OBAVESTENJE PR.ETPLATNICI NTA

1. Uredni5tvo poziva nastavnike i prolesorc nriitonratikc k;ro i ort:rlc Cit;rr-ce da Salju svoje priloge za list: dlanke, odabranc zlrtf:rtkc, z:rtLrlke sri prr.;r'nrrrlrispita i matematidkjh takmidenja, razne zanimljivosti. I'oZcljrro jc tl:r :r,i lxli'rpisi{osim udenidkih reSenja zadataka) budu pisani pisaconr ltt:riirrorir, s tr)r()rcdonl.Rukopisi se ne vradaju.

2. Matematiiki /isl namen-ien je svim uienicinta IY VIll r:rz. ()sn()vno jkr)ic.I-ist'zlazi 6putautokuikolskegodineito i.X, 15.XI, l.l, l5. ll, [.lVi-]5.V.

3. Godi5nja pretplata (za svih 6 brojeva), iznosi 44 dinara" Nlrrriiocirnr :,;;r viSeod 10 komada odobravamo rabat (20Y., 15%, 10%), zavi:;no od roku tlo ko_ir:g :t:ispleti celokupna pretplata (1.XlI, I,III 1.IV).Nikakvi drugi oclbrci nc uvaZ:rv,riu se_

NarudZbine se mogu vrSiti samo pismenim putern i Salju sc sunro ne1;osrctlnona adresu lista. Novac za sve narudZbine se Saije ua iiro raiun DruStva malcrr:rtii:lra,fiziiara i astronoma SR Srbije, br. 60806-678-10766. Knez Mjhailova ,i-5/lV sa na-znakom za Matemali(ki iist.Pri tome treba obavezno navesti lrrirrul ulresu n+ kojutreba dostaviti i jasno naznaditi na Sta. se narudZbina odnosno uplata otlnosi.

NarudZbine na manje od l0 prrrneraka lista isporuduju sc sarno po izvr5eno..jp..trlati. Ostale narudZbir-re treba da budu ispladene najkasnije na 90 dana po pnje-mL -'ive isporudene posiljke.

Obaveitenja se nogu dobiti preko telefona redakcije, br. tlll-638-263.4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolsk,: 1968/69. god. (br. II[, 1-5), 5k.

i969110. gocl. (br" IV, 1-5), ik. 197(tl7i. god. (br. V, 3 i 4), Sk. 1371/72. god..1br. Vi,1--5),5k. 1972173. god. (br. VII, i-5), Sk. 1973t74 sod. (br. Vlti, 1-5), Sk. 1974/75,sod. (br. IX, l-6) Sk. 1975i 76. god. (br, X, 2, 3,4, 6), 5k. 197('177. god. (br. Xl, 1-6),(k"1977178. sod. {br. XiI, 1-6), i 5k. 1978/79. god. (br. XIII, 1-6)" Od ovih godi5taprodaju se: godi5ta: III, IV, VX, VII, VIII i X po sniZenoj ceni od l5 dinar"a, godiSte'V po 6 dinara i godista IX, Xl, XII i XIII po 20 din. Sem toga se mogu durbiti i pre-oslali prirnerci triju do sada izailih dodatnih svezaka ML (,,Maiematidlie tablice",,,Maii rednik mat. termina'( i ,,Mala zbirka mat. zanimljivosti") svaka po ceni od 5

dinara" Zbirka re5enih zadata.ka sa rnat. takmidenja udenika osn. ikole mc'Ze se .lo-'niti po ceni od 20 din.

5. Mole se poverenici ML da izmire sva zaostaia dugovanja.6. Sve priloge, primedbe i narudZLrine ilati isl..ijLriiva na adresu:

Ivlatematilki lisf, Knez N{ihailova 35/lV, p.p. ?28" 1101 Beogcad

SADRZAJ

MA'I'IiMATIC]KI LIST'/,A ll(''llNlKlr 0SN0VNU SrcOIU

XIV

2

1.

2.

J.

4.

5.

!4.

:i3

404i4(}

5t54.

57

OJ

M. Zivkovii: Decirnalno izraLavanje

n-j. Vukovic: Rastavljanjc polinoma na proste dinioccrazlcmaka

lrE. Simic: ViSe od igre " . ,

Zadaci za proveravanje stedenog zrarja iz matematikeZadaci sa .'epublidkog takmidenja udenika osnovnih Skcla SR Srbije......Odabrani zadaci .

BEOGRADt979.

7. Konkursni zadaci

8. Za.nimljivosti i razno

SAVEZ DRUSTAVA MATE}IATICARA, FIZICARA T ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LISTza uEenike osnovne Skole

God. XIV, broj 2 (t979)

Izlazi Sest puta godisnjc

IZDAJE DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p. 9. 72g.

I rednici:

Platon Dimit.i Miroslav Zivkovit

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeljko pauie (Zagreb),Kosta Mijatovrc (Sarajevo), Danilo Stepanovii (Titograd),Duiko Kovaiev (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad),

Vladimir Stojanovid (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav Zivkovit

Sva prava umnoZavanja, prestampavanja i prevodenja zadrlayaDru5tvo matematiEara, fizitara i astronoma SR Srbije

oslobodeno placanja poreza na promet na osnovu reSenja Repubtickog rekrctarijaraza kulturu SR Srbije br. 413-t8G03 od ll. t. t973. godine

stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul.vojvodeMisicabr. 17

nnnpoc"nan Xmnonnh (Eeorpaa)

ApTITIMAJIHO TI3PAXABAISE PA3JTOMAKA [I OBPATHO

1. Kata 6poj nehu oA uyne rrrje upr-poAaH, TaAa ce oH r.I3paxaBa, 06I[{110,noMohy pa3noMKa oAHocHo Kao pa3noruaKnoMohy ABa nprpo.qHa 6poja. V sesu capa3JroM(oM rrocTaBJba ce cneAehe [IrTarLeKao [pBo: Aa nR ce Moxe pa3JroMaK [ocJrecBl.tx Moryhlr)( cxpahnBarba, Tj. KaAa rroc-Tarre HecBoAJbIrB, u3pa3nTII cJIUrrHO npa-poAEoM 6pojy? V seglr ca oBltM nuraneMrpe6a ce noAcerrrru cneAeher. Eygyhu Aa6poj 10 (aecer; rrMa 3a trr4Hfioqe rpocre6pojeoe 2 n 5, cBaxa Aexa.q{a jeAlnrrqa10ft, rge je k nexn nprpognu 6poj, n'rarv t rAv

3a rpocre lrrHtroqe 6pojeoe 2 u 5 no k uyra, jep je 2*. J*(2 '5)o::10&. Ocnu oBora, Tpe6a ce noAcerrrrrr rl cre,qeher; HecBoAJbr{B pa3-JrolvraK Moxe 6r.IrI[ ilpaeu rj. Marbrr oA I - y r(oMe je 6pojunaU rraalbuoA r[MeHrroqa

-uHeupasu rj. rehu oA I y r(oMe je 6pojr:rau Behr4 0A

uueruloqa. Eylyhr Aa ce EenpaBrr pa3noMaK Moxe fr3pa?;fiTr{.Kao 36uptrpnpoAEor 6poja u [paBor pa3JloMxa, osge ce uog pasnoMKoh, pa-3yMes0 upasu pa3ltoilaK.

Kaaa je y pa3noMKy xMeurrnall HeKa AeraArra jegrmuqa, Kao rrrro

je cayr4i y pa3nolvtrcy ? - oa,ro"" 091-?t , ra*ace 3a oBaKaB pa3no-104 104

rdaK xaxe 4a je ge4uuamn 36or

000270: 0. l0++ 0. 103 +0. 102 + 2. lO + 7,

27

104

0. 10a+0. 103+0. 102 +2 - lO +7 0. 104 0 . 103 0. 102

104 104 104

+2'10 +J-:o+0.1+0. -l- +2. J-+7 . J-.104 104 10 102 103 104

flocneAnR 36np ce rl3paxaBa, tro AoroBopy, cJrrFnro trprtpo,rytrM6pojeaurvra oBaKo: 0,0027. Byayfur Aa je HoBu 6poj 0,0027 - r3ro-Bapa ce ,,0 qertrx n 27 AeceroxuJbeAurtrx" - 1919 IIITo tr AeqIrMaJIHtr

104

33

pa3noMar *,"u6pojeae rao rrrro je0,0027Kaxece Aacy geuufirarrHu104

6pojeau; 3apes y AerIrrManHoM 6pojy sore ce gevu^,rarHu 3ap&.

- .2..Kao gpyro, Hauehe ce lr{rarbe xaxo oApeArrrl AerlrrManauopoJ-KOJrr [peAcraBJba pa3JroMaK rnju nuenuaaq, nocJre crux rvroryhzxcxpahnnana, nxje AeraAua jeannuqa. V osoru 6rrynjy rpe6a-parnu_KoBartr gra cnyvaja.

a) Cryuaj xaga je rrMeurrrrarl npupoAarr 6poj .rujr cy rpocrrrrrr{Hrroqfi carvro 6pojenu 2 n 6pojean 5. Ha rpxMep, y pa3noMr 7

'Y +o77o,qrocHo

g . 5 *

2l _ trnocn1 qrrnuoqlr r{Mexnoqa cy: rpn nyra 6poj

2 n jelar^gT 6Eoj 5; on.qe ce rraKo ynrfa cae4ehe. floruro rr3Jroxurarlrrruuoqa 2l je 6poj 3, a llsloxlrrlaq qmuoqa 5 je l, ao"or"o-j. aoce ,qaru pa:ngyar qpournpr 9a 52; raxo he ce Ao6rru rrerury jeanax

-___ 7 .52 7 .25 175pa3noMaK 2r. 5,

: (,

"), :

ioJ xojn je aequruranan' flper'ra oBoMe

7 70 I _^a__raxo ce ao6rja *-*'-l-

64rocuo, a6or 70:60*10'

7 6o+ro t /q*19\. L:(r*19\.r:r. r +10. I

6:- 60 '10:\A- G0)'10-\'- aol l0 ' l0' 60 l0'

Apyrs KopaK je aa ce ca oBaKo Ao6xjennrvr p"rrronn*ot ! ' y rocJIeA-

rbeM rr3pa3y, Irocrynn crfiqno nperxoAxoMe; TaKo ce .qo6nja'

10_ 100._l _60+40.r :h *4\. I :r.r *o!. t .

60 60 l0 60 l0 \ 60/ l0 l0 60 l0

KaAa ce oBo cMeurr yMecro ff t "n"t*o.$roj je.quaxocrr Ao6uja ce

7 :r.L*(r.-l-+L.a\ -t :r. I +r.+.+.+60 l0'\- l0'60 l0/ l0 lo lo2 60 102

Tpehn KopaK je aa ce ca oBaKo so6rjennr'r pa3rIoMKoM |!,, to""to-

rseM r{3pa3y, uocryn[ cJnrIHo nperxoArloMe; raKo ce 4o6nja:

40_400. _t__ 360+40 .L:le*4\. I :o. t *oo. .L.60 60 l0 60 lo \ 60/ l0 l0 60 10

KaAa ce 4o6ujenn "rpu, ,u 19 cMeHH y rperxoAnoj jegxaxocru'60

ao6uiace l-:r.1*,.-L+(u.t { 1) -t:r.*+*+-----J- -- 60 l0 ' - 102 ' \ l0 60 10/ 102 l0 102

I 40 | 1 I i 6.40 I6. ^ -u-i. ' unu|:$+1. l+1. '-+i+ _. ^.- 103 60 103 60 l0 "tJ?

103 60 103

floruro ce y Aecnoj cTpalrn nocJleAgre je.qraxocrr uoHo1o HaJIa3U

4Apa3noMaK - , Kao fi y ApyroM KopaKy, lzi3ra?u g,a he ce oH IroHoBI{TI'I il-60y cne4ehuvr Kopaql{Ma !I TaKo he ce nancil.{ noa}leuoM cJrI{qHI'Ix Ko'

para go6uru:

7^trr:-:u+ t.- ! l. ' +6'- - :i' '

60 l0 t02 i0j

7 t7540: 10ts

oAHocHo, rpeMa paxujervr AoroBopy, L:o.rrt.l0

. 6) cryvaj r(aAa r'rMe'r{narl Aaror pa3JroM*a, nocJre cBr{x trtoryhrxcpefunana, nopeA rrpocrr{x 6pojera 2 n 5 :rLvra 3a turur.roqe }r ApyrenpocTe6pojene.Hanpnuep,ypa3noMIry]_o*o."o7n,"

' 60 - ---- 20.3

---- - 22.5.3'lopeA [pocrrrx qmmnaqa 2 a 5 HaJra3r{ ce Kao truunnaq n

rlpocr 6poj 3. Onaj parnorraax rre Moxe ce xaKaxBrM rrpou[pr{BarbeMtrpeBecrl{ y. Ire-My jerurar AerlnManurr pa3JroMaK, jep ne nocrb;u ,rprr-poAarr 6poj xojuu 6u nounoxen upociu

"n mrrai 3 y ,r"r"orry auo

3a trpor3BoA lreKy AeKaAHy je,rruuqy. la 6uce pa3noMaK L urouoo'60^ua Apyrr Earm', cnn"mo pauroMKy l, ro*" ce trocryrrtrr' Kao [rro

40

cneAr. flpru xopar ce cacrojn y ToMe Aa ce Aartr pa3noMar a oo-60

IMHoxll ca l0 u c& ^

, jep ce rnM rberoBa BpeAEocr nehe npouexr.rrx;l0

34

rIJrE, rrpeMa ycBojeHoMe, Kpahe

Aa ce y HoBoM 6pojy 0,11666...TAHO IOHABJbA KAO AEqI{MAJIHA

7

;:0,t1666... O"Ae ce npnrvrehyje

TIOCJIC TTPBE ABE AEIII{MAJIE HCNPCC-IIEopa 6.

38crrruo nperxoAHoMe, 3a pa3JroMar I ao6nja ce cneAehe.-:t70,428571428571 . . . npr qeMy-

_c_e caAa y HoBoM 6pojy ueupecraHo

noHaBrba rpyra Aerlruam 428571.Epojy y KoMe ce Henpecrauo nonarna jegna .uerrr{Miura r{Jrr.rrpyfla Aerl]rua-na o6r.rqno ce 4aje Ha3:aB uepuoguunu ge4uaawu 6poj

yMecro npanumrnjer Ha3r{Ba uepuo g u.t*u g eryuaamu pa zioj.'ocuuoBofa,Kao rrrro je uosnaro, 6pojy xorvre-ce je.dra Aeur.rMana ujrlr rpyna Ae_rluMaJra lloqllrbe Aa noHaBJba oAMax nocne AeuHMrurHor sapesa, xaourro je c.nyraj y nocneArberra 6pojy rojn rrpaxaBa pa3noMaK 1 ,,urr"u

7ce qucilio uepuoguvauu ge4urilarHu^4 6pojeu, a 6poj y KoMe ce rrocJreAequMaJrrror 3ape3a Hilrra3r{ npBo rpy[a AeqnMarra roja ce He [oHaBJba,

Kao rrrro je cnyvaj y 6pojy 0,11666... rojn r{3paxaBa purrro*u* 1,60'

Ha3rrBa ce Meutosufro uepuoguuHutv, gequJvra/tuuu 6pojeu.caAa ce Haprehe cneAehe rurrarbe: Aa nM ce cBaKI{ npaB}r pa3no-

l,'r.ax alb _y ulljeu ce r{MeHxouy D, nocle conx vroryh"* &punni"u*",Harra3r 6ap je.qau rrpocr

-6pol_ 1qu unje 2 utu 5, y"* "rfi*u"u *uo

uepr{oArfiaH AeU}rMaJraH 6poj? !a 6ll ce oArosoplno Ha oBo 'r{rarbe,MOXe Ce nocryrrr{Trr cruqHo rope r.r3roxesou. 360r a1b, ryarn paz-a a.lDk IJroMar( - Moxe ce n3pa3r.rrr.r va.6 - ---.

i;, oo" .reuy je k nai"'arsa

npupoAHr{ 6poj s1 xojn je a. l}k>b; caAa ce 6pojnnaq a. 10ft uoxeH3pa3rrrr{ Kao q. b f r, rge cy q u r rpnpo.qrr}r bpble"r u r<b. Taxoce go6r.rja:

ce y uMeHtroqy 6, socJl€ cBrIX rtloryhnx crpahfiaana' HaJIa3I'l (ao qu-

"",iurl 6ap jeian'upocr 6poj parn-nmr oi2 n 5; npevra osol\4e r#0'

SOri ' ,ib,' 'Apoj r vroxe aMarn je.q'y oA cneAehnx BpeAnocrn:

1,2,3,. . .,'b-i. [o c.nu. nor SaKJbyrIKa ce,AoJIa3E u y cle'qeher"r xo-

paKy, rao u y cBr{M HapeAHnM KopaquMa, rj' sa cre pa3noMKe ca InMe-

itroir.rvr b ua xoje ce galrbe y AaJbnM KopaqltMa. Ilpeya oBoMe BpeAnocr

ga r he noqeru Aa ce noEaBJba HaJBI'IIIIe noc.Jrc b - | (opaKa' Kao

3uro je cnyuaj KoA pa3noMl(u i,

,o" je b:7 u rAe y IbeMy o'4ro-

rapajyhen neproAlqnoM Aeql'lMarrnoM 6pPjy-0,428571428571 ' ' ' 'loHaBJbarbe 3a r ngtrrirbe rrocJre b - l-7 - l:6 I KopaKa, oAHocHo y

KoMe ce uoHaBJba rpyna oA 6 Aeqnuala. llpeMa oBoMe' cury-

pxo je Aa he ce pa3noMaK !-,,pu*uu*n K4o IIepoAIlrlaH 'qeqI'IMa-b'

.nuu 6poj; Aa nil he oH 6rrll qEcro neploAuq4H.]IJIrr MeluoB[ro ne-

pfioAril{aH r{ KoJrrKo he 6nru qu$apa laeqm"rua) y rpyufi roja ce

tIoHaBJba 3aBI{clI ol 6pojeBa a n b.

llg uenoxenora [3ra3u cneAehe. Eyayhu Aa pa3noMaK rpeA-

craBJba KoJrIrtHI4K lBa [p[poAHa 6poja, npfi {eMY opoJfinaq npeA-

;;;"; a.t""t"* s. tIMeHTIaII rpeAcraBrba Aerilrau' y-c6aKo" cnyaajy

ce pasnowtaK ilslKs u3pa3uwu ge4uaarHo, Kqga ce 6pojuaa4 uogenu

7_uweHuoqert; Ta(o c0 tu

* o6llquilIu AeJberbeM ao6tja cleAehe:

I' :7 : 60:0,11666. . .

6070100400

::3. la 6n ce 3& A&TII replloAl{qHu AeIItIMaJrHtr 6poj oapeauo

r"e"ry oa.o"apajyhrt rlpaBa pa3JroMaK' rpe6a parnuKoBar[ ABa cny-

vaja.a) Crryraj xartieaaru 6poj qncro repuoAl{qau 4eIryruarrru 6poj'

*uo -iol.' i7ig31t+2957142-'.. \rrrlt yonrlro g,ppp" ', rAe p 03-

"u*u ,a rp.yny qr6apa o.q k uu$apa.(aeqnl*aana) IloJa ce ilolraBJba'

Hexa je , or"u*u ia npasfi pa3noMaK je,qnar Spojy il'ppp " ' rj' t=:o,ppp... Kala s€-;d "tp*. o".le.uu*ocrtr rloMuoxtre ca 10ft'

a

b

q.b+r I :(o*;) *:'#.#,l0e

Kaaa 6n 6ruo r:0, ra1a 6u Anno !: q. J-:3 ,urro 6n 3Haqr.urob ' lOe 10ft'-'a'

Aa ce - Moxe r{3Da3[Tu Kao Aeqr.rManaH 6poj, a ro je xervroryhe raAab-

36 37

jep ce y p-rranasn k wr$apa (.{euurvrala), ao6nja ce r.l}k-p, pp...tLEn r.l0k:p*O,pp. . ., oAnocno r. tO* :i+r, jep nper"ra'rper-nocraBrrr O,pp . . .:r. VIs lrperxol0re je,rprarocru n3nta3ni

r.l}k-r:p ili (10&- l).r:p, a oAaB,qe ,: ,p '.

l0&- I

Taxo sa 6poj 0,428571428571... BaxE ,:o?:'! jep je y106-l

AaroM 6pojy p7all57l, a 6poj unQapa (aeuzrnrana) y p je k:6. llpe-42857 t

Ma oBoMe r: _- rIJrrI, norrrTo ce IBBprue crpahuaana peAoM: ca999999

floruro ce 6poj Q' t}t' 3aBpIrIaBa ca k wyta, a y 6pojy p ce HaJra3H

k qnr[apa, Moxe ce HanI'IcarH q ' tO*+n:1P, tle W npelcraBJba nprr-

poArrl{ 6poj oa n*k arlr$apa' flper"ra oBoMe rI nperxo;groue r'lOn--

:qp-q L oAaBAe fi3la1vt ,:- ?P-.Q . Taro sa 6pojlgk- I (tOt- l).10"

0,11666... BaxI{ *ii#*

jep v saror"r 6pojv 0,11666"'

1056poi c:ll, 6poj p:6,6poi n:2 vr k:1. flpeua oBoMe' r:-trlrrL

7nocle cxpahl{Balba ca 3 u, ca 5, oAnocHo ca 15,

f,O- ' oAHocHo

10.1 1666 :- .'60

llt uuoxenor r,I3Jra3Ir Aa Ce MeruoBI{To rrepnoAIHHI4 AeII[MaIH]t6poj varur.r oA I uenocpeAuo n3paxaBa pa3JIoM(oM no tpaYuny: Me'wosuwo uepuoguvuu ge4t'ManHu 6poj, uarcu og l, uspaxasa ce pq3/Ior"-

rcou utaxo ga ce 3a 6poju,to4 ))3.ue pasnuKa 6poja xoju uuue ge\ulvone

xoje ce n'e -uouaemaiy

ca t7p6o.rt lpyuor"t gequJvata xoie ce uouae majy

u 6poja xoju uurrc ge\ututa,xe xoie ce uouaemaxjy, a 3a u^4equ'xa4-y3^vte

6pij ioju ie cacmiiu og geseruuqa uuiu ie 6poi jegua1< 6poiy 4ufiapa ytpyau ioia ce uoHaelba u olonuKo Hy,xa Ko/tuKo 4ufiapa uMa y ipyuu

4uSapa xoje ce ue uouaamajY.

3U ,:V, o.ErocEo9, ca 3, ca ll u uanocJrerxy ca 37, po6aja

o,42857t42857t... -37

(q.tDk+p)-q

llg [groxeHora rl3Jra3[I Aa ce qricro [epfio.qgrrgn gequvrannu 6pojMarbfi oA I uoxe r{3pa3r.rru pa3JroMKoM nb cneAehenr npanu,lry: Vi_cao EepuogutlHu galun4altnu 6poj,

^4aftu og l, utpaxaet ,i pasior*o*

frarco ga ce- za 6pojuta4 ysrvte ipyila ge4uJnarc ioja ce uoiaema, a taumeHulnq 6poj nafiucan ca oHolutKo geeeau4a (9) KoltuKo 4ufiapauaa 6pojuta4.

_ . b) Crry.raj ra4a je aaru 6poj MeruoBxro [epnoAfiqaH AerrlrMaJrHr{6poj, xao ruro je 0,11666... lryrr yorrrrre O,qipp..., .A" 4 ,rp.a_craBrba rpyry oA n wtuLpa (Aeqnvana) roje ce ue nonanrrijy a plpeAcraBJba, Kao y rrpBoM cny.rajy, rpyry oA k 4u$apa (aeunrraana;xoja ce rosaBJba. Hera je r osHarl si

-npaan p"rrrolru* jeanar 6poji

O,qppp . . . rj-.^ r:O,qppp . . . KaAa ce b6e cipa"e o"d j.lru*o"turoMuoxe ca l0n, jep ce y q fiana3u n qlrrfapa (aiqnuana), 4o6uja ce:

r. 10": (1, ppp.. . r{Jrrr r. 10" : q +0, ppp...Byayhu Aa ce, npeMa nperrrocraBKrr, y p Hana3rl k twfuapa (.qeqrtrara)

roje ce nouannajy, rpeMa panrjevr je O,ppp :: ,. flpeual0k- I

oBoMe lr flperxoAHoure r.l0' vlru r. 10,: q'lok-q+p

-' l0/._ I t0&_ I ,

3aAaqn

l,OapeauaanllcenpaBnpa3JIoMaKca-uMeHl'loqervr80MoxeIt3pa3I'ITtrKao Aerrr{MaJTHl.I pa3roMaK oatocso-Aeqllrnranna 6poj fi' aKo Moxe' oapeAr'r rojnv

"" Spo:i* rpe6a rarar pa3noMaK npouJr.rpr.rrr.r Aa 6n ce ao6uo rrevry jeAnax Aeuu-

MaJIHT{ pa3jroMax.

2. O,qpea[ Aa nr,r ce flpaBr.r pa3noMaK Ca ilMeHLIOUeM 2l MOt(e I|3pa3lITI.l

Kao AeqI,IMaJrHI{ pa3noMaK H, aKO He rtroxe, objacur4 3arrTo He MOXe'

3. Epoj 4,747474... u3pa3lz' Kao MeuIoBI{rN 6poj.

4. 6poj 3,235835835 ' . ' I43pa3H Kao MelroBlrrn 6poj'

5. l4aparn I(ao aerlnMatnu 6poj r.rJlr,r Kao nepuoAlrqaH AeqHMafiHH 6poj

17 4lpa3roMax: a) 1r;

6) *.oAHocHo r. l0z:

38

l0&- I

39

Liubomir Vukovid (Beograd)

RASTAWJANJE POLINOMA NA PROSTE CTNTOCT

. . Ve6 odmah po dolasku u Sesti razred udenici se upoznaju sa di-njenicom da se svaki sloZen broj moze predstaviti (izranti) kao proiz-vod prostih brojeva, koje nazivamo prostim diniocima tog broji. Napflmer:

Primer2.RastavitinaprosteEiniocepolinom4ak-3b*6bk_2a.Izvuc.mr iz prvog i tr;6eg dlana ovog polinoma dinilac 2k, a iz

drugog i tre6eg njigovog dlana dinilac -1, pa iemo imati:

4ak -3bl6bk -2a:2k(2a*3b) - Qa*3b).Usled toga je:

4 ak - 3 b 1661, - 2s:(2 a +3 b) (2 k - l)'Ali ovaj postupak ne m3ra dovesti uvek do rczultata, kao sto 6e

se to videti ii sled6eeg Primera.

Primer 3. Rastaviti na proste dinioce polincm ap*!4,!a9,. .!e'Izvucimo iz prvz dva dlana ovog polincma zajednidki dinilac

p, a ii dr:uga dva 6lana zajednidki dinilac q, pa eQmo imati:

ap {bp I aq - bq : p (a *b) * q (a - b).

Tako su, kako prva dva dlana datog polincma, tako.i dva druga

n:"gouu -etfunu,

t*tuutj"na na po dva prosta dinioca.No, kako proizvcdi

i fZii> i q ('a_.b) ncmeju zaieonietbg dinioca, to se sam polincm ne

moZe rastaviti na Proste dinioce.

ll Rastavljanie razlike kvadrata na proste iinioce'

Kako se mnoZenjem lako utvrduje da je (a*b)(a-b\:sz-62'to je i

a2 - b2:(arb) (a - b).

. Premt tome, moZe se reti da je razlika kvadrata dva broia iednakaproizvodu zbira i razlike tih brojeva.

Primer l. Rastaviti na dinioce polinom 9a2-16'ia;k; ii eaz:(a1z i 16:42, to ie saz-16:(3a)2-42' zato ie:

goz _lg:(3 a)2-42:(3 a*4'l Qa-4).

Napomena.Rastavljanjerazlike.kvadratanadiniocepredstavljan fi p"i'utio toristan ptrtirp.at pri..izradunavanju brojevne vrednosti

;;kih' izraza koji pieditavtjaju fazliku kvadrata. Tako, na primer,

ako treba da se izraduna 62lz-6202, imamo:

6212 - 629z:(621+620) (621 - 620):1241' | : t24l'Ill Rastavfanie trinoma obtika az+2ab*bz na proste iinioce'

MnoZenjem lako se utvr<luje da je:

(a ! b\z : (a I b) (a + b) : sz + 2ab + b2 i (a-b\z : (a - b) (a-b) :: a2__2ab*b2.

Zato je i obratno:az *iab I b2 : (a I b) (a I b) i az-2ab *bz : (a-b') (a-b)'

l5:3'5, l8:2'3' 3.Ovu operaciju ina1avanja sloZenog broja pomo6u njegovih pro-

stih dinilaca nazivamo rastavljanjem na proste dinioce.Mo:rom 6emo. rastaviti na proste dinioce ako rastavimo na proste

dinioce njegov koeficijent kao i stepene koji se javljaju u njegovoj ghv-noj kolidini. Na primer:6x3 y2:2.3.x.x-x.y.y jer je 6:2.3, x3:x.x.x i yz:y,r.

u ovom dlanku izkozicemo neke jednostavnije sludajbve rastav-ljanja polinoma na proste dinioce.

I Rastavljanje polinoma iiji ilanovi imaju zajedniiki iinilac.Poznato je da posle mnoZenja polincma monomom imamo ovakvujednakost: (a*b-lc).k:ak*bk*ck. No, kako je jednakost simetidnarelacija, mcZemc pisati : ak*bk.lck:(a+b+i). k ili, koristedi se ikomutativnim zakonom mnoZenja, jo5 i:

aklbk+ck:k ' (a*b*c).Prem: ovome mrZemc re6i : ako svi ilanovi polinoma sadrte

zajedniiki iinilac, onda ga mozemo izraziti kao proizvod tog zajedniikogiinioca i izraza koji se dobija deljenjem datog polinoma iim-iiniocem.

Primer l. Rastaviti na dinioce polinom: 4abIl2ac-gad. Kakoje 4a zajednidki dinilac svih dlanova polinoma, bi6e:4ab *l2ac-8ad:4a(b *3c-2d):2 . 2 a(b +3c-2d).

Ako samr neki dlanovi polinoma imaju zajednidki dinilac, ondatreba najpre samo zbir tih dlanova zameniti (kao u prethodnom slu-daju) proizvo{o*, p1 tek onda ispitati da li se ceo daii polinom moZezameniti jednim proizvcdcm.

Primer 2. Rastaviti na proste dinioce polinom: 3m*3n*bm*bn.Izv.uc_iq.9 !r. !ry, dva dlana zajednidki dinilac 3, a iz druga dva

dlana zajednidki dinilac D, pa 6emo imati:3 m * 3n * b m * bn : 3(m * n) * b(m -f n).

Sad je mln zajednidki dinilac dva sabirka sa desne strane ovejednakosti, pa je zato:

3 m * 3 n * bm * bn : (3 * b)(m * n).

40 4l

- Pr-ema tome, moze se reii: ako su cranovi trinoma kvadtat je&togbroja, dvostruki proizvod tog broja i nekog drugog olroja-iTiiino ,u-prolna vrednost ou-og dvostrukog proinoda,-t kvidrit tu[ aigi[ boia,onda -trinom predstavlja kvadrai zbira odnosno *vaafrt iiiiit e ovadva broja.. Primer l. Rastaviti na dinioce trinom: 9f *l2x*4.. . Vidimo da je 9x2:.(3.r)2, ito znaEi da je prvi dlan datog trinomafv{Tt monoma 3x; zatim da je 4:22,tj. d; F treei 8fan tviarut Uro_ja.2. Prema, tome, preostaje nam jo5 da p:overimo Aa fi ;e Uro; f Zxjednak udvostrudenom proizvodu ova dva iraoa. zaista, tuL;"-rzr::2. 3x. 2, to je:

9 x? * t2x * 4 : (3 x *2) (3 x +2).

, lY .Rastavljanje polinoma na proste iinioce primenom dva ili viieod navedenih postupaka

. Neki put se dati pclincm moze rastaviti na proste dinioce tekprimenom dva ili vi5e od navedenih postupaka, kao sto ee se io-viaetiiz slede6a dva primera

Primer l. Rastaviti na dinioce polinome l_4b2*a_2ab.- . zb* prva dva dlana ovog pc,linoma predstavrja razliku kvadratabrojeva. I i 2b, pa se moZe preditaviti kao-proizvoa O+iilfI_ZOl;,ako.se iz druga drra dlana ovog polinoma izwde dinilac o, ooau niihovarazlika predstavlja proivod i g-Zq. Zato je -' ---- -r

| - 4 b2 I a - 2ab : (t +2b) (t - 2 b) { a (t - 2 b) : (t _ 2b) (a T 2 b t t).Primer 2. Rastaviti na dinioce polinom a2+2ab+bz_cz.zbir prva tri dlana ovog polinoma predstavrja kvadrat zbira arb,

pa.se zato dati polinom moZe predstavitiu vidu (b-y612_ c2. Kako paksada taj polinom ima oblik rizlike kvadrata, to je:'

az+2 ab+bz - c2:(a*b)2 - cz:(a-fblc)(alb - c).

. Medutim, treba zabeleLiti d,a ima i polinoma koji se ne mogu ras-taviti na dinioce samo putem navedenih postupaka, nego je - ,frinonorasta.vljanje na proste dinioce potrebno i pbznavanji nekih drugihPravila'

Laaa"i1. Rastaviti na Cinioce sledede polinome:a) l2as+78at; b) a(r+-l)-r(r+t); c) 4x(x_5)_xi5;d) at+4az+4a+16; e) az-25;' ri'az_1z+alb:' ;i'

-)t*2ob_b".

2. Rastaviti na Cinioce sledeie polinome:a) 4a2-m2-2alm; b) 9at6a*az-bz-2ab'cz; c) x2_xy_y_l.

42

bopucar Crrurh (Beanrn llouornh)

BlImE OA LIrPE

Maretrrursxa je cauo rrpa roja ce trpeMa E3B@IIIIMjeAnoc'rassriM npaBuJrnMa trpa . . .. .

,{. Xrn6epr

O4yner je rorer nactojao Aa oAMop llpoBe.qe- y,rnrp4 a 3Ha

ce ta je :rnpa y BeJIITKoM 6pojy cnyrajeBa' y srBap[ 6op6a Mr'IIxJbeIsa

y rojoj ce ipaxn rlyr Ka no6eA4. Hcro raxo je nornaro Aa ce rprr p€-

ruaBarby MareMarFmID( 3aAaraxa rontqxrM pacyluaarreM Ir-poua-

na3u rryr roju aogu Ao pe3ynTara. Crora ce Ha casralrqltMa Mare-uaruq*L cerur4ie ,,Mtxarno Ilerpoauh-Alac" rl3 BeJruror flonon[ha,y nay3aMa nsrurefy Asa ,,og6trJbHa" 3agarKa, uale r"recra n sa no rojympy.

Ilrpe cy 3aruMJblrne rl nr"rqiy ry Apax aa ry:yjy raKMuqape 3a

ce6e cse Aox ce y flornynocrrr He yorln KJbyrI ra no6eAy y l{rprr' yKoff{Koraj r.lry'r uocroju. TaAa ga rrnx npecraje cBaKo rnTepecoBalbe. Ho,ro je cy.u6rna cBtrx oxtrx rrapa roje ce Mory MareMar[rlKn nornynoagalr{3rrparr{, jep raAa ce jeaapel I'r3Bpr[[ AeraJb1la agarl{3a l{rpe'oEAa ce cBe 3Ha ynalrpeA, tra HeMa o rleMy Aa ce pa3Ml{urra. Aln xanOrIeTKy CBaKa OA IbIIX il Te Xatco aKTUBEpa MHOre MIICaOHe CnOCo6nO-

cru yxinrxa, roje parnnja BI{ue Hero Muorn oA pa3uoBpcxr'rx yo6u-uajenux MareMarlr{Kux 3aAaraKa. 3aro cy' BepoBarHo' TaAa Kao.rrolpaBrury, cBH qJIaIroBn cerqnje BeoMa aKTI{BHlr' a II caMI{ Ilpl{trpe-rraajy cnnue llrpe sa creAehn cacrallaK. Vxagaheuo caMo Ha Here

oA rbr{x.

JeAnou rrpil.nrKoM caM npeAnoxno crojuu yqeH]Iul'rMa Aa' rr3-

AeJberM Ha rapoBe, oArlrpajy cnegehy urpy: Aa cBaKI{ uap, [rpaqaHaqrHr{ ABe xpue nejeaniroi 6poja xar"ruqara, Aa npe6poje iraxyoA rbl.lx, lI Aa 3aTIrM, HaImMeHI{qHO' cBaKII OA Erpaqa y3}IMa no He-

HeroJrrrxo KaMlrrraKa ia no jegue o.q re ABe xpne, c rIrM Aa he no6eA-unr 6nru onaj xovre IraAHe y Aeo Aa y3Me nocneArbl{ KaMI$IaK.

Vqenr.run cy Me nocJtyIIraJIlI, aJIR I{rpoM y uoqerKy nucy 6nnnoAyrueBJbeHu. V upnu Max HtrKo oA IsI{x rnje ru4eo urra rpe6a Aapary, ila Aa no6eAr.r. floqurranu cy ca rI'IM IrITo cy ca xpna y3I{ManI{

raMIflIKe HacyMIIe. Vlnax, KaAa ce 6poj xauuuaxa Ha xp[aMa uoqeocMarbftBaru, rraxlby cy MII [pI{ByKn}r Mnpro u Crasro. flpllueruocaM, Har{Me, Aa cy ce onu og6uuro 6aryuu Ea pa3MIlIIrJbaIbe o roMe

1

43

rrrra ape6a Aarbe Aa pa4e. n, y jeaan ce Max Mrpro - raj uoj r,{yAptr-jau 6poj I - Aocerro. Kaxo cy npeA rrnu na jeguoj rour.rnn 6una rpuKaMr{qKa, a na apyroj [er, oH je najegape,q ca re .upyre roMxne y3eoABa KaM[rrr(a. Ho, trocJre rora ce noxa3aJro Aa Hu C.nanxo, rojn je calbrrM r{rpao, nuje necna.naxJbr{B. Ou je, norrrro je uano Ayxe pa3Mr{-Jbao, Ha ro caMo peKao : ,,Catr je seh cse roroBo, rrrpy caM rery6uo.Maxap rrrra caAa Aa yq[HuM, ru heur no6eAr.rtll!...

Mnpro u Cnanro cy, 3arr{M, rrrpiurr'r oBy r.rrpy ca lpyruu yrreHu-rlrrMa, rao [pBI.r, fi craJrHo no6eflraanu. Kacurje, r(aA cy ce n ocraJII4,qocerr{Jur y.seMy je ,,nlrq", 3a oBy urpy je npecrano cBaKo unTepe-coBarbe, ceM llrro cy ce HeKLI u AaJ6g ,,npaBI{JrII naMeTHlI.. IIpeA oHI{Maxoln jotu Hucy cxBarruru y qeMy je crrap.

tlrraoquMa ce ocraBJba Aa caMu oAroBope Ha rrurarbe: rura cyro r{3Mr{cJrr{nu Mupxo rl Claaxo, na Aa yBeK no6efyjy urpajyhu xaotrPBI{, CBE AOf, I| OCTATI/. H'uiCY CA3HAJIU OHO IIITO CY OHII NPB}I CXBATI,IJII{.

Creaehn rryT cMo pa3roBapanu o,qeJbr.rBocru 6pojena lr roM npl.r-JrtrKoM cMo ce fioAcerr{nr4 .ua je 6poj AeJb}rB ca 6 axo je ucrorpeuenoAeJbrrB a ca 2.u ca. 3. Buo je ro rpeHyrax Aa noqexeMo rroBy lrrpy.Pexao caM yqeH[q[ua: ,,,{ta raKMwrapa he ua cveny nficarrl n,) Ta-6lr pasnlruure qxr[ps_ cBe AoK !9 6yay Harr{caHe, je.ura ao Apyre,no jegan nyr cBe uoryhe qrlQpe. I{un je Aa rrpBn BoAn r.rrpy raxo Aaao6ujeun 6poj 6yae AeJbr{B ca 6, z.qa ra Apyr}r y roM oMera. Ioc.ne

i,cBqxgr uera jegan urpaq ucnaAa no clegehervr xpnrepujyvry: aro jeaq6rjexu Aecerour$penu 6poj Aerbr{B ca 6, onga rcnaAa,qpyrrr trrpar{,a y cyrporHoM - npnu. Ta4a xo.q, ra6ne n3rra3v HoBr{ urpaq u on jey cnegeheu M9{y ApyM. Illaunron he 6;rrru onaj xojr ce uaj4yxe sa-Apxrl KoA ra6re."

flossao caM ABa Ao6poBoJbqa la uzatly rcoA ra6ne, r{ TaKoje,nrpa noqeJra. Cnaerruaa.nrt cy ce raxMr{qapfi nope.q ra6le, il onrr cyy6pao yorrrrJrtr je4ry rnneunuy: Aa je ao6njerru 6poj yrer AeJbuB ca3, jepje s6np nSnucanux uyQapa yBeK rr3uoclro 45. 3naqr, rpe6ano jenocruhz caMo Aa rocJreArsa ryQpa y HarlrcaHorvr 6pojy 6yae napna,oAHocHo rrenapHa. 14 6atn raAa ce 6op6a yBenr{Ko pacrJraMcaJra,Ira peA je 4ouura Tana. Ho, na orrruTe usuenafene, ouale o1luna AaHacraBu nrpy rsjarnuru: ,,V oaoj urpr neuajy o6a nrpa.ra je4raxeruauce na no6egy. . . "

Cnoxro caM ce ca rboM tr ocraBlro yqelurqnMa .qa caMr{ peruellrrarbe: 3arrrro je Tarra perna aa uervrajy o6a nrpava je4rare rrrarrcesa uo6eAy u y seMy ce cacrojana trpeAnocr jeggor rrpaqa HaA Apyrr{M.

44

Ha pen je aoua u uaxoBcra ra6na' Tpe6ano je,-caEa, KpaJba ca

rpaj*er 'esoi

noJba Aorber peAa (a1). [raxoBcKe ra6re Aosecrl4 I{a

*baj*" AecHo rroJbe roprber pe,qa (h8) rr ro ca najvrarrc Heonxo4-

mlf uoresa. flpu ror're je Kperarbe KpaJba 6gno prano orpa*urle'o.

,qot"ot""to je'6uno ,qa y JeaBoM nor$y "ILeroBo

Ber[{aHcrBo"MOXeCTyrr}ITLIHaCyCeAI{OrIOJbe,HocaMooHaKoKaoI]rroJeroHacn. 1 osuaqeuo crpenfiqavra. flpoulBHrrK' rojn je urpao Kao Apyru'Mopao ce rpyA[rtr Ea cBoM pllBaryonertroryhr trocrr{3albe lu{Jba. A Ao-roaopje 6uo cleaehu: aKo nPBu Erpaqycne Aa AoBeAe KpaJba y cyrpo'rlrl{ yraorrraxoBcKe ra6ne ca Malbe oA 7 note3a,ox je no6e4HI{K; aKo ro ycne Aa yrrnHu

TeK y ceMoM rIOTe3y, oHAa Je peMu;aKo HI{ ca 7 noresa ro He YquHIl' u3-

ry6uo je nrpy.HaPanno, oBAe ce oAMax Ivrornb

NOCTABUTI{ NNTAIbE: 3AIIITO CE NOIIIJIO

i

6aur oA oBaKBor AoroBopa' a He oA He- cn' I

*o, apyro". Ho, to ce y6p:o o6jacnluro y roKy caMe l4rpe' flocrojn,HaJrNre, je4au nocryuax xojer, aro ce Ap_xfi npBlr I{rpaq' curypHo Ao-

BoAr{ KpaJba y cyIlporHl4 yrao ra6le 6ap y ce.qMoM rore3y' aKo He

[pe, na Ma rlrra paAl{o Apyru }rrpaq; anl{.3aro Moxe I4 Apyrfi I4rparl

Aa lrrpa raKo Aa npBI4 Lrrpaq He Moxe cnoj uurr Aa rlocrurHe npe cBor

ceAMor rrore3a,'na Ma llrra paAllo. A xojn cy rrr lrocrynul{, To oBre

"fr" O"rr p""r"o, jep je cnryp'o Aa he r.rx n caM[ q[raoqu uponahn

n ,qa Hajsehu *oprnit-si rbtlx lajecre y roMe Aa I'Ix caMI{ npona$y'

Hauouerry, rpe6a ltcrahfi Aa oBaKBI{x [rapa I{Ma Mnoro lr Aa

je aeorvra ao6pO'arO onaj BI'IA pa3ogo4e nOCTaHe ,,CIa6OCT" yqeHEXa

yBeK xaAa aKrIrBIro xohe .qa ce o.qMapajy.

3aAaqn1. Ca xpne oA 9 xaMttqara asoje, jeAxo 3a .EplrIrM' y3EMaJy to l'2 wm

3 ralvtl.rara. tio6efyje urpar rojn y roKy trrpe carytrB uapag bpoJ xaMgqaKa'

Moxe nR jegan o.u trrpasa trrpar[ Ta(o Aa cBaKaKo no6eAn r' aro Mc-

xe, rlrra tpe6a 4a uuxu?

2. Ca rouune raMes'rnha, xoje cy [perxo.uHo ua6pojanr,. ABa. TaKMtrrlapa

IIa cMeny yanuajy no 1,2 uru 3 xaMerquha. flo6easnK je oHaJ xoJli y3Me rlo-

cJreArb[ rauenquh.

,[a nu o6a lrpaqa rnrrajy ncre-rvtorytlnocrr Aa no6e'ue r axo jerar oA

rssx sMa IBBecIry ttp",q";-, uiia rpe6a 4a paAn, ua na je ncropncrurn?

1

45

Z AD AC IZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJ.A IZ MATEMATIKE

IV RAZRED

ZAD A CIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

Vari janta ISKUP PRIRODNIH BROJEVA N.ZAOKRUZIVANJE BROJEVAI. U. skupu iV zadana je relacija

>biti manji<< rako da a<b miilib:a*|. Poretlaj po veliCinibrojeve n, nll, n-2, n-1, n*3.

2. Zadan broj 83 756 Q ff3. Napi5ikao zbir jedinica i proizvodaoblika a'lOz broj koji se nalazineposredno ispred njega.

3. U obliku a, lon prikazati brojeve:a) pet puta sto miliona; tri mili-jarde; c) trideset hiljada; d) se-dam stotina.

4. Neka su zadani prirodni brojevix:a.l0n, y:b.l0n,n q4. Uvjerise na primjerima u istinitost jedna-kosti x*y.:(a+r)' 10'.

5. Dovr5i zapodeto:3km:3. 103m; 13q:...Lt.l2hl:...1; 7m:...mm.

6. U datim skupovima napisano jepo nekoliko elemenata po odre-denom pravilu. Otkri to pravilopa za svaki skup napi5i jo5 po trisljededa elementa.a) {1,5,9,13, . . .}; b) {0,6,12...\;c) {1,3,9,27 ...} ; d) {1,4, 16,64...} ;

7. NapiSi skup rjebenja nejednaCina;:

I03-l <x<103*4.t. Zbir dva broja manji je od 65, a

jedna sabirak je 40. Natli naj-vedi broj koji je manji od drugogsabirka.

9. Izradunaj (456 789+34508)+Q78654+2789); a zatim rezul-tat zaokruZi da ga moZe$ zapisatiu obliku a.10s.

Va.rijanta2MATEMATIEKA LOGIKA.SKUPOVI

l. Od slededih redenica podvuCi onekoji predstavljaju iskaze.Sedam je neparan broj. podeli 48sa 6. Dunav je reka. l8+ZS:lO.x*8:80. Ziveo Dan republike.

2. Primenom negacije napi5ite noveiskaze i zatim odredite istinitosnuvrednost.p; Deljenje je operaLija sa broje-vima. r.' @-15> 100.

3. Posmatrajte na datom crteZu praveA i B pa odredite istinitosnu wed-nost datih konjunkcija, odnosnodisjunkcija.a) seAAsQB;b) sQAAs(.8;c) s€A As€B:.d) s&AAs€B;

Varijanta IS.KUPOVI I RELACIJE

l.\zadani su skupovi: l:{xlxQN'i x<9), ,:{rlx€N i. r>4},f,:{xlx€N i 2<xcl5}.PrikaZi te skupove grafiCki i na-piSi skup A:^B1CJS t i

2. Rjesenja jednacine z]+Le v"-jima su koordinate iz No PrikaZigrafidki.

3. Da li je krug konveksan skuP? AkruZnica? ObradoZi odgovor.

Varijanta2IZRAZI. GEOMETRIJSKETRANSFORACIJE.UPOREDIVANJE CELIH BROJEVA1. Iz skupa,{ :{3, r,5x+ 3,3:4, x> 7,

8*, 2x:6, a: *b, 4-) izdvojtepodskup iztaza (podvladenjem).

2. Iz skupa 'ou a:{35-8, b--3:1, 3*8a, 4<5, 26-32:2,:36*x>,t0, 2x -3 - x !3, 26-4:2::25) izdvojte skup 8- terma iskup C - formula.a) lz:azi koji ne sadrZe mak (:, 4,),:,...) nazivaju se .......;b) lz.razi koji sadZre znak relacije(:, (, ), : ... ry)nazivajuse...c) Formule sa promenljivima nazi'vamo .

O Formule bez promenljivih nazi-vaJu se

3. Nacrtajte pravougaonik abcd (sl.l)a) Koliko razliCitih vektora prime-dujete kod fiepre i koji su to vek-tori? b) Oznadite vektore iste broj-ne vrednosti. c) Oznadite vektoreistog pfavca. d) Koji su vektorikolinearni? Koji su vektori suP'rotni? f) Odre- d cdite zbirvekto-

ra. abi ad. I Ig) Odredite ra- U:zliku vektora aBiE sr. I

4. Trougao aDc preslikajte translaci--jom u trougao atb(r za vektor ac,

5. Ugao z{o8-presli- ./Bkajte translacijom ,/ -

ffd:*#"ft,:f z?^unutra5njojob65l; d-\=4ugla (Sl. 2). sl.2

6. Koji poloZaj ima duZ [aDl ako jetranslacijom preslikana redom za

vektore fr i Ei, gde su vektoti

I i ti suprotni.

4. Koji je naj-manjikonvek-san skupkojisadrli unijuABUCD (sl.rx

ACsl. I

Be) aQA\/ agB;t) a€AV aeB;g deBv d=B;h) c€BV c€A.']o oorT-l'ro[-T-l

st. 2

4. U prazna polja ucrtajte blokoveiz datog skupa prema datim zahte-vima (Sl. 2).

5. Na datoj liniji napiSite potrebankvantifikator.. . . . mesec koji se zove septembar.. . , . godina ima 12 meseci.....logiCki blok kruZnog oblika.

6. Sledece reCenice zapiSite upotre-bom kvantifikatora:a) Postoji prirodan broj a takavda je a-l<5i b) Za svaki pri-rodni broj x je x-l--x.

7. Skupove E:{xlxQN i 40<x<i <50) i P:{xlxQNA x*27:70}zapiSite nabrajanjem elemenata pr-edstavite ih "Venovim dijagramom.

5. Neka ie S:{t,2,3,4,5,6,7\, a Rrelacija u S >imati isti ostatak pridijeljenju sa 3<. Napi5ite tu rela-ciju. Je li to relacrja ekvivalencije?

6. Napi3i relaciju >biti manji<< u sku-Du 5:{0,1,2,3} i PrikaZi je gra-ficki.

?. DefiniSimo funkcije /: N+N i g:N-+N ovako: f (x)--xt, g(Y\::xI6.Ispitaj za koji elemenat skuPa

{1, 2, 3, 4} vrijedi jednakost /(x)::s(r).

E. Neka je f: N+N i f(x):2x-t,Ispi5i parove (r , f(x)) za x:1,2,3,4,a

-zatim te parove prikaZi grafidki.

9. Napi5i zbir k(A)-lk(a) ako jeA:{1,3,5... 17} i 9:{2,4,6..ml.

10. Odredi podskupove skupa iV dijielementi zadovoljavaju nejedna-dine: l5>z*9; Y*4<ll:' 37<<16+x; m-l<1; 16>r+3.

Ii

I

, Zadaci su,pripremlhni.rr dvc varijanto zbog razliCitosti u nastavnim trogranrimg i piano.vrma la8ttr r€pubtila r poIrsritra.

+647

ZADACIZA PROVERAVANJE STECEI\IOG ZNAI\IJA IZ MATEMATITE

VI RAZRED

ZADA CIZA PROVERAVAI\JE STECTNOG ZNANJA .IZ MATEMA-TIXE

VII RAZRED

Varijanta I

DJELJIVOST BROJEVA

1. Napi5i nekoliko djelilaca proiz-voda 3xyz (a-lb*c).

2. Koji od brojeva 2,22,23,2c nijedjelilac ,6i1a /tj2t?

3. Koju cifru umjesto zvijezdice mo-reS upisati da broj 5147* budedjeljiv sa 3?

4. Koje cifre umjesto r i y moreSupisati da broj 12xyl bude djleljivsa 9 (uzimajudi u obzir sve mo-guCnosti)?

5. Proizvodu od prva 4 prosta brojadodaj broj l. DC Ii je i taj novibroj prost?

6. Broj je djeljiv sa 12 ako je djeljivsa 3 i 4. Koji su od brojeva 53640,t37 136, 7l lW, 25 100, 393 102djeljivi sa 12?

7. Napi5i nekoliko elemenata skupa

{rlx€N i 8l(168*x)}.

t. Neka su c i 6 bilo koji zadani pri-rodni brojevi. DokaZi da vrijeditvrdnja: pla i Clp+p,qla.b.

9. S kojim najvedim brojem moZemopodijeliti brojeve: I 085, I 24O iI 395 da ostaci po redu budu 7,8,9?

10. Ako dva todka imaju obime 3 m iZ dm, koliki najmanji put mo-raju prevaliti da oba todka doduu podetni poloZaj?

11. Puls nekog Covjeka.kuca ?2 puta,a sat 60 puta u minuti. Nakonkoliko se minuta ponavljaju isto-vremeno otkucaji pulsa i sata?Koliko otkucaja ulini u tom vre-menu puls, a koliko sat?

Va ri janta 2

SKUP RACIONALNIH BROJEVA.TROUGAO

l. a)Koliko Casovaiznosi: I *o"t *687

dana; ;_- dana? b)'Koji deo metra'12Cine: 5dm; 25cm; 75cm? c) Prirod-ne brojeve 3, odnosno 4 iztaziti uobliku razlomka sa imeniogem 2,odnosno 5.

2. 7-a dati skup razlomka12 5 3 2 ll 5 2rl

':It'T'a,n,i,i, sJzapi5ite nabrajanjem elemenata:t: {xlxQM,x:11; P: {alaQM AA4> l) c:{blbeM i ,<l}.

I353. Date razlomkel, -7i7 FoSi-

rite tako da im:'l) imenilac bude 12;2) brojilac bude 15.

. 32 15 304. b) Date razlomke --l2'20' 2l'

skratite tako da im imenilac budbprim broj.

5. Odredite xeZ iako da vaLi:7x2832

a) q: 24; b)-ll -;. c) --:

8 218 5 x:_:d) -_:_:e)-3' 17 x.,' ' -t02 lCI

6. Milan, SaSa i Vladimir su od rodi-telja dobili istu sumu novca. Ku-pujuCi pribor za Skolu Milan je

57notroSioS, ** ,r. a Vladimir

7

18 onog Sto je dobio.. Odredite ko

je potroSio najviSe novca.

Vari janta ILINEARNA FI.'NKCUA.PROFORCTONALNOST

l. Data je funkcija f(x):2,5x. lzra-trunaj /(2), f(x*2), f(ax).

2, Polazrf;i od dcfinicije linearne fun-cije i osobina linearnosti, ustanovikoje su od datih funkcija f(x):x,f,(r):r+1, h(x):lxl i i(r):2x*

' *l x l(r€Q) linearne funkcije?

3. Zadane su funkcijef(x):la i g(a\::O4x (x€Q). a) Popuni tabelu

b) Da ri je gtf@)l:ftu(x)l?4. Pre<leni put je proporcionalan we-

menu kretanja s koeficientom pro-porcionalnosti /s. a) NapiSi jedna-linu ove proporcionalnosti.b) Odrdi koeficijent /c, ako zna-mo da je pretlen put za 3,5 sata17,5 km. c) Izralunaj vrijemezr koje se pred€ put od 40km.

5. Odrdi nepoztrati dlan proporcijea) (x-l):4:3:5; b) (3x-2):5:6:3.

6. Nairtaj &rZ AB i na njoj tcku Mtako da je AMzMB:2:3.

7. Izradunaj: a) 33% (900):b) 7s% (x):94,25.

t. U kubinji se hrani 150 uCenikasedmog lgzr.c,lfiz. Qd tos? ie 8Y.besplatnih, a 90 udenika plada puniiznos.a) Kolikoje udenika besplatno do-bijalo hranu?b) Koliko procenata od ukupnogbroja udenika plada puni iznosishrane?

T

I

fx

lg

48 49

Varijanta 2

FOLINOMI I RACIONALNIItzRAz,tl. a) ZapiSite u obliku stepena sledede

proizvode:3t 2\t 2\ 2

') ' [-;J'[-;/-.;;aoaaa

2r -71' bbbbbb) Izradunajte: l) (5x-3y) zax:2, y:3; x:6, y:lfli2) (-5)2+42-23-(-3)3.

2. a) Kakav broj se dobije stepeno-vanjem negativnog cclog broja par-nim prirodnim brojem? A kakavnepranim? b) Date skupove izra-zite nabrajanjem elemenata:l) A-lxix:(-4), nQN, n<3\;

z, u - {x, "

: ( -*)' n,t €rv n

IAr<41.

t3. a) Izradunajte vrednost izraza:

/ 3\l) 1-s)- t.1-D-,.

[-5/l -,. (-

-25qo.e4r-''2) 100-x-z-l0.x-r +4 x-t za

b) Proizvod 0,05 .007

napi5ite u obliku: l) B' tg-r;2, B. lO- s i od redite konstantu 8.

4. Odredite brojne vrednosti P(O),

P(-3), r (]) o.ri""-a P(.r):

-5x2*x*2.5. Uredite date iz.tazn:

d f,a"+o,sd.(-i)*tb) OJS ab - 1,20 a2 b2 -0,8 a2 b2 +

+O,5 ab.

I

z LD ACtZA PROVERAVANJE STEIINOG ZIIANJA IZ MATEMA'TIXE

VIu RAZREDVarijanta IFUNKCUE. JEDNAEINE

t. Odredi apscise tahka A ( , 2) i,(,-l) "(,+) i D(,3)

?tako da bude y: -

".v2. Nacrtaj u istom koordinatnom sis-

1temu grafove l:V x+6 a,€{--6,0,6}.

3. Napi5i jednadinu prave paralelnepravoj 4xI2y*7 koja prolazi taC-kom I (5,3).

4. Odredi D tako da nula funkcijef(x):3x+b bude cijeli broj.

5. Nacrtaj u istom koordinatnomsistemu grafove funkcija: /(x)::0,g(x):4, h(x):2ps i k(x):-2xI12.Izradunaj povr5inu lto je ometlujuErafovi datih funkcija.

6. $raf funkcij e f(x) : a1s I 6 3e prava.Sta geometrijski predstavlja skupnula funkcije /(rX

7. Da li su ekvivalentne jednadine:

l-xxl3-r0 i -l_:

?432t Biciklist vozi uzbrdo po inerciji

brzinom v:-1,5 t*12. Kolikode vremena prodi do zaustavljanja?Nacrtaj graf.

9. Rije5i jednadine : 4,8r{Q8.r-6,8)+12,2x:n15,2-1,2,);

123b) _+_-_.' x x+l x-l

10. Rije5i jednaCinu za 2{212{x-3)l}::a za sludaj kad je c:8 (x-2).

Vari j anla 2

LINEARNE JEDNAEINE SA JED-NOM NEPOZNATOM. PREVODBNJE IZRAZA I RECENICA NAMATEMATICKI JEZIKl. Ispitati da ti jednadina x2- 6x*

8:0, fiji je skup re5enja {4, 2}ekvivahntna sa jednaCinom x*2:6.

2. Odrediti skup reSenja jednaCine

, _y+l y-4'- 3--Z'

3. Odrediti skup releqia jednaCine

r(3x* 10)-3 (2 *xl:211- rr.4. Proveriti tadnost jednakosti:

( lx-2 l-x I

"tl"l + - e -x]:{-thr lb +2 I 2-2hb)tDl i -e(26+1)-------:

:oI:n.I

5. Za{to 3 ne moie biti ralenje jed-

nacine 8 :6?x-3

6" Zaw5ite relenicu: Skup ge$enjakonjunkcije a:l A@--2) (a*2)*+o je.

7. Re5ite po a jednaCin" l-r+abo

-t--:_'10 s't. Koji broj treba dodati brojiocu i

ime.niocu razlomka ] C" ui ..1l

dobio broj 7?9. 4% sume x iznosi 5l od 425. Ko-

lika je suma x?

50 <t

MATEMA'IITqKA TAKMI,IIIEbA

3AIAqn CA PEIIyB.rrlIrrKOrTAKMI{IIE6A II3 MAIEMATI,IKE

3A YITEHI,il(E OCTTOBIII,IX IIIKOJIACP CPBIIJE

o.[Dref,or y Bo.rrery t2. lY lfilll. rop.

vrr Pl3PEA

- l. v jeanov xorerry^cMe'reso je r0{ryprcra. Th ryprcrr 3ay3crrf, cy cBerexajene y cBqM co6arna. Co6e cy aroxperdnie, Tpoxpelerrre f, qerBoDoxDeB€TE€.fioxasara ga je 6poj rporpererm co6a uapas'opo]i-

2. IIpoAaBarI je cnarorao y trpBr cag.sm qerBprlrqy ja6yxa xoie je wao.,Y ApI'r caua)/r cnaxorm je:pehmy upeocrannr ja6yia, a y rp6rrr carirvi craB'oJe rroJl-oBn;ry rpeocrarrdt ja6yxa, ocrarrx trocJre rraxoBarla npBor u .qpyror ca[_;ryxa. 3a qerBprx can4rx ocrarro vy je l2ja6yxa.

a) Konrxo je rnnorpaua ja6yra rnvrao npogaraq?6) Konrro je xa;rorpaua jaEyxa ctaroBaou y csaxu casAyx?

- _^_ 1.-y"IoV A uiuraisu ce troMerrraEo 8 rtrrapa BtrHa r 7 mrapa rone. V cyayB Eana3E ce rroMertraEo l_l rrurapa Bs'tra n g mrapa soAe. llg o6a cyaa rcsaDeu6je no 7 JFrapa. 3arnvr je 7 :nurapa x3 cyra A cwraio v cya B, a t i"r6i ii ,o ocnnauo je y cyq, A.Iltp'"y".arn io.nuxohe nocle rora6ni"

"ir.qe v ivdT

" *orr*oy syqy B.

4, pymta crpaunle lB rpoyrna ABC je 6cm. llrpayyrartr uoaprgtrt{y rorrpoyrna axo je { A:@" n 4 B:75".

5. .{ar je xpyr *, uonyupe.rrnxa r:6/Tcm. Toru xpyry Koxcrpytrcar{f, cyrropMaJlrrf, rrpeilllnlr AB n CD. 3armvr je xoHcrpyf,caH ipw kz ca qexrpou ,4-,

Tlryle{HrTa AC, xojn ceqe trpeqflrrK A4V tauxu M. Vlipauyuar"'uorp,.*ryenype orpautrqeue rryroDuMe CBD a C$D.

VIII PA3PEA

1. I{u6pa jegnnuqa xexor gaorlugpenor 6poja R3uocu } urOnr Aecersrla.Aro-qn0pe jenxrnqa u Oruqa lecerlnp yeSycotxo gaMexe M@ra, ao6nje ce 6pojsa 27 wha os npao6rrror 6poja. Kojn je ib 6poj?

2. Vjearou pe3epBoapy 6nuo_1e 240 rr:arapa EoAe. Cgars rryT, KaA ce oAppuetrpBa craBlua, y pe3epBoap ce ynuje 17 turapa soAe. Kaa ce o.qBpxe.qpyra cjraBqna,It3 pe3epBoapa ucreqe ll mrrapa roAe, flocrre 36 0.4Bprarra rlrx crraBrlHa y p€€p-aoapy je 6uno 292 Errpa BoAe. Koxrnro je ryra oABprryra rrpBa cnaBsga, a xoJrnxouyra Apyra?

3, Fpojnnaq r uuenuac je4nor pasaolrxa cy [pupoAun bpojenr. Axo ceSpqinouy Aoga i, a auexnnaqcreneryje 6pojerrr 3, pauor"rax aocraje i uyra r,ral$u.,';Apeaurr raj pauouax.

| 2r.", " j

4. V xoopnmarroj parnr trare cy npane jeAxarunaua: 3 x+2y:6'Vbpa'qyEaru troBpl[rmy n 3alpel\4rny rena xoje nacraje o6prarreu oKo t'oc€ Tpoyrna

oApebesor rtrM trPaBaMa E x-ocoM.

5. V rynu rloJlyrlpewrnxa ocgore 10 cm tr Bucuge l2V 2cmyuncasa je rr-Ai<a'

raxo ga jelga crpana re xoqre [pounaaa oclroBlr Kyrle' a reMera lractrpaM Te crpage

trpmaAajy oMoraqy xyne. I4oparyrraru troBprrrqgy xoqf,e' . i '

PenrenaSaAaraKa L ',,

VII PA3PEA ., :1

1. Bpoj Typtrcra rojn cy ce- cM@Turr{,y ABoKpeDerHIrM rr qerBopoxpenernnM

coOa*a .o-pi6iiu uapa". Kiro je y*yga' 6poj rypncra lM, suaYu Aa je u y rpo- '

*o""eo"rio6aua cuinrren napin 6poj TyptrcTa, a to je rvroryhe caMo axo Tpor(pe-

"itm, co6a nrla uaPall 6Poj.?

2. Axo je nponaraA y npBn calrryK c.naKoBao x ja6yra, onna je np€ocrano

io* I il"Si-"1-f-p"no"V op"o"ianux, rj. xja6yxa, npo4anaqje cgaxoBao y ^pyrrcaHrv*. Oa nDeocramr* Z iluO'*u ciaiuo ie i creleha ,UBa caHAl[(a uo r. ,[arle

"-#*o cauayx je craslo no x ja6yxa, oAIIocHo uo 12 rouaAa' Kao uiro Je peqeHo

io *"trptnt ianqyx. Burro je yKynHo 48 ja6yxa' 7

3. V cy,uy A rrvra 15 Jlf,rapa rewrocrtr' oA trera 15-

BoAe' a y cyry B waa

920 rmrapa re'nrocrtr f, oA rota

iO ao.qe' Kaaa ce E3 cyAa A ncsal'aT tnrapa'y r*,u'

7 49 49 56rrrahe 6urr1.t-;r-"": BoAe, a v cvAvocraje'-i:i rrurapa' Cruwro'

n3 Apyror cyAa €€ ,asBw,' 2aIIr

rapa BoAe' a y qll1 o"'^i"ffnu'apa' rroce upe'

cutrara no 7 rurtapa, xaxo je pe{ero'y cyry ALeau'uas}'ay cypg B sft'n'^'pa BoAe.

4. Brcma BD aou yrao -B Ea AeIroBe og 30o, 60o n f)o, na ie CD:BD:I

:3y'3. Aaxne, AC:AD|DC:3+3 l/T, Ea je uorp'rssa rpoyrlla P-- AC' BD

-| ('*' vt).t o :f, (y'r +, cmz.

6BCn. I

52

Cn.253

5. Vrao CAD ie rpan (aal upewmou), !a Ec€qar CAD w qerDptmy

aeher rpyra (cn. 2). Ilonyupewur oeher xpyra je .R:r y'T:tZcm. Tpaxena no-

I tI I \Eprrrura ie P:- r2r-\T

^, " -Z CD. r ) :72 cln,;rz.

VIII PA3PEA

1. OsraqnMo ,qBor&$pexn 6poj ca lOa+b. ?Is ycrrora 3aAarra tr3rra3E Aa333le b-Va, ua je l0a*7 a*27:tO.Ua*a. Olas.qe je c:6. Tpaxem 6poj je 69.

2. Axo je npra cJraaf,Ha oABprryra r nyra, oxla je Apyra oABpryra yxyrrro(36-r) nyra, IIa je 240*t7x-ll (36-x):292. Peruerre ore jesnawrxe je x:16.flpra cauuxa je ongpuyra 16 uyra, a Apyra 20 ryra.

3. ogxasnlroAarf, pa3rroMar ca| rarcie T :+ ;. oAasre no6njavo

nery: 3D (a*3):abl, oAEocEo, uocne cxpahnaaba ca D 6uhe: 3og9:a52, anu9

a - fi. Karo cy a r b upnpo.qrlr 6pojeau, tr3na3l{ Aa osy jeAxaxocr 3aAoBoJbaaa-

jy carrao b:2 a a:9..{aru pas.norvr ^*

i" f, .

4. Ha cr. 3 upnrasane cy Aare npane, xoje obparyjy rpoyrao ca r€MennueA (-4, O), B (2,0), C (0, 3). O6prarrervr oxo .r-oce ao6uja ce Asojua xyra rrorry-upetrunxa r=3 t etrcrxe h:AB:6, ca r3BoAnrqaua AC:/O+9:5 a BC:-/EW:/8.

Ilorpnrxra ADojEe xytre je P:rr (AC+BC):3T(5+/13), a 3atrpeMxrraIje V: -^- r2 zt . AB:18 tt.J

MCNBCn. 4

5. Ocnr upecer rytre roju caApxu AujaroEae MN u MtNt xoIIKe upxxa3aEje xa cr. 4, Tpoyrnorn ABS u MrN$ crrtrlmrr cy,ta je AB:MrNr:SC:SD, oarlocno?,0:a/T -Dy'f :G2/{-d. Oragse AoEBjaMo jeAxawrrry: 2Nl/T-2oa:/la,

60t/2 366.2 43200ta ie a:-11-. floapurnra xoqre je: P:6a2:6'T--Ut " ',

A

ch.

3AAAIIIIOIIEPAH}t sATAqTI

Olx surqr rp6i .qt lau c,nyra ra tcr6y B npatrpcMtro!A MITC[saTFlrt TtrMsqaEt, rao E 3! p'.'- V Nafrcuffirt xot ccnyJu.Ola6paar 3araqr nrcy rilrE E Mo:c ,ur rx pcr[tt cran yrcrnx ioSrlrcroaso [parr BacrrEy MaroMarrrG y uron!. 3alatro rpc6a csMo-cr&tEo at ttcutBfc, 8 naBSI€gE DqtyrTatr r ytrlncna nGra Blr' CI!rIC3a xorrpory. 3a yrcrrro rojr urary g(,4[icw Kouxypcwx ngatnragpcropyrrrnlo jc .ua npcrxomo Ocum OgafipotE sogaaxe, jcp cy ourar[n oa roErypcEA, Ea Orsj p8,q rtTGACTatEA TODSCEo ylCrEArrEG.

A) 3a yuenwe IV u V paryega

_ l4ll5._ 36up (g6poD ,qpa 6poja je 17. Axo ce Marbf, oA bnx yt€ha 3 Eyra,.qo6rja ce 36sp 23. Olpe,sr re 6pojege.

1406. Jegga l[lx (.qyxrna) je 3a 60 cm Ayxa (ryrba) or Aplrr€ a 4 Eyrajc ,qlrxa oA E€. Korrra je crara gyx?

1407. O6nr (oncer) npaBoyraorsxa (EpaBoxyruxa) je 60 m. llrparyraj*eroBy troBprrnrry (urtourrsy) axo rrry je rrrpEra 3a 6 m xpaha oA .ryxme (ry-Jbf,rre).

140t. y trpBoj ratrrrje 6rnb 4l nrnexa BEIne Eero y Apyroj. Konsxo rrr-rapa Mrlexa rpe6a uperurr x3 trpae xnre y Apyry Aa 6a y gpyroj xanru 6xno sakJrETapa MJrera BEr[e hero y uproj?

1409. Tpn p4.qnxra rpe6a Aa Eanpaa€ 750 napr rgnerra r oEf, Mory ToAa ypane ra 50 Aasa. Konsro naprr rlmeJra Moxe ArreBrro Aa EartpnBr claxr oA Ef,x,aro ce 3Ea Aa trpBr r rpehr pa,qnur Mory 3ajeAHo Aa Harrpaae AEeBrro AEa nyra Bxrueqmella Eero apyrf, paAm tr Aa trpBf, paAEm Moxe AEeBEo Aa f,3pa,qE ADa rrapaqEtre[a Bgrrre Eero rpehn pa,qur?

B) 3a_yuexru<e Y u VI patpega

. 1410. Hanrur cle Eetrpa3Ee ssyaa l:{a, b, c}.

- - l4lf.- ,{arr cy-cnynorrs l:,{xlxQN u xg7l, A:{rlx€lY n 5(rq9},f,:{rlrQrv u 4<x<8}. Ospe4urr (lnt)\C.

I 412. Konnxo trMa phrnnurux trerBoporp$peulx 6pojesa rrarrlcann(gn$paua 1,2,3 y 4 raro Aa cy quQpe 2 r 3 EarxcaEejelua Ao Apyre?

C) 3a yvenuxe VI a VII paspego

1413. Aro ce rpf,poArr 6poj earpruana qlr@pou (sxauenxor"r) pa3nulrr{roMoE O,2 unn 6, ra4a ce raj 6poj He Moxe trpr{Ka3arrr Kao trpou3BoA (npoayrr)ABa y3acrorrna trpupo,{Ha 6poja. ,{orasarr.*)

1414. Aro rcror'r Epojy trotrrtrFuo grGcqagr lo6rjcm 6poj uolensrrro ca13, garnrr Ao6sjeuoM xor*Eryq Aorr'rneMo t r.uoi4eu 6poj noaennrro ca lr,noErja ce 21. Hahr trora3an 6p"t -"--

14^15. Konctpyrcarf, Tpo!'rag (rponrr) ABC axocy aarn EeroBE eneMexTf,:44:75", 48:45", AB=!-c;. Bai"Mia';6a"ng BC ror rpoygra (ogcrpy-carr raqq/ P, raro Aa je Ap+pc:BC s, onpenirr yr"o"e (*v"o6i rrylo:ldii eap.

D) 3a yrrerruKe VII u VIil paspega

1416. {exa jennor rycrepa ca 1225 Axnapa cKf,rryra je sa 4ryA. V npyrojtrpoAa'E"'& f,crf, Tar(aB rrycrep trpoAaBao ce najupe no r225 An'apa,. ,"r^n ^ny

je qexa cuf,rrerra n 361, Ilocre xpaher BpeMerra y Apryroj npogagnu je qexaoBor Jrycrepa c'ur(e'a jomza 4ol.3a xonuro ce pasmrryjy qe'e _" rrya."p" y o"rr"trpoAarnf,rlaMa?

t4t7. vtpavy'a* +_: +_(*_i),*.r,^E Ao6njeru 6poj uolenrrr Ea rpr .qeJrar Titxo Aa npBr{Aeo 6yAe n 20/o aehu og rpeher, t ga 2O"l :vrac'u4oA Apyror Aora.

t4lt. I{errap xpyra Ea or. I je rarra O. Ifrpa-3trTf, yrao (xyr) x rrpero yrna /. Cn-

E) 3a yqenune VIII paspega

. 1419. Axojes6up(g6poi)aaa 6poja Kogcragran, ouga je ruxon trpog3BoA(upo.ryxr) uajrehr xaA cy oE; je.qxaitr-M.by "oOorlr.-Aoiamru.---

1420. Vzpayyaartr 3arrpeMnrry (ronyrvrex) rpo- Dcrpane mrpaMq,qe SABC, utrjn oMoraq, KaA ce pa3-suje usrrera, xao na cn.2.

1421. Bucwra rBaAparrre nptr3Me 3 ryra jeseha oA Ayxme (4yrrne) ocHoBHe r{Brrqe (6puaa).Komxe cy troBprrrnna rr 3arrpeMr{Ha (omourje n ro-ryver) Te rrpr3Me axo je noepurzna (rurorurrua) an_jaronarrnor fipecexa, xojlr npona3r{,qxjaronalou6a:e, 12 /Tw1z2**

5

54

* 3a4arax l4l3 cacrasno je ,{. Mrnometf,h, nacratuur nr flparana. ** 3aAarax cacraBr{o je LI. Touaxnh, uacranxNx u: Crr. Bpoaa.

F) 3a Wrut<e ceux PatPega

|a2.o6ng(oucBr)trqeAlsslToqraEanerorrr6nIsKJryf,3IIocE3uerpa'a O6uv gdArrer torxa je 4uerpa' KOrrsK{ ryr je npeurao $uqurrUcra' axo ce npe'

Arbu rotrar oxpexyo sa 752 o6praja Blrure Eero 3aArbu rorla(?

1423. Jenso jaje craje *r""p t jom uona jajera' flouro cy ABa jajera?

t4A. Ha cBa trocraBJbega ntrTarba llnuja ogronapa caMo ca "Aa!"' r.Jtn ca

,,He!" r yBeK roBopu Ilcrl{Iry. Koje nnrarre rpe6a ncraanrlr ABa nyra y3acrolllro'

ua ,ua llnuja Ea rlrlx Aa pa3rltq[Te o'uronope?

ferynrarn o.qadDasrx 3aAarana 1405 - 14i24 nc MJI XIV' 2

2

f403. 3 t 14. 1406.20 cm r 80 cm' 1407' 2l6mz' 140t' 6 rrlrrapa' l4(D' Ilprn

EatrpaBu 6 napr qrrena ArreBrlo' gpyru 5 rapr r rpehn 4 napa' 1410' {a}' {6}' {c}'

{o,i1, 1o, c},-{b, c\, {a, b, c\' t4ll. a. 1412' IIIccr' l4l4' 29' 1415' Tacxa P je na

"*"rp*""tpu*r"q.AB.ytilosnrpoyuaABPcy:45",45o'90"'1416'YnpyrojtrpoAaBsritlu Jrycrep je cxydrbn ga 27,244l{napa' 1417' io, +'+ 1418' r:90'-

o -t n !-*, n'o' Mn'+ '-y. 1419. Vnyrcrro: Asa 6poja o3ua'rurr ca Z -+

l42l. P:56cm2, V :24!. cm3, l4X2,9024uerpa.

JIg caM Te MaJroqac neEro uutao?"

NAGRADNI ZADATAK BR. 64

Podetiti {ohovsku tablu na ietri kongruentna

(podu&rna) dela tako da svaki od niih sadriipo jedan od kruiiia rasporedenih ka na sl' I'

Naii bar tri refenia.

za tacno resenic zadataka bidc nagrattcno-matcmatickim kniigama ili priboron za pirlnjc

zola ottit"tili pii-"ii"-t"t""-"Js.nln' Izboi nagrad'cnrh bicc izvrscn Zrcbom'

Rescnja postati na adresu: MatcmatiCki list, p'p' 728 ll0ol Bcograd' Na-ssmom rcdu

ou"". o-tiuiioipi-."ilt i-. i i#ih'J,-.tfii-ilii, i-i!s[iii, i oost" (ra postanskim broicm)' -NailiJiii-<"L"Gl-"Li*liii-iii"eiJiii*Jio"iifr-u:'.'c[neie"ii p&rati iajkasoija do r0. t2. tele'.'

MolesclltaocidaizsvalcskoloSaljurc.lclja$mooaiu{cnicilojiruzadst.krcsilisanostalno.

1423. 4 ArHaPa. l4A. ,,\a

st. r

5657

KONKT'RSNI ZN)ACI

Ovi zadaci su rnamcnjcni prvcnstvcno za samostalnirad onih uccnika koji sc u vedoj meri int€rsuju a matcma-tiku. Rcsenie svakog zadatka bidc objavljeno. sa-- potpismonoq rcsavaielia koji-bude poslao sasvim taCno i najbolje obra'aoEno r*cnii u t6ku prvih 20 dana po islasku lista.

Imena onih rclavataca koji polalju bar 5 pravilnihrclcnia konkursnih adataka biCc objavljena uvck posto scoa niitr orime oo ukupno 5 takvih resenja. Sem toga dc u posled-nieri urciu lisia za ovu $kolsku godinu biti posebno objavljenaiirena nijboljib rcsavalaca, a koje su ptcdvidcne novcancnamade.- : Rcsavajte postavljene adatkc i Saljite ib u sto vocembtoiu MitemtiE*on tisti. Relavatelji mogu poslati redakcijii"si"l.ta-o onih adataka koii su piedviikni za niihov razredi iicei*e tyin r"zreda. Zadatkie re5avajte smostalno' nc tralcdioom& ni od koca. Slike crtajte precizno, a rcsenia pisitc obrado--tcno

i Eitko. Najednom listu papira.trcba napisati- sa iste stranc:;e;it;;j;i"k.t'i-tomptetno risenje samo to jednog adatka isvako re$;nje treb^ poliisati punim imenom i ptezimenom, navo'svako re$lnie treb^ golpisati punim imenom i Prezimenom, navo'deii rozred i odelienie, gkolu, mesto u kudnu adreu. N.cpotpuna*ti r""r"tl i odelJenle,

-!kolu,- mesto u kudnu adresu. N-cpotpuna

rc56nja. kao i reicnja bcz obrazlolenjal odnoino Ue, priniadrese po5iljaoca nc6c w uzimati u obzir.

Sva resenia koia salietc istovrcmeno stavite u jedan koverat i posalitc ih na adrsu redakcijor-^i l-'ilii,iiill ^iiLi,;. N" oit"aioi *overra navcditc svoje ime, Skolu i razred, Resenja zada-

sa namakom ..Konkursni iiiiiiiiii"rt" iav.cd-i-tc svoie imi, Skolu i razred' Resenia zada-

ilkl?;ffi 6$i"'ii,iii"i?.f il1'r;ii;#fffii;i6;6: i[ ifii. e-

A) Za udenike tv t'v razreda

566. Tri jednake knjige i C'etiri jednake teke (sveske) staju 140 dinara' Ko-tit<o sta3e tn;igi a koliko [e[a, ako je knjiga za 2l dinat skuplja od teke?

567. PriloZena slika predstavlja kvadrat na-Cinien od detiri domine tako da je zbroj (zbir) poena

Da svakoj stranici kvadrata 8.

Koristedi ciietu zbirku domina nadinite sedam

kvadrata sa po detiri ddmine, tako da zbrojevi nar""t.i ii.*iei jednog kvadrata budu jednaki' (Pri-loZiti crteZe tih kvadrata).

56E. Na pravcu (pravoj) p nalaze' se - sredi3ta

rcentriiiveiu neliidnakili trufiica na scrn udatjenosti

iiA"o bO drueog, tato da se jedna $u-znica. n3l,azi,u1u1i;;;-;JdrGo*. tuto da se jedna kruZnica nalazi unu'iar a;uge.- N-ajilanje rastojanje presjednih tacakliednei* ar@.-Ni.iilanje rastojanje p-resjednih taCakliedne Sl' l.i druge-kruZqiie sa

-pravcem p ie 5 ctrt, a najvede 29 cm'kilA:i Oitl-.ii"i-ttrZina) icriumjera (polipretnika) svake od tih kruZnica?

Bl Za uEenike V i l/I razreda

56g.Kolikoputatrebaodbroja280oduzetib-roj.8jon9-Stojeoduzetozbro-jiti tA-oOatil Uioiu 40, pa da dobij-eni brojevi budu jednaki?

570. sa detiri pravca (prave) podijeliti krug na 1l dijelova. (Priloziti crtez.)

oaaaaa

- C) 2a utenike YI i WI razrcda

57f. Akd, pomnoZimo dva troznamenkasta (trocifrena) broja, dobi&mo pro-dukt (proivzod) 222222. Odrediti sve parove -troznamenkastih brojeva koji dajuovaj produkt.

572. Nacrtan je kut (ugao) AOB. Proiwoljna kruZnica sa centrom O odsje-ca na kracima ovog kuta tetivu CD. Ako >prenosimo< tetivu CD po kruZnici izatoEke D,uvijek u istom smjeru,tadaCe poslije 255 >prenoSenja< vrh Sestara prvi putdospjeti ponovo u toCku C. Pri tome je nadinjeno todoo 34 puna kruga. Koliko ustep€nima iznosi kut ,4O8?

D) Za uEeniie YII i YIII razreda

573. De5ifrovati jednakost: a&:obba, gdje su ai D razliCite znamenke (cifre).

574. Mjesta A i B nalaze se sa raznih stranakanala, dije su obale mi nparalelne medu sobom (sl. 2).

Most preko kanala gradi se okomito (upravno) na obale.

Konstruisati most i cestu, tako da duljina (duiina) mputa izmetlu I i B bude najmanja. Koostrukcijudetaljno obradoiiti. st. 2

oB

E) Za uienike VIII razreda

575. Odrediti dva uzastopna prirodna broja koji su dati izrazima:2(n-3) (r*l) i (n--2) (2n-l). NaCi sva rjelenja.

576. Data je kocka ABCDAlBlCrDr.DuZina (dui) koja spaja centar O straneABCD sa vrhom (temenom) lr sijeCe dijagonalu lCr kocke u toCki P. Duljina (du-

I

Fl Za atenike svih razreda

5?7. Boris je pladao kuglu sladoleda 2 dinara i razmi3ljao na koliko nadinamoZe da plati jednu kuglu, koristeci metalne novdide od 10 para, 50 para i I dinar.Nabrojte sve mogudnosti.

5?8. Rade i Toma su brada blizanci, koji se razlikuju samo po tome Sto jedanuvijek laZe, a drugi uvijek govori istinu. Na sva postavljena pitanja oni odgovarajusamo sa >Da!< ili sa >>Ne!<<. Treba postaviti jedno isto pitanje i Radu i Tomi, ali takoda oba brata daju isti odgovor. Navesti jedno pitanje na koje 6e obojica odgovoritsa >>Da!<< i jedno pitanje na koje de obojica odgovoriti sa >>Ne!<.

58

Ao

t

PETITESA KO}IKPYCIIUX 3MATAICA 553 - 365r{3 MAlSMATttqKOr JrucTA xr% r

A) 3a yvenuxe IV u V pqrpega

553. He aenajyhu eeh yilucane qtfipe, ceaxy zsngu4y 3c,-tuau jegnoa og l0 apailcxux 4uQapa (snauenxu) frano ga oneiatrytjauuottcer&- 6yge frawo wsegera, Ofipauoxu ilocfry-ilaK obpiiu-eana rytfia1n

IIrOpa jelxunp [pBor AerxMrluor trpornBoAa rrlopa 6rrn 2, 16or qrepeJeAf,Hrrqa_xoEallEor tlpof,3BoAa, 3aro rrro je Apyrf, AeJrnMrrtrlll llpoll3Eol trpo-5uOpes 6poj, qrOpa Aecerf,rla npror qnssoqa uoxe 6rrr xajr"raire i frooiroJe npBtr Apnsrffiqrrr upof,sBoA nnorlf,Opex 6poj uja je qrOpa jealuuqa 2 (reh cvo& oapenurr), ro rySpa jelrnrqa Apyror qmubqa uoii 6rrs

"aro ribpa f.

flpeua roue, rrpBrr lrf,EtrJrarl 3aBprtraBa ce rIEopoM 2, a Apyrr qf,rrf,Jlaq iJZtt- fo-pucrehr Aary- qn$py 2 na vecry Aec€ruqa xoualnror [potr3DoAa AoJra3EMo Ao3aKrbyqxa_Aa je-quopa Aecerarla qpBor rf,unoqa E.38asf,, wuot&'Aaroi trpof,3-BoAa cy 82 a 21.

EeMg fufutt, Yrr. Vr D. Om ,F. Blaxolzh.r, fpagasaq

554. Kar<o ce Moctce iloaohy cygoea og lO nufrapa u 7 tufuapa saxeafrufrua3 peKe Eiaqno 8 rufrapa aoge ?

- Tpe6a rrargftrarr{ cyA oA 7 nvrapa r ry rerrnocr crnarx y cyA oI lO J]mrapa.3arnu nouoslrrv. ncrn nocry[ar raxo aa rrocJre rora y cy,uy bn-Trrnrapa ocraxe4 rrarpa nore. Ta4 nf,TpaBoAecruraMo y cyAoA 8 nurapa, rra qeo [ocryrrax rrogo-ruvo jour jeaxou,

Beou ftutoptrt, yc. IVr p. OIU ,,M. Kocora{., IIIaEaq555. Ifou-gwane cy gse epcfre-pofie: 2kg Apae npcfre Eo 27 gunapa u 3 frape

3a KurtoipaM, u 6 kg gpyie spciAe uo 24 gunapa u 5O fiapa ilo xuttoipauy. -Ifqauynanu

4eny jegaoi KurtoipaMa cMeue.

3a 2 kg rrpBe Bpcre no xaae.ue-noj qenn Ao6nno 6n ce 54 ,qnnapa x 6 napa,a sa 6 kg ,qpyre rnpcre uo xanegenoj qenu Ao6rryro 6u ce 147 Anxapa-. Vxymro 6nce Ao6ruto 2.01 m;ra;p u 6 uapa. Ilollro je rexrura cnenre 8 kg, ro he ueni je,qnorxnJlorpaMa rre 6nrn 25 Annapa a 2 nape.

...2.aa

aaaa] ),

Brcgunup Mutupoeuh, ys. Vr p. OIU ,,8. Kapasshf., Ilpr6oj

B) 3a yvexuxe V i YI pazpega

556. y ilpuxannoj cxeuu crooa 3aMenunu4uQpaua naKo ga cee HasegeHe ouepa4uje, uo spcfraMlu KoltoHaMa. 6ygy ilavno u3spweHe, ncno crtoso iipeB-cfraarba ucfry 4u$py.

A B. B:CB+- +B:A: B

DE.F-GE

59

.8 uoxe 6nrr jega or ry0apa l, 5, 6 jep cy ryOp€ jegrnrqa lrf,Ef,rraqa f,[porr3BoAa y rp,Boj (onontr ucre. flocre 3aMeEe n nporepe yrrp$yjerrro Aa g voxe6urr carvro-qnQpa 5._.(e-nmr[po-BaryoM cgf,x EaBeAerux oiepffila garrrysyjeMorc je: A:l; C:7; D:2; E:0; F:4..

Ifaga Tonaueeuh, y{. V p. OItr ,JK. Ilouorr[.., Bra.gltf,1tg5!!._ Iloaohy- ilepa3yja ca AacoauMa, xopucfrehu jegaa fret og SO y,rt u jegan

frei og 200 g, frpefia og 9 kg fipawna ogMepufru gsa KunoipaMa 6pa-waa, ttilpuiabnulpaso xa caMo mpu rieperba. Kaxo fro o6aeuha?

_ flprnvr MeIrerEeM 6pauna rraBeAerre rexlne oro @ pacrroAenr tro trora rtao6p 1aca x raro ce Ao6nje ro 4ag u 50 g. florou ce rexxna ca je4nor raca pacro-peDyje oner ra o6a raca reparnja rro trorra f, Taxo ce xa caaxornr iacy .so6rje no 2 kn250g. to,je npvro Me.perre. rlpxrnrolr rpeher uepe*a najeAan iac cra:ae ce re-roBE o-A 2AO g n 50 g-, a na gpyrr cuna 6paT*o Aor ieparnje ne noxary paBrrorer(y.Taro je y xecr y xojoj je ulrerxoAro 6utro 2 kg u 250 g ocrano 2ke.

- '

Peuere pegaxryaJe

C ) k yuexuxe VI u YII paspega

- --5_5t. fxo cy a u b ilpocfru fipojeau eehu og 3, oxga opegnocn wpata(a*b)(c-b)---l;- frpegcfuaerba upo 6pol. ffoxaeafru.

Cbaxr npocr 6poj sehf, oA 3 gptr AeJberby ca 6voxe f,Marrr ocrarax caMot ryr!. ,{arrte, cBaKrr raxao 6poj uoxe ce 3arlucilrf, y o6rurxy 6k-ll n:u 6k-lrAe je & yFp,o4arr _6Ooj. Mory,he cy cnegehe rpn xoM6mrarlrje: a:6k*1, b:6p*latv a:6k*t, b.:6p-l (u-o6pnyro)i r.nn a:6k-1, b:6p-1. V cra rpa o4rraja,je a+b76(k!d, a (a-b) jc napan 6poj, wru o6pryro i-t:A&-p),-a (a+O)- liuap^an 6poj. flperraa roue, jegar oA x3pa3a (a+i), (a-b) je ge;m cC 6, a ,qpyrsa, 2, na je brrxoB npoE3Bo,q AeJbsB ca 12, 3aro je Bpe,uFocr .saror ugpaga qeo 6poj.

Mutotrw Mufrpoctrt, yt. VI, p. OIU ,,M. Kocolaq,., IIIa6aq559. Ilpaae (frpaery) a, b, c ttpufragajy ucfroJ paauu (paanunu), a He ilpota3e

cse Apu r(pos ucily frawy. Koncdpyucafuu mavry A ua Epaeoj a u naqKy B rb ,p@ojb, fraxo ga cy fre gge EavKe ocro cuMempuvne y og-wcy ,a upasy c.

Itrera je tparo a'ocro crMerpf,qEa ca 4 y oA-Eosy Ea c,'npala a' ywx uocrojr. Tasa I je npecerqpaun a'tb. Tasxa Aieaa uparoj a, ocno csMer.rpmua ca I y oggocy ua c. Tasxa ,{ nornyao je o.t-pelpna rarrou 8.

Mory EacryrrrTn ,qla crysaja: a' cnqe .b s.

mna nvra jelxo pemerrrb€ (cn. l); tparia a' je napane-tu8'a ca b E TaAa 3aAarar EeMa lreEetra.

Ax F.a_xCr. I

BX E

60

Mrylos Docuh" yt. W. p. OItr ,"qp I4. Pn6ap", f. Mamsomq

6l

D) Za atenike WI i Wil razreda

$tJ.s.tzs+ze,!560. 4,8% nexoi 6poja k unocu --29

15 . Ogpegutuu 6poj k.

*.9,8 +O,62521,75

t3 448Karo ie 15 -:---- - "- -- 29 29'7ts

rn:ll 28: -:28.- :60- y157

29 13 u8 29a 3,625:V, ro je t5 - . 3,625:;.;:tu. 3a-

20 20 98f,Meurorv EMaMo

+S.9,8:49.10:4 a O,625:1,75:

57 5--l-:'-84 t4

. Earn pa3rroMa* IrMa Bpea'ocr A+:#: toltu :ru,u,4+-14 t4

<AB+CD,oArrocEo t+t|<! 6A+CD). 3nax jeAaarocrn BarKr caMoz

flpena roue, 0,048k:26,62 na je k:26,62:0,048:554,79.

Xaw Koeulawh, y{. VIf, p. OItr ,,C. Ilejauorrl-, Trrorpag561. Tavxe M u N cy cpeguwma (iloaoeuwfra) cfrpanu4a AD u BC ilpous-

aorbuoi ueQiaopoyi.aa (uefreepoxyfra). loxaeattuKaga aatcu znax jegnaxocwu?

Hera je M' rasxa cuMerpnqxa ca M y og-Irocy Ea N n A' Tatrxa c[Merpnrrua ca A y oaaocyna lV (cr. 2). Tana cy rpoyuroBf, ABN n A'CNrdeuTpaJrrro crMerprFrutr (y oaxocy ualV) r Eo-AyA&pm, na je A'C:AB u A'CllAB. Tarofe jeA'M' napuwrso ca AM n A'M':AM. Karo jeMD-AM, crreAz aa je verropoyrao MM'A'D na-parrerrorpaM, na je A'D:MM' u A'DllMM'. HaocrroBy reje4narocrr rpoynla uMaMo: A,D<<A'C+CD. Cveryjyhu A'D:MM':2MN n AC:AB, 2MN<

axo je

C€AD, raro je CD?AB.

EeftoJun Cfrawoeuh, yr. VII, p. OE ,,T. Pajyh.., tlatatr

E) 3a yuenwe VIII paspega

562. Axo cy a, b, c, d, e, yzacfroiiau fipupogau 6pojeeu, ypegufru fro sertuttuuuace

pa3loMKe b,7,7.

c

d:b+2, * i" +-+:#-t=2ft-al 2: bd atanzlto' je' je b<:t'

b>os.b+2>0.Aarure, *-tro, oaxocxo *r!;. Cmuro ,uora:yjeMo,qa je

ecdce7r7, tra Baxe peraquje: b.7.7

Sopr Ctuxoetrt, yr. V[I, p. OItr ,,8. Kapaud.., lyupnja563. ,Qoxanilu ga je z6up (z6poj) Ksagpama gujaionata 6uao xojei ilapaae-

ltoipana jegnax o6upy Ksagpana cnpaqutp froi ilaparcrroipaMa.Hexa cy dr:AC n dp:3p gujarorane upo-

f,3aoJbsor uapate[orpaMa, a CE n DF srLcuseEa crpauxrry AB (cl, 3), Haje reurxo aoxa3aru,qa cy rpoyrnoln ADF u BCE rroAyAapxtr, re Aaje AF:BE:x n DF:CE:h. llr npanoyrnorrpoyrna BDF xo6sjauo: d2z:h2!(a-x)2, a ustrpaBoyrrror rpoyrna AEC je: /rz:ftzlQs.!a)2. Ca-6nparreu ornx jegnarocrn lo6njarvro d]+d22::2h2+(a+x)2-t@-x)2. Karo je ns nparoyrnorrpoyula ADFi h2:bz x2, 6rhe dtzly'rz:2167--x2)+(a+x)21(a-x12, oAaKne nocne cpeSnaa-rra Aecue crpane jeasaxocru aobnjeuot d|+d2z:-2a2+2b2, rrtTo ce n rBpAnrlo.

IIPeua ',ctlory

je c:a|2 tb (a+2)-a (b -12) : ab *2 b<b-2 a

b (b +2) b (b+2)

ACrt. 3

Adgyaax ffeaufiauuh, ys. VItro p. OE ,tl. Jlona h6ap.., KararrF) 3a yveauxe csux paspega

564. Ha yganenocfru og 125 m ilac je ouazuo zeup u ilojypuo sa nuu, Ifcfrolfrpenywxa seq ce gao y 6ei. Jegnua cxojxou se4 upecKaqe uota Mefrpa, a ilac g6aMefupa. Ocuu fuoia, y speMevy y xojeu 3e4 cegaM uyfra cxouu, uac cKovu gaa uyna.Rotuxy ygarbeHocm je ilpefrpuao ilac og npeHywxa rag je ouasuo 3eup, go wpeny&-Ka Kag ta je yaoeuo?

C Asa cxoxa trac rrp@Koqn 4 rvrerpa, a y ucro BpeMe 3eq no6erse 3,5 uerapa.,{axre, narox 4 nceha cxoxa, pa3Max rvrefy nuaorursaMa cMarbn ce ea I uerap.Crora he trac ytoBuru 3eqa HaxoH 125.4 croxosa u 3a ro rpene he [perprrarn5fr).2 uerpa, rj. I km,

3opan Cilacuh, yq. Hr p. Oru ,,8. Jenrrh", Kyca,qar

i65. Ilspavynauu gylruHe (gymune) cwpaHuup a, b u c wpoylna (frporcyrua),axo je atb:22cm, blc:26cm u alc:32cm.

Axo ca6eper"ro cBe ro3uare ayxnHe, ao6uhevo: (a*D)*(b*c)*(a+c;::22*26*32,o,qnocso 2a*2h*2c:80,na je o6uu (oncer) rpoyrta a+ b+c:40 cm..:.xo caA oA o6[Ma oAy3MeMo peaoM: e*b:22, b+c:26,a*c:32, aoEahevo crpa-:r!trl.e TpOyrIa: c:18, a:14, b:8.

i&'e,orco tapgoauh, ys. VI. F. OItr ,,fi. ieprosub". T. Vrs[e

63

3AH}IMJbNBOC|TN U PA3HO

Haieraa Errpf,MoreMrrnrapa

3Ha ce aa roroBo cBara Eayra trMa, trop€A om rojr @ r6oMe 6ane xao rs-BOTHf,M trO3EBOM, A OHAX XOjnvraje ra rayra xo6r, oa6ara f,JrE ctropearro 3aEf,Mzu$€.flognars cy r cny.rajeaf, EaAlrf,Jrexapa, EaApf,Merepeonora, EarprnpaBxf,r(a tr rraA-ptrexoHoMrcra. . .

,(o-r je Ea.qpriJrexapcrBo 3arorroM sa6panexo, Aorne ce Apyre Bpcre ,,He-uo3gaHor" 3arrf,Marsa yrnaBHoM Tonepruy. 3arnvfrrro je Aa rlvla'n rranoio xagpu-MareMarxrrapa,_raxo 6t, trpeMa omreM y6eferry, rpe6ano na varervrarnxa 6iAeHayra oA xoje 6n BzubaJro ,Ea ce ,,ctraqlBa cBar(o xo ruoxe...

V uareuarrrp EaAprMareMarrqapf, cre rxajy s cBe Mory. Haparno, rru-xoBa peulena rrorpe[na cy EnmTa Mar+e Eero EaApf,nenene u jegnta npeAnocTHaApf,MareMarrqapa IraA rraAlrf,Jrerapou je mro xoA oBor npBor neua naqnjeuara.Csr cvo xsBf, f, 3ApaBf, r je4uro je xunor f,trax, y3 re ,,cirapn.. .qmawr.innjr nuecernjr. .{a ro goxaxeu rurspahy EeKe ,,trpo.etKre" nagphlrareuarrvapa, xexaso,uehf, f,Mega.

Je4ax uauaga Eexe crBapr roje cy ce r:rnoxffre Brme xf,JbaAa roAr{Ha, aJrtrero Hrrro xnje npnueruo Al cx€ To rre BaJba: ,,Kao ocroaa ea uoj paa cnyxn naoje

- reurjalno orxprhe, na je Eyrurrg, TBopaq eneMenTaple reouerpuje y croj6jrpehoj xnnrr Eaeueaafua uorperruo trocraBrio rl florpelrno .qe0rnrcao nor"aryreopeMy o qetrTpaJrEEM n ueprrftprjcxf,M yrnoBriMa y xpyry, s6or qera je xporMlJr€tEJyMe CBe AO AaEamrbrx AaHa ocrao cKprIBeH u xe.qesnnucan ocxonnn nojauryA".1,, caa, lroBex npe.qnaxe ce6e yrvrecro Eirnala, nyaehr ,,Ta!ue.. nojrrrore rojeJe caM f,oMf,cnf,o ,y Apyre 3uMcre Be.Iep[".

Herslr -naApuuareuarf,qapf,Ma cMera rrrro je ,,naruryc uyra rvrnrryc nnyc',,Apyrnra mro je,,a xa-ryly jeluatro jeaau" n rcrpaara xac. O6aipaaajy nncrrrryre,nnDr Ef,cMa. Ilpecpehy Eac rra yJrxru.

Jom je y Er6nrjr 3arrf,cano xa je4uou Mecry Aa je 6poj n jegrar rpr. Enex-TpoHcxf,M paqynapoM rnpasyrraro je jom olro xxtba4a rroBn AeqnMiura, a neh ry uemrnM patr$raprMa rraJra3f, oe roHcTaHTa r:3,1415926, cse ro He BaJba, rarKyHaApuM_a'reMarrqapf,. JeAan oA rbrx trpeAnaxe narvr caoj paqyx upeMa roveje rCj6poj 3,16. Ao orora pe3yrrrara rorex j- aomao cmajyhr &*iv v mepny n Op-o:enrirynmrle, a oA Tora, HapaBrro, rreMa Errmra rawje!, JeAan HaApxMareMarFrap (oplcrf, Bpocrop E BpeMe Aa EaM c{tourrrrl:

,,H upocrop je cercyrlapxa uojara rao r rper,re. Bpenre r trpocrop cy trpoEtBoAEyMa n 3aro Ee rrpma.qajy uarep4ia.mroj o6nacrs". To uro olr caM 3a upocrbp (crau-beHx) trJlana lcnprjy sa o.qpelFno rpcnre xrje nmaxar Aoxag!

_ ,,ISyrrora rcopxja je o6rsxa 3a6r4/ga", ,soxa3ao je jeAas rron€x, saqycrxBr[f,g6or nocnora oro f,3paqyxaDana ! xeEy f, Aerry n rydv r ce6e cauor. ,iLyrn jepa{yf,ao ca turaEeraMa,Eao Aa cy o6nme 6yqAeB€ a xe reEcra rera',, traxe on, .,3aTattrr@T rrojrx npoparyra oMeM aa craxeM lpe4 u5rmry!', Cpeha je r[To ce ga raxBecrBapf, trpeA rryury xuar Ee trIte f, cpehaje mro 6ya4ere pacry ua 3eMJbE a f,e Earpaxr, rla EeMa onacnocrrr Aa rraAxy Ira DraBy rIaIueM upxjarery.

Karo Aona3s Ao oBoJrxror xrlep€coBana B€crpytrraKa 3a crpyqtre npo6ne-ue? Betma xa.qpm,rar,e*arstrapa q tbyrq ca Aocra cno6oaror rpir*rera, MnornoA EEx cy reo6amurenr o tlpa8oi 0opr.,ry.nargjr npo6aeua, ua pemaaajy reurro

rpyro a Ee oEo ryTo ce rpaKr. flonera,q cc pa,qE o rerqn upo6,nelrnr,ra y o6nacretrcExe: MEorEMa-je yupaao uorpo6ro Aa 6yrry ,,Eeupf,3Ea1u". To onqa pefoaaa xexerbDKOBe

"r€rtrxohe". oA TOra gf,xo rleMa lrrlere, a axo je rrva 60.ne - yroJrf,xo

6o.ne. He BaJba ral o€ re-rs oA BEx 3aagare rra rpaxe Ea cf,ny Aa EM ce pe3ynraruprona..V [portrBroM xohe Aa ryxe cy4y, ,qa ce ryxy r cnn'ur6. Cpehou, ioji naj-pella uojana, a cyro6 ce Aa 3arna4rrf,: ,,ur4eheuo,;, ,flobure gpyr" oyi-,',,op-o6ajiejotu oro f,rm oxo" trA.

,{euara c€, Hapaqrro, Aa f, norexn MareMarrrap aMarep y nouese}r 6yae ynpary. Taxruua je norraoh ruronoBaarx MareMar[rrapa ,qo6po abftna, a, ga 6ygeuotrpaBeAHr{, uMa r oBrD( trocJreArlD( c lFruroMoM rojn crpyrcy :a6opar:rajy. Hrjexeuoryhe Aa c& u oEr{ trp€Bap€ y EoEetreM na la raro rrre ,,cienen irry" y up"rraryoA BaApnMaTreMa"f,qapa Ao rrpaBor cTpyqrsaKa.

(I{t rrme: .{p MnproCrojaronrtl,,,Cra3alra uareuarme", Hosu C:x.x, 19771

.{e*urocr dpoiena ca Z n 19

Crrrvr y.rexnlgrvra ropnf,r( pagpega ocEoBHe -*on" oot""" a cy frpaeurra ge-rbueocfru\ens.x Epojera ca 2,3,4,5,6, 9 n 10. I5rnaa ce orrE trecro xopEcre nprrJrsKoMpa.ryrarra. Hernva je oA rif,x no3uaro ri raxo ce Jra(o orxpfiBa,ua nr je aarr 6pojAeJbuB ca 7, ll, 13. Ho, unoro je peDe aa rexo 3Ha rr (aro ce yrrplyje .ia nr je nerr6poj aerrus ca l7 unz 19, rnu ca HeKrM jom aehnrvr npocrur"r'Oii6ie i

OrAe he 6nrn nguer jeAan uasrur orrpnBarla AeJbrrB@ru 6pojera ca 7 a 19.Hexa je gafru 6poj n Hanucav y AeraarroM 6pojeruou crcreMy:

n : an an 4n- y . . Or ot a, - an. ton + an_ r. l0z- t + . . . + a2. lO2 + ar. l0 + ao .

Aoraxnrro Aa je 6poj z .qerbrB ca 7 (19) aro E caMo+4otoo.qeruB ca 7 (19).

aro je 6poj enan-r. .. oz*

lluauo, peAoM:

I - an Qr- y . . a2 ar ao: ln en_ t . . . or. 102 + a, io : a^ an_, .. . ar. tm +

+400-qao-4OO Iao+ffi,n : tW 1a, ao - u l. q + 4i-, ao) - 399 7-, ao.

Aa 6n Aarn 6poj z 6so A€Jbm qa {19), uorpeEno r goaorxo je Aa ro 6y,ryyMar€f,xa r yMarsf,raq E3 rrlr€f,roAge je,warocrr. Kaxo je 3g nre:r;ui ca 7 a ca- li,ro je

dlaran-, .. a2arao e al@"a**., ar+4 ara)i d:7V d-lg,'mro je rpe6ano f, Aoxa3arf,.

Epuaep. Hexa je g4r 6poj 8l ?19. Kaxo je 817+4.19:893 .qerbEBo ca 19,anr xrje ca 7, roje E aarr 6poj nertmia 19, anr seuca7.

D.M.M.

64

Rarera juruatt" xnrorery:n!,,floraxuuo" Aa je y cBaKoM trpaBoyrnoM TpoyrJry xarera troAy.qapua caxlrnoTcily-]oM.

!!rya.je ^BB, cr.rrrlerpaaayrrra B rpaBoJnnor rpo_ytsrtr ABC (cn. l), D - cpegumre raiere- AC, O __ --rirqKa npece(a HopMzrne na AC y ra.rrr D ca BB1,

( ) Ii .u -O

F - HopM:rne c[ymrerre tr3 riqre O aa npate A Bu /J(.' pcAorvr.

Jlaxo je AoKa3ar! Aa AB2E=LBOF,oaaxsrc je:

- /{axne, ur jegnarocrr OA:OC cnellr^ AaAOEA:' AOCF, oaaxne je

(l)

(2)

BE:BF,

AE:FC.I,Ir jeguaxcu (l) u (2) cneAtr Aa je BA:BC.fge je norpeurra?

(,,Keantu", 41 1979, apeeeo [.M.M. )

[a ta cre AoBtrTJbEB[?

- l. Tpu 6para xyne 7 rryrnx 6ypa4tr BtrHa, 7 4o nona uyrurx 6ypagr u 7 upasnux6ypa11u, H cBe ro xeJre Aa noagle na 3 je4naxi AeJra, TaKo Aa cBax[ o4 rrux 4o6njeficry KorHlHHy Br{r{a fi ncru 6poj 6ypa.qu.

_ Mory Jru -oHr.r

oBy rroAeJry Aa tr3apne, a Aa r{e npecrnajy rruo ue jegnor6ypcra y 4pyro?

2. V ueravnoj jegnaxocru urpaxeroj nouohy mu6uqa, rpe6arrpcMccrr'rrr{ cavo jegrry mubynl r nocruhs rur"re 4a JeAuaKocr trocraEe ratr'a.l(irxo ce To Moxe yu:awnr:t?'3. {aa rorexa cy Epojana trporra3H'Ke xgjn cv y rory r{3Bec'or BpeMerra [po-uura nopea rbfix yJrrrroM. Jelan je crajao y xarnju, a Apyru je,qorne xo,qao rope_Aonen nanocJrerKy ce 3aycraBtro trpeA onrrM npanrl. Kojr je oA rsux zobpojao 4orneDUrUe nponalnura?

. _4. Tpn cycerre Aa.qorue cBara rro 60 4mapa rr xynqme rouaA cnanare xoju.ic rpc6a.no Aa rroAeJre. flpra paceye cJrarrury ra3 gera tr peqe Aa cy cBf, AenoBtrjc/rrrarr. .(pyra pere ga je,qas Aeo speau 58 dgapa, Apyrtr 60 arnapi, i rrrJifaz n"_rrapa. Tpeha-peqe Eeruro cacBEM rpehe. ?Iuax,-oue tro.qeo''e rraibyco6ldxor"ra.qeraKo Aa xu jegna o.q BrD( xnje nr,rara pa3nora Aa Kaxe ga:e orni6hJu".-Iiu*o

"yolrc To nocrnrure?5. V jeanoj 6oqu ce HaJra3[ ntrTap Btrrra, a y Apyrojrxrap Boae. Axo ce rl3 trpBe 6oqe npe.urje y Apyry qarrmrla

BuHa, na ce- oHA? rrg lpyre nperuje y trpBy qarmqa MertraBtr-rrc, y cnaroj o.q 6oqa 6nhe oner no nrrap-re.rnocrn.

Vera he rrocne rora 6trr sruue - BoAe y nproj 6ounxlu BnHa y apyroj?6. Kna4par na cn. I rpe6a nogerm.rn sa 4 rroAyAapra

/(cJra raKo Aa cBaKr{ ,qeo caApxn uo je4ar o.q cBa qerlptrra6enexena 6poja.

Cn. I

Cr. I