matematici speciale

Conf. univ. Dr. ION COLÞESCU (coordonator)

Lect. univ. Dr. GHEORGHE DOGARU Prep. univ. DAN LASCU

MATEMATICI SPECIALE

Teorie. Exemple. Aplicaþii

Constanþa, 2005

Referenþi ºtiinþifici: Prof. univ. dr. Silviu SBURLAN Prof. univ. dr. Ion CUCUREZEANU

PREFAÞÃ

Aceastã carte a fost elaboratã pe baza lecþiilor de matematici speciale þinute de autorii studenþilor anilor II ai Facultãþilor de Marinã Militarã ºi Marinã Civilã din Academia Navalã �Mircea cel Bãtrân�. Lucrarea rãspunde unor programe analitice modernizate, urmãrind întãrirea laturii algoritmice ºi reflectând atenþia deosebitã acordatã atât rigorii în prezentarea noþiunilor, cât ºi vigorii pe care aplicaþiile ºi modelele matematice o genereazã. Demonstraþiile rezultatelor de bazã cerute de programã sunt complete ºi doar în cadrul unor observaþii sau rezultate � anexã sunt indicate dezvoltãri ale teoriei fãrã detalii de demonstraþie. Tot din raþiuni didactice, la sfârºitul fiecãrui mare capitol am introdus o listã cu probleme rezolvate ºi o listã cu probleme propuse date la probele orale ale examenelor. Cartea are patru pãrþi, corespunzând în principiu unui semestru când se predau matematicile speciale. Prima parte cuprinde noþiunile ºi rezultatele de baza ale teoriei câmpurilor. Partea a II-a cuprinde mai întâi seriile ºi integrala Fourier, iar apoi trateazã în mod succint unele teorii centrale ale matematicii, interesând mult pe inginer, fizician sau chimist. Calculul operaþional este un permanent instrument de lucru, transformarea Fourier ºi transformarea Laplace stabilesc legãturi profunde între domeniile � timp, frecvenþã ºi domeniul complex. În partea a III-a se dau unele elemente de bazã ale teoriei ecuaþiilor cu derivate parþiale de ordinul II, care utilizeazã multe rezultate anterioare ºi pregãtesc conexiuni fireºti cu alte cursuri de specialitate, precum ºi elemente de funcþii speciale. Ultima parte cuprinde elemente de teoria probabilitãþilor. Oferind studenþilor, dar ºi multor profesori, cercetãtori ºi elevi neindiferenþi la priceperea lor matematicã, un material de studiu pe care l-am dorit complet, unitar ºi într-o formã cât mai accesibilã, sperãm sã contribuim la asimilarea în bune condiþii a cunoºtinþelor de matematicã, care fac parte din pregãtirea de bazã a viitorului inginer. Autorii

CUPRINS

CUPRINS 5

TEORIA CÂMPURILOR 7

CÂMP SCALAR. SUPRAFAÞÃ DE NIVEL. GRADIENTUL UNUI CÂMP SCALAR. LINII ªI SUPRAFEÞE DE CÂMP. INTEGRAREA ECUAÞIILOR CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL I 7

1.1. Câmp scalar 7 1.2. Gradientul unui câmp scalar 8 1.3. Ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul I 13 1.4. Câmp vectorial. Linii ºi suprafeþe de câmp 19

DIVERGENÞA ªI ROTORUL UNUI CÂMP VECTORIAL. OPERATORI DIFERENÞIALI ÎN ANALIZA VECTORIALÃ. FORMULE INTEGRALE 22

2.1. Divergenþa ºi rotorul unui câmp vectorial 22 2.2. Operatori diferenþiali în analiza vectorialã 24 2.3. Formule integrale 27 3.1. Câmpuri irotaþionale 29 3.2. Câmpuri solenoidale 32 3.3. Câmpuri biscalare 36

DETERMINAREA UNUI CÂMP DE VECTORI DE ROTOR ªI DIVERGENÞÃ DATE 39 4.1. Generalitãþi. Unicitatea soluþiei pentru anumite condiþii la limitã 39 4.2. Determinarea unui câmp irotaþional de divergenþã datã în tot spaþiul R3 43 4.3. Determinarea unui câmp solenoidal de rotor dat 46

CÂMPURI DISCONTINUE 48 5.1. Divergenþa de suprafaþã 48 5.2. Câmpuri nestaþionare 52

Probleme rezolvate 59

Probleme nerezolvate 70

CALCUL OPERAÞIONAL 73

SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER 73 6.1. Seria Fourier a unei funcþii periodice 73 6.2. Seria Fourier a unei funcþii pare ºi a unei funcþii impare 78 6.3. Forma complexã a seriei Fourier 80 7.1. Forma complexã a integralei Fourier 82 7.2. Forma realã a integralei Fourier. Cazul funcþiilor pare sau impare 84

7.3. Transformata Fourier 86

TRANSFORMATA LAPLACE 89 8.1. Funcþia original 89 8.2. Transformata Laplace. Imagine dupã transformata Laplace 92 8.3. Teoremele: asemãnãrii, întârzierii, deplasãrii originalului, integrãrii originalului 96 9.1. Transformarea inversã. Formula Mellin - Fourier 99 9.2. Integrarea imaginii 102 9.3. Produsul a douã imagini 103 10.1. Teoreme de dezvoltare 107 10.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru integrarea ecuaþiilor diferenþiale 112 10.3. Rezolvarea unor ecuaþii integrale 114



ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II 126 11.1. Probleme de fizicã matematicã ce conduc la ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul al doilea 126 11.2. Forma generalã 130

ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II: HIPERBOLICE, PARABOLICE ªI ELIPTICE. REDUCEREA LOR LA FORMA CANONICÃ 137

Ecuaþii liniare ºi omogene în raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficienþi constanþi 142

13.2. Metoda schimbãrii variabilelor 146 14.1. Metoda separãrii variabilelor (Bernoulli ºi Fourier) 149 14.2. Ecuaþia omogenã a coardei vibrante. Soluþia lui D. Bernoulli ºi Fourier 153 15.1. Ecuaþia propagãrii cãldurii 160 15.2. Problema lui Dirichlet pentru cerc 165 16.1. Polinoamele lui Legendre 171 16.2. Funcþiile lui Bessel 181


Probleme nerezolvate. 194

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR 196 17.1. Algebre Boole 196 17.2. Câmp de evenimente 204 17.3. Câmp de probabilitate 205 18.1. Formula probabilitãþii reuniunii evenimentelor compatibile 214 18.2. Formula probabilitãþii intersecþiei evenimentelor compatibile 217 18.3. Formula de înmulþire a probabilitãþilor 219 18.4. Formula probabilitãþii totale 220 18.5. Experienþe repetate (Scheme probabilistice clasice) 222

19.1. Variabile aleatoare discrete ºi continue 224 19.4. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 230 20.1. Legea densitãþii uniforme 236 20.2. Legea lui Poisson 239 20.3. Legea exponenþialã 243 20.4. Integrala lui Euler - Poisson 245 21.1. Legea normalã de repartiþie 248 22.1. Vector aleator în Rn. Funcþie de repartiþie. Densitate de repartiþie. 257 22.2. Variabile aleatoare independente, variabile aleatoare dependente 262 23.1. Legea normalã în plan 266 23.2. Legea normalã în spaþiu 272



BIBLIOGRAFIE 286

CALCUL OPERAÞIONAL _______________________________________________________________

7

TEORIA CÂMPURILOR

CÂMP SCALAR. SUPRAFAÞÃ DE NIVEL. GRADIENTUL UNUI CÂMP SCALAR. LINII ªI SUPRAFEÞE DE CÂMP.

INTEGRAREA ECUAÞIILOR CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL I

Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã noþiunea de câmp scalar ºi de gradient al unui câmp scalar; 2. Sã defineascã noþiunea de câmp vectorial, divergenþã ºi rotor al unui câmp

vectorial; 3. Sã defineascã operatorii diferenþiali folosiþi în analiza vectorialã; 4. Sã defineascã formulele integrale; 5. Sã defineascã câmpuri vectoriale particulare: irotaþionale, solenoidale,

biscalare etc; 6. Sã calculeze gradientul unui câmp scalar; 7. Sã calculeze divergenþa ºi rotorul unui câmp scalar; 8. Sã determine liniile ºi suprafeþele unui câmp vectorial; 9. Sã calculeze circulaþia ºi fluxul unui câmp vectorial; 10. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina 59.

1.1. Câmp scalar

Fie D un domeniu (o mulþime deschisã ºi conexã) în care fiecãrui punct P i se

ataºeazã un scalar (P) ºi numai unul singur.

Corespondenþa între punctele P ºi scalarii (P) este datã de o funcþie scalarã pe

care o notãm cu zyxP ,, .

Definiþia 1.1. Se numeºte câmp scalar o funcþie

RRRD 23:

Observaþia 1.1. Continuitatea funcþiei scalare ö=(P) se reduce la continuitatea

unei funcþii reale de trei variabile sau de douã variabile, dupã cum domeniul D are trei sau

douã dimensiuni, problemã cunoscutã din analizã.

MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________

8

Exemple

1. Temperatura într-un punct P este o mãrime scalarã T = T(P).

2. Repartiþia presiunii p a aerului la un moment dat într-o anumitã regiune poate

fi reprezentatã printr-o funcþie scalarã p = p(P).

3. Masa specificã ì a unui mediu continuu neomogen poate fi exprimatã printr-

o funcþie scalarã de punct ì=ì(P).

Dacã P0 este un punct din domeniul D în care este definit câmpul scalar (P)

atunci mulþimea punctelor DP în care valorile funcþiei (P) coincid cu valoarea sa în

P0 formeazã o suprafaþã.

Definiþia 1.2. Se numeºte suprafaþã de nivel a câmpului scalar

RRD 3: mulþimea punctelor lui D în care valorile funcþiei scalare (P) sunt

egale.

Dacã P(x,y,z) ºi P0(x0,y0,z0) atunci relaþia

0PP

(1.1)

devine

000 ,,,, zyxzyx

(1.2)

ºi reprezintã o suprafaþã de nivel a câmpului scalar ö.

1.2. Gradientul unui câmp scalar

O primã imagine a câmpului scalar este datã de suprafeþele de nivel care aratã

cum sunt stratificate valorile câmpului. Pornind dintr-un punct P0 al suprafeþei de nivel

( 0PP ) ºi deplasând punctul P pe aceastã suprafaþã, (P) rãmâne constant.

CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________

9

Sã presupunem cã punctul P descrie

arcul P0P al curbei C care admite o tangentã

determinatã în P0, fie s

versorul acestei

tangente; notând cu PPl 0 abscisa curbilinie a

punctului P se ºtie cã limita raportului

P P

lP P

0

0

pentru lP P00 , atunci

când existã se numeºte derivata funcþiei dupã direcþia s ºi se noteazã cu

d

ds

, adicã

d

ds

P P

lP C

l P PP P

lim ,0 0

0

0

(1.3)

Dacã faþã de un sistem de axe carteziene P = P(x,y,z) ºi P0(x0,y0,z0) = P0 atunci:

P Px

x xy

y yz

z z

x x y y z z

P P P

0 0 0 0

1 0 2 0 3 0

0 0 0

lim , ,P P

i x y z

0

0

Împãrþind cu lP P0 în ambele pãrþi ale egalitãþii ºi observând cã în ipoteza cã C

admite o tangentã determinatã în P0 limitele:

liml P PP P

x x

l0 0

0

0

liml P PP P

y y

l0 0

0

0


10

liml P PP P

z z

l0 0

0

0

existã ºi sunt chiar cosinusurile directoare ale tangentei: s i j k (1.4)

Deci limita (1.3) existã ºi are expresia:

d

ds x y z

(1.5)

(expresia cartezianã a derivatei funcþiei dupã direcþia s ).

Dintre diverºii vectori unitari cu

originea în P0 un rol important îl va avea

normala n la suprafaþa de nivel ce trece prin

acest punct, sensul lui n îl vom lua în sensul

în care (P) creºte.

Fie P ºi N punctele în care s ºi n

intersecteazã o suprafaþã de nivel vecinã ºi l lP P P N0 0, deplasãrile din P0 în P ºi N.

Deoarece P ºi N sunt pe o aceeaºi suprafaþã de nivel avem:

P P N P 0 0

de unde:

P P

l

N P

l

l

lP P P N

P N

P P

0 0

0 0

0

0

(1.6)

Notând cu n s, ºi aplicând relaþia sinusurilor în triunghiul P0PN rezultã

cã:

l

lctg

P N

P P

0

0

sin

sincos sin


11

Când P ºi N, pãstrându-se pe o aceeaºi suprafaþã de nivel, tind cãtre P0 secanta

PN tinde cãtre o tangentã în P0 la suprafaþa de nivel ce trece prin P0, deci:

2

0ºi ctg2

Cum în acest proces rãmâne constant avem:

lim cosl

P N

P PP P

l

l0

0

00

ºi cu aceastã relaþie (1.6) devine:

cos

nd

d

sd

d (1.7)

Observaþia 1.2. Relaþia (1.7) sugereazã introducerea unui vector a cãrui proiecþie

pe s sã fie egalã cu

sd

d

.

Fie n normala în P0 la suprafaþa de nivel care

trece prin acest punct, derivatã în sensul crescãtor al

funcþiei (P).

Definiþia 1.3. Vectorul P Q0

având direcþia ºi

sensul lui n ºi modulul P Q

d

dn0

se numeºte

gradientul câmpului scalar (P) în P0; se noteazã:

gradd

dnn

(1.8)

Folosind definiþia 1.3. relaþia (1,7) devine:

d

ds

d

dnn s s grad

(1.9)


12

ceea ce spune cã derivata dupã o direcþie s este egalã cu proiecþia gradientului pe acea

direcþie.

Observaþia 1.3. Gradientul unui câmp scalar aratã nu numai direcþia ºi sensul în

care funcþia (P) creºte cel mai repede, dar, prin proiecþiile sale pe diverse direcþii, ne

indicã rapiditatea de variaþie a câmpului scalar pentru deplasãri pe acele direcþii.

Observaþia 1.4. Dacã s i avem = 1, = = 0 ºi din (1.5) rezultã:

d

ds xs i

deci proiecþia gradientului pe Ox este x

; analog proiecþiile pe Oy ºi Oz vor fi y

,

z

deci:

gradx

iy

jz

k

(1.10)

Definiþia 1.4. Funcþia al cãrei gradient este v grad se numeºte funcþia de

forþã a vectorilor v , iar PPU se numeºte potenþialul vectorilor

v .

Regulile de calcul pentru gradient sunt:

i. grad grad grad

ii. grad grad grad

iii. gradgrad grad

2

iv. gradF F grad '

Aceste egalitãþi se demonstreazã folosind definiþia gradientului ºi regurile de calcul ale

derivatelor.


13

1.3. Ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul I

Definiþia 1.5.

i. O relaþie de forma:

F x x x uu

x

u

xnn

1 21

0, , , ; ; , ,

(1.11)

unde F R Rn: 2 1 se numeºte ecuaþie cu derivate parþiale de ordinul întâi,

dacã se cere sã se determine funcþia u x x xn 1 2, , , cu derivate parþiale de

ordinul întâi într-un domeniu D Rn astfel încât sã avem:

F x x xx xn

n1 2

10, , , ; ; , ,

oricare ar fi x x x Dn1 2, , , .

ii. Funcþiile reale care îndeplinesc condiþiile de mai sus se numesc

soluþii ale ecuaþiei cu derivate parþiale (1.11) în D.

În cele ce urmeazã nu ne vom ocupa decât de ecuaþii de forma:

P x x xu

xP x x x

u

xn n nn

1 1 21

1 2 0, , , , , ,

(1.12)

cu P P x x xk k n 1 2, , , funcþii continue ºi care nu se anuleazã simultan.

Definiþia 1.6.

i. Sistemul simetric:

dx

P x x x

dx

P x x xn

n

n n

1

1 1 2 1 2, , , , , ,

(1.13)

se numeºte sistem caracteristic al ecuaþiei cu derivate parþiale (1.12).


14

ii. Curbele integrale ale sistemului (1.13) se numesc curbe caracteristice ale ecuaþiei cu

derivate parþiale (1.12).

Propoziþia 1.1. Fie x x x Cn1 2, , , o integralã primã a sistemului

(1.13), funcþia u x x xn 1 2, , , este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale

(1.12).

Demonstraþie: fie x x x Cn1 2, , , o integralã primã a sistemului

(1.13); funcþia este continuã ºi are derivate parþiale de ordinul întâi continui în D.

Deoarece = C este o integralã primã a sistemului (1.13) rezultã oricare ar fi

x x x Dn1 2, , , situat pe o curbã integralã a sistemului (1.13) se reduce la o

constantã C deci d = 0, de unde:

x

dxx

dxx

dxn

n1

12

2 0

(1.14)

Însã de-a lungul unei curbe integrale diferenþialele dx1, dx2, ..., dxn sunt proporþionale cu

P1, P2, ..., Pn conform relaþiilor (1.13) deci egalitatea (1.14) se scrie:

x

Px

Px

Pn

n1

12

2 0

valabilã pentru orice x x xn1 2, , , situat pe o curbã integralã a sistemului (1.13).

Teorema 1.1. Fie ecuaþia cu derivate parþiale (1.12), având coeficienþii

P x x xk n1 2, , , continui. Fie:

1 1 2 1x x x Cn, , ,

2 1 2 2x x x Cn, , ,

n n nx x x C 1 1 2 1, , ,


15

n-1 integrale prime ale sistemului caracteristic (1.13). Fie v v vn1 2 1, , , o

funcþie continuã cu derivate parþiale continue pe Rn 1.

Funcþia:

u x x x x x x x x xn n n n1 2 1 1 2 1 1 2, , , , , , , , , , , (*)

este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale (1.12).

Reciproc, orice soluþie u a ecuaþiei (1.12) se poate scrie sub forma (*).

Demonstaþie:

i. Sã arãtãm cã u n 1 1, , verificã ecuaþia (1.12). Avem:

u

x x x

u

x x x

u

x x x

n

n

n

n

n n n

n

n

1 1

1

1 1

1

1

2 1

1

2 1

1

2

1

1

1

1

(1.15)

Dacã înmulþim în prima egalitate cu P1, în a doua cu P2, în ultima cu Pn, adunând

pe coloanã în (1.15) obþinem:

Pu

xP

u

xP

xP

x

Px

Px

nn

nn

n

nn

n

n

11 1

11

1

1

11

1

1

1

(1.16)

însã în (1.16) fiecare parantezã din partea a doua este nulã deoarece

k nx x k n1 1 1, , , sunt soluþii ale ecuaþiei cu derivate parþiale (1.12)

conform propoziþiei precedente.


16

ii. reciproc: orice soluþie ),...,,( 21 nxxxuu a ecuaþiei (1.12) este de forma

),...,,( 121 n .

Într-adevãr, dacã ),...,,( 21 nxxxuu este o soluþie a ecuaþiei (1.12) avem:

0...2

2

1

1

n

n x

uP

x

uP

x

uP

sã scriem acum cã ºi 121 ,..., n sunt soluþii

0...

...................................................

0...

0...

1

2

12

1

11

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

n

nn

nn

n

n

n

n

xP

xP

xP

xP

xP

xP

xP

xP

xP

Sistemul format din ecuaþiile de mai sus formeazã un sistem liniar ºi omogen de n ecuaþii in necunoscutele nPPP ,...,, 21 , admite ºi alte soluþii în afarã de soluþia banalã

deoarece nPPP ,...,, 21 nu se anuleazã simultan, deci:

0),...,,(

),...,,,(

21

121

n

n

xxxD

uD în D.

Cum integralele prime 1,1,),...,( 1 nkCxx knk sunt independente în D, existã

DD ' în care 0),...,,(

),...,,,(

21

121

n

n

xxxD

uD , deci 121 ,...,,, nu sunt în

dependenþã funcþionalã.

Soluþia problemei lui Cauchy

Fie ecuaþia cu derivate parþiale datã de relaþia (1.12) cu funcþiile

P x x xk n1 2, , , , continue ºi care nu se anuleazã simultan într-un domeniu

D R x x x Dnn ºi M0 1

020 0 0, , , .

Fie sistemul caracteristic (1.13) cãruia i-am gãsit n-1 integrale prime:


17

1 1 2 1

2 1 2 2

1 1 2 1

x x x C

x x x C

x x x C

n

n

n n n

, , ,

, , ,

, , ,

(1.17)

Sã presupunem cã

D

D x x xn

n M

1 2 1

1 2 1 0

0, , ,

, , ,

.

A rezolva problema lui Cauchy pentru ecuaþia (1.12) însemnã a gãsi soluþia

u x x xn1 2, , , a ecuaþiei (1.12) care îndeplineºte condiþia: pentru x xn n 0

funcþie ce se reduce la o funcþie datã x x xn1 2 1, , , adicã:

u x x x x x x xn n n1 2 10

1 2 1, , , , , , ,

(1.18)

Fie U o vecinãtate a punctului M0 în care sistemul (1.17) se poate inversa în

raport cu x x xn1 2 1, , , . Dacã în (1.17) punem x xn n 0 obþinem:

1 1 2 10

1x x x x Cn n, , , ,

2 1 2 10

2x x x x Cn n, , , ,

...............

n n n nx x x x C 1 1 2 10

1, , , ,

sistem care rezolvat în raport cu x x xn1 2 1, , , ne dã:


18

x C C

x C C

x C C

n

n

n n n

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1 1 1

, ,

, ,

, ,

(1.19)

Propoziþia 1.2. Soluþia problemei lui Cauchy pentru ecuaþia (1.12) cu condiþia

iniþialã (1.18) este datã de:

u x x xn n n n1 2 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

cu 1 2 1, , , n date de (1.17).

Demonstraþie: trebuie sã arãtãm cã funcþia u din enunþul propoziþiei este soluþie

a ecuaþiei (1.12) ºi apoi cã verificã condiþia iniþialã (1.18).

Faptul cã u este soluþie a ecuaþiei (1.12) se observã imediat, deoarece u este de forma ),...,,( 121 n dupã cum rezultã din expresia ei. Soluþia verificã condiþia

iniþialã în vecinãtatea U a punctului 0M .Într-adevãr, pentru 0

nn xx , conform relaþiilor

de mai sus avem: knnk Cxxxx ),,...,( 0

1,2,1 1,1 nk , ºi din (1.19) pentru 0

nn xx :

knk x ),...,( 11 1,1 nk , de unde înlocuindu-le în relaþia din enunþul propoziþiei obþinem:

),...,(),,...,,( 11

0

121 nnn xxxxxxu

Observaþia 1.5. Integrarea ecuaþiilor cu derivate parþiale de ordinul I liniare ºi

neomogene se reduce la integrarea ecuaþiilor cu derivate parþiale de ordinul I liniare ºi

omogene.

Demonstraþie: fie ecuaþia:

0),,...,,(),,...,,(...),,...,,( 21121

1

211

u

VuxxxP

x

VuxxxP

x

VuxxxP nn

n

nnn

Sã cãutãm pentru aceastã ecuaþie o soluþie datã implicit printr-o relaþie de forma: 0),,...,,( 21 uxxxV n , V fiind o funcþie necunoscutã pe care urmeazã sã o

determinãm.


19

În ipoteza cã V este continuã ºi are derivate parþiale de ordinul întâi continue, avem:

u

V

x

V

x

u

x

V

x

V

x

u

nnn

:,...,:11

pe care dacã le înlocuim în:

),,...,,(),,...,,(...),,...,,( 21121

1

211 uxxxPx

uuxxxP

x

uuxxxP nn

n

nnn

obþinem:

1

2

2

1

1 :...::

n

n

n Pu

V

x

VP

u

V

x

VP

u

V

x

VP

sau

0.... 1

1

1

u

VP

x

VP

x

VP n

n

n

1.4. Câmp vectorial. Linii ºi suprafeþe de câmp

Fie D un domeniu; dacã fiecãrui punct P din domeniul D i se asociazã (ataºeazã)

un vector v P ºi numai unul, corespondenþa între punctele P ºi vectorii

v P este o

funcþie vectorialã.

Definiþia 1.7. Se numeºte câmp vectorial o funcþie vectorialã

3

3: RDv

Observaþia 1.6. Studiul unui câmp vectorial, definit într-un domeniu

tridimensional se reduce la studiul unei funcþii vectoriale de trei variabile scalare sau la

studiul funcþiilor scalare

v v x y z kk k , , ,1 3

unde:

v P v x y z i v x y z j v x y z k 1 2 3, , , , , ,

Fie v P un câmp vectorial definit pe domeniul D.


20

Definiþia 1.8. Se numeºte linie de câmp o curbã (L) din acest domeniu, care are

proprietatea cã în fiecare punct al sãu, v P este tangent curbei.

Determinarea liniilor de câmp

Fie r OP

, vectorul de poziþie al punctului P

de pe curba (L); direcþia tangentei la curbã este datã de

dr

. Din definiþia 1.8. rezultã cã v ºi dr

sã fie

coliniari. Pentru aceasta este necesar ºi suficient ca:

v dr 0

(1.20)

sau

dx

v x y z

dy

v x y z

dz

v x y z1 2 3, , , , , ,

(1.21)

Integrând sistemul (1.21) în conformitate cu subcapitolul 1.3. obþinem:

F x y z C

F x y z C

1 1

2 2

, ,

, ,

(1.22)

Definiþia 1.9. Se numeºte suprafaþã de câmp o suprafaþã generatã de linii de

câmp.

Un câmp vectorial v D R: 3

are o infinitate de linii de câmp, ecuaþiile

lor fiind de forma (1.22) în care C1, C2 sunt constante. Liniile de câmp formeazã o familie

(L) de curbe depinzând de doi parametri. Liniile de câmp (1.22) vor genera o suprafaþã

dacã vor fi supuse unei condiþii care sã se traducã analitic prin:

C C1 2 0,

(1.23)


21

Ecuaþia suprafeþei de câmp se obþine eliminând C1 ºi C2 între ecuaþiile (1.22) ale

liniilor de câmp ºi relaþia (1.23), deci vom avea forma:

F x y z F x y z1 2 0, , , , ,

(1.24)

Propoziþia 1.3. În fiecare punct P de pe suprafaþa de câmp, vectorul v P este

tangent suprafeþei.

Demonstraþie: Fie

S F x y z: , , 0

(1.25)

care poate fi consideratã ca o suprafaþã de nivel

a câmpului scalar F(x,y,z), deci un vector

normal în P la suprafaþã este grad F, calculat în

acest punct.

Condiþia ca v P sã fie tangent

suprafeþei este echivalentã cu condiþia ca vectorii v ºi grad F sã fie ortogonali:

v P gradF 0

(1.26)

sau scalar

v x y zF

xv x y z

F

yv x y z

F

z1 2 3 0, , , , , ,

(1.27)

Pentru a demonstra cã orice suprafaþã S, care are proprietatea de mai sus, este suprafaþã de câmp urmeazã sã arãtãm cã soluþia generalã a ecuaþiei (1.26) este de forma

),( 21 FFF .

Vom parcurge etapele:

i) funcþiile 1F ºi 2F din (1.22) ale liniilor de câmp sunt soluþii ale ecuaþiei (1.27)

ii) o funcþie compusã ),( 21 FFF este de asemenea soluþie, deoarece:


22

2

2

1

1

21 ),( gradFF

gradFF

FFgrad

avem

0),( 21 FFgradV

iii) orice soluþie a ecuaþiei (1.26) este de forma ),( 21 FFF .

Într-adevãr: fie F o soluþie oarecare a ecuaþiei (1.26) ºi P un punct oarecare al

suprafeþei 0F . Prin acest punct trec douã suprafeþe 2211 , CFCF .

Relaþiile (1.26) ºi 01 gradFV

; 02 gradFV

aratã cã gradF , 1gradF ,

2gradF sunt perpendiculari pe V

, deci sunt coplanari.

Avem:

0),,(

),,()( 21

21 zyxD

FFFDgradFgradFgradF

ceea ce aratã cã între cele trei funcþii existã o relaþie ),( 21 FFF

DIVERGENÞA ªI ROTORUL UNUI CÂMP VECTORIAL. OPERATORI DIFERENÞIALI ÎN ANALIZA VECTORIALÃ.

FORMULE INTEGRALE

2.1. Divergenþa ºi rotorul unui câmp vectorial Fie o suprafaþã inclusã în D pe care se defineºte o faþã pozitivã ºi una negativã

ºi fie n versorul normalei la orientat în sensul pozitiv.

Definiþia 2.1. Se numeºte fluxul vectorului v prin suprafaþa integrala de

suprafaþã:

n v d (2.1)

Observaþia 2.1. Dacã v reprezintã câmpul vitezelor într-un fluid ºi masa

specificã, atunci cantitatea de fluid care traverseazã în unitatea de timp suprafaþa abstractã

este .


23

Fie d D un domeniu reductibil prin deformare (vol.d 0) la un punct P r

ºi d frontiera sa satisfãcând condiþiile de existenþã ale integralei (2.1). Notând ºi aici n

normala exterioarã la d avem:

Definiþia 2.2. Se numeºte divergenþa vectorului v în punctul P r

mãrimea

dvol

dvnvdiv d

dvol .lim

0)(.

(2.2)

Observaþia 2.2. Dacã în P r

ar fi plasat un izvor de fluid este evident cã

divergenþa ar caracteriza cantitatea de fluid ce ar diverge din izvor în unitatea de timp.

Se poate arãta fãrã nici o dificultate cã dacã v C D 1

limita din (2.2) existã.

Într-un reper cartezian folosind formula lui Gauss - Ostrogradski (valabilã pentru câmpuri

v C D 1

) avem:

d

d

dz

v

y

v

x

vdnv

321 (2.3)

ºi aplicând integralei triple formula de medie din (2.2) deducem:

div vv

x

v

y

v

z

1 2 3 (2.4)

reprezintã expresia cartezianã a divergenþei.

Fie C o curbã închisã (inclusã în D) pe care s-a definit un sens pozitiv.

Definiþia 2.3. Se numeºte circulaþia vectorului v de-a lungul curbei C integrala

curbilinie:

C v drC

(2.5)


24

Fie o suprafaþã oarecare netedã pe porþiuni inclusã în D care se sprijinã pe C ºi n versorul normalei la orientat în sensul de înaintare al unui burghiu care ar fi rotit în

sensul pozitiv definit pe C.

Definiþia 2.4. Se numeºte rotorul vectorului v mãrimea:

rot v

n v d

vol dvol d

d

lim

.. 0

(2.6)

Observaþia 2.3. Dacã v este de clasã C1(D) avem urmãtoarea formulã a lui

Stokes cunoscutã din analiza matematicã: v dr n rot v d

C

(2.7)

unde:

rot vv

y

v

zi

v

z

v

xj

v

x

v

yk

i j k

x y zv v v

3 2 1 3 2 1

1 2 3

(2.8)

Acest vector se va numi rotorul câmpului v ºi are urmãtoarea interpretare fizicã, folosind

câmpul vitezelor în miºcarea unui solid în jurul unui ax fix. Câmpul vitezelor, la un moment dat, este dat de rPv

)( , unde este un vector independent de P, care

caracterizeazã complet miºcarea în jurul axei de rotaþie , iar OPr

este vectorul de poziþie al punctului curent P.

Dacã kji

321 , kzjyixr

avem

kxyjzxiyzrPv

)()()()( 211332

de unde

2222)())(( 321 kjirrotPvrot

2.2. Operatori diferenþiali în analiza vectorialã

Operatorii întâlniþi în analiza funcþiilor scalare sunt:


25

i. derivata unei funcþii de o singurã variabilã f I R R: se noteazã Dfdf

dx .

Introducerea acestui simbol este justificatã prin faptul cã unele operaþii de

derivare pot fi reduse la operaþii algebrice.

D f g Df Dg

D f g D f g C D f Dg C D f D g f D g Df Dgn nn

nn

n n n 1 1 2 2 2 ii. derivarea parþialã a unei funcþii de mai multe variabile f(x,y,z) poate fi privitã ca

înmulþirea funcþiei la stânga cu un operator de derivare:

f

x xf ,

iii. diferenþiala unei funcþii de mai multe variabile poate fi scrisã, de asemenea, ca un

produs simbolic:

dfx

dxy

dyz

dz f

Introducerea operatorului de diferenþiere dx

dxy

dyz

dz

este

justificatã prin aceea cã diferenþiala de ordinul n poate fi scrisã sub forma simplã:

d f

xdx

ydy

zdz fn

n

În analiza vectorialã se introduce un nou operator care are caracter diferenþial ºi

vectorial:

x

iy

jz

k

(2.9)

Cu acest operator (nabla) gradientul, divergenþa, rotorul, derivata dupã o direcþie

se pot scrie într-un mod foarte simplu ºi concis, iar regulile de calcul pentru acestea,

referitoare la sume ºi produse, se reduc la reguli de calcul algebric cu acest operator.

Avem:


26

gradx

iy

jz

k

div vx

iy

jz

k v v

rot vx

iy

jz

k v v

(2.10)

a)

b)

v v v v v

c)

u v u v v u u v

sau echivalent:

div u v vrot u u rot v

d) rot u v v u u v u div v v div u

e) grad u v v u u v u rot v v rot u

Fãcând u v v rezultã

grad v v v v rot v1

22

f) rot rot v grad div v v unde

2

2

2

2

2

2x y z

rot grad U div rot v 0 0;


27

2.3. Formule integrale

i. formula integralã a divergenþei (sau formula lui Gauss-Ostrogradski) este:

n v d div v dv

(2.11)

unde este un domeniu tridimensional mãrginit de o suprafaþã închisã , versorul n al

normalei se presupune o funcþie continuã ºi v este o funcþie vectorialã cu derivate

parþiale de ordinul I continue pe .

Observaþia 2.4. Relaþia (2.11) are o interpretare fizicã simplã: dacã v P este

câmpul vitezelor unui fluid în miºcare, fluxul vectorilor v P prin suprafaþa este egal

cu productivitatea totalã a volumului mãrginit de . Pentru demonstrarea relaþiei (2.11)

se porneºte de la definiþia integralei triple ºi se þine seama ºi de definiþia divergentei.

ii. formulele lui Green:

Fie un domeniu mãrginit de o suprafaþã închisã cu normala n continuã ºi

douã funcþii scalare P ºi = P de clasã C2 . Câmpului

vectorial v P grad îi aplicãm relaþia (2.11) ºi þinând cont de relaþia (1.9) avem:

n v ngradd

dn

ºi de:

div v div grad grad grad

obþinem:

dvgradgradd

nd

d

(2.12)

numitã prima formulã a lui Green.


28

Schimbând între ele funcþiile ºi , adicã luând v grad avem:

dvgradgradd

nd

d

(2.13)

Scãzând relaþiile (2.12) ºi (2.13) membru cu membru obþinem:

dvd

nd

d

nd

d

(2.14)

numitã a doua formulã a lui Green.

iii. vom pune în cele ce urmeazã în evidenþã alãturi de formula integralã a divergenþei

douã formule analoage pentru gradient ºi rotor:

dgraddn

(formula integralã a gradientului) (2.15)

dvrotdvn

(formula integralã a rotorului) (2.16)

unde este un domeniu mãrginit de suprafaþa închisã , cu

P C ºi v P

1 .

Sã demonstrãm acum relaþia (2.15); pentru aceasta vom calcula proiecþia

integralei din membrul I pe o direcþie arbitrarã, caracterizatã prin vectorul unitar a , deci:

dadivdandna

dar

div a agrad diva

Înlocuind obþinem:

dgradadna

Pentru relaþia (2.16) se procedeazã în mod analog:


29

davdivdavndvnadvna

dar div v a a rot v v rot a ºi rot a = 0 deci:

dvrotadvna �

CÂMPURI PARTICULARE: IROTAÞIONALE,

SOLENOIDALE ªI BISCALARE

3.1. Câmpuri irotaþionale

Fie 3

3: RDv

Definiþia 3.1. Câmpul vectorial v P este irotaþional într-un domeniu D, dacã

în toate punctele domeniului rotorul sãu este nul, adicã:

0Pvrot

(3.1)

Observaþia 3.1. Proprietãþile câmpurilor irotaþionale sunt strâns legate de natura

domeniului pe care sunt definite.

Redãm în cele ce urmeazã proprietãþile câmpurilor irotaþionale în domenii simplu

conexe:

i. Circulaþia vectorului Pvv

pe orice curbã C închisã din D este nulã.

Demonstraþie: domeniul D fiind simplu conex, existã o suprafaþã deschisã

conþinutã în D ºi mãrginitã de curba închisã C; aplicând formula lui Stokes avem:

v dr n rot vdC

310

.

(3.2)

ii. Integrala AB

rdv

are aceeaºi valoare pe orice arc de curbã, care uneºte douã puncte

fixe A,B ale domeniului D ºi care este cuprins în acest domeniu.


30

Demonstraþie: fie douã arce de curbã conþinute în D ºi având extremitãþile A,B;

aceste arce înzestrate cu sensul de parcurgere de la A la B, le notãm cu L1 ºi L2; aceleaºi

arce cu sensul de parcurgere de la B la A le notãm cu L1' ºi L 2

'.

Evident cã:

vdr vdr vdr vdr

L L L L1 1 2 2' '

; (3.3)

Arcele de curbã L1 ºi L2'

formeazã împreunã

o curbã închisã C, folosind proprietatea i. rezultã: vdr vdr vdr vdr

L L L L1 2 1 2

0 '

sau

(3.4)

iii. Orice câmp irotaþional este gradientul unui câmp

scalar. Funcþia de forþã poate fi exprimatã printr-o integralã curbilinie:

P vdrAP

(3.5)

independentã de drum, unde A(x0,y0,z0) este un punct fix arbitrar din D, iar P(x,y,z) un

punct oarecare al domeniului.

Demonstraþie: trebuie sã arãtãm cã dacã v v i v j v k 1 2 3 avem

grad v

, adicã:

x

v x y zy

v x y zz

v x y z 1 2 3, , , , , , , ,


31

Pentru aceasta, vom folosi definiþia

derivatei parþiale ºi avem:

x y z vdrAP

, ,

''

,,PPAPAP

rdvrdvrdvzyhx

x h y z x y z vdr v x y z dx

PP x

x h

, , , , , ,'

1

(am aplicat conform ipotezelor teorema de medie de la integrala definitã).

Observând cã pentru h 0 , x h x prin urmare ºi x ºi folosind

continuitatea urmeazã:

),,(,,lim

,,,,lim 1100

zyxvzyvh

zyxzyhxhh

sau

x

v x y z 1 , ,

Analog se aratã cã

y

v x y zz

v x y z 2 3, , , , , .

Proprietãþile câmpurilor irotaþionale pe domenii multiplu conexe sunt:

i. Dacã v P este un câmp irotaþional într-un domeniu multiplu conex D ºi dacã C

este o curbã închisã conþinutã în D (cu proprietatea cã existã o suprafaþã deschisã

mãrginitã de aceastã curbã ºi conþinutã în domeniul D) atunci circulaþia vectorului

v P pe curba C este nulã:

vdr

C

0 (3.6)


32

Demonstraþie: folosind formula lui Stokes ca ºi în cazul domeniilor simplu

conexe avem:

vdr n rot vd

C

0

ii. Dacã v P este irotaþional într-un domeniu multiplu conex D, atunci circulaþia lui

v P pe douã curbe închise echivalente în D este aceeaºi.

Demonstraþie: imediatã, ca în cazul domeniilor simplu conexe

iii. Un câmp vectorial v P irotaþional într-un domeniu multiplu conex D este de

asemenea gradientul unui câmp scalar. Funcþie de forþã se exprimã tot printr-o

integralã curbilinie ca ºi în cazul domeniului simplu conex:

x y z vdrL

, ,

L fiind un arc de curbã conþinut în D.

3.2. Câmpuri solenoidale

Definiþia 3.2. Câmpul vectorial v P este solenoidal în domeniul D dacã în

toate punctele domeniului avem:

div v P

0 (3.7)

Observaþia 3.2. Studiul câmpurilor irotaþionale se bazeazã pe formula lui Stokes,

proprietãþile câmpurilor solenoidale se deduc folosind formula integralã a divergenþei.

Fie () o suprafaþã închisã care mãrgineºte un domeniu situat în întregime la

distanþã finitã ºi sã presupunem cã () admite în fiecare punct o normalã n determinatã.

Avem urmãtoarele proprietãþi:

i. Dacã v P este continuu pe ºi solenoidal pe atunci fluxul lui

v prin

suprafaþa închisã este nul.


33

Demonstraþie: în condiþiile din enunþ fiind îndeplinite condiþiile formulei Gauss-

Ostrogradski avem:

n v P d div v P dv

3 70

.

ii. Fluxul câmpului v P prin douã suprafeþe deschise, echivalente în domeniul în care

v P este solenoidal este acelaºi, adicã:

1 2

21 dvndvn

Douã suprafeþe deschise 1 ºi 2 mãrginite de aceeaºi curbã C, se numesc echivalente

în D, dacã 1 , 2 ºi domeniul Ù mãrginit de cele douã suprafeþe sunt conþinute în D ºi

dacã orientãrile normalelor 1n

ºi 2n

la cele douã suprafeþe se obþin una din alta prin

continuitate.

Demonstraþie: imediatã se aplicã formula lui Gauss-Ostrogradski domeniului ? ºi se þine seama cã 0)( vdiv

de unde se obþine

1 2

21 dvndvn

iii. Orice câmp solenoidal este rotorul unui câmp vectorial.

Adicã: dacã div v P

0 în domeniul D existã un câmp vectorial Puu

definit în D astfel încât:

rot u v (3.8)

u P se numeºte potenþialul vector al câmpului solenoidal

v P .


34

Vom demonstra mai întâi cã ecuaþia (3.8) admite o soluþie particularã, construind-

o efectiv. Pentru aceasta raportãm vectorii u ºi v la triedrul Oxyz

i j k, , :

v v i v j v k 1 2 3 ;

u u i u j u k 1 2 3 .

Proiectând ecuaþia (3.8) pe axele triedrului Oxyz obþinem:

u

y

u

zv x y z

u

z

u

xv x y z

u

x

u

yv x y z

3 21

1 32

2 13

, ,

, ,

, ,

(3.8�)

unde v1, v2, v3 sunt funcþii cunoscute.

Vom încerca o soluþie în care u3 = 0; sistemul devine:

u

zv x y z

u

zv x y z

u

x

u

yv x y z

12

21

2 13

, ,

, ,

, ,

(3.9)

Din prima ºi a doua exuaþie rezultã:

u v x y z dz f x y

u v x y z dz g x y

z

z

z

z

1 2

2 1

0

0

, , ,

, , ,

(3.10)

unde f ºi g sunt funcþii arbitrare.


35

Determinãm (dacã este posibil) funcþiile f ºi g astfel ca u1 ºi u2 din (3.10) sã

verifice ºi ultima ecuaþie din (3.9). Avem:

u

x

v

xdz

g

xz

z

2 1

0

;

u

y

v

ydz

f

yz

z

1 2

0

care înlocuite dau:

v

x

v

ydz

g

x

f

yv x y z

z

z

1 23

0

, ,

Cum v este solenoidal rezultã cã:

v

x

v

y

v

z1 2 3

Deci:

g

x

f

yv x y z 3 0, ,

(*)

de unde: v

zdz v x y z v x y z

z

z

33 3 0

0

, , , ,

Funcþiile f ºi g vor fi alese astfel încât sã satisfacã relaþia (*). Deoarece ne

intereseazã o soluþie particularã a sistemului putem lua:

f g v x y z dxx

x

0 3 0

0

, , ,

care introduse în (3.10) ne dau soluþia particularã:


36

u v x y z dz u v x y z dz v x y z dx uz

z

x

x

z

z

1 2 2 1 3 0 3

0 00

0 , , ; , , , , ;

(3.11)

Vectorul U , care are aceste componente, este o soluþie particularã a ecuaþiei

(3.8); dacã la U se adaugã gradientul unei funcþii C2

avem:

u U grad

(3.12)

care este de asemenea soluþie a ecuaþiei (3.8).

Observaþia 3.4. Un câmp solenoidal admite deci o infinitate de potenþiali vectori.

În unele probleme se cere ca ºi potenþialul vector sã fie un câmp solenoidal, adicã u sã fie soluþia sistemului:

rot u v div u ; 0

(3.13)

Cunoaºtem soluþia generalã a primei ecuaþii; va trebui determinatã funcþia

astfel ca sã fie satisfãcutã ºi a doua ecuaþie:

divU divgrad 0

care se mai scrie:

divU

(3.14)

Deci funcþia va trebui sã satisfacã o ecuaþie cu derivate parþiale de ordinul II de forma:

2

2

2

2

2

2x y zq x y z , ,

care se numeºte ecuaþia lui Poisson, admiþând o infinitate de soluþii.

3.3. Câmpuri biscalare


37

În general, un câmp vectorial v P se exprimã cu ajutorul a trei funcþii scalare

independente: v1, v2, v3, componentele sale faþã de un triedru fix sau mobil.

Definiþia 3.3. Câmpul vectorial v se numeºte biscalar dacã

v P poate fi

exprimat numai prin douã funcþii scalare independente (P) ºi F(P) sub forma:

v gradF

(3.15)

Redãm în cele ce urmeazã urmãtoarele proprietãþi:

i. în fiecare punct al domeniului D în care câmpul biscalar v P este definit,

v este

perpendicular pe rotorul sãu:

v rot v 0

(3.16)

Demonstraþie: fie v P un câmp biscalar:

v gradF ;

rot v grad gradF iD F

D y zjD F

D z xk

D F

D x y

,

,

,

,

,

,

cum ºi F sunt independente, aceºti determinanþi funcþionali nu pot fi toþi identici nuli

( rot v 0 ) dar:

v rot v gradF grad gradF 0

în toate punctele domeniului D.

ii. câmpurile biscalare admit o familie de suprafeþe, depinzând de un parametru,

ortogonale liniilor de câmp.

Demonstraþie: fie P0 un punct oarecare din domeniul D, prin acest punct trece o

suprafaþã de nivel a câmpului scalar F de ecuaþii:

F(x,y,z) = C

(3.17)

ºi o linie de câmp a vectorilor v P .


38

Vectorul v P0 este tangent în P0 liniei de

câmp, iar gradF P0 este normal suprafeþei de

nivel care trece prin acest punct. Dupã (3.16)

v P0 este coliniar cu gradF P0

deci suprafaþa

taie ortogonal linia de câmp.

Reciproc: dacã un câmp vectorial v P

admite o familie de suprafeþe ortogonale liniilor de câmp atunci v P este sau

irotaþional sau biscalar.

Dat fiind câmpul vectorial v P , ne punem problema determinãrii efective a

suprafeþelor ortogonale liniilor de câmp.

Fie dr idx jdy kdz diferenþiala vectorului de poziþie pentru o

deplasare pe suprafaþã. Deoarece în fiecare punct al suprafeþei, dr

este în planul tangent,

iar v P este normal, o condiþie necesarã ºi suficientã pentru ca suprafaþa sã fie

ortogonalã liniilor de câmp este:

vdr 0

(3.18)

Dacã v P este dat sub forma:

v v i v j v k 1 2 3 , aceastã relaþie se mai

scrie:

v1dx + v2dy + v3dz = 0 (3.18�)

Determinarea suprafeþelor ortogonale câmpului ºi integrarea acestei ecuaþii cu

diferenþiale totale sunt probleme echivalente.

Se observã cã relaþia (3.16) este o condiþie necesarã pentru ca v P sã fie

biscalar, ceea ce este echivalent cu faptul cã ecuaþia (3.18�) sã fie complet integrabilã.

Dacã existã o suprafaþã S ortogonalã liniilor de câmp, relaþia (3.16) aratã cã în fiecare

punct al suprafeþei S, rot v

este tangent suprafeþei (suprafeþele ortogonale liniilor de


39

câmp trebuie cãutate printre suprafeþele de câmp ale lui rot v

, care se mai numesc ºi

suprafeþe de vârtej).

DETERMINAREA UNUI CÂMP DE VECTORI DE ROTOR ªI DIVERGENÞÃ DATE

4.1. Generalitãþi. Unicitatea soluþiei pentru anumite condiþii la limitã

Problema se pune în felul urmãtor: sã se determine un câmp vectorial

3: Du

de clasã C2(D) care verificã:

rot u v

div u q

(4.1)

în toate punctele domeniului D.

Demonstraþie: Fie D R v 3 ;

ºi q fiind funcþii date de C1 (D).

Observaþia 4.1. Determinarea soluþiilor sistemului (4.1) poate fi redusã la douã

probleme mai simple, cãutând soluþii de forma:

u u u 1 2 (4.2)

cu

u irotaþional

u solenoidal1

2

pe D.

De aici rezultã cã u1 ºi u2 verificã pe D:

rot u div u q

1 10 , (4.3)

rot u v div u

2 2 0 , (4.4)

Aºa dupã cum se ºtie din paragraful 3.1. pentru câmpul vectorial u1 irotaþional

pe un domeniu simplu conex existã o funcþie : D R cu proprietatea:

u grad1 (4.5)


40

Observaþia 4.2. Dacã u1 ar fi dat, funcþia ar putea fi determinatã în afara unei

constante aditive printr-o integralã curbilinie independentã de drum:

MM

DrduM0

D;M oricepentru sifixat Mcu 01

cum u1 nu este

cunoscut funcþia urmeazã sã fie determinatã folosind a doua ecuaþie:

q (4.6)

(ecuaþia lui Poisson cu o infinitate de soluþii).

Problema rezolvãrii sistemului (4.4) a fost studiatã în 3.2.; u2 este un potenþial

vector al câmpului solenoidal v . Dacã

u0 este o soluþie particularã a primei ecuaþii (4.4),

soluþia generalã a acesteia este:

u u grad2 0 (4.7)

care introdusã în a doua ecuaþie din (4.4) ne dã:

div u

0 (4.8)

De aici se observã cã rezolvarea sistemului (4.4) s-a redus la integrarea unei

ecuaþii Poisson, deci ºi pentru acest sistem avem o infinitate de soluþii.

Observaþia 4.3. Problemele fizicii adaugã sistemului (4.1) condiþii noi care fac

ca u sã fie unic determinat, acestea se traduc prin anumite condiþii la care sunt supuse

funcþiile ºi pe frD, sau la mari distanþe.

Vom considera douã cazuri:

Propoziþia 4.1. Fie D un domeniu mãrginit având ca frontierã o suprafaþã închisã

. Dacã pe lângã sistemul (4.1) se dau pe valorile pe care le ia proiecþia lui u pe

normala n la aceastã suprafaþã:

u n u f Pn

(4.9)

atunci câmpul vectorial este unic determinat.

Demonstraþie: sã observãm mai întâi cã v , q, f nu pot fi date oricum: din prima

relaþie (4.1) rezultã cã v trebuie sã fie solenoidal în D, iar din a doua relaþie (4.1) ºi din

(4.9), þinând seama de formula integralã a divergenþei va trebui ca:


41

f P d q P dvD

Sã presupunem în cele ce urmeazã cã sistemul (4.1) cu condiþia (4.9) ar admite

douã soluþii u1 ºi u2 astfel încât:

rot u v

div u q

n u f P

rot u v

div u q

n u f P

1

1

1

2

2

2

în D.

De aici rezultã în domeniul D cã rot u u div u u

1 2 1 20 0 , , deci

u u grad1 2 , cu 0 ºi

d

dn

0, ceea ce ne aratã cã se reduce la o

constantã pe D.

Propoziþia 4.2. Sistemul (4.1) pe D R 3 cu condiþia

u P

A 1

(4.10)

pentru

OP R0, unde A, , R0 sunt constante strict pozitive; admite cel mult o

soluþie.

Demonstraþie: analog ca la propoziþia 4.1., adicã fie u1 ºi u2 douã soluþii ale

sistemului (4.1). Rezultã ca mai sus: u u grad1 2 , cu 0 pe D R 3

.

Din condiþia (4.10) rezultã:

u u u P u P

A1 2 1 2 1

2


42

sau încã

grad PA

21

(4.10�)

Sã cercetãm care este comportarea funcþiei )(P la mari distanþe, când gradientul sãu este supus condiþiei (4.10�). Funcþia )(P al cãrei gradient este 21 uu

, este determinatã în afara unei

constante aditive printr-o integralã curbilinie independentã de drum. Notând cu )(0 P

funcþia obþinutã când punctul iniþial este 0P :

PP

rduuP0

)()( 210

Sã luãm ca drum de integrare segmentul MP0 , parcurs pe semidreapta 0OP

pânã în punctul M situat la distanþa OPOM , urmat de arcul de cerc MP

cu centrul în O si de raza ñ (vezi figura)

avem

MP MP

rduurduuP0

)()()( 21210

de unde

MPMP MPMP

dsA

dsArduurduuP

o

1121210 22)(0

Pe segmentul MP0 , dds , iar pe arcul MP ñ este constant, deci

AAds

AdAP

MPo

211222)(

0 0

11

Notând cu )(P funcþia obþinutã din )(0 P când punctul iniþial 0P este

punctul I de la infinit al semidreptei )(


43

IP

rduuP

)()( 21

Din cele de mai sus rezultã cã: AP 2211

)(

Deci: dacã se cunoaºte grad pe D, funcþia este determinatã în afara unei

constante aditive.

4.2. Determinarea unui câmp irotaþional de divergenþã datã în tot spaþiul R3

Sã considerãm sistemul:

rot u div u q pe R 0 3,

(4.11)

ºi condiþia:

u P

A 1

(4.12)

pentru OP R0, unde A, , R0 sunt constante strict pozitive date.

Vom presupune cã q este o funcþie datã, de clasã C3(R3) ºi satisface o condiþie de

forma:

q Pk

2

(4.13)

pentru OP R0, unde k ºi sunt constante strict pozitive, 0 < <1.

Are loc:


44

Propoziþia 4.3. În condiþiile enunþate mai sus soluþia sistemului (4.11), care

satisface (4.12) este datã de:

u M q Pr

rd P

R

1

4 3

3

(4.14)

r MP

pentru orice M R 3.

Demonstraþie: aºa dupã cum am vãzut în paragraful 3.1. din (4.11) avem:

u grad

(4.15)

unde este o soluþie a ecuaþiei lui Poisson:

q în R3 (4.16)

Folosind relaþia (4.15) din (4.12) avem:

u P grad

A

1

(4.17)

Deoarece expresia unei funcþii intereseazã

în afara unei constante aditive, putem lua orice

punt ca punct iniþial. Vom considera domeniul R3

ca provenind din interiorul al unei sfere S cu

centrul în M ºi de razã a, când a ca în

figura alãturatã.

Deoarece, pentru punctele P de pe sferã:

r MP a

d

dn a

r

;1

2

1

avem conform celei de-a doua formule a lui Green cã:


45

P

SP

S

P dr

PqdP

ad

nd

d

aM

4

1

4

1

4

12 (4.18)

Sã cercetãm ce devin aceste integrale a ; avem evident cã:

d

dnn grad

A A

1

01

cu 0 0

OP fiind cea mai micã valoare a lui .

Dacã notãm cu d OM a d

; 0 avem:

1

2

1

0

44

1

4

1

4

1

da

aAa

A

ad

nd

d

ad

nd

d

aS

P

S

P

1

4

1

4

1

44

2 2 20

2

a

P da

P da

Ba

B

a dP

SP

S

Se observã cã primii doi termeni din (4.18) tind cãtre zero pentru a , deci:

M

q P

rd P

R

1

43

(4.19)

(dacã aceastã integralã este convergentã).

În condiþiile enunþate cu privire la q integrala (4.14) este uniform convergentã,

deci gradientul funcþiei (4.19) se poate obþine derivând sub semnul de integrare:

u M grad M q P grad

rdM

R

P

1

4

1

3

cum


46

gradr

gradr r

grad rr

rM P

1 1 12 3

obþinem (4.14).

4.3. Determinarea unui câmp solenoidal de rotor dat

Sã considerãm sistemul:

div uR D

0

3 pe R rot u =

v pe D

0 pe D 3

1

,\

(4.20)

unde D este un domeniu mãrginit de o suprafaþã închisã cu normala n continuã pe

porþiuni. Funcþia datã

v D D V: 3 o presupunem de clasã C D1 ºi

îndeplinind condiþia:

n v

0

(4.21)

Propoziþia 4.4. În condiþiile de mai sus, o soluþie a sistemului (4.20) în mulþimea

funcþiilor de clasã C2 pe D este:

u Mr v P

rd P

D

1

4 3

(4.22)

Demonstraþie: aºa dupã cum se ºtie din (3.2) orice soluþie a primei ecuaþii (4.20)

este de forma:

u rot w w C D , 2

(4.23)

Vom construi soluþia sistemului (4.20) folosind numai funcþii w pentru care:


47

div w 0

(4.24)

pe D D 1 .

Introducând (4.23) în (4.20) avem:

rot rot wv pe D

pe D

0 1

(*)

sau þinând seama cã rot rot w graddiv w w avem:

wv pe D

pe D

0 1

(4.25)

Aceastã ecuaþie raportatã la triedrul i j k, , se desface în trei ecuaþii scalare de

tip Poisson care admit soluþiile:

wV P

rdk

kP

D

1

4

de unde rezultã cã ecuaþia (4.25) admite o soluþie de forma:

w M

v P

rd r MPP

D

1

4 ;

(4.26)

Pentru a demonstra cã aceastã funcþie este soluþia ecuaþiei (*) este suficient sã

demonstrãm cã div w pe D D

0 1 . Avem în acest scop:

divw M divv P

rd v P grad

rdM P

D

M

D

P

1

4

1

4

1

Folosind relaþia:


48

3

11

r

r

rgrad

rgrad PM

ºi condiþia divv 0 , ultima identitate se mai scrie:

div w M div

v P

rd

n v P

rdP P

D

G O

P

1

4

1

4

Þinând seama de n v

0 rezultã:

div w M

0

pe D D 1 .

Din (4.23) ºi (4.26) deducem cã:

u M rot

v P

rd grad

rv P dM

D

P M

D

P

1

4

1

4

1

relaþie echivalentã cu (4.22).

CÂMPURI DISCONTINUE

5.1. Divergenþa de suprafaþã

Acest paragraf se ocupã de câmpuri scalare ºi câmpuri vectoriale discontinue la

traversarea unei suprafeþe .

Fie o suprafaþã situatã într-un domeniu D ºi având normala n continuã. Pe

suprafaþa distingem o faþã negativã (sau faþa 1) ºi o faþã pozitivã (sau faþa 2), cu

precizarea cã traversarea suprafeþei în sensul n se face trecând de pe faþa negativã pe faþa

pozitivã.


49

Sã considerãm un câmp vectorial Mvv

definit în domeniu D cu

urmãtoarele propreietãþi:

i. oricare ar fi P de pe suprafaþa , existã o sferã cu

centrul în P în interiorul cãreia avem:

v M A (5.1)

ii. v este continuu în D \ .

Când P se deplaseazã pe suprafaþa , v P

este de asemenea continuu. La traversarea suprafeþei ,

v M este discontinuu.

Fie P . Considerãm o sferã cu centrul P ºi de razã suficient e micã astfel

încât interiorul sferei sã fie împãrþit de suprafaþa în douã regiuni, din una se vede faþa 1

a suprafeþei, iar din cealaltã faþa 2. Avem:

v Mv P când M P pe faþa

v P când M P pe faþa

1

2

1

2 (5.2)

Definiþia 5.1. Câmpul vectorial 3: Dv

se numeºte discontinuu în punctul

P dacã v P v P1 2 .

Studiem în cele ce urmeazã cazul:

n v P n v PP P 1 2 (5.3)

unde nP este normalã în P.

Pentru aceasta considerãm o micã porþiune S din suprafaþa mãrginitã de o curbã

închisã C ºi conþinând punctul P, dacã toate punctele curbei C sunt suficient de apropiate

de P, paralele la nP duse prin punctele porþiunii S nu mai intersecteazã a doua oarã

suprafaþa S.


50

Pe aceste paralele la nP vom lua de o parte ºi

de alta segmente egale cu h

2, extremitãþile acestor

segmente genereazã suprafeþele S1 ºi S2 de arii egale

cu S, deoarece se obþin din S prin douã translaþii

caracterizate de vectorii n

h

2. Segmentele ce trec

prin curba C genereazã o suprafaþã Sl.

Sã cercetãm ce devine fluxul al câmpului vectorial v M prin suprafaþa

închisã formatã de S1 S2 Sl când h 0 , normala n fiind dirijatã spre exteriorul

domeniului mãrginit de aceastã suprafaþã:

v n vd n vd n vd

S S Sl

1 2

(5.4)

Deoarece v ºi

n sunt continue pe S1 ºi pe S2, produsul scalar al lor este o

funcþie continuã; deci putem aplica primelor douã integrale din (5.4) formula de medie:

n vd n v S

n vd n v S

S M

S M

1 1

2 2

(5.5)

Se observã cã pentru h 0 , M P S1 ' iar M P S2 "

;v va tinde

respectiv cãtre valorile v P v P1 2

' ", , deoarece S1 tinde cãtre faþa 1 a suprafeþei S,

iar S2 cãtre faþa 2.

Dacã notãm cu nP normala la suprafaþã în punctul P dirijatã dinspre faþa 1 spre

faþa 2 avem:


51

"

20

'

10

"

2

'

1

lim

lim

PvnSdvn

PvnSdvn

PS

h

PS

h

(5.6)

Integrala pe Sl tinde cãtre zero când h 0 deoarece:

lSSS

SAdvdvndvnlll

)1.5(

(S când hl 0 0 ).

Prin urmare fluxul prin suprafaþa închisã se reduce când h 0 la fluxul s prin

cele douã feþe ale suprafeþei S:

s p pS n v P n v P

" '

" '2 1 (5.7)

s

S - fluxul mediu pe unitatea de suprafaþã.

Definiþia 5.2. Se numeºte divergenþã de suprafaþã a câmpului vectorial v M

în punctul P limita raportului s

S când S 0 (unde (S) este diametrul porþiunii

de suprafaþã S) astfel încât toate punctele curbei C sã tindã cãtre P adicã:

div vS

Sn v P v PS

P SP

lim

02 1

(5.8)

aceasta când toate punctele curbei C tind cãtre P punctele P1 ºi P2 tind cãtre P, iar funcþiile

v1, v2 ºi n continue pe vor tinde cãtre valorile lor în P.

Observaþia 5.1. Divergenþa de suprafaþã este nulã atunci ºi numai atunci când

v P1 ºi

v P2 au proiecþii egale pe normala în P la suprafaþã.

Observaþia 5.2. La traversarea suprafeþei , când componenta normalã a

vectorului v M prezintã o discontinuitate manifestatã printr-un salt finit, fluxul total


52

din cele douã feþe ale suprafeþei este diferit de zero. În mecanica fluidelor acest fapt se

atribuie existenþei unei distribuþii continue de surse pe suprafaþa , caracterizatã prin

expresia (5.8).

Observaþia 5.3. În mod analog se definesc rotorul de suprafaþã ºi gradientul de

suprafaþã:

rot v n v P v PsP

p

2 1

(5.9)

grad n P PsP

p

2 1

(5.10)

Se porneºte de la integralele de suprafaþã, folosite în definiþia rotorului ºi a gradientului ca

derivate spaþiale, extinse la suprafaþa închisã S1 S2 Sl. Când 0h integrala pe Sl

tinde cãtre 0 ºi rãmân numai limitele integralelor pe S1 ºi S2

5.2. Câmpuri nestaþionare

O funcþie scalarã batDPtP ,;;, defineºte pentru fiecare

valoare a lui t din intervalul [a,b] un câmp scalar în domeniul D.

În aceleaºi condiþii tPww ,

defineºte un câmp vectorial în domeniul D

pentru fiecare valoare a lui t din intervalul [a,b].

Câmpurile definite mai sus se numesc câmpuri variabile (nestaþionare).

Observaþia 5.4. Parametrul t reprezintã timpul; vom considera numai cazul

câmpurilor date prin funcþii de forma:

P t w w P t cu P D, ; , ºi t a,b

(5.11)

Dacã faþã de un sistem Oxyz avem P P x y z , , ºi x y z t, , ; atunci:


53

dx

dxy

dyz

dzt

dt

(5.12)

este diferenþiala într-un punct P x y z0 0 0 0, , la momentul t0.

Sã urmãrim variaþia funcþiei =(P,t) când P se aflã în miºcare cu viteza v ; fie:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) ecuaþiile curbei descrise de punctul P, viteza v va avea

componentele: x�(t), y�(t), z�(t) faþã de triedrul Oxyz.

Avem:

dx

x ty

y tz

z tt

dt v gradt

dt

' ' '

de unde:

d

dtv grad

t

(5.13)

cu: d

dt

- derivata substanþialã a câmpului;

t

- derivatã localã

Cum v grad v v - (derivata câmpului scalar în raport cu

v )

relaþia (5.13) devine: tt

vdt

d

)(

(5.13�)

În cazul unui câmp vectorial nestaþionar tPww ,

, avem urmãrind vectorul

w ataºat punctului P în miºcare cu viteza

v v i v j v k 1 2 3 diferenþiala sa:

dtt

wwv

dtt

w

z

wv

y

wv

x

wvdt

t

wdz

z

wdy

y

wdx

x

wwd

321

d

eci:


54

dw

dtv w

w

t

(5.14)

cu dt

wd

- derivata substanþialã; t

w

- derivata localã; wv

)( - derivata lui w

în raport

cu v

.

A. Derivata circulaþiei unui câmp vectorial nestaþionar.

Sã considerãm funcþia w P t, cu derivate parþiale de ordinul întâi continue; aºa

dupã cum se ºtie ºi þinând seama de definiþia circulaþiei avem:

t w P t drL t

, (5.15)

pe un drum L(t) de extremitãþi A ºi B.

Presupunem arcul de curbã format

din puncte materiale în miºcare. Notãm cu

v P viteza punctului P de pe curbã.

Integrala (t) va fi funcþie de t din douã

motive: drumul L(t) variazã cu t, iar

câmpul w P t, este nestaþionar.

Pentru a calcula derivata lui (t)

vom considera cazurile:

i. când L fix, iar w P t, nestaþionar:

1 t w P t drL

,

(5.16)

de unde se obþine evident:


55

d t

dt

w P t

tdr

L

1

,

(5.17)

(s-a folosit formula de derivare stabilitã la integralele depinzând de parametru)

ii. când w w P este un câmp staþionar, iar arcul de curbã L(t) variazã cu timpul t.

Va trebui sã calculãm derivata funcþiei:

tL

rdPwt

2

(5.18)

În momentul t + t noul drum va fi L(t + t) de extremitãþi A� ºi B� (ca în figura

de mai sus), avem:

ttL

rdPwtt

2

Dacã t este suficient de mic, noua poziþie P� a punctului P poate fi aproximatã

prin vectorul:

PP v t t'

(5.19)

În particular: AA v A t BB v B t' ';

. (5.19�)

Calculãm variaþia integralei )(2 t

2 2t t t wdr wdr wdr wdr wdr wdr wdr

A B AB A B BA C BB AA

' ' ' ' ' '

(*)

C fiind conturul închis ca în figura de mai sus.


56

Notând cu suprafaþa generatã de PP '

când P descrie arcul AB ºi aplicând

primei integrale formula lui Stokes rezultã:

wdr n rot w d

C

Luând ca element de suprafaþã d aria descrisã de PP '

pentru o deplasare ds a

punctului P pe arcul AB avem:

n d PP dr v P dr t

'

ºi cu aceasta integrala de suprafaþã se transformã intr-o noua integralã pe L(t)

w dr t rot w v dr t rot w v dr

C L t L t

Celorlalte integrale din (*) le aplicãm teorema mediei.

Fie a b, versorii vectorilor AA BB' '

ºi , existã douã puncte A1 ºi B1 pe

segmentele AA� ºi BB� astfel ca:

'

1'1''

)( AAAwdswadswardwAAAAAAA

'

1'1''

)( BBBwdswbdswbrdwBBBBBBB

Cum AA v A t'

ºi BB v B t'

avem:

2 21 1

t t t

trot w v dr w B v B w A v A

L t


57

Când t 0 , A� tinde cãtre A, deci A1 tinde cãtre A, datoritã continuitãþii

w A1 va tinde cãtre

w A , analog w B1 va tinde cãtre

w B , deci:

d

dtrot w v dr w B v B w A v A

L t

2

Þinând cont cã:

w v w v grad w v dr

B A AB

avem

d

dtrot w v grad w v dr

L t

2

(5.16)

iii. cazul general când ºi w w P t , este nestaþionar ºi L(t) variazã þinând cont de

cazurile i. ºi ii. avem:

d

dt

w

trot w v grad w v dr

L t

(5.17)

B. Derivata unui flux în cazul unui câmp nestaþionar

Fie ),( tPww

un câmp vectorial nestaþionar ºi )(t o suprafaþã deschisã, mãrginitã de o curbã închisã )(tCC . Vom presupune cã suprafaþa Ó este formatã tot timpul din aceleaºi puncte materiale P care se deplaseazã în spaþiu cu viteza v

ºi cã are normala continuã n

. Aºa dupã cum se ºtie avem:

)(

),()(t

dtPwnt (5.18)

care va fi o funcþie de timp. Deplasarea punctului P în timpul t dacã t este suficient de mic poate fi

aproximatã prin vectorul tPvPP )(' ca în figura


58

Noile poziþii 'P ale punctelor P formeazã o nouã suprafaþã )( tt . Avem

cazurile: i) când Ó este fixã ºi ),( tPww

, deci

dtPwnt ),()(1

(5.19)

de unde

d

t

wn

dt

td

)(1 (5.20)

ii) când )(Pww

, iar )(t avem

)(

2 )()(t

dPwnt (5.21)

ºi deci

)( )(

22 )()(')()(tt t

dPwndPwnttt , am

notat cu 'n

normala la )(' tt .

Fie lS '.

Putem scrie:

S l

dPwndPwnttt )()()()( 22

.

Prima integralã se poate transforma într-o integralã de volum, folosind formula lui Gauss-Ostrogradski:

S

dwdivdPwn )()(

cu tdPvndPPnd )('

, deci:

S t

dnwdivvtdPwn)(

)()( .

Cum trdPvPPrddnl

)('


59

avem

)(

)(t

dvwrotntwnl

.

Deci

)(

22 )()()()(t

dvwrotwdivvntttt

sau evident:

)(

2 )()()(t

dvwwvvdivwndt

d

iii) când ºi câmpul ºi suprafaþa Ó variazã cu t

)(

)()(t

dvwvdivwdt

wdn

dt

d

Probleme rezolvate 1. Se considerã câmpul vectorial:

v

=grad( c

grad u), unde kjic

, iar

u

= x12

1 4-6

1x3(y+z)+ x

2

1 2yz +f(y-x , z-x),

f fiind o funcþie derivabilã. i) Sã se afle mãrimea ºi direcþia câmpului v

în punctele A(1,2,0) ºi B(2,1,3)

ii) Sã se gãseascã liniile de câmp ale câmpului vectorial v

ºi apoi sã se determine suprafaþa de câmp ce trece prin elipsa : z=1 , x2+4y2=1.

Rezolvare: Mai întâi sã gãsim expresia câmpului vectorial í; cum:

3

2 ' '1 2

3 2 3 2' '

1 2

3

6 2 6 2

u u u xcgradu x y z xyz f f

x x z

x x z x x yf f xyz

rezulta: kxyjxziyzv

i) Þinând seama de cele de mai sus , avem

v

(A)=2 k

si v

(B)= kji

263

si v

(A) are direcþia axei Oz ºi mãrimea 2 , iar v

(B) are mãrimea 7 ºi direcþia de

cosinusuri directoare 7

3 ,

7

6 ,

7

2.


60

ii) Ecuaþiile diferenþiale ale liniilor de câmp sunt:

xy

dz

xz

dy

yz

dx

Din primul ºi al doilea raport avem:

x

dy

y

dx , de unde : y2-x2=C1

analog din primul ºi al treilea raport obþinem:

x

dz

z

dx , de unde z2-x2=C2

Prin urmare liniile de câmp au ecuaþiile

222

122

Cxz

Cxy

Pentru a gãsi suprafaþa de câmp ce trece prin elipsa din enunþ , impunem ca sistemul:

14

122

222

122

yx

z

Cxz

Czy

sã fie compatibil , de unde obþinem suprafaþa de ecuaþie : 045z-4yx 222 2. Sã se determine suprafaþa de câmp a vectorilor v

(M)=grad f grad g , care trece prin

curba de ecuaþii

1

0:

xy

z, unde f(M)=x+y+z , g(M)=xy+yz+zx.

Rezolvare : Þinând seama de expresia cartezianã a gradientului avem:

grad f= kji

, grad g=(y+z) i

+(x+z) j

+(x+y) k

, ºi

ky)-(x+jx)-(z+iz)-(y=gradg gradf=(M)

v .

Ecuaþiile diferenþiale ale liniilor de câmp sunt:

yx

dz

xz

dy

zy

dx

, care integrate ne dau liniile de câmp:

2222

1:Czyx

CzyxC


61

Suprafaþa de câmp cerutã este generatã de liniile de câmp (C), care se sprijinã pe curba (Ã) .

Astfel avem sistemul

0z

1xy

Czy x

Czyx

2222

1

Eliminând pe x,y,z între ecuaþiile acestui sistem , obþinem condiþia de compatibilitate a sistemului sub forma : 22

21 CC

Eliminând pe C1 si C2 din aceasta relaþie ºi ecuaþiile (C) obþinem suprafaþa de câmp :

(S): xy+yz+zx-1=0. 3. Se considerã câmpul vectorial :

kz

yxj

z

yi

z

xv

2

22

22

Sã se arate cã v

este irotaþional în semiplanul z>0 ºi apoi sã se determine funcþia de forþã . Rezolvare: Avem prin calcul direct cã :

0

222

22

z

yx

z

y

z

xzyx

kji

vrot

Funcþia de forþã este :

dtt

yxdt

z

tdt

z

tzyxP

x

x

y

y

z

z

0 0 0

2

22

00

22),,()( =

Cz

yx

zzyxyy

zxx

z

22

0

2220

2

0

20

2

0

11)()(

1)(

1

unde am notat :

0

20

20

z

yxC


62

4. Fie ky)xy(xjz)xz(xiz)yz(y

v Sã se determine suprafeþele ortogonale

liniilor de câmp ºi apoi sã se scrie: v

=ë grad F Rezolvare: Prin calcul direct avem:

rot v

=2x(y-z) i

+2y(z-x) j

+2z(x-y) k

de unde: v

rot v

=0 , deci v

este un câmp biscalar ºi admite o familie de suprafeþe ortogonale liniilor de câmp. Liniile de câmp ale lui rot v

sunt soluþiile sistemului :

)()()( yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

ºi anume x+y+z=C1 ; xyz=C2 (C1 , C2-

constante). Se observã cã : rot v

grad (x+y+z)=0 , rot v

grad (xyz)=0

Putem descompune v

dupã direcþiile vectorilor grad (x+y+z) ºi grad(xyz): v

=ágrad(x+y+z)+âgrad(xyz) de unde , calculând gradienþii ºi identificând cu v

dat iniþial , obþinem :

á=-xyz ,â=x+y+z, deci : v

=-xyz grad (x+y+z)+(x+y+z) grad (xyz). Cu aceasta ecuaþia cu diferenþialele totale v

d r

=0 devine : (x+y+z)d(xyz)-(xyz)d(x+y+z)=0

Integrala generala a acestei ecuaþii este :

Cxyz

zyx

(C � constantã)

Câmpul vectorial se poate scrie sub forma:

v

= ë gradxyz

zyx , ë determinându-se prin identificare :

ë=-(xyz)2, deci v

= -x2y2z2 gradxyz

zyx

5. Sã se determine integrala generalã a ecuaþiei :

y

zzy

x

zzx x2+y2

precum ºi suprafaþa integralã ce trece prin curba:

12

1:

22 xyyx

z

Rezolvare: Sistemul diferenþial al caracteristicilor este:


63

22 yx

dz

zy

dy

zx

dx

, care poate fi scris sub forma mai convenabilã:

22 yx

zdz

y

dy

x

dx

Din egalitatea primelor douã rapoarte se obþine: xy=C1 Amplificând cele trei rapoarte cu x ; -y ; -1 ºi fãcând raportul dintre suma

numãrãtorilor ºi suma numitorilor, noul numitor trebuie sã fie nul, adicã: xdx-ydy-zdz=0

Integrând se obþine: x2-y2-z2=C2, de unde se obþine soluþia generalã a ecuaþiei de forma:

Ö(xy , x2-y2-z2)=0 Suprafaþa integralã care trece prin curba datã poate fi obþinutã din integrala

generalã , punând condiþia ca hiperbola Ã sã se afle pe aceasta suprafaþã ; se obþine conul cu vârful în origine:

z2=x2-y2-2xy. 6. Sã se determine integrala generalã a ecuaþiei :

22 zyxazy

zy

x

zx

Rezolvare: Sistemul diferenþial al caracteristicilor este:

22 zyxaz

dz

y

dy

x

dx

Din acest sistem se deduce:

2222zyxaz

zdz

y

ydy

x

xdx

sau

2222222 zyxaz

dz

zyxazzyx

zdzydyxdx

sau

222222 zyxaz

dz

zyxazzyx

zdzydyxdx

sau

2222

22

zyxaz

dz

azzyx

zyx

zdzydyxdx

x

dx

zyxaz

dz

zyxazazzyx

dzzyx

zdzydyxdx

222222

22


64

din primul ºi ultimul raport rezultã

x

dx

zyxa

dzzyx

zdzydyxdx

22

22

1

de unde, prin integrare se obþine cã :

2222 lnln)1(ln Cxazyxz sau

12

222 axCzyxz

Din primele rapoarte ale sistemului caracteristicilor rezultã y=C1x. Ecuaþia suprafeþelor integrale este:

x

yfxzyxz a 1222

7. Sã se determine integrala generala a ecuaþiei:

02222

y

zxzy

x

zxzxy

precum ºi suprafaþa care conþine elipsa :

222 44

0:

azy

x

Rezolvare: sistemul diferenþial al caracteristicilor este:

0)(2222

dz

xzy

dy

xzxy

dx

se observa imediat ca z=C

Din primele doua rapoarte avem:

22222 2

2)(2

2

)(2

2

2

ycxx

ydydxcx

ycxx

dxcx

y

ydy

122 ln)2ln(ln Ccxyxy

Prin urmare , suprafeþele integrale x2+y2-2yf(z), sunt generate de cercurile al cãror plan rãmâne paralel cu planul xOy ºi al cãror centru in x=y=C , y=f(z), descriu o curbã în planul x=z.

Suprafaþa care conþine elipsa Ã este:

22

222 azayzx 8. Se considerã câmpurile de vectori :

u

=ö(r) r

; v

=ö(r)( ra

) unde ö este o funcþie derivabilã oarecare, iar a

un vector constant;

Se cere:


65

i) Sã se arate cã u

este un câmp irotaþional , iar v

este solenoidal. ii) Sã se determine funcþia ö(r) astfel ca : div u

=ö(r)

iii) Daca ö(r) este funcþia gãsitã la punctul ii), atunci au loc relaþiile: (1)

dgradradn )(

(2)

c

dgradnardrot

unde în prima relaþie Ù este un domeniu mãrginit de suprafaþa Ó , iar cea de-a doua Ó este o suprafaþã deschisã , mãrginitã de curba C. Rezolvare :

i) Cum : rot r

=0 iar, grad ö(r)=ö�(r)r

r , avem

rot u

=ö(r) rot r

+grad ö(r) r

=0 Deoarece : div v

=ö(r) div ( ra

)+( ra ) grad ö (r) , iar

div ( ra

)= r

rot a

� a

rot r

=0 , obþinem divv

=0 ii) Avem:

div u

=ö(r) div r

+ r

grad ö (r)=3 ö(r)+r ö�(r) Problema gãsirii funcþiei ö(r) revine la a rezolva ecuaþia diferenþialã:

3ö(r)+rö�(r)=ö(r) sau rö�(r)+2ö(r)=0

Integrând aceastã ecuaþie , obþinem (3) 2r

Cr

iii) Pentru a demonstra relaþia (1) folosim formula rotorului

(4)

drotdn

cum rr

Ca

2

,rezultã

rarrar

Ca

r

Crot

2

42

22 sau

rrar

Crot

4

2

care se mai scrie , þinând seama de relaþia (3), sub forma : (5) rot v

=-( ra

) grad ö(r) Înlocuind (5) în (4) obþinem relaþia (1) Pentru a demonstra relaþia (2) vom folosi formula lui Stokes Sã calculãm mai întâi

rrar

Cgradrrotra

r

Crotrot

44

22

Þinând seama de relaþia grad (öø)=ö grad ø + ø grad ö , avem:


66

rr

Cgradrara

r

cgradrra

r

cgrad

444

222=

= rar

Crr

r

Craa

r

C

464

28)(

2

deci rar

Crotrot

4

2

Formula lui Stokes devine în acest caz:

c

dnvrotrotrdrot ºi deoarece

)()( rgradnanargrad

,avem

drgradnadnargrad )()(

9. Sã se calculeze circulaþia vectorului : kyzjxyixv

2 de-a lungul conturului închis ABCA din figura de mai jos, unde arcul (BC) este un sfert din cercul cu centrul în origine ºi de raza 1 , cuprins în planul yOz , apoi sã se verifice rezultatul folosind formula lui Stokes Rezolvare: Þinând seama de definiþia circulaþiei avem:


67

Ã= )( )(ABCA ABCA

rd x2dx+xydy-yzdz=

)( )( )(AB BC CA

rdrdrd =Ã1 +Ã2 +Ã3

Segmentul de dreaptã

1

0:

yx

zAB si deci

Ã1 = )( AB

x2dx+xydy-yzdz= 1

0

-(1-y)2dy+ (1-y)ydy= 1

0

(-1+3y-2y2)dy =6

1

Pentru arcul (BC) avem ecuaþiile parametrice:

sin

2,0,cos

0

z

cuy

x

deci:

3

1sincos

2

0

2

)(

22

dyzdzxydydxxBC

Segmentul de dreaptã

1

0:

zx

yCA ºi deci

Ã3= )(

1

0CA

rd x2dx=

3

1

Ã= Ã1 +Ã2 +Ã3=6

1

Sã verificam cele obþinute cu formula lui Stokes

Avem : rot kyizv

. Notãm cu S suprafaþa laterala a sfertului de con cu vârful în A ºi având ca directoare cercul x=0 , y2+z2=1 este y2+z2=(1-x)2

Reprezentarea parametricã a suprafeþei S este:

x=ñ ; y=(1-ñ) cos ö ; z=(1-ñ) sin ö cu

2,0,1,0

aºa ca elementul de arie este:

ddddFEGd 122

Normala la suprafaþa face cu axa Ox un unghi de 45o , prin urmare :


68

kjin sincos

2

2 , deci:

S

ddnkidnrot1

0

2

0

12cos1sin1

=

= 1

0

2

0

2

6

1cossinsin1

dd

10. Sã se calculeze fluxul câmpului : kxyjxyizxv

prin suprafaþa limitatã de planele de coordonate , planul z=h ºi sfertul de cilindru x2+y2=a2 din primul octant al sistemului de axe , apoi sã se verifice rezultatul aplicând formula lui Gauss Ostrogradski. Rezolvare: Avem:

flux(OABCDE)( v

)= flux(OAB)( v

)+ flux(OBCE)( v

)+ flux(OADE)( v

)+ flux(DCE)( v

)+

+flux(ABCD)( v

) Dar :

flux(OAB)( v

)= )(OAB

n

dó

unde kn

este normala la planul yOx , iar dó este elementul de suprafaþã în acest plan , adicã dó=dxdy . Cum (AOB) este situat în planul xOy (z=0) , rezultã

nv =-yz=0,


69

de unde: flux(OAB)( v

)=0 În mod analog :

flux(OBCE)( v

)= )(OBCE

nv dó=

)(OBCE

)( iv dydz=0 , (deoarece x=0);

flux(OADE)( v

)= )(OADE

nv dó=

)(OADE

)( jv

dxdz=o , (deoarece y=0).

Mai departe :

flux(DCE)( v

)= )(DCE

nv dó=

)(DCE

kv dxdy=

= )(DCE

yzdxdy=h )(DCE

ydxdy , deoarece (DCE) se aflã în planul z=h.

Cum:

3

3

00)(

22

aydydxydxdyxaa

DCE

, avem flux(DCE)( v

)=3

3ha

Trebuie sã calculãm : flux(ABCD)( v

)=

)( ABCD

nv dó , unde n┴Oz , aºa cã deducem:

2,0,sincos

ujuiun

Reprezentarea parametricã a porþiunii de cilindru fiind : x=a cosu , y=a sinu z=v

cu hu ,0,2

,0

si dudFEGd 2 , unde

2222

au

z

u

y

u

xE

0

z

u

zy

u

yx

u

xF

1222

zyx

G

Deci:

flux(ABCD)( v

)= )( 0

2

0

222 cossincosABCD

h

dudvuuauadn

=

=38

322 haha


70

Prin urmare :Ö=8

a2h2+

3

2a3h.

Folosind formula lui Gauss Ostrogradski: S

nv dó=

D

div v

dù ºi þinând

cont cã : div v

=x+y+z , avem:

)( 00

22

)()(OABCDE

xa

a

ah

dyzyxdxdzdzdydzzyx =

= ahahah

dxxazdzdxxadzdxxaxdz0

22

00

22

00

22

0

)(2

1

Însã

a a

dtttadxxax0

32

0

2322

3cossin

a a

dxxa0

322

3

2

a a

tdtadxxa0

2

0

22222

4cos

Prin urmare

hahaa

ha

ha

h 3223

233

3

2

842

1

3

2

2

1

3

Probleme nerezolvate 1.Sa se demonstreze cã:

( r )rn=nrn,

unde r

este vectorul de poziþie.

2.Sã se calculeze gradienþii câmpurilor scalare : i)ö(x,y,z)=xyz ex+y+z

ii)ö(x,y,z)=arctgxzyzxy

xyzzyx

1

iii)ö(x,y,z)=f(x,xy,xyz) iv)ö(x,y,z)= f(x+y+z,x2+y2+z2)


71

3.Sã se gãseascã unghiul dintre gradienþii câmpului :

222),,()(

zyx

xzyxP

în punctele A(1,2,2) ºi B(-3,1,0)

4.Se dau funcþiile :

ö=r

1ø=| rc

|2 , unde:

kjic

ºi kzjyixr

. Sã se determine liniile de câmp , ale câmpului vectorial :

v

=grad ögrad ø ºi suprafaþa de câmp ce trece prin curba :

023:

222 zyxzyx

yx

5.Sã se determine suprafaþa de câmp a câmpului vectorial: v

=grad (xyz), care trece prin hiperbola : z=0 , 2x2-3y2=1 6.Dacã ö este o funcþie armonicã , iar r

este vectorul de poziþie, atunci avem:

grad ( r

grad ö)+rot( r grad ö)+grad ö=0

7.Sã se arate cã urmãtoarele câmpuri sunt irotaþionale ºi sã se determine potenþialul fiecãrui câmp :

i)2221 zyx

kxzjzxiyz

ii) v

=vers r

iii) v

=zyx

kji

8.Fie câmpul vectorial kyxjyixzv

)()(2 22 ; se cere: i)Sã se determine liniile de câmp ºi suprafeþele ortogonale liniilor de câmp ; sã se scrie v

=ë grad F; ii)Care sunt funcþiile ö=ö(x,y,z) pentru care : ),,()(2 zyxkjyixv

admite

suprafeþe ortogonale liniilor de câmp. 9.Se considerã câmpul vectorial: v

=grad ö(r) + ö(r) grad ø(r) , unde ö ºi ø sunt douã funcþii derivabile arbitrare , se cere sã se demonstreze: i) v

rot v

=0

ii)

C

rdvdnrgradv )]([


72

pentru orice suprafatã deschisa (Ó) mãrginitã de o curbã oarecare (C). 10. Sã se calculeze fluxul câmpului v

=(xyz) r

, cu r

-vectorul de poziþie , prin suprafaþa

limitatã de planele de coordonate ºi sfertul de sferã x2+y2+z2=1 din primul octant.

CALCUL OPERAÞIONAL _______________________________________________________________

73

CALCUL OPERAÞIONAL

SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER

Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã seria Fourier a unei funcþii periodice; 2. Sã defineascã integrala Fourier; 3. Sã defineascã transformata Fourier 4. Sã defineascã transformata Laplace; 5. Sã defineascã teoremele folosite în calculul operaþional; 6. Sã rezolve ecuaþii diferenþiale ºi integrale folosind transformata Laplace. 7. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina 116.

6.1. Seria Fourier a unei funcþii periodice Fie f o funcþie realã sau complexã definitã pe R ºi periodicã

Definiþia 6.1. Se numeºte serie trigonometricã o serie de funcþii de forma:

a a k t b k tk kk

01

cos sin

(6.1)

unde a0, ak, bk, sunt constante reale, iar t o variabilã realã.

Observaþia 6.1. Funcþiile:t→cost; t→sint sunt periodice de perioadã 2; funcþiile

t→cos t, t→sin t au perioada T 2

, deoarece:

cos cos cos

t t t

22

sin sin sin

t t t

22


74

La fel se aratã cã funcþiile t→cos kt, t→sin kt cu k N au perioada

TT

k kk 1 2

.

Þinând seama de observaþia 6.1. se poate afirma cã: dacã seria trigonometricã

(6.1) este convergentã într-un punct t0, iar suma sa este S(t0) atunci seria va fi convergentã

ºi în punctele t0 + nT, n Z ºi avem:

S t nT S t0 0

De aici rezultã cã este suficient sã cunoaºtem natura seriei într-un interval , T

pentru a putea spune care este natura seriei pentru orice t R .

Observaþia 6.2. Seriile trigonometrice se întâlnesc în studiul fenomenelor

periodice din acusticã, electrotehnicã etc. unde se pune problema reprezentãrii unei

funcþii periodice f printr-o serie de forma (6.1):

f t a a k t b k tk kk

01

cos sin (6.2)

Problema expusã în observaþia 6.2. se poate împãrþi în douã:

i. dacã f este egalã cu suma unei serii trigonometrice, sã determinãm coeficienþii a0, ak,

bk dupã cum urmeazã:

Presupunem cã f este integrabilã pe , T ºi cã seria (6.2) poate fi

integratã termen cu termen:

f t dt a dt a k t dt b k t dtT

k

T

k

T

k

T

01

cos sin

Se observã cã:


75

cos sin

sin cos

k t dtk

k t

k t dtk

k t

T T

T T

10

10

(6.3)

deci:

f t dt a TT

0

(6.4)

Sã înmulþim în egalitatea (6.2) ambii membri cu cos pt, unde p N ºi sã

integrând pe , T ; vom obþine:

f t p t dt a p t dt

a p t k t dt b k t p t dt

T T

k

T

k

T

k

cos cos

cos cos sin cos

0

1

Se observã cã: cosp t dtT

0 ºi

cos cos cos cosk t p t dt k p t dt k p t dtT T T

1

2

1

2

0

pentru k p

T

2 pentru k = p

cu k p N, .


76

sin cos sin sink t p t dt k p t dt k p t dtT T T

1

2

1

20

oricare ar fi k p N, .

Am obþinut cã:

f t p t dt aT

p

T

cos

2 (6.5)

Pentru determinarea coeficienþilor bk înmulþim egalitatea (6.2) cu sinpt ºi

integrând relaþia astfel obþinutã pe , T avem:

f t p t dt a p t dt

a p t k t dt b k t p t dt

T T

k

T

k

T

k

sin sin

sin cos sin sin

0

1

Se observã cã: sin p t dtT

0 , p N , cos sink t p t dtT

0 ºi

sin sin cos cosk t p t dt k p t dt k p t dtT T T

1

2

1

2

0

pentru k p

T

2 pentru k = p

Deci:

f t p t dt bT

p

T

sin

2 (6.6)

Din relaþiile (6.4), (6.5) ºi (6.6) cu o schimbare de notaþie convenabilã se obþin:


77

aT

f t dt

aT

f t k t dt

bT

f t k t dt

k

T

k

T

k

T

01

2

2

1 2

cos

sin

, , (6.7)

Observaþia 6.3. Egalitãþile din relaþiile (6.7) se numesc formulele lui Euler ºi

Fourier.

Observaþia 6.4 Coeficienþii Fourier ai unei funcþii f sunt complet determinaþi

prin relaþiile (6.7), integralele nu depind de , fapt ce rezultã din:

Propoziþia 6.1. Dacã F este o funcþie periodicã de perioadã T integrabilã pe orice

interval mãrginit, integrala acestei funcþii pe orice interval de lungime egalã cu perioada

este aceeaºi:

F t dt F t dtT T

(6.8)

Demonstraþie: presupunem cã < , avem evident:

F t dt F t dt F t dt F t dtT T

T

T

Fãcând în ultima integralã schimbarea de variabile t T obþinem:

F t dt F T d F d F t dtT

T

ii. Precizarea unor condiþii în care f poate fi dezvoltatã în serie sub forma (6.2); pentru

aceasta fie f a b R: ,

Definiþia 6.2. Vom spune cã f satisface condiþiile lui Dirichlet pe [a,b] dacã:

i. f este mãrginitã ºi are cel mult un numãr finit de puncte de discontinuitate pe [a,b];


78

ii. intervalul [a,b] poate fi împãrþit într-un numãr finit de subintervale astfel încât pe

fiecare subinterval f sã fie monotonã.

Are loc urmãtoarea teoremã:

Teorema 6.1. (Dirichlet) Dacã funcþia f periodicã de perioadã T satisface

condiþiile lui Dirichlet pe un interval , T seria Fourier este convergentã pentru

orice t.

Suma S(t) a seriei Fourier este egalã cu f(t) în toate punctele în care f este

continuã. Într-un punct de discontinuitate, c:

S c f c f c 1

20 0

Teorema 6.1. constituie un criteriu de o largã aplicabilitate referitor la

posibilitatea de a reprezenta o funcþie prin seria sa Fourier, sau cum se mai spune de a

dezvolta o funcþie în serie Fourier.

6.2. Seria Fourier a unei funcþii pare ºi a unei funcþii impare

Definiþia 6.3. O funcþie f l l R: , se numeºte parã dacã f(-t) = f(t) ºi

imparã dacã f(-t) = -f(t), t l l , .

Observaþia 6.5. În punctele simetrice faþã de origine funcþiile pare iau valori

egale, iar funcþiile impare valori opuse. Graficul unei funcþii pare este simetric în raport

cu axa ordonatelor, iar graficul unei funcþii impare este simetric în raport cu originea.

Propoziþia 6.2. Dacã f este o funcþie parã ºi integrabilã pe intervalul [-l, l] atunci:

f t dt f t dtl

l l

2

0

(6.9)

Dacã f este o funcþie imparã pe [-l, l] ºi integrabilã pe acest interval atunci:

f t dtl

l

0 (6.10)


79

Demonstraþie. În general avem:

f t dt f t dt f t dtl

l

l

l

0

0

Fãcând t = - avem:

f t dt f d f dl l

l

0 0

0

de unde dacã f este o funcþie parã:

f t dt f t dtl

l

0

0

iar dacã f este o funcþie imparã:

f t dt f t dtl

l

0

0

Are loc:

Teorema 6.2. Dacã f este o funcþie parã, seria sa Fourier este:

a a k tkk

01

cos

cu coeficienþii: aT

f t dt aT

f t k t dtT

k

T

00

2

0

22 4

, cos .

Dacã funcþia f este imparã, seria Fourier este:

b k tkk

sin 1

cu coeficienþii: bT

f t k t dtk

T

4

0

2

sin .


80

Demonstraþie. Rezultã imediat, luând ca interval , T în calculul

coeficienþilor Euler - Fourier (6.7) intervalul cu centrul în origine

T T

2 2, avem:

aT

f t dt aT

f t k t dt bT

f t k t dtT

T

kT

T

kT

T

02

2

2

2

2

21 2 2

, cos , sin

Dacã f este parã, f t k t cos este parã, iar f t k t sin este imparã ºi

folosind propoziþia 6.2. avem:

aT

f t dt aT

f t k t dt bT

k

T

k00

2

0

22 4

0 , cos ,

Dacã f este imparã, f t k t cos este imparã, iar f t k t sin este parã ºi

avem:

a a bT

f t k t dtk k

T

00

2

0 04

, , sin

6.3. Forma complexã a seriei Fourier

Fie în cele ce urmeazã f o funcþie realã sau complexã, periodicã de perioadã T,

integrabilã pe intervalul , T . Am vãzut cã seria sa Fourier:

a a k t b k tTk k

k0

1

2

cos sin

este determinatã când a0, ak, bk sunt daþi de (6.7)

Sã înlocuim funcþiile trigonometrice prin exponenþiale, folosind formulele lui

Euler:


81

cos ; sink t e e k ti

e eik t ik t ik t ik t 1

2 2

obþinem:

aa ib

ea ib

ek k ik t k k ik t

k0

1 2 2

Coeficienþii acestei serii de funcþii exponenþiale sunt:

c aT

f t dtT

0 01

ca ib

Tf t k t i k t dt

Tf t e dtk

k kT

ik tT

2

1 1cos sin

ºi

ca ib

Tf t k t i k t dt

Tf t e dtk

k kT

ik tT

* cos sin

2

1 1

Se observã cã toþi aceºti coeficienþi se pot obþine din:

,2,1,0,1

ndefT

cT

ni

n

pentru n = 0, k, -k. Deci seria Fourier a funcþiei f se mai scrie:

c c e c ekik t

kik t

k0

1

sau încã:

c e cT

f e dkin t

nn

i nT

,

1

(6.11)

Aceasta reprezintã forma complexã a seriei Fourier.


82

Observaþia 6.6. Dacã f satisface condiþiile lui Dirichlet ºi dacã în fiecare punct

de discontinuitate valoarea funcþiei este egalã cu media aritmeticã a limitelor sale laterale

în acel punct atunci:

f tT

f e di n tT

n

1

(6.12)

7.1. Forma complexã a integralei Fourier

Sã considerãm o funcþie f realã sau complexã ºi neperiodicã. Funcþia f nu mai

poate fi dezvoltatã în serie Fourier. În schimb în anumite condiþii f poate fi reprezentatã

printr-o integralã dublã improprie care prezintã o oarecare analogie cu seria Fourier. Are

loc:

Teorema 7.1. Dacã f este o funcþie realã sau complexã satisfãcând:

i. condiþiile lui Dirichlet pe orice interval de lungime finitã;

ii. în fiecare punct c de discontinuitate, valoarea funcþiei este egalã cu media aritmeticã a

limitelor laterale în acel punct:

f c f c f c 1

20 0

iii. este absolut integrabilã pe , , adicã integrala f t dt

este convergentã

atunci existã egalitatea:

f t du f e diu t

1

2

(7.1)

Observaþia 7.1. Integrala dublã improprie prin care este reprezentatã funcþia f se

numeºte integrala Fourier, iar egalitatea (7.1) se numeºte formula lui Fourier.

Sã considerãm o funcþie f care satisface cele trei condiþii din teorema 7.1., îi

asociem o funcþie F periodicã, de perioadã T= 2l, definitã prin:


83

F t f t t l l , (7.2)

aceastã funcþie îndeplineºte condiþiile lui Dirichlet, deci poate fi dezvoltatã în serie

Fourier; în conformitate cu (6.12) avem:

F tl

F e dT

in t

l

l

n

1

2

2

;

sau þinând seama de (7.2) obþinem:

F tl

f e din t

l

l

n

1

2

(7.3)

Observaþia 7.2. Egalitatea (7.2) are loc pe un interval cu atât mai mare cu cât l

este mai mare. Este de aºteptat ca din (7.3) sã obþinem o reprezentare a funcþiei f trecând

la limitã pentru l .

Sã considerãm o nouã varaibilã realã u ºi sã notãm cu n un . Pentru un l

dat putem nota:

u t f e dniu t

l

ln,

Þinând seama cã

2 2

T l avem:

1

2

1

21 1l

n n u un n ;

deci (7.3) devine:

F t u t u un n n

1

2 1 ,

Aceastã serie este asemãnãtoare cu sumele folosite pentru a defini integrala

Riemann.

Când l u un n , 1 0 rezultã din ultima egalitate:


84

f t u t du

1

2 ,

unde u t f e diu t,

, deci

f t du f e diu t

1

2

7.2. Forma realã a integralei Fourier. Cazul funcþiilor pare sau impare

Fie f o funcþie îndeplinind condiþiile teoremei 7.1. astfel încât

f t du f e diu t

1

2

În egalitatea de mai sus facem înlocuirea e u t i u tiu t cos sin ºi

obþinem:

f t du f u t di

du f u t d

1

2 2

cos sin

(7.4)

Notând cu:

g u t f u t d, cos

h u t f u t d, sin

se observã cã:


85

g u t g u t

h u t h u t

, ,

, ,

de unde:

g u t du g u t du

h u t du

, ,

,

2

0

0

Cu acestea egalitatea (7.4) devine:

f t du f u t d

1

0

cos (7.5)

Egalitatea (7.5) se numeºte forma realã a integralei Fourier.

Observaþia 7.3. Þinând seama cã

cos cos cos sin sinu t ut u ut u

relaþia (7.5) devine:

f t utdu f u d utdu f u d

1 1

0 0

cos cos sin sin

(7.5�)

ºi notând cu

A u f u d

B u f u d

1

1

cos

sin

avem:


86

f t A u ut B u ut du

cos sin0

de unde analogia cu seria Fourier este evidentã.

Þinând seama de cele de mai sus avem:

Teorema 7.2.

i. dacã f este o funcþie parã, formula lui Fourier se reduce la:

f t utdu f u d

2

0 0

cos cos

ii. dacã f este o funcþie imparã atunci:

f t utdu f u d

2

0

sin sin

Demonstraþie

i. Dacã f este o funcþie parã atunci f u cos este parã în raport cu iar

f u sin este imparã ºi avem:

f u d f u d cos cos

20

ºi

f u d sin

0

de unde egalitatea (7.5�) devine (7.6).

ii. Analog se aratã cã pentru f imparã avem egalitatea (7.7)

7.3. Transformata Fourier


87

Integrala Fourier are aplicaþii foarte variate. Unele din acestea sunt legate direct

de noþiunea de transformatã Fourier.

Fie f o funcþie care poate fi reprezentatã prin integrala Fourier:

f t du f e diu t

1

2

care se mai poate scrie:

f t e du f e diut iu

1

2

Dacã notãm:

g u f e d f t e dtiu iut

1

2

1

2

avem þinând seama de cele de mai sus:

f t g u e duiut

1

2

Definiþia 7.1. Funcþiile

g u f t e dt f t g u e duiut iut

1

2

1

2 ;

(7.8)

se numesc una transformata Fourier a celeilalte.

Þinând cont cã integrala Fourier mai poate fi scrisã:

f t du f e diu t

1

2

unde e u t i u tiu t cos sin

rezultã:


88

f t du f u t di

du f u t d

1

2 2

cos sin

f t du f e diu t

1

2

obþinem funcþiile:

g u f t e dt f t g u e duiut iut

1

2

1

2 ;

ca transformate Fourier una a celeilalte.

Analog, dacã în (7.6) se noteazã

g u f u d f t utdt

2 2

0 0

cos cos

aceastã egalitate devine:

f t g u utdu

2

0

cos

iar dacã în (7.7) se noteazã

g u f u d f t utdt

2 2

0 0

sin sin

egalitatea (7.7) se poate scrie:

f t g u utdu

2

0

sin

Definiþia 7.2. Funcþiile


89

g u f t utdt f t g u utdu

2 2

0 0

cos ; cos

(7.9)

se numesc una transformata Fourier prin cosinus a celeilalte.

Funcþiile

g u f t utdt f t g u utdu

2 2

0 0

sin ; sin

(7.10)

se numesc una transformata Fourier prin sinus a celeilalte.

Sã considerãm una din egalitãþile (7.8), de exemplu a doua:

1

2g u e du f titu

în care f este o funcþie datã, îndeplinind condiþiile din teorema 7.1. Aceastã egalitate este

o ecuaþie în care funcþia necunoscutã g figureazã sub semnul de integrare. Soluþia acestei

ecuaþii este datã de prima egalitate din (7.8).

O astfel de ecuaþie se numeºte ecuaþia integralã de tip Fourier.

TRANSFORMATA LAPLACE

8.1. Funcþia original

Calculul operaþional se bazeazã pe realizarea unei corespondenþe între douã

mulþimi de funcþii: mulþimea funcþiilor numite original ºi imaginile lor obþinute printr-o

anume transformare.

Definiþia 8.1. Se numeºte original o funcþie f, realã sau complexã

f R R C: care satisface:


90

i. f(t) = 0 pentru t < 0;

ii. f este derivabilã pe porþiuni;

iii. existã douã numere M0 > 0, s0 0 astfel încât:

f t M es t 0 pentru orice t 0, (8.1)

Mulþimea funcþiilor care îndeplinesc aceste condiþii o vom nota cu Ó.

Observaþia 8.1.

i. prima condiþie din definiþia 8.1. pare a fi o condiþie artificialã, dar metodele

operaþionale se referã la rezolvarea unor probleme în care mãrimea fizicã reprezentatã

prin f are proprietatea cã este nulã înaintea momentului iniþial t = 0 sau valorile sale

pentru t < 0 nu prezintã interes;

ii. numãrul s0 se numeºte indicele de creºtere al funcþiei f.

Are loc:

Teorema 8.1. Suma ºi produsul a douã funcþii original sunt funcþii original.

Demonstraþie: fie f ºi g douã funcþii care îndeplinesc condiþiile definiþei 8.1.

Este evident cã f + g ºi f g îndeplinesc condiþiile i. ºi ii. din definiþia 8.1.

Din gf , Ó (mulþimea funcþiilor original) rezultã cã existã M M1 2 0, ºi

s s1 2 0, aºa încât:

f t M e g t M es t s t 1 21 2 ºi

Avem:

f t g t f t g t M es t 2 0

unde M M M max ,1 2 ºi s s s0 1 2 max , ºi de asemenea:

f t g t f t g t M M e s s t 1 2

1 2


91

Consecintã. Dacã if Ó, i=1,2,�,n, atunci ºi

n

iii f

1

Ó, oricare ar fi

constantele i reale sau complexe; de asemenea produsul hfff n...21 Ó. În

particular dacã f Ó atunci ºi nf Ó, Nn

Exemple:

1. Fie f R C: , f t e t cu = 1 + i2 este evident o funcþie original; indicele

sãu de creºtere este 1 dacã 1 0 ; în cazul când 1 < 0 indicele de creºtere este

zero.

2. Funcþiile:

titititi eetteei

tt 2

1cos,

2

1sin

tttt eetchteetsht 2

1,

2

1

sunt funcþii original conform teoremei 8.1.

3. Funcþia f t t n Nn este de asemenea o funcþie original; primele douã

condiþii ale definiþiei 8.1. sunt evidente; pentru condiþia iii. din definiþia 8.1. avem dupã

cum se ºtie, dacã > 0 cã

et t t

nt

n n 1

1 2

2 2

! ! !

din care deducem pentru t > 0 cã:

n nt

ntt

ne

ne

!

! deci t n

rolul lui M îl are n

n

!

iar indicele de creºtere este .


92

8.2. Transformata Laplace. Imagine dupã transformata Laplace

Fie fcu : CRf Ó arbitrarã ºi 0s indicele sãu de creºtere.

Definiþia 8.2. Se numeºte transformata Laplace a funcþiei f, funcþia:

F C:0 unde 0 0 p C pRe

F p f t e dt p s ipt

0

, (8.2)

Domeniul în care funcþia f este definitã este precizat în teorema urmãtoare.

Teorema 8.2. Dacã f Ó cu s0 indicele de creºtere aqtunci F este determinatã în

semiplanul s > s0 ºi este o funcþie olomorfã în acest semiplan.

Derivata sa se obþine derivând în raport cu p funcþia de sub semnul de integrare:

F p t f t e dtpt'

0

(8.3)

Demonstraþie: vom demonstra mai întâi cã integralele din (8.2) ºi (8.3) sunt

absolut convergente în semiplanul s > s0.

Avem:

f t e dt f t e dtptl

ptl

0 0

þinând cont de (8.1) ºi de e e ept s i t st rezultã cã:

f t e dt M e dtM

s sept

ls s t

ls s t

0 0 0

0 01

Trecând la limitã pentru l , în ipoteza cã s > s0 rezultã cã:

f t e dtM

s spt

0 0


93

de unde obþinem cã integrala (8.2) este absolut convergentã.

Din aceastã inegalitate deducem cã:

F pM

s s

0 (8.4)

În integrala (8.3) locul funcþiei f este luat de t f care este tot o funcþie

original având indicele de creºtere s0 + , unde este un numãr strict pozitiv oricât de

mic; raþionamentul de mai sus rãmâne valabil.

Sã demonstrãm cã F este monogenã în orice punct p din semiplanul s > s0.

Considerãm un cerc C cu centrul în p ºi

conþinut în semiplanul s > s0. Fie z un punct

interior cercului. Avem:

F z F p f t e e dtzt pt

0

Diferenþa e ezt pt se poate

dezvolta dupã formula lui Taylor:

z p

z pp

z p

i

d

p p z pC

1 2

2

2!'

de unde obþinem:

e e t e z p z p R z p tzt pt pt 2 , ,

unde:

R z p ti

e d

p p z p

t

C

, ,

1

2 2

.

Folosind aceastã dezvoltare, putem scrie:


94

F z F p

z pt f t e dt z p R z p t f t dtpt

0 0

, ,

(8.5)

ºi

R z p te d

p p z p

t

C

, ,

1

2 2

dar

e e e et i t t s t 1

unde s1 este cea mai micã abscisã a punctului arbitrar de pe cerc.

Avem:

p - raza cercului;

p z p p z p r 0 cu r z p , de unde obþinem:

R z p t

e

r

s t, ,

1

Cu acestea vom avea:

R z p t f t dtr

f t e dt

M

re dt

M

r s s

s t

s s t

, ,

0 0

0 1 0

1

1

1

1 0

Folosind aceastã inegalitate se observã cã ultimul termen din (8.5) tinde la zero

când z tinde la p ºi avem:

lim

z p

ptF z F p

z pt f t e dt

0


95

deci funcþia F este monogenã în semiplanul s > s0, iar derivata sa are expresia (8.3).

Observaþia 8.2. Pe tot parcursul capitolului acesta vom nota funcþiile original cu

literã micã: f; g; h etc. ºi imaginile lor cu literã mare corespunzãtoare: F; G; H etc.

Transformata Laplace (8.2) o vom nota prescurtat:

tgpGtfpF LL ; (8.6)


Teorema 8.4. Transformata Laplace este o transformare liniarã.

Demonstraþie: fie gf , Ó, am vãzut în teorema 8.1. cã ºi gfgf , Ó.

Avem evident:

tgtf

dtetgdtetfdtetgtftgtf ptptpt

LL

L000

tfkdtetfkdtetfktfk ptpt LL00

Exemple:

1. Imaginea funcþiei f t e ip

t

, unde = este F p1 21

,

deoarece:

p

ep

dtedteetfpF tptpptt 1100 0

L

2. 22

11

2

1

2

1sin LLL

pipipi

eei

t titi


96

22

11

2

1

2

1cos LLL

p

p

ipipeet titi

8.3. Teoremele: asemãnãrii, întârzierii, deplasãrii originalului, integrãrii originalului

Fie f Ó ºi o constantã strict pozitivã. Este evident cã funcþia definitã

t f t este de asemenea o funcþie original.

Teorema 8.5. (asemãnãrii) Dacã F(p) este imaginea funcþiei f oricare ar fi

constanta > 0 avem:

pFtf

1L (8.7)

Demonstraþie: avem evident cã

0

L dtetftf pt ºi fãcând

schimbarea de variabilã t obþinem:

p

Fdeftfp 11

0

L

Dacã în funcþia original f înlocuim pe t cu t - , unde este o constantã, obþinem

o nouã funcþie original f(t-) care este nulã pentru t-<0 ºi ia aceleaºi valori ca f(t) însã

cu întârzierea . Are loc:

Teorema 8.6. (întârzierii) Dacã f Ó ºi este întârzierea sa atunci:

tfetf p LL (8.8)

Demonstraþie: fie f Ó, þinând cont cã f t 0 pentru t < avem:

f t e dt f t e dtpt pt

0


97

cu schimbarea t - = obþinem:

f t e dt f e d e f e dpt p p p

0 0

Fie f Ó având indicele de creºtere s0 ºi F(p) imaginea sa; înlocuirea lui p în

F(p) cu p - q, unde q este o constantã, poate fi interpretatã ca o deplasare care aduce

originea în punctul q.

Teorema 8.7. (deplasãrii) Dacã f Ó ºi tfpF L avem:

tfeqpF qt L (8.9)

Demonstraþie: avem conform relaþiei (8.2)

F p q f t e dt e f t e dtp q t qt pt

0 0

Fie f Ó ºi tfpF L ; presupunem cã derivatele lui f pânã la ordinul

n sunt tot funcþii original; are loc:

Teorema 8.8. (derivarea originalului) Dacã f Ó avem:

0'L fppFtf

(8.10)

sau mai general

000 1'21L nnnnn ffpfppFptf

(8.11)

unde f f f n0 0 01, , ,' sunt limitele la dreapta în origine ale funcþiilor

f f f n, , ,' 1.

Demonstraþie: fie f Ó; este evident 'f Ó conform relaþiei (8.2) avem:

pFpfdtetfpetfdtetftf ptptpt

00000

''L


98

de unde: limt

ptf t e

0

Pentru a obþine egalitatea (8.11) vom înlocui în (8.10) pe f�(t) succesiv cu f�(t),

...,f(n)(t). Avem:

1' 0LL npftfptf

2''" 0LL npftfptf

3"""' 0LL npftfptf

........................................................

nnnnn pftfptf 011LL

adunând membru cu membru ºi efectuând reducerile corespunzãtoare obþinem (8.11).

Fir f Ó; prin integrarea funcþiei original f se înþelege operaþia f dt

0 ; se

obþine astfel o nouã funcþie original pe care o notãm cu g, definitã prin:

g t f dt

0

(8.12)

Primele douã condiþii din definiþia funcþiei original sunt evidente.

Pentru a treia vom scrie:

g t f d f d M e dn

se

M

se

t ts

ts t s t

0 0 0 0 0

0 0 01


Teorema 8.9. Dacã f Ó avem:


99

pFp

dft 1

0

L

(8.13)

Demonstraþie: din relaþia (8.12) avem g�(t) = f(t) ºi g(0) = 0, de unde:

pFtftg LL '

dar

0

10.8'L GpGptg

deci

pFp

dftgt 1

0

LL

9.1. Transformarea inversã. Formula Mellin - Fourier

Am vãzut cã: datã fiind o funcþie original f=f(t), imaginea sa F=F(p) prin

transformarea Laplace (8.2) este complet determinatã.

Se pune problema inversã: sã se determine originalul f=f(t) când se cunoaºte

imaginea sa F=F(p). Rãspunsul este dat de:

Teorema 9.1. Dacã f=f(t) este o funcþie original, având indicele de creºtere s0,

iar F=F(p) este imaginea sa, egalitatea:

f ti

F p e dp a spt

a i

a i

1

2 0, (9.1)

are loc în toate punctele în care f este continuã; în fiecare punct c de discontinuitate,

valoarea funcþiei din membrul drept este egalã cu:

1

20 0f c f c


100

Observaþia 9.1. Egalitatea (9.1) se numeºte formula lui Mellin - Fourier ºi

reprezintã inversa transformãrii (8.2).

Demonstraþie: considerãm funcþia:

t e f t f tat 1

20 0

egalã cu e f tat pe mulþimea punctelor în care f=f(t) este continuã.

Se observã cã funcþia t are urmãtoarele proprietãþi:

i. este derivabilã pe porþiuni (evidentã);

ii. în fiecare punct c de discontinuitate avem:

c c c 1

20 0 (evidentã)

iii. este absolut integrabilã pe , dupã cum urmeazã:

- din f Ó rezultã cã (t) = 0 pentru t < 0, rãmâne sã demonstrãm cã este

integrabilã pe 0, . Folosind relaþia (8.1) în toate punctele în care este continuã,

avem:

t e f t M eat a s t 0

ºi pentru a > s0, integrala funcþiei M e a s t 0 pe 0, este convergentã.

Comparând cele trei proprietãþi ale funcþiei cu condiþiile din teorema referitoare

la integrala Fourier, observãm cã numai prima diferã, însã se poate arãta cã datoritã celor

trei proprietãþi de mai sus poate fi reprezentatã printr-o integralã Fourier:

t du e f e d du e f e da iu t a iu t

1

2

1

20

deoarece (t) = 0 pentru t < 0.

Înmulþind ambii membri ai relaþiei (9.2) cu eat obþinem:


101

e t e du e f dat a iu t a iu

1

20

ºi fãcând schimbarea de variabilã p = a + iu, deducem:

002

1

2

1

0

tftftedfedpei

atpia

ia

pt

(9.3)

de unde þinând cont de (8.2) obþinem (9.1).

Observaþia 9.2. Considerând egalitatea (9.1) în care facem schimbarea de

variabilã p = a + iu

f t F a iu e dua iu t

1

2

înmulþind în ambii membri cu 2 e at, avem:

21

2

e f t F a iu e duat iut

De aici rezultã cã funcþia G(u) = F(a + iu) este transformata Fourier a funcþiei

g t e f tat 2 .

Enunþãm în cele ce urmeazã un nou rezultat însã fãrã demonstraþie:

Teorema 9.2. Dacã funcþia complexã F = F(p) de variabilã complexã p = s + iu

îndeplineºte:

i. este olomorfã în semiplanul s > s0;

ii. Fc u.

0 în raport cu argumentul p, când p oricare ar fi semiplanul

s a s 0

iii. integrala F p dpa i

a i

este absolut convergentã

atunci funcþia:


102

f ti

F p e dppt

a i

a i

1

2 (9.4)

este o funcþie original, iar imaginea sa este F.

9.2. Integrarea imaginii

Fie f Ó ºi F = F(p) imaginea sa prin (8.2).

Sã presupunem cã integrala:

F q dqp

(9.5)

este convergentã.

Aºa cum am vãzut, funcþia F = F(p) este olomorfã în semiplanul s s 0 , deci

admite o primitivã p în acest semiplan ºi avem:

F q dq p pp

p

1

1

oricare ar fi punctele p, p1 din semiplanul s s 0 .

Dacã are în punctul de la infinit un punct ordinar, convergenþa integralei (9.5)

este asiguratã. În ipoteza cã aceastã proprietate are loc obþinem:

G p F q dq pp

(9.6)

ºi vom spune cã funcþia G s-a obþinut prin integrarea imaginii.

Teorema 9.3. Dacã f Ó ºi tfpF L atunci are loc:


103

t

tfdqqF

p

L (9.7)

Demonstraþie: din (9.6) prin derivare obþinem:

G p F p'

Fie g = g(t) originalul funcþiei G = G(p).

Conform relaþiei (8.3) deducem cã:

t g t f t

deci

g t

f t

t

f t

t

ºi G p L

9.3. Produsul a douã imagini

Definiþia 9.1. Fie gf , Ó arbitrare. Funcþia h definitã prin:

h t f g t dt

0

(9.8)

se numeºte produsul de convoluþie al funcþiilor f, g ºi se noteazã h f g .

În general produsul de convoluþie a douã funcþii f ºi g se defineºte prin integrala:

h t f g t d

cu condiþia ca integrala sã aibã sens(dacã gf , Ó aceastã integralã se reduce la (9.8)).

Are loc urmãtorul rezultat:

Teorema 9.4. Produsul de convoluþie are urmãtoarele proprietãþi:

i. gf, fiar oricare fggf Ó

ii. gfgfgfgff ,,f fiar oricare 212121 Ó


104

iii. gf, fiar oricare Ogf Ó

Demonstraþie:

i. conform definiþiei avem:

g f t g f t dt

0

fãcând schimbarea de variabilã t , aceasta devine:

tgfdtgfdftgtfgt

t

ii. este evidentã;

iii. fie gf , Ó; este evident cã f g verificã primele douã condiþii din (8.1).

Referitor la a treia condiþie: fie s1 ºi s2 indicii de creºtere ai celor douã funcþii f ºi

g:

f t M e g t M es t s t 1 21 2;

pentru orice t 0, . Rezultã pentru h f g :

h t f g t d M M e e dt

s s tt

01 2

0

1 2

deci:

h t M M e e dM M

s se es t s s

ts t s s t

1 2

0

1 2

1 2

2 1 2 2 1 2 1

În cazul când s1 > s2, e s s t1 2 1 pentru orice t 0 , deci:

h tM M

s ses t

1 2

1 2

1

Dacã s2 > s1, e s s t1 2 1 pentru orice t 0 , avem:


105

h tM M

s se e

M M

s ses t s s t s t

1 2

2 1

1 2

2 1

2 1 2 21

Dacã s1 = s2 avem:

h t M M e d M M t eM M

es tt

s t s t 1 2

01 2

1 22 2 2

cu > 0, oricât de mic.

Teorema 9.5. (Borel) Dacã si L LF p f t G p g t ,

atunci produsul F G al celor douã imagini este imaginea produsului de convoluþie

f g :

t

dtgfpGpF0

L (9.9)

Demonstraþie: prin ipotezã pfpF L adicã:

F p f e d G pp

0

avem:

F p G p f e G p dp

0

conform teoremei întârzierii:

0

L dtetgtgpGe ptp

Deci:

F p G p f d g t e dt e dt f g t dpt pt

0 0 0 0


106

gf , Ó cum g Ó rezultã cã g t 0 pentru > t , deci:

f g t d f g t d f g tt

0 0

Rezultã cã:

F p G p f g t e dtpt

0

relaþie echivalentã cu (9.9).

Observaþia 9.3. Din (9.9) se obþine uºor formula lui Duhamel, utilizatã adesea

în electrotehnicã:

t

dtgfgtfpGpFp0

'0L

(9.10)

Derivând funcþia original:

t f g t dt

0

obþinem:

' 't f t g f g t dt

00

Aplicând teorema referitoare la derivarea originalului ºi þinând seama cã 0 0

obþinem (9.10).

Teorema 9.6. Fie gf , Ó arbitrare, tfpF L ºi tgpG L .

Imaginea produsului f g este:

12

1L sadqqpGqFi

tgtfia

ia

(9.11)

unde s1 este indicele de creºtere al lui f.


107

Demonstraþie: conform formulei Mellin-Fourier:

f ti

F q e dq a sqt

a i

a i

1

2 1

ºi înmulþind în ambii membri cu g(t) obþinem:

f t g ti

F q e g t dqqt

a i

a i

1

2

dar:

ib

ib

ptqt dpeqpGi

qpGtge211L

cu qsb R2 , s2 este indicele de creºtere a lui q.

Deci:

f t g ti

F q dq G p q e dpa i

a ipt

b i

b i

1

2 2

sau schimbând ordinea de integrare:

f t g ti i

F q G p q dq e dpb i

b i

a i

a ipt

1

2

1

2

10.1. Teoreme de dezvoltare

Pentru determinarea originalului f = f(t) când se cunoaºte imaginea sa F = F(p) se

folosesc deseori urmãtoarele teoreme:

Teorema 10.1. Dacã funcþia raþionalã

F pA p

B p cu A ºi B polinoame

îndeplineºte:

i. grA < grB;


108

ii. ecuaþia B(p) = 0 are toate rãdãcinile simple (fie acestea p0, p1, ...,pn)

atunci este imaginea funcþiei f de valoare:

f tA p

B pek

k

p t

k

nk

'

0

(10.1)

Demonstraþie: în ipotezele din enunþ, F admite o descompunere de forma:

F pa

p pk

kk

n

0

Coeficientul a se poate calcula integrând funcþia F = F(p) pe un cerc j cu centrul

în pj ºi de razã suficient de micã astfel încât în interiorul sãu sã nu mai conþinã alt pol al

funcþiei F. Avem:

F p dp adp

p pj

j

kkk

n

0

Pe de altã parte în virtutea teoremei lui Cauchy

dp

p pkj

0 pentru k j

2 i pentru k = j

obþinem:

F p dp ia

j

j 2

Folosind teorema reziduurilor ºi formula de calcul pentru reziduul relativ la un

pol simplu:

F p dp i rez F p i

A p

B pj

jj

j 2 2 ,

'


109

rezultã cã

aA p

B aj

j

j

'

deci:

F pA p

B p p pk

k kk

n

'

1

0

Deoarece tp

k

kepp

L1

, folosind proprietatea de liniaritate a transformatei

Laplace obþinem:

n

k

tp

k

k kepB

pApF

0'

L

Observaþia 10.1. Dacã una dintre rãdãcinile polinomului B este nulã (de exemplu

p0 = 0) notând cu ppp RB avem:

f tA

R

A p

R p

e

pk

k

p t

kk

n k

0

0 1'

numitã formula lui Heaviside.

Demonstraþie: Avem B p pR p rezultã deci:

B p R p pR p' '

Deoarece R(pk) = 0, k = 1, 2, ..., n vom avea:

B R R' '0 0 0 0

ºi

B p p R pk k k' '

ºi descompunerea lui F va lua forma:

F p

A

R p

A p

p R p p pk

k kk

n

k

0

0

1 1

1

ºi deci


110

f tA

R

A p

R p

e

pk

kk

n p t

k

k

0

0 1'

Observaþia 10.2. Procedeul prin care am determinat originalul unei funcþii

raþionale poate fi extins uºor ºi pentru cazul când numitorul B(p) are rãdãcini multiple.

O altã teoremã de dezvoltare este:

Teorema 10.2. Dacã funcþia F este olomorfã pe exteriorul unui disc cu centrul

în origine ºi cu raza R (inclusiv punctul de la infinit) atunci F admite o dezvoltare în serie

Laurent de forma:

F pa

pp Rn

nn

,

1

(10.3)

ºi este imaginea funcþiei f cu valorile:

f t

a

ntn

n

n

11

1

!

(10.4)

Demonstraþie: prin ipotezã F este olomorfã pe D p C p R

ºi are

în punctul de la infinit un punct ordinar. Rezultã cã funcþia definitã prin

F

1este olomorfã pe

C R , deci admite pe o dezvoltare

în serie Taylor:

a a ann

0 1

Deoarece F are în punctul de la infinit un punct ordinar, folosind inegalitatea

(8.4) vom avea:

F pM

s sF p

00 rezultã lim

p


111

deci a0 = (0) = 0. Revenind la variabila p, F pp

1 vom obþine relaþia (10.3).

Se ºtie cã n

n

pn

t 1

!1

1

L

; sã considerãm seria:

at

nn

n

n

1

1 1 !

(10.5)

formatã cu originalele termenilor seriei (10.3). Coeficienþii an fiind coeficienþii dezvoltãrii

în serie Taylor a funcþiei pe verificã inegalitãþile lui Cauchy:

aM

rM Rn n

n

(unde M - marginea superioarã a lui || pe fr ) deci:

at

nM R

Rt

nn

n n

1 1

1 1! !

pentru orice n N t * , ,0 .

Termenii seriei (10.5) au modulul decât termenii seriei

M RRt

n

n

n

1

1 1 !

despre care ºtim cã este uniform convergentã pe [0,L] cu L > 0.

În plus

M RRt

nM R e

n

n

Rt

1

1 1 !

de aici rezultã cã seria (10.5) este absolut ºi uniform convergentã pe [0,L] cu L > 0 ºi cã

suma sa f are proprietatea:

f t M R eRt


112

Evident f îndeplineºte cele trei condiþii din definiþia originalelor. În plus seria

(10.5) înmulþitã cu e-pt poate fi integratã termen cu termen pe 0, .

În egalitatea

f t at

nn

n

n

1

1 1 !

înmulþim cu e-pt ºi integrãm pe 0, ; vom avea:

pF

pa

n

tatf

nn

nn

n

n

1

!1 11

1

LL

10.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru integrarea ecuaþiilor diferenþiale

Punerea problemei

Sã se determine funcþia x x t R : ,0 soluþie a ecuaþiei:

a x a x a x a x f tn n

n n0 11

1 '

(10.6)

care satisface condiþiile iniþiale:

x x x x x xnn0 0 00 1

11 , , ,'

(10.7)

unde f R: ,0 este o funcþie datã; coeficienþii a a an0 1, , , sunt constante

reale, iar x x xn0 1 1, , , sunt numere reale date.

Se ºtie cã soluþia generalã a ecuaþiei omogene

a x a x a xn nn0 1

1 0

este o sumã de funcþii de forma:


113

e P t t Q t tt cos sin

unde P ºi Q sunt polinoame.

Deci funcþia x R R: nulã pentru t < 0 care verificã ecuaþia omogenã ºi

condiþiile iniþiale (10.7) aparþine mulþimii Ó împreunã cu derivatele sale de orice ordin. În

general, nu putem afirma acelaºi lucru pentru soluþia ecuaþiei (10.6) cu condiþiile (10.7)

datoritã termenului liber f.

În cele ce urmeazã vom presupune cã f Ó ºi cã soluþia x a problemei Cauchy

referitoare la ecuaþia (10.6) îndeplineºte condiþiile impuse originalelor împreunã cu

derivatele sale pânã la ordinul n inclusiv.

Notãm cu:

tfptxpX LL F iº

ºi þinând seama de proprietãþile de liniaritate ale operatorului L din (10.6) rezultã:

fxaxaxa n

nn LLLL 1

10

Þinând cont de (8.10) ºi (8.11) ºi folosind condiþiile iniþiale (10.7) avem:

12

2

1

1

0L nn

nnnn xpxpxpxpXpx

2

3

1

2

0

11L n

nnnn xpxpxpXpx

.................................................................

10

2"L xpxpXpx

0

'L xppXx

pXx L

Înmulþind în prima egalitate cu a0, în a doua cu a1,..., în ultima cu an ºi adunând,

ordonând convenabil termenii:

a p a p a p a X p F p G pn nn n0 1

11

(10.8)

unde:


114

G p x a p a p a p a

x a p a p a x a p a x a

n nn n

n nn n n

0 01

12

2 1

1 02

13

2 2 0 1 1 0

Ecuaþia (10.8) se numeºte ecuaþia operaþionalã asociatã ecuaþiei diferenþiale

(10.6) cu condiþiile (10.7).

Aceastã ecuaþie se reþine uºor dacã facem urmãtoarele observaþii:

i. coeficientul lui X(p) este polinomul caracteristic al ecuaþiei diferenþiale:

p a p a p a p an nn n 0 1

11

ii. funcþia G este o combinaþie liniarã de polinoame:

G p x p x p x pn n 0 0 1 1 1 1

0 se deduce din suprimând termenul liber ºi împãrþind cu p;prin acelaºi procedeu se

obþine 1 din 0; 2 din 1 etc.

Soluþia ecuaþiei operaþionale (10.8) este:

X pF p G p

p

iar soluþia ecuaþiei (10.6) care satisface (10.7) este:

tXtx 1L

10.3. Rezolvarea unor ecuaþii integrale

Egalitãþile:

F p f t e dt f ti

F p e dtpt pt

a i

a i

0

1

2;

(10.9)

care dau transformata Laplace ºi inversa sa sunt analoage formulelor de transformare

Fourier ºi pot fi interpretate ca ecuaþii integrale, în sensul cã dacã în prima egalitate se dã


115

funcþia F iar f este necunoscutã, în condiþiile precizate, soluþia acestei ecuaþii este a doua

egalitate ºi invers.

Considerãm ecuaþia:

A x t B x k t d C f tt

0

(10.10)

în care A, B, C sunt constante, iar f ºi k sunt funcþii cunoscute.

Funcþia necunoscutã este x(t) ºi figureazã ºi sub semnul de integrare. De aceea

egalitatea (10.10) se numeºte ecuaþie integralã.

Funcþia k k t se numeºte nucleul ecuaþiei integrale ºi în general este o

funcþie de douã variabile.

Sã presupunem cã funcþiile f, k ºi funcþia necunoscutã x sunt originale. Notând cu

, = , =L L Lf t F p K p k t X p x t conform teoremei

lui Borel avem:

0

t

L x k t d X p K p

deci aplicând transformata Laplace ecuaþia (10.10) se transformã în:

A B K p X p C F p (10.11)

de unde:

C F pX p

A B K p

soluþia ecuaþiei integrale (10.10) este originalul acestei funcþii.


116

Probleme rezolvate 1.Sã se dezvolte în serie Fourier pe intervalul , funcþia f(x)=x2 ºi sã se deducã dupã aceea sumele seriilor numerice:

1.

12

1

n n 2.

04)12(

1

n n

Rezolvare:

Se observã cã funcþia f este parã , de unde rezultã cã bn=0 Avem:

0

32

0 3

22dxxa

0

2 cos2

nxdxxa n =

00

2 cos4sin2 | nxdxx

nn

nxx =

0

cos1)1(4

nxdxnnn

n

=2

4)1(

nn

deci (1) f(x)=

12

2

cos)1(

43 n

n

nxn

Punând x=ð obþinem :

1

2

22 1

43 n n

, de unde 6

1 2

12

n n

Înmulþind ambii membri ai egalitãþii (1) cu x ºi integrând intre 0 si ð , obþinem:

(2)

12

44

cos)1(

464 n o

n

nxdxxn

Din (2) deducem cã:

122

44

1)1(1)1(

464 n

nn

nn

sau

04

44

)12(

18

64 n n

de unde

96)12(

1 4

04

n n

2.Sã se dezvolte în serie Fourier pe intervalul , funcþiile:

)cos(sin)( cos xexf x , )sin(sin)( cos xexg x Rezolvare:


117

Vom prezenta în cele ce urmeazã o rezolvare diferitã de rezultatele cunoscute din

teoria seriilor Fourier , observând cã f este o funcþie parã , iar g este o funcþie imparã. Se ºtie cã pentru orice

zC avem : (1) .....!

.....!3!2!1

132

n

zzzze

nz

Fãcând în egalitatea (1) pe ixez obþinem

.....!

.....!3!2!1

132

n

eeeee

nixixixixeix

Þinând seama de relaþia: )sin(cos yiyee xiyx ,din (2) obþinem:

)sin(sin)cos(sincos xixe x =

0 !

sincos

n n

nxinx sau egalând pãrþile reale si

imaginare, avem:

0 !

cos)(

n n

nxxf ºi

0 !

sin)(

n n

nxxg

3.Sã se arate cã funcþia :x

xfcos2

1)(

se poate dezvolta în serie Fourier convergentã

pe toatã axa realã ºi sã se deducã aceastã dezvoltare. Rezolvare:

Deoarece se observã cã f este para ºi periodicã de perioadã 2ð , urmeazã cã este dezvoltabilã in serie Fourier de cosinusuri pe toatã axa reala, de forma:

(1)

1

0 cos2

)(n

n nxaa

xf unde:

0

0 cos2

2

x

dxa =

023

22

t

dt=

3

32

33

4 |0

tarctg

(s-a folosit schimbarea de variabila tx

tg 2

)

Înmulþind ambii membri ai egalitaþii (1) cu 2(2+cos x), obþinem:

(2)

11

00 coscos2cos4cos22n

nn

n nxxanxaxaa , sau

echivalent (3)

11

00 )1cos()1cos(cos4cos22n

nn

n xnxnanxaxaa


118

Funcþia g(x)=2 poate fi consideratã ca o funcþie parã , dezvoltabilã în serie Fourier de cosinusuri pe toata axa realã, de unde, þinând seama de egalitatea a doua serii Fourier, obþinem: 2=2a0+a1 0=a0+4a1+a2 �� 0=4ak+ak+1+ak-1 (k=1,2,��)

ªirul (ak)k este un ºir ce verificã relaþia de recurenþã liniarã:

(3) ak=-4ak-1-ak-2 ; 3

320 a ;

3

3461

a

Ecuaþia caracteristicã asociatã ºirului (3) este: 0142 rr cu soluþiile: 321 r ; 322 r de unde ºirul (ak)kN va fi de forma

(4) kkka )32()32( 21 ; constantele 1 , 2 determinându-se din

condiþiile iniþiale , obþinem 01 , 3

322 , si deci k

ka )23(3

32

Prin urmare seria Fourier ataºata funcþiei f este:

(5)

1

cos232

32

2

3)(

n

nnxxf

Observaþie: Din relaþia (5) þinând cont cã:

0 cos2

cos2dx

x

nxan obþinem evident cã:

0

200123

3

3

cos2

2001cosdx

x

x

4.Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia periodica de perioadã ð ,definitã pe ,0 prin

relaþia axexf )( Rezolvare:

Se observã cã pentru a<0, f are graficul urmãtor:


119

Condiþiile lui Dirichlet sunt evident îndeplinite. Dacã în punctele de

discontinuitate x=kð atribuim funcþiei valoarea : )1(2

1)( aekf , seria Fourier a

funcþiei f este convergenta pentru orice x si are suma egala cu f pentru toate valorile lui x.

Deoarece T=ð , 22

T

avem:

1

0 )2sin2cos()(n

nn nxbnxaaxf cu

0

0

1dxea ax = )1(

1

ae

a

Integralele care dau pe an , bn , sunt:

0

2cos2

nxdxea axn ,

0

2sin2

nxdxeb axn

care pot fi calculate împreunã astfel:

0

)2(1dxeiba xnia

nn =

ae

na

nia

14

2222

de unde rezultã, folosind egalitatea a doua numere complexe, cã:

22 4

11

2

nae

aa a

n

;

22 41

4

na

neb a

n

Deci:

122 4

2sin22cos2

11)(

n

a

na

nxnnxa

a

exf

5.Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier, funcþia:

ax

aax

ax

xf

||,0

0,,2

1||,1

)(


120

Rezolvare:

Funcþia de mai sus se numeºte factorul discontinuu al lui Dirichlet. Fiind îndeplinite condiþiile din teorema de reprezentare a unei funcþii printr-o integrala Fourier ºi þinând seama ca:

def tiu )()( =

a

a

tiu de )( = aueu

iut sin2

avem:

dueu

auxf iuxsin1)(

=

du

u

uxau cossin1

+

du

u

uxaui cossin

=

=

du

u

uxau cossin2

deoarece 0

cossin

duu

uxau (funcþia de sub integrala este

imparã). 6.Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier funcþia:

nx

nxxxf

||,0

||,sin)( n fiind un numãr natural.

Rezolvare:

Funcþia din enunþ fiind imparã, vom folosi atunci relaþia:

00

sin)(sin2

)(

dufuxduxf

Avem mai departe cã:

n

duduf00

sinsinsin)( =

duiun

0

)1cos()cos(2

1=


121

=

01

)1sin(

1

)1sin(

2

1

n

u

u

u

u

=

1

)1sin(

1

)1sin(

2

1

u

nu

u

nu

si observând ca: nununu n sin)1()1sin()1sin( ,obþinem:

1

sin)1(sin)(

20

u

nuduf

n ,

deci: duu

uxnuxf n

0

2 1

sinsin2)1()(

7. Folosind transformata Laplace, calculaþi integrala:

022

2001cosdx

xa

x

Rezolvare:

Considerãm funcþia auxiliarã:

022

cos)( dx

xa

txtI ,t>0 ºi observãm cã:

02222 ))(( xaxp

pdxtI , deoarece

22cos

xp

ptx

Cum222222222222

1111

))(( xaapxpapxaxp

p

, se obþine cã:

apaa

xarctg

aapp

xarctg

aptI

1

2

111

0

2222

, de unde:

atea

tI 2

)(

ºi fãcând t=2001, obþinem cã :

0

2001

22 2

2001cos aeaax

x

8.Folosind transformata Laplace, sã se calculeze integralele lui Fresnel;

0

21 sin dxxI si

0

22 cos dxxI

Rezolvare:

Considerãm funcþiile:


122

0

21 sin)( dxtxtI si

0

22 cos)( dxtxtI

Aplicând transformata Laplace, avem: tI1 =

0

2sin dxtx = dxtx

0

2sin =

02

2

dxxp

x;

cum: 42

2

xp

x

=

pxpx

x

pxpx

x

p 2222

122

,

avem: tI1 =

0 022 2222

1

pxpx

xdx

pxpx

xdx

p=

=

pp

pxarctg

p

pxarctg

pxpx

pxpx

p 22

122

2

2ln

2

1

22

1

0

2

2

Analog : tI 2 =

0

2cos dxtx = dxtx

0

2cos =

042

dxxp

p;

cum: 42 xp

p

=

pxpx

px

pxpx

px

p 2

2

2

2

22

122

,avem

tI 2 = =

pp

pxarctg

p

pxarctg

pxpx

pxpx

p 22

22

2

2ln

22

1

0

2

2

De aici se obþine evident:

ttpp

II22

1

2

11

22

1

222211

21

Trecând la limitã pentru 1t obþinem 22

121

II

9.Sã se integreze ecuaþia: tetyyyy 2'''''' 33 , cu condiþiile iniþiale: y(+0)=1 ; y�(+0)=0 ; y��(+0)=-2


123

ºi sã se determine integrala generala a ecuaþiei. Rezolvare: Pentru determinarea soluþiei particulare avem: ty =Y(p) ; ty ' =pY(p)-1 ; ty '' =p2Y(p)-p ;

ty ''' =p2Y(p)-p2+2 ºi obþinem:

3

23

)1(

213)(133

ppppYppp ,sau:

632 )1(

2

)1(

1

)1(

1

1

1)(

pppppY

De aici se obþine evident cã:

tett

tty

6021)(

52

Pentru determinarea integralei generale o sã procedam analog, cunoscând cã: y(+0)=a ; y�(+0)=b ; y��(+0)=c (constante arbitrare)

Cum: ty =Y(p) ; ty' =pY(p)-a ; ty '' =p2Y(p)-ap-b ;

ty ''' =p3Y(p)-ap2-bp-c, aplicând transformata Laplace ecuaþiei, obþinem:

3

23

1

2)33()3()1(

pabcpabapYp de unde :

326 )1(

2

)1(1)1(

2)(

p

abc

p

ab

p

a

ppY ºi deci:

tttt etCteCeCt

ety 2321

5

!5

2)( este integrala generala;

s-a notat aC 1 ; abC 2 ; 2

23

abcC

10.Folosind transformata Laplace, sã se integreze sistemul de ecuaþii diferenþiale:

0'2''

sin22''

xyx

tyxyx

cu condiþiile iniþiale x(+0)=x�(+0)=y(+0)=0

Rezolvare: Dacã txXpX )( si tyYpY )( , aplicând transformata Laplace se obþine:


124

02)1(1

1)2()2(

2

2

pYXpp

YpXp

folosind metoda lui Cramer, soluþia acestui sistem va fi:

1X ,

2Y

unde:

)2()1(21

)2(2 22

pp

pp

pp

1

2

20

)2(1

1

22

1

p

p

p

pp , 1

011

12

2

22

pp

p, de

unde:

)1(5

2

)2(45

4

)1(3

1

)1(9

1

)1)(2()1(

2)(

2222

p

p

pppppp

ppX

)2(9

1

)1(3

1

)1(9

1

)2()1(

1)(

22

ppppp

pY

de unde:

ttt

ttt

eteety

tteteetx

2

2

9

1

3

1

9

1)(

sin5

2cos

5

1

45

4

3

1

9

1)(

Probleme nerezolvate 1.Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia;

)1()( xxxf , ,x 2.Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia;

,,1||,cos21

1)(

2

2

xa

axa

axf

3. Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia;


125

,,1||,cos21

cos1)(

2

xaaxa

xaxf

4. Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia :

2

,2

-xx),arcsin(cos=f(x)

5. Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier funcþia :

x

xxxf

,0

,sin)(

6. Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier funcþia :

),0(,1

),(,1

0||,0

)(

ax

aax

ax

xf si 2

1)(,

2

1)(,0)0( afaff

7. Folosind transformata Laplace , sã se arate cã :

0

).0,0(lncoscos

baa

bdt

t

btat

8. Folosind transformata Laplace, sã se integreze ecuaþia

1x2x''2x'''x' cu 0)('x'0)(x'0)x( 9. Folosind transformata Laplace sã se integreze sistemul :

04'5'''

0'2'3''

yyyxx

yyxxx, ºtiind cã:

10)y( , 00)(y'0)(x'0)x(

10. Folosind transformata Laplace , sã se rezolve ecuaþia integralã:

t

0

-t )()e-(tcostx(t) dx

ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II

Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul doi; 2. Sã aducã la forma canonicã ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul doi; 3. Sã rezolve ecuaþia omogenã a coardei vibrante, ecuaþia propagãrii cãldurii; 4. Sã defineascã ºi sã rezolve problema lui Dirichlet pentru cerc; 5. Sã defineascã funcþiile speciale; 6. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina

11.1. Probleme de fizicã matematicã ce conduc la ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul al doilea

Se poate spune fãrã exagerare cã mai toate problemele clasice ale fizicii

matematice conduc la ecuaþii liniare cu derivate parþiale de ordinul al doilea în douã sau

mai multe variabile. Vom lua numai cazul fenomenelor electromagnetice, în care putem

întâlni cele trei tipuri de ecuaþii liniare cu derivate parþiale de ordinul al doilea.

Un câmp electromagnetic este caracterizat prin prezenþa într-o anumitã regiune a

spaþiului a cinci vectori care cu notaþia clasicã sunt:

E - intensitatea câmpului electric;

B - inducþia magneticã;

D - deplasarea electricã;

H - intensitatea câmpului magnetic;

J - densitatea de curent.

Aceºti cinci vectori satisfac la un sistem de ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul

întâi (ecuaþia lui Maxwell):

ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________

127

rotE

B

trotH J

D

t

divB divD

;

;0

(11.1)

fiind densitatea de sarcinã.

În plus, în mediile omogene ºi izotrope sunt satisfãcute ºi urmãtoarele relaþii de

dependenþã liniarã între cei cinci vectori:

D E B H J E , ,

(11.2)

unde: - permitivitatea mediului;

- permeabilitatea mediului;

- conductivitatea mediului.

Sã considerãm câteva cazuri particulare ale ecuaþiilor (11.1) ºi (11.2).

i. fenomene staþionare (obiectul electrostasticii, magnetostaticii etc.)

Un fenomen se zice staþionar dacã el nu prezintã variaþii în timp. În cazurile

menþionate vectorii E , B , D , H sunt presupuºi independenþi de timp ºi

J 0 .

În aceste ipoteze, ecuaþiile se separã (vectorii E ºi

H devin independenþi unul

faþã de altul); vom avea:

rotE D E divD 0, ,

(11.3)

rotH divB 0 0,

(11.4)

Dupã cum se ºtie, dacã rotA 0 rezultã cã existã V o funcþie potenþialã astfel

încât:

A gradV

Din primele douã ecuaþii din (11.3) ºi (11.4) obþinem:


128

E gradV H gradVE M ,

(11.5)

cu VE ºi VM potenþiale scalare respectiv electric ºi magnetic.

Când ºi sunt constanþi, celelalte ecuaþii din (11.3) ºi (11.4) ne dau:

divB div H divgradVM

0

(11.6)

divD div E divgradVE

(11.7)

Dacã notãm cu operatorul diferenþial de ordinul al doilea div grad (laplacian) atunci

cele douã funcþii potenþiale VM ºi VE sunt soluþii ale urmãtoareloe ecuaþii cu derivate

parþiale de ordinul al doilea:

VM 0 (ecuaþia lui Laplace)

(11.8)

ºi

V f x y zE

, , (ecuaþia lui Poisson)

(11.9)

care în coordonate carteziene se scriu sub forma:

2

2

2

2

2

20

V

x

V

y

V

zM M M

(11.10)

2

2

2

2

2

2

V

x

V

y

V

zf x y zE E E , ,

(11.11)

ii. fenomene de propagare care apar în electromagnetism, termodinamicã etc.


129

Sã presupunem acum cã cei cinci vectori sunt funcþii ºi de timp ºi sã separãm din

ecuaþiile (11.1) ºi (11.2) ecuaþiile satisfãcute de E ºi

H . Pentru a elimina pe

B ºi pe

H vom aplica operaþia rot primei ecuaþii (11.1).

rot rotE rotB

t trotB

trotH

(11.12)

(presupunem cã este constant).

Þinând seama de (11.2) a doua ecuaþie din (11.1) se poate scrie:

rotH EE

t

(11.13)

( constant) expresie care introdusã în (11.12) ne dã:

rot rotEE

t

E

t

2

2

(11.14)

Folosind identitatea vectorialã:

rot rotE grad divE E

(11.15)

putem deduce din ultima ecuaþie (11.1):

divE

(11.16)

ºi în ipoteza cã = 0 obþinem atunci urmãtoarea ecuaþie verificatã de cãtre vectorul E :

EE

t

E

t

2

2

(11.17)


130

care este satisfãcutã de altfel ºi de vectorii J ºi H cum se poate verifica uºor. Aceastã

ecuaþie vectorialã este echivalentã cu trei ecuaþii scalare de forma:

2

2

2

2

2

2

2

2

u

x

u

y

u

za

u

tb

u

t

(11.18)

satisfãcute de componentele vectorului E .

O ecuaþie de forma:

2

2

2

2

2

2 2

2

2

10

u

x

u

y

u

z c

u

t

(11.19)

se numeºte o ecuaþie de propagare a undelor.

11.2. Forma generalã

Ecuaþiile cu derivate parþiale care se întâlnesc de obicei în problemele fizicii ºi

tehnicii sunt ecuaþii de ordinul al doilea pentru funcþii reale de douã sau mai multe

variabile reale.

De exemplu relaþia:

F x y u u u u u ux y xx xy yy, , , , , , , 0

(11.20)

în care F E R R: 8 este o ecuaþie cu derivate parþiale de ordinul al doilea pentru

funcþia u de douã variabile reale x, y.

Am notat: uu

xu

u

yx yy

, ,

2

2.

Forma generalã a unei ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul al doilea pentru o

funcþie u de patru variabile x, y, z, t este:


131

F x y z t u u ux tt, , , , , , , 0

(11.20�)

Semnificaþii posibile: x, y, z coordonatele unui punct M dintr-o mulþime,

D R 3, t - timpul, u o mãrime fizicã ale cãrei valori depind de M ºi de t.

Sã ne ocupãm pentru început de ecuaþii de ordinul al doilea pentru funcþii de douã

variabile; definiþiile ºi consideraþiile care urmeazã pot fi extinse apoi la cazul funcþiilor de

n variabile (n > 2).

Definiþia 11.1. O funcþie f D R R: 2 ( D o mulþime deschisã) se

numeºte soluþie a ecuaþiei (11.20) pe mulþimea D dacã:

i. f admite derivate parþiale de ordinul doi pe D;

ii. x y f x y f x y f x y E pentru o Dx yy, , , , , , , , rice x,y ;

iii. F x y f x y f x y f x y pentru ori Dx yy, , , , , , , , 0 ce x,y .

Observaþia 11.1. Dacã f este soluþie pe D a ecuaþiei (11.20) suprafaþa (S) care are

ecuaþia z f x y D , cu x,y se numeºte suprafaþã integralã a ecuaþiei (11.20).

Observaþia 11.2. Notaþiile lui Monge sunt:

pu

xq

u

yr

u

xs

u

x yt

u

y

, , , ,

2

2

2 2

2

În problemele fizicii prezintã interes numai o anumitã soluþie particularã prin

condiþii suplimentare impuse de problema respectivã. Totuºi este util sã cunoaºtem gradul

de generalitate al familiei formate cu soluþiile unei ecuaþii cu derivate parþiale cel puþin în

anumite condiþii restrictive.

Sã presupunem cã ecuaþia (11.20) poate fi scrisã sub forma:

2

2

u

xx y u u u u ux y xy yy , , , , , ,' ' " "

(11.21)

sau cu notaþiile lui Monge:


132

r x y u p q s t , , , , , ,

(11.21�)

Fie M0(x0,y0) un punct din planul variabilelor x, y ºi u(x,y) o soluþie a ecuaþiei

(11.21). Notãm cu p q s t0 0 0 0, , , valorile derivatelor parþiale ale funcþiei u = u(x,y) în

punctul M0. Va trebui sã avem evident:

r x y u p q s t0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , ,

Are loc în acest sens:

Teorema 11.1. (Cauchy - S. Kovalevskaia)

Dacã x y u p q s t, , , , , , este o funcþie analiticã în raport cu argumentele

sale într-o vecinãtate a punctului x y u p q s t0 0 0 0 0 0 0, , , , , , ºi dacã se dau

condiþiile:

u x y y x y y0 0 1, , ºi ux'

(11.22)

unde ºi 1 sunt douã funcþii date (analitice într-o vecinãtate a lui y0) atunci existã o

funcþie u = u(x,y) ºi numai una singurã care satisface ecuaþia (11.21�) ºi condiþiile

(11.22); aceastã soluþie este analiticã într-o vecinãtate a punctului M0(x0,y0).

Demonstraþia acestei teoreme este foarte laborioasã (nu o dãm) însã sã dãm o

interpretare geometricã a condiþiilor (11.22).

Funcþiile y y ºi 1 1 joacã rolul constantelor arbitrare din

teoria ecuaþiilor diferenþiale ordinare. Date fiind aceste funcþii, condiþiile (11.22) sunt

analoage condiþiilor iniþiale la care este supusã soluþia unei ecuaþii diferenþiale ordinare de

ordinul al doilea.

Soluþia y = y(x) a ecuaþiei diferenþiale:

y G x y y" ', ,


133

care satisface condiþiile y(x0) = y0, y�(x0) = m0 se reprezintã printr-o curbã (C): y = y(x).

Aceastã curbã trece prin punctul P0(x0,y0) ºi are tangenta în P0 determinatã prin

coeficientul sãu unghiular m0.

Soluþia u = u(x,y) a ecuaþiei (11.21) care satisface condiþiile (11.22) se reprezintã

printr-o suprafaþã (S) de ecuaþia u = u(x,y) numitã suprafaþã integralã a ecuaþiei (11.21).

Prima condiþie (11.22) aratã cã S trece prin curba:

: ,x x u y 0

iar a doua împreunã cu derivata primei egalitãþi precizeazã parametrii directori ai

normalei la suprafaþã în fiecare punct al curbei :

p y q y 1 1; ;'

În ipotezele din teorema enunþatã mai sus existã o suprafaþã integralã ºi numai

una singurã care trece prin curba ºi care are în fiecare punct de pe planul tangent

determinat de condiþiile (11.22).

Problema determinãrii unei suprafeþe integrale supusã acestor condiþii se numeºte

problema lui Cauchy.

Definiþia 11.2. Orice ecuaþie de forma:

a x yu

xb x y

u

x yc x y

u

yd x y u u ux y, , , , , , ,

2

2

2 2

22 0

(11.23)

se numeºte ecuaþie cvasiliniarã; funcþiile

a b c D R R d D R R, , : ; : 2 2 3

Dacã ultimul termen este de forma:

d x y u u u x yu

xx y

u

yx y u x yx y, , , , , , , ,

cu , , , : D R ecuaþia se numeºte liniarã.

Dacã = 0 pentru orice x y D, ecuaþia se numeºte liniarã ºi omogenã.


134

Observaþia 11.3. În cele ce urmeazã vom presupune cã a, b, c (coeficienþii

derivatelor de ordinul al doilea) sunt funcþii de clasã C2(D).

Problema lui Cauchy pentru ecuaþia (11.23) este: sã se determine o suprafaþã

integralã () a acestei ecuaþii cu proprietãþile:

i. conþine o curbã D R ;

ii. are în fiecare punct al curbei un plan tangent dat.

Curba împreunã cu planele tangente date, formeazã o bandã de elemente de

contact pentru suprafaþa integralã .

Considerãm problema lui Cauchy în ipotezele:

i. curba este parametrizatã:

x x y y z z I R , ,

(11.24)

netedã ºi fãrã puncte singulare, deci curba admite în fiecare punct o tangentã unic

determinatã cu parametrii directori x�(x); y�(x); z�(x) cu x�, y�, z� funcþii continue pe

intervalul I.

Parametrii directori ai normalei la planul tangent dat în punctul

x x y x z x, , îi notãm cu P(x), Q(x), -1.

ii. pe lângã funcþiile (11.24) sunt date alte douã funcþii P Q I R, : de clasã C1 ºi

care satisfac:

P x Q y z pentru orice I ' ' ' 0

(relaþie ce rezultã din condiþia ca în fiecare punct al curbei norma la suprafaþa integralã

care conþine curba sã fie perpendicularã pe tangenta la ).

Definiþia 11.3. Se numeºte caracteristica ecuaþiei (11.23) orice bandã de elemente

de contact pentru care problema lui Cauchy este nedeterminatã. Curba (suport al unei

caracteristici) se numeºte curbã caracteristicã.

Observaþia 11.4. Proiecþiile curbelor caracteristice pe planul xOy au un rol

important în clasificarea ºi studiul ecuaþiilor de forma (11.23) - le vom determina în

ipotezele enunþate mai sus cu privire la ºi funcþiile P ºi Q.


135

Fie u = f(x,y) ecuaþia unei suprafeþe integrale. Cu notaþiile lui Monge vom avea:

pf

xq

f

yr

f

xs

f

x yt

f

y

, , , ,

2

2

2 2

2

scriem cã f este soluþie a ecuaþiei (11.23) pe D ºi obþinem:

ar bs ct d D 2 0 pentru orice x,y

(11.23�)

Se ºtie cã pentru orice M cordonatele sale sunt date de (11.24), evident cã:

P p x y Q q x y , ; ,

Notând cu:

A a x y B b x y , ; , ,

egalitatea (11.23�) fiind verificatã pe D, este verificatã în toate punctele curbei 0 D ,

0 fiind proiecþia curbei pe xOy avem:

AR BS CT D 2 0 pentru orice I

Deoarece

Pp

xx

p

yy

Qq

xx

q

yy

' ' '

' ' '

pentru orice I obþinem încã douã egalitãþi care împreunã cu egalitatea de mai sus

formeazã:

AR BS CT D

x R y S P

x S y T Q

2 0

0

0

' ' '

' ' '

Dacã problema lui Cauchy admite soluþie unicã, derivatele de ordinul al doilea r,

s, t sunt unic determinate în toate punctele curbei , adicã sistemul de mai sus trebuie sã

admitã o soluþie unicã (R, S, T).


136

Dacã sistemul de mai sus este incompatibil va fi o curbã caracteristicã. Pentru

aceasta este necesar ºi suficient ca:

A B C

x y

x y

2

0

0

0' '

' '

sau dezvoltat:

A y B x y C x ' ' ' '2 22 0

(11.24)

Oricãrei soluþii a acestei ecuaþii diferenþiale îi va corespunde o curbã 0 D ,

proiecþia pe xOy a unei curbe caracteristice.

Observaþia 11.5. Dacã luãm ca parametru variabila x, adicã o reprezentare

parametricã a curbei 0 de forma x = x, y = y(x) avem:

A x a x y x B x b x y x C x c x y x , , , , ,

ºi ecuaþia diferenþialã (11.24) va lua forma:

a x y y b x y y c x y, ' , ' ,2 2 0

(11.24�)

cu o singurã funcþie necunoscutã.

Ecuaþia (11.24�) se desface în douã ecuaþii diferenþiale sub forma canonicã:

y x y y x y' ', , , 1 2

(11.25)

unde 1 ºi 2 sunt rãdãcinile ecuaþiei:

a b c 2 2 0

(11.26)

Orice soluþie a ecuaþiei (11.24�) este soluþie a uneia dintre cele douã ecuaþii

(11.25) ºi orice soluþie a uneia dintre cele douã ecuaþii (11.25) este soluþie a ecuaþiei

(11.24�).


137

ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II: HIPERBOLICE, PARABOLICE ªI ELIPTICE. REDUCEREA LOR LA FORMA CANONICÃ

Definiþia 12.1. Fie D0 un subdomeniu al lui D. Notãm cu b ac2 .

i. dacã x y D, 0 0 pentru orice x,y se spune cã ecuaþia cvasiliarã

(11.23) este de tip hiperbolic pe D0;

ii. dacã x y D, 0 0 pentru orice x,y ecuaþia (11.23) este de tip parabolic

pe D0;

iii. dacã x y D, 0 0 pentru orice x,y ecuaþia (11.23) este de tip eliptic pe

domeniul D0.

Se poate întâmpla însã ca sã fie o funcþie care pe D sã ºi valori pozitive ºi valori

negative; atunci se cautã subdomenii ale lui D pe care ecuaþia (11.23) poate fi încadratã în

unul din cele trei tipuri.

Observaþia 12.1. Fie D D0 un domeniu pe care sau pãstreazã un semn

constant sau este nul.

Sã presupunem cã integralele generale ale ecuaþiilor (11.25) pot fi scrise sub

forma:

1 1 2 2x y k x y k, , ,

(12.1)

unde k1 ºi k2 sunt constante arbitrare reale sau complexe dupã cum 1 ºi 2 sunt funcþii

reale sau complexe.

Aceste douã ecuaþii reprezintã cele douã familii de caracteristice:

reale ºi distincte dacã ecuaþia (11.23) este de tip hiperbolic;

se reduce la o singurã familie realã în cazul parabolic;

în cazul când ecuaþia (11.23) este de tip eliptic 1 ºi 2 sunt imaginar conjugate.

În ipoteza cã 1 21

0, C D avem:


138

1 1 2 20 0x y

yx y

y ' ',

Eliminând pe y� între aceste douã relaþii ºi (11.24�) obþinem:

a x yx

b x yx y

c x yy

i i i i, , ,

2 2

2 0

(12.2)

unde i = 1, 2.

Deci funcþiile i i 1 2, sunt soluþii ale unor ecuaþii cu derivate parþiale de

ordinul întâi neliniare.

În cele ce urmeazã considerãm ecuaþia (11.23) pe un domeniu D D0 ºi o

schimbare de variabilã arbitrarã:

T D T D: 0 0 0

x y x y cu C D, , , , 20

(12.3)

ºi

D

D x yD

,

, 0 0oricare ar fi x,y

În ipotezele fãcute transformarea (T) poate fi inversatã cel puþin local; fie inversa

sa:

x x y y , , ,

(12.3�)

Cu aceastã schimbare de variabile vom obþine din ecuaþia (11.23) o nouã ecuaþie

cu derivate parþiale pentru funcþia U cu:

U u x y pe , , , , 0

Þinând seama cã u x y U x y x y, , , , avem:


139

u

x

U

x

U

x

u

y

U

y

U

y ;

2

2

2

2

2 2 2

2

2 2

2

2

22

u

x

U

x

U

x x

U

x

U

x

U

x

2 2

2

2

2

2

2 2

u

x y

U

x y

U

x y y x

U

x y

U

x y

U

x y

2

2

2

2

2 2 2

2

2 2

2

2

22

u

y

U

y

U

y y

U

y

U

y

U

y

Înlocuind în (11.23) obþinem:

AU

BU

CU

D UU U

, , , , , , ,2

2

2 2

22 0

(12.4)

unde:

A a x yx

b x yx y

c x yy

B a x yx x

b x yx y y x

c x yy y

C a x yx

b x yx y

c x yy

, , , ,

, , , ,

, , , ,

2 2

2 2

2

2

(12.5)

Observaþia 12.2. A nu se confunda funcþiile A, B, C din (12.5) cu funcþiile din

capitolul 11.


140

Teorema 12.1. Pentru orice schimbare de variabile (12.3) care îndeplineºte

condiþiile expuse pe un domeniu D0 pe care ecuaþia (11.23) este de un anumit tip, ecuaþia

(12.4) obþinutã va avea acelaºi tip pe 0.

Existã schimbãri de variabilã prin care ecuaþia cvasiliniarã (11.23) poate fi adusã

la o formã relativ simplã, numitã forma canonicã ºi anume:

i. dacã ecuaþia este de tip hiperbolic, forma canonicã este:

2UF U

U U

, , , ,

(12.6)

ii. dacã ecuaþia este de tip parabolic, forma canonicã este:

2

2

UG U

U U

, , , ,

(12.7)

iii. dacã ecuaþia este de tip eliptic, forma canonicã este:

2

2

2

2

U UH U

U U

, , , ,

(12.8)

Demonstraþie: se verificã foarte uºor prin calcul cã oricare ar fi schimbarea de

variabile (12.3) cu , C D2 avem:

B AC b acD

D x y2 2

2

,

,

Cum prin ipotezã

D

D x y

,

, 0 pe D0 vom avea B2 - AC ºi b2 - ac sau au acelaºi

semn, sau sunt amândouã nule pe 0 respectiv D0.

i. în cazul când ecuaþia (11.23) este de tip hiperbolic, funcþiile 1 ºi 2 din (11.25) sunt

reale ºi distincte.


141

Considerând soluþiile generale ale ecuaþiei (11.25) sub forma (12.1), funcþiile 1

ºi 2 sunt de asemenea reale ºi distincte ºi au loc egalitãþile (12.2).

Comparând (12.2) cu (12.5) rezultã cã pentru schimbarea de variabile

1 2x y x y, , , vom avea A = 0, C = 0 din (12.4) ºi:

2 02

BU

D UU U

, , , , ,

în care B , 0 oricare ar fi , 0 (B2 - AC >0 pe 0).

ii. dacã ecuaþia (11.23) este de tip parabolic cele douã funcþii 1 ºi 2 se reduc la una

singurã pe care o notãm cu ºi care verificã o egalitate de forma (12.2):

a x yx

b x yx y

c x yy

, , ,

2 2

2 0

(12.9)

Pe de altã parte, rãdãcina dublã a ecuaþiei (11.26) verificã ºi ecuaþia

a b 0 , echivalentã cu a x y y b x y, ,' 0 . Eliminând pe y între aceastã

ecuaþie ºi ecuaþia

x y

y ' 0 se obþine:

a x yx

b x yy

, ,

0

(12.10)

Prin ipotezã b ac2 0 . Dacã a sau c este nul pe D0 rezultã cã b=0 pe D0 ºi în

acest caz ecuaþia (11.23) conþine un singur termen de ordinul al doilea.

Sã presupunem cã a ºi c nu se reduc la funcþia nulã pe D0; în acest caz nici b nu

se reduce la funcþia nulã; rezultã din (12.10) cã nu putem avea nici una din situaþiile

x

0 pe D0 sau y

0 pe D0 deci depinde efectiv de ambele variabile.


142

Schimbarea de variabile x y x, , datoritã egalitãþilor (12.9) ºi

(12.10) va da:

A B C a x b , , , , , , , , 0 0

oricare ar fi , 0 .

iii. în cazul când ecuaþia (11.23) este de tip eliptic, funcþiile 1 ºi 2 sunt imaginar

conjugate, deci 1 ºi 2 sunt de forma:

1

2

x y v x y iw x y

x y v x y iw x y

, , ,

, , ,

Înlocuind în (12.2) ºi separând pãrþile reale ºi pãrþile imaginare, obþinem:

av

x

w

xb

v

x

v

y

w

x

w

yc

v

y

w

y

2 2 2 2

2 0

ºi

av

x

w

xb

v

x

w

y

v

y

w

xc

v

y

w

y

0

Cu schimbarea de variabile v x y w x y, , , din (12.5) ºi din

ultimele douã egalitãþi obþinute mai sus rezultã:

B A C , , , , , 0 0 oricare ar fi

Ecuaþii liniare ºi omogene în raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficienþi constanþi

Definiþia 13.1. Ecuaþia:


143

au

xb

u

x yc

u

y

2

2

2 2

22 0

(13.1)

cu a, b, c constante se numeºte ecuaþie liniarã ºi omogenã.

Ecuaþia diferenþialã a proiecþiilor curbelor caracteristice pe planul xOy este:

ady

dxb

dy

dxc

2

2 0

(13.2)

ale cãrei rãdãcini sunt constante. Ecuaþia (13.2) se înlocuieºte evident prin ecuaþiile:

dy dx dy dx 1 20 0,

care se integreazã imediat ºi se obþine:

y x k y x k 1 1 2 2,

unde k1 ºi k2 sunt constante.

Vom aduce ecuaþia (13.1) la forma canonicã dupã cum urmeazã:

i. dacã ecuaþia (13.1) este de tip hiperbolic rãdãcinile 1, 2 sunt reale ºi distincte. Cu

schimbarea de variabile:

y x y x1 2,

(13.3)

ecuaþia devine:

20

u

(13.4)

Într-adevãr, din calculul derivatelor care urmeazã schimbãrii de variabile, þinând

seama de faptul cã funcþiile (13.3) sunt liniare în x ºi y deducem:

2

2 12

2

2 1 2

2

22

2

22

u

x

u u u


144

2

1

2

2 1 2

2

2

2

2

u

x y

u u u

2

2

2

2

2 2

22

u

y

u u u

Înlocuindu-le în (13.1) ºi þinând seama cã 1 ºi 2 sunt rãdãcinile ecuaþiei

a b c 2 2 0 unde dy

dx obþinem ecuaþia:

4 02 2ac b

a

u

Ecuaþia (13.4) se integreazã imediat, scrisã sub forma:

u

0

(13.4�)

Rezultã cã

u nu depinde de . Reciproc orice funcþie f() cu

uf verificã

(13.4�).

Integrând ultima relaþie se obþine:

u f d

unde este o funcþie arbitrarã. Dacã notãm cu o primitivã a lui f(), soluþia

generalã a ecuaþiei (13.4) se scrie sub forma:

u

(13.5)

unde , sunt funcþii arbitrare.

Revenind la vechile variabile, soluþia generalã a ecuaþiei (13.1) este:

u x y y x y x, 1 2


145

ii. dacã ecuaþia este de tip parabolic (în ipoteza a 0 ) rezultã cã 1 2 b

a ºi

ecuaþia diferenþialã (13.2) se reduce la ady bdx 0 , cu soluþia ay bx k

(k - constantã).

Schimbarea de variabile ay bx x, aduce ecuaþia (13.1) la forma

canonicã:

2

20

u

(13.6)

deoarece:

2

22

2

2

2 2

22

u

xb

ub

u u

y

2 2

2

2u

x yab

ua

u

2

22

2

2

u

ya

u

ºi înlocuind în (13.1) obþinem ecuaþia:

a ac bu

au

22

2

2

20

care este ecuaþia (13.6).

Ecuaþia (13.6) se integreazã pe aceeaºi cale ca ecuaþia (13.4) dupã cum urmeazã:

u

0

rezultã

u ºi integrând încã o datã obþinem:


146

u

cu , - funcþii arbitrare.

Revenind la vechile variabile, orice soluþie a ecuaþiei (13.1) este de forma:

u x y x ay bx ay bx,

iii. în cazul când ecuaþia este de tip eliptic, forma canonicã este ecuaþia lui Laplace:

2

2

2

20

u u

pentru care nu mai putem scrie mulþimea soluþiilor folosind funcþii reale arbitrare.

13.2. Metoda schimbãrii variabilelor

Am vãzut în (13.1) cã dacã ecuaþia cu derivate parþiale (13.1) este de tip

hiperbolic sau parabolic, printr-o schimbare de variabile convenabile ecuaþia poate fi

adusã la forma canonicã ºi apoi integratã.

În problemele fizicii, de obicei nu ne intereseazã soluþia generalã a ecuaþiei, ci o

anumitã soluþie particularã care satisface unele condiþii impuse. În cele ce urmeazã vom

arãta pe un exemplu cum se determinã acea soluþie.

Sã considerãm o coardã de lungime l care, în repaus ocupã poziþia segmentului

OA al axei Ox. Fie M un punct arbitrar al coardei ºi M0(x) poziþia sa de repaus. Într-o

primã aproximare se presupune cã punctul M în miºcare rãmâne într-un plan

perpendicular pe OA. Deplasarea u de la M0 la M depinde de x ºi de timpul t. Se

demonstreazã în absenþa unor forþe exterioare coardei cã funcþia x t u x t, ,

verificã ecuaþia:

2

2 2

2

2

10

u

x c

u

t

(13.7)


147

(s-a notat cT

2

0

unde este masa specificã liniarã a coardei iar T0 tensiunea la care

este supusã coarda în poziþia de repaus).

Aceastã ecuaþie se întâlneºte ºi în probleme de propagare a undelor (acustice,

optice, electromagnetice) ºi se numeºte ecuaþia undelor. Când c2 are alte semnificaþii se

numeºte ecuaþia oscilaþiilor coardei.

Ne ocupãm în cele ce urmeazã de problema vibraþiilor coardei ºi vom cãuta

soluþia ecuaþiei (13.7) care îndeplineºte condiþiile iniþiale:

u x f xu

tx g x x l, , , ,0 0 0

(13.8)

ºi vom presupune cã f g C R, 1.

Observaþia 13.1. Prima ecuaþie din (13.8) ne dã poziþia iniþialã a fiecãrui punct

M de pe coardã, iar a doua viteza iniþialã pentru fiecare punct al coardei.

Se pune problema determinãrii funcþiei u R R: , 0 care verificã

ecuaþia (13.7) ºi satisface relaþiile (13.8). Pentru aceasta vom aduce ecuaþia la forma

canonicã.

Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:

dt

dx c

2

21

care se desface în douã:

dx cdt

dx cdt

0

0

ºi are soluþiile x ct k x ct k 1 2, , cu k1, k2 constante de integrare.

Se observã cã ecuaþia (13.7) este de tip hiperbolic conform teoremei (12.1). Cu

schimbarea de variabile: x ct x ct, ea devine:


148

20

u

Integrala generalã a acestei ecuaþii este:

u

sau revenind la vechile variabile:

u x t x ct x ct,

(13.9)

unde ºi sunt douã funcþii arbitrare care admit derivate de ordinul al doilea.

Urmeazã sã determinãm funcþiile ºi astfel încât funcþia u sã verifice

condiþiile iniþiale (13.8). Þinând cont cã:

u

tc x ct c x ct ' '

avem:

x x f x

c x c x g xR

' 'pentru orice x

sau echivalent:

x x f x

x xc

g dx

x

1

0

de unde rezultã:

x f xc

g d

x f xc

g d

x

x

x

x

1

2

1

2

1

2

1

2

0

0

Prin urmare:


149

x ct f x ctc

g d

x ct f x ctc

g d

x

x ct

x

x ct

1

2

1

2

1

2

1

2

0

0

Introducând în (13.9) obþinem:

ctx

ctx

dgc

ctxfctxftxu 2

1

2

1,

Observaþia 13.2. Metoda prin care am obþinut aceastã soluþie se numeºte metoda

schimbãrii variabilelor sau metoda lui D�Alembert ºi Euler.

14.1. Metoda separãrii variabilelor (Bernoulli ºi Fourier)

Sã considerãm ecuaþia cu derivate parþiale de ordinul al doilea liniarã ºi omogenã:

a xu

xb x

u

xt

u

tt

u

tc x t u

2

2

2

20

(14.1)

cu a, b, c - funcþii continue pe I R ºi , , - funcþii continue pe J R ºi în plus:

a x

0

0

pentru orice x I;

t pentru orice t J

Observaþia 14.1. Ecuaþia de mai sus (14.1) poate fi de tip hiperbolic, parabolic

sau eliptic.

Se cere funcþia u I J R: , soluþie a ecuaþiei (14.1) care satisface condiþiile

iniþiale:

u x f xu

tx g x, ; ,0 0

pentru orice x I

(14.2)


150

ºi condiþiile de limitã:

Au t Bu

xt

Cu l t Du

xl t

0 0 0

0

, ,

, ,

pentru orice t J

(14.3)

Pentru rezolvarea acestei probleme vom folosi metoda separãrii variabilelor care

constã în a construi soluþia u folosind soluþii particulare ale ecuaþiei (14.1) de forma:

U x t X x T t,

(14.4)

Derivând funcþia U din (14.4) ºi introducând-o în (14.1) obþinem:

T a x X b x X c x X X x T x T x T " ' " ' 0

Eliminând soluþia banalã U(x,t) = 0 putem împãrþi cu U X T pentru orice

x t I J, ºi variabilele se separã. Rezultã:

a x X b x X c x X

X

t T t T t T

T

" ' " '

Membrul stâng al acestei egalitãþi este o funcþie numai de x, membrul drept este

funcþie numai de t; aceastã egalitate nu poate avea loc pentru orice x t I J, decât

dacã fiecare dintre cele douã funcþii se reduce la o constantã k. Egalitatea se desface în

douã ecuaþii diferenþiale ordinare:

a x X b x X c x X kX" '

(14.5)

t T t T t k T" ' 0

(14.6)

Impunând funcþiilor de forma (14.4) condiþiile la limitã (14.3) avem:


151

A X B X T t

C X l D X l T t

0 0 0

0

'

' pentru orice t J

Eliminând cazul T(t) = 0 oricare ar fi t J care corespunde soluþiei banale

U(x,t) = 0 pentru orice x t I J, vom avea:

A X B X

C X l D X l

0 0 0'

' = 0

(14.7)

În cele ce urmeazã sã considerãm ecuaþia diferenþialã liniarã ºi omogenã (14.5) cu

condiþiile la limitã (14.7). O soluþie a acestei ecuaþii care verificã (14.7) este soluþia

banalã:

x X x 0 pentru orice x I

Se pune problema determinãrii valorilor lui k pentru care ecuaþia (14.5) cu

condiþiile la limitã (14.7) admite ºi alte soluþii decât soluþia banalã. Aceastã problemã se

numeºte problema lui Sturm ºi Lionville.

Valorile lui k pentru care ecuaþia (14.5) cu condiþiile (14.7) admite soluþii diferite

de soluþia nulã se numesc valori proprii ale problemei, iar funcþiile X corespunzãtoare se

numesc funcþii proprii. Mulþimea valorilor proprii se numeºte spectrul problemei.

Se poate arãta cã, valorile proprii formeazã un ºir infinit:

k1, k2, ... ,kn, ...

Funcþiile proprii corespunzãtoare:

X1(x), X2(x), ... ,Xn(x), ...

vor fi determinate în afara unui factor constant lipsit de importanþã.

Pentru fiecare valoare kn a lui k vom obþine din (14.6) o funcþie de forma:

T t T t T tn n n 1 21 2

(14.8)


152

unde T Tn n1 2, sunt douã soluþii particulare liniar independente, iar 1 2, sunt

constante reale arbitrare.

Vom determina constantele 1 2, astfel încât T Tn n0 1 0 0 , '

ºi vom avea sistemul:

1 2

1 2

1 2

1 2

0 0 1

0 0 0

T T

T T

n n

n n

' '

care admite o soluþie unicã (deoarece determinantul coeficienþilor este wronskianul

funcþiilor T Tn n1 2, în punctul t = 0).

Cu 1 ºi 2 astfel determinaþi obþinem din (14.8) o soluþie particularã n a ecuaþiei

(14.6) cu proprietãþile:

n n0 1 0 0 ; '

(14.9)

În mod analog vom determina o nouã soluþie particularã n* care satisface

condiþiile:

n n* *;

'0 0 0 1

(14.10)

Este evident cã n ºi n*

formeazã un sistem fundamental de soluþii ale ecuaþiei

liniare (14.6), deci soluþia sa generalã poate fi scrisã sub forma:

T t A t B tn n n n n *

(14.11)

cu An, Bn constante reale arbitrare.

Funcþia U X Tn n n satisface ecuaþia (14.1) ºi condiþiile la limitã (14.3).

Aceeaºi proprietate o va avea ºi suma seriei:


153

U u x t X x T tnn

n nn

0 0

; ,

dacã seria este convergentã în orice punct x t I J, ºi dacã poate fi derivatã termen

cu termen de douã ori în raport cu t pe J.

Þinând seama de (14.11) obþinem din ultima egalitate de mai sus:

u x t X x A t B tn n n n nn

, *

0

(14.12)

în care coeficienþii An ºi Bn se determinã folosind (14.2).

Avem:

u

tx t X x A t B tn n n n n

n

, ' *'

0

ºi þinând seama de (14.9) ºi (14.10):

u x A X xu

tx B X xn n

nn n

n

, ; ,0 00 0

Condiþiile (14.2) vor fi satisfãcute dacã ºi numai dacã:

A X x f x B X x g xn nn

n nn

0 0

; pentru orice x I

(14.13)

Constantele An ºi Bn sunt coeficienþii Fourier generalizaþi ai funcþiilor f ºi g în

raport cu sistemul Xn n0 (funcþiilor proprii).

Observaþia 14.2. Vom vedea mai departe (pe diverse exemple) cum se aplicã

aceastã metodã ducând calculele pânã la capãt.

14.2. Ecuaþia omogenã a coardei vibrante. Soluþia lui D. Bernoulli ºi Fourier

Reluãm ecuaþia vibraþiilor libere ale coardei:


154

2

2 2

2

2

10

u

x c

u

t

(14.14)

cu condiþiile la limitã:

u t u l t0 0 0, , ,

(14.15)

pentru orice t 0, ºi condiþiile iniþiale:

u x f xu

tx g x, , ,0 0

(14.16)

pentru orice x l 0, .

Condiþiile (14.15) aratã cã punctele O(0) ºi A(l) ale coardei sunt fixe.

Compatibilitatea condiþiilor (14.15) ºi (14.16) cere funcþiilor f ºi g sã verifice egalitãþile

f(0) = f(l) = 0 ºi g(0) = g(l) = 0.

Vom presupune cã f g C l, , 1 0 .

Cãutãm soluþia ecuaþiei (14.14) Rlu ,0,0: care satisface condiþiile

(14.15) ºi (14.16) folosind metoda separãrii variabilelor.

O funcþie

U x t X x T t,

(14.17)

va fi soluþie particularã a ecuaþiei (14.14) dacã ºi numai dacã

X x T tc

X x T t" " 12

pentru orice x l 0, ºi orice t 0, .

Eliminând soluþia banalã U = 0 pe 0 0, ,l ultima ecuaþie se mai scrie:


155

X x

X x c

T t

T t

" "

12

oricare ar fi x t l, , , 0 0 .

Din ultima egalitate rezultã cã fiecare din cele douã rapoarte se reduce la o

constantã k ºi obþinem ecuaþiile:

X x kX x" 0

(14.18)

T t kc T t" 2 0

(14.19)

Funcþia (14.17) verificã egalitãþile (14.15) pentru orice t 0, dacã ºi numai

dacã:

X X l0 0 0 ,

(14.20)

Avem de determinat valorile lui k pentru care ecuaþia (14.18) cu condiþiile

(14.20) admite soluþii diferite de soluþia nulã pe [0,l]. Ecuaþia (14.18) este liniarã ºi

omogenã cu coeficienþi constanþi, ecuaþia caracteristicã r k2 0 poate avea rãdãcini

reale, distincte sau nu. Deci:

i. pentru k > 0 avem r k r k1 2 , , soluþia generalã a ecuaþiei (4.18) va avea

forma:

X x C e C ex k x k 1 2

Condiþiile (4.20) impun:

C C

C e C el k l k

1 2

1 2

0

0

de unde C1 = C2 = 0, deci X(x) = 0 pentru orice x l 0, ;


156

ii. pentru k = 0, r1 = r2 = 0 ºi soluþia ecuaþiei (4.18) este de forma:

X x C x C 1 2

Condiþiile la limitã (14.20) dau

C

C l C2

1 2

0

0

ºi cum l 0 rezultã C1 = C2 = 0;

iii. pentru k < 0, notãm cu k 2 ºi avem r i r i1 2 , . Soluþia generalã a

ecuaþiei (4.18) are forma:

X x C x C x 1 2cos sin

Condiþiile la limitã (14.20) sunt verificate dacã ºi numai dacã C1 0 ,

C l2 0sin .

Eliminând cazul C2 = 0 care ne-ar conduce din nou la soluþia banalã, vom

satisface aceste condiþii luând:

C C l1 20 1 0 , , sin

Din ultima egalitate rezultã pentru valorile:

nn

ln 1 2, ,

deci valorile proprii ºi funcþiile proprii sunt:

kn

lX x

n

lx n Nn n

2

, sin

Cu aceste valori ale lui k, ecuaþia (14.19) devine:

T tn c

lT t"

2

0

cu soluþia generalã:

T t A nc

lt B n

c

ltn n n

cos sin


157

Deci funcþiile (14.17) care verificã (14.14) ºi condiþiile (14.15) sunt:

U x t X x T t A nc

lt B n

c

lt

n

lxn n n n n, cos sin sin

Considerãm seria:

u x t U x tnn

, ,

1

pe care o presupunem convergentã ºi derivabilã termen cu termen de douã ori în raport cu

x ºi de douã ori în raport cu t. În aceste condiþii:

2

2 2

2

2

2

2 2

2

21

1 10

u

x c

u

t

U

x c

U

tn n

n

deoarece fiecare termen al seriei este soluþia ecuaþiei (14.14). În plus pentru orice

t 0, :

u t U t X T tnn

n nn

0 0 0 01 1

, ,

u l t X l T tn nn

,

1

0

Prin urmare, funcþia u, definitã prin:

u x t An c

lt B

n c

lt

n

lxn n

n

, cos sin sin

1

(14.22)

este soluþie a ecuaþiei (14.14) ºi satisface condiþiile la limitã (14.15).

Coeficienþii An ºi Bn vor fi determinaþi de condiþiile iniþiale (14.16), avem:

An

lx f x

n c

lB

n

lx g xn

nn

n

sin ; sin

1 1

(14.23)


158

Funcþiile f ºi g sunt definite pe [0,l] cu derivate continue pe acest interval, le

prelungim pe [-l,0] ca funcþii impare, adicã ~ ~f ºi g fiind prelungirile lor. Acestea sunt

definite pe [-l,l] prin:

~ ,

,~ ,

,f x

f x x l

f x x lg x

g x x l

g x x l

0

0

0

0

Aceste funcþii pot fi dezvoltate în serie Fourier pe [-l,l], serie numai de sinuºi

deoarece sunt funcþii impare; cum T = 2l,

2

T l, seriile lor Fourier vor avea

forma (14.23) þinând seama cã ~f x f x ºi ~g x g x oricare ar fi x l 0, ,

egalitãþile (14.23) au loc pe intervalul [0,l] cu coeficienþii:

Al

f xn

lxdx

Bn c

g xn

lxdx

n

l

n

l

2

2

0

0

sin

sin

(14.24)

În cazurile concrete, când valorile funcþiilor f ºi g sunt precizate, iar integralele

(14.24) pot fi calculate, coeficienþii An ºi Bn se introduc în (14.22) ºi se verificã

posibilitatea derivãrii acestei serii de douã ori în raport cu x, respectiv de douã ori în

raport cu t pe 0 0, ,l dupã care se poate afirma cã soluþia problemei este datã de

(14.22) cu coeficienþii (14.24).

Observaþia 14.3. Forma (14.22) a soluþiei are interpretãri interesante, fiecare

termen al acestei serii

U x t A nc

lt B n

c

lt

n

lxn n n, cos sin sin


159

descrie una dintre miºcãrile simple posibile ale coardei fixatã în O(0) ºi A(l) numite

oscilaþii proprii.

Observaþia 14.4. Sã considerãm acum ecuaþia neomogenã a vibraþiilor coardei:

2

2 2

2

2

1u

x c

u

tx t ,

(14.25)

cu condiþiile la limitã ºi iniþiale aceleaºi ca în cazul ecuaþiei omogene:

u t u l t0 0, ,

(14.26)

oricare ar fi t 0,

u x f xu

tx g x, ,0 0

(14.27)

oricare ar fi x l 0, , termenul liber din ecuaþia (14.25) reprezintã forþa

perturbatoare.

Soluþia u a ecuaþiei (14.25) u l: , ,0 0 care satisface condiþiile (14.26) ºi

(14.27) o vom cãuta sub forma:

u x t u x t U x t, , , 0

(14.28)

unde u u t x0 0 , este soluþia ecuaþiei omogene (14.14) care verificã condiþiile

(14.26) ºi (14.27), iar U = U(x,t) este soluþia ecuaþiei neomogene (14.25) cu aceleaºi

condiþii la limitã (14.26) dar care corespunde condiþiilor iniþiale

U xU

tx, , ,0 0 0 0

.

Funcþia u0 descrie vibraþiile libere ale coardei fixate în O(0) ºi A(l,0) cu poziþia

iniþialã ºi viteza iniþialã date prin f ºi g, U descrie vibraþiile coardei fixatã în cele douã


160

puncte O ºi A datoritã forþei reprezentate prin funcþia pornind din poziþia de repaus cu

viteza iniþialã nulã.

15.1. Ecuaþia propagãrii cãldurii

Sã considerãm o barã rectilinie, omogenã ºi izotropã, situatã pe axa Ox. Notãm

cu u(x,t) temperatura într-un punct M(x) al barei la momentul t. În ipoteza cã între

suprafaþa barei ºi mediul înconjurãtor nu existã schimb de cãldurã (bara este izolatã

termic), funcþia u verificã ecuaþia:

2

2 2

1u

x a

u

t

(15.1)

unde a2 este constantã strict pozitivã care depinde de natura materialului anume:

ak

c2

unde: k - coeficientul de conductibilitate termicã;

c - cãldura specificã;

- masa specificã.

Ecuaþia (15.1) este o ecuaþie de tip parabolic b ac2 0 ºi se numeºte

ecuaþia cãldurii, dar se întâlneºte ºi în studiul altor fenomene.

Analog cu aceasta, ecuaþia propagãrii cãldurii într-o placã planã este:

2

2

2

2 2

1u

x

u

y a

u

t

(15.1�)

iar pentru corpuri în spaþiul cu trei dimensiuni:


161

2

2

2

2

2

2 2

1u

x

u

y

u

z a

u

t

(15.1�)

Vom presupune bara nemãrginitã în ambele sensuri ºi vom cãuta soluþia u a

ecuaþiei (15.1)

x t u x t R R, , : , 0

care satisface condiþia iniþialã:

u x f x,0

(15.2)

pentru orice x R , unde f o presupunem continuã pe R, derivabilã pe porþiuni în orice

interval finit I R ºi absolut integrabilã pe R.

Observaþia 15.1. Se pot da ºi alte probleme referitoare la propagarea cãldurii

într-o barã în care, pe lângã o condiþie iniþialã, pot fi date condiþii la limitã când bara este

mãrginitã fie într-un sens, fie în ambele sensuri, capetele barei fiind menþinute la o

temperaturã constantã, probleme care se rezolvã prin metoda separãrii variabilelor.

Cãutãm soluþia ecuaþiei (15.1) cu condiþia iniþialã (15.2) de forma:

u x t X x T t,

(15.3)

Derivând (15.3) ºi introducând în (15.1) obþinem:

X x T ta

T t X x" ' 12

(15.4)

de unde excluzând soluþia banalã obþinem:

X x

X x a

T t

T tk

" '

12

De aici rezultã ecuaþia liniarã ºi omogenã cu coeficienþi constanþi:


162

T a kT' 2 0

(15.5)

X x kX" 0

(15.6)

Prima ecuaþie are soluþia generalã:

T t Ceka t2

unde C este o constanþã arbitrarã.

Conform ipotezelor fãcute în ultima relaþie trebuie ca k < 0, fie

k 2 0 . Deci soluþia ecuaþiei (15.1) este:

T t Ce a t 2 2

iar soluþia generalã a ecuaþiei (15.6) va avea forma:

X x C x C x 1 2cos sin

cu C, C1, C2 constante reale arbitrare care pot diferi de la o ecuaþie la alta când variazã;

notând cu A C C 1 , B C C 2 avem pentru ecuaþia (15.1) soluþii de

forma:

U x t A x B x e a t, ; cos sin 2 2

(15.7)

pentru 0, .

Observaþia 15.2. În general nu existã nici o funcþie în familia (15.7) care sã

verifice condiþia iniþialã (15.2), funcþia f ar trebui sã fie o funcþie sinusoidalã.

Folosind observaþia 15.2 se încearcã sã se determine soluþia problemei sub forma:

u x t U x t d A x B x e da t, , ; cos sin

0 0

2 2

(15.8)


163

care înlocuieºte seria din cazul când avem valori proprii ºi funcþii proprii.

În ipoteza cã

2

2

u

x ºi

u

t se pot obþine derivând în (15.8) sub semnul de

integrare, avem:

2

2 2

2

2 2

0

1 10

u

x a

u

t

U

x a

U

td

deoarece U verificã ecuaþia (15.º) oricare ar fi 0, , deci u reprezentatã prin

integrala (15.8) este soluþie a ecuaþiei (15.1).

Aceastã funcþie satisface condiþia iniþialã (15.2) dacã ºi numai dacã:

A x B x d f x cos sin

0

(*)

pentru orice x R .

În ipotezele de mai sus cu privire la f rezultã cã ea poate fi reprezentatã printr-o

integralã Fourier, adicã:

f x d f x d

1

0

cos

Þinând cont cã cos cos cos sin sin obþinem dezvoltând

în ultima relaþie cã:

f x f x f d

1

0

cos cos sin sin

Comparând cu relaþia (*) se observã cã condiþia iniþialã are loc dacã punem:

A f d B f d

1 1

cos ; sin


164

ºi înlocuindu-le în (15.8) obþinem:

0

cos)(1

,22

dxfdetxu ta

s-au schimbând ordinea de integrare:

u x t f d e x da t, cos

1 2 2

(15.9)

Observaþia 15.3. Aceastã funcþie satisface evident condiþia (15.2).

Urmeazã sã dovedim cã este soluþie a ecuaþiei (15.1), ceea ce este echivalent cu a

justifica posibilitatea derivãrii funcþiei (15.9) sub semnul de integrare.

Derivând în raport cu t avem:

u

t

af d e x da t

2

2 2 2cos

Derivând de douã ori în raport cu x avem:

2

221 2 2u

xf d e x da t

cos

Fie 0 fixat, pentru orice t > ºi orice x R modulul funcþiei de sub

semnul de integrare dublã este majorat de f e a t 2 2 2 iar integrala

f d e da

2 2 2 este convergentã deoarece cele douã integrale simple

sunt convergente (f este absolut integrabilã pe R prin ipotezã).

Relaþia (15.9) poate fi scrisã mai simplu folosind:

e bxdxa

eaxb

a

22

4

0

1

2cos

deci:


165

u x ta t

f e d

x

a t,

1

2

2

4 2

(15.10)

oricare ar fi x R ºi t 0, .

Observaþia 15.4. Formula (15.10) se generalizeazã pentru R2 ºi pentru R3, dupã

cum urmeazã:

u x y ta t

f e d dx y

a t, , ,

1

22

2 2

4 2

(15.10�)

ºi

u x y z ta t

f e d d dx y z

a t, , , , ,

1

23

2 2 2

4 2

(15.10�)

Observaþia 15.5. Folosind relaþia (15.10) se poate demonstra o proprietate

interesantã: f fiind o funcþie mãrginitã, notând cu M f xx R

sup atunci:

u x t M,

oricare ar fi x R ºi t 0, .

15.2. Problema lui Dirichlet pentru cerc

Punerea problemei:

Sã se determine funcþia u = u(x,y) care:

are derivatele de ordinul doi continue pe


166

2222, ayxRyxD ;

verificã ecuaþia lui Laplace în domeniul D:

2

2

2

20

u

x

u

y

(15.11)

ia valori date pe frontiera a domeniului D ºi este continuã pe D .

Fie A(a,0), P(x,y) douã puncte de pe cerc, primul fix, al

doilea mobil. Notãm cu s lungimea arcului AP mãsurat în sensul

trigonometric ºi cu f(s) valorile pe care u = u(x,y) le ia în diverse

puncte P de pe cerc.

u x y f s PP

, ;

(15.12)

Vom presupune în cele ce urmeazã cã f este o funcþie continuã. Dacã

(r,) sunt coordonatele punctului M D atunci ecuaþia lui Laplace în coordonate polare

este:

2

2 2

2

2

1 10

U

r r

U

r r

U

(15.13)

unde U r u r r, cos , sin .

Avem deci de determinat soluþia U a R: , ,0 0 2 a ecuaþiei (15.13)

care satisface condiþia la limitã:

U a f,

(15.14)


167

pentru orice 0 2, cu f R: ,0 2 o funcþie datã ºi vom presupune cã

f f0 2 ºi cã f admite o dezvoltare în serie Fourier pe intervalul 0 2, .

Aplicând metoda separãrii variabilelor vom cãuta mai întâi soluþii ale ecuaþiei

(15.13) de forma:

U r R r,

Derivând ºi înlocuind în ecuaþia (15.13) ºi separând variabilele obþinem:

r R rR

Rk

2 " ' "

unde k este o constantã ce urmeazã a fi determinatã.

Din ultimul ºir de egalitãþi rezultã cã avem de integrat ecuaþiile:

" k 0

(15.15)

ºi

r R rR kR2 0" '

(15.16)

Ecuaþia (15.15) este liniarã cu coeficienþi constanþi, deci soluþiile sale sunt

definite pe toatã axa realã.

Din U r U r, , 2 rezultã cã 2 , deci ne

intereseazã numai acele soluþii ale ecuaþiei (15.15) care îndeplinesc aceastã condiþie.

Pentru aceasta este necesar ºi suficient sã avem k n n N 2 ; cu precizarea cã pentru

n = 0 va trebui sã luãm 0 0 A pentru orice 0 2, .

Soluþia generalã a ecuaþiei:

" * n n N2 0

este de forma:

n n nn n n N cos sin *


168

Ecuaþia (15.16) este de tip Euler înlocuind pe k cu n2 ºi cãutând soluþii de forma

R r r , obþinem pentru ecuaþia:

1 02n

care are rãdãcinile nn 21 , .

Deci soluþia generalã a ecuaþiei (15.16) este:

R r r r n Nn nn

nn ; *

iar pentru n = 0 avem:

R r r0 0 0 ln

Deoarece este necesar ca U R sã fie continuã pe D, deci ºi în origine, va

trebui sã luãm 0 0 0 ; n oricare ar fi n N * de unde rãmâne

R r rn nn .

Obþinem astfel urmãtoarele soluþii pentru ecuaþia (15.13), oricare ar fi n N *:

U r R r r A n B nn n nn

n n, cos sin

(15.17)

unde am notat cu A Bn n n n n n ; .

În general condiþia la limitã (15.14) nu poate fi satisfãcutã de nici o funcþie Un din

ultima egalitate.

Din aceastã cauzã vom cãuta soluþii pentru problema lui Dirichlet sub forma

0n

n

U U

, adicã:

U r A r A n B nnn

n nn

, cos sin 0

1

(15.18)

Condiþia la limitã (15.14) va fi satisfãcutã dacã ºi numai dacã:


169

01

cos sinnn n

n

A a A n B n f

Prin ipotezã am presupus cã f admite dezvoltare în serie Fourier pe 0 2, de

unde rezultã:

2

0

0

2

0

2

0

1

2

1cos

1sin

nn

nn

A f d

a A f n d

a B f n d

(15.19)

Deoarece ºirurile coeficienþilor a A a Bnn

n

nn

n 1 0; converg cãtre zero

rezultã cã existã M > 0 astfel încât P x P x dxo pentru k n

npentru k nk n

1

1

22 1

pentru orice

n N *, deci modulul termenului general al seriei (15.18) admite majorarea:

r A n B n Mr

an

n n

n

cos sin

Seria modulelor termenilor seriei (15.18) admite ca majorantã seria

Mr

a

n

n

0

care este convergentã pentru orice r < a. Rezultã cã seria (15.18) este

absolut convergentã ºi uniform convergentã.

Introducând (15.19) în (15.18) avem:

r A n B nr

af n dn

n n

n

cos sin cos

1

0

2


170

deci:

U r fr

an d

n

n

, cos

1

21 2

0

2

1

Seria fiind evident uniform convengentã, poate fi deci integratã termen cu

termen. Suma acestei serii poate fi uºor calculatã pornind de la egalitatea banalã:

r

an i

r

an

r

ae

n

n

n

n

nin

n

cos sin

1 1 1

În membrul drept avem o serie geometricã cu raþia qr

aei

cu

qr

a 1 pentru orice M D .

Deci:

r

ae

r

ae

r

ae

r

a e r

r ae r

a ar r

nin

n

i

i i

i

12 2

1 2 cos

de unde rezultã:

r

an

r a n r

a ar r

n

n

cos

cos

cos

12 22

1 221

2 2

2 2

r

an

a r

a ar r

n

n

coscos

Cu aceasta soluþia problemei lui Dirichlet va avea forma:


171

U ra r f d

a ar r,

cos

2 2

2 2

0

2

2 2

(15.20)

numitã formula lui Poisson.

16.1. Polinoamele lui Legendre

În teoria potenþialului se întâlneºte funcþia g R: , ,0 1 11 definitã

prin:

g r xrx r

,

1

1 2 2

(16.1)

Problema care se pune este de a gãsi dezvoltarea funcþiei g în serie de puteri ale

lui r pentru r < 1. Se observã cã x 11, implicã existenþa unui unghi ,

astfel încât xe ei i

cos

2, de unde dupã (16.1) avem:

1

1 2

1

1

1

1

1

12 2

rx r r e e r re rei i i i

Deoarece re re ri i pentru orice 0, rezultã cã fiecare din

factorii de mai sus poate fi dezvoltat în serie binomialã (serie de puteri ale lui r pentru

r 0 1, cu x 11, arbitrar). Obþinem:


172

g x r P x rnn

n

,

0

(16.2)

pentru r 0 1, ºi x 11, .

Vom determina coeficienþii lui Pn(x) pe o cale indirectã dupã cum urmeazã:

notãm u r x r 2 ºi g r x rx r,

1 2 2 1 2 devine g u u 1

care pentru u 1 ne dã:

1 1

1

2 1

1 3

2 2

1 3 5 2 1

2

1 22

2

u u u

n

nu

nn

! ! !

Înlocuind pe u cu r x r2 ºi strângând termenii în rn rezultã cã ultimul

termen care conþine pe rn este un. Contribuþia termenului u r x rn k n k n k 2

este evident nknk

kn

k rxC

221 de unde pentru k N rezultã:

P x C

n k

n kxn

kn kk

kn k

k

E n

1

1 3 5 2 2 1

22

0

2

!

(16.3)

cu En

2

- partea întreagã a numãrului n

2.

Definiþia 16.1. Polinoamele Pn definite prin (16.3) se numesc polinoamele lui

Legendre, iar funcþia g definitã prin (16.1) a cãrei dezvoltare în seria (16.2) are

coeficienþii Pn se numeºte funcþia generatoare a polinoamelor Legendre.

Propoziþia 16.1. polinoamele lui Legendre mai pot fi exprimate prin:


173

P xn

d

dxxn n

n

n

n

1

212

!

(16.4)

numitã formula lui Olinde-Rodrigues.

Demonstraþie: Este evident cã:

x C xn k

nk n k

k

n2 2 2

0

1 1

de aici deducem cã:

d

dxx C n k n k n k x

n

n

n knk n k

k

E n

2 2

0

1 1 2 2 2 2 1 2 12

Abstracþie fãcând de semn, coeficientul lui xn k2 se mai poate scrie:

n

k n k

n k

n kn C

n k

n k

n Cn k

n k

n kk

n kk n k

!

! !

!

!!

!

!

!!

2 2

2

2 2

1 3 5 2 2 12

2

deci:

d

dxx n C

n k

n kx

n

n

n n kn kk

k

E

kn k

n

2

0

1 2 11 3 5 2 2 1

2

2

!!

Comparând cu (16.3) rezultã egalitatea (16.4).

Propoziþia 16.2. Polinoamele lui Legendre au toate rãdãcini reale, distincte ºi

cuprinse în (-1,1).

Demonstraþie: ecuaþia xn2 1 0 are rãdãcini -1 ºi 1 multiple de ordinul

n; conform teoremei lui Rolle ecuaþia d

dxx

n2 1 0 are în afarã rãdãcinile -1 ºi 1


174

multiple de ordinul n-1, o rãdãcinã în (-1,1). Aplicând din nou teorema lui Rolle rezultã

cã ecuaþia d

dxx

n2

22 1 0 admite douã rãdãcini distincte în (-1,1), celelalte

rãdãcini fiind -1 ºi 1 multiple de ordinul n-2, º.a.m.d.

Ecuaþia d

dxx

n

n

n2 1 0 dacã ºi numai dacã Pn(x) = 0 are toate cele n

rãdãcini distincte ºi situate în (-1,1).

Propoziþia 16.3. Polinoamele Legendre satisfac relaþia de recurenþã:

0121 11 xnPxPxnxPn nnn

(16.5)

Demonstraþie: egalitatea (16.2) scrisã sub forma:

1 2 2

0

12

rx r P x rn

n

n

o derivãm în raport cu r ºi obþinem:

1 2 2 1

1

32

rx r x r nP x rn

n

n

sau echivalent:

x r P x r rx r nP x rnn

nn

n

n

0

2 1

1

1 2

Identificând coeficienþii lui rn rezultã:

xP x P x n P x nxP x n P xn n n n n 1 1 11 2 1

egalitate echivalentã cu (16.5).

Propoziþia 16.4. Polinomul Legendre P n Nn este soluþie a ecuaþiei

diferenþiale:

x y xy n n y2 1 2 1 0 " '

(16.6)


175

Demonstraþie: derivând relaþia evidentã:

xd

dxx nx x

n n2 2 21 1 2 1

de n+1 ori folosind formula lui Leibnitz vom obþine:

xd

dxx n x

d

dxx n n

d

dxx

nxd

dxx n n

d

dxx

n

n

n n

n

n n

n

n

n

n

n n

n

n

22

22

1

12 2

1

12 2

1 1 2 1 1 1 1

2 1 2 1 1

Împãrþind în ambii membri cu n n! 2 ºi þinând seama de (16.4) obþinem:

x P x n xP x n n P x nxP x n n P xn n n n n2 1 2 1 1 2 2 1 " ' '

sau încã:

x P x nP x n n P xn n n2 1 2 1 0 " '

Propoziþia 16.5. Polinoamele lui Legendre formeazã un sistem de funcþii

ortogonale pe [-1,1] mai mult are loc:

P x P x dxo pentru k n

npentru k nk n

1

1

2

2 1

(16.7)

Demonstraþie: cum Pk ºi Pn sunt soluþii la o ecuaþie diferenþialã de forma (16.6)

pe care scriind-o sub forma echivalentã:

d

dxx y n n y2 1 1 '

obþinem:

d

dxx P x n n P xn n

2 1 1 '


176

d

dxx P x k k P xk k

2 1 1 '

Înmulþind în prima egalitate cu Pk, în a doua cu Pn ºi apoi scãzându-le obþinem:

d

dxx P x P x P x P x n n k k P x P xk n n n kk

2 1 1 1 ' '

de unde rezultã:

n n k k P x P x dxn k 1 1 01

1

care pentru k n conduce la P x P x dxn k 1

1

0 .

Pentru a verifica egalitatea (16.7) în cazul când k = n vom scrie pe lângã relaþia

de recurenþã (16.5) ºi relaþia obþinutã înlocuind n cu n-1. Vom avea:

n P x n xP x nP x nn n n 1 2 1 0 1 21 1 , ,

nP x n xP x n P x nn n n 2 1 1 0 2 31 2 , ,

Înmulþind în prima relaþie cu P xn1 , în a doua cu P xn ºi integrând pe [-

1,1], datoritã proprietãþii de ortogonalitate rezultã:

n P x dx n xP x P x dx nn n n

12

1

1

11

1

2 1 1 2, ,

n P x dx n xP x P x dx nn n n2

1

1

11

1

2 1 2 3

, ,

Din compararea celor douã egalitãþi deducem:

P x dxn

nP x dxn n

2

1

1

12

1

12 1

2 1


177

Notând cu I P x dxn n 2

1

1

avem evident:

I I I I In

nIn n2 1 3 2 1

3

5

5

7

2 1

2 1

; ;

de unde:

In

In 3

2 1 1

Din (16.4) avem

P x P x x0 11 , ºi P x dx02

1

1

2

prin urmare:

P x dx x dx12

1

12

1

1 2

3

deci:

In nn

3

2 1

2

3

2

2 1

Polinoamele lui Cebîºev

Din formula lui Moivre:

cos sin cos sin i n i n n Rn

rezultã imediat cã:

cos cos sinn Ckn

k n k k

k

E n

1 2 2 2

0

2

ºi notând x cos :


178

cos arccosn C x xkn

k n k k

k

E n

1 12 2 2

0

2

Definiþia 16.2. Polinoamele Tn definite prin:

T x n x C x xnk

nk n k k

k

E n

cos arccos 1 12 2 2

0

2

(16.8)

se numesc polinoamele lui Cebîºev.

Propoziþia 16.6. Polinoamele Cebîºev au urmãtoarele proprietãþi:

i. admit funcþia generatoare:

f r xxr

xr r,

1

1 2 2

adicã

f r x T x rnn

n

,

0

pentru r 1;

ii. satisfac relaþia de recurenþã:

T x xT x T x nn n n 1 12 0 1 2, ,

iii. polinomul Tn este soluþie a ecuaþiei diferenþiale:

1 02 2 x y xy n y n N" ' *

iv. existã relaþiile:

1

1

0

20

0

2

1

1

xT x T x

pentru k n

pentru k n

pentru k n

k n

Demonstraþie:


179

i. considerãm seria Taylor T x rnn

n

0

, în care înlocuim

T x n xn cos arccos prin cosn ; rezultã:

T x r r n e e r

r e r e

r

r r

nn n

n

in in

nn

n

i i

cos

cos

cos

0 00

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1 2

pentru orice r C cu r 1, seria este convergentã deoarece este suma a douã serii

geometrice cu raþiile:

r e r r e ri i 1 1;

Revenind la variabila x obþinem:

T x rxr

xr rrn

n

n

02

1

1 21,

ii. din identitatea:

cos cos cos cosn n n 1 2 1 0

înlocuind arccosx se obþine relaþia de recurenþã din enunþ.

iii. deoarece T x n xn cos arccos avem:

xnx

nxTxxT

x

x

xnnxTx

n

n

arccoscos1

11

arccossin1

2

2"2'

2

'2

înmulþind cu 1 2 x ºi înlocuind cos arccosn x cu Tn(x) rezultã:

1 02 2 x T x xT x n T xn n n" '

iv. În integrala din membrul stâng pe care o notãm cu I(k,n) facem substituþia x=cosè:


180

00

])cos()[cos(2

1coscos),( dnknkdnknkI

Pentru 0)sin()sin(

2

1),(,

0

nk

nk

nk

nknkInk

pentru 22

2sin

2

1),(,0

0

n

nnkInk

iar pentru

0

)0,0(,0 dInk

Polinoamele lui Hermite

Definiþia 16.3. Polinoamele definite prin:

H x ed

dxen

xn

nx 2 2

(16.9)

oricare ar fi n N , se numesc polinoamele lui Hermite.

Polinoamele lui Hermite au urmãtoarele proprietãþi:

i. verificã relaþia de recurenþã:

,2,1,022 11 nxnHxxHxH nnn

ii. Hn este soluþie a ecuaþiei diferenþiale:

y xy xy" ' 2 2 0

iii. au loc relaþiile:

e H x H x dxpentru k n

n pentru k nx

k n n

2 0

2!

Demonstraþiile acestor propietãþi se fac în mod analog ca mai sus.


181

16.2. Funcþiile lui Bessel

Printre funcþiile speciale, funcþiile lui Bessel ocupã o poziþie importantã datoritã

frecvenþei cu care sunt întâlnite în mai multe probleme din diverse ramuri ale fizicii ºi

tehnicii.

Definiþia 16.4. Ecuaþia diferenþialã:

xy xy x y R C" ' 2 2 0

(16.10)

se numeºte ecuaþia lui Bessel, iar soluþiile aceste ecuaþii se numesc funcþii Bessel.

Vom considera ecuaþia (16.10) pentru funcþii complexe de o variabilã complexã

ºi vom cãuta soluþii de forma:

y x x C x x Crk

k

k

0

(16.11)

exponentul r ºi constanta Ck urmând a fi determinate.

Presupunem cã seria C xkk

k

0

are raza de convergenþã 0 . Pentru orice x

interior discului de convergenþã avem:

y x x r k C xrk

k

k

'

1

0

y x x r k r k C xrk

k

k

"

2

0

1

Introducând în (16.10) ºi simplificând cu xr obþinem:

r k r k r k C x x C xkk

kk

kk

1 02 2

00

sau echivalent cu aceasta:


182

r k C x C xkk

kk

kk

2 2 2

00

de unde rezultã:

r C r C2 20

2 210 1 0 ;

(16.12)

r k C C kk k 2 2

2 2 3 , ,

(16.13)

Putem presupune C0 0 . Din prima egalitate (16.12) rezultã

r2 2 0

(16.14)

(ecuaþie determinatã a ecuaþiei (16.10)) ºi are rãdãcinile ºi -.

Cum intervine în ecuaþia diferenþialã prin pãtratul sãu, oricare ar fi

20

20 0 2 C \ , arg , ºi putem preciza pe 0 prin

arg ,0 0 .

Deci dacã R atunci 0 ; pentru r a doua relaþie (16.12) devine:

2 1 01 C

deci C1 = 0.

Tot pentru r relaþia (16.13) devine:

k k C C kk k2 2 32 , ,

(16.15)

Pentru k 3 5 7, , , þinând seama cã C1 = 0 rezultã cã toþi coeficienþii Ck de

indice impar sunt nuli. Pentru k 2 4 6, , , notând k p 2 , p 1 2 3, , ,, obþinem

din (16.15):


183

4 1 22 2 2p p C C pp p , ,

(16.16)

din care se pot deduce toþi coeficienþii cu indice numãr par în funcþie de C0. Din primele p

relaþii

4 1 1

4 2 2

4

2 0

4 2

2 2 2

C C

C C

p p C Cp p

rezultã:

p p C Cpp

p! 2 1 2 122 0

Se ºtie cã

1 21

1 p

p

rezultã cã:

C

C

p ppp

p

p20

2

1 1

2 11 2

!, ,

Cu acestea (16.11) devine:

y x x C x Cx

p pp

p

p

pp

pp

2

2

00

2

20

1 12 1

!

Ecuaþia (16.10) fiind omogenã soluþiile sale pot fi determinate în afara unui factor

constant; luând

C01

2 1

obþinem:

y xp p

xp p

p

1

1 2

2

0 !

sau


184

y xx

p p

xp p

p

2

1

1 2

2

0

!

Notând x

z2

2

avem de studiat seria de puteri

1

10

p

p

p

p pz

! ,

având raza de convergenþã:

lim

!:

!lim

p

p p

pp p p p

p

p

1

1

1

1 2

1

1

1

Rezultã cã suma seriei este o funcþie întreagã, seria poate fi derivatã termen cu

termen de câte ori este necesar:

f xp p

xx C

p p

p

1

1 2

2

0 !

Propoziþie 16.5. Funcþia J definitã prin:

J xp p

xp p

p

1

1 2

2

0 !

(16.17)

în care, pentru ,0arg,0 0 are urmãtoarele proprietãþi:

i. pentru n N J, este o funcþie întreagã;

ii. pentru N J, este olomorfã pe D C T \ , unde T este o semidreaptã cu

originea în O.

În ambele cazuri, funcþia J este soluþie a ecuaþiei lui Bessel pe domeniul sãu de

olomorfie; am fãcut convenþia:

x

ex xi

22 2

ln arg

Observaþia 16.2. Punând în relaþia (16.17) în loc de pe - obþinem:


185

J xp p

xp p

p

1

1 2

2

0 !

(16.18)

Observaþia 16.3. Dacã arg ,0 0 ºi dacã N atunci soluþia

generalã a ecuaþiei Bessel pe domeniul D C T \ este:

y x A J x B J x

(16.19)

unde J ºi J - sunt funcþii definite de (16.17) ºi (16.18) iar A ºi B sunt constante

complexe.

Observaþia 16.4. Funcþiile definite prin relaþiile (16.17) ºi (16.18) pentru n

satisfac evident relaþia:

J Jnn

n 1

(16.20)

pentru orice n N .

demonstratie: Avem

0

2

21!

1

p

pnp

n

x

pnpxJ

Cum 01

1

pn pentru p=n-1,n-2,...,1,0 ramâne

np

pnp

n

x

pnpxJ

2

21!

1

sau, cu schimbarea p=n+q a indicelui de însumare,

)(2)!(!

)1(1

21)!(

1

0

2

0

2

xJx

qnq

x

qqnxJ n

q

qnqn

q

qnpn

n


186

Observaþia 16.5. Wronskianul funcþiilor J J , are valorile:

W J J

J x J x

J x J x x

' '

sin2

Observaþia 16.6. Funcþiile lui Bessel satisfac relaþiile de recurenþã:

d

dxx J x x J x

d

dxx J x x J x

1

1

Existã o teoremã a lui Liouville care afirmã cã singurele funcþii Bessel care pot fi

exprimate prin funcþii elementare sunt funcþiile J pentru Nnn

,

2

1

Probleme rezolvate 1.Sã se determine soluþia ecuaþiei:

0)(2

2

2

222

u

x

ux

x

uxl , 0<x<l care satisface

u(x,y)|0y=arcsin 1; |

0

yy

u

l

x

Rezolvare:

În cazul acestei ecuaþii avem : b2-ac=l2-x2>0 deci ecuaþia este de tip hiperbolic Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este :

01)(2

22

dx

dyxl cu

22

1

xldx

dy

integrând aceasta ecuaþie obþinem

arcsinl

x+y=C1 , arcsin

l

x-y=C2

Cu schimbarea de variabile : = arcsinl

x+y , = arcsin

l

x-y , ecuaþia se reduce la forma:


187

u2

=0 cu soluþia generalã u( , )=f( )+g( )

Soluþia generalã a ecuaþiei date este u(x,y)=f(arcsinl

x+y)+g(arcsin

l

x-y)

Pentru determinarea funcþiilor f ºi g vom utiliza condiþiile iniþiale , obþinându-se sistemul:

1=)l

x(arcsing'+)

l

x(arcsinf'

)l

xarcsin (=)

l

xg(arcsin+)

l

xf(arcsin

rezolvând acest sistem, obþinem în final soluþia ecuaþiei date:

u(x,y)= arcsinl

x+y

2.Sã se determine soluþia ecuaþiei:

0sinsincos22

22

2

2

2

y

ux

y

u

yx

ux

x

u

care satisface condiþiile

u(x,y)|sin sy

=x4 si xy

uxy

|

sin

Rezolvare:

Deoarece b2-ac=1>0, rezultã cã ecuaþia este de tip hiperbolic Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:

0sincos2 22

xdx

dyx

dx

dy care conduce la 1cos x

dx

dy.

Integrând aceste ecuaþii obþinem:

2

1

sin

sin

Cyxx

Cyxx

Fãcând schimbarea de variabile: = yxx sin , = yxx sin , obþinem forma canonicã a ecuaþiei date:

u2

=0 cu soluþia u( , )=f( )+g( )

Deci soluþia generala a ecuaþiei date de:


188

u(x,y)=f(x+sinx-y)+g(x-sinx+y) , funcþiile f si g determinându-se din condiþiile iniþiale

242)(

24 Cxxxf ;

242)(

24 Cxxxg

Soluþia ecuaþiei este u(x,y)=2

1( yxx sin )2-

4

1( yxx sin )2+

+ 2

1( yxx sin )4-

4

1( yxx sin )4

3.Sã se aducã la forma canonica ºi sã se determine soluþia generalã a ecuaþiei:

022

22

2

2

22

y

uy

x

ux

y

uy

yx

uxy

x

ux

Rezolvare: Deoarece b2-ac=0 , rezultã cã ecuaþia este de tip parabolic ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:

x2

2

dx

dy+2xy

dx

dy+y2=0 , cu

dx

dy=

x

y xy=C

Fãcând schimbarea de variabile xy= , x= avem

uu

yx

u ;

u

xy

u

2

22

2

22

2

2

2

uu

yu

yx

u ;

2

22

2

2

u

xy

u

ux

uxy

yx

u 2

2

22

ecuaþia data devine

01

2

2

uu

,care este echivalenta cu :

0)(

u

sau )(

u

=f( ), având soluþia generala :

u= f( )ln +g( ) Deci soluþia generalã a ecuaþiei date este : u(x,y)=f(xy)lnx+g(xy) 4.Ecuaþia micilor oscilaþii proprii de amplitudine u=u(x,t), ale unei coarde elastice perfect flexibile de la poziþia de echilibru , este datã de ecuaþia :


189

2

22

2

2

x

ua

t

u

Sã se arate , reducând la forma canonicã aceasta ecuaþie , cã integrala generalã este datã de relaþia : u(x,t)=F(x-at)+G(x+at), unde F ºi G sunt douã funcþii arbitrare Rezolvare:

Se observã cã ecuaþia din enunþ se mai scrie :

01

2

2

22

2

t

ua

ax

u si b2-ac= 0

12

a

de unde rezulta ca este de tip hiperbolic Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:

01

2

2

adx

dt integrând-o se obþine

x-at=C1 ; x+at=C2

Fãcând schimbarea de variabile atx ; atx ajungem la relaþiile:

uu

x

u

x

u

x

u

u

au

at

u

t

u

t

u

xn

uu

xn

uu

x

u

2

2

2

22

2

2

2

2

2

uuu

x

u

În mod analog se deduce cã:


190

2

22

2

22

2

2

2uuu

at

u

astfel cã ecuaþia datã se transformã în ecuaþia: 02

u

Avem:

02

uu

, de unde se obþine )(fn

u

ºi de aici:

)()( Fdfu ºi notând cu )()( Gdf , se obþine:

)()(),( GFu revenind la transformarea iniþialã avem: u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)

5.Sã se rezolve ecuaþia 2

22

2

2

x

ua

t

u

cu condiþiile iniþiale u(x,0)=f(x) ;

)()0,( xgxt

u

ºi condiþiile la limitã: u(0,t)=u(l,t)=0 , folosind metoda Fourier.

Rezolvare: Prima dintre condiþiile iniþiale indicã poziþia punctelor coardei în momentul t=0 , în timp ce a doua condiþie iniþialã da distribuirea vitezei punctelor coardei, in acest moment . Condiþiile la limitã exprimã matematic faptul cã, coarda este fixatã în punctele O ºi A (vezi figura din aplicaþia precedenta) Vom cãuta soluþii de forma: Un(x,t)=Un(x)Vn(x) Care ,înlocuite în relaþia din enunþ, conduc la relaþia : Un(x)Vn��(t)=a2Un��(x) Vn(t) ºi de aici

2

2 )(

)(''1

)(

)(''n

n

n

n

n

xV

xV

axU

xU

Constanta cu care s-au egalat rapoartele din ultima relaþie a fost luata strict negativã, pentru a asigura ecuaþiei diferenþiale pe care o satisface Vn(t), solutii mãrginite În consecinþã determinarea funcþiei un(x,t), revine la rezolvarea ecuaþiilor diferenþiale: Un��(x)+ën

2Un(x)=0 ; Vn��+a2 ën2Vn=0 a cãror soluþie este imediata:

Un(x)=Cn(1)cos(ënx)+ Cn

(2)sin(ënx) Vn(t)=Kn

(1)cos(aënt)+ Kn(2)sin(aënt)

Din condiþiile Un(0)=0 Un(l)=0 , rezulta: Cn

(2) =0; sin ënl=0 si de aici ën=nð/l


191

Iar funcþiile proprii ale problemei la limita se deduc imediat: Un(x)=l

xnsin

Soluþia u(x,t) a ecuaþiei din enunþ , care satisface numai condiþiile la limita , se va scrie in continuare:

u(x,t)=l

xnt

l

ant

l

anKK n

nn

sin]sincos[

)2(

1

)1(

iar constantele Kn

(1) , Kn(2) se vor determina prin intermediul condiþiilor iniþiale

Sã observãm în prealabil cã sistemul de funcþii Un(x)= l

xnsin este ortogonal ,

de pondere p(x)=1 pe intervalul [0,l] si avem:

l l

dxl

xn

0

2

2sin

Folosind în continuare condiþiile iniþiale , vom obþine:

1

)1(sin)(

nn l

xnxf K

si de aici

l

ndx

l

xnxf

lK0

)1(sin)(

2

în mod analog, pentru Kn(2) se obþine valoarea :

l

ndx

l

xnxg

anK0

)2(sin)(

2

6.Sã se rezolve ecuaþia:2

22

x

ua

t

u

cu condiþia iniþialã:

lxxfxu ,0);()0,( ºi condiþia de limita : 0),(),0( tlutu

Rezolvare: Vom folosi metoda separãrii variabilelor, deci vom cãuta soluþii de forma: )()(),( tVxUtxu nnn ; dupã înlocuire în ecuaþia din enunþ se obþine:

nnnn VaUVU ''' si de aici:

22

'1''n

n

n

n

n

V

V

aU

U

În acest mod , obþin ecuaþiile diferenþiale:

0'

0''22

2

nnn

nnn

VaV

UU

Aceste ecuaþii au soluþiile:


192

txann

nnnnn

neKxV

xCxCxU2)(

)2()1(

)(

)sin()cos()(

ºi deoarece , în virtutea liniaritaþii ecuaþiei din enunþ, putem lua Kn=1, vom obþine pentru un(x,t) expresia:

tannnnn

nexCxCtxu2)()2()1( )]sin()cos([),(

Deoarece un(0,t)=0 rezultã C(1)n =0 iar din un(l,t)=0 rezultã 0sin ln

Valorile proprii ale problemei la limita vor fi date de ºirul l

nn

, astfel cã soluþia

capãtã forma:

l

xneCtxu

tl

an

nn

sin),(

2

)1(

în timp ce soluþia generale se va scrie:

1

)1( sin),(

2

n

tl

an

nn l

xneCtxu

Constantele C(1)n se determina prin intermediul condiþiei iniþiale:

1

)1( sin)(n

n l

xnCxf

, de unde se obþine cu uºurinþã:

l

n dl

nf

lC

0

sin)(2

Soluþia se poate pune sub forma:

dfl

n

l

xne

ltxu

l

n

tl

an

)(sinsin2

),(0 1

2

7.Sã se rezolve ecuaþia: 01

2

2

2

2

x

u

gx

u

x

ux , care satisface condiþiile la limita:

0),(

|)(|);(),0(

tlu

tttu

ºi condiþiile iniþiale:

0)0,(

)()0,(

xt

u

xfxu

unde u=f(x) reprezintã ecuaþia poziþiei firului în momentul iniþial.


193

Rezolvare:

Pentru rezolvarea ecuaþiei vom cãuta soluþii de forma: )()(),( tVxUtxu nnn

Aceste soluþii se introduc în ecuaþie ºi, dupã separarea variabilelor, vom obþine: 2

)(

)(''

)(

)('

)(

)(''n

n

n

n

n

n

n

tV

tV

xU

xU

xU

xUx

iar de aici:

0)(')('' 2 nnnn UxUxxU

0)('' 2 nnn VtV

A doua ecuaþie are soluþia, dupã cum se ºtie: tgDtgCV nnnnn cossin , în timp ce , pentru rezolvarea primei ecuaþii, vom face schimbarea de variabila

independentã: xn 2 si vom obþine ecuaþia diferenþialã: 0'1

'' nnn UUU

, care este o ecuaþie Bessel de indice zero ºi a cãrui soluþie iniþialã este: )()()( 00 YBJAU nnn sau

)2()2()( 00 xYBxJAxU nnnnn

Pentru determinarea funcþiilor proprii Un(x), vom face apel la condiþiile la limita; pentru x=0 avem: )0()0()0( 00 YBJAU nnn si cum )0(0Y este necesar sa luam

Bn=0, deoarece )(),0( ttu - mãrime finitã

Avem de asemenea u(l,t)=0, deci Un(l)=0 sau 020 lJ n

Dacã notãm: ,............,,........., 21 n rãdãcinile reale, simple ale ecuaþiei Jo(x)=0,

rezultã imediat cã valorile proprii n se determinã din relaþiile:

nn l 2 sau l

nn

2

În final, se obþine:

tl

gDt

l

gCtV

l

xJxU

nn

nnn

nn

2cos

2sin)(

)( 0

iar soluþia generala va avea forma:

l

xJt

l

gDt

l

gCtxu n

n

nn

nn

0

1 2cos

2sin),(

Constantele Cn,Dn se deteminã prin intermediul condiþiilor iniþiale;


194

Avem:

10)()0,(

nnn l

xJDxfxu

Deoarece funcþiile )(0 nJ n=1,2,k sunt ortogonale, de prindere p pe intervalul

(0,1),

nmdJJ mn ,01

0

00 ;

prin schimbarea de variabila:l

x , relaþiile precedente se transforma in:

nmdxl

xJ

l

xJ nn

,01

0

00

De aici se obþine cu uºurinþã:

l

n

l

n

n

dxl

xJ

dxl

xJxf

lD

0

02

0

0)(1

A doua condiþie iniþialã conduce la valorile Cn=0 , astfel cã în final vom obþine:

l

xJt

l

gDtxu n

n

nn

0

1 2cos),(

Probleme nerezolvate. 1.Sã se determine soluþia u=(x,y) a ecuaþiei:

0232

22

2

2

y

u

yx

u

x

u care satisface:

u(0,y)=y ; yyx

u3),0(

2

2.Sã se determine soluþia u=u(x,y) a ecuaþiei ;

042

23

2

2

x

u

y

ux

x

ux care satisface :

u(x,x2)=f(x) ; u(x,-x2)=g(x) pentru 0x , unde f ºi g sunt douã funcþii date, cu f(0)=g(0)=0


195

3.Sã se determine soluþia u=u(x,y) a ecuaþiei ;

222

2

2

2

16 yxy

u

x

u

care satisface :

u(x,x)=f(x) ; u(x,-x2)=g(x) unde f ºi g sunt douã funcþii date. 4.Sã se determine funcþia u=u(x,t) care verificã ecuaþia :

u

x

u

xt

u

1

2

2

ºi condiþiile :

u(x,t+2ð)=u(x,t) ; u(0,t)=f(t) unde f este o funcþie periodicã de perioadã 2ð ºi satisface condiþiile lui Dirichlet. 5.Sã se determine funcþia u=u(x,t) care verificã ecuaþia :

,;,0;02

22

2

2

tlxx

u

x

ux

t

u ºi condiþiile :

,;,0);,()2,( tlxtxutxu

,;cos45

sin),();(),0( t

t

ttlutftu

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR

Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã câmpul de evenimente; 2. Sã defineascã câmpul de probabilitate; 3. Sã defineascã formulele din teoria probabilitãþilor; 4. Sã defineascã variabilele aleatoare; 5. Sã defineascã legi importante de repartiþie; 6. Sã defineascã vector aleator în Rn ; 7. Sã calculeze caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare; 8. Sã calculeze probabilitãþi în cazul variabilelor aleatoare ce urmeazã

diverse legi de repartiþie; 9. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina 275.

17.1. Algebre Boole Definiþia 17.1. Se numeºte algebrã Boole o mulþime nevidã a în care sunt definite

operaþiile algebrice (reuniunea), (intersecþia) ºi C (luarea complementarei) care

verificã axiomele:

1. a A B B A

b A B B A

)

)

pentru orice a, BA (comutativitatea)

2.

a A B C A B C

b A B C A B C

)

)

pentru orice a,, CBA (asociativitatea)

3.

a A B C A B A C

b A B C A B A C

)

)

pentru orice a,, CBA

(distributivitatea)

4.

a A B A A

b A B A A

)

)

pentru orice a, BA (absorbþia)

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________

197

5.

a A CA B B

b A CA B B

)

)

pentru orice a, BA (complementaritatea)

Definiþia 17.2. Se spune cã elementul A este conþinut în elementul B (B conþine

pe A) sau cã B este un majorant al lui A sau A este mai mic decât B (B este mai mare

decât A) dacã:

A B A

(17.1)

Aceasta este o relaþie de ordine pe a. Se noteazã aceastã relaþie de ordine prin:

A B sau B A . Relaþia se numeºte incluziune, iar relaþia acoperire. Avem

urmãtoarea proprietate:

Proprietatea 17.1. Relaþia A B este echivalentã cu A B B .

Deci trebuie demonstrat cã A B A dacã ºi numai dacã A B B .

Demonstraþie:

A B A deci A B B

BABABBA

A

.4

A B B deci A B A

A A B A B

B

Definiþia 17.3. Se spune cã elementul aC este cel mai mic majorant comun

al elementelor a, BA dacã au loc urmãtoarele proprietãþi:

i. A C ºi B C

ii. dacã A X ºi B X atunci C X pentru orice aX

Definiþia 17.4. Se spune cã elementul aD este cel mai mare minorant

comun al elementelor a, BA dacã au loc proprietãþile:

i. D A ºi D B


198

ii. dacã X A ºi X B atunci X D pentru orice aX

Consecinþa 17.1. (transformarea prin dualitate)

Dacã într-o afirmaþie adevãratã în care intervin operaþiile , ºi C ºi relaþiile

ºi , înlocuim peste tot pe cu , pe C îl lãsãm neschimbat,iar pe cu ºi

cu obþinem tot o afirmaþie adevãratã numitã afirmaþia dualã.

Consecinþa 17.2. Pentru orice a,1 niiA , elementele i

n

iA1

ºi i

n

iA1

sunt unic determinate ºi nu depind de ordinea elementelor.

Aceasta rezultã prin inducþie þinând seama de A1. ªi A2. Din definiþia 17.1.

Consecinþa 17.3. (legi de idempotenþã)

Pentru orice aA avem:

A A A ºi A A A

Demonstraþie:

A A A B A A A B A A B A A B A AA A

A AA A

4 3

4 4

. .

. .

A A A B A A A B A A B A A B A AA A

A AA A

4 3

4 4

. .

. .

Consecinþa 17.4. Incluziunea este o relaþie de ordine parþialã în algebra Boole:

i. reflexivã: pentru orice aA avem A A ;

ii. antisimetricã: A B ºi B A dacã ºi numai dacã A = B;

iii. tranzitivã: A B ºi B C rezultã A C .

Demonstraþie:

i. A A A deci A A

ii. A B deci A B A

B A deci A B Brezultã A B


199

iii. A B deci A B A

B C deci B C Brezultã A C A B C A B C A

B

rezultã A A C de unde rezultã A C

Consecinþa 17.5. (legi de monotonie) Pentru orice a,, CBA ºi A B

atunci:

A C B C ºi A C B C

Demonstraþie: avem A B dacã ºi numai dacã:

A B A

A B B

B C A C A B C B C deci A C B CB

B C A C A B C B C deci A C B CB

Consecinþa 17.6. Cel mai mic majorant comun ºi cel mai mare minorant comun a

douã elemente sunt unice.

Demonstraþie: sã demonstrãm cã cel mai mic majorant comun a douã elemente

a, BA este unic.

Presupunem cã existã C1 ºi C2 cei mai mici majoranþi comuni ai elementelor

a, BA . Dacã C1 este cel mai mic majorant comun atunci conform definiþiei 17.3.

A C 1 ºi B C 1 ºi oricare ar fi C2 cu proprietatea A C 2 ºi B C 2 rezultã

C C1 2 .

Înlocuind C1 cu C2 ºi C2 cu C1 obþinem analog C C2 1 deci C C1 2 . În

mod asemãnãtor se demonstreazã cã cel mai mare minorant comun a douã elemente este

unic.

Consecinþa 17.7. Într-o algebrã Boole existã douã elemente ºi V astfel ca

pentru orice aA sã avem:


200

A CA ºi A CA V

numite respectiv elementul nul ºi elementul total.

Demonstraþie: în A5.b) înlocuind B cu B CA obþinem:

A CA B CB B CB

Înlocuind A cu B ºi B cu A obþinem:

B CB A CA B CB pentru orice a, BA

de unde

A CA B CB pentru orice a, BA

Acest element comun îl notãm cu .

Procedând analog cu A5.a) obþinem:

A CA B CB V pentru orice a, BA

Consecinþa 17.8. Elementul nul ºi elementul total sunt respectiv cel mai mic

element ºi cel mai mare element din algebra Boole a în raport cu relaþia � � de ordonare

parþialã.

Demonstraþie: într-adevãr dacã în A5. Înlocuim B cu A obþinem pentru orice

aA , þinând seama ºi de consecinþa 17.7:

A CA A A de unde V A A deci V A

A CA A A de unde A A deci A

Consecinþa 17.9. Pentru orice aA avem:

A V A , A V V

ºi dual

A A , A

Demonstraþie:

A V A A CA A CA V

A A A CA A CA


201

Celelalte sunt demonstrate în consecinþa 17.8.

Consecinþa 17.10. Dacã A B ºi A B V atunci B CA .

Demonstraþie:

B B A CA B A B B CA B CA

rezultã

B CA

B V B A CA B A B B CA B CA

rezultã

B CA

deci:

B CA

Consecinþa 17.11. (relaþiile lui de Morgan)

Pentru orice a, BA avem:

C A B CA CB

ºi dual

C A B CA CB

Demonstraþie:

Folosind consecinþa 17.10. avem:

CA CB A B A CA CB B CB CA

CA CB A B CA A B CB A B V

deci:

CA CB C A B

Analog se demonstreazã a doua relaþie a lui de Morgan.

Definiþia 17.5. Se numesc elemente disjuncte douã elemente a, BA cu

proprietatea A B .


202

Definiþia 17.6. Se numeºte diferenþa elementelor a, BA elementul

A B A CB .

De aici rezultã:

V A V CA CA

ºi

A B A

Definiþia 17.7. Un element aA , A se numeºte atom dacã pentru orice

aB incluziunea B A implicã B sau B A .

Din aceastã definiþie rezultã cã dacã A este un atom pentru orice aB avem

A B sau A B .

Definiþia 17.8. Fie a o algebrã Boole ºi M o familie nevidã de elemente din a. Se

numeºte reuniune a elementelor A M elementul

A

AM care satisface:

i. A AA

M pentru orice A M ;

ii. dacã A B pentru orice A M atunci

A

A B

M .

Se numeºte intersecþie a elementelor A M elementul

A

AM care

satisface condiþiile:

i. A

A A

M pentru orice A M ;

ii. dacã B A pentru orice A M atunci B AA

M .

Definiþia 17.9. Se numeºte o -algebrã Boole a astfel încât pentru orice ºir de

elemente aiA sã avem aii

A .


203

În cele ce urmeazã vom nota cu o mulþime oarecare cu elementele ei ºi cu

P() mulþimea tuturor pãrþilor mulþimii .

Definiþia 17.10. O familie nevidã K P se numeºte corp de pãrþi dacã

are proprietãþile:

i. dacã A K atunci CA K ;

ii. dacã A B, K atunci A B K .

Proprietãþile unui corp de pãrþi sunt:

1) K , K

Demonstraþie: corpul K fiind nevid, existã cel puþin un element A K , pe

baza definiþiei 17.10. pentru care A CA K , de unde deducem

C K .

2) dacã A i K i n 1, atunci i

n

iA

1

K .

Demonstraþie: în baza relaþiei lui de Morgan avem:

i

n

ii

n

iA C CA

1 1

ºi aplicând într-un numãr finit de ori proprietãþile i ºi ii din definiþia 17.10. rezultã cã

i

n

iA

1

K .

3) dacã A B, K rezultã A B K .

Demonstraþie: avem A B A CB ºi în baza proprietãþii precedente

rezultã cã A B K .

Definiþia 17.11. O familie nevidã K P se numeºte corp borelian dacã

are proprietãþile:


204

i. dacã A K atunci ºi CA K ;

ii. dacã A i K (i=1,2,...) atunci ºi i

iA K .

17.2. Câmp de evenimente

Noþiunea de bazã a teoriei probabilitãþilor este aceea de eveniment. Acestea ne

intereseazã din punct de vedere al producerii sau neproducerii lor în anumite condiþii

date.

Definiþia 17.12. Dacã A este un eveniment oarecare se numeºte evenimentul

contrar lui A (sau nonA) evenimentul care se produce atunci ºi numai atunci când nu se

produce A.(se noteazã A sau CA)

Definiþia 17.13. Dacã A ºi B sunt douã evenimente oarecare, evenimentul, sau A

sau B (sau reuniunea evenimentelor A ºi B) este evenimentul care se produce atunci ºi

numai atunci când se produce cel puþin unul dintre evenimentele A ºi B.(se noteazã

A B )

Definiþia 17.14. Dacã A ºi B sunt douã evenimente oarecare, evenimentul ºi A ºi

B (sau intersecþia evenimentelor A ºi B) este evenimentul care se produce atunci ºi numai

atunci când se produc ambele evenimente A ºi B.(se noteazã A B )

Folosind cele de mai sus rezultã cã mulþimea evenimentelor formeazã evident o

algebrã Boole faþã de operaþiile C, , .

Evenimentului total V ºi evenimentului nul al algebrei Boole le corespund

evenimentul sigur pe care-l vom nota cu , respectiv evenimentul imposibil pe care-l

vom nota cu .

Definiþia 17.15. Diferenþa evenimentelor A ºi B este evenimentul care se produce

atunci ºi numai atunci când se produce A, dar nu se produce B.(se noteazã A � B)

Definiþia 17.16. Dacã producerea evenimentului A atrage în mod necesar

producerea evenimentului B spunem cã A implicã B ºi se noteazã A B .


205

Definiþia 17.17. Dacã A B spunem cã evenimentele A ºi B sunt

incompatibile.

Definiþia 17.18. O mulþime de evenimente K se numeºte câmp de evenimente,

iar o mulþime înzestratã cu un corp borelian de evenimente K se numeºte câmp borelian

de evenimente. Se noteazã ,K .

Definiþia 17.19. Un sistem de evenimente Ak K k n 1, este un sistem

complet de evenimente dacã Ak , A A j kj k , k

n

kA

1

.

Definiþia 17.20. Un eveniment A K se numeºte eveniment compus dacã

existã douã evenimente B C, K diferite de A astfel încât sã avem A B C . Un

eveniment care nu este compus ºi nu este eveniment imposibil se numeºte eveniment

elementar.

17.3. Câmp de probabilitate

Fie câmpul de evenimente ,K . Se numeºte probabilitate pe K o funcþie

P : K R , care satisface axiomele:

A1) P A 0 pentru orice A K ;

A2) P 1

A2) dacã A B, K ºi A B , atunci P A B P A P B .

Tripletul ,K ,P se numeºte câmp de probabilitate.

Dacã în plus funcþia P satisface condiþia:


206

A�3) Dacã A i K pentru i=1,2,.. ºi A A i ji j atunci

P A P Ai

i ii

1 1

, funcþia P se numeºte complet aditivã. Dacã ,K este

un câmp borelian de evenimente, atunci tripletul ,K ,P se numeºte câmp borelian

de probabilitate.

Pentru orice câmp de probabilitate au loc proprietãþile:

P1) Oricare ar fi A K , APAP 1 ;

Demonstraþie: oricare ar fi A K avem:

A A ºi A A

din A3) rezultã:

P A A P

de unde:

P A P A 1

deci:

P A P A 1

P2) P 0

Demonstraþie: avem evident ,

P P P 1 1 1 0

P3) Oricare ar fi A B, K , A B avem P A P B

Demonstraþie: fie A B, K ºi presupunem cã

A B rezultãA B A

A B B

Fie C B A B A atunci:


207

A C B A A A B A A B

B

A C B A A

Deoarece A C B ºi A C aplicând A3) vom avea:

P A P C P B

dar din A1) P C 0 pentru orice CK , deci:

P A P B

P4) Oricare ar fi A K avem 0 1 P A

Demonstraþie: într-adevãr A ºi aplicând P3) obþinem

0 1 P A

P5) Oricare ar fi A B, K avem P A B P A P A B

Demonstraþie: avem A B A B

A B A B A B B A A

ºi

A B A B A B B A

deci evenimentele A B ºi A B sunt incompatibile. Aplicând A3) obþinem:

P A B A B P A

de unde rezultã:

P A B P A B P A

deci:

P A B P A P A B

P6) Oricare ar fi A B, K rezultã


208

P A B P A P B P A B

Demonstraþie: avem evident:

A B A B

de unde:

P A B P A B P A B 1

Aplicând P5) rezultã:

P A B P A P A B

Aplicând încã o datã P5) vom avea:

BAPBPBAP

de unde:

P A B P A P A B P A P B P A B

P A P B P A B

1 1 1

P7) Oricare ar fi A B, K ºi A B rezultã

P B A P B P A

Demonstraþie:

A B rezultãA B A

A B B

avem:

P B A P B P A B P B P AP

5

Definiþia 17.21. Douã evenimente A B, K se numesc egal posibile dacã

P A P B .

Definiþia 17.22. Într-un câmp finit de evenimente numãrul cazurilor posibile într-

o experienþã este numãrul de evenimente elementare ale câmpului.


209

Definiþia 17.23. Numãrul cazurilor favorabile unui eveniment A K este

numãrul m de evenimente elementare a cãror reuniune este A; deci dacã A Ai

m

i

1

atunci m este numãrul cazurilor favorabile.

Propoziþia 17.1. Dacã toate evenimentele elementare ale unui câmp finit de

evenimente K sunt egal posibile, probabilitatea P(A) a unui eveniment A K este

egalã cu raportul dintre numãrul cazurilor favorabile evenimentului A ºi numãrul

cazurilor posibile.

Demonstraþie: fie A K în care K este un câmp finit de evenimente egal

posibile, atunci A Ai

m

i

1, în care Ai sunt evenimente elementare, deci

A Ai j dacã i j .

P A P A ii

m

1

, presupunem P A pi evenimente egal posibile, deci

P A m p .

Pe de altã parte

i

n

iA1

de unde P n p , dar P 1 de unde

P Am

n .

Pentru a putea înþelege mai bine noþiunea de probabilitãþi condiþionate sã

considerãm urmãtoarea problemã.

O urnã conþine a bile albe ºi b bile negre. Considerãm evenimentele:

A1 - prima extragere a unei bile din urnã sã fie o bilã albã;

A2 - a doua extragere a unei bile din urnã sã fie o bilã albã.


210

În acest caz:

1

1

2

Arealizat fost a dacã

neagrã, bilã ofost a extragere prima dacã1

Arealizat fost a dacã deci

albã, bilã ofost a extragere prima dacã1

1

deci

ba

a

ba

a

AP

Deci probabilitatea evenimentului A2 depinde de realizarea evenimentului A1,

astfel de evenimente se numesc evenimente condiþionate.

Definiþia 17.24. Fie ,K ,P un câmp de probabilitate ºi A A1 2, K

cu P A1 0 . Se numeºte probabilitatea evenimentului A A2 1 expresia:

P A A

P A A

P AP AA2 1

1 2

121

notaþie

Sã arãtãm cã tripletul A

P,,K este un câmp de probabilitate, adicã verificã

axiomele probabilitãþilor:

A1) Oricare ar fi A A1 2, K ºi A1 rezultã

P A

P A A

P AA1 21 2

10

A2) Oricare ar fi A1 K ºi A1 avem:

P

P A

P A

P A

P AA1

1

1

1

11

A3) Oricare ar fi A A A1 2 3, , K , A A1 2 , A3 avem:

P A A

P A A A

P A

P A A A A

P AA3 1 21 2 3

3

1 3 2 3

3


211

dar A A A A1 3 2 3 deci:

P A A A A P A A P A A1 3 2 3 1 3 2 3

Deci:

P A A

P A A

P A

P A A

P AP A P AA A A3 3 31 2

1 3

3

2 3

31 2

Proprietatea cea mai importantã este:

P1) Oricare ar fi A A1 2, K , A1 , A2 avem:

P A A P A P A P A P AA A1 2 2 1 1 21 2

Demonstraþie: avem

P AP A A

P A

P AP A A

P A

A

A

1

2

21 2

1

11 2

2

din care rezultã

P A A P A P A P A P AA A1 2 2 1 1 21 2

Definiþia 17.25. Fie ,K ,P un câmp de probabilitate. Evenimentele

A B, K se numesc independente dacã:

P A B P A P B

Propoziþia 17.2. Dacã A B, K sunt evenimente independente atunci ºi

perechile de evenimente A B A B A B, ; , ; , sunt independente.

Demonstraþie:

i. fie A B, K - independente; avem evident:

A A A B B A B A B


212

Evenimentele A B ºi A B sunt incompatibile deci:

P A P A B P A B

dar A, B independente deci

P A B P A P A P B P A P B P A P B 1

ii. în i. schimbãm pe A cu B ºi obþinem:

P A B P B P A

iii. este evident cã:

A B A B

deci

P A B P A B 1

P A P B P A P B P A B 1

P A B P A P B P A P B

P A B P A P B P B P A P B P B

P B P A P A P B

1

1

Propoziþia 17.3. Dacã A B, K sunt independente atunci:

P A

P A B

P B

P A P B

P BP AB

Analog:

P B

P A B

P A

P A P B

P AP BA

ºi reciproc, adicã:

Dacã P B P B P A P AA B atunci:


213

P A B P A P B

Demonstraþie: este evidentã folosind definiþia 17.25. ºi propoziþia 17.2.


214

TEOREME FUNDAMENTALE ALE TEORIEI

PROBABILITÃÞILOR

Metodele directe de calcul al probabilitãþilor unui eveniment nu sunt întotdeauna

comode, iar uneori chiar inutilizabile. De aceea se folosesc aºa numitele metode indirecte,

care permit ca pe baza unor probabilitãþi cunoscute ale evenimentelor studiate sã se

determine probabilitãþile altor evenimente legate de acestea, permiþând astfel reducerea

experienþelor la minim. Aceste metode indirecte utilizeazã într-o formã sau alta teoremele

fundamentale ale teoriei probabilitãþilor.

18.1. Formula probabilitãþii reuniunii evenimentelor compatibile

Formula probabilitãþii reuniunii evenimentelor compatibile este:

Pentru orice A i K i n 1, vom avea:

P A P A P A A P A A A

P A A A

i

n

i ii

n

i ji j

C

i j ki j k

C

nn

n n

1 1

11 2

2 3

1

(18.1)

Demonstraþie: prin inducþie

Pentru n = 2 avem A A1 2, K ºi

P A A P A P A P A A1 2 1 2 1 2

care este proprietatea 17.6.

Pentru n = 3 avem:


215

P A A A P A A A P A A P A

P A A A P A P A P A P A A

P A A A A P A P A P A P A A

P A A P A A P A A A

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2

1 2 2 3 1 2 3 1 2

1 3 2 3 1 2 3

Presupunem relaþia (18.1) adevãratã pentru n = m adicã:


P A A A

i

m

i ii

m

i ji j

C

i j ki j k

C

mi j m

m m

1 1

1

2 3

1

ºi sã demonstrãm cã este adevãratã ºi pentru n = m+1

1

11

1

.6.

11

1

1mi

m

imi

m

i

P

mi

m

ii

m

iAAPAPAPAAPAP

dar,

P A A P A A P A A

P A A A P A A A A

P A A A

i

m

i mi

m

i m i mi

m

i m ji j

C

i j k mi j k

C

mm

m m

11

11 1

1

1 1

11 2 1

2 3

1

deci:


P A A A

i

m

i ii

m

i ji j

C

i j ki j k

C

mm

m m

1

1

1

1

1 2 1

12

13

1

s-a folosit relaþia:


216

C C Cmk

mk

mk

1

1

Observaþia 18.1. Dacã evenimentele sunt douã câte douã incompatibile

A Ai j i j atunci:

P A P Ai

n

i ii

n

1 1

(18.2)

Inegalitatea lui Boole

Dacã ,K ,P este un câmp borelian de probabilitate ºi A i K

i I - o mulþime cel mult numãrabilã de evenimente atunci:

P A P Ai I

i ii I

1

Demonstraþie: dupã de Morgan avem:

i I

ii I

iA A

de unde

i I

ii I

iA C CA

ºi deci

P A P C CA P CAi I

ii I

ii I

i

1

Dar

P CA P CAi I

i ii I

Dacã I n 1 2, , , ºi cum P A P Ai i 1 rezultã


217

P A n P Ai ii

n

i

n

11

18.2. Formula probabilitãþii intersecþiei evenimentelor compatibile

Formula probabilitãþii intersecþiei evenimentelor compatibile este:

Oricare ar fi A i K i n 1, avem:


P A A A

i

n

i ii

n

i ji j

C

i j ki j k

C

nn

n n

1 1

11 2

2 3

1

(18.3)

Demonstraþie: avem evident cã pentru orice A i K


218

P A P A P A P A P A A

P A A A P A A A

C C C P A

i

n

ii

n

ii

n

i ii

n

i ji j

C

i j ki j k

Cn

n

n nn

nn

n

n

1 1 1 1

11 2

1 2 1

0

1 1

1

1 1

2

3

ii

n

i ji j

C

i j ki j k

Cn

n

P A A

P A A A P A A A

n

n

1

11 2

2

3

1

Demonstraþia egalitãþii (18.3) se poate face ºi prin inducþie matematicã procedând

în mod analog ca la (18.1).

Observaþia 18.2. (inegalitatea lui Boole)

Pentru orice A i K i n 1, are loc:

P A P A ni

n

i ii

n

1 1

1

(18.4)

Demonstraþie: fie A i K i n 1, , este evident cã:

i

n

ii

n

iA A

1 1

de unde obþinem:

P A P A P A

P A P A n

i

n

ii

n

i ii

n

ii

n

ii

n

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1


219

18.3. Formula de înmulþire a probabilitãþilor

Formula de înmulþire a probabilitãþilor este :

Dacã A i K i n 1, ºi A i atunci:

P A P A P A A P A A A P A A A Ai

n

i n n

11 2 1 3 1 2 1 2 1

(18.5)

Demonstraþie: din ipotezã cum A i rezultã P A i 0 ºi din

incluziunile:

A A A A A A Ai

n

i1 1 2 1 2 31

rezultã:

P A P A A P Ai

n

i1 1 21

0

ºi deci probabilitãþile din membrul drept ai egalitãþii (18.5) sunt definite.

Prin inducþie, pentru n = 2 obþinem:

P A A P A P A A1 2 1 2 1

adicã

P A A

P A A

P A2 11 2

1

care este relaþia din definiþia probabilitãþii condiþionate; presupunem relaþia (18.5)

adevãratã pentru n = m, adicã:

P A P A P A A P A A Ai

m

i m m

11 2 1 1 1


220

atunci

P A P A A P A P A Ai

m

ii

m

i mi

m

i mi

m

i

1

1

11

11

1

Definiþia 18.1. Evenimentele A i K i n 1, formeazã un sistem complet

de evenimente dacã:

i. A i i n 1, ;

ii. A Ai j i j ;

iii. i

n

iA

1

.

18.4. Formula probabilitãþii totale

Fie ,K ,P un câmp de probabilitate ºi XK iar H i i n1, un

sistem complet de evenimente ale câmpului (numite ipoteze) atunci:

P X P H P X Hi ii

n

1

(18.6)

numitã formula probabilitãþii totale.

Demonstraþie: avem evident cã:

X X X H X Hi

n

ii

n

i

1 1

dar X H X Hi j dacã i j , deci evenimentele X H i ºi X Hj

sunt incompatibile douã câte douã, deci:


221

P X P X H P H P X Hii

n

i ii

n

1 1

Observaþia 18.3. Formula lui Bayes (este o consecinþã a formulei probabilitãþii

totale ºi a formulei probabilitãþii condiþionate)

Fie H i i n1, un sistem complet de evenimente aparþinând câmpului de

probabilitate ,K ,P ºi fie XK cu X atunci:

P H X

P H P X H

P H P X Hi

i i

k kk

n

1

(18.7)


P X H P X P H X P H P X Hi i i i

de unde:

P H XP H P X H

P Xii i

dar

P X P H P X Hk kk

n

1

deci:

P H X

P H P X H

P H P X Hi

i i

k kk

n

1


222

18.5. Experienþe repetate (Scheme probabilistice clasice) i. Schema lui Poisson. Se considerã n experimente independente ºi în fiecare din

ele putându-se realiza un anumit eveniment A cu o probabilitate cunoscutã. Fie Ai

evenimentul care constã în realizarea evenimentului A în experienþa i i n 1, cu o

probabilitate cunoscutã pi. Probabilitatea ca evenimentul A sã se realizeze exact de k

k n ori în cele n experienþe P n k; este coeficientul lui xk din dezvoltarea:

ni

n

i ix p x q

1 (18.8)

în care q pi i 1 .

Demonstraþie: fie An,k evenimentul care constã în aceea cã în cele n experienþe

evenimentul A sã se realizeze exact de k ori, atunci:

nkk iiiii

n

ikn AAAAAA

11211,

în care i i in1 2, , , este o permutare a indicilor (1,2,...,n).

Deoarece:

nkknkk jjjjjiiiii AAAAAAAAAA 121121

iar evenimentele A1,A2,...,An sunt independente rezutã:

!

1, 121

;n

iiiiiikn nkk

qqpppknPAP

care este tocmai coeficientul lui xk din dezvoltarea polinomului n x din (18.8).

În limbajul urnelor schema lui Poisson este formulatã astfel.

Se dau urnele U1,U2,...,Un care conþin bile albe ºi negre în proporþii date.

Cunoaºtem deci probabilitatea pi i n 1, cu care este extrasã o bilã albã din urna Ui. Se

cere probabilitatea de a extrage k bile albe ºi n-k bile negre, atunci când din fiecare urnã

se extrage câte o bilã.

Observaþia 18.4. Uneori în aplicaþiile practice se cere calcularea probabilitãþii

apariþiei unui eveniment nu exact de k ori, ci de cel puþin k ori. Acesta este evident:


223

P n k k n P P P P n i P n in k n k n ni k

n

i

k; , , , ; ;, , ,

1 110

1

ii. Schema lui Bermoulli cu douã stãri

Se considerã n experienþe independente, putând fiecare sã realizeze evenimentul

A cu o probabilitate cunoscutã p. Probabilitatea ca acest eveniment sã se realizeze exact

de k k n ori în cele n experienþe este:

P n k C p qnk k n k;

(18.9)

unde q = 1 - p.

Demonstraþie: aceasta nu este altceva decât un caz particular al schemei lui

Poisson în care p p pn1 2 . Funcþia generatoare în acest caz este

nnx px q , de unde coeficientul lui xk din dezvoltarea binomului este tocmai

(18.9) T C p q xk nk k n k k

1 .

În limbajul urnelor schema lui Bernoulli este: o urnã conþine bile albe ºi negre.

Probabilitatea de a extrage o bilã albã este p. Se cere probabilitatea de a extrage k bile

albe din n extracþii punând de fiecare datã bila înapoi.

Schema lui Bernoulli cu mai multe stãri

Fie n experienþe independente ºi în urma fiecãrei experienþe se poate realiza unul

din evenimentele A1,A2,...,Am m n cu probabilitãþile p1,p2,...,pm respectiv ºi

p ii

m

1

1. Probabilitatea P n n n nm; , , ,1 2 cu n n n nm1 2 a

evenimentului care constã în aceea cã în cele n experienþe sã se realizeze evenimentul Ai

de ni ori i m 1, este:


224

P n n n nn

n n np p pm

m

n nmnm; , ,

!

! ! !1 21 2

1 21 2

(18.10)

Demonstraþie: avem:

P n n C p q C p p p

C p C p p p

C C C C p p p

nn n n n

nn n

mn n

nn n

n nn n

mn n n

nn

n nn

n n nn

n n n nn n n

mn

m

m m

; 1 1 1 1 2

1 2 3

1 2

1 1 1 1 1 1

1 1

1

2 2 1 2

11

2

1 2

3

1 2 1

1 2

Aceasta se mai numeºte schema polinomialã, deoarece reprezintã coeficientul lui

x x xn nmnm

1 21 2 din funcþia generatoare:

n m m mnx x x p x p x p x1 2 1 1 2 2, , ,

19.1. Variabile aleatoare discrete ºi continue

Fie ,K ,P un câmp de probabilitate.

Definiþia 19.1.

i. în cazul unui câmp finit de evenimente sau în cazul unui câmp numãrabil de

evenimente (câmp discret de evenimente) se numeºte variabilã aleatoare discretã o

funcþie XX definitã pe mulþimea evenimentelor elementare K ºi cu

valori reale aºa încât:

1. X x i Ii , , unde I este o mulþime cel mult numãrabilã;

2. / X x i Ii K, .


225

ii. în cazul unui câmp infinit de evenimente, nenumãrabil, se numeºte variabilã aleatoare

realã pe câmpul de evenimente orice aplicaþie X R: pentru care

: X I K oricare ar fi intervalul I al dreptei reale.

O astfel de variabilã aleatoare se numeºte de tip continuu.

Observaþia 19.1. Dacã X ºi Y sunt variabile aleatoare, atunci:

X Y X YX

yY X Y ; ; ; 0 sunt variabile aleatoare (aceasta rezultã din

aceea cã avem de-a face cu funcþii reale).

Redãm în cele ce urmeazã o definiþie pentru variabile aleatoare echivalentã cu

19.1.

Definiþia 19.2. Se numeºte variabilã aleatoare definitã pe un câmp de evenimente

,K o aplicaþie X R: cu proprietatea cã X A 1 K , pentru orice

A K .

Definiþia 19.3. (Funcþie de repartiþie)

i. în cazul unei variabile aleatoare discrete, ansamblul format din valorile variabilei

aleatoare X ºi probabilitãþile evenimentelor corespunzãtoare se numeºte funcþie de

repartiþie a variabilei aleatoare X, adicã:

Xx x x

p p ppn

ni

i

n: ;1 2

1 2 1

1

(19.1)

Xx x x

p p ppn

ni

i

: ;1 2

1 2 1

1

(19.2)

ii. în cazul variabilei aleatoare de tip continuu X se numeºte funcþie de repartiþie a

variabilei aleatoare X aplicaþia F F RX : ,0 1 datã de:


226

F x P X x

(19.3)

în care X < x înseamnã X x , .

Principalele proprietãþi ale funcþiei de repartiþie de tip continuu sunt:

P1) Este nedescrescãtoare pe R (este monoton crescãtoare pe R), adicã oricare ar

fi x x R1 2, ºi x x1 2 avem:

F x F x1 2

(19.4)

Demonstraþie: fie x x R1 2, cu x x1 2 avem X x X x 1 2 , deci

P X x P X x 1 2 , rezultã cã F x F x1 2 .

P2) limx

F x F

0 .

Demonstraþie: oricare ar fi x Rn cu x avem X xn .

Deci P X xn 0, rezultã cã limx

F x

0 .

P3) limx

F x F

1 .

Demonstraþie: oricare ar fi x Rn cu x avem X xn .

Deci P X xn 1, rezultã cã F F xx

lim 1.

P4) Este continuã la stânga:

limx x

F x F x F x

0

0 00

Demonstraþie: oricare ar fi x Rn cu xn x0 avem X xn X x 0 .

Deci P X x P X xn 0 ºi F x F xn 0 de unde rezultã cã

limn

nF x F x

0 ºi F x F x0 00 .


227

Obsevaþia 19.2. Se poate arãta ºi reciproc, anume, dacã o aplicaþie

F R: , 0 1 satisface proprietãþile P1 - P4, atunci pentru orice astfel de funcþie F se

poate construi un câmp de probabilitãþi ºi o variabilã aleatoare X pe acest câmp, astfel ca

F sã fie funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X.

P5) P a X b F b F a pentru orice a b R a b, , .

Demonstraþie: avem evident a X b X b X a , rezultã cã

P a X b P X b X a P X b P X b X a

P X b P X a F b F a F xx a

x b

P6) P X x F x F x 0

Demonstraþie: avem evident X x x X xnn

1

1, rezultã cã

P X x P x X xn

F xn

F x F x F xn n

lim lim

1 10

Observaþia 19.3.

i. dacã funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X este continuã în punctul x R ,

atunci P X x F x F x 0 ºi reciproc;

ii. întrucât funcþia de repartiþie este nedescrescãtoare pe R rezultã cã are o mulþime finitã

sau numãrabilã de puncte de discontinuitate; în consecinþã, pentru orice variabilã

aleatoare X existã o mulþime cel mult numãrabilã de puncte x R pentru care

P X x 0 .

P7) P X x F x 1

Demonstraþie: avem evident X x X x c , rezultã cã:

P X x P X x P X x F xc 1 1


228

P8) P a X b F b F a 0 pentru orice b R ºi a b .

Demonstraþie: avem evident bbXabXa ºi bbXa . Deci:

P a X b P a X b P X b

F b F a F b F b F b F a

0 0

P9) Dacã funcþia de repartiþie F a variabilei aleatoare X este continuã la dreapta

în b, atunci F b F b 0 ºi P8 ne dã:

P a X b F b F a

Definiþia 19.4. (Densitate de probabilitate) Variabila aleatoare de tip continuu X

are o densitate de repartiþie dacã existã o aplicaþie f f RX : ,0 integrabilã,

aºa încât:

F x f x dtx

(19.5)

în care F este funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X. Are loc:

Teorema 19.1. O aplicaþie f R R: este densitate de repartiþie a unei

variabile aleatoare X dacã ºi numai dacã:

i f x

dx

.

0

1

pentru orice x R

ii. f este integrabilã pe R ºi f x-

(19.6)

Proprietãþi:

P1. Dacã variabila aleatoare X are o densitate de repartiþie f, atunci:

P a X b f x dx a b Ra

b

, , cu a < b

(19.7)


229


P a X b F b F a f x dx f x dx f x dxb a

a

b

P2. Dacã variabila aleatoare X ia valori numai în intervalul (a,b) atunci f se anuleazã în

afara acestui interval.

Demonstraþie: avem P a X b 1 . Rezultã cã f x dxa

b

1, de unde:

f x dx f x dx f x dx f x dxa

a

b

b

1

deci:

f x dx f x dxa

b

0

Observaþia 19.4.

i. dacã variabila aleatoare X are

densitatea de repartiþie, al cãrei

grafic este reprezentat în figurã,

atunci

b

a

dxxfbXaP este

aria porþiunii haºurate;


230

ii. dacã xb,a atunci

x

dttfxXPxF

este aria porþiunii haºurate.

19.4. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

1. Momentul de ordinul k al unei variabile aleatoare

Definiþia 19.5.

i. în cazul unei variabile aleatoare X de tip finit, având funcþia de repartiþie:

1p,ppp

xxx:X

n

1ii

n21

n21

Numãrul:

n

1i

kiik

k xpXXM

(19.8)

se numeºte moment de ordinul Nk al variabilei aleatoare X.

ii. în cazul unei variabile aleatoare X de tip numãrabil, având funcþia de repartiþie:

1p,ppp

xxx:X

1ii

n21

n21

Numãrul:

1i

kiik

k xpXXM

(19.9)


231

se numeºte moment de ordinul Nk al variabilei aleatoare X, dacã seria

1i

kii xp

este absolut convergentã.

iii. în cazul unei variabile aleatoare X de tip continuu, având densitatea de repartiþie f,

numãrul:

dxxfxXXM kk

k

(19.10)

se numeºte moment de ordinul Nk al variabilei aleatoare X, dacã integrala din

membrul doi este convergentã.

Definiþia 19.6. Se numeºte valoare medie (speranþã matematicã) a variabilei

aleatoare X momentul de ordinul întâi ºi se noteazã Xmm , avem astfel:

i. în cazul variabilei aleatoare X de tip finit:

n

1iii1 xpmXXM

ii. în cazul variabilei aleatoare X de tip numãrabil:

1iii1 xpmXXM

iii. în cazul variabilei aleatoare X de tip continuu:

dxxfxmXXM 1

Definiþia 19.7. Fie mXM valoarea medie a variabilei aleatoare X; se

numeºte abaterea variabilei aleatoare X de la valoarea medie variabila aleatoare

mXU :

i. în cazul variabilei aleatoare X de tip finit:


232

1p,ppp

mxmxmx:U

n

1ii

n21

n21

ii. în cazul variabilei aleatoare X de tip numãrabil:

1p,ppp

mxmxmx:U

1ii

n21

n21

iii. în cazul variabilei aleatoare X de tip continuu:

dxxfmxUF

dacã integrala este convergentã.

Proprietãþile valorii medii sunt:

P1. Valoarea medie Xmm a variabilei aleatoare X este cuprinsã între cea

mai micã valoare x ºi cea mai mare valoare x a variabilei aleatoare.

Demonstraþie: fie xxx , , adicã xxx deoarece 0xf

avem:

xfxxxfxfx

care integratã ne dã:

dxxfxdxxxfdxxfx

sau

dxxfxXMdxxfx

cum:

1dxxf


233

rezultã:

xXMx

(19.11)

P2. Valoarea medie a abaterii este zero, adicã:

0mmdxxfmdxxfxdxxfmxUM

Definiþia 19.8. Modulul este valoarea cea mai probabilã în cazul unei variabile

aleatoare discrete, adicã x pentru care ,p,pmaxp 21 sau punctul de

maxim al densitãþii de repartiþie f în cazul variabilei aleatoare de tip continuu care are

densitatea de repartiþie f.

Definiþia 19.9. Media variabilei aleatoare X este valoarea Me pentru care:

ee MXPMXP

Dacã X are o densitate de repartiþie f atunci Me este valoarea pentru care:

2

1dxxfdxxf

e

e

M

M

Geometric, Me este acel numãr cu proprietatea cã dreapta eMx împarte aria

cuprinsã între graficul funcþiei f ºi axa Ox în douã pãrþi de arii egale.

2. Momente centrate de ordinul k

Definiþia 19.10. Se numeºte moment centrat de ordinul Nk al unei variabile

aleatoare X, momentul de ordinul k al abaterii variabilei aleatoare:

kxk

k mXMXUM

(19.12)

astfel:

i. în cazul variabilei aleatoare X de tip finit avem:


234

n

1ii

kik pmxX

(19.13)

ii. în cazul variabilei aleatoare X de tip numãrabil avem:

1ii

kik pmxX

(19.14)

dacã seria din membrul doi este absolut convergentã

iii. în cazul variabilei aleatoare X de tip continuu având o densitate de repartiþie f avem:

dxxfmxX kk

(19.15)

dacã integrala din membrul doi este convergentã.

Observaþia 19.5.

i. momentul central de ordinul zero este egal cu 1, adicã 10 ;

ii. momentul central de ordinul unu este valoarea medie a abaterii ºi este zero, adicã

01 ;

iii. relaþii între momente ºi momente centrate de acelaºi ordin:

k

0ii

ikik

iik

0i

ikik

i

k

0i

iikik

ikk

XmC1dxxfxmC1

dxxfxmC1dxxfmxX

deci:


235

k

0ii

ikik

ik XmC1X

(19.16)

aceastã relaþie permite sã se calculeze momentele centrate de ordinul k cunoscând

valoarea medie m ºi momentele k,1i,Xi .

Caz particular. Momentele centrate de ordinul doi poartã numele de dispersie ºi

se noteazã:

222

0221

120

2022 mXXmCXmCXmCXDX

Definiþia 19.11. Se numeºte abatere medie de ordinul 1\Nk * , a unei

variabile aleatoare X, radicalul de ordinul k al momentului centrat de ordinul k al

variabilei aleatoare, dacã existã, adicã:

kkk XX

(19.17)

Observaþia 19.6.

i. abaterea medie de ordinul 1 este zero, deoarece 0X0 11 ;

ii. abaterea medie de ordinul 2 se numeºte abatere medie pãtraticã ºi este:

222 mXXDX

(19.18)

iii. în afarã de aceste caracteristici se mai folosesc:

sAX

X

3

3

(19.19)

numit coeficient de asimetrie ºi:

E3X

X

2

4

(19.20)


236

numit corficient de turtire.

20.1. Legea densitãþii uniforme

În anumite probleme se întâlnesc variabile aleatoare continue ale cãror valori se

aflã într-un anumit interval , ºi au aceeaºi densitate de repartiþie. Se spune cã aceste

variabile sunt repartizate conform legii densitãþii uniforme.

Fie X o astfel de variabilã ºi f densitatea de repartiþie. Atunci:

,dacã0

dacãcxf

,- x

, x

în care c este o constantã ce trebuie determinatã astfel încât sã fie o densitate de repartiþie,

adicã 0xf ºi 1dxxf

. Deci 0c ºi

1dxcdxxf atunci

1c adicã avem astfel densitatea de repartiþie:

,,x,0

,x,1

xf

(20.1)

al cãrei grafic este cel alãturat:

Funcþia de repartiþie este:


237

,,11

,,1

,,0

xdt

xx

dt

xdttf

dttfxFx

x

x

adicã:

,x,

,x,x

,x,0

xF

(20.2)

al cãrei grafic este:

Caracteristici numerice:

i. momentul de ordinul k:

1k

dxx1

dxxfxX1k1k

kkk

ii. valoarea medie:

22Xmm

22

1X

iii. momentul centrat de ordinul k:


238

k1k

1k1k1k

kk

k

1121k

1

221k

11

2x

1k

11

dx2

x1

dxxfmxX

iv. abaterea medie de ordinul k este:

kk

kkk 1k2

11

2X

Modul (punct de maxim al densitãþii de repartiþie): nu are.

Mediana: 2

1MXP e deci

2

1dxxf

eM

; rezultã 2

Me

.

v. dispersia:

12

XDX2

2

Abaterea medie pãtraticã: 32

2

.

Coeficientul de simetrie: 0A;0;A s33

3s

.

vi. probabilitatea ca ,b,aX este:

abaFbFbXaP


239

20.2. Legea lui Poisson

Sã considerãm din nou schema lui Bernoulli cu douã stãri, adicã: se considerã n

experienþe independente, putând fiecare sã realizeze evenimentul A cu o probabilitate

cunoscutã p. Probabilitatea ca acest eveniment sã se realizeze exact de k ori nk în

cele n experienþe este:

knkkn qpCk;nP

(20.3)

în care p1q .

Sã considerãm ca variabilã aleatoare kAX k ; în acest caz funcþia de

repartiþie a variabilei aleatoare X de tip finit este:

n2n22

n1n1

nn pqpCpqCq

n210:X

(20.4)

cu 1qpp nn

1ii

.

Legea lui Poisson este un caz limitã al repartiþiei binomiale ºi anume:

Teorema 20.1. Legea lui Poisson este legea limitã a repartiþiei binomiale (20.3)

pentru cazul în care numãrul experienþelor n este foarte mare n , iar

probabilitatea este foarte micã 0p cu condiþia ca pn - constant.

Demonstraþie:


240

e!kn

1n

1n

1k1

n

21

n

11lim

!k

n1

n1

n!k

1kn1nnlim

n1

nClimp1pClimk;nPlim

knk

n

k

kn

k

k

n

knkkn

n

knkkn

pnn

pnn

Astfel legea lui Poisson este:

e

!kP

k

k

(20.5)

se mai numeºte legea evenimentelor rare deoarece am considerat 0p .

Funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare XAX k de tip numãrabil este:

e!n

e!2

e!1

e

n210:X n2

(20.6)

Sã verificãm cã (20.6) îndeplineºte 1e!k0k

k

. Într-adevãr þinând seama cã

x

0k

ke

!k

x

rezultã:

1ee!k

ee!k 0k

k

0k

k

Caracteristicile numerice ale legii Poisson sunt:

i. Momentul de ordinul k:

Din (20.6) avem:


241

1n

1n1k

1n

nk

0n

nk

k !1nne

!nnee

!nn

Introducând substituþia m1n , adicã 1mn avem:

i

1k

0i

i1k01

11k2k

11k1k

0m

m

0m

m1

1k

0m 0m

m1k1

1k

m1k

0m

mm1

1k

m1k1

1k

m1k

m

0m

11k

2k11k

1k

0m

m1k

k

CCC

!mee

!mmC

e!m

mCe!m

m

!m!mmC

!mmC

!mme

!m1mCmCme

!m1me

Deci:

11 k

ik

(20.7)

cu convenþia ii . Din aceastã relaþie rezultã:

2312

23

12

1

0j

j

0

3121121

11

m

e!j

1

ii. Momente centrate de ordinul k


242

Din (20.6) rezultã:

k

0i

ikiki

ik

k

0i

n

0n

iikikik

k

0i

nikikii

k0n0n

nk

k

1Ce!n

n1C

e!n

1nCe!n

n

astfel cã formal putem scrie:

kik

(20.8)

cu aceeaºi convenþie ii ; de aici rezultã:

2431

22344

321233

2222122

11

0

3464

33

22XD

0

1

De aici rezultã cã abaterea medie pãtraticã:

XD2

Observaþia 20.1. Deoarece Dm 21 ; , aceastã proprietate este

folositã în aplicaþiile practice când se efectueazã un mare numãr de experienþe

independente n ºi în fiecare din ele evenimentul A are o probabilitate infimã p de a se

realiza de exact k ori. Aplicând formula aproximativã vom obþine:

pnk

e!k

pnk;nP

(20.9)


243

20.3. Legea exponenþialã

Legea exponenþialã este definitã prin densitatea de repartiþie:

0xe

0x0xf

x

(20.10)

Sã determinãm în primul rând condiþiile pe care trebuie sã le îndeplineascã .

Din 0f rezultã 0 ; 1edxedxxf0

x

0

x

.

Funcþia de repartiþie în acest caz este:

xx

0

xx

0

xx

e1edxedttfxF

Caracteristicile numerice sunt:

i. Momentul de ordinul k:

1k0

x1k

0

x1k

0x

k

0

xkk

kdxex

kdxexk

e

xdxex

Se observã cã 10 , de unde folosind relaþia de recurenþã dedusã mai sus avem:


244

1m,

!k

________________

k

1k

2

1

1

1kk

1kk

2k1k

12

01

0

ii. Momentele centrate de ordinul k:

0

xk

k dxe1

x

1k

'k 1

xkxurezultã1xxu

xx' e1

xvrezultãexv

Deci:

1kkk

0

1k

0

xk

kk1

1dx1

xk

e1

x

sau


245

1kkk

kk1

1

de aici rezultã cã:

44332210

9,

2,

1,0,1

deci

1

XD,1

XD 22

Avem evident cã:

eee1e1XP

20.4. Integrala lui Euler - Poisson

Ne propunem în cele ce urmeazã sã arãtãm cã:

2

dxe0

x 2

(egalitate folositã la legea normalã) (20.11)

Considerãm funcþia de douã variabile:

2222 yxyx eeey,xf

ºi domeniile:

2221 ryx,0y,0xy,xD

2222 r2yx,0y,0xy,xD

0r,r,0y,r,0xy,xD3

ca în figura alãturatã.

Evident cã:

21 DDD


246

deci:

21 DDD

dxdyy,xfdxdyy,xfdxdyy,xf

(20.12)

Sã calculãm: 1

22

1 D

yx

D

dxdyedxdyy,xf .

Introducem schimbarea de variabile:

2,0r,0

,rD

y,xD

2,0siny

r,0cosx

'1D unde de

atunci:

222

'1

2

1

rr

00DD

e14

dedddedxdyy,xf

Analog:

2

2

r2

D

e14

dxdyy,xf

Cu acestea. Inegalitatea (20.12) devine:

2222 r2

r

0

yr

0

xr e14

dyedxee14

sau încã:

222 r2

2r

0

xr e14

dxee14

Trecând la limitã pentru r obþinem:


247

4

dxe4

2r

0

x 2

Folosind cele de mai sus avem:

dxeI2x

0

(20.13)

De aici avem:

0e2

1dxxfxI

'x

12

2nx2nx1n

x1nnn

I2

1ndxex

2

1nex

2

1

dxex2x2

1dxxfxI

22

2

sau

2nn I2

1nI

(20.14)

Dacã 1k2n vom avea 0I 1k2 deoarece I1=0.

Dacã k2n atunci

kk2

2

1353k21k2I

deci:

k2n2

!!1k2

1k2n0

Ik

n

(20.15)


248

21.1. Legea normalã de repartiþie

Definiþia 21.1. Legea normalã de repartiþie sau legea repartiþiei normale (datoratã

lui Laplace ºi Gauss) este datã prin densitatea de repartiþie:

22

2mx

e2

1xf

(21.1)

în care m ºi sunt doi parametri cu 0 , iar 14,3,7182,2e .

Prima problemã care se pune este aceea de a verifica dacã într-adevãr f datã prin

(21.1) este o densitate de repartiþie:

a) þinând seama cã 0 ºi cã f este o funcþie exponenþialã rezultã 0xf pentru

orice Rx ;

b) sã arãtãm cã 1dxxf

. Avem:

dxe2

1I

22

2mx

notând 2

mxt

, obþinem:

1I1

dte2

2I 0

t 2

.

Caracteristicile numerice sunt:

i. momente de ordinul Nn :

dxex2

1dxxfx

22

2mx

nnn


249

notând cu 2

mxt

rezultã mt2x avem:

n

0i

iin

inin

n

0iin

iinin

n

0i

tiniinin

n

0i

tiininin

tnn

mI2C1

Im2C1

dtetm2C1

dtemt2C1

dtemt21

2

22

care formal se poate scrie:

nn mI21

(21.2)

cu convenþia ii II astfel cã:

22220

212

22

01011

0

mm1

ImI2m2I21

I,0I,mmImI21

1

ii. momente centrate de ordinul n; avem:

dxemx2

1dxxfmx

22

2mxnn

n

Notând cu 2

mxt

obþinem:


250

n

n2tnn

n I2

dtet21 2

2n

de unde:

k2n!!1k2

1k2n0k2n

(21.3)

cu evident: 4

432

210 3,0,D,0,1 .

Observaþia 21.1. Parametrul m din (21.1) reprezintã valoarea medie a variabilei

aleatoare X iar D este abaterea medie pãtraticã. Ceilalþi coeficienþi sunt:

0A3

3s

- coeficient de asimetrie;

033

3E4

422

4s

- coeficient de turtire.

iii. Graficul densitãþii de repartiþie (clopotul lui Gauss).

Se observã cã dreapta x = m este axã de simetrie deoarece xfxm2f ;

0xflimxflimxx

.

Avem:

0xf;e2

xmxf '

3' 22

2mx

rezultã cã x=m ºi

2

1mf

22

2mx

exm2

1xf 22

5''


251

Din 0xf '' rezultã mx ºi e2

1mfmf

.

Tabelul de variaþie este:

Graficul este urmãtorul:

Observaþia 21.2.

i. Deoarece f are maximul în x = m rezultã cã legea normalã este unimodularã cu

modulul x = m, care din cauza simetriei este ºi medianã eMm .

ii. Dacã m variazã ºi este constant graficul este translat de-a lungul axei Ox,

pãstrându-ºi forma. Astfel pentru 21 mm avem:


252

iii. Parametrul caracterizeazã forma curbei densitãþii de repartiþie ºi este o

caracteristicã a împrãºtierii. Astfel pentru 21 ºi m constant avem: 21

11

.

Probabilitatea ca variabila aleatoare X sã ia valori în intervalul , .

Þinând cont de (21.1) avem cã uncþia de repartiþie în cazul legii normale este:


253

dte2

1xF

22

2mt

(21.4)

de unde:

dxe2

1FFXP

22

2mx

Deoarece integrala din membrul doi depinde de m ºi , utilizãm schimbarea de

variabilã:

2

mxy , prin care (21.4) devine:

2mx

222mx

2dyedye

1dye

1xF y

0yy

dar 2

dyedye0

y0

y 22

deci (21.4) devine:

2mx

2

0

y dye1

2

1xF

(21.5)

iar:

dye1

XP2

m

2m

2y

(21.6)

Avantajul în (21.6) constã în aceea cã funcþia de integrat nu mai depinde de

parametrii m ºi , depinde de m ºi doar limitele de integrare.


254

Integrala nedefinitã dye2y

nu poate fi exprimatã prin funcþii elementare, de

aceea pentru calculul integralei din (21.6) se folosesc tabele de funcþii speciale ale aºa

numitei funcþii a lui Laplace, sau integrala probabilitãþii legii normale:

x

0

t dte2

x2

(21.7)

Cu ajutorul funcþiei lui Laplace (21.7), funcþia de repartiþie (21.5) devine:

2

mx1

2

1dye

21

2

1xF

2mx

2

0

y

(21.8)

iar probabilitatea (21.6) devine:

2

m

2

m

2

1XP

(21.9)

Proprietãþile funcþiei lui Laplace:

1. Este crescãtoare. Oricare ar fi x1 < x2 atunci:

0dte2

dtedte2

xx2

1

21 22 2x

x

tx

0

tx

0

t12

deci 21 xx .

2. 1xlimx

12

2dte

2xlim

0

t

x

2

3. Este imparã: xx oricare ar fi Rx deoarece


255

xdue2

dte2

xx

0

ux

0

t 22

Probabilitatea ca variabila aleatoare X sã ia valori într-un interval simetric faþã de

valoarea medie, de lungime 2l este:

2

l

2

l

2

1

2

l

2

l

2

1lmXlmPlmXP

deci:

2

llmXP

(21.10)

Regula celor 3

Dacã variabila aleatoare X are funcþia de repartiþie datã de legea normalã, atunci

abaterea sa în valoare absolutã nu depãºeºte 3, deci:

9974,02

33mXP

(21.11)

Egalitatea (21.11) exprimã faptul cã practic toate valorile variabilei aleatoare X

sunt situate în 3m,3m .

Abaterea probabilã

În practica tragerilor caracteristica împrãºtierii este datã nu prin - abaterea

medie pãtraticã, ci de o altã mãrime numitã abatere probabilã (eroarea medie) notatã cu

E.


256

Definiþia 21.2. Se numeºte abatere probabilã a variabilei aleatoare X, având

funcþia de repartiþie datã de legea normalã, jumãtatea lungimii intervalului simetric

centrat în m în raport cu centrul de împrãºtiere pentru care probabilitatea ca valorile

variabilei aleatoare sã aparþinã acestui interval este 2

1. Adicã acea valoare E pentru care:

2

1EmXPEmXP

(21.12)

Din (21.8) rezultã:

2

1

2

EEmXP

Deoarece funcþia lui Laplace este crescãtoare rezultã cã are o rãdãcinã unicã

pentru care 2

1

2

E

ºi din tabele rezultã 477,02

E

, de unde:

2

E;675,02E

(21.13)

Astfel în funcþie de abaterea probabilã E densitatea de repartiþie se poate scrie:

2E

2mx2

eE

xf

(21.14)

iar (21.9) devine:

E

m

E

m

2

1XP

iar pentru a nu fi nevoiþi sã înmulþim de fiecare datã argumentul funcþiei lui Laplace cu

introducem o nouã funcþie:


257

xx�

(21.15)

care se numeºte funcþia redusã a lui Laplace ºi care se exprimã prin integrala:

x

0

tx

0

t dte2

dte2

x�222

(21.16)

Aceastã funcþie este tabelatã.

Folosind funcþia redusã a lui Laplace putem scrie:

E

m�E

m�2

1XP

(21.17)

ºi

E

l�lmXP

(21.18)

22.1. Vector aleator în Rn. Funcþie de repartiþie. Densitate de repartiþie.

În practicã suntem adesea puºi în situaþia de a lua în considerare simultan douã

sau mai multe variabile aleatoare. Dacã Xi, n,1i sunt n variabile aleatoare reale

RIX ii atunci nn21 RX,,X,XX se numeºte vector aleator. Mai

precis:

Definiþia 22.1. Se numeºte vector aleator în Rn pe câmpul de evenimente

K, orice aplicaþie nR:X pentru care:


258

K nIX

(22.1)

oricare ar fi nn RI .

Reamintim cã RRR n este spaþiul real n - dimensional, iar

n21 X,,X,XX este un vector aleator din nR ºi ii XX cu K .

În funcþie de K putem avea vector aleator de tip finit, de tip numãrabil sau de tip

continuu.

În cazul vectorului aleator de tip continuu, analog cu cazul n = 1, introducem

funcþia de repartiþie:

Definiþia 22.2. Se numeºte funcþie de repartiþie a vectorului de tip continuu

n21 X,,X,XX aplicaþia 1,0R:F n datã de

nn11n21 xX,,xXPx,,x,xF

(22.2)

în care:

K

ii

n

1inn2211 xXxX,,xX,xX

Proprietãþile funcþiei de repartiþie sunt asemãnãtoare cu proprietãþile funcþiei de

repartiþie în cazul unidimensional dupã cum urmeazã:

P1) este monoton crescãtoare în oricare variabilã; oricare ar fi n,1i ºi "i

'i xx

rezultã "ii'ii xXxX deci:

,xX,,xX,,xX,xX,xX,,xX,,xX,xX nn"ii2211nn

'ii2211

de unde:

nn"ii11nn

'ii11 xX,,xX,,xXPxX,,xX,,xXP

adicã:


259

n"i21n

'i21 x,,x,,x,xFx,,x,,x,xF

P2) pentru orice n,,2,1i avem

0x,,x,xFlim n21x i

Demonstraþie: în mod analog ca în cazul unidimensional.

P3) pentru orice n,,2,1i avem

1x,,x,xFlim n21x i

Demonstraþie: în mod analog ca în cazul unidimensional.

P4) este continuã la stânga în raport cu fiecare variabilã: pentru orice n,,2,1i

avem:

n0

21n0

21ni21xx

x,,x,,x,xFx,,x,,x,xFx,,x,,x,xFlimi0i0

ii

Observaþia 22.1. Se poate arãta ºi reciproc, anume, dacã o aplicaþie

1,0R:F n satisface proprietãþile P1 - P4, atunci pentru orice astfel de funcþie F se

poate construi un câmp de probabilitãþi ºi o variabilã aleatoare X pe acest câmp astfel ca

F sã fie funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X pe acest câmp.

Vom considera în cele ce urmeazã cazul n = 2 ºi n = 3 ºi vom þine seama cã P5

din cazul n = 1, adicã:

bx

axxFaFbFbXaP

oricare ar fi Rb,a cu a < b.

Ne propunem sã calculãm probabilitatea ca vectorul 21 X,XX sã aparþinã

lui 2211 b,ab,aD . Avem:


260

21212121

2211222122112211

222112211222111

x,xFy,xFx,yFy,yF

xX,xXPyX,xXPxX,yXPyX,yXP

yXx,xXPyX,yXPyXx,yXxP

Deci:

11

11

22

22

22

22

11

11

bx

ax

bx

ax21

bx

ax

bx

ax21

222111

x,xFx,xF

bXa;bXaP

(22.3)

Analog în cazul n = 3:

33

33

22

22

11

11

bx

ax

bx

ax

bx

ax321

333222111

x,x,xF

bXa;bXa;bXaP

(22.4)

Definiþia 22.3. Vectorul 3RX are o densitate de repartiþie dacã existã o

aplicaþie ,0R:f 3 integrabilã astfel încât:

321321

xxx

321 ddd,,fx,x,xF321

(22.5)

în care F este funcþia de repartiþie.

Teorema 22.1. O aplicaþie RR:f 3 este o densitate de repartiþie a unei

variabile aleatoare 3RX dacã ºi numai dacã:


261

1ddd,,fsiRpeegrabilãintestef)ii

Rx,x,0x,x,xf)i

3213213

332321 1x oricepentru

(22.6)

Observaþia 22.2. Dacã variabila aleatoare 3RX are o densitate de repartiþie

321 x,x,xff atunci:

321321

b

a

b

a

b

a333222111 ddd,,fbXa,bXa,bXaP

3

3

2

2

1

1

(22.7)

Din (22.5) rezultã cã 321

3213

321 xxx

x,x,xFx,x,xf

.

Din (22.4) rezultã evident cã:

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

2

2

11

11

3

3

22

22

11

11

3

3

33

33

22

22

11

11

b

a

321321

b

a

b

a

b

a

321123

321

b

a

b

a

b

a

32

bx

ax23

321

b

a

3

bx

ax

bx

ax

b

a3

321

bx

ax

bx

ax

bx

ax321333222111

ddd,,fddd,,F

dd,,xF

d,x,xF

x,x,xFbXa,bXa,bXaP


262

22.2. Variabile aleatoare independente, variabile aleatoare dependente

Cunoscând funcþia de repartiþie a vectorului aleator 3RX deducem ºi

funcþiile de repartiþie ale variabilelor 321 X,X,X luate separat. Într-adevãr avem:

321321

x

321

xx11 ddd,,fx,x,xFlimxF

1

3

2

(22.5)

ºi încã douã analoage:

321321

x

321

xx33

321321

x

321

xx22

ddd,,fx,x,xFlimxF

ddd,,fx,x,xFlimxF

3

2

1

2

3

1

(22.6)

De unde deducem densitãþile de repartiþie:

213213

3333

313212

2222

323211

1111

ddx,,fx

xFxf

dd,x,fx

xFxf

dd,,xfx

xFxf

(22.7)

În mod analog se pot introduce funcþiile ºi densitãþile de repartiþie pentru câte

douã variabile aleatoare luate separat din cele trei 321 X,X,X astfel:


263

321321

xx

32321x

3223

321321

xx

31321x

3113

321321

xx

21321x

2112

ddd,,fx,x,Fx,x,xFlimx,xF

ddd,,fx,,xFx,x,xFlimx,xF

ddd,,f,x,xFx,x,xFlimx,xF

32

1

31

2

21

3

(22.8)

ºi densitãþile de repartiþie:

132132

32232

3223

232131

31132

3113

332121

21122

2112

dx,x,fxx

x,xFx,xf

dx,,xfxx

x,xFx,xf

d,x,xfxx

x,xFx,xf

(22.9)

Definiþia 22.3. Variabilele aleatoare 321 X,X,X se numesc independente

dacã:

321332211

332211332211

x,x,xFxFxFxF

xXPxXPxXPxX,xX,xXP

(22.10)

Þinând seama de relaþia

u

dxxfuF avem:


264

321 x

333

x

222

x

111321 dfdfdfx,x,xF

(22.11)

de unde:

3

3

2

2

1

1

b

a333

b

a222

b

a111333222111 dfdfdfbXa,bXa,bXaP

(22.12)

Definiþia 22.4. Momentul de ordinul m,l,k al vectorului aleator 3RX

este:

321321m3

l2

k1m,l,k

m3

l2

k1 dxdxdxx,x,xfxxxX,X,XM

(22.13)

Cazuri particulare:

10,0,0

1X10,0,1 mm - valoarea medie a lui X1



Definiþia 22.5. Momentul centrat de ordinul m,l,k al vectorului aleator

3RX este:

321321m

33l

22k

11

m,l,km

33l

22k

11

dxdxdxx,x,xfmxmxmx

,mX,mX,mXM

(22.14)


265

Cazuri particulare:

10,0,0

01,0,00,1,00,0,1

10,0,2 XD

20,2,0 XD

32,0,0 XD

Definiþia 22.6. Momentele centrate mixte de ordinul doi, adicã:

231,1,0

131,0,1

120,1,1

K

K

K

(22.15)

se numesc covarianþe.

Þinând seama de definiþia 22.6 avem evident:

0dxxfmxdxxfmxdxxfmxK

0

33333

0

22222

0

111110,1,112

Definiþia 22.7. Mãrimile:

ji

XDXD

KKr

ji

ij

ji

ijij

(22.16)

se numesc coeficienþi de corelaþie.


266

23.1. Legea normalã în plan

Dintre toate legile de repartiþie (de probabilitate) a variabilelor aleatoare de tip

continuu ale unui sistem de douã variabile aleatoare (ale vectorului aleator cu douã

dimensiuni) un interes deosebit îl prezintã legea normalã care este cel mai frecvent

aplicatã în practicã.

Deoarece sistemul de douã variabile aleatoare 21 X,XX se poate

reprezenta în plan printr-un punct având coordonatele carteziene 21 X,X atunci

21 X,XX îl vom numi punct aleator în plan, iar legea de repartiþie o vom numi

legea de repartiþie (de probabilitate) în plan.

În cazul general densitatea de repartiþie a legii normale în plan are expresia:

22

22m2x

212m2x1m1xr2

21

21m1x

2r12

1

er12

1x,xf

221

21

(23.1)

în care m1, m2, 1, 2, r sunt cinci parametri ce trebuie interpretaþi, cu

1,1r,0, 21 .

Pentru simplificarea scrierii vom nota:

22

222

21

221121

211

21mxmxmxr2mx

x,x

(23.2)

care este un polinom de gradul doi în x1 ºi x2. Cu aceastã notaþie (23.1) se poate scrie:

212r12

1 x,x

221

21 er12

1x,xf

(23.3)


267

Vom arãta în cele ce urmeazã cã m1, m2 sunt valorile medii ale variabilelor

aleatoare X1 respectiv X2, 1, 2 sunt abaterile medii pãtratice, iar 21

122,1

Krr

este

coeficientul de corelaþie al aceloraºi variabile aleatoare.

Pentru aceasta sã calculãm funcþia de repartiþie parþialã:

1

x

221

x

212121x

11 ddxx,fdxdx,fx,xFlimxF11

2

care are densitatea de repartiþie:

2

x,x

221

22111 dxer12

1dxx,xfxf

212r12

1

(23.4)

Fãcând schimbarea de variabile: 22

221

1

11 u2

mx,u

2

mx

de unde

222 du2dx ºi 22 u,x

22 u,x

Relaþia (23.4) devine:

2

uuru2u

21

1111 duer12

1mu2f

2221

212r12

1

sau pentru 2

21

21

2 r1

uC,

r1

ruB,

r1

1A

ºi folosind observaþia 23.4. avem:


268

21

21

2r1

1

22r1

21u

22r1

21u2r

u

1

u

21

2

2

21

1111

e2

1e

r12

r1

e

r1

1r12

1mu2f

de unde:

212

21m1x

e2

1xf

111

(23.5)

reprezintã densitatea de repartiþie în legi normale cu valoarea medie m1 ºi abaterea medie

pãtraticã 1.

Observaþia 23.1. Procedând în mod analog ca mai sus, vom avea:

222

22m2x

e2

1xf

222

(23.6)

care reprezintã densitatea de repartiþie în cazul legii normale cu valoarea medie m2 ºi

abaterea medie pãtraticã 2.

Sã arãtãm în cele ce urmeazã cã 21

12Kr

este coeficientul de corelaþie. Pentru

aceasta sã calculãm covarianþa:

2121221112 dxdxx,xfmxmxK

în care 21 x,xf este datã de (23.1) sau (23.3).


269

Pentru aceasta facem schimbarea de variabile:

2

mxr

mx

r12

1u

2

mxu

1

11

2

2222

1

111

de unde

22

12

22

1

111

ur12u2rmx

2

mxu

Se observã cã:

22

21

22

221

22

2122

222

12

2122

122

12

2

22

122

11212

22

222

2

22

1

1121

211

2

uuur12ur12r12

1

uur1r4ur12ur2uur1r4ur4u2r12

1

ur12u2rur12u2r2ur2u2r12

1

mxmxmxr2

mx

r12

1

Iacobianul transformãrii (determinantul funcþional) este:

2212

22

1

21

21 r12r122r

02

u,uD

x,xD

Cu acestea avem:


270

r2

r2

dueudueu2r12

duedueur2

dudueur12u2ru2r12

r12K

2121

0

2u

2

0

1u2

121

2

2u

1u2

121

21uu

22

1121221

221

12

22

21

22

21

22

21

de unde 21

12Kr

, deci parametrul r reprezintã coeficientul de corelaþie al variabilelor

aleatoare X1 ºi X2.

Observaþia 23.2. Dacã variabilele aleatoare nu sunt corelate (adicã 0r ) atunci

(23.1) devine:

22112

mx

2

2

mx

121 xfxfe

2

1e

2

1x,xf

22

222

21

211

(23.7)

adicã în acest caz variabilele aleatoare X1 ºi X2 sunt independente.

În cazul în care 0r , variabilele aleatoare sunt dependente ºi densitãþile de

repartiþie ale variabilelor aleatoare condiþionate sunt:

22

2121

11

2112 xf

x,xfxxf;

xf

x,xfxxf

de unde împãrþind relaþiile (23.1) cu (23.5) obþinem:

2

1

11

2

222

mxr

mx

r12

1

2

2

12 er12

1xxf

(23.8)

ºi analog împãrþind (23.1) cu (23.6) obþinem:


271

2

2

22

1

112

mxr

mx

r12

1

2

1

21 er12

1xxf

(23.9)

Observaþia 23.3. Relaþia din (23.8) se mai poate scrie:

2

111

2222

22

mxrmrr12

1

22

12 er12

1xxf

(23.10)

care este densitatea de repartiþie a legii normale unidimensionale având valoarea medie:

111

22x/x mxrmm

12

(23.11)

ºi abaterea medie pãtraticã:

22x/x r1

12

(23.12)

relaþii care aratã cã în cazul în care variabila aleatoare X2 este distribuitã dupã legea

normalã, iar X1 este fixat, atunci variazã numai valoarea medie (depinde de x1) nu ºi

abaterea medie pãtraticã.

Observaþia 23.4. Calculul integralei:

0AcudxeI CBx2Ax 2

este:

A

ACB

A

BAx

CA

B

A

BAxCBx2AxCBx2Ax

22

2222

deci:


272

dxeeI

22

A

BAx

A

ACB

Fãcând schimbarea de variabilã:

trezultãx

trezultãx

dtA

1dxt

A

BAx

de unde obþinem:

A

ACBtA

ACB 2

2

2

eA

dteeA

1I

deci

A

ACBCBx2Ax

2

2e

AdxeI

(*)

23.2. Legea normalã în spaþiu

Vom considera în cele ce urmeazã pentru uºurinþa scrierii numai forma canonicã:

23

23

22

22

21

21 xxx

2

1

3213321 e

2

1x,x,xf

(23.13)

în care 1, 2, 3 sunt abaterile medii pãtratice principale.

Trecând la abaterile probabile avem:


273

23

23

22

22

21

212

23

E

x

E

x

E

x

321

3

321 eEEE

x,x,xf

(23.14)

Probabilitatea ca vectorul aleator 321 X,X,XX sã aparþinã unui domeniu

oarecare 3RD se exprimã evident prin:

D

321321321 dxdxdxx,x,xfDX,X,XP

(23.15)

Probabilitatea ca vectorul aleator 321 X,X,XX sã aparþinã unui

paralelipiped dreptunghic, cu muchiile paralele cu axele principale de împrãºtiere:

b

a3

E

xd

c2

E

xb

a1

E

x

321

321 dxedxedxeEEE

DX,X,XP23

232

22

222

21

212

23

sau utilizând funcþia redusã a lui Laplace avem:

332211

321

E

e�E

f�E

c�E

d�E

a�E

b�8

1

DX,X,XP

(23.16)

Sã considerãm elipsoidul de egalã densitate D :

2

23

23

22

22

21

21

E

x

E

x

E

x

(23.17)

ºi sã observãm cã semiaxele acestui elipsoid sunt proporþionale cu direcþiile principale de

probabilitate:


274

321 Ec,Eb,Ea

În acest caz:

321D

E

x

E

x

E

x

321

3

321 dxdxdxeEEE

DX,X,XP23

23

22

22

21

212

23

(23.18)

Folosind coordonatele sferice:

sinrE

x

sincosrE

x

coscosrE

x

3

3

2

2

1

1

rezultã

sinrE

x

sincosrE

x

coscosrE

x

33

22

11

cu 3

3212

321 EEEcosr

,,rD

x,x,xD

, de unde:

222

2

23

e2

dree2

drer4

dddrcosr1

DX,X,XP

0

r

0

r22

0

22

20

321

sau cu ajutorul funcþiei reduse a lui Laplace:

2e2�DX,X,XP 321


275

Probleme rezolvate 1. Sã se determine toate câmpurile de evenimente ce se pot defini pe o mulþime cu 4 elemente. Rezolvare:

Þinând seama de definiþia corpurilor de parþi , pe mulþimea Ù={a,b,c,d} se vor gãsi urmãtoarele corpuri de parþi

K1={Ö, Ù } K2={Ö, Ù ,{a},{b,c,d}} K3={Ö, Ù ,{b},{a,c,d}} K4={Ö, Ù ,{c},{a,b,d}} K5={Ö, Ù ,{d},{a,b,c}} K6={Ö, Ù ,{a},{b},{a,b},{b,c,d},{a,c,d},{c,d}} K7={Ö, Ù ,{a},{c},{a,c},{b,c,d},{a,b,d},{b,d}} K8={Ö, Ù ,{a},{d},{a,d},{b,c,d},{a,b,c,},{b,c,}} K9={Ö, Ù ,{b},{c},{b,c},{a,c,d},{a,b,d},{a,d}} K10={Ö, Ù ,{b},{d},{b,d},{a,c,d},{a,b,c},{a,c}} K11={Ö, Ù ,{c},{d},{c,d},{a,b,d},{a,b,c},{a,b}} K12={Ö, Ù ,{a,b},{c,d}} K13={Ö, Ù ,{a,c},{b,d}} K14={Ö, Ù ,{a,d},{b,c,}} K15=P(Ù )

2. (Problema concordanþelor) Cineva a scris n scrisori, le-a închis în plicuri ºi apoi a scris la întâmplare pe fiecare din ele, cele n adrese. Sã se determine probabilitatea ca cel puþin o scrisoare sã ajungã la adevãratul destinatar, presupunându-se cã nu existã alþi factori externi care sã influenþeze destinaþia fiecãrui scrisori. Rezolvare:

Numerotam scrisorile de la 1 la n ºi notãm cu Ak �evenimentul ca pe plicul k s-a scris adresa exacta (numim acest eveniment �evenimentul concordanta).Evenimentul A

�cel puþin un plic are adresa exacta� este A=n

i

A1

i ; evenimentele ),1( niAi fiind

compatibile avem:

n

ii

nn

kjikii

n

jiji

n

ii

n

ii APAAAPAAPAPAPAP

1

1

11

)1(...)()()()(

Daca pe k plicuri s-a scris adresa exacta , pe celelalte n-k , adresele se pot scrie in

(n-k)! moduri Avem:


276

!

)!()......( 21 n

knAAAP ikii

Scrierea adreselor este egal probabila , deci:

!

)!()........(

1...2121 n

knAAP C

K

nKII

ikii

prin urmare:

!

1)1(...

!3

1

!2

11

1)1(.....

!

)!2(

!

)!2(

!

)!1()( 11221

nnn

n

n

n

n

nAP nn

nnn CCC

3. De pe un submarin se lanseazã asupra unui distrugãtor 4 torpile. Probabilitatea ca o torpila sã loveascã distrugãtorul este 0,3. Pentru scufundarea distrugãtorului sunt suficiente 2 torpile, iar dacã o singurã torpilã loveºte distrugãtorul, el se scufunda cu probabilitatea 0,6. Sã se gãseascã probabilitatea ca distrugãtorul sa se scufunde. Rezolvare:

Considerãm evenimentele: A-�scufundarea distrugãtorului� A0-�nici o torpilã nu loveºte distrugãtorul� Ai-�distrugãtorul este lovit de i torpile, 41 i �

Vom calcula probabilitatea evenimentului A , folosindu-ne de formula probabilitãþii totale:

P( A )= P(A0) PA0( A )+ P(A1) PA1( A ) Deoarece lansarea unei torpile nu influenþeazã cu nimic lansarea celorlalte torpile,

avem: P(A0)=(0,7)4 0.240

P(A1)= 3,01

4C (0,7)3 0,412 si

PA0( A )=1 ; PA1( A )=1-0,6=0,4

Si deci P( A )=(0,240)1+(0,412)(0,4) 0,405 de unde:

P(A)=1-P( A )=0,595 4. Se aruncã o monedã de n ori. Sã se arate cã probabilitatea ca numãrul de apariþii ale stemei sã fie multiplu de 3 este:

3

cos2

11

3

11

nn

Rezolvare:

Sa notam cu Ak evenimentul �stema apare de k ori�. Probabilitatea

evenimentului Ak se obþine pe baza schemei binomiale (p=2

1) ºi este :


277

nkAP Ck

nnk ,......,1,0,2

1)(

Evenimentul �numãrul de apariþii ale stemei este divizibil prin trei� se scrie:

........,630 AAA , reuniunea fãcându-se dupã toþi indicii multipli de 3. Probabilitatea acestui eveniment este: P(A0)+P(A3)+P(A6)+�..=

.......)(2

1 630

CCC nnnn

3cos21

3

1

3cos22

3

1

2

1 1 nn nnn

unde am folosit egalitatea:

.......630

CCC nnn 3

1(2n+2

3cos

n)

5. Tragerea de pe un avion contra altui avion poate sã se producã de la distantele d1,d2 sau d3 cu probabilitãþile 0,2 ; 0;3 respectiv 0,5. Probabilitatea doborârii avionului inamic de la distanta d1 este 0,1 ; de la distanta d2 este 0,2 ; de la distanta d3 este 0,4. Se efectueazã tragerea ºi este doborât avionul inamic. Care este probabilitatea ca tragerea sa se fi produs de la distanta d3. Rezolvare:

Ipotezele : H1-�tragerea se poate produce la distanta d1� H2-�tragerea se poate produce la distanta d2� H3-�tragerea se poate produce la distanta d3� au probabilitãþile :

P(H1)=0,2 ; P(H2)=0,3 ; P(H3)=0,5 ;

Fie A evenimentul doborârii avionului inamic ; avem , conform enunþului ca:

P(1H

A )=0,1 ; P(2H

A )=0,2 ; P(3H

A )=0,4 ;

Formula lui Bayes conduce la:

P(H3/A)= 715,0)/()()/()()/()(

)/()(

332211

33

HAPHPHAPHPHAPHP

HAPHP

6. Dintr-o urna în care sunt 10 bile albe ºi 5 bile negre , se fac 6 extracþii punându-se de fiecare datã bila extrasã înapoi în urna. Se cere :

i) funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare care dã numãrul de bile albe extrase;

ii) sã se rezolve aceeaºi problemã în cazul în care nu se pune bila extrasã înapoi in urna.

Rezolvare:

i)Fie Ai (i=1,6), evenimentul care constã în apariþia unei bile albe la extracþia i ºi

iA (i=1,6) evenimentul corespunzãtor apariþiei bilei negre la extracþia respectiva.


278

Atunci P(Ai)3

2

15

10 , i=(1,6) : P( iA )

3

1

15

5 , i=(1,6)

Daca X este variabila aleatoare care dã numãrul de bile albe dupã 6 extracþii, punând de fiecare data bila alba la loc in urna , avem:

6

6

6

6

6

5

6

5

6

4

6

4

6

3

6

3

6

2

6

2

6

1

66

3

26

3

25

3

24

3

23

3

22

3

21

3

10

: CCCCCCX

Se observa ca:

1)21(3

12.........21

3

1

3

2.........

3

2

3

1 66

6

6

61

666

6

6

6

6

1

66

CCCC

Prin definiþie

xk

kpxXPxF )()()( 6 , unde cu p6(k) am notat probabilitatea de a obþine in sase

extracþii k bile albe. Avem prin urmare:

6,1

65,23

1

...........................................

221,23

1

10,3

1

0,0

)(

5

066

1

066

6

pentrux

xpentru

pentru

xpentru

pentrux

xF

k

kk

k

kk

C

C

ii) Notând cu k numãrul de bile albe obþinute extrãgând pe rând 6 bile fãrã a mai pune bilele la loc în urnã, gãsim ca:

P6(k)=C

CCkk

6

15

6

510

; k=1,2,�..,6

avem

xk

kpxXPxF )()()( 6 ,de unde:


279

6,1

65,

...........................................

32,

21,

1,0

)(

5

16

15

6

5

5

10

2

16

15

6

510

6

15

5

5

1

10

pentrux

xpentru

xpentru

xpentru

pentrux

xF

k

k

k

kk

CCC

CCC

CCC

7. Se dã funcþia:

ee

xx

kxf )( (-∞<x<+∞)

se cere sa se determine : i) constanta k astfel încât f sã fie densitatea de repartiþie a unei variabile

aleatoare X. ii) probabilitatea cã în 2 observaþii independente , X sã ia o valoare mai micã

decât 1 si alta mai mare sau cel mult egala cu 1. Rezolvare:

Se ºtie cã dacã 1)(

dxxf , atunci f este o densitate de repartiþie . Avem:

2)(1

1)(1 |2

karctgkdxkdxkdxxf e

ee

eex

x

x

xx

deci:

f(x)=ee

xx

12

ii) folosind enunþul , rezulta evident ca:

P(X1<1, X21)=F(1)[1-F(1)]= ee

xx

dx

12

121

xe ee

dx

=

= )2

1)((2

arctgearctge

8.Se dã funcþia:


280

lxlpentrux

lxpentrua

xf xl,,0

1,)( 22

Se cere: i) sã se determine coeficientul a , astfel cã f sa fie densitatea de repartiþie a unei

variabile aleatoare X ; ii) sã se afle funcþia de repartiþie corespunzãtoare ; iii) sa se calculeze P(0<X1)

Rezolvare:

i) Din proprietãþile densitãþii de repartiþie rezulta ca:

1=

dxxf )( =a

l

l xl

dx22

= a]arcsin(-1)-)a[arcsin(1 a[arcsin(1)-arcsin(-1)]=að,

deci 1

a

ii)Se ºtie cã funcþia de repartiþie este data de

F(x)=

x

dttf )(

Avem: -dacã x -l atunci f(t)=0 , de unde rezulta F(x)=0 -dacã �l<t<l, atunci:

F(x)=

x

dttf )( =

l

dttf )( +

x

l

dttf )( =1

x

l tl

dt22

=1

(arcsinl

t)|

x

l=1

arcsinl

x+

2

1

-dacã xl , atunci avem evident:

F(x)=

x

dttf )( =

l

dttf )( +

l

l

dttf )( + 122

1)(

x

l

dttf

Deci F(x)=

1,1

,2

1arcsin

1,0

x

lxll

xlx

iii)Se ºtie ca P(0<X l)=F(l)-F(0) , de unde þinând seama de punctul ii) , se

obþine: P(0<X l)= 2

1


281

9. Se fac trageri succesive asupra unui obiectiv pânã când acesta este doborât. Pentru doborârea lui este suficienta o singura tragere reuºita. La fiecare tragere in parte

probabilitatea de succes este3

1.

Se cer valoarea medie si dispersia numãrului de trageri. Rezolvare:

Fie X numãrul de trageri necesare. Aceasta înseamnã ca primele X-l trageri sunt ratate , iar tragerea X este reuºita.

Avem P(X=k)=32

1

k

k

kN , de unde rezulta:

1k 1

11-k

3

2

3

1

3

2k =M(X)

k

k

kk

Pentru a calcula M(X), vom calcula mai întâi suma seriei

1

1

k

kkx cu |x|<1. Pentru

aceasta derivam ambii membrii ai relaþiei

1k

k

1x

x

x si obþinem:

1k2

1-k

)1(kx

x

x (*);

luând 3

2 =x

1 1

1122

3

2

3

1

3

2)(

k k

k

k

k

kkXM

Se observa ca relaþia (*) se mai scrie :

1k2

k

)1(kx

x

xcare, derivata ne da:

1k

31-k2

)1(

1xk

x

x

Luând in ultima relaþie 3

2 =x obþinem, 15)M(X2 , de unde

69-15(X)M -)M(X (X)D 222 10. Sistemul variabilelor (X,Y) este dat prin densitatea de probabilitate:

yxyxa

yxf 22221

),(

;


282

se cere: i) sa se determine coeficientul a; ii) densitatea de probabilitatea a componentelor. iii) D) Y)P((X, , unde D este pãtratul D={(x,y) R2|-1x1 ; -1y1 }

Rezolvare:

i) Folosind condiþiile pe care trebuie sa le îndeplineascã f, avem: a>0 si

1),( dxdyyxf

deci:

2

2222222

1;

1111

aa

y

dy

x

dxadxdy

yxyx

a

ii)Se ºtie ca:

211

11),()(

xdyyxfxf

22 1

11),()(

ydxyxfyf

iii)

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1222 4

1

4

11

)1)(1(, ||

arctgyarctgx

yx

dxdyDYXP

11. Fie (X,Y) o variabila aleatoare bidimensionala a cãrui densitate de probabilitate este :

22 522

11),(

yxyx

eyxf

se cere: i) sa se determine densitãþile de probabilitate ale componentelor

ii) sa se determine densitãþile condiþionate )( yxf si )( x

yf

Rezolvare:

Pentru a rezolva problema mai uºor, demonstram ca:

A

ACBCBxAx e

AdxeI

2

2 2 cu A>0

Se observa ca:

A

ACB

a

BAxCBxAxCBxAx

22

22 22

si deci


283

dxeeI a

BAx

A

ACB

22

Fãcând schimbarea de variabila tA

BAx avem dt

Adx

1 si pentru

tx ; obþinem:

A

ACBtA

ACB

eA

dteeA

I

2

2

2

1 , unde s-a folosit:

dte t 2

Prin definiþie:

10

522

1 222

5

21),()(

xyxyx

edyedyyxfxf

2

522

1 222 21

),()(y

yxyxedxedxyxfyf

si

)(

),(

yf

yxfy

xf

;

)(

),(

xf

yxfx

yf

Probleme nerezolvate 1. Se executa trei lovituri asupra unei þinte. Se considera elementele: Ai (i=1, 3) �lovitura i a nimerit tinta�. Sã se reprezinte urmãtoarele evenimente:

i) A-�toate loviturile nimeresc þinta�; ii) B-�nici o lovitura nu nimereºte þinta�; iii) C-�cel puþin o lovitura nimereºte þinta�; iv) D-�cel puþin o lovitura nu nimereºte þinta�.

2. O nava este înzestrata cu o instalaþie de cârma, patru cazane si doua turbine. Evenimentul A reprezintã starea de funcþionare a instalaþiei de cârma, Bk (k=1,2,3,4) starea de funcþionare a cazanului k, iar Cl (l=1.2) starea de funcþionare a turbinei l. Evenimentul D-�nava manevrabila� se realizeazã in cazul in care sunt in stare de funcþionare: instalaþia de cârma, cel puþin unul din cazane si cel puþin una din turbine. Sa se exprime evenimentele D si D cu ajutorul evenimentelor A,Bk si Cl. 3.O urna conþine 5 bile albe si 3 bile negre, o alta urna 6 bile albe si 2 negre si a treia , 7 bile albe si una neagra. Se extrage cate o bila din fiecare urna. Sa se determine probabilitatea ca 2 bile sa fie albe si una neagra.


284

4. (Problema lui Banach). Un fumãtor îºi cumpãra doua cutii de chibrituri ºi le bagã în buzunar. Dupa aceea, de fiecare datã când foloseºte un chibrit, îl scoate la întâmplare dintr-o cutie, pânã constatã cã una din ele este goalã. Care este probabilitatea ca în a doua cutie sã fie k chibrituri, dacã la început ambele cutii aveau câte n chibrituri. Folosind rezultatul problemei sã se deducã valoarea sumei:

CCCCn

n

nn

n

n

n

n

nS 2...........22

22

2

122

5. Distribuþia variabilei aleatoare X, este:

6

14

3

13

4

721

: 2p

pX

Determinând în prealabil valoarea lui p, sã se calculeze probabilitata ca X sã ia o valoare mai micã sau egalã cu 3.

6. Densitatea de repartiþie a variabilei aleatoare X este kxeAxxf 2)( unde 0k si

x0 ; se cere: i) coeficientul A pentru ca f sã fie densitate de probabilitate

ii) probabilitatea ca

kX

1,0

iii) funcþia de repartiþie corespunzãtoare. 7. Variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate

),0(.0

),0(,ln)(adacaX

adacaXx

acxf se cere

i) sã se determine constanta c; ii) funcþia de repartiþie corespunzãtoare; iii) sã se calculeze M(X) si D(X)

8. Se considerã funcþia:

Rainrest

axaxxf

:,0

11,1

)(

se cere: i) sã se determine a astfel ca f sã fie o densitate de probabilitate; ii) funcþia de repartiþie corespunzãtoare, F; iii) valoarea medie M(X) ºi dispersia D(X).

9. Se considerã funcþia:

Rf )1,1()1,1(: , definitã prin

)]y-xy(xa[1y)f(x, 22 se cere


285

i) sã se determine a astfel ca f sa fie o densitate de probabilitate; ii) repartiþiile componentelor.

10. Sã se gãseascã curbele de regresie pentru o repartiþie normala de densitate:

)22(2

1 22

2

1),(

yxyxeyxf

11.Dacã variabilele aleatoare nXXX ...,,........., 21 sunt independente ºi au repartiþiile:

nkXkk

k

1,

2

1

2

12

1

2

1

: ,

sã se determine repartiþia seriei aleatoare:

1kX .


286

BIBLIOGRAFIE

1. Brînzãnescu V. � Capitole de matematici speciale, Editura Institutului Politehnic Bucureºti, 1978;

2. Ciorãnescu N. � Tratat de matematici speciale, Editura didacticã ºi pedagogicã, Bucureºti, 1962;

3. Colþescu I. � Matematici superioare. Probleme, Editura Muntenia, Constanþa, 1994;

4. Cristescu R. � Matematici superioare, Editura didacticã ºi

pedagogicã, Bucureºti, 1963; 5. Iacob C. � Curs de matematici superioare, Editura Tehnicã,

Bucureºti, 1957; 6. Roºculeþ N. � Analizã matematicã, Editura Tehnicã, Bucureºti,

1996; 7. Rudner V. � Note de curs de matematici speciale parþile I-II,

Editura Institutului Politehnic Bucureºti, 1979;

8. Rudner V. � Probleme de matematici speciale, Editura didacticã ºi pedagogicã Bucureºti, 1970;

9. ªabac I. Gh. � Matematici speciale vol. I-II, Editura didacticã ºi pedagogicã Bucureºti, 1964-1965;

10. Teodorescu N. � Introducere în fizica Matematicã, Editura

Tehnicã, Bucureºti, 1970.

matematici speciale

Documents