matematicas discretas unidad ii, conjuntos

8/18/2019 Matematicas discretas Unidad II, conjuntos.

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TECNOLÓGICO N CION L DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VER CRUZ

CARRERA:Ingeniería en Sistemas Computacionales

ASIGNATURA:Matemáticas Discretas

CATEDRÁTICO:Carlos Genis Triana

NOMBRE DEL ALUMNO:Huitzitl Torres Eduardo Augusto

ACTIVIDAD:Trabajo de Investigación Unidad 2

FECHA:19 de Octubre de 2015


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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3

LEYES O PROPIEDADES DE CONJUNTOS ........................................................................................ 4

DOBLE NEGACIÓN ..................................................................................................................... 4

LEY CONMUTATIVA ................................................................................................................... 4

LEY ASOCIATIVA......................................................................................................................... 5

LEY DISTRIBUTIVA ...................................................................................................................... 5

LEY DE IMPOTENCIA .................................................................................................................. 5

LEY DE MORGAN ....................................................................................................................... 5

EQUIVALENCIA .......................................................................................................................... 5

CONTRADICCIÓN ....................................................................................................................... 6PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO .......................................................................................... 6

LEY DE IDENTIDAD ..................................................................................................................... 7

APLICACIÓN ................................................................................................................................... 9

CONCLUSIÓN ............................................................................................................................... 10

BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 11

REFERENCIAS DE INTERNET ......................................................................................................... 11


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INTRODUCCIÓN

George Cantor desarrolla la teoría de conjuntos y sus fundamentos básicos, fueun matemático alemán.La teoría de conjuntos trata de entender las propiedades de conjuntos que no

están relacionados a los elementos específicos de los cuales están compuestos.En este trabajo de investigación se abordaran las leyes o propiedades de losconjuntos que establecen ciertas normas y pautas, para realizar de maneracorrecta las operaciones con conjuntos.Se abordaran las leyes y/o propiedades más relevantes que se encuentran en lateoría de conjuntos (Estas son la doble negación, ley conmutativa, asociativa,distributiva, la ley Morgan, ley de identidad, entre otras.), así como también semuestra como se aplican y su representación mediante diagramas de Venn quebásicamente son representaciones por dibujos del universo y los elementos quelo conforman. Además de abordar las leyes y propiedades, se aborda laimportancia de la aplicación de estas en dentro la computación

También daremos a notar que la teoría de conjuntos no se queda solo en elámbito de la computación, sino que también cuenta con uso fuera del área, encosas que no se creerían. Con esta investigación más que nada se intenta dar aconocer las leyes por las cuales se encuentran regido los conjuntos. También setrata de demostrarnos que estas sirven para ayudarnos a entenderlos mejor yque se haga más fácil el uso de los mismos (conjuntos), al igual que se intentademostrar que la teoría de conjuntos no es algo inútil que solo se usa en lacomputación, así como su relevancia en otras áreas (biología, química y física,etc.). (Finales del siglo XIX)


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LEYES O PROPIEDADES DE CONJUNTOS

DOBLE NEGACIÓN

En lógica proposicional, la doble negación es el teorema que afirma que "Si un

enunciado es verdadero, entonces no es el caso de que la declaración no escierta." Esto se expresa diciendo que una proposición A es lógicamenteequivalente a no (no-A), o por la fórmula A≡~(~A) donde el signo ≡ expresaequivalencia lógica y el signo ~ expresa negación. Al igual que la ley del tercero excluido, este principio es considerado como leydel pensamiento en la lógica clásica,2 pero la lógica intuicionista no lo permite.El principio fue declarado por Russell y Whitehead como teorema de la lógicaproposicional en Principia Mathematica como:"Este es el principio de la doble negación, es decir, una proposición esequivalente a la falsedad de su negación."El principium contradictiones de los lógicos modernos (especialmente Leibnitz yKant) en la fórmula A es no no-A, difiere totalmente de significado y la aplicacióndesde la proposición aristotélica [es decir, la Ley de Contradicción: no (A y no- A), es decir ~(A y ~A), o no ((B es A) y (B es no-A))]. Esta última se refiere a larelación entre una afirmación y un juicio negativo.Según Aristóteles, una sentencia [B se juzga como un A] contradiciendo a la otra[B se juzga como un no-A]. La proposición posterior [A no es no-A] se refieredesde la relación entre el sujeto y el predicado en un solo juicio, el predicadocontradice el tema. Aristóteles afirmaba que una sentencia es falsa cuando otraes verdadera, escritores posteriores [Leibniz y Kant] afirmaban que un juicio esen sí mismo y absolutamente falso, porque el predicado contradice al tema. Lo

que los escritores posteriores desean es un principio desde el cual se puedesaber si ciertas proposiciones son verdaderas en sí mismas. De la proposiciónaristotélica no es posible inferir inmediatamente la verdad o falsedad de unaproposición particular, sino solamente la imposibilidad de creer tanto en laafirmación como en la negación, al mismo tiempo.

LEY CONMUTATIVA

La intersección de dos conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntosB y A.

AUB=BUA A∩B=B∩A

Es decir, que lo mismo decir A unión B que B unión A lo mismo se da para laintersección.

Ejemplo: A= {1, 2, 3,4}B= {5, 6, 2, 1,7}C= {4, 5,2}

a) A U B = B U A A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7}B U A = {5, 6, 2, 1, 7, 3,4}

b) A ∩ B = B ∩ A A ∩ B = {1,2}B ∩ A = {2,1}


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LEY ASOCIATIVA

La intersección de los conjuntos A y B ∩C es igual a la intersección de losconjuntos A∩B y C.Esta ley nos representa y como se lee la unión y la intersección de tres conjuntos.

(A U B) U C=A U (B U C)(A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C)

Ejemplo: A= {1, 2, 3,4}B= {5, 6, 2, 1,7}C= {4, 5,2}a) (A U B) U C = A U (B U C){1, 2, 3, 4, 5, 6,7}(4, 5, 2, 1, 3, 6, 7) = {5,6,2,1,7,4}(1,2,3,4,5,6,7)b) (A∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C){1,2} ∩ C {2}=A ∩ {5,2} = {2}

LEY DISTRIBUTIVA

Dados tres conjuntos arbitrarios A, B y C, se puede ver que se cumple lasiguiente ley distributiva en la que intervienen la unión y la intersección deconjuntos:

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)Los siguientes diagramas de Venn ilustran la validez de esta ley:Por otro lado, la validez de la expresión se muestra mediante los siguientesdiagramas:

A U (B ∩ C) = (AU B) ∩ (A U C)

LEY DE IMPOTENCIA

La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A. A U B=A A ∩ A=A

LEY DE MORGAN

El matemático ingles Augustus De Morgan demostró que:1) La negación de la intersección de dos o más conjuntos es equivalente a launión de los conjuntos negados separadamente.

2) La negación de la unión de dos o más conjuntos es igual a la intersección delos conjuntos negados por separado. Es importante mencionar que lasoperaciones de unión e intersección de conjuntos así como la ley de Morgan, sepueden extender a más de dos conjuntos.

EQUIVALENCIA

Conjuntos equivalentes son aquellos conjuntos que poseen el mismo númerocardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos.Por ejemplo

El conjunto A = {1, 2, 3, 4} y el B = {b, c, d,}Por tanto A y B son equivalentes.


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CONTRADICCIÓN

En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o másproposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve nitruena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.

En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula queresulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación devalores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.Por ejemplo, la siguiente tabla demuestra una contradicción:Dada esta definición, toda contradicción es la negación de una tautología, y todatautología es la negación de una contradicción. Siguiendo el ejemplo anterior, alnegar la contradicción obtenemos una tautología:

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto dado, es otro conjunto que podría tratarse deluniverso que se esté manejando. que contiene todos los elementos que no estánen el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo deelementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal.Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por loselementos que no pertenecen a A: El complementario de A es otro conjunto A∁ cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración,y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación

en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Propiedadinvolutiva. El complementario del complementario de A es el propio A: La uniónde un conjunto y su complementario es el conjunto universal: Un conjunto y sucomplementario son disjuntos: El complementario de A está contenido en elcomplementario de cualquier subconjunto de A:Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección através del complemento:El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de loscomplementarios: El complementario de la intersección de dos conjuntos es launión de los complementarios:


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LEY DE IDENTIDAD

Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario, U, se verifica:

1. A ∪ ∅ = A

2. A ∪

U = U3. A ∩ ∅ = ∅ 4. A ∩ U = A

Demostración

1. A ∪ ∅ = A. En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U. Entonces:x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ {Definición de unión}⇐⇒ x ∈ A {x ∈ ∅ es falso siempre}

Luego:

∀x [x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A]

De aquí que:

A ∪ ∅ = A

2. A ∪ U = U. Sea x un elemento cualquiera de U. Entonces:x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ U {Definición de unión}⇐⇒ x ∈ U {x ∈ U es verdad siempre}

Luego:

∀x [x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ U ]

Es decir:

A ∪ U = U3. A ∩ ∅ = ∅. Si x es cualquiera de U , entoncesx ∈ (A ∩ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅ {Definición de unión}⇐⇒ x ∈ ∅ {x ∈ ∅ es falso siempre}

Luego:

A ∩ ∅ = ∅ 4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U. Entonces,x ∈ A ∩ U ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ U {Definición de intersección}⇐⇒ x ∈ A {x ∈ U es verdad siempre}

Luego:

A ∩ U = A


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UNIÓN

La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos loselementos del conjunto A y del conjunto B: A ∪ B = {x | x e A ó x e B}

El siguiente diagrama ilustra la definición:

INTERSECCIÓNLa intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todoslos elementos que son comunes a los conjuntos A y B: A n B = {x | x e A; x e B}El siguiente diagrama ilustra la definición:

DIFERENCIALa diferencia entre dos conjuntos arbitrarios A y B es el conjunto que condene atodos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B:

A - B = {x | x e A; x g B}EL conjunto diferencia también se conoce como complemento de B con respectoa A.La siguiente figura muestra el diagrama de Venn de la definición:


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APLICACIÓN Además de la estrecha relación que existe entre la teoría de conjuntos, el álgebrabooleana y la lógica matemática, prácticamente todos los campos de lacomputación se respaldan en la teoría de conjuntos.Por ejemplo:

Una relación es un conjunto y en bases de datos es posible llevar a cabooperaciones entre relaciones, de la misma manera en que se hacen en teoría deconjuntos, de forma que los conceptos de unión, intersección, complementación,así como otras reglas lógicas que resultan de mezcla estas tres operacionesbásicas de conjuntos dan origen a lo que se conoce como álgebra relacional,misma que a su vez proporciona los elementos necesarios con los que semanejan las bases de dato: relaciónales y que permiten obtener la informaciónen forma organizada y concreta.Los lenguajes de programación se definen como un conjunto de conjuntos, ydentro de ellos se puede mencionar el conjunto de símbolos (


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CONCLUSIÓNEn este trabajo de investigación pudimos comprender un poco mejor lo que sonlas leyes de los conjuntos, que tienen una aplicación en la computación y estánparcialmente relacionadas con otras matemáticas como el algebra booleana,mostramos aproximadamente las trece leyes de la teoría de conjuntos.

Estas serán de ayuda al momento de realizar operaciones con conjuntos. Quepor numerarlas. La negación que significa que si un conjunto es negado ydespués la negación es negada el resultado será el conjunto original.La ley conmutativa que quiere decir que no importa el orden de los elementos enla operación de conjuntos siempre y cuando sea la misma operación.Ley asociativa dice que si en la unión de tres o más conjuntos se reemplazandos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.La ley distributiva se entiende que se puede cambiar el orden en que se calculanlos conjuntos.La idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada variasveces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase

una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elementoidempotente. Dentro de estas leyes se encuentra una ley hecha por elmatemático ingles Augustus De Morgan, llamada la ley de Morgan.Cada una de estas leyes y propiedades tienen situaciones específicas en las quese aplican, es decir solo en determinados casos.Estas leyes son de vital importancia porque nos permiten saber cómo manejarlos conjuntos, o dicho de otra manera nos muestran como aperar con ellos demanera correcta usando de guía las mismas.Estas leyes tienen cierta relación con el álgebra booleana y la lógica matemática,y se puede deducir que son equivalentes entre sí, solo que se denotan demanera distinta.Por otro lado encontramos la aplicación de estas leyes pero más que de lasleyes, de toda la teoría de los conjuntos.Básicamente podríamos decir que la teoría de conjuntos es esencial en lacomputación.Esta teoría la encontramos implícita en muchas áreas de la computación, entreestas una de las relevantes que es la programación. Así mismo también se aplicaen distintos aspectos que no tienen que ver con la computación.Podemos encontrar las leyes y propiedades en aspectos como líneas deteléfonos, las líneas de agua potable, así como las de electricidad, entre otras.No hubiese tenido caso que pudiera dar una breve explicación en esta conclusión

si hubiese puesto algunos diagramas de su representación. Sin embargo fuenecesario.


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BIBLIOGRAFÍA

Matemáticas para la Computación 2a Edición,José Alfredo Jiménez Murillo,Edit. Alfaomega.

REFERENCIAS DE INTERNET

https://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto#Propiedadeshttps://sites.google.com/site/matediscretasleoncruz/1-1/1-7-operaciones-de-conhttp://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/248-tipos-de-conjuntos/#ixzz3p3gsESQDhttps://es.wikipedia.org/wiki/Doble_negaci%C3%B3n#Notaci.C3.B3n_formal

https://es.wikipedia.org/wiki/Contradicci%C3%B3n

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