matematika 2 - analiza

D.1. (def. metričkog prostora)Pretpostavimo da je dat neprazan, potpuno amorfan skup X i neka je dato preslikavanje XxX→R (X2→R). Uredjeni par (X, d) se naziva metrički prostor ako preslikavanje d na skupu X yadovoljava sledeći sistem (aksioma):

1. 0≤d(x,y)≤+∞ - aksioma nenegativnosti i konačnosti2. d(x,y)=0 x=y3. d(x,y)=d(y,x) – aksioma simetrije4. d(x,z)≤d(x,y) + d(y,z) – nejednakost trougla

Primeri:(1) Pomenuti skup X- nosač, preslikavanje d – metrika, za date x, y d(x, y) – rastojanje x, y(R, | |); x, y R, d(x,y) = |x-y|(2) (R2, d); x, yR2

x = (x1, x2) y = (y1, y2); d(x, y)=(3) (R2, dp), pR, p>1; x, y R2

x = (x1, x2) y = (y1, y2); dp(x, y)= - Euklidovsko rastojanje (prirodno)(4) (Rn, d) nN

x = (x1,..., xn) y = (y1,..., yn),

T.1. (o ekvivalentnosti metričkih prostora nad konačno dimenyionim prostorima)Pretpostavimo da su data 2 metrička prostora (Rn, d1) i (Rn, d2), tada su svake dve metrike međusobno ekvivalentne što drugačije rečeno ynači sledeće: niz (Xk)Rn konvergira po metrici d1

konvergira po metrici d2.(5) c[a, b], -∞ <a<b< +∞c – skup svih f-ja f:[a,b]→R neprekidnih na [a, b]. Neka su f i g dve f-je iz c[a, b]d(f, g) = max |f(t) – g(t)| , a≤t≤b(c[a, b], d) je metrički prostorMožemo da dokažemo da ova f-ja zadovoljava prve 4 aksiome.d(f, g) – uniformno (Čebeševljevo) rastojanje.(7) Lp [a, b], p≥1, -∞ <a<b< +∞ , Lp – skup svih f-ja koje su integrabilne na segmentu [a, b]

Za dve f-je f i g Lp[a, b], - Lebegovo rastojanje ( Lebesgue)

Uređeni par (Lp[a, b], d) – metrički prostorDeskriptivna svojstva skupova u metričkom prostoru

D.1. (pojam sfere (kugle) u metričkom prostoru)Neka je uređeni par (X, d) metrički prostor. Pretpostavimo da je data jedna fiksirana tačka prostora aX i neka je >0, tada se skup u oznaci K(a, )={xX | d(x,a)<} naziva otvorena sfera (lopta) sa centrom u tački a i poluprečnikom . Ako umesto “<” stoji “≤” onda to nazivamo zatvorenom sferom.Primeri:(1) (R, | . |)|x-a|<a- <x< a+ (2) (R2, d), aR2, a=(x,y), t=(u,v)t k(a, )={t R2 | d(t, a) < }

≤ 2

Ako je “<” u, v su unutar kružnice. Ako je znak “=” u,v kružnici. (jednačina kruga)D.2. (pojam okoline tačke)

http://zilet.ionichost.com 1

Pretpostavimo da je (X, d) metrički prostor i neka je aX fiksirana tačka prostora X, tada se >0, skup K(a,) naziva okolina tačke a. Srugim rečima, svaka otvorena kugla sa centrom u tački a naziva se okolina tačke a. Tačke u unutrašnjosti ove sfere se zovu tačke iz unutrašnjosti ove okoline.D.3. (unutrašnja tačka skupa u metričkom prostoru)Neka je (X, d) metrički prostor i neka je A i AX. Pretpostavimo da aA. Za tačku a kažemo da je unutrašnja tačka skupa A ako postoji >0 takvo da sfera K(a,)A.D.4. (unutrašnjost skupa u metričkom prostoru)Pretpostavimo da je (X, d) metrički prostor i neka je AX, skup svih unutrašnjih tačaka toga skupa se naziva unutrašnjost, ili internum skupa A i označava sa int A.D.5. (def. otvorenog skupa)Pretpostavimo da je (X, d) metrički prostor i neka je AX. Za skup A kažemo da je otvoren ako je ispunjen sledeći uslov A=int A. Drugim rečima skup A se naziva otvoren ako je on sastavljen isključivo od svojih unutrašnjih tačaka.T.1. (o svojstvima otvorenih skupova)Pretpostavimo da je (X, d) metrički prostor i neka su AiX (iN). pretpostavimo takođe da su svi skupovi Ai otvoreni. Tada važi:

1. prazan skup i čitav X jesu uvek otvoreni skupovi u tom prostoru u odnosu na tu metriku

2. je otvoren skup

3. je otvoren skup

Napomena:Drugim rečima proizvoljne kolekcije otvorenih skupova jeste otvoren skup. Nasuprot ovome samo konačno mnogo skupova se može uzeti u preseku da bi se zadržalo svojstvo otvorenosti. Lako se dolazi do primera otvorenih skupova kojih ima beskonačno mnogo i koji u preseku ne daju otvoren skup. Takav slučaj je sa kolekcijom:

(R, | |) , Ak= ; k=(1,2,3,...)

nije otvoren → dokaz za (3)

(1) zadovoljava sve uslove zato što nema elemenata koji ne bi zadovoljavali te uslove.Tačka (2) se dokazuje primenom jednakosti navedene u prethodnoj definiciji.D.6. (zatvoreni skup)Pretpostavimo da je (X, d) metrički prostor i neka je AX. Za skup A kažemo da je zatvoren ¢(A) otvoren skup.T.2. (svojstva zatvorenih skupova)Neka je (X, d) metrički prostor i neka su AiX (iN). Tada važe sldeća svojstva:

1. skupovi X i su zatvoreni skupovi

2. je zatvoren skup

3. je zatvoren skup ; važi na pomena analogna prethodnoj teoremi.

D.7. (rub skupa) Pretpostavimo da je (X, d) metrički porostor i neka je AX.

(a) aX (tačka a, za sada, nije ni u kakvoj relaciji sa skupom A). Za tačku a kažemo da je rubna tačka skupa A, ako su ispunjeni sldeći uslovi:

>0, sfera K(a,) sadrži uvek bar dve tačke x’ i x” (K(a,)) i to takve da je x’A x”¢(A).(b) skup svih rubnih tačaka skupa A se naziva rub skupa A i označava sa r(A), rub (A). Rub nekog skupa može biti prazan skup. Postoje skupovi čija je svaka tačka rub.Skup R nema rub u prostoru (R, | |). Skup N je sastavljen isključivo iz rubnih tačaka.

D.8. (adherentna tačka)


Pretpostavimo da je (X, d) metrički porostor i neka je AX. Za tačku aX kažemo da je adherentna tačka skupa A ako za >0 postoji bar jedno x’ koje pripada sferi K(a,) takvo da x’A. Skup svih adherentnih tačaka nekoga skupa se naziva adherencija skupa A i označava sa Ā.Napomena: Domaći termin za adherenciju je zatvorenje.D. (tačke nagomilavanja)Pretpostavimo da je (X, d) metrički prostor i da je AX i tačka aX (a nema veze sa skupom A). Za tačku a kažemo da je taćka nagomilavanja A, ako svaka okolina K(a,) tačke a sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa A.Napomena:a) dati neprazan skup može ali ne mora imati tačaka nagomilavanjab) u slučaju postojanja tačaka nagomilavanja njih može biti 1,2, beskonačno mnogo, 0, (ili c)D.9. (kardinalni broj)Pretpostavimo da su data dva skupa A i B. Za ta dva skupa kažemo da imaju isti broj elemenata (iste moće, kardinalnosti) ako postoji bar jedna bijekcija f:AB. Ako je jedan od ovih skupova 0, tada za preostali skup kažemo da ima moć 0 (ovaj skup ima niz elemenata, odnosno može se povećati u niz). Moć c ima skup koji ima broj elemenata koliko i skup R.D.10. (izvodni skup)Neka je (X, d) metrički prostor i u njemu skup A. Skup svih tačaka nagomilavanja skupa A u oznaci A’ naziva se izvedeni skup skupa A.D.11. (izolovana tačka skupa)Pretpostavimo da je (X, d) metrički porostor i neka je AX i neka aA. Za a kažemo da je izolovana tačka skupa ako postoji >0 (bar jedno) tako da okolina K(a,) ne sadži ni jednu drugu tačku sem tačke a.

Konvergentni procesi (nizovi i njihova konvergencija)D.1. (definicija niza)Svako preslikavanje f:N→X gde je (X, d) proizvoljan metrički prostor, zove se niz u X, odnosno niz.D.2. (konvergentan niz)Ako je dat metrički prostor (X, d) i u tom prostoru dat niz X=(Xn) (nN) i neka je aX fiksirana tačka tog prostora. Za niz Xn kažemo da konvergira ka tački a ako je ispunjen sledeći uslov>0 n0=n0()N, n≥n0 d(Xn, a)<Ako uslovi date definicije nisu ispunjeni tada dati niz ne konvergira, odnosno divergira.D.3. (tačka nagomilavanja)a) Pretpostavimo da su dati metrički prostor (X, d) i niz X=(Xn) (nN). Tada se skup A={XnX| nN} zove skup vrednosti niza X=(Xn)b) Svaka tačka nagomilavanja prethodno definisanog skupa A se naziva tačka nagomilavanja niza X=(Xn) (nN). Pretpostavimo da niz X=(Xn) konvergira ka tački a, tada je ova tačka a očigledno tačka nagomilavanja ovog niza i tada je to jedinstvena tačka nagomilavanja.c) Niz Xn konvergira ako i samo ako ima jedinstvenu tačku nagomilavanja (kriterijum konvergencije)D.4. (Košijev niz) a- a+

|xn-a|< -<xn-a<+ a-<xn<a+(n0, n0+1, n0+2, ... , n0+p, n0+p+1, ... ) (a-, a+)xp, xq p,q – nezavisni u odnosu jedan na drugi ali p, q ≥ n0

| xp-xq| = d(xp, xq) < 2


Ako niz konvergira tada je za dovoljno velike indekse rastojanje između bilo koja dva člana proizvoljno malo. Uopšte obrnutost ne važi. Neka je (X, d) proizvoljan metriški prostor i neka je (Xn), xnX (nN) niz tog prostora. Za ovaj niz kažemo da je Košijev niz u prostoru X ako je ispunjen sledeći Košijev uslov:>0 n0=n0()N, n≥n0 pN d(xn+p, xn) <xn – početak Košijevog odsečkaxn+p – kraj Košijevog odsečkad(xn+p, xn) – Košijev odsečakSada se postavlja pitanje: Pod kojim uslovima je konvergencija jednog niza ekvivalentna Košijevom uslovu za taj niz? Odgovori su sledeći:

a) U proizvoljnom metričkom prostoru konvergencija jednog niza nije ekvivalentna Košijevom uslovu za taj niz

b) Prostori u kojima ova ekvivalencija važi se nazivaju kompletni metrički prostori. Prostori navedeni u tački (a) su nekompletni prostori.

c) U jednoj od narednih teorema, kako će biti dokazano, svi metrički prostori se mogu dopuniti tačkama tako da novoformirani prostori budu ipak kompletni metrički prostori.

D.5. (kompletan metrički prostor)Pretpostavimo da je dat metrički prostor (X, d). Ako je u ovom prostoru svaki Košijev niz istovremeno i kompletan, tada se taj metrički prostor naziva kompletan metrički prostor.Napomena: Iz prethodnih definicija neposredno sleduje da je u kompletnim prostorima konvergencija ekvivalentna Košijevom uslovu.

Neprekidna preslikavanja metričkih prostoraD.6. (granične vrednosti)Neka je dat metrički prostor (X, d1) i u njemu tačka aX i neka je dat metrički prostor (Y, d2) i tačka AY i preslikavanje f:X→Y. Za funkciju f kažemo da ima graničnu vrednost A kada X→a po metrici d1 u skupu X, ako je ispunjen sledeći uslov:>0, =()>0, x, d1(x, a)< d2(f(x), A)<Ako je ovaj uslov ispunjen tada kratko pišemo:

D. (neprekidna funkcija u tački)Neka su data dva prostora (X, d1) i (Y, d2) i neka je f preslikavanje f:X→Y i neka je data tačka aX. Za preslikavanje f kažemo da je neprekidno ako je ispunjen sledeći uslov:>0 =()>0 x : d1(x, a)< d2(f(x), f(a))<Napomena: Definicije granične vrednosti i neprekidnosti se razlikuju samo u tome što je u ovoj definiciji A=f(a), odnosno gledano u def. gran. vrednosti f je neprekidna f-ja u tački A ako i samo ako je ispunjen sledeći uslov:

Neprekidne funkcije su one koje u formalnom smislu komutiraju sa

Operacija * komutativna kod neprekidnih funkcija.

D. 1. (neprekidnost na skupu)Neka su data dva prostora (X, d1) i (Y, d2) i neka je f preslikavanje f:X→Y i neka je AX. Za funkciju f kažemo da je neprekidna u skupu što označavamo :fC(A) ako je f neprekidna aA – neprekidnost tačka po tačka. Skup C(A) se naziva klasa ili prostor neprekidnih funkcija nad skupom A.D. 2. (ravnomerna ili uniformna neprekidnost)Primeri koji debelo objašnjavaju definiciju:


[1] f(x)=xdva metrička prostora:(R, | |) (X, d1)(R, | |) (Y, d2)x:|f(x)-f(a)| < |x-a| <

d1(x, a)< d1(f(x), f(a))<|x-a|< |f(x) – f(a)|<|x-a|< |x-a|<

() =

[2] (R, | |) (X, d1) (R, | |) (Y, d2), ali

među njima razmatramo x>0

Kada se tačka a šeta desno, interval 1 2 se povećava pa i mora da se povećava. Kada se tačka a šeta levo interval 1 2 se smanjuje. Kod ovih primera funkcija raylika je:U primeru 1 za izabrano i fiksirano može se izabrati jedinstveno za sve moguće položaje tačke a.U primeru 2 za fiksirano , se mora birati u zavisnosti od položaja tačke a na realnoj osi.Pri svemu tome konstatujemo da su oba primera f-je neprekidne f-je. Prema prethodnim tačkama razlika je samo u tipu neprekidnosti (oba primera su svakako neprekidna tačka po tačka). Neka su data dva prostora (X, d1) i (Y, d2) i neka je f preslikavanje f:X→Y. Uočimo jedan fiksiran sku AX. Za preslikavanje f kažemo da je ravnomerno (uniformno) neprekidno na skupu ako je ispunjen uslov:>0, aA =()>0 x : d1(x, a)< d2(f(x), f(a))<Napomena: U ovoj definiciji se podrazumeva da zavisi samo od , a u prethodnoj definiciji iako stoji identično u stvari bi trebalo da piše =()=(,а) što u ovoj definiciji nije slučaj. Iza ovih definicija postavlja se pitanje koji je odnos obične i ravnomerne neprekidnosti. Odgovor će biti iznet kroz 2 teoreme od kojih je prva očigledna a druga će biti samo forulisana a dokaz će biti iznet kasnije. D.3. (ravnomerna neprekidnost na R)Za f-ju f: R→R i koja je definisana na skupu D, DR, (D=dom(f)) kažemo da jeste ravnomerno neprekidna na skupu D ako je ispunjen sledeći uslov: >0, =()>0 (i samo od ), (x′, x″D)(x′-x″< f(x′)-f(x″)<) Dokaz Kantarovog stava (negira se prethodna def.)>0, >0, mimo toga što je (x′-x″< f(x′)-f(x″)≥0

T.1. Svaka ravnomerna neprekidna f-ja jeste i neprekidna tačka po tačka u posmatranom domenu.


Dokaz. Ako je f ravnomerno neprekidna, onda su zadovoljeni uslovi D.2. što znači da su zadovoljeni i uslovi D.1. pa je f neprekidna tačka po tačka.D. (kompaktan skup)Neka je dat metrički prostor (X, d) i AX. Za skup A kažemo da je kompaktan ako je ispunjena sledeća implikacija. Svaki beskonačni niz elemenata iz A koji je ograničen ima bar jednu taćku nagomilavanja koja takođe leži u skupu A.Napomena: Za skup AX koji nije prazan kažemo da je ograničen ako postoji apsolutna konstanta k>0 takva da za jednu fiksiranu tačku iz A i svako x iz A važi: d(X,a)≤k (<+∞)T.2. (Kantorov stav)Klasa f-ja neprekidnih

tačka po tačkaKlasa f-ja ravnomerno

neprekidnih

Neka je dat metrički prostor (X, d) i neka je dat AX i neka je dato preslikavanje f:X→X. Za ovo preslikavanje važi obrnuta implikacija od teoreme 1 samo pod uslovima koje navodi ova teorema i koji glase:Ako je f neprekidna na skupu A, a A jeste kompaktan i zatvoren skup tada je i ravnomerno neprekidna na skupu A.Napomena: Gornja definicija je iskazana za slučaj kada se skup originala i skup slika poklapaju za jedan metrički prostor. Teorema se u identičnoj formi može iskazati i ako su slike i originali različiti metrički prostori.Nekoliko napomena potrebnih za razumevanje Kantarovog stavaIz teorije nizova, posebno konvergentnih, sleduje da važe sledeća dva tvrđenja: 1) Ako je dat realan niz x=(xn), nN, xnR, koji ima npr. tačke nagomilavanja a,b,c,...R. Tada za svaku ovu tačku postoji korespodentan niz niza x koji konvergira baš ka odgovarajućoj tački a,b,c,... Drugim rečima za tačku aR koja je jedna od tačaka nagomilavanja postoji podniz x′=xnk (kN),

xnkR takav da je . Za b x″ takav da je lim x″=b,...

2) Malo opštije tvrđenje glasi: ako je AR, A, i ako A ima tačke nagomilavanja a,b,c,... tada za svaku od ovih tačaka postoji podniz, ili prosto postoji niz tačaka u A koji konvergira baš ka toj tački nagomilavanja. aR, a je tačka nagomilavanja skupa A, tada x=(xn), (nN), xn=A

(1) i (2) su Hajneov principRazmatranje nizova i graničnih procesa u linearnim vektorskim normiranim prostorima

T.1. Pretpostavimo da je dat izvestan skup X koji u odnosu na operacije + i * čini linearni vektorski prostor, mimo toga data je i norma (X, +, *, || . ||) - linearni normirani vektorski prostor. Pretpostavimo da su data dva niza x=xn i y=yn (nN) gde se pretpostavlja da su xn i yn elementi nosača X. Ako su nizovi x i y konvergentni u tom slučaju su i nizovi x+y i x-y takođe konvergentni, pri čemu je niz x+y = (xn+yn), a x-y=(xn-yn). Ako je λ=(λn , nN) niz skalara λnS gde je S onaj skup

skalara nad kojima su razapeti i prostor X i prostor Y. Iako je još pri tome , tj. niz skalara

konvergira, tada konvergira i niz =(λnxn). Pri svemu tome ako xn→x0, yn→y0 tada x+y→x0+y0, x-y→x0-y0, a niz (λnxn)→λx0

Napomena: U takvom slučaju kada važe uslovi prethodne teoreme kaže se da lim prolazi kroz zbir, kroz razliku, kroz proizvod.Dokaz. Dokazaćemo da ako je lim xn=x0, lim yn=y0, x+y=(xn+yn)x0+y0

>0 n0=n0()N, n≥n0 ||xn-x0|| </2>0 n1=n1() N, n≥n1 yn-y0< /2 lim xn=x0 i lim yn=y0

(xn+yn)-(x0+y0) = (xn-x0)+(yn-y0) < xn-x0+yn-y0 /2+ /2neka je n2() = max(n0(),n1()) /2 + /2 = 0>0, n2=n2()N nn0(n2) nn1(n0) nn2 (xn+yn)-(x0+y0) <


primer: obrnuta teorema ne važi, tj. primer dva niza koja su oba divergentna, ali njihov zbir konvergira. (R,+,*,|| . ||) xn=(-1)n, yn=(-1)n+1 = -xn

(xn+yn) = () konvergentan ka nuli ||λx|| = λ * xT.2. (odnosi se na granične vrednosti f-ja u normiranim prostorima)Neka je (X,d) metrički prostor. Neka je uređena četvorka (X,+,*,|| ||) linearni normirani vektorski prostor. Pretpostavimo takođe da su f i g dve f-je koje slikaju x→y (f,g: X→Y) i neka je aX. Ako

postoje granične vrednosti , (A,BY) tada postoje i granične vrednosti f-

ja f+g i f-g gde je (f+g)(x)*=f(x)+g(x), xX i (f-g)(x)=f(x)-g(x), xX i pri tome važi

i

Dokaz:a) izvodimo samo za + jer je za razliku f-ja dokaz analogan

Iz ovih pretpostavki

i

>0 1=1()>0d(x,a)<1 f(x)-A < /2i >0 2=2() > 0d(x,a)<1 g(x)-B < /2(f+-g)(x)-(A+-B)*≡ (f(x)+-g(x))-(A+-B) = f(x)-A)+-(g(x)-B) ≤≤ f(x)-A+ g(x) - B ≤ /2+/2=3=3() min(1(), 2())

T.3. (o zbiru i razlici neprekidnih funkcija)Pretpostavimo da je (X,d) metrički prostor i neka (X,+,*,|| ||) linearan, normirani vektorski prostor. Pretpostavimo da su date dve f-je f,g:X→Y. Neka je aX i pretpostavimo da je ĀX, A. Tada važi:a) ako su f-je f i g neprekidne u tački a tada su i f-je f+g i f-g (T.2) takođe neprekidne u istoj tački a.b) ako su f-je f i g neprekidne na skupu Ā, tada su i f-je f+g i f-g neprekidne na istom skupu.c) iskaz pod ostaje tačan ako se uslov neprekidnosti tačka po tačka zameni pretpostavkom ravnomerna neprekidnost.Dokaz: Uz korišćene def. obične i ravnomerne neprekidnosti dokaz T.3 se izvodi putem majorizacija analognih majorizacijama u T.1 i T.2.T.4. (Hajneov princip)Pretpostavimo da su data dva metrička prostora (X,d1) i (Y,d2) od kojih drugi može biti i linearan normirani vektorski prostor. Pretpostavimo takođe da je data funkcija f: X→Y i neka je a strogo fiksirana tačka u skupu originala. Tada je f-ja f neprekidna u tački x=a akko je ispunjen sledeći uslov: x=(xn) (nN), (xnX) za svaki niz tačaka u X takvih da xn→a f(xn)f(a).

Banahov stav o nepokretnoj tački i njegova primenaf: RR

1) Problem odrediti sve f(x)=0 |+x f(x)+x=x F(x)=x+f(x) F(x)=x

2) A*X= |

AX+X=X (A+I)X=X BX=X


3)

;

L(f)=g(x) L(f)=f

T.1. (o nepokretnoj tački) Pretpostavimo da važe sledeće pretpostavke:

(1) dat je metrički prostor (X, d)(2) (X, d) je kompletan prostor (3) f:XX(4) data je proizvoljna tačka x0X i definisan je nizxn+1=f(xn) (n=0,1,2,...)x0 x2=f(x1)=f(f(x0)) xn=f(f... (f(x0)...)x1=f(x0) x3=f(x2)=f(f(f(x0))) xn – iteracioni niz

Ako je to ispunjeno tada važe sledeća tvrđenja:

(a) xn konvergira ka tački x*X ( )

(b) tačka x* zadovoljava jednačinu f(x*)= x* i zove se nepokretna tačka.(c) tačka x* je jedina nepokretna tačka preslikavanja f, x* je jedina tačka koja zadovoljava

f(x*)=x*

(5) xn x*

, gde je broj q apsolutna konstanta, i to takva da za x, yX važi d(f(x),

f(y))≤q.d(x, y) i gde mora biti 0<q<1Napomena:

A) Preslikavanje f koje nad nekim metričkim prostorom (X, d) zadovoljava prethodni uslov (5), naziva se kontrakcija.

B) Konstanta q je u stvari sledeća konstanta

C) Iskaz prethodne teoreme možemo preformulisati i u sledećoj formi. Ako važe pretpostavke (1) do (5) tada sleduje tačnost zaključaka (a), (b) i (c).

Drugim rečima:Ako je dat kompletan metrički prostor i preslikavanje f tog prostora u samog sebe jeste kontrakcija, tada to preslikavanje ima nepokretnu tačku. Ta tačka je jedinstvena i pri tome n-ti član iteracionog niza odstupa od nepokretne tačke najviše onoliko koliko je dato uslovom (c), pri čemu sve ovo rečeno važi za bilo koju tačku x0 nosača X.Dokaz:

(a) xn – konvergira u (X, d)

xn je Cauchy-ev niz:nN0, pN


>0

Pošto je prostor kompletan onda niz konvergira. Označimo vrednost tog niza

(b) f(x*)=x* d(f(x*), x*)=0(b.1) Prvo ćemo dokazati jednačinu f(x)=x, ako ima nepokretnu tačku tada takvih tačaka može

biti najviše jedna. Drugim rečima, tačka x* jeste jedinsteno rešenje te jednačine. Dokaz ide metodom kontrapozicije, tj. pretpostavimo suprotno da jednačina f(x)=x ima 2 međusobno različita rešenja.

f(x*)=x* f(x**)=x** x*x** d(x*, x**)>0

| : d(x*, x**)

1≤q (0<q<1) – kontradiktorno sa (5)(b.2) Tačke f(x*), x*, xnX – važi nejednakost trougla, gde je xn član onog iteracionog niza koji

konvergira ka tački x*.

f(x*)=x* d(f(x*), f(x**))=0

(c)

x1=f(x0), 0<q<1

Lako se dokazuje da je metrika d nad svakim metričkim

prostorom neprekidna f'ja svojih argumenata. Iz ovih razloga lim može da uđe pod slovo d, pa zbog toga važi sledeća jednakost:

Pojam supremuma i infinuma i aksioma supremuma i infinumaD. (def. ograničenog skupa)Pretpostavimo da je dat AR. Za A kažemo da je ograničen ako dva broja m i M, takva da je -∞<m<M<+∞ tako da za xA važi m≤x≤M. U takvom slučaju brojevi m i M se nazivaju gornje i donje ograničenje ili donja i gornja majoranta.D. (sup, inf)


(a) (sup) Za broj MR (-∞<M<+∞) kažemo da je supremum skupa A što označavamo na sledeći način sup A = M, ako su ispunjena sledeća 2 uslova:(i) xA, važi x≤M(ii) >0, postoji x’A takvo da je M-<x’(b) (inf) Za broj mR (-∞<M<+∞) kažemo da je infinum skupa AR što označavamo sa inf A=m, ako su ispunjena sledeća dva uslova:(i) xA, m≤x(ii) >0 x”A, x”<m+D. (aksioma supremuma)(a) Svaki skup realne prave koji ima konačnu gornju među (tj. koji je ograničen sa gornje strane):

(1) ima supremum(2) taj supremum je konačan realan broj

(b) Svaki skup realne prave koji ima konačnu donju među (tj. ograničen sa donje strane):(1) ima infinum(2) taj infinum je konačan realan broj

(c) Svaki skup realne prave ograničen sa obe strane:(1) ima i supremum i infinum(2) ova dva broja su konačni realni brojevi

(d) Za zasnivanje matematičke analize dovoljno je uzeti samo jednu od aksioma a, b ili c.(e) Gornjim aksiomama a, b, c nisu obuhvaćeni prazni skupovi, pa se iz tih razloga za prazne skupove, pitanje egzistencije inf i sup aksiomatski prihvata na sledeći način:

sup = -∞inf = +∞

D. (monoton niz)Pretpostavimo da je dat niz x=(xn), xnR, nN. Za ovaj niz kažemo:

(i) da je neopadajući ako za nN, xn≤xn+1

(ii) da je strogo rastući ako za nN, xn<xn+1

(iii) da je ne rastući ako zanN, xn+1≤xn

(iv) da je strogo opadajući ako za nN, xn+1<xn

(v) niz je monoton u globalnom smislu reči ako je ispunjen bar jedan od prethodnih uslovaT. (monoton + ograničen konvergentan)Svaki monoton i ograničen niz realne prave konvergira.Dokaz:Teroremu ćemo dokazati na slučaju neopadajućih nizova. Preostali slučajevi dokazuju se analogno.Iz pretpostavke da je niz ograničen sledi da je ograničen i odozgo. Tada skup vrednosti {xn | nN} toga niza jeste ograničeni skup realne prave. Po aksiomi supremuma, tada taj skup ima svoj supremum i označavamo ga sa M. S obzirom na sve rečeno nN važe sledeće 2 nejednakosti:

x1≤xn<M

Nadalje ćemo dokazati da upravo za ovu tačku M važi , što drugim rečima po Košijevoj

def. znači da treba dokazati da važi:>0 n0 = n0()N, n≥n0 | xn-M | < M- < xn <M+, a to dokazujemo ovako:Pošto je M supremum, tada važi nN xn≤M<M+ , >0; tada iz tačke br. (2) def. supremuma n0N takvo da je iznad M- ( ). 1, 2, ... , n0-1, n0, n0+1, ...

n≥n0 ≤ xn

>0 n0N, takav da važi n≥n0 , n0=n0()Članovi niza xn za indekse n≥n0 zadovoljavaju M-< xn <M+Lema o umetnutim razmacimaPretpostavimo da je dat niz zatvorenih segmenata [an, bn] (nN) i to takav niz da su ispunjena sledeća dva uslova:

(i) [an+1, bn+1] [an, bn] (nN)Takav niz segmenata naziva se niz umetnutih segmenata


(ii) ; niz segmenata koji zadovoljava ovaj uslov se naziva niz iščezavajućih

segmenata.Pod ovim pretpostavkama važi:1ξ [an, bn] (nN), drugim rečima postoji jedinstvena tačka koja leži u svim segmentima. Ovaj stav je direktna posledica teoreme o monotonom ograničenom nizu.

Dokaz:Ovaj stav je direktna posledica teoreme o monotonom i ograničenom nizu: an ≤ bn (nN)iz (i) a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1

Niz ovih a-ova jeste neopadajući niz (an) (nN), a niz b-ova je rastući (bn) (nN)a1 ≤ an ≤ b1 ; a1 ≤ bn ≤ b1

Nizovi an i bn su monotoni i ograničeni pa prema teoremi ova dva niza konvergiraju.

an, bn R i

an ≤ bn (n), n→∞ a ≤ b

imamo dva slučaja:a) a=bb) a<b

0<b-a = lim bn - lim an = lim (bn-an) 0 (n→) kontradikcija → (b) ne stoji. Sada biramo ξ=a(=b)

ana=bbn an≤a=b≤bn (n)II načinNeka postoji ξ′ξ, ξ′an , bnZa sada je pokazano da ξ leži u svim segmentima. Uzmimo da postoji još jedna tačka ξ′ξ koja zadovoljava to isto. Tada imamo sledeće:0 < ξ′-ξ ≤ (bn-an) 0 0< ξ-ξ′ ≤ 0ta jedinstvena tačka je presek svih tih segmenata

= ξ

T.2. (Boltzano-Weierstrass stav)Svaki beskonačan i ograničen skup tačaka u R ima barem jednu tačku nagomilavanja. Dokaz ove teoreme je direktno baziran na lemi o umetnutim razmacima.Dokaz: Neka je dat skup AR i zadovoljava:(1) u skupu A ima beskonočno mnogo elemenata i skup A je ograničen što podrazumeva da je ograničen sa obe strane. Pošto je A ograničen, tada po aksiomi supremuma postoji, i to konačan, realan broj a = inf A i b = sup A i očigledno je da za xA važi a≤ x ≤b. U ovom segmentu [a, b] ima beskonačno mnogo elemenata.

- u bar jednom od ovih segmenata mora biti beskonačno elemenata iz skupa A.

Ako ni jedan ne bi sadržao beskonačno mnogo elemenata onda unija ne bi sadržala beskonačno mnogo elemenata. Izaberimo onaj od ovih segmenata koji je najviše lev a sadrži beskonačno mnogo elemenata. Ovaj izabrani segment označimo sa [a1, b1]. Nad segmentom [a1, b1] primenimo postupak sproveden nad segmentom [a, b]. Ponovimo ovaj postupak do beskonačno. Sprovedeni algoritam formira niz umetnutih segmenata, čije dužine očigledno zadovoljavaju sledeću jednakost:

Na ovaj način je formiran niz umetnutih razmaka čije dužine zadovoljavaju, pa po lemi o umetnutim razmacima:ξ [an, bn] (nN) (Ovom relacijom se ni u kom slučaju ne tvrdi da tačka ξ leži u skupu A)Očigledno je da tačka ξ jeste jedna od tačaka nagomilavanja skupa A.T.3. (potreban i dovoljan uslov za konvergenciju niza- Košijev)


Potreban i dovoljan uslov da realni niz X=xn, xnR, nN konvergira jeste da taj niz zadovoljava Košijev uslov:>0 n0=n0()N, pN, n≥n0 xn+p-xn < Dokaz:Pretpostavka: xn - konvergira i dokazati da xn zadovoljava Košijev uslov

(aR; jedinstveno)

>0, n0=n0()N takav da za n ≥ n0 xn-a < /2pN; n≥n0 n+p≥n0 xn+p-a < /2xn+p-xn ≡ xn+p-a-(xn-a) ≤ xn+p - a+xn-a < /2+/2 =

Drugi deo dokaza: Neka xn zadovoljava uslov, treba dokazati da xn konvergira. =1, n1=n0(1)N, n1-fiksirano

n≥n1 xn+p-xn < 1n=n1 xn+p-xn1 < 1 (pN)

-1 < xp+n1 - xn1 < 1a″=xn1-1 < xp+n1 < xn1+1=b″ (p=1,2,...)a′=minx1, x2, ..., xn1b′=maxx1, x2, ..., xn1a=min(a′, a″); b=max(b′, b″) a ≤ xn ≤ b (nN) xn je ograničen niz

A= xn nN → skup je beskonačan i ograničen. Pošto su ispunjene pretpostavke Bolcano-Vajštrasovog stava ξR koje je tačka nagomilavanja. Ako je ξ tačka nagomilavanja skupa A tada postoji podniz niza (xn) i to takav da → ξ (k→∞)

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, ...· · · · ·y1, y2, y3, y4,... podniz gornjeg niza.xn-ξ = xn-xnk+xnk-ξ ≤ xn-xnk + xnk-ξ < /2 + /2xn-xnk < /2 za dovoljno veliko n i dovoljno veliko k iz pretpostavke da je polazni niz xn Košijev

xnk-ξ < /2 za dovoljno veliko k iz upravo dokazane relacije da pod niz xnk konvergira ka ξ.Napomena: Očigledno je iz svih dosadašnjih predavanja o realnim brojevima da se na bazi aksiome o supremumu može proterati da važi Košijev potreban i dovoljan uslov za konvergenciju realnih nizova. Sve što smo uradili jeste niz teorema koje su u uzajamnoj implikaciji. Može se ustanoviti i obrnuti niz implikacija. Naime kada bi se Košijev potreban i dovoljan uslov prihvatio kao polazna aksioma moglo bi se dokazati tvrđenje da svaki ograničen skup na R ima svoj supremum i svoj infinum. Aksioma supremuma jeste tvrđenje ekvivalentno Košijevom potrebnom i dovoljnom uslovu za konvergenciju niza. Prostori u kojima su Košijevi nizovi konvergentni se nazivaju kompletni. Dokazom prethodnog stava mi smo u stvari ustanovili da je R kompletan prostor, dakle dovoljno dobar za izvođenje matematičke strukture kao što je mat. analiza. Sve ovo je obezbeđeno aksiomom o supremumu.

Teorija neprekidnih realnih funkcijaf: R→Rdom(f)=xR f(x)R(R, . ), 0>0, 0=const (a-0, a+0) - neka okolina tačke a; F-ja f je definisana i neprekidna u tački a ako važe:(i) za >0, =()>0, takvo da je za x(a-0, a+0), x-a<0 f(x)-f(a)<grafički:


Vajštrasove teoreme o neprekidnim f-jama (Waierstrass)T.1. Pretpostavimo da je data f-ja f koja slika f:a,b→R (-∞<a<b<+∞). Pretpostavimo da su ispunjena sledeća dva uslova:1) f Ca,b → f-ja je neprekidna na ovom segmentu2) f(a).f(b)<0 → f-ja f je takva da menja znak u krajnjim tačkama segmenta a,b (f(a)<0 i f(b)>0) ili (f(a)>0 i f(b)<0)Ispitujemo prvi slučaj. Ako su ispunjeni ovi uslovi: postoji bar jedna tačka ξa,b takva da je f(ξ)=0

Dokaz: Slično dokazu Bolcano-Vajštrasovog stavaUzimamo tačku (a+b)/2

dva segmenta

moguća tri slučaja sa segmentom

1) =0

2) <0

3) >0

Ako je slučaj pod (1) teorema je dokazana. Ako je ispunjen uslov (2) tada f-ja f zadovoljava

pretpostavke (1) i (2) na segmentu a1, b1≡ . Ako je ispunjen uslov (3) tada će f-ja f

zadovoljiti pretpostavke (1) i (2) na novo izabranom segmentu a1, b1≡


Sada ćemo razmotriti segment a1, b1, njega podeliti na egzaktno dva jednaka dela tačkom , i

ponoviti prethodno izložen algoritam razmatranja, itd. Formiraćemo segment an, bn iz segmenta an-1, bn-1 na isti način na koji je a1, b1 formiran iz a, b. I tako ćemo nastaviti do beskonačnosti. Na ovaj način formiramo niz segmenata an, bn (n=1,2,...) koji sveukupno zadovoljavaju sledeći sistem uslova:1) an+1, bn+1an, bn (nN), tj. segmenti su umetnuti.

2) (n=1,2,...), → 0 (n→∞) - ovi segmenti su iščezavajući (dužine im teže

nuli)3) f Can, bn (nN)4) f(an) < 0 i f(bn) > 0 (nN)

ξ (a,b),

ξ an, bn, (nN)

Ostaje da se pokaže da je f(ξ)=0 iz (4) ; f(ξ) ≤ 0

iz 4) f(bn) > 0 lim f(bn) ≥ 0

f (lim bn) ≥ 0 f(ξ) ≥ 0 i (iz prethodnog) f(ξ) ≤ 0) f() = 0T.2. Pretpostavimo da je dat segment a, b (-∞<a<b<+∞) i neka je f Ca, b, tada je f ograničena f-ja na istom segmentu, tj. kR (0<k<+∞), takva da je f(x) ≤ k, x a, bDokaz: Dokaz ide na bazi logičke kontrapozicije.Ako f-ja nije ograničena tada je za (nN), xn a, b, f(xn) > n (*)niz xn zadovoljava sledeće:a) xn je beskonačan nizb) xn je ograničen niz jer nN, a≤xn≤bSvaki beskonačan i ograničen niz ima bar jedno tački nagomilavanje ξ a, b, - tačka nagomilavanja niza xn.Postoji jedan podniz niza koji konvergira ka tom nizu.

xnk (k=1,2,...)

(1≤n1<n2<n3<...<nk<nk+1<...) → monotono raste ka beskonačnosti

f(ξ) ≥ +∞ - kontradikcija pretpostavka (*) ne važi – f-ja mora biti ograničena.T.3. Data je f-ja f: a, b→R (-∞<a<b<+∞), f Ca, b,Tada x′, x″a, b takve da su ispunjena sledeća dva uslova:1) inf f(x) = f(x′) a ≤ x ≤ b2) sup f(x) = f(x″) a ≤ x ≤ bDokaz: Pošto je f-ja neprekidna na a, b na osnovu (T.2), ona mora biti ograničena na segmentu a, b. Pretpostavimo da su m, M respektivno infinum i supremum te f-je na segmentu a, b m=inf f(x) M=sup f(x) (a ≤ x ≤ b)m=f(x′) → dokazuje se analognom konstrukcijomM=f(x″) na ovom delu ćemo sprovesti dokaz (*)


Dokaz(*): Prepostavimo suprotno od tvrđenja (*) da ni za jedno x a, b nije dosegnuta jednakost sa supremumom, tj. neka nasuprot tvrđenju teoreme za xa,b važi da je f(x) < M.Konstruišimo pomoćnu f-ju φ(x) = M-f(x), x a, bφ(x)>0, xa, bψ(x)≡1, φ(x), xa, b - razmotrićemo ove dve f-je. ψ(x) i φ(x) su neprekidne bilo gde.Pošto je f(x) neprekidna f-ja i M neprekidna onda je i φ(x)+M-f(x) neprekidna.

jeste neprekidna f-ja na segmentu a, b

>0, ≤ , M-f(x)≥ 1/ , x[a, b]

Vrednosti f-je f su manje od broja M-neki broj. →kondtradikcija → sudar sa pojmom supremuma. T.4. (Vajštrasova teorema o međuvrednostima)Pretpostavimo da je data f-ja f: a, b→R, (-∞<a<b<+∞) i neka je f neprekidna na segmentu a i b. Pretpostavimo takođe da su uvedene oznake m=min f(x), M=max f(x), x a, b važi sledećecm, M, xca, b takvo da je f(xc)=cDokaz. Uvedimo pomoćnu f-ju φ(x)=f(x)-c, xa, b i dokažimo da ova pomoćna f-ja φ zadovoljava sve pretpostavke I Vajštrasove teoreme-neprekidna je i menja znak na segmentu a, b. Primenom I Vajštrasove teoreme direktno sleduje dokaz IV teoreme.T.5. Pretpostavimo da su ispunjeni sledeći uslovi:1) Data je f-ja f: a, b→R gde je (-∞<a<b<+∞). Drugim rečima f-ja f je definisana na zatvorenom segmentu i to konačne dužine.2) F-ja f je neprekidna na segmentu a, b.Tada ova f-ja mora biti i ravnomerno neprekidna na istom segmentu.Dokaz. Izvodi se kontradikcijom. Drugim rečima pretpostavimo da mimo uvedenih pretpostavki (1) i (2) f ipak nije ravnomerno neprekidna. Prema napred navedenoj negaciji definicije ravnomerne neprekidnosti sleduje: 0>0, >0 x′, x″a, b važi implikacija:i mimo toga što je x′-x″< f(x′)-f(x″)≥0

Izaberimo sada redom (a na to imamo pravo) =1,1/2,1/3,...,1/n,...tj. izaberimo n=1/n sukcesivno za (n=1,2,...). Za izabrano n obzirom na navedenu negaciju važi sledeće:xn′, xn″a, b takve da i pored toga što su argumenti xn′-xn″<1/n f(xn′)-f(xn″) ≥ 0 nizovi xn′ i xn″ svakako leže u a, b, Svaki od nizova x′=(xn′), x″=(xn″) jesu beskonačni i ograničeni. Dakle podležu primeni Bolcanov-Vajštrasovog stava. xn′ nN, xn″ nN imaju bar jednu tačku nagomilavanja. Po B-V stavu te tačke nagomilavanja označimo respektivno sa i . Pošto je segment a, b zatvoren skup u R, to mora da važi

a, b i a, bPrema napred navedenom Hajneovom principu postoji podniz xnk′ niza x′ takav da je i

simetrično ovome xmk″ niza x″ takav da je

1≤n1<n2<... →+∞ 1≤m1<m2<... →+∞ (k→∞)Ponovo uzmemo nN i izaberemo xnk′-xmk″<1/n f(xnk′)-f(xmk″)≥0

Za n dovoljno veliko mi sigurno imamo

(nonsens)* (apsurd)

ne valja pretpostavka da nije ravnomerno neprekidna.

Diferencijalni računD. (izvod funkcije (Njutn))


Pretpostavimo da je data realna f-ja f:R→R, koja je definisana u bar nekoj okolini tačke a. Za ovu f-ju kažemo da ima prvi izvod u tački a, ili kažemo da ima konačan prvi izvod u tački a, ako postoji granična vrednost

(*)

Pri tome svemu podrazumeva se da je ova granična vrednost konačan realan broj. Ako ta granična vrednost postoji, tada se ova gran. vrednost označava sa f’(a).Napomena:(a)

(b) h→0 – podrazumeva se da je h dovoljno malo da vrednost a+h ne izađe iz pretpostavljene okoline i h0

0< | h | < , >0 - neki proizvoljno izabrani brojh obostrano teži nuli (može biti i poz. i negativno). Postoji obostrani izvod funkcije.D. (jednostrani izvod)(a) Neka važe iste pretpostavke kao u prethodnoj definiciji. Ako u relaciji (*) dozvolimo da h teži nuli, ali samo za sledeće vrednosti 0<h (<), tada za f-ju f kažemo da ima desni izvod u tački a, koji označavamo sa , tj. pisaćemo

(b) Ako nasuprot onome što je rečeno u (a) uzmemo da je h<0 i h→0_ u relaciji (*) tada za f-ju f kažemo da ima levi izvod u tački a i pri tome pišemo:

Algebarska svojstva izvodaT.1.Pretpostavimo da su date 2 realne f-je f i g i neka obe ove f-je imaju prvi izvod u istoj tački a, tada važi:

(1) ima izvod i f-ja f+g u istoj tački a i pri tome važi jednakost

(2) tada ima izvod i f-ja f-g u istoj tački a i pri tome važi

(3) ima izvod i f-ja f.g u istoj tački a i pri tome važi

(4) ako je još dodatno ispunjen uslov da je g’(a) broj koji nije nula, tada ima izvod i f-ja i pri

tome važi

Napomena:Dokazi formula 1, 2, 3, 4 idu direktno primenom teorema o graničnim vrednostima zbira, razlike, proizvoda i količnika, pri tome važi jedan mali izuzetak koji se odnosi na tvrđenje pod 4. Sastoji se u sledećem: g’(a)0 g(a)0Pri svemu ovome u okviru ove napomene ili ćemo morati još pri traženju izvoda složenih f-ja da sebi izvedemo i pripremimo jednu tabelu izvoda izvesne količine frekventno korišćenih f-ja. Taj izbor se vrši tako pto se neposredno primenom def. 1. pronađe prvi izvod svih elementarnih f-ja i time se napravi tzv. tablica izvoda.(5)Pretpostavimo da su date dve realne f-je f;g:R→R i pri tome neka je f-ja g definisana u bar nekoj okolini tačke a iz R, a f-ja f je definisana u bar nekoj okolini tačke g(a)R. Pretpostavimo da f-ja g ima izvod u tački a, a f-ja f ima izvod u tački g(a), tada složena funkcija definisana sa f(g(x)), ima izvod u tački x=a, i pri tome važi sledeća jednakost D.3. (Leibniz-ova def. diferencijala)


Pretpostavimo da je data realna f-ja f:R→R i neka je ona definisana u bar nekoj okolini a (obostrana okolina). Za f-ju f kažemo da je diferencijabilna u tački a, ako je ispunjen sledeći uslov:

A = const. R, i ω:R→R, definisana u istoj okolini kao i f. Odnosno, preciznije rečeno, f-ja ω je definisana u bar nekoj okolini tačke 0, i to takve da važi sledeća jednakost:(**) , a f-ja pri svemu ovome zadovoljava još i uslov:

(***)

Lajbnic zahteva da se diferencijabilna f-ja može napisati kao linearna funkcija argumenta + zanemarljiv ostatak. Iz pretpostavke (***) napomena:

(a) diferencijabilne f-je su, dakle, one čiji se priraštaj može prikazati kao linearna f-ja priraštaja argumenta (argument prirasta za h).

(b) iz pretpostavke očigledno sleduje da je ispunjen i uslov

(c) svi razmatrani limesi i formule iz 2 i 3 su obostrani tj. posmatrane formule važe za h bilo pozitivno ili negativno.

T.1. (teorema o odnosu izvoda i deferencijala)Pretpostavimo da je data f-ja f definisana u bar nekoj okolini tačke a. Tada f-ja f ima prvi izvod u tački a (ima konačan prvi izvod u tački a) akko je ista f-ja diferencijabilna u tački a. Drugim rečima klasa diferencijabilnih f-ja je ekvivalentna klasi f-ja koje imaju konačan prvi izvod.Dokaz: Pošto je u pitanju ekvivalencija razložićemo je na sledeće dve implikacije:

a) Pretpostavimo da je f diferencijabilna u tački a i dokažimo da f-ja f ima prvi izvod u istoj tački i to konačan prvi izvod. Obzirom da je f diferencijabilna važe (**) i (***) |:h0

f-ja ima izvod u tački a.b) Pretpostavimo da f-ja f ima konačan prvi izvod u tački a. Dokažimo da je f diferencijabilna u istoj tački na osnovu def. 1. postoji konačna granična vrednost sledećeg izraza.

ω:R→R definisana u bar nekoj okolini tačke 0 i to takva da je ispunjeno

, (0<|h|), i ta f-ja pri tome zadovoljava

f(a+h)-f(h)=(f′(a)).h+h.ω*(h)f(a+h)-f(a)=A.h+ω(h) i ω(h)=hω*(h) Time smo pokazali da f-ja f zadovoljava relaciju tipa (**) iz uvedenih oznaka

, tj. ispunjen je i uslov (***) čime je teorema dokazana.

Veoma važna napomena:(1) Ako je f-ja f diferencijabilna u tački a tada se izraz A .h naziva diferencijal f-je f u a. Diferencijal f-je f se označava sa df(a).

(2) A=f′(a) (sleduje iz dokaza teoreme o ekvivalenciji prvog izvoda i deferencijala)

Jedno posebno razmatranje diferencijala (Lajbnic)df(a)=A.hh=Δx=x-x0 (x0-const, u ovoj tački se vrši diferenciranje)df(x0)=A.(x-x0)=A.Δxφ(x)=x, xR


φ′(x)=1, xdφ(x0)=A.Δx=Δφ′(x0).Δx=1.x dx0=Δx0

dx=ΔxZa specijalno izabranu f-ju φ(x)=x definiciona relacija diferencijala se svodi na dx=Δx df(x)=f′(x).Δx=f′(x).dx

Prethodna razmatranja dovode do sledećeg zaključka :prvi izvod neke f-je f u tekućoj tački x prema izvedenom jednak je količniku dva diferencijala i to sledeća dva → diferencijala f-je f(x) i diferencijala specijalno odabrane f-je φ(x)=x. Na ovaj način se prvi izvod f-je f svodi na razlomak.Teorema o odnosu neprekidnih diferencijalih f-ja(a) Ako je izvesna f-ja f:R→R diferencijabilna u tački aR, tada je ona istovremeno i neprekidna u toj tački a.(b) Implikacija obrnuta od navedene u (a) ne važi.Napomena: Štaviše može se konstruisati f-ja koja je neprekidna u svim tačkama realne prave, a nije diferencijabilna ni u jednoj tački.Dokaz:

(a)

h=x-a

f(a+h)=f(a)+f′(a).h+ω(h) f(x)=f(a)+(x-a)f′(a)+ω(x-a) | x→a

(b) Uočimo specijalnu f-ju φ(x)=|x|, za xR, ona je neprekidna u svim tačkama domena. φ′(x)= +1, x>0 -1, x<0

Na osnovu (**) se vidi da levi i desni izvod f-je u tački x=0 nisu jednaki i da stoga ne postoji φ′(x) pa f-ja nije diferencijabilna u tački x=0 u kojoj je neprekidna što znači da je tvrđenje teoreme pod b) tačno. Ovim je dokaz teoreme završen.

Teoreme: (1) Fermat (2) Rolle (3) Lagrange (4) Cauchy (5) Taylor

I lema FermatNeka f:R→R i pretpostavimo da je ova f-ja definisana i diferencijabilna u svim tačkama otvorenog intervala (a,b) -∞<a<b<+∞. Ako f-ja f ima lokalni min ili lokalni max u tački x0(a,b) tada mora biti f′(x0)=0Napomena: D. (lokalni ekstremum)a) Za f-ju f kažemo da ima lokalni min u tački x0R ako postoji bar neka okolina tačke x0, 0>0, (x0-0, x0+0)=I takva da važi(*) f(x0)≤f(x), xI. Ako umesto ovoga uslova važi uslov (**) f(x0)<f(x), xI (xxc) tada za f kažemo da ima strogi lokalni minimum u tački x0.b) Ako u relaciji (*) umesto ≤ stoji ≥ tada za f-ju f kažemo da ima lokalni maksimum u tački x0. Ako u (**) umesto < stoji > kažemo da f ima strogi lokalni maksimum u tački x0. Kada nije bitno da li se radi o strogom ili nestrogom minimumu ili maksimumu tada kažemo da ima lokalni ekstremum.


Dokaz: Uočimo da f ima lokalni min strogi ili nestrogi u x0(a,b). Tada u nekoj dovoljno maloj okolini tačke x0 imamo f(x)≥f(x0), x iz te okoline - uzećemo broj x>x0 x-x0>0

, x→x0 + 0

, f′(x)≥0 , ...... (1)

x<x0 x-x0<0

, x→x0-0

f′(x0)≤0 ......... (2)(1) i (2) f′(x0)=0

Rolova TeoremaPretpostavimo da je data f-ja f:[a, b]→R, -∞<a<b<+∞. Neka važe sledeće dve pretpostavke:1) f-ja f je neprekidna na zatvorenom segmentu [a, b] f C[a, b]2) pretpostavimo da f-ja f ima konačan prvi izvod (diferencijabilna je) za x(a, b);3) f(a)=f(b)Pod ovim pretpostavkama sleduje da važi: c (a, b) takva da je f′(c)=0Dokaz: Na osnovu pretpostavke 2) pošto je f-ja f neprekidna na zatvorenom segmentu po Vajštrasovim teoremama postoji x1, x2 [a, b] takvo da:f(x1)=inf f(x)=m x[a, b]f(x2)=sup f(x)=M x[a, b]Mogu da nastupe sledeća dva slučaja:(a) obe tačke x1 i x2 su takve da je m=M f(x)=const=m(=M)to će se desiti za xx1, x2 ili x2, x1, tj. (x1, x2), (x2, x1) f′(x)=0 (u otvorenim intervalima (x1, x2) ili (x2, x1))(b) neka nije ispunjeno (a); tada mora biti m<MDokažimo da u ovom slučaju pre svega barem jedna od tačaka x1 ili x2(a,b). Neka ovo nije ispunjeno (da bismo doveli do apsurda), tada mogu nastupiti sledeća četiri slučaja:(1) x1=x2=a(2) x1=a, x2=b(3) x1=x2=b(4) x1=b, x2=a→ (2) m=f(x1)=f(a)=f(x2)=f(b)=M apsurd

-ostali slučajevi analognoNeka npr. minimalna vrednost padne unutar intervala (a,b) i neka se to dogodilo u x1. To sada znači da f ima lokalni min u x1, pa na osnovu Fermatove leme mora biti f′(x1)=0. Drugim rečima pokazano je da postoji tačka c=x1 pa je tvrđenje teoreme tačno.T.3. (Langranžova teorema o srednjoj vrednosti za izvode)Pretpostavimo da je data izvesna realna f-ja f:R→R. Pretpostavimo takođe da f-ja zadovoljava samo sledeće dve pretpostavke(a) f: a, b→R, f Ca, b, -∞<a<b<+∞(b) f′(x) za x (a, b) (korespodentno otvorenom intervalu)Pod tim pretpostavkama postoji bar jedna tačka c c(a, b), takva da važi f(b)-f(a)=(b-a).f′(c)Dokaz: Dokaz teoreme izvodimo konstrukcijom jedne pomoćne f-je i to takve da ta pomoćna f-ja zadovoljava tri pretpostavke upravo dokazane Rolove teoreme. Primenom Rolove teoreme na pomoćnu f-ju direktno sledi Langranžova teorema.- uvedimo pomoćnu f-ju φ: a, b→R sledećom relacijom


1) uvedena f-ja jeste definisana na a, b iz sledećih razloga:

= linearna f-ja ≡ αx+β →DR

→ ova linearna f-ja definisana čitavom R (tj. to je f-ja tipa αx+β), preostali sabirak f(x) definisan je na zatvorenom segmentu a,b. F-ja φ ima domen jednak preseku ova dva domena, što jeste a, b.2) Konstruisana f-ja φ jeste neprekidna na segmentu φ Ca, b. f-ja φ jeste razlika dveju f-ja f i linearne f-je αx+β. Linearna f-ja je neprekidna na čitavom R (αx+β)C(R) po pretpostavci (a) fCa, b φ (C(R) ∩ Ca, b) ≡ Ca, bb) Dokazaćemo da postoji izvod φ′(x) za x(a, b) (αx+β)′=α, xR f′(x), x(a, b)

4) φ(a)=0=φ(b) na osnovu (1)..(4) pomoćna f-ja zadovoljava sve pretpostavke prethodno dokazane Rolove teoreme, pa imamo pravo da za φ zaključujemo c(a, b): φ′(c)=0

c(a,b),

f(b)-f(a)=(b-a).f’(c)Napomene:(a) Pre svega pokazaćemo i dokazaćemo još jedan stav koji je sasvim elementarne prirode: (teorema o konveksnim skupovima)Pretpostavimo da su date dve tačke a,bR; -∞<a<b<+∞ c(a, b): θ(0, 1) (jedinstveno θ)

takvo da je c=θa+(1-θ)bc=θ(a-b)+b θ=(c-b)/(a-b)=(b-c)/(b-a) <1 >0 a<c<b(b) U prethodno iskazanoj Langranžovoj teoremi pojavljuje se tačka c koja leži između a i b. Korišćenjem napomene (a) Langranžovu teoremu možemo iskazati Pod pretpostavkama navedenim u Langranžovoj teoremi mi možemo lako dokazati da postoji bar jedno θ f(b)-f(a)=(b-a)f′(a+θ(b-a)) što se takođe može iskazati i u sledećoj formi (uvođenjem smene)

b=a+h (h>0)f(a+h)-f(a)=h.f′(a+θh) {to jeste ekvivalentno sledećem uslovu: f(a+h)=f(a)+h.f′(a+θh)

(c) Za diferencijabilne f-je važi sledeće svojstvo: prvi izvod f-je u nekoj tački, npr. x=c jednak je koeficijentu pravca jednak je tangesu nagibnog ugla koga tangenta zaklapa sa + krakom x-ose.Razmotrimo ponovo f-ju f: a, b]→R i povucimo sečicu između dveju tačaka 1) A(a, f(a)); 2) B(b,

f(b)). Neka je α ugao koga zaklapa ova sečica sa + krakom x-ose. Tada važi . S

druge strane Langranžova teorema, tvrdi da u otvorenom intervalu (a,b) postoji tačka c takva da je

. Iz ovoga rečenog f′(c)=tg α. Geometrijska interprentacija je sledeća:

diferencijabilne f-je imaju svojstvo da za njih postoji tačka c unutar domena diferencijabilnosti u kojoj je tangenta na grafik f-je paralelna sa sečicom iste f-je.

Košijeva teorema o srednjoj vrednosti za izvodPretpostavimo da su date dve f-je f i g koje slikaju a, b→R i pretpostavimo da ove dve f-je zadovoljavaju sledeće pretpostavke:1) f, g Ca, b (-∞<a<b<+∞)2) f′(x), g′(x), x(a, b)


3) x(a, b), g′(x)0

c (a, b):

Napomena: Košijeva teorema u specijalnom slučaju sadrži Langranžovu teoremu. Ako izaberemo da g(x)=x, zamenom f-je dobijamo:

c(a, b)

Dokaz:

Za f-ju φ istim postupkom kao i u Langranžovoj teoremi se dokazuje da f-ja φ zadovoljava sledeća 3 uslova:(a) φ Ca, b

(b) φ′(x), x(a, b). Pri tome (*)

(c) φ(a)=φ(b)=0Drugim rečima ispunjene su pretpostavke Rolove teoreme. Po Rolovoj teoremi c(a,b): φ′(c)=0, zamenom u (*) kraj dokaza.Generalna primedba: jedan od razlomaka u svom imeniocu ima izraz g(b)=g(a) za koji se eksplicitno ne pretpostavlja da je 0. Sa druge strane način iskazivanja Košijeve teoreme neosoprno zahteva da bude ispunjen uslov g(b)-g(a)0 stoga nužno moramo da dokažemo i da je g(b)-g(a)0. Dokaz izvodimo kontradikcijom. Uzmimo da je ipak g(b)-g(a)0. Pretpostavke 1), 2) i 3) su takve za f-ju da za tu samu f-ju g važe sve pretpostavke Langranžove teoreme. Odatle sledi zaključak.

(a, b): g(b)-g(a)=(b-a)g′()0=(b-a)g′() g′()=0 u nekoj tački (a,b) što je u suprotnosti sa pretpostavkom .

Teorema (Lacković)Pretpostavimo da je data f-ja f:R→R i neka ta f-ja zadovoljava sledeće uslove:a) f Ca, bb) f+′(x), f′-(x), x (a, b) p,g0, 1: f(b)-f(a)=(b-a)(pf+′(c)+gf′-(c)) za bar jednu tačku c(a,b)

Tejlorova teoremaProblem:

Pretpostavimo da je dat polinom f(x)= tada se može dokazati da je ak= (k=0,1,...)

f(x) R(x) 0 f polinom

f(x) = Tn(x)+Rn(x) gde je Tn(x) polinom stepena n, a Rn(x) ostatak (greška)Rn(x)0 f(x) Tn(x)

T.1. (Tejlorova teorema)Pretpostavimo da je tačka x0 fiksirana tačka na realnoj osi. Pretpostavimo takođe da je 0>0 takođe fiksirani broj i da se sve naredne pretpostavke odnose na interval (x0-0, x0+0). Pretpostavimo da je data f-ja f:R→R i pretpostavimo da je ova f-ja definisana zajedno sa svojim izvodima zaključno do reda n-1 (nN). Tada postoji bar jedno D(0,1) takvo da važi sledeća jednakost: f(x)=

gde je Rn(x) dato sledećom formulom:

- Langranžova forma ostatka


Dokaz:Dokaz se bazira na jednoj specifičnoj Košijevoj teoremi o srednjim vrednostima izvoda.

Formirajmo pomoćnu funkciju φ(z)=f(x)-

φ(x)=0, φ(x0)=Rn(x)

Pomoćna f-ja ψ(z)=(x-z)p, p>0ψ(x0)=(x- x0)p, ψ(x)=0ψ′(z)=-p(x-z)p-1

Primenimo na ove f-je Košijevu teoremu pri čemu c leži između x i x0 ili x0 i

x, zavisno od toga šta je prvo.

Dobijena relacija omogućuje da iz nje izračunamo koliki je ostatak Rn(x).

Sve što smo uradili je važilo za proizvoljnu const p koja nije fiksirana ni u jednom prethodnom trenutku. Raznim zborima ove const p mogu se dobiti sve do sada poznate forme ostatka u Tejlorovoj formuli. Kroz praksu je poznato da za numeričku i matematičku analizu najprihvatljivija forma je Langranžova forma ostatka koje se odabira po sledećej logici i na sledeći način.U ovom ostatku poznata je f-ja, poznata je tačka x0, poznat je n, za C znamo da samo postoji negde između tačaka x i x0. Koliko ima takvih tačaka i gde su tačno ne znamo.

n-p+1=0 p=n+1

C=x0+θ(x-x0)

ODREĐENI INTEGRALD.1. (definicija Rimanovog (određenog) integrala)Pretpostavimo da je dat segment a, b, -∞<a<b<+∞. Određeni integral se razmatra samo za ograničene segmente konačne dužine. Razmatraćemo f-ju f: a, b→R i koja na ovom segmentu zadovoljava i sledeće pretpostavke:

1) f je ograničena f-ja na a, b, tj. k>0, x a, b: f(x)≤k<+∞ Ova pretpostavka se može i izostaviti, ali se uzima zato što se njenim uvođenjem znatno uprošćuju naredni dokazi i definicije. Od sada pa nadalje sa P označavamo proizvoljan izbor tačaka xk takvih da važi a=x0<x1<x2<...<xn=b proizvoljna podela segmenta a, b. U svakom od segmenta xk, xk+1 na proizvoljan način biramo tačno jednu tačku ξk (k=0,1,...,n-1). Izbor ξ0 ni na kakav način ne uslovljava izbor tačke ξn.

σ= (ξk)(xk+1-xk)= (ξk)xk , xk=xk+1 - xk

DARBOUX (Darbova) suma


λ=max(xk+1-xk) (>0) 0kn-1D.Ako postoji IR (-∞<I<+∞), I=const, takav da za >0, =()>0, takvo da za P i (ξk)P važi implikacija λ< σ-I< tada(a) za f-ju f kažemo da je Riman integrabilna na segmentu a, b(b) const I tada nazivamo Rimanovim integralom f-je f na segmentu a, b

(c) tada pišemo

(g) takođe pišemo i I=(R)

D. 2. (definicija gornje i donje Dorbove sume)Neka važe sve pretpostavke navedene u prethodnoj definiciji. Uzmimo takođe da je mk=inf f(x) i Mk=sup f(x) xxk, xk+1 (k=0, 1,..., n-1)Neka su nadalje donja Darbouva suma s, a gornja Darbouva suma S definisane na sledeći način:

s=

S=

Svojstva svih Darbovih suma

, ,

Tri sume: gornja, donja i Darbova suma zadovoljavaju sledeća svojstva:1) za svaku podelu P i svaki izbor tačke ξnP zadovoljene su sledeće nejednakosti:

s≤σ≤Sa=x0<x1<x2<...<xn=b (k=0,1,...,n-1) ξkxk, xk+1mk=inf f(x) Mk=sup f(x), xxk, xk+1

2) važe sledeće dve jednakostiinf σ = s sup σ = S(ξk)P (ξk)P

Dokaz i tumačenje: U prethodnim dvema jednakostima se pretpostavlja da je f-ja f izabrana i fiksirana, tj. funkcijsko slovo f je ovde const. Segment a, b je const. Podela P ovog segmenta je takođe const. Jedino što dozvoljavamo da se bira jesu tačke ξk unutar podelnih intervala xk, xk+1. Dakle, u gornjim jednakostima sup i inf je shvaćen upravo po svim mogućim izborima tačaka ξk.

3) Pretpostavimo da je data podela P i pretpostavimo da je unutar jednog od segmenata xk, xk+1 uzeta jedna tačka xk′(xk, xk+1). Time dobijamo izvesnu novu podelu koju označavamo sa P′

P, s, S, a=x0<x1<x2<...<xk<xk+1<...<xn=bP′, s′, S′, ′ a=x0<x1<x2<...<xk<xk′<xk+1<...<xn=bTada važe sledeće jednakosti:(a) s≤s′ (b) S′≤Stj. drugim rečima dodavanjem samo jedne podeone tačke donje sume ne opadaju, a gornje sume ne rastu.Dokaz: Jedini sabirak koji ima smisla razmatrati i koji se menja pri dodavanju jedne podele tačke jeste sledeći mkΔxk (tj. MkΔxk – dokaz analogan)(α) mkΔxk (s)(β) mk′(xk′-xk)+mk′(xk+1-xk′) (s′)Sume s i s′ imaju načelno govoreći sve sabirke identične osim što je sabirak α u simi s zamenjen parom sabiraka β u sumi s′.


┌Pomoćno tvrđenje: Neka je f proizvoljna realna f-ja definisana nad izvesnim segmentom a, b i uzmimo da ta f-ja ima svoj sup i inf nad tim segmentom. Pretpostavimo takođe da je unutar segmenta a, b dat izvestan segment a1, b1 i neka je npr. m′=inf f(x) (xa1, b1), m=inf f(x) xa, b Očigledno tada važi m≤m′. Slično tome može se dokazati za odgovarajuće supremume da važi M′≤M.┘ Obzirom na uzajamni položaj segmenata [xk, xk+1] i segmenata xk, xk′

xk, xk′ xk, xk+1, xk′, xk+1 xk, xk+1, očigledno je da važi mk≤mk′ i mk≤mk″

Razmotrimo nadalje odnos sabiraka α i β.(α) mkΔxk=mk(xk+1-xk)≡mk(xk+1-xk′)+mk(xk′-xk)≤mk″(xk+1-xk′)+mk′(xk′-xk)≡mk‴xk″+mk′xk′ što znači da se sabirak α prešavši u β samo povećao, dakle nikako se nije smanjio.(4) Pretpostavimo da je data podela P i neka su u njoj korespodentne sume s, σ, S i neka podela P’ nastala iz podele P pri dodavanju jedne ili više podeonih tačaka. Neka su potom s′, σ′, S′ korespodentne Dorbuove sume za podelu P′. Tada važi: s≤s′ i S′≤S tj. pri dodavanju podeonih tačaka donje Dorbuove sume ne opadaju a gornje ne rastu.(5) Pretpostavimo da su date dve podele P′ i P″, i neka su s′, σ′, S′ i s″, σ″, S″ korespodentne Darbuove sume. Tada važe sledeće nejednakosti:s′≤S″ ili s″≤S′, tj. nijedna donja Darbuova suma ne prevazilazi nijednu gornju Darbuovu sumu.U cilju dokaza formiramo treću Darbuovu sumu P‴=P′ P″ i toj trećoj podeli pridodelićemo relativne sume s‴, σ‴, S‴.

s′≤ s‴ ≤ S‴ ≤S″(6) Neka je data podela označena sa P0 koja se sastoji samo od dvaju tačaka x0 i x1. Pri tome neka bude a=x0<x1=b. Ova podela se naziva najgrublja podela i neka su u toj najgrubljoj podeli pridodate Darbuove sume označene sa s0, σ0, S0. Tada očigledno važi prema prethodnim tačkama s0≤s≤S≤S0, za bilo koju podelu P i njene korespodentne sume s, σ i S očigledno su sve Darbuove sume ograničene.(7) Na osnovu svojstva od 1-6 očigledno sleduje da postoji sup s po svim mogućim podelama, i inf S po svim mogućim podelama. Njih označavamo sa:

sup s (=I*) inf S(=I*)Broj I* se naziva donji Darbuov integral, a I* se naziva gornji Darbuov integral.(8) Očigledno važe sledeće nejednakosti:

s ≤ I* ≤ I* ≤ S, gde su s i S donja i gornja Darbuova suma za proizvoljnu podelu P

Kriterijum integrabilnosti realnih f-ja(Klase integrabilnih f-ja)

T.1. (kriterijum)Potreban i dovoljan uslov da f-ja f:a, b→R jeste (Riman) integrabilna je sledeći:

(**)

Napomena: U ovoj teoremi, kao i uostalom i u svim prethodnim uzete su sve pretpostavke o segmentu, f-ji, itd. onako kako su date u uvodnom delu def. određenog (R) integrala.Dokaz:

(*) (**)

(*) (**)

a) >0, =()>0, λ< |-I| < ┌ I= ┘

-<-I<+I-<<I+

I- ≤ inf = s ≤ I+I- ≤ sup = S ≤ I+ S-s < 2 0 ≤ S - s < 2


b) (**) (*)

(**)

(α) s ≤ ≤ S I*, I* (β) s ≤ I* ≤ I* ≤ SRanije je dokazano da postoji I* i I* koje smo nazvali gornji, odnosno donji integral i da ta dva broja zadovoljavaju s ≤ I* ≤ I* ≤ S.Iz dokazane pretpostavke β i pretpostavke (**) 0- ≤ I*-I* ≤ S-s → 0+ (λ→0+)

I* ≡ I*, ove dve const koje se poklapaju nazvaćemo zajedničkim imenom I I* = I*

(β) s ≤ I ≤ S(α) i (β) σ-I ≤ S-s → 0+

s= S=

(**) lim(0+) (**)

oscilacija f-je na segmentu [xk, xk+1]T.2. (neprekidne f-je)Ako je f-ja f:a, b→R neprekidna na segmentu a, b tada je i (R) integrabilna na istom segmentu.Dokaz: Pretpostavimo da je data f-ja f:a, b→R, -∞<a<b<+∞f je neprekidna na segmentu a, bf Ca, b f ravnomerno neprekidna >0, =()>0 x′, x″[a, b, x′-x″< f(x′)-f(x″)<Dokazaćemo da je ispunjen uslov (**)U cilju dokaza izaberemo >0 kako hoćemo. Obzirom na ravnomernu neprekidnost znamo da

=()>0 za koje je ispunjena Kantorova teorema. λ<0 ≤ Δxk ≤ ≡ (b-

a)

T.3. (prekid I vrste)Ako f-ja f:a, b→R ima prekide samo I vrste na segmentu a, b i to najviše konačno mnogo takvih tada je f (R) integrabilna na seg. a, b.Dokaz: (gotovo identičan dokazu (T.2) uz sledeću relaciju):Ako f ima konačno mnogo prekida I vrste u segmentu a, b tada sa α, β, γ,... označimo tačke prekida. Takvih tačaka ima konačno mnogo. a, b podelima na segmente a, α, α, β, β, γ , ..., ω, b i na svaki od ovih segmenata primenimo dokaz prethodne teoreme.T.4. (monotone f-je)Ako je f-ja f:a, b→R monotona u bilo kom smislu reči tada je f-ja f integrabilna na segmentu a, b.Napomena: Ovu teoremu možemo primeniti na segmentu a, b čak i u slučaju kada f-ja f menja tip monotonije duž segmenta a, b. Naime upravo iskazana teorema se može i ovako formulisati: Ako je data f-ja f:a, b→R i ako se ovaj segment može razbiti na konačno mnogo segmenata u kojima je f-ja monotona tada je f-ja f (R) integrabilna. Pri tome tip monotonije se može menjati od segmenta do segmenta, a dokaz ove preformulacije se bazira na osnovni iskaz teoreme br 4.


Dokaz: Bazira se na dokazu (T.3) uz sledeću konstataciju da važi sledeće tvrđenje: monotona f-ja na zatvoreneom segmentu konačne dužine može imati očigledno konačno mnogo prekida i to isključivo prve vrste.

Osnovna svojstva određenih integralaOd sada pa nadalje smatraćemo da je stalna sledeća pretpostavka:Data je f-ja f:a, b→R (-∞<a<b<+∞) i pretpostavimo da je f integrabilna na a, b. Tada važi:

1) ako f(x) ≥ 0, x a, b ≥ 0

2) ako f(x) >0, x a, b > 0

3) m≤f(x)≤M; x a, b m(b-a)≤ ≤M(b-a), -∞<m≤M<+∞

4) Ako su ispunjene pretpostavke u tački (3) tada postoji bar jedan broj θ, θ0,1, takav da je

=θm+(1-θ)M

5) Pretpostavimo još da je f neprekidna na a, b, fCa, b, tada ca, b, takav da je

=f(c)(b-a)Napomena: (u odnosu na svojstva (4) i (5))(4) i (5) se nazivaju zajedničkim imenom teoreme o srednjoj vrednosti za određeni integral. Pri tome se (5) naziva teorema o srednjoj vrednosti za određeni integral za neprekidne f-je.

σ = ≥0

m(b-a) ≤ σ = ≤ M(b-a)

Dokaz. (5)Neka je f neprekidna f-ja. Tada po jednoj od Vajštrasovih teorema ova f-ja doseže svoj inf i doseže u bar nekoj tački svoj sup. Drugim rečima egzistiraju sledeća dva broja:

x1a, b: m=inf f(x)=f(x1) xa, bx2a, b: M=sup f(x)=f(x2) xa, b

m ≤ M xa, b: m ≤ f(x) ≤ M θ0, 1

=θm+(1-θ)M m, M

f(c)=θm+(1-θ)M=

Neodređeni integralD. 1. (primitivne funkcije)Pretpostavimo da je data f-ja f:a, b→R (-∞<a<b<+∞). Za f-ju F:a, b→R kažemo da je primitivna f-ja f-je f ako je ispunjen sledeći uslov:F′(x)=f(x), x(a, b).F-ja F se tada naziva određeni integral funkcije f.T. (Njutn-Lajbnicov stav, iskaz osnovnog stava integracionog i diferencijalnog računa)Pretpostavimo da je f-ja f integrabilna na zatvorenom segmentu a, b. I pretpostavimo da je F

primitivna f-ja za f. Tada važi sledeća jednakost =F(b)-F(a).


Dokaz Njutn-Lajbnicovog stava se razlaže na nekoliko teorema:T.1.Pretpostavimo da je data izvesna realna f-ja f:D→R, gde je D bilo koji otvoren skup realne prave (misli se na otvoreni interval konačne ili beskonačne dužine). Ako su F i G primitivne f-je jedne iste f-je f tada mora biti: F(x)=G(x)+C, gde je C izvesna realna const. Svake dve primitivne f-je jedne iste f-je f se razlikuju za jednu realnu const.Dokaz:F′(x)=f(x), xD F′(x)-G′(x)=0G′(x)=f(x), xD (F(x)-G(x))′=0 ...... (1)Koristeći Langranžovu teoremu možemo dokazati sledeći pomoćni stav:

f-ja f(x)=const f′(x)=0 (*)iz (1) F(x)-G(x)=0dokaz umetka (*)(a) f(x)=c f′(x)=0

| h→∞ f′(x)=0

(b) f′(x)=0, xD f(x)=CDokaz ide primenom Langranžove teoreme:Izaberimo tačku aD i fiksiramo je. Neka je xD proizvoljna tačkaf(x)-f(a)Izaberimo jedan od intervala a, x ili x, a zavisno od položaja x. Na izabranom intervalu zadovoljeni su sledeći uslovi:(α) f je neprekidna na a, x ili x, a(β) f′(x)(≡0), x(a,x) ili (x,a)Pretpostavke α i β su identične pretpostavke Langranžove teoreme o srednjoj vrednosti Langranžova teorema se može primeniti na jedan od tih segmenata: θ(0, 1), f(x)-f(a) = (x-a)f′(θx+(1-θ)a)≡0 xD, f(x)=f(a)=const - kraj dokaza (*).T.2.Pretpostavimo da je data f-ja f:a, b→R (-∞<a<b<+∞). Pretpostavimo takođe da ova f-ja jeste integrabilna na segmentu a, b. Razmotrimo f-ju:

F(x)= . Tada f-ja F jeste neprekidna na segmentu a, b

Napomena:(1) S obzirom na izuzetnu važnost ove f-je, ova f-ja ima svoje početno ime i naziva se f-ja gornje granice.(2) Očigledno je definicijom (*) f-je granice implicitno pretpostavljeno da važi sledeće tvrđenje. Ako je f-ja f integrabilna na segmentu a, b onda je f-ja f integrabilna i na svakom od segmenata a, x, gde je x bilo koja tačka segmenta a, b. Prethodna implikacija je tačna, dokaz banalan.Dokaz: Pošto je pretpostavljeno da je f integrabilna na a, b tada postoje dve const m,MR (-∞<m≤M<+∞) takve da važi xa, b, m≤f(x)≤M, tj. f mora biti ograničena f-ja.

Razmotrimo F(x)= , tada važi sledeće: m(x-a)≤F(x)= ≤M(x-a), pri svemu

ovome očigledno je da u nejednakosti a može biti smanjeno bilo kojom tačkom x0a, b, tj. važi i

sledeća nejednakost: m(x-x0)≤ ≤M(x-x0), pri čemu su ove nejednakosti dokazane

primenom teoreme o srenjim vrednostima za integral. Uzmimo sada da x→x0.

m(x-x0)≤ ≤M(x-x0)


T.3. (diferencijabilnost f-je gornje granice)Pretpostavimo da važe pretpostavke identične kao u (T.2). Tada xa, b F′(x) i pri tome važi:

F′(x)=f(x)

Dokaz. F(x)= . Izaberemo fiksiranu tačku x0(a, b), → dokazujemo diferencijabilnost u

toj tački.

F(x0)= . F(x)-F(x0)= - =

Neka je: x0<x, x0, x -razmatramo ovaj interval (x0, x(a, b))Neka je x-x0=h, x=x0+h (h>0)

F(x0+h)-F(x0)=

m(h)=inf f(t), tx0, x0+h M(h)=sup f(t) , tx0, x0+h

h.m(h)≤ ≤h.M(h), na osnovu teoreme o srednjoj vrednosti za integral

m(h)≤ ≤ M(h) h>0, h→ 0+

=f(x0)

x(a, b) F′(x)=f(x)

Zaključak: Iskazom teoreme 3 u stvari se pokazuje da f-ja F(x) jedna od primitivnih f-ja, f-je f(x). Na osnovu (T.1) i na osnovu upravo izrečenog sleduje dokaz Njutn-Lajbnicovog stava i to na sledeći način:

Razmotrimo i za ovu integrabilnu f-ju definišimo korespodentnu f-ju gornje granice.

Očigledno je F(b)= . Prema ranije dokazanom F je jedna od primitivnih f-ja f-je f. Samo

odredimo G kao primitivnu f-ju za f. Na osnovu stava 1:F(x)=G(x) - C | x=bF(b)=G(b)+ C F(a)=G(a)+CC=F(b)-G(b) C=F(a)=G(a)

=G(b)-G(a)

Napomena: Osnovni stav diferenc. i integralnog računa tvrdi:

Ako želimo da izračunamo (definitivno samo za integrabilne) onda treba pronaći bilo koju

f-ju G koja je primitivna za f. Kada je nađemo tad umesto izračunavanja samog integrala mi jednostavno izračunamo razliku G(b)-G(a).

Teorija beskonačnih redova

(1) g=const R, g<1 1+g+g2+...+gn+...=

(2) 1-1+1-1+...+1-1+...= 0, 1


D.1. (red)

Pretpostavimo da je dato preslikavanje f: N→R(c). Zbir oblika nazivamo red. Ovde se

f(k)=ak i naziva se opšti član reda, a suma naziva se parcijalna suma tog reda.

Ako je dat red onda se novoformirani red naziva ostatak datoga reda.

D.2. (Košijeva definicija konvergentnog reda)

Pretpostavimo da je dat beskonačan red (akR; C). Za ovaj red kažemo da konvergira ako

konvergira niz njegovih parcijalnih suma. Drugim rečima za red kažemo da je konvergentan ako postoji realan broj S ili kompleksan broj S takav da važi sledeći uslov:>0, n0=n0()N, n≥n0 n-S<Pomenuti broj S se naziva suma beskonačnog reda, i ako ovaj broj postoji u gore pomenutom

smislu tada pišemo =S. Ako prethodni uslovi ove definicije nisu ispunjeni tada kažemo za red

da je divergentan.

T.1. (Košijev potreban i dovoljan uslov za konvergenciju reda)

Potreban i dovoljan uslov da konvergira jeste sadržan u sledećem uslovu: >0,

n0=n0()N, pN, n≥n0 an+1+an+2+...+an+p<Dokaz: an+1+an+2+...+an+p=n+p-n

>0, n0=n0()N, pN, n≥n0 n+p-n< T.2. (Potreban i dovoljan uslov)

Potreban i dovoljan uslov da konvergira jeste da Rn = konvergira nuli (n→+∞).

Tipovi redovaSvi redovi se dele globalno na dve klase:(a) Redovi kod kojih opšti član an zavisi samo od nN i ne zavisi od bilo koje druge promenljive. Takve redove nazivamo redove sa const članovima.(b) Ako opšti član an zavisi od nN i još parametara tada se red naziva funkcionalan red. Redovi sa const članovima se dalje dele na sledeće klase:1) redovi sa pozitivnim članovima;2) redovi sa alternativnim članovima3) redovi sa proizvoljnim znacima

Redovi za pozitivnim članovimaD.1.

Red se naziva red sa pozitivnim članovima ako je ispunjen sledeći uslov ak>0 (k=1,2,...)

T.1. (potreban i dovoljan uslov)Red sa pozitivnim članovima konvergira akko je niz njegovih parcijalnih suma ograničen odozgo.Dokaz:

(a) Pretpostavimo da konvergira i dokažimo da je zbir njegovih parcijalnih suma ograničen

odozgo.

SR, =S


>0, n0=n0()N, n≥n0 n-S<Izaberimo da je =1, n1=n0(1)N, n≥n1 = S-1<Sn<S+1Neka je a=max Sp, c=max (a, S+1)Očigledno je ispunjen sledeći uslov: nN, 0<n≤ C(b) Neka je niz n ograničen odozgo, npr. sa CnN, n C n+1-n=an+1>0 (=) n≤ n+1

n čini monoton i ograničen niz, pa tada on konvergira

SR, konvergira

Nedostaci: ;

Dovoljni uslovi za konvergenciju redova sa pozitivnim članovimaT.2. (I Uporedni kriterijum) najelementarniji

Pretpostavimo da su data dva reda i i pretpostavimo da ova dva opšta člana

zadovoljavaju uslove: kN, ak≤bk. Tada važe tvrđenja:(a) bk konvergira ak konvergira(b) ak divergira bk divergiraNapomena: (pitanje etalon reda)Prethodni kriterijum omogućuje ispitivanje konvergencije odnosno divergencije jednog od redova ako je prethodno utvrđena konvergencija, tj. divergencija drugog reda. Ta dva reda stoje u odnosu: ak ≤ bk. Red čija je konvergencija (divergencija) već poznata se naziva etalon reda.Dokaz:

ak ≤ bk (*) n′ ≤ n″ gde je n′ = , n″=

(a) Ako bk konvergiraju n″ ograničeni (vidi T1.) n′ su ograničeni (vidi *) ak konvergira (T1)

(b) divergira

(vidi *) bk divergira

T.3. (II Uporedni kriterijum)

Neka su dati redovi ak, bk. Pretpostavimo da za kN, (*).

(a) bk konvergira ak konvergira(b) ak divergira bk divergiraDokaz:Pošto uslov (*) važi za k ispitajmo ovaj uslov za k=1,2,...,n-1. Redom dobijamo sledeće nejednakosti:

an ≤ bn′ (I uporedni kriterijum!)

′ konvergira

′ =

T.4. (III Uporedni kriterijum)


Pretpostavimo da su data dva reda ak i bk i pretpostavimo da opšti članovi ak i bk ovih redova jesu takvi nizovi da je ispunjen sledeći uslov:

(*) (0 ≤ L < +∞)

Tada važe sledeća tvrđenja:(a) Ako jedan od ovih redova konvergira takav je i drugi. Ako jedan od ovih redova divergira takav je i drugi.(b) Tada su redovi ak i bk ekvikonvergentniDokaz:

>0 n0=n0()N, k≥n0

-< <

(**)L-< < L+

(a) Pretpostavimo da red b-ova konvergira, pa ćemo dokazati da i red a-ova konvergira.Za dovoljno velike indekse iz (**) ak<bk (L+), k ≥ n0

0 ≤ <(L+)

Druga varijanta dokaza:Izaberimo bilo koje n≥n0, pa je tim pre i broj n+p≥n0.

≤(L+) pa ako uzmemo da je Sk′ oznaka za parcijalnu sumu reda a-ova, a Sk″ oznaka za

parcijalnu sumu reda b-ova tada se prethodna nejednakost napisana pomoću parcijalnih suma može ispisati u sledećoj formi:

Sn+p′-Sn-1′ ≤ (L+) n+p′-n-1′Pošto red b-ova konvergira to se razlika n+p″-n-1″ može učiniti proizvoljno malom za bilo koje pN samo ako je broj n izabran da bude dovoljno velik (videti Košijev kriterijum za konvergenciju realnih nizova). Na osnovu toga zaključujemo da se i razlika n+p′-n-1′ ponaša isto. Iz (**) (L-)bk ≤ ak, pa istim algoritmom kao i malopre iz konvergencije a-ova sleduje konvergencija b-ova.

- konvergentan red.

Tablični redovi:

Kriterijumi: (za redove sa pozitivnim članovima)(1) D′Alambert-ov količnički kriterijum (2) Košijev koreni kriterijum


(3) Gausov kriterijum (bez dokaza)(4) Košijev integralni kriterijumT.1. (D′Alambert)

Pretpostavimo da je dat red ak sa pozitivnim članovima i pretpostavimo da postoji (*)

(0 q <+). Tada važi:(1) Ako je q<1 red konvergira(2) Ako je q>1 red divergira(3) Ako je q=1, kriterijum je neodlučiv, tj. postoje takvi redovi kod kojih je q jednako 1, a red konvergira, a postoje takvi redovi kod kojih je q=1 a red divergira. (A sve ovo se dokazuje tako što prosto navedemo primer i jednih i drugih redova, ali tako da q bude jednako 1.Napomena:Isti kriterijum se može iskazati na sledeći način:Pretpostavimo da je dat red ak-ova i ovoga puta ne pretpostavljamo da važi (*). Za redove sa pozitivnim članovima važe sledeća tvrđenja:(a) ako je za dovoljno veliko k ispunjen uslov ak+1/ak ≤ q<1 red konverg.(b) ako je za dovoljno veliko k ispunjen uslov ak+1/ak ≥ 1 red divergiraDokaz napomene:(a) Neka je ispunjen uslov pod (a) dokažimo tada da je red konvergentan.Uslov pod (a) se može napisati:

ak+1 ≤ q.ak ≤ q.q.ak-1 = q2 ak-1 ≤ qka1, tj.ak ≤ qk-1 a1 I uporedni kriterijumak ≤ a1 qk-1 geometrijska progresija

(b) iz nejednakosti zapisane u (b) ak+1 ≥ ak - članovi rastu pa zbog toga red sa pozitivnim članovima nema šanse da konvergira.Dokaz T.1.Iz pretpostavke (*) >0, n0=n0()N, n≥n0

q-< < q+

Dokazujemo (1)Ako je q<1 izabraćemo toliko malo (a takav sigurno egzistira), >0, da još uvek bude i q+<1, pa

iz nejednakosti q-< <q+

ak+1 ≤ q1 . ak (q1<1). Za dalji dokaz pozivamo se na dokaz u napomeni pod (a)(a) Ako je q>1, izabraćemo dovoljno malo, tako da q->1

Iz nejednakosti q-< <q+ ak+1>q1. ak>ak (q1>1)

Nastavak dokaza pomoću napomene pod (b)(3) Posmatrajmo dva reda navedena pod α i β

(α) → +∞ q=1, red divergira

() =/6 q=1, red konvergira.

T.2. (Košijev koreni kriterijum za konvergenciju)

Pretpostavimo da je dat red ak, ak>0 i pretpostavimo da postoji (*) (0 ≤ q < +). Tada

važe sledeća tvrđenja:(a) Ako je q<1 red konvergira(b) Ako je q>1 red divergira(c) Ako je q=1 neodlučiv slučaj


Napomena:Moguća ekvivalentna varijanta ove teoreme je:Pretpostavimo da je dat red ak, ak>0. Ako postoji apsolutna const q takva da:(a) ≤ q <1 red konvergira

(b) ≥1 red divergiraDokaz napomene:(a) an≤ qn (q<1!) bn=qn - geometrijska progresija koja konvergira, pa i an konvergira po I uporednom kriterijumu.(b) an ≥ 1 definitivno divergiraDokaz T.2.(*) >0, n0=n0()N

q-< <q+ (birati tako da q->0)(q-)n ≤ an ≤ (q+)n (biramo i dalje toliko malo da brojevi q- i q+ budu još uvek < 1)

primenom I uporednog kriterijuma ekvikonvergencija(a) q<1 q+<1 (q+)n (suma po geom. progr.)(b) Ako je q>1 birati dovoljno malo da je q->1 (q-)n < an (q-)k < ak geom. progr. koja divergira u ∞

(c) → 1 (n→∞)

ako je q=1 mogu da se dese i K i D

T.3. (Gausov kriterijum)Pretpostavimo da je dat red ak, ak>0 i pretpostavimo da se količnik an/an+1 može napisati u sledećoj formi

(*) , za svako dovoljno veliko n (np pN, p je fiksno).

Za sve dovoljno velike λ, μ, R -const >0, i gde je niz θn ograničen (c>0; θn≤c (<+∞))Tada važe sledeći iskazi:(a) Ako je λ>1 red konvergira(b) Ako je λ<1 red divergira(c) Ako je λ=1 tada (c1) μ>1 red konvergira

(c2) μ ≤1 red divergira.Napomena:Gausov kriterijum nema tačaka neodlučivosti za razliku od prethodnih, ali on otvara pitanje kako za dati red doći do parametara λ i μ. Za dobijanje ovih prametara do danas ne postoji deterministički algoritam.T.4. (Cauchy-ev integralni kriterijum)

Pretpostavimo da je dat red , i pretpostavimo da f: 1, +∞)→R zadovoljava sledeći spisak

uslova:(1) f(x) ≥ 0, tj. (x0,+∞))

(2)

(3) f ne raste na 0,+∞)(4) f je neprekidna na svakom segmentu a, b 0,+∞)

Tada su red i ekvikonvergentni.

Napomena: (a) Integral, tj. njegova vrednost se podrazumeva u sledećem smislu reči:


(b) Egzistencija integrala je obezbeđena pretpostavkom (4) u Košijevom integralnom

kriterijumu.(c) Za integral ćemo reći da konvergira ako granična vrednost koja se pominje u tački (a) postoji i to kao konačan realan broj. U suprotnom slučaju kažemo da odgovarajući integral divergira.Dokaz:

Na osnovu pretpostavke (4) postoji integral . Koristeći teoremu o srednjoj vrednosti

=(n+1-n). f(ξ), ξn, n+1

ξ=n+θ (θ0, 1) =f(n+θ)

Na osnovu pretpostavke (3) imamo: (an+1=)f(n+1) ≤ f(n+θ) ≤ f(n) (=an)

an+1 ≤ ≤ an (nN)

≤ ≤

Sn+p-a1+an+p+1 ≤ ≤ Sn+p – parcijalna suma odgovarajućeg reda

Ovo važi za bilo koje n i p. Dozvolimo zbog toga da n→∞, p→∞ ili n+p→∞. Tada obzirom na dvojnu nejednakost važi:(a) Ako konvergira integral u sredinu u smislu napomene pod (b), tada taj isti integral ima konačnu graničnu vrednost.

(1)

Obzirom da važi uslov (2) iz konvergencije integrala (1) <+∞, što znači da su parcijalne sume posmatranog reda ograničene odozgo, (npr. vrednošću tog integrala), pa ovaj red sa pozitivnim članovima konvergira.(b) Dokažimo obrnutu implikaciju. Uzmimo u tom cilju da integral nije konvergentan, već je

=+∞. Obzirom da važi:

≤ Sk, k→+∞ dobijamo

Alternativni redoviD.1. Red se naziva alternativan, ako beskonačan red ima sledeću formu:

, ak>0 (alternativni redovi su i )

I Lajbnicov kriterijum za alternativne redove

Pretpostavimo da je dat alternativan red: (ak>0). Pretpostavimo da važe sledeće dve

pretpostavke:


(a) ak ≥ ak+1 (brojevi ak strogo opadaju)

(b) red konvergira

Dokaz: Ide razmatranjem parcijalnih suma ovog reda, i to ćemo razmotriti dve vrste parcijalnih suma S2k i S2k+1 (parne i neparne sume).

S2k=(a1-a2)+...+(a2k-1-a2k)S2k+2=(a1-a2)+...+(a2k-1-a2k)+(a2k+1-a2k+2)S2k+2=S2k+(a2k+1-a2k)> S2k

Parne parcijalne sume čine strogo rastući niz. Na sličan način uočavanjem i grupisanjem dokazujemo da neparne parcijalne sume čine strogo opadajući niz. Relacija između parnih i neparnih parcijalnih suma jeste sledeća:

S2k+1=S2k+a2k+1> S2k

S2k ≤ S2k+1

lim(k) S2k+1=lim(k) S2k+0

alternativni red konvergira.S2k - konvergira jer je monoton i ograničen niza2k+1 - nema lim po pretpostavci

Redovi sa proizvoljnim znacimaAbelov i Dirihleov kriterijumRedovi sa proizvoljnim znacima se mogu proučavati samo ako su u dosta suženoj formi, npr.

(*) , gde su (ak, bk R, kN)

Postoje dve teoreme koje su povoljne za proučavanje tih redova, zovu se Abel-Dirihleov stav.T.1. Abelov stavPretpostavimo da je dat red oblika (*) gde su ak i bk potpuno proizvoljni (po znaku) realni brojevi. Ako su ispunjena sledeća dva uslova:(1) Niz (ak) je monoton i ograničen(2) Red b-ova tj. bk konvergira, Tada red (*) konvergira. Dokaz se bazira na Abelovoj transformaciji.T.2. Dirihleov stavPretpostavimo da je dat red (*) i da su ispunjeni sledeći uslovi:(1) Niz an je monoton opadajući i konvergira ka 0, (k→)(2) Parcijalne sume reda bk su ograničene; tj. niz n= bk jeste ograničen niz realnih brojeva.Tada red (*) konvergira.

primer: n=

Teorija funkcionalnih redovaOd sada pa nadalje razmatraćemo isključivo redove sledeće forme:

(*) , uk: R→R (k=1,2,...)

Drugim rečima, za razliku od redova sa konstantnim članovima, opšti član funkcionalnog reda ne zavisi samo od indeksa sumiranja k već zavisi i od izvesnog parametra x za koga se načelno smatra da je proizvoljan realan broj.

Primer: , x

Ovde se un(x) naziva opšti član reda, suma n(x)=uk(x) se naziva parcijalna suma reda; Rn(x)=(k=n+1,+∞) uk(x) se naziva ostatkom reda, kao i u teoriji redova sa poztivnim članovima.

Definicija konvergentnog reda i sume redaD.1.


Pretpostavimo da je dat red (*), ako postoji takva realana f-ja S: R→R da je za xDR ispunjen

uslov , tada za red (*) kažemo da konvergira tačka po tačka u oblasti D ka f-ji

S(x). Pri svemu tome f-ja (x) se naziva funkcija suma ili se prosto kaže suma funkcionalnog reda.Važna napomena:Ovde u ovoj def. suština gornjeg iskaza je u sledećem: Mi fiksiramo načelno izvesnu tačku x0D; pošto je x0 fiksirano red (*) postaje (**) uk(x0) sa konstantnim članovima un(x0)≡uk, koji od tog trenutka pa nadalje zavisi samo od indeksa sumacije k. Na taj način dobijamo onoliko redova sa konstantnim članovima koliko ima tačaka u skupu D. Ako svaki od tih redova sa const članovima konvergira u smislu ranije navedene definicije konvergentnog reda, tada red (*) konvergira tačka po tačka u navedenom skupu DIsta def. na - jezikuObzirom da je prethodna def. bazirana na relacijama:

koristeći - jezik prethodnu def. možemo iskazati na sledeći način:

D. 1′.Ako postoji takva realna f-ja S, S: R→R, >0, xD, n0=n0(,x)>0 n ≥ n0 n(x)-

(x)<, , n(x)= tada za ovaj red kažemo da konvergira na skupu D ka f-ju S(x).

Zahvaljujući prethodnoj D.1. odnosno njenom ekvivalentu D.1′. za konvergenciju redova tačka po tačka važe svi prethodni kriterijumi za pozitivne redove, alternativne redove i redove sa pozitivnim znakom. Drugim rečima kada fiksiramo x iz (*) pomenuti funkcionalni red postaje običan red sa konstantnim članovima (numerički red). D. 2. (ravnomerno konvergentni funkcionalni red)

Pretpostavimo da je dat red (*) , uk:R→R (kN) i gde ove f-je imaju isti domen

definisanosti (kN), (uk(x))=DR, D i int DZa ovaj red kažemo da je ravnomerno ili uniformno konvergentan ka samoj f-ji S, S:D→R (S - f-ja suma) ako je ispunjen sledeći uslov:Za (xD), (>0), n0=n0()N, (xD)(n ≥ n0 n(x)-(x)<)T.1. (odnos D. 1 i 1′ i 2)Definicijama 1-1′ i 2 definisane su dve klase funkcionalnih redova čiji je odnos precizno iskazan u sledećem:(a) Svaki ravnomerno konvergentan red jeste konvergentan i tačka po tačka u istoj oblasti(b) Lako se komentarišu primeri redova koji konvergiraju tačka po tačka a nisu ravnomerno konvergentni u istoj oblasti. U tom smislu:

primer: , x-1, +1

U tački -1 ovaj red izdivergira (naglo podivlja), u 1 jeste konv. tačka po tačka, a u intervalu x(-1, 1) je ravnomerno konvergentan.T.2. (Vajštrasov kriterijum za konv. ravnomerno konv. reda)

Pretpostavimo da je dat red: , uk: D→R, (kN), D

Ako su ispunjana sledeća dva uslova:(1) za kN, ck>0, takva da je xD uk(x) ≤ ck

(2) Ako je numerički red cn konvergentan,

Tada red: ravnomerno konvergira u pomenutoj oblasti D.

Dokaz se bazira na Košijevom potrebnom i dovoljnom uslovu za konv. niza. Naime, uobičajenim metodama može se dokazati da važi sledeće (pomoćno) tvrđenje:


(T) Košijeva: ravnomerno konvergira u DR ako je ispunjen sledeći (Košijev uslov):

xD, >0, n0=n0()N, pN, n ≥ n0 un+1(x)+un+2(x)+...+un+p(x)<Dokaz: Dokaz Vajčtrasovog stava dobijamo neposrednom primenom gornjeg iskaza što u sledećem obliku:un+1(x)+un+2(x)+...+un+p(x) ≤ un+1(x)+ un+2(x)+...+ un+p(x) ≤

cn+1+cn+2+...+cn+p (*)Ako sada unapred izabereme kako mi hoćemo onda na osnovu pretpostavke (2) obzirom da red c-ova konvergira, za to možemo odrediti bar jedno n0=n0()N takvo da za dato važi (*) < Uočena suma cn+1+cn+2+...+cn+p je Košijev odsečak na red c-ova, pa na osnovu konvergencije, on se može učiniti proizvoljno malim. Na osnovu dokazanog niza nejednakosti i na početku pominjanog Košijevog kriterijuma sleduje ravnomerna konvergencija posmatranog reda.Definicija apsolutne konvergencije redova

Pretpostavimo da je dat red: (akR, k)

(a) Ako dati red -konvergira onda za polazni red kažemo da je apsolutno konvergentan.

(b) Ako konvergira, divergira tada mi za dati red kažemo da je obično ili ne apsolutno

konvergentan.T.1. (teorema o odnosu obične i apsolutne konvergencije)(a) Ako je neki red apsolutno konvergentan, tada je on i obično konvergentan, tj. aps. obično(b) Obrnuta implikacija ne važi!Dokaz:an+1+an+2+...+an+p ≤ an+1 + an+2 +...+ an+p < Košijev odsečak Što možemo učiniti proizvoljno malim ako pN, n ≥ n0()... (što ide u Košijevu teoremu za odsečak)(b) Razmotrimo sledeći red:

konvergira po Lajbnicovom kriterijumu (1/k 0, konstantno opadajući)

= = +∞

Znači red je sam za sebe konvergentan ali apsolutno divergira. Zaključujemo da apsolutna konvergencija važi za sabirke ali samo za konačno mnogo sabiraka (ne važi za ∞ mnogo sabiraka). Algebarske operacije ne zadržavaju svoje svojstvo asocijativnosti, distributivnosti, komutativnosti kada je u pitanju ∞ mnogo sabiraka (bitno za analizu).Nasuprot ovome u teoriji redova i u praksi sa redovima, pojavljuje se često potreba da sabirke permutujemo uzajamno, komutujemo (susedne sabirke) itd. Da bi se konvergencija zadržala i uslučaju ∞ mnogo sabiraka treba uvesti novi pojam apsolutne konvergencije. Naime može se dokazati da važi sledeće tvrđenje.T.2. (teorema o permutabilnosti sabiraka redova)

Razmotrimo red gde su ak proizvoljni realni brojevi, i ovom redu pridružimo novi red

gde k(i) označava bilo koju permutaciju p skupa N na N, P:N→N (permutacija nekog skupa na samog sebe jeste svako preslikavanje toga skupa na isti taj skup, gde je to preslikavanje 1-1 i „na”):k 1 2 3 4 5 ... nk0 3 6 10 12 5 ... aki=a3+a6+a10+a12+a5

Ako dati red apsolutno konvergira, onda konvergira i red koji nastaje bilo kojom permutacijom datoga reda.

Nekoliko teorema za uniformne konvergentne redove


T.1. (teorema o prolasku limesa)Pretpostavimo da je dat red uk(x) i neka je ovaj red uniformno konverg. na nekom skupu D (=DR) gde int D x0 int D Tada važi sledeća jednakost:

T.2. (neprekidnost f-je sume)Pretpostavimo da važe sve pretpostavke kao i u (T.1). Uzmimo takođe da je f-ja (*) S(x)= uk(x), xint D.Ako su f-je ukC (int D) (kN) tada sleduje da je i SC(int D).Kod uniformno konvergentnih redova neprekidnost sabiraka obezbeđuje neprekidnost f-je sume.Važno: (*) f-ja može da se pridruži samo redu koji konvergira (pa prvo ispitamo konvergenciju reda, pa tek onda radimo dalje)T.3. (Diferenciranje reda član po član)Pretpostavimo da je dat red uk(x), xD, =DR, int D0. Pretpostavimo da ovaj red konvergira uniformno na skupu D. Pretpostavimo da važe i sledeće dve pretpostavke:(1) uk′(x), x int D(2) Pretpostavimo da uk′(x) konvergira x int DTada važi sledeća jednakost: (uk(x))′ = uk′(x), x int DDrugim rečima, ako je S(x)= uk(x), xint D tada je S′(x) = uk′(x), xint D.T.4. (teorema o integraciji član po član) ( () = ( ) )Pretpostavimo da je dat red uk(x), xD, int D0. Pretpostavimo da važe sledeće dve pretpostavke:(1) Red konvergira uniformno(2) F-je uk(x) su Riman integrabilne na svakom zatvorenom segmentu konačne dužine a, bD.

Tada važi sledeća jednakost:

Potencijalni redoviD.1. (definicija stepenog reda)Red oblika ak xk ili ak(x-a)k se naziva potencijalni ili stepeni red ak (xR).Svaki od ovih redova se jednostavnom transformacijom prevodi u dva preostala reda.primer: x-a=y ak yk

T.1.ak xk → pretpostavimo da taj red konv. x= x0 .Tada ovaj red konv. za x koje je: x ≤ x0.Drugim rečima pod navedenim pretpostavkama posmatrani red konvergira u intervalu -(x0), +(x0)Dokaz:

xR, x ≤ x0,

ak xk ≡ ≤ ak (x0)k ≡ ak x0k gde ovaj red konvergira pa i početni red konv.

Čak ovim postupkom dodavanja modula umesto ak dobijamo dokaz jačeg iskaza koji glasi: Ako posmatrani red konvergira u nekoj tački x00 tada isti red konvergira i za x -x0, +x0 i to u smislu apsolutne konvergencije.D.2. (Poluprečnik konvergencije):Broj RR definisan sa R=sup x0 gde su x0 takve tačke da red akx0k konvergira (i gde se posmatrani supremum uzima upravo preko svih takvih tačaka) naziva se puluprečnik konv. ili radijus konvergencije stepenog reda ak xk

T.2. (Cauchy-Hadamardov stav)


Pretpostavimo da je dat red akxk gde su ak realni ili kompleksni brojevi i pretpostavimo da je

tada je R=1/r gde je = stavljeno iz razloga što mogu nastupiti sledeći slučajevi:

(a) r=+, R=0(b) 0<r<+, R=1/r(c) r=0, R=+T.3. (teorema o svojstvima stepenih redova)Pretpostavimo da je dat stepeni red akxk i pretpostavimo u smislu prethodne def. poluprečnik ovoga reda R tada važe sledeća najvažnija na svetu pravila:(a) Posmatrani red apsolutno i uniformno konvergira za x (-R, +R), pri tome se ponačanje ovoga reda u tačkama ±R konvergencija ovim iskazom ne obuhvata i mora se zasebno ispitati(b) U intervalu (-R,+R) postoji f-ja tj. f(x)=akxk i ova f-ja prema ranijim teoremama jeste neprekidna, integrabilna, beskonačno mnogo puta diferencijabilna.

(c) Tada važi da je za k

(d) Pri tome redovi akxk i imaju identičnu sumu, što znači: Ako datu f-ju razvijemo u

Maklorenov red do stepena n=∞, tada je red jedini mogući red koji datu f-ju

predstavlja u obliku stepenog reda.Sve prethodno rečeno može se formulisati na sledeći način: Beskonačno diferencijabilna f-ja f se može na jedan jedini način razviti u stepeni red, i taj red jeste Maklorenov red.

Diferencijalne jednačineD.1. (obična diferencijalna j-na)Pretpostavimo da je data izvesna f-ja f:Rn+2→R koja zavisi od n+2 argumenta. Neka načelno y:R→R diferencijabilnu dovoljan broj puta (ova f-ja ima sve izvode do zaključno npr. n-toga reda) i neka ova f-ja zavisi od argumenta x, xR (y=y′(x)). Tada se izraz oblika (*) F(x, y, y′, y″,..,y (n))=0 naziva obična diferencijalna j-na n-tog reda. Ovde se podrazumeva da je y izvesna nepoznata f-ja koja

zadovoljava ovu relaciju (*) gde se takođe podrazumeva da y(k)=y(k)(x) = (k=1,2,...,n). Pri

tome se uvodi dodatna konvencija da je y=y(x) ustvari D-ti izvod f-je y y(x)=y(D)(x) =

D. 2. (rešenje)Kod diferencijalnih j-na razlikujemo dve vrste rešenja:(a) opšte rešenje prema Košiju svaka f-ja oblika y=y(x, c1, c2, ...,cn) gde su c1, c2, ..., cn = constR proizvoljne realne konstante naziva se opšte rešenje diferencijalne j-ne (*) ukoliko posle zamene ove f-je u relaciju (*) ova relacija postaje identitet, ali bez obzira na vrednost konstanti c1, ... cn

(b) svako drugo rešenje različito od opšteg rešenja naziva se partikularno rešenje.Klase diferencijalnih jednačina

I jednačina koja razdvaja promenljiveTa j-na jeste oblika y′=f(x)g(y) gde je x nezavisno promenljiva, y nepoznata f-ja koja zavisi od x i gde su f i g dve date f-je jednog argumenta. Rešavanje se sprovodi na sledeći način:

(1) | : g(y) 0

|

F(x)=F(y)+C y=G-1(F(x)+C)


(2) g(y)=0

y′=0 y=CII homogena j-naHomogena j-na jeste j-na sledeće forme y′=F(y/x) gde je x nezavisno promenljiva, y zavisi od x je nepoznata f-ja, F je data f-ja.Rešavanje: J-na se rešava sledećom smenom:1) y/x=t=t(x), gde je t nova nepoznata f-ja koju ćemo prvo odrediti kolika je, a potom i nepoznatu f-ju y iz relacije y=x.t / (d/dx)

y’=t+x.t’ ,

t+x.t’=F(t) x.t’=F(t)-t

/: F(t)-t0

Odavde odredimo koliko je t=t(x). Zamenom u relaciju y=x.t dobijamo yu zavisnosti od x i očigledno jedne proizvoljne konstante.

2) Neka je f(t)=t tada se polazna jednačina svodi na sledeću , a ova očigledno razdvaja

promenljive.III j-na koja se svodi na homogenu j-nu

gde je y=y(x) nepoznata f-ja argumenta x, gde su ai , bi i ci date konstante i

gde je F data f-ja F:R→R. Metoda rešavanja se svodi na zamenu i nezavisno promenljive x i nepoznate f-je y. Smene su sledeće: x=u+α, y=v+β, gde je u nova nezavisna promenljiva, v je nova nepoznata f-ja koja zavisi od u v=v(u), a α i β su realne konstante koje ćemo odrediti u postupku rešavanja.

dx=du, dy=dv

izaberimo α i β tako da bude a1α+b1β= - c1 i a2α+b2β = - c2

,

(a) Važi sledeća tzv. Fredhoumova alternativa Posmatrajmo linearan kvadratni sistem j-na sa u nepoznatih. Neka D0 označava determinantu sistema mada važi jedan i samo jedan od sledeća dva slučaja 1) ili je determinanta sistema D00 (tada posmatramo sistem od n x n)2) ili je D0=0 (tada korespodentan homogen sistem ima , i to beskonačno mnogo, rešenja)Neka je 1) D00 (D0 označava determinantu sistema) prema Fretholmovoj alternativi. Sada postoji jedinstveno α i β rešenje uočenog sistema j-na za koje ćemo pretpostaviti da je određeno. Zamenom baš tog α i β mi dobijamo.

dalje postupak ide kao u slučaju (1)

2) D0=0 a1b2 - a2b1 = 0 k=const R


a1=ka2 i b1=kb2

j-na se dalje rešava smenom → nova nepoznata f-ja z=z(u) se uvodi uz smenu z=a2u+b2v dz=a2du+b2dv :du

z′=a2+b2v′

z′=b2G(z)+a2 → razdvajanje promenljivihIV Linearna diferencijalna j-na I redaOva j-na jeste j-na oblika y′+P(x)y=Q(x), gde je y=y(x) nepoznata f-ja a P-P(x) i Q=Q(x) date f-jeRešavanje: Jedan od metoda rešavanja jeste sledeći:

y′+P(x)y=Q(x) .

y. +P.y =Q.

Sada se lako može pokazati da se dobijeni izraz svodi na prvi izvod jedne posebno odabrane funkcije. Drugim rečima, kompariraćemo poslednji izraz sa izrazom:

(y. )′=y′. +y .P (y )′=Q

y = C+ Q dx

y= (C+ Q dx)

V Bernulijeva jednačina (Bernoulli)Ova jednačina je oblika (*) y′+Py=Qyα, gde su P=P(x), Q=Q(x) date funkcije, a α=const R(a) α=0, j-na se svodi na linearnu i j-na se smatra rešivom(b) α=1, opet se svodi na linearnu i to iz sledećih razloga:

y′+( P(x)- Q(x))y=0 y’+ P1(x)y= Q1(x); P1(x)= P(x)- Q(x), Q1(x)=0(c) α0 α1 (αR), rešenje dobijamo na sledeći način:

y′+Py=Qyα :yα

smena : y1-α=z =z(x) nova nepoznata funkcija, tako da je(1-α)y-α y′=z′

z′+P1(x) z = Q1 (x); P1(x)=(1-α).P(x), Q1(x)=(1-α).Q(x)Poslednja jednačina je linearna diferencijalna jednačina čije je rešavanje veće poznato.

Jednačine viših redovaJ-na oblika y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+...+an(x)y=F(x). Funkcije a1, a2,...,an i F date f-je, a y nepoznata f-ja. Ovde je nN se naziva red jednačina. F-je ak=ak(x), k=1,2,...,n se nazivaju koeficijenti j-na, a f-ja F se naziva ne homogeni deo te j-ne. Ova diferencijalna j-na se naziva linearna diferencijalan j-na n-toga reda. Izraz na levoj strani se kratko označava na sledeći način: L(y)= y (n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-

2)+...+an(x)y. Preslikavanje L zadovoljava sledeća dva uslova:


(a) L(y1+y2)=L(y1)+L(y2) - svojstvo aditivnosti.(b) cR, y=y(x), L(c.y)=c.L(y) - svojstvo homogenostiAditivan i homogen operator je linearan operator, pa je stoga L tako|e linearan operator.T.1.(a) Ako su y1, y2 bilo koja dva rešenja j-ne L(y) ≡ 0 ako su c1 i c2 R proizvoljne const onda je i f-ja y=c1y1+c2y2 rešenje iste j-ne L(y)=0(b) Neka je y=y(x) rešenje j-ne L(y)=0 i neka je još yp=yp(x) rešenje j-ne L(y)=F, gde je F data f-ja od x. Tada je f-ja y=y+yp takođe rešenje j-ne L(y)=F.Dokaz:(a) L(y)=L(c1y1+c2y2)=c1L(y1)+c2L(y2)=c1

.0+c2.0=0

(b) L(y)=L(y+yp)=L(y)+L(yp)=L(yp)=FZaključak: Pretpostavimo da je data linearna diferencijalna j-na n-toga reda. L(y)=F (nN). Pretpostavimo da su f-je y1, y2, ..., yn rešenja L(y)=0. I neka je još yp rešenje L(y)=F. Tada je f-ja

y=c1y1+c2y2+..+cnyn + yp=yp+ , gde su c1,...,cn proizvoljno birane const takođe rešenje j-ne

L(y)=F. Na osnovu Košijeve def. opšteg rešenja da bismo odredili opšte rešenje potrebno je odrediti f-ju y takvu da zadovoljava uslove:1) f-ja y zadovoljava datu j-nu (zamenom je svodi na identitet)2) f-ja y zavisi od n-proizvoljnih const, pri čemu je i onaj prirodan broj koji je red jednačine.Prema ovoj def. i na osnovu našeg zaključka linearna diferencijalna j-na n-tog reda oblika L(y)=F

ima opšte forme y= yp+ , gde su c1,...,cn proizvoljno birane const , y1, y2, ..., yn rešenja

L(y)=0 i gde je yp bilo koje rešenje j-ne L(y)=F.D.1. (homogena – ne homogena j-na)Pretpostavimo da je data linearna diferencijalna j-na n-toga reda L(y)=F(a) Ako je F(x)≡0 za xDR tada se j-na naziva homogena j-na(b) Ako nije ispunjen uslov (a) tada se j-na naziva ne homogena j-na(c) Ako je data ne homogena j-na, pa ovoj j-ni pridružimo novu j-nu L(y)=0, zadržavajući levu stranu identično, tada se ova nova j-na naziva korespodentna homogena j-na.D.2. (def. Vronskijeve determinante)Pretpostavimo da su date proizvoljne f-je y1, y2, ..., yn i neka su one definisane i diferencijabilne barem n-1 puta. Tada se determinanta W definisana sa:

naziva se Vronskijeva determinanta n-tog reda.D.3. (fundamentalan sistem rešenja)Pretpostavimo da je data linearna diferencijalna j-na n-tog reda u formi:(*) L(y) = 0 (homogena)Za f-je y1, y2, ..., yn kažemo da čine fundamentalan sistem rešenja j-ne (*), ako su ispunjeni sledeći uslovi:(a) L(yk)=0, k=1,...,n. Drugim rečima svaka od f-ja yk posmatrana za sebe jeste rešenje homogene j-ne (*).(b) W=W(y1, y2, ..., yn)(x) 0, u domenu DR, gde je D skup tačaka x-ose u kojima je j-na (*) razmatrana, tj. data.


Napomena: Prema ranije istaknutoj Košijevoj def. opšteg rešenja ako f-je y1, y2, ..., yn čine DP

tada je f-ja y= opšte rešenje j-ne (*).

D.4. Pretpostavimo da je data j-na L(y)=F ili L(y)=0.(a) Ako su svi koeficijenti ak=ak(x) jednaki const R (x=1,2,...,n) tada se za j-nu (I ili II) kaže da je to j-na sa const koeficijentima.

primer: y″-5 y′+6 y=e4 x

(b) Ako nije ispunjen uslov (a) tada se data j-na naziva j-na sa funkcionalnim koeficijentima.Određivanje fundamentalnog sistema rešenja za linearnu diferencijabilnu j-nu n-tog reda sa

const koeficijentimaPretpostavimo da je data j-na y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+...+an(x)y=0, gde su a1, a2,..., an dati realni koeficijenti. J-na se rešava sledećom smenom:y=ek x, gde je k nepoznata const.y=ek x ; y′=k ek x ; y″=k2 ek x ; ... y(p)=kpek x (p=0,1,...)knek x+a1kn-1ek x+...+ank0ek x=0 :ek x 0 kn+a1kn-1+...+ank0=0 (*)Iz j-ne (*) sleduje da treba odrediti sve korene k pri čemu iz algebre je poznato da je ova j-na rešiva u opštem slučaju za n=1,2,3,4 za navedene n primenjujemo odgovarajuće formule, a za n≥5 primenjujemo razne heuristike koje reše ili ne reše j-nu.Posebno interesantan slučaj je n=2 na kome se može sagledati čitava teorija i istovremeno klasifikovati tipovi rešenja koji mogu nastati.Razmotrimo j-nu sledeće forme:

y″+p. y′+g y = 0, p, g=const Rformiraćemo odgovarajuću j-nu tipa (*)

k2+p k + g = 0 - ova j-na kao i j-na (*) se naziva karakteristična j-na. D = p2- 4 g - zavisno od znaka D pojavljuju se 3. različita slučaja:(a) D>0, k1, k2 R (k1k2) tada sveukupno dobijamo da slede}e f-je:

y = ek1 x i y=ek2 x čine fundamentalni sistem rešenja

opšte rešenje: (ci R)

(b) D=0, k=k1=k2R, tada se putem Vronskijeve determinante može dokazati da y1=ek x, y2=x ek x

čine fundamentalan sistem rešenja.opšte rešenje:

(v) D<0, k1,2=αi β (α, βR) tada se rastavljanjem f-je ek1 x ili f-je ek2 x na Re i Im deo može dokazati da f-je y1=eα xcos βx i y2=eα xsin βx čine fundamentalan sistem rešenja.opšte rešenje: gde u svim prethodnim formulama c1 i c2 jesu proizvoljne const.

Opšti slučaj linearne j-ne n-toga reda sa const koeficijentimay(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+...+any=0ai = const R; i=1,2,...,nOjlerova smena

y=ek x, k=?kn+a1kn-1+...+an-1k+an=0 - karakteristična jednačinakoreni polinoma kj C (j=1,2,...,n)

Mogu nastupiti sledeći slučajevi što se tiče karakteristične j-ne što diktira i tri slučaja za diferencijalne j-ne.(1) Svi koreni su realni i međusobno različiti (xjR, kjki, ji)Takvim korenima odgovara sledeći fundamentalan sistem rešenja:yj=ekj x


opšte rešenje: y= (c i j su proizvoljne realne const )

(2) Još uvek su sva rešenja realna, ali uzmimo npr. da se neki od korena k i multiplicira, tj. neka je kr

višestruki koren (1≤ r ≤ n)p je višestrukost korena kr. (Ovaj broj p može biti jedan od sledećih brojeva p=2,3,...,n). Opet putem svojstava Vronskijeve determinante možemo dokazati da tom korenu kr višestrukosti p odgovara sledeći skup rešenja: y= , y=x , y=x2 , ..., y=xp-1 p rešenjaPomoću Vronskijeve determinante može se dokazati da ove f-je čine fundamentalan sistem rešenja pa specijalno tom korenu kr odgovara (odgovaraju) sledeći deo u opštem rešenju:

...+c0 +c1 x +c2 x2 +...+cp-1 xp-1 +...tj. mimo ostalih sabiraka u opštem rešenju korenu kr pridružujemo naglašene sabirke, a ostale dopisujemo zavisno od situacije sa ostalim korenima.(3) Dozvolimo sada da koreni budu i kompleksni. Ako je takav slučaj nastupio tada izvestan koren kr, ako je takav onda koren karakteristične j-ne mora biti i . Fiksiramo jedan takav koren, neka je to kr i neka je (kr)1,2=α±i β. Na osnovu ta dva korena možemo formirati sledeći par f-ja:

y1=eα xcos βx; y2=eα xsin βx;Pa se sada specijalno za taj koren u opštem rešenju između ostalih sabiraka mora pojaviti i sledeći par sabiraka:

...+c1eα xcos βx+c2eα xsin βx+...Lagranžova metoda varijacije konstanti Pretpostavimo da je data j-na y″+p y′+g y = F(x) (1), gde su p, g i F f-je od x. Potrebno je odrediti opšte rešenje ove j-ne. Poznato je da j-ni (1) odmah treba pridružiti j-nu y″+p y′+g y = 0 (2) (korespodentna j-na) i podsetimo se još da opšte rešenje ove j-ne ako nam je nekim slučajem poznato mora biti forme:

y=c1y1(x)+c2y2(x) (3)gde su c1, c2 proizvoljne const i gde su y1, y2 f-je koje čine fundamentalan sistem rešenja j-ne (2). Langranžova ideja se sastoji u sledećem Postavlja se pitanje da li je mogućno u formuli (3) proizvoljne const c1 i c2 zameniti f-jama promenljive x i to tako odabrati da linearna kombinacija:

y=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x) ..... (4)postane opšte rešenje j-ne (1). Da li možemo da odredimo ovakve c1 i c2? Može i to na sledeći način:Pretpostavimo da opšte rešenje j-ne (1) ima formu (4), gde su c1(x) i c2(x) za sada nepoznate f-je, a i y1 i y2 su dve f-je koje čine. Mimo toga što c1, c2, y1 i y2 jesu f-je od x mi ćemo ih u ovom tekstu označavati c1, c2, y1 i y2 bez argumenta x i takođe ćemo pretpostaviti da su c1 i c2 bar dva puta diferencijabilne f-je. Da bismo proverili da li (4) jeste bar opšte rešenje, moramo iz relacije (4) odrediti y′ i y″.

y′=c1′y1+c1y1′+c2′y2+c2y2′y″=c1″y1+2c1′y1′+c1y1″+c2″y2+2c2′y2′+c2y2″

smenjivanje c1″y1+2c1′y1′+c1y1″+c2″y2+2c2′y2′+c2y2″+p(c1′y1+c1y1′+c2′y2+c2y2′)+g(c1y1+c2y2)=Fc1(y1″+p y1′+g y1)+c2(y2″+p y2′+g y2)+c1″y1+2c1′y1′+c2″y2+2c2′y2′+p(c1′y1+c2′y2)=F

Obzirom na nastale nule nastale f-je zadovoljavaju sledeći uslov:(*)

Dalje je Langranž pretpostavljao da je f-ja α privremeno uvedena sa:α(x)-c1′y1+c2′y2=0

Pošto je uvedena f-ja α identički jednaka α(x)≡0 onda svakako mora biti α′(x)≡0: α′(x)=c1″y1+c1′y1′+c2″y2+c2′y2′ ≡ 0Sada uočimo u izrazu preostalom posle zamene (*)


Uvodeći pretpostavku α=0 u (*) javlja se nova forma preostale j-ne, a ta forma jeste:c1′y1′+c2′y2′=F

Ovde je kraj izvođenja, smena, transformacija i ostaje samo da sumiramo uvedenu pretpostavku i njenu posledicu zajedno:

pretpostavka: c1′y1+c2y2=0 (L)posledica: c1′y1′+c2′y2′=F

Prethodni izrazi čine sistem (L) u kome je sve poznato (y1, y1′, y2, y2′ i F),a f-je c1′ i c2′ možemo u sistemu (L) shvatiti kao nepoznate veličine. Sistem (L) je 2x2, nehomogen, a determinanta ovog sistema jeste 0 gde znamo da y1, y2 čine fundamentalni sistem rešenja.

, ( D=W(y1, y2) )

U ovakvom slučaju sistem (L) ima i to jedinstveno rešenje po nepoznatim veličinama iz Kramerovih formula. Neka je:

c1′(x)=φ(x), c2′(x)=ψ(x) ∫c1(x)=A+∫ φ(x)dx c2(x)=B+∫ψ(x)dx, A,B const

Dakle svakako jedno od rešenja j-ne (1) je sledeće:

Odmah se vidi da je y i opšte rešenje jednačine (1) jer su Ai B proizvoljne konstante.


D.1. (def. metričkog prostora)..........................................................................................................1T.1. (o ekvivalentnosti metričkih prostora nad konačno dimenyionim prostorima)........................1

Deskriptivna svojstva skupova u metričkom prostoru.........................................................................1D.1. (pojam sfere (kugle) u metričkom prostoru)............................................................................1D.2. (pojam okoline tačke)...............................................................................................................2D.3. (unutrašnja tačka skupa u metričkom prostoru).......................................................................2D.4. (unutrašnjost skupa u metričkom prostoru)..............................................................................2D.5. (def. otvorenog skupa)..............................................................................................................2T.1. (o svojstvima otvorenih skupova).............................................................................................2D.6. (zatvoreni skup)........................................................................................................................2T.2. (svojstva zatvorenih skupova)...................................................................................................2D.7. (rub skupa)................................................................................................................................2D.8. (adherentna tačka)....................................................................................................................3D. (tačke nagomilavanja).................................................................................................................3D.9. (kardinalni broj)........................................................................................................................3D.10. (izvodni skup).........................................................................................................................3D.11. (izolovana tačka skupa)..........................................................................................................3

Konvergentni procesi (nizovi i njihova konvergencija).......................................................................3D.1. (definicija niza).........................................................................................................................3D.2. (konvergentan niz)....................................................................................................................3D.3. (tačka nagomilavanja)..............................................................................................................3D.4. (Košijev niz).............................................................................................................................3D.5. (kompletan metrički prostor)....................................................................................................4

Neprekidna preslikavanja metričkih prostora.......................................................................................4D.6. (granične vrednosti)..................................................................................................................4D. (neprekidna funkcija u tački).......................................................................................................4D. 1. (neprekidnost na skupu)..........................................................................................................4D. 2. (ravnomerna ili uniformna neprekidnost)................................................................................5D.3. (ravnomerna neprekidnost na R)..............................................................................................5T.1. Svaka ravnomerna neprekidna f-ja jeste i neprekidna tačka po tačka u posmatranom domenu...........................................................................................................................................................6D. (kompaktan skup)........................................................................................................................6T.2. (Kantorov stav).........................................................................................................................6

Razmatranje nizova i graničnih procesa u linearnim vektorskim normiranim prostorima..................6T.1.....................................................................................................................................................6T.2. (odnosi se na granične vrednosti f-ja u normiranim prostorima)..............................................7T.3. (o zbiru i razlici neprekidnih funkcija).....................................................................................7T.4. (Hajneov princip)......................................................................................................................7

Banahov stav o nepokretnoj tački i njegova primena...........................................................................7T.1. (o nepokretnoj tački).................................................................................................................8

Pojam supremuma i infinuma i aksioma supremuma i infinuma.......................................................10D. (def. ograničenog skupa)...........................................................................................................10D. (sup, inf)....................................................................................................................................10D. (monoton niz)............................................................................................................................10T. (monoton + ograničen konvergentan)....................................................................................10Lema o umetnutim razmacima.......................................................................................................11T.2. (Boltzano-Weierstrass stav)....................................................................................................11T.3. (potreban i dovoljan uslov za konvergenciju niza- Košijev)..................................................12

Teorija neprekidnih realnih funkcija..................................................................................................13Vajštrasove teoreme o neprekidnim f-jama (Waierstrass).................................................................13

T.1...................................................................................................................................................13


T.2...................................................................................................................................................14T.3...................................................................................................................................................14T.4. (Vajštrasova teorema o međuvrednostima)............................................................................15T.5...................................................................................................................................................15

Diferencijalni račun............................................................................................................................16D. (izvod funkcije (Njutn)).............................................................................................................16D. (jednostrani izvod).....................................................................................................................16

Algebarska svojstva izvoda................................................................................................................16T.1...................................................................................................................................................16D.3. (Leibniz-ova def. diferencijala)..............................................................................................17T.1. (teorema o odnosu izvoda i deferencijala)..............................................................................17Jedno posebno razmatranje diferencijala (Lajbnic)........................................................................18Teorema o odnosu neprekidnih diferencijalih f-ja.........................................................................18

Teoreme: (1) Fermat (2) Rolle (3) Lagrange (4) Cauchy (5) Taylor.................................................19I lema Fermat..................................................................................................................................19D. (lokalni ekstremum)...................................................................................................................19Rolova Teorema.............................................................................................................................19T.3. (Langranžova teorema o srednjoj vrednosti za izvode)..........................................................20Košijeva teorema o srednjoj vrednosti za izvod.............................................................................21Teorema (Lacković).......................................................................................................................21

Tejlorova teorema...............................................................................................................................22T.1. (Tejlorova teorema)................................................................................................................22

ODREĐENI INTEGRAL..................................................................................................................23D.1. (definicija Rimanovog (određenog) integrala).......................................................................23

DARBOUX (Darbova) suma.............................................................................................................23D.....................................................................................................................................................23D. 2. (definicija gornje i donje Dorbove sume)..............................................................................23

Svojstva svih Darbovih suma.............................................................................................................23Kriterijum integrabilnosti realnih f-ja................................................................................................25

T.1. (kriterijum)..............................................................................................................................25T.2. (neprekidne f-je)......................................................................................................................25T.3. (prekid I vrste).........................................................................................................................26T.4. (monotone f-je).......................................................................................................................26

Osnovna svojstva određenih integrala................................................................................................26Neodređeni integral............................................................................................................................27

D. 1. (primitivne funkcije).............................................................................................................27T. (Njutn-Lajbnicov stav, iskaz osnovnog stava integracionog i diferencijalnog računa).............27

Dokaz Njutn-Lajbnicovog stava se razlaže na nekoliko teorema:.....................................................27T.1...................................................................................................................................................27T.2...................................................................................................................................................28T.3. (diferencijabilnost f-je gornje granice)...................................................................................28

Teorija beskonačnih redova...............................................................................................................29D.1. (red)........................................................................................................................................29D.2. (Košijeva definicija konvergentnog reda)..............................................................................29T.1. (Košijev potreban i dovoljan uslov za konvergenciju reda)...................................................30T.2. (Potreban i dovoljan uslov).....................................................................................................30

Tipovi redova.....................................................................................................................................30Redovi za pozitivnim članovima........................................................................................................30

D.1..................................................................................................................................................30T.1. (potreban i dovoljan uslov).....................................................................................................30

Dovoljni uslovi za konvergenciju redova sa pozitivnim članovima..................................................30T.2. (I Uporedni kriterijum) najelementarniji..............................................................................31


T.3. (II Uporedni kriterijum)..........................................................................................................31T.4. (III Uporedni kriterijum).........................................................................................................31

Kriterijumi: (za redove sa pozitivnim članovima).............................................................................32T.1. (D′Alambert)...........................................................................................................................32Dokaz T.1.......................................................................................................................................33T.2. (Košijev koreni kriterijum za konvergenciju).........................................................................33Dokaz T.2.......................................................................................................................................34T.3. (Gausov kriterijum).................................................................................................................34T.4. (Cauchy-ev integralni kriterijum)...........................................................................................34

Alternativni redovi............................................................................................................................35D.1..................................................................................................................................................35I Lajbnicov kriterijum za alternativne redove...............................................................................35

Redovi sa proizvoljnim znacima.......................................................................................................36Abelov i Dirihleov kriterijum........................................................................................................36T.1. Abelov stav.............................................................................................................................36T.2. Dirihleov stav..........................................................................................................................36

Teorija funkcionalnih redova..............................................................................................................36Definicija konvergentnog reda i sume reda........................................................................................36

D.1..................................................................................................................................................36D. 1′................................................................................................................................................37D. 2. (ravnomerno konvergentni funkcionalni red)........................................................................37T.1. (odnos D. 1 i 1′ i 2).................................................................................................................37T.2. (Vajštrasov kriterijum za konv. ravnomerno konv. reda).......................................................37Definicija apsolutne konvergencije redova....................................................................................38T.1. (teorema o odnosu obične i apsolutne konvergencije)...........................................................38T.2. (teorema o permutabilnosti sabiraka redova)..........................................................................38

Nekoliko teorema za uniformne konvergentne redove......................................................................39T.1. (teorema o prolasku limesa)...................................................................................................39T.2. (neprekidnost f-je sume).........................................................................................................39T.3. (Diferenciranje reda član po član)...........................................................................................39T.4. (teorema o integraciji član po član) ( () = ( ) )..............................................................39

Potencijalni redovi.............................................................................................................................39D.1. (definicija stepenog reda).......................................................................................................39T.1...................................................................................................................................................39D.2. (Poluprečnik konvergencije):.................................................................................................40T.2. (Cauchy-Hadamardov stav)....................................................................................................40T.3. (teorema o svojstvima stepenih redova)................................................................................40

Diferencijalne jednačine.....................................................................................................................40D.1. (obična diferencijalna j-na).....................................................................................................40D. 2. (rešenje).................................................................................................................................40

Klase diferencijalnih jednačina..........................................................................................................40I jednačina koja razdvaja promenljive...........................................................................................40II homogena j-na...........................................................................................................................41III j-na koja se svodi na homogenu j-nu........................................................................................41IV Linearna diferencijalna j-na I reda............................................................................................42V Bernulijeva jednačina (Bernoulli)............................................................................................42

Jednačine viših redova........................................................................................................................43T.1...................................................................................................................................................43D.1. (homogena – ne homogena j-na)...........................................................................................43D.2. (def. Vronskijeve determinante).............................................................................................43D.3. (fundamentalan sistem rešenja)..............................................................................................44D.4..................................................................................................................................................44


Određivanje fundamentalnog sistema rešenja za linearnu diferencijabilnu j-nu n-tog reda sa const koeficijentima.....................................................................................................................................44Opšti slučaj linearne j-ne n-toga reda sa const koeficijentima..........................................................45

Ojlerova smena...............................................................................................................................45Lagranžova metoda varijacije konstanti.........................................................................................45


matematika 2 - analiza

Documents