matematikai kompetenciaterÜlet „a” - budapest xvi....

MATEMATIKAIKOMPETENCIATERÜLET„A”

Matematika8. évfolyamTANULÓI MUNKAFÜZET 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/826-6/2009. engedélyszámon 2009.06.15. időponttóltankönyvi engedélyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás

feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag

ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné

Szakmai tanácsadó: Szeredi Éva

Alkotószerkesztő: Vépy-Benyhe Judit

Grafika: Pusztai Julianna

Lektor: Makara Ágnes

Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT0801

© Szerzők:

Benyhe László, Lénárt István, Mendelovics Zsuzsa, Orosházi Katalin, Pusztai Julianna, Vépy-Benyhe Judit

Educatio Kht. 2008.

Tömeg: 510 grammTerjedelem: 26,48 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők:Tantárgy-pedagógiai szakértő: Tariné Szentes Katalin

Tudományos szakmai szakértő: Hajba TamásTechnológiai szakértő: Csonka Vilmosné

tartalom

081. AriTMETiKA és AlgEbrA isMéTlés 0811. Játékos ismétlő feladatok számokkal és algebrai kifejezésekkel .................................. 5 0812. Azonosságok ........................................................................................................................ 11 0813. Egyenletek, egyenlőtlenségek ........................................................................................... 25

082. bEszorzás, KiEMElés 0821. Beszorzás és kiemelés, algebrai kifejezések szorzattá alakítása ................................... 33

083. szövEgEs fElAdAToK 0831. Szöveges feladatok I. .......................................................................................................... 59 0832. Szöveges feladatok II. ........................................................................................................ 71

084. piTAgorAsz-TéTEl, gyöKvonás 0841. A négyzetgyök fogalmának bevezetése .......................................................................... 87 0842. Pitagorasz-tétel ................................................................................................................... 99 0843. Vegyes gyakorló feladatok ................................................................................................. 115

085. gEoMETriAi isMéTlés 0851. Az alakzatokról tanultak ismétlése .................................................................................. 123 0852. Geometriai szerkesztések ismétlése ................................................................................ 139 0853. Terület síkon és gömbön ................................................................................................... 149 0854. Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás ismétlése .................................................. 161

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Játékos ismétlő feladatok számokkal és algebrai kifejezésekkel

Készítette: Orosházi Katalin

0811. MODUL

6 MATEMATIKA „A” • 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET

1. FELADATLAP

1. Miről szólnak a következő meghatározások? Alkoss hasonlókat! a) A problémamegoldás eszköztára. b) Modern kínzóeszköz irodalmár diákok számára. c) A rejtvényfejtés magasiskolája. d) A lényegre törők nyelve. e) A tanulás rizsamentes övezete; f) A tudományok királynője. g) Olyan magaslat, amelyre nem visz királyi út. e) Zseniképző.

2. Döntsd el, hogy a matematika mely területeihez kapcsolódnak a következő feladatok! a) A tanulmányi kirándulásra autóbuszt akart bérelni a 8/a osztály. Csak nagyméretű busz

állt a rendelkezésükre, így a 25 fős osztálynak és a 2 kísérőnek fejenként 2500 Ft-ot kellett volna fizetnie. Mennyit kellene fizetniük fejenként, ha társulnának a 30 fős 8/b-vel, akikkel 3 kísérő utazik?

b) Egy rendetlen gyerek zoknis fiókjában összekeveredett 5 pár fehér és 4 pár fekete zokni. Egy pár fehér zokniért megy a szobájába, amikor áramszünet lesz. Hány db zoknit vigyen magával a fürdőszobába – ahol egyetlen gyertya pislákol –, hogy biztosan legyen köztük legalább egy pár fehér.

c) Egy négyzetes hasáb alakú farönkből a lehető legnagyobb hengert akarják kiesztergálni. A faanyag hány százaléka megy veszendőbe?

d) Három szomszédos család – akiknek házai nem esnek egy egyenesbe – közösen akar felállítani egy porolót. Hol helyezzék el, hogy senkinek se kelljen hosszabb úton cipel- nie a szőnyegeket, mint a többieknek?

e) Az iskolai sportklub 50 tagjából 15-en vívnak, 30-an fociznak és 20-an atletizálnak. Öten mindhárom sportágat űzik, a többi focista csak focizik. Vannak-e olyanok, akik vívnak és atletizálnak, de nem fociznak? Ha igen, hányan?

f) Két turista 8 órakor elindul egymás felé 30 km távolságból. Aki a hegytetőről indul, 5 km/h átlagsebességgel halad, a völgyből induló társa 4 km-t tud megtenni óránként. Hány órakor találkoznak, és milyen messze lesznek ekkor a hegytetőtől?

g) Egy felvételi vizsga 720 résztvevőjéből 120-nak hármasa, 350-nek ötöse volt mate- matikából, a többieknek pedig négyesük. Szemléltessük diagramon a felvételizők össze- tételét matematika osztályzatuk szerint!

2. FELADATLAP

1. Minden csoportnak van egy száma, ezzel dolgozzatok! a) A saját számotokkal és a legkisebb prímszámmal állítsátok elő a lehető legtöbb külön-

böző számot! Feltétel: mindkét számot fel kell használni, mindkettőt egyszer meg- oldásonként, és rajtuk kívül csak a matematika jelölései szerepelhetnek. Melyik csoport hány megoldást talált?

EMLÉKEZZ

Az összeadásnál a tagok és a szorzásnál a tényezők felcserélhetők. Felcserélésüktől az ered- mény nem változik.

0811. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS – Játékos ismétlő feladatok… 7

b) Járjatok utána, hogyan befolyásolja a megoldások számát, ha a csoport saját száma mellé párként azt a természetes számot választjátok, amely minden számnak osztója!

c) Vizsgáljátok meg, hogyan változik a megoldások száma, ha a saját számotok mellé második számként azt az egyetlen számot választjátok, amely se nem negatív, se nem pozitív!

EMLÉKEZZ

A 0-val való osztást nem értelmezzük. Bármely 0-tól különböző szám nulladik hatványa 1, a 0 nulladik hatványát pedig nem értelmezzük.

2. Keressetek egyenlőket!

15 + (3 + 6) 15 – 3 – 6 15 – (3 + 6) 15 – ( 3 – 6) 15 – 3 + 6 15 + 3 + 6 15 · 3 · 6 (15 + 3) + 6 (15 · 3) · 6 15 · (3 · 6) 3 · (5 + 2) (15 – 6) : 3 15 : 3 – 6 : 3 3 · 5 + 3 · 2

3. Tegyetek műveleti jeleket és/vagy zárójeleket a nyolcasok közé úgy, hogy az egyenlőségek igazak legyenek!

8 8 8 8 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 8 8 8 8 = 10 8 8 8 8 8 8 8 8 = 100 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000

3. FELADATLAP

1. Egynemű algebrai kifejezések Az algebrai kifejezések készletével dolgozunk tovább. Miután kiválogattátok belőle azt a 6 db lapot, amelyeken egytagú kifejezések vannak, írjátok külön sorokba az egynemű kifejezéseket! Tegyétek ki a „láthatatlan” szorzójeleket!

EMLÉKEZZ

Két egytagú algebrai kifejezés akkor egynemű, ha bennük ugyanaz a betű ugyanazon a hatványkitevőn szerepel, azaz csak együtthatóikban különbözhetnek.

Húzzátok alá az együtthatókat, és karikázzátok be a változókat!


2. Válasszátok ki a lapok közül azt, amelyen olyan kétváltozós algebrai kifejezés van, amely nem minden racionális számra értelmezhető! Írjátok be a táblázat első és második sorának elejére a változókat jelölő betűket abc sorrendben, a harmadik sor elejére pedig az algebrai kifejezést! Számítsátok ki a kifejezés helyettesítési értékeit, ha a változók helyébe a táblázat számpárait írjátok!

2 3 2,5 1 1 2 32

6 5 7 4 6 3 432

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Válassz ki egy nullától különböző számot! Növeld meg 7-tel! Amit kaptál, duplázd meg! Az eredményből vonjál ki 4-et! A különbséget felezd meg, majd a hányadoshoz adjál hozzá –5-öt! Végül, amit kaptál, azt oszd el a gondolt számmal. Szerintem 1-et kaptál ered- ményül. Így van? Miért?

2. Válassz ki két számot! Az összegüket, valamint a nagyobbik és a kisebbik szám különb-

ségét add össze! Azt a számot, amit kaptál, oszd el a kiválasztott számok közül a nagyobbikkal! Kettőt kaptál, igaz? Vajon miért?

3. Helyezzetek el műveleti és/vagy zárójeleket az ötösök közé úgy, hogy az egyenlőségek

igazak legyenek. Keressetek több megoldást!

5 5 5 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 5 5 5 = 0,1 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 5 5 5 = 10 5 5 5 5 5 5 5 5 = 100 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000

4. Számítsátok ki a helyettesítési értékeket a táblázatban megadott számok esetén!

a 2 3 2,5 1 1 2 32

b 6 5 7 4 6 3 432

35−−

a bb

0811. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS – Játékos ismétlő feladatok… 9

5. Egészítsétek ki a táblázatokat!

a)

a –5 –65 0

31 1 –

34 –

35

–3a – 4

b)

b – 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 6

121 2 +− b

c)

c – 8 – 4 –54 –

32 0

54

32 1 2 4 8

c4

6. Írd fel rövidebben, majd írd át színessel az együtthatókat!

a) x x x+ + =

b) 2 2 2 2y y y y+ + + =

c) 2 2 2 2+ + +a a a a =

d) 2 + 2 + 2 + 2 + 2ab ab ab ab ab =

e) 3 5 4 13c c b c b+ + − + = 7. Vizsgáld a kifejezések alábbi halmazát!

2x− x x− − ( )22x + 5 7x x− 45x

5 5 5 5x x x x+ + + 24x 2 2 22x x x+ +

( )22x 5 ( )2 2 5x x− −

a) Csoportosítsd a kifejezéseket aszerint, hogy egytagúak vagy többtagúak!

b) Csoportosítsd a kifejezéseket aszerint, hogy hatványról, szorzatról vagy összegről van szó!

c) Keress a kifejezések között azonosan egyenlőket!

d) Keress összefüggést az a) és a b) feladatok megoldásai között!


8. Az egynemű kifejezések összevonásával hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

a) 7 8 3 88x x x x− + + − + =

b) 3 5 9 9 3 4 12 5a b b b b a a a− + − + − + + − − =

c) 2 1 1 3 0,83 2 3 5 2

cc c c− + − − + =

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok


0812. MODUL


1. FELADATLAP

TUDNIVALÓ

Azonosságnak nevezzük az olyan egyenleteket, amelyekben a betűk helyére az alaphalmaz bármely elemét is helyettesítjük, az egyenlőség igaz marad. 1. Rakjatok ki minél több azonosságot a lapokon található algebrai kifejezésekből!

Írjátok le a kirakott azonosságokat a füzetetekbe! 2. Fejtsd meg a szereposztást!

3. a) Írd fel a szorzatokat hatványalakban, a hatványokat szorzatalakban, és számítsd ki a

hatványértékeket is, majd olvasd össze a betűket a hozzájuk rendelt számok növekvő sorrendjében! Y = 23 = O = (–3) 2 =

V = 42

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

H = (–10) 3 = K = 5 · 5 · 5 · 5 = Á = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = T = 0 · 0 · 0 =

A = 1 1 12 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

N = 5 · 20060 = A szó:

Ha ő 2 ő meg 5

Az értékem 25

A főszereplő én vagyok, mindent megalapozok.

Kicsi vagyok, sokat mondok, a tényezők számára utalok.

0812. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS – Azonosságok 13

b) Írd fel a következő számokat csökkenő sorban! Írd alájuk a hatvány alakjukat! (Segítségül használhatod a hatványtáblázatot)!

1343

; 49; 1; 17

; 343; 149

; 7

4. a) Számítsd ki a hatványok értékét! Írd fel az eredményt hatvány alakban is!

23 · 24 = 52 · 54= 35 · 32= 40 · 42 · 48 = 10

777

= 7

333

= 87

55

= 3

477

=

b) Oldd meg a nyitott mondatokat!

35 · 3a = 37

85 5

5b =

4c · 42 · 48 = 410 EMLÉKEZZ

Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot az osztandó (számláló), és az osztó (nevező) kitevőjének különbségére emeljük. Például:

32 · 33 = 32+3 =35; 5n · 5m= 5n+m ; an · am= an+m és 4

355

= 54–3 = 51; 44

m

n = 4m–n; m

naa

= am–n

5. Hatvány hatványozása

Számítsd ki a hatványok értékét! Van-e számítást könnyítő megfigyelésed?

( )3310 =

( )242 =

( )235 =

3223

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )351− =

2214

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


TUDNIVALÓ

Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Például: (23)2= 23·2 = 26; (4m)n= 4m·n ; (am)n = am·n 6. Jelöld a táblázat soraiban, hogy melyik állítás igaz!

a b a > b a < b a = b 21

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )32− ( )22−

3

54⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

543

2

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5

23⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) ( )7 23 3− ⋅ − ( )93− ( )342 ( )262

23

7

433

( )( )

5

34

4

−

− ( )

( )

7

64

4

−

−

Figyeld meg alaposan az egyes példákat, és ha valami számodra meglepőt tapasztalsz, fo-galmazd meg, és oszd meg a többiekkel is a megfigyelésedet!


2. FELADATLAP

1. Számítsd ki minél gyorsabban, ügyesebben a következő hatvány értékét! 20063 2

32 4 16

8 4

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

=

2. Tanulmányozzátok azonos kitevőjű hatványok szorzását és osztását! Figyeljétek meg, van-e

itt is valamilyen érdekesség, amit a számolás gyorsítására használhatnánk? Írd fel hatványalakban, majd számítsd is ki a következő szorzatok értékét! Használd a hatványtáblázatot!

=⋅ 55 32

=⋅ 77 52

=⋅ 1010 42 23 232 3

3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5

5205

=

=8

8

1260

=9

9

1251000

33

3625 625

125125⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Általánosíthatók-e a megfigyeléseid?

7 7x y⋅ = 7

7xy

=

ÖSSZEGZÉS

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük. Például: 53 · 43 = (5 · 4)3 = 203; 2m · 3m = (2 · 3)m; am · bm = (a · b)m

7

7105

= 710

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 27; 10025

n

n = 10025

n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4n; mm

ma a

bb⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


3. Számítsd ki a hatványértékeket! Használd a hatványtáblázatokat! Megfigyelhető-e számo- lást gyorsító összefüggés?

(2 · 9)4 =

(5 · 8)5 =

(2 · 7)6 = 33

7⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

765

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

459

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Általánosíthatók-e megfigyeléseid?

(x · y)5 = 5x

y⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

TUDNIVALÓ

Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy a tényezőket külön-külön hatványozzuk. Hányadost úgy is hatványozhatunk, hogy az osztandót és az osztót külön-külön hatványozzuk. Például: (3 · 5)4 = 34 · 54; (5 · 7)p = 5p 7p; (a · b)p = ap · bp

2 2

23 35 5

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; 4 47 7

x x

x⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; y y

ya ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4. a) Számítsd ki a műveletek eredményét a legcélszerűbb módon, majd állítsd növekvő sor-

rendbe, és ebben a sorrendben írd le a nekik megfelelő betűket is! Egy ismert foga- lomhoz jutsz, ha jól dolgoztál.

A = 0,252 · 53 · 42 · 7 · 23 =

Á =

332

0,63

⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

A = 2 3

5 23 5 9 10

5 3 8⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =

M = ( )7

82 7 2

100 9

5 4 3

⋅

⋅ =

R =

7 52 0 714 8⋅ ⋅

⋅ =

L = 20064 3 2

4 5 22 5 152 5 3

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

=


K = ( )523 =

L = 4350

70⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

N = ((–1) · 3)3 =

O = ((–1)7)23 =

A növekvő sor:

A szó:

b) Fejezd ki a lehető legegyszerűbb alakban a következő kifejezéseket! Van-e köztük

egyenlő?

x5 · y · x4 · y7 = ( )

( )

36 15

33 6 2

x y

x x y y

⋅

⋅ ⋅ ⋅ =

10 9x yx y⋅⋅ =

( )( )

414 2 4

33 0

5 7

35

x y x

x y

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

3. FELADATLAP

1. a) Add meg az eredményeket hatványalakban is! Használd a táblázatokat! 5 123 3⋅ = 10

755

=

( )542 =

( )65 9⋅ = 74

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

5 54 2,5⋅ = 4

422515

=


b) Párosítsd az alábbi azonosságokat a feliratokkal! Azonos alapú hatványok szorzása: Azonos alapú hatványok osztása: Hatvány hatványozása: Azonos kitevőjű hatványok szorzata: Azonos kitevőjű hatványok hányadosa: Szorzat hatványozása: Hányados hatványozása:

an · am=an+m ; n

n-mm

a = aa

, a nem 0; (an)m=an · m; an · bn=(a · b)n;

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nn

n

a a=b b

, b nem 0; (a · b)m=am · bm; ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

m m

m

a a=b b

.

ÖSSZEGZÉS

Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Azonos kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. Azonos kitevőjű hatványokat úgy is eloszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük. Szorzat hatványozását úgy is elvégezhetjük, hogy a tényezőket külön-külön hatványozzuk. Hányados hatványozását úgy is elvégezhetjük, hogy az osztandót és az osztót külön-külön hatványozzuk. Vigyázat! Hatványok összegére és különbségére nincsenek olyan azonosságok, mint a szor- zásukra és az osztásukra!

4. FELADATLAP

EMLÉKEZZ

– Csak egynemű algebrai kifejezések vonhatók össze. – Két algebrai kifejezés egynemű, ha legfeljebb együtthatóikban különböznek. – A műveletek helyes sorrendje: hatványozás, szorzás-osztás, összeadás-kivonás. Ezt csak a

zárójel módosíthatja, amely elsőbbségadás kötelező táblaként működik. 1. Számítsátok ki az algebrai kifejezések helyettesítési értékét a megadott számok esetén!

Gondolkozzatok! Hogyan könnyíthetnétek meg a munkát? a) ( )2 5 2 5 2a a a a a a− + ⋅ + − − ⋅ − =

1 1a = −

212

a =

3 8a = −


b) ( )2 : 5 3 2b b b b b+ − + ⋅ + =

1b 0=

2b 1= −

32b3

= −

2. Állapítsd meg:

a) Melyik a legnagyobb? 3 · 107 mm; 3 · 105 dm; 3 · 109 cm; 3 · 102 m; 3 · 10-3 km; 3 · 108 dm

b) Melyik a legkisebb?

4,5 · 105 g; 4,5 · 10-2 t; 4,5 · 102 kg; 4,5 · 101 q 4,5 · 109 mg; 4,5 · 106 dkg

5. FELADATLAP

1. Ismételd át a négy alapműveletben szereplő mennyiségek nevét és a köztük lévő összefüg- géseket!

5 + 8 = 13 a + b = c 25 – 7 = 18 d – e = f 9 · 6 = 54 g · h = i

160 : 40 = 4 j : k = l

a) Kösd össze a betűket a nekik megfelelő kifejezésekkel!

a b összeadandó c kisebbítendő d kivonandó e szorzó tényező f szorzat g különbség h összeg i osztandó j hányados k osztó l

b) Fejezd ki a többi betűvel:

a = b = d = e = g = h =


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. a) Írd fel az eredményt hatványalakban!

=⋅ 32 1111

=⋅ 74 55

=⋅⋅ 272 333

=⋅⋅ aaa 54 0 2b b b⋅ ⋅ =

=⋅ 724

125 · 5 =

=2

5

88

=13

14

2121

=5

5

1717

=⋅5

7

4164

8

4 =aa

b) Oldd meg a következő nyitott mondatokat!

=⋅ 71111a 1011

93 5555 =⋅⋅ b

22

1111

11121=

⋅c

498

9

=⋅

ddd

25

3

33

39=

⋅e


2. Melyik több, mennyivel és hányszor? 23 2 · 3

74 7 · 4

95 310

37 3 · 7

115 1 · 15

(– 2)3 – 2 · 3

(–1)15 –1 · 15

(–1)20 –1 · 20

(–2)4 (– 4)2

(–3)9 273 3. Oldd meg a nyitott mondatokat a természetes számok halmazán!

593 =a b427 =

( ) ( )62 55 xx= 6255 =c

19243 =⋅ d 18210 =+ e

1680527 =−f 4. Írd fel hatvány alakban! Írd színessel a kitevőt! Állapítsd meg a hatványértéket! Használd

a hatványtáblázatokat!

a) 7 7 7 7⋅ ⋅ ⋅ =

b) ( ) ( ) ( )5 5 5− ⋅ − ⋅ − =

c) 25 5 5

7 7 7⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) 7 7 7 7 75 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) 5 57 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. Írd fel szorzatalakban! Állapítsd meg a hatványértéket!

a) 53 =

b) ( )32− =

c) ( )22− =

d) 42

3⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 33

2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠


6. Számítsd ki! Használhatod a hatványtáblázatokat! a) 5 3⋅ =

53 = 35 = 5 3− ⋅ =

( )35− =

( )53− = 45− = 23 =−

( )23− =

35− = 53− =

b) 23

5⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

23

5⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

3⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

23

5

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

3

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

7. Számítsd ki a következő hatványértékeket! Ha ügyesen alkalmazod a hatványazonosságo-

kat, akkor a hatványtáblázat segítségével nagyon gyorsan megoldhatod a feladatokat. a) 3 97 7⋅ =

49 9⋅ = 10 7 0 32 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ = 5 20 1 43 3 3 3⋅ ⋅ ⋅ =

b) 20 157 : 7 30

17

88

=

( )20

15

44−

=

7 4

6 3

2 52 5⋅

=⋅


c) ( )372 =

( )742− = ((–2)7)4 =

((–2)5)3 =

d) 8 82 5⋅ = 7 72 4⋅ =

5

5

729

=

551 20

4⎛ ⎞ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 436 = 11400 =

5

5

729

=

7

7

20040

=

8. Írd fel normálalakban!

a) 12500 =

b) 23 = c) 4,75 = d) 6 400 000 = e) 0,9 = f) 0,025 =

9. Mely számok normálalakját adtuk meg?

a) 21 2 10, ⋅ =

b) 32 3 10, ⋅ =

c) 4,75 110⋅ = d) 06 4 10, ⋅ =

e) 19 10−⋅ = f) 22 5 10, −⋅ =

10. Melyik több? Mennyivel? Hányszor?

a) 33 2 10, ⋅ 23 2 10, ⋅

b) 25 10⋅ 45 10⋅

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Egyenletek, egyenlőtlenségek


0813. MODUL


1. FELADATLAP

1. Fordítsátok a matematika nyelvére, oldjátok meg és ellenőrizzétek a következő feladatokat! Állapítsátok meg, hogy hány megoldás van! a) Egy a egész szám és a 7 összege nem nagyobb, mint 16. Mi lehet ez a szám? b) Egy b racionális számot keresünk, amelynek a háromszorosánál 5-tel kisebb szám a 16.

Mi lehet ez a racionális szám? c) Mi lehet az a c természetes szám, amelyből 5-öt kivonva 3-nál kisebb számhoz jutunk? d) Melyik az a d szám, amelynek a felénél 9-cel kisebb szám egyenlő a d szám

– 4-szeresével? e) Ha egy e szám 5-szöröséből elveszünk egy az e számnál 1-gyel kisebb számot, akkor az

e szám négyszeresénél nagyobb számhoz jutunk. Mi lehet ez a szám? f) Melyik az az f szám, amelynek a –3-szorosához 5-öt adva, az f számnál 1-gyel kisebb

szám –3-szorosánál 2-vel nagyobb számhoz jutunk? g) Páros számot választottam,

17-tel megtoldottam, aztán 10-zel elosztottam, végül 4-gyel megszoroztam. Amit kaptam ezután, nem más, mint a nyolcas szám. Melyik számot választottam?

2. Oldd meg a feladatokat, és ellenőrizd a megoldások helyességét!

a) Gondoltam egy számot. Ha a nála 7-tel kisebb szám négyszereséhez 3-at adok, 15-öt kapok eredményül. Melyik számra gondoltam?

b) Melyik az a természetes szám, amelyhez 7-et adva 5-nél kisebb számhoz jutunk? c) A 15 és egy c szám összegének a fele 5,5. Melyik ez a c szám?

2. FELADATLAP 1.

Mindig az első sorból

indulunk ki

5 < 7

–3 < 2

–7 < –5

5 = 5

–7 = –7

Adj hozzá mindkét oldalhoz 2-t!

Vonj ki mindkét oldalból 0,5-et!

Szorozd meg mindkét

oldalt 3-mal!

Oszd el mindkét oldalt 2-vel!

Szorozd meg mindkét

oldalt (–3)-mal!

Oszd el mindkét oldalt (–2)-vel!

0813. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS – Egyenletek, egyenlőtlenségek 27

2. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) 5 a – 4 = 6 b) – 4 b + 9 = b – 6 c) 7 – (2 c + 5) ≤ 8 – c d) 2 (d – 3) = 2 d – (4 – d) e) 9 + (4 – e) –2 (3e + 1) = 5 (e – 2) – (5 – e) f) 8 – 3 f = 4 f + 3 g) 3 (g – 1) – (1 – g) > 2g – 5 (g – 1) – (1 + g)

3. a) Az egyenletmegoldás sorai összekeveredtek. Számozd be a sorokat a megoldás sor-

rendjében, és minden sor mellé írd oda, hogy mi történt!

Bal oldal: 4 · (2 – 7) – (6 · 2 + 3) – 3 · (7 – 2) = – 20 – 15 – 15 = – 50

4 x – 28 – 6x – 3 – 21 + 3 x = – 50

x – 52 = – 50

4 (x – 7) – (6 x + 3) – 3 (7 – x) = – 50

x = 2

Jobb oldal: – 50

b) Az egyenlőtlenség megoldásának sorai összekeveredtek. Számozd be a sorokat a meg- oldás sorrendjében, és írd melléjük, hogy mi történt!

– 4 x + 20 ≥ 3 x – 15 5x ≤

4 x – 12 – 8 x + 32 ≥ 3 x – 15

– 7 x + 20 ≥ – 15

4 (x – 3) – 8 (x – 4) ≥ 3 (x – 5)

– 7 x ≥ –35

Végezz ellenőrzést az alábbi táblázat segítségével!

Ábrázold az egyenlőtlenség megoldását számegyenesen!

x bal oldal jobb oldal bal oldal ≥ jobb oldal

5

4

6

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7



a) 3 x – 7 + 4 + 2 x – 3 = 2 x + 2 (x + 1)

b) 5 (a – 4) – (3 – a) = 2 (a + 2) – 3 (a + 1) + 4

c) – 2 + 4 (x + 1) = 5 (x – 1) –1


a) – 8 x – 6 + 4 x – 3 – 10 = 9 – (x + 4) – 3 (4 – x)

b) –4 (b + 2) + 3 (b – 2) – 2 (2 – b) = – (b + 3) + 5 (3 – b) + 5 b

c) 6 (a – 3) – 5 = 8 – 3 (a + 1) + 2a

3. FELADATLAP

1. Oldjátok meg a feladatokat más-más kezdőlépés végrehajtása után! Ne feledkezzetek meg az ellenőrzésről sem!

Az egyenlet Az 1. tanuló kezdőlépése

A 2. tanuló kezdőlépése

A 3. tanuló kezdőlépése x =

a) 2 4 23

x x= + Mindkét oldalt szorzod 3-mal

Mindkét oldalt szorzod 6-tal

Mindkét oldalt szorzod 9-cel

b) ( )1 532 6

x x⋅ + = Mindkét oldalt szorzod 6-tal

Mindkét oldalt szorzod 12-vel

Mindkét oldalt szorzod 30-cal

c) 45 3

x+ = ( )7 3

30x + Mindkét oldalt

szorzod 30-cal Mindkét oldalt szorzod 60-nal

Mindkét oldalt szorzod 90-nel

2. Oldd meg, és ellenőrizd! Szükség esetén kérj segítséget a csoport szakértőjétől! Az egyen-

lőtlenség megoldáshalmazát ábrázold számegyenesen!

a) 4 7 25

= −x x

b) 2 14 ( 3)3 2

− = +x x

c) 5 3 7( 1)6 3 4 12− = − −

x x

d) 2 1 2

2 7 2 7

+ < +x x


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Ha testvéreim számát megszorzom héttel, és az eredményhez ötöt adok, akkor testvéreim számánál 11-gyel nagyobb számhoz jutok. Fejtsd meg, hány testvérem van!

2. Egy hatodik osztályban 25-en sportolnak, mindenki csak egyféle sportot űz. Kétszer

annyian kosaraznak, mint ahányan vívnak, és a focisták száma 5-tel több, mint a vívóké. A többi sportoló gyerek atletizál, ők nyolcan vannak. Hányan űzik az egyes sportokat?

3. Egy hatodik osztályban 25-en sportolnak, mindenki csak egyféle sportot űz. Kétszer

annyian kosaraznak, mint ahányan vívnak, és a focisták száma kettővel több, mint a vívóké. A többi sportoló gyerek atletizál, ők öten vannak. Hányan űzik az egyes sportokat?

4. Janka és Panka testvérek, a húsvéti locsolkodásra készültek. Nagyon sok locsolóra számí-

tottak, ezért már pénteken elkezdték a tojásfestést. Janka naponta 1-gyel több tojást tud megfesteni, mint Panka, de még így sem lettek készen a tervezett harminc tojással a három nap alatt. Hány db tojást festhettek meg naponta? Foglald táblázatba a lehetőségeket!


a) 5 x + 2 x + 7 – 6 x = 9 – (x + 2) + 22

b) – (x – 1) + (4 + x) = (x + 5) – (2x – 3) 6. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) 3 (a + 2) – (6 – a) = 14 – 2 (a + 1)

b) – 2 (b – 5) + (b + 5) = 3(b + 4) – (3 + b) 7. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) – 9 + 3 (x – 2) = 3 (x + 1) + x – 8

b) 5 (2y + 3) – 8 = 11 – 2(y + 1) – 2 8. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) 42 – (3 a + 2) = 4 (a – 0,5)

b) 4 (b – 2) – 3 = 4 b – 3 (b – 2) + 1 9. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) 3 4 25

x − = c) 33 64

y− =

b) 7 3 112 4 6

x x− = d) 1 3 1 23 4 4 3

x x− = +



a) 1 25

a −= b) 2 4 3

2b −

=

c) 4 5 2 73

c +− = d) 43 1

5d +

− =


a) 1 1 12 3 6

x x x− + −− = b) ( )8 3 2 41

5 2x xx− −

− + =

c) 5 2 226 3 5

x x− ++ = − d) 27 2

5xx +

− =

12. Mi(k) lehet(nek) a megoldás(ok)?

a) x0 = 3 b) (2 x)2 = 100

c) (– 2 x)2 = – 100 d) 5 x2 = 45

e) (7 – x)3 = 27 f) 3x = 1

g) 8 0x= h) (x – 3) (x + 1) = 0

13. Ha tudod, oldd meg fejben az alábbi egyenleteket, de feltétlenül ellenőrizd a megoldások

helyességét!

a) p + 1,25 = 3 2 33+ =q

b) 3 18 2

− =r 40 75

− =, s

c) 7 42t ⋅ = − 1 34 7

=u

d) 1 19v ,= − 1

15z = 3 ׃

5


a) 7 30 5x− + = − 4 9 25y− + = 2 3 5v − = − 9 3 6z− =

b) 4 3 15

x − = 5 297 7

y− = −

2 143 5

v + = 5 786 9

z+ =


a) 7 4 19 3 8 13 1 1x x x x x− − + = − − + + −

b) 5 5 2 52 2 2 2x x x xx− + − = − +

c) 2 14 73 3 2xx x x x− + + = + +



a) ( )4 9 3 5 3x x x− − = +

b) ( ) ( ) ( ) ( )8 4 4 7 4 4x x x x x− + + − = − − − + +

c) ( ) ( ) ( )2 4 7 3 6 11 7 6 2 5x x x ( x ) x− − + − − = + − − −

d) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 5 3 2 7 8 6x x x x x− − + − = + − − + 17. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) 4 7 2 7 8 15 6 3 3 15 2

x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) ( ) 5 1 12 12 6 12 3 4 12 4x x x xx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


a) ( ) ( ) ( ) ( )7 3 4 2 5 7 4 4a a a a a− + + − = − − −

b) ( ) ( ) ( )48 2 3 2 3 2 3 7 21b b b b+ − − − = − + +

c) ( ) ( ) ( )0 7 2 1 2 3 2 0 9 1 5 1 8, c , c , c , ,− − − = − − 19. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) ( ) ( )2 4 3 1 9 2 1, x x− + = − +

b) ( ) ( )0 2 4 5 2 0 6 3, y , y− + − = − −

c) ( ) ( )2 11 2 3 13 3

v v− + = − −


a) 3 3 12 4 4 2a a a− −− = +

b) 2 5 2 5 15 2 2 5 10

b b b b− − −+ = + +

BESZORZÁS, KIEMELÉS Beszorzás és kiemelés, algebrai kifejezések szorzattá alakítása

Készítette: Benyhe László

0821. MODUL


I. Azonosság és egyenlőség; szorzatalak és összegalak

1. FELADATLAP 1. Azonosság-TOTÓ

Töltsd ki a TOTÓ-t az alábbiak szerint! 1 = A változók (betűk) helyére bármilyen számot írva az egyenlet igaz. 2 = Nincs olyan szám, amelynél igaz az egyenlet! X = Az előbbiek egyike sem teljesül, azaz van olyan szám (akár több is), amikor az egyen-

let igaz, de nem minden számra. Ha nehéznek gondolod, egyszerű számok behelyettesítésével próbálkozz, hogy megkapd a helyes választ!

1. baba 333)( −=⋅− 2. 2042 −=−x 3. 3,437,7 −= x 4. zyzy 1010)(10 ⋅=⋅⋅ 5. )3(636 +⋅=+ kk

6. baba−−=

+−

26

226

7. )2( dcccd −−=− 8. 2103 =+x 9. 33)1()3( −−=−⋅− yy 10. )22()22(2 mmm −⋅−= 11. )2()2(2 yxyxy −−+=

12. 52)2(

)2(10⋅=

⋅++⋅ f

ggf

13. 22 25)5( aa =−

+1. 31

3111

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

xx

Emlékeztetőül: az olyan egyenletet, amelyekben a változók (a „betűk”) helyére bármilyen megengedett számot írva az egyenlőség igaz marad, azonosságnak nevezzük.

TUDNIVALÓ

Az azonosság jele: ≡ Az egyenlőség jele: = A nem-egyenlőség jele: ≠ (De nem hiba, ha az azonosságot is csak „sima” = jellel jelöljük.)

)3(6186 +⋅=+ kk vagy )(636 21+⋅=+ kk

összeg szorzat összeg szorzat

tényezők tagok tényezők tagok

0821. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS – Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 35

Az Algebrai dominójáték

Az asztalra helyezett dominókártyákból mindenki vegyen el magának ugyanannyit (pl. mindenki egyet, vagy mindenki kettőt, ahogy a tanár mondja). A tanár indítja el a játékot úgy, hogy kirakja a nála lévő kártyát a tábla közepére. Figyeljetek, és ha valakinél (valamelyik csoportnál) ott van a folytatás, az rakja ki mellé a táblára a sajátját. Az nyer, akinek (amelyik csoportnak) először elfogynak a kártyái. A pontozást a tanár közli.

II. Beszorzás: szorzatból csináljunk összeget!

Fejszámolás

Figyeljük meg, hogyan számoljuk ki a következő szorzatokat! 67 13 67 (10 3) 67 10 67 3 670 201 871⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + = 12 87 (10 2) 87 10 87 2 87 870 174 1044⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 28 19 28 (20 1) 28 20 28 1 560 28 532⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − = 81 99 81 (100 1) 81 100 81 1 8100 81 8019⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − = Találjatok ki ti is hasonlókat, kérdezgessétek egymástól!

2. FELADATLAP

1. A pincér és a három jó barát Három jóbarát beült egy kis étterembe. Rendeltek a pincértől egy-egy sajtos szendvicset 220 Ft-ért és egy-egy narancsos üdítőt 250 Ft-ért. A pincér felvette a rendelést, majd kihozta az italokat és ételeket. A jóbarátok ezeket elfogyasztották, majd fizetni kívántak. Mindannyian kiszámolták, hogy fejenként hány forintot kell fizetniük, és összedobták a pénzt. Hívták a pincért, aki hozta a számlát, majd a jóbarátok fizettek és távoztak. Hogyan számolták össze, hogy mennyi pénzt kell adniuk a pincérnek? Hogyan számolta össze a pincér, hogy mennyit kell fizetniük a jóbarátoknak? (A borravalót ne vegyük számításba!)

A jó barátok: (220 Ft + 250 Ft) · 3 = 470 Ft · 3 = 1410 Ft A pincér: 220 Ft · 3 + 250 Ft · 3 = 660 Ft + 750 Ft = 1410 Ft Tehát: (220 Ft + 250 Ft) · 3 = 220 Ft · 3 + 250 Ft · 3

Mivel bármilyen más árak mellett is igaz az okoskodás, képzeljünk a 220 Ft helyett a betűt, mint változót. A 250Ft helyett b betűt, a 3 helyett c betűt. Így azt a már tanult azonosságot olvashatjuk le, hogy összeget (különbséget) úgy szorozhatunk egy kifejezéssel, hogy az összeg (különbség) minden tagját megszorozzuk az adott kifejezéssel.

TUDNIVALÓ

( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ illetve ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ( )a b c a b a c⋅ − = ⋅ − ⋅ illetve ( )a b c a c b c− ⋅ = ⋅ − ⋅


2. Téglalapok felbontása Írjátok fel a nagy téglalapok területét az oldalak szorzataként, majd a résztéglalapok terüle- teinek összegeként!

j)

x

x

2 a)

x 3 b)

3

a

b

x i)

2

3

3

y

h) a

a

5

5 g)

2 b

a

3

1,3 y 0,4

z

f) 4 y 6

7

e)

x

x

5 d) c)

1 x

4


Általános formulák

A következő téglalap területét írjuk fel többféleképpen!

TUDNIVALÓ

( ) ( ) ( ) ( )a b c d a c d b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ vagy

( ) ( ) ( ) ( )a b c d a b c a b d a c b c a d b d+ ⋅ + = + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Összeget összeggel úgy is szorozhatunk, hogy az egyik tényező minden tagját megszorozzuk a másik tényező minden tagjával, és a kapott szorzatokat összeadjuk.

Az előbbi két műveletsorban a kezdeti szorzatokat végül összegekké alakítottuk. Ezt szokás beszorzásnak nevezni.

III. Egytagú kifejezés szorzattá bontása

Az összetett számok és az egytagú algebrai kifejezések

Az egytagú algebrai kifejezések sok mindenben hasonlítanak az összetett számokhoz. Például abban, hogy az összetett számokhoz hasonlóan, szét lehet tényezők szorzatára bontani őket. A természetes számoknál tapasztaltakhoz hasonlóan ezeket a tényezőket az eredeti kifejezés osztóinak nevezhetjük. Például: A 12 osztója az 504-nek, mert megtalálható a 42, amivel a 12 42 504⋅ = teljesül. Persze így kiderült, hogy a 42 is osztója az 504-nek. Az 2 3a b c -nek osztója az 2ab , mert megtalálható a abc , amivel a 2 2 3( ) ( )ab abc a b c⋅ = teljesül. Persze így kiderült, hogy az abc is osztója a 2 3a b c -nek. A 680-nak osztója a 17, mert 17 40 680⋅ = . A 17 osztópárja a 40. A 26a -nek osztója a 2a , mert 22 3 6a a a⋅ = . A 2a osztópárja a 3a .

c d

b

a


3. FELADATLAP

1. Bontsd szorzattá minél többféleképpen! Keresd meg az alábbi számoknak, kifejezéseknek minél több osztóját (osztópárját), írd be ezeket a megfelelő négyzetekbe!

Osztó:

a) 72 Osztópár: Osztó:

b) 39 Osztópár: Osztó:

c) 64 Osztópár: Osztó:

d) 101 Osztópár: Osztó:

e) 3b Osztópár: Osztó:

f) 22x y Osztópár: Osztó:

g) 4x Osztópár: Osztó:

h) 2 26a b Osztópár: 2. Osztója-e? Ha igen, add meg az osztópárját!

a) A 620-nak a 24? ...................................................................

b) A 32 a 224-nek? ...................................................................

c) Az 56 a 728-nak?..................................................................

d) Az 1001-nek a 11? ...............................................................

e) A 26a -nek az 3a ? ................................................................

f) A b a 3b -nek?......................................................................

g) A 26x -nek a 23x ? ................................................................

h) A 2 24a b -nek a 32ab ?...........................................................

3. Add meg a hiányzó kifejezést úgy, hogy A B C⋅ = igaz legyen!

A a 5rd ab cr 2h2 B 3x 4rd ba 22b –3h –3i C 2a2b 6x2y2 314b d cdrw 3h2o 16ch4 3bit


Egy kifejezés osztóinak keresése az Algebrai

osztókártyás játék segítségével

A játék menete: A tanári asztalról mindenki húzzon magának ugyanannyi (amennyit a tanár mond) sárga kártyát. Menjen a helyére, és figyelje a táblát. Ezután a tanár felrakja az esetleges megmaradt sárga kártyákat a tábla egyik szélére. Majd a játék indításaképpen felrak egy piros kártyát a hatból a tábla közepére. Az a gyerek, akinél van ehhez tartozó osztó, az menjen ki a táblához, és az osztály felé fordulva mutassa fel a sárga kártyáját. Ha több kártya is van egy gyereknél, mindegyiket vigye magával, de csak a jót mutassa fel! Pluszpontot kaphat az, aki jó kártyát mutat fel, és ezt meg tudja indokolni a következő mondat alapján: –„Én osztó vagyok, mert engem …-val (szükséges egész kifejezéssel) megszorozva megkapjuk a …-t (a piros kártyán levő egész kifejezést).” Például, ha éppen a 6a2-t ábrázoló piros kártya van a táblán, és valaki a 2a-t tartalmazó kártyát tartja fel a kezében a táblánál állva, akkor a következő mondattal szerezhet újabb pontokat magának: „Én osztó vagyok, mert engem 3a-val megszorozva megkapjuk a 6a2-t.” Jó játékot, figyeljetek, mert legfeljebb csak 6 forduló lehetséges!

IV. A kiemelés: összegből csináljunk szorzatot!

Két kifejezés közös osztóinak keresése az Algebrai osztókártyák segítségével

A játék menete: A tanári asztalról minden gyerek húz magának ugyanannyi (amennyit a tanár mond) sárga kártyát. Ezután a tanár felrak egyszerre két piros kártyát a táblára, és akinél van ezekhez tartozó közös osztó, az menjen ki a táblához, és az osztály felé fordulva mutassa fel a sárga kártyáját (illetve kártyáit). A pontozást a tanár közli.

4. FELADATLAP

1. Keress az alábbi számpárokhoz, kifejezéspárokhoz közös osztót!

a) 24 és 36 ................................................................................

b) 56 és 108 ..............................................................................

c) 102 és 36 ..............................................................................

d) 42 és 105 ..............................................................................

e) 81 és 101 ..............................................................................

f) 41 és 205 ..............................................................................

g) 4a4b5 és 6a2b2 .......................................................................

h) 4a4b5 és 6a2 ..........................................................................

i) 4a4b5 és b3 ............................................................................

j) 4a4b5 és 8ab2 ........................................................................

k) 4a4b5 és 2a3b ........................................................................


l) 6a2b2 és 6a2 ..........................................................................

m) 6a2b2 és b3 ............................................................................

n) 6a2b2 és 8ab2 ........................................................................

o) 6a2b2 és 2a3b ........................................................................

p) 6a2 és b3................................................................................

q) 6a2 és 8ab2............................................................................

r) 6a2 és 2a3b............................................................................

s) b3 és 8ab2..............................................................................

t) b3 és 2a3b..............................................................................

u) 8ab2 és 2a3b..........................................................................

2. Keress az alábbi kifejezésekhez közös szorzótényezőt!

a) 3x2 és 2xy .............................................................................

b) 6x és 3x ................................................................................

c) 2x és 6 .................................................................................

d) 4x3 és 16x2 és 8x ..................................................................

e) 24a2b5 és 32a4b3 ..................................................................

f) 18 és 3x2y és 21x .................................................................

g) 318a4b5 és 317x3y ................................................................

h) 62c2d2 és 28c3d ....................................................................

A kiemelés

Szorzatot már tudunk összeggé alakítani beszorzással: Például: 23 ( 2 ) 3 6a a b a ab⋅ + = + vagy: 4 (2 3) 8 12x x⋅ − = − Most alakítsunk összeget szorzattá a következő „recept” alapján:

• Keressünk az összegek tagjaihoz közös osztót! • Írjuk fel ennek segítségével a tagokat szorzatokként. • Ezután a közös osztót emeljük ki, azaz tegyük közös szorzótényezővé, és a meg-

maradt tényezőket a köztük lévő eredeti műveletekkel együtt tegyük zárójelbe. Például:

=+ aba 63 2 a3 +⋅ a a3 =⋅ b2 a3 )2( ba +⋅ röviden: )2(363 2 baaaba +⋅=+ vagy: 8 12x − = 4 2x⋅ + 4 3⋅ = 4 (2 3)x⋅ − röviden: 8 12 4 (2 3)x x− = ⋅ −


Az előbbi műveletsort kiemelésnek nevezzük. Kiemeléskor összeget alakítunk szorzattá. A példák alapján is megfigyelhető, hogy a kiemelés a beszorzás „fordítottjának” is nevezhető. Kiemeléskor figyelj az előjelek és műveleti jelek helyes használatára! Ha bizonytalan vagy a kiemelés helyességében, akkor ellenőrizd le a kapott szorzat beszorzásával, hogy vissza- kapod-e az eredeti összeget! 3. Az alábbi összegeket alakítsd szorzattá! Beszorzással ellenőrizz!

a) 2 6a + = ...........................................................................................................

b) 3 6x − = ............................................................................................................

c) 12 3a b+ = ........................................................................................................

d) 5 20y − = .........................................................................................................

e) 5 5y − = ...........................................................................................................

f) 5 5y x− = .........................................................................................................

g) 5 5y xy− = ........................................................................................................

h) 25 5y y− = .......................................................................................................

i) =+ xx 63 2 .......................................................................................................

j) =− aa 52 .........................................................................................................

k) 4 12− + =x ........................................................................................................

l) 4 12x− − = ........................................................................................................

m) 2x xy− − = .......................................................................................................

n) =− a68 ...........................................................................................................

o) =− xx 86 .........................................................................................................

p) =− 22 39 baba .................................................................................................

q) 33− − =xy y ......................................................................................................

r) =− baab 2 .......................................................................................................

s) =+ xx 43 .........................................................................................................

t) =−+ xxx 8164 23 ............................................................................................


4. Végezd el a lehetséges összevonásokat, majd a kapott összeget kiemeléssel alakítsd szorzattá! a) 22− + =a a a ....................................................................................................

b) 23 5− + =b b b ...................................................................................................

c) 2 4 3− + − =a ab a ba ........................................................................................

d) 3 2 7+ − − − =abc cba ab bac ba .......................................................................

e) 2 22 2− + − =y yx y xy ......................................................................................

f) 3 4+ + + =x xy x xy ...........................................................................................

g) 3 5 2 6 7 5+ − + − − =y xy yx y ...........................................................................

h) 4,5 1,5 10 4− − − =x xy x xy ...............................................................................

V. A kiemelés gyakorlati alkalmazásai

Kiemelés a fejszámolásban

A kiemelés segítségével a mindennap szükséges fejszámolásokat tehetjük gyorsabbá, könnyebbé. Figyeljétek meg az alábbi példákat! 37 4 37 6 37 (4 6) 37 10 370⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ = 43 4 23 4 (43 23) 4 20 4 80⋅ − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = 23 24 23 22 6 23 23 (24 22 6) 23 40 920⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + − = ⋅ = Találjatok ki ti is hasonlókat, kérdezgessétek egymástól!

Egyszerűsítés

Törtek egyszerűsítésekor a számlálót és a nevezőt is szorzatként írjuk fel, és ha találunk közös osztót, akkor azzal elosztjuk a számlálót és nevezőt is. Ebben segítségünkre lehetnek az oszthatósági szabályok, a prímtényezős felbontás és a legnagyobb közös osztó megkeresése.

Például: 4 4 3 3

3 3 3 3

1296 2 3 2 3 (2 3 ) 61080 2 3 5 5 (2 3 ) 5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

A zárójelnek ebben a példában csak értelmező szerepe van, matematikailag elhagyható. (Természetesen sok gyakorlás után ezek a lépések egy része, vagy akár mindegyike, fejben is elvégezhető! ☺) Algebrai kifejezéseknél is hasonlóan járunk el: ha szükséges, akkor kiemeléssel közös szorzó- tényezőt keresünk, és ha találunk, akkor azzal egyszerűsítünk. De: Vigyáznunk kell arra, hogy a nevező nem lehet nulla!

Például: 2 3 2 2 2

3 2

2 2 ( )12 2 (6 ) 6

x y x y y yx y x y x x

⋅= =

⋅, de x ≠ 0, y ≠ 0.

223

2

3228

)32(4)28(4

128832

xx

xxxx

xxxx

−−

=−⋅−⋅

=−− , de x ≠ 0 és 2

3x ≠ .

2

6 3 3 (2 ) 32 (2 )

a b a ba ab a a b a+ ⋅ +

= =+ ⋅ +

, de a ≠ 0 és 2a + b ≠ 0.


5. FELADATLAP

1. Egyszerűsítsd a kifejezéseket! Ha tudod, keresd meg, hogy mely értékeket nem vehetnek fel a változók!

a) 2

2xx=

b) 3 615a +

=

c) 2

3

6 24

y yy+

=

d) 2 2xx+

=

e) 23 ( 3)

3xx⋅ +

=+

f) 510

aab

=

g) 36 ( 2)42 84

kk⋅ −

=−

2. Többet ésszel, mint erővel! Számold ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha 1,2a = és 10b = − .

a) 24

6aab

=

b) 3 56a a

ab−

=

c) 16 88 4

b ab a−

=−

d) 25

10b b

b+

=

e) 2 2,42 20ab−

=+

f) 3 26 4a ba b+

=+

g) 3 22 3a ba b+

=+

h) 3

25 (1 )a a

a a+

=⋅ +


Hiányos, magasabb fokú egyenletek megoldása

A következőkben olyan egyenleteket fogunk tudni megoldani a kiemelés segítségével, ame- lyeket eddig nem tudtunk. Például: 22 6 0x x+ = 2 ( 3) 0x x⋅ + = Mivel egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így az egyenletnek két megoldása lesz: 1 0x = és 2 3x = − Még egy példa: 4,6x = 22,3x 24,6 2,3x x− = 0 2,3 (2 )x x⋅ − = 0 1 0x = és 2 2x = 3. Hiányos, magasabb fokú egyenletek megoldása kiemeléssel

Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 2 3 0a a− =

b) 214,4 7,2 0b b− =

c) 2 2c c= −

d) 3 0d d− =

e) 4 3 0e e− =

f) 2 0f f+ =

g) 3 0g g+ =

h) 28 4 0h h− =

Fejszámolásos trükkök

Első trükk: Az 5-re végződő számok négyzete Először nézzünk csak kétjegyű, 5-re végződő számokat: Például: 225 625= 235 1225= 275 5625= Próbáljátok kitalálni a szabályt! Próbáljátok a szabályt bebizonyítani, és alkalmazni három- jegyű, 5-re végződő számokra is! Második trükk: Egy adott szám szomszédainak szorzata Figyeljétek meg a következő számpárok szorzatának kiszámolását!

2 241 39 40 1 1600 1 1599⋅ = − = − = 2 259 61 60 1 3600 1 3599⋅ = − = − = 2 218 22 20 2 400 4 396⋅ = − = − = 2 243 37 40 3 1600 9 1591⋅ = − = − =

Próbáljátok kitalálni a szabályt! Fogalmazzátok meg írásban! Próbáljátok a szabályt bebizo- nyítani, és alkalmazni más számpárokra is!


VI. Rendszerező gyakorlás A Puzzle-játék A játék menete: Alakítsatok legfeljebb 6 csoportot! Minden csoport ugyanolyan, 15 darabos (sárga) téglalapocskákból álló Mozaik-készletet kap. Majd minden csapat kap egy színes téglalapokból álló lapot. (Ezt nem szabad felvágni, és nem szabad rá írni semmit!) Végül kaptok egy Megoldólapot, ami alapján kell majd dolgoznotok. A tanár jelzésére elindul a játék. Ki kell rakni a mozaiklapok segítségével a téglalapokat. Ha egyet kiraktatok, fel kell írni a téglalap területét kétféleképpen is a Megoldólapra. Cél: minél gyorsabban hibátlanul kirakni az összes téglalapot, ami a lapotokon van.

Ismétlő kérdések Hogyan írtátok fel a Megoldólap táblázatának bal oszlopainak elemeit? Hogyan írtátok fel a Megoldólap táblázatának jobb oszlopainak elemeit? A bal és a jobb oszlop azonos sorának elemei között egyenlőség van? A táblázat sorai mind-mind azonosságok? Mit is nevezünk azonosságnak? Hogyan nevezzük ezen azonosságoknak azt az alakját, ami a baloldali oszlopban van? Hogyan nevezzük ezen azonosságoknak azt az alakját, ami a baloldali oszlopban van? Milyen művelettel kapható meg egy baloldali elemből a mellette levő jobboldali? Milyen művelettel kapható meg egy jobboldali elemből a mellette levő baloldali? Beszorzással milyen alakú kifejezésből milyen alakút kapunk? Kiemeléssel milyen alakú kifejezésből milyen alakút kapunk?

TUDNIVALÓ

Beszorzással egy szorzat alakú kifejezést alakíthatunk összeg alakúvá. Kiemeléssel pedig ezt az összeg alakú kifejezést visszaalakíthatjuk szorzat alakúvá. Ezt úgy mondjuk, hogy a Beszorzás és a Kiemelés egymás fordított műveletei. Figyeljétek meg! A vörös négyzet kirakásával bebizonyítható a következő azonosság:

2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + Keressetek hasonlóan felírható négyzeteket!

Rendszerező ismétlés az Algebrai dominójáték segítségével Ezzel a játékkal már foglalkoztunk. A játék lényege ugyanaz, de most minden diáknak, aki a táblához kimegy, meg kell mondania, hogy a táblán levő kártyából a kezében tartott kártya milyen művelettel (beszorzás; kiemelés; négyzetre emelés; összeadás; szorzás átzárójelezhe- tősége; szorzás felcserélhetősége; stb.) kapható meg? Valamint azt is meg kell tudni mondania, hogy milyen matematikai kapcsolat van a két kártya között: egyenlőség vagy azonosság? Ugyanabból a csapatból csak akkor mehet valaki ki újra, ha már mindenki volt a táblánál! Nézzünk egy példát a jó indoklásra: „A táblán levő Algebrai Dominó kártyán levő 6k + 18 kifejezéshez illik a kezemben tartott 6 · (k + 3) kifejezést tartalmazó kártya, mert a 6k + 18 kifejezésből kiemeléssel megkapjuk a 6 · (k + 3)-t. Ezek a kifejezések között azonosság van, mert k helyére bármilyen számot beírva az egyenlőség igaz marad.” Ugye, milyen egyszerű… ☺? Élvezetes játékot! A pontozást a tanár közli.


FELADATGYŰJTEMÉNY

I. Azonosság és egyenlőség; szorzatalak és összegalak

1. Párosítsd össze az azonosakat! A lenti négyzetek fölé sorrendbe írd be a betűket!

2. Oldd meg az egyenleteket! Válaszd ki közülük az azonosságokat!

a) 7313)2( +=+⋅+ aa b) 8)8( =+− bb c) 3)4( −=−− cc d) dd −=+⋅ 10)2(2

e) 65

32eee

=+

f) 37)314(21

−=−⋅ ff

g) 2323)1(5 =+−⋅ g h) 6,3)4,2(2,1 =−−+ hh

3. Add meg az egyenlőtlenségek igazsághalmazát a racionális számok halmazán! Válaszd ki

közülük az azonos egyenlőtlenségeket!

a) 33)5()2(2 +≤−+−⋅ xxx b) )5(3)5(2 −⋅>−⋅ yy c) 8)7(6 −<+−− zz

d) 3)7()52(23

⋅−<+⋅ xx

e) 5122 >+y

f) 3 3 64 4

z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

I. ba 33 − A )12(2 −⋅ xx II. 186 +k A 3)( ⋅− ba

III. 2)5( a− B 225a IV. 33 −− y E )1()3( +⋅− y V. )(100 zy ⋅⋅ G zy 1010 ⋅

VI. xyy 255 − L )51(5 xy −⋅ VII. xx 24 2 − R )3(6 +⋅ k

I. II. III. IV. V. VI. VII.


II. Beszorzás: szorzatból csináljunk összeget!

1. Fejben számold ki a következő szorzatokat! A gondolatmenetedet írd a pontozott vonalra! 38 7⋅ = ..................................................................................................................................

52 6⋅ = ..................................................................................................................................

27 13⋅ = ................................................................................................................................

39 11⋅ = .................................................................................................................................

29 29⋅ = ................................................................................................................................

152 7⋅ = ................................................................................................................................

199 6⋅ = ................................................................................................................................

628 5⋅ = ................................................................................................................................

741 3⋅ = ................................................................................................................................

2. Töltsd ki a szorzótáblák üres mezőit!

a)

• 2+a b 23a b 12

a

3

2a

b)

• 2 +a b 2−a

32

− b 2 23− a b

2 2−a a

3. Írd fel a téglalap területét többféleképpen!

x

y

c ba

Számítsd ki a téglalap területét, ha: 13

a = cm 76

b = cm

1,5c = cm 23

x = cm

43

y = cm


4. Írd fel a szorzatokat összegalakban, majd az egynemű kifejezéseket vond össze!

a) =−⋅− )1()23( xx

b) =−⋅+ )32()5( bba

c) =+⋅+ )()( baba

d) =−⋅+ )()( baba

e) =−⋅− )()( baba

f) 2(3 2 )x y+ =

g) 2( 3 )a b− =

h) 2(2 3)a + =

i) 2(2 3)a − =

j) 2( 2 3)a− − =

k) 2( 2 3)a− + =

l) 2( 4 5 )x y− + =

m) 2 2( 0,5 3 )a b− + =

n) 22 5

3 7a b⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

o) =+⋅− )2()2( yy

p) (2 3 ) (2 3 )x y x x− ⋅ + =

q) 2 2(0,5 3 ) (0,5 3 )a b a b− ⋅ + =

r) 2 5 2 53 7 3 7

a b a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. Egy téglalap alakú vár oldalainak hossza a, illetve b méter. A vár köré 3 méter széles vizesárkot ástak.

a) Fejezd ki a vízfelszín területét a-val és b-vel! Mekkora a vízfelszín területe, ha a = 75 m és b = 50 m?

b) Hány liter vízre van szükség a vizesárok feltöltéséhez, ha az átlagos mélysége 2 méter?

a

b 3 m

3 m


6. Párosítsd össze az azonosakat! A lenti négyzetek fölé sorrendbe írd be a betűket!

7. Oldd meg az egyenleteket!

a) 73)4( 2 =++− xxx b) 29)3)(5( 2 −=−+ xxx c) 9)3)(3( 2 −=−+ xxx d) 7)7()12)(4( −+=−+ xxxx e) 5833)5)(5( =+−+ xx f) 0)4)(3( =+− xx g) 0)7)(52( =+− xxx h) xxx −=+− 29)1)(32(

8. Add meg az arany téglalap területét többféleképpen!

9. Fejezd ki a hatszög (halványkék, megcsonkított négyzet) területét! Mekkora a terület

mérőszáma, ha 6,2a = és 2,3b = hosszúságegység?

x – y

y x

b

b

a

a

I. )(3 yx −⋅ Á xy 33 − II. )()3( yx −⋅− B xyx −3

III. )3( −xy E x33− IV. )1(3 −xy O xyx 33 2 − V. )(3 yxx − R yxy 33 −

VI. )1(3 −⋅ x S 22 33 yx − VII. )()3( 22 xy −⋅− S yx 33 −

VIII. )1(3 x−⋅ Z yxy 3− IX. )3( yx − Z 33 −x

I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX.


10. Fejezd ki a pávakék kereszt területét! Mekkora a terület mérőszáma, ha 7x = és 1,5y = hosszúságegység?

11. Fejezd ki a kis barackszínű négyzet területét! Mekkora a terület mérőszáma, ha 6,8a = és

2,7b = hosszúságegység?

III. Egytagú kifejezés szorzattá bontása

1. Bontsd szorzattá minél többféleképpen! Keresd meg az alábbi számoknak, kifejezéseknek minél több osztóját (osztópárját), írd be ezeket a megfelelő négyzetekbe!

Osztó:

i) 167 Osztópár: Osztó:

j) 168 Osztópár: Osztó:

k) 169 Osztópár: Osztó:

l) 170 Osztópár: Osztó:

m) 3xy Osztópár: Osztó:

n) 36a Osztópár: Osztó:

o) 5x Osztópár: Osztó:

p) 25x Osztópár: Osztó:

q) 27xy Osztópár: Osztó:

r) 3abc Osztópár:

y

y

x

x

b

a

a

b


2. Osztója-e? Ha igen, add meg az osztópárját!

a) A 324-nek a 27?

b) A 15 a 645-nek?

c) A 939-nek a 72?

d) A 28 a 728-nak?

e) A 3y a 2 324x y -nek?

f) A 26a -nek a 23b ?

g) A 37 a 337y -nek?

h) A 33xy a 4 53x y -nek?

i) A 33xy a 46x y -nek?

j) A 33xy -nek a 33xy ?

k) A 3y a 37y -nek?

l) A 26a -nek a 4a ?

m) A 22x -nek az 3x ?

n) A 3 216a b -nek a 3 232a b ? 3. Írd fel az algebra nyelvén:

Az A szám 3-mal osztva 1-et ad maradékul:

A B szám 12-vel osztva 7-et ad maradékul:

A C szám páros:

A D szám páratlan: 4. Gondoltam két számra, az egyik 13-mal osztva 12-t, a másik 13-mal osztva 5 maradékot

ad. Írd fel az algebra nyelvén a két számot, összegüket, különbségüket, és szorzatukat is, majd olvasd le, hogy ezek mennyi maradékot adnak 13-mal osztva.

5. Az a szám 12-vel osztva 5-öt ad maradékul. Milyen maradékot ad a b szám 12-vel osztva,

ha tudjuk, hogy

a) a b+ 12-es maradéka nulla?

b) a b+ 12-es maradéka 4?

c) a b⋅ 12-es maradéka 5?

d) a b⋅ 12-es maradéka 10?


IV. A kiemelés: összegből csináljunk szorzatot! 1. Párosítsd össze az azonosakat! A lenti keretekbe írd be a betűket sorrendben!

2. Az összegalakú kifejezéseket alakítsd át szorzatalakúvá! Beszorzással ellenőrizz!

a) 215 5x x− = b) 3 3xay yxb+ =

c) 4 5a a− =

d) 2 27 3x x+ =

e) 2 25 10a b ab− =

f) 23 12 2

x x− =

3. Az összegalakú kifejezéseket alakítsd át szorzat alakúvá! a) 3 ( 2) ( 2)x x x⋅ + + ⋅ + =

b) 4 (3 ) (3 )x x x⋅ − − ⋅ − =

c) 2 ( 2) 3 ( 2)x x x⋅ − − ⋅ − =

d) 3 (1 ) 5 (1 )x x x⋅ + − ⋅ + =

e) 3 6 ( 2)x x x+ − ⋅ + =

f) 25 (2 ) 2x x x⋅ − + − =

g) 25 15 3x x x− + − = h) 6 9 4 6y xy x+ + + =

i) 2

3 6 2x y xyx+ + + =

j) 2

5 15 3x y xyx+ + + =

I. 3 3x y− E 3 (1 2 )x y x⋅ − + II. 38 2a ab+ E 22 (4 )ab a⋅ +

III. 2 28 2a a b+ É 22 (4 )a a b⋅ + IV. 38 2ab a b+ I 2 (5 3 )x y y x⋅ − V. 2 28 2a b+ K 3 (1 )x⋅ −

VI. 23 6 3x xy x− + L 22 (4 )a b⋅ + VII. 2 2 35 3x y x y− M 2 22 (4 )a b⋅ +

VIII. 3 3x− S 3 ( )x y⋅ −

I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.


4. Alakítsd az összegeket szorzatokká, a szorzatokat összegekké!

a) 22ba a⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) 2 2 2 3 2a b c a b b c⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

c) 3 3 2 (1 )x x− + ⋅ − =

d) 2( 1) ( 1)x x+ ⋅ − =

e) 3( 1)x + =

f) 3( 1)x − =

g) 25 10 2x y x xy− + − =

h) 5 10 4 8x y x y− + − =

V. A kiemelés gyakorlati alkalmazásai

1. Fejben számold ki a következő szorzatokat! A gondolatmenetedet írd a pontozott vonalra!

a) 73 52 27 52⋅ + ⋅ = ..........................................................................................................

b) 34 23 34 31 34 46⋅ + ⋅ + ⋅ = .............................................................................................

c) 48 67 67 68 40 67⋅ − ⋅ + ⋅ = .............................................................................................

d) 324 72 72 160 36 72⋅ − ⋅ + ⋅ = .........................................................................................

e) 112 73 73 98 14 73⋅ − ⋅ − ⋅ = ............................................................................................

f) 78 35 47 35 75 35⋅ + ⋅ + ⋅ = .............................................................................................

2. Először keresd meg, hogy mely értékeket nem vehetnek fel a változók, majd egyszerűsítsd

a kifejezéseket!

a) 2 46x

x+

=

b) 35 (1 3 )

x xyy

+=

⋅ +

c) 2

5 102

x xyx

+=

d) 22 18

5 ( 9 )x xy

x y+

=⋅ +

e) 27 ( )

3 3x xx

⋅ +=

+


3. Többet ésszel, mint erővel! Számold ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha 1,2a = és 10b = − .

a) 2a ab

a+

=

b) 6 153

b −=

c) 2

2

3 ( 2 )4 8

a ba b

⋅ +=

+

d) 9 6 123

a abab

+ +=

e) 3 23 2a ba b−

=−

f) 3 22 3a ba b−

=−

g) 3 22 3a bb a−

=−

h) 3 23 2a bb a−

=−

4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) 3 ( 5) 0x⋅ − = b) ( 7) 0x x⋅ + =

c) 7 3 08 4

x x⎛ ⎞− ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2 5 0x x− = e) 23 0x x− = f) ( 2) ( 7) 0x x− ⋅ + =

g) 23 ( 2)( 5,2) 03

x x x x⎛ ⎞⋅ + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 2 3 12 4 0x x x+ + + = i) 25 15 3 0x x x− + − =


a) 15 · 15 = ........................................................................................................................

b) 25 · 25 = ........................................................................................................................

c) 35 · 35 = ........................................................................................................................

d) 45 · 45 = ........................................................................................................................

e) 55 · 55 = ........................................................................................................................

f) 65 · 65 = ........................................................................................................................

g) 75 · 75 = ........................................................................................................................

h) 85 · 85 = ........................................................................................................................


i) 95 · 95 = ........................................................................................................................

j) 105 · 105 = ....................................................................................................................

k) 125 · 125 = ....................................................................................................................

l) 195 · 195 = ....................................................................................................................

m) 495 · 495 = ....................................................................................................................

n) 5 · 5 = ............................................................................................................................


a) 39 · 41 = ........................................................................................................................

b) 52 · 48 = ........................................................................................................................

c) 73 · 67 = ........................................................................................................................

d) 102 · 98 = ......................................................................................................................

e) 201 · 199 = ....................................................................................................................

f) 63 · 57 = ........................................................................................................................

g) 81 · 79 = ........................................................................................................................

h) 72 · 68 = ........................................................................................................................

VI. Rendszerező gyakorlás

1. Készíts téglalapos rajzot az órán tanultak alapján a szorzatokhoz! Bontsd fel a szorzatokat, és a rajz segítségével igazold az azonosságot!

a) =+⋅ )2(ba

b) ( 4)a b+ ⋅ =

c) 4 ( 3)b⋅ + =

d) 2 ( )a b⋅ + =

e) ( )a b b+ ⋅ =

f) =+⋅+ )3()1( ba

g) ( 3) ( 3)a b+ ⋅ + =

h) ( 4) ( 3)a a+ ⋅ + =

i) ( 2) ( 2)a a+ ⋅ + =

j) ( 3) ( 3)b b+ ⋅ + =

k) ( 2 ) 3a b+ + ⋅ =

l) ( 4) ( 2)a b a+ + ⋅ + =

m) (3 ) ( 2 )b a b+ ⋅ + + =


2. Fejezd ki a besatírozott téglalap területét szorzatalakkal és összegalakkal is!

a)

b)

c)

d)

3. Legyen 5a ≥ és 3b ≥ hosszúságegység! Készíts minden feladathoz a és b oldalakkal téglalapot (röviden a b× téglalapot), és satírozd be megadott részt. Bontsd fel a szorzatot, és a rajz segítségével igazold az azonosságot!

a) ( 1)a b− ⋅ =

b) ( 2)a b⋅ − =

c) ( 1) ( 1)a b− ⋅ − =

d) ( 1) ( 2)a b− ⋅ − =

e) ( 3) ( 2)a b− ⋅ − =

3

2

y

x

2

y

x

3

3

3

x

x

3

2

x

x


4. Algebrai úton a zárójelek felbontásával, és geometriai úton téglalapok segítségével is igazold az alábbi azonosságokat!

a) 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

b) 2 2( 1) 2 1a a a+ = + +

c) 2 2(3 ) 9 6b b b+ = + +

d) 2 2 2( 2 ) 4 4a b a ab b+ = + +

e) 2 2(3 2) 9 12 4a a a+ = + +

f) 2 2 2(2 3 ) 4 12 9a b a ab b+ = + +

g) 2 2( 1) 2 1a a a− = − +

h) 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +

i) 2 2( 3) 6 9b b a− = − +

SZÖVEGES FELADATOK Szöveges feladatok I.

Készítette: Mendelovics Zsuzsa

0831. MODUL


Százalékszámítás

1. FELADATLAP

1. Keressetek egyenlő kifejezéseket, majd az egyenlőség jelével összekötve írjátok le egymás mellé!

10a 0,4a 0,1a 2

5a az a szám 40%-a

a52 10

100a az a szám 10%-a 1

10a 6

5a

az a szám 75%-a 1,2a az a szám 120%-a a43 0,75a

120100

a 75100

a

2. a) Mennyi 330-nak a 18%-a?

b) A 150 hány százaléka a 220-nak?

c) Melyik számnak a 43%-a 860?

d) Hány százaléka a 250-nek a 180?

e) Melyik az a szám, amelyik az 1250-nek a 123%-a?

f) Melyik az a szám, amelynek 55%-a a 720?

g) Hány százaléka 230-nak a 276? 3. a) Lajosék lakást szeretnének vásárolni. Sok lakást megnéztek már, de egyik sem volt

megfelelő. Tegnap végre megtalálták azt a lakást, amelyik a család minden tagjának

megnyerte a tetszését. Amikor a foglaló kifizetésére került a sor, a felnőttek vitatkozni

kezdtek. (Foglaló: ha valaki nem tudja a megvételkor kifizetni a lakás teljes árát, foglalót

helyez el az ügyvédjénél. A foglaló értékét a szokásjog szabályozza.) Az eladó szerint a

foglaló a lakás értékének az 51 -öd része, Lajos papa úgy tudja, hogy a 20%-a, Lajos

mama másoktól azt hallotta, hogy a 10020 -ad része. Lajos Józsi (14 éves) zárta le a vitát.

Írjátok le, hogy szerintetek mit mondhatott Józsi!

b) Pisti anyukája 2 kg cseresznyét vitt haza. Pisti nagyon szereti a cseresznyét, megette a

52 -öd részét. Vera, a testvére a 40%-át. Ki evett kevesebbet?

– A cseresznye hányad része fogyott el?

– A cseresznye hány százaléka maradt meg?

0831. modul: SZÖVEGES FELADATOK I. 61

c) Kelemenék hitelre vásároltak autót. Ilyenkor előleget kell fizetni. Melyik esetben

nagyobb az előleg, ha megegyezik az autó árának

53 -öd részével;

60%-ával;

106 -ed részével;

10060 -ad részével;

0,6-szeresével? EMLÉKEZTETŐ

A százalékszámítás speciális törtrész számítás. A százalékszámításban szereplő mennyiségek: a százalékalap, a százalékérték és a százalékláb. A százalékalap a számításban szereplő egész mennyiség: 100%, ennek a számításban szereplő törtrészét nevezzük százalékértéknek. A százalékláb a századrészek számát adja meg, ha a százalékérték és az alap arányát századokban számítjuk.

Például: valaminek a 40%-a ugyanazt jelenti, mint a 52 -öd része.

4. Mindegyik feladatban húzzátok alá a 100%-ot (az egész részt) – Mennyi a 150-nek a 32%-a? – A 15 hány százaléka a 90-nek? – Hány százaléka a 30 a 120-nak? – Melyik számnak a 16%-a a 800? – Mennyi a 220-nak a 43%-a? – Melyik számnak a 12%-a a 480? – Hány százalékos volt az árleszállítás, ha a negyed kiló kávét 480 Ft helyett 320 Ft-ért

vásároltuk? – A szabásminta szerint egy szoknyára 2,2 méter anyagot kéne vásárolni. Felhajtásra,

összevarrásra, beszegésre még 6%-ot számolnak. Hány méter szövetet kell vásárolni? – Az egyik autó benzintankja 45 literes. Hány liter benzin fogyott el az úton, ha a mutató

szerint 20%-nyi benzin van a tankban? Az utolsó három feladatot oldjátok is meg!

5. A négygyerekes Katona család a tél végi árleszállításkor kabátot és nadrágot vásárol a

gyerekeknek. A kabátok árát 30%-kal, a nadrágokét 40%-kal csökkentették. Így egy nad- rágért 3500 Ft-ot, egy kabátért 6600 Ft-ot fizettek. Hány forintot takarítottak meg?

6. A Fő utcában lévő egyik üzletben fürdőruhákat árulnak. Az üzletet felszámolják, ezért van

olyan fürdőruha, amit 30%-kal és van olyan, amit 40%-kal olcsóbban lehet megvásárolni. Hat lánytestvér fürdőruhát vásárol magának. Az utóbbi ára 4230Ft, az előbbié 3360Ft volt. Melyikből hányat vettek, ha a végén 23 640Ft-ot fizettek. Mennyit takarított meg a család?


Két mennyiség értékének együttes változtatása

2. FELADATLAP

1. Két zsebemben együttvéve 800 Ft van. Mennyi pénz lesz a zsebeimben külön-külön, ha a) mindkét zsebemben ugyanannyi pénz van; b) nem tudom pontosan, hogy mennyi van a bal zsebemben; c) a jobb zsebemből átteszek 100 Ft-ot a balba; d) a bal zsebemből átteszek 300 Ft-ot a jobba?

2. Dóri és Barbi ikrek. Mind a ketten gyűjtik a papírszalvétát. Kettőjüknek összesen 650 db

szalvétájuk van. a) Ha Dórinak x db szalvétája van, hány van Barbinak? b) Dórinak 200 db-bal több szalvétája van, mint Barbinak. Mennyi van a gyűjteményükben

külön-külön? c) Dórinak 100 db szalvétával van kevesebb, mint Barbinak. Dóri zokog, csak akkor

nyugodna meg, ha ugyanannyi szalvétája lenne, mint Barbinak. Mit tanácsolsz, mit tegyen Barbi? – Valahonnan szerezzen 100 db szalvétát, és adja oda Dórinak. – A sajátjából adjon oda 100 db-ot Dórinak. – A sajátjából adjon oda 50 db-ot Dórinak. – Ne törődjön Dóri fájdalmával.

3. Fanninak és Ildinek összesen 800 Ft-ja van. Hány forintja van Ildinek, ha

a) Fanninak 300 Ft-ja van; b) Fanninak a Ft-ja van; c) Fanninak 100 Ft-tal több pénze van; d) Fanninak a Ft-tal kevesebb pénze van; e) Fanninak másfélszer annyi pénze van; f) Fanni és Ildi pénzének aránya 3 : 5?

4. Ferinek a Ft-ja van. Mennyi pénze van Tibinek, ha

a) Tibi pénze 36%-kal kevesebb, mint Ferié; b) Tibi pénze 28%-kal több, mint Ferié; c) Tibi pénze Feri pénzének a kétszeresénél 150 Ft-tal több; d) Tibi és Feri pénzének hányadosa 5,2; e) Tibi pénze 42%-a a Feri pénzének 20%-kal csökkentett értékének?


Munkavégzéses feladatok

3. FELADATLAP

1. Páros munkában fogtok dolgozni. Az egyik rajzlapot az általad választott színnel szépen, precízen az egyenletes sebességre törekedve fesd be az ecsettel. Mérd meg a festés idejét! Jelöld be, hogy egy perc alatt mennyit festettél le! Most ketten együtt egy újabb rajzlappal fogtok dolgozni. A rajzlapra rajzoljátok le egymás mellé az egy perc alatt lefestett sávotokat. Jelöljétek meg filctollal a két sávot, és írjátok rá, hogy ketten együtt egy perc alatt ezt a részt festettük volna le! Ezután becsüljétek meg, hogy ketten együtt mennyi idő alatt festettétek volna le az egész papírt! Írjátok le: – egy perc alatt lefestettem a rajzlapom ... részét; – egy perc alatt ketten együtt a rajzlapunk ... részét; – az egészet ketten együtt ... perc alatt festenénk le!

2. Egy téglalap alakú kert területe 120 m2. Ezt a kertet a kertész 6 óra alatt ássa fel. Mennyit ás fel a) egy óra alatt; b) három óra alatt; c) x óra alatt?

3. Ugyanez a kertész 5 óra alatt ás fel a m2-nyi területet. Mennyit ás fel a) egy óra alatt; b) három óra alatt; c) x óra alatt?

4. Ugyanez a kertész mennyi idő alatt ássa fel a terület a) felét; b) harmadát; c) 80%-át; d) kétszeresét?

Keveréses feladatok

4. FELADATLAP

1. Mennyi valódi narancs jut a szervezetedbe, ha a dl-t iszol és a) a dobozra 12% van ráírva; b) a dobozra 40% van ráírva; c) a dobozra 50% van ráírva; d) a dobozra 100% van ráírva?

2. Mennyi vizet kéne önteni a dl 100%-os narancsléhez, hogy a) 50%-os ivólét kapjunk; b) 25%-os ivólét kapjunk; c) 10%-os ivólét kapjunk?


Mozgásos feladatok

5. FELADATLAP

1. Mennyi idő alatt érsz oda ahhoz a barátodhoz, aki s km távolságra lakik, ha a) gyalog mész (a sebességed 4 km/h); b) biciklivel mész (a sebességed 12 km/h); c) motorkerékpárral visznek (a sebességed 40 km/h); d) autón visznek (a sebességed 50 km/h)?

2. Milyen messzire tudsz eljutni, ha t órát mész

a) gyalogosan; b) kerékpárral; c) motorkerékpárral; d) autóval?

3. Mekkora sebességgel haladsz, ha s km-t

a) 2 óra alatt teszel meg; b) 0,5 óra alatt teszel meg;

c) 43 óra alatt teszel meg;

d) 67 óra alatt teszel meg?

Számjegyes feladatok

6. FELADATLAP

1. Juci (5 éves) ismeri a számokat. Ha például 5-öst lát, tudja, hogy ötforintos érmét kell kivenni a tárcából. A közeli zöldségeshez ment vásárolni. Szőlőt kellett vennie, az ártáblán a 125-ös számot látta. Egy kg szőlőt kért, majd a pultra tette az egy db 1 Ft-os, 2 Ft-os és 5 Ft-os érmét, és mint aki jól végezte dolgát, nagyot köszönt, majd kilépett az üzletből. Vajon mit szólt az eladó? Magyarázd meg, valójában mennyit ér ez a három szám, ha egy, kettő, öt sorrendben írják le, és tízes számrendszerben van?

2. Mekkora értékű az a kétjegyű szám, amelynek

első jegye második jegye a szám összegalakja

2 3

2 a

a 3

a b


3. Most cseréld fel a számjegyeket, és így írd fel a kapott kétjegyű számok értékét!

első jegye második jegye a szám összegalakja

4. Mekkora értékű az a kétjegyű szám, amelynek számjegyeiről annyit lehet tudni, hogy

első számjegy második számjegy a szám összegalakja a két számjegy összege 11

az első számjegy 2-vel kisebb, mint a második

a második számjegy 3-mal nagyobb, mint az első

az első számjegy kétszerese a másodiknak

a második számjegy 75%-a az elsőnek

Életkoros, évszámos feladatok

7. FELADATLAP

1. Péter és Pál testvérek. Ha Péter a éves, hány éves Pál,

a) ha ketten együtt 28 évesek;

b) ha 3 évvel idősebb;

c) ha Péter korának kétszeresénél három évvel fiatalabb;

d) ha Péter korának 52 részénél 6 évvel idősebb;

e) ha 4 évvel ezelőtt feleannyi idős volt, mint Péter most;

f) ha 6 év múlva kétszer annyi idős lesz, mint Péter most?


„A” FELADATLAP

a/1. Melyik az a szám, amelynek hatszorosa eggyel nagyobb, mint a nála hárommal nagyobb

szám ötszöröse?

a/2. A reklámújságokban különböző elektromos cikkek árváltozását számolják ki. Számold ki

hány %-os az árváltozás!

Régi ár Új ár Árváltozás %

Televízió 29 990 19 975

Hűtőszekrény 79 990 59 878

Mosógép 69 990 57 598

Mosogatógép 111 990 89 964

Videokamera 69 990 49 978

a/3. A Mikulás mogyorót rejteget a zsebében. Annyit elárul, hogy a két zsebében együtt 44 db

mogyoró van, és ha a bal zsebéből 12 db-ot áttesz a jobba, akkor mind a két zsebében

ugyanannyi mogyoró lesz. Hány db mogyoró van a bal, illetve jobb zsebében?


„B” FELADATLAP

b/1. Melyik az a szám, amelynek négyszerese 2-vel kisebb, mint a nála 4-gyel kisebb szám

háromszorosa?

b/2. A téli vásáron egy 4900 Ft-os pulóver árát a 20%-kal csökkentették. Egy vevő felpró-

bálta, és talált rajta egy kis szövési hibát. Az eladó felajánlotta, ha a vevő elviszi, az árát

újabb 30%-kal csökkenti. Végül mennyibe került a pulóver?

Jobban járt volna a vevő, ha előbb engedik le 30%-kal, majd utána 20%-kal a pulóver

árát?

És ha csak egyszer hajtottak volna végre egy 50%-os árcsökkentést, ki járt volna jobban, a

vevő vagy az eladó?

b/3. Szüleid erszényében összesen 24 000 Ft van. Ha édesapád átadna édesanyádnak

8000 Ft-ot, akkor mindkettőjüknek ugyanannyi pénze lenne. Mennyi pénz volt külön-

külön az erszényükben?


„C” FELADATLAP

c/1. Melyik számra gondolt Ica, ha a szám kétszereséhez hozzáadta a szám háromszorosát, az

eredményt megszorozta 3-mal, hozzáadott 5-öt, és amit így kapott, azt elosztotta 2-vel,

majd közölte, hogy az eredmény 40!

c/2. Kati néni kétkosárnyi, összesen 90 kg sárgabarackot árul a piacon. Az egyik kosár

sárgabarackot fél óra alatt elvitték. Hány kg volt a kosárban, ha a kosárban lévő barack

25%-a megegyezik a másik kosárban lévő barack 20%-ával?

Kati néni 400 Ft-ot kért egy kg barackért. Eddig mennyit keresett?

Közben a piac megtelt árusokkal. Kati néni szomorúan látja, hogy a barackot általában

290 Ft-ért árulják, így ő is levitte az árát. Mennyivel, hány %-kal vitt haza kevesebb pénzt

ahhoz képest, mintha nem szállította volna le az árat? Hány Ft-ot keresett összesen, ha az

egészet eladta?

c/3. Egy 12 évfolyamos iskolába összesen 850 gyerek jár. A gimnáziumi osztályokba 120-szal

kevesebben, mint az általános iskolaiba. Hány általános iskolás és hány gimnazista tanuló

jár az iskolába?


„D” FELADATLAP

d/1. Találd ki, melyik számra gondoltunk! A gondolt szám háromszorosából kivonunk 5-öt, a

különbséget elosztjuk 4-gyel, és a hányadoshoz hozzáadjuk az eredeti szám 2-szeresét, így

18-at kapunk.

d/2. Az egyik élelmiszerüzlet sajthetet tartott, és finomabbnál finomabb sajtokat csökkentett

áron hoztak forgalomba.

Számold ki az új árakat!

Ár/kg csökkenés Új ár/kg

Holland sajt 3199 17%

Füstölt sajt 2379 18%

Camembert sajt 3219 20%

d/3. Cseh László olimpiai eredményének a megünneplésére 64 tagú társaság jött össze az

egyik étteremben. A pincérek két csoportba ültették le őket. Hányan vannak külön-külön

az egyes csoportokban, ha az egyikben 14-gyel többen ültek, mint a másikban?


8. FELADATLAP

1. A nyári vásár alkalmával néhány ruházati cikket olcsóbban lehet megvásárolni. A kirakat- üvegen a következő reklámfelirat van: „Minden ruhanemű 35%-kal, 40%-kal, 70%-kal olcsóbban kapható.” Az árcédulán feltüntetik az árváltozást. Párosítsd össze a felsorolt ruhaneműket az árváltozás alapján az árleszállítás százalékával!

Régi ár Új ár % fürdőruha 7500 4500 szandál 8990 2697 vászon sapka 5844 3799 póló 6500 1950 vászonnadrág 6500 3900

2. Autósék egy új C3-ast vásároltak, és ezzel mentek az 560 km-re lévő ausztriai kisvárosba. Az autó 100 km-en 6 l benzint fogyaszt. Mennyi benzin szükséges az egész utazáshoz? Mennyit fizettek a benzinért, ha 2005. december 31-én a benzin literje 256 Ft volt? 2006. jan. 1-jétől a benzin általános forgalmi adóját 25%-ról 20%-ra csökkentették. Mennyibe került volna ugyanez az út, ha a család jan. 1-jén indult volna el?

3. A nagyobb üzletekben a sajtok zsírtartalmát feltüntetik az árcédulán. Sajnos ugyanezt a felvágottak esetében nem írják ki. Így ennek külön utána kell nézni. Készíts olyan árcédulát, amelyen az egységár mellett az adott termék százalékos zsírtartalma is fel van tüntetve. Annyit tudunk, hogy 150 g gépsonkában 9 g, csabai kolbászban 51 g, kenő- májasban 34,5 g, téliszalámiban 55,5 g zsír van. (Gidófalvi Zsuzsa moduljából vannak az adatok.)

4. Azok a vásárlók, akik vigyáznak arra, hogy ne hízzanak el, bevásárláskor az egységár mellett azt is figyelik, hogy mennyi az áru zsírtartalma. A nagyobb élelmiszerüzletekben a sajtpultnál ezt megtehetik. Számold ki, mennyi zsírt ennél meg 150 g Trappista (45%-os), 120 g Anikó (40%) és 130 g Tolnai (18%) sajt elfogyasztása esetén.

5. Az egyik parkolóautomata csak 20 és 50 Ft-osokkal működik. Az automatában este összesen 22 000 Ft volt. Hány 20 és hány 50 Ft-os érme volt, ha a 20 Ft-osok száma háromszor annyi, mint az 50 Ft-osoké?

6. Hány db kétrészes ruha (szoknya és blúz) készíthető 20 m és 80 cm szövetből, ha a blúzhoz 40 cm-rel több anyagra van szükség, és egy ruhához 2 m 60 cm szövet kell? Hány m szövetből készülhet egy szoknya, illetve blúz?

SZÖVEGES FELADATOK Szöveges feladatok II.

Készítette: Mendelovics Zsuzsa

0832. MODUL


Százalékszámítás

1. FELADATLAP

A történet: Zsuzsó a szüleivel és a szülők barátaival az utószezonban síelni készül Ausztriába.

1. Az előző évi tavaszi kiárusításkor megvásárolták Zsuzsó síruháját, sífelszerelését és a síeléshez szükséges kiegészítőket.

régi ár %-os árcsökkentés új ár síléc síbottal 89 000 Ft 35% síruha 31 000 Ft 24 800 Ft sísapka, síkesztyű 20% 4500 Ft síszemüveg 15% 3700 Ft Hány %-os a megtakarítás? 2. A társaságból az egyik család (Kovácsék) még így is sokallta a sífelszerelés árát. Kovácsék

találtak egy olyan üzletet, ahol egymás utáni kétszeri árleszállítást hajtottak végre, először 25%-osat, majd 15%-osat. Boldogan értesítette a többieket a remek lehetőségről. (Használd az előző táblázat eredeti árait.) Számoljátok ki a kétszeres árcsökkentés utáni új árakat!

régi ár új ár síléc síbottal síruha sísapka, síkesztyű síszemüveg

Hány %-os a megtakarítás?

3. Kovácséknak 3 gyerekük van, és az egész család most fog életében először síelni. Így azután a síeléshez szükséges dolgokat mindannyiuk számára meg kell vásárolni. Ennyi pénzük azonban nincs a folyószámlájukon, így a tartalékukhoz nyúlnak. Éppen ez év januárjában helyeztek el a bankban 500 000 Ft-ot évi 6%-os kamatra. Most a leértékeléskor még csak 3 hónap telt el az elhelyezés óta. Sajnos ki kell venniük ezt a pénzt. Mennyi pénzhez jutottak?

4. A következő feladaton lemérheted, hogy megértetted-e az árváltozások jelentését. Ki jár

jobban, a vevő, vagy az eladó? Egy árucikk árát kétszer változtatták. Amikor úgy látszott, hogy sokat lehet eladni belőle (nagyobb a kereslet), bizonyos %-kal megemelték az árát; amikor nem fogyott (kisebb a kereslet), akkor csökkentették.

Árváltozás százalékban kifejezve Első változás második változás végső változás 25%-os emelés 10%-os emelés 20%-os csökkentés 30%-os növelés 10%-os csökkentés 20%-os csökkentés 15%-os emelés 15%-os csökkentés

Jelöld be, hogy melyik változtatásnál ki járt jobban: a vevő vagy az eladó!

0832. modul: SZÖVEGES FELADATOK II. 73

Számjegyes feladatok

2. FELADATLAP

Zsuzsáék az újságosnál néhány dolgot vásárolnak.

1. Napilapot. A napilap ára kétjegyű szám. Annyit tudunk róla, hogy a számjegyek összege 15, és ha felcseréljük a számjegyeket, akkor az eredeti szám értékénél 27-tel kisebb számot kapunk. Mennyibe kerül az újság? Mielőtt kiszámolnád, becsüld meg az újság árát!

2. Papír zsebkendőt. A tízdarabos papír zsebkendő ára kétjegyű szám. A számjegyek összege 13. Ha felcse- rélnénk a számjegyeket, akkor 45 Ft-tal többe kerülne. Mennyibe kerül a papír zsebkendő?

3. Csokit. Zsuzsó egy pici marcipános csokit nézett ki magának. Szülei megvennék neki, ha kitalálná, hogy mennyibe kerül. A csoki áráról a következőket tudjuk. – kétszámjegyű – az egyik jegye 2-vel kisebb, mint a másik – a jegyek felcserélése után az ár az eredeti ár kétszeresénél 6-tal kevesebb Zsuzsó kitalálta. Szerinted mennyibe kerül a csoki?

4. A következő feladaton ellenőrizheted a számjegyes feladatok megoldásával kapcsolatos ismereteidet.

Ákost szokatlan számla ellenőrzésével bízták meg. A számlán számok helyett valamilyen magyarázó szöveg áll. Ákos valahonnan megtudta, hogy csak kétjegyű számok lehetnek ezen a számlán. – Dátum – Számla – Aláírás A második számjegy 4-gyel kisebb, mint az első. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredetinél 36-tal kisebb számot kapunk.

......... Ft – A második számjegy háromszor akkora, mint az első. Ha a számjegyeket felcseréljük, 36-tal nagyobb számot kapunk.

......... Ft – A számjegyek összege 12. Ha ezeket felcseréljük, 18-cal nagyobb számot kapunk.

......... Ft – A számjegyek összege 9. Ha kivonjuk belőle a jegyek felcserélésével kapott számot, az

eredeti szám 73 -ét kapjuk eredményül.

......... Ft Összesen 230 Ft


Arányosság

3. FELADATLAP

1. A társaság kibérel egy többszobás házat (négy család van). Kissék családjában 2 gyerek Kovácsék családjában 3 gyerek Simonék családjában 5 gyerek Lakatosék családjában 2 gyerek A ház bérleti díja naponta 500 euró. Az összegen a családok a gyerekek számának arányában osztoznak. Mennyit fizetnek családonként a szállásért, ha a síelés 5 napig tart? 1 euró = 255 Ft Mennyit spóroltak családonként, ha az utószezonban – tehát most – a ház ára 15%-kal olcsóbb?

2. Simonék Interneten szállásajánlatot keresnek. Kiválasztják a legolcsóbbat. Így a ház naponta 420 euróba kerül. Mennyi ez az összeg forintba átszámolva?

Ebben a társaságban az a szokás, hogy minden család még itthon az egész vendégsereg számára elkészít egy vacsorát.

3. Kissék csirkét sütnek. Általában négy főre vásárolnak. 1,2 kg csirkecombot szoktak egyszerre megenni. Mennyit kell vásárolniuk, hogy az egész társaságnak jusson?

4. Kovácsék vegetáriánusok. Sült zöldséggel fogják kínálni a társaságot. A zöldség elkészítése

sok időt vesz igénybe. Ha hárman együtt tisztítanák, darabolnák a zöldségeket, akkor 45 perc alatt végeznének. Együtt készítik elő a vacsorához valókat. Mennyi idő alatt végeznek?

5. Simonék olyan vacsorával szeretnének kedveskedni a többieknek, amihez sok nyersanyagot kell vásárolni. Ezek beszerzését felosztják maguk között. Tapasztalatból tudják, hogy ha hárman arányosan felosztva szerzik be a vacsorához szükséges nyersanyagot, akkor 54 perc alatt végeznek. Mennyi ideig tart a bevásárlás?


Mozgásos szöveges feladatok

1. Reggel 8 órakor elindult egy hajó Budapestről Mohácsra. Az egész úton egyenletesen haladt, óránként 15 km-t tett meg. Ugyanakkor Mohácsról Budapestre is elindult egy hajó, és egyenletes sebességgel haladt. Óránként 10 km-t tett meg. Budapesttől Mohács 150 km-re van. A grafikonon az y tengelyen a távolság kezdőpontja Budapest. a) Készítsd el két különböző színnel a hajók mozgásgrafikonját!

0

30

60

90

120

150

180

0 5 10 15 20 25 30idő (óra)

távo

lság

(km

)

b) Olvasd le a grafikonról a két hajó távolságát az alábbi időpontokban! időpont távolság (km) 8:15 9:00 11:00 14:00 16:00 18:00 19:00 20:00

2. Egy autó és egy kerékpár egyszerre indul egymással szemben 500 km-nyire egymástól. Az

autó 60 km/h , a kerékpár 20 km/h átlagsebességgel halad a találkozásig megállás nélkül. Mennyi idő múlva találkoznak?

a) Határozd meg a rajzon a találkozás helyét!

Segítség: – Az autós vagy a kerékpáros indulási helyéhez lesz közelebb a találkozás helye? – Hányszor akkora utat tesz meg az autó a találkozásig, mint a kerékpár? – Az autó indulási helyétől hány km-re találkozik a két jármű? – Mennyi idő alatt teszi meg az autós ezt a távolságot? – Mennyi idő múlva találkozik a kerékpáros az autóssal?

b) Oldd meg a feladatot egyenlettel is!

500 km

60 km/h 20 km/h


4. FELADATLAP

A társaság indulási időpontja a megállapodás szerint február 14-e reggel 8 óra. A budaörsi benzinkút parkolójában találkoznak. Simonékat kivéve mindenki pontosan érkezik a találka helyére. Simonék telefonon jelentkeznek. Sajnos az autójuk még tegnap elromlott, így fél órával később érnének a benzinkút parkolójába. Javasolják, hogy a többiek induljanak el, majd utolérik őket.

1. Szerinted hány órakor és hol (melyik kilométerkőnél) érik utol Simonék a társaságot, ha autójuk 130 km/h, a többieké 110 km/h sebességgel megy (az M1-es autópályán mennek, így a sebességüket állandónak lehet tekinteni). Ábrázold grafikonon az autók mozgását!

2. Hány órakor érnek a szálláshelyre (Budapesttől 550 km), ha sehol sem állnak meg, és tartják a 110 km/h átlagsebességet?

3. A társaság természetesen időnként megállt. A részletes útinapló alapján számold ki az átlagsebességüket. Indulás: 8:00. Hegyeshalom: 9:45. A határnál eltöltött idő: 15 perc. Étkezés Bécs után, a határtól 82,5 km-re. Itt 30 percet töltöttek. Ezután sehol sem álltak meg. Hány órakor érkeztek meg? Ábrázold grafikonon az autók útját!

4. Ahogy megérkeznek, a két legidősebb gyerek már fogja is a felszerelést, és indulnak a sípályákra. Mekkora sebességgel siklanak végig ugyanazon a pályán, ha a fiatalabb sebessége 2,5 km/h-val kisebb, mint az idősebbé, így azután két perccel tovább tart neki a lesiklás, mint az idősebbnek. Az idősebb 28 perc alatt ért le.

Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok

5. FELADATLAP

MINTAPÉLDA

A következő feladat mintaként szolgál a munkavégzéses példák megoldásához. Danit és Marcit édesanyjuk avval bízza meg, hogy magozzák ki a piacon most vásárolt cseresznyét. Tapasztalataik szerint Dani egyedül 5 óra alatt, Marci egyedül 3 óra alatt készülne el a munkával. Mennyi idő alatt lesznek készen, ha együtt dolgoznak? A cseresznye mennyiségét a-val jelöljük. Becslés: Biztos hogy ketten együtt 3 óránál rövidebb idő alatt készülnek el. Ha Dani ugyan olyan gyorsan dolgozna, mint Marci, akkor 1,5 óra elegendő idő lenne. Így azonban biztosan 1,5 óránál több ideig tart a cseresznye kimagozása.


Megoldás következtetéssel: Dani egy óra alatt kimagozná a cseresznye 51 -öd részét. Marci

egy óra alatt a cseresznye 31 -ad részét. Ketten együtt egy óra alatt a cseresznye

158 -öd

részével végeznek. Az egésszel 8 151:15 8

= óra alatt lesznek készen.

Megoldás egyenlettel: Jelöljük x-szel azt az időtartamot, amennyi idő ahhoz kell, hogy elké- szüljenek. A táblázat kitöltése segíti a megoldást.

egy órányi munka x órányi munka

Dani 5a

5⋅

a x

Marci 3a

3⋅

a x

Ketten együtt x óra alatt kimagozzák az „a” mennyiségű cseresznyét.

5 3⋅ + ⋅ =

a ax x a a-val végig lehet osztani az egyenletet.

1 1 15 3

+ =x x

8x = 15 158

=x

Tehát ketten együtt 8

15 óra alatt lesznek készen a magozással.

Az első este Kissék készítik a vacsorát. 1. A csirkéhez 5 kg krumplit kell hámozni. A két felnőtt pucolja a krumplit. Mennyi idő alatt

lesznek készen együtt, ha ennyi krumplit a mama egyedül 30 perc, a papa egyedül 50 perc alatt pucol meg.

Lakatosék már az első este szégyenkezve vallják be, hogy ők az előző napokban nagyon sokat dolgoztak, így azután semmit sem készítettek. De vállalják azt, hogy a házat minden nap rendbe hozzák.

2. Tapasztalatból tudják, hogy Lakatos anyuka ekkora közös tér takarításával két óra alatt, az apuka egyedül három óra alatt végez. Most összefognak, és ketten együtt takarítják ki a közös tereket. Mennyi idő alatt lesznek készen, ha a közös tér alapterülete 80 m2 ?

3. A házban egy elég nagy méretű, a m3 térfogatú medence is van, amit minden nap fel kell tölteni és le is kell engedni. A víz két csapon keresztül folyik. Az egyik csap két óra alatt, a másik csap másfél óra alatt töltené fel a medencét, ha valamilyen okból csak az egyik működne. Mennyi idő alatt töltődik fel a medence, ha mind a két csap nyitva van?


Keveréses feladatok

6. FELADATLAP

Már mindenki együtt ül a vacsoraasztalnál. Az asztal szépen meg van terítve, és már tálalják is a vacsorát, amikor a gyerekek észreveszik, hogy az innivalók hiányoznak. Gyorsan nekilátnak elkészíteni a szörpöt.

1. A szörp házi készítésű, 80%-nyi gyümölcs van benne. A gyerekek hígítva szeretik. Két liter szörphöz mennyi vizet kell önteniük, hogy az innivalójuk 32%-os gyümölcsital legyen?

2. A felnőttek néha szeretnek kulturáltan alkoholt is inni. Ketten is hoztak otthonról pálinkát. Az egyikük 3 dl 40%-ost, a másik 1 l-nyi 8%-ost. Senki sincs megelégedve: a 40%-ost nagyon erősnek, a 8%-ost nagyon gyengének tartják. Hogy mindenkinek elfogadható legyen, valamilyen arányban összekeverik a két pálinkát. Azt szeretnék, ha a keverék 18%-os lenne. A 40%-os pálinka elég kevés, ezért ezt mind felhasználják a keverékhez. Hány dl-t öntse- nek hozzá a 8%-osból?

Évszámos, életkoros feladatok

7. FELADATLAP

Vacsora után összeül az egész társaság. A felnőttek „furcsa” feladatokkal szórakoztatják a gyerekeket.

1. Találjátok ki! Három évvel ezelőtt ötször idősebb voltam az unokaöcsémnél. Öt év múlva már csak háromszor leszek nála idősebb. Hány éves vagyok most – kérdezi Kovács úr.

2. Az unokahúgom éveinek a száma most 31 -a az én éveim számának. Hat évvel ezelőtt az ő

éveinek száma 51 -e volt az én mostani koromnak. Hány évesek vagyunk most – kérdezi

Simon néni.

3. Szilváéknál összegyűltek a gyerekek. Szilva néni szilvás gombócot főz nekik. Ha mindenki öt gombócot szeretne enni, akkor lenne egy gyereknek, akinek eggyel kevesebb jutna. Ha azonban mindenki csak négyet enne, akkor a fennmaradó két gombócot Szilva néni enné meg. Hány gyerek van Szilva néninél – kérdezik Lakatosék.

4. Egy nap az iskolában, az egyik szünetben Péter bevásárol barátainak a büfében. Vett

13 limonádét egyenként 108 Ft-ért, 9 adag virslit és 6 szendvicset. Az eladó kiszámolta a számla végösszegét, ez 3904 Ft lett. Pali rávágta, hogy ez nem lehet, pedig nem tudta, hogy darabonként mennyibe kerül a virsli és a szendvics. Miért lehetett biztos a dolgában? – kérdezi Kiss úr.


Vegyes feladatok

8. FELADATLAP

A gyerekek egyik este nagyon unatkoztak. Azt találták ki, hogy különböző gyümölcstartalmú dobozos italokat összeöntenek. Mivel a kapott keverék gyümölcstartalmát megmérni nem tudják, kénytelenek kiszámolni azt.

1. Tehát: volt 5 liter 12%-os, és 3 liter 40%-os ital. Kaptak 8 liter folyadékot, amelynek a gyümölcstartalma ... %-os. Számold ki, mennyi!

2. Lakatosék meglepetésnek kétféle édes apró süteményt, összesen másfél kilogrammnyit vásároltak. Az egyiknek kg-ja 1700 Ft-ba, a másiknak 2300 Ft-ba került. Az egészért fizettek 3225 Ft-ot. Hány dkg-ot vettek külön-külön az egyikből és a másikból?

3. Simonék az egyik napon találkozni szeretnének Ausztriában élő ismerősükkel. Telefonon megbeszélik, hogy másnap délelőtt azonos időben elindulnak egymás felé, és majd valahol útközben találkoznak. Simon úr szereti pontosan előre megtervezni a napját, ezért számolni kezd. Azt tudja, hogy egymástól az autópályán 300 km-nyi távolságra vannak. Ismerősük általában 80 km/h-s sebességgel megy. Simon úr mindig a lehető legnagyobb sebességgel megy, ez Ausztriában 130 km/h. Segíts kiszámolni, hogy a találkozásig hány km-t vezetnek külön-külön! Lehetséges-e, hogy abban a parkolóban találkoznak, amelyik Simonék szálláshelyétől 186 km-re van? Rajzold le az autók út–idő grafikonját is!

4. Másnap reggel Simon úr elaludt, így két órával később indult el. Gyorsan kiszámolta, hogy hány km-t tesz majd meg a találkozásig. Lehetséges-e, hogy a szálláshelytől 87 km-re lévő parkolóban találkoznak? Rajzold le az út–idő grafikont is!

A többi nap síeléssel, játékkal, zenehallgatással telt. Bár nagyon jól érezték magukat, mindannyian nagyon örültek annak, hogy végre megint otthon lehetnek.


FELADATGYŰJTEMÉNY

VEGYES FELADATOK

1. Hány kg sárgabarackot vett anyu a hétvégére? Anyu elment a piacra bevásárolni. Már mindent megvett, amit szeretett volna, amikor hirtelen eszébe jutott, hogy a lánya, Zsuzsi, nagyon szereti a sárgabarackot. Az erszényében sajnos csak 200 Ft maradt, ezt mind barackra akarta költeni. Gyorsan körberohanta még egyszer a piacot, de csak ilyen ártáblákat talált: 7 kg 280 Ft 11 kg 600 Ft 9 kg 900 Ft Nem talált nagy minőségi különbséget az áruban, megvette az egyik helyen a barackot. Hány kg-ot vásárolt?

2. A nomád táborba 35 kg gyümölcsöt (almát és körtét) vásároltak a konyhások. Jucika nagyon szereti a körtét, és tudni szeretné, hogy van-e belőle elegendő mennyiség. (Jucika egy ültő helyében 0,75 kg körtét tud megenni.) Megkérdezi a konyhásokat, hány kg körtét

vettek. Válaszként azt kapja, hogy az alma 75 -e megegyezik a körte

32 -ával. Szerinted

Jucika elégedett-e a körte mennyiségével? (A táborban 48-an vannak.)

3. Ljubjana és Maribor (melyik országban van?) között fizetős autópálya van. 1996 nyarán az autópálya 67%-a autóútként működött. Az autópálya kapujában 350 tolárt kellett fizetni. Mennyit kellene fizetni, ha a teljes út autópálya lenne?

4. Három nadrágot vásároltunk 24 000 Ft-ért. Az első háromnegyed része, a másodiké kétszerese volt a harmadik árának. Mennyibe kerültek a nadrágok külön-külön?

5. Mennyi pénze van Juditnak, ha pénzének négyötöd része 140 Ft-tal több, mint az egyharmad része?

6. Az FTC–MTK meccsen 3 mozgóárus perecet árult, 100 Ft-ért darabját. Átlagos

jövedelmük egyik este 22 680 Ft volt. Az árusok közül az első 50%-kal, a második 70%-kal nagyobb forgalmat bonyolított le, mint a harmadik. Hány perecet adtak el külön-külön?

7. Mennyivel nő vállalkozásod 27 000 000 Ft-os tőkéje 2 év alatt, ha egyharmadát részvé- nyekbe fekteted, kétötödét betétkönyvekben kamatoztatod, befektetési jegyet egyne- gyedéért vásárolsz, a fennmaradó részt otthon tartod? A részvények 30%-os osztalékot fizetnek, betétkönyv évente 15%-ot kamatozik, a befektetési jegy évi 18%-ot hoz. Mekkora volt a tőkéd, ha egy év alatt 2 400 000 Ft-tal változott?

8. Kati és Laci testvérek. Kati zsebpénze 32 része Laciénak, és Laci havonta 250 Ft-tal kap

többet szüleitől, mint Kati. Kettőjüknek összesen mennyi zsebpénzük van?

9. Tamás vidéki rokonát budapesti sétára vitte. Előre megbeszélték, hogy a felmerülő költségeket együtt vállalják. Mennyit költött Tamás, ha induláskor 300 Ft-tal volt több pénze, mint rokonának, és az összes pénzüket – 950 Ft-ot – elköltötték?

10. A málna felvásárlási ára 80 Ft/kg. A felvásárló haszna 68%-os. A kiskereskedő haszon- kulcsa 35%-os. Mennyibe kerül egy kiló málna a piacon?


11. Mennyi lesz annak a ruhának a fogyasztói ára, melynek termelői ára 3846 Ft, a nagykereskedelmi haszonkulcs 14%, a kiskereskedelmi haszonkulcs 18%, a forgalmi adó pedig 20%?

12. Egy kávéfőző fogyasztói ára 16 900 Ft, a nagykereskedelmi árrés 1330 Ft, a kiskereskedelmi haszonkulcs 18%, a forgalmi adó 20%. Határozd meg a termelői árat!

13. A Balatonon a szél sebességének mérésére új rendszert dolgoztak ki. A képzeletbeli

jelzőrendszer kiírja a szél sebességét, és melléírja, hogy az elkövetkező időszakban hány százalékkal fog változni. (A meteorológusok a légköri adatokból, a műholdas megfigye- lésekből rövid időszakon belül következtetni tudnak pl. a szél sebességére.) A jelzőberen- dezést figyelőnek az a dolga, hogy továbbítsa a szél sebességének értékét. 2006. július 7-én 13 órakor a szél sebessége 83 km/h volt. A kijelzőn a következőket olvasta:

idő változás 13:12 +23% 13:20 +16% 13:25 +21% A megfigyelőnek már régen jelentenie kellett volna, hogy pillanatokon belül nagy vihar lesz, de képtelen volt gyorsan kiszámolni a szél sebességét. Hirtelen eszébe jutott, hogy nem kell mást tennie, mint összeadni a százalékokat (23 + 16 + 21), és akkor egy szorzás segítségével megkaphatja a szél várható sebességét. Igaza van-e? 14. Szép úr elégedetlen a fizetésével (havi 183 000 Ft). Főnökétől azt az ígéretet kapja, hogy a

következő év januárjában fizetését 51 -ével, majd májusban 7,2%-kal megemeli. Elégedett

lehet-e Szép úr az ajánlattal? 15. Marietta megnőtt, így szobája szűk lett. Szülei elhatározták, hogy az erkély beépítésével

megnagyobbítják a helyiséget. Hány százalékkal nőtt az alapterülete, ha a szoba méretei: 3,5 m · 2,5 m, és az erkély méretei: 1,2 m · 2,5 m.

16. Mekkora az a szám, amelynek 25%-a 42,5-del nagyobb, mint a szám 20%-a?

17. Az új nyugdíjtörvény alapján a kezdő szakemberek jövedelmük 6%-át valamelyik

nyugdíjpénztárba fizetik. (Ezzel leendő nyugdíjuk egy részét alapozzák meg.) Számold ki, mekkora jövedelem esetén lesz a befizetett összeg 13 400 Ft!

18. Forintosék hirtelen nagy összegű pénzhez, 1,2 M Ft-hoz jutnak. Mivel most nem akarják

elkölteni, évi 9%-os kamatra lekötik. Ha három hónap múlva szükségük lenne a pénzre, szerinted mennyi kamatot kapnának? Egy év múlva mennyi pénzük lenne?

19. Zoli négy hónap múlva 50 000 Ft-ot fog kapni. Mennyit kérhet most kölcsön, ha négy

hónap múlva az 50 000 Ft-ból a kölcsönkért pénz kamataival együtt kell visszafizetnie? Az évi kamat 25%-os.

20. Egy kabát árát 25%-kal felemelték, de nem volt elég kelendő, ezért az új árat 25%-kal

csökkentették. Ki járt jobban, az eladó vagy a vevő?


21. Ki járt jobban: Marci, Ági vagy Tamás? A három testvér (Marci, Ági, Tamás) 1,8 milliót örökölt. A végrendelet szerint: Ági 0,3 millióval többet örökölt, mint Marci. Tamás pedig Ági és Marci örökségének számtani közepét örökölte. Mielőtt felolvasnák a végrendeletet, a testvérek azt hitték, hogy a vagyont a végrendelkező egyenlő arányban osztja szét közöttük. Szerinted kinek kedvezett az örökség ilyen módon való felosztása ahhoz képest, mint ha egyenlően osztották volna szét azt?

MUNKAVÉGZÉSES FELADATOK

22. A kertedet a barátoddal együtt ásod fel. Te egyedül 10 óra, a barátod egyedül 12 óra alatt ásná fel a kertet. Hamar szeretnél kész lenni, ezért megkéred a barátodat, hogy segítsen, így együtt ássátok fel a kertet. Hány óra alatt lesztek készen? A kert területe legyen a m2. Hány óra alatt lesztek készen, ha barátod 2 órával később kezdi az ásást, mint te?

ÉVSZÁMOS FELADATOK

23. Hány éves Jutka édesapja? Ha az éveinek számát megkétszerezed és ehhez a felét, majd a negyedét még hozzáadod, akkor egy híján 100-at kapsz.

24. Három évvel ezelőtt az apa 5-ször idősebb volt fiánál. Öt év múlva már csak 3-szor lesz

nála idősebb. Hány évesek most? Megint segítségedre lehet a táblázat elkészítése. Apa kora Fia kora Három évvel ezelőtt Most Öt év múlva 25. Hány éves az, aki ezt mondja: „3 év múlva félannyi idős leszek, mint amennyi Péter

6 évvel ezelőtt volt, amikor én harmadannyi éves voltam, mint Péter most.” Elkezdtünk egy lejegyzést Péter mostani életkorából kiindulva:

Én korom Péter kora

6 éve

Most

3 év múlva

SZÁMJEGYES FELADATOK

26. Melyik az a kétjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 12, és az egyesek helyén kétszer akkora szám áll, mint a tízesek helyén?

27. Melyik az a kétjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 9, és az eredeti szám 27-tel

kisebb, mint a számjegyek felcserélésével kapott szám?


KEVERÉSES FELADATOK

28. Azt mondják, hogy az Adriai-tenger sótartalma 0,3%-nyi, a Földközi tengeré 2 ezreléknyi. Fogalmazd meg, mit jelent, hogy a víz sótartalma 0,3%-nyi, illetve 2 ezreléknyi! A Holt-tenger sótartalma 27%-nyi. Mit jelent?

29. Erdélyben van a Medve-tó. A vize nagyon sós. Ha ráfekszik az ember a víz felszínére,

megtartja anélkül, hogy úszna. A sótartalma 18%. Mennyi sót kell tenni 12 kg vízbe, hogy a sótartalma megegyezzen a Medve-tóéval?

30. A literes tej dobozán a zsírtartalom mellett a következő számokat találhatod:

3,6% 2,8%, 1,5%, 1,4%, 0,1%. Mit jelentenek ezek a számok?

31. Különböző töménységű, virágzó szobai növények öntözésére alkalmas tápoldatot készí-

tesz. Felsoroljuk az összeöntendő mennyiségeket. A kapott tápoldatokat a töménységük alapján hasonlíts össze a tejesdobozban található számokkal. a) 2,5 liter vízhez 7g tömény tápszert rakunk; b) 5 liter 7,5%-os oldathoz 25 liter vizet öntünk; c) 8 liter 4,2%-os oldathoz 24 liter vizet töltünk.

32. Két különböző alkoholtartalmú folyadékot keversz össze. Az egyik 5 liter és 80%-os, a

másik 20%-os, de nem tudod, hány liter. A keverék 45%-os lett. Számold ki, hány liter lett a keverék!

33. 15 kg 600 Ft egységárú cukorkához kevertek 430 Ft egységárú cukorkát. A keverék

kilogrammonkénti ára 480 Ft-os lett. Hány kg-nyi a keverék? 34. A benzinkútnál kifogyott a 95-ös oktánszámú benzin, amelyből 40 liter kellene. Mennyit

vegyünk a 91-es és a 98-as oktánszámú benzinből, hogy a kívánt oktánszámot elérjük? 35. A Magyarországon kapható kávékat különböző minőségű, ebből következően különböző

egységárú kávéfajtákból keverik össze. A Fekete nevű fajtát, amelynek kilogrammja 1470 Ft-ba kerül, egy 1800 Ft-os és egy 900 Ft-os egységárú kávéfajtából keverik össze. Hány kg-ot kell venni külön-külön a két fajtából, ha 15 kg Fekete nevű kávénk lett?

36. Hány liter 60%-os és 80%-os alkohol összekeverésével jutottunk 10 liter 75%-os alko-

holhoz? (x liter)

Ági szerint: x75,02

8,06,0=

+

Kati szerint: 0,6x + 0,8x = 10·0,75

Ili szerint: 0,6x + 0,8 (10 – x) = 10 · 0,75

Péter szerint: 75,010

)10(8,06,0=

−+ xx

Kinek van igaza? Melyik egyenlettel lehet megoldani ezt a feladatot?


37. Háromfajta kekszből készítenek keveréket úgy, hogy annak 90 Ft legyen kg-ja. Az első fajtából, amelynek egységára 56 Ft, 20 kg-ot, a második fajtából, amelynek egységára 80 Ft, 40 kg-ot tesznek a keverékhez. Mennyit tegyenek a keverékhez, a harmadik fajtából, amelynek kg-ja 110 Ft? (x kg-ot)

Ági szerint: 20 + 40 + 110 + x = 90x;

Kati szerint: 56·20 + 80·40 + 110x = (56 + 80 + x) 90

Péter szerint: 56 20 80 40 110

9056 80

⋅ + ⋅ +=

+ +

xx

Kinek van igaza?

38. Kétfajta kekszet vásárolunk. Az egyik kg-ja 4 Ft-tal több, mint a másiké. Ha az olcsóbból

5 kg-ot, a drágábból 2 kg-ot vennénk, 350 Ft-nál kevesebbet költenénk. Ha viszont az olcsóbból vennénk 2 kg-ot, a drágábból pedig 5 kg-ot, a 350 Ft kevés lenne. Mennyibe kerül 1 kg az egyes fajtákból?

MOZGÁSOS FELADATOK

39. Barátoddal otthonról elindultatok. Te autóval mész 20 m/s átlagsebességgel, a barátod kerékpárral 4 m/s átlagsebességgel. Mennyi idő múlva lesztek egymástól 80 km-re? Segít a táblázat és a rajz.

40. Gyalog indultál Pécelre 4 km/h-s sebességgel. Az út felénél végre felvett egy autós, aki

70 km/h-s sebességgel vitt tovább. Így 4 órával a kitűzött idő előtt értél Pécelre. Induláskor milyen messze voltál Péceltől?

41. A Déli pályaudvarról a Balaton felé 2 órás különbséggel indul előbb egy személyvonat,

azután egy gyorsvonat. A személyvonat átlagsebessége 40 km/h, a gyorsvonaté 70 km/h. Budapesttől hány km-re éri utol a gyorsvonat a személyvonatot?

42. A hét végére kirándulást szerveztek. A teljes út 43 km, és az út egy sík és egy meredeken

emelkedő részből áll. Akik már jártak ezen az úton, azt mesélik, hogy felfelé 2 km/h-s, lefelé 6 km/h-s sebességgel lehet haladni. Odafelé az út 6 órát, visszafelé 4 órát tartott. A mesélők szerint mekkora sebességgel lehetett haladni a vízszintes részen?

43. Két folyami kikötő között a hajó lefelé (folyás irányában) 4 óra, felfelé 5 óra alatt teszi

meg az utat. A folyó sebessége 2 km/h. Hány km-re van egymástól a két kikötő?


VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK

44. Az Alföldi Konzervgyár üveges savanyú uborkát exportál. Az önköltségi ár üvegenként 86 Ft. Az üzletkötő 5000 db-ra köt megállapodást úgy, hogy az egyik részét az angolok veszik meg darabonként 3 fontért, a másik részét az amerikaiak darabonként 6 dollárért. Így a vállalat nyeresége egy üvegen 170 Ft lett. Hány üveget adott el az üzletkötő az angoloknak? (1 font = 350 Ft, 1 USD = 205 Ft)

45. A különleges teát kedvelőknek azt mondják, hogy jó teát csak többfajta tea össze-

keveréséből lehet készíteni. Mennyi kínai teát tettünk a keverékbe, ha 6 dkg ceyloni, 7 dkg indiai és 5 dkg grúz teát kevertünk össze, és a keverékből 10 dkg ára 530 Ft lett? A teaárak 10 dkg-onként: ceyloni 600 Ft, angol 720 Ft, indiai 650 Ft, grúz 500 Ft, kínai 450 Ft.

46. Egy kereskedő, hogy üzletét fellendítse, két új árucikket: márkás dezodort és borotvahabot

vásárol. A vásárlásra legfeljebb 9900 Ft-ja van, és mivel kicsi táskát visz magával, emiatt legfeljebb 18 db-ot vehet összesen. A dezodort 450 Ft-ért, a borotvahabot 600 Ft-ért vásárolja meg. A dezodort 650 Ft-ért, a borotvahabot 900 Ft-ért tudja eladni. Mennyit vegyen külön-külön belőlük, hogy a lehető legnagyobb haszonra tegyen szert?

PITAGORASZ-TÉTEL, GYÖKVONÁS A négyzetgyök fogalmának bevezetése

KÉSZÍTETTE: VÉPY-BENYHE JUDIT

0841. MODUL


1. FELADATLAP 1. Az ábrán látható ABCD négyzet négy oldalán négy pontot kijelölünk az ábrának

megfelelően. Mekkora a besatírozott síkidom területe? Milyen síkidomot kaptunk? Mekkorák az oldalai?

Az előző feladat megoldása közben az 2 25x = egyenlethez jutottunk.

Arra következtettünk, hogy 5x = .

25 5= . (Olvasd: négyzetgyök 25)

Az 25x = az 2 25x = egyenlet pozitív megoldása.

Ennek az egyenletnek van egy negatív megoldása is, a 5− .

Az 2 3x = egyenletnek is két megoldása van, az 3 1,73= ≈x és az 3 1,73= − ≈ −x .

F

4 egység

3 egység

4 egység 3 egység

α

β

γ

α

A D

B C

E

G

H

3 egység

4 egység

0841. modul: PITAGORASZ-TÉTEL, GYÖKVONÁS – A négyzetgyök fogalmának bevezetése 89

2. FELADATLAP 1. Az alábbi ábrán egy matematikai gépet látsz. Az I. esetben a gép x számból matematikai

műveletek végzése után kiszámítja y értékét. A II. esetben a gép fordított irányban működik, vagyis az előbb kidobott y számból számítja ki a bedobott x értékét. A táblázat a gépek működési szabályát mutatja. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! (Találd ki, milyen művelete(ke)t végez a fordított irányban működő gép, illetve az eredeti, ha tudom a fordítva működés szabályát!)

2. Melyik függvény képe lehet az alábbi grafikon? Próbálj megfeleltetési szabályt találni!

Olvasd le a grafikonról a következő értékek párjait! x 3 –1 1,5 0,5 y 4 3 5

x

y

x

y

I. II.

I. II.

x + 3 = y y – 3 = x

x · 5 = y

120 : x = y

15 – y = x

y – (–11) = x

4x – 10 = y

(x – 1) · 3 = y

x2 = y (x ≥ 0)

x

y


3. Melyik függvény képe lehet az alábbi grafikon? Próbálj megfeleltetési szabályt találni!

Olvasd le a grafikonról a következő értékek párjait! x 9 4 –1 y 1 3 –2 1,5

3. FELADATLAP 1. Oldd meg az alábbi egyenletet! Ellenőrizd a megoldás helyességét! ( 2) 36 2x x x− = −

2. Egy téglalap egyik oldala épp háromszor akkora, mint a másik. Ha területe 147 cm2, mekkora a két oldala?

3. Mekkora annak a kockának az éle, melynek felszíne 54 dm2?

4. Egy négyzet alapú egyenes hasáb alakú vázába 0,81 liter víz fér. Mekkora az alapéle, ha magassága 10 cm?

5. Egy szabályos kör alakú virágágyás területe 3,14 m2. Mekkora a kör sugara?

6. Egy téglalap alaprajzú szobába 36 m3 levegő fér. A szoba magassága 3 méter, szélessége a hosszának 75%-a. Mekkora a szoba két oldala?

x

y

m

a b


TUDNIVALÓ a -n azt a nem negatív számot értjük, amelyet önmagával megszorozva (vagyis négyzetre

emelve) éppen a számot kapjuk. A gyökjel alatt szereplő a helyére csak nem negatív számokat helyettesíthetünk. Pl. 49 7= , mert 72 = 49 vagy 16 4= , mert 42 = 16.

4. FELADATLAP

1. Mekkora távolságra van A (–2; –3) és a B (4; 0) pont egymástól a derékszögű koordináta rendszerben?

x

y

1

1


5. FELADATLAP TUDNIVALÓ

Minden racionális szám felírható ba alakban, ahol a és b egész (b ≠ 0). A racionális számok

tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Vannak nem racionális számok is: ezek tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos tizedes tört. Ezek az irracionális számok. Pl. ilyen a 2 és a π . Racionális számokkal végzett bármely alapművelet ( + ; – ; : ; · ) eredménye is racionális szám. Egy racionális szám négyzetgyöke nem biztos, hogy továbbra is racionális szám. Ezt úgy is mondjuk, hogy a gyökvonás kivezet a racionális számok halmazából. Pl. 2 -ről már 3000 éve bebizonyították, hogy nem írható fel két egész szám hányadosaként, azaz irracionális szám. Az irracionális és racionális számok együtt alkotják a valós számokat. A valós számok jele: R.

Valós számok

Racionális számok Irracionális számok

173

−

3333,456 &

2,1666

82431457,0 &&

π 45

3

30

243− 2


1. Töltsd ki a hiányzó adatokat a zöld háttérrel jelölt részeken!

Az irracionális számoknak csak közelítő értékét tudjuk leírni tizedes tört alakban. A 45 századokra kerekített értéke 6,71, az ezredekre kerekített értéke 6,708 stb. Akár- milyen pontossággal meg tudjuk adni a 45 kerekített értékét. Ha pontosan szeretnénk leírni a kapott eredményt, mint például a 3. feladatlapon, akkor a 45 kifejezést kell írnunk. Az előző feladat eredménye tehát: dAB = 45 egység dAB ≈ 6,71 egység

N

Természetes számok:

Jele:

{0; 1; 2; 3…}

Műveletek: +; ·

Kivezető művelet az egész számok halmazába:

számok:

Jele: Z

{0; –1; 1; –2; 2; –3…}

Műveletek:

Kivezető művelet a számok halmazába: : (osztás)

számok:

Jele:

ba alakban felírható számok, ahol a és b egész szám.

Műveletek:

Kivezető művelet a valós számok halmazába: (gyökvonás)

számok: Jele: R

Tizedes tört alakban felírható számok.

Műveletek:


2. Írd a halmazábra megfelelő helyére a számokat!

–7; 4,7; 2 ; 2431; – 5 ; 4,567; 0; 54 ; 100− ; –

50450 ; 4554,4 && ; –865; 81− ; π; 9 ;

340216

−

6. FELADATLAP

1. TOTÓ (Négyzetgyökvonás) Döntsd el, melyik állítás az, ami mindig igaz (1), melyik lehetetlen (2), illetve nem mindig

igaz (x)!

1. a2 nem negatív szám. 2. a csak akkor értelmezett, ha a pozitív vagy nulla. 3. 9 = –3 4. a pozitív (a≥0). 5. a felírható két egész szám hányadosaként (tört alakban, ahol a számláló és a

nevező egész számok), ha a≥0.

6. a alatt azt a nem negatív számot értjük, amelyet önmagával megszorozva éppen a számot kapjuk. (a≥0)

7. – 416 −= 8. a irracionális szám. (a≥0) 9. a2 csak akkor értelmezett, ha a nem negatív. 10. a2 és – a egymás ellentettjei. (a≥0) 11. a olyan szám, melynek négyzete a. (a≥0)

R

Q

Z

N


12. a és – a egymás ellentettjei. (a≥0) 13. a valós szám. +1 2a = a

7. FELADATLAP

1. Számold ki számológép használata nélkül a kifejezések pontos értékét!

a) 36 = 8100 = 1600 =

b) 3600 = 40000 = 0,04 =

c) 360000 = 1000000 = 3640 10⋅ =

d) 0,36 = 900 = 0,0001 =

e) 0,0036 = 0, 25 = 664 10⋅ =

f) 0,000036 = 0,0016 = = 0,05

g) 1436 10⋅ = 810 = = 2 · 106

Azt tapasztaltuk, ha tudjuk egy számnak a négyzetgyökét, akkor könnyen számolhatjuk az adott szám 100-szorosának (102), 10 000-szeresének (104)…, 0,01-ának (10-2), 0,0001-ének (10-4)… a négyzetgyökét. (A fontos csak az, hogy 10-nek páros hatványával legyen megszorozva.) Pl.: 200 10025 10 5 10⋅ = ⋅

Megfigyeléseinket kihasználva minden szám négyzetgyökének számolásakor tudjuk alkalmazni a „Számok négyzete” c. táblázatot. (1. tanulói melléklet.) 1 és 100 közötti szám négyzetgyöke: Pl.: Mennyi az értéke 36,19 -nak? A táblázat adatai közül a kérdéses 36,19 a 36,12 és a 36,24 közé esik. A második számhoz van közelebb az értéke (az első számmal 7 század a különbség, míg a másodikkal csak 5 század). Ezek után kikeressük, hogy a 36, 24 századokra kerekített értéke éppen 6,022. Tehát

36,19 6,02≈ . Táblázatban nem szereplő érték négyzetgyöke: Pl.: Mennyi az értéke 3619 -nek? 3619 = 36,19 · 102 (Egy 1 és 100 közötti szám, és egy páros kitevőjű 10 hatvány szorzatára kell bontani a számot.) 23619 36,19 10 6,02 10 60,2= ⋅ ≈ ⋅ =


2. Számold ki „Számok négyzete” c. táblázat segítségével az alábbi számok közelítő értékét!

a) 4718 b) 198

c) 84536 d) 0,0034

e) 7122356 f) 0,15

FELADATGYŰJTEMÉNY

Szöveges feladatok gyökvonással

1. Mekkorák a négyzetek oldalai? Az egység 1 négyzetrácsoldal.

6. 3.

1. 2.

4.

5.


2. Egy 1 literes (téglatest alakú) dobozos tejnek egyik éle 16 cm. Milyen hosszú a másik két éle, ha ezek hossza egyenlő?

3. Oldd meg az egyenletet! (x – 6) · x = – 3 (1 + 2 x)

4. Mekkora a sárga négyzet területe és oldalhossza, ha a nagy négyzet oldala 2 egység?

5. Töltsd ki a táblázat hiányzó adatait, ha T a kör területre, d az átmérője, r a sugara!

T 314 cm2 1 m2 56 mm2

r 5 dm

d 6. Oldd meg az egyenletet!

( x – 2 )2 = – 2 ( 7 + 2 x )

7. Kerekíts!

Ezresre Százasra Egyesre 1 tizedes jegyre

2 tizedes jegyre

3 tizedes jegyre

2 900,6082

888 877,1

899,9751

0,018 997 8

8. Mekkora annak a kockának a térfogata, melynek felszíne

a) 6 cm2; b) 24 m2; c) 600 mm2; d) 1350 mm2; e) 102 cm2?

9. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 2 16x = b) 2 11 75x + = c) 2( 6) 18x x x+ = − d) 4 169 ( 4)x x x+ = + e) (8 ) 3 8− = +x x x f.) 2 (3 ) 6 8x x x− = −

2

2


10. Számold ki a téglalapok oldalait, kerületét, ha tudod, hogy

a) az egyik oldala épp kétszer akkora, mint a másik, és a területe 32 cm2;

b) az egyik oldala 23

része a másik oldalhossznak, és a területe 2400 mm2;

c) az egyik oldala 38%-kal hosszabb, mint a másik oldala, és a területe 34,5 m2!

PITAGORASZ-TÉTEL, GYÖKVONÁS Pitagorasz-tétel


0842. MODUL


1. FELADATLAP Mintapélda 1. Mekkora a derékszögű háromszög átfogója, ha befogói 3 és 4 egység hosszúak?

Lerajzoljuk négyzethálóra a kérdéses háromszöget a megfelelő egységekkel. (ABC háromszög)

A 3. oldal hosszát a rárajzolt négyzet területének segítségével tudjuk meghatározni. (ABDE négyzet)

A négyzet területét egy nagyobb négyzet segítségével határozzuk meg. (CFGH négyzet)

TCFGH = (3 + 4)2 = 49

TABDE = 49 – 4 · TABC = 49 – 24 = 25

Az átfogó hossza 25 = 5 egység.

A C

B

F D

G

E

H

A C

B

D

E

A C

B

0842. modul: PITAGORASZ-TÉTEL, GYÖKVONÁS – Pitagorasz-tétel 101

2. FELADATLAP

1. Állapítsd meg a derékszögű háromszögek oldalaira írt négyzetek területeit (egészítsd ki a hiányos ábrákat)! Keress összefüggést a területek mérőszámai között! (A területegység egy négyzetrács.) Írd le az oldalak hosszát is! Foglald táblázatba a kiszámolt területeket, oldalakat a különböző háromszögeknél! Végül állapítsd meg az összefüggéseket a derék- szögű háromszögek oldalhosszaira! (Jelölések: e.: egység; te.: területegység)

T1. = 82 = 64 (területegység)

T2. =

T3. =

a = 8 (egység) b = c =

I. 1.

2.

3.


T1 (te.) T2 (te.) T3 (te.) a (e.) b (e.) c (e.)

I. 64 8

II.

III.

IV.

V. Tapasztalat:

IV.

III.

II. 1.

3.

2.

V.


3. FELADATLAP

TUDNIVALÓ

TÉTEL: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzet területével. Ez a Pitagorasz-tétel. Ha a két befogót a és b betűvel jelöljük, az átfogót pedig c betűvel, akkor:

a2 + b2 = c2

a c

b

+ =a2 b2 c2


A Pitagorasz-tétel bizonyítása geometriai úton

BIZONYÍTÁS

Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, melynek oldalait jelöljük a szokásos jelölésekkel (befogó: a, b, átfogó: c). Rajzoljunk két a + b oldalú négyzetet! Az egyikbe bele tudunk rajzolni egy a oldalú, majd egy b oldalú négyzetet, valamint négy darabot az adott derékszögű háromszögből a bal oldali ábrán látható elrendezésben. A másik nagy négyzet oldalaira váltakozva felmérjük a és b oldalakat. A pontokat az ábrán látható módon összekötjük. Így négy egybevágó derékszögű háromszöget kapunk és egy egyenlő oldalú négyszöget (minden oldal hossza c), rombuszt. Erről belátható, hogy négyzet: A derékszögű háromszögek belső szögeinek összege 180°, ebből a két hegyesszög összege (α + β) = 90°. Ez a két szög és a rombusz szöge (γ) egyenesszöget alkot. Ebből következik, hogy a rombusz szögei derékszögek, tehát négyzet. Ennek a négyzetnek az oldala a derék- szögű háromszög átfogója (c).

A jobb és bal oldali négyzetek egybevágók, tehát területeik is egyenlők. Ha mindkettő területeiből levonjuk a 4 darab háromszög területét, a maradék területek nyilván egyenlők.

Tehát: a2 + b2 = c2

Azaz a két befogóra rajzolt négyzet területének összege az átfogóra rajzolt négyzet terüle- tével egyenlő.

b2

a2

a + b

a b

a

b

a + b

Tnégyzet = a2 + b2 + 4 Tháromszög

a + b c2

a b

a + b

a

b

Tnégyzet = c2 + 4 Tháromszög

β

α

α γ


A Pitagorasz-tétel alátámasztása átdarabolással Lássunk most egy „darabolásos” módszert az állítás alátámasztására! Most már magyarázat nélkül:

Most már tudjuk, hogy ez igaz, de ez nem bizonyítás. Az átdarabolás helyességét algebrai úton be kell még bizonyítani ahhoz, hogy ez valóban elfogadható bizonyítása legyen a Pitagorasz-tételnek. (Ezt most nem tesszük meg, majd középiskolában.) Nézzünk egy példát arra, hogy a látvány néha becsap, és nem elég átdarabolással bizonyítani egy állítást! Állításunk a következő: 8 8 5 13⋅ = ⋅ , azaz 64 = 65 (Természetesen ez nem igaz, lássuk, hol a turpisság!) A „bizonyítást” egy 8 egység oldalhosszúságú négyzet átdarabolásával végezzük. A négyzetet az ábrán látható módon háromszögekre és négyszögekre bontjuk, majd átdaraboljuk egy 5 és 13 egység oldalhosszúságú téglalappá.

Hol van a hiba az okoskodásban?

b a

b2

c2

a2 a2

c2

b a

b2


4. FELADATLAP

1. Töltsd ki a táblázatot! Az első oszlopban állítások szerepelnek. Döntsd el, igazak-e! A harmadik oszlopba írd be az állítások megfordítását! Ezekről is döntsd el, hogy igazak-e!

Állítás: igaz / hamis Megfordítás: igaz /

hamis

Ha egy autónak rossz az akkumulátora, akkor nem indul el.

Ha egy cipőben fáj a lábad, akkor az kicsi Rád.

Ha egy állatnak szárnya van, akkor az ló. (Nem a mesében!)

Aki sok répát eszik, jól fog tudni fütyülni.

Ha egy háromszög derékszögű, akkor a derékszöget közrezáró két oldalára rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő a harmadik oldalra rajzolt négyzet területével.


5. FELADATLAP

1. Gyűjtsünk tapasztalatot a nem derékszögű háromszögek oldalaira rajzolt négyzetek terüle- teiről! Töltsd ki a táblázatot!

Milyen szögű? T1 T2 T3 Tapasztalat I. tompa 10 II. III. IV. V. VI. VII. VIII.

I. 2.

3.

1.

3.

2. 1.

II.

1. 2.

3.

III.

3.

2.

1.

IV. 3.

2.

1. V.

3.

2. 1.

VIII.

3.

2. 1. VI.

3.

2. 1. VII.


ÖSSZEGZÉS

Ha egy háromszög legnagyobb szögével szemközti oldalára írt négyzet területe kisebb, mint a másik két oldalra állított négyzetek területének összege, akkor az hegyesszögű. Ha egy háromszög legnagyobb szögével szemközti oldalára írt négyzet területe egyenlő a másik két oldalra állított négyzetek területének összegével, akkor az derékszögű. Ha egy háromszög legnagyobb szögével szemközti oldalára írt négyzet területe nagyobb, mint a másik két oldalra állított négyzetek területének összege, akkor az tompaszögű.

6. FELADATLAP

1. Az alábbi táblázatban háromszögek adatait látod a szokásos jelöléseket használva. Töltsd ki a hiányzó értékeket, valamint állapítsd meg, derék-, tompa- vagy hegyesszögű háromszögről van szó!

I. II. III. IV. V. VI.

a oldal 5 7 50 2

b oldal 3 5 46 5,2 16

c oldal 4 11 37 4,8 34

a2 25 256 400

b2 9

c2 16

α = 90° > 90°

β < 90°

γ < 90° = 90°

Háromszög fajtája szögek szerint

derékszögű

A tapasztalataink alapján kimondhatjuk:

TÉTEL

PITAGORASZ-TÉTEL MEGFORDÍTÁSA: Ha egy háromszög két oldalára igaz, hogy a rájuk rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő a harmadik oldalra rajzolt négyzet területével, akkor az a háromszög derékszögű.


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Szerkeszd meg az alábbi háromszögeket a szokásos jelölésekkel! a = 8 cm b = 6 cm

a) γ1 = 60°; b) γ2 = 90°; c) γ3 = 120°. Mérd le mindhárom esetben a harmadik oldal hosszát! Mit tapasztalsz?

2. Töltsd ki a táblázatot! Az első oszlopban állítások szerepelnek. Döntsd el, igazak-e! A har-

madik oszlopba írd be az állítások megfordítását! Ezekről is döntsd el, hogy igazak-e!

Állítás: igaz / hamis Megfordítás: igaz / hamis

Aki kíváncsi, hamar megöregszik.

Ha egy szám osztható 3-mal és 4-gyel, akkor osztható 12-vel is.

Ha egy háromszög egyenlőszárú, akkor van két egyenlő szöge.

Ha egy szám osztható 6-tal és 9-cel, akkor osztható 54-gyel is.

Ha egy négyszög téglalap, akkor paralelogramma.

Ha egy négyszög deltoid, akkor az tengelyesen szimmetrikus.


Ha egy téglalap négyzet, akkor az rombusz is egyben.

Ha egy négyszög paralelogramma, akkor szembelévő szögei egyenlők.

Ha egy négyszög trapéz, akkor rombusz is.

3. Az alábbi háromszögeket sorold be a megfelelő csoportba (a háromszög oldalhosszait és

szögeit a szokásos módon jelöltük)! A csoport betűjelét írd a háromszögek oldalhosszai alá!

A. derékszögű háromszög, α = 90°

B. derékszögű háromszög, β = 90°

C. derékszögű háromszög, γ = 90°

D. tompaszögű háromszög, α > 90°

E. tompaszögű háromszög, β > 90°

F. tompaszögű háromszög, γ > 90°

G. hegyesszögű háromszög

H. nem háromszög.

a) a = 10 cm

b = 8 cm

c = 6 cm

________

a = 7 cm

b = 5 cm

c = 3 cm

____ ____

a = 8 cm

b = 13 cm

c = 9 cm

________

a = 15 cm

b = 9 cm

c = 12 cm

________

b) a = 10 cm

b = 26 cm

c = 24 cm

________

a = 60 cm

b = 50 cm

c = 90 cm

________

a = 40 cm

b = 30 cm

c = 50 cm

________

a = 8 cm

b = 11 cm

c = 9 cm

________


c) a = 20 cm

b = 27 cm

c = 15 cm

________

a = 30 cm

b = 16 cm

c = 34 cm

________

a = 100 cm

b = 50 cm

c = 60 cm

________

a = 8 cm

b = 17 cm

c = 15 cm

________

d) a = 80 cm

b = 90 cm

c = 40 cm

________

a = 20 cm

b = 14 cm

c = 27 cm

________

a = 3,6 cm

b = 6,8 cm

c = 2,4 cm

________

a = 8 cm

b = 5 cm

c = 1 cm

________

e) a = 1,5 dm

b = 1,2 dm

c = 0,5 dm

________

a = 1,3 m

b = 1,2 m

c = 0,5 m

________

a = 4 cm

b = 5 dm

c = 3 cm

________

a = 7,2 cm

b = 4,5 cm

c = 9,1 cm

________

f) a = 0,8 m

b = 1,5 m

c = 1,7 m

________

a = 3,5 cm

b = 1,5 cm

c = 3,4 cm

________

a = 4,7 km

b = 7,1 km

c = 3,8 km

________

a = 80 dm

b = 100 dm

c = 60 dm

________

g) a = 27 dm

b = 100 cm

c = 2400 mm

________

a = 16 mm

b = 3,4 cm

c = 3 cm

________

a = 2,4 cm

b = 1,8 cm

c = 0,3 dm

________

a = 550 cm

b = 2 m

c = 56 dm

________

h) a = 470 cm

b = 50 dm

c = 6,7 m

________

a = 76 mm

b = 3,9 cm

c = 0,36 dm

________

a = 3,6 cm

b = 49 mm

c = 0,028 m

________

a = 26 dm

b = 100 cm

c = 240 cm

________


3/a tanulói melléklet A négyzetek és háromszögek a fekete vonalak mentén szétvágandók.


3/b tanulói melléklet

PITAGORASZ-TÉTEL, GYÖKVONÁS Vegyes gyakorló feladatok


0843. MODUL


1. FELADATLAP 1. Számold ki a háromszögek harmadik oldalainak hosszát!

2. Rajzold be és számold ki az egyenlő szárú háromszögek alaphoz tartozó magasságát!

27 cm

36 cm ?

215 cm

?

4 cm

2 dm

52 cm

?

3 cm

52 mm

?

713 cm

?

75 cm

7,1 cm

x = ? x

1 cm

1 cm

?

6 és fél dm

6 dm

?

24 cm

?

18 cm

6,5 cm 5 cm

15 cm 8,5 cm

34 mm

6 cm

25 cm

14 cm

0843. modul: PITAGORASZ-TÉTEL, GYÖKVONÁS – Vegyes gyakorló feladatok 117

2. FELADATLAP

1. Egy (egyágú) létra a falnak van támasztva. A hossza 2,6 méter, a létra aljának a faltól való távolsága 1 méter. Hány méter magasra visz fel a létra, ha felmászunk rajta?

2. Az egerészölyv egy magas mezei juharfa tetején lesett a mezőn eszegető kis pocokra. Mikor lecsapott rá, pontosan 51 métert kellett repülnie. Ekkor a szerencsétlen jószág épp 45 méter távolságra volt a fától. Milyen magas a juharfa?

3. A csemegebolt pincéjébe egy futószalagot tettek az ablakon át a földig a könnyebb rakodás érdekében. Milyen hosszú a futószalag, ha 2 méter mélyre szállítja az árukat, és alsó része (ahol leveszik az árut) az ablaktól 5 méterre helyezkedik el (egy

tizedesjegy pontossággal számolj!)?

4. Egy kétágú létra ágának hossza 2,5 méter. Milyen magasra lehet rajta mászni, ha a két ágát egymástól 1,4 méterre tudjuk kinyitni? (Feltételezzük, hogy a létra legtetejére lehet mászni.)

5. Mekkora távolságra vannak egymástól a derékszögű koordináta-rendszer A (14; 7) és B (2; –9) pontjai?

6. Egy régi nagy fakapu tönkrement, ezért mindkét szár- nyát két keresztpánttal meg akarják erősíteni (átlósan). Milyen hosszú vaslemez kell ehhez a művelethez (a vaslemez vastagságától, szélességétől eltekintünk)? (Adatok az ábrán láthatók.)

7. Az egyenletesen emelkedő hegyre vezető út hossza 1553 m. Hány méter magasra visz fel, ha másfél km hosszúnak jelöli a térkép? (Kerekíts egészekre!)

8. A monitorok nagyságát collban mérjük. (Az inch angol hosszmérték, magyarul hüvelyk. Német elnevezése a coll. Jele: ’. 1 inch = 1 coll ≈ 25,4 mm) Ez a képernyő átlójának hosszát jelöli. Tehát a 19 collos (19’) monitor 19 coll átlójú téglalap alakú monitort jelöl. A monitorok oldalainak aránya 3:4. Mekkora a két oldal hossza, ha 1 coll ≈ 25,4 mm?

PinceAblak

Futószalag 2 m

5 m

4,5 m

2,4 m 2,4 m


9. A térképen látható hegyre vezető turistautat pirossal jelöltük. Mekkora a tényleges hossza, ha feltételezzük, hogy ez az út egyenletesen emelkedik?

10. Tegyük fel, hogy a tanterem hosszában kifeszítünk egy kötelet a földre. Ha ezt a kötelet „megtoldjuk” 1 méterrel, átfér-e alatta az osztály legalacsonyabb tanulója? (A tanterem hossza legyen 10 méter.)

3. FELADATLAP

1. Mekkora annak a téglalapnak az átlója, melynek oldalai 3,2 cm és 6 cm? Szerkeszd meg a téglalapot, és számolásod ellenőrizd méréssel!

2. Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója 16 dm. Mekkora a két befogó?

3. Mekkora annak a rombusznak a hosszabb átlója, melynek oldala 5 dm, rövidebb átlója 6 dm?

4. Mekkora annak a deltoidnak a szimmetriaátlója, melynek másik átlója 16 cm, oldalai 10 és 17 cm hosszúak?

5. Mekkora az oldala a 25 cm hosszú átlójú, 20 cm oldalhosszúságú téglalapnak?

6. Milyen hosszú a 8,5 cm sugarú körben a középponttól 7,5 cm távolságba húzott húr?

1 : 20 000 200 m

250 m

300 m

350 m

400 m 450 m

500 m

10 méter


7. Mekkora a 4 cm élhosszúságú kocka

a) lapátlója;

b) testátlója?

8. Mekkorák a 3; 4; 12 cm élhosszúságú téglatest

a) lapátlói;

b) testátlója?

9. Egy gömb alakú fagolyóból a lehető legnagyobb kockát faragják ki. Mekkora volt a gömb sugara, ha a kocka éle a = 10 cm?

4. FELADATLAP

1. Az ókori Egyiptomban nagy valószínűséggel a következő módszert alkalmazták derékszög szerkesztéséhez: egy kötélre egyenlő távolságokra egymástól összesen 11 csomót kötöttek, majd a kötél két végét (az adott távolságot itt is tartva) összekötötték egymással. Így kaptak egy olyan kötélből lévő „gyűrűt”, melyen egyenlő távolságban 12 csomó van. Vajon hogyan formáltak derékszöget belőle?

O

r 2a

x

2x

a


2. Atsarja Bháskara hindu matematikus könyvéből (XII. század), amit a legenda szerint a

pártában maradt lányának írt: „A szél letörte a 32 láb magas bambusznádat. A törés fölötti rész lehajlott, a vége a talajt a

nád tövétől 16 láb távolságra éri. Milyen magasan tört le a nád?”

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Egy téglalap két oldala 21 és 28 cm. Mekkora az átlója?

2. Milyen messze van az origótól az

a) A (3; –4) pont;

b) B (–8; 6) pont;

c) C (–24; 10) pont?

3. Mekkora a derékszögű háromszögek harmadik oldala?

20 cm

?

15 cm

15 cm

3,9 dm

?

8 cm

?

8 cm 30 cm

x x = ?

32 láb

16 láb


4. Mekkora a 2 egység élhosszúságú kocka

a) lapátlója;

b) testátlója?

5. Hány méter hosszú az a deszka, amit 3 méter távolságból a falnak támasztottak, és 1,6 méter magasra visz fel?

6. Egy középület tervezése közben felvetül a következő probléma: a középület bejáratához 4 lépcsőfok fog vezetni felfelé. A lépcsőfokok egyenként 15 cm magasak és 30 cm szélesek lesznek. A lépcső mellé egy egyenletesen emelkedő rámpát terveznek a babakocsival, biciklivel közlekedőknek. A rámpa természetesen ugyanolyan magasra visz, mint a lépcső, és a bejárattól másfél méterre fog elkezdődni. (Lásd ábra!) Milyen hosszú legyen a rámpa?

7. Egy rombusz egyik átlója 48 mm, másik átlója 2 cm. Mekkora az oldalhossza?

8. Mekkora távolságra van a 25 mm sugarú körbe húzott 48 mm hosszú húr?

9. Számolj! (2 tizedes jegy pontosságra kerekíts!)

81 = 870 =

144 = 78,9 =

0,01 = 146,5 =

160000 = 3,72− =

1,5 m

15 cm30 cm

x

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS Az alakzatokról tanultak ismétlése

Készítette: Pusztai Julianna

0851. MODUL


TUDNIVALÓ Egy alakzatot akkor nevezünk tengelyesen szimmetrikusnak, ha létezik – legalább egy – olyan egyenes, amelyre az alakzatot tengelyesen tükrözve önmagát kapjuk. Egy alakzatot akkor nevezünk középpontosan szimmetrikusnak, ha létezik olyan pont, amelyre az alakzatot középpontosan tükrözve önmagát kapjuk.

1. FELADATLAP

1. Rajzold be mindegyik ábrába zölddel a szimmetriatengelyeket – ha találsz, többet is –, pirossal pedig a szimmetriaközéppontot!

a)

e

c)

E

e

b) B

A

K ×

0851. modul: GEOMETRIAI ISMÉTLÉS – Az alakzatokról tanultak ismétlése 125

2. FELADATLAP

Színezd be a síknak azokat a pontjait, amelyek az adott tulajdonsággal rendelkeznek! Milyen alakzatokat kaptál?

C

f

e

d)

e

f

4. két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra vannak

e

3. az e egyenestől 2 cm-nél kisebb távolságra vannak

P × × B

A ×

2. két ponttól egyenlő távolságra vannak

1. a P ponttól 2 cm távolságra vannak

6. h és g egyenesektől 10 mm-nél nagyobb távolságra vannak

g

f

g

h

5. két metsző egyenestől egyenlő távol vannak


Színezd be a síknak azokat a pontjait, amelyek az adott tulajdonsággal rendelkeznek! Milyen alakzatokat kaptál?

9. A szög és B szög szögtartományainak közös részei

10. A, B és C ponttól egyenlő távol vannak

A B

AC

B

7. e egyenestől 1 cm-re, és h egyenestől 15 mm-re vannak

8. mindkét szögtartományban benne vannak

β α

e

h

P × e

Q × × P P ×α

13. a P ponttól ≥ 2 cm-re és a Q ponttól ≤ 2 cm-re vannak

11. P ponttól és e egyenestől való távolságuk egyaránt ≤ 1,5cm

12. elemei az α szögtartománynak és a szög csúcsától ≤ 2 cm-re vannak


TUDNIVALÓ

Háromszögek fajtái és tulajdonságaik:

Minden háromszögre érvényes: bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik, belső szögeinek összege 180º; külső szögeinek összege 360º.

Egyenlőszárú háromszög: két oldala és két szöge egyenlő, az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és a szárak által bezárt szöget; szimmetriatengely.

Egyenlő oldalú, szabályos háromszög:

oldalai és szögei egyenlők; minden magasság felezi a hozzá tartozó oldalt; szögfelező és szimmetriatengely.

Hegyesszögű háromszög: minden szöge hegyesszög; magasságpont a háromszögön belül van.

Derékszögű háromszög: van derékszöge; a derékszögű csúcs egyben magasságpont; érvényes a Pitagorasz-tétel.

Tompaszögű háromszög: van tompaszöge; magasságpont a háromszögön kívül van.

Definíciók A tulajdonságaik segítségével egyértelműen meghatározhatjuk, vagyis definiálhatjuk a különböző fajtájú háromszögeket. Több lehetséges meghatározás közül választhatunk, és megállapodhatunk például a következő definíciókban:

TUDNIVALÓ

Háromszögek fajtái és definíciói:

Egyenlőszárú háromszög: Egyenlőszárú háromszögnek nevezzük az olyan háromszöget, amelynek két oldala egyenlő

Egyenlő oldalú, szabályos háromszög: Szabályos háromszögnek nevezzük az olyan

háromszöget, amelynek minden oldala egyenlő.


Hegyesszögű háromszög: Hegyesszögű háromszögnek nevezzük az olyan háromszöget, amelynek minden szöge hegyesszög.

Derékszögű háromszög: Derékszögű háromszögnek nevezzük az olyan háromszöget, amelynek van derékszöge.

Tompaszögű háromszög: Tompaszögű háromszögnek nevezzük az olyan háromszöget, amelynek van tompaszöge.

3. FELADATLAP

Rajzolj a táblázat megfelelő helyeire megfelelő háromszögeket!

Hegyesszögű Derékszögű Tompaszögű

3 különböző oldal

Egyenlőszárú

Egyenlő oldalú (szabályos háromszög)


4. FELADATLAP

1. Melyik háromszöget lehet megszerkeszteni, melyiket nem? Válaszodat indokold!

2. Hány fokosak a háromszögek szögei?

TUDNIVALÓ

A szabályos sokszög oldalai és szögei egyenlők.

130º .

130º

c

100º

b

a

b

a

100º

b

45º20º

.

100º

b b

a

C

A 120º

B

160º

m

.

α

β γ a

bca) a = 3 cm, b = 4,2 cm, γ = 60º

b) a = 3 cm, b = 42 mm, c = 72 mm

c) a = 3,5 cm b = 4,2 cm c = 72 mm

d) a = 3 cm, β = 120º, γ = 90º


5. FELADATLAP A körlapokat sugaraikkal egybevágó körcikkekre osztottuk. – Mekkorák a körcikkek középponti szögei? Írd be az ábrákba! – Kösd össze az ábrákon a sugarak és a kör metszéspontjait! Figyeld a kapott szabályos sokszöget felépítő egyenlőszárú háromszögeket, és töltsd ki a táblázatot!

n oldalú szabályos sokszög

Hány szimmetriatengelye van?

Van-e szimmetriaközéppontja?

Hány º-osak a belső szögei?

Hány º-osak a külső szögei?

Hány º-osak a középponti szögei?


.

.

.

×

.×

.

. ..

×

.

. ...×

TUDNIVALÓ

Négyszögek fajtái és tulajdonságaik:

Minden négyszög: szögeinek összege 360º. Minden konvex négyszög: külső szögeinek összege 360º. Konkáv négyszög: van homorú szöge. Trapéz:

van párhuzamos oldalpárja; a szárakon fekvő szögek összege 180º.

Deltoid: tengelyesen szimmetrikus egyik átlójára, amely: felezi a másik átlót, merőleges rá, és felezi a végpontjait tartalmazó szögeket; a végpontjaiból kiinduló oldalpárok és a két oldalán fekvő szögek egyenlők.

Derékszögű trapéz: van párhuzamos oldalpárja; az egyik száron fekvő szögek derékszögek; a másik száron fekvő szögek összege is 180º.

Húrtrapéz: tengelyesen szimmetrikus az alapok felezőmerőlegesére; húrnégyszög; van párhuzamos oldalpárja; szárai egyenlők; a szárakon fekvő szögek összege 180º;

Paralelogramma: középpontosan szimmetrikus; átlói felezik egymást; szemben lévő oldalai páronként párhuzamosak és egyenlő hosszúak;a szomszédos szögek összege 180º; szemközti szögei egyenlők.

Rombusz: középpontosan és tengelyesen szimmetrikus; átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra; szemben lévő oldalai páronként párhuzamosak; minden oldala egyenlő.

Téglalap: középpontosan és tengelyesen szimmetrikus; húrnégyszög; átlói felezik egymást és egyenlők; szemben lévő oldalai páronként párhuzamosak és egyenlő hosszúak;minden szöge egyenlő.

Négyzet: középpontosan és tengelyesen szimmetrikus; húrnégyszög; átlói felezik egymást, merőlegesek és egyenlők; szemben lévő oldalai páronként párhuzamosak; minden oldala, minden szöge egyenlő.


A négyszögeket is definiálhatjuk (egyértelműen meghatározhatjuk) tulajdonságaik alapján. Több lehetséges meghatározás közül választhatunk, és megállapodhatunk például a következő definíciókban:

TUDNIVALÓ

Négyszögek fajtái és definíciói:

Trapéz: A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja.

Deltoid

A deltoid olyan négyszög, amelynek van csúcsponton átmenő szimmetriatengelye.

Derékszögű trapéz

A derékszögű trapéz olyan trapéz, amelynek van az alapokra merőleges szára.

Húrtrapéz

A húrtrapéz olyan trapéz, amely tengelyesen szimmetrikus az alapok felező merőlegesére.

Paralalogramma

A paralalogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja

Rombusz A rombusz egyenlő oldalú paralalogramma.

Téglalap A téglalap egyenlő szögű paralalogramma.

Négyzet

A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő.


6. FELADATLAP Egészítsd ki a meghatározást a speciális négyszög nevével! Írd a meghatározás sorszámát az ábra megfelelő vonalaira!

1. Olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja:

2. Olyan négyszög, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely:

3. Olyan trapéz, amelynek van derékszöge:

4. Olyan trapéz, amelynek alapokon fekvő szögei páronként egyenlők:

5. Olyan négyszög, amelynek van oldalfelező szimmetriatengelye:

6. Olyan trapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos:

7. Olyan négyszög, amelynek van szimmetria-középpontja:

8. Olyan derékszögű trapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos:

9. Olyan húrtrapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos:

10. Olyan paralelogramma, amelynek van derékszöge:

11. Olyan trapéz, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely:

12. Olyan paralelogramma, amelynek szomszédos oldalai egyenlők:

13. Olyan négyszög, amelynek oldalai egyenlők:

14. Olyan deltoid, amelynek van párhuzamos oldalpárja:

15. Olyan derékszögű trapéz, amelynek legalább egy átlója szimmetriatengely:

16. Olyan téglalap, amelynek szomszédos oldalai egyenlők:

17. Olyan húrtrapéz, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely:

18. Olyan rombusz, amelynek van derékszöge:

19. Olyan deltoid, amelynek van két szomszédos derékszöge:


7. FELADATLAP

Határozd meg a négyszögek szögeit!

trapéz

65º 140º

szimmetrikus trapéz

42º

paralelogramma

110º

rombusz

159º

paralelogramma 150º

140º

deltoid

60º

45º


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. a) Mekkorák lehetnek az egyenlőszárú derékszögű háromszög szögei? b) Mekkorák lehetnek az egyenlőszárú tompaszögű háromszög szögei? c) Egyenlőszárú háromszög egyik szöge 50º-os, mekkorák a többi szögei? d) Egy háromszög két külső szöge 120º-os és 90º-os, mekkorák a többi szögei? e) Mekkorák a háromszög belső szögei, ha arányuk:

1: 1: 3; 2: 3: 4; 5: 6: 7, illetőleg 8: 5: 5? 2. Melyik két szempont szerint csoportosítottuk a háromszögeket? Írd be a hiányzó halmaz-

ábra-címkéket, rajzolj be egy-egy megfelelő háromszöget!

3. Írd be a hiányzó címkét, rajzolj be egy-egy megfelelő háromszöget!

4. Milyen háromszögek tartoznak a két halmazábra színezett részeihez? Válaszodat indokold!

A: egyenlőszárú háromszög B: van 60°-os szöge

D: derékszögű háromszög E: van 45°-os szöge

·

D E

b

B A

b

A: hegyesszögű háromszög B: vannak 45°-nál kisebb szögei (van legalább kettő)

B A

C: tompaszögű háromszög D: szögei 45°-nál nagyobbak

C D


5. A háromszögek mely csoportjaira igazak a következő kijelentések?

a) szögei nem nagyobbak 60°-nál;

b) szögei nem kisebbek 60°-nál.

6. Egyenlőszárú derékszögű háromszög oldalaira szabályos háromszögeket szerkesztünk. A kapott sokszögnek van-e szimmetriatengelye, szimmetria-középpontja? Hány fokosak a belső szögei?

7. Melyik állítás igaz? Véleményedet indokold! – Minden olyan négyszög, amelynek 2-2 oldala egyenlő, deltoid. – Van olyan derékszögű trapéz, amelyik rombusz. – Minden tengelyesen tükrös négyszög középpontosan is tükrös. – Minden tengelyesen tükrös négyszög köré kör szerkeszthető. – Van olyan deltoid, amelyiknek négy tükörtengelye van. – Van olyan húrtrapéz, amely paralelogramma.

8. Döntsd el, hogy a következő állítások igazak vagy hamisak! Hamis állítás esetén

véleményedet ellenpéldával igazold! – Ha egy négyszög rombusz, akkor az deltoid és paralelogramma is. – A téglalap átlója szimmetriatengely. – Minden négyzet trapéz. – Ha egy négyszög átlói merőlegesek, akkor tengelyesen szimmetrikus. – Minden paralelogramma köré írható kör. – A szabályos háromszög magasságai szögfelezők is.

9. Rajzold be a hiányzó négyszöget, és írd be a nevét!

10. Rajzolj olyan négyszöget, amelynek: a) átlói merőlegesek és van derékszöge; b) átlói merőlegesek és nincs derékszöge; c) átlói merőlegesek és van két derékszöge; d) átlói merőlegesek és van tompaszöge; e) átlói merőlegesek és van homorúszöge!

A: téglalap B: rombusz

B A

C: derékszögű trapéz D: négyzet

·

CD


13. Egy háromszöget tengelyesen tükröztünk, így a két háromszög csúcsai egy négyszöget

feszítenek ki. Az eredeti háromszög minden csúcsa vagy négyszögcsúcsba, vagy négyszögoldalra esik.

Milyen lehetett az eredeti háromszög, ha a kapott négyszög: a) négyzet; b) téglalap; c) rombusz; d) deltoid ? Válaszaidat rajzzal igazold!

14. Oldd meg a fenti, 13. sz. feladatot úgy, hogy a kérdés középpontos tükrözésre vonat-

kozzon! Válaszaidat rajzzal igazold!

·

a) b)

12. a) Melyik az a négyszöghalmaz, amely egyaránt tartalmazza a négyzetet és a rombuszt is, de a téglalapot nem? Rajzold be, és írd be a nevét!

b) Rajzold be és írd a címkére annak a négyszögnek a nevét, amely az ábra mindhárom halmazába egyaránt beletartozik! Vannak-e az ábrán olyan halmazrészek, ahová nem tartozhat semmilyen négyszög? Válaszodat indokold!

11. Rajzold be a hiányzó négyszöget, és írd be a nevét! A b) feladatban legalább 2 különböző, helyes választ keress!

a)

A: deltoid B: trapéz

B A b)

C: téglalap D: derékszögű trapéz

·

C D

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS Geometriai szerkesztések ismétlése


0852. MODUL


TUDNIVALÓ

Az euklideszi szerkesztés azt jelenti, hogy a szerkesztéshez csak körző és egyenes vonalzó használata megengedett.

Az euklideszi szerkesztés lehetséges lépései:

1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. 2. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. 3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. 4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. 5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megke-

reshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

1. FELADATLAP

1. Rajzolj egy AB szakaszt! Szerkeszd meg a felező merőlegesét!

2. Rajzolj 78°-os szöget, szerkeszd meg a szögfelezőjét!

3. Végy fel egy egyenest, adj meg rajta egy pontot! Szerkessz az egyenes adott pontjába merőlegest!

4. Végy fel egy egyenest, jelölj ki rajta kívül egy P pontot! Szerkessz az egyenesre a P pontból merőlegest!

5. Válaszolj a következő kérdésekre szóban:

– Hogyan kell szakaszt felezni? Mi a magyarázata annak, hogy így kell?

– Hogyan kell szöget felezni? Mi a magyarázata annak, hogy így kell?

– Mi a közös a szakaszfelező és a szögfelező szerkesztésében?

– Hogyan kell egyenes adott pontjába merőlegest szerkeszteni? Miért így kell?

– Hogyan kell egyenesre egy adott külső pontból merőlegest szerkeszteni? Miért így kell?

0852. modul: GEOMETRIAI ISMÉTLÉS – Geometriai szerkesztések ismétlése 141

6. Szerkessz adott e egyenessel párhuzamos egyenest, rajta kívül adott P ponton át! Lilla így oldotta meg a feladatot. Találd ki, hogyan szerkesztett! Ha rájöttél, végezd el te is ugyanígy a párhuzamos szerkesztését a füzetedbe!

7. Szerkessz 60º-os, 120º-os, 30º-os, 15º-os szögeket! Milyen szögeket lehet még így a 60º-os szög felezésével, illetve többszörözésével szerkeszteni?

8. Rajzolj kört! Végy fel a körvonalon egy P pontot! Szerkeszd meg a kör P ponthoz tartozó érintőjét!

2. FELADATLAP

P

B

A

e

C

β γ

α

A

bc

a CB

A háromszögek csúcsainak, oldalainak, szögeinek szokásos jelölése:

A szerkesztési feladatok mindegyikéhez – készíts vázlatrajzot, betűzve az oldalakat, szögeket; – színezd az ismert adatokat; – számozd a szerkesztés tervezett lépéseit! A füzetedbe dolgozz!


c

γ a

3

2

1

Mintapélda

Szerkessz háromszöget, amelynek adott két oldala és egy szöge! a = 3,8 cm; c = 5 cm; γ = 90º Megoldás első változat: Megoldás második változat:

Vázlat: Vázlat:

A szerkesztés menete: 1. egy félegyenesre az a oldalt felmérjük,

2. az a oldal egyik végpontjába merőlegest szerkesztünk,

3. az a oldal másik végpontjából c sugarú körrel elmetsszük a merőlegest. Ez lesz a háromszög harmadik csúcspontja.

Szerkesztés lépésről lépésre:

A szerkesztés menete: 1. egy félegyenesre annak végpontjában

derékszöget szerkesztünk,

2. egyik szárára felmérjük az a oldalt,

3. az a oldal másik végpontjából c sugarú körrel elmetsszük a derékszög másik szárát. Ez lesz a háromszög harmadik csúcspontja.

Szerkesztés lépésről lépésre:

c

γ a

3

1

2

1.

2.

3.

Kész a háromszög:

1.

2.

3.

Kész a háromszög:


3. Szerkessz háromszöget egy oldalból és két szögből! A szögeket is szerkeszd! c = 7 cm; α = 30º; β = 120º

4. Szerkessz háromszöget, amelynek két oldala és egy szöge a következő! a = 5 cm; c = 3,8 cm; γ = 45º

5. Szerkeszd meg az 1-3. feladatok háromszögeinek egy-egy magasságát!

TUDNIVALÓ

A háromszög egyértelműen megszerkeszthető, ha 1. adott 3 oldala; 2. adott 2 oldal és a közbezárt szög; 3. adott 1 oldal és a rajta fekvő 2 szög; 4. adott 2 oldal és a nagyobbikkal szemben fekvő szög.

3. FELADATLAP

1. Szerkessz háromszöget, amelynek oldalai: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg minden oldal felező merőlegesét! – Milyen tulajdonságú pontok az oldalak felező merőlegeseinek pontjai? – Milyen tulajdonságú a felező merőlegesek metszéspontja? – Rajzold meg a háromszög köré írható kört!

2. Szerkessz háromszöget, amelynek oldalai: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg minden szögének a szögfelezőjét! – Milyen tulajdonságú pontok a szögfelező pontjai? – Milyen tulajdonságú a szögfelező metszéspontja? – Rajzold meg a háromszögbe írható kört!

b

γ

a 2. Szerkessz háromszöget, amelynek adott két oldala és általuk közbezárt szöge!

b

a

c

1. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek adott a három oldala:


3. Szerkessz háromszöget, amelynek oldalai: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg a három- szög magasságpontját! (Magasság: a csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőleges.)

4. Szerkessz háromszöget, amelynek oldalai: 3,4 cm; 4,5 cm; 5 cm! Szerkeszd meg a háromszög súlypontját! (Súlyvonal: a háromszög csúcspontját a szemközti oldal felező- pontjával köti össze.)

TUDNIVALÓ A háromszögek nevezetes vonalai:

Metszéspontjaik:

– oldalfelező merőleges köré írt kör középpontja

– szögfelező beírt kör középpontja

– magasságvonal: egy csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőleges magasságpont

– súlyvonal: egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz súlypont

4. FELADATLAP

Szerkessz háromszöget a megadott adatokból, majd végezd el a kért szerkesztést!

1. a = 3 cm; b = 4,5 cm; γ = 45º. Szerkeszd meg a háromszög köré írható kört!

2. a = 4,5 cm; b = 4,5 cm; γ = 60º. Szerkeszd meg a háromszögbe írható kört!

3. Szerkeszd meg a következő háromszögek magasságpontját! a) a = 4 cm; b = 5 cm; c = 6 cm b) a = 5 cm; b = 3,5 cm; c = 2,5 cm c) Hol van a derékszögű háromszögek magasságpontja?

4. a = 5 cm; c = 4 cm; γ = 45º.Szerkeszd meg a súlypontot!

5. Adott egy háromszög AB = 4,5 cm-es oldala, és m c = 2 cm-es magassága.

a) Szerkeszd meg a háromszög lehetséges C csúcsainak helyét! b) Szerkessz a fenti adatokkal, közös AB oldallal, hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű

háromszögeket! Dolgozhatsz az a) feladat ábráján!

6. Szerkessz háromszöget két oldalból és egy magasságból: a) b = 5,5 cm; c = 6 cm; m c = 5 cm;

b) b = 5,5 cm; c = 6 cm; m a = 3,5 cm!

7. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek adatai: a) a = 5 cm; m a = 3,5 cm; β = 50º;

b) a = 4,5 cm; m c = 3 cm; γ = 75º!


5. FELADATLAP

Minden szerkesztés előtt vedd fel az adatokat, készíts vázlatrajzot, jelöld rajta számozással a szerkesztés menetét!

1. Szerkessz négyzetet, ha adott a) a = 3,4 cm; b) átlója = 5,2 cm!

2. Szerkessz téglalapot, ha a) a = 34 mm; b = 5,2 cm; b) b = 3,8 cm; átlója = 7 cm!

3. Szerkessz rombuszt, ha adott

a) a = 6 cm; α = 130º; b) a = 6 cm; átlója = 3 cm; c) e = 4,7 cm; f = 83 mm; d) AC átló = 7 cm; α = 71º!

4. Szerkessz paralelogrammát, ha a) adott két oldala és egy szöge; b) adott két oldal és egy átló; c) a = 29 mm; ma= 5 cm; α = 75º; d) a = 63 mm; b = 40 mm; mb= 3,5 cm!

5. Szerkessz deltoidot, ha a) két oldala 3 cm és 4 cm, szimmetriaátlója 5 cm; b) két oldala 3 cm és 4 cm, nemszimmetria-átlója 5 cm!

. m α

D C

A B

bd

c

a

6. Figyeld az ábra jelöléseit, és szerkessz trapézt, ha:

a) a = 65 mm; b = 4 cm; d = 32 mm; α = 60º;

b) szimmetrikus, és a = 65 mm; d = b = 3,5 cm; m = 2,5 cm;

c) derékszögű (α = 90°), és a = 53 mm; c = 2 cm; AC átló = 4 cm;

d) a = 71 mm; c = 39 mm; d = 4,3 cm; AC átló = 57 mm!

c) AB = 6 cm; AC szimmetriaátló = 4,5 cm; DAB = 40º; d) DA = 5,3 cm; DB nem-szimmetriaátló = 3,5 cm; CDA = 100º!


Az egyes négyszögfajták megszerkesztéséhez szükséges adatok száma

Általános négyszög: 5 mert átlójával 2 háromszögre bontható, és az átlóra illeszkedő oldala a két háromszögnek:

Trapéz: 4 az általános négyszög 5 adatából 1 adat:

Derékszögű trapéz: 3 a trapéz 4 adatából 1 adat:

Húrtrapéz: 3 a trapéz 4 adatából 1 adat:

Paralelogramma:

3 a trapéz 4 adatából 1 adat:

Deltoid: 3 az általános négyszög 5 adatából 2 adat:

Téglalap: 2 a húrtrapéz 3 adatából 1 adat: vagy a paralelogramma 3 adatából 1 adat:

Rombusz:

2 a deltoid 3 adatából 1 adat:

Négyzet: 1 a rombusz 2 adatából 1 adat vagy a téglalap 2 adatából 1 adat:

5

4

3 3 3 3

2 2

1

7. A következő táblázat hasznos tudnivalókat rejt. A harmadik oszlopban egy-egy mondat első részét olvashatod. A kettőspont utánkövetkezik a mondat befejező része, de ezt Neked kell leírnod! A táblázat kitöltésekorgondolj a négyszögek tulajdonságaira! Segíthet a táblázat alatt látható négyszögháló.


FELADATGYŰJTEMÉNY

2. Szerkessz háromszöget a megadott adatokból!

a) a = 54 mm; b = 3,4 cm; γ = 120º

b) a = 4,2 cm; b = 0,62 dm; α + β = 150º

3. a) Egy háromszög adatai a következők: a = 3 cm; β = 40º; γ = 110º. Vedd fel az adatokat (szögmérőt is használj), és szerkessz!

b) Egy háromszög leghosszabb oldala 6,5 cm, és szögeinek aránya 1 : 2 : 3. Szerkessz!

4. Szerkessz háromszöget, ha ez egy a) szabályos háromszög és a magassága 3 cm; b) egyenlőszárú háromszög, a magassága 3 cm és szárszöge 45º c) egyenlőszárú háromszög, a magassága 3 cm és az alapon fekvő szöge 45º!

5. a = 5,5 cm; b = 4,8 cm; γ = 75º. Szerkeszd meg a háromszög magasságpontját!

6. Szerkessz háromszöget, ha egyik oldala a = 45 mm, az oldalhoz tartozó magassága m = 3 cm és β szöge! a) β = 75º; b) β = 90º; c) β = 120º

β γ

α

A

bc

a CB

A háromszögek csúcsainak, oldalainak, szögeinek szokásos jelölése:

A szerkesztési feladatok mindegyikéhez – készíts vázlatrajzot, betűzve az oldalakat, szögeket; – színezd az ismert adatokat; – számozd a szerkesztés tervezett lépéseit! A füzetedbe dolgozz!

c

α

b

a)

b

α

γ

b) 1. Szerkessz háromszöget a megadott adatokból!


7. Egy háromszög a oldala 4 cm, a rajta lévő két szög: β = 60º és γ = 30º. Szerkeszd meg, majd tükrözd: a) az a oldalára, b) a b oldalára, c) a c oldalára, d) az a oldal felezőpontjára! Milyen sokszöget alkot az eredeti és a tükrözött háromszög?

8. Szerkessz szabályos hatszöget, ha a köré írható kör sugara r = 2,5 cm!

9. 7 cm átmérőjű körbe szerkessz szabályos nyolcszöget!

10. Szerkessz ABCD paralelogrammát a következő adatokból: a) AB = 5,2 cm; BC = 2,5 cm és AC = 5,7 cm b) AB = 3 cm; BD = 3 cm; DAB szög = 60º c) AB = 2 cm; AC = 4 cm; CAB szög = 90º

11. Szerkessz deltoidot, ha a = 35 mm, b = 5,6 cm, a két oldal által bezárt szög pedig derék- szög!

12. Egy trapéz egyik alapja: AB = 6 cm; egyik szára: AD = 2,5 cm; egyik átlója: AC = 4,2 cm

és az A csúcsnál lévő szöge 75º. Szerkeszd meg!

13. Szimmetrikus trapéz két alapja 8 cm és 4 cm, van 60º-os szöge. Szerkeszd meg, majd tük- rözd a hosszabb alapjára! Milyen sokszöget kaptál?

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS Terület síkon és gömbön

Készítette: Lénárt István, Szeredi Éva

0853. MODUL


1. FELADATLAP 1. A négyzetháló minden kis négyzetének 1 egységnyi hosszú az oldala, így a területe

1 területegység. Írjátok az alakzatok mellé, hány hosszúságegység az oldaluk és hány területegység a területük! a)

b)

2. A következő alakzatokhoz először rajzolj velük egyenlő területű téglalapot, és annak mérd meg a területét a megadott egységgel!

Ha egységnégyzetnél kisebb síkbeli területdarabot akarunk megmérni, akkor a négyzet egyik legcsodálatosabb tulajdonsága segít. Az egységnégyzetet könnyen fel tudjuk dara- bolni négy kisebb, egyenlő területű négyzetre. Ha még ezek is túl nagyok, akkor tovább szeleteljük a kisebb négyzeteket. Ezzel a módszerrel akármilyen síkdarab területét vagy pontosan megmérhetjük, vagy tetszőleges kis hibával megközelíthetjük. Ha például kör területére vagyunk kíváncsiak, akkor négyzetekkel ezt a területet nem tudjuk teljes pontossággal megmérni. Ha viszont előre megadunk bármilyen kis hibahatárt, akkor négyzetekkel megközelíthetjük a kör területét a megadott hibahatáron belül:

0853. modul: GEOMETRIAI ISMÉTLÉS – Terület síkon és gömbön 151

Lehet-e a másik irányból, a nagyobb értékek felől közelíteni? Lehet! Olyan négyzetből kell kiindulnunk, amelyik a kört magában foglalja, és ebből a nagy négyzetből farigcsálunk le kisebb és kisebb négyzeteket:

2. FELADATLAP

A síkbeli négyzet nem illeszthető bele a gömbfelületbe, ezért nem lehet terület mérésére használni a gömbön.

1. Mit nevezhetnénk a gömbön négyzetnek? Próbáljatok olyan definíciókat alkotni, melyek minél több tulajdonságukban megfelelnek a

síkbeli négyzetnek!

Első csoport: Rajzolj egyforma gömbi négyzeteket (olyan gömbi négyszögeket, amelyeknek minden oldala egyforma hosszú, és minden szöge egyforma nagy), és próbálj négy négyzetet egymás mellé, egy csúcspont köré illeszteni úgy, hogy ne maradjon rés kö- zöttük!

Második csoport: Rajzolj gömbi négyzetet, és próbáld a szimmetriatengelyei mentén négy egyforma, kisebb gömbi négyzetté szétvágni!

Legjobb, ha a két előbbi módszert együtt használjuk! Ekkor alulról is, felülről is közelítjük a pontos értéket.

Itt a körbe írt nagy négyzettel kezdtük a mérést. Mivel ez nem volt elég pontos, hozzáillesztettük a négy kisebb négyzetet, majd a huszonnégy, egészen pici négy-zetet. A közelítést, egyre kisebb négyze-tekkel, addig folytathatjuk, amíg a mért eredmény a hibahatáron belülre kerül. Ezzel a módszerrel a kör igazi területénél mindig valamivel kisebb értéket kapunk.


Negyedik csoport: lehet-e a gömbháromszög területét is „alap szorozva magasság”

képletével mérni és kiszámítani? Próbáljunk meg egy gömbkétszöget valahol (nem a kö- zepén) két háromszögre szétvágni az egyik oldalára emelt merőlegessel! Kiszámíthatjuk-e a gömbkétszög területét úgy, hogy a két háromszög mindegyikére alkalmazzuk az „alap szorozva magasság” képletet, és összeadjuk a két számot?

2. Az egész gömb felszíne legyen 1 gömbi területegység! Nézzük meg akkor, milyen gömbi formáknak, alakzatoknak tudjuk könnyen meghatározni a területét!

Harmadik csoport: Rajzolj gömbi téglalapot (olyan gömbi négyszö- geket, amelyeknek két-két szemben fekvő oldala egyforma hosszú, és minden szöge egyforma nagy – például úgy, hogy egy gömbkétszög két végéből levágunk egyforma egyenlőszárú háromszögeket), és próbáld gömbi négyzetekkel lefedni, lemérni a területét!

b) Mekkora a háromszor derékszögű háromszög területe, ha a területegység azegész gömb felszíne?

a) Mennyi a félgömb területe, ha a területegység az egész gömb felszíne?


a) 90 fok

b) 60 fok

c) 270 fok

d) 135 fok

e) 45 fok

f) alfa fok

4. Mekkora egy kétszer derékszögű háromszög területe, ha a területegység az egész gömb felszíne és a háromszög harmadik szöge:

a) 90 fok

b) 60 fok

c) 270 fok

d) 135 fok

e) alfa fok

3. Mekkora egy gömbkétszög területe, ha az egész gömb felszínét tekintjük területegységnek, és a gömbkétszög szöge:


3. FELADATLAP

Ezzel a területegységgel mérve mekkora az alábbi gömbi felületdarabok területe?

5. Van még másféle gömbháromszög, amelynek a területét könnyű meghatározni. Azok a gömbháromszögek, amelyeknek valamelyik kiegészítő háromszöge éppen az eredeti háromszög tükörképe: a) Hogyan lehet ilyen háromszög területét meghatározni a gömbkétszög tulajdonságai

alapján? b) Hogyan lehet ilyen háromszög területét meghatározni a gömbháromszögek tulajdonságai

alapján?

Válasszunk egy olyan kétszer derékszögű háromszöget, amelynek a harmadik szöge éppen 1 fok! Hegyes, vékony, hosszúkás háromszöget kapunk:

Nevezzük EZT a háromszöget 1 gömbi területegységnek (és ne az egész gömbfelületet)! A formája miatt farkasfognak is hívhatjuk ezt a vékony háromszöget.

a) Kétszer derékszögű gömbháromszög, amelynek harmadik szöge 2°

Kétszer derékszögű gömbháromszög, amelynek harmadik szöge 3°


e) olyan gömbháromszög területe, amelynek valamelyik oldalához csatlakozó kiegészítőháromszöge az eredeti háromszög tükörképe, és az oldallal szemközti szöge α fok:

d) negyedgömb: nyolcadgömb:

c) alfa nyílásszögű kétszer derékszögű háromszög alfa nyílásszögű gömbkétszög

b) Teljes gömb Félgömb


EMLÉKEZZ

Az r sugarú kör kerülete: K = 2 · r · π

Az r sugarú kör területe: T = r2 · π

4. FELADATLAP

1. Számítsd ki az 5 dm sugarú kör kerületét mm, illetve a területét mm2 pontossággal!

a) 90 fok

b) 60 fok

c) 270 fok

d) 135 fok

e) alfa fok

2. Válasszuk egységnek az 1 cm sugarú kört! Mekkora egy körcikk területe, ha aterületegység az egész kör területe és a körcikk középponti szöge

3. Válasszunk egy olyan körcikket, amelynek a nyílásszöge éppen 1 fok! Hegyes, vékony, hosszúkás háromszögre emlékeztető alakzatot kapunk:

a k3. Feladatlapénak

a) Háromszög-e ez valójában? Indokold meg válaszodat!

Nevezzük EZT a pici körcikket 1 területegységnek (és ne az egész kört!)


5. FELADATLAP

b) Hányszor fér rá az 1 fokos körcikket határoló körív a teljes kör kerületére? Mennyi az 1 fokos körcikket határoló körív hossza (a kör hagyományos kerületkép- letével számolva)?

c) Hány 1 fokos körcikk szükséges egy α nyílásszögű körcikk lefedéséhez? Mennyi ennek a területe, és mekkora körív határolja, ha

α = 90 fok:

α = 60 fok:

α = 270 fok:

α = 135 fok:

α = α fok:

d) Keress összefüggést a körcikk területe és kerülete között!

teljes kör: félkör: α nyílásszögű körcikk:

b) Ezzel a területegységgel mérve mekkora az alábbi kördarabok területe?

1. Válasszuk most továbbra is területegységnek az r sugarú körben az 1 fokos körcikket! Egy körcikket mindig két sugár és egy körív határol. Ilyen kis körcikkekkel le tudjuk fedni az egész kört.

a) Hány darab kell az egész kör lefedéséhez? Mennyi egy ilyen 1 fokos körcikk területe (a kör hagyományos területképletével számolva)?


2. A körcikk területét könnyen kiszámíthatjuk a határoló ív hosszából és a sugárból. A háromszög területképletével rokon, ahhoz hasonló eredményt kapunk:

2⋅

=i rT

Az előbb kapott területképletet megpróbálhatod megmagyarázni.

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Mennyi az alábbi síkalakzatok területe és kerülete? Jelöld a nagy kör sugarát r-rel!

Az ábrákon a körökbe rajzolt körívek sugara 2r

A körcikk központi szöge derékszög. A körbe négyzetet

írtunk.

r

i

a) Mennyi a területe és kerülete?

b) Mennyi a területe és kerülete egy kis beszínezett három- szögnek?

2. A képen egy háromszor derékszögű gömbi háromszöget látsz.


3. Mekkora a körcikkek kerülete és területe, ha a sugarat r és a nyílásszöget α jelöli?

a) r = 5 cm és α = 30 fok

b) r = 2 cm és α = 45 fok

c) r = 10 cm és α = 50 fok

d) r = 8 m és α = 20 fok

e) r = 5 mm és α = 100 fok

4. Számítsd ki a hiányzó adatot, ha a körcikk területét t, a sugarat r, és a határoló körív hosszát i jelöli.

a) r = 3cm; i = 8 cm

b) r = 2 dm; i = 15 cm

c) r = 1,5 dm; t = 3 dm2

d) i = 25 cm; t = 5 dm2

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás ismétlése


0854. MODUL


1. FELADATLAP

1. A mértékváltás gyakorlására oldd meg a következő feladatokat!

a) 325 m = dm = km

8,2 km = m = cm

1025 mm = dm = m

b) 80 m² = dm² = cm²

16,5 ha = m² = km²

2500 cm² = mm² = m²

c) 13,5 dm³ = cm³ = m³

3,4 m³ = cm³ = mm³

1,5 km³ = m³ = dm³

d) 645 l = dm³ = hl

3500 ml = cm³ = l

8,6 hl = m³= l = dm3

TUDNIVALÓ

Mértékegységek:

Hosszúságegységek:

< < < 1 m < 1 km 1 mm 10

1 cm 10

1 dm 10 1000

Területegységek:

< < < < < < 1 mm2 102

1 cm2 102

1 dm2 102

1 m2 102

1 a102

1 ha 102

1 km2

Térfogategységek: 10002

< 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 < 1 km3

c 103

c 103

c < < <

1 mm3 103

1 ml 103

1 l 102

1 hl10

10 hl

10003

0854. modul: GEOMETRIAI ISMÉTLÉS – Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás ismétlése 163

TUDNIVALÓ

Síkidomok kerülete és területe:

Kerület: a határoló oldalak hosszainak összege

Terület

K = 2 · (a + b)

Téglalap:

T a b= ⋅

K = 4 · a

Négyzet:

2T a=

K = a + b + c

Háromszög:

2 2 2a b ca m b m c mT ⋅ ⋅ ⋅

= = =

K = 2 · (a + b)

Paralelogramma:

a bT a m b m= ⋅ = ⋅

K = 2 · (a + b)

Deltoid:

2e fT ⋅

=

K = 4 · a

Rombusz:

2e fT a m⋅

= = ⋅

K = a + b + c + d

Trapéz: ( )

2a c m

T+ ⋅

=

K = 2 · r · π

Kör:

2T r= ⋅π

K = a + b + c + d + e + ...

Általános sokszög:

1 2 3T T T T + ...= + +

a

a

b

a

am

a .

am

a .

. e

f

..e

f m

r

.. .

c d 1T

2T b

e 3T a

.m c

d b

a c


2. FELADATLAP

Osszátok fel csoporton belül a következő feladatok részfeladatait, beszéljétek meg tapasztalataitokat, majd közösen válaszoljatok a feltett kérdésekre!

1. Számítsátok ki az ábrán látható ABE , AEF , FED , BCE -ek területét! Mekkora a téglalap területe, és ez hányszorosa az FED területének? Miért?

3. Mekkora a rombuszok magassága, ha kerületük 20 cm és területük: T1 = 25 cm2; T2 = 20 cm2; T3 = 15 cm2; T4 = 10 cm2 ?

4. Négyzet alakú telek kerítése 460 m hosszú. Hány hektár a területe?

AB = 3,54 inch; BC = 4,5 cm; E és F pontok a téglalap oldalait harmadolják.

D C

B A

F

E

2. A következő síkidomok csúcsai két párhuzamos egyenesre esnek. Számítsd ki a síkidomok területét! A számításhoz szükséges adatokat méréssel állapítsd meg!


TUDNIVALÓ

Testek felszíne, térfogata Felszín: a határoló lapok területeinek összege

Térfogat

A = 6 · a2

Kocka:

V = a3

A = 2 · (ab + bc + ac)

Téglatest:

V = a · b · c

A = 2 · Talap + Tpalást

Hasáb:

V = Talap · mtest

A = 2 · Talap + Tpalást = = 2 · r2π + 2rπ · mtest

Henger: V = Talap · mtest =

r2π · mtest

a

a

c

b

Talap

T pal

ást

rmtest


3. FELADATLAP

1. Mérjétek meg a tanárotoktól kapott téglatest éleit, rajzoljatok róla vázlatos hálózatot, számítsátok ki a felszínét és térfogatát!

2. a) Egy kocka felszíne 96 cm². Mekkora a térfogata?

b) Egy kocka térfogata 125 cm³, mekkora a felszíne?

3. a) Számítsátok ki a tanárotoktól kapott hasáb térfogatát, a szükséges adatokat méréssel állapítsátok meg!

b) Számítsátok ki a kapott henger térfogatát, a szükséges adatokat méréssel állapítsátok meg!

c) A kapott test felszínét is számítsátok ki; ha szükséges, végezzetek pótlólagos méréseket!

4. Milyen test hálózata ez? Számítsd ki a test térfogatát!

5. Négyzetes oszlop magassága 25 cm, térfogata 3,6 dm³. Mekkora az alapéle?

6. Mekkora a henger magassága, ha alapterülete 300 cm², térfogata 0,06 m³?

9 cm

13 cm

12 cm ·


4. FELADATLAP

2. Egy felújítandó szoba 5,2 m hosszú, 4 m széles, 2,8 m magas. Mekkora falfelületet kell lefesteni, ha az ajtó és az ablakok 6 m²-t foglalnak el? A 60 m³-es helyiség fűtésére tervezett radiátor elég-e ennek a szobának a bemelegítéséhez?

3. a) Mekkora egy 6 dm átfogójú egyenlőszárú derékszögű háromszög területe?

b) Itatóvályú keresztmetszete egyenlőszárú derékszögű háromszög, amelynek átfogója (a vályú szélessége) 6 dm. Hány liter víz fér a 2 m hosszú vályúba?

4. Mit gondolsz, hány liter leves készül a fazékban, amelynek magassága 20 cm, alapkörének

átmérője 1,8 dm, és 45

részéig lehet megtölteni ?

5. Hány m² lemez kell egy 3,5 m magas, 1,5 m átmérőjű hirdetőoszlop palástjának elké- szítéséhez?

10 m

29 m 2 m

36 m 2 m

1. Egy téglalap alakú díszpark füvesített, a négy sarkában található virágágyak, ill. a rajta áthaladó, 2 m széles utak kivételével. Mekkora a füves terület?

.

6 dm 2 m

b b


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Pótold a hiányzó mérőszámokat, kitevőket!

a) 62,5 km = m = dm

km = 184,5 m = cm

246 mm = cm = m

4,25 km = 4,25·10 m = 4,25·10 mm

5,2·10 km = 5,2·100 m = 5,2·10 mm

b) m2 = 350 dm2 = cm2

5 ha = m2 = dm2

1,25 km2 = ha = m2

3,6 km2 = 3,6·10 ha = 3,6·10 m2 = 3,6·10 dm2

8,1·10 km2 = 8,1·10 ha = 8,1·104 m2 = 8,1·10 dm2

c) 6,3 m3 = dm3 = cm3

m3 = 42 dm3 = mm3

l = dm3 = 1500 cm3 = ml

220 cm3 = dm3 = l = dl

m3 = 7,5 hl = l = dm3

2. Egy kép 2 db 33 cm-es és 2 db 19 cm-es szegőléccel van bekeretezve. Mekkora a képet fedő üveglap területe?

3. Szerkessz 4 cm oldalú rombuszokat, amelyeknek egy szöge 30°, 60°, 90°, 150°! Húzd meg a magasságokat, és számítsd ki a területüket! Mit tapasztalsz?

4,5 m 5 m

20 m

6. A folyómenti gát trapéz keresztmetszetű. Alul 20 m, felül 5 m széles, 4,5 m magas. Mennyi földet kellett a 2 km hosszú gáthoz beépíteni?


γ

a b

5. Szerkessz háromszöget az alábbi oldalakkal és szöggel, húzd be az egyik magasságot is,majd mérd meg a szükséges adatokat, és számítsd ki a háromszög kerületét, területét!

37 m

40 m

20 m

T1

T2

4. Egy paralelogramma és egy derékszögű háromszög alakú telek illeszkedik egymáshoz azábrán látható módon. Hasonlítsd össze a területüket!


7. Szerkessz húrtrapézt, ha AB = 6 cm, DC = 3 cm, α = 60º! Számítsd ki a kerületét, területét!

8. A táblázat deltoidokra vonatkozó adatokat tartalmaz. Számítsd ki a hiányzó adatokat!

e 3 cm 360 mm 1,2 dm

f 48 mm 32 dm 0,5 m

T 8 m² 72 cm²

9. Egy ház tűzfala trapéz alakú. Párhuzamos oldalai 8 m és 9,8 m, a köztük lévő távolság 5,6 m. Mennyi habarcs kell a bevakolásához, ha m²-enként 30 kg habarcsra van szükség?

11. Egyenlőszárú háromszög szára 5 cm, az alaphoz tartozó magassága 4 cm. Számítsd ki a háromszög kerületét és területét!

12. Egy szökőkút medencéje szabályos háromszög alakú, amelynek oldala 15 m hosszú. Mekkora a vízfelület?

c

10. Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög alakú papírlap három sarkát behajtjuk az ábrán látható módon. Mekkora a kapott téglalap kerülete, ha a háromszöglap átfogója c = 4 cm?

γ b

a

6. Szerkessz háromszöget az alábbi oldalakkal és szöggel: a = 2,8 cm; b = 4,5 cm; γ = 90°! Számítsd ki az átfogót és a háromszög kerületét, területét!


13. Egy téglalap adatai: átló = 6 cm; b = 3 cm. Szerkesztés és mérés nélkül állapítsd meg,milyen szöget zárnak be az átlói! (Vázlatot készíts!) Állításodat indokold! Mekkora atéglalap kerülete?

ef

•

f e

•

a

ma

•

16. Számítsd ki és hasonlítsd össze az ábrákon látható egyenlőszárú háromszög és deltoid

területét, ha adataik: a = 3 cm és ma= 4 cm; ill. e = 3 cm és f = 4 cm! Becsüld meg a harmadik ábra négyszögének területét, ha ennek átlói is merőlegesek, hosszuk ise = 3 cm és f = 4 cm – de egyik sem szimmetriaátló! Számítsd ki a területét?

14. A paralelogramma egyik oldala 6 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 2,4 cm. Átlói aparalelogrammát négy háromszögre osztják. Számítsd ki ezeknek a területét!

15. Egy oldalán fekvő henger alakú edény félig van vízzel. Mekkora az edényben lévő folya-dékfelszín területe, ha az alapkör átmérője d =14 cm és a henger magassága ism = 14 cm? Milyen négyszöglap alakja van ekkor a folyadékfelszínnek? Változik-e a folyadékfelszín alakja és mérete, ha a henger egyenletes sebességgel, lassan gurul?

m

T

d


18. Egy kocka lapjának területe 6,25 dm². Mekkora a felszíne és a térfogata? Hányszor akkora

annak a kockának a felszíne és a térfogata, amelyiknek éle az eredeti kockáénak 2-szerese, 3-szorosa?

20. Egyenlőszárú háromszög alapú hasáb alapháromszögének adatai: b = 17 cm; am = 15 cm.

A hasáb magassága 22 cm. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát!

21. Hány m³ nyersolaj tölt meg egy olyan távvezetéket, amelynek belső átmérője 24 cm, hosszúsága 200 km?

17. Az ABC háromszögben D és E az oldalakat felezi. a) Becsüld meg: – hányszorosa ABC háromszög kerülete és területe a DEC háromszögének; hányszorosa ABED trapéz területe a DEC háromszögének? b) Számold ki területüket, ha AB = 6 cm; m = 40 mm! c) Számítsd ki a kerületüket is, ha BC = 0,5 dm!

C

A B

E D

19. Számítsd ki a hálózattal adott test felszínét és térfogatát! Mi ennek a testnek a neve?

1,5 dm2 dm 3 dm

3,5 dm

matematikai kompetenciaterÜlet „a” - budapest xvi....

Documents