1 Programa de estudio: Matemticas Bsicas Unidad 1: lgebra 1.1Sistema de nmeros reales 1.2Smbolos de desigualdad 1.3Valor absoluto 1.4Fracciones 1.5Exponentes enteros positivos 1.6Radicales 1.7Expresiones algebraicas 1.7.1Suma 1.7.2Resta 1.7.3Multiplicacin 1.7.4Divisin 1.8Factorizacin 1.8.1Caso I: Factor comn 1.8.2Caso II: Factor comn por agrupacin de trminos 1.8.3Caso III: Diferencia de cuadrados perfectos 1.8.4Caso IV: Trinomio cuadrado perfecto 1.8.5Caso V: Trinomio de la forma x2+bx+c 1.8.6Caso VI: Trinomio de la forma ax2+bx+c 1.9Ecuaciones 1.9.1Solucin de ecuaciones de primer grado 1.9.2Ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitas -Igualacin -Sustitucin -Reduccin -Determinantes 1.9.3Ecuaciones simultneas de primer grado con tres incgnitas -Reduccin -Determinantes 1.9.4Solucin de ecuaciones de segundo grado -Frmula general -Factorizacin 2 Unidad 2: Funciones matemticas 2.1 Naturaleza y notacin de las funciones 2.2 Consideraciones de dominio y rango 2.3 Funciones multivariadas 2.4 Tipos de funciones -Constantes -Lineales -Cuadrticas -Cbicas -Polinomiales -Racionales -Exponenciales -Logartmicas -Compuestas -Implcitas Unidad 3: lgebra matricial 3.1 Tipos especiales de matrices -Vector -Matriz cuadrada -Matriz identidad -Traspuesta de una matriz 3.2 Operaciones con matrices 3.2.1Adicin y sustraccin 3.2.2Multiplicacin por escalares 3.2.3Producto interno 3.2.4Multiplicacin de matrices 3.3 Representacin de sistemas de ecuaciones 3.4 El mtodo de cofactores -Mtodo de expansin por cofactores 3.5 La inversa de una matriz -Procedimiento de reduccin gaussiana -Procedimiento de cofactores 3 Bibliografa: lgebra Baldor, A Publicaciones Cultural Matemticas Aplicadas para Administracin, Economa y Ciencias Sociales. Budnick, Frank S. Tercera Edicin Ed. Mc Graw Hill 4 Unidad 1: lgebra lgebraeslaramadelaMatemticaqueestudialacantidadconsideradadel modo ms general posible. 1.1 Sistema de nmeros reales Elsistemadenmerosrealesestconstituidopornmerosracionalese irracionales. Los nmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como la razn,ococientededosenteros,siendoeldivisorunenteronocero.En consecuencia, un nmero racional esaquel que puede expresarse en la forma a/b donde a y b son enteros y b no es 0. Dado que cualquierenteroapuedeescribirseen forma de cocientea/1, todos los enteros son adems nmeros racionales. Los nmeros irracionales sonnmeros realesque nopuedenexpresarse comola razn de dos enteros. Elconjuntodenmerosrealespuederepresentarsepormediodeunarecta numrica.Larectatieneunpuntocero,denominadoorigen,quesirvepara representarelnmeroreal0.Acadapuntodelarectanumricacorrespondeun nmero real. 1.2 Smbolos de desigualdad Lossmbolosdedesigualdad> b se lee aes mayorque b,estaproposicin implica que en la recta numrica a est situada a la derecha de b. 1.3 Valor Absoluto Elvalorabsolutodeunnmerorealeslamagnitudotamaodelnmerosinel signo. La notacin aexpresa el valor absoluto de a. 5 1.4 Fracciones Adicin y sustraccin de fracciones Regla1:Denominadorescomunes.Sidosfraccionestienenelmismo denominador,susuma(diferencia)seobtienesumando(restando)sus numeradores y poniendo el resultado sobre el comn denominador. Regla2:Denominadoresdiferentes.Parasumar(restar)dosfraccionesde diferentesdenominadores,sereformulancomofraccionesequivalentesque tengan el mismo denominador. La suma (diferencia) se calcula despus aplicando para ello la regla 1, Alaplicarlaregla2,cualquierdenominadorcomnpuedeidentificarsecuandose obtenganlasfraccionesequivalentes.Sinembargo,seacostumbraidentificarel mnimo comn mltiplo (mcm) o el mnimo comn denominador (mcd). Elprocedimientoconqueseobtieneelmnimocomndenominadoresel siguiente: 1.Escribe cada denominador en una forma completamente factorizada. 2.Elmnimocomndenominadoresunproductodelosfactores.Para obtenerlo,cadafactordistintoseincluyeelmayornmerodevecesque aparece en cualquiera de los denominadores. Multiplicacin y divisin de fracciones Multiplicacin:Elproductodedosomsfraccionesseencuentradividiendoel producto de sus numeradores entre el de sus denominadores. Es decir, bdacdcba= Divisin:Elcocientededosfraccionessimplespuededeterminarseinvirtiendola fraccindeldivisorymultiplicandoelcocienteporlafraccindeldividendo.Es decir, 6 bcaddcba= / 1.5 Exponentes enteros positivos Cuando un nmero real a se multiplica por s mismo, a ese producto lo denotamos mediantea a.o bienaa . Si el mismo nmero se multiplica por s mismo 5 veces, el producto se expresa conaaaaa. Una notacin abreviada que puede utilizarse para expresar estos productos es: 2a aa =5a aaaaa = Elnmeroescritoarribayaladerechadearecibeelnombredeexponente.El exponente indica el nmero de veces que a se repite como factor. Eltrmino na puedeexpresarseconpalabrascomoaelevadaalan-sima potencia,dondeseconsideraqueaeslabaseyqueneselexponenteo potencia. Leyes de los exponentes I n m n ma a a+= II mn n ma a = ) (III n n nb a ab = ) (IV n mnmaaa=donde0 = aVnba|.|

\|= nnba 1.6 Radicales Leyes de radicales I( ) a ann=II n n nx b a x b x a ) (+ = +7 III n n nb a ab =IV nnnbaba=para0 = bV( )n mmn n mb b b = =/ 1.7 Expresiones algebraicas Las constantes son cantidades o magnitudes cuyo valor no cambia. Una constante puederepresentarseconunaletraoconelnmerorealqueequivalgaala constante. Lasvariables son cantidades cuyovalorpuede cambiar.Generalmente se simbolizan por medio de letras. Laexpresinalgebraicaesunconjuntodeconstantesyvariablesunidasporuna seriedeadiciones,sustracciones,multiplicaciones,divisiones,signosradicalesy parntesis o smbolos de agrupamiento. Por ejemplo 75 10 53 2+ x y x esunaexpresinalgebraica. Estaexpresin constade tres trminosy x25 , 310x y 75. Un trmino se compone de un solo nmero o del producto de un nmero y las potencias deunaomsvariables. El trminoy x25se componede los factores 5, 2xyy . El factor constante5 recibe el nombre de coeficiente del trmino. Un polinomio es la suma de uno o ms trminos, con las siguientes restricciones: -Lostrminosdeunpolinomioconstandeunnmeroodelproductodeun nmeroylaspotenciasenteraspositivasdeunaomsvariables.Esta definicinexcluye trminos quetenganvariables bajoun signo radicalo los que contengan variables en el denominador. -Un polinomio integrado por un trmino se denomina monomio. El que tenga dostrminosrecibeelnombredebinomio.Siconstadetrestrminosse llama trinomio. Se da el nombre de polinomio a la expresin algebraica que tenga ms de tres trminos.

El gradode un trminoesla sumade losexponentesde lasvariables contenidas enl.Enelcasodeunoqueincluyaunavariable,elgradoessimplementeel 8 exponente de esta ltima. Ademsdelaclasificacindelostrminosporelgrado,lospolinomiospueden clasificarseatendiendoasugrado.Elgradodeunpolinomiosedefinecomoel grado del trmino de mayor grado en l. 1.7.1 Suma o adicin Lasumaoadicinesunaoperacinquetieneporobjetoreunirdosoms expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresin algebraica (suma). Reglageneralparasumar:Parasumardosomsexpresionesalgebraicasse escriben unas a continuacin de las otras con sus propios signos y se reducen los trminos semejantes, si los hay. 1. Suma de monomios: 3 2 2 3 2 2 2 26 11 4 6 7 4 3 b ab b a b ab b a ab b a + + = + + + +2. Suma de polinomios:c b a b a c b a b a + = + + + + 7 ) 5 4 ( ) 3 2 ( ) ( 1.7.2 Resta o sustraccin Larestaosustraccinesunaoperacinquetieneporobjeto,dadaunasumade dossumandos(minuendo)yunodeellos(sustraendo),hallarelotrosumando (resta o diferencia). Reglageneralpararestar:seescribeelminuendoconsuspropiossignosya continuacinelsustraendoconlossignoscambiadosysereducentrminos semejantes, si los hay. 1)Resta de monomios: Restarb a24deb a25 = b a b a2 24 5 =b a29 2)Resta de polinomios: Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar delminuendocadaunodelostrminosdelsustraendo,asquea continuacin del minuendo escribiremos el sustraendo cambindole el signo atodossustrminos.Dez y x + 3 4 restar6 5 2 + z x6 4 3 2 6 5 2 3 4 ) 6 5 2 ( 3 4 + = + + = + + = z y x z x z y x z x z y xAlsumaryrestarpolinomios,combinamostrminossemejantes.Lostrminos semejantessonaquellosquecontienenlasmismasvariableselevadasauna 9 mismapotencia.Seconsideraquelostrminosx 3 yx 4 sonsemejantespor conteneramboslavariablex elevada(implcitamente)asuprimerapotencia.El hecho de que sus coeficientes (3 y4) sean diferentes no influye en la semejanza delostrminos.Todaslasconstantesrealessonconsideradascomotrminos semejantes. Cuandosesumanorestanpolinomios,puedencombinarsetrminosyobtenerse una forma ms simple. As los trminos semejantesx 4yx 3se sumarn del siguiente modo: x x x 7 3 4 = + Lostrminosnosemejantesnopuedencombinarseenunaformamssimple(el conocidoproblemadesumarperrosygatos).Lasumay x 2 5 + nopuede escribirse en una forma ms simple. Cuando se sumano restan polinomios, se identificarny combinarn los trminos semejantes.Lostrminosnosemejantessesumanoserestancomoseha indicado. 1.7.3 Multiplicacin Lamultiplicacinesunaoperacinquetieneporobjeto,dadasdoscantidades llamadasmultiplicandoymultiplicador,hallarunaterceracantidad,llamada producto. Ley de los signos 1)Signo del producto de dos factores: signos iguales dan + y signos diferentes dan -.2)Signo del producto de ms de dos factores:a)Elsignodelproductodevariosfactoresespositivocuandotieneun nmero par de factores negativos o ninguno. b)El signodel producto devarios factoresesnegativo cuando tieneun nmero impar de factores negativos. 10 Ley de los exponentes Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Ley de los coeficientes Elcoeficientedelproductodedosfactoreseselproductodeloscoeficientesde los factores. 1)Multiplicacin de monomios: Se multiplican los coeficientes y a continuacin deesteproductoseescribenlasletrasdelosfactoresenordenalfabtico, ponindoleacadaletraunexponenteigualalasumadelosexponentes quetengaenlosfactores.Elsignodelproductovendrdadoporlaleyde los signos. 5 3 26 ) 3 )( 2 ( a a a = 2)Multiplicacindepolinomiospormonomios:Semultiplicaelmonomiopor cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regladelossignos,yseseparanlosproductosparcialesconsuspropios signos. ax ax ax ax x x 28 24 12 ) 4 )( 7 6 3 (2 3 2+ = + 3)Multiplicacindepolinomiosporpolinomios:Semultiplicantodoslos trminosdelmultiplicandoporcadaunodelostrminosdelmultiplicador, teniendoencuentalaleydelossignos,ysereducenlostrminos semejantes. 12 ) 3 )( 4 (2 = + a a a a 1.7.4 Divisin Ladivisinesunaoperacinquetieneporobjeto,dadoelproductodedos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Ley de los signos Signos iguales dan + y signos diferentes dan -. 11 Ley de los exponentes Paradividirpotenciasdelamismabasesedejalamismabaseyseponede exponenteladiferenciaentreelexponentedeldividendoyelexponentedel divisor. Ley de los coeficientes Elcoeficientedelcocienteeselcocientededividirelcoeficientedeldividendo entre el coeficiente del divisor. 1)Divisindemonomios:Sedivideelcoeficientedeldividendoentreel coeficientedeldivisoryacontinuacinseescribenenordenalfabticolas letras,ponindoleacadaletraunexponenteigualaladiferenciaentreel exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. 22 328xyy x = 24x 2)Divisindepolinomiospormonomios:Sedividecadaunodelostrminos delpolinomioporelmonomioseparandoloscocientesparcialesconsus propios signos.

xx x x26 8 42 3+ =3 4 22+ x x3)Divisindedospolinomios:Seordenaneldividendoyeldivisorcon relacinaunamismaletra.Sedivideelprimertrminodeldividendoentre elprimerodeldivisorytendremoselprimertrminodelcoci ente.Este primer trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se restadeldividendo,paralocualselecambiaelsigno,escribiendocada trmino debajo de su semejante. Si algn trmino de este producto no tiene trminosemejanteeneldividendoseescribeenellugarquele correspondadeacuerdoconlaordenacindeldividendoyeldivisor.Se divideelprimertrminodelrestoentreelprimertrminodeldivisory tendremoselsegundotrminodelcociente.Estesegundotrminodel cocientesemultiplicaportodoeldivisoryelproductoserestadel dividendo,cambiandolossignos.Sedivideelprimertrminodelsegundo resto entre el primero del divisor y se efectan las operaciones anteriores; y as sucesivamente hasta que el residuo sea cero. 12 28 2 32+ +xx x=4 3 x

1.8 Factorizacin Sellamanfactoresodivisoresdeunaexpresinalgebraicaalasexpresiones algebraicas que multiplicadas entre s dan como producto la primera expresin. Descomponerenfactoresofactorarunaexpresinalgebraicaesconvertirlaenel producto indicado de sus factores. 1.8.1 Caso I: Factor Comn ) 2 ( 22+ = + a a a a) 3 1 ( 10 30 102ab b ab b = 1.8.2 Caso II: Factor comn por agrupacin de trminos ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( b a y x b a y b a x by ay bx ax by ay bx ax + + = + + + = + + + = + + +

1.8.3 Caso III: Diferencia de cuadrados perfectos Reglaparafactorarunadiferenciadecuadrados:Seextraelarazcuadradaal minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo. ) 5 4 )( 5 4 ( 25 162 2 4 2y x y x y x + = 1.8.4 Caso IV: Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Razcuadradadeunmonomio:paraextraerlarazcuadradaaunmonomiose extrae la raz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2. 13 Un trinomioes cuadradoperfecto cuandoesel cuadrado de un binomio,o sea,el producto de dos binomios iguales. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: Un trinomio ordenado con relacinaunaletraescuadradoperfectocuandoelprimeroyeltercerotrminos son cuadradosperfectos (o tienen raz cuadradaexacta)ypositivos,yel segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas. Reglaparafactoraruntrinomiocuadradoperfecto:Seextraelarazcuadradaal primeroytercertrminosdeltrinomioyseseparanestasracesporelsignodel segundotrmino. El binomioas formado, quees la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado. 2 2) 1 ( 1 2 + = + + m m m2 2 2) 5 2 ( 25 20 4 y x y xy x = + 1.8.5 Caso V: Trinomio de la forma x2 + bx + c Son trinomios como: 6 52+ + x x15 22 a a

que cumplen las condiciones siguientes: 1.El coeficiente del primer trmino es 1. 2.El primer trmino es una letra cualquiera elevada al cuadrado. 3.Elsegundotrminotienelamismaletraqueelprimeroconexponente1y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 4.Eltercertrminoesindependientedelaletraqueapareceenelprimeroy segundo trminos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Regla para factorar un trinomio de la forma x2 + bx + c: 1.Eltrinomiosedescomponeendosfactoresbinomioscuyoprimertrmino 14 es x, o sea la raz cuadrada del primer trmino del trinomio. 2.Enelprimerfactor,seescribeelsignodelsegundotrminodeltrinomio,y enel segundo factor, seescribeel signoque resulta demultiplicarel signo del segundo trmino del trinomio por el signo del tercer trmino del trinomio.3.Silosdosfactoresbinomiostienensignosigualessebuscandosnmeros cuyasumaseaelvalorabsolutodelsegundotrminoycuyoproductosea elvalorabsolutodeltercertrminodeltrinomio.Estosnmerossonlos segundos trminos de los binomios. 4.Silosdosfactorestienensignosdistintossebuscandosnmeroscuya diferenciaseaelvalorabsolutodelsegundotrminodeltrinomioycuyo productoseaelvalorabsolutodeltercertrminodeltrinomio.Elmayorde estosnmeroseselsegundotrminodelprimerbinomio,yelmenor,el segundo trmino del segundo binomio. ) 2 )( 3 ( 6 52+ + = + + x x x x) 3 )( 4 ( 12 72 = + x x x x 1.8.6 Caso VI: Trinomio de la forma ax2 + bx + c Son trinomios de esta forma: 5 11 22+ + x x2 102 n n que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer trmino tiene un coeficiente distinto de 1. Pasos para factorar un trinomio de la forma ax2 + bx + c 3 7 62 x x Se multiplicael trinomioporel coeficientedex2,dejando indicadoel productodel segundo termino: 18 ) 7 ( 6 362 x x 15 Descomponiendoestetrinomiotalcomosevioenelcasoanterior,elprimer trmino de cada factor ser la raz cuadrada del primer trmino del trinomio. Ahora necesitamos encontrar dos nmeros cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18. ) 2 6 )( 9 6 ( + x x Como al principio multiplicamos el trinomio por 6, ahora tenemos que dividir por 6, para no alterar el trinomio, y tendremos: 6) 2 6 )( 9 6 ( + x x pero como ninguno de los binomios es divisible por 6, descomponemos 6 en 3 x 2, se tendr: 2 3) 2 6 )( 9 6 (xx x + =) 1 3 )( 3 2 ( + x x 1.9 Ecuaciones La ecuacin es una forma abreviada de decir que dos expresiones algebraicas son iguales. Reglas para manipular ecuaciones 1.Sepuedensumaraambosmiembrosdeunaecuacindevaloresreales que sean iguales. 2.Ambosmiembrosdeunaecuacinsepuedenmultiplicarodividirseentre cualquier constante no cero. 3.Ambosmiembrosdeunaecuacinpuedenmultiplicarseporunacantidad que contenga variables. 4.Ambos miembros de una ecuacin pueden elevarse al cuadrado. 5.Ambosmiembrosdeunaecuacinpuedendividirseentreunaexpresin que contenga variables a condicin de que la expresin no sea 0. 16 1.9.1 Solucin de ecuaciones de primer grado El procedimiento con que se resuelven las ecuaciones se basa en la naturaleza de la ecuacin. Pongamos el caso de ecuaciones de primer grado que contienen una variable. Por ejemplo: 5 2 3 = x xx x + = 12 4 5 Las soluciones de ecuaciones de esta forma es relativamente fcil. Si se recurre a las reglasapropiadas demanipulacin,elprocedimiento consiste simplementeen aislarlavariableaunmiembrodelaecuacinytodaslasconstantesenelotro miembro. Problemas sobre ecuaciones de primer grado La suma de las edades de A y B es 84 aos, y B tiene 8 aos menos que A. Hallar ambas edades. Sea x = edad de A. Como B tiene 8 aos menos que A: Edad de8 = x B La suma de ambas edades es 84 aos, la ecuacin es:84 8 = + x x Resolviendo 4 84 2 + = x 92 2 = x46292= = xaos, edad de A. La edad de B ser:38 8 46 8 = = xaos. Pagu $87 porunlibro, un trajeyun sombrero. El sombrero cost$5ms queel libro y $20 menos que el traje. Cunto pagu por cada cosa? 17 Sea x el precio del sombrero. Como el sombrero cost $5 ms que el libro, el precio del libro es:5 x Ydadoqueelsombrerocuesta$20menosqueeltraje,elpreciodeltrajees: 20 + x El precio de estas tres cosas suma 87, la ecuacin es:87 20 5 = + + + x x x Resolviendo: 20 5 87 3 + = x72 3 = x24 $372= = xprecio del sombrero El precio del libro ser:19 $ 5 24 5 = = x Y el precio del traje ser:44 $ 20 24 20 = + = + x 1.9.2 Ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitas Dosomsecuacionescondosomsincgnitassonsimultneascuandose satisfacen para iguales valores de las incgnitas. Un sistemadeecuacioneses la reuninde dosomsecuaciones con dosoms incgnitas. La solucin de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incgnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitasesnecesarioobtenerdelasdosecuacionesdadasunasolaecuacin con una incgnita. Esta operacin se llama: Eliminacin. 18 Mtodos de eliminacin ms usuales: igualacin, sustitucin y reduccin. I. Eliminacin por igualacin 13 4 7 = + y x(1) 19 2 5 = y x(2) Despejamos cualquiera de las incgnitas en ambas ecuaciones: Despejando x en (1): x = 74 13 y Despejando x en (2): x = 52 19 y + Ahora se igualan entre s los dos valores de x que hemos obtenido: 74 13 y = 52 19 y + yyatenemosunasolaecuacinconunaincgnita;hemoseliminadolax. Resolviendo esta ecuacin: ) 2 19 ( 7 ) 4 13 ( 5 y y + = y y 14 133 20 65 + = 65 133 14 20 = y y68 34 = y3468= y2 = y Sustituyendoestevalordeyencualquieradelasecuacionesdadas(enlams sencilla), se tiene: 13 ) 2 ( 4 7 = + x13 8 7 = x8 13 7 + = x21 7 = x19 721= x3 = x

II Eliminacin por sustitucin 13 4 7 = + y x(1) 19 2 5 = y x(2) Despejamoscualquieradelasincgnitas,porejemplox,enunadelas ecuaciones, vamos a despejarla en la ecuacin (1). Tendremos: 74 13 yx= Este valor de x se sustituye en la ecuacin (2) 19 274 135 = |.|

\| yy y ya tenemos una ecuacin con una incgnita: hemos eliminado la x. Resolvamos esta ecuacin: 2343868 3465 133 14 2014 133 20 65) 7 )( 2 19 ( 20 652 19720 6519 2720 65 = == = + = + = + == |.|

\| yyyy yy yy yyyyy

Sustituyendo2 = y encualquieradelasecuacionesdadas,porejemploen(1), se tiene; 20 13 ) 2 ( 4 7 = + x13 8 7 = x8 13 7 + = x21 7 = x721= x3 = x III Mtodo de reduccin 13 4 7 = + y x(1) 19 2 5 = y x(2) En este mtodo se hacen iguales los coeficientes de una de las incgnitas. Vamos a igualar y en ambas porque es lo ms sencillo. Paraigualarloscoeficientesdeymultiplicamoslasegundaecuacinpor2y tendremos: 51 1738 4 1013 4 7= = = +xy xy x

1751= x3 = x

Sustituyendo3 = x encualquieradelasecuacionesdada,porejemploen(1),se tiene: 13 4 ) 3 ( 7 = + y13 4 21 = + y 21 13 4 = y8 4 = y48 = y 2 = y 21 Determinante Si del producto de ab restamos el producto cd, tendremos la expresin ab cd. Esta expresin puede escribirse con la siguiente notacin: ab cd = ca bd La expresinca bd es una determinante. Lascolumnasdeunadeterminanteestnconstituidasporlascantidadesque estn en una misma lnea vertical. Lasfilasestnconstituidasporlascantidadesqueestnenunamismalnea horizontal. Una determinante es cuadrada cuando tiene el mismo nmero de columnas y filas. Elorden deuna determinante cuadradaesel nmerodeelementos de cada filao columna. As, ca bd

es una determinante de segundo orden. En la determinante ca bd

la lneaqueunea con bes ladiagonal principaly la lnea que unea c con des la diagonal secundaria. 22 Loselementosdeestadeterminantesonlosproductosabycd,acuyadiferencia equivale esta determinante. Desarrollo de una determinante de segundo orden. Unadeterminantedesegundoordenequivalealproductodelostrminosque pertenecenaladiagonalprincipal,menoselproductodelostrminosque pertenecen a la diagonal secundaria. Resolucinpordeterminantesdeunsistemadedosecuacionescondos incgnitas. 2 2 21 1 1c y b x ac y b x a= += + Resolviendo este sistema se tiene: 1 2 2 11 2 2 1b a b ab c b cx=1 2 2 11 2 2 1b a b ac a c ay= Observequeambasfraccionestienenelmismodenominadora1b2 -a2b1yesta expresin es el desarrollo de la determinante 21aa 21bb

formada con los coeficientes de las incgnitas. El numerador dex ,,1 2 2 1b c b c es el desarrollo de la determinante 21cc 21bb Elnumerador dey ,,1 2 2 1c a c a es el desarrollo de la determinante 21aa 21cc Por lo tanto, los valores de x e y, pueden escribirse: 23 2 21 12 21 1b ab ab cb cx =2 21 12 21 1b ab ac ac ay = Vistoloanterior,podemosdecirquepararesolverunsistemadedosecuaciones con dos incgnitas por determinantes: 1.El valor de x es una fraccin cuyo denominador es la determinante formada conloscoeficientesdexey(determinantedelsistema)ycuyonumerador esladeterminantequeseobtienesustituyendoenladeterminantedel sistema la columna de los coeficientes dex por la columna de los trminos independientes de las ecuaciones dadas. 2.Elvalordeyesunafraccincuyodenominadoresladeterminantedel sistemaycuyonumeradoresladeterminantequeseobtienesustituyendo enladeterminantedelsistemalacolumnadeloscoeficientesdeyporla columna de los trminos independientes de las ecuaciones dadas. 19 2 513 4 7= = +y xy x 33410220 1476 26) 4 )( 5 ( ) 2 )( 7 () 4 )( 19 ( ) 2 )( 13 (2 54 72 194 13== = == x 2346820 1465 133) 4 )( 5 ( ) 2 )( 7 () 13 )( 5 ( ) 19 )( 7 (2 54 719 513 7 == = == y 1.9.3 Ecuaciones simultneas de primer grado con tres o ms incgnitas Pararesolverunsistemadetresecuacionescontresincgnitasseproponeeste modo: 24 1.Secombinandosdelasecuacionesdadasyseeliminaunadelas incgnitas (lo ms sencillo es eliminarla por reduccin) y con ello se obtiene una ecuacin con dos incgnitas. 2.Secombinanlaterceraecuacinconcualquieradelasotrasdos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incgnita que se elimin antes, obtenindose otra ecuacin con dos incgnitas. 3.Seresuelveelsistemaformadoporlasdosecuacionescondosincgnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incgnitas.4.Losvaloresdelasincgnitasobtenidossesustituyenenunadelas ecuacionesdadasdetresincgnitas,conlocualsehallalatercera incgnita. 6 4 = + z y x(1) 9 7 5 2 = + z y x(2) 2 2 3 = + z y x(3) Combinamoslaecuacin(1)y(2)yvamosaeliminarlax.Multiplicandola ecuacin (1) por -2 se tiene: 12 2 8 2 = + z y x 21 5 39 7 5 2 = = +z yz y x Combinandolaterceraecuacin(3)concualquieradelasotrasdosecuaciones dadas. Vamos a combinarla con la (1). Multiplicando (1) por 3 tenemos: 18 3 12 3 = + z y x16 4 142 2 3 = + = + z yz y x

Ahoratomamos lasdosecuaciones con dos incgnitasquehemosobtenido (4)y (5), y formamos un sistema: 21 5 3 = z y(4) 16 4 14 = + z y(5) 25 Resolvamoseste sistema. Vamosaeliminar la zmultiplicando (4) por4y (5) por 5: 164 8280 20 7084 20 12 = = + = yz yz y- 82164= y 2 = y Sustituyendo2 = yen (4) se tiene: 21 5 ) 2 ( 3 = z21 5 6 = z6 21 5 + = z15 5 = z515= z3 = z Sustituyendo, 2 = y 3 = z encualquieradelasecuacionesdadas,porejemploen (1), se tiene: 6 ) 3 ( ) 2 ( 4 = + x 6 3 8 = + x3 8 6 + = x1 = x Empleodelasdeterminantesenlaresolucindeunsistemadetresecuaciones con tres incgnitas. Determinante de tercer orden Un determinante como 26 3 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b a que consta de tres filas y tres columnas, es una determinante de tercer orden. Elmodomssencillodehallarelvalorabsolutodeunadeterminantedetercer ordenesaplicandolaRegladeSarrus.Explicaremosestasencillareglaconun ejemplo. 3 1 51 2 43 2 1 Debajo de la fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos 1 -2 -3 -421 5 -13 1 -2 -3 -421 Ahoratrazamostresdiagonalesdeizquierdaaderechaytresdederechaa izquierda: 1 -2 -3 -421 5 -13 1 -2 -3 -421 Ahora se multiplican entre s los tres nmeros por que pasa cada diagonal. Losproductosde los nmeros que hayen las diagonalestrazadasde izquierdaa derecha seescriben con su propio signoy losproductos delosnmerosquehay 27 en las diagonalestrazadas dederechaa izquierda conel signo cambiado. Asen este caso, tenemos: 6 12 10 + 30 + 1 24 = -9 Resolucinpordeterminantesdeunsistemadetresecuacionescontres incgnitas Pararesolverunsistemadetresecuacionescontresincgnitas,por determinantes se aplica la regla de Kramer que dice: Elvalordecadaincgnitaesunafraccincuyodenominadoresladeterminante formadaconloscoeficientesdelasincgnitas(determinantedelsistema)ycuyo numeradoresladeterminante que seobtiene sustituyendoenladeterminantedel sistemala columnade los coeficientes de la incgnitaque se hallapor la columna de los trminos independientes de las ecuaciones dadas. 2 2 39 7 5 26 4= + = += +z y xz y xz y x

1 2 37 5 21 4 11 2 27 5 91 4 6 = x 28 182828 14 15 84 4 536 84 10 56 18 307 5 21 4 11 2 37 5 21 4 17 5 91 4 61 2 27 5 91 4 6== + ++ + = = x 1 2 37 5 21 4 11 2 37 9 21 6 1 = y 2821648 14 15 84 4 512 14 27 126 4 97 5 21 4 11 2 37 5 21 4 17 9 21 6 11 2 37 9 21 6 1== + + + = = y 1 2 37 5 21 4 12 2 39 5 26 4 1= z29 3822468 14 15 84 4 516 18 90 108 24 107 5 21 4 11 2 37 5 21 4 19 5 26 4 12 2 39 5 26 4 1== + + == z 1.9.4 Solucin de ecuaciones de segundo grado Ecuacindesegundogradoestodaecuacinenlacual,unavezsimplificada,el mayor exponente de la incgnita es 2. Una ecuacin de segundo grado con la variable x tiene la forma generalizada: 02= + + c bx ax donde a, b y c son constantes con la condicin adicional de que a = 0. Si a es igual acero,eltrminox2desapareceylaecuacinyanoesdesegundogrado. Ejemplos de este tipo de ecuacin: 0 1 2 2 6 = + x x12 32= x9 5 1 22+ = x x Alasecuacionesdesegundogradosuelellamrselesecuacionescuadrticas. Unaecuacincuadrtica(excluidaunaidentidad)puedetenerracesnoreales, unarazrealodosracesreales.Seusanvariosprocedimientosparadeterminar las races de una ecuacin cuadrtica. El primer paso, es rescribir la ecuacin en la forma02= + + c bx ax . Resolucindeecuacionescompletasdesegundogradoaplicandofrmula 30 general. 0 2 7 32= + x x Aplicamos la frmula aac b bx242 = Aqu a = 3, b = -7 y c = 2, luego sustituyendo, tendremos: 65 7625 7624 49 7) 3 ( 2) 2 )( 3 ( 4 ) 7 ( ) 7 (2== = = x 261265 71= =+= x 316265 72= == x

Resolucin de ecuaciones de segundo grado por descomposicin en factores. 0 24 52= + x x

Factorando el trinomio se tiene: 0 ) 3 )( 8 ( = + x x Para que el producto de) 3 )( 8 ( + x xsea cero es necesario que por lo menos uno de estos factores sea cero, es decir la ecuacin se satisface para: 0 8 = + x0 3 = x

Podemos, pues, suponer que cualquiera de los factores es cero. Si, 0 8 = + xse tiene que8 = xY si, 0 3 = xse tiene que3 = x31 Por lo tanto, para resolver una ecuacin de segundo grado por descomposicin en factores: 1.Se simplifica la ecuacin y se pone de la forma: ax2 + bx + c = 0 2.Se factora el trinomio del primer miembro de la ecuacin. 3.Seigualanacerocadaunodelosfactoresyseresuelvenlasecuaciones simples que se obtienen de este modo. 0 ) 1 3 )( 6 3 (0 6 ) 7 ( 3 90 2 7 322= = + = + x xx xx x 01 3) 1 3 )( 6 3 (= xx x 310 1 320 20 ) 1 3 )( 2 (== == = xxxxx x 32 Unidad 2: Funciones matemticas Laaplicacindelasmatemticassebasaenlacapacidaddeencontraruna representacin matemtica adecuada de un fenmeno del mundo real.Un modelo esadecuadosilograincorporarlosatributosocualidadesimportantesdel fenmeno. . En los modelos matemticos, las relaciones significativas suelen representarse por medio de funciones matemticas o, ms simplemente, funciones. Lafuncines,enesencia,undispositivodeentrada-salida.Seproporcionauna entradaaunareglamatemticaquelatransforma(manipula)enunasalida especifica.Pongamosporejemplolaecuacin1 22+ = x x y .Siseintroducen determinadosvaloresdex,laecuacinproducecomosalidalosvalores correspondientesdey.Laecuacindelareglaquepermitetransformarunvalor dexenunvalorcorrespondientedey.Laregladeestaecuacinpodra expresarseconpalabrasenlossiguientestrminos:Setomaelvalordela entradayseelevaalcuadrado,serestaeldobledelvalordeentradaysesuma 1.Para cualquier valor de entrada, se determina un nico valor de salida. Funcin:lafuncinesunareglamatemticaqueasignaacadavalordeentrada un y slo un valor de salida. El dominio de una funcin es el conjunto de todos los posibles valores de entrada. El rango de una funcin es el conjunto de todos los posibles valores de salida. 2.1 Naturaleza y notacin de las funciones Las funciones sugierenqueelvalordeuna cosadependedelvalordeunaoms deellas.Enelmundoquenosrodeaexisteunnmeroincontablederelaciones funcionales.Lacantidaddepersonasqueacudenaunaplayadependerdela temperaturaydeldadelasemana,lacantidadvendidadeunproducto depender de su precio y de los precios de las marcas de la competencia. Ellenguajedelasmatemticastieneunamanerasucintadedescribirlarelacin 33 funcional existente entre las variables, La ecuacin ) (x f y = funcional entre las variables x y y. Una traduccin verbal de la ecuacin anterior es yesigualafdexobienyesunafuncindex.Cuandosedicequeyesuna funcindex,seafirmaqueelvalordelavariableydependedelvalordela variablexyestdeterminadoexclusivamenteporl;xes lavariable deentraday y lavariable de salida. Lospapelesrespectivosdelasdosvariables hacenque la variablexrecibaelnombredevariableindependienteyquealavariableysele llamevariable dependiente. Ay se lellamaaveceselvalor dela funcin. f esel nombre de la funcin. Ejemplo: El departamento de polica deuna ciudad pequea estudia la compra de un carro de patrulla ms. Los analistas de la polica estiman que el costodel carro es de $18 000. Han estimado tambin un costo promedio de operaciones de $0.40 por kilmetro. a)DetermneselafuncinmatemticaquerepresenteelcostototalCdela obtencin y operacin del carro patrulla, en trmino del nmero de kilmetros x que recorra. b)Culeselcostoproyectadosielcarrorecorre50000kilmetrosensu vida til? c)Si recorre 100 000 kilmetros? a) Enesteejemplo, se pretende determinar la funcinque relacioneel costo total Cconloskilmetrosrecorridosx.Heaqulaprimerapregunta:culvariable dependedelaotra?.Sisereleeelproblemaysereflexionaunpocosobrelas variables,sellegaralaconclusindequeelcostototalCeslavariable dependiente, es decir,

000 , 18 40 . 0 ) ( + = = x x f C Elcostototaldelaobtencinyoperacindelapatrullaeslasumadeloscostos de dos componentes: el costo de compra y el costo de operacin. 34 b)Sielcarrorecorre50,000kilmetros,seestimaqueloscostostotalesson iguales a ) 50000 ( f C =000 , 38 $18000 ) 50000 ( 40 . 0=+ =CC c) De manera semejante en un recorrido de 100 000 millas. ) 100000 ( f C =000 , 58 $18000 ) 100000 ( 40 . 0=+ =CC 2.2 Consideraciones de dominio y rango Eldominiodeunafuncinsedefinicomoelconjuntodetodoslosposibles valoresdeentrada.Nosconcentramosenlasfuncionesdevaloresrealesdela variableindependientepara los cuales lavariabledependiente sedefineyes real. Cuandosequieredeterminareldominio,suelesermsfcilidentificartodoslos valoresquenoestnincluidoseneldominio(estoes,seencuentranlas excepciones).Siseconoceeldominio,elrango(recorrido)deunafuncinesel conjunto correspondiente de valores de la variable dependiente. Algunas veces es ms difcil definir el rango que el dominio. Dominio y rango restringidos Antesseexpusieronlosconceptosdedominioyrangoenunsentidopuramente matemtico.Enlaprctica,puedehabercondicionesdelaaplicacinque restrinjananmseldominioyrangodeunafuncin.Volviendoalejemplodel carropatrulla,eldominiomatemticodelafuncindecosto 000 , 18 40 . 0 ) ( + = = x x f Cincluye cualquiervalor realdex. Noobstante,dentrodel contextodelaaplicacinhabraqueestablecerlarestriccindequexnoadopte valoresnegativos(noexistenkilmetrosnegativosrecorridos).Adems,siel departamento tiene una poltica de que ninguna patrulla recorrer ms de 150 000 kilmetros, entonces x quedar restringida a valores no mayores a 150 000. Y, por lo tanto, el dominio restringido de la funcin en esta aplicacin es35 150000 0 s s x Elrangorestringidodeestafuncindecosto,alaluzdelasrestriccionesdex, ser: 78000 $ 18000 $ s s C 2.3 Funciones multivariadas Enmuchasfuncionesmatemticaselvalordeunavariabledependientedepende demsdeunavariableindependiente.Sedaelnombredefunciones multivariadas a las que contienen ms de una variable independiente. En la mayor partede lasaplicacionesdelmundoreal, las funciones multivariadas son lasms adecuadas.Porejemplo,afirmarquelasutilidadesdependenslodeunidades vendidasesunasimplificacindelasituacin.Casisiempremuchasvariables interactan y, des este modo, determinan las utilidades de una empresa. Una forma cmoda de representar funciones multivariadas es servirse de variables consubndice.Unaformageneraldedenotarunafuncindondeelvalordeuna variabledependienteydependedelvalordenvariablesindependientesesla siguiente: ) ,..., , , (3 2 1 nx x x x f y = Elsubndiceeselndicepositivoenterosituadoaladerechadecadaxydebajo deella. El ndice simplemente numera lasvariables independientesynospermite distinguirlas. 2.4 Tipos de funciones. Funciones constantes: una funcin constante tiene la forma general 0) ( a x f y = = donde 0aes un nmero real. Por ejemplo, la funcin 36 20 ) ( = = x f y esuna funcin constante. Cualquieraque seaelvalor dex,el rangotieneun solo valor de 20. Unconceptoimportanteeneconomaeselingresomarginal.Elingresomarginal eselingresoadicionalobtenidoconlaventadeunaunidadmsdeproductoo servicio. Si cada unidad de producto se vende al mismo precio, el ingreso marginal siempreesigualalprecio.Porejemplo,siunproductosevendea$7.50dlares porunidad,la funcindeingreso marginal (IM)puedeexpresarse como la funcin constante 5 . 7 ) ( = = x f IM Funciones lineales: una funcin lineal tiene laforma general 0 1) ( a x a x f y + = = donde 0ay 1ason nmeros reales. Loscontadoresyeconomistasamenudodefinenelcostototalapartirdedos componentes: costo totalvariabley costototal fijo. Esos dos componentes han de sumarseparadeterminarelcostototal.As,elcostodeobteneryoperarelcarro patrulla es un caso de una funcin lineal del costo total. La funcin de costo 000 , 18 40 . 0 ) ( + = = x x f C representaloscostosvariablesmedianteeltrminox 40 . 0 yloscostosfijos mediante el trmino 18,000. Funciones cuadrticas: una funcin cuadrtica tiene la forma general 0 122a x a x a y + + =donde , 2a1ay 0ason nmeros reales y02 = a . 37 Lafuncindedemandaesunarelacinmatemticaqueexpresalaformaenla quelacantidaddelademandadeunproductovarasegnelprecioenquese venda, La funcin de demanda de un producto determinado es 1225 70) (2+ ==p p qp f qdd donde dq eselnmerodeunidadesdemandadasy p eselprecio.Ntesequela funcindedemandatieneformacuadrtica.Deacuerdoconestafuncin,la cantidad de la demanda a un precio de $10 se espera que sea igual a 625 ) 10 (1225 700 100 ) 10 (1225 ) 10 ( 70 10 ) 10 (2=+ =+ =fff Funciones cbicas: una funcin cbica tiene la forma general 0 12233) ( a x a x a x a x f y + + + = = donde , 3a, 2a1ay 0a son nmeros reales y03 = aEjemplo: Unaepidemiaest propagndosea travs de unestado deunpas. Los oficialesdesalubridadestimanqueelnmerodepersonasquelacontraernes unafuncindeltiempotranscurridodesdequesedescubrilaepidemia.En concreto, la funcin es 2 320 300 ) ( t t t f n = = donden eselnmerodepersonasenfermasy, 30 0 s < t medidosendas contadosapartirdeladeteccindelaepidemia.Cuntaspersonasseespera que la contraigan despus de 10 das? 298000 ) 10 (2000 300000 ) 10 () 10 ( 20 ) 10 ( 300 ) 10 (2 3= = =fff 38 Funcionespolinomiales:cadaunadelasfuncionesanterioresconstituyeun ejemplodeunafuncinpolinomial.Unafuncinpolinomialdengradostienela forma general 0 111... ) ( a x a x a x a x f ynnnn+ + + + = = donde,na 1 1,..., a an y 0a son nmeros reales y0 =na . Elexponentedecadaxdebeserunenterononegativoyelgradodelpolinomio es la potencia (exponente) ms alta en la funcin. Funciones racionales: una funcin racional tiene la forma general ) () () (x hx gx f y = = donde g yh sonfuncionespolinomiales.Lasfuncionesracionalessellamanas por su estructura de razn. Ejemplo: los fisioterapeutasdescubrenamenudo queelproceso de rehabilitacin secaracterizaporunefectoderendimientosdecrecientes.Esdecir,la recuperacin dela funcionalidad sueleaumentar con la duracin del programade terapia, pero a la larga se advierte un mejoramiento en relacin con las actividades posterioresdelprograma.Paraunaincapacidadenparticular,losterapeutashan ideadounafuncinmatemticaquedescribeelcostoCdeunprogramadeeste tipoenfuncindelporcentajedelafuncionalidadrecobrada,x.Setratadeuna funcin racional cuya forma se da a continuacin. xxCx f C==1205) (100 0 s s x dondeC semideenmilesdepesos.Porejemplo,elcostodelaterapiapara obtener una recuperacin de 30% se estima en 39 Funciones exponenciales: la funcin exponencial es aquella en la que la variable independienteapareceenelexponente.Silafuncinexponencialtienelaforma ) (x f y = ,x aparecerenelexponenteocomopartedeunexponente.Hay distintasclasesdeestetipodefuncin,cadaunaconsuscaractersticas estructurales especficas. Lasfuncionesexponencialestienenmuchasaplicacionesmuyimportantesenla administracin y en la economa. Enmatemticas la letraetieneun significadoespecial. Sirve para representar un nmero iracional aproximadamente igual a 2.71828. Y este nmero resulta ser una basemuyusadadelasfuncionesexponenciales,entreellaslasdecrecimientoy deterioro (envejecimiento), lomismo que el inters de capitalizacin continua. Ejemplo: Cuando lasorganizacionesadquierenequipo,vehculos,edificiosyotras clasesdebienesdecapital,loscontadoresacostumbranasignarelcostodel objetoalolargodelperodoenqueseusa.Enelcasodeuncaminquecueste $10000ycuyavidatilsea5aos,asignarn$2000poraoscomocostode depreciacin.Sedaelnombrededepreciacinalcostoasignadoaunperodo determinado. Los contadores llevan asimismo registros de los principales activos y suvaloractualoenlibros.Elvalorenlibrosrepresentaladiferenciaentreel precio de compra del activo y la cantidad de depreciacin asignada, o sea Valor en libros = costo de compra depreciacin. Elvalorenlibrosdeunequipoindustrialserepresentamediantelafuncin exponencial tV1 . 0) 5 . 2 ( 300000=dondeV eselvalorenlibrosexpresadoenpesosyt representaelnmerode 667 . 1 ) 30 (90150) 30 (30 120) 30 ( 5) 30 (===fff40 aos transcurridos desde la adquisicin del equipo. El valor del equipo al cabo de 5 aos es 42 . 189873 ) 5 () 5 . 2 ( 300000 ) 5 () 5 . 2 ( 300000 ) 5 (5 . 0) 5 ( 1 . 0= == == =f Vf Vf V Funcioneslogartmicas:unafuncinlogartmicaexpresaelvalordelavariable dependienteentrminosdellogaritmodeunafuncindelavariable independiente. Ejemplo:seefectuunexperimentoparadeterminarlosefectosqueeltiempo transcurridoejercesobrelamemoriadeunapersona.Alossujetosselespidi observarunafotografaquecontenamuchosobjetosdiferentes.Despusde estudiarla,selesdijoquerecordasenelmayornmeroposibledeobjetos.En distintos intervalos de tiempo despus dela sesin, se les pediraque recordasen elmayornmeroposible.Apartirdeesteexperimentosedesarrollolasiguiente funcin logartmica. t t f Relog 25 84 ) ( = =1 > t dondeR representaelporcentajepromedioderetencinenfuncindelttranscurrido despus de estudiar la fotografa (medido en horas). Funciones compuestas: una funcin compuestaexiste cuando considerarseque una funcin depende de otra. Si) (u g y = ysi), (x h u = lafuncincompuesta)) ( ( ) ( x h g x f y + = secreaal sustituir) (x h enlafuncin) (u cadavezqueaparezcau .Yparadefinir )) ( ( ) ( x h g x f = sedefine,x tienequeestarendominiodeh y) (x h hade encontrarseeneldominiode. g Enotraspalabras,elvalordeentradaxdebe tenerencuentaunvalordesalidanicaydefinibleu yelvalorresultante, ucuando la entrada de) (u gdebe producir una salida nica y definibley . Ejemplo: supngase que la funcin41 50 2 ) ( + = = x x g y indica queel salario semanalde unvendedorestdeterminado porel nmerode unidadesx vendidascadasemana.Supngaseque,segnlosresultadosdeun anlisis,lacantidadvendidasemanalmenteporunvendedordependedelprecio del producto. Esta funcinhest dada por la regla p p h x 5 . 2 150 ) ( = = donde p es el precio, expresado en dlares. Aspues,paracalcularelsueldoinicialdeunvendedor,laentradainicialesel preciodeventaduranteunasemanadada.stedeterminarlasalidade), ( p h o seaelnmerodeunidadesqueseesperavender.Dichasalidaseconvierteen una entrada que se sustituye en) (x gpara calcular el sueldo semanal. Supngase porejemploqueelprecioenciertasemanaes$30.Elnmerodeunidadesque, segn las expectativas, se vendern durante la semana es 75 75 150 ) 30 ( 5 . 2 150) 30 (= = ==xh x Puestoqueseconoceelnmerodeunidadesqueseesperavender,elsueldo semanal se calcula as: Elsueldosemanaldependedelnmerodeunidadesvendidassemanalmentey ste depende a su vez del precio por unidad, el sueldo semanal puede expresarse directamente en funcin del precio por unidad. Es decir, )) ( ( ) ( p h g p f y = = Para definir esta funcin, se sustituye) ( p hen) (x gsiempre que aparezca x. Esto es, 200 $ 50 ) 75 ( 2) 75 (= + ==yg y42 p p f yp yp yp g y5 350 ) (50 5 30050 ) 5 . 2 150 ( 2) 5 . 2 150 ( = =+ =+ = = Lafuncin) ( p f esunafuncincompuesta,puesseformcombinando) (x g y ). ( p h Podemoscalcularelsueldosemanalesperadodirectamentede), ( p f sise conoce el precio de venta en una semana determinada. En un precio de $30, Funciones implcitas:para una funcin de la forma), (x f y =puede decirseque yesunafuncinexplcitadelavariableindependiente x .Lanotacinfuncional sugiere la naturaleza de la dependencia. Un ejemplo de ello es la funcin 100 5) (+ ==x yx f y Pero si esta ecuacin se rearregla para producir 0 100 5 = x y sedenota una relacinentrex y, yperonoesexplcitoqueydependade x . La ecuacinpodrasugerirquey esunafuncinimplcitadex oquex esuna funcinimplcitade. y Enunaaplicacindada,elconocimientodelaaplicacin har ms evidente cul variable debe considerarse como la variable dependiente. Ejemplo: los economistas y tambin los consumidores reconocen que suele existir unarelacinentreelprecioquesecobraporciertosartculosylacantidaddela demanda.Larelacindedosvariablescasisiempreesunarelacininversa;es decir, cuntomsalto seaelpreciounitario, menor ser lademandadel producto (porsupuesto,sedanexcepcionesquedependendefactorescomoelt ipode producto, el ingreso del consumidor y otros). 200 $ 150 350 ) 30 ( 5 350) 30 (= = ==yf y43 Considrese la relacin: 0 500 6 3 = + q p donde= pprecio unitario y= qcantidad de la demanda en unidades. Esta ecuacin puede indicar que el precio p es una funcin implcita de la cantidad de la demandaqo queesta ltimaes una funcin implcitadel precio. Las formas explcitas de estas funciones pueden derivarse fcilmente: 63 500) (36 500) (pp f qqq f p= == = Cuandounafuncinimplcita0 ) , ( = y x f producedosfuncionesexplcitasdela forma ) () (y g xx f y== sediceque) (x f y) (y g sonfuncionesinversas.Nteseque x eslavariable independientedelafuncin, f peroquex eslavariabledependientedela funcin. gLas funciones inversas de esta forma poseen la propiedad de que cada valor de xproduce un nico valor de yy cada valor deyproduce un solo valor de . xUtilizando lanotacinde las funciones inversas puedeafirmarse quela funcin f tieneunainversa,), (1y f x= queseleex " esunafuncininversade" y(recurdeseque 1 f nosignificaf / 1 enestecaso).Demaneraanlogapuede decirse que la funcingtiene una inversa). (1x g y= 44 Unidad 3: lgebra matricial Siemprequeseutilizandatos,debesentirselanecesidaddeorganizarlosde modo que sean significativosypuedan identificarse sindificultad. Lamatrizes un medio comn para resumir y presentar nmeros o datos. Matriz: es un arreglo rectangular de elementos. Una matriz A que contenga los elementos ijatiene la forma general |||||.|

\|=mn m mnna a aa a aa a aA........ .......... .......... ................2 12 22 211 12 11 Estamatrizgeneralizadaserepresentacomoformadapormrenglonesyn columnas. Los subndices de un elemento ijaindican que el elemento est situado enlainterseccin del rengln iyla columna j.Porejemplo, 21aest situadoen la interseccin del rengln 2 y la columna 1. Losnombresdematricescasisiempreserepresentanconmaysculasylosde sus elementos se representan por medio de minsculas con subndices. Unamatriz se caracterizaadems por sudimensin. Ladimensinuordenindica losnmerosderenglonesydecolumnascontenidasdentrodelamatriz.Siuna matriztienemrenglonesyncolumnassedicequeposeeunadimensinmxn, que se lee m por n. 3.1 Tipos especiales de matrices * Vector: es una matriz que tiene nicamente un rengln o una columna. Vector rengln:es una matrizque tiene slo un rengln. Unvector renglnRcon n elementos ijrtiene una dimensin 1 x n y la forma general 45 ) ... (1 12 11 nr r r R = Vectorcolumna:esunamatrizquetieneunacolumnasolamente.Unvector columna C que posea m elementos 1 jctiene la dimensin m x 1 y la forma general ||||||||.|

\|=12111...mcccC *Matrizcuadrada:lamatrizcuadradaesaquellaquetieneelmismonmerode renglonesycolumnas.Siladimensindeunamatrizesmxn,unamatriz cuadrada es tal que m = n. * Matriz identidad: la matriz identidad I, algunas veces denominada matriz unidad, esunamatrizcuadradaenlacualloselementossituadossobreladiagonalprincipal son iguales a 1 y el resto de los elementos son iguales a 0. *Traspuestadeunamatriz:enlamatrizA(mxn)conelementos,ija la traspuestadeA,denotadaporAt,esunamatriz(nxm)quecontengalos elementosijtadonde.jiijta a = Ejemplo 3.1: encontrar la traspuesta de la matriz |||.|

\|=2 10 42 3A PrimerosedeterminaladimensindeAt,puestoqueAesunamatriz(3x2),At ser una matriz (2 x 3) que tenga la forma 46 ||.|

\|=23 22 2113 12 11t t tt t tta a aa a aA 2023223222212 21 = == == =a aa aa attt ||.|

\|=2 0 21 4 3tA El patrn que se observa es que los renglones de A se convierten en las columnas deAtylascolumnasdeAseconviertenenlosrenglonesdeAt.Estasrelaciones pueden ser verdaderas para cualquier matriz y su traspuesta, y ofrecen un mtodo fcil de determinar la traspuesta. 3.2 Operaciones con matrices 3.2.1 Adicin y sustraccin de matrices Dos matrices pueden sumarse o restarse si y slo si tienen la misma dimensin. SisesumanlasmatricesAyBparaformarunanuevamatrizC,estatendrlas mismasdimensionesqueAyB.LoselementosdeCseobtienenalsumarlos elementos correspondientes de A y B. Es decir, ij ij ijb a c + =para todas las i y las j. ||.|

\|=2 43 1A ||.|

\|=4 02 3B

||.|

\|+ ++ += +) 4 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 4 () 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1 (B A143311321121111= == == =a aa aa attt47 ||.|

\|= +2 45 2B A ||.|

\| = ) 2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 0 () 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 (A B . ||.|

\| = 6 41 4A B 3.2.2 Multiplicacin por escalares Elescalaresunnmeroreal.Lamultiplicacinporescalaresdeunamatrizesla multiplicacindestaporunescalar.Elproductoseobtienemultiplicandocada elementodelamatrizporelescalar.Porejemplo,sik esunescalaryAesla siguiente matriz (3 x 2), entonces. |||.|

\| =|||.|

\| =kk kk kK kA4 023 54 01 23 5 3.2.3 Producto interno Sea) ... (1 12 11 na a a A = y |||||.|

\|=12111...nbbbB ;entoncesdefiniremoselproducto interno, escrito A.B, como: 1 1 21 12 11 11... .n nb a b a b a B A + + + = En esta definicin cabe sealar tres puntos: 1.Elproductointernosedefineslosilosvectoresrenglnycolumna contienen el mismo numero de elementos. 48 2.Elproductointernoresultacuandounvectorsemultiplicaporunvector columna y el producto resultante es una cantidad escalar. 3.El producto interno se calcula multiplicando los elementos correspondientes de los vectores y haciendo la suma algebraica. Ejemplo 3.2: multiplicacin de los siguientes vectores: ( ) 2 5 = AB||.|

\|64 Paraencontrarelproductointerno,elprimerelementodelvectorrenglnse multiplicaporelprimerelementodelvectorcolumna;elproductoresultantese suma al producto del elemento 2 del vector columna. En los vectores indicados, el producto interno se obtiene como,21 12 11 11b a b a + + + es decir ( ) 2 5 ||.|

\|64 = (5)(4) +(-2)(6) = 8 3.2.4 Multiplicacin de matrices SupngasequeunamatrizAconladimensin(mAxnA)debemultiplicarsepor una matriz B que tenga la dimensin (mB x nB). Propiedades de la multiplicacin de matrices El producto matricial AB se define s y slo si el nmero de columnas de A es igual al de renglones de B, o bien nA = mB. Silamultiplicacinpuedeefectuarse(esdecir,nA=mB),elproductoresultante ser una matriz que tenga la dimensin (mA x nB). Si AB = C, un elemento ijcde la matriz de productos ser igual al producto interno del rengln i en la matriz A y de la columna j en la matriz B. Ejemplo 3.3: para obtener el producto matricial AB, donde 49 ||.|

\|=1 34 2A ||.|

\|=24B laprimeracomprobacinconsisteendeterminarsilamultiplicacinesposible.A es una matriz (2 x 2) y B es una matriz (2 x 1). ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 2 ( x x xC B A= son igualess se pueden multiplicar ElproductoestdefinidoporqueelnmerodecolumnasAesigualalde renglonesdeB.Lamatrizdeproductosresultanteserdedimensin2x1y tendr la forma general ||.|

\|=2111ccC Paraencontrar 11c ,elproductointernoseobtienemultiplicandoelrengln1deA por la columna 1 de B, o sea ||.|

\|1 34 2 ||.|

\|24 = ||.|

\|100 (2)(-4) + (4)(2) = 0 (3)(-4) + (2)(1) = -10 Representacin de una ecuacin Unecuacin linealde la formab x a x a x an n= + + + ...2 2 1 1puede representarseenla forma matricial como sigue 50 ( )na a a ...2 1 bxxxn=|||||.|

\|...21 1.3 Representacin de sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones (m x n) que tenga la forma: m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a= + + += + + += + + +......... .......... .......... .......... ................2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 21 1 11 puede representarse por la ecuacin matricial B AX = dondeAesunamatriz(mxn)quecontieneloscoeficientesdelasvariablesdel conjuntodeecuaciones.Xes unvector columnade n componentes que contiene nvariablesyBesunvectorcolumnademcomponentesquecontienelas constantesdelladoderechoparalasecuacionesm.Estarepresentacinaparece como |||||.|

\|mn m mnna a aa a aa a a...... ... ... .........2 12 22 211 12 11

|||||.|

\|=|||||.|

\|n nbbbxxx... ...2121 3.4 El mtodo de cofactores ParacualquiermatrizcuadradaApuedeencontrarseunamatrizdecofactores que sedenotar como .cALa matrizde cofactores tendr lamismadimensin que Ayconstardeelementos, ja loscualesseconocenconelnombrede 51 cofactores.Porcadaelemento ija contenidoenAhabrunfactor correspondiente. ja El cofactor asociado a un elemento ijase determina del modo siguiente: Tacheelrenglni ylacolumnaj enlamatrizoriginal.Concntreseenlos elementosrestantesdelamatriz.Estosconstituyenunasubmatrizdelamatriz original. Encuentreladeterminantedelasubmatrizrestante.Esadeterminanterecibeel nombre de menor del elemento.ijaEl cofactor jase obtiene al multiplicar la menor por 1 1, segn sea la posicin que ocupe el elemento.ijaUna frmula para calcular el cofactor es: j iija+ = ) 1 ( (el menor) Laesenciadeestafrmulaesque,sij i + esunnmeropar,lamenorse multiplicarpor+1,conservandosusigno;sij i + esunnmeroimpar,lamenor se multiplicar por 1 y cambiar su signo. Ejemplo 3.4: obtener la matriz de cofactores para la matriz. A |||.|

\| =1 2 34 2 12 1 3A Cofactor correspondiente al elemento 11a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =1 24 21 2 34 2 12 1 3 52 ( )( ) ( )( ) | |10 ) 10 )( 1 ( 4 2 1 2 ) 1 ( 1 24 2) 1 ( 11112111 111== = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 12a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =1 34 11 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |13 ) 13 )( 1 ( 4 3 1 1 ) 1 ( 1 34 1) 1 ( 12123122 112= = = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 13a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =2 32 11 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |4 ) 4 )( 1 ( 2 3 2 1 ) 1 ( 2 32 1) 1 ( 13134133 113 = = = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 21a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =1 22 11 2 34 2 12 1 3 53 ( )( ) ( )( ) | |5 ) 5 )( 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 22 1) 1 ( 21213211 221 = = = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 22a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =1 32 31 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |3 ) 3 )( 1 ( 2 3 1 3 ) 1 ( 1 32 3) 1 ( 22224222 222 = = = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 23a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =2 31 31 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |9 ) 9 )( 1 ( 1 3 2 3 ) 1 ( 2 31 3) 1 ( 23235233 223= = = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 31a : 54 Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =4 22 11 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |0 ) 0 )( 1 ( 2 2 4 1 ) 1 ( 4 22 1) 1 ( 31314311 331== = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 32a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =4 12 31 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |14 ) 14 )( 1 ( 2 1 4 3 ) 1 ( 4 12 3) 1 ( 31325322 332 = = = =+aaaa Cofactor correspondiente al elemento 33a : Submatriz A ||.|

\||||.|

\| =2 11 31 2 34 2 12 1 3 ( )( ) ( )( ) | |7 ) 7 )( 1 ( 1 1 2 3 ) 1 ( 2 11 3) 1 ( 33336333 333== = =+aaaa La matriz de cofactores es: 55 |||.|

\| =7 14 09 3 54 13 10cA Mtodo de expansin por cofactores: 1.Se selecciona un rengln o columna cualquiera de la matriz 2.Semultiplicacadaelementodelrengln(columna)porsucofactor correspondiente y se suman los productos En una matriz A (m x m), la determinante puede encontrarse al ampliar un rengln i cualquiera conforme a la ecuacin im im i i ia a a a a a A ... 2 2 1 1+ + + = Demaneraanloga,ladeterminantesecalculaalampliarunacolumnaj cualquiera de acuerdo con la ecuacin mj mj j j j ja a a a a a A ... 2 2 1 1+ + + = Nota:sisuobjetivoesencontrarladeterminante,nosernecesariocalculartoda lamatrizdecofactores.Bastadeterminarsloloscofactoresdelrenglno columna seleccionados para la expansin. Ejemplo 3.5: |||.|

\| =1 2 34 2 12 1 3A |||.|

\| =7 14 09 3 54 13 10cA ParaobtenerladeterminantedeA,realizamoslaexpansinhaciaabajo seleccionando la columna 1: 56 350 5 30) 0 )( 3 ( ) 5 )( 1 ( ) 10 )( 3 (=+ + =+ + =AAA Puedeverificarsequeelvalordeladeterminanteeslamismasisehacela expansin hacia debajo de cualquiera de las otras columnas o renglones. 3.5 La inversa de una matriz Enalgunasmatricespuedeidentificarseotramatrizdenominadainversa multiplicativaosimplementeinversa.LarelacinentreunamatrizAysuinversa (denotada por A-1)es queel productode Ay A-1,en uno uotroorden, daorigena una matriz identidad, es decir, I A A A A = = ) )( ( ) )( (1 1 Observaciones importantes sobre la inversa: -Para que una matriz A tenga una inversa, tiene que ser cuadrada. -La inversa de A tambin ser cuadrada y de la misma dimensin que A.-No toda matriz cuadrada posee una inversa. Unamatriz cuadrada tendr una inversaa condicin dequetodos los rengloneso columnasseanlinealmenteindependientes;esdecir,ningnrengln(ocolumna) esunacombinacinlinealdelosrenglones(ocolumnas)restantes.Silos renglones (o columnas) son linealmente dependientes [son combinaciones lineales deotrosrenglones(ocolumnas)],lamatriznotendrunainversa.Siunamatriz poseeunainversa,selellamamatriznosingular.Sinolatiene,sedicequees una matriz singular. Determinacin de la inversa Se cuenta con diversos mtodos para calcular la inversa de una matriz. * Procedimiento de reduccin gaussiana 57 Para determinar la inversa de una matriz A (m x m): I.A la matriz A se le suma la matriz identidad (m x m), lo cual da por resultado ) / ( I A II.Seefectanlasoperacionesrenglnentodalamatrizaumentada,de maneraqueAsetransformeenunamatrizidentidad(mxm).Lamatriz resultante presentar la forma ) / (1 A I Ejemplo:obtengalainversadelamatrizAmedianteelprocedimientode eliminacin gaussiana. ||.|

\|=5 27 3A Sumamos a la matriz A la matriz identidad y tenemos ||.|

\|1 0 5 20 1 7 3 multiplicamos el rengln 1 por 31 ||.|

\|1 0 5 2031371 multiplicamos el rengln 1 por 2 y sumamos el producto al rengln 2 58 ||||.|

\| 132310031371 multiplicamos el rengln 2 por 3 ||.|

\| 3 2 1 0031371 multiplicamos el rengln 2 por 37y sumamos el producto al rengln 1 ||.|

\|3 2 1 07 5 0 1 La inversa de A es ||.|

\| =3 27 51A * Obtencin de la inversa por medio de cofactores Elprocedimientodecofactoresconelcualseencuentralainversadeunamatriz cuadrada A es el siguiente: I.Se determina la matriz de cofactores Ac para la matriz A. II.Se determina la matriz conjunta Aj que es la traspuesta de Ac. tc jA A = LainversadeAsecalculamultiplicandolamatrizconjuntaporelrecprocodela determinante de A. Ejemplo 3.6: Considrese la matriz A y la matriz Ac del ejemplo 3.4.59 |||.|

\| =1 2 34 2 12 1 3A |||.|

\| =7 14 09 3 54 13 10cA Obtenemos la traspuesta de la matriz Ac jtcA A =|||.|

\| =7 9 414 3 130 5 10 La determinante de A es (ver ejemplo 3.5) 35 = A Ahora determinamos la inversa multiplicando el recproco de la determinante por la matriz Aj |||.|

\| =7 9 414 3 130 5 103511A ||||||.|

\| =35735935435143533513035535101A |||.|

\| =2 . 0 2571 . 0 1143 . 04 . 0 0857 . 0 3714 . 00 1428 . 0 2857 . 01A 60 Matemticas Bsicas Ejercicio 1 Suma 1)Sumar 3a y -2b 2)Sumar 7a, -8b, -15a, 9b, -4c y 83)Sumar 3m-2n+4, 6n+4p-5, 8n-6 y m-n-4p 4)Sumar 3x2-4xy+y2,-5xy+6x2-3y2 y -6y2-8xy-9x2 5)Sumar 8a-3b+5c-d, -2b+c-4d y -3a+5b-c Resta 6)De 7x3y4 restar -8x3y4 7)De 4x-3y+z restar 2x+5z-6 8)Restar -4a5b-ab5+6a3b3-a2b4-3b6 de 8a4b2+a6-4a2b4+6ab5 9)Restar -8a2x+6-5ax2-x3 de 7a3+8a2x+7ax2-4 10) Restar 9ab3-11a3b+8a2b2-b4 de a4-1 Multiplicacin 11)Multiplicar 3a2b por 4b2x 12)Multiplicar -ab2 por 4ambnc3 13)Multiplicar a3x-4a2x2+5ax3-x4 por 2a2x 14)Multiplicar xa+1y-3xay2+2xa-1y3-xa-2y4 por 3x2ym 15)Multiplicar 2x-y+3z por x-3y-4z Divisin 16)Dividir -5a4b3c entre -a2b 17)Dividir -20mx2y3 entre 4xy3 18)Dividir -xmynz9 entre 3xy2z3 19)Dividir 2axbm-6ax+1bm-1-4ax+2bm-2 entre 2a3b4 20)Dividir 3a5+10a3b2+64a2b3-21a4b+32ab4 entre a3-4ab2-5a2b 61 Matemticas Bsicas Ejercicio 2 Factorizacin 1) 3 215 5 10 a a a + 2) 2 2 2 2 236 54 18 my y x m mxy + 3) 3 4 2 3 3 3 2 33 12 9 6 y x n y nx y nx xy + 4)n m mn m 8 4 6 32 + 5)y x xy x 6 4 3 22+ 6) 2 22 2 az ax z x +7)ay y x ax 4 4 3 3 + 8)z y x az ay ax + + + 9)y x x axy y a ax x a2 3 2 2 22 2 2 + + 10) 12 10 6 249 a z y x 11) 9 44 2b a12) 422bbx x + +13) 2 22 b ab a + 14) 26 9 x x + 15) 2 29 12 4 y xy x + 16)12 72+ x x17)40 132+ a a18)29 282 + n n19)6 7 202 + x x20)5 13 182 a a Nota:Ademsdeencontrarlosfactoresdelasexpresionesalgebraicas,esnecesario indicar cul es el caso de factorizacin que se aplica. 62 Matemticas Bsicas Ejercicio 3 1)Repartir $180 entre A. B y C, de modo que la parte de A sea la mitad dela de B y un tercio de la de C. 2)La suma de las edades de A, B y C, es 69 aos. La edad de A es el doble que la de B y 6 aos mayor que la de C. Hallar las edades. 3)Resolverelsiguientesistemadeecuacionesporlosmtodosdeigualacin, sustitucin, reduccin y determinantes. 60 8 52 2 3 = + = y xy x 63 Matemticas Bsicas Ejercicio 4 1)Resolverelsiguientesistemade3ecuacionescon3incgnitasporel mtodo de reduccin y por determinantes. 10 7 4 35 5 3 24= + + = + = + +z y xz y xz y x 64 Matemticas Bsicas Ejercicio 5 Resolver las siguientesecuaciones de segundo grado medianteel procedimiento que se indica. Frmula General 1) 0 2 32= + x x2)88 192 = x x3)285 42= + x x4)3 5 ) 3 ( + = + x x x5)) 4 )( 4 ( ) 2 3 ( 3 x x x + = Descomposicin en factores 6)0 62= x x7)18 72= + x x8) 265 8 x x = 9)x x 3 1082 =10)0 4 7 22= + x x 65 Matemticas Bsicas Ejercicio 6 I . Resolver las siguientes operaciones con matrices: A + B A B B A |||.|

\|=2 1 35 0 43 2 1A |||.|

\| =1 2 34 2 12 1 3B II. Multiplique el escalar 15 por la matriz A. III. Encuentre el producto interno de A y B: |||.|

\|=341A) 2 1 3 ( = B IV. Multiplique las siguientes matrices: |||.|

\|=2 1 35 0 43 2 1A |||.|

\|=9 0 47 5 24 1 3B V. Encuentre la matriz inversa de A por el mtodo de cofactores. |||.|

\|=2 1 35 0 43 2 1A