desenvolupen les idees
matemàtiques. A diferència dels projectes, aquí l’alumne ha de ser
creatiu, ha d’escollir símbols, explorar possibilitats, formular hipòtesis,
representar relacions, establir conjectures, argumentar i demostrar, ser
precís, reflexionar sobre el propi coneixement i les passes donades...
Exemples d’aquest tipus de tasques serien les que es demana als
alumnes:
- que investiguin pautes i sumes de dígits a les taules de
multiplicar, que estudien relacions entre nombres, múltiples, etc.
- que investiguin de quines maneres poden unir triangles
idèntics pels seus costats iguals: recolliran símbols, representaran,
conjecturaran, provaran, argumentaran...
- que investiguin problemes d’ampliar una forma geomètrica
a partir d’una pauta que se’ls dona: un quadrat, ara dos quadrats en la
base i un a sobre d’ells, ara tres quadrats a la base, dos a la següent fila,
i un a la fina de dalt, etc.
Entorno, coeditado por el ICE de la Universidad Autònoma de Barcelona y la Federación Española de
Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM), Badajoz.
Algunes temàtiques per aquestes breus investigacions matemàtiques
són:
a. Els mosaics romans
b. Nombres parells i senars
c. Mètodes de comptar amb el cos
d. Cerca de la jugada guanyadora en jocs de taula
e. Els quadrats màgics
f. Mesures basades en el cos humà
g. Nombres quadrats i triangulars
h. Nombres de Fibonnacci
i. El triangle de Pascal
El paper principal del professor en aquestes tasques és el
d’atendre especialment l’avenç personal dels alumnes, malgrat
que treballin en grup, perquè es basa en l’esforç personal, cosa
que haurà de quedar clara a l’hora d’encarregar la tasca.
Quines activitats proposa el professorat?
Les activitats que es proposen als alumnes determinen la imatge que
aquests tindran del que són les matemàtiques. Per tant, si el que se’ls proposa
són activitats tècniques, repetitives, en les que l’únic important és aconseguir
un resultat i no la reflexió personal i compartida, el que transmetrem a l’alumnat
serà una imatge de les matemàtiques com una tècnica que ha d’aconseguir
resultats, sense cap mena de reflexió sobre l’ús de les eines matemàtiques.
En aquest sentit, el llibre de text de Matemàtiques hauria de ser una
valuosa ajuda al professor que ha de prendre decisions d’adaptació del
currículum oficial als alumnes en concret, en la situació concreta en que es
troben, en el context concret que els envolta, a les inquietuds i interessos que
mostren. Lamentablement, pocs llibres de text acompleixen aquesta funció i,
sovint, substitueixen al professor en la presa de decisions que li són pròpies.
Si el que volem és educar interculturalment, basant-nos en els tres eixos
de:
- identitat , educant en i per a la pertinença,
- equitat , educant en i per a la igualtat,
- diversitat , educant en i per a la diversitat,
caldrà que les activitats proposades permetin a tots i cadascun dels alumnes de
l’aula participar en els tres components (simbòlic, social i cultural) del
currículum matemàtic.
L’alumne ha de participar d’experiències riques d’aprenentatge, en les
que pugui establir connexions entre idees matemàtiques i conèixer els valors
que van associats a aquestes idees, desenvolupant una comprensió àmplia del
que aprèn.
Activitats per a tots o per a uns quants?
Això no està reservat a una part de l’alumnat, els més capaços i
interessats en l’estudi, sinó que és necessari, des del punt de vista de l’equitat,
per a tots els alumnes. Encara més, els alumnes que aviat deixaran els estudis
i entraran al món del treball, ho necessiten més que els altres. L’educació
matemàtica de qualitat, profunda i significativa, permet a les persones veure el
món – i entendre’l – amb uns altres ulls. Tenir coneixement de la base
matemàtica que hi ha sota la tecnologia, dels valors associats a un o altre ús
d’aquesta base matemàtica i de les repercussions que tindrà en la societat, en
la vida de tots, dóna una competència a la persona que va més enllà de la
comprensió dels nombres en un context determinat o de la geometria que
veiem pel carrer: té relació amb la competència democràtica de les persones.
Desenvolupar la competència democràtica dels alumnes és un repte de primer
ordre si parlem del futur de la societat intercultural en la que ja vivim.
L’única manera d’aconseguir desenvolupar la competència democràtica
des de les matemàtiques és obrint espais de reflexió i de debat a les classes,
en base a activitats obertes i que facilitin la reflexió.
Per aconseguir-ho, el professorat hauria de plantejar les tasques amb un
contingut de treball que permeti en diferents moments de la seva execució
l’obertura d’espais de reflexió i debat entre iguals i l’observació del treball
desenvolupat pels alumnes:
- Pot proposar activitats en les que l’objectiu no sigui única i
exclusivament obtenir un resultat aplicant una tècnica determinada, sinó
que ajudi a comprendre com es fa servir l’eina matemàtica en la societat,
i quines repercussions té.
- Pot plantejar les millors maneres de treballar una o altra
activitat, combinant adequadament l’estona de reflexió individual, el
treball de compartir en petit grup, i la posada en comú en gran grup.
- Pot tenir determinats els elements a observar en cadascun
d’aquests moments, per facilitar la tasca d’avaluació contínua.
- Pot disposar de possibles línies d’ampliació de les activitats
per a alumnes que vulguin anar més enllà i d’altres de reconstrucció per
els que encara es trobin en un punt anterior.
Característiques de les activitats
Les propostes d’activitats que poden ajudar a que cada alumne present
en una aula pugui recórrer un camí de reconstrucció del coneixement
matemàtic propi han de tenir algunes característiques importants:
- Han de permetre camins diferents per afrontar-les i per
resoldre-les; el coneixement matemàtic de fora del centre educatiu ha de
poder entrar, ha de servir d’alguna cosa per a afrontar-les. Això farà que
els alumnes procedents d’altres cultures, i també els nascuts aquí,
puguin utilitzar coneixements i no quedi ningú fora de joc.
- El professor no ha d’avançar-se als alumnes en la
resolució, ha de deixar marge perquè els alumnes puguin trobar el seu
camí de resolució.
- La tasca ha de tenir dos moments, si més no, en el seu
desenvolupament: el del treball personal i el del treball col·lectiu,
permetent la reflexió individual i la interacció necessària per a reconstruir
el coneixement matemàtic.
- Han de contenir el repte necessari per a ser interessants
per als alumnes: sense repte no hi haurà aprenentatge significatiu.
- L’activitat proposada no ha de justificar-se en el fet que
“serveix per aprovar”, ha de tenir significat per ella mateixa i els alumnes
n’han de ser conscients abans de començar a resoldre-la.
- Les tasques han de facilitar l’observació del professor, de
manera que hi quedin clars els elements d’avaluació continua
El llibre de text
Caldria que el llibre de text:
- Proposi l’ampliació, de manera que tothom pugui trobar el
seu punt d’avenç en cada tema que es desenvolupi, respectant els
ritmes d’aprenentatge de cada alumne.
- Posi més èmfasi en la creativitat i la reflexió sobre el procés
de resolució que en la repetició i l’obtenció de resultats.
- Proposi activitats diferents (però lligades) per a cada fase
del procés d’ensenyament i aprenentatge:
o motivació i exploració: es fan les primeres
representacions d’allò que es va a estudiar, el professor pot
observar les estructures i els coneixements previs dels alumnes,
s’han de plantejar les preguntes interessants, el repte matemàtic
del conjunt de les activitats; és el moment per a explicitar els
objectius i les normes que planteja el professor
o introducció de conceptes i de models,
desenvolupament, fase de contrast entre el que cada alumne ja
sap i allò nou que arriba: confrontació.
o estructuració del coneixement, moment de la síntesi
personal i el reajustament.
o aplicació: capacitat de transferir el coneixement
adquirit a altres situacions.
Contextos i estructuració a partir del currículum m atemàtic
La importància del context en l‘aprenentatge matemàtic està avui dia fora
de dubte. Un context potent ha de ser:
- pròxim a l’alumne: la idea de proximitat que defenso no és
geogràfica sinó més aviat psicopedagògica. Tenint en compte que
podem entendre l’aprenentatge com una xarxa de conceptes i
procediments, actituds i valors, ampliada constantment per reconstrucció
i en interacció amb els altres, aquesta xarxa sempre deixa fils solts en
les vores, i la proximitat de la que parlo és trobar el contacte entre la
proposta de tasca i els fils que pengen. Proximitat amb repte, amb
desafiament una mica més enllà del que l’alumne ja sap.
- complex: presentant una proposta amb continguts realment
importants, des del punt de vista epistemològic, significatius en
l’aprenentatge de l’alumne, sense estalviar-li la complexitat de la realitat
que serà la que li permetrà:
o establir quines variables tenim, quines triem i quines
rebutgem, i pensar quines conseqüències tindrà aquesta
simplificació de la realitat
o l’elaboració d’un primer model matemàtic rústic, poc
eficaç, fins i tot gens eficaç, però que iniciarà un camí de
descobriment del per què no acaba de funcionar i el portarà a
assajar nous models millorats.
o Tot això no es pot fer sense la complexitat del
context que utilitzem.
Però no podem oblidar que l’aprenentatge matemàtic es dirigeix cap
aconseguir que l’alumnat arribi a l’estructuració del seu pensament cosa que li
permetrà un ús eficient de les Matemàtiques per a resoldre problemes de tota
mena. I aquesta estructuració no s’aconsegueix per simple acumulació de
tasques en context. Cal la intencionalitat del professor en provocar-la.
Seguint el plantejament de Freudenthal i de l’institut holandès que porta
el seu nom, ens podem plantejar la necessitat de partir d’un context i anar cap
a l’estructuració. Si ho representem en uns eixos de coordenades, en els que
l’eix d’abscisses és la matematització horitzontal i l’eix d’ordenades és la
matematització vertical, les diferents visions de les Matemàtiques es
representarien en els punts indicats:
Si entenem les Matemàtiques com una mecànica (Me en el dibuix),
voldrà dir que:
- les Matemàtiques són un sistema de regles que es mostren als alumnes:
les verifiquen i les apliquen a problemes semblants als que ha fet el
professor
- aquesta visió presenta als alumnes unes matemàtiques de perfil baix i
gens atractives
- Les dificultats per a molts alumnes van portant al professorat a fer cada
vegada més repetitius, simples i mimètics els exercicis proposats
- Desapareix el repte i el desafiament
En aquesta visió de les matemàtiques, el paper del context és el de ser una
mena de decorat:
- “Un jardí triangular té dos costats en angle recte. Un d’aquests costats
mesura 3 metres de llarg i l’altre 5 metres de llarg. Calcula l’àrea del
jardí”
E
Me C
- “En una festa hi ha un nombre determinat de persones. Hi arriben 26
persones més, i ara n’hi ha el triple de les que hi havia a l’inici. Quantes
persones hi havia al començament?”
- “Calcula quin és el preu d’un llibre sabent que un cinquè, més un sisè,
més un setè del preu menys 60 cèntims d’euro sumen la meitat del preu”
Una altra manera de veure les Matemàtiques és considerar-les com a
estructura (E en el dibuix)
En aquest cas, només trobem matematització vertical:
- Aprofundiment
- Reflexió individual i de grup
- Generalització
- Abstracció
- Argumentació, proves
- Connexions
- Modelització
I el que es tracta habitualment és:
- Aprofundir en els nombres, conjunts, propietats de les operacions
- Desenvolupar la potència de les matemàtiques
- La formalització
- La deducció, lògica, estructura, generalització...
- L’abstracció
Alguns exemples d’aquesta visió de les Matemàtiques:
- “Calcula les dimensions d’un camp rectangular que hem tancat amb 140
m. de filferro sabent que la llargària fa dues vegades l’amplària”
- Resoldre l’equació: x2 + ( x / x + 1) 2 = 1
- ¿És cert que a · ( 1+ 1/a-1) = a + (1 + 1/a-1) ?
Les Matemàtiques en context (C en el dibuix) presenten una visió
diferent de les anteriors
- Trobem molta matematització horitzontal:
o Preguntes quotidianes
o El dia a dia
o Context, que pot ser senzill o complicat, pròxim o llunyà
o Ens dóna més possibles respostes
- Es presenten exemples, situacions reals
Així doncs, ens cal matematitzar (M en el dibuix):
- En horitzontal : contextualitzant les activitats
- En vertical : estructurant i generalitzant
Pot resultar difícil de fer-ho tot a la vegada, però és possible. Podem començar
per contextualitzar i anar cap a la matematització vertical. Ho represento amb
aquesta línia corba:
L’àlgebra i la dependència funcional a l’ESO
E
Me C
M
Si pensem en el cas de l’àlgebra i la dependència funcional a l’ESO12,
l’esquema de seqüència didàctica que proposo seria partir d’un context i pujar
un esglaó en l’estructuració; seguidament, presentar un nou context i pujar un
altre esglaó. I així treballar diferents contextos però cada vegada partint d’un
punt en l’estructuració que sigui més alt que l’anterior. Una representació del
que proposo seria el següent gràfic:
12 Estem treballant en el Grup Vilatzara aquest tema actualment.
E
C1
M
C2
C3
t
Un exemple de com es pot concretar aquesta manera de treballar
l’àlgebra el tenim en els següents contextos, que estem experimentant en
el Grup Vilatzara actualment.
Context 1: Pizzes i amanides
Ja l’he presentat, és el de les pizzes i les amanides, que mostra a
l’alumnat la gran quantitat d’informació de la que es pot disposar, més
enllà de trobar un resultat concret. Aquest plantejament facilita la visió
d’unes matemàtiques que permeten l’entrada de coneixement extern al
centre, no deixa ningú fora de joc, fomenta el debat i és un desafiament
pròxim a alumnes de 2n d’ESO que comencen a estudiar l’àlgebra i la
dependència funcional.
La matematització vertical consisteix en passar al mètode de
Gauss per a resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites.
D’aquesta manera, el que eren situacions contextualitzades del tipus
“tres xiclets i quatre caramels ens van costar ahir 50 cèntims d’euro; avui
hem comprat dos xiclets i cinc caramels i ens han costat 45 cèntims.
Podem saber el preu d’un caramel? I el d’un xiclet?”, ara passaran a ser
enunciats d’aquest mena, però sense enunciat de context:
3 4 � 50
2 5 � 45
Els alumnes ja no necessiten el context perquè els que ho
necessiten ho apliquen pensant en ell i, els que no ho necessiten, ho
resolen ja de manera abstracta.
Un altre exemple d’aquesta mena d’exercicis:
2 1 � 5
2 5 � 29
En aquest cas apareixeran de forma natural els valors negatius,
com els fraccionaris.
També convé posar algun exercici que plantegi un sistema
impossible de resoldre, com aquest:
t
3 4 � 5
6 8 � 10
Una vegada resolts diversos exercicis descontextualitzats que
presenten els diferents casos en la resolució de sistemes de dues
equacions amb dues incògnites, es pot plantejar un problema
específicament per a la participació rica. Un exemple podria ser aquest:
es planteja als alumnes un sistema amb l’aspecte tradicional i la potència
del context en el que han treballat és tan gran que hi apliquen el que han
après amb les pizzes i les amanides:
4x + 3y = 12,50
8x + 4y = 22
A la sessió següent, se’ls presenta la manera de resoldre’l per part
d’un company de la classe i se’ls demana que revisin els passos seguits i
esbrinin si hi ha algun error i, si és el cas, proposin com esmenar-lo:
4 3 12,5
8 4 22
4 3 12,5
4 2 11
1 1,5
4 3·1,5 12,5
4 4,5 12,5
4 12,5 – 4,5
4 8
1 8 : 4 = 2
Aquesta mena de tasques es fan seguint sempre una
seqüència de tres passos: un primer pas és la reflexió individual,
que pot durar des de pocs minuts fins a un quart d’hora; el segon
pas és compartir i comparar en petit grup, que pot durar uns vint
minuts, per exemple en aquest cas; el tercer pas és la posada en
comú en gran grup, en la que el professor adopta el paper de
moderador del debat entre iguals, debat que ha de portar, sempre
que sigui possible, a validar situacions d’incertesa sense la seva
intervenció directa.
En aquesta seqüència de treball, conflueixen alguns
elements essencials per a fer realitat:
- el principi d’identitat (educar per a la construcció de
personalitats madures i responsables...),
- el principi d’igualtat (garantir una educació bàsica i
de qualitat per a tots...)
- i el principi de diversitat (aprendre a conviure en
societats plurals i complexes i a gestionar els conflictes i a
resoldre’ls...)
El fet que hi hagi tres moments, tres temps per a intervenir,
amb formats totalment diferents (individual, petit grup, gran grup)
permet a cadascú trobar el moment més adequat a la seva manera
de ser, i també que entri el coneixement matemàtic de fora del
centre educatiu.
El fet que el professor no intervingui directament fins que no
es fa del tot imprescindible (si s’esdevé aquesta situació) permet
que els alumnes avancin en la seva maduració i responsabilitat,
donat que se’ls dona la llibertat d’intervenir, i d’interpel·lar-se,
seguint les normes socials explicitades prèviament pel professor,
que ell mateix també complirà;
El fet que la validació s’intenti que es produeixi a partir i con
a conclusió del debat entre iguals permet que es negociïn els
significats, es reconstrueixi el coneixement matemàtic, en un
procés culturalment ric en el que es troben les creences i els valors
de cadascun dels alumnes, però en un entorn controlat (l’aula de
matemàtiques en situació desenvolupada pel professor) i amb una
finalitat clarament establerta (establir la validesa d’una situació
incerta), relacionada amb convivència de cultures però sense que
sigui aquesta relació explicitada en cap moment.
Per altra part, aquesta mena d’activitats
- afavoreixen la reflexió, inicialment individual per passar
a compartir-la amb els iguals;
- es basen en la participació de l’alumnat
- es mostren eficaces per aconseguir que tots aprenguin
matemàtiques, no les mateixes sinó les que cadascú fa seves
- són justes perquè durant el procés el professor pot
prendre el paper d’observador i això facilitarà l’avaluació contínua
dels seus alumnes
- la seva eina fonamental és el diàleg entre iguals
- es basen en l’actitud crítica dels alumnes, però la
crítica cal exposar-la públicament i justificar-la, i també cal donar
una alternativa
- afavoreix no solament el respecte a tothom, donat que
l’únic important en el debat són els arguments expressats,
independentment de les característiques de la persona que parla,
sinó també la valorització dels altres, perquè justament aquestes
activitats mostren que la validació només arribarà amb la
participació de molts.
Context 2: Les tarifes de telèfon mòbil i la persecució.
El context és engrescador donada l’actual presència constant del
telèfon mòbil en la vida dels adolescents, però matemàticament és més
important el fet que el problema plantejat permet l’abordatge inicial
utilitzant el tempteig. La matematització vertical inclou la preparació de
taules de dades i l’ús d’eines informàtiques amb fórmules que preparen
l’aparició de la funció lineal i afí.
Tarifes telefòniques:
La companyia telefònica DD (Digui - digui Comunications) llança
una oferta de telefonia mòbil per tal de captar clients: ofereix una tarifa A
en la que l’usuari només paga pel temps total que ha estat trucant a raó
de 0,08 euros / minut.
Per altra banda, ofereix una segona tarifa, la B, en la que l’usuari
paga 6 euros fixos al mes però les trucades les paga a 0,05 euros /
minut.
Sigui quina sigui la tarifa escollida, aquesta companyia factura pels
segons que l’usuari hagi trucat; a més, en aquesta oferta no es cobra
l’establiment de trucada.
Fes un estudi comparatiu de les dues tarifes i treu conclusions.
Segona part, un vegada han acabat la primera: Dies més tard, la
mateixa companyia llança una tercera tarifa, la C, en la que l’usuari paga
10 euros fixos al mes, podent trucar 180 minuts; si truca més minuts,
l’usuari paga aquests minuts de més a 0,20 euros / minut.
Compara aquesta tarifa amb les anteriors. Exposa les teves
conclusions.
Una persecució: Un cotxe amb tres lladregots està fugint de la
policia. El cotxe pren la carretera C21, que va cap a la frontera, i fuig a
una velocitat de 140 km/h. Els tres cotxes de policia que els
persegueixen entren a la c21 6 minuts més tard del que ho havia fet el
cotxe dels lladres, i van a 155 km/h. En quin moment la policia atraparà
als lladres? Per simplificar els problema, suposarem que els lladres no
tenen amagatalls i que la seva única escapatòria és arribar a la frontera”
Extensió del problema: “La frontera està a 192 km d’on comença la
C21. La policia no té cap patrulla a la frontera, per la qual cosa demanen
via diplomàtica que la policia del país veí els ajudi a tallar l’escapada dels
lladregots. Els tràmits diplomàtics són lents, però han tingut sort: dos
cotxes de la gendarmeria (la policia del país veí) entren a la C21 per la
frontera a 175 km/h i aniran a interceptar els lladres. El problema és que
entren a la C21 mitja hora més tard del que ha entrat la policia. Qui
atraparà primer els lladres: la policia o la gendarmeria? Una vegada els
hagin atrapat, quant de temps hauran d’esperar per a que arribin els
altres?
La matematització vertical potencia la utilització de dues eines de
gran importància matemàtica: les taules de dades i l’eina informàtica, i
amb aquesta última iniciar la presentació de les funcions lineal i afí.
La manera de treballar aquestes activitats és començar amb una
reflexió individual, compartir-la en petits grups, i arribar novament al gran
grup.
Context 3: SOS, rescat a alta mar .
Aquest context de salvament, en una superfície idealment infinita i
plana com és l’alta mar, porta a pensar en com podem situar un punt, i
en quines condicions podem compartir aquesta informació amb algú
altra. La matematització vertical ens porta a les coordenades cartesianes,
punts de referència, rectes i direccions en el moviment, punt de tall de
dues rectes, i a les estimacions.
SOS Alta mar: Els últims dos missatges de socors, rebuts per ràdio
a l’estació de seguiment marítim d’Arenys, des d’un veler de 12 metres
amb 6 tripulants han estat aquests:
a. Rebut a les 5:30 de la matinada d’avui:
“S.O.S – S.O.S. del veler anomenat L’intrèpid. La turmenta
forta de llevant ens ha trencat el pal de la vela major. En
començar a navegar a motor, ens ha fallat perquè havia
entrat aigua al gas-oil. Estem intentant fer la reparació, però
no sabem si ens en sortirem. Demanem ajuda urgent. La
nostra posició actual és (3,2). Anem a la deriva. El corrent
marí ens porta cap el punt (6,4). Ajuda urgent. S.O.S –
S.O.S.”
Rebut a les 6:30 del matí: “S.O.S – S.O.S. Veler L’intrèpid.
Via d’aigua al casc. Ens disposem a abandonar el buc. Ara
ens trobem a la posició (9,6). El vent segueix bufant molt fort
i el corrent ens porta en la mateixa direcció que abans, a raó
aproximadament d’una unitat del mapa per hora. S.O.S –
S.O.S. - S.O.S – S.O.S.”
Ara has de prendre decisions:
1. Estableix en un paper mil·límetrat la zona
de recerca més ajustada possible per a l’helicòpter de
rescat, tenint en compte que trigarà 3 hores en arribar al
punt on els espera recollir, i que surt a les 6:30 h. del matí
de la base situada en el punt (0,0)
2. Un vaixell que es troba al punt (6,14) ha
escoltat els missatges.
Es dirigeix a tota màquina per donar ajuda als nàufrags
seguint una trajectòria recta y = - x + 20 . Suposant que
la velocitat sigui l’adequada, a quin punt del mar espera
trobar-los?
Context 4: Reconstruint el passat ibèric.
Davant d’unes restes arqueològiques ibèriques pròximes a l’institut,
es proposa als alumnes redescobrir-les, situar-les, mesurar-les. Cal
que estableixin relacions entre restes: reconstrucció física i
reconstrucció social, i trobar regularitats a partir de mesures
conegudes i calcular-ne de desconegudes, idea de variable, donar
sentit a fórmules lineals i quadràtiques, la proporció com a model...
Aquí presento el desenvolupament d’aquest exemple de context
complex.
Arqueologia i matemàtiques
Has vist mai les restes
d’un antic poblat ibèric? O
d’una ciutat romana?
Recordaràs que el que es veu
són algunes pedres que
poden marcar les bases dels
murs d’una casa, o alguna columna si es tracta d’un temple o una casa gran...
Sovint s’hi troben trossos de ceràmica, algunes monedes, estris casolans que
han d’anar als museus, per al seu estudi i exposició. Amb aquesta evidència
tan minsa, els arqueòlegs refan la nostra història.
Per a fer-ho, s’ajuden de moltes altres àrees de coneixement, entre elles,
de les matemàtiques. L’Arqueologia i les Matemàtiques, juntes, fan un camí de
recerca. Ara intentarem fer un tros d’aquest camí.
Encara que
no podem partir
de zero, farem un
intent de re-
descobrir un
poblat ibèric que
existeix a prop del
nostre institut.
Diem re-descobrir
perquè de fet ja el van trobar fa quasi 100 anys, però avui en dia està tan deixat
que per a qualsevol persona que hi camini pel damunt, passarà desapercebut.
Nosaltres anirem a la zona, l’estudiarem, en traurem dades i amb elles i les
matemàtiques, refarem una part de la història.
Algunes coses que has de saber sobre els poblats ib èrics:
- solien estar en llocs elevats que dominen els camps i els
camins dels voltants o les costes
- acostumaven a estar fortificats, amb muralles i torres de
defensa
- les muralles no acostumaven a tenir fonaments,
s’aixecaven directament sobre el terra, i les primeres filades són de
pedres molt grosses
- les cases construïdes als pendents sovint aprofitaven les
pedres de l’excavació a la muntanya per a fer de paret posterior de la
casa
- acostumaven a tenir una o dues habitacions; les parets,
fetes d’un sòcol de pedres posades en sec i falcades amb pedres més
petites, i s’acabaven amb toves, fang
- la coberta, a una o a dues vessants, estava feta amb
branques i fang, i tenien un forat per deixar sortir el fum de la llar,
normalment en posició central, que servia per a escalfar la casa i per a
cuinar
- en la majoria de poblats ibèrics hi havia una plaça pública
on podien haver el forn del pa, el de la ceràmica, les sitges per
emmagatzemar el gra, les cisternes d’aigua, etc.
- De vegades, si el poblat era prou important, podia tenir
edificis públics, com ara els temples. Es reconeixen per les seves
dimensions, clarament més grans que les cases
El poblat que descobrirem és el de
Burriac. El seu nom és ILDURO.
Es troba sota el castell, en el terme de
Cabrera de Mar, i va tenir força importància a
la zona entre els anys -500 i el -50
Els que hi vivien formaven part de les
tribus laietanes, que ocupaven la zona del
Maresme i del Vallès Oriental.
SITUACIÓ GEOGRÀFICA
Material: plànol amb corbes de nivell, plànol de l’arqueòleg que ho va
excavar.
- Punts de referència. Límits probables
- Direccions
- Cursos d’aigua o fonts, potser ara extingides
- Conreus pròxims possibles
- Combustibles
- Capacitat de defensa. Muralles, torres
- Vistes de camins o rutes, també marítimes
EL POBLAT
Material: cinta mètrica,
- Cases identificades
- Camins i accessos
- Fotografies
- Planta de les cases estudiades
- Situació possible de la llar de foc, on dormien, quanta gent
hi vivia...
Estudi d’una casa ibèrica
a) Com estem segurs que hem trobat una casa ibèrica ?
Cal no confondre una casa
ibèrica amb una cabana de pastor ni
amb una terrassa o un marge de
pagès. Un marge de pagès no té
contrafort. Un pagès no es
construeix una cabana si no està al
costat dels seus camps, no ho fa
mai en un pendent, ni excava la
roca per aconseguir una zona
plana.Un jaciment ibèric
b) Situar la casa al mapa
Per a situar una cosa en un mapa necessitem punts de referència. El
principal pot ser el nord, que et dona la brúixola, situant-lo en el teu mapa. Però
també necessites altres punts. En el nostre cas, podem situar el castell de
Burriac, per exemple, amb la brúixola, col·locar-lo al mapa, i després anar
posant altres punts: l’última casa de la urbanització per la que s’arriba al poblat,
el camí principal, l’entrada del poblat que està al mig del barranc, etc. En
aquest mapa amb punts de referència, ja pots anar situant les cases i edificis
que vagis trobant.
c) Croquis de la casa
Per a fer un croquis, has de fixar-te en les proporcions, les mides d’unes
coses respecte de les altres. Mesurar et pot ajudar. El croquis ha de tenir una
certa coherència, una certa escala. Només hi has de posar els elements
importants en relació amb l’estudi que estàs fent.
d) Mesura de la casa
La presa de mesures ha de ser el més exacta possible: aquestes
mesures serviran per a fer posteriorment la reconstrucció virtual del poblat.
Quan ets en el lloc arqueològic, aprofita per a mesurar-ho tot, donat que no hi
tornaràs fàcilment.
e) Reportatge gràfic.
Prendre bones fotografies no és gens senzill. Necessites una bona
màquina, i saber-la usar. Les fotografies de coses inanimades costen més que
las animades. Si són pedres pel terra, cobertes parcialment de restes de
plantes, d’un color gris que es confon amb el terra... encara costa més. Has
d’anar en compte amb les mides, els fons i les perspectives:
- si poses un objecte de mida molt coneguda al costat dels
objectes fotografiats, donaràs un punt de referència visual a qui miri la
fotografia després.
- Si et col·loques per a fer la foto en un punt de vista des del
qual el fons sigui molt contrastat amb l’objecte fotografiat, aconseguiràs
que aquest destaqui clarament
- Si vols que la perspectiva que veuen els nostres ulls es
mantingui, cal que l’objecte estigui ben il·luminat, amb les seves ombres
on toca. També hi ajuda que la foto abraci un camp una mica més ampli
que l’objecte tot sol: el que hi ha pels costats pot ajudar a veure la
perspectiva.
f) Estimació de qui - i com - hi
vivia.
Una vegada tinguis fet tot l’anterior, ja pots
començar a imaginar com seria el poblat fa més de
2.000 anys: el poblat, la vida de la gent, quanta gent
hi vivia...
Activitats a realitzar a l’aula de matemàtiques:
Activitat 1.
Determinar l’alçada d’una casa és important perquè té relació amb la
importància que tenia: més alçada, més difícil de construir, més important per a
tots els qui vivien al poblat.
Els arqueòlegs utilitzen la proporcionalitat per estimar quina hauria de
ser l’alçada dels murs de les diferents edificacions ibèriques. Hi ha poblats
ibèrics en els que s’han conservat els murs millor que en els altres, i s’han fet
estudis i experiments per a determinar com calcular l’alçada dels murs.
Si construeixes una paret, l’alçada a la que podràs arribar dependrà de
diverses variables: els materials que utilitzes, el gruix, els fonaments en el
terra… Els ibèrics construïen directament sobre el terra, no feien fonaments.
Per això, calia que el mur fos gruixut, especialment en la base, i que estigués
fet de pedra, per suportar el pes. A més, la base de pedra aïllava de la humitat
del terra.
Però si l’edifici tenia una sola planta, no calia que tot el mur fos de pedra:
a partir de 1/3 de l’alçada usaven tobot, una mena de maó a base de fang.
Aquí tens alguns càlculs realitzats a altres poblats ibèrics, per a edificis
grans i edificis petits.
Taula edificis grans mesurats a altres llocs
Poblat ibèric Alçada calculada Gruix del mur Raó deproporcionalitat n
Cerro Los Santos 7.40 0.60Sant Miquel de
Llíria 4.90 0.43
Ullastret A 7.90 0.65Ullastret B 4.72 0.40
Taula edificis petits mesurats a altres llocs
Poblat ibèric Alçada totalcalculada
Gruix del mur Raó deproporcionalitat n
Cerro Los Santos 2.40 0.40Sant Miquel de
Llíria 3.00 0.43
Ullastret A 2.90 0.45Ullastret B 3.60 0.40
A la vista del resultat obtingut, escriu una expressió que ens doni l’alçada
del mur (H) a partir de saber el gruix (E):
Activitat 2.
Ara utilitzaràs l’expressió descoberta en l’activitat anterior per a calcular
l’alçada de les paret de les cases que has mesurat al poblat d’Ilduro.
Pots usar un valor màxim i un valor mínim de la raó de proporcionalitat,
en dues columnes diferents, i després en trauràs conclusions.
Casa nº E n1 H1 n2 H2
12345
Conclusions:
Activitat 3.
Posem en comú els resultats de tota la classe.
Activitat 4.
Hi ha un edifici a Ilduro que presenta alguna característica especial.
Revisa els càlculs per a trobar-lo. Compara les seves dades amb les dels
edificis d’altres poblats i treu les teves conclusions. L’has trobat? Com l’has
descobert?
Activitat 5.
Ara has d’esbrinar quines d’aquestes fórmules serveixen i quines no:
H = E · n H = n · EH = E / n E = H / nH / E = n E = n / H
Algunes d’aquestes fórmules volen dir el mateix. Agrupa-les i explica per
què consideres que es diuen equivalents:
Quantes fórmules equivalents hi ha a la fórmula a = b · c?
Activitat 6.
Existeix una fórmula per a fer els mateixos càlculs que hem fet nosaltres,
però que és més complexa. S’anomena la fórmula de Rondelet:
E = H/8 · L/ √ (L2 + H2)
Compara la fórmula que hem descobert i utilitzat abans, amb la de
Rondelet: en què són diferents?
Activitat 7.
Aplica la fórmula de Rondelet a una casa i a l’edifici gran d’Ilduro. Hi ha
diferències en els resultats estimats amb la nostra fórmula senzilla? Quines
diferències?
Activitat 8.
A la vista de les dades totals recollides, fes una estimació de la població
probable d’Ilduro.
Activitat 9.
Busca la confirmació dels teus resultats. On pots buscar aquesta
confirmació?
Activitat 10.
Comuniquem els resultats de la nostra recerca a l’Ajuntament de
Cabrera de Mar, i de Vilassar de Mar, i a la Generalitat de Catalunya?
Matemàtiques transversals en els temes treballats:
exemple de “Les necessitats bàsiques dels humans”
Les sis activitats que proposa Bishop per a treballar el component
simbòlic del currículum poden incorporar-se amb relativa facilitat en els temes
treballats. Aporto un exemple d’alguns punts que podrien relacionar-se amb
Les necessitats bàsiques dels humans.
Alimentació:
- nombres naturals,
- enters (diferències, variacions),
- percentatges
- pressupostos
Habitatge:
- geometria plana i de l’espai:
o la victòria del triangle, la omnipresència del rectangle i del quadrat
o localització,
o construir en pendent, en el pla
o forma i àrea màxima
o volum d’aire per a viure
o plànols, pas 2D a 3D i viceversa
o la casa ecològica
- proporcionalitat i dependència funcional:
o el gruix de les parets i l’alçada màxima
o fórmula de Rondelet
Vestit:
- mesura,
o magnituds
o unitat
o mesura directa i indirecta
o exactitud, error, aproximació, estimació
- disseny,
- forma, perímetre i àrea
Salut:
- nombres, càlculs
- percentatges
- estadístiques, gràfiques
- mesura del cos, proporció àuria
- unitats de mesura antropomòrfiques
Sexualitat:
- matemàtica discreta (recomptes de casos, arbres),
- percentatges
- lectura de gràfiques i estadístiques
Xavier Vilella Miró
Juny, 2007