matematika 1 { fiziqka hemija - home page...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/1.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
UNIVERZITET U BEOGRADU
MATEMATIQKI FAKULTET
Matematika 1 { fiziqka hemijaAnalitiqka geometrija u prostoru
Tijana Xukilovi�
6. novembar 2016
![Page 2: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/2.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Implicitna jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada inormalnim vektorom ravni # «nα.
M(x, y, z) ∈ α =⇒ # «
AM ⊥ # «nα
0 = # «nα ◦# «
AM
= (a, b, c) ◦ (x− x0, y − y0, z − z0)= a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)= ax+ by + cz−ax0 − by0 − cz0︸ ︷︷ ︸
d
α
A
M
# «nα
Slika 1: Implicitnajednaqina ravni
![Page 3: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/3.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Implicitna jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada inormalnim vektorom ravni # «nα.
M(x, y, z) ∈ α =⇒ # «
AM ⊥ # «nα
0 = # «nα ◦# «
AM
= (a, b, c) ◦ (x− x0, y − y0, z − z0)= a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)= ax+ by + cz−ax0 − by0 − cz0︸ ︷︷ ︸
d
α
A
M
# «nα
Slika 1: Implicitnajednaqina ravni
![Page 4: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/4.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Normalizovana jednaqina ravni
Imlicitna jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, # «nα = (a, b, c)
Normalizovana jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, | # «nα|2 = a2 + b2 + c2 = 1
![Page 5: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/5.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Normalizovana jednaqina ravni
Imlicitna jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, # «nα = (a, b, c)
Normalizovana jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, | # «nα|2 = a2 + b2 + c2 = 1
![Page 6: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/6.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan z = 0
![Page 7: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/7.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan z − 4 = 0
![Page 8: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/8.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan x = 0
![Page 9: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/9.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan y = 0
![Page 10: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/10.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primer { skicirati ravan
x
y
z
A(6, 0, 0)
B(0, 3, 0)C(0, 0, 2)
x+ 2y + 3z − 6 = 0
Slika 3: Ravan x+ 2y + 3z − 6 = 0
![Page 11: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/11.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primer { skicirati ravan
x
y
z
A(5, 0, 0)
B(
0, 52 , 0)
x+ 2y − 5 = 0
Slika 3: Ravan x+ 2y − 5 = 0
![Page 12: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/12.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Parametarska jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada idva vektora #«v , #«u paralelna α.
M(t, s) = M = A+ t #«v + s #«w, t, s ∈ R
Parametarska jednaqina ravni:
x = x0 + tvx + swx,
y = y0 + tvy + swy,
z = z0 + tvz + swz, t, s ∈ R
α
A
M
t #«v
s #«w
#«v
#«w
α
Slika 4: Parametarskajednaqina ravni
![Page 13: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/13.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Parametarska jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada idva vektora #«v , #«u paralelna α.
M(t, s) = M = A+ t #«v + s #«w, t, s ∈ R
Parametarska jednaqina ravni:
x = x0 + tvx + swx,
y = y0 + tvy + swy,
z = z0 + tvz + swz, t, s ∈ R
α
A
M
t #«v
s #«w
#«v
#«w
α
Slika 4: Parametarskajednaqina ravni
![Page 14: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/14.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Parametarska jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada idva vektora #«v , #«u paralelna α.
M(t, s) = M = A+ t #«v + s #«w, t, s ∈ R
Parametarska jednaqina ravni:
x = x0 + tvx + swx,
y = y0 + tvy + swy,
z = z0 + tvz + swz, t, s ∈ R
α
A
M
t #«v
s #«w
#«v
#«w
α
Slika 4: Parametarskajednaqina ravni
![Page 15: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/15.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Prelazak iz jednog oblika ravni u drugi
Parametarski −→ implicitni:
# «nα = #«v × #«w = (a, b, c)d = −ax0 − by0 − cz0 = − # «nα ◦
# «
OA
Implicitni −→ parametarski:
#«v ⊥ # «nα { proizvoan#«w = # «nα × #«v
a 6= 0 : A(−da, 0, 0
)
![Page 16: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/16.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Prelazak iz jednog oblika ravni u drugi
Parametarski −→ implicitni:
# «nα = #«v × #«w = (a, b, c)d = −ax0 − by0 − cz0 = − # «nα ◦
# «
OA
Implicitni −→ parametarski:
#«v ⊥ # «nα { proizvoan#«w = # «nα × #«v
a 6= 0 : A(−da, 0, 0
)
![Page 17: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/17.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Parametarska jednaqina prave
Prava u prostoru se zadaje taqkom P (x0, y0, z0) i nenulavektorom pravca #«p (px, py, pz):
M(t) = M = P + t #«p , t ∈ R.
Parametarska jednaqina prave:
x = x0 + tpx,
y = y0 + tpy,
z = z0 + tpz, t ∈ R.
Kanonska jednaqina prave:
x− x0px
= y − y0py
= z − z0pz
.
![Page 18: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/18.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Parametarska jednaqina prave
Prava u prostoru se zadaje taqkom P (x0, y0, z0) i nenulavektorom pravca #«p (px, py, pz):
M(t) = M = P + t #«p , t ∈ R.
Parametarska jednaqina prave:
x = x0 + tpx,
y = y0 + tpy,
z = z0 + tpz, t ∈ R.
Kanonska jednaqina prave:
x− x0px
= y − y0py
= z − z0pz
.
![Page 19: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/19.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Parametarska jednaqina prave
Prava u prostoru se zadaje taqkom P (x0, y0, z0) i nenulavektorom pravca #«p (px, py, pz):
M(t) = M = P + t #«p , t ∈ R.
Parametarska jednaqina prave:
x = x0 + tpx,
y = y0 + tpy,
z = z0 + tpz, t ∈ R.
Kanonska jednaqina prave:
x− x0px
= y − y0py
= z − z0pz
.
![Page 20: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/20.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Prava kao presek dve ravni
α : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0β : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
}=⇒ #«p = # «nα × # «nβ
α
p
β
# «nα
# «nβ#«p
Slika 5: Prava kao presek dve ravni
![Page 21: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/21.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
Primer 1
Pravu p : x− y − 1 = 0, z − 2x = 0 zapisati parametarski.
Primer 2
Pravu p : x = t+ 4, y = −2t+ 1, z = 3t− 2, t ∈ R zapisatikao presek dve ravni.
Primer 3
Odrediti jednaqinu prave koja sadr�i taqke A(1, 2, 3) iB(3, 2, 1).
![Page 22: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/22.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Pramen ravni
Teorema 1.1
Skup svih ravni koje sadr�e pravu p = α ∩ β je datjednaqinom:
γ : λ1(a1x+ b1y + c1z + d1) + λ2(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0,
za λ1, λ2 ∈ R.
Primer 4
Odrediti jednaqinu ravni koja sadr�i taqku M(1, 4,−2) ipravu p : x− y − 1 = 0, z − 2x = 0.
![Page 23: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/23.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Pramen ravni
Teorema 1.1
Skup svih ravni koje sadr�e pravu p = α ∩ β je datjednaqinom:
γ : λ1(a1x+ b1y + c1z + d1) + λ2(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0,
za λ1, λ2 ∈ R.
Primer 4
Odrediti jednaqinu ravni koja sadr�i taqku M(1, 4,−2) ipravu p : x− y − 1 = 0, z − 2x = 0.
![Page 24: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/24.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji dve prave
P
Q
#«p
#«q
p ≡ q
Slika 6: Prave koje se poklapaju
#«p #«q# «
PQ
kolinearni
![Page 25: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/25.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
Q
q
#«p
#«q
Slika 6: Paralelne prave
#«p #«q
kolinearni
# «
PQ
nekolinearan
![Page 26: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/26.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
M
Q
q
#«p #«q
Slika 6: Prave koje se seku
#«p #«q
nekolinearni
# «
PQ
![Page 27: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/27.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
M
Q
q
#«p #«q
Slika 6: Prave koje se seku
#«p #«q# «
PQ
koplanarni
![Page 28: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/28.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
Q
q
#«p#«q
Slika 6: Mimoilazne prave
#«p #«q# «
PQ
nekoplanarni
![Page 29: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/29.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primer 5
Odrediti me�usobni polo�aj pravih:
(a) p : x− 21 = y − 19
5 = z − 21 , q : x− 1
2 = y
3 = z + 24 ;
(b) p : x− 21 = y − 2
0 = z − 2−1 , q : 2x = y, 3x = z;
(v) p : x− 21 = y − 2
0 = z − 2−1 , q : x− 1
1 = y − 20 = z − 3
−1 ;
(g) p : x− 21 = y − 2
0 = z − 2−1 , q : x+ 1
−2 = y − 20 = z + 7
2 .
![Page 30: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/30.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Mimoilazne prave
Teorema 2.1
Mimoilazne prave p i q imaju jedinstvenu zajedniqkunormalu, tj. pravu koja seqe obe prave i normalna je na �ih.
α
γ
N
M
n
Pp
β
p1
q
Slika 7: Mimoilazne prave
![Page 31: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/31.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
A
A1
B
D C
B1
C1D1
M
NS
p
p1
n
q
Slika 8: Kocka
Primer 6
Dijagonale naspramnih posni kocke su mimoilazne prave,a �ihova zajedniqka normala je odre�ena sredixtima tihdijagonala.
![Page 32: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/32.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji prave i ravni
Prava p i ravan α mogu da:
se seku;
budu paralelne;
prava pripada ravni.
Primer 7
Odrediti me�usobni polo�aj prave p : x+ 4−3 = y
1 = z − 11 i
ravni α : x− 2y + 5z − 1 = 0.
Primer 8
Odrediti taqku prodora prave p : x+ 13 = y + 3
2 = z − 5−4
kroz ravan α : 3x+ y + 5z − 7 = 0.
![Page 33: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/33.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji prave i ravni
Prava p i ravan α mogu da:
se seku;
budu paralelne;
prava pripada ravni.
Primer 7
Odrediti me�usobni polo�aj prave p : x+ 4−3 = y
1 = z − 11 i
ravni α : x− 2y + 5z − 1 = 0.
Primer 8
Odrediti taqku prodora prave p : x+ 13 = y + 3
2 = z − 5−4
kroz ravan α : 3x+ y + 5z − 7 = 0.
![Page 34: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/34.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Me�usobni polo�aji prave i ravni
Prava p i ravan α mogu da:
se seku;
budu paralelne;
prava pripada ravni.
Primer 7
Odrediti me�usobni polo�aj prave p : x+ 4−3 = y
1 = z − 11 i
ravni α : x− 2y + 5z − 1 = 0.
Primer 8
Odrediti taqku prodora prave p : x+ 13 = y + 3
2 = z − 5−4
kroz ravan α : 3x+ y + 5z − 7 = 0.
![Page 35: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/35.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Rastoja�e taqke od prave/ravni
Teorema 3.1
Rastoja�e taqke M od prave p zadate taqkom P i vektorompravca P dato je formulom:
d = |#«p × # «
PM || #«p |
.
Teorema 3.2
Rastoja�e taqke M(x0, y0, z0) od ravniα : ax+ by + cz + d = 0 dato je formulom:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
.
![Page 36: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/36.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Rastoja�e taqke od prave/ravni
Teorema 3.1
Rastoja�e taqke M od prave p zadate taqkom P i vektorompravca P dato je formulom:
d = |#«p × # «
PM || #«p |
.
Teorema 3.2
Rastoja�e taqke M(x0, y0, z0) od ravniα : ax+ by + cz + d = 0 dato je formulom:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
.
![Page 37: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/37.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
Primer 9
Odrediti rastoja�e taqke M(1, 0, 12) od:a) Prave p : x− y − 1 = 0, z − 2x = 0;b) Ravni α : x− y − 4z = 0.
![Page 38: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/38.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih
Teorema 3.3
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih p i q dato jeformulom:
d = |[#«p , #«q ,
# «
PQ]|| #«p × #«q |
.
Primer 10
Odrediti zajedniqku normalnu i rastoja�e izme�umimoilaznih pravih
p : x− 63 = y − 5
4 = z
0 ,
q : x+ 14 = y − 4
−3 = z − 15−5 .
![Page 39: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/39.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih
Teorema 3.3
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih p i q dato jeformulom:
d = |[#«p , #«q ,
# «
PQ]|| #«p × #«q |
.
Primer 10
Odrediti zajedniqku normalnu i rastoja�e izme�umimoilaznih pravih
p : x− 63 = y − 5
4 = z
0 ,
q : x+ 14 = y − 4
−3 = z − 15−5 .
![Page 40: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/40.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Uglovi izme�u pravih i ravni
Ugao izme�u pravih p i q je oxtar ugao izme�u �ihovihnormalnih vektora/vektora pravca.
∠(p, q) = oxtar∠( #«p , #«q ) = arccos |#«p ◦ #«q || #«p | · | #«q |
= oxtar∠( # «np,# «nq) = arccos |
# «np ◦ # «nq|| # «np| · | # «nq|
O
p
q
#«p
#«q
# «np# «nq
Slika 9: Ugao izme�u dve prave
![Page 41: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/41.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Uglovi izme�u pravih i ravni
Ugao izme�u ravni α i β je oxtar ugao izme�u pravih ai b.
∠(α, β) = arccos |# «nα ◦ # «nβ|| # «nα| · | # «nβ|
α
β
pa
b
γ
Slika 10: Ugao izme�u dve ravni
![Page 42: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/42.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Uglovi izme�u pravih i ravni
Ugao izme�u prave p i ravni α je ugao izme�u prave p i�ene normalne projekcije p′ na ravan α.
∠(p, α) = π
2 − arccos |#«p ◦ # «nα|| #«p | · | # «nα|
α
P
p
# «nα#«p
p′
π
2
Slika 11: Ugao izme�u prave i ravni
![Page 43: Matematika 1 { fiziqka hemija - Home page …poincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/matematika1/slajdovi/analiticka... · Ravan αje odre ena taqkom A(x 0,y 0,z 0) koja joj pripada i normalnim](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051321/5bbd398309d3f21a528d0ca1/html5/thumbnails/43.jpg)
Ravan i prava u postoru Me�usobni polo�aji pravih i ravni Rastoja�a i uglovi u postoru
Primeri
Primer 11
Odrediti taqku prodora prave p : x+ 13 = y + 3
2 = z − 5−4
kroz ravan α : 3x+ y + 5z − 7 = 0.
Koliki ugao prava p zaklapa sa ravni α?