matematika1.tex

7/23/2019 Matematika1.Tex

1/13

MATEMATIKA 1 - GRUPA A

1. Kolokvijum 03. decembar 2014.

1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedin

k=1

1

cos kx cos(k+ 1)x =

tan(n + 1)x tan xsin x

.

2. (a) Odrediti kompleksan brojz1 iz uslova

z1 1 z10 1 21 2 + i i

= 2 8i.

(b) Kompleksan broj z1 (odred-en u (a)) napisati u eksponencijalnom itrigonometrijskom obliku, a zatim odrediti 5

z1.

3. (a) Odrediti realne koeficijente a,b, c polinoma

P(x) =x5 + ax4 2x3 6x2 + bx + c

ako je P(2) = 9, proizvod korijena polinoma Pje 3, a zbir 3.(b) Polinom dobijen pod (a) napisati po stepenima x 1.

4. Neka su A, E Mnn(R) i (A+ E)3 = O. Pokazati da je A regularnamatrica i odrediti A

1

.

5. Odrediti

Dn =

x a a . . . a

a x a . . . a

a a x . . . a...

......

. . . ...

a a a . . . x

.


2/13

MATEMATIKA 1 - GRUPA B



k=1

1

2ktan

x

2k =

1

2ncot

x

2n cot x, x=k, k Z.

2. Neka je z1 = 1 tjeme kvadrata. Ako je centar opisane kruznice okokvadrata rjesenje jednacine

z(3 + i) + z(1 + i) + (zi + 1)i= 6 + 6i,

naci ostala tjemena!


P(x) =x5 + ax4 2x3 6x2 + bx + c

ako je P(2) = 9, proizvod korijena polinoma P je -3, a zbir 3.(b) Polinom dobijen pod (a) napisati po stepenima x 2.

4. Koristenjem Kramerovih formula diskutovati sistem

(1 + a)x + y + z = a2 + 3ax + (1 + a)y + z = a3 + 3a2

x + y + (1 + a)z = a4 + 3a3

i naci opste rjesenje u zavisnosti od realnog parametra a.

5. Odrediti

Dn =

1 1 . . . 1 n1 1 . . . n 1...

... . . .

......

1 n . . . 1 1n 1 . . . 1 1

.


3/13

MATEMATIKA 1 - GRUPA C



k=1

sin kx = sin

n+12

x

sin nx2

sin x2

.

2. (a) Odrediti kompleksan brojz ako je

Re

z(2 + i) 5z

1 + i

=11 i Im

z(2 + i) 5z

1 + i

=18.

(b) Odrediti kompleksne brojeve z1 i z2 tako da je z1 pozitivan realanbroj, z2 pripada trecem kvadrantu, a trougao zz1z2 je jednakos-tranicni stranice 5.


P(x) =x5 + ax4 2x3 6x2 + bx + c

ako je P(2) = 9, proizvod korijena polinoma Pje 3, a zbir -3.(b) Polinom dobijen pod (a) napisati po stepenima x + 1.

4. Neka je A regularna matrica tako da je

An + An1 + . . . + A + E= O, n N,

dokazati da je A1 =An.

5. Odrediti

Dn =

cos 1 0 0 . . . 01 2 cos 1 0 . . . 00 1 2 cos 1 . . . 0...

......

... . . .

...0 0 0 0 . . . 2cos

.


4/13

MATEMATIKA 1 - GRUPA D


1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedi

1

2+

nk=1

cos kx = sin 2n+1

2 x

2sin x2

.

2. (a) Odrediti kompleksan brojz1 iz uslova

z1 1 z10 1 21 2 + i i

= 2 8i.

(b) Ako je z2 rjesenje jednacine

(1 + i)3(3 i) + iIm

z2+ 2i

2

+ z2=2 + 12i,

predstaviti u kompleksnoj ravni skup tacaka z koji zadovoljava ne-jednakost

|z1|


5/13

MATEMATIKA 1

2. Kolokvijum 26. januar 2015.

1. Dat je niz x1= 1, x2= 2,

xn = xn1+ xn2 (n >2).

Naci limn

xn+1xn

! (8)

2. Ispitati neprekidnost funkcije (5)

f(x) =

3

x + e 1x1 , x 1.

3. Koristenjem Maklorenove formule naci

limx0

1 cos(1 cos x)x4

. (6)

4. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = (x 1)ln

1 1x

. (10)


6/13

MATEMATIKA 1

29. januar 2015.

1. Koristeci princip matematicke indukcije pokazati da za svakonN vrijedi

(a + b)n =

nk=0

n

k

ankbk, a, bR.

2. Odrediti kompleksan broj z1 koji ispunjava uslove

Re

z1+ 3i 1

2 + 2i

=

5

4, Im

(1 + i)z1 5

1 i

=12

.

Za tako nad-enoz1 odrediti preostala tjemena kvadrata z1z2z3z4 u prvom

kvadrantu kompleksne ravni ako se zna da je Re(z2) = 6 i Re(z4) = 1.

3. Neka su a, b i c tri razlicita cijela broja i P polinom sa cjelobrojnimkoecijentima. Dokazati da je nemoguce da je

P(a) =b, P(b) =c, P(c) =a.

4. Odrediti

Dn =

1 1 0 . . . 0 0 01 1 1 . . . 0 0 00 1 1 . . . 0 0 0...

......

. . . ...

......

0 0 0 . . . 1 1 10 0 0 . . . 0 1 1

.

5. Naci

limn

nk=1

k

3k.

6. Naci limx

( 3

x3 + 3x2 x2 2x).

7. Odrediti realne parametreA i B tako da funkcija

f(x) =

(sin x)tan2 x, x <

2

A, x= 2

Ae + Bx , x > 2

bude neprekidna na svom domenu.


f(x) = 3

x 3x + 1.

PRVI KOLOKVIJUM: 1,2,3,4DRUGI KOLOKVIJUM: 5,6,7,8INTEGRALNI ISPIT: 1,2,4,5,7,8


7/13

MATEMATIKA 1

12. februar 2015.

1. Ispitati da li je relacija definisana sa

xy (x2 y2)(x2y2 1) = 1

relacija ekvivalencije na skupu R. Ako jeste, odrediti C0, C1, C2. (8)

2. Neka je g : Q Q bijekcija. Ako su operacijex y = g1 (g(y) + g(x))i xy = g1 (g(y) g(x)) definisane zax, y Q, ispitati algebarskustrukturu (Q, , ). (12)

3. Odrediti m tako da korijeni jednacine z2 2mz + m = 0 zadovoljavajuuslov z31+ z

32 =z

21+ z

22, a zatim za takvo m odrediti korijene jednacine i

racunski pokazati da vrijedi dati uslov. (10)

4. Odreditilimx0

(cos(xex) ln(1 x) x)1/x3 . (10)

5. Odrediti intervale konveksnosti za funkciju f(x) =x sin(ln x), x >0. (8)


f(x) = arctan x2

x2 4 . (12)


8/13

MATEMATIKA 1

24. april 2015.

1. Koristeci matematicku indukciju dokazati da za svakon Nvrijedin

k=1

(1)k+1

n

k

1

k = 1 +

1

2+

1

3+ . . . +

1

n.

2. Koristeci rjesenja jednacine z5 1 = 0 odrediti cos25

i sin2

5 .

3. Naci

Dn =

a + b ab 0 0 . . . 0 0 01 a + b ab 0 . . . 0 0 00 1 a + b ab . . . 0 0 0...

......

... . . .

......

...0 0 0 0 . . . 1 a + b ab0 0 0 0 . . . 0 1 a + b

,

n N, a , bR, a=b.4. Ispitati konvergenciju niza (an)nN zadatog sa

an+1= 6(an+ 1)

7 + an, 0< a1


9/13

MATEMATIKA 1

18. jun 2015.

1. Dokazati da jen

k=m

n

k

k

m

=

n

m

2nm.

2. Naci kompleksne brojeve z za koje vazi

Im

z+ 2

2 i

= 1 Re(z2 + 1) = 1,

a zatim za rjesenje koje se nalazi u prvom kvadrantu naci

z.

3. Funkcijaf : R2

R2

je definisana sa

f(x, y) = (2x y, x 4y).

Ispitati da li je fbijekcija. Ukoliko jeste, naci f1!

4. Odrediti skup A R takav da za svako a A i za svako x R vrijediax2 + x + 30. Za takve aA izracunati

limx

(x + 1

ax2 + x + 3).

5. Ispitati neprekidnost funkcije

f(x) = limn

x + x2enx

1 + enx .


f(x) = x + ex

x ex .


10/13

MATEMATIKA 1

2. jul 2015.

1. Ispitati da li je skup 4n + 1

4m + 1:m, n Z

u odnosu na operaciju(a) sabiranja (b) mnozenjagrupa.

2. Korijeni polinomaf(x) =x2+Ax+Bsu kubovi korijena polinoma g(x) =x2 + Cx + D, gdje su A, B,C,D realni brojevi, a zbir i proizvod korijenapolinoma g(x) med-usobno su jednaki. Odrediti polinomef(x) ig (x) takoda f(x) ima dvostruki korijen, a g(x) nema dvostruki korijen.

3. Naci

Dn =

a b 0 0 . . . 0 0 0c a b 0 . . . 0 0 00 c a b . . . 0 0 0...

......

... . . .

......

...0 0 0 0 . . . c a b0 0 0 0 . . . 0 c a

,

n N, a,b,cR.4. Pokazati da je niz definisan sa

an+1= 2(2an+ 1)an+ 3

, (n= 1, 2, . . .), a1= 1,

konvergentan i odrediti mu granicnu vrijednost.

5. Odrediti konstanteA,B, Ctako da je

limx+

(

x4 + 2x3 Ax2 Bx C) = 0.

6. Funkcijaf je data sa

f(x) = (1 x)1/2 (1 + x)1/2

1 x21/2

1 + x

21/2

, (x= 0).

Odrediti uslov da bi funkcija bila neprekidna u tacki x = 0. Ako je trazeniuslov ispunjen, da li je funkcija diferencijabilna u tacki x = 0?


11/13

MATEMATIKA 1

27. avgust 2015.

1. Koristeci matematicku indukciju dokazati da za svako n N, n 3,vrijedi

120|n5 5n3 + 4n.

2. Ispitati da li je (R2, +, ) polje, gdje su operacije + i date sa

(x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v)

(x, y) (u, v) = (xu 2yv,xv+ yu).

3. Poznato je da su nule kompleksnog polinoma

Pn(z) =zn + an1zn1

+ . . . + a1z+ a0

(kompleksni) brojevi 1, 2, . . . , n. Izracunati proizvod

= (1+ 1)(2+ 1) (n+ 1).

4. Odrediti granicnu vrijednost

x1= a >0, xn+1= x1+ 2x2+ 3x3+ . . . + nxn

n , nN.

5. Dokazati nejednakost

arctan(x + y)< y+ arctan x, xR, y >0.6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) =x arccos 2x

1 + x2.


12/13

MATEMATIKA 1

10. septembar 2015.

1. Neka je (H, ) podgrupa grupe (G, ) i neka je u skupu G definisana relacija na sljedeci nacin:

(x, yG)(xyx y1 H).

Dokazati da je relacija ekvivalencije.

2. Ako je 2n = 1 (C) i z= 1 + + . . . + n1, nN, odrediti z.3. Ako je

A=

1 0 0 01 1 0 0

0 1 1 01 1 0 1

,

naci An.

4. Ako je{an}, n = 0, 1, 2, . . . niz ciji je opsti clan an = 2015n, naci

limn

a1

a0 S1 + a2

S1 S2 + . . . + an

Sn1 Sn

,

gdje je Sn =n

k=0

ak.

5. Data je krivay = xe

1

x . Naci jednacinu tangente krive u tacki x = i njengranicni polozaj kad +.6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = x

2+ arcsin

2x

1 + x2.


13/13

MATEMATIKA 1

24. septembar 2015.

1. Niz realnih brojeva{an} definisan je rekurentnom formulom

an = ( + )an1 an2, n >2

i pocetnim uslovima a1 = +, a2 = 3 3

, = . Dokazati da jeopsti clan niza izrazen formulom

an = n+1 n+1

.

2. Odrediti skup kompleksnih brojeva za koje je z = (16)34

.

3. Ako su rai rbostaci pri djeljenju realnog polinomaP(x) sax a, odnosnosa x b, a=b, koliko je ostatak pri djeljenju P(x) sa (x a)(x b)?

4. Naci limn

n

n!

n .

5. Ispitati neprekidnost funkcije

y= limn

(x arctan(n cot x)) .


f(x) =xe11/x22 .

matematika1.tex

Documents