matematicas computacionales

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Matemáticas computacionales

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Parte 1

1. Reúnanse en parejas.

2. Cada pareja deberá de trabajar con la siguiente lista de preguntas para crear un

documento con sus respuestas:

a. ¿Qué es una proposición?

b. ¿Qué es una tabla de verdad?

c. ¿Qué es la conjunción de a y b? ¿Cómo se escribe o se denota?

d. ¿Qué es la disyunción de a y b? ¿Cómo se escribe o se denota?

e. ¿Qué es la negación de a? ¿Cómo se escribe o se denota?

f. ¿Qué es una proposición condicional?

g. ¿Cuál es la hipótesis en una proposición condicional?

h. ¿Cuál es la conclusión en una proposición condicional?

i. ¿Qué es una proposición bicondicional y cómo se denota?

3. Al terminar, levante la mano el equipo que tenga un ejemplo de alguna de las

siguientes tablas, para que pase al frente y lo ponga en el pizarrón. Si el ejemplo del

equipo es incorrecto puede pasar alguien más.

a. Elaboren la tabla de verdad para la conjunción de a y b.

b. Elaboren la tabla de verdad para la disyunción de a y b.

c. Elaboren la tabla de verdad para la negación de a.

d. Escriban la tabla de verdad de la proposición condicional.

e. Escriban la tabla de verdad de la proposición bicondicional.

Parte 2

4. Continúen trabajando en parejas.

5. Determinen si las siguientes oraciones son o no proposiciones, y en caso de serlo, de

qué tipo son:

a. 4 + 7 = 15

b. Pela un plátano

c. El cielo es azul

d. Todos los días sale el sol

e. En mi cumpleaños iré de viaje

6. Considerando las siguientes proposiciones, determinen la notación simbólica con

palabras:

a. Adrián lleva la clase de civismo

b. Adrián lleva la clase de ciencias naturales

i. a'

ii. a∧b

iii. a∨b

iv. a∨b'


v. a∧b'

vi. a'∧b'

7. Consideren las siguientes proposiciones:

a. El día está soleado

b. Vamos al parque

8. Representen simbólicamente los siguientes argumentos:

a. El día no está soleado

b. El día está soleado y vamos al parque

c. El día está soleado, pero no fuimos al parque

d. El día no está soleado, pero fuimos al parque

e. El día está soleado o fuimos al parque

f. El día está soleado o fuimos al parque, pero el día no está soleado

9. Establezcan si los siguientes enunciados son válidos o no. Expliquen la respuesta:

a. (b'∨a')∧(c∧b)=>(a<->c')

b. (c ->a')∧(b'∨c')=>(a'->b)

c. (a'->c)∧[(a'->r)->(b'∧a)]=>(b'∧a)

Parte 3

10. Elaboren las tablas de verdad para cada una de las siguientes preposiciones

compuestas:

a. [(a->b)' -> c] -> (a'∨c'∧b)

b. a->b'∨c<->a∧b->c

c. (a->c)<->[(b∨c∧a')->c

d. [(a->b)->c']∧[(p'∨c)<->b']

Nota: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y fundamentada.

Entregable(s): Documento con ejercicios resueltos y conclusiones.

Parte 1

1. Reúnete con tu equipo y contesten lo siguiente:

a. Expliquen las leyes generalizadas de Morgan para la lógica.

b. ¿Qué es el dominio del predicado (U)?

2. Considerando la siguiente función proposicional P(x) = “x divide exactamente a 99”,

escriban con palabras y determinen si son falsas o verdaderas lo siguiente. El dominio

de discurso es el conjunto de enteros positivos:

a. P(11)


b. P(3)

c. P(9)

d. ∃xP(x)

e. P(1)

f. ∀xP(x)

3. Sea p (y): “y trabaja en la tienda de autoservicio”. El dominio U: Todas las personas

que trabajan en la tienda de autoservicio. Escriban las siguientes proposiciones con

palabras:

a. ∀xP(x)

b. ∃xP(x)

c. ∀xP'(x)

d. (∀xP(x))'

e. ∃xP'(x)

f. ∃xP(x)'

Parte 2

4. Reúnete con tu equipo.

5. Considerando la siguiente afirmación P(x): “x es un profesionista” y Q(x): “x es

ingeniero”, siendo el dominio U:{x|x es cualquier persona}. Escriban las siguientes

proposiciones en palabras y determinen el valor de verdad:

a. ∀x(P(x)→Q(x))

b. ∀x(Q(x)→P(x))

c. ∀x(P(x)VQ(x))

d. ∀x(P(x)∧Q(x))

e. ∃x(P(x)→Q(x))

f. ∃x(Q(x)→P(x))

g. ∃x(P(x)VQ(x))

h. ∃x(P(x)∧Q(x))

6. Escriban la negación de cada una de las proposiciones anteriores.

7. Contesten las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la interpretación de ∀x∀y P(x, y)? ¿Cuándo es verdadera esta

expresión cuantificada? ¿Cuándo es falsa?

b. ¿Cuál es la interpretación de ∀x∃y P(x, y)? ¿Cuándo es verdadera esta


c. ¿Cuál es la interpretación de ∃x∀y P(x, y)? ¿Cuándo es verdadera esta


d. ¿Cuál es la interpretación de ∃x∃y P(x, y)? ¿Cuándo es verdadera esta


e. Den un ejemplo para mostrar que, en general, ∀x∃y P(x, y) y ∃x∀y P(x, y)

tienen significados diferentes.


8. Escriba la negación ∀x∃y P(x, y) usando las leyes generalizadas de Morgan para

lógica.

Parte 3


10. Establezcan si los siguientes enunciados son válidos o no. Expliquen su respuesta:

Sea Q(x, y) la función proposicional “x pesa más que y”. El dominio de discurso

consiste en tres jóvenes: Mauricio que pesa 78kg, Manuel que pesa 75kg y Adrián que

pesa 68kg.

11. Escriban cada proposición en palabras y digan si esta es verdadera o falsa.

a. ∀x∀yQ(x,y)

b. ∀x∃yQ(x,y)

c. ∃x∀yQ(x,y)

d. ∃x∃yQ(x,y)

12. Demuestren utilizando el método directo y el método de contradicción cada uno de los

siguientes puntos; además, definan un argumento para cada proposición p, q, r, s y t, y

describan con palabras cada punto:

a. [(p∨q)->r]∧[r->s]=>[s'->q']

b. [p'->q']∧[r'->s']∧[(q'∨s')->t]->(p∧r)]


1. Define una serie de 5 proposiciones eligiendo el tema que sea de tu agrado (a, b, c, d,

e).

2. Clasifica las proposiciones y determina si son falsas o verdaderas.

3. Estructura 5 conjunciones y 5 disyunciones con tus proposiciones y crea su tabla de

verdad.

4. Obtén tus conclusiones de las tablas de verdad obtenidas en el punto 3.

5. Crea un predicado (p), determina su dominio (U{x|x…}) y especifica lo siguiente:

6. Representa el siguiente enunciado en forma de teorema y lleva a cabo su

demostración usando el método directo y el método de contradicción:

Si estudio la licenciatura en Matemáticas, entonces podré dar clases de Matemáticas.

Si estudio la licenciatura en Física, entonces podré estudiar una maestría en Física

nuclear. Si doy clases de Matemáticas o estudio la maestría en Física nuclear,


entonces estaré satisfecho. Por lo tanto, si no estoy satisfecho no estudié la

licenciatura en Matemáticas y no estudié la maestría en Física nuclear.

Parte 1

1. Reúnanse en equipos.

2. El profesor dará al azar una papeleta con una pregunta.

3. Cada equipo deberá de contestarla en una hoja de papel, pero tienen la opción de dar

una respuesta correcta o incorrecta.

4. Intercambien sus respuestas con otros equipos.

5. Deberán señalar si la respuesta es o no correcta; si es incorrecta hagan la corrección.

6. Ahora deberán hacer una lista de ejemplos (al menos 3) en donde se utilice la

inducción matemática.

Parte 2

7. Continúen trabajando en equipo.

8. Demuestren usando el principio de inducción matemática que las proposiciones

siguientes son verdaderas:

a.

b.

c.

d.

9. Determinen los elementos de los siguientes conjuntos:

a. A={ x | x es una letra de la palabra cortina }

b. B={ x | x es un dígito del número 423654 }

c. C={ x | x es un dígito valido en el sistema binario }

d. D={ x | x que pertenece a los números naturales y es divisible entre 2; -4

<=x<= 10 }

e. E={ x | x es una letra de la palabra "carpintería" diferente de una vocal }

10. Escriban el conjunto de la forma { x | P(x) es una o varias propiedades en común de

los elementos del conjunto}, por ejemplo, H={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} su forma es

H={ x | P(x) es un número impar positivo entre 1 y 17}:

a. A={ 2, 4, 6, 8,10,12,14}

b. B={ azul, rojo, amarillo }

c. C={e, d, u, c, a, c, i, o, n}

d. D={6,12,18,,24,30,36,42,48,54,60}

e. E={zapato, sandalia, tenis, bota, pantufla}

f. F={do, re, mi, fa, sol, la, si}


g. G={tenedor, cuchara, cuchillo}

11. Sean A, B, C, D, E y F conjuntos no vacíos. Para cada uno de los siguientes incisos

dibujen el diagrama de Venn, que cumpla con las condiciones que se plantean:

a. A C A ⊆ C

b. B F B⊆F

c. D F D

d. F A

Parte 3

12. Considerando el siguiente diagrama de Venn observen y determinen si cada uno de

los incisos es falso "F" o verdadero "V"

a. A={1,5,9,10,11,15,16,21,24} ( )

b. B={6,7,12,13,14,15,17,18,19,22,23,26} ( )

c. C={10,15} ( )

d. D={7,13} ( )

e. E={2,6} ( )

f. U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

17,

18,19,20,21,22,23, 24,25,26,27,28,29,30}

( )

g. A U ( )

h. B D ( )

i. C A ( )

j. U E ( )

k. A C

( )


l. D B

( )

m. U A

( )

n. C A

( )

o. C U

( )


Parte 1

1. Reúnanse en equipos.

2. Resuelvan lo siguiente, sean los conjuntos:

U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z } A={f,g,i,j} ; B={a,c,d,f,h,i}; C={

c,d,e,f,g,h}; D={a,b,c}

3. Realicen las siguientes operaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

4. Sea E={1,2,3,4,5,6} , A={1,3,5} , B={3,4} , C={2,4,6} ; obtener el resultado de las

siguientes operaciones: .

Parte 2

5. Continúen trabajando en equipo.

6. Representen en diagramas de Venn los incisos del punto 3 y 4 de la primer parte de la

actividad.

7. Resuelvan los siguientes ejercicios usando conjuntos finitos.

a. En la compañía "Asistencia computacional, S.A." necesitan contratar 20

personas que sepan programar en SQL, y 15 personas que programen en

visual.net. La compañía considera que de estas personas que se contraten, 10

personas saben programas tanto SQL como visual.net. ¿Cuántos

programadores debe contratar la compañía?

b. De una muestra de 50 estudiantes de la carrera de Ing. en Computación, se

obtuvo la siguiente relación de número de reprobados por materia:

i. 24 Matemáticas para la computación


ii. 26 Fundamentos de programación

iii. 17 Contabilidad

iv. 16 Matemáticas para la computación y Fundamentos de programación

v. 13 Fundamentos de programación y Contabilidad

vi. 7 Matemáticas para la computación y Contabilidad

vii. 3 Matemáticas para la computación, Fundamentos de programación y

Contabilidad

¿Cuántos estudiantes no reprobaron ninguna materia de las anteriores?

¿Cuántos reprobaron solo Contabilidad?

¿Cuántos reprobaron solo Fundamentos de programación?

¿Cuántos reprobaron Matemáticas para la computación, Fundamentos de programación, pero

no Contabilidad?

8. En los dos ejercicios anteriores den la solución en notación de conjuntos y también en

la representación con los diagramas de Venn.

Parte 3


10. Considerando el siguiente diagrama de Venn observen y determinen cada una de las

operaciones que se piden:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.


i.

j.

k.

l.

m.


1. Demuestra 5 ejemplos por medio del principio de inducción matemática para saber si

las generalizaciones son verdaderas o no.

2. Escribe 5 ejemplos de conjuntos finitos y 5 ejemplos de conjuntos infinitos, en lenguaje

natural y en notación de conjunto.

3. Representa los conjuntos del punto anterior con diagramas de Venn.

4. Menciona un ejemplo de tres conjuntos con los cuales puedas realizar todas y cada

una de las operaciones vistas en clase, represéntalas por medio de diagramas de

Venn.

5. Obtén tus conclusiones de los diagramas del punto 4.

6. Utilizando conjuntos finitos, soluciona el siguiente ejercicio:

Se aplicó una encuesta a 800 jóvenes que estudian la carrera de seguridad informática

de una universidad, esto para conocer cuál es la preferencia del área o especialidad

de su carrera, y se obtuvieron los siguientes resultados:

220 prefieren Arquitectura computacional

300 Sistemas abiertos

240 Inteligencia artificial

68 Arquitectura computacional y Sistemas abiertos

70 Sistemas abiertos e Inteligencia artificial

80 Arquitectura e Inteligencia artificial

20 se inclinaron por las 3 especialidades al mismo tiempo.

a. ¿Cuántos eligieron únicamente sistemas abiertos?

b. ¿Cuántos se inclinan por arquitectura computacional pero no por inteligencia artificial?

c. ¿Cuántos no tiene preferencia por ninguna de las 3 especialidades?

d. Realiza el diagrama de Venn que ilustra este ejercicio

Realiza la entrega de tu evidencia con base en los criterios de evaluación que se muestran en

la siguienterúbrica.

Parte 1


1. Con base en tus conocimientos, describe la utilidad de las matemáticas en los

sistemas computacionales.

2. Enlista las funciones de las matemáticas en los sistemas computacionales.

3. Reúnete con tus compañeros y lleven a cabo una mesa redonda para reflexionar sobre

los siguientes puntos respecto a procedimientos computacionales:

a. Funciones y relaciones matemáticas

b. Impacto en la vida del ser humano

c. Metodología para aplicar las matemáticas en computación

4. Con base en lo anterior, elabora un reporte sobre la importancia de los cálculos

matemáticos en computación.

5. Localicen el procedimiento de cálculos matemáticos (funciones y relaciones) para su

correcta aplicación a los sistemas computacionales. Recuerden utilizar fuentes

confiables como la Biblioteca Digital.

Parte 2

6. Reúnete con uno de tus compañeros y discutan sobre la relación matemáticas-

computación.

7. Determinen la metodología correcta para aplicar las funciones y relaciones

matemáticas a la computación.

8. Lean lo siguiente:

a. Sean A=B=C={1,2,3,4 }; R: A->B tal que aRb si y sólo si a=b y T: B -> C tal

que bTc si y sólo si b es par y es múltiplo de 4, realicen los siguientes cálculos:

i. Determinen los pares ordenados de R y T y el producto cartesiano

de AXB.

ii. Obtengan el dominio y el rango de R y T

iii. Indiquen cuáles son los grafos dirigidos de R y T; así como las matrices

de R y T.

iv. Construyan su matriz de relación.

v. Obtengan

vi. ¿Cuál es el grafo dirigido y que diferencia existe con el grafo no

dirigido?

vii. Expliquen si las relaciones R y T tiene algunas de las siguientes

propiedades: reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica,

transitiva.

viii. Establezcan si las relaciones R y T cumplen con lo necesario para ser

consideradas como una función.

9. Integren los resultados y el procedimiento realizado para cada cálculo.

Parte 3

10. Continúen realizando los siguientes ejercicios, indicando el procedimiento a utilizar

para obtener los resultados:


a. Sean A=B=C=D=R; f: A -> B; g: B->C definidas por: f(a) = 4a+a2 , g(b) = b4,

calculen:

i. g º f(3)

ii. f º g(x+4)

iii. g º g º f(x)

iv. f º f º g(-x)

b. Sean A = B = Z+ donde aRb si y sólo si |a-b| <= 5, coloquen en el

conjunto A los nombres de 5 personas, y en el conjunto B las edades de las

personas y efectúen:

a. AXB.

b. Sea aRb todos los menores de edad y aTb todos los mayores de edad

obtener los pares ordenados de R y T.

c. Indiquen R’ y T’.

d. Matrices de relación.

11. Con base en lo anterior, elaboren un diagrama de flujo sobre la relación matemáticas –

computación, fundamentando con el procedimiento y resultados obtenidos de los

ejercicios realizados.


Parte 1

1. Con base en tu experiencia, menciona lo necesario en un lenguaje de programación.

2. Describe los pasos que se tienen que seguir para desarrollar algún lenguaje de

programación (algoritmo) de acuerdo a funciones matemáticas.

3. Diseña un algoritmo o pseudocódigo que contenga una función para:

a. Obtener el número mayor de tres números enteros positivos: Mayor (x,y,z).

b. Para determinar si un número entero positivo es par o impar.

c. Calcular el máximo común divisor de dos números.

4. Elabora un algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números

enteros positivos utilizando una función.

5. Integra los algoritmos realizados indicando la utilidad de las matemáticas en

programación computacional.

6. Localicen información sobre los grafos y su función en los algoritmos para programas

computacionales.

Parte 2

7. Reúnanse en equipo y compartan los algoritmos diseñados de acuerdo a funciones

matemáticas.

8. Determinen el desarrollo de algoritmos utilizando grafos.

9. Realicen el siguiente ejercicio, justificado cada una de las respuestas:

Parte 3

http://bbsistema.tecmilenio.edu.mx/bbcswebdav/institution/UTM/semestre/profesional/ma/ma13104/bb/tema13.htm#act13


10. Dados los siguientes grafos, determinen:

a. Tienen camino o circuito de Euler. De ser así indiquen cuál es el camino o

circuito, en caso negativo expliquen por qué.

b. Son isomorfos: por medio de propiedades de grafos y de matrices de

incidencia.

12. Señalen la ruta más corta en el siguiente grafo para ir del nodo a hasta los nodos

restantes del grafo usando el algoritmo de Dijkstra.

12. Con base en lo anterior, elaboren un algoritmo sobre la función de los grafos en los

programas computacionales. Recuerden justificar su algoritmo con los resultados y

procedimientos realizados en cada ejercicio.


Entregable(s): Algoritmo acerca de la función de los grafos en programas computacionales,

integrando el procedimiento y resultados de los ejercicios solicitados.

1. Menciona la importancia de las matemáticas en el desarrollo de programas

computacionales.

2. Determina el procedimiento para emplear funciones, relaciones y grafos en el área

computacional.

3. Con base en lo anterior, elabora un reporte que incluya la solución a los siguientes

ejercicios:

a. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y B= {1, 2, 3, 4} para cada uno de los

siguiente incisos indica si la relación que se te da también es una función, en

caso de serlo determina su dominio y su rango, verifica si la relación es

inyectiva, suprayectiva y/o biyectiva.

http://bbsistema.tecmilenio.edu.mx/bbcswebdav/institution/UTM/semestre/profesional/ma/ma13104/bb/tema13.htm#act13a


R={(a,1), (b,2),(c,4),(d,3)}

R={(a,1), (b,1),(c,1),(d,1)}

R={(a,2), (a,3),(b,1),(b,4)}

R={(a,3), (b,3),(c,4),(d,4)}

b. Sean A=B=C=D=R, f: A -> B, g: B -> C, h: C -> D definidas de la siguiente

manera: f(a) = 5a +2a3, g(b) = b3, h(c) = c+6. Obtén:

g º f(3)

f º g(x-4)

g º f º h(-x)

f º g º h(x+1)

c. Traza un grafo sobre el mapa de la república mexicana, donde los nodos van a

representar las capitales de los estados del norte: Baja California, Sonora,

Chihuahua, Coahuila, Nuevo León y Tamaulipas. Las aristas van a estar

representadas por las carreteras que conectan a las ciudades, investiga cuáles

carreteras existen para ir de una ciudad a las demás, sí es que existe una

carretera directa y cuánto miden en kilómetros, de tal forma que tu grafo se

convierta en un grafo ponderado. A cada una de las aristas asígnale un

identificador aparte de su medida en kilómetros. Determina lo siguiente:

¿Es un grafo simple?

¿Es un grafo convexo?

Obtén las matrices de incidencia y adyacencia del grafo.

¿Qué valencia tiene cada uno de los vértices?

Obtén la ruta más corta mediante el algoritmo de Dijkstra del nodo que

representa la ciudad de Monterrey hacia los demás nodos.

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