matemáticas ii con enfoque en competencias. 2a. edición. patricia ibáñez

Segundo semestre

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torresric áñeP

Matemáticas IISegunda edición

Matemáticas II

Patricia Ibáñez CarrascoGerardo García Torres

Segunda edición

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Revisión técnica:Ing. Edgar González Yebra

Jefe del Departamento de Matemáticas Dirección de Medios y Métodos Educativos

Secretaría de Educación de Guanajuato

Matemáticas II, segunda ediciónPatricia Ibáñez Carrasco

Gerardo García Torres

Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya

Director editorial, de producción y de plataformas digitales para LatinoaméricaRicardo H. Rodríguez

Gerente de procesos para LatinoaméricaClaudia Islas Licona

Gerente de manufactura para LatinoaméricaRaúl D. Zendejas Espejel

Gerente editorial de contenidos en españolPilar Hernández Santamarina

Coordinador de manufacturaRafael Pérez González

EditorasIvonne Arciniega Torres

Gloria Luz Olguín Sarmiento

Diseño de portadaGerardo Larios García

Imagen de portada

1. Goma de dibujo: © Photographer/Dreamstime.com

2. Riesgo: © Espion/Dreamstime.com

3. Recorte de una gráfica de personas y negocios:

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4. Vector que construye una bisectriz: © Olgacov/

Dreamstime.com

Composición tipográficaGerardo Larios García

Luis Ángel Arroyo Hernández

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Shutterstock

Impreso en México

1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores,

S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.

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en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal

del Derecho de Autor, sin el consentimiento

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Datos para catalogación bibliográfica:

Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres

Matemáticas II, segunda ediciónISBN 13: 978-607-481-935-9

ISBN 10: 607-481-935-1

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Contenido general

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 2Ángulos 6

Concepto 6Clasificación de ángulos 8

Por su abertura (medida) 8Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) 10Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante) 16

Triángulos 24Concepto 24Clasificación 24

Por la medida de sus lados 24Por la abertura de sus ángulos 25

Propiedades relativas de los triángulos 28Desigualdad triangular 28

Amplía tus saberes 30

Mi competencia final 33

Evaluación formativa por proyectos 34

Reactivos tipo enlace para entrenamiento 35

Bloque II

Comprendes la congruencia de triángulos 38Criterios de congruencia 42


iv Estructura Socioeconómica de México




Bloque III

Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras 54Criterios de semejanza 58

Criterio Lado, Lado, Lado (LLL) 59Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) 59Criterio Ángulo, Ángulo (AA) 59

Teorema de Tales 65

Aplicación del concepto de semejanza 67

Teorema de Pitágoras 72


El concepto de semejanza en las matemáticas 81




Bloque IV

Reconoces las propiedades de los polígonos 88Polígonos 92

Definición 92Clasificación 93

Elementos y propiedades de un polígono 93Ángulos interiores 94Ángulo central 95

Otros elementos de un polígono 95Otras clasificaciones para los polígonos 97

Contenido general v

Suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores de un polígono 100Suma de ángulos interiores 100Suma de los ángulos exteriores y centrales 106Ángulo central 107

Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares 108Triángulo 108Paralelogramo 109Rectángulo 109Rombo 109Cuadrado 109Trapecio 110Polígono regular de n lados 110





Bloque V

Reconoces las propiedades de la circunferencia 120Circunferencia 124

Rectas y segmentos en una circunferencia 124Rectas tangentes a un círculo 126

Ángulos en la circunferencia 127Propiedades de los ángulos de la circunferencia 129Aplicación de los ángulos exteriores en la vida cotidiana 133

Perímetros y áreas 136





vi Matemáticas II

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 150Sistema sexagesimal y circular 154

Funciones trigonométricas directas y recíprocas 159Relación fundamental de la trigonometría 161

Ángulo de elevación y ángulo de depresión 164Funciones trigonométricas inversas 166

Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos 170

Resolución de triángulos rectángulos 174





Bloque VII

Aplicas las funciones trigonométricas 188Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 192

Signos de las funciones trigonométricas 192Funciones y cofunciones trigonométricas de cualquier ángulo 193Ángulos de referencia 194Funciones de un segmento 198

Círculo unitario 202

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente 205Longitud de arco 205Funciones periódicas 207Identidades trigonométricas 213



Contenido general vii



Bloque VIII

Aplicas las leyes de los senos y cosenos 224Leyes de los senos y cosenos 228

Ley de senos 228Comprobación de la ley de senos 229Ley de cosenos 230

Comprobación de la ley de cosenos 230Resolución de triángulos oblicuángulos 231Aplicaciones prácticas 235





Bloque IX

Aplicas la estadística elemental 244Estadística 248

Población 249

Muestra 249Datos no agrupados 253Datos agrupados 254Representación de datos 257

Medidas de tendencia central para datos no agrupados y agrupados 261

Medidas de tendencia central para datos no agrupados 262Media aritmética 262Mediana 263Moda 264

Medidas de tendencia central para datos agrupados 265Media 265

viii Matemáticas II

Mediana 266Moda 268

Medidas de dispersión para datos no agrupados y agrupados 270Medidas de dispersión 270

Rango 270Desviación estándar 270Varianza 271Desviación media 273





Bloque X

Empleas los conceptos elementales de la probabilidad 282Probabilidad clásica 286

Definiciones básicas 286Probabilidad clásica 287Reglas de la adición 290Regla especial de la adición 290Regla general de la adición 291Reglas de la multiplicación 294

Regla especial de multiplicación 294Regla general de la multiplicación 295





Respuestas 302

Material para el docente 331

2 Matemáticas II

Bloque l Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Ángulos

Por su abertura

Suplementarios

Complementarios

© R

obyn

mac

/Dre

amst

ime

© T

ilo/D

ream

stim

e©

Pho

togr

aphe

r/Dr

eam

stim

e

a

ec

g

b

fd

h

Por la suma de sus medidas

Por la posición que ocupan entre dos rectas paralelas

Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 3 Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 3

Triángulos

Por la medida de sus lados

Por la suma de sus ángulos

Propiedades

© hellbilly/ Shutterstock

© N

uanc

e/Dr

eam

stim

e

© P

hoto

grap

her/

Drea

mst

ime

© M

axex

phot

o/Dr

eam

stim

e

B L O Q U E I

Propósito: Que el (la) estudiante identifique los diferentes tipos de ángulos y triángulos, y ubique

sus características en contextos de su comunidad; asimismo, que sea capaz de resolver

ejercicios en torno a la aplicación de la suma de ángulos de los triángulos.

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Desempeños del estudiante al concluir el bloque:

Identifica los diferentes tipos de ángulos y

triángulos.

Utiliza las propiedades y características de

los diferentes tipos de ángulos y triángulos,

a partir de situaciones que identifica en su

comunidad.

Resuelve ejercicios y/o problemas de su

entorno mediante la aplicación de las

propiedades de la suma de ángulos de un

triángulo.

Objetos de aprendizaje: Ángulos

Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas

y una secante (transversal) Por la suma de sus medidas

Complementarios Suplementarios

Triángulos Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos

Propiedades relativas de los triángulos


Expresa ideas y conceptos mediante

representaciones lingüísticas, matemáticas

o gráficas.

Sigue instrucciones y procedimientos de

manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de

un objetivo.

Construye hipótesis, diseña y aplica

modelos para probar su validez.

Utiliza las tecnologías de la información y

la comunicación para procesar e interpretar

información.

Elige las fuentes de información más

relevantes para un propósito específico y

discrimina entre ellas de acuerdo con su

relevancia y confiabilidad.

Competencias a desarrollar:Define metas y da seguimiento a sus

procesos de construcción de conocimientos.

Propone la manera de solucionar un

problema y desarrolla un proyecto en

equipo, definiendo un curso de acción con

pasos específicos.

Aporta puntos de vista con apertura y

considera los de otras personas de manera

reflexiva.

Asume una actitud constructiva, congruente

con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de

trabajo.

© Leszek Glasner/Shutterstock

6 Matemáticas II

ConceptoLos ángulos y sus medidas, además de ser fundamentales en el estudio de la geo-

metría, desempeñan un papel fundamental ya que se encuentran casi en todos los

aspectos de tu vida. Observa a tu alrededor: los movimientos de tu cuerpo, los dise-

ños de las construcciones, las manecillas del reloj, la forma de las canchas de

juegos y muchas cosas más.

Definimos un ángulo como la

abertura que se forma entre dos segmentos de recta (llamados rayos) que inician en el mismo punto deno-minado vértice.

ÁnguloVértice

Lados

o rayos

Para designar un ángulo usaremos el símbolo ∠ (que significa “ángulo”), los puntos

marcados en cada lado y el vértice. Es importante notar que el nombre de un ángu-

lo, el que indica el vértice, siempre queda entre los puntos que marcan los lados.

En la figura siguiente, el ángulo se representa como ∠ABC o ∠CBA y se

lee: “ángulo ABC” o “ángulo CBA”. Si deseamos indicar la medida de un ángu-

lo, anteponemos una letra m; así, m∠ABC se lee “la medida del ángulo ABC”.

Designamos a los lados del ángulo como AB y BC (la raya encima se lee como

“segmento”).

B C

A

Otra forma de designar los ángulos es colocar la letra del vértice, ∠B pero debes

tener cuidado porque si, como en la siguiente figura, tiene más ángulos con vér-

tices B entonces no puedes usarla.

Ángulos

© fe

ngzh

eng

/Shu

tter

stoc

k

© G

ary

Blak

eley

/Shu

tter

stoc

k


D

E

CA

B

Una tercera forma de identificar los ángulos es usar letras minúsculas dentro del

ángulo.

f

Observa que la medida de un ángulo es siempre la misma, no importa a qué al-

tura se tome. Por ejemplo, la medida del siguiente ángulo es la misma si se toma

desde A hasta B que si se toma desde C hasta D, pues hablamos de la misma

abertura entre dos rectas.

CA

B

D

DA 12

B

C

Forma un equipo con dos de tus compañeros y realicen lo que se indica a con-

tinuación.

Escriban cuatro formas distintas de nombrar el ángulo

que se presenta. Recuerda que mostrar tolerancia y dis-

posición al trabajo con otros compañeros es un aspecto

muy importante para el trabajo colaborativo.

1.

2.

3.

4.

De acuerdo con la figura de la derecha:

5. ¿Qué otros nombres pueden utilizar para

identificar el ∠ABC?

GF

H

n

Consolida tus competencias

Trab

ajo

en equipo

8 Matemáticas II

6. ¿Qué otros nombres puede tener el ∠ABD?

7. ¿Qué otro nombre o letra tiene el vértice 2?

8. ¿Cuáles son los lados del ∠1?

9. ¿Cuáles son los lados del ∠2?

10. ¿Cuáles son los lados del ∠C?

11. ¿Cuáles son los lados del ∠B?

12. Si un ángulo de 45° es visto con un aparato que tiene una lente que aumenta

nueve veces el tamaño de las cosas, ¿qué medida tendrá el ángulo cuando se

vea a través de este aparato? _______________________

Clasificación de ángulos Los ángulos se clasifican de acuerdo con varios criterios:

Por su abertura (medida).

La suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos).

Su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante).

Ahora conoceremos cada una de ellas.

Por su abertura (medida)

Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0º y menos de 90º. Por ejem-

plo, el soporte del columpio de la figura.

O35°

En la figura, el ángulo que se muestra es agudo porque 35° es mayor que

0° y menor que 90°.

Ángulo recto: Mide 90°; las rectas que lo forman se llaman perpendicu-

lares (dos líneas perpendiculares se simbolizan con ). Por ejemplo, en

la figura se muestra el ángulo de 90° que forman la esquina del

piso y una pared de tu salón.

90°

© p

hoto

bank

.ch/

Shut

ters

tock

Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 9

Un ángulo recto se representa de dos formas, como se muestra en la figura:

a) Escribiendo 90° dentro de él.

b) Con el símbolo de ángulo recto (un pequeño cuadrito en la esquina) en-

tre los lados.

Ángulo obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º; digamos, el

panal de abejas de la figura.

120°

El ángulo en la figura es obtuso porque mide 120°, es mayor que 90°

y menor que 180°.

Ángulo cóncavo: Mide más de 0º y menos de 180º; como el que forma

el techo de la casa que se observa en la figura .

150°

Aquí se trata de un ángulo cóncavo porque 150° es mayor que 0° y menor

que 180°.

Nota que todos los ángulos que hemos definido hasta ahora son cóncavos.

Ángulo colineal: Mide 180º y cada lado constituye la prolonga-

ción de otro. También se denomina ángulo llano y se ve como

el que forma un sube y baja.

180°

0

Ángulo convexo: Mide más de 180º y menos de 360º; observa el

ángulo entre la escalera y el descanso que se muestra en la imagen.

© L

ilKar

/Shu

tter

stoc

k©

vov

an/S

hutt

erst

ock

© C

laud

io D

iviz

ia/S

hutt

erst

ock

210°

0

10 Matemáticas II

El ángulo de la figura anterior es convexo porque 210° es mayor que 180° y

menor que 360°

Ángulo de una vuelta: Mide 360º y sus lados coinciden. Tam-

bién se denomina perigonal; digamos, la rueda de la imagen.

AO 360°

En muchas situaciones encontraremos ángulos que forman parejas de

acuerdo con su configuración geométrica:

Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un

lado común, los otros dos lados se sitúan en una y otra partes del lado

común.

O

CB

A

Los ∠AOC y ∠BOC

son adyacentes.

Esta pareja de ángulos es útil para la siguiente clasificación de ángulos.

Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos)

Ángulos complementarios: Dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman

90º.

OA

B

C

Si m∠AOB + m∠BOC = 90°,

entonces ∠AOB y ∠BOC son complementarios.

Observa que los ángulos complementarios forman un ángulo recto.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º.

OA

B

C

Si m∠AOB + m∠BOC = 180°,

entonces ∠AOB y ∠BOC

son suplementarios.

© N

. Mitc

hell/

Shut

ters

tock


Observa que dos ángulos suplementarios forman un ángulo colineal.

Además de los ángulos adyacentes, existen situaciones en las que dos

ángulos se encuentran uno frente a otro, a partir de su vértice:

Ángulos opuestos por el vértice: Tienen el vértice común y los lados

de uno son prolongación de los del otro. En dos rectas que se cortan, los

ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son

suplementarios.

Recuerda que m quiere decir

“medida”

b

110°

da 70˚c

m∠a = m∠c; m∠b = m∠d

70° = 70°; 110° = 110°

m∠a + m∠b = m∠b + m∠c = m∠c + m∠d = 180º.

70° + 110° = 110° + 70° = 70° + 110° = 180°

Observa que siempre que dos rectas se corten se forman dos parejas de

ángulos opuestos por el vértice.

Para resolver los ejercicios y problemas que se presentarán de aquí

en adelante, te sugerimos que uses un procedimiento que consta de tres

partes ordenadas:

Parte geométrica

Parte analítica

Conclusión

Ejemplos 1. En la siguiente figura, m∠FGH = 15°, m∠FGJ = 55°. Calcula m∠HGJ.

G

J

H

F

12 Matemáticas II

Solución

Parte geométrica:

Coloca los datos en el dibujo.

Parte analítica:

Observa que debemos buscar un número que, sumado con 15°, nos dé

cómo resultado 55°:

x + 15° = 55°

Resolviendo:

x = 55° – 15°

x = 40°

Conclusión

m∠HGJ = 40° 15°

55°

J

H

FG

40°

2. Calcula el valor de x y de cada ángulo en la figura, si m∠AOD = x + 10° y

m∠BOC = 45°:

O

A

D

B

C

Solución

Parte geométrica:

45°x + 10°

O

A

D

B

C

Parte analítica:

Observa que los ∠AOD y ∠BOC son ángulos opuestos por el vértice, esto

quiere decir que sus medidas son iguales, por lo que podemos formular:

x + 10° = 45°

Resolviendo:

x = 45° – 10°

x = 35°

x

15°

55°

J

H

FG


Entonces ∠DOA = 45°

Además, observa que ∠COB y ∠BOA son suplementarios por lo que su

suma es 180°.

∠COB + ∠BOA = 180°

45° + ∠BOA = 180°

∠BOA = 180° – 45°

∠BOA = 135°

Como ∠BOA y ∠DOC son opuestos por el vértice, entonces sus medidas

son iguales.

Conclusión

El ∠AOD = ∠BOC = 45°

El ∠AOB = ∠DOC = 135°

45°

135°

135°

45°O

A

D

B

C

3. Ahora veamos un ejemplo de aplicación.

Felipe construye dos rampas para patineta

como las de la imagen. Si coloca una so-

bre la otra éstas tendrán los siguientes án-

gulos de elevación: la m∠BAC = 12°, la

m∠CAD = 4x y la m∠BAD = 68°. ¿Po-

drías ayudarle a encontrar el valor de x y

la elevación de las rampas?

Solución

Parte geométrica:

12°B

C

D

A

4x

68°

14 Matemáticas II

Parte analítica:

12° + 4x = 68°

Resolviendo:

x = (68° – 12°)

4

x = 14°

Conclusión

Las elevaciones de las rampas deben ser de 12° y 56°.

En cada uno de los siguientes ejercicios calcula las medidas para el ángulo y en gra-

dos (utiliza los espacios disponibles).

1.

y°45°

m∠y = ____________________

2.

y°

70°

m∠y = ____________________

3.

y°45°

m∠y = ____________________

Trab

aj

o individual


12°

56°68°

Resulta de multiplicar

14 por 4 (ya que es 4x)


4.

y°

50°

m∠y = ____________________

5.

y°

10°

20°

m∠y = ____________________

6. Calcula la medida del ∠SOT en la siguiente figura, si m∠ROT = 25°.

T

R SO

En cada uno de los siguientes ejercicios calcula el valor de g y de cada ángulo

faltante. Utiliza los espacios disponibles para hacer tus operaciones.

7. AO ⊥ EO

m∠AOB = 15°

m∠BOC = 2g

m∠COD = 10° A

B

C

D

E

O

m∠DOE = 15°

8. m∠FOJ = 88°

m∠FOG = 15°

m∠GOH = 25°

m∠HOJ = 4g

F

G

H

J

O

9. m∠KOL = 45°

m∠LOM = 5g

m∠MON = 50°

NK

ML

O

10. m∠QOS = 90°

m∠QOR = 24°

m∠POQ = 2g

m∠SOT = 40° TP

SQR

O

16 Matemáticas II

11. m∠COD = 55°

m∠AOC = 2g + 15

O

B

AC

D

12. m∠KLH = 75°

m∠FLH = g

m∠JMH = g

5

M

G

F

E

LK

J

H

Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante)Dos rectas paralelas cortadas por una secante (o transversal) forman los siguien-

tes ángulos:

h

feg

d

b

Esto quiere decir “es paralelo a”

ac l

1

l2

l1

l2

Transversal

Por su posición, podemos clasificar estos ángulos en externos e internos, y a su

vez en alternos externos, alternos internos, correspondientes, colaterales internos

y colaterales externos. Veamos cada uno.

Ángulos externos: Quedan fuera

de las rectas paralelas.

∠a y ∠b son ángulos externos

∠g y ∠h también lo son

h

feg

d

bac

Ángulos internos: Quedan entre

las rectas paralelas.

∠c y ∠d son ángulos internos

∠e y ∠f también lo son

h

feg

d

bac


9. El perímetro de la cruz mide 36 unidades. ¿Cuál es el área del cuadrado?

a) 36 b) 63 c) 72 d) 81

10. Un cuadrado tiene un área de 225 unidades cuadradas; si cada lado de éste se aumenta en 7 unidades,

¿cuál es el área en unidades cuadradas del nuevo cuadrado?

a) 232 b) 274 c) 484 d) 1 575

Bloque Vl Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

Sistema sexagesimal y circular

Razones trigonométricas directas y recíprocas de

ángulos agudos©

Rus

lanc

hik/

Drea

mst

ime

© R

Shaw

nhem

p/Dr

eam

stim

e

Cálculo de valores de las funciones trigonométricas de 30º, 45º, 60º y sus múltiplos

Resolución de triángulos rectángulos

R

© P

asar

in/D

ream

stim

e

© M

arek

ulia

sz/D

ream

stim

e

© Fer737ng/Dreamstime

B L O Q U E V I

Propósito: Que el (la) estudiante identifique diferentes sistemas de medida de ángulos y describa

las razones trigonométricas para ángulos agudos: Finalmente, que aplique las razones

trigonométricas en ejercicios teórico prácticos.

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

Desempeños del estudiante al concluir el bloque:

Identifica diferentes sistemas de medidas de

ángulos.

Describe las razones trigonométricas para

ángulos agudos.

Aplica las razones trigonométricas en

ejercicios teórico prácticos.

Objetos de aprendizaje: Funciones trigonométricas


Razones trigonométricas directas y

recíprocas de ángulso agudos.

Cálculo de los valores de las funciones

trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus

múltiplos.

Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 153

Expresa ideas y conceptos mediante

representaciones lingüísticas, matemáticas

o gráficas.

Sigue instrucciones y procedimientos de

manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de

un objetivo.

Construye hipótesis y diseña y aplica

modelos para probar su validez.

Utiliza las tecnologías de la información y

la comunicación para procesar e interpretar

información.

Elige las fuentes de información más

relevantes para un propósito específico y

discrimina entre ellas de acuerdo con su

relevancia y confiabilidad.

Competencias a desarrollar: Define metas y da seguimiento a sus

procesos de construcción de conocimientos.

Propone la manera de solucionar un

problema y desarrolla un proyecto en

equipo, definiendo un curso de acción con

pasos específicos.

Aporta puntos de vista con apertura y

considera los de otras personas de manera

reflexiva.

Asume una actitud constructiva, congruente

con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de

trabajo.

© Pavelmidi1968/Dreamstime

154 Matemáticas II

Antes que otra cosa debemos comentarte que el origen de la palabra trigonome-

tría proviene del griego y es la composición de las palabras trigonon: triángulo y

metron: medida; entonces, trigonometría quiere decir “medida de los triángulos”.

Hasta aquí hemos medido los ángulos utilizando sólo grados sexagesimales.

Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto, y se denota con

1°. Esto significa que un ángulo recto tiene 90° y que el ángulo completo cuyo

arco es toda la circunferencia tiene 360°.

Además, recordemos que en el sistema sexagesimal (base 60) tenemos las

siguientes equivalencias:

1 grado son 60 minutos. Se escribe: 1° = 60'

1 minuto son 60 segundos. Se escribe: 1' = 60''

Podemos medir un ángulo con precisión en grados, minutos y segundos.

Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes que perte-

necen al sistema circular. Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el

centro de un círculo y cuyos lados intersecan un arco de circunferencia de lon-

gitud igual al radio.

Por lo que concluimos que ambas son unidades de medida de ángulos.

Gráficamente: B

A

Radián

r

0 rC

La longitud de la circunferencia = 2π (radianes) y se entiende que forma un án-

gulo de 360º, de donde:

π radianes = 180º

Despejando:

1 radián = = =

p

pp

180 57.296º 57º17’45”

1º180

0.017453 radianes aprox.= =

Considerando = 3.141592…

Un proceso muy útil es la conversión o expresión de grados sexagesimales a ra-

dianes y viceversa. Ilustremos esto con algunos ejemplos.



Ejemplos 1. Convierte 60° sexagesimales a radianes.

Solución

Aplicando una regla de tres:

1º 180

radianesp

p p

60° x radianes

60° 60

180° se le saca sesentava 60° = = 3 radianes

Conclusión60° = 1.047 radianes

60° = 3 radianesp

2. Convierte 45º sexagesimales a radianes.

Solución

1º 180 radianesp

pp

45° x radianes

45°45

180 radianes

4 radianes 0.78 radianes= = =

Conclusión

45° = 0.78 radianes, o bien, 4

radp


Solución

90° 90°

180 21.5708 rad= ==

p p


Solución

180° = = = 180

180 1 3.1416 radianesp

60°, o bien, 1.0472 rad

3rad

π

45° 0.78 rad

156 Matemáticas II


Solución

360° = = 360°p

180 6.2832 radianes

6. Convierte = p

6 rad a grados sexagesimales.

Solución


Conclusión

630°rad

p

7. Convierte 62° 5' 25'' sexagesimales a radianes.

Solución

Lo primero que tenemos que hacer es convertir los segundos a minutos y

sumarlos a los minutos ya existentes, a continuación convertir los minutos a

grados y sumarlos a los existentes (utilizamos la regla de tres).

Ahora, procedemos a encontrar la equivalencia de estos 62.09026° a radianes:

p 180°radianes

x 62.09026°

1.0836 radx = =3 1416 62 09026

180

. .

Conclusión

Los 62° 5' 25'' equivalen a 1.0836 radianes.

6rad o 30º

1 rad 180grados sexagesimales

p

pp

p

6rad x grados sexagesimales

x grados sexagesimales 6

180

130

rad

rad

( )( )º

1' 60''

25''

x25 1'''

’0.416= == entonces, 62°5'25'' 62° 5.416'

1° 60'

x° 5.416'

x5 416 1. ' °

'600.09026°= = = entonces, 62° 5.416' 62.09026°

60'

x'


8. Convierte 5 radianes a grados, minutos y segundos.

Solución


Ahora convertimos a minutos los 0.4782° (utilizamos la regla de tres)

1° 60'

x0.4782°

x = = =0.4782 60°

1°28.692° entonces, 286.4782° 286° 28.692

Ahora convertimos a segundos los 0.692' (utilizamos una regla de tres)

Conclusión

5 radianes equivalen a 286° 28' 41''

La gráfica nos muestra algunos ángulos marcados en un círculo uni-tario tanto en grados sexagesimales como en radianes.

1. En equipo, discutan cuál es otra forma de escribir el siguiente ángulo. Escri-

ban aquí sus conclusiones:

( )( )

1 rad

5 rad

180grados sexagesimales

p

p

x grados sexagesimales

x grados sexagesimales

180

1=286.4782°=

5 rad

rad

1' 60''

0.692' x

x0.692 60

141.52

' ''

''' entonces, 286.4782 = 286° 28' 41''


Trab

ajo

en equipo

35°

3

2

�

0°

45°

30°

60°90°

135°

180°

225°

270°

315°

360°

�

4�

6

�

3

�

23

4

�

�

2�

7

4

�5

4

�

158 Matemáticas II

2. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos. Utiliza los espacios

disponibles.

a) 210° e) 42° 45'

b) 160° f) 45° 25' 55''

c) 25° 30' g) 115°

d) 650° h) 89° 42' 39''

3. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes:

a) 5

radp

e) p5

7rad

b) 1

5 rad f)

5

7rad

c) 3 rad g) p11

9rad

d) p3 rad h) 11

9rad

4. Expresa en grados, minutos y segundos cada uno de los ángulos siguientes:

a) 5

radp

e) p5

7rad

b) 1

5rad f)

5

7rad

c) 3 rad g) p11

9rad

d) 3 radp h) 11

9rad


Una función es una razón directa entre dos cantidades, en este caso esas canti-

dades son los lados de un triángulo, si nos basamos en un triángulo rectángulo,

respecto del ángulo. Tendríamos que:

z = hipotenusa

y = cateto opuesto

X

y

Z x

z

Y x = cateto adyacente

Decimos, entonces, que las funciones que se forman son las razones (divisiones)

que existen entre x y y, entre x y z, o bien entre y y z; por ejemplo, tenemos que

hay relaciones a las que se llama funciones directas:

Seno: es la división del cateto opuesto entre la hipotenusa, sen Y = y

z.

Coseno: es la división del cateto adyacente entre la hipotenusa,

cos Y =

x

z.

Tangente: es la división del cateto opuesto entre el cateto adyacente,

tan Y =

y

x.

Pero también existen otras relaciones a las que se conoce como funciones recí-

procas y son:

Cosecante: es la división entre la hipotenusa y el cateto opuesto,

csc Y =

z

y.

Secante: es la división entre la hipotenusa y el cateto adyacente,

sec Y =

z

x.

Cotangente: Es la división entre el cateto adyacente y el cateto opuesto,

cot Y =x

y.

Funciones trigonométricas directas y recíprocas

160 Matemáticas II

En el espacio en blanco y con la ayuda de tu profesor(a) y tus compañeros, define

las funciones trigonométricas para el ángulo X de la figura siguiente.

X

y

Z x

z

Y

Observa que los ángulos X y Y del triángulo anterior son complementarios (es

decir, suman 90°), y que además:

El seno del ángulo X es igual al coseno del ángulo Y y viceversa:

sen X = cos Y

sen Y = cos X

La tangente del ángulo X es igual a la cotangente del ángulo Y y viceversa:

tan X = cot Y

tan Y = cot X

La secante del ángulo X es igual a la cosecante del ángulo Y y viceversa:

sec X = csc Y

sec Y = csc X

Trab

aj

o individual



Las razones trigonométricas seno y cosecante del mismo ángulo son recíprocas

entre sí; al igual que el coseno y la secante; la tangente y la cotangente. Es decir,

respecto al triángulo rectángulo XYZ anterior, tenemos:

(sen = =Y)

(cos Y)

(tan Y)

(csc Y)y

z(

z

y)

=(sec Y)x

z(

z

x) = 1

(cot Y) = y

x(

x

y) = 1

1

Observa que el hecho de que sean recíprocas quiere decir que sus componentes

se invierten; en otras palabras, lo que tenemos como numerador en una se con-

vierte en denominador en la otra y viceversa. Ahora haremos algunos cálculos de

funciones directas y recíprocas.

Como último detalle:

Análogamente, la cotangente de Y es el coseno de Y entre el seno de Y.

Relación fundamental de la trigonometríaTeniendo en cuenta un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 1, si aplicamos

el teorema de Pitágoras, se debe cumplir la que se conoce como relación funda-

mental de la trigonometría:

sen2 � + cos2 � = 1

Mostremos cómo funciona esta relación:

Parte geométrica:

Cateto adyacente

Hipotenusa

Cateto opuesto

α

Parte analítica:

A partir de la misma relación y sustituyendo su valor:

tan Y = ==sen Y

cos Y

op

ady

hip

ad

op

hip

Campo matemático

Matemáticas II, segunda edición, es un texto que se basa en el enfoque por com-petencias y cubre la orientación curricular de la Direccion General de Bachillerato.

Está integrado por 10 bloques que corresponden al Programa de Estudios de Matemáticas II, de la Reforma Integral:

• Bloque I. Utilizas triángulos, ángulos y relaciones métricas• Bloque II. Comprendes la congruencia de triángulos• Bloque III. Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de

Pitágoras• Bloque IV. Reconoces las propiedades de los polígonos• Bloque V. Reconoces las propiedades de la circunferencia• Bloque VI. Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos

rectángulos• Bloque VII. Aplicas funciones trigonométricas• Bloque VIII. Aplicas las leyes de los senos y cosenos• Bloque IX. Aplicas la estadística elemental• Bloque X. Empleas los conceptos elementales de probabilidad

Cada bloque está estructurado de acuerdo con una estrategia didáctica que permite que los estudiantes desarrollen y practiquen los saberes aprendidos, con abundancia de ejemplos y ejercicios que serán útiles para que el aprendizaje se convierta en herramientas que puedan aplicarse en situaciones de la vida diaria.

Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

matemáticas ii con enfoque en competencias. 2a. edición. patricia ibáñez

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