Matematik og arkitektur

Jesus bruger en passer til at genopføre skabelsen af Universet fra dets oprindelige kaotiske formløse tilstand. Billedet stammer fra 'Skaberen': Bible moralisée, Frankrig ca. 1250. Bodleian Library, Ox-ford.

Baggrundsmateriale til AT-1 uge 39, 2008

Foreløbige noter ved Bjørn Felsager og Brian Olesen Haslev Gymnasium og HF

1

1. Euklids elementer Den Vesteuropæiske kultur bygger på to hovedværker: Biblen og Euklids ele-menter. Næst efter biblen er Euklids elementer det værk, der er udkommet i flest oplag. I over 2000 år har Euklids elementer udgjort idealstandarden ikke blot inden for matematik, men også inden for videnskab og filosofi: Elementer-ne var det fuldkomne værk som viste vejen til at samle og præsentere sikker viden. Euklids elementer har også været brugt som standardlærebog indenfor geometri i over 2000 år; Så alle, der har haft en højere uddannelse, har måttet prøve kræfter med Euklid; Og selvom ikke alle er sluppet lige heldigt igennem den, har Euklids elementer derfor udøvet en enestående indflydelse på vores opfattelse af former. Det er således ikke muligt at nå en dybtgående forståelse af den Vesteuropæiske kultur uden i det mindste at have et rudimentært kend-skab til Euklids elementer.

Undervisning i geometri. Fra en middelalderudgave af Euklids elementer (1310)

2

Luca Pacioli med elev Maleriet fra 1495 tilskrives traditionelt Jacopo de Barari (1440-1515): Capodi-monte museet i Napoli, Italien. Luca Pacioli demonstrerer en sætning af Euklid. På bordet ses en model af et dodekaeder (regulært polyeder om-kranset af 12 regulære femkanter). I luften hænger et gennemsigtigt semi-regulært polyeder halvt fyldt med vand. Det vides ikke med sikkerhed hvem eleven forestiller. Luca Pacioli (1445-1514) var franciskanermunk og matematiker. I dag er han mest kendt for sit samarbejde med Leonardo Da Vinci, der illustrerede hans bog om De guddommelige snit, hvor i man bl.a. finder Da Vincis berømte træsnit af de regulære polyedre. Pacioli skrev også en indflydelsesrig bog Summa, der sammenfattede den kendte viden om matematik. Her i finder man bl.a. den første samlede fremstilling af principperne bag dob-beltbogholderi.

Dodekaedret i DaVincis udførelse

Euklids elementer består af 13 bøger, der starter med at præsentere den mest basale viden om trekanter og firkanter og kulminerer med teorien om de regu-lære polyedre. Her vil vi primært se på opbygningen af bog 1, der handler om trekanter og firkanter, idet den i løbet af 48 sætninger starter med at konstrue-re en ligesidet trekant og slutter med at vise Pythagoras sætning for den ret-vinklede trekant forfra (sætning 47) og bagfra (sætning 48). Undervejs bevises det bl.a. at vinkelsummen i en trekant er 180°, ligesom man lige før man når frem til Pythagoras sætning endelig i sætning 46 er klædt på til at kunne kon-struere et kvadrat.

3

Her vil vi nu se nærmere på starten af Euklid gengivet i en moderne dansk oversættelse1. Euklids elementer starter med 23 definitioner, 5 postulater og 9 aksiomer (al-mindelige begreber), hvoraf vi kun vil se på nogle få udvalgte:

Definitioner 1. Et punkt er det som ikke har nogen del. 2. En linje er en længde uden bredde. 3. En linjes grænser er punkter. 4. En ret linje er en linje som 'ligger lige' mellem sine punkter. ... 15. En cirkel er en plan figur der indesluttes at én linje (som kaldes periferi-

en) med den egenskab, at hvis der fra et bestemt punkt inde i cirklen trækkes rette linjer til periferien, er alle disse linjer lige lange.

16. Dette punkt kaldes cirklens centrum. 17. En diameter i en cirkel er en ret linje der går gennem centrum og be-

grænses i begge ender af periferien. Den halverer cirklen. ... 19. Retlinede figurer er sådanne som indesluttes af rette linjer: tresidede som

indesluttes af tre, firesidede som indesluttes af fire, mangesidede som indesluttes af flere end fire rette linjer.

20. Af de tresidede figurer er en ligesidet trekant en der har tre lige lange si-der, en ligebenet trekant er en der har to lige lange sider, og en skæv trekant har alle tre sider ulige lange.

... Postulater Det forudsættes 1. At der kan trækkes en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket

som helst punkt. 2. At en begrænset ret linje kan forlænges i ret linje uden afbrydelse. 3. At der kan tegnes en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvil-

ken som helst afstand som radius. ... Almene begreber 1. Størrelser som er lig en og samme tredje, er indbyrdes lige store. ...

Derefter går Euklid uden yderligere kommentarer i gang med at vise den første sætning, som er en konstruktionssætning, der handler om hvordan det er muligt at konstruere en ligesidet trekant. Der er mange konstruktionssætninger i første bog, fx hvordan man oprejser en vinkelret, hvordan man halverer en vinkel osv. Andre sætninger omhandler vigtige egenskaber ved trekanter og firkanter, fx sætningen om vinkelsummen i en tre-kant eller Pythagoras sætning om den retvinklede trekant. Sætningerne, der omhandler konstruktioner kaldes også for Problemer, mens sætningerne der handler om egenska-ber også kaldes for Teoremer.

1 Claus Glunk, Hanne E. Strand, Chr. Marinus Taisbak og Chr. Gorm Tortzen: Q.E.D. Platon og Euklid tegner og fortæller, Gyldendal 2006.

4

Bog 1, sætning 1: At konstruere en ligesidet trekant på en begrænset ret linje.

Lad AB være den givne rette linje. Der skal nu konstrueres en ligesidet trekant på AB. Lad cirkel BCD være tegnet med A som centrum og AB som radius [Postulat 3], og endvidere cirkel ACE med B som centrum og BA som radius, og lad de rette linjer CA og CB være trukket fra punktet C hvor cirklerne skærer hinan-den, til punkterne A og B [Postulat 1]. Da punktet A er centrum i cirklen CDB, er AC lig AB [Definition 15]; og da punktet B er centrum i cirklen CAE, er BC lig BA. Og det blev også bevist at CA er lig AB; Både CA og CB er altså lig AB. Men de (størrelser) som er lig samme tredje (størrelse), er lig hinanden [Aksiom 1]. Altså er CA lig CB. De tre linjer CA, AB og BC er altså lige store. Derfor er trekant ABC ligesidet [Definition 20]. Og den er konstrueret på den rette linje AB. Hvilket skulle gøres.

Det var så sætning 1. Læg mærke til at sætningen inkluderer en figur (til bl.a. at klargøre betegnelserne) og at hvis man selv skal tegne denne figur må man bruge en passer og lineal. Euklids geometri bygger på punkter, linjer og cirkler og til at trække de rette linjer må man i praksis benytte sig af en lineal, ligesom man til at frembringe en cirkel i praksis må benytte sig af en passer. Euklid nævner ikke selv sådanne instrumenter, men nøjes med at forudsætte at man altid kan forbinde to punkter med en ret linje (ifølge postulat 1) og at man altid kan tegne en cirkel med et givet centrum og en given afstand som radius (ifølge postulat 3). Når vi i dag skal udføre en sådan konstruktion vil vi i stedet benytte et elektro-nisk program til at udføre konstruktionen, her det dynamiske geometriprogram i TI-Nspire. Det rummer en værktøjslinje der indeholder de klassiske Euklidi-ske værktøjer til at afsætte punkter, trække linjer og slå cirkler.

5

Markør til at udpege og flytte figurer.

Tekstværktøj til at tildele punkter mm. navne.

Punktværktøjer til at afsætte punkter , punkter på og skæringspunkter .

Linjeværktøj til at trække linjer , halvlinjer og linjestykker .

Cirkelværktøj til at slå cirkler ud fra centrum og et randpunkt .

Med disse redskaber dækker vi hele plangeometrien i Euklids elementer, dvs. de første seks bøger. Her ser vi igen på den første sætning, men nu i detaljer udført med TI-Nspire:

Lad AB være den givne rette linje. Der skal nu konstrueres en ligesi-det trekant på AB. Kommentar: Linjestykket AB er altså afsat tilfældigt.

Lad cirkel BCD være tegnet med A som centrum og AB som radius [Postulat 3], Kommentar: Punktet B er altså et randpunkt. Punktet C er slet ikke konstrueret endnu og punktet D indføres kun for at kunne referere til cirklen som cirklen BCD!

og endvidere cirkel ACE med B som centrum og BA som radius, Kommentar: Punktet B er altså et randpunkt for cirklen. Punktet C er stadigvæk ikke indført og punktet E indføres kun for at kunne refere-re til cirklen ACE!

og lad de rette linjer CA og CB være trukket fra punktet C hvor cirklerne skærer hinanden, til punk-terne A og B [Postulat 1] Kommentar: Først til allersidst rø-bes det at C er et skæringspunkt mellem de to cirkler, hvilket selv-følgelig fremgår af den færdige figur .

Kommentar: Derefter kan vi trække linjestykkerne CA og CB fra C til henholdsvis A og B. Herefter er den ligesidede trekant ABC færdigkonstrue-ret.

Da punktet A er centrum i cirklen CDB, er AC lig AB [Definition 15]; og da punktet B er centrum i cirklen CAE, er BC lig BA. Og det blev også bevist at CA er lig AB; Både CA og CB er altså lig AB. Men de (størrelser) som er lig samme tredje (størrelse), er lig hinanden [Aksiom 1]. Altså er CA lig CB. De tre linjer CA, AB og BC er altså lige store. Derfor er trekant ABC ligesidet [Definition 20]. Og den er kon-strueret på den rette linje AB. Hvilket skulle gøres. Kommentar: Resten er en minuti-øs godtgørelse af at trekanten som påstået vitterligt er ligesidet.

6

Læg mærke til hvor knudret Euklids konstruktionsforklaring i grunden er! I stedet for at give en ordentlig konstruktionsforklaring, hvor konstruktionen bygges op skridt for skridt, gør han det baglæns ud fra en allerede færdigkon-strueret figur, som han analyserer aldeles uden at tage praktiske eller pædago-giske hensyn. Euklids elementer er et videnskabeligt dokument, der skal do-kumentere geometriens indre sammenhængskraft – ikke en vejledning i prak-tisk geometri for håndværkere, ingeniører, arkitekter og lignende. Euklids ele-menter er skrevet for fagfolk – ikke for at formidle et interessant emne for en undrende befolkning. Ikke desto mindre er det billederne fra Euklids elemen-ter, der har domineret geometriundervisningen i årtusinder – først hos græker-ne, siden hos araberne og til sidst hos vesteuropæerne. Det er disse billeder mere end noget andet, der har givet anledning til vores opfattelse af ideale figu-rer. Kig igen på konstruktionen af den ligesidede trekant. I stedet for at hæfte os ved linjestykkerne CA og CB kan vi denne gang hæfte os ved de to cirkelbuer CA og CB. I TI-Nspire sker det ved at konstruere cirkelbuerne på cirklerne BCD og ACE. Med værktøjet cirkelbue skal der klikkes tre gange for at konstruere cirkelbuerne. For at konstruere buestykket BC klikkes først på punktet B efter-fulgt af et klik på cirklen BCD mellem B og C (giver et punkt F1) og afslut-ningsvis klikkes på punktet C. Tilsvarende gælder for buestykket AC. Når buestykkerne er konstrueret skjules cirkler og punkter:

Resultatet er den gotiske ligesidede spidsbue, som er et dominerende stiltræk i gotikken.

Den gotiske katedral (domkirke) i Køln: Porten mod syd.

7

Men vi kan også hæfte os ved at der i virkeligheden er to ligesidede trekanter, idet cirklerne jo både skærer hinanden foroven i punktet C og forneden i punk-tet F:

Vi kan så ydermere hæfte os ved cirkelbuerne BCF og AFC. Konstruerer vi cir-kelbuerne på cirklerne og skjuler vi herefter cirklerne og de ligesidede trekanter ser det således ud:

Resultatet er en mandellignende figur udspændt af de to ligesidede trekanter. På italiensk kaldes den derfor en mandorla. Men den er mere kendt under navnet Vesica Piscis (fiskeblæren). Det hænger sammen med den kristne symbo-lik, hvor Jesus symboliseres af en fisk. I religiøse billeder er der derfor tradition for at indeslutte Jesus (eller Jomfru Maria) i en Vesica Piscis, som repræsenterer glorien omkring Jesus (eller Jomfru Maria).

Detalje fra hovedporten i den nordlige indgang til Domkir-ken i Lübeck: Englene understøtter mandorlaen.

Udsnit af detalje fra detalje i alteret i St.

Mariekirkens højkor, Lübeck.

8

Inden vi forlader mandorla-figuren vil vi analysere den for nogle af dens mate-matiske egenskaber. Den har tydeligvis to symmetriakser: En vandret lilleakse AB og en lodret storakse CF. Vi kan som vist nemt udmåle længderne af disse to akser og finde deres forhold: Først konstrueres symmetriak-serne AB og CF. Længderne af symmetriakserne måles ved at klikke på dem med længdeværk-tøjet . Med tekstværktøjet skriver vi et passende sted det indre for-hold CF/AB. Endelig kan vi med beregnings-værktøjet bestemme det indre forhold ved at udvælge målin-gerne på skift.

Det er forholdet der er interessant, idet figuren jo kan forstørres og formind-skes vilkårligt, så den absolutte størrelse af lilleaksen og storeaksen varierer fra mandorla til mandorla, men forholdet er fælles. Men vi kan faktisk udregne dette forhold eksakt ved hjælp af en lille karakteri-stisk regning (som ikke var mulig på Euklids tid, da talsystemet ikke var nok udviklet til at håndtere regning med fx kvadratrødder): Da lilleaksen og storeaksen står vinkelret på hinanden udspænder centrum M og hjørnerne B og C en retvinklet trekant. Da trekanten ABC er ligesidet er MB netop halvdelen af BC. Vi sætter siden i den ligesidede trekant til 2 og finder:

Den lodrette katete har altså længden 3 . Heraf følger at lilleaksen har læng-den 2 og storeaksen længden 2 3 , hvorfor ligedannethedsforholdet for man-

dorlaen netop er givet ved 2 3 32

CFAB

= = i overensstemmelse med figuren.

9

Øvelse 1.1: Ofte udvides mandorlakonstruktionen til at omfatte kvadrater som vist på figuren:

Find såvel ved udmåling som beregning forholdene AI

AB og GI

AB .

Bemærkning: Det sidste af disse forhold er faktisk knyttet til den regulære fem-

kant via det gyldne snit 1 52+

Φ = .

I TI-Nspire er flere konstruktioner indbygget som værktøjer og findes i menulinjen under Former Det gør det trivielt for os at konstruere en regu-lær femkant i modsætning til Euklid, der er nødt til at bygge det op i alle detaljer, og derfor først kan konstruere en regulær femkant i bog 4. Vælg værktøjet Reg. Polygon for at konstrue-re den regulære femkant. Klik et passende sted i tegnefladen for at vælge et centrum. Klik her-efter et nyt sted for at vælge placeringen af et af hjørnerne. Roter musen i negativ omløbsretning (med uret) indtil der står { 5 } ud for centrum-met. Endelig klikker vi for at færdiggøre kon-struktionen.

Øvelse 1.2: Find ved udmåling forholdet =diagonal AD

side AB. Eftervis at det er det

samme som det gyldne snit. Udfordring 1.3: Hvordan kan man udbygge mandorlakonstruktionen til en kon-struktion af en regulær femkant?

10

Øvelse 1.4: Gitterkonstruktioner Når man skal konstruere en grundplan for en kirke tog man oprindeligt ud-gangspunkt i et gitterværk af punkter, der enten var udspændt af ligesidede trekanter – ad triangulum - eller af kvadrater – ad kvadratum:

Trekantgitteret hænger naturligt sammen med konstruktionen af den ligeside-de trekant, henholdsvis den regulære sekskant. En regulær sekskant indskre-vet i en cirkel fremkommer ved at afsætte en cirkel med samme radius rundt langs periferien af den oprindelige cirkel:

Det gør det nemt at konstruere trekantgitteret med passer og lineal. Men der findes en endnu nemmere geometrisk konstruktion som bygger på spejlinger. Har man først konstrueret en ligesidet trekant, fx ved hjælp af værktøjet for regulære polygoner, kan man spejle den i de tre sider og så fremdeles. Det sker ved at vælge menupunktet for spejling på transformationsmenuen og så klikke to gange på en trekantside: Første gang for at vælge spejlingsaksen, anden gang for at spejle trekanten.

Konstruer nu selv et trekantgitter henholdsvis et kvadratisk gitter ved at spejle en ligesidet trekant, henholdsvis et kvadrat.

Øvelse 1.5: Flisedækninger I den foregående øvelse så vi på konstruktionen af et regulært gitter, konstrue-ret ud fra ligesidede trekanter henholdsvis kvadrater. Man kunne da med god ret spørge: Hvorfor konstruerer man ikke gitre ud fra andre regulære polygoner? Men det kan vi jo så bare forsøge:

Prøv at konstruere et regulært gitter/flisedækning ud fra en regulær femkant? Sekskant? ottekant? Hvis man ikke kan overdække planen med disse regulære polygoner, dukker der så i det mindste regulære huller op?

11

Øvelse 1.6: Eksempel på en ottekantet grundplan:

Figur 282. Grundplan for S. Vitale, Ravenna Figur 284. Lodret snit gennem S. Vitale, Ravenna

Figur 283. S. Vitale, Ravenna. 526-547 A.D. Figur 285. Det indre (set fra apsis2), S. Vitale, Ravenna San Vitale kirken i Ravenna er et berømt eksempel på en oldkirke fra den by-zantinske periode (den er færdigbygget år 547). Det er et eksempel på en cen-tralkirke, dvs. bygget over en symmetrisk figur med punktsymmetri (i modsæt-ning til korskirkerne med aksesymmetri).

2 Apsis: I grundplanen en halvcirkelformet eller polygonal bygningsdel anbragt i forlængelse af koret.

12

Giv et bud på den geometriske struktur af grundplanen. Hvordan hænger fx den indre regulære oktagon (ottekant) sammen med den ydre regulære okta-gon. Udfør en konstruktion af en skitse over grundplanen i TI-Nspire. Bestem ∠ ABC, ∠ ABD og ∠ ABE. Det oplyses at diameteren for kuplen (dvs. den inderste regulære oktagon) er 17m. Bestem arealet og omkredsen af såvel den inderste regulære oktagon som den yderste regulære oktagon. Rummet mellem de to oktagoner er som vist på figuren opdelt i 5 lige store tra-pezer (samt en indgang til kuplen, der dækker over de resterende 3 trapezer). Bestem arealet af hvert af disse trapezer. I hvert af disse trapezer er der afskåret et halvcirkelformet siderum. Hvor stort et areal spænder et sådant siderum over?

A

B

C

D

E

F

G

H

13

Øvelse 1.7: En sekskantet grundplan. I 1642 påbegyndte Borromini kirken S. Ivo alla Sapienza. Til grund for sin plan har Borromini her atter taget den lige-sidede trekant – her i virkeligheden to trekanter, der overlapper hinanden, så de danner en davidsstjerne, hvis skæ-ringspunkter ABCDEF danner spidser-ne i en regulær sekskant. De nicher, der buer udad ( , ,BC DE FA ), har ud-gangspunkt i cirkler med en radius på halvdelen af en side af sekskanten; de nicher, der buer indad er dannet ud fra cirkler med samme radius, men med centrer i tre af davidstjernens spidser. Det oplyses at AD = 15.0 m.

a) Bestem ∠ ABC og ∠ ABD b) Bestem omkredsen af såvel da-

vidstjernen som grundplanen (den fedt optrukne kurve)

c) Bestem arealet af såvel david-stjernen som grundplanen.

14

2. Buer og hvælv Når man skal konstruere en åbning, fx døråbning eller en åbning for et vindue, er den simpleste form selvfølgelig et rektangel. Men ofte vil man sætte en bue på åbningen i form af en halvcirkel som en dekoration af åbningen. Denne form for åbning kulminerer med triumfbuen, der både kan stå i det fri eller benyttes som adskillelse i fx et kirkerum mellem skib og kor.

Kejser Titus triumfbue i Rom til minde Marien Dom i HildesHeim om sejren over jøderne 70 e.Kr. Tidlig romansk stil.

Paradis-portal (narthex). Domkirken i Paderborn (12.-13. århundrede)

15

Når buen bygges i sten konstruerer man først et træskelet til at understøtte buen, hvorefter buen opbygges af kileformede sten. Til sidst sættes der i toppen af halvbuen en sidste sten, der sikrer at buen understøtter sig selv. Denne sær-lige sten kaldes keystone eller på dansk slutsten (eller kronen). For at under-strege dens betydning er den ofte dekoreret.

Den klassiske halvbue konstrueres blot som en halvcirkel. Den er typisk for antikken og fortsætter op i den romanske periode. Men i gotikken erstattes halvcirklen af to cirkelbuer, der mødes i en spids. Centrene for disse to cirkel-buer ligger symmetrisk på basislinjen. Den gotiske bue kan være ligesidet med de to centre beliggende på den modsatte bue. Men den kan også være forhøjet med centrene liggende udenfor den modsatte bue:

16

Man kan også konstruere kombinationsbuer ved at sammensætte flere buer på snedig vis. Derved kan den romanske rundbue fx peppes op til en kløverblads-bue, ligesom den gotiske spidsbue fx kan peppes op til en kølbue (idet den lig-ner kølen på et skib, der er lagt omvendt på land):

Konstruktion af kløverbladsbue Konstruktion af kølbue. Når man på denne måde vil kombinere flere cirkelbuer, skal man passe på at der ikke kommer et ufrivilligt knæk, hvor buerne støder sammen. Dertil kræves at de to cirkelbuer skal have en fælles tan-gent i sammenstødspunktet. Men da tangenten står vinkelret på radius, viser det også at de to centre må ligge på en fælles normal (linje vinkelret på tangen-ten) i sammenstødspunktet. Rørings-punktet og de to centre ligger altså på en fæles ret linje (normalen). Øvelse 2.1 Konstruer såvel en kløverbladsbue og en kølbue i TI-Nspire.

Det er ikke alle buer, der har en vandret grundlinje. Hvis man fx skal lade buen følge en trappe, bliver det nødvendigt med en skæv grundlinje og dermed med en skæv bue. En anden kombinationsbue er kur-vehanksbuen (til højre), der også kon-strueres med cirkelbuer. Den minder om den fladtrykte romerske cirkelbue, men er nem at konstruere, fordi den netop er opbygget af cirkelbuer. Den blev populær i renæssancen, hvor man vendte tilbage til de klassiske kurveformer, der var kendt fra antik-ken.

17

Her ses netop en smukt udført renæssancetrappe fra Lübeck, hvor det har væ-ret nødvendigt at støtte sig på skæve buer. Øvelse 2.2 Konstruer et billede af en trappe med skæve buer!

Også domkirken i Lübeck har et paradis, dvs. en smukt dekoreret forhal, gen-nem hvilken man kan træde ind i domkirken. Her kan man finde alle slags ek-sempler på udsøgte kombinationsbuer og roser med fem og otte pas (se det ef-terfølgende afsnit). Det er bestemt også en geometers paradis!

18

Indgangen til Paradis.

Paradiset fra den ene side. Et skævt kig ind i Paradis. Øvelse 2.3 Konstruer udvalgte elementer fra paradisets facade. Har du mod på kan du prøve at rekonstruere hele facaden i TI-Nspire!

19

Også runde vinduer kan dekoreres med cirkelbuer i form af pas- og kløver-bladskurver, såkaldte gotiske stavværksfigurer:

Også her er der oplagte muligheder for simple geometriske konstruktioner

Øvelse 2.4: Konstruer udvalgte vinduer med fx tre, fire og fem pas. Øvelse 2.5: Konstruer med udgangspunkt i en ligesidet trekant en triskele. Prøv også om du kan få trukket knudestrukturen klart frem!

20

3. Spiraler Spiraler dukker op i antikken i forbindelse med den ene af de klassiske søjletyper, den ioniske søjle, der prydes af en kapitæl bestående af en dobbeltspiral, også kaldet en volut, med en cirkel i centrum, det så-kaldte øje, og en 'pude' oven på volutten, den såkaldte abakus. Den romerske arkitekt Vitruv var mildest talt ikke særlig klar i sin beskrivelse af udformningen af denne kapitæl:

'Hele kapitælens højde deles nu i ni en halv dele, hvoraf halvanden del svarer til højden af abakussen og de resterende otte dele svarer til voluttens omfang. Trækkes en linje lodret fra et hjørne i abakus-sen kan man i en afstand af halvanden dele lægge et lodret linjestykke. Dette linjestykke deles nu med et punkt beliggende fire en halv dele under abakussen; dette svarer til centrum for voluttens øje; Det resterende udgør tre en halv del. Hvis der trækkes en cirkel med en radius svarende til halvdelen af en af disse dele, vil den netop udgøre en sjettedel3 af vo-lutten. Gennem dennes centrum trækkes en vandret linje, og med udgangspunkt i det øver-ste punkt af den lodrette diameter for volutten frembringes en kvartcirkelbue der netop rører undersiden af abakussen. Skift så centrum og lad successive radier blive formindsket med halvdelen af øjets diameter hver gang4, så den sidste cirkelbue falder i selve øjet på den lod-rette linje vinkelret under det punkt vi startede med.'

Så i renæssancen blev Vitruvs beskrivelse strammet betydeligt op og forskellige mu-lige konstruktioner blev forslået. Den før-ste kommentar kommer fra Alberti i 1483. Han forenklede konstruktionen ved at slå kvartcirkelbuerne sammen to og to til halvcirkelbuer med centre skiftevis i øjets øverste og nederste punkt. Derved fås en spiral med netop to omdrejninger, før spi-ralen slutter sig til øjet. Da den første ra-dius er 4 enheder svarer det netop til at diameteren formindskes med øjets diame-ter hver gang, hvilket er i overensstem-melse med Vitruv, idet en halvcirkelbue svarer til to kvartcirkelbuer.

3 Her må Vitruv mene en ottendedel, jfr. figuren. 4 Også denne del er ret så uklar! Det fremgår fx ikke hvordan centrene for de successive kvart-cirkelbuer skal placeres i forhold til øjet.

21

Men i den virkelige verden har spiralen typisk tre omdrejninger før den slutter sig til øjet. Den simpleste tolkning af Vitruv stammer fra den italienske arkitekt Serlio i 1537. Han benyttede som Alberti halv-cirkler, men har en lidt mere kompliceret fordeling af centrene, idet han først deler den lodrette diameter i voluttens pupil i 6 lige store dele, som han nummererer som vist udefra og indefter. Med centrum i de-lepunkt 1 trækker han først en halvcirkel fra det øverste punkt på den lodrette dia-meter for volutten (dvs. abakussens ne-derste kant). Derefter skifter han centrum til delepunkt 2, ligesom Alberti, men her-efter flyttes delepunkterne langsomt indad mod øjets centrum indtil han kommer til delepunkt 6, som er centrum for den sid-ste halvcirkel. På denne måde får spiralen netop tre fulde omdrejninger og slutter sig som den skal til øjet. I detaljer ser det så-ledes ud:

Først deles en lodret linje i otte lige store dele, hvor den fjerde del fra ne-den netop svarer til diameteren for vo-luttens øje. Dernæst deles diameteren for øjet i seks lige store dele.

Så tegnes den første og yderste halv-cirkelbue med den lodrette linje som diameter, dvs. det øverste delepunkt i øjet som centrum. Denne halvcirkel-bue slutter altså tættere på øjet i sit nederste punkt.

22

Så tegnes den næste halvcirkelbue som en fortsættelse af den forrige men denne gang med centrum i det neder-ste delepunkt i øjet. Den spænder alt-så over de seks nederste delepunkter.

Den næste halvcirkelbue er igen en fortsættelse af den forrige, men denne gang med det næstøverste delepunkt i øjet som centrum.

Den næste halvcirkelbue er igen en fortsættelse af den forrige, men denne gang med det næstnederste delepunkt i øjet som centrum.

Således fortsætter vi med at indsnæv-re halvcirkelbuen, idet vi skifter med at vælge centrene for oven og for ne-den og successivt tættere på øjet.

23

I det næste skridt lukker spiralen sig netop om øjet og vi er færdig med selve spiralen.

Vi kan nu skjule hjælpelinjerne og evolutten fremstår som en spiral med et øje.

Serlios spiralkonstruktion er nok den simplest mulige, men den er ikke så ele-gant, for ved at bruge halvcirkelbuer kommer den til at virke lidt skæv.

Her har vi ved hjælp af en spejling fået frembragt den fulde dobbeltspiral efter Serlios konstruktion. Det blev derfor også foreslået at man som i Vitruvs tekst skulle forsøge sig med kvartcirkelbuer og måske endda ottedelsbuer i konstruktionen. Prisen er imid-lertid en mere kompliceret fordeling af centrene for cirkelbuerne, som jo i Ser-lios konstruktion altid ligger på den lodrette diameter for centercirklen. Ønsker vi fx tre omdrejninger med kvartcirkelbuer kræver det således 12 centre, der skiftevis ligger på lodrette og vandrette linjer. Centrene bliver da i stedet spredt ud på et kvadratisk net med 6×6 = 36 gitterpunkter, hvilket selvfølgelig betyder at man skal holde tungen lige i munden for at slippe frelst gennem alle 12 kvartcirkelbuer.

24

Spiraler har som sagt været kendt siden antikken som udsmykning af de io-niske søjlehoveder. I renæssancen og barokken slippes de for alvor løs som et alment dekorativt element. Her ses fx en klassisk facade fra Rom, de sydlige byport Pota Pia, designet af Michelangelo:

Men Lübeck kan skam også fremvise facader med volutter:

25

Øvelse 3.1: I 1552 offentliggør Salviati en simpel regel for hvordan centrene skal placeres, hvis man ønsker at bruge kvartcirkelbuer. Da han skal bruge dobbelt så mange buer er udgangspunktet denne gang et kvadrat med den hal-ve diameter som side. Dette finder han indskrevet i centercirklen ved at halvere et kvadrat indskrevet i centercirklen som vist på den følgende figur:

De 12 centre findes nu ved at starte i øverste venstre hjørne og følge pilene rundt. Den første radius fås af Vitruvs regel om at abakussen skal ligge fire di-ametre oven over centercirklen. Resten af radierne følger nu ved at lave kvart-cirkelbuer og fortsætte indtil man når indtil centercirklen. Efterprøv Salviatis konstruktion og forklar hvor han snyder på vægten! Selvom han rent faktisk snyder blev konstruktionen uhyre populær og findes på mange afbildninger af ioniske søjler.

26

Øvelse 3.25: Faktisk er det ikke så svært at undgå Salviatis snyd med spiralkonstruktio-nen. Her er en moderne udgave, hvor vi som før lægger et kvadrat med den halve diameter som side inde i centercirklen og udbygger det til et kvadratisk gitter med 6×6 = 36 delepunkter. De 12 centre fin-des nu ved at starte i øverste venstre hjørne og følge pilene rundt. Den første radius fås af Vitruvs regel om at aba-kussen skal ligge fire diametre oven over centercirklen. Resten af radierne følger nu ved at lave kvartcirkelbuer og fort-sætte indtil man når centercirklen. Ef-terprøv konstruktionen.

Øvelse 3.3: Albertis spiral kan nemt generaliseres til en fin approksimation af en Arkimedesspiral, hvor radien for hver bue formindskes med det samme stykke hver gang. Skal der være et centralt øje, som spiralen lukker, skal di-mensionerne blot vælges med omhu. Lad os som et eksempel se på ottende-delsbuer. Udgangspunktet er da det centrale øje og det øverste punkt som lig-ger 16 øjeradier over øjet, hvis spiralen skal gennemføre to fulde omdrejninger hvor radien for hver omdrejning mindskes med en øjeradius. Vi starter da med at konstruere en regulær ottekant over øjets lodrette radius:

P

5 Fra Sacred geometry af Miranda Lundy, Wooden books Ltd, 1998.

27

Spiralen starter da med at have centrum i P og gå gennem det øverste dele-punkt på aksen. I næste skridt flytter vi til den næste stråle på ottekanten og bruger hjørnet i ottekanten som centrum og lader cirklen gå gennem skærings-punktet med den første bue:

P

Fortsæt således og eftervis at spiralen lukker sig om øjet og at den ender i punktet P. Øvelse 3.4: Den gyldne spiral I naturen er det ofte logaritmiske spiraler, der er de fremherskende spiralfor-mer. De kan også tilnærmes med cirkelbuespiraler efter det foregående møn-ster. Særligt berømt er den gyldne spiral bygget over det gyldne snit. Udgangs-punktet er denne gang et gyldent rektangel, hvor siderne forholder sig som det gyldne snit, der som vist bør defineres helt præcist:

1+ 52

= 1.61803

B

C

A

28

Pointen ved det gyldne snit er nu at hvis man som vist skærer et kvadrat ud er resten selv et gyldent rektangel, men nu drejet 90° i forhold til det oprindelige. Men så kan vi jo igen skære et kvadrat ud osv.

1+ 52 = 1.61803

Men hvert af kvadraterne spænder jo over en kvartcirkelbue, hvorfor vi kan trække en spiral igennem delepunkterne på rektanglernes sider:

1+ 52 = 1.61803

Gennemfør konstruktionen. Hvor ligger centrum for spiralen i forhold til sider-ne i det gyldne rektangel? Er nautilusskallen et eksempel på en gylden spiral?

29

4. Ovaler og ellipser Ellipsen er et godt eksempel på en oval. En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et sym-metricentrum. Der findes mange forskellige slags ovaler, her er vist en superel-lipse:

I vores sammenhænge vil vi ydermere antage at ovalen er konveks, dvs. at kur-ven som vist hele tiden krummer til den samme side. Godt nok findes der mange forskellige former for ovaler, men langt den vigtigste er ellipsen, der kan defineres på to forskellige måder:

1) Ellipsen er en fladtrykt cirkel, dvs. hvis den store radius er a og den lille radius er b, kan ellipsen opfattes som en fladtrykning af den omskrevne cirkel med radius a. Forholdet mellem den vinkelrette afstand fra et el-lipsepunkt P1 ind til storeaksen, dvs. P1P2, og det tilsvarende forhold for den vinkelrette afstand fra cirkelpunktet Q ind til storeaksen, dvs. QP2, er da altid givet ved b/a. Dette forhold kaldes ellipsens fladtrykthed.

30

2) Ellipsen er karakteriseret ved to brændpunkter F1 og F2, der begge lig-ger på storeaksen. Linjestykket, der forbinder et punkt P på ellipsens periferi med et brændpunkt kaldes en brændstråle. Ellipsen er nu ka-rakteriseret ved at summen af de to brændstråler F1P og F2P er kon-stant: 1 2 2F P F P a+ = . Vi viser nedenunder, hvorfor konstanten nød-vendigvis er 2a.

Vi vil ikke her forsøge at vise at de to definitioner er ækvivalente, men vi vil vi-se, hvordan de kan udnyttes til at finde brændpunkterne for en ellipse. Da en ellipse er en fladtrykt cirkel kan den indskrives i et rektangel med siderne pa-rallel med akserne. Siderne i rektanglet er da 2a henholdsvis 2b. Midtpunkter-ne for rektanglets sider er da netop de fire toppunkter R, S, T og U for ellipsen.

Vælger vi enten R eller S som punktet på periferien gælder da

1 2 1 2 2F R F R F S F S a+ = + = ,

idet der på grund af symmetrien må gælde at 1 2RF F S= . Heraf ses bl.a. sum-men af brændstrålerne netop er det samme som ellipsens storakse 2a (den sto-re diameter).

31

Vælger vi dernæst enten T eller U som punktet på periferien fås denne gang på grund af symmetrien den følgende sammenhæng

1 2 1 2 2F T F T F S F S a+ = + =

idet summen af brændstrålerne jo er uforandret, men heraf følger igen på grund af symmetrien at der må gælde

1 2F T F T a= =

Vi kan derfor finde brændpunkterne for ellipsen ved at trække en cirkel med radius a og centrum i et af toppunkterne S og T.

Men ved at udnytte den retvinklede trekant F1CT ses det også at vi nemt kan beregne afstanden fra centrum til et brændpunkt ved hjælp af Pythagoras:

2 21F C a b= − .

Blandt alle ovalerne blev det nu ellipserne, der fik den dominerende rolle i 1500-tallet. Det skyldes først og fremmest et kunstnerisk gennembrud, idet det lykkedes at konstruere en klassisk smuk oval, som tilnærmede en ellipse.

32

Gennembruddet skyldtes malere fra Rafaels skole, hvor vi har fået overleveret en skitse af Peruzzi, der viser konstruktionen af to typiske ellipselignende ova-ler:

Peruzzis overleverede sin viden til Serlio, der beskrev ellipsekonstruktionerne i detaljer i et stort værk om arkitekturens principper fra 1545. Her vil vi se på en særlig simpel og smuk konstruktion af den såkaldte 'ovato tondo' (den afrun-dede oval). Udgangspunktet er endnu engang konstruktionen af en ligesidet trekant fra Euklids første bog!

33

Vi lægger mærke til at centrene A henholdsvis B for de to cirkler netop ligger på den anden cirkels periferi.

Forlænger vi trekanternes skrå sider fås skrå diametre, fx CG, i cirklerne. Men en diameter (eller en radius) står vinkelret på cirklen i endepunktet. Hvis vi derfor trækker cirkelbuer med centre i toppunkterne C og D og radier CG hen-holdsvis DE vil disse cirkelbuer netop føje sig glat til de oprindelige cirkelbuer

Skjuler vi nu hjælpelinjerne har vi konstrueret den ellipselignende oval ovato tondo. Den har adskillige bemærkelsesværdige egenskaber:

1) De fire cirkelbuer HF, FE, EG og GH er lige lange: Centervinklerne er nemlig 60° og 120°, mens radierne i enheder af centerstykket AB er 1 henholdsvis 2: Når vi går fra buen HF til buen FE halverer vi altså cen-tervinklen, men til gengæld fordobles radius, hvorfor buelængden er uforandret.

2) Hele ovalens omkreds er derfor fire gange buen HF, som selv udgør 1/3 af den oprindelige cirkel med omkredsen 2π i enheder af centerstykket AB. Ovalens omkreds er altså 8

3 π = 8.37758... . På samme måde indses det at arealet af cirkeludsnittet DFE er dobbelt stort som cirkeludsnittet BHF, fordi arealet vokser med kvadratet på radius. Men arealet af det lille cirkeludsnittet er 1/3 af hele cirklen, dvs. 1

3 π . Arealet af hele ovalen er derfor summen af de fire cirkeludsnit minus romben ADBC, der jo ikke skal tælles med to gange, dvs. arealet er givet ved

34

322 5.41715...π − = . Med lidt snilde kan vi også finde dette ved udmå-

ling på en figur. 3) Storeaksen 2a har længden 3 (i enheder af centerstykket AB). Lilleaksen

derimod er en anelse mere kompliceret. Det lodrette stykke fra D til ova-lens toppunkt er 2 (radius i den store cirkel). Det lodrette stykke fra D til C er i følge pythagoras sætning (se fx tidligere udregning side xx) 3 . Det overskydende stykke er derfor 2 3− . Lilleaksen 2b får derfor længden 3 2 (2 3) 4 3+ ⋅ − = − . Ellipsens fladtrykthed er derfor givet ved

2 4 3 0.75598...2 3

b ba a

−= = =

Den kan vi også finde ved udmåling på en figur! Dette tal ligger så tæt ved 3/4, idet fejlen er under 1%, at det i praksis blev sat til 3/4. En så simpel brøk viser at ovalen er visuelt velproportioneret.

4) Endelig kan vi finde brændpunkterne for ellipsen med samme storeakse og lilleakse. Vi ved da fra pythagoras sætning at brændpunktsafstanden

er givet ved ( ) ( )222 2 4 332 2

8 3 10 0.981886...2

a b − −− = − = =

Den kan vi også finde ved udmåling på en figur! Men dette tal ligger så tæt ved 1, idet fejlen denne gang er under 2%, at det i praksis bliver af-rundet til 1. Brændpunkterne ligger altså endog meget tæt på midt-punkterne for linjestykkerne TA og BU. Deles storeaksen i 6 lige store stykker er de yderste delepunkter altså med rigtig god tilnærmelse brændpunkterne, mens de inderste delestykker er centrene for de to cirkler, der udspænder de yderste buer (og det midterste delestykker er ovalens centrum). Igen viser det, at den ellipselignende oval er velpro-portioneret og nøje knyttet til et gitter af ligesidede trekanter.

35

Peterspladsen i Rom Hovedanvendelsen af ovato tondo i arkitekturhistorien er Berninis udformning af Peterspladsen i Rom (1556-67). Her ses den fra oven

Ellipseformen er tydelig med den store obelisk i midten og de to springvand, fontæner, i ellipsens brændpunkter. Hvad der ikke ses på billedet er de to run-de sten på storeaksen, der markerer centrene for de to cirkler, der udspænder den ellipselignende oval. De er markeret med teksten 'Centro del colonnato'. Peterspladsen er altså netop opbygget som en ovato tondo.

36

Her ses pladsen i fugleperspektiv, hvor fontænerne og kolonnaderne er tydeli-gere, ligesom man kan se de fire små søjler, beregnet til belysning af pladsen om aftenen. Dette belysningsanlæg er selvfølgelig ikke originalt, hvad man kan se på det efterfølgende billede af Piranesi fra 1700-tallet

37

Ved at overføre et udsnit at Peterspladsen til fx TI-Nspire kan vi genskabe kon-struktionen af pladsen som en ovato tondo

Men denne oval er ikke den eneste ellipselignende kurver. De to store over-dækkede kolonnader (søjlerækker) i siden afgrænser også tydelige ovale ellipse-lignende kurver.

De er konstrueret med de samme centre som den inderste oval, og er derfor ikke ægte ovato tondoer, men løser det vigtige problem at få afsat 'parallelle' ovaler rundt om den inderste plads. Specielt er de to kolonnader altså afsat langs koncentriske cirkler med de inderste cirkler fra Peterspladsen. De to ko-lonnader dækker over fire søjlerækker afsat langs radierne fra det fælles cen-trum. Når man står på Peterspladsen på et af de to centre dækker søjlerækker-ne i den tilsvarende kolonnade altså lige præcis for hinanden

38

Det er altså muligt visuelt at finde centrene for cirklerne helt uden stenplader-nes hjælp – men Bernini har ikke kunnet nære sig for at røbe denne lille fiffige detalje i hans design. Bernini har også ønsket at markere verdenshjørnerne på Peterspladsen, der naturligvis er orienteret så kirken åbner sig ud mod pladsen mod øst. På gra-nitbasen rundt om obelisken har han derfor konstrueret små ovale relieffer, der viser de 16 kompasretninger. Vestenvinden (West Ponente) som peger væk fra kirken er berømt fra Dan Browns 'Angels and Demons'

39

Øvelse 4.1: Ellipser med TI-Nspire TI-Nspire har ikke specialværktøjer til at tegne keglesnit såsom ellipser. De må derfor i stedet konstrueres som geometriske steder. Der findes flere forskellige standardkonstruktioner. Her skal vi blot se på en enkelt, der tager udgangs-punkt i ellipsen omskrevne og indskrevne cirkel. Vi skal altså typisk kende el-lipsens centrum og dens halvakser.

Herefter vælges et tilfældigt punkt P på den yderste cirkel. Radien CP konstrue-res. Den skærer den inderste cirkel i Q. Der trækkes nu en lodret linje gennem P og en vandret linje gennem Q, der skærer hinanden i ellipsepunktet E.

Hvis du sporer ellipsepunktet E og trækker cirkelpunktet P rundt om cirklen kan du netop se at E gennemløber en ellipse. Denne ellipse kan du nu konstru-re i ét hug ved at bælge menupunktet Geometrisk sted på Konstruktions-menuen. Du skal da først udpege punktet P som det drivende punkt (det mar-keres med en lille vandret dobbeltpil). Derefter skal du markere ellipsepunktet E og du får tegnet ellipsen:

40

Til sidst kan du passende skjule cirkler og hjælpelinjer! Prøv nu at tegne en ellipse ud fra dens centrum og de to halvakser. Konstruer også de to brændpunkter ud fra det omskrevne rektangel. Når du har konstrueret ellipsen i TI-Nspire kan du ved udmåling kontrollere dens karakteristiske egenskaber:

1) Konstruér et frit punkt på ellipsen. Kontrollér ved passende målinger, at forholdet mellem den vinkelrette afstand fra ellipsepunktet til storeaksen og den vinkelrette afstand fra det tilsvarende cirkelpunkt til storeaksen er konstant (= fladtryktheden b/a).

2) Konstruér et frit punkt på ellipsen og kontroller ved passende målinger,

at summen af afstandene fra ellipsepunktet til brændpunkterne er den samme som længden af storeaksen.

Øvelse 4.2: Ovato Tondo Gennemfør selv konstruktionen af Ovato Tondo i TI-Nspire og sammenlign ova-len med den tilsvarende ellipse som har den samme store- og lilleakse. Konstruer ovalens omskrevne cirkel. Afsæt et vilkårligt punkt P på ovalen (dvs. i praksis to frie punkter svarende til de to slags cirkelbuer). Undersøg ved må-ling i hvilket omfang forholdet mellem den vinkelrette afstand fra ovalpunktet P til storeaksen og den vinkelrette afstand fra det tilsvarende cirkelpunkt Q til storeaksen er det samme som forholdet mellem storeaksen og lilleaksen. Konstruer ovalens to brændpunkter F1 og F2 (på samme måde som hvis det var en ellipse). Afsæt et vilkårligt punkt P på ovalen (dvs. i praksis to frie punkter svarende til de to slags cirkelbuer). Undersøg ved måling i hvilket omfang summen af afstandene fra ovalpunktet P til de to brændpunkter er det samme som længden af storeaksen.

41

Øvelse 4.3: Colosseum som en ellipse/oval Det var romerne der i antikken introducerede ovalen/ellipsen i arkitekturen i forbindelse med opbygning af amfiteatre. Her vil vi se på det berømte amfiteater Colosseum fra Rom som et typisk eksempel. Som det klassiske billede af Pira-nesi fra 1700-tallet viser, har det en overgang haft en obelisk i centrum af sce-nerummet. Undersøg om der er tale om ellipser. Kunne der endda rent faktisk være tale om Ovato tondo?

Vink: Overfør billedet af grundplanen på næste side til Paint. Det kan ske ved hjælp af et skærmfangerprogram, fx skærmklip (MWSnap), eller det kan ske ved at åbne for en fil, der indeholder billedet, jfr. øvelsesvejledningen. I Paint går du ind i Billede-menuen og fjerner hakket i det sidste menupunkt: Tegn uigennemsigtigt! Mål længden af storeaksen og længden af lilleaksen på bille-det. Benyt nu tilsvarende dit skærmfanger program til at overføre dit TI-Nspire bil-lede af en ellipse med de samme halvakser. Skalér billedet af ellipsen til det passer i størrelse med 'originalen' i Paint. Det sker ved at trække i et hjørne, mens du holder SHIFT nede, så du ikke ændrer på proportionerne! Endelig overfører du dit TI-Nspire billede af en Ovato Tondo. Skalér billedet af ovalen til det passer i størrelse med 'originalen' i Paint. Det sker ved at trække i et hjørne, mens du holder SHIFT nede, så du ikke ændrer på proportionerne!

42

Øvelse 4.4: Rafael som ovato tondos fader? Peruzzi, fra hvem vi har de første skitser af ovato tondo, var elev af Rafael. Der har derfor været spekulationer om hvorvidt Rafael selv kendte til konstruktio-nen af ovato tondo. Som indicium nævner man ofte Rafaels berømte billede i Villa Farnesia af havnymfen Galathea. Hendes skønhed gjorde et stort indtryk på samtidens unge adelsmænd, der udfrittede Rafael for at få ham til at røbe, hvilken renæssance-babe, der havde stået model til billedet. Men Rafael fast-holdt, at hun var udsprunget af hans hoved og således udelukkende repræsen-terede hans egen forestilling om den ideelle skønhed.

43

Billedet er et eksempel på Rafales elliptiske design. Undersøg selv om rammen passer med målene for en ovato tondo og om billedet kan tænkes struktureret efter denne ovato tondo? Hvilken rolle spiller kvadratet som billedet er indfæl-det i? Vink: Overfør billedet til Paint. Det kan ske ved hjælp af et skærmfangerpro-gram, fx skærmklip (MWSnap), eller det kan ske ved at åbne for en fil, der in-deholder billedet, jfr. øvelsesvejledningen. I Paint går du ind i Billede-menuen og fjerner hakket i det sidste menupunkt: Tegn uigennemsigtigt! Overfør derefter dit TI-Nspire billede af en Ovato Tondo. Skalér billedet af ova-len til det passer i størrelse med 'originalen' i Paint. Det sker ved at trække i et hjørne, mens du holder SHIFT nede, så du ikke ændrer på proportionerne!

44

Øvelse 4.5: Peruzzis ovaler På billedet af Peruzzis skitse ser man også en oval frembragt af et kvadratisk gitter:

Prøv nu selv at konstruere denne oval ud fra de to kvadrater og find ved opmå-ling og/eller beregning dens omkreds og areal, såvel som dens fladtrykthed og brændpunkternes placering. Øvelse 4.6: Michelangelos ellipse Ellipsens første indtog i renæssancens arkitektur kom med Michelangelos ud-formning af Capitolpladsen i Rom fra 1536-46, der først blev endeligt realiseret efter mesterens død i 1564. På næste side er vist hvordan pladsen så ud i 1568 på et kobberstuk af Dupérac, ligesom der er vedlagt en plantegning fra 1667 af Capitolpladsen. Pladsen ligger på en forhøjning, hvortil der er adgang tre ste-der. Læg mærke til at Michelangelo på denne måde bryder symmetrien omkring lilleaksen! I pladsens centrum befinder der sig en rytterstatue af Kejser Marcus Aurelius. Undersøg om der er tale om en ellipse. Kunne der endda rent faktisk være tale om en Ovato tondo?

45

46

Øvelse 4.7: Berninis ellipser I romanen 'Engle og Dæmoner' af Dan Brown spiller vindreliefferne fra Peters-pladsen, der er udformet af Bernini, en særlig rolle:

Er der tale om en ellipse? Er de to stjerner placeret i brændpunkterne? Øvelse 4.8: Storm over Dan Brown Dan Brown har været udsat for hård kritik, ikke mindst på internettet, hvor specielle hjemmesider har specialiseret sig i at finde fejl i hans bøger. Her er to anonyme kritikpunkter af Dan Browns brug af Peters-pladsen og vejrguderne:

'The four stone disks surrounding the obelisk in Piazza San Pietro are not bas-reliefs; they are simply flat stones, parts of the compass rose around the obelisk. They depict winds from north, south, east and west and how Langdon decides upon the West wind as the important one is unexplained: the angel in Santa Maria del Popolo can't have pointed with that exactness.' 'Art historians knew the fountains marked the exact geometric focal points of Bernini's elliptical piazza. Not true: the focal points are marked by two red stone disks roughly halfway between the obelisk and the fountains. Standing on one of the disks you have the illusion that the nearest colonnade has only one row of columns instead of four.'

Kommenter kritikpunkterne!

47

Øvelse 4.9 Borrominis oval S. Carlo alle Quattro Fontane er en af barokkens mest berømte kirker. Den lig-ger i Rom og er bygget af Borromini. S. Carlo alle Quattro Fontane fastslog Bor-romini's lokale og internationale berømmelse. "Noget tilsvarende", skrev over-hovedet for den religiøse orden der stod bag byggeriet, " kan ikke findes nogen andet sted i verden. Det er bekræftet af alle de fremmede besøgende, som ... prøver at fremskaffe kopier af grundplanen. Vi er blevet spurgt om kopier af Tyskere, Flamlændere, Franskmænd, Italienere, Spaniere, ja selv Indere ..."

15.17 E: Omtegning af Borrominis tidlige skitse til planens proportionering

48

En bevaret skitse viser, hvordan Borromini ønskede at proportionere planen. Grundfiguren er en rombe dannet af to ligesidede trekanter. I trekanterne er indskrevet cirkler, der sammen med to større bueslag med centrum i rombens hjørner danner en oval. Denne oval svarer til kuplens projektion i gulvplanet. Rektanglet, der omskriver ovalen, bestemmer hjørneafskæringerne af 'det græs-ke kors', og over de tilbageværende sidelængder spændes buerne, som danner korsets arme. Tegning af Francesco Borromini (1599-1667). Naredi-Rainer (1995), Fig.114, S. 213. Grundplan for klostret og kirken San Carlino alle quatro fontane i Rom. Originalen findes i Wien (Albertina n. 173)

Efter Ivan Tafteberg: Ovale_kilder (Noter til matematik og arkitektur) Gennemfør konstruktionen i TI-Nspire. Undersøg om der er tale om en af de ovaler, som vi kender fra Peruccis skitser (øvelse 4.5).