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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Integrales de Contorno
Departamento de Matematicas
MA3002
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En esta lectura veremos la integral de contorno o la integralcompleja de lınea. Recuerde la integral de lınea en dosvariables: ∫
CF • dr =
∫C
f (x(t), y(t)) • r′(t) dt
Datos: 1) funcion en dos variables f (x , y) 2) Curva en eldominio (x(t), y(t))
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Eligiendo una particion de la curva:
Se construye una pared desde el plano xy hasta la altura de lafuncion usando como referencia C ; el area es una aproximacionde la integral de lınea de f (x , y) a lo largo de C .
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Suma de una funcion sobre una curva
• Sea f (z) = u(x , y) + v(x , y) i una funcion definida entodos los puntos de una curva suave C definida porx = x(t) y y = y(t) para a ≤ t ≤ b.
• Divıdase C en n subarcos de acuerdo con la particiona = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b]. Los puntoscorrespondientes de la curva son z0 = x(t0) + y(t0) i,z1 = x(t1) + y(t1) i,. . . , zn = x(tn) + y(tn) i. Sea∆zk = zk − zk−1 para k = 1, 2 . . . , n.
• Sea ‖P‖ el valor maximo de |∆zk |.• Sea z∗k = x∗k + y∗k i un punto en cada subarco.
• Generese la suman∑
k=1
f (z∗k ) ∆zk
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C
O
x
y
C
z(ti ) = x(ti ) + y(ti ) i
z(ti+1) = x(ti+1) + y(ti+1) i
(1− r) · z(ti ) + r z(ti+1), 0 ≤ r ≤ 1zi∗ para un r∗ en [0, 1]
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Integral de Contorno
Sea f (z) una funcion de variable compleja definida sobre unacurva suave C dada por x = x(t) y y = y(t) para a ≤ t ≤ b.La integral de contorno de f (z) a lo largo de la curva C es
∫C
f (z) dz = lim‖P‖→0
n∑k=1
f (z∗k ) ∆zk
Como resultado matematico, tal lımite existe si f (z) escontinua en C y ademas C es suave o suave por tramos (Sedice que C dada por z(t) = x(t) + y(t) i es suave si x(t) yy(t) tienen derivadas continuas para a ≤ t ≤ b, o al menos Ces suave por tramos).
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Ejemplo
Consideremos la funcionf (z) = z2 = f (x + y i) = (x2 − y 2) + 2 x y i y la curvaparametrica C con ecuaciones x = x(t) = t y y = y(t) = t2
desde to = 0 y hasta tf = 1.
C
O
x
y
C
−1 1
−1
1
Dividamos el intervalo del tiempo [0, 1] usando tres puntosto = 0, t1 = 0.5 y t2 = 1.0. Estos tiempos corresponden a lospuntos zo = z(t = 0) = x(t = 0) + y(t = 0) i = 0
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TeoremaSi f (z) es continua en una curva suave C dada porz(t) = x(t) + y(t) i para a ≤ t ≤ b, entonces
∫C
f (z) dz =
∫ b
af (z(t)) z ′(t) dt
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PropiedadesSuponga que f (z) y g(z) son continuas en un dominio y C esuna curva suave que esta en tal dominio. Entonces
•∫C
k · f (z) dz = k
∫C
f (z) dz
•∫C
(f (z) + g(z)) dz =
∫C
f (z) dz +
∫C
g(z) dz
•∫C
f (z) dz =
∫C1
f (z) dz +
∫C2
f (z) dz , si C es la union de
las curvas suaves C1 y C2 contenidas en el dominio.
•∫−C
f (z) dz = −∫C
f (z) dz , donde −C representa la
curva C con orientacion opuesta.
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Determine∫C z2 dz , donde C esta dada por x(t) = t y
y(t) = t2 para 0 ≤ t ≤ 2. Aquıf (z) = f (x + y i) = (x + y i)2 = (x2 − y 2) + 2 x y i. En estecaso la curva C tiene como grafica:
C
Ox
y
C
−1 1 2 3
−1
1
2
3
4
Tenemos que x ′(t) = 1 y y ′(t) = 2 t. Por tanto,∫C z2 dz =
∫ 20
(t2 − t4 + 2 t · t2 i
)· (1 + 2 t i) dt
=∫ 2
0
(t2 − 5 t4 + 4 t3 i− 2 t5 i
)dt
=(
13 t3 − t5 + t4 i− 1
3 t6 i)t=2
t=0= −88
3 −163 i
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Determine∫C z2 dz , donde C es la union de las curvas C1 y C2
como se ilustra en la figura.
C
Ox
y
−1 1 2
−1
1
2
C1 C2
La parametrizacion para C1 es x(t) = t y y(t) = 0 para0 ≤ t ≤ 1 (Aquı x ′(t) = 1 y y ′(t) = 0); y la para C2 esx(t) = 1 y y(t) = t para 0 ≤ t ≤ 1 (Aquı x ′(t) = 0 yy ′(t) = 1). Ası∫
C f (z) dz =∫C1
f (z) dz +∫C2
f (z) dz
=∫ 1
0 (t + 0 i)2(1 + 0 i) dt +∫ 1
0 (1 + t i)2(0 + 1 i) dt
=(
13 t3)t=1
t=0+(
13 (1 + t i)3
)t=1
t=0= 1
3 +(−1 + 2
3 i)
= −23 + 2
3 i
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Si f (z) = (1− i) z , calcule:∮C
f (z) dz =
∫C
f (z) dz
Donde la curva cerrada C es la union de las curvas C1, C2, C3
y C4 como se ilustran en la figura. En la misma, en cada puntolas flechas en rojo representan una version a magnitud 0.25 deel valor de f (z) en el punto donde inicia la flecha.
C
Ox
y
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
C1
C2
C3
C4
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CalculosVemos que f (z) = (1− i)(x + y i) = (x + y) + (x − y) i .C1 se parametriza como x(t) = t y y(t) = 0 para 0 ≤ t ≤ 3. Ası x ′(t) = 1 yy ′(t) = 0:
∫C1
f (z) dz =
∫ 3
0((t + 0) + (t − 0) i) (1 + 0 i) dt =
9
2+
9
2i
C2 se parametriza como x(t) = 3 y y(t) = t para 0 ≤ t ≤ 3. Ası x ′(t) = 0 yy ′(t) = 1:
∫C2
f (z) dz =
∫ 3
0((3 + t) + (3− t) i) (0 + 1 i) dt = −
9
2+
27
2i
C3 se parametriza como x(t) = 3− t y y = 1/3 x + 2 y ası y(t) = 3− 1/3 t para0 ≤ t ≤ 3. Ası x ′(t) = −1 y y ′(t) = −1/3:
∫C3
f (z) dz =
∫ 3
0(((3− t) + (3− 1/3 t)) + ((3− t)− (3− 1/3 t)) i) (−1−1/3 i) dt = −13− i
C4 se parametriza como x(t) = 0 y y(t) = 2− t para 0 ≤ t ≤ 2. Ası x ′(t) = 0 yy ′(t) = −1:
∫C4
f (z) dz =
∫ 2
0((0 + (2− t)) + (0− (2− t)) i) (0−1 i) dt = −2− 2 i
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Para hacer este problema en la TI primeramente limpiaremoslas variables con las que trabajaremos, definiremos la funcion,construiremos la variable z parametrizada y definiremos elintegrando.
La gran ventaja de esto es que cada vez que cambiemos lasfunciones x(t) y y(t) el integrando se actualizara y norequeriremos recapturarlo.Cabe decir: ¡yeeesssss!
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Calculemos ahora la integral de contorno sobre cada una de lascurvas. Para ello, primero definiremos las ecuacionesparametricas para x y para y y posteriormente integraremos.Recuerde que cada vez que se defina x(t) y y(t) el integrandose actualiza! Esto no hubiera sido posible si las variables nohubieran estado limpias antes de construir en integrando. Elvalor de la integral buscada es la suma de las integralescalculadas.
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¿Que puede representar elproducto de dos
complejos?
Considere dos vectores en el plano u =< a, b, 0 > yv =< c , d , 0 >. Suponga que u se convierte en el complejoz1 = a + b i y que v se convierte en z2 = c + d i. Si hacemosz1 · z2 obtenemos:
z1 · z2 = (a · c + b · d) + (a · d − b · c) i
Por otro lado
u • v = a · c + b · d y u× v =< 0, 0, a · d − b · c >
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Si f (z) es un flujo en plano complejo, en la integral∮C
f (z) dz =
∫C
f (z) dz
a la parte real se le llama la circulacion de f (z) a traves deC ; y a la parte imaginaria se le llama el flujo neto de f (z) atraves de C .