matematika teknik dasar-2 6 koordinat bola dan...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika Teknik Dasar-26 – Koordinat Bola danSilinderSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya
![Page 2: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/2.jpg)
BOLA - definisi
▪ Bola adalah lokus sebuah titik yang bergerak sehingga jaraknya dari titik pusatnya adalah konstan.
▪ Titik tetap tersebut disebut sebagai pusat dan jarak konstan adalah radius bola.
▪ Untuk mencari persamaan sebuah bola dengan pusatnya adalah (a, b, dan c) dan radiusnya adalah r.Jika P (x,y,z) berada pada sebarang titik di bola.
Jarak P dari pusat (a,b,c) adalah 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 + 𝑧 − 𝑐 2 yang sama dengan radius r (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 adalah persamaan yang dibutuhkan.
▪ Maka persamaan sebuah bola dimana pusat bola adalah titik asalnya dan radius rx2 + y2+ z2 = r2
![Page 3: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/3.jpg)
BOLA – persamaan umum
▪ Untuk menunjukkan bahwa persamaan x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0,merepresentasikan bola dimana pusatnya adalah (-u, -v, -w) dan radiusnya adalah
𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑 maka persamaan dapat ditulis dengan bentuk(𝑥 + 𝑢)2+(𝑦 + 𝑣)2+(𝑧 + 𝑤)2= 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − d
▪ Kuadrat dari jarak pada titik sebarang (x,y,z) dari (-u, -v, -w) adalah konstant dan sama denganu2+v2+w2-d
maka persamaan tersebut merepresentasikan sebuah bola yang pusatnya adalah (-u, -v, -w)
dan radius 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑
![Page 4: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/4.jpg)
BOLA – persamaan umum
Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang datar di koordinat geometri,persamaan sebuah bola memiliki tiga karakteristik:
1. Memiliki derajad dua di x,y,z
2. Koefisien x2,y2,z2 adalah sama
3. Produk xy, yz, zx tidak ada.
▪ Jika koefisien dari x2,y2,z2 memiliki satuan masing-masing, maka koordinat titik pusat adalah:(-1/2 koef. x, -1/2 koef. y, -1/2 koef. z) dan kuadrat radius setara dengan jumlah kuadrat darikoordinat titik pusat dikurangi nilai konstan.
▪ Catatan: persamaan sebuah bola dimana titik pusatnya di (x1, y1, z1) adalah x2 + y2 + z2 – 2x1x –2y1y – 2z1z + d =0
![Page 5: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/5.jpg)
BOLA – bentuk diameter dari persamaan
Untuk menemukan persamaan bola yang dideskripsikan oleh sebuah garis yangmenggabungkan titik A (x1, y1, z1); B (x2, y2, z2) sebagai diameter.
Jika P (x,y,z) sebarang titik pada bola yang dideskripsikan oleh AB sebagai diameternya.
Arah kosinus AP dan BP adalah proporsional dengan
x – x1, y – y1, z – z1; dan x – x2, y – y2, z – z2;
Dimana sudut APB adalah sudut yang dicari, maka untuk sudut semilingkarang ABP adalah
(x – x1)(x – x2) + (y – y1)(y – y2) + (z – z1)(z – z2) = 0
![Page 6: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/6.jpg)
BOLA – konstanta di persamaan bola
Persamaan Umum dari bola adalah
x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
Persamaan ini mengandung empat konstanta sebarang, yang mana sebuah bola dapat ditemukan untuk memenuhi empat kondisi, dimana masing-masing memberikan tambahan untuk satu persamaan independen pada konstanta. Sehingga sebuah bola dapat ditemukan melewati empat titik yang tidak berada pada satu bidang.
Jika x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
![Page 7: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/7.jpg)
BOLA – konstanta di persamaan bola
Jika x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
Maka persamaan bola yang melewati empat titik yang diberikan:
A (x1, y1, z1); B (x2, y2, z2); C (x3, y3, z3); D (x4, y4, z4); (1)
x12 + y1
2 + z12 + 2ux1 + 2vy1 +2wz1 +d = 0 (2)
x22 + y2
2 + z22 + 2ux2 + 2vy2 +2wz2 +d = 0 (3)
x32 + y3
2 + z32 + 2ux3 + 2vy3 +2wz3 +d = 0 (4)
x42 + y4
2 + z42 + 2ux4 + 2vy4 +2wz4 +d = 0 (5)
![Page 8: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/8.jpg)
BOLA – konstanta di persamaan bola
Temukan nilai dari u,v,w, dan d dari persamaan (2), (3), (4), dan (5) dan substitusikan pada (1) untuk mendapatkan persamaan yang dibutuhkan.
Maka dari itu, menggunakan determinan, hasil dari eliminasi u,v,w, dan d dari 5 persamaan adalah:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥 𝑦 𝑧 1
𝑥12 + 𝑦1
2 + 𝑧12 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1
𝑥22 + 𝑦2
2 + 𝑧22
𝑥32 + 𝑦3
2 + 𝑧32
𝑥42 + 𝑦4
2 + 𝑧42
𝑥2 𝑦2 𝑧2𝑥3 𝑦3 𝑧3𝑥4 𝑦4 𝑧4
111
= 0
Merupakan persamaan yang dibutuhkan pada sebuah bola
![Page 9: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/9.jpg)
BOLA – Contoh 1
(a) Berapakah diamter bola yang bersinggungan pada (2, -3, 1) dan (1, -2, -1)
(b) Berapa pusat bola di (6, 1, 3) dan radius 4
Jawaban:
a. Nilai ekstrim dari diameter bola adalah (2, -3, 1) dan (1, -2, -1)
Persamaan bola adalah
(x-2)(x-1)+(y+3)(y+2)+(z-1)(z+1)=0; atau
x2 + y2 + z2 – 3x + 5y + 7 = 0
![Page 10: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/10.jpg)
BOLA – Contoh 1
b. Persamaan bola dimana titik pusatnya adalah (-6, 1, 3) dan radius 4 adalah
(x+6)2 + (y-1)2 + (z-3)2 = 42; atau
x2 + y2 + z2 + 12x - 2y -6z + 30 = 0
![Page 11: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/11.jpg)
BOLA – Contoh 2
Temukan persamaan dari bola yang melewati titik-titik (0, 0, 0), (0, 1, -1), (-1, 2, 0), dan (1, 2, 3)
Jawaban:
Persamaan dari sebuah bola adalah: x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
Dikarenakan bola melewati titik-titik (0, 0, 0), (0, 1, -1), (-1, 2, 0), dan (1, 2, 3)
d = 0 (1)
1 + 1 + 2v – 2w + d = 0 atau v – w + 1 = 0 (2)
1 + 4 – 2u + 4v + d = 0 atau -2u + 4v + 5 = 0 (3)
1 + 4 + 9 + 2u + 4v + 6w + d = 0 atau u + 2v + 3w + 7 =0 (4)
![Page 12: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/12.jpg)
BOLA – Contoh 2
Kita menyelesaikan persamaan (2), (3), dan (4) didapatkan:
𝑢 = −15
14, 𝑣 = −
25
14, 𝑤 = −
11
14
Nilai-nilai tersebut disubstitusikan, maka persamaan bola menjadi:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 −15
7𝑥 −
25
7𝑦 −
11
7𝑧 = 0; atau 7(x2 + y2 + z2) – 15x – 25y – 11z = 0
![Page 13: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/13.jpg)
BOLA – Contoh 3
Temukan persamaan bola yang melewati titik (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) dan titik pusat tersebutterletak di bidang x+y+z=a.
Jawaban:
Mengingat persamaan bola adalah: x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
Dikarenakan melewati (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a)
a2 + 2ua + d = 0 (1)
a2 + 2va + d = 0 (2)
a2 + 2wa + d = 0 (3)
![Page 14: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/14.jpg)
BOLA – Contoh 3
Titik pusat bola (-u, -v, -w) terletak pada bidang x + y + z = a
-(u + v + w) = a (4)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapatkan u = v = w dan dari persamaan (4) u=v=w= -a/3
Dan dari (1) d = -a2/3
Substitusi nilai-nilai tersebut, persamaan bola menjadi:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 −2𝑎𝑥
3−
2𝑎𝑦
3−
2𝑎𝑧
3−
𝑎2
3= 0; atau 3(x2 + y2 + z2) – 2ax – 2ay – 2az – a2 = 0
Catatan: dikarenakan x+y+z=a merepresentasikan bidang yang melewati tiga titik yang diberikan, persamaan bola yang didapatkan di atas akan merepresentasikan bola yang melewati tiga titik danmemiliki radius sekecil mungkin. Radius yang didapatkan akan sama dengan radisu lingkaran melewatitiga titik dimana pusat bola akan berada pada bidang yang melewati tiga titiknya.
![Page 15: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/15.jpg)
BOLA – Potongan Bidang dari Bola
Diketahui bahwa bagian/ potongan bola pada sebuah bidang adalah lingkaran.
Jika bidangnya melewati pusat bola, lingkaran yang terbentuk adalah lingkaran terbesar di bola.
![Page 16: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/16.jpg)
BOLA – Potongan Bidang dari Bola
PQR adalah sebuah bidang yang memotong bola dalam bentuk lingkaran dimana titik pusatnya adalah L dan radiusnya adalah PL, maka:
![Page 17: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/17.jpg)
BOLA – Potongan Bidang dari Bola
1. Garis yang bergabung di titik pusat bola pada pusat perpotongan adalah tepat pada bidang perpotongan, OL adalah tegak lurus terhadap bidang PQR
2. (radius perpotongan)2 = (radius bola)2 – (tegak lurus dari pusat bola ke bidang perpotongan)2
PL2 = OP2 – OL2
![Page 18: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/18.jpg)
BOLA – Perpotongan Dua Bola
Titik yang terjadi dari dua bola yang berada pada bidang dan karena bidang perpotongan adalah lingkaran, kurva perpotongan dari dua bola adalah lingkaran.
Jika S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0
S2 = x2 + y2 + z2 + 2u2x + 2v2y +2w2z +d = 0
Diperhatikan persamaan S1 – S2 = 0.
Sekarang, S1 – S2 = 2(u1-u2)x + 2(v1-v2)y + 2(w1-w2)z + d1 – d2 = 0; merepresentasikan derajad pertama bidang.
![Page 19: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/19.jpg)
BOLA – Perpotongan Dua Bola
Titik yang terjadi dari dua bola yang berada pada bidang dan karena bidang perpotongan adalah lingkaran, kurva perpotongan dari dua bola adalah lingkaran.
Jika S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0
S2 = x2 + y2 + z2 + 2u2x + 2v2y +2w2z +d = 0
Diperhatikan persamaan S1 – S2 = 0.
Sekarang, S1 – S2 = 2(u1-u2)x + 2(v1-v2)y + 2(w1-w2)z + d1 – d2 = 0; merepresentasikan derajad pertama bidang.
![Page 20: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/20.jpg)
BOLA – Perpotongan Dua Bola
![Page 21: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/21.jpg)
BOLA – Persamaan Lingkaran
Telah diperhatikan dari perpotongan bola dan bidang yang terbentuk dari perpotongan dua bola adalah lingkaran.
Oleh karena itu, sebuah lingkaran dapat direpresentasikan oleh dua persamaan, satu adalah bola dan yang lainnya adalah bidang persamaan dari dua bola.
![Page 22: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/22.jpg)
BOLA – Bola yang melalui Lingkaran
Jika sebuah lingkaran diberikan dari persamaan bola dan bidang.
S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0
U = ax + by + cz + d = 0
Persamaan bola yang melewati lingkaran adalah
S1 + kU = 0
Jika lingkaran yang diberikan melalui persamaan oleh dua bola.
S1 = x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0
S2 = x2 + y2 + z2 + 2u2x + 2v2y +2w2z +d = 0
![Page 23: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/23.jpg)
BOLA – Bola yang melalui Lingkaran
Persamaan dari bidang umum dari perpotongan dua bola adalah:
S1 - S2 = 0 = 2(u1-u2)x + 2(v1-v2)y + 2(w1-w2)z + d1 – d2
Persamaan bola melalui lingkaran dari perpotongan dua bola adalah
S1 + kS2 = 0; atau
S1 + k(S1 – S2) = 0 (jika bidang S1-S2=0)
![Page 24: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/24.jpg)
BOLA – Contoh 4
Temukan titik pusat dan radius dari lingkaran yang mana bentuk persamaan bola adalah x2+y2+z2+2x-2y-4z-19=0 yang memotong sebuah bidang x+2y+2z+7=0
Temukan juga persamaan bola yang memiliki lingkaran di atas lingkaran besar.
Jawaban:
Pusat bola adalah (-1, 1, 2) dan radiusnya adalah: 12 + 12 + 22 + 19 = 5
Arah kosinus yang normal ke bidang adalah proporsional menjadi (1, 2, 2)
Persamaan yang tegak lurus dari pusat bola ke bidangnya adalah:𝑥 + 1
1=𝑦 − 1
2=𝑧 − 2
2= 𝑟
![Page 25: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/25.jpg)
BOLA – Contoh 4
Sebarang titik dari garis adalah:
R-1, 2r+1, 2r+2
Jika ini adalah lingkaran yang diperlukan, maka akan berada pada bidang yang diberikan
(r-1)+2(2r+1)+2(2r+2)+7=0
𝑟 =−4
3
Pusatnya adalah −7
3,−5
3,−2
3
Panjang garis tegak lurus dari (-1, 1, 2) dari bidang adalah:−1 + 2 + 4 + 7
12 + 22 + 22= 4
![Page 26: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/26.jpg)
BOLA – Contoh 4
Radius lingkaran adalah 52 − 42 = 3
Sekarang persamaan bola yang titik pusat dan radiusnya adalah sama dengan lingkaran di atasnya adalah:
𝑥 +7
3
2
+ 𝑦 +5
3
2
+ 𝑧 +2
3
2
= 32
Atau, 3(x2+y2+z2)+14x+10y+4z=1
![Page 27: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/27.jpg)
BOLA – Contoh 5
Temukan persamaan bola yang memiliki titik pusat bidang 4x-5y-z=3 dan melewati lingkaran x2+y2+z2-2x-3y+4z+8=0; x-2y+z=8
Jawaban:
Persamaan bola yang melewati lingkaran adalah:
x2+y2+z2-2x-3y+4z+8+k(x-2y+z-8)=0; (S+kU)=0
Pusatnya adalah 1 −𝑘
2,3
2+ 𝑘,−2 −
𝑘
2
Pusatnya terletak pada bidang 4x-5y-z=3, maka
4 1 −𝑘
2− 5
3
2+ 𝑘 − −2 −
𝑘
2= 3; 𝑘 = −
9
13
![Page 28: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/28.jpg)
BOLA – Persamaan Bidang Tangen
Untuk menemukan persamaan bidang tangen pada sebarang titik P(x1,y1,z1) dari bola
x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
Diketahui bahwa garis yang menyambung dari pusat bola ke titik sebarang pada tegak lurus dari bidang tangen
Sekarang pusat dari bola adalah C (-u, -v, -w)
Perbandingan arah dari garis menyambung dari P(x1,y1,z1) ke C(-u, -v, -w) adalah (x1+u, y1+v, z1+w)
Persamaan bidang yang melewati P(x1,y1,z1) dan memiliki CP pada bidang normalnya.
![Page 29: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/29.jpg)
BOLA – Persamaan Bidang Tangen
(x1+u)(x-x1)+(y1+v)(y-y1)+(z1+w)(z-z1)=0
Atau xx1+u(x-x1)+yy1+v(y-y1)+zz1+w(z-z1)-(x12+y1
2+z12) = 0 (2)
Tetapi (x1,y1,z1) adalah titik dari bola memenuhi (1)
x12+y1
2+z12+2ux1+2vy1+2wz1+d=0
Atau x12+y1
2=-2ux1-2vy1-2wz1-d
Disubstitusi nilai dari (x12+y1
2+z12) pada (2) didapatkan:
Xx1+u(x-x1)+yy1+v(y-y1)+zz1+w(z-z1)+(2ux1+2vy1+2wz1+d)=0
Atau xx1+yy1+zz1+u(x+x1)+v(y+y1)+w(z+z1)+d=0
![Page 30: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/30.jpg)
BOLA – Kondisi Tangensi
Untuk menemukan bidang Ax+By+Cz+D=0 yang mungkin menyentuh bola x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
Sebuah bidang akan menyentuh bola jika panjang dari garis tegak lurus dari pusat bola ke bidang yang sama dengan radius bola.
Pusatnya adalah di (-u, -v, -w) dan radiusnya adalah 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑
Panjang garis tegak lurus dari (-u, -v, -w) ke bidangnya adalah:−𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 − 𝐶𝑤 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
![Page 31: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/31.jpg)
BOLA – Kondisi Tangensi
Panjang garis tegak lurus dari (-u, -v, -w) ke bidangnya adalah:−𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 − 𝐶𝑤 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
−𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 − 𝐶𝑤 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2= 𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑
Atau (Au+Bv+Cw-D)2=(A2 + B2 + C2)(u2 + v2 + w2 – d)
![Page 32: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/32.jpg)
BOLA – Kondisi untuk Dua Bola yang Saling Memotong Secara Orthogonal
Untuk menemukan kondisi dari dua bola yang orthogonal:
x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy +2wz +d = 0
x2 + y2 + z2 + 2u1x + 2v1y +2w1z +d = 0
Bola yang saling memotong secara orthogonal jika pangkat dari jarak antara pusatnya sama dengan jumlah pangkat dari radiusnya.
Pusatnya adalah
(-u, -v, -w) dan (-u1, -v1, -w1)
Dan radiusnya adalah
𝑢2 + 𝑣2 +𝑤2 − 𝑑 dan 𝑢12 + 𝑣1
2 +𝑤12 − 𝑑1
![Page 33: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/33.jpg)
BOLA – Kondisi untuk Dua Bola yang Saling Memotong Secara Orthogonal
(u-u1)2 + (v-v1)2 + (w-w1)2 = (u2 + v2 + w2 – d) + (u12 + v1
2 + w12 – d1)
Atau 2uu1 + 2vv1 + 2ww1 = d1 + d2
![Page 34: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/34.jpg)
BOLA – Contoh 6
Tunjukkan bahwa bidang 2x – 2y + z + 12 = 0 menyentuh bola x2 + y2 + z2 -2x -4y + 2z = 3
Dan temukan titik kontaknya.
Jawaban:
Pusat bola adalah (1, 2, -1) dan radiusnya adalah 12 + 22 + 12 + 3 = 3
Panjang garis tegak lurus dari (1, 2, -1) ke bidang = 2𝑥1 −2𝑥2 −1+12
22−22+12=
9
3= 3
Dimana hasil di atas adalah radius dari bola. Bidang yang terbentuk akan menyentuh bola.
![Page 35: Matematika Teknik Dasar-2 6 Koordinat Bola dan Silindersebrian.lecture.ub.ac.id/files/2017/05/6-Koordinat-Silinder-dan... · Seperti halnya persamaan sebuah lingkaran pada bidang](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013121/5c7b774609d3f2ac4e8b80b0/html5/thumbnails/35.jpg)
BOLA – Contoh 6
Persamaan garis melalui (1, 2, -1) dan normal terhadap bidang adalah 𝑥−1
2=
𝑦−2
−2=
𝑧+1
1= 𝑟
Sebarang titik pada garis adalah:
(2r+1, -2r+2, r-1)
Ini akan menjadi titik kontak jika terletak pada bidang.
2(2r+1) – 2(-2r+2) + r – 1 + 12 = 0
9r = -9 r = 1
Titik kontaknya adalah (-1, 4, -2)