Matematiikkalehti2/2012

http://solmu.math.helsinki.fi

2 Solmu 2/2012

Solmu 2/2012ISSN-L 1458-8048ISSN 1459-0395 (Painettu)ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)

Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi

Päätoimittaja:Markku Halmetoja, lehtori, Mäntän lukio

Toimitussihteeri:Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto

Sähköposti:toimitus@solmu.math.helsinki.fi

Toimituskunta:Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakouluHeikki Apiola, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakouluSirkka-Liisa Eriksson, professori, Matematiikan laitos, Tampereen teknillinen yliopistoAapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAri Koistinen, FM, Metropolia AmmattikorkeakouluMika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoMatti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopistoLiisa Näveri, tutkijatohtori, Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopistoMarjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakouluHilkka Taavitsainen, lehtori, Ressun lukio

Graafinen avustaja:Marjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:Virpi Kauko, FT, matemaatikko, virpi@kauko.org, JyväskyläJorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, dosentti, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Tampereen yliopistoPetri Rosendahl, assistentti, petri.rosendahl@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopistoMatti Nuortio, tutkijatohtori, matti.nuortio@oulu.fi

Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopistoTimo Tossavainen, yliopistonlehtori, timo.tossavainen@uef.fi

Soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto, Itä-Suomen yliopisto

Numeroon 3/2012 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään 3.9.2012 mennessä.

Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. Toivomme,että lehteä kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Solmu 2/2012 3

Sisällys

Pääkirjoitus: Perusopetuksen tuntijakoesityksesta (Markku Halmetoja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Väitteitä matematiikan opetuksesta ja vastauksia niihin (Tuomas Korppi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Vedonlyönnin matematiikkaa (Jukka Liukkonen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Piin ja taun päivät (Niklas Hietala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Määrätyn integraalin opettamisesta likiarvotarkasteluin (Kyösti Tarvainen) . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Miten integroitiin, kun ei vielä osattu integroida? (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Pääsiäinen on aina sunnuntaina (Kimmo Vehkalahti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Yhtenäisyydestä (Tuomas Korppi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Pythagoraan lause vektoreilla (Markku Halmetoja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Solmu 2/2012

Perusopetuksen tuntijakoesityksestä

Matematiikan tuntimäärää ei sentäänvähennetä

Perusopetuksen tuntijakoa miettinyt työryhmä on jul-kaissut raporttinsa [1] ja asia viedään päätökseen ku-luvan kevään aikana. Sisältökysymykset ratkaistaanmyöhemmin opetussuunnitelmien tekemisen yhteydes-sä, mutta matematiikan asemaa tulevassa peruskoulus-sa voi arvioida jo annetun esityksen pohjalta. Työryh-mä lienee ollut tietoinen LUMA-raportissa [2, s. 16] to-detusta matematiikan tuntimäärän pienuudesta. Suo-men peruskoulussa matematiikan opiskeluun käytetäänkeskimäärin 2,6 viikkotuntia, kun eurooppalainen kes-kiarvo on 4,3 tuntia. Tästä huolimatta oppituntimääräon esityksessä ennallaan. Onneksi työryhmä kuitenkintoteaa, että ”perusopetuksessa matematiikkaan varat-tua vähimmäistuntimäärää ei tulisi laskea.”

Eriyttäminen on välttämätöntä

Suomalaisesta peruskoulujärjestelmästä pyritään eräi-den lehtitietojen mukaan tekemään uusi vientituo-te. Sen markkinointi edellyttää menestymistä PISA-testeissä, mikä luo painetta laatia opetussuunnitelmatniitä silmälläpitäen. Tällöin on vaarana, että jatko-opinnoissa tarvittavat todelliset valmiudet unohtuvatlopullisesti. PISA-matematiikka on pääasiassa mate-matiikan lukutaitoa, mikä tarkoittaa suuruusluokkienarviointia, graafisten esitysten tulkintaa ja erilaistenlaskentamallien antamien tulosten tarkastelua. Tämä

tärkeä kansalaistaito ei kuitenkaan riitä matematiik-kaa syvällisemmin edellyttäviin jatko-opintoihin, mis-sä oleellisinta on se, mistä tuntijakotyöryhmä raportis-saan toteaa: ”Algebran ja geometrian osaamisen on sensijaan todettu olevan heikkoa.” Työryhmä ei ilmeises-ti ole kuitenkaan ymmärtänyt kirjoittamaansa lauset-ta, sillä esityksestä puuttuu edellisen vaalikauden viimehetken poliittisissa myrskyissä kaatuneen tuntijakoesi-tyksen sisältämä mahdollisuus pariin eriyttävään ma-tematiikan kurssiin, joilla nimenomaan voitaisiin opis-kella puuttuvia algebran ja geometrian taitoja. Toi-vottavasti päättäjillä on riittävästi kaukonäköisyyttäja asiantuntemusta eriyttämismahdollisuuden palaut-tamiseen, sillä siinä on kyseessä loppujen lopuksi kor-keakoulujemme taso ja työpaikkojen säilyminen koti-maassa, kuten mm. LUMA-sanomissa käydyissä kes-kusteluissa on moneen kertaan todettu.

Matematiikkakin on taidetta

Tuntijakotyöryhmän raportissa esitetään taito- ja tai-deaineiden aseman parantamista. Valitettavasti ei ylei-sesti ymmärretä, että matematiikkakin kuuluu tähänaineryhmään. Miksi matematiikka on myös taidetta?Siksi, että monet matemaattiset totuudet ovat hy-vin kauniita ja niiden löytäminen edellyttää luovaaajattelua. Luovuuteen päästään parhaimmillaan jo pe-ruskoulun matematiikassa, sillä miltei poikkeuksettakeskimääräistä vaativammille harjoitustehtäville löytyyuseita toisistaan poikkeavia ratkaisutapoja. Mutta voi-

Pääkirjoitus

Solmu 2/2012 5

daanko koulumatematiikassa päästä näkemään todel-la kauniita matematiikan tuloksia? Kyllä; seuraavassamuutama esimerkki.

Kertotaulua opeteltaessa havaitaan, jos jätetään yk-kösellä kertomiset huomiotta, että tietyt luvut eivätkoskaan esiinny vastauksina. Tällaiset luvut ovat al-kulukuja. Jokainen positiivinen kokonaisluku voidaanesittää alkulukujen tulona, jolloin alkuluvut tulkitaanyksitekijäisiksi tuloiksi. Kreikkalainen matemaatikkoEukleides todisti jo yli 2000 vuotta sitten, että alkulu-kuja on ääretön määrä. Tulokseen johtava ajatuskulkuon yksi matematiikan kauneimmista ja peruskoululai-sen tavoitettavissa:

Olkoot p1, p2, . . . pn äärellinen joukko alkulukuja. Täl-löin luku

m = 1 + p1p2 . . . pn

ei ole jaollinen yhdelläkään niistä, sillä jokaisesta ja-kolaskusta m : pı jää jakojäännökseksi ykkönen. Kos-ka m kuitenkin voidaan esittää alkulukujen tulona, onolemassa muitakin alkulukuja kuin nuo mainitut. Siismikään äärellinen alkulukujoukko ei sisällä kaikkia al-kulukuja.

Eräissä lukion oppikirjoissa todistetaan algebrallisestikahden positiivisen luvun aritmeettisen, geometrisen jaharmonisen keskiarvon välinen suuruusjärjestys

H ≤ G ≤ A.

Tämä epäyhtälöketju yhtäsuuruusehtoineen voidaanpäätellä myös geometrisesti oheisen kuvion avulla.

A

GH

a b

Jatko-opintojen kannalta onkin erinomaisen tärkeää,että oppilas tajuaa algebran ja geometrian välisiä yh-teyksiä.

Yllä todettiin, että alkulukuja on ääretön määrä. Nii-den ominaisuuksia tutkitaan lukiossa lukuteorian kurs-silla. Siellä todistetaan esimerkiksi, että jos a on mikä

tahansa kokonaisluku ja p on alkuluku, niin ap − a onjaollinen luvulla p, eli

ap ≡ a (mod p).

Tässä kauneus ja hyöty kulkevat käsikädessä, sillä tä-män yhtälön taustalla oleviin ajatuksiin perustuu mm.eräs nykyaikainen tiedonsalausalgoritmi.

Matematiikkaa opiskeltaessa ja opetussuunnitelmialaadittaessa ei ole mielekästä alati kysellä, missä mitä-kin osa-aluetta tarvitaan ja mitä hyötyä mistäkin yksi-tyiskohdasta on. Se on yhtä turhaa kuin veden pump-paaminen karille ajaneen laivan alle. Jos veden pin-ta nousee ja vuotoja ei ole, niin laiva irtoaa karilta.Jos matematiikkaa opiskellaan avoimella mielellä op-piaineen omaa logiikkaa noudattaen, saavutetaan au-tomaattisesti valmiudet tarttua vaativiinkin sovelluk-siin.

Uusi professuuri

Helsingin yliopistoon on nimitetty sen historian ensim-mäinen matematiikan opettajankoulutuksen professori.Virkaan kutsutun matematiikan tohtori Juha Oikko-sen mielenkiintoinen haastattelu on luettavissa LUMA-sanomissa [3]. Solmun toimitus onnittelee uutta profes-soria nimityksen johdosta ja toivoo syvenevää yhteis-työtä yhteisten ongelmien voittamiseksi.

Viitteet

[1] http://www.minedu.fi/OPM/Julkaisut/2012/

Tulevaisuuden_perusopetus.html

[2] LUMA – Suomen menestystekijä nyt ja tulevaisuu-dessahttp://www.oph.fi/instancedata/prime_

product_julkaisu/oph/embeds/110468_luma_

neuvottelukunnan_muistio_2009.pdf

[3] http://www.luma.fi/artikkelit/1093/

tuore-matematiikan-opettajankoulutuksen-

professori-kaipaa-opetukseen-lisaeae-

mielekyyttae-ja-kohtaamisia

Markku Halmetoja

Pääkirjoitus

6 Solmu 2/2012

Väitteitä matematiikan opetuksesta ja vastauksia niihin

Tuomas Korppi

Maallikoilla on mitä kummallisimpia näkemyksiä ma-tematiikasta, ja nämä näkemykset heijastuvat siihen,millaisena he näkevät matematiikan kouluopetuksen1

roolin. Tässä kirjoitelmassa esitän tällaisia näkemyksiäväitemuodossa ja annan oman vastaukseni väitteisiin.Vaikka väitteiden muotoilu on minun tekemäni, kaikil-la esitetyillä väitteillä on esikuvansa todellisuudessa.

Matematiikan luonne

Väite 1. Matematiikkahan on pelkästään joukko sopi-muksia.

Vastaus: Kaikilla tieteenaloilla on omaa erikoistermino-logiaansa, ja termien merkitykset voidaan nähdä sopi-muksina. Matematiikka ei ole mikään poikkeus, ja ma-temaatikkojen ammattikielessä tällaista termin merki-tyksen määrittelyä kutsutaan määritelmäksi.

Määritelmät itsessään eivät ole matematiikassa se asianpihvi, vaan se, että niistä voidaan loogisesti päätelläuusia väittämiä, joita kutsutaan teoreemoiksi. Päätte-lyketjut ovat useissa tapauksissa hyvinkin monipolvi-sia, ja se, että jokin teoreema on määritelmien loogi-nen seuraus, voi olla päättelyketjua tuntemattomalleihmiselle (jopa matemaatikolle) hyvinkin yllättävää.

Muista tieteistä matematiikka eroaa siten, että muissatieteissä tulokset eivät ole pelkästään termien merkitys-määrittelyjen loogisia seurauksia, vaan tulokset riippu-

vat sekä termien merkityksistä että ympäröivän todel-lisuuden luonteesta.

Matematiikan varsinaisesti mielenkiintoisen sisällönvoidaankin katsoa muodostuvan lauseista tyyppiä”Näistä-ja-näistä määritelmistä seuraavat nämä-ja-nämä teoreemat”. Tällaisten lauseiden totuus tai epä-totuus ei sitten enää olekaan sopimuksenvarainen asiavaan looginen välttämättömyys.

Matematiikka suhteessa muihin kouluai-neisiin

Väite 2. Koulun on tarkoitus tarjota yleissivistystä ei-kä keskittyä insinöörien tuotantoon talouselämän palve-lukseen. Näin ollen matematiikkaa ei tule painottaa.

Vastaus: Matematiikassa on osia, jotka kuuluvat yleis-sivistykseen. Tällaista on esimerkiksi ala-asteella opit-tava peruslaskento, joka jokaisen länsimaisen ihmisenkuuluu osata. Kirjainalgebrasta yleissivistykseen kuu-luu ainakin sen ymmärtäminen, kuinka kirjainten avul-la voidaan esittää yleisiä, kaikkia lukuja koskevia väit-teitä. Tämä on yleissivistävää, koska se esittää oppi-laille uuden tavan ilmaista asioita.

Yleissivistävää materiaalia löytyy myös nykyisen kou-lukurssin ulkopuolelta. Tärkeimpänä tällaisena asianapidän deduktiivisen metodin hallintaa, jossa lähdetäänaksioomista, ja niistä käsin todistetaan eli perustellaan

1Koululla tarkoitan tässä kirjoitelmassa peruskoulua ja lukiota.

Solmu 2/2012 7

aukottomasti teoreemoja. Tämä on yleissivistävää sik-si, että tällaisessa ympäristössä tutustutaan siihen, mil-laista on tieto, joka voidaan tietää varmasti, ja joka ero-aa empiirisissä tieteissä saavutettavasta tiedosta, jokaon epävarmaa.

Deduktiivinen metodi, Eukleideen geometriana, onmyös kuulunut klassiseen yleissivistykseen.

Myös modernimmassa matematiikassa on osia, joidenhallinta on mielestäni yleissivistävää. Tällaisia ovat ai-nakin seuraavat:

• δ–ε-metodi, jolla jatkuvaa muutosta voidaan käsitel-lä matemaattisen täsmällisesti.

• Kardinaalilukujen teorian alkeita sen verran, ettäymmärretään, että parhaiden matemaattisten teo-rioiden mukaan äärettömiä joukkoja on eri kokoisia.

• Lebesguen mitan teoria, joka kertoo, kuinka omitui-sen mallisiin joukkoihin käsitteitä ”pituus”, ”pinta-ala” ja ”tilavuus” voidaan mielekkäästi soveltaa.

• Sen ymmärtäminen, mitä Gödelin epätäydellisyys-lauseet sanovat. Tämä kertoo matemaattisen meto-din rajat. Lisäksi nämä lauseet osoittavat, että to-tuus transsendenttina ominaisuutena on erotettavatodistuvuudesta inhimillisesti saavutettavissa oleva-na ominaisuutena. Monissa maallikoiden käymissäfilosofisissa keskusteluissa olen huomannut, että ih-misillä on mitä kummallisimpia harhaluuloja kos-kien Gödelin epätäydellisyyslauseita.

Yllä olen esimerkinomaisesti luetellut matematiikanosia, jotka ovat yleissivistäviä. Luetteloa ei ole tar-koitettu kattavaksi; yleissivistävää materiaalia löytyyvarmasti lisääkin. Näin ollen kouluopetuksen muutta-minen yleissivistävämmäksi ei tarkoita matematiikanosalta sitä, että sen määrää vähennettäisiin, vaan en-nemmin sitä, että painopistettä siirretään matematii-kan sisällä insinöörien tarvitsemasta ”välinematematii-kasta” kohti käsitteellisesti mielenkiintoista matema-tiikkaa.

Väite 3. Matematiikka ja kovat luonnontieteet edus-tavat kovia arvoja. Kouluopetuksen on sitä vastoin pai-notettava pehmeitä arvoja.

Vastaus: Ensinnäkin tekisi mieli muistuttaa Humengiljotiinista. Matematiikka ja luonnontieteet tuottavattietoa siitä, kuinka asiat ovat, eivätkä ne suoranaisestikerro siitä, kuinka asioiden pitäisi olla. Näin ollen neovat neutraaleja arvokeskustelussa.

Kovia arvoja edustaakin nähdäkseni lähinnä rahan jayleisemmin talouden roolin painottaminen päätöksen-teossa, eikä matematiikka sinällään sano juuta eikä jaa-ta koskien sitä, pitäisikö näitä asioita painottaa.

Taloustieteen teorioissa toki sovelletaan matematiik-kaa, ja jotta ihminen voisi uskottavasti argumentoida

kovia taloudellisia arvoja kannattavia ihmisiä vastaan,hänen täytyy hallita talouden lainalaisuudet, ja näin ol-len myös matematiikkaa. Näin matematiikka on, hiu-kan kiertotietä, hyödyllistä myös ihmiselle, joka haluaaedesauttaa pehmeiden arvojen toteutumista.

Väite 4. Koulun on opetettava kriittistä ajattelua, jasitä tukevat parhaiten humanistiset aineet, ei matema-tiikka.

Vastaus: Ensinnäkin kouluopetuksessa on sellainen on-gelma, että tieteiden metodologiaan ei yleensä päästä,mikä rajoittaa kriittisen ajattelun opettamista ylipää-tänsä, koska oppilaat eivät näe, millaisia ovat ne ajatte-lutavat, joita tiedon keräämisessä käytetään. Myös hu-manistisissa aineissa ”kriittinen ajattelu” jää koulussausein mielipiteiden ilmaisemisen tasolle.

Matemaattinen metodi, deduktiivinen päättely, on pe-riaatteessa opetettavissa jo lukiotasolla (katso vastausVäitteeseen 2). Tämä edesauttaa kriittisen ajattelunvalmiuksia, koska oppilaat tutustuvat päättelyketjui-hin, jotka ovat tiukasti totuuden säilyttäviä. Tämä aut-taa hahmottamaan hyvän ja huonon päättelyn eroa.

On tietysti totta, että kriittinen ajattelu on paljonmuutakin kuin deduktiivista päättelyä, mutta väitän,että humanististen tieteiden summittaisella painotta-misella matematiikkaan verrattuna tavoitetta ei saavu-teta. Eräs mahdollisuus kriittisen ajattelun opettami-seen olisi matemaattisen deduktion opettaminen, ja senlisäksi väittelytaidon kurssi, jolla keskityttäisiin argu-mentaatiovirheiden karsimiseen. Argumentaatiovirheetkun ovat yleensä seurausta ajatusvirheistä.

Matemaattisista ajatusprosesseista

Väite 5. Koulun tulee opettaa luovuutta, ja koska ma-tematiikka ei ole luovaa, sitä ei tule painottaa.

Vastaus: Koulumatematiikassa hinkataan hyvin paljonmekaanisia laskutehtäviä, mikä tosiaan ei ole luovaa.Yliopistomatematiikassa tilanne on toinen. Siellä tör-mätään ongelmiin, jotka toteuttavat molemmat seuraa-vista ehdoista:

1. Ongelman ratkaisun oikeellisuuden tarkastaminenon mekaaninen toimenpide.

2. Ongelman ratkaisun löytämiseen ei ole mekaanistamenetelmää.

Tällaisissa olosuhteissa törmätään aivan omanlaiseen-sa luovuuden lajiin. Kohdan (2) takia luovuutta tosi-aan tarvitaan: Valmiin ratkaisukonseptin mekaaninensoveltaminen ei ole mahdollista. Kohdan (1) takia ke-nenkään ei ole mahdollista tarjota epäkelpoa ratkaisuaja väittää, että sen hyvyys on mielipidekysymys.

8 Solmu 2/2012

Tällainen luovuus eroaa jonkun verran siitä luovuudes-ta, jota esimerkiksi kuvataiteilija käyttää, koska esi-merkiksi tehtävänannon ”luova tulkitseminen” ei olesallittua. Toisaalta tällainen luovuus tulee lähelle ru-noilijan luovuutta silloin kun runoilija kirjoittaa ru-noa johonkin mittaan: Mitta asettaa reunaehdot runonrytmille ja loppusoinnuille samaan tapaan kuin mate-matiikan oikeellisuuden säännöt asettavat reunaehdotmatemaattisen tehtävän ratkaisulle. Nähdäkseni mit-taan kirjoittava runoilija tarvitsee vapaaseen mittaankirjoittavaan verrattuna huomattavasti enemmän luo-vuutta, koska hänen on löydettävä sanat, jotka sekäsopivat mittaan että välittävät sen, mitä hän haluaasanoa.

Uskoisin, että elävässä elämässä tarvitsemme enemmänmatemaatikon luovuutta kuin kuvataiteilijan luovuut-ta, koska todellisuus asettaa selkeitä rajoja ratkaisujenhyvyydelle.

Näin ollen olenkin vahvasti sitä mieltä, että matema-tiikan kouluopetukseen olisi tuotava mahdollisuuksienmukaan tehtäviä, jotka toteuttavat ehdot (1) ja (2).Eräs tehtävätyyppi, jossa tähän törmätään ilman, et-tä vaaditaan syvällistä matematiikan teorioiden tunte-musta, ovat tehtävät, joissa etsitään voittostrategioitayksinkertaisiin peleihin.

Väite 6. Matemaatikot pelkästään tuijottavat kaavoi-hinsa. Haluamme, että koulussa ihmisille opetetaanlaaja-alaisempaa ymmärryskykyä.

Vastaus: Kuten edellä on tullut ilmi, matematiikka onpäättelyä ja ongelmanratkaisua, ja kaavat ovat vainkieli matemaattisten asioiden esittämiseen. Itse asiassamatemaattisessa tekstissä yleensä vaihdellaan luonnol-lisen kielen ja kaavojen välillä aina sen mukaan, kum-malla on esitettävä asia helpompi ilmaista.

Matemaattisen ymmärryskyvyn omaavat ihmisetyleensä myös ymmärtävät, mistä kaavat tulevat, mikäon ainoa tapa hahmottaa jonkun kaavan sovellusalu-een rajat tai kysymys kaavan pätevyydestä ylipäätän-sä. Kritiikitön kaavan soveltaminen on yleensä merk-ki matemaattisen ymmärryskyvyn puutteesta, ja eräsmatematiikan opettamisen syistä onkin antaa ihmisilleymmärrys, jolla punnita kaavoja tai matematiikkaanpohjaavia väitteitä ylipäätänsä.

Matematiikan käytännön hyöty

Väite 7. Koulujen matematiikan opetuksessa on siir-ryttävä soveltaviin tehtäviin.

Vastaus: Tässä sana ”soveltava” on aika monitulkin-tainen. Ensinnäkin sillä voidaan tarkoittaa sovelluksiakäytännön elämään. Toisekseen sillä voidaan tarkoit-taa esitetyn matemaattisen teorian soveltamista uusiin

matemaattisiin ongelmiin, joilla ei välttämättä ole yh-teyttä käytännön elämään.

Mielestäni käytäntöön soveltaminen ei saa olla oppisi-sältöjen valinnassa itseisarvo. Tärkeää on se, että op-pilaat oppivat matemaattista teorianmuodostusta se-kä luovaa matemaattista ongelmanratkaisukykyä, eliyhteenvetona matemaattista ajattelua. Käytäntöön so-veltavia ongelmia kannattaa esittää vain sikäli, kun sepalvelee tätä tarkoitusta. Erityisesti sellaisia soveltaviatehtäviä on vältettävä, joissa tehdään vain mekaaninen,suoraviivainen sovellutus esitetystä teoriasta.

Soveltaminen uusiin matemaattisiin ongelmiin on sel-keämmin kannatettavaa. Tällaiset tehtävät ovat hyvinusein niitä, joissa sovellus ei ole suoraviivainen, vaanvaatii kekseliäisyyttä, eli yleensä toteuttaa Väitteen 5vastauksessa mainitut pykälät (1) ja (2).

Väite 8. Matematiikan opettaminen koulussa on tur-haa. En ole eläessäni tarvinnut derivaattaa mihinkään.

Vastaus: Ensinnäkin on kohtuutonta yleistää derivaa-tan tarpeettomuus koko matematiikan tarpeettomuu-deksi. Esimerkiksi ala-asteella opetettavia peruslasku-toimituksia jokainen tarvitsee arkipäiväisessä elämäs-sään.

Lisäksi differentiaali- ja integraalilaskenta, johon deri-vaattakin kuuluu, on välttämätöntä luonnontieteisiin jatekniikkaan jatko-opinnoissa suuntautuville oppilaille,ja koulun on annettava valmiudet myös heille. Tässämerkittävä on lukion matematiikan jako pitkään ja ly-hyeen matematiikkaan. Ne jotka aikovat jatkossa suun-tautua luonnontieteisiin ja tekniikkaan, voivat lukiossavalita pitkän matematiikan.

Kuitenkin suuri osa koulussa opetettavasta asiastamuissakin aineissa on sellaista, jota ei jatkossa kon-kreettisesti tarvita, mutta jonka hallitsemisen katso-taan olevan arvokasta yleissivistystä. Siitä, mikä osamatematiikasta on mielestäni tällaista, olen kirjoitta-nut Väitteen 2 vastauksessa.

On totta, että en katso derivaatan kuuluvan matemaat-tiseen perusyleissivistykseen. Sitä vastoin differentiaali-ja integraalilaskentaa tarvitaan hyvinkin yksinkertai-sen fysiikan ymmärtämisessä. Esimerkiksi nopeus onkuljetun matkan derivaatta ajan suhteen. Mielestänitietty määrä fysiikkaa, ympäröivän todellisuuden pe-rimmäisten lainalaisuuksien tutkimisena, kuuluu yleis-sivistykseen jos mikä. Näin derivaattakin kuuluu yleis-sivistykseen, ei osana matemaattista yleissivistystävaan osana fysikaalista yleissivistystä.

Liite: Aksioomien ja määritelmien suh-teesta

Väitteen 1 vastauksessa puhun siitä, että teoreematseuraavat määritelmistä. Koska joillekin koelukijoilleni

Solmu 2/2012 9

heräsi kysymys, eikö aksioomia tarvita myös, selvennäntässä liitteessä kantaani.

Tässä kannattaa huomata aksiooman roolin muuttumi-nen antiikista nykyaikaan. Aiemmin aksioomia pidet-tiin itsestäänselvyyksinä, jotka eivät tarvinneet perus-telua, ja joita siksi voitiin pitää päättelyn lähtökohta-na.

Nykyisin aksioomiin ei liity tuollaista itsestäänselvyy-den vaatimusta, ja ne esiintyvät osana määritelmiä.Esimerkiksi topologinen avaruus määritellään miksi ta-hansa systeemiksi, joka toteuttaa topologisen avaruu-den aksioomat. Ryhmät määritellään samalla tavoinaksiomaattisesti. Itse yleistäisin vielä tästä, ja pitäisinesimerkiksi 2. kertaluvun Peanon aksioomia luonnollis-ten lukujen systeemin määritelmänä: Määrittelen luon-nollisten lukujen systeemin siksi isomorfiaa vaille yksi-käsitteiseksi systeemiksi, joka toteuttaa 2. kertaluvunPeanon aksioomat. Reaaliluvut määrittelen vastaavas-ti.

Tällä lähestymistavalla tarvitsemme matematiikan läh-tökohdaksi kolme asiaa:

1. Määritelmät

2. Päättelysäännöt

3. Matemaattisen konstruoimisen säännöt

Väitteen 1 vastauksessa tarkoitukseni oli käyttää sa-naa ”looginen” löyhässä mielessä niin, että se kattaapykälät (2) ja (3). Jos ollaan tarkkoja, ylläoleva listatarkentuu muotoon

1. Määritelmät

2. 1. kertaluvun predikaattilogiikka

3. ZFC-joukko-opin aksioomat

Näin ZFC-joukko-opin aksioomat (tai, jos niin halu-taan, joku niiden vahvennus, jossa voidaan puhua myösaidoista luokista) ovat ainoa aksioomien muoto, jot-ka ovat aksioomia vanhassa, antiikinaikaisessa mieles-sä. Puolustan kuitenkin niiden sisällyttämistä ”logiik-kaan” vastauksessani sillä, että suuri osa matemaati-koista ei edes tunne kyseisiä aksioomia perusteellisesti,vaan suorittavat matemaattiset konstruktiot itsestään-selvänä pitämällään tavalla, joka yhtyy ZFC:ssä sallit-tuihin operaatioihin.

Diplomitehtävien oheislukemistoa

Osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html on diplomitehtäville oheislukemistoa, joka var-masti kiinnostaa muitakin kuin diplomien tekijöitä:

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Murtolukujen laskutoimituksia

Negatiivisista luvuista

Hiukan osittelulaista

Lausekkeet, kaavat ja yhtälöt

Äärettömistä joukoista

Erkki Luoma-aho: Matematiikan peruskäsitteiden historia

Gaussin jalanjäljissä

K. Väisälä: Algebra

Yläkoulun geometriaa

Geometrisen todistamisen harjoitus

K. Väisälä: Geometria

Lukuteorian diplomitehtävät

10 Solmu 2/2012

Vedonlyönnin matematiikkaa

Jukka Liukkonen

Metropolia ammattikorkeakoulu

Vedonlyönnissä vedonlyöntitoimisto sitoutuu maksa-maan vedonlyöjälle eli asiakkaalle hänen vetoon sijoit-tamansa rahamäärän eli panoksen tietyllä kertoimel-la kerrottuna, mikäli vedonlyöjän veikkaama tulos to-teutuu. Muussa tapauksessa asiakkaan maksamat ra-hat jäävät vedonlyöntitoimistolle. Jos toimisto julkis-taa kertoimet ennen vedonlyönnin alkamista, kertoimiasanotaan kiinteiksi. Käytännössä kertoimet useimmi-ten määräytyvät asiakkaiden yhteenlaskettujen panos-ten perusteella ja ne muuttuvat sitä mukaa kun uusiavetoja lyödään. Tämän esityksen tavoitteena on tutus-tuttaa lukija (itse asiassa kirjoittaja, jos rehellisiä ol-laan!) vedonlyönnin matematiikkaan ja erityisesti ar-bitraasin käsitteeseen. Sen takia tarkastelemme mah-dollisimman yksinkertaista tilannetta, jossa kertoimetovat kiinteät.

Olkoon vedonlyönnin kohteena kahden jalkapallojouk-kueen, sanokaamme FC1 ja FC2, tietyn pelin tuloksetkiinteillä kertoimilla. Tulosvaihtoehdot ovat

(1) joukkue FC1 voittaa,

(x) joukkueet pelaavat tasapelin ja

(2) joukkue FC2 voittaa.

Kun tulokset koodataan reaaliluvuiksi x1, x2 ja x3, nii-tä voidaan pitää satunnaismuuttujan X arvoina: esi-merkiksi x1 = 1 (FC1 voittaa), x2 = 1.5 (tasapeli) jax3 = 2 (FC2 voittaa). Vedonlyöntitoimisto asettaa ve-donlyöntikertoimet λ1, λ2 ja λ3 sen perusteella, miten

todennäköisiksi se arvioi pelin tulosvaihtoehdot. Ker-toimiin vaikuttaa luonnollisesti myös se, kuinka suu-ren osan asiakkaan sijoittamista varoista toimisto kes-kimäärin haluaa palauttaa asiakkaalle. Olkoot kohteentulosvaihtoehtojen x1, x2 ja x3 arvioidut todennäköi-syydet vastaavasti p1, p2 ja p3. Niiden summan tuleetietysti olla yksi:

p1 + p2 + p3 =3

∑

k=1

pk = 1. (1)

Jos asiakas sijoittaa vetoihin tulosten x1, x2 ja x3 puo-lesta r1, r2 ja r3 euroa tässä järjestyksessä, asiakkaansaama palautus on vastaavasti λ1r1, λ2r2 tai λ3r3 riip-puen siitä, mikä tulosvaihtoehdoista toteutuu:

Pelin Toden-Kerroin Panos Palautus

tulos näköisyysx1 p1 λ1 r1 λ1r1

x2 p2 λ2 r2 λ2r2

x3 p3 λ3 r3 λ3r3

Asiakkaan saaman palautuksen odotusarvo µ on

µ = p1λ1r1 + p2λ2r2 + p3λ3r3 =3

∑

k=1

pkλkrk.

Merkitään symbolilla r asiakkaan sijoittamien panos-ten summaa:

r = r1 + r2 + r3 =3

∑

k=1

rk.

Solmu 2/2012 11

Suhdetta µ/r kutsutaan palautusprosentiksi. Jotta ve-donlyöntitoimisto hyötyisi toiminnastaan taloudellises-ti, palautusprosentin tulee olla pienempi kuin yksi –siis alle 100 %. Yleisessä tapauksessa palautusprosenttiriippuu panoksista rk. Kertoimet λk on kuitenkin mah-dollista säätää panosinvarianteiksi eli sellaisiksi, ettäpalautusprosentti ei riipu panoksista. Tällöin panos-tuksilla

r1 = rr2 = 0r3 = 0

r1 = 0r2 = rr3 = 0

r1 = 0r2 = 0r3 = r

tulee olla sama palautusprosentti c. Vaatimukset

c =µ

r=

piλir

r= piλi

johtavat panosinvarianssiehtoihin

λi =c

pi

⇔ pi =c

λi

, i = 1,2,3. (2)

Merkitsemällä

Λ =3

∑

i=1

1λi

ja ottamalla huomioon yhtälö (1) saadaan

1c

=1c

3∑

i=1

pi =3

∑

i=1

pi

c

=3

∑

i=1

1λi

= Λ ⇒ c =1Λ

. (3)

Tässä artikkelissa kertoimet oletetaan panosinvarian-teiksi, ellei erikseen mainita.

Esimerkki 1. Olkoot vedonlyöntitoimiston ilmoitta-mat panosinvariantit vedonlyöntikertoimet λ1 = 2.30,λ2 = 2.90 ja λ3 = 3.00. Koska

Λ =1

2.30+

12.90

+1

3.00≈ 1.1129,

palautusprosentti on

c ≈1

1.1129≈ 0.8986 ≈ 90 %.

Vedonlyöntitoimiston arvioimat todennäköisyydet ovatsiten

p1 =c

λ1≈

0.89862.30

≈ 0.3907 ≈ 39 %

p2 =c

λ2≈

0.89862.90

≈ 0.3099 ≈ 31 %

p3 =c

λ3≈

0.89863.00

≈ 0.2995 ≈ 30 %

Summasta

3∑

k=1

crλ−1k = cr

3∑

k=1

1λk

= crΛ(3)= r

nähdään, että panokset voidaan asettaa kaavan

rk = crλ−1k (4)

mukaisiksi, k = 1, 2, 3. Tällä panostuksella asiakkaansaama palautus on aina tasan cr. Vaihtoehdon xi to-teutuessa nimittäin palautus on λiri = λicrλ−1

i = crkaikilla i = 1, 2, 3. Panostusta (4) voidaan siis kutsuaneutraaliksi panostukseksi. Tilanne muuttuu asiakkaankannalta mielenkiintoiseksi, jos

Λ < 1. (5)

Silloin palautusprosentti on yhtälön (3) nojalla suurem-pi kuin 100 %. Mikään positiiviseen taloudelliseen tu-lokseen tähtäävä vedonlyöntitoimisto ei tahallaan asetatällaisia kertoimia, mutta entä jos toimistoja on useitaja niillä on erilaiset kertoimet samalle kohteelle. Asia-kashan voi hajauttaa vetonsa eri toimistojen kesken.Toimistot ovat saattaneet arvioida kohteen tulosvaih-toehtojen todennäköisyydet eri tavalla, mistä on seu-rauksena eri kertoimet yhtälön (2) mukaisesti.

Olkoon ehto (5) voimassa. Tutkitaan mahdollisuuttasaada voitto v varmasti. Kaikilla i = 1,2,3 pitää siisolla

λiri − r = v ⇔ ri =r + v

λi

. (6)

Summaamalla saadaan

r =3

∑

i=1

ri = (r + v)3

∑

i=1

1λi

= (r + v)Λ

⇔ (1 − Λ) r = vΛ

⇔ r =Λ

1 − Λv. (7)

Tällöin

ri

(6)=

Λ1 − Λ

v + v

λi

=v

(1 − Λ)λi

.

Yhteenvetona saadaan seuraava tulos:

Lause 1. Jos vedonlyöntikertoimet toteuttavat yhtälönΛ < 1, ja panokset ovat

ri =v

(1 − Λ)λi

, i = 1,2,3,

asiakas saa aina positiivisen voiton v riippumatta siitä,mikä tulosvaihtoehdoista x1, x2 ja x3 toteutuu.

Lauseessa kuvattu vedonlyöntimenettely on esimerkkiarbitraasista, hinnoitteluerojen mahdollistamasta ris-kittömään tuottoon johtavasta toimintatavasta. Arbit-raasi voidaan toteuttaa vain ehdolla Λ < 1.

12 Solmu 2/2012

Esimerkki 2. Muutetaan esimerkki 1 sellaiseksi, et-tä vetoa lyödään samanaikaisesti kolmessa vedonlyön-titoimistossa. Oheiseen taulukkoon on merkitty kun-kin toimiston osalta palautusprosentti ja toimiston ar-vio tulosvaihtoehtojen todennäköisyyksistä. Lopuksi onlaskettu kerrointen käänteisluvuille λ−1

k = pkc−1 likiar-vot. Toimisto numero 3 on sama kuin esimerkissä 1.

TstoPal.-pros.

Toden-Kerrointen

käänteisluvutnäköisyydetprosentteina

c p1 p2 p3 λ−11 λ−1

2 λ−13

1 95 35 29 36 0.37 0.31 0.382 93 42 26 32 0.45 0.28 0.343 90 39 31 30 0.43 0.34 0.33

Ideana on veikata kussakin toimistossa vain yhtä tulos-vaihtoehtoa. Katsomalla kolmelta viimeisimmältä sa-rakkeelta pienimmät luvut havaitaan, että summa Λ =λ−1

1 +λ−12 +λ−1

3 saa pienimmän arvon, kun toimistossa1 veikataan tulosta x1, toimistossa 2 veikataan tulostax2 ja toimistossa 3 veikataan tulosta x3 (sattumalta tu-li sama järjestys). Koska tämä pienin arvo on 0.98 < 1,voimme soveltaa arbitraasivedonlyöntiä.

Seuraavassa taulukossa ajatellaan, että vetoa lyödäänkuvitteellisessa toimistossa, jonka kertoimet on ke-rätty kolmesta todellisesta toimistosta edellä kuvatunmukaisesti. Todennäköisyyksiä merkitään sekaannus-ten välttämiseksi symbolilla qk. Viimeisille sarakkeil-le on laskettu kertoimet λk = ckq−1

k ja panokset rk =v(1 − Λ)−1λ−1

k . Laskenta on tehty maksimitarkkuudel-la, mutta luvut esitetään kahdella desimaalilla. Panok-set on laskettu päämääränä saada 100 euron varmavoitto. Siis v = 100.

TstoPal.- Todennäk.

KerroinPanos

pros. pros. eurk ck qk λk rk

1 95 35 2.71 1972.732 93 26 3.58 1496.973 90 30 3.00 1784.85Σ 91 5254.55

Koska toimistot ovat erimielisiä todennäköisyyksistä,hajautetussa vedossa eri tulosvaihtoehtojen arvioitujentodennäköisyyksien summa on 91 % eikä 100 %. Asiak-kaan saama voitto 100 euroa on vain 1.9 % noin 5250

euron kokonaispanoksesta, mutta se on riskitöntä tuot-toa. Muutama tällainen voitto vuodessa tuottaisi sijoi-tetulle pääomalle tavoittelemisen arvoisen koron.

Otetaanpa vielä korostetun yksinkertainen ja äärim-mäinen esimerkki, jotta varman voiton mahdollisuustietyissä olosuhteissa tulisi varmasti selväksi:

Esimerkki 3. Olkoon veikattavassa kohteessa kaksitulosvaihtoehtoa x1 ja x2. Hajautetaan veto kahteentoimistoon T1 ja T2, joilla kummallakin on palautus-prosentti 90 %. Toimisto T1 arvioi tuloksen x1 toden-näköisyydeksi 75 % ja tuloksen x2 todennäköisyydeksi25 %. Toimiston mielestä tulos x2 tulee siis keskimäärinjoka neljännellä pelikerralla. Jos toimisto ei tavoittelisitaloudellista hyötyä, se maksaisi tulosvaihtoehdolle x2

asetetun panoksen nelinkertaisena takaisin asiakkaalleaina, kun tulos x2 sattuu tulemaan. Toimisto kuitenkinhaluaa asiakkaan panoksista keskimäärin 10 % itsel-leen, joten se maksaa tuloksen x2 toteutuessa sille ase-tetun panoksen vain 3.6-kertaisena takaisin. Vastaavinperustein toimisto maksaa tulokselle x1 asetetun pa-noksen kertoimella 1.2 kerrottuna takaisin tuloksen x1

toteutuessa. Toimisto T2 arvioi todennäköisyydet juu-ri päinvastoin. Sen mielestä tuloksen x1 todennäköisyyson 25 % ja tuloksen x2 todennäköisyys on 75 %.

Toimisto Pal.pros.Toden-

Kertoimetnäköisyydetprosentteina

p1 p2 λ1 λ2

T1 90 75 25 1.2 3.6T2 90 25 75 3.6 1.2

Asiakkaan kannalta merkitykselliset tosiasiat ovat seu-raavat:

1) Tuloksen x2 toteutuessa T1 maksaa vaihtoehdolle x2

asetetun panoksen 3.6-kertaisena takaisin.

2) Tuloksen x1 toteutuessa T2 maksaa vaihtoehdolle x1

asetetun panoksen 3.6-kertaisena takaisin.

Asiakas päättää lyödä toimiston T1 kanssa 100 eurol-la vetoa sen puolesta, että x2 toteutuu. Lisäksi asiakaspäättää lyödä toimiston T2 kanssa 100 eurolla vetoasen puolesta, että x2 ei toteudu eli että x1 toteutuu.Tapahtuipa sitten niin tai näin, asiakas saa aina 360euroa takaisin. Voitto on 160 euroa 200 euron sijoituk-sella. Asiakas saa siis 80 % riskittömän tuoton sijoitta-malleen pääomalle.

Verkko-Solmun oppimateriaalit ovat nyt omalla sivullaan

http://solmu.math.helsinki.fi/oppimateriaalit.html

Solmu 2/2012 13

Piin ja taun päivät

Niklas Hietala

Joka maaliskuun 14. päivänä monet matemaatikot taimuuten matematiikasta innostuneet juhlivat piin päi-vää. Päivän suosio on suurimmillaan maissa, joissa päi-vämäärät kirjoitetaan nurinkurisessa järjestyksessä elikuukausi ennen päivää. 3.14. – 14. maaliskuuta – ontietenkin piin likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella.

Suomalaiseen päivämääräjärjestelmään sopivampi juh-lapäivä piille olisi 22.7. (eli 22/7), koska hyvä likiarvopiille on 22

7 . Tämä päivä ei kuitenkaan ole saavuttanutkovin suurta suosiota. Ehkä murtolukulikiarvot eivätole digitaalisessa maailmassa enää niin tärkeitä.

Englanninkielisissä maissa iso osa piin päivän juhlintaaon piirakoiden leipominen ja syönti (lausutaanhan ’pi’ja ’pie’ samalla tavalla). Onko pii-rakoilla yhtä suurirooli suomalaisessa piin päivässä? Pii-rakoista puhumi-nen ei kuulosta kauhean herkulliselta. Jos piirakat ovatosa piin päivää, niin miksei yhtälailla piimä, piiloleikitja piirtäminen? Ehkei kuitenkaan piikit, piiskaaminenja piina.

Suomenkielen sana pii ei tarkoita vain kreikan kirjaintaja matemaattista vakiota, vaan myös alkuainetta. Kos-ka piitä käytetään mikropiirien valmistamiseen, niinehkä piin päivä voisikin olla matemaatikkojen ja tie-tojenkäsittelytieteilijöiden yhteinen juhlapäivä.

En osaa oikein päättää, tulisiko minun suomalaisenajuhlia piin päivää maaliskuussa ja näin osoittaa tukenitakaperoiselle päivämäärämerkinnälle. Ehkä ongelmaratkeaa hylkäämällä pii. Piihän on väärin, kuten esi-merkiksi Bob Palais (The Mathematical Intelligencer,23 (3), s. 7, 2001) ja Michael Hartl (tauday.com) ovattuoneet esiin. Ei piissä sinällään mitään vikaa ole. On

vain kummallista, että puhumme ympyrän kehän jahalkaisijan suhteesta, emmekä kehän ja säteen suhtees-ta. Yleensähän ympyröistä puhuttaessa säde on halkai-sijaa paljon tärkeämmässä asemassa.

Halkaisijan käyttö säteen sijasta johtaa joihinkin epä-loogisuuksiin. Radiaaneissa täysi kierros on 2π. Miksitässä täytyy olla tuo kakkonen mukana? Radiaanienoppiminen olisi varmaan helpompaa, jos näin ei olisi.Samaten kerroin 2π tulee esiin lukuisissa eri yhteyksis-sä, joissa olisi kätevämpää, että olisi vain yksi merkki.

Piin kilpailijalle, kehän ja säteen suhteelle, on ehdo-tettu nimeä tau. Olisi siis τ = 2π. Englanninkieliselletau on helppo muistaa siitä, että kierros eli ’turn’ alkaat:llä. Suomenkielinen voisi pitää muistisääntönään sitä,että tau tarkoittaa täyttä kierrosta ja pii puolta kier-rosta. Symboli τ muistuttaa myös π:tä. Tau on kuinpii, jolta on yksi jalka katkaistu. Tau on siis kuin vii-va, jonka alla on yksi jalka – kierros jaettuna yhdellä– ja pii on viiva, jonka alla on kaksi jalkaa – kierrosjaettuna kahdella.

Taun päivää vietetään kesäkuun 28. päivänä. Jälleennurinperinen järjestys 6.28. Milloin olisi suomalainentaun päivä? Ehkä tulisi tyytyä yhden desimaalin tark-kuuteen ja viettää taun päivää 6.2. Vai pyöristyisikö sepikemminkin maaliskuun kuudenteen? Vaikka alistuisi-kin vieraaseen merkintätapaan ja viettäisi taun päivääkansainvälisyyden hengessä 28.6. (tai siis 6.28.), niinyksi kysymys jää kuitenkin vaille vastausta: miten tä-tä päivää vietetään, kun ei kai silloin oikein sovi pii-rakoitakaan syödä? Vai olisiko piirakoiden tuhoaminensyömällä juuri oikeanlainen protesti piitä vastaan?

14 Solmu 2/2012

Määrätyn integraalin opettamisesta likiarvotarkasteluin

Kyösti Tarvainen

Matematiikan yliopettaja, Metropolia ammattikorkeakoulu

Johdanto

Määrätyn integraalin lauseke muodostetaan fysiikan jatekniikan sovellutuksissa päättelyllä, joka lähtee liik-keelle likiarvosummista (myös differentiaalisten tarkas-telujen pohjalla ovat likiarvosummat). Jatko-opintojaajatellen olisi siten tarpeen, että lukion matematiikas-sa määrätty integraali esiteltäisiin ja määriteltäisiinvastaavanlaisella tavalla. Näin tehtiin legendaarisessaVäisälän oppikirjassa [1], mutta nykyisin lukiokirjoissamäärättyjä integraaleja esitellään myös tavoilla, jotkapoikkeavat sovellutuksissa käytetyistä tarkastelutavois-ta.

Pari kirjaa ovat jopa suoraan määritelleet määrätyn in-tegraalin integraalifunktion avulla, pitäen yhtälöä

∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a), (*)

jossa F on f :n integraalifunktio, määrätyn integraalinmatemaattisena määritelmänä. Mutta se, että määrät-ty integraali voidaan laskea tämän yhtälön avulla ilmanlikiarvosummia, on matematiikan tärkeimpiä tuloksia,ei määritelmä. Ilmeisesti se, että yhtälö (*) on halut-tu esittää määrätyn integraalin määritelmänä, johtuusiitä, että näin vältytään likiarvotarkasteluilta.

Mutta sovellutuksissa määrättyjä integraaleja johdet-taessa ei voi välttyä likiarvotarkasteluista. Selvennyk-seksi todettakoon, että niissä ei ole kyse puhtaasti

matemaattisesta kysymyksestä, lähestyykö jokin mate-maattinen likiarvosumma (esimerkiksi Riemannin sum-ma) jotain tiettyä matemaattista arvoa. Kyse on siitä,onko jokin likiarvosumma niin hyvä likiarvo jonkin geo-metrisen tai fysikaalisen suureen arvolle, että tämä li-kiarvo lähestyy tämän geometrisen tai fysikaalisen suu-reen tarkkaa arvoa.

Seuraavassa esitetään ensin yleinen kuvaus, miten mää-rätyn integraalin lausekkeita johdetaan sovellutuksissalähtien liikkeelle likiarvosummista. Vaikeutena on useinnähdä se, että likiarvosummat lähestyvät laskettavansuureen tarkkaa arvoa. Kirjoituksen tarkoituksena onesittää erilaisia tapoja, jotka auttavat näissä likiarvo-tarkasteluissa.

Abstrakti kuvaus määrätyn integraalinlausekkeen muodostamisesta

Sovellutusten kannalta määrätty integraali∫ b

af(x) dx

on tietynlaisiin likiarvosummiin liittyvän tarkan arvonsymboli. Tarkempi kuvaus on pitkä, mutta sinänsä ky-se ei ole vaikeasta asiasta, sillä määrättyjä integraalejalaskettiin jo Antiikissa. Seuraavassa esitetään yleisellätasolla kuvaus määrätyn integraalin muodostamisesta,joka vastaa sitä tapaa, jolla jo Leibnitz johti määrät-tyjen integraalien lausekkeita (joita hän merkitsi vainhieman nykykäytännöstä poikkeavalla tavalla).

1) Meillä on lukusuoran, esimerkiksi x-akselin, väli[a, b], jossa b > a. Tämä väli voi olla suoraan tarkas-

Solmu 2/2012 15

telun alainen tai meillä voi olla esimerkiksi kappale,johon liitetään x-akseli, ja kappale rajautuu tällöinvälille [a, b].

2) Meidän on laskettava tähän väliin liittyvän suureenarvo. Ongelmana on se, että laskettavan suureen ar-voon vaikuttaa jokin x:n funktio f(x), joka olkoonjatkuva. Oletetaan, että me kuitenkin pystymme las-kemaan vastaavan vakiotapauksen (f(x) on vakio)siten, että laskettavan suureen arvo välillä [a, b] jakaikilla sen osaväleillä saadaan kertomalla vakioar-vo välin pituudella (vakiokaava).

3) Oletetaan, että vaikeampi tapaus, jossa f(x) ei olevakio välillä [a, b], voidaan geometrisen tai fysikaa-lisen näkemyksen perusteella ratkaista likimäärinseuraavasti vakiokaavaa käyttämällä. Jaetaan väli[a, b] n:ään yhtä pitkään osaväliin, joiden pituuttamerkitään ∆x:llä. Merkitään osavälien alkupisteitäx1(= a), x2, x3, . . . , xn. Ideana on se, että kullakinosavälillä jatkuva funktio f(x) ei ehdi muuttua pal-jon eli kullakin osavälillä funktio on likipitäen va-kio – sitä tarkemmin, mitä lyhempiä osavälit ovateli mitä enemmän niitä on. Määrätään tarkastel-tavan suureen likiarvo kullakin osavälillä vakiokaa-van avulla kertoen funktion f arvo osavälin alku-pisteessä osavälin pituudella ∆x eli k:nnen osavälin(k = 1, 2, . . . , n) kohdalla laskettavan suureen liki-määräinen kertymä on f(xk)∆x.

4) Oletetaan (käytännössä tämä on yleensä selvä asiageometrisen tai fysikaalisen näkemyksen perusteel-la), että laskettavan suureen tarkka arvo koko tar-kasteluvälillä [a, b] saadaan summana osaväleillä ta-pahtuvien kertymien tarkoista arvoista. Täten ko-ko välillä [a, b] laskettavan suureen likiarvo saadaanosaväleillä tapahtuvien kertymien likiarvojen sum-mana

∑n

k=1 f(xk)∆x.

5) Oletetaan (tämä voi olla vaikea nähdä geometrises-ti tai fysikaalisesti; siksi siitä jäljempänä), että li-kiarvo

∑n

k=1 f(xk)∆x lähestyy laskettavan suureentarkkaa arvoa, kun osavälien lukumäärä n kasvaarajatta.

6) Tällöin tarkkaa arvoa merkitään symbolilla∫ b

af(x) dx, joka heijastaa likiarvosummia, joilla yhä

tarkempia likiarvoja voidaan määrittää.

Tämä likiarvostrategia keksittiin siis jo Antiikissa. Ark-himedes pystyi esimerkiksi pallon tilavuuden likiarvo-summien (palloa approksimoivien kiekkojen tilavuuk-sien summien) avulla päättelemään, mitä arvoa nelähestyvät. Pallon tilavuuden määrittämistä hän pitielämänsä suurimpana saavutuksena. Sittemmin 1600-luvulla, derivaatan keksimisen jälkeen, keksittiin myös,miten tarkka arvo voidaan laskea ilman likiarvosummiayhtälön (*) avulla.

Huomautus. Joissain sovellutuksissa meillä onsuoraan lähtökohtana 4. kohdan likiarvosummat

∑n

k=1 f(xk)∆x. Näin on esimerkiksi tarkasteltaessa ve-den paineen aiheuttamaa kokonaisvoimaa padon seinä-mään.

Huomautus. Koska määrätyn integraalin lausekkei-den johtamisessa toistuu aina samanlaisia merkintöjäja päättelyitä, tekniikan ja fysiikan sovellutuksissa nä-mä johdot tehdään virtaviivaistetusti differentiaalisellapäättelyllä.

Likiarvostrategiaan ja sen toimivuuteen tutustutaanluonnollisesti ensin numeerisilla esimerkeillä. Olen huo-mannut ammattikorkeakoulussa, että opiskelijat pitä-vät siitä, että tässäkin palataan historiassa taaksepäineli siihen tapaan, jolla Arkhimedes määritti likiarvoja.

Arkhimedeen ala- ja ylälikiarvoja määrä-tylle integraalille

Arkhimedes sovelsi likiarvo-strategiaa aina siten, ettähän määräsi laskettavalle arvolle ala- ja ylälikiarvot.Alalikiarvon hän sai, kun hän kullakin osavälillä käyttisellaista funktion f(x) osavälillä saamaa arvoa f(x′

k),että likimääräinen kertymä f(x′

k)∆x on pienempi taiyhtä suuri kuin todellinen kertymä kyseisellä osavälil-lä. Vastaavasti hän määritti ylälikiarvon.

Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: on määrättävä li-kiarvo x-akselin välin [0, 1] yläpuolelle ja funktionf(x) = −3x2 + 8x + 1 kuvaajan alapuolelle jäävällepinta-alalle (kuva 1).

Kuva 1. Funktion f(x) = −3x2 + 8x + 1 kuvaaja välillä[0, 1]. Vasemmassa osakuvassa väli on jaettu 10 osavä-liin ja kullakin osavälillä funktiota on esitetty likimää-rin vakiofunktiolla, jonka arvo on funktion arvo osavä-lin alkupisteessä. Oikeassa osakuvassa osavälejä on 50.

Sovelletaan tähän esimerkkiin edellä selostettua likiar-vomenettelyä. Vakiotapauksena on nyt suorakaiteenpinta-alan määrääminen (korkeus on vakio). Kuvan 1vasempaan osakuvaan on piirretty tapaus, jossa väli

16 Solmu 2/2012

[0, 1] on jaettu kymmeneen osaväliin. Kunkin osavä-lin yläpuolella olevan pinta-alan suuruus lasketaan liki-määrin suorakaiteen avulla, jonka korkeus on funktionkuvaajan korkeus osavälin alkupisteessä.

Kun kymmenen osavälin tapauksessa sovelletaan edel-lä kuvattua likiarvomenettelyä, kohdassa 4 päädytäänpinta-alan likiarvoon 3,745. Tämä likiarvo onkin ala-likiarvo pinta-alalle, sillä likiarvo on kuvaan piirretty-jen suorakaiteiden pinta-alojen summa, joka on selvästipienempi kuin laskettava pinta-ala.

Vastaavasti tämän monotonisesti kasvavan funktionkohdalla saadaan pinta-alan ylälikiarvo, kun jokaisel-la osavälillä vakioarvona käytetään osavälin loppupis-teessä olevaa funktion arvoa (tästä voi piirtää kuvaa 1vastaavan kuvan).

On helppo vakuuttua geometrisesti (vertaa kuvan 1osakuvat), että alalikiarvot (samoin kuin ylälikiarvot)lähestyvät pinta-alan tarkkaa arvoa, kun tarkasteluvä-li jaetaan yhä useampaan osaväliin. Seuraava taulukkoesittää, miten ala- ja ylälikiarvot muuttuvat, kun osa-välien lukumäärää kasvatetaan.

Osavälien Alalikiarvo Ylälikiarvolukumäärä pinta-alalle pinta-alalle

10 3.745000000000000 4.245000000000000100 3.974950000000002 4.024950000000001

1 000 3.997499499999999 4.00249949999999910 000 3.999749995000002 4.000249995000002

100 000 3.999974999950032 4.0000249999500321 000 000 3.999997499999456 4.000002499999456

10 000 000 3.999999750000234 4.000000250000234

Taulukko 1. Kuvan 1 pinta-alan ala- ja ylälikiarvojaosavälien lukumäärän kasvaessa.

Taulukon alimmalta riviltä näemme, että lasketta-va pinta-ala on varmuudella välillä 3,999 999 7 . . .4,000 000 3. Toisin sanoen se on 4 ± 0,000 000 3, janäyttää siltä, että pinta-alan tarkka arvo olisi 4.

Määrätyn integraalin lausekkeen johta-misesta ja matemaattisesta määritelmäs-tä

Sen jälkeen kun edellisen kaltaisissa numeerisissa esi-merkeissä on saatu tuntumaa likiarvostrategian toimi-vuuteen, voidaan johtaa algebrallisia integraalilausek-keita eri sovellutuksille. Ala- ja ylälikiarvotarkasteluttekevät ilmeiseksi sen, että kummatkin likiarvot lähes-tyvät tarkkaa arvoa. Edelleen tällöin on ilmeistä, ettäei tarvitse tarkastella ala- tai ylälikiarvoja, vaan voitarkastella edellä olevan 6-kohtaisen likiarvostrategianmukaisia likiarvosummia (joiden arvot ovat pakosti ala-ja ylälikiarvojen välissä). Algebrallisissa tarkasteluis-sa päädytään esimerkiksi tavanomaisessa pinta-alan ta-pauksessa määrättyyn integraaliin

∫ b

af(x) dx.

Esitetyssä likiarvostrategiassa määrätyn integraalinmääritelmä on sanallinen. Itse asiassa olen ammattikor-keakoulujen matematiikassa siirtynyt yleensä tällaiseenvarhaisen analyysin tapaan määritellä määrätty inte-graali sanallisesti, siis käyttämättä raja-arvomerkintöjä(koska matemaattista määritelmää ei myöhemmin käy-tetä hyväksi). Näin on menetelty yhdessä lukiokirjas-sa ja ammattikorkeakoulun oppikirjassa [2]. Näissä kir-joissa ei ole käytetty edes summamerkkiä likiarvosum-missa, vaan summat on kirjoitettu auki. Mutta ilmansummamerkkiä on ehkä vaikea hahmottaa, miten mää-rätyn integraalin lauseke syntyy heijastamaan likiarvo-laskuja.

Olisi hyvä, jos integraalilaskenta palautettaisiin lukionlyhyeen matematiikkaan. Tällöin määrätty integraalivoitaisiin esittää ilman raja-arvomerkintöjä. Integraa-lilaskennalla on niin suuri merkitys esimerkiksi teknii-kan opinnoissa, että olisi hyvä tutustua sen perusteisiinjo lukiossa.

Kun määrätty integraali määritellään matemaattises-ti, niin edellä olevaan 6-kohtaiseen likiarvomenettelyynsuoraan liittyvä määritelmä on seuraava:

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

n∑

k=1

f(xk)∆x.

Näin Väisäläkin (ks. [1], s. 154) määritteli määrätyn in-tegraalin matemaattisesti (tosin toisenlaisia merkintö-jä käyttäen). Ainoa ehto yllä olevan määritelmän päte-vyydelle on funktion f jatkuvuus. Sovellutuksissa esiin-tyy epäjatkuvuuksia, mutta silloin yleensä tarkastelu-väli jaetaan osaväleihin, joissa funktio on jatkuva, jaosavälit tarkastellaan erikseen.

Likiarvosummien tarkentumisesta

Kun siis sovellutuksissa muodostetaan määrätyn inte-graalin lausekkeita, lähtökohtana ovat likiarvosummat.Lukion matematiikassa tämä on ainoa kerta, kun käy-tännön suureisiin liittyvät likiarvot tulevat enemmältiesiin. Tämä voi olla monelle opettajallekin asia, jostaon vähän omia kokemuksia, mihin johdannossa viitat-tiin. Siksi asiaan tulee kiinnittää huomiota, ja johtojenloogisuuden vuoksi on tärkeää perustella, miksi likiar-vosummat lähestyvät laskettavan suureen tarkkaa ar-voa, kun osavälien lukumäärä kasvaa rajatta. Yksi pe-rustelutapa ovat edellisen esimerkin kaltaiset numeeri-set laskut ja geometriset perustelut (kuva 1).

Mutta esimerkiksi tapausta, jossa määrätään kappa-leen tilavuus määrättynä integraalina, kun poikkipinta-alan funktio tunnetaan, on yleisessä tapauksessa han-kala havainnollistaa geometrisesti. Perustelu voidaantehdä vastaansanomattomasti algebrallisen keskiarvo-tarkastelun avulla, kuten on esitetty esimerkiksi lukionkirjan [3] lisätiedoissa. Yleisemmällä tasolla vastaavan-laisia vakuuttavia keskiarvoperusteluja, jotka sopivat

Solmu 2/2012 17

korkeakoulujen matematiikan opintoihin, on käsiteltyviitteessä [4].

Ei ole mitään yleistä tapaa, jolla voidaan perustella se,että likiarvot lähestyvät laskettavan suureen tarkkaaarvoa. Ehkä yleisin tapa perustella likiarvotarkasteluton se, että todetaan, että kunkin osavälin kertymän li-kiarvon suhteellinen virhe menee nollaan osavälin pi-tuuden lähestyessä nollaa. Tämä riittää, sillä seuraavamahdollinen epäilys on turha: vaikka osavälien luku-määrän kasvaessa kullakin osavälillä vakiokaava toimi-si yhä tarkemmin, kasvaako kokonaisvirhe sen takia,että likimääräisten termien lukumäärä kasvaa. Tämänepäilyksen torjuu seuraava lause.

Lause. Olkoon meillä sellaisia positiivisia likiarvoja(tai kaikki negatiivisia), että kunkin tarkka arvo poikke-aa korkeintaan p % likiarvosta. Tällöin tarkkojen arvo-jen summa poikkeaa korkeintaan p % likiarvojen sum-masta.

Tämän lauseen merkitys on siinä, että jos saamme jo-kaiseen osaväliin liittyvän kertymän likiarvon esimer-kiksi 0,01 %:n suhteellisella tarkkuudella, niin vaikkaosavälejä olisi kuinka monta, tarkkojen kertymien sum-ma poikkeaa korkeintaan 0,01 % kertyminen likiarvojensummasta.

Tämä lause on helppo todistaa algebran avulla. To-distuksen idean näkee seuraavasta numeroesimerkistä.Olkoon meillä likiarvot 100, 200 ja 500, joista tarkatarvot poikkeavat korkeintaan 1 %:n verran. Siten sum-man tarkka arvo on lukujen 792 (= 99 + 198 + 495) ja808 (= 101 + 202 + 505) välillä eli pahimmassa tapauk-sessa summan tarkka arvo poikkeaa 1 %:n likiarvojensummasta 800.

Jos likiarvosummassa on sekä positiivisia että negatii-visia termejä, on ilmeistä, että positiivisten termiensumma tarkentuu, kuten myös negatiivisten termiensumma, ja siten koko summa tarkentuu.

Suhteellisen virheen nollaan menemisestä voi vakuut-tua usein seuraavanlaisella päättelyllä. Tarkastellaanesimerkkinä kuvan 1 pinta-alan tapausta (joka edelläperusteltiin myös toisenlaisella tavalla). Oikeanpuolei-sen osakuvan ensimmäisellä osavälillä kertyvän pinta-alan likiarvoksi on otettu suorakaiteen pinta-ala, jon-ka korkeus on funktion kuvaajan korkeus välin alku-pisteessä. Alueen korkeus kasvaa kuitenkin noin 20 %tällä osavälillä. Siten aivan karkeasti arvioiden tämänosavälin pinta-alan likiarvossa (suorakaiteen pinta-ala)on 20 %:n virhe.

Ajatellaan, että kaksinkertaistamme osavälien luku-määrän, jolloin osavälien pituus puolittuu. Geometri-sesti näemme kuvasta 1, että kun puolitamme ensim-mäisen osavälin, niin uudella ensimmäisellä osavälilläfunktion kasvukin noin puolittuu eli on noin 10 %, jol-loin pinta-alan likiarvon suhteellinen virhekin suunnil-leen puolittuu ensimmäisellä osavälillä. Kaikkien osavä-lien kohdalla tapahtuvat vastaavanlaiset suhteellisten

virheiden puolittumiset. Osavälien lukumäärän kaksin-kertaistumisia edelleen ajateltaessa, osaväleihin liitty-vien pinta-alojen suhteelliset virheet aina suunnilleenpuolittuvat, jolloin lauseen mukaisesti likiarvosumman-kin suhteellinen virhe joka kerta suunnilleen puolit-tuu. Täten likiarvosummat lähestyvät pinta-alan tark-kaa arvoa (tästä voi piirtää lukusuorakuvan).

Vastaavasti erittäin monessa muussakin sovellutukses-sa voidaan funktion f(x) jatkuvuuden perusteella va-kuuttua geometrisesti tai fysikaalisesti siitä, että jokai-sen osavälin kertymän likiarvon f(xk)∆x suhteellinenvirhe menee nollaan, kun ∆x lähestyy nollaa.

Lauseen esittäminen ja sen mukaiset perustelut suh-teellisine virheineen vievät ehkä niin paljon aikaa, ettäne on jätettävä korkeakouluopintoihin.

Yhteenveto

Jatko-opintojen tarpeita silmälläpitäen kirjoituksessaon ehdotettu palaamista Väisälän [1] esittämään ta-paan motivoida ja määritellä määrätty integraali. Hä-nen ja nykyisten amerikkalaisten calculus-kirjojen ta-paan kannattanee lukioissa määrättyjen integraalienlausekkeet johtaa likiarvosummien kautta, ei differen-tiaalisesti.

Väisälän oppikirjan ja calculus-kirjojen puutteena voipitää sitä, että niissä ei yleensä riittävästi perustella si-tä, että geometristen tai fysikaalisten suureiden likiar-vosummat lähestyvät laskettavan suureen tarkkaa ar-voa. On huomattava, että koska kyse on geometriaantai fysiikkaan liittyvien suureiden likiarvojen tarkaste-luista, myös perustelut vetoavat geometrisiin ja fysikaa-lisiin mielikuviin ja käsityksiin, ei puhtaasti matemaat-tisiin asioihin Mitään kaikkiin tapauksiin soveltuvaaperustelutapaa ei ole olemassa. Artikkelissa on tarkas-teltu, miten perusteluja voi tehdä esimerkiksi numeeri-sin laskuin, geometrisen tarkasteluin ja esitettyä lauset-ta hyväksi käyttäen. Myös muita tapoja esiintyy, muttaesimerkiksi lukiossa varmaan riittää se, että muutamamäärätyn integraalin lauseke perustellaan kunnolla jamuut annetaan valmiina kaavoina.

Viitteet

[1] K. Väisälä, Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2,WSOY, 1963.

[2] E. Sorvali, P. Toivonen, TAM alfa, WSOY, 2004.

[3] P. Kontkanen, J. Lehtonen, K. Luosto, S. Savolai-nen, Pyramidi10, Tammi, 2007.

[4] K. Tarvainen, Justifying differential derivationswhen setting up definite integrals, InternationalJournal of Mathematical Education in Science andTechnology, Vol. 39, No 1, 61–68, 2008.

18 Solmu 2/2012

Miten integroitiin, kun ei vielä osattu integroida?

Matti Lehtinen

Helsingin yliopisto

Koulussa ja muuallakin differentiaali- ja integraalilas-kentaan tutustutaan nykyään niin, että ensin opitaanderivaatta ja sitten määritellään funktion f integraali-funktio

∫

f(x) dx sellaisena funktiona, jonka derivaat-ta on f . Sitten muistellaan derivointisääntöjä ja pää-tellään niistä erinäisiä integrointikaavoja, kuten

∫

xp dx =1

p + 1xp+1.

Hiukan yllättävänä bonuksena tulee sitten tieto, jonkamukaan integraalin avulla voi määrittää mielenkiintois-ten suureiden, esimerkiksi pinta-alojen ja tilavuuksienarvoja.

Integraalin historiallinen kehitys ei ole ihan kulkenutnäitä latuja. Integroinnin ja derivoinnin yhteyden oival-sivat Isaac Newton ja G.W. Leibniz 1600-luvun lopulla.Tarve määrittää esimerkiksi pinta-aloja johti kuitenkinjo aikaisemmin moniin kekseliäisiin ”integrointimene-telmiin”. Tässä esitellään muutamia.

Kun on tarkoitus selvittää jonkin käyrärajaisen alueenpinta-ala tai kappaleen tilavuus, niin aika luonnollinenlähestymistapa on yrittää täyttää kyseessä oleva kuviomahdollisimman hyvin sellaisilla kuvioilla tai kappa-leilla, joiden ala tai tilavuus hallitaan. Jos ympyrä pa-kataan mahdollisimman täyteen tasakylkisiä kolmioi-ta, joiden kärki on ympyrän keskipisteessä ja kannanpäätepisteet ympyrän kehällä, ja jos kolmioiden kan-nat ovat lyhyitä, niin niiden korkeus on likimain ym-pyrän säde ja yhteenlaskettu ala lähellä lukua, joka on

puolet ympyrän säteestä kerrottuna ympyrän kehän pi-tuudella. Likiarvo on sitä tarkempi, mitä pienempiin jauseampiin kolmioihin ympyrä jaetaan. Kun ympyränkehän pituuden ja säteen r suhde on – määritelmän mu-kaan – 2π, niin ympyrän alan kaava A = πr2 tulee aina-kin hyvin uskottavaksi. Samalla tavalla voimme jakaapallon melkein kokonaan pyramideiksi, joiden huippuon pallon keskipisteessä ja muut kärjet pallon pinnalla.Jos r-säteisen pallon pinta-ala on S(r), niin pyrami-din tilavuuskaava johtaa siihen, että pallon tilavuus on

V =13

rS(r). Jos vielä tiedettäisiin, että S(r) = 4πr2,

saataisiin tuttu pallon tilavuuden kaava.

Tällaiset päättelyt eivät ole ihan näin suoraviivaisia,jos tutkittava alue tai kappale ei ole yhtä symmetrinenkuin ympyrä tai pallo. Katsotaan seuraavassa, mitenmuutamat varhaiset matemaatikot selvittivät sellaisenalueen pinta-alaa, jota rajoittaa paraabelin y = x2 kaa-ri tai yleisemmin käyrän y = xp kaari ja kaksi janaa.Oiomme vähän: xy-koordinaatit ovat olleet käytössävasta 1600-luvulta, ja varhaisten aikojen matemaatikotjoutuivat käsittelemään käyriään hankalammin.

Arkhimedes

Arkhimedeen laista ja heureka! -huudahduksesta kuu-luisa Arkhimedes Syrakusalainen (287–212 eKr.) on yk-si kaikkien aikojen merkittävimpiä matemaatikkoja.Arkhimedes laski kahdella tavalla paraabelin segmen-tin alan. Toinen tapa perustui segmentin pilkkomiseen

Solmu 2/2012 19

kolmioiksi, joiden alat muodostivat geometrisen lukujo-non; tämän summan Arkhimedes hallitsi ja pystyi au-kottomasti perustelemaan saamansa tuloksen. ToinenArkhimedeen menetelmä oli lähempänä nykyaikaistaintegrointia. Esitellään se tilanteessa, jossa laskettava-na on paraabelin y = x2 ja suorien y = 0 ja x = 1rajaama alueen pinta-ala S. Nykyaikaisin merkinnöinhaemme siis integraalin

∫ 1

0

x2 dx

arvoa.

Arkhimedes ajatteli näin: pinta-ala koostuu pystysuo-rista janoista joiden päätepisteet ovat (x, 0) ja (x, x2)eli janoista [(x, 0), (x, x2)]. Tällaisen janan pituus onsiis x2. Siirretään jana janaksi [(1, 0), (1, x2)], ikäänkuin pystyyn pisteen (1, 0) kohdalle. Ajatellaan sit-ten vaakaa, joka tasapainotetaan pisteessä (0, 0). Nytsiirretty jana ja jana [(−x, 0), (−x, x)] tasapainottavatvaa’assa toisensa: toisen varren pituus on 1 ja varrenpäässä on massa x2, toisen varren pituus on x ja var-ren päässä on massa x. Mutta kun x kasvaa nollastayhteen, niin tasapainopisteen vasemmalla puolella ole-vat janat peittävät kolmion, jonka kärjet ovat (−1, 0),(0, 0) ja (−1, 1). Koska kolmio koostuu kaikista janois-ta [(−x, 0), (−x, x)] ja kukin jana tasapainottaa janan[(0, 1), (0, x2)], niin kolmion massa tasapainottaa suo-ralle x = 1 kootun alueen A massan. Kolmion ala eli

massa on12

ja sen voidaan ajatella keskittyvän kolmion

painopisteeseen, jonka x-koordinaatti on −23

(muis-

tamme, että kolmion painopiste on sen keskijanojenleikkauspiste ja että keskijanojen leikkauspiste jakaakeskijanat suhteessa 2 : 1). Vaa’an tasapainoehdoksi

tulee S · 1 =12

·23

. Siis S =13

.

Stevin ja Kepler

Hollantilainen Simon Stevin (1540–1603) oli monitoi-minen mies. Nykykielellä häntä voisi nimittää insinöö-riksi, mutta matematiikan historia muistaa hänet yhte-nä ensimmäisistä desimaalilukujen käyttäjistä. Stevin

suoritti integrointeja mm. painopisteen määrittämisek-si. Hän ajatteli, että jos kolmio jaetaan sivun suuntai-siksi kapeiksi kaistaleiksi, niin jokainen tällainen tasa-painottuu keskipisteensä kohdalla. Mutta tästä seuraa,että koko kolmio on tasapainossa, kun se tuetaan pitkinkeskijanaa. Sama pätee jokaiselle kolmelle keskijanalle,joten kolmion painopisteen on oltava keskijanojen leik-kauspiste.

Johannes Kepler (1571–1630) muistetaan planeettojenliikkeitä hallitsevista Keplerin laeista, joiden pohjalleNewton myöhemmin rakensi gravitaatioteoriansa. Yh-den lakinsa Kepler muotoili pinta-alan avulla: hän esit-ti, että auringosta planeettaan piirretty säde pyyhkäi-see aina samassa ajassa saman pinta-alan. Näin ollenplaneetta liikkuu nopeammin ollessaan lähellä aurinkoaja hitaammin ollessaan kauempana.

Erikoista on, että Kepler teki lakiaan johtaessaan kaksitoisensa kumoavaa virhettä niin, että lopputulos on oi-kein. Kepler ajatteli, että jos planeetta kulkiessaan ra-dallaan pisteestä P pisteeseen Q käyttää ajan t, ja joskaari P :stä Q:hun jaetaan lyhyisiin osakaariin, joidenpituus on ∆si niin, että osakaaren ∆si kohdalla planee-tan etäisyys auringosta on ri, ja jos planeetan nopeusosakaaren ∆si kohdalla on vi ja se käyttää osakaarenyli kulkemiseen ajan ∆ti, niin

t =∑

∆ti =∑ ∆si

vi

.

Nyt Kepler otaksui lisäksi, erheellisesti, että planeetannopeus on kääntäen verrannollinen sen etäisyyteen au-

ringosta eli vi =k

ri

. Siis

t =1k

∑

ri∆si.

Keplerin toinen erehdys oli pitää kolmiota, jonka yksikärki on aurinko ja toiset kaksi osakaaren ∆si pääte-

pisteet, tasakylkisenä ja olettaa sen pinta-alaksi12

ri∆si

Kun auringosta planeettaan piirretty säde pyyhkii ajas-sa t suunnilleen kolmioiden yhteen lasketun alan A,Keplerin kaksi virhettä yhdessä johtivat tulokseen t =2k

A, eli aika ja ala ovat verrannollisia.

20 Solmu 2/2012

Cavalieri

Bonaventura Cavalieri (1598–1647) oli italialainen ma-temaatikko, Galileo Galilein oppilas. Cavalieri laski ”in-tegraaleja” yhdistelemällä luovalla tavalla eriulotteisiasuureita ja laskemalla yhteen esimerkiksi äärettömänmonta nollan suuruista pinta-alaa.

Selvitetään

I =∫ 1

0

x2 dx

Cavalierin tavalla. Cavalieri ajatteli, että ”I” on kaik-kien x-sivuisten, mutta paksuutta vailla olevien neliöi-den ”summa”, kun x saa arvot nollasta yhteen. Josyksikköneliö jaetaan lävistäjällä, esimerkiksi suorallay = x kahtia, niin jokainen y-akselin suuntainen ja-na jakautuu kahdeksi osaksi, joiden pituudet ovat x ja1 − x. Kaikkien 1-sivuisten neliöiden summa, joka eit-tämättä on 1-särmäinen kuutio, jonka tilavuus on 1, onsiis sama kuin x + (1 − x) sivuisten neliöiden summa.Koska (x+(1−x))2 = x2 +(1−x)2 +2x(1−x), ja kaik-kien x-sivuisten ja kaikkien (1 − x)-sivuisten neliöidensumma on sama, on oltava

1 = 2∑

x2 + 2∑

x(1 − x). (1)

(Summamerkkiä∑

on tässä käytetty hiukan epäpuh-dasoppisesti, Cavalierin hengessä.) Mutta jos nyt

x =12

− z, 1 − x =12

+ z,

niin

x(1 − x) =14

− z2

ja

1 = 2∑

x2 +12

− 2∑

z2. (2)

Kun x käy läpi kaikki arvot nollasta yhteen, niin zkäy kahdesti läpi arvot nollasta puoleen. Yhdenmuo-toisten kolmiulotteisten kappaleiden tilavuuksien suh-de on vastinjanojen pituuksien suhteen kolmas potens-si. Niinpä

∑

z2 =18

∑

x2.

Kun otetaan huomioon, että kaavassa (2) oleva z2-summa on laskettava kahdesti, saadaan

12

= 2∑

x2 − 2 · 2 ·18

∑

x2.

Tästä on helppo ratkaista, että

∑

x2 =13

(3)

eli∫ 1

0

x2 dx =13

.

Sama tekniikka puree korkeampiinkin potensseihin,vaikka geometrinen intuitio onkin vaikeampaa: tarvit-taisiin enemmän kuin kolme ulottuvuutta. Mutta mer-kitään y = 1 − x ja ”lasketaan”:

1 =∑

13 =∑

(x + y)3

=∑

x3 +∑

y3 + 3∑

x2y + 3∑

xy2

= 2∑

x2 + 6∑

x2y.

Viimeinen yhtäsuuruusmerkki perustuu symmetriaan:kun x saa kaikki arvot nollasta yhteen, niin y:kin saa,vaikka eri järjestyksessä. Kaavojen (1) ja (3) nojalla

1 = 2∑

x2 + 2∑

xy

eli∑

xy =16

. Mutta nyt

16

=∑

xy =∑

(1 · xy)

=∑

(x + y)xy =∑

x2y +∑

xy2,

joten∑

x2y =112

.

Mutta tästä seuraa, että

∑

x3 =12

(

1 − 6 ·112

)

=14

.

Siis∫ 1

0

x3 dx =14

.

Pascal

”Kolmiostaan” ja uskonnollis-filosofisista mietekirjoi-tuksistaan tunnettu ranskalainen Blaise Pascal (1623–62) lähti selvittämään ongelmaa

∫ 1

0 xp dx = ? aivan

eri suunnasta. Merkitään xk =k

n. On aika luonnol-

lista ajatella, että käyrän y = xp ja x-akselin vä-listä pinta-alaa voi approksimoida kapeilla suorakai-teilla, joiden kärjet ovat pisteissä (xk, 0), (xk+1, 0),(xk, xp

k+1) ja (xk+1, xpk+1). Tällaisen suorakaiteen ala

on xpk+1 ·

1n

=(k + 1)p

np+1ja suorakaiteiden yhteinen ala

on1

np+1(1p + 2p + · · · + np). (4)

Kun n kasvaa, suorakaiteiden ala tulee lähelle käyränja suoran välistä alaa. Jos (4):n lauseke lähestyy arvoa

1p + 1

, niin∫ 1

0

xp dx =1

p + 1,

niin kuin pitääkin. Mutta miten selvitetään kaavassa(4) oleva summa?

Solmu 2/2012 21

Otetaan avuksi Pascalin kolmio eli binomikaava. Senmukaanhan esimerkiksi

(k + 1)p =p

∑

i=0

(

p

i

)

ki,

missä olemme merkinneet tavan mukaan(

p

i

)

=p!

i!(p − i)!;

(

pi

)

on siis Pascalin kolmion p:nnen rivin i:s luku (kunensimmäinen rivi on se, jolla on kaksi ykköstä ja kunkinrivin vasemmanpuoleisimmalle luvulle, joka on 1, an-netaan järjestysluku 0). Pascalin idea on kirjoittaa ero-tus (n + 1)p+1 − 1p+1 summaksi ((n + 1)p+1 − np+1) +(np+1 − (n − 1)p+1) + · · · + (2p+1 − 1p+1) ja soveltaajokaiseen yhteenlaskettavaan binomikaavaa. Silloin käynäin:

(n + 1)p+1 − 1p+1 =n

∑

k=1

(

(k + 1)p+1 − kp+1)

=n

∑

k=1

p∑

i=0

(

p + 1i

)

ki

=p

∑

i=0

(

p + 1i

) n∑

k=1

ki

=p

∑

i=1

(

p + 1i

) n∑

k=1

ki + n.

Edellinen relaatio näyttää selvemmältä, jos se kirjoite-taan muotoon

(n + 1)p+1 − (n + 1) =

(

p + 1p

) n∑

k=1

kp

+

(

p + 1p − 1

) n∑

k=1

kp−1 + · · · +

(

p + 11

) n∑

k=1

k.

Kun tätä kaavaa sovelletaan peräkkäin arvoilla p =1, 2, . . . , niin havaitaan, että aina

n∑

k=1

kp =np+1

p + 1+ alempia n:n potensseja.

Mutta tästähän seuraa, että

1np+1

(1p + 2p + · · · + np)

lähestyy n:n kasvaessa arvoa1

p + 1! Pascal on päässyt

kaavaan∫ 1

0

xp dx =1

p + 1.

Fermat

Pierre de Fermat (1601–65), ranskalainen lakimies,saavutti kuolemattoman maineen matemaatikkonarohkeiden lukuteoreettisten tulosten ja otaksumien-sa vuoksi. Fermat’n lähestymistapa kysymykseen∫ 1

0 xp dx = ? oli sekin omanlaisensa ja laskennollises-ti yksinkertaisempi kuin Pascalin menettely. Fermat-kin lähestyi käyrän y = xp ja x-akselin väliin jää-vää pinta-alaa suorakaiteiden avulla, mutta Fermat’nsuorakaiteiden leveys ei ollut vakio. Fermat valitsi lu-vun a, joka on vähän ykköstä pienempi, ja tarkaste-li suorakaiteita, joiden x-akselilla olevat kärjet ovatpisteissä 1, a, a2, a3, . . . . Jos suorakaiteen kärjet ovat(ak+1, 0), (ak, 0), (ak, (ak)p) ja (ak+1, (ak)p), niin senala on akp(ak − ak+1) = (1 − a)a(p+1)k ja kaikkien suo-rakaiteiden alojen summa saadaan geometrisen sarjansumman avulla; se on

(1 − a)∞

∑

k=0

a(p+1)k =1 − a

1 − ap+1

=1

1 + a + a2 + · · · + ap.

Kun a tulee lähelle ykköstä, jokainen nimittäjän yh-teenlaskettava tulee lähelle ykköstä ja nimittäjä itselähelle lukua p + 1. Kaava

∫ 1

0

xp dx =1

p + 1

on saatu.

Verkko-Solmussa on ilmestynyt lukuteorian diplomitehtävät

http://solmu.math.helsinki.fi/2008/diplomi/diplomi_lukuteoria.pdf

22 Solmu 2/2012

Pääsiäinen on aina sunnuntaina

Kimmo Vehkalahti

Sosiaalitieteiden laitos, tilastotiedeHelsingin yliopisto

Innostuin (otsikkoa myöten!) Matti Lehtisen jutusta”Jouluaatto on harvemmin sunnuntaina” (Solmu3/2011). Juhlapäivien sijoittuminen kalenteriin onkiehtova aihe, ja sitä voi lähestyä matemaattisesti mo-nelta suunnalta. Keskitän huomioni pääasiassa pääsiäi-seen, joka on laskennallisesti erityisen mielenkiintoinen.

Tarkastelen lisäksi eräitä muita juhlapäiviä, joista osaon pääsiäisen tapaan kirkollisia (kuten pyhäinpäivä)ja osa maallisia (kuten vappu). Yhteiskunnallisestikiinnostavia juhlapäivistä tekevät niiden aiheuttamatpoikkeukset arkirutiineihin, esimerkiksi kauppojen au-kioloaikoihin. Juhlapäivät ja etenkin niitä edeltävätaattopäivät asettavat myös yllättäviä haasteita muunmuassa myyntiennusteiden laatimiseen. Tarkasteluje-ni taustalla onkin pari vuotta sitten eräälle yritykselleräätälöity myynnin analysointijärjestelmä, jota ohjel-moidessa sai perehtyä juhlapäiviin perusteellisesti.

Uskonnollisia juhlia kuten uskontojakin on maailmassalukuisia, mutta rajaan tarkastelut Suomessa vietettä-viin, kristillisen kirkkovuoden juhliin. Yhdessä maallis-ten juhlien kanssa ne muodostavat sarjan, joka toistuusuomalaisessa kalenterissa vuodesta toiseen. Sarja onsilti aina hieman erilainen riippuen siitä, mihin kohtiintietyt juhlat kulloinkin sijoittuvat. Erikoisen mielen-kiintoisia tilanteita voi syntyä kirkollisten ja maallistenjuhlien ”törmätessä”. Laskennallisilla keinoilla tällaisiailmiöitä voi mukavasti tutkia minkä tahansa vuodenosalta. Soveltavana tilastotieteilijänä lähestyn aihettatilastollisen tietojenkäsittelyn näkökulmasta.

Muste leviää ja jättää jälkiä

Kirjoitan tätä Musteella, joka on uusi, R-ohjelmistollekehitetty, vapaasti saataville tuleva avoimen lähdekoo-din toteutus Survo-ohjelmistosta. Survo on professoriSeppo Mustosen elämäntyö, joka alkoi jo 1960-luvullaja jatkuu edelleen. Musteen päävastuullinen kehittäjäon Reijo Sund, joka 2009 esitti idean Musteesta sekäsen toteuttamisesta R:n laajennuspakettina.

R on Ross Ihakan ja Robert Gentlemanin alullepanematoteutus professori John M. Chambersin johdolla ke-hitetystä tilastollisesta S-ohjelmointikielestä. NykyisinR on laajan kansainvälisen käyttäjäyhteisön kehittä-mä, vapaasti saatava ohjelmisto, joka on noussut 2000-luvun aikana suosioon tilastotieteen, matematiikan jatietojenkäsittelyn piirissä, mutta myös yhä useammallanäitä menetelmätieteitä hyödyntävillä tieteenaloilla.

Survo ja R ovat hioutuneet vuosikymmenien aikana jane sisältävät monia kekseliäitä tapoja data-analyysiin,matriisilaskentaan, kuvien piirtoon ja raportointiin.Tärkein Survon innovaatioista on editoriaalinen käyttö-tapa, jolla työskentelystä jää talteen hyödyllisiä jälkiä.Muste liittää tämän uniikin käyttötavan osaksi R:ää.

Aloittaessani tätä juttua (5.2.2012) Musteen versio-numero oli 0.4.80. Tämänhetkisen versionumeron voitarkistaa sivulta www.survo.fi/muste, josta Musteen

voi myös ladata käyttöönsä. Muste leviää kaikkialle(Windows, Mac, Linux).

Solmu 2/2012 23

Juhlallista laskentaa

Pääsiäinen on joulun ohella kirkkovuoden suurimpiajuhlia. Siihen kuuluu peräti kolme pyhäpäivää: pitkä-perjantai, joka nimensä mukaisesti on perjantai, pää-siäispäivä, joka on aina sunnuntai sekä toinen pääsiäis-päivä, joka on maanantai. Pääsiäinen hallitsee kirkollis-ta juhlavuotta, sillä se määrittää useiden muiden juh-lapäivien, kuten helatorstain, ajankohdan. Laskennalli-sesti kiinnostavaksi pääsiäisen tekee sen ajankohta, jo-ka riippuu muun muassa kuun kierrosta. Tuo ajankohtavaihtelee vuosittain yli kuukauden pituisen ajanjaksonpuitteissa: aikaisin mahdollinen pääsiäissunnuntai onjo 22. maaliskuuta ja myöhäisin vasta 25. huhtikuuta.

Pääsiäissunnuntain päivämäärä on osattu selvittää las-kennallisesti jo keskiajalla. Tätä aikoinaan erittäin tär-keällä sijalla ollutta toimintaa kutsuttiin latinankie-lisellä sanalla computus, joka on sittemmin alkanutyleisemminkin tarkoittaa laskentaa. Englanniksi sananjohdoksia ovat muun muassa computation ja computer .Ei niistä pääsiäinen ihan ensimmäiseksi tule mieleen!

Ensimmäisen matemaattisen algoritmin pääsiäissun-nuntain päivämäärän laskemiseen kehitti lukematto-mista muistakin yhteyksistä kuuluisa matemaatikkoCarl Friedrich Gauss 1800-luvun alussa. Tuolloin olijo monissa maissa siirrytty vanhasta, epätarkasta juli-aanisesta kalenterista tarkempaan, nykyisinkin käytös-sä olevaan, gregoriaaniseen kalenteriin. Suomessa siir-tyminen tapahtui Ruotsi–Suomen aikana vuonna 1753,eräissä muissa Euroopan maissa vasta 1900-luvulla.

Gaussin algoritmi ja muut vastaavat menetelmät pe-rustuvat melko monimutkaisiin, taivaankappaleisiinliittyviin tekijöihin, ja niissä on otettava huomioon ko-ko joukko kalenteria koskevia sääntöjä ja poikkeuk-sia. Matemaattisesti algoritmit ovat yksinkertaisia, sil-lä ne perustuvat pelkkiin peruslaskutoimituksiin, ennenkaikkea jakolaskuihin ja jakojäännöksiin.

Yksi suoraviivaisimmista pääsiäisalgoritmeista julkais-tiin Nature-lehdessä vuonna 1876. Sen laatija jäi hä-märän peittoon, kun tekijäksi mainittiin vain lehden”New Yorkin kirjeenvaihtaja”, mutta algoritmista tu-li pian suosittu, kun sitä kopioitiin useisiin aikakaudenkalenterijulkaisuihin.

Sovelsin kyseistä algoritmia alussa mainitsemassanianalysointijärjestelmässä, jonka toteutin Survolla. Sivu-tuotteena tulin tehneeksi pienen pääsiäisaiheisen ani-maatiodemon, johon voi tutustua verkossa osoitteessawww.survo.fi/demos/index.html#ex19.

Seuraavassa sama algoritmi näkyy Musteen toimitus-kenttään kirjoitettuna laskentakaaviona, jossa funktiomod(x,y) tarkoittaa jakojäännöstä, kun x jaetaan y:llä,ja int(x) annetun luvun tai lausekkeen x kokonais-osaa. Symbolit a, b, . . . , n ovat algoritmin mukaisialausekkeita, joiden yksityiskohtia ei ryhdytä avaamaan.

Selvitetään pääsiäissunnuntain ajankohta. Algoritmi:

Anonymous (1876). To find easter. Nature, 13, 487.

Luku n=(h+l-7*m+114) lasketaan 12 muun luvun avulla:

a=mod(vuosi,19) b=int(vuosi/100) d=int(b/4) i=int(c/4)

f=int((b+8)/25) c=mod(vuosi,100) e=mod(b,4) k=mod(c,4)

g=int((b-f+1)/3) h=mod((19*a+b-d-g+15),30)

m=int((a+11*h+22*l)/451) l=mod((32+2*e+2*i-h-k),7)

Sanalliset ilmaisut lausekkeiden lomassa eivät häiritselaskentaa. Kaavion voi kirjoittaa vapaasti; tässä se onsovitettu palstakoon sallimaan tilaan.

Kaavion jatko-osassa on määritelty n:stä (ja sen myötäkaikista muista) riippuvat symbolit kuukausi ja päivä.Tarkastelun kohteena oleva vuosi on myös ohimennenilmaistu osana virkettä:

Kaavion avulla selviää minkä tahansa pääsiäissunnuntain

kuukausi=int(n/31) ja päivä=mod(n,31)+1 - esimerkiksi,

jos vuosi=2012, niin kuukausi= ja päivä=

Mitään laskentaa ei kuitenkaan toistaiseksi tapahdu:kaavio on vain kokoelma tekstiä, lukuja ja numeroita.

Mitä taitoja koulussa aktivoidaan?

Elämä sujuu, kun osaa lukea, laskea ja kirjoittaa.Myös Muste ja Survo osaavat nämä arvokkaat taidot,aivan omalla tavallaan.

Aktivoimalla lauseke (joko hiiren kaksoisklikkauksellatai esc-napilla merkin = vierestä) edellä oleva kaaviosähköistyy hetkeksi: toimituskenttää hallinnoiva edito-riohjelma lukee lausekkeen ympäriltä tarvitsemansatiedot, laskee vaaditut laskut ja kirjoittaa tulokset.Kaikki tapahtuu yhdessä silmänräpäyksessä.

Kun siis kaavion alimmalla rivillä kuukausi ja päivä

aktivoidaan, rivi muuttuu muotoon

jos vuosi=2012, niin kuukausi=4 ja päivä=8

eli pääsiäissunnuntai on tänä vuonna 8. huhtikuuta.Muuttamalla vuodeksi 2008 ja aktivoimalla uudelleensaadaan:

jos vuosi=2008, niin kuukausi=3 ja päivä=23

Kokeillaan vielä kerran ja kurkataan tulevaisuuteen:

jos vuosi=2222, niin kuukausi=3 ja päivä=31

Musteen (tai Survon) laskentakaavio toimii siis samaantapaan kuin mikä tahansa tietokoneohjelma. Erona onse, että laskentakaavion voi kirjoittaa huomattavastivapaamuotoisemmin, tarvitsematta niin paljoa välittääohjelmointikielille ominaisista muotosäännöistä.

24 Solmu 2/2012

Tuhat vuotta ja yhdeksän pyhää

Siirrytään tutkimaan suomalaisen kalenterin juhlapäi-viä tarkemmin. Keskeisiä, yhteiskunnallisesti merkit-täviä juhlia on yhdeksän: uusivuosi, loppiainen, pää-siäinen, helatorstai, vappu, juhannus, pyhäinpäivä, it-senäisyyspäivä ja joulu. Näitä juhlia on tapana kutsuamyös ”juhlapyhiksi” tai ”pyhäpäiviksi” riippumatta sii-tä, ovatko ne kirkollisia vai maallisia.

Laskennan kannalta on hyödyllisempää jakaa ”pyhät”kahteen ryhmään sen mukaan, kumpi vaihtelee vuosit-tain: viikonpäivä vai päivämäärä. Juhlat, joiden viikon-päivä vaihtelee, ovat itsenäisyyspäivä, joulu, uusivuosi,loppiainen ja vappu. Juhlat, joiden päivämäärä vaihte-lee, mutta viikonpäivä ei, ovat pyhäinpäivä, pääsiäinen,helatorstai ja juhannus.

Osa juhlista koostuu pääsiäisen tapaan useista pyhä-päivistä, mutta laskelmissani jokaista juhlaa edustaatäsmälleen yksi päivä: uudenvuodenpäivä, loppiaispäi-vä, pääsiäissunnuntai, helatorstai, vapunpäivä, juhan-nuspäivä, pyhäinpäivä, itsenäisyyspäivä ja jouluaatto.

Kalenterissa on useita muitakin yleisiä juhlapäiviä,mutta niillä ei ole vastaavaa merkitystä, koska ne ei-vät eroa tavallisista arki- tai sunnuntaipäivistä. Esimer-kiksi helluntai, jonka vuodesta 1705 suomeksi ilmesty-nyt Yliopiston almanakka sisällyttää virallisiin juhla-päiviin, on seitsemäs pääsiäisen jälkeinen sunnuntai.

Toisinaan juhlapäivien määrittelyt voivat muuttuakin.Helatorstai on viimeiset 20 vuotta ollut perinteiselläpaikallaan, torstaina, tasan 40 päivää pääsiäislauan-tain jälkeen, mutta vuosina 1973–1991 sitä vietettiinjo edeltävän viikon lauantaina nimellä Kristuksen tai-vaaseenastumisen päivä.

Aloitin jutun kirjoittamisen kynttilänpäivänä, joka sat-tui olemaan myös Runebergin päivä. Edellinen on kir-kollinen, jälkimmäinen maallinen. Nämäkin juhlat voi-daan luokitella mainittuihin ryhmiin: Runebergin päivävoi olla minä viikonpäivänä tahansa, kun taas kyntti-länpäivä on aina sunnuntaina. Molemmilla on merki-tystä lähinnä niille, jotka kyseisiä päiviä juhlistavat.

Tarkastellaan seuraavaksi kalenteria ja juhlia tilastol-lisen tietojenkäsittelyn keinoin rakentamalla data elitilastoaineisto, joka ulottuu vuosisatojen päähän sekämenneisyyteen että varsinkin tulevaisuuteen.

Valitsin tarkasteltavaksi tuhannen vuoden pituisenajanjakson 1.1.1800–31.12.2799. Todellisuudessa osaajuhlista ei ole vietetty vielä sataakaan kertaa, muttalaskennallisia kokeiluja se ei mitenkään estä.

Nyt jutun toimituskentästä poimituissa näkymissä onmukana myös eräitä Musteen ja Survon editoriaalisenkäyttötavan hallintaan kuuluvia elementtejä. Niistä nä-kyvimpiä ovat vasemman reunan kontrollisarake ja toi-mituskenttää osiin jakavat rajarivit.

Kontrollisarake koostuu oletuksena tähdistä *, muttajokainen rivi voidaan varustaa millä tahansa muullakinkontrollimerkillä. Niihin voi kytkeä erilaisia toiminto-ja, joista alla olevissa näkymissä on joitain esimerkke-jä. Selkeyden vuoksi näkyvissä ovat vain välttämättö-mät kontrollimerkit; todellisuudessa tähdet ynnä muutkontrollimerkit tuikkivat himmeämmin erottuen sitenvarsinaisesta tekstinkirjoitusalueesta.

Rajarivi erottaa laskentakaavioita tai komentoja ohjaa-via täsmennyksiä eli merkillä = varustettuja sanoja. Senmuodostaa vähintään kymmenen peräkkäistä pistettätähtirivillä. Usein rajarivit vedetään täyteen leveyteen:

*.......................................................

Tämän aktivointi aktivoi kaikki ’+’:lla merkityt rivit:

/ACTIVATE +

+TIME COUNT START / mitataan rakentamiseen kuluva aika

+FILE CREATE KALJU / luodaan tyhjä datatiedosto (.svo)

KALJU: KALenteri ja JUhlat / KV 15.2.2010 (19.2.2012)

FIELDS:

1 S 10 pvm päivämäärä muodossa vvvv-kk-pp

2 N 4 pvJulian päivän järjestysnro (1 = 1.1.1800)

3 N 1 pvViikko viikonpäivä (1-7)

4 S 2 pvNimi viikonpäivä [ma,ti,ke,to,pe,la,su]

5 N 2 pvVuosi päivän järjestysnumero (1-366)

6 N 1 vkoVuosi viikon järjestysnumero (1-53)

7 S 3 Juhla [Juh,Pyh,Its,Jou,Uus,Lop,Paa,Vap,Het]

8 S 4 vvvv pvm: vuosi (1800-2799)

9 S 2 kk pvm: kuukausi [01,02,...,12]

10 S 2 pp pvm: päivä/kk [01,02,...,31]

END

Koska vuosia on tasan tuhat, on päiviä melko tarkkaan365000. Lisäksi tulee pieni määrä karkauspäiviä, joillagregoriaaninen kalenteri pysyy synkronissa maan kier-toliikkeiden kanssa. Karkauspäivien idea on selostettutarkemmin muun muassa Matti Lehtisen alussa maini-tussa artikkelissa. Karkeasti karkauspäivä on joka nel-jäs vuosi, joten niitä osuu jaksolle vajaat 250.

Lasketaan päivien määrä tarkasti DATE-komennolla jarakennetaan sen jälkeen vaiheittain koko data:

*.......................................................

DATE 1.1.2800 - 1.1.1800 / Difference=365242

+FILE INIT KALJU,365242 / ajellaan data kaljuksi

+VAR pvJulian=ORDER TO KALJU / ja numeroidaan päivät

Mitoitetaan päivien numerot tähän dataan sopivammiksi:

DATE 1.1.1800,Julian / Jan 01 1800 Julian_day=2378497

JULIAN_DAY0=2378496 (31.12.1799) -> 1, 2, ..., 365242

ja muodostetaan DATE-komennolla pvm ym. muuttujia:

+DATE KALJU / ODATE=YYYYMMDD ODEL=- MASK=di-ajw----

Vähän selostusta yllä käytetyistä täsmennyksistä:

ODATE ("output date") ja ODEL ("output delimiter")

ohjaavat päivämäärät haluttuun muotoon "2012-02-19".

MASK määrää kullekin valitulle muuttujalle roolin,

esim. d ("date"), i ("input") ja w ("week number").

*.......................................................

Solmu 2/2012 25

Suomennetaan ja numeroidaan päivien lyhennetyt nimet:

+CLASSIFY KALJU,Viikko1,pvNimi,pvNimi

CLASSIFICATION Viikko1

Mo: ma

Tu: ti

We: ke

Th: to

Fr: pe

Sa: la

Su: su

END

+CLASSIFY KALJU,Viikko2,pvNimi,pvViikko

CLASSIFICATION Viikko2

ma: 1

ti: 2

ke: 3

to: 4

pe: 5

la: 6

su: 7

END

*.......................................................

Erotellaan pvm:stä muuttujat vuosi, kuukausi ja päivä:

IDATE=YYYYMMDD IDEL=- (kuten edellä, mutta nyt "input")

+DATE KALJU / ODATE=YYYY VARS=pvm(D),vvvv(d)

+DATE KALJU / ODATE=MM VARS=pvm(D),kk(d)

+DATE KALJU / ODATE=DD VARS=pvm(D),pp(d)

*.......................................................

Datan alku- ja loppupää näyttävät nyt tällaisilta:

#FILE LOAD -KALJU CUR+1 / IND=ORDER,1,10

1800-01-01 1 3 ke 1 1 - 1800 01 01

1800-01-02 2 4 to 2 1 - 1800 01 02

1800-01-03 3 5 pe 3 1 - 1800 01 03

1800-01-04 4 6 la 4 1 - 1800 01 04

1800-01-05 5 7 su 5 1 - 1800 01 05

1800-01-06 6 1 ma 6 2 - 1800 01 06

1800-01-07 7 2 ti 7 2 - 1800 01 07

1800-01-08 8 3 ke 8 2 - 1800 01 08

1800-01-09 9 4 to 9 2 - 1800 01 09

1800-01-10 10 5 pe 10 2 - 1800 01 10

*#######################################################

#FILE LOAD -KALJU CUR+1 / IND=ORDER,365233,365242

2799-12-22 365233 3 ke 356 51 - 2799 12 22

2799-12-23 365234 4 to 357 51 - 2799 12 23

2799-12-24 365235 5 pe 358 51 - 2799 12 24

2799-12-25 365236 6 la 359 51 - 2799 12 25

2799-12-26 365237 7 su 360 51 - 2799 12 26

2799-12-27 365238 1 ma 361 52 - 2799 12 27

2799-12-28 365239 2 ti 362 52 - 2799 12 28

2799-12-29 365240 3 ke 363 52 - 2799 12 29

2799-12-30 365241 4 to 364 52 - 2799 12 30

2799-12-31 365242 5 pe 365 52 - 2799 12 31

*#######################################################

Data on valmis! Vain juhlapäivien tiedot puuttuvat (-).

Edellä on käytössä risuaitatekniikka, jolla Muste lisääitse toimituskenttään tarvitsemansa tilan tulostuksil-le (tässä datan listaukselle). Rivitunnus CUR viittaakomentoriviin; vastaavasti END kentän viimeiseen ei-tyhjään riviin. Ilman risuaitoja # tilan hallinnasta vas-taa käyttäjä, jolloin END+2 on suositeltavampi valintatulostuksen aloitusriviksi kuin yllä sovellettu CUR+1.

Yhdeksän tuhatta juhlaa

Täydennetään data merkkaamalla juhlapäivät muuttu-jaan Juhla. Juhlista käytetään kolmikirjaimisia lyhen-teitä, jotka näkyvät FILE CREATE -kaaviosta.

Aloitetaan helpoimmista eli niistä juhlista, joiden si-jainti kalenterissa määräytyy päivämäärän perusteella,mutta viikonpäivä vaihtelee vuosittain. Näitä ovat siisitsenäisyyspäivä, joulu, uusivuosi, loppiainen ja vappu.

Kun VAR-komento aktivoidaan, se kirjoittaa kyseisenjuhlan lyhenteen dataan kaikkien ehdot täyttävien päi-vien kohdalle. Jokainen VAR-komento käy siis läpi kokodatan ja päivittää tuhat tietuetta, yhden per vuosi:

*.......................................................

Ehtolauseke SELECT=K*P on yhteinen ja yksinkertainen:

sen mukaan K:n ja P:n tulee molempien toteutua, jotta

koko SELECT-ehto toteutuu. Käytetyt alkeisehdot K ja P

määrittelevät juhlat täsmällisesti:

1) Itsenäisyyspäivä: 6.12. K=kk,12 P=pp,6

+VAR str(Juhla)="Its" TO KALJU

2) Joulu: 24.12.

+VAR str(Juhla)="Jou" / K=kk,12 P=pp,24

3) Uusivuosi: 1.1.

+VAR str(Juhla)="Uus" / P=kk,1 K=pp,1

4) Loppiainen: 6.1.

+VAR str(Juhla)="Lop" / K=kk,1 P=pp,6

5) Vappu: 1.5.

+VAR str(Juhla)="Vap" / K=kk,5 P=pp,1

*.......................................................

Äskeisessä (kohdat 1–5) ei tarvita rajarivejä erotta-maan VAR-komentoja, sillä itse komentorivi on etusi-jalla, kun Muste lukee täsmennyksiä. Näin SELECT vai-kuttaa kaikkiin viiteen VAR-komentoon, mutta alkeiseh-dot K ja P määritellään tilannekohtaisesti. Kohdassa 1käyttöön tulevat tässä rajarivien välisessä osakentässäensimmäisenä annetut määritykset.

Seuraavassa (kohdat 6–7) rajariviä ei myöskään tarvita,kun SELECT-ehto on komentokohtainen, ja alkeisehdotovat viikonpäivää lukuunottamatta eri nimisiä:

*.......................................................

6) Juhannus: lauantai 20.-26.6.

K=kk,6 P=pp,20,26 V=pvNimi:la

+VAR str(Juhla)="Juh" / SELECT=K*P*V

7) Pyhäinpäivä: lauantai 31.10.-6.11.

K1=kk,10 P1=pp,31 (toisinaan lokakuun puolella!)

K2=kk,11 P2=pp,1,6

+VAR str(Juhla)="Pyh" / SELECT=(K1*P1+K2*P2)*V

*.......................................................

26 Solmu 2/2012

Vuorossa (kohta 8) on juhlista vaativin. Pääsiäinen onaina sunnuntaina, mutta se tieto ei riitä: tarvitaan taasalussa esitettyä algoritmia. Jotta päästään soveltamaansitä, poimitaan erilleen yksi päivä jokaisesta vuodesta.Muuttujista mukaan riittää ottaa päivämäärän kolmekomponenttia sekä juhlapäivän ilmaisin:

*.......................................................

8) Pääsiäinen: sunnuntai 22.3.-25.4.

+FILE AGGR KALJU BY vvvv TO KALJUPAA / (!)

VARIABLES:

vvvv LAST vvvv / Jokaisesta tuhannesta vuodesta

kk LAST kk / poimitaan sen viimeinen päivä

pp LAST pp / (LAST) ja kootaan näistä uusi,

Juhla LAST Juhla / vain tuhannen havainnon data.

END

*.......................................................

Edellä esitetty algoritmi on havainnollisuuden vuoksitoistettu tässä ilman ylimääräisiä kommentteja, vainhieman eri tavalla aseteltuna. Nyt vuositieto haetaanuuden datan muuttujasta vvvv, ja VAR-aktivointi päi-vittää samaisen datan muuttujien pp ja kk sisällöt:

Anonymous (1876). To find easter. Nature, 13, 487.

a=mod(vvvv,19) f=int((b+8)/25) d=int(b/4)

b=int(vvvv/100) g=int((b-f+1)/3) e=mod(b,4)

c=mod(vvvv,100) n=(h+l-7*m+114) i=int(c/4)

h=mod((19*a+b-d-g+15),30) k=mod(c,4)

l=mod((32+2*e+2*i-h-k),7) kk=int(n/31)

m=int((a+11*h+22*l)/451) pp=mod(n,31)+1

+VAR pp,kk TO KALJUPAA

+VAR str(Juhla)="Paa" / (ei ehtoja: lisätään kaikkiin)

*.......................................................

Isoon dataan kopiointia varten lisätään etunollat, niin

datojen täsmäytys MATCH-täsmennyksellä onnistuu:

+VAR str(pp,1,1)="0" / IND=pp,1,9

+VAR str(kk,1,1)="0" / IND=kk,3,4 (vältetään rajarivi)

*.......................................................

Kopioidaan pääsiäiset omasta datastaan isoon dataan:

MATCH=vvvv,kk,pp (kaikkien pitää täsmätä!)

+FILE COPY KALJUPAA TO KALJU / VARS=Juhla

*.......................................................

Nyt kaikki tuhat pääsiäistä ovat oikeilla paikoillaan.Enää on jäljellä helatorstai. Koska sen sijainti riippuutäysin pääsiäisestä, kohta 9 hoituu helposti:

*.......................................................

9) Helatorstai: 39. päivä pääsiäissunnuntaista

+VAR str(Juhla[+39])="Het" TO KALJU / CASES=Juhla:Paa

+TIME COUNT END 60.032

Aikaa kului siis noin minuutti: 60.032(s:hms)=00:01:00

*.......................................................

Pääsiäisten kuvailua

Kuvion perusteella varhaiset ja myöhäiset pääsiäisetesiintyvät harvimmin. Tämä pätee yleisesti, vieläpäniin, että kaikkein varhaisin on kaikkein harvinaisin.

Tuhat vuotta saattaa tuntua pitkältä ajalta, mutta seon lopulta vain lyhyt jakso, sillä pääsiäissunnuntainpäivämäärien kiertokulku toistuu samanlaisena vasta5,7 miljoonan vuoden jälkeen. Jakson täydellinenkuva löytyy muun muassa pääsiäisen laskennallisia ky-symyksiä käsittelevältä englanninkieliseltä Wikipedia-sivulta.

Kuvanpiirtoa varten edellä (kohdassa 8) syntynyt pää-siäisdata on järjestetty kuukauden ja päivän mukaan jatalletettu lajitteluavain uudeksi muuttujaksi kkpp. Senavulla on muodostettu uusi data, joka sisältää vain 35havaintoa; yhden jokaisesta mahdollisesta pääsiäissun-nuntain päivämäärästä. Muuttujaan n tulevat kuvanpystyakselilla esitetyt lukumäärät:

FILE SORT KALJUPAA BY kk,pp TO PAA1000 / KEY_SAVED=kkpp

FILE AGGR PAA1000 BY kkpp TO PAA1000A

VARIABLES:

i:S2 MISSING -

kkpp FIRST kkpp / aggregointitunniste

v1 ORDER(1) vvvv / 1. vuosi

v2 ORDER(2) vvvv / 2. vuosi

v3 ORDER(3) vvvv / 3. vuosi

vj ORDER(-3) vvvv / j. vuosi (j=n-3+1)

vk ORDER(-2) vvvv / k. vuosi (k=n-2+1)

vn ORDER(-1) vvvv / n. vuosi (n=n-1+1)

n:S2 N - / vuosien lukumäärä

color:1 MISSING -

END

*.......................................................

Muuttujiin v1, v2, . . . , vn tallentuu kolme ensimmäis-tä ja kolme viimeistä vuotta, jolloin pääsiäinen on (taion ollut) kyseisen havainnon ilmaisemana päivänä.

Dataa on aina hyvä selailla, jotta pysyy selvillä siitä,mitä on tekemässä. Nyt sen alku maaliskuun päivienosalta näyttää tällaiselta:

Solmu 2/2012 27

FILE LOAD PAA1000A CUR+2 / CASES_WILD*=* CASES=kkpp:03*

*DATA PAA1000A*,A,B,C

C i kkpp v1 v2 v3 vj vk vn n col

A - 0322 1818 2285 2353 2353 2437 2505 5 -

- 0323 1845 1856 1913 2532 2600 2752 10 -

- 0324 1940 2391 2475 2475 2543 2695 5 -

- 0325 1883 1894 1951 2638 2779 2790 22 -

- 0326 1815 1826 1837 2711 2722 2733 33 -

- 0327 1842 1853 1864 2738 2749 2760 26 -

- 0328 1869 1875 1880 2624 2771 2776 26 -

- 0329 1807 1812 1891 2714 2787 2798 31 -

- 0330 1823 1834 1902 2719 2730 2741 35 -

B - 0331 1839 1850 1861 2746 2757 2768 42 -

*.......................................................

Listauksesta näkyy, kuinka harvinainen pääsiäisenesiintyminen 22. maaliskuuta oikein on: viime kerrastaon jo 2012-1818=194 vuotta. Seuraavaa saadaan odot-taa vielä 2285-2012=273 vuotta.

Vilkaistaan toisesta datasta, miltä maaliskuun pää-siäisten tilanne näyttää seuraavien 20 vuoden aikana:

CASES=kk:03 IND=vvvv,2013,2032 MASK=AAA--

FILE LOAD -PAA1000 CUR+2

2016 03 27

2027 03 28

2032 03 28

2013 03 31

2024 03 31

*.......................................................

Näemmä pääsiäissunnuntai osuu maaliskuun puolelleheti ensi vuonna. Kuvan perusteella 31. maaliskuutaonkin varsin tyypillinen pääsiäissunnuntain ajankohta.

Juhlat törmäyskurssilla

Tarkastellaan lopuksi, millaisia tilanteita voi syntyäkirkollisten ja maallisten juhlapäivien kohdatessa. Taastapahtumien keskipisteessä on pääsiäinen.

Jos pääsiäinen on myöhään, se sijoittuu vapun lähel-le. Väliin jää vähimmillään vain viisi päivää, joista yksion pääsiäismaanantai. Kaupallisissa sovelluksissa, jois-sa saatetaan olla kiinnostuneita sekä juhlia edeltävistäettä seuraavista myyntipäivistä, on tällöin vaikea erot-taa näiden kahden juhlan vaikutusalueita toisistaan.

Jos pääsiäinen on aikaisin, sijoittuu helatorstai vapunlähelle. Tämä onkin kaikista törmäyskursseista mielen-kiintoisin. Pääsiäisen liikkuvuudesta seuraa, että hela-torstai, joka on yleensä toukokuussa, on toisinaan vas-ta kesäkuun alussa. Aikaisimmillaan helatorstai voi ollajopa huhtikuussa, samana päivänä kuin vappuaatto:

Haetaan päivät isosta datasta: CASES=Juhla:Het IND=kk,4

FILE LOAD -KALJU CUR+2 / VARS=Juhla,pvm

Het 1818-04-30

Het 2285-04-30

Het 2353-04-30

Het 2437-04-30

Het 2505-04-30

*.......................................................

Kyseiset viisi esiintymää ovat täsmälleen niinä vuosina,jolloin pääsiäinen on aikaisimmillaan, 22. maaliskuuta:

CASES=Juhla:Paa IND=vvvv:1818,2285,2353,2437,2505

FILE LOAD -KALJU CUR+2 / VARS=Juhla,pvm

Paa 1818-03-22

Paa 2285-03-22

Paa 2353-03-22

Paa 2437-03-22

Paa 2505-03-22

*.......................................................

R ja kadonneiden juhlien metsästys

Tehdään tässä välissä pieni vierailu R-puolelle, jokaon kokoajan käytettävissä Musteen välityksellä. Ensinmuunnetaan Musteen KALJU-data R-dataksi kalju:

FILE LOAD KALJU TO R>kalju

Raaputetaan kaljusta pari tietoa R-funktioilla, joitaMusteen toimituskentästä aktivoidaan joko komennollaR tai napilla Ctrl-R:

dim(kalju) # tarkistetaan datan dimensiot

R-funktion dim tulos kirjoittuu oletuksena Musteen rin-nalla toimivaan R:n omaan komentoikkunaan, muttaminkä tahansa R-funktion tulokset saa myös halutes-saan suoraan Musteen toimituskenttään jatkokäsittelyävarten. Nyt tulos sisältää ainoastaan kaksi lukua:

[1] 365242 10

R-funktiolla summary tiivistetään tiedot kevätjuhlista:

summary(as.factor(kalju$Juhla))[c(’Paa’,’Het’,’Vap’)]

Paa Het Vap

1000 1000 990

Mihin on kadonnut 10 vappua? Kun juhlapäivät edellämerkattiin dataan, oli selvää, että kaikkia on täsmäl-leen tuhat kappaletta. Siinä yhteydessä ei kuitenkaanhuomattu, että juhlat voivat osua samallekin päivälle.Aina kun tekee datalle jotain, sitä olisi syytä katsoa.

Katsotaan nyt tarkemmin Musteen STAT-komennolla:

28 Solmu 2/2012

STAT KALJU CUR+2 / VARS=Juhla

Basic statistics: KALJU N=365242

Variable: Juhla [Juh,Pyh,Its,Jou,Uus,Lop,Paa,Vap,Het]

N(missing)=356252

Juhla f % *=32 obs.

Het 1000 11.1 *******************************

Its 1000 11.1 *******************************

Jou 1000 11.1 *******************************

Juh 1000 11.1 *******************************

Lop 1000 11.1 *******************************

Paa 1000 11.1 *******************************

Pyh 1000 11.1 *******************************

Uus 1000 11.1 *******************************

Vap 990 11.0 ******************************

*.......................................................

Nuo 10 vapunpäivää ovat näemmä ainoat kadonneet.Ne törmäävät helatorstaihin, joka juhlapäiviä merka-tessa (kohdassa 9) ajaa aiemmin (kohdassa 5) merka-tun vapun yli. Törmäyskurssi on sangen harvinainen,mutta sattumalta koettu aivan hiljattain, vuonna 2008:

helatorstai=Juhla:Het SELECT=helatorstai*toukokuun*1

toukokuun=kk,5 1=pp,1

FILE LOAD KALJU CUR+2 / VARS=vvvv FORMAT=LIST

DATA vvvv: 1845 1856 1913 2008 2160 2228 2380 2532 2600

2752 END

*.......................................................

Näemmä edellisen kerran näin tapahtui 99 vuotta sit-ten, ennen ensimmäistä maailmansotaa. Jutun alus-sa mainitussa analysointijärjestelmässä, joka käsitte-lee aikasarja-aineistoja vuodesta 2000 lähtien, vuoden2008 törmäyksellä oli työllistävä vaikutus: jouduin ot-tamaan sen erikseen huomioon yli 20 kohdassa ohjel-man lähdekoodia. Kuten edeltä näkyy, seuraava tör-mäys odottaa – mutta vasta noin 150 vuoden päässä.

Lopuksi

Pääsiäisaiheisen jutun myötä olen tullut käyneeksi läpimuutamia esimerkkejä Musteen ja Survon käytöstä las-kelmien teossa, datan muokkauksessa ja kuvien piirros-sa. Nämä (ja monet muut) tehtävät sujuvat mukavastieditoriaalisella käyttötavalla. Siitä tuli Survon käyttö-liittymä vuonna 1979, jolloin se nopeasti syrjäytti valik-kopohjaisen käyttötavan silloisessa SURVO 76:ssa (ks.www.survo.fi/julkaisut erit. vuosilta 1979–1980).

Lyhyesti lähteistä

Heikki Ojan Aikakirja on varsinainen kalentereidenja juhlapäivien runsaudensarvi. Jean Meeusin teos onerinomainen johdatus astronomisten algoritmien läh-teille. Reinhold Bien valottaa historian hämäriä.

Jatkot verkossa!

Artikkelin työkaaviot ynnä muuta täydentävää materi-aalia löytyy sivulta www.survo.fi/juhlat. Ottamallakäyttöön Musteen (sivulta www.survo.fi/muste) voitoistaa kaikki jutussa esitetyt datan käsittelyt, piirtääedellä olevan kuvan tai vaikka laajentaa kokeiluja vieläkauemmas historiaan tai tulevaisuuteen.

Kiitokset

Seppo Mustonen ja Reijo Sund esittivät eri vaiheissalukuisia hyödyllisiä kommentteja. Kiitos kaikista!

Viitteet

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Computus.

[2] Anonymous. To find easter. Nature, 13:487, 1876.

[3] Reinhold Bien. Gauss and beyond: The makingof easter algorithms. Archive for History of ExactSciences, 58:439–452, 2004.

[4] Ross Ihaka and Robert Gentleman. R: A languagefor data analysis and graphics. Journal of Compu-tational and Graphical Statistics, 5:299–314, 1996.

[5] Matti Lehtinen. Jouluaatto on harvemmin sun-nuntaina. Solmu, (3):17–18, 2011.

[6] Jean Meeus. Astronomical Algorithms. Willmann–Bell, 2nd edition, 1998.

[7] Seppo Mustonen. SURVO MM: käyttöympäristötekstin ja numeerisen tiedon luovaan käsittelyyn.2001–2012, http://www.survo.fi.

[8] Heikki Oja. Aikakirja. Helsingin yli-opiston almanakkatoimisto, Helsingin yliopis-to, 2007. http://almanakka.helsinki.fi/

aikakirja/Aikakirja2007kokonaan.pdf.

[9] R Development Core Team. R: A Language andEnvironment for Statistical Computing. R Foun-dation for Statistical Computing, Vienna, Austria,2012. http://www.R-project.org.

[10] Reijo Sund. Muste – Multiplatform Survo TypeEditorial Environment for Data Analysis. 2009–2012, http://www.survo.fi/muste.

Solmu 2/2012 29

Yhtenäisyydestä

Tuomas Korppi

Johdanto

Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa1 ja R2:n (elitason) osajoukkoa.

Kuva 1. Yhtenäinen verkko ja R2:n osajoukko.

Niillä on yhteinen ominaisuus: Ne ovat kumpikin yh-tenäisiä. Kaikki verkot ja R2:n osajoukot eivät ole yh-tenäisiä. Esimerkiksi Kuvassa 2 oleva verkko ja R2:nosajoukko koostuvat kumpikin kolmesta yhtenäisestäkomponentista.

Kuva 2. Epäyhtenäinen verkko ja R2:n osajoukko.

Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, et-tä osien välillä ei ole verkon kaaria, ja kuvassa 2 näky-

vä R2:n osajoukko voidaan puolestaan jakaa kolmeenosaan niin, että osat ovat kaukana toisistaan. Kuvan 1objekteilla ei vastaavaa ominaisuutta ole.

Sekä verkkojen yhtenäisyyttä että R2:n osajoukkojenyhtenäisyyttä kuvaavat teoriat ovat hyvin tunnettuja.

Matemaattista mieltä kiinnostaa kuitenkin kysymys:Onko verkon ja R2:n osajoukon yhtenäisyydellä (javastaavasti yhtenäisillä komponenteilla) jotain yhteis-tä? Toisin sanoen, onko olemassa yleistä yhtenäisyydenmääritelmää, josta seuraisi erikoistapauksina sekä ver-kon että R2:n osajoukon yhtenäisyys?

Paljastuu, että tällainen teoria on olemassa, ja se ke-hitettiin 1900-luvun alkupuolella, joskin nykyään se onpainunut suurelta osin unholaan. Se löytyy teoksesta[1], luvuista 14 ja 20. Esitämme sen alla huomattavastimukaillen.

Esitämme teorian todistuksineen. Matemaattisen teks-tin lukemiseen tottumattomat lukijat voivat sivuuttaatodistukset ja vain uskoa tulokset. Niitä lukijoita var-ten, jotka eivät tunne joukko-opin notaatioita, liittees-sä on todellinen crash course aiheesta.

Lähipisteavaruus

Tutkitaan R2:n osajoukkoa A = {(x,0) | 0 < x < 1}.Sillä on sellainen ominaisuus, että pisteet (0,0) ja (1,0)eivät kuulu kyseiseen joukkoon, mutta kuitenkin ovat

1Tässä kirjoitelmassa verkot ovat suuntaamattomia, jos muuta ei mainita.

30 Solmu 2/2012

lähellä joukkoa A. Vastaavasti, jos B on verkon sol-mujen joukon osajoukko, voidaan ajatella, että solmuon lähellä joukkoa B, jos solmusta on kaari johonkinjoukon B solmuun.

Sekä verkon että R2:n osajoukon rakenne voidaan siisilmaista läheisyyden avulla: Kerrotaan, mitkä pisteetovat lähellä mitäkin tutkittavan olion osajoukkoa. Seu-raavaksi aksiomatisoimmekin lähelläolemisrelaation, eliannamme sellaisen lähelläolemisen määritelmän, ettäsitä voidaan soveltaa sekä verkkoihin että R2:n osajouk-koihin. Seuraavat ominaisuudet tuntuvat luonnollisiltalähelläolemisen ominaisuuksilta.

• Jos x kuuluu joukkoon A, niin se on lähellä joukkoaA.

• Mikään piste ei ole lähellä tyhjää joukkoa.

• Jos A ⊂ B, ja piste x on lähellä joukkoa A, niin xon myös lähellä joukkoa B.

Itse asiassa ilmenee, että nämä ominaisuudet ovat riit-täviä sen teorian kehittämiseen, minkä teemme tässäkirjoitelmassa.

Nyt muodollinen määritelmä:

Olkoon X joukko. Merkitään P(X):llä kaikkien X :nosajoukkojen2 joukkoa.

Pari (X, ∈̄) on lähipisteavaruus, jos X on joukko ja∈̄ on relaatio ∈̄⊂ X × P(X), joka toteuttaa seuraavataksioomat:

1. Jos A ⊂ X ja a ∈ A, niin a ∈̄ A.

2. x ∈̄ ∅ ei päde millään x ∈ X .

3. Jos A ⊂ B ⊂ X ja x ∈ X , jolle x ∈̄ A, niin tällöinx ∈̄ B.

Jos x ∈̄ A, sanomme, että x on joukon A lähipiste. JosA ⊂ X , merkitään cl A = {x ∈ X | x ∈̄ A}.

Seuraavaksi selitämme, kuinka verkot ja tason osajou-kot voidaan mieltää lähipisteavaruuksina.

Olkoon (X,S) verkko, missä X on solmujen joukko ja Skaarien joukko. Määritellään, että jos x ∈ X ja A ⊂ X ,niin x on joukon A lähipiste, x ∈̄ A, jos x ∈ A tai sol-musta x on kaari johonkin joukon A solmuun. Kiin-nostunut lukija voi helposti tarkistaa, että antamam-me lähipisteen määritelmä verkossa toteuttaa kaikki lä-hipisterelaation aksioomat. Nyt verkko (X,S) voidaanmieltä lähipisteavaruutena (X, ∈̄).

Olkoon sitten X ⊂ R2. Jos x,y ∈ X , merkitäänd(x,y):llä pisteiden x ja y etäisyyttä (linnuntietä). JosA ⊂ X ja x ∈ X , sanomme, että x on joukon A lä-hipiste, x ∈̄ A, jos kaikilla ǫ > 0 on olemassa y ∈ A,

jolle d(x,y) < ǫ. Kiinnostunut lukija voi tarkistaa, et-tä antamamme lähipisteen määritelmä toteuttaa kaikkilähipisteavaruuden aksioomat. Nyt X voidaan mieltäälähipisteavaruutena (X, ∈̄).

Olkoon X = R2. Esimerkiksi joukon {x ∈ R2 | d(x,0) <1} lähipisteiden joukko on {x ∈ R2 | d(x,0) ≤ 1}. Toi-sena esimerkkinä joukon A = {x ∈ R2 | d(x,0) ≤ 1}lähipisteiden joukko on joukko A itse.

Jos X ⊂ R2, (X, ∈̄) toteuttaa vielä seuraavat ehdot:

• Kaikilla A,B ⊂ X ja kaikilla x ∈ X pätee x ∈̄(A ∪ B) jos ja vain jos x ∈̄ A tai x ∈̄ B.

• Kaikilla A ⊂ X pätee cl cl A = cl A.

Nämä ehdot toteuttavia lähipisteavaruuksia kutsutaantopologisiksi avaruuksiksi, ja ne näyttelevät hyvin kes-keistä roolia modernissa matematiikassa.

Yhtenäisyys

Tutkitaan kuvassa 2 esiintyviä verkkoa ja R2:n osajouk-koa, jotka kumpikin koostuvat kolmesta komponentis-ta. Laittamalla kaksi komponenttia yhteen lokeroon jayksi komponentti toiseen lokeroon, havaitaan, että nevoidaan kumpikin jakaa kahteen erilliseen osaan (jahelposti havaitaan, että mistä tahansa yhtä suurem-masta komponenttimäärästä koostuva kokonaisuus voi-daan aina jakaa kahteen osaan, mutta kahdesta kompo-nentista koostuvaa kokonaisuutta ei voida jakaa useam-paan kuin kahteen osaan). Kuvan 1 objekteilla, jotkaovat yhtenäisiä, ei tätä ominaisuutta ole. Näin ollenmäärittelemmekin epäyhtenäisyyden käyttäen tätä ide-aa:

Olkoon (X, ∈̄) lähipisteavaruus. Sanomme, että X onepäyhtenäinen, jos on olemassa A,B ⊂ X siten, ettäseuraavat ehdot pätevät:

1. A 6= ∅, B 6= ∅.

2. A ∩ B = ∅

3. A ∪ B = X .

4. cl A = A ja cl B = B.

Viimeinen ehto voidaan ilmaista myös muodossa

• Jos x ∈ B, niin x ∈̄ A ei päde, ja jos x ∈ A, niinx ∈̄ B ei päde.

Kyseinen ehto siis sanoo, että osien välillä ei vallitselähipisterelaatioita.

Lukija voi helposti tarkistaa, että kuvan 3 verkko jaR2:n osajoukko ovat epäyhtenäisiä tämän määritelmänmukaan. (Asian osoittamiseksi valitaan A:ksi ja B:ksiX :n yhtenäiset komponentit.)

2Joukon X osajoukoiksi lasketaan myös joukot ∅ ja X.

Solmu 2/2012 31

Kuva 3. Kahdesta komponentista koostuva verkko jaR2:n osajoukko.

Sanomme, että (X, ∈̄) on yhtenäinen, jos se ei oleepäyhtenäinen. Kuvassa 1 esitetyt verkko ja R2:n osa-joukko ovat tämän määritelmän mukaan yhtenäisiä.

Komponenttien määrä

Olkoon (X, ∈̄) lähipisteavaruus. Olkoon A ⊂ X . Nyt(A, ∈̄A) on lähipisteavaruus, kun ∈̄A⊂ A × P(A) mää-ritellään

x ∈̄A B jos ja vain jos x ∈̄ B

kaikilla B ⊂ A, x ∈ A. Merkitään A:n sulkeumaope-raattoria clA, eli jos B ⊂ A, clA B on kaikkien niidenA:n pisteiden joukko, jotka ovat lähellä joukkoa B.

Ylläolevan määritelmän perusteella mitä tahansa X :nosajoukkoa voidaan käsitellä lähipisteavaruutena, jo-ten minkä tahansa X :n osajoukon yhtenäisyydestä jaepäyhtenäisyydestä voidaan puhua.

Jos A ⊂ X , sanomme, että A on X :n yhtenäinen kom-ponentti, jos seuraavat ehdot pätevät:

1. A on yhtenäinen.

2. Jos B ⊂ X on sellainen, että A ⊂ B, A 6= B, niintällöin B on epäyhtenäinen.

Siis X :n yhtenäiset komponentit ovat X :n maksimaa-lisia yhtenäisiä osajoukkoja.

Tämän määritelmän nojalla kuvassa 2 on verkko jaR2:n osajoukko, joilla on kummallakin kolme yhtenäis-tä komponenttia.

Seuraavaksi todistamme kaksi yhtenäisten komponent-tien perustulosta. Ensinnäkin sen, että jokainen pistekuuluu johonkin yhtenäiseen komponenttiin, sekä sen,että kahden yhtenäisen komponentin leikkaus on tyhjä.Aloitamme kuitenkin kahdella lemmalla, joista ensim-mäistä käytämme jatkossa ilman eri viittausta.

Lemma 1. Olkoon (X, ∈̄) lähipisteavaruus ja B ⊂ Xsellainen, että cl B = B. Olkoon A ⊂ X. TällöinclA(A ∩ B) = A ∩ B.

Todistus: Selvästi A∩B ⊂ clA(A∩B) ja clA(A∩B) ⊂ A.Siis täytyy todistaa clA(A ∩ B) ⊂ B.

Lähipisteavaruuden määritelmän ehdosta 3 seuraa, et-tä jos C ⊂ D, niin cl C ⊂ cl D. Näin ollen clA(A∩B) ⊂cl(A ∩ B) ⊂ cl B = B. �

Lemma 2. Olkoon (X, ∈̄) lähipisteavaruus, ja (Ci)i∈I

kokoelma X:n yhtenäisiä osajoukkoja siten, että on ole-massa x ∈ X, jolle x ∈ Ci kaikilla i ∈ I. Tällöin

⋃

Ci

on yhtenäinen.

Todistus: Tehdään vastaoletus:⋃

Ci on epäyhtenäinen.Olkoot A ja B kuten epäyhtenäisyyden määritelmässä.Symmetrian perusteella voidaan olettaa x ∈ A. Olkooni sellainen, että Ci ∩ B 6= ∅. Nyt A ∩ Ci ja B ∩ Ci ovatkuten epäyhtenäisyyden määritelmässä joukolle Ci, jo-ka on yhtenäinen. Ristiriita. �

Korollaari 3. Olkoon (X, ∈̄) lähipisteavaruus ja x ∈X. Tällöin x kuuluu johonkin X:n yhtenäiseen kompo-nenttiin.

Todistus: Olkoon (Ci)i∈I kaikkien X :n yhtenäisten osa-joukkojen kokoelma, jotka sisältävät x:n. Koska x:n yk-siö {x} on yhtenäinen, kokoelma on epätyhjä. Lemman2 nojalla

⋃

Ci on maksimaalinen yhtenäinen osajouk-ko, eli yhtenäinen komponentti. �

Korollaari 4. Jos C ja D ovat X:n yhtenäisiä kom-ponentteja, C 6= D, niin C ∩ D = ∅.

Todistus: Tehdään vastaoletus, C ∩D 6= ∅. Joko C 6⊂ Dtai D 6⊂ C. Oletetaan symmetrian perusteella ensim-mäinen. Nyt C ∪ D on Lemman 2 nojalla yhtenäinen,joten D ei ole maksimaalinen, eikä näin ollen yhtenäi-nen komponentti. Ristiriita. �

Yhtenäiseksi todistaminen

Lähipisteavaruuksia voidaan todistaa epäyhtenäisiksiyksinkertaisesti löytämällä joukot A ja B, jotka ovatkuten epäyhtenäisyyden määritelmässä. Yhtenäiseksitodistaminen on usein vaikeampaa, ja tässä luvussaesittelemme pari tulosta, joista yhtenäisyys tietyissä ta-pauksissa seuraa.

Aluksi esittelemme tuloksen, jonka avulla voidaanosoittaa verkon yhtenäisyys. Olkoon (X, ∈̄) verkkoavastaava lähipisteavaruus ja x ∈ X . Merkitään cl x =cl{x}, ja cln x = cl cl . . . cl x, missä sulkeumia otetaann kappaletta.

Teoreema 5. Olkoon (X, ∈̄) verkkoa vastaava lähipis-teavaruus ja x ∈ X. Jos on olemassa n ∈ N, jollecln x = X, niin X on yhtenäinen.

Todistus: Tehdään vastaoletus: X on epäyhtenäinen.Olkoot A ja B kuten epäyhtenäisyyden määritelmäs-sä. Symmetrian perusteella voidaan olettaa x ∈ A.Määritellään jokaiselle y ∈ X arvo v(y) siten, ettäv(y) on pienin luku m, jolla y ∈ clm x (ja määritel-lään v(x) = 0). Olkoon z ∈ B piste, jolla on pienin

32 Solmu 2/2012

v-arvo joukon B pisteistä. Nyt pisteestä z on särmä jo-honkin sellaiseen pisteeseen z′, jolle v(z′) = v(z) − 1.Mutta v(z):n minimaalisuuden perusteella z′ ∈ A. Siisz ∈ cl A. Ristiriita. �

Seuraavaksi esittelemme tuloksen, josta seuraa aikamonen R2:n osajoukon yhtenäisyys. Aloitamme kuiten-kin aputuloksilla.

Olkoon A ⊂ R. Sanomme, että x ∈ R on joukon A ylä-raja, jos kaikilla a ∈ A pätee a ≤ x. Reaaliluvuilla onseuraava käyttökelpoinen ominaisuus: Jos A ⊂ R onepätyhjä ja joukolla A on yläraja, tällöin joukon A ylä-rajojen joukossa on pienin yläraja. Kutsumme joukonA pienintä ylärajaa joukon A supremumiksi.

Lemma 6. Jokainen jana R2:ssa on yhtenäinen.

Todistus: Olkoon J jana, jonka päätepisteet ovat x jay. Kun t ∈ [0,1], merkitään f(t) = (1 − t)x + ty. NytJ = {f(t) | t ∈ [0,1]}. Tehdään vastaoletus: J onepäyhtenäinen. Olkoot A ja B kuten epäyhtenäisyy-den määritelmässä. Oletetaan symmetrian perusteella,että x ∈ A.

Olkoon t0 supremum luvuista t ∈ [0,1], joille jana pis-teestä x pisteeseen f(t) sisältyy joukkoon A. Nyt mie-livaltaisen lähellä f(t0):aa on joukon A pisteitä, jotenf(t0) ∈ cl A, ja koska A = cl A, f(t0) ∈ A.

Jos t0 = 1, pätee J = A ja B = ∅, mikä on ristiriita. Siist0 < 1. Nyt mielivaltaisen lähellä f(t0):aa on joukon Balkioita, joten f(t0) ∈ cl B = B. Siis f(t0) ∈ A ∩ B,ristiriita. �

Olkoot J1, . . . , Jn janoja siten, että kaikilla i, i =1, . . . , n − 1, janan Ji loppupiste on janan Ji+1 alku-piste. Tällöin kutsumme yhdistettä

⋃

Ji murtoviivak-si.

Korollaari 7. Murtoviiva on yhtenäinen.

Todistus: Yhdestä janasta koostuva murtoviiva on yh-tenäinen Lemman 6 perusteella. Useammasta janastakoostuva murtoviiva voidaan näyttää yhtenäiseksi in-duktiolla käyttäen Lemmaa 2. �

Teoreema 8. Olkoon X ⊂ R2 sellainen, että mitkätahansa kaksi X:n pistettä voidaan yhdistää murtovii-valla joukon X sisällä. Tällöin X on yhtenäinen.

Todistus: Tehdään vastaoletus: X on epäyhtenäinen.Olkoot A ja B kuten epäyhtenäisyyden määritelmässä.Valitaan x ∈ A, y ∈ B. Olkoon M murtoviiva pisteestäx pisteeseen y. Mutta nyt M ∩ A ja M ∩ B ovat ku-ten epäyhtenäisyyden määritelmässä joukolle M . SiisM on epäyhtenäinen, mikä on ristiriita edellisen korol-laarin kanssa. �

Esimerkki 9. Olkoon X annulus {x ∈ R2 | 1 ≤d(x,0) ≤ 2}. Nähdään helposti, että mitkä tahansa kak-si X:n pistettä voidaan yhdistää murtoviivalla joukonX sisällä. Siis X on yhtenäinen.

Lopuksi

Olkoon X joukko. Sanomme, että d : X × X → [0, ∞[on metriikka (eli etäisyysfunktio), jos se toteuttaa seu-raavat ehdot:

1. d(x,y) = 0 jos ja vain jos x = y.

2. Kaikilla x,y ∈ X pätee d(x,y) = d(y,x).

3. Kaikilla x,y,z ∈ X pätee d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Huomataan, että tavallinen etäisyys (linnuntietä) mis-sä tahansa Rn:n osajoukossa on metriikka. Lisäksi mis-sä tahansa metriikalla varustetussa joukossa X voidaanmääritellä osajoukkojen lähipisteet samalla tavalla kuinteimme sen R2:n osajoukoille. Metriikan avulla määri-telty ∈̄ toteuttaa aina, paitsi lähipisteavaruuden ak-sioomat, myös topologisen avaruuden ehdot

• Kaikilla A,B ⊂ X ja kaikilla x ∈ X pätee x ∈̄ A∪Bjos ja vain jos x ∈̄ A tai x ∈̄ B.

• Kaikilla A ⊂ X pätee cl cl A = cl A.

Tämän tuloksen perusteella saamme suuren joukon to-pologisia avaruuksia.

Yllä olemme havainneet, että topologisen avaruudenyhtenäisten komponenttien lukumäärä voidaan määri-tellä, kun pelkästään tiedetään kaikkien osajoukkojenlähipisteet. On ehkä hiukan yllättävää, että se voidaantehdä näin niukkojen tietojen varassa. Itse asiassa näinniukkojen tietojen varassa voidaan määritellä myös to-pologisen avaruuden reikien lukumäärä ja tyyppi, mut-ta se kuuluukin sitten algebralliseen topologiaan, jotakäsitellään vasta yliopiston kursseilla, ja sielläkin vastasyventävillä vapaaehtoisilla kursseilla.

Pähkinöitä

1. Osoita, että Teoreemassa 5 annettu ehto (äärellisen)verkon yhtenäisyydelle on jos ja vain jos -ehto.

2. Olkoon (X,S) suunnattu verkko. Määritellään lähi-pisterelaatio ∈̄⊂ X × P(X), x ∈̄ A jos ja vain josx ∈ A, tai on olemassa nuoli, jonka alkupiste onA:ssa ja loppupiste on x.

Määritetään cl′ : P(X) → P(X) siten, että kaikillaA ⊂ X pätee cl′ A = A ∪ B, missä B on niiden sol-mujen s joukko, joille on olemassa s′ ∈ A ja nuolipisteestä s′ pisteeseen s tai nuoli pisteestä s pistee-seen s′.

Olkoon x ∈ X ja n ∈ N siten, että cl′nx = X . Osoi-

ta, että (X, ∈̄) on yhtenäinen.

3. Olkoon X = {(x,0) | x ∈ R, x 6= 0} ⊂ R2. Osoita,että X ei ole yhtenäinen.

Solmu 2/2012 33

4. Olkoon X = {(q,0) | q ∈ Q} ⊂ R2. Osoita, että X :nyhtenäiset komponentit ovat yhden pisteen kokoi-sia.

5. Olkoon (X, ∈̄) lähipisteavaruus ja C ⊂ X yhtenäi-nen. Osoita, että cl C on yhtenäinen.

6. Osoita, että Teoreeman 8 ehto R2:n osajoukon yh-tenäisyydelle ei ole jos ja vain jos -ehto. Voit esi-merkiksi käyttää edellistä tehtävää hyväksi.

7. Osoita, että on olemassa lähipisteavaruus (X, ∈̄),joka ei toteuta ehtoa

• Kaikilla A, B ⊂ X ja x ∈ X pätee, että x ∈̄(A ∪ B) jos ja vain jos x ∈̄ A tai x ∈̄ B.

Liite: Pikajohdatus joukko-oppiin

Tässä liitteessä esittelemme joukko-opin notaation.

Joukolla tarkoitamme kokoelmaa alkioita3. Jos alkio xkuuluu joukkoon A, merkitsemme x ∈ A. Kaksi jouk-koa A ja B ovat itse asiassa sama joukko, jos niihinkuuluvat samat alkiot. Eli formaalisti, A = B, jos

kaikilla x pätee x ∈ A jos ja vain jos x ∈ B.

Jos A ja B ovat joukkoja ja kaikki A:n alkiot ovat myösB:n alkioita, sanomme, että A on B:n osajoukko, mitämerkitään A ⊂ B. Jos A on joukko, A:n osajoukoiksilasketaan myös A itse sekä tyhjä joukko ∅.

Joukkojen A ja B yhdiste A ∪ B on joukko, johon kuu-luvat kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat A:han, B:hen taimolempiin. Joukkojen A ja B leikkaus A ∩ B on jouk-ko, johon kuuluvat kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat sekäA:han että B:hen.

Jos A on joukko ja P on ominaisuus, {a ∈ A | P (a)}on joukko, johon kuuluvat ne A:n alkiot, joilla on omi-naisuus P . Jos P on ominaisuus, {a | P (a)} on joukko,

johon kuuluvat ne matemaattiset oliot, joilla on omi-naisuus P . Äärellinen joukko voidaan kirjoittaa myösluettelemalla sen alkiot, eli {x1, . . . , xn} on joukko, jon-ka alkiot ovat x1, . . . , xn.

Jos a,b ovat mitä tahansa matemaattisia olioita, voi-daan muodostaa järjestetty pari (a,b). Jos a 6= b, niin(a,b) 6= (b,a), eli tässä alkioiden järjestyksellä on vä-liä. Kaksi järjestettyä paria (a,b), (c,d) ovat samat,(a,b) = (c,d), jos ja vain jos a = c ja b = d.

Jos A ja B ovat joukkoja, niiden karteesinen tulo A×Bon joukko, johon kuuluvat kaikki järjestetyt parit (a,b),missä a ∈ A ja b ∈ B. Joukon A × B osajoukkoja Rkutsutaan relaatioiksi joukkojen A ja B välillä. Jos Ron relaatio ja (a,b) ∈ R, merkitään aRb.

Relaatio R joukkojen A ja B välillä on funktio, jos jo-kaisella a ∈ A on olemassa täsmälleen yksi b ∈ B, jolleaRb. Tällöin merkitään R : A → B. Jos R on funktioja aRb, merkitään R(a) = b.

Olkoon I joukko. Oletetaan, että jokaiseen i ∈ I on lii-tetty matemaattinen olio Ci. Tällöin kaikkien Ci:denmuodostamaa kokonaisuutta merkitään (Ci)i∈I ja kut-sutaan indeksoiduksi kokoelmaksi. Jos edellä Ci:t ovatjoukkoja,

⋃

Ci tarkoittaa joukkoa, joka on joukkojenCi yhdiste, eli x ∈

⋃

Ci jos ja vain jos x ∈ Ci jollaini ∈ I.

Tasoa merkitään R× R = R2, koska tason pisteet ovatkoordinaattipareja.

Viitteet

[1] Čech, Eduard, Topological Spaces, PublishingHouse of the Czechoslovak Academy of Sciences,Prague, and Interscience Publishers, a Division ofJohn Wiley and Sons, London, New York, Sydney,1966.

3Russellin paradoksin välttämiseksi alkiokokoelmat on jaettava joukkoihin ja aitoihin luokkiin. Tämä aihepiiri on kuitenkin sen

verran vaikea, ettemme tässä mene siihen.

34 Solmu 2/2012

Pythagoraan lause vektoreilla

Markku Halmetoja

Mäntän lukio

Nettisivulta [1] löytyy 96 erilaista perustelua Pythago-raan lauseelle. Aluksi esitellään Eukleideen Elementanykköstodistus, joka on sellaisenaan ollut monissa en-tisajan oppikirjoissa kautta maailman. Se saattaa ol-la jopa alkuperäinen Pythagoraan keksimä todistus.Eukleides todisti ensimmäisenä Pythagoraan lauseentoiseen suuntaan. Lukion matematiikassa käänteislausesaadaan tavallisesti kosinilauseen seurauksena. Se on-nistuu helposti myös vektoreita käyttäen, joten seuraa-va esitys sopinee lukion nykyisen viitoskurssin keven-nykseksi.

Olkoon Q sivun AB keskipiste kolmiossa OAB.

O

BAQ

Merkitään−−→OQ = s ja

−−→QB = r, jolloin

−→QA = −r,

−→OA = s − r,

−→OB = s + r ja

−−→AB = 2r.

Kolmion sivujen pituuksien neliöt ovat

OA2 = (s − r) · (s − r) = |s|2 + |r|2 − 2 s · r

OB2 = (s + r) · (s + r) = |s|2 + |r|2 + 2 s · r

AB2 = |2r|2 = 4|r|2.

Pienellä laskulla nähdään, että Pythagoraan yhtälö

OA2 + OB2 = AB2 (1)

toteutuu, jos ja vain jos

|s|2 = |r|2. (2)

Samoja merkintöjä käyttäen havaitaan vektorit−→OA ja

−→OB toisiaan vastaan kohtisuoriksi, jos ja vain jos yh-tälö (2) on voimassa. Siis (1) on voimassa, jos ja vain

jos−→OA ⊥

−→OB, joten Pythagoraan lause on todistettu

molempiin suuntiin.

Viitteet

[1] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

index.shtml