1

MATEMATIKA 2 Klausimai, padėsiantys pasiruošti egzaminui 2014

Integralai:

1. Apibrėžkite pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokas, užrašykite neapibrėžtinio integralo

pagrindines savybes.

2. Sudarykite funkcijos )(xfy integralinę (Rymano) sumą atkarpoje ba; . Apibrėžtinio integralo apibrėžimas.

Paaiškinkite apibrėžtinio integralo geometrinę prasmę.

Paaiškinkite integralo dxx

5

0

225 geometrinę prasmę ir raskite jo reikšmę.

3. Apibrėžtinio integralo savybės. (Prasmę mokėti pakomentuoti).

Įvertinkite integralą dxx

4

0

22 .

Apskaičiuokite funkcijos xxf sin1)( vidutinę reikšmę atkarpoje ,0 .

Integralas 1

4

0

dxxf . Kam bus lygus dxxf

4

4

? Kodėl?

4. Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie integralą su kintamu viršutiniu rėžiu.

Raskite funkcijos dte

txf

x

t

0

2 2)( kritinius taškus.

Apskaičiuokite integralo dtt

x

0

3sin išvestinės kintamojo x atžvilgiu reikšmę, kai 2

x .

5. Išveskite Niutono-Leibnico formulę.

Apskaičiuokite integralą xdxx 2

0

5 cossin

.

6. Netiesioginio integralo su begaliniais integravimo rėžiais sąvoka. Paaiškinkite jo geometrinę prasmę.

Ar integralas

dxx

arctgx

0

2

2

1 konverguoja?

7. Netiesioginio integralo su begaliniais integravimo rėžiais konvergavimo ir divergavimo požymiai (be įrodymų).

Ištirkite integralo

a

ax

dx)0(,

konvergavimą. Mokėkite jį taikyti, nustatant kitų integralų konvergavimą.

Ištirti integralo

e

dxx

x

3

ln konvergavimą.

Dvilypiai integralai:

8. Sudarykite funkcijos ),( yxfz dvimatę integralinę sumą uždaroje srityje D. Dvilypio integralo apibrėžimas.

Geometrinė prasmė. Savybės.

9. Dvilypio integralo skaičiavimas stačiakampėje ir polinių koordinačių sistemose (be įrodymų).

Apskaičiuokite figūros, apribotos kreive 2xy ir tiesėmis xy 2 , 2

xy , plotą pirmajame ketvirtyje.

Apskaičiuokite integralą D

dxdyx

xcos, kai sritį D riboją tiesės

4

x ,

2

x , xy , 0y .

2

Apskaičiuokite dvilypį integralą

D

dxdyyx 22 polinėje koordinačių sistemoje, kai sritis

0,20; 22 yxyxyxD .

Kreiviniai integralai:

10. Sudarykite pirmojo tipo kreivinio integralo integralinę sumą. Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas.

11. Užrašykite formules pirmojo tipo kreiviniam integralui apskaičiuoti, kai kreivės lygtis:

a) baxxfy ;, ; b) 21;,, ttttyytxx ; c) 21;,

ir mokėkite jas taikyti.

Apskaičiuokite integralą L

dsx2, kai L kreivės xy ln lankas, jungiantis taškus 0;1A ir 2ln;2B .

Apskaičiuokite integralą L

dsy2, kai L pirmoji cikloidės ttax sin , tay cos1 arka.

Apskaičiuokite

L

dsyx 22, kai L - apskritimas xyx 222 .

12. Užrašykite materialiosios kreivės lanko masės ir lanko ilgio apskaičiavimo formules bei mokėkite jas taikyti.

Apskaičiuokite atkarpos, jungiančios taškus A(0; 0) ir B(2; 2), masę, kai masės tankis

2251

1),(

yxyx

.

Apskaičiuokite kreivės 6

;0,cos2 lanko ilgį.

13. Sudarykite antrojo tipo kreivinio integralo integralinę sumą. Antrojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas.

14. Užrašykite antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimo formulę, kai kreivė apibrėžta lygtimi:

a) baxxfy ;, ir mokėkite jį apskaičiuoti.

Apskaičiuokite ydyxdxxyL

21 parabolės 44 2 yx lanku nuo taško 0;1A iki taško 2;0B .

b) 21;,, ttttyytxx ir mokėkite jį apskaičiuoti.

Apskaičiuokite L

xdxyydyx 22, kai tytxL sin,cos: ,

20 t .

15. Išveskite formulę kintamos jėgos darbui apskaičiuoti (mechaninė prasmė).

Apskaičiuokite darbą, kurį atlieka jėga jxiyxF

, perkeldama materialųjį tašką parabole

24 xy iš taško 0;2A į tašką 3;1B .

16. Dvilypio ir kreivinio integralų ryšys. Gryno formulė (be įrodymo, mokėti pakomentuoti, kada taikoma ir taikyti).

Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokite kreivinį integralą

L

dyyxxydx 22, kai L - apskritimas

xyx 422 , apeinamas teigiamąja kryptimi.

17. Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlygos: (įrodykite teoremą apie integralą

uždaruoju kontūru; suformuluokite ir mokėkite taikyti teoremą apie dalinių išvestinių lygybę).

Patikrinkite ar integralui

AB

dyxxydx 22 galioja teorema apie dalinių išvestinių lygybę.

Ar integralas

AB

dyyxdxyxx sin)3(cos 32 priklauso nuo integravimo kelio, jungiančio taškus A

ir B? Atsakymą pagrįskite.

Apskaičiuokite integralą

AB

dyyxdxyx 44 , kai A(1; 1), B(-1; 1) yra parabolės 4xy taškai.

3

Apskaičiuokite integralą

AB

xx dyexdxxye 1 , kai A(0; 2), B(1; 0).

Diferencialinės lygtys:

18. Užrašykite antrosios eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį. Tiesiškai nepriklausomi sprendiniai

(apibrėžimas). Vronskio determinanto apibrėžimas, jo taikymas sprendinių tiesiniam priklausomumui nustatyti.

Fundamentalioji sprendinių sistema.

Nustatykite ar sprendiniai xy 2sin1 ir xxy cossin2 yra tiesiškai nepriklausomi ir apskaičiuokite

Vronskio determinantą.

Raskite diferencialinės lygties 06'5'' yyy fundamentaliąją sprendinių sistemą.

Užrašykite antrosios eilės tiesinę homogeninę su pastoviais koeficientais diferencialinę lygtį, jeigu jos

fundamentalioji sprendinių sistema yra xey 1 ir 12 y .

19. Įrodykite teoremą apie antrosios eilės tiesinės homogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio struktūrą.

Įrodykite, kad funkcijos xy 1 ir xxy ln2 sudaro diferencialinės lygties 02 yyxyx

fundamentaliąją sprendinių sistemą ir užrašykite jos bendrąjį sprendinį.

Raskite diferencialinės lygties 016'' yy du tiesiškai nepriklausomus sprendinius.

20. Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės dif. lygtys. Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie antrosios eilės tiesinės

nehomogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio struktūrą.

Raskite tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties xyy 4''' bendrąjį sprendinį.

Raskite tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties 2'' yy bendrąjį sprendinį.

21. Antrosios eilės tiesinių homogeninių dif. lygčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas (kai charakteringosios

lygties šaknys skirtingos arba sutampa - su įrodymais, kai šaknys kompleksinės – be įrodymo, bet mokėkite

naudotis formule).

Raskite tiesinės homogeninės diferencialinės lygties 0'4''4 yyy atskirąjį sprendinį, tenkinantį

pradines sąlygas 0)0(',2)0( yy .

Raskite tiesinės homogeninės diferencialinės lygties 06'5'' yyy atskirąjį sprendinį, tenkinantį

pradines sąlygas 8)0(',5)0( yy .

Raskite tiesinės homogeninės diferencialinės lygties 0'' yy atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines

sąlygas 12

',02

yy .

Užrašykite diferencialinę lygtį, jeigu jos charakteringosios lygties šaknys ik 212,1 .