matematicas 1 bachillerato - mat i (aplicadas a ccss) - solucionario (anaya)

Resolución de problemas 1

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1. OTRA VEZ LA CABRA

En el ejercicio de más arriba, supongamos que la casa es rectangular, de 10 m Ò 20 m, y que la cuerda con la que se ata la cabra mide30 m. Halla la su-perficie en la que puede pastar.

Hacemos un dibujo:

Área = π · 302 + π · 202 + π · 102 =

= 800 π › 2513 m2

2. LA CLASE

En una clase hay 30 alumnos y alumnas, de los cuales 22 estudian inglés y 15estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿cuántos estudiansolo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas?

Hallamos el número de alumnos que estudian las dos cosas:

22 + 15 = 37

37 – 30 = 7 alumnos estudian las dos cosas

Por tanto:

22 – 7 = 15 estudian solo inglés

15 – 7 = 8 estudian solo informática

En un diagrama sería así:

Inglés

Total: 30

Informática

15 7 8

10 m

20 m

10 m 20 m 30 m

CASA14

14

34

RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS

3. TRANSPORTANDO PANES

Una comitiva de doce personas acarrea 12 panes: cada hombre lleva dos pa-nes; cada mujer, medio pan, y cada niño, un cuarto de pan. ¿Cuántos hombres,mujeres y niños componen la comitiva?

☛ Sean x hombres, y mujeres y z niños. Se tiene: 2x + + = 12

Prueba las distintas posibilidades teniendo en cuenta que x, y, z han de ser númerosenteros y positivos.

Sean x hombres, y mujeres, z niños, tales que: x + y + z = 12.

Se tiene:

Puesto que x, y, z son números enteros positivos, x no puede valer más de 5.

Si x = 5 8

Si x = 4 8 no puede ser z = 0

Si x < 4 o si x > 5, la y o la z salen negativas, cosa que es imposible. Así pues,solo hay una solución:

x = 5, y = 1, z = 6

4. LOS NÚMEROS OCULTOS

Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una delas cuatro caras.

Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista, pueden obte-nerse los siguientes resultados: 36, 41, 50, 55. Observa la figura y averigualos números que quedan ocultos.

25 30

°¢£

y = 8z = 0

°¢£

2y + z = 16y + z = 8

°§¢§£

y z— + — = 42 4

y + z = 8

y = 1z = 6

°¢£

2y + z = 8y + z = 7

°§¢§£

y z— + — = 22 4

y + z = 7

y z2x + — + — = 12

2 4

x + y + z = 12

°§¢§£

z4

y2

Resolución de problemas2

Llamamos a al número que va en la cara opuesta al 25 y b al de la cara opuesta al30; los resultados posibles serían:

a + 30 36

b + 25 41

a + b 50

25 + 30 8 55

Descartado el 55, que corresponde a 25 + 30, ahora debemos asociar las tres sumasrestantes a los número 36, 41 y 50.

Hagamos un cuadro:

El problema tiene, por tanto, dos soluciones:

o bien:

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5. EL CUENTO

María tiene que acabar de leer un cuento. El lunes leyó la mitad del cuento. Elmartes, la tercera parte de lo que le faltaba. El miércoles, la cuarta parte delresto. El jueves, la quinta parte de lo que le quedaba. Hoy, viernes, ha decididoacabarlo y ha observado que le quedan menos de 15 páginas.

Si todos los días ha leído un número entero de páginas, ¿cuántas páginas tieneel cuento?

Llamamos n al número de páginas del cuento y construimos una tabla para organizarla información:

LUNES

PÁGINAS LEÍDASn—2

MARTES

1 n n— · — = —3 2 6

MIÉRCOLES

1 n n— · — = —4 3 12

JUEVES

1 n n— · — = —5 4 20

VIERNES

n— < 155

PÁGINAS QUE

LE FALTAN

n—2

n n n— – — = —2 6 3

n n n— – — = —3 12 4

n n n— – — = —4 20 5

0

1.a ficha: 25 y 202.a ficha: 30 y 16

°¢£

°¢£

1.a ficha: 25 y 112.a ficha: 30 y 25

a + 30 = 36

b + 25 = 41

a + 30 = 36

b + 25 = 50

a + 30 = 41

b + 25 = 36

a + 30 = 41

b + 25 = 50

a + 30 = 50

b + 25 = 36

a + 30 = 50

b + 25 = 41

a = 6

b = 16

Imposible

Debería ser

a + b = 50

a = 6

b = 25

Imposible

Debería ser

a + b = 41

a = 11

b = 11

Imposible

Debería ser

a + b = 50

a = 11

b = 25

a + b = 36

Primera solución

a = 20

b = 11

Imposible

Debería ser

a + b = 41

a = 20

b = 16

a + b = 36

Segunda solución


0UNIDAD

El viernes tiene que leer páginas. Pero como todos los días ha leído una canti-

dad entera de páginas, el número n debe ser múltiplo de los denominadores 2, 6, 12y 20; es decir, múltiplo de 60.

Como, además, < 15, ha de ser n = 60.

Por tanto, el cuento tiene 60 páginas (el lunes leyó 30, el martes 10, el miércoles 5, eljueves 3 y el viernes las que faltan, 12 < 15).

6. UN SISTEMA

Resuelve el sistema: + = 8

– = 3

☛ Llama z = 1/x, t = 1/y.

Si z = y t = , el sistema se transforma en:

8

Luego: z = 2 = ò x =

t = 3 = ò y =

Solución: x = , y =

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7. LAS PUERTAS

El conserje de un hotel cierra y abre las puertas de las habitaciones del si-guiente modo:

• El primer día cierra todas las puertas.

• El segundo día abre las pares.

• El tercer día cambia (si una puerta estaba abierta, la cierra; y si estaba cerra-da, la abre) las múltiplos de 3.

• El cuarto día las múltiplos de 4.

• Etcétera.

¿Qué puertas son las que quedarán cerradas al final del proceso?

13

12

13

1y

12

1x

z = 2t = 3

°¢£

°¢£

z + 2t = 83z – t = 3

1y

1x

1y

3x

2y

1x

n5

n5


Ø§§∞§§±

Empezamos haciendo un esquema: C indica puerta cerrada, A indica puerta abierta:

Número de puerta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

Primer día: C C C C C C C C C C …

Segundo día: C A C A C A C A C A …

Tercer día: C A A A C C C A A A …

Cuarto día: C A A C C C C C A A …

Observamos que las puertas que quedan cerradas al final del proceso, son la 1, 4, 9,16…

Es decir, las que llevan un número que es cuadrado perfecto.

Esto es debido a que son los únicos números que tienen un número impar de diviso-res y, por tanto, tendrán un número impar de cambios, quedando finalmente cerradas.

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8. LAS LOSETAS

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

Observando la figura, es muy sencillo comprobar que dentro del rectángulo de2 000 cm2 hay 8 losetas (4 enteras, 4 medias losetas y otros 4 trozos que conformandos losetas, dos a dos).

Por tanto, cada loseta tiene un área de 250 cm2.

50 cm

40

cm

50 cm

40

cm


0UNIDAD

9. MÁS LOSETAS

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

Como podemos observar en la siguiente figura, el área del rectángulo es de 50 cm2:

Contando cuidadosamente, obtenemos 4 losetas dentro de este rectángulo. Luego ca-da loseta tiene un área de 12,5 cm2.

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10. MÁS MONEDAS

Siguiendo con el problema resuelto de la página anterior, ¿cuál es el númeromáximo de monedas que podemos tener para que se pueda averiguar cuál esla moneda falsa con tan solo tres pesadas?

El análisis se hace mucho más sencillo empezando por el final. ¿Cuántas monedasdebemos tener en la última pesada para estar seguros de que identificamos la falsa?Es fácil ver que la respuesta es 3. Pesamos dos y, o es una de ellas, o es la tercera.

La pregunta ahora sería: ¿Cuántas monedas debemos tener en la penúltima pesada?Si seguimos con el argumento de los dos bloques de monedas pesados y uno quesobra, la respuesta es 3 + 3 + 3 = 9.

Por tanto, el número máximo de monedas que podemos tener para asegurar el éxi-to de nuestra investigación es: 9 + 9 + 9 = 27

10 cm

5 cm

10 cm


11. NÚMERO PAR DE FICHAS

En un tablero cuadrado de 16 casillas hay dispuestas 10 fichas, como indicala figura.

Se propone colocarlas, una en cada casilla, de tal manera que en cada fila ho-rizontal o vertical y en las dos diagonales se ubiquen un número par de fi-chas.

12. EL PASTOR, SU OVEJA, SU LOBO Y SU COL

Un pastor con una enorme col, una enorme oveja y un enorme lobo llega aun río en el que hay una diminuta barca en la que no cabe más que el pastory una sola de sus pertenencias.

Si deja al lobo y a la oveja solos, el lobo… Y si deja a la oveja y a la col sin vi-gilancia, no te digo lo que le pasará a la col… Eso sí, el lobo no es vegetaria-no. Quiere pasar a todos al otro lado del río. ¿Cómo lo hará?

Lo primero que pasa es la oveja, porque en cualquier otro caso habría festín. Mástarde vuelve y se lleva la col. Como no puede dejar a la oveja con la col, se trae devuelta a la oveja. Deja a la oveja en su lugar de partida y se lleva al otro lado del ríoal lobo, para que haga compañía a la solitaria col. Vuelve, por última vez, a por laoveja y, en lo que es el tercer viaje para esta, atraviesa definitivamente el río.

● ● ● ●

● ●

● ●

● ●

● ● ● ●

● ● ●

● ●

●


0UNIDAD

PROBLEMAS PARA PRACTICAR

1. UN RELOJ TARDÓN

Si el reloj de una iglesia tarda treinta segundos en dar las seis, ¿cuánto tiem-po tardará en dar las doce?

30 : 5 = 6 segundos pasan entre cada 2 campanadas.

Para dar las 12 hay 11 espacios de tiempo entre campanadas; como cada uno deellos es de 6 segundos, será:

11 · 6 = 66 segundos tarda en dar las 12

2. DIFÍCIL REPARTO

Un grupo de 17 concursantes ha de repartirse un premio, que consiste enuna bolsa con varias monedas de oro, en número menor que 300. Al inten-tar repartirlas, se observa que sobra una moneda. Para que no sobre ningu-na, deciden hacer un juego y el que pierda será eliminado del reparto. Cuan-do quedan 16 concursantes, al intentar repartir las monedas, vuelve asobrar una. Deciden seguir eliminando concursantes hasta que el repartopueda ser exacto.

a) ¿Cuántas monedas contiene la bolsa?

b) ¿Cuántos concursantes deberán ser eliminados para que al hacer el re-parto no sobre ninguna moneda?

a) El número de monedas ha de ser múltiplo de 17 más una y múltiplo de 16 más una.

mín.c.m. (17, 16) = 272

El número de monedas podría ser el siguiente: 272 + 1 = 273, 2 Ò 272 + 1 = 545,3 Ò 272 + 1 = 717, … Pero como nos dicen que es menor que 300, concluimosque el número de monedas es 273.

b) Como 273 = 3 · 7 · 13, el reparto será exacto cuando queden 13 concursantes(que se llevarían cada uno 21 monedas) que es el mayor múltiplo de 273 menorque 17; en este caso, habrían sido eliminados 4.

3. LOS PENDIENTES

En un remoto poblado de Nueva Guinea hay 1 400 mujeres. El 14% de ellaslleva un solo pendiente. Del 86% restante, la mitad lleva dos pendientes y laotra mitad no lleva ninguno. Si los hombres no llevan pendientes, ¿cuántospendientes hay en total en el poblado?

Que la mitad lleve dos pendientes y la otra mitad no lleve ninguno, a efectos mate-máticos, es equivalente a que todas lleven un solo pendiente.

Por tanto, hay 1 400 pendientes.


4. MEZCLAS

De un balde que contiene 5 litros de agua, se vierte un litro fuera de él y, en sulugar, se rellena el balde con un litro de zumo de naranja.

Se mezcla bien el zumo con el agua y nuevamente se vierte fuera un litro de lamezcla, sustituyéndola por un litro de zumo de naranja. Y se hace lo mismopor tercera vez.

¿Cuánta agua quedará en el balde después del proceso?

Después de la primera operación, queda:

AGUA ZUMO

5 – 1 = 4 1

Un litro de esto es litros de agua.

Después de la segunda operación, queda:

AGUA ZUMO

4 – 1 +

1 litro de la mezcla es litros de agua.

Después de la tercera operación, queda:

AGUA

4 – – = 2,56 litros de agua

5. VACAS LECHERAS

4 vacas negras y 3 vacas blancas dan la misma cantidad de leche en 5 díasque 3 vacas negras y 5 vacas blancas en 4 días.

¿Qué tipo de vaca es mejor vaca lechera, la blanca o la negra?

Llamamos

Así, tenemos que:

20y + 15x = 12y + 20x 8 8y = 5x 8 x > y

Por tanto, la mejor lechera es la vaca blanca.

x = cantidad de leche que da una vaca blanca en 1 día.

y = cantidad de leche que da una negra al día.°¢£

44 – —5

545

44 – —5

5

45

45

45


0UNIDAD

6. EL NÚMERO OCULTO

Este juego consiste en encontrar un número de cuatro cifras que no empiezapor cero.

Escrito un número en la tabla, en la columna B se indica cuántos de sus dígi-tos tienen en común con el número buscado y en la misma posición.

En la columna R se indica cuántos dígitos tiene ese número en común con elbuscado, pero en posición incorrecta.

Con los datos de esta tabla, ¿serías capaz de encontrar elnúmero oculto?

6 157

7. LAS CARTAS

En una mesa hay cinco cartas:

Cada carta tiene, en un lado, un número natural, y en el otro, una letra.

Enrique afirma: “Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene unnúmero par en el otro lado”.

¿A qué cartas tuvo que dar la vuelta Pedro para convencerse de que Enrique de-cía la verdad?

Para confirmar las palabras de su amigo, Pedro debió dar la vuelta al 3 y encontraruna consonante. Desechamos los demás casos:

• Da la vuelta a la R o a la M: es indiferente lo que haya tras ellas, pues el enuncia-do no dice nada sobre las consonantes.

• Da la vuelta al 4 o al 8: también es indiferente pues, si sale vocal, confirma las pa-labras de Enrique y, si sale consonante, estamos en el caso anterior.

8. FUERA DE LA LEY

Cuatro hombres, uno de los cuales había cometido un determinado crimen,hicieron las siguientes afirmaciones al ser interrogados por la policía:

ARTURO: David lo hizo.

DAVID: Antonio lo hizo.

RR MM 44 33 88

B R

0

0

0

2

3 476

3 965

4 269

1 057

2

2

1

1


GUSTAVO: Yo no lo hice.

ANTONIO: David mintió cuando dijo que lo hice.

Si solo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién sería el culpable? Porotro lado, si solo una de estas afirmaciones fuera falsa, ¿quién sería entoncesel culpable?

Enumeramos las afirmaciones:

① ARTURO: “David lo hizo”.

② DAVID: “Antonio lo hizo”.

③ GUSTAVO: “Yo no lo hice”.

④ ANTONIO: “David mintió cuando dijo que lo hice”.

1.er caso: Si solo una fuera cierta:

– Si ① fuera la cierta ò ③ sería cierta, pero esto no es posible, pues solo hayuna cierta.

– Si ② fuera la cierta ò ③ sería cierta, y esto no es posible.

– Si ③ fuera la cierta ò ② ó ④ serían verdaderas, pero esto no es posible.

– Por tanto, la cierta es la ④. Así, ① sería falsa (luego David no lo hizo), ② se-ría falsa (luego Antonio no lo hizo) y ③ sería falsa. De aquí deducimos que elculpable fue Gustavo.

2.° caso: Si solo una fuera falsa:

– Si ① fuera la falsa ò ② ó ④ serían falsas, lo cual es imposible.

– Si ③ ó ④ fueran las falsas ò ① y ② serían verdad, y esto no es posible.

– Por tanto, la falsa es la ②, con lo que el culpable es David.

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9. EN EL PARQUE DE ATRACCIONES

Cuatro amigas (Alicia, Rocío, Carmen y Mercedes) van al parque de atraccio-nes con otros cuatro amigos (Pablo, Luis, Carlos y Ramón).

A lo largo de la jornada, las cuatro chicas han montado en las siguientesatracciones: montaña rusa, barcas, casa del terror y alfombra mágica. Ade-más, siempre montan un chico y una chica juntos en cada atracción. A la sa-lida comentan:

ALICIA: Me lo pasé mejor en la montaña rusa con Pablo que en las barcas conLuis.

ROCÍO: Cuando monté en la montaña rusa con Carlos, se estropeó y se quedóun rato parada.


0UNIDAD

CARMEN: Ramón me dio un buen susto en la casa del terror.

MERCEDES: Pues yo no vuelvo a entrar en la casa del terror con Pablo.

¿Cómo se formaron las parejas al montar en la alfombra mágica?

Teniendo en cuenta que en la montaña rusa Carmen solo pudo haber ido con Luis ocon Ramón, y que con Ramón fue a la casa del terror, resulta que en la montaña ru-sa Carmen subió con Luis.

A partir de este dato, ya es muy fácil deducir que las parejas en la alfombra fueron:Alicia-Ramón, Rocío-Pablo, Carmen-Carlos y Mercedes-Luis.

10. LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES

Tres exploradores y tres caníbales deben cruzar un río, pero disponen deuna sola barca y, además:

• En la barca solo pueden viajar una o dos personas.

• Al menos uno debe saber remar.

• Saben remar los tres exploradores y un caníbal.

• En ninguna orilla los caníbales pueden superar en número a los explora-dores, pues se los comerían.

¿Cómo conseguirán cruzar el río?

☛ Debes distinguir el caníbal que sabe remar de los demás caníbales.

1.°: Cruza un explorador con un caníbal que no sabe remar y vuelve el explorador.

2.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal, y vuelve el caníbal remero.

3.°: Cruzan dos exploradores y vuelven un explorador y un caníbal.

4.°: Cruzan un explorador y el caníbal remero, y vuelve un explorador con un caní-bal que no sabe remar.

5.°: Cruzan los dos exploradores y vuelve el caníbal remero.

6.°: Cruzan el caníbal remero y otro caníbal, y vuelve el remero.

7.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal que quedaba.

11. EL PROBLEMA DE TARTAGLIA

Este problema consiste en dividir el contenido de una jarra de 24 litros entres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras tres de 5, 11y 13 litros, respectivamente.

Con la de 24 se llenan la de 5 y la de 11. Quedan 8 en la de 24. Se vacía la de 5 enla de 13 y con la de 11 se llega a llenar la de 13. Con la de 13 se llena la de 5 y asíquedan 8 en la de 13.

Ya tenemos 8 en la de 24, 8 en la de 13 y 8 en las otras dos.


12. LAS LÁMPARAS

Sobre una plataforma hay 7 lámparas encendidas y un dispositivo medianteel que podemos apagar una sola lámpara o dos lámparas contiguas, pudien-do elegir cualquiera de las dos opciones.

Dos personas juegan: apagan alternativamente lámparas y gana la personaque apague la última. Si los dos jugadores actúan de forma inteligente,¿quién crees que ganará, el primero o el segundo?

Apagando la lámpara central se divide la disposición de lámparas en dos gruposidénticos de tres y tres.

Cada vez que el segundo jugador apague lámparas, el primero debe replicar apa-gando el mismo número del otro grupo.

De esta forma, el primer jugador se asegura el éxito.

13. UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO

Hay dos montones de piedras, uno con 7 piedras y otro con 6 piedras. Dospersonas juegan de manera alternativa, pudiendo retirar tantas piedras comodeseen, pero solo de uno de los montones. Gana quien retire la última piedra.¿Quién tiene ventaja, el jugador que comienza o el segundo?

El primer jugador puede ganar siempre si juega igualando el número de piedras delos dos montones. Es claro que entonces el otro jugador no puede hacer otra cosaque desigualarlos.

14. AHORRANDO PESADAS

A Carlos, mientras esperaba un día la cola para comprar el pan, se le ocurrióun problema que proponer al panadero de su pueblo:

CARLOS: Pedro, aquí tienes 1 kg de harina y una pesa de 50 gramos. ¿A que noeres capaz de obtener 300 gramos de harina con esta balanza de dosbrazos?

PANADERO: Pero eso es muy fácil…

CARLOS: No, no. Solo con tres pesadas.

Tras pensar unos minutos, el panadero le dio a Carlos sus 300 gramos de ha-rina. ¿Cómo lo hizo?

1.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa. En el otro vamos echandoharina. Obtenemos 50 g de harina.


0UNIDAD

2.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa y los 50 g de harina obte-nidos antes. En el otro vamos echando harina. Obtenemos 100 g de ha-rina.

3.a pesada: En un plato de la balanza colocamos toda la harina obtenida hasta ahora(150 g). En el otro vamos echando harina. Obtenemos 150 g de harina.

Juntando la harina de los dos platos, nos encontramos con la cantidad pedida:300 g.

15. EL TOSTADOR

Un tostador tuesta por un lado 2 rebanadas de pan juntas. A los 30 segundosdamos la vuelta a las 2 rebanadas y las tostamos por el otro lado. Por tanto,necesito un minuto para tostar 2 rebanadas. ¿Cuánto tiempo necesito paratostar 3 rebanadas de pan por los dos lados?

Empezamos tostando un lado de la 1.a rebanada y otro de la 2.a. Después, tostamosel otro lado de la 1.a con un lado de la 3.a. Por último, tostaríamos el otro lado dela 2.a con el otro de la 3.a. Así, necesitaríamos un minuto y medio para tostar las tresrebanadas de pan por los dos lados.

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16. LOS ESCALONES

Eva sube las escaleras de un edificio de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo queda un total de 100 saltos. ¿Cuántos escalones hay en el edificio?

Llamamos:

Por tanto: n.° de escalones = 120

17. EL DINERO

En un bolsillo tenemos monedas de tres clases: de 5, de 20 y de 50 céntimos. En to-tal, 12 monedas con un valor de 2 euros y 85 céntimos (285 céntimos). ¿Cuántasmonedas hay de cada clase?

°¢£

x = 60

y = 40

°¢£

2x = 3y

x + y = 100

x = n.° de saltos al subir 8 n.° de escalones = 2x

y = n.° de saltos al bajar 8 n.° de escalones = 3y

°¢£


Si x es el número de monedas de 5 eurocéntimos, y el número de monedas de 10y z el de 50, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuyas soluciones son:

• Si z < 2, el número de monedas de 5 céntimos sale negativo, luego ha de serz Ó 2.

• Si z = 5, el número de monedas de 20 céntimos sale 0 (el enunciado dice que te-nemos de los tres tipos), luego ha de ser z < 5.

• Además, x, y, z han de ser enteros.

Por tanto, hay tres posibilidades:

• 2 monedas de 50, 1 de 5 y 9 de 20 céntimos.



18. LA LÍNEA NAVIERA

Se ha establecido una línea regular de barcos entre Cádiz y Santander. Cadadía, a las 12 de la mañana, sale un barco de cada uno de los puertos, emplean-do en la travesía 5 días.

Si hoy sale un barco de Cádiz, ¿con cuántos barcos de la compañía naviera seencontrará hasta su llegada a Santander?

Con 6 barcos (incluyendo el que sale cuando llega él).

19. LA IMPRENTA

Una imprenta debe hacer 3 000 tarjetas de 8 cm Ò 8 cm. Para ello dispone dehojas de dos tamaños, 22 cm Ò 34 cm y 21 cm Ò 28 cm, que deberá cortar.¿Qué tamaño de hojas es conveniente utilizar para desperdiciar la menorcantidad posible de papel?

• Hojas de 22 cm Ò 34 cm:

Con cada hoja se pueden hacer 8 panfletos de8 cm Ò 8 cm y se desperdician:

22 · 2 + 6 · 32 = 236 cm2 en cada hoja

Para conseguir 3 000 panfletos:

3 000 : 8 = 375 hojas necesitaríamos

y se desperdiciarían:

375 · 236 = 88 500 cm2

x = –3 + 2zy = 15 – 3z

°¢£

5x + 20y + 50z = 285x + y + z = 12

°¢£


0UNIDAD

8 8 6

8

8

8

8

2

34 cm

22 cm

• Hojas de 21 cm Ò 28 cm:

Con cada hoja se pueden hacer 6 panfletos y se des-perdician:

21 · 4 + 5 · 24 = 204 cm2 en cada hoja

Para conseguir 3 000 panfletos:

3 000 : 6 = 500 hojas necesitaríamos

y se desperdiciarían:

500 · 204 = 102 000 cm2

• Por tanto, para desperdiciar la menor cantidad posible de papel, conviene utilizarlos de tamaño 22 cm Ò 34 cm.

20. PLEGANDO UNA HOJA DE PAPEL

Toma hojas de papel rectangular y, mediante pliegues, construye ángulos de180°; 90°; 45°; 22°30'. Toma otra hoja y haz con ella lo siguiente:

a) ¿Cuánto valen los ángulosa y b?

b) ¿Podrías construir con lahoja de papel un triángu-lo equilátero?

El ángulo a es de 30° y b es de 60°.

Con ello, se construye el triángulo equilátero fácilmente.

21. LA SUMA

¿Cuántos números menores que 1 000 tienen la suma de sus dígitos igual a 7?

7 0 0 8 3 posibilidades








36 posibilidades

Existen 36 números con esa propiedad.

D C

B BA RBA R

T T

M D C

A

M D CM

a

b


8 8 5

8

8

8

4

28 cm

21 cm

22. LAS VELAS

Dos velas de la misma altura se encienden simultáneamente. Una se consu-me en 4 horas y la otra en 10 horas.

¿Cuántas horas deberán arder hasta que la longitud de una de ellas sea el do-ble que la longitud de la otra?

Tomamos como unidad la longitud de ambas velas antes de ser encendidas.

• La longitud de la 1.a vela en t horas es 1 – t.

• La longitud de la 2.a vela en t horas es 1 – t.

¿Para qué valor de t la primera es la mitad de la 2.a?

1 – t = 1 – t 8 t = 2,5

Han de transcurrir 2 horas y media.

23. LA CAJA

Pedro tiene lagartijas, escarabajos y gusanos. En total tiene 12 animales y 26 patas. Tiene más gusanos que lagartijas y escarabajos juntos.

¿Cuántos animales tiene de cada clase?

Como las lagartijas tienen 4 patas, los escarabajos 6 y los gusanos ninguna, son7 gusanos, 3 escarabajos y 2 lagartijas.

24. ETAPA DE MONTAÑA

Un ciclista puede recorrer una media de 20 km por hora cuesta arriba y 60 km por hora cuesta abajo.

¿Cuál será su velocidad media en un recorrido con salida y llegada en el mis-mo punto?

Llamamos x al espacio que hay hasta llegar a la cima:

Así, tenemos que:

• Espacio total recorrido = 2x

• Tiempo total empleado = + = =

Por tanto:

Velocidad media recorrido = = 30 km/h2xx15

60 k

m/h

20 k

m/h

x x15

4x60

x60

x20

)110(1

214

110

14


0UNIDAD

25. FILA DE NÚMEROS

Si escribimos los números naturales seguidos, de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …

¿qué dígito ocupará el lugar cien mil?

Al colocar en la fila el 9 999, el último 9 ocupa el lugar:

9 + 2 Ò 90 + 3 Ò 900 + 4 Ò 9000 = 38 889

Como 100 000 = 38 889 + 61 111, el problema ahora es:

10 000 10 001 10 002 …

¿Qué dígito ocupa el lugar 61 111?

Al colocar en esta lista el 69 999 hemos colocado 60 000 dígitos.

Por tanto, ahora el problema es:

Empezando así:

70 000 70 001 70 002 70 003 …

¿Qué dígito ocupa el lugar 1 111?

Como 1 111 = 5 Ò 222 + 1, al colocar el 70 221 se han colocado 5 Ò 222 dígitos.

Por tanto, el dígito solución del problema inicial es el 7.

26. LOS CEROS

¿En cuántos ceros acaba el número 125!?

☛ Recuerda que:

125! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 123 · 124 · 125

Cuenta el número de veces que aparece el factor 5 (el factor 2 va a aparecer más ve-ces).

Es 25 + 5 + 1 = 31. Termina en 31 ceros.

27. ¿ÚLTIMO DÍGITO?

¿Cuál es el último dígito de la expresión 2103 + 3?

Es fácil observar que las terminaciones de las potencias de 2 son siempre 2, 4, 8 y 6(en ese orden). Por tanto, 2100 termina en 6 y 2103 termina en 8.

Así, 2103 + 3 termina en 1.

28. AVELLANAS MÁGICAS

En un canasto hay avellanas cuyo número se duplica cada minuto. Despuésde una hora, el canasto está completamente lleno.

¿Cuánto tiempo se necesitó para llenarlo hasta la mitad?

59 minutos.


29. MEZCLA DE CROMOS...

Héctor es aficionado a los coches y tiene un gran montón de cromos de ellos.

Leticia es aficionada a las motos y tiene un gran montón de cromos de motos.

Un día Héctor, complaciente, le regala un puñado de sus cromos (40) a Leti-cia. Como son del mismo tamaño, ella los mezcla con los suyos. Más tarde sepelean y Héctor le pide que le devuelva sus cromos y Leticia, muy digna, cuen-ta 40 cromos cualesquiera y se los da. Él los mezcla con los suyos.

¿Hay más cromos de motos entre los coches de Héctor o más cromos de co-ches entre las motos de Leticia?

El número de cromos que se intercambian es 40 en los dos casos. Luego, despuésde los cambios, los dos tienen la misma cantidad de cromos que tenían en un prin-cipio.

Los cromos de motos que tiene Héctor son los que le faltan a Leticia (y Leticia si-gue teniendo el mismo número de cromos que tenía en un principio; luego los cro-mos que le faltan de motos ahora son de coches).

Por tanto, el número de cromos de motos que hay entre los coches de Héctor es elmismo número de cromos de coches que hay entre las motos de Leticia.

30. ... Y MEZCLA DE LÍQUIDOS

Tienes dos jarras, una con zumo y la otra con agua, y un vaso vacío.

Llenamos el vaso con zumo de la primera y lo vertemos en la jarra de agua.Una vez mezclado, se vuelve a llenar el vaso con mezcla de la segunda y se vier-te en la primera.

¿Hay más zumo en el agua que agua en el zumo? ¿Es al contrario? ¿Hay, aca-so, la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo? ¿O depen-de de las cantidades de cada una que tuviéramos al principio?

Algo semejante a lo dicho en el problema anterior ocurre con el agua y el zumo: alfinal del proceso, la cantidad de líquido que hay en las dos jarras es la misma quehabía en un principio. Luego la cantidad de agua que hay ahora en la jarra de zu-mo es la que falta de agua en la jarra de agua (que está sustituida por zumo).

Por tanto, hay la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo.


0UNIDAD

31. UN ROBOT MUY MARCIAL

Un robot, al ponerse en marcha, camina de la siguiente forma:

Da un paso. Cambia de dirección y da dos pasos. Cambia de dirección y da trespasos... Así, sucesivamente, tras cada cambio de dirección da un paso más queen el tramo anterior. Y cada nueva dirección es perpendicular a la que traía.

¿Es posible que el robot pase por el punto de partida? ¿Y que cambie de direc-ción allí? ¿Cuál es el menor número de pasos con que se puede conseguir cadauna de estas dos posibilidades?

El robot se mueve en dos direcciones, que llamaremos N-S y E-O. Supondremosque empieza dando un paso hacia el este (E). Según esto, los tramos con un nú-mereo impar de pasos (1, 3, 5, 7, 9, …) los dará hacia el E o hacia el O, y los tra-mos con un número par de pasos (2, 4, 6, 8, …) los dará hacia el N o hacia el S.

Para conseguir que el robot pase por el punto inicial, I, tendremos en cuenta que 2 + 4 = 6. Observa cómo:

Los tramos 2 y 4 lo alejan 6 unidades hacia elS. El tramo 6 lo dirigimos hacia el N. Despuésde los seis primeros tramos, el robot está unpaso al O del punto I. El siguiente tramo (7) sedirige al E y tras el primer paso “pasa” por I.

El número total de pasos es:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22

Para conseguir que el robot “cambie de dirección en I”, es decir, complete un tra-mo en I, tendremos en cuenta que 1 + 7 = 3 + 5 y que 2 + 8 = 4 + 6. Observa cómo:

I1

23

45

6

7

8

A I1 2

34

5

6


32. PELADOS Y MELENUDOS

A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el pró-ximo sábado. Todavía no sabe si irá o no, pero hace indagaciones y averiguaque, entre los pijos, la probabilidad de que uno de ellos sea DIVERTIDO es ma-yor si tiene melena que si está pelado.

(1) PIJOS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]

Decide que, si va a la fiesta, ligará con un melenudo.

Estando en esas le llaman del Club de los Macarras para invitarle a una fiesta a lamisma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:

(2) MACARRAS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]

Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la quevaya, ligará con un melenudo.

Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndo-le de que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fiesta.Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de todosellos las cosas cambian radicalmente.

(3) PIJOS + MACARRAS: P [DIVERTIDO/MELENA] < P [DIVERTIDO/PELADO]

Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.

¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para dos ta-blas como esta, una para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que en la primera secumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas se cumpla (3):

Empecemos poniendo un ejemplo numérico para entender mejor la situación. Su-pongamos que tenemos lo siguiente:

10 Pijos

1 melenudo 1 divertido (100%)

9 pelados8 divertidos (88,9%)

1 no divertido

10 Macarras

8 melenudos5 divertidos (62,5%)

3 no divertidos

2 pelados1 divertido (50%)

1 no divertido

MELENA PELADO

DIVERTIDO

ABURRIDO


0UNIDAD

Si observamos estos resultados, vemos que la clave está en que hay más divertidosentre este grupo de pijos que entre este grupo de macarras; y que hay muy pocospijos melenudos.

Si hay un pijo melenudo que sea divertido, ya supone un porcentaje alto del totalde pijos melenudos.

Página 22

33. HOJAS DE PAPEL

Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cadauno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.

I Teniendo esto en cuenta y sabiendo que la su-perficie de A0 es 1 m2, calcula las dimensionesde una hoja A4 (es la de uso más frecuente) re-dondeando hasta los milímetros. Comprueba elresultado midiendo una hoja A4.

II Demuestra que cualesquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:

Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene, MNPQ, tiene lapeculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángu-lo, MRSQ, semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).

I)

A1

A0

x

y/2

y

M N

PQ

M R

SQ

A3

A0

A2

A3A4

A5

A1

Al juntarlos a todos, tendríamos que:

20 Personas

9 melenudos6 divertidos (66,7%)

3 no divertidos

11 pelados9 divertidos (81,8%)

2 no divertidos


La superficie de A0 es 1 m2, es decir:

x y = 1 m2 ò y =

Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:

= ò = x2 ò y2 = 2x2

2= 2x2 ò = 2x2 ò 1 = 2x4 ò = x4

x = 4

= , y =

Las dimensiones de A0 son:

largo = m, ancho = m

Las dimensiones de A4 serán:

largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm

ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm

II) x

x

xxy – x

Q S P

M R N

y

1

44√2

4√24

A4

A0

x

x/4

y/4

y

A4 x/4

y/4

14√2

4√2

4√21

4√2√12

12

1x2)1

x(

y2

2x

y/2

y

x

1x


0UNIDAD

La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es: = = ( )2 =

(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).

La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es:

= = = + 1

Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:

= + 1

Veámoslo:

= = = = = + 1

Como queríamos probar.

34. ALCOHOL A CAZOS

Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a 7.En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de cadavasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-agua sea de 3 a 5?

alcohol alcohol alcohol

La proporción de alcohol es:

x + (12 – x) · = · 12

+ = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3

Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.

92

24 – 2x5

3x10

38

25

310

38

25

310

3 alcohol7 agua

x cazos

V1

2 alcohol3 agua

(12 – x) cazos

V2

3 alcohol5 agua

12 cazos

√2√2 + 12 – 1

√2 + 1

(√2 – 1) (√—2 + 1)

1

√2 – 1

x/xy/x – x/x

xy – x

√2—MQ—MR

√2√2 + 1

1

y/x + x/x

x/xy + x

x

√24√24√2

1/4√2

y

x


35. ALIGERANDO EL PASO

Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuen-ta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde.

Acelera el paso y recorre el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, lle-gando media hora antes de que salga el tren.

¿Qué distancia tenía que recorrer?

t = tiempo que tarda en recorrer x a 3,5 km/h

Si va a 5 km/h tarda t – 1,5 (1 hora y media menos)

Por tanto:

3,5t = 5t – 7,5; t = 5 horas

x = 17,5 km

Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).

36. SELLOS

Se ordenan 31 sellos de izquierda a derecha en orden creciente de precios. El pre-cio de cada sello difiere en 2 € de sus dos adyacentes.

Por el precio del último sello podríamos comprar el sello central y uno de los quetiene el lado.

¿Cuál de ellos?

Si llamamos pi al precio del sello que ocupa la posición i-ésima, tenemos una pro-gresión aritmética de diferencia d = 2. Así:

p31

= p1

+ 60. El sello central es el 16.°

p16

= p1

+ 30

p15

= p1

+ 28

p17

= p1

+ 32

Por tanto, el sello que buscamos es el anterior al central (el que está en la posición15.a).

°¢£

x = 3,5tx = 5 (t – 1,5)

1 htren

x3,5 km


0UNIDAD

Si fuera p31

= p16

+ p15

:

2p1

+ 58 = p1

+ 60 ò p1

= 2

°¢£

Si fuera p31

= p16

+ p17

:

2p1

+ 62 = p1

+ 60 ò p1

= –2 (imposible)

Son el 15.° y el 16.°

°¢£

°§¢§£

°§§§¢§§§£

**

**

37. LIBROS

Un librero compró dos manuscritos antiguos por 2 250 € y después los vendióobteniendo un beneficio del 40%.

El primer manuscrito le dejó un beneficio del 25% y el segundo un beneficiodel 50%, ¿cuánto pagó por cada manuscrito?

y = 2 250 – x

1,25x + 3 375 – 1,5x = 3 150; 225 = 0,25x

x = 900 €; y = 1 350 €

Por el primero pagó 900 € y por el segundo, 1 350 €.

38. ÁNGULOS SOBRE CUADRÍCULA

Demuestra que, en esta figura, a = b + g.

Intenta utilizar una cuadrícula como esta para demostrarlo.

a = . Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángulorectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.

b = , por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetosmiden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos de dos yuna unidad.

g = , pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unidades,se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 3 y 1 unidades (OA yAC, respectivamente).

Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que a = b + g, pues:

= = + ìCOD

ìAOC

ìAOD

ìBOD

ìAOC

ìCOD

AB

C

DO

ìBOD

g b a

°¢£

1.° 8 x x + y = 2 2502.° 8 y 1,25x + 1,5y = 2 250 · 1,4


39. ¡CON CALCULADORA!

a) Tu calculadora tiene la tecla $. Utilízala para calcular . Fácil,

¿no?

b) Se llama n! al producto

n · (n –1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1

Averigua el valor de n para el cual

= 110 355 024

☛ Es más fácil de lo que parece: interpreta lo que se te pide, piensa un poco y utili-za la calculadora.

a) $ 6765201 = {∫∫∫“\≠‘} $ = {∫∫∫∫∞‘}

b) = =

= n (n – 1)(n – 2)(n – 3)

Por tanto, hemos de averiguar el valor de n para el cual

n (n – 1)(n – 2)(n – 3) = 110 355 024

El producto de cuatro números consecutivos es un número muy grande. La raíz cuarta de este número será un número que esté “entre ellos”. Seguramente,estará entre los dos de en medio. Probemos:

$ 110 355 024 = {‘≠∞≠¢…££££∞“¢} $ = {‘≠“…¢£«£≠“≠“∞}Seguramente n – 2 = 102 y n – 1 = 103. Veamos:

104 · 103 · 102 · 101 = 110 355 024, efectivamente

Por tanto, n = 104.

40. PESOS, PESAS Y PESADAS

a) Con este juego de pesas:

1g 2 g 4 g 8 g 16 g 32 g 64 g

puedes realizar cualquier pesada comprendida entre 1 g y 123 g. Comprué-balo “pesando” 23 g, 89 g y 111 g.

Añade dos pesas más a dicho juego. ¿Hasta qué peso puedes llegar ahora?

b) Con este otro juego de pesas:

1 g 3 g 9 g 27 g 81 g

también puedes realizar muchas pesadas. ¿Cuál es la pesada máxima? ¿Có-mo pesarías 60 g? ¿Y 100 g? Añade otra pesa y consigue pesar 314 g.

☛ Prueba a poner pesas en los dos platillos.

n (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1

n!(n – 4)!

n!

(n – 4)!

4√6 765 201


0UNIDAD

a) 23 = 16 + 4 + 2 + 1

89 = 64 + 16 + 8 + 1

111 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1

Si se añaden las pesas 128 g y 256 g se pueden realizar, con las nueve, pesadasque van de 1 g a 511 g.

b) La pesada máxima es 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121 g.

Es decir, que con esas 5 pesas se puede realizar cualquier pesada entre 1 g y 121 g.

60 = 81 – 27 + 9 – 3

100 = 81 + 27 – 9 + 1

Estas cinco pesas son 1, 3, 32, 33, 34. Añadimos otra de 35 = 243 g:

314 = 243 + 81 – 9 – 1

314 g 243 g81 g

1 9

81 g100 g

19 27

60g

81 g3 927


Unidad 1. Números reales 1

Página 27

REFLEXIONA Y RESUELVE

El paso de Z a Q

■ Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles esnecesario el conjunto de los números racionales, Q.

a) –5x = 60 b)–7x = 22 c) 2x + 1 = 15

d)6x – 2 = 10 e) –3x – 3 = 1 f) –x + 7 = 6

Se pueden resolver en Z a), c), d) y f).

Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).

El paso de Q a Á

■ Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 9 = 0 b)5x2 – 15 = 0 c) x2 – 3x – 4 = 0

d)2x2 – 5x + 1 = 0 e) 7x2 – 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0

a) x2 – 9 = 0 8 x = ±3

b) 5x2 – 15 = 0 8 x2 = 3 8 x = ±

c) x2 – 3x – 4 = 0 8 x = = =

d) 2x2 – 5x + 1 = 0 8 x = = =

e) 7x2 – 7x = 0 8 x2 – x = 0 8 x = 0, x = 1

f) 2x2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –32

5 + √—17

—4

5 – √—17

—4

5 ± √—17

45 ± √25 – 8

4

4

–1

3 ± 52

3 ± √9 + 162

√3

NÚMEROS REALES1

Números irracionales

■ Demuestra que es irracional. Para ello, supón que no lo es: = . Eleva

al cuadrado y llega a una contradicción.

Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:

= 8 2 = 8 p2 = 2q2

En p2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición defactores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-to, en 2q2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplirla igualdad.

Suponiendo que = llegamos a una contradicción:

“p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2”.

Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.

■ Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.

= 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0

F = =

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F = .√5 + 1

2

1 + √—5

—2

1 – √—5

—(negativo)2

1 ± √1 + 42

1F – 1

F1

F – 1

F

1

√2

pq

√2

p2

q2pq

√2

√2

pq

√2√2

Unidad 1. Números reales2

1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:

; 5; –2; 4,5; 7,)3; – ; ; ;

2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada nú-mero puede estar en más de una casilla.

Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.

NATURALES, N 5; √—64

ENTEROS, Z 5; –2; √—64;

3√—–27

RACIONALES, Q 5; –2; 4,5; 7,)3;

3√—–27; √

—64

REALES, Á √—3; 5; –2; 4,5; 7,

)3; –

3√—6; √

—64;

3√—–27

NO REALES √—–8

NATURALES, NENTEROS, ZRACIONALES, QREALES, ÁNO REALES

Á Q

Z N

4,5

–25

7,)3√

—3

√—–8 √

—64 = 8

–3√

—6

3√—–27 = –3

Á Q

Z N

√–83√–27√64

3√6√3


1UNIDAD

3. Representa los siguientes conjuntos:

a) (–3, –1) b) [4, +@) c) (3, 9] d) (–@, 0)


a) {x / –2 Ì x < 5} b) [–2, 5) « (5, 7]

c) (–@, 0) « (3, +@) d) (–@, 1) « (1, +@)

Página 30

1. Halla los siguientes valores absolutos:

a) |–11| b) |π| c) |– |

d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |

g) |1 – | h) | – | i) |7 – |

a) 11 b) π c)

d) 0 e) |3 – π| = π – 3

f) |3 – | = 3 – g) |1 – | = – 1

h) | – | = – i) |7 – | = – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

a) |x| = 5 b) |x| Ì 5 c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| Ì 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5 b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]

c) 6 y 2 d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@) f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)

√50√50√2√3√3√2

√2√2√2√2

√5

√50√3√2√2

√2

√5

a)

c)

b)

d)0 1

0 5–2 –2 0 5 7

0 3

a)

c)

b)

d)

–3

3

–1 0

0 96

0

0

4


1. Simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

a) = b) =

c) = y2 d) = =

e) = = = f ) = =

2. ¿Cuál es mayor, o ?

Reducimos a índice común:

= ; =

Por tanto, es mayor .

3. Reduce a índice común:

a) y b) y

a) = ; = b) = ;

4. Simplifica:

a) ( )8b) c)

a) ( )8 = k b) = c) = x

Página 32

5. Reduce:

a) · b) · c) · · d) ·

a) · =

b) · =

c) · · =

d) · = = = 212√2512√21712√(23)3 · (22)4

12√4412√83

8√278√28√228√24

6√356√36√34

15√2815√2315√25

3√44√8

8√24√2√2

6√33√9

5√23√2

6√x63√x215√x108√k

3√(√—x )6

5√3√—x10√√

—

√—k

9√132650

9√132651

3√51

36√a1418

√a736√a1512

√a5

9√132 6503√51

18√a712√a5

4√31

12√28561

3√13

12√29791

4√31

3√134√31

√38√348√81

3√43√229√269√64

√26√236√8

5√y10

3√x212√x84√x3

12√x9

8√819√64

6√8

5√y1012√x812√x9


1UNIDAD

6. Simplifica:

a) b) c) d)

a) = = b) 6

=

c) 6

= 6

= d) 4

= 4

= 4

7. Reduce:

a) b) c) d

a) = b) 6

= =

c) 10

= = d) 4

= = 3

8. Suma y simplifica:

a) 5 + 3 + 2

b) + –

c) + – –

d) – + +

e) –

a) 10

b) 3 + 5 – = 7

c) + – – = + – – =

= 3 + 5 – – 2 = 5

d) – + + = 3 – 5 + 2 + 2 = 5 – 3

e) – = 5 – 3 = 2√2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a

√2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33

√2√2√2√2√2

√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18

√2√2√2√2

√x

√18a√50a

√8√12√50√27

√8√2√50√18

√2√25 · 2√9 · 2

√x√x√x

4√34√ 36

3210√8

10√23√ 28

25

3√326√34√ 36

326√3√ 34

33

4√729

√3

5√16

√2

√93√3

3√32

√3

√ ab c

1c√ a

b c5√ a3 b5 ca2 b6 c6

6√a–1√ 1a√ a3

a4

6√a b√a3 b3

a2 b2√x–2√ 1x2√ x3

x5

4√a3 · b5 · c

√a · b3 · c3

6√a3

3√a2

√a · b3√a · b

5√x3√x


9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i ) j )

a) =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = = =

f) = = = =

g) = =

h) = = = =

i) = = = =

j) = = = = 3√105

2 3√1010

2 3√2 · 52 · 5

23√22 · 52

23√100

3√62

3 3√66

3 3√2 · 32 · 3

33√22 · 32

33√36

3√2510

3√52

101

23√5

23√23 · 5

13√40

2 3√55

23√52

23√25

2√23

4√26

4

3√2

4

√2 · 32

4

√18

3√210

3

5√2

3

√2 · 52

3

√50

√aa2

1

a √a

1

√a3

√213

√7

√3√73

3 3√22

33√22

33√4

5√77

5

√7

23√100

33√36

13√40

23√25

4

√18

3

√50

1

√a3

7√ 3

33√4

5

√7


1UNIDAD

10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) + + h) +

a) = = – 1

b) = =

c) = = + 1

d) =

e) = =

f ) = = = 5 + 2

g) + + = + 2 =

h) =

Página 36

1. Halla:

a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1

e) log4 64 f) log7 49 g) ln e4 h) ln e –1/4

i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(

2√—x

x – y

√—x + √

—y + √

—x – √

—y

x – y

5√—3

2√2

√22

√—2 – 1

1

√—2 + 1

1√22

√630 + 12√

—6

6

18 + 12 + 12√—6

6

(3√—2 + 2√

—3 )2

18 – 12

2√—3 + √

—5

7

2√—3 + √

—5

12 – 5

2√—3 + √

—5

(2√—3 – √

—5 ) (2√

—3 + √

—5 )

x + y + 2 √—x y

x – y(√

—x + √

—y) (√

—x + √

—y)

(√—x – √

—y ) (√

—x – √

—y )

√a(a – 1) (√

—a + 1)

(a – 1)

(a – 1) (√—a + 1)

(√—a – 1) (√

—a + 1)

x√—x – x√

—y + y√

—x – y√

—y

x – y(x + y) (√

—x – √

—y )

x – y(x + y) (√

—x – √

—y )

(√—x + √

—y ) (√

—x – √

—y )

√2√

—2 – 1

2 – 1

√—2 – 1

(√—2 + 1) (√

—2 – 1)

1

√—x + √

—y

1

√—x – √

—y

1

√—2 + 1

1

√—2 – 1

1

√2

3√—2 + 2√

—3

3√—2 – 2√

—3

1

2√—3 – √

—5

√—x + √

—y

√—x – √

—y

a – 1

√—a – 1

x + y

√—x + √

—y

1

√—2 + 1


a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2

c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1

e) log4 64 = log4 43 = 3 f) log7 49 = log7 72 = 2

g) ln e4 = 4 h) ln e–1/4 = –

i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2 j) log6 = log6 6–3 = –3

2. Halla la parte entera de:

a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000

d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64

5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,…

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125

4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,…

c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000

4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,…

d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1

–2 < log10 0,084 < –1 8 log10 0,084 = –1,…

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81

1 < log9 60 < 2 8 log9 60 = 1,…

f) ln e = 1

3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:

a) log2 1 500 b) log5 200

c) log100 200 d) log100 40

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.

a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500 b) = 3,29; 53,29 ≈ 200

c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200 d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40log 40log 100

log 200log 100

log 200log 5

log 1500log 2

8

)1216(

14


1UNIDAD

4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:

a) log5 b) log5

a) log5

3

= [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ –0,27

b) log5 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1

5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:

ln y = 2x – ln 5

ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5

ln y = ln 8 y =

Página 38

1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi-ciones:

a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.

b)Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.

c) Juana gana 19 000 € al año.

a) |Error absoluto| < 0,05 m2

|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%

b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas

|Error relativo| < < 0,014 = 1,4%

c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar lacantidad (es decir, que se trata de 19 mil €, redondeando a los “miles de eu-ros”), entonces:

|E.A.| < 0,5 miles de € = 500 € |E.R.| < < 0,027 = 2,7%

— Si suponemos que es 19 000 € exactamente:

|E.A.| < 0,5 € |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%0,5

19 000

0,519

0,537

0,0596,4

e2x

5e2x

5

32

32

5√A3

B2

– 0,83

13

13√A2

25B

5√A3

B2

3 A2√25B


2. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:

a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012

b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7

a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = ((8 · 105) : (2 · 10–4)) · 5 · 1011 =

= (4 · 109) · 5 · 1011 = 20 · 1020 = 2 · 1021

b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 48,6 · 10–7 + 0,93 · 10–7 – 6 · 10–7 =

= 43,53 · 10–7 = 4,353 · 10–6

3. Opera con la calculadora:

a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6)

b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9

a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6) ≈ 5,85 · 1012

b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9 = 2,37 · 10–10

Página 41

LENGUAJE MATEMÁTICO

1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso:

2. Expresa simbólicamente estas relaciones:

a) 13 es un número natural.

b) – 4 es un número entero.

c) 0,43 es un número racional.

N

M'N – M (M « N) – (M » N)

M – NM » N M « NN N

NU

N

M M M

M

M

M


1UNIDAD

d) π es un número real.

e) Todos los enteros son racionales.

f ) El intervalo [3, 4] está formado por números reales.

a) 13 é Nb) –4 é Zc) 0,43 é Qd) π é Áe) Z å Qf) [3, 4] å Á

3. Designa simbólicamente estos conjuntos:

a) Los números enteros mayores que –5 y menores que 7 (utiliza Z y el inter-valo abierto (–5, 7)).

b) Los números irracionales (utiliza Á y Q).

c) Los números racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.

d) Los números que son múltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los múltiplos de

p se designa p•).

a) {x é Z / x é (–5, 7)}

b) Á – Qc) {x é Q / 2 < x Ì 3}

d) {x / x = 2•

o x = 3•}

4. Traduce:

a) {x éZ /x Ó – 4}

b) {x éN /x > 5}

c) {x éN /1 < x Ì 9}

d) {x éZ /–2 Ì x < 7}

a) Números enteros mayores o iguales que –4.

b) Números naturales mayores que 5.

c) Números naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9.

d) Números enteros mayores o iguales que –2 y menores que 7.

5. ¿Cuáles son los números que forman el conjunto (Á – Q) � [0, 1]?

Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).


EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Números racionales e irracionales1 Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos N, Z,

Q y Á pertenecen:

2; ; 0,6); 127; – ; π; ; –13;

N: 2; 127

Z: 2; 127; –13

Q: 2; 0,6); 127; – ; ; –13;

Á: Todos

2 Escribe tres ejemplos de cada uno de los tipos de números que aparecen eneste esquema:

NÚMEROS:

Reales: –3; ; Racionales: –3; ; 1,0)7 Irracionales: ; – ;

Enteros: –3; 5; 128 Fraccionarios: ; – ; 1,)48 Naturales: 128; 8; 15

Negativos: –3; –7; –132

3 Busca tres números racionales y uno irracional comprendidos entre y .

=

=

Racionales: , ,

Irracional: › 0,7071…√22

2335

2235

2135

2535

57

2035

47

57

47

13

35

π2

√5√2137

137

√2

NATURALES

NEGATIVOSENTEROS

FRACCIONARIOS

RACIONALES

IRRACIONALES

REALES

°¢£

°§¢§£

°§¢§£

4313√16

957

4313√16

957

√3

PARA PRACTICAR


1UNIDAD

4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:

a) y b) 0,52)6 y 0,

)526

c) 4,)89 y 2 d) –2,098 y –2,1

a) b) 0,52)6 c) 4,

)89 d) –2,098

5 Indica si cada uno de los siguientes números es racional o irracional:

–547; ; ; ; ; ; ; 0,342)

Racionales: –547; ; ; ; 0,342)

Irracionales: ; ;

6 Aproxima, por redondeo a las centésimas, los siguientes números:

; ; ; 2π; e ; F

› 1,57 › 0,67 › 0,87

2π › 6,28 e › 2,72 F › 1,62

Potencias

7 Halla sin calculadora: ( – )–2 ( – )–1+ 4

( )–2· (– )–1

+ 4 = ( )2 · (– ) + 4 = – 4 + 4 = 0

8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:

a) b)

c) d)

☛ Mira el problema resuelto número 2.

a) = b) = =

c) = = d) = a2 c8

b6c7 a5 ca3 b4 b2

1768

128 · 3

32 · 52 · 2–3

23 · 33 · 22 · 52

8027

24 · 533

34 · 24 · 3–2

5–1 · 3552

36 · 25 · 52

36 · 26 · 5

a–3 b–4 c7

a–5 b2 c–1152 · 8–1

63 · 102

34 · 16 · 9–1

5–1 · 3536 · 25 · 52

93 · 43 · 5

94

43

49

34

79

13

34

32

√32

23

117

√32

23

117

π2

√22

√8

517

√4133

517

π2

√4√22

133

√8

√2

√6

√214099


1

9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-nario y simplifica:

a) · b) c)

a) a2/5 · a1/2 = a9/10 = b) = x1/6 = c) a–3/4 =

10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:

a) b) c)

d) e) f)

a) = 2 b) = 7 c) = 5

d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1

11 Expresa como una potencia de base 2:

a) b) (–32)1/5 c) ( )4

a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2

12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:

a) 4 · · (– )3b) (– )4

· ( )–1·

c) d)

a) 22 · · = = b) · · = =

c) = = =

d) = – =

13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

a) b) 161/4 · ·

a) = a–7/4 =

b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1

14√a7

a3/4 · a–1

a · a1/2

16√

—4

3 1√ 4

4√—a3 · a–1

a√—a

–3400

352 · 24

32 · 52

–2 · 3 · 5 · 23 · 53

18125

2 · 32

5353 · 29 · 34

32 · 52 · 28 · 54(–5)3 · (–23)3 · (–32)2

32 · 52 · (22 · 5)4

9256

32

28123

32

2124

–92

–32

2(–3)3

2313

(–30)–1 · 152

103(–5)3 (–8)3 (–9)2

152 · 204

18

29

12

32

13

8√21

√2

3√0,133√21212√ 1

4

4√543√735√25

3√0,0013√84√0,25

4√6253√343

5√32

4√a–36√xx2/3

x1/2

10√a9

14√—a3

3√—x2

√—x

√a5√a2


1UNIDAD

14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto enlas falsas:

a) = 1 b) (3–2)–3 ( )2= 1

c) = d) ( )–2– (–3)–2 =

a) Falsa. =

b) Verdadera. (3–2)–3 · ( )2 = 36 · ( )2 = 36 · = = 1

c) Verdadera. = = =

= + =

d) Verdadera. ( )–2– (–3)–2 = 32 – = 32 – = 9 – = =

15 Demuestra, utilizando potencias, que:

a) (0,125)1/3 = 2–1 b) (0,25)–1/2 = 2

a) (0,125)1/3 = ( )1/3= ( )1/3

= ( )1/3= = 2–1

b) (0,25)–1/2 = ( )–1/2= ( )–1/2

= ( )–1/2= (22)1/2 = 2

Radicales

16 Introduce los factores dentro de cada raíz:

a) 2 b) 4 c)

d) e) 2 f)

a) = b) 3

= = =

c) = d) 3

= 3

e) = = = f ) 3

= 3

= 3√ 3

25√ 352√ 3 · 5

53√8√234√264√24 · 22

√ 35√ 33 · 52

53 · 32√ 32x√ 22 · 3x

x2 · 23

3√163√243√42√ 43

4

3√243√3 · 23

3√1515

4√43 25√ 9

35

3x√ 82x

3 1√ 4

3√3

122

14

25100

12

123

18

1251 000

809

81 – 19

19

132

1(–3)2

13

815

15

13

(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)(1/3 – 1/5)

(1/32) – (1/52)1/3 – 1/5

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

36

36136

133

127

a4

b4a2 · b–2

a–2 · b2

809

13

815

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

127

a2 · b–2

a–2 · b2


17 Saca de la raíz el factor que puedas:

a) b) 4 c)

d) e) f)

g) h) i)

a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10

d) = 2a e) = f ) =

g) h) = 2 i) =

18 Simplifica:

a) b) c)

a) 6

= 6

= 6

= ( )3/6= ( )1/2

=

b) 8

= 8

= 8

= ( )4/8= ( )1/2

=

c) 4

= 4

= ( )2/4= ( )1/2

= =

19 Simplifica los siguientes radicales:

a) b) c)

d) e) f) :

a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) – = –3

d) = = · = ·

e) 4

= = =

f ) : = : = 1√5√54√528√54

3√24

3

2√2

3

√23√ 34

26

4√y√24√y

4√224√22 · y12√26 · y3

3√223√33 · 22√36√333√3

3√23 · 3

4√258√625

4 81√ 64

12√64y3

3√–1086√27

3√24

√52

√5

√4

54

54√ 52

42√ 2516

√ 15

15

15√( 2 )410√ 24

104√ 1610000

√ 310

310

310√( 3 )310√ 33

103√ 271000

4 9√1 + —16

8√0,00166√0,027

5√a12√ 25a

16 · 9√a2 + 1√4 (a2 + 1)√ 1

a4a

√1316√ 13

36√ 5b

5a4√ 53 · a2

24 · b

3√a23√23 · a5

√10√23 · 53√2√2√233√23√24

a a√— + —9 16

√4a2 + 416√ a3

1 1√— + —4 9

125a2√ 16b

3√8a5

√1 000√83√16


1UNIDAD

20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:

a) , , b) ,

c) , d) , ,

a) , , ; = <

b) , ; <

c) , ; <

d) , , ; < <

21 Realiza la operación y simplifica, si es posible:

a) 4 · 5 b) 2 · c) ·

d) ( )2e) ( )3

f) :

a) 20 = 20 = 20 = 180

b) 2 = 2 = 6

c) = =

d) ( )2 = = 2 = 2

e) ( )3 = = = 22 = 4

f ) : = 2 : = 2

22 Efectúa y simplifica, si es posible:

a) · b) · · c) 3

d) :

☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, res-pectivamente.

a) = b) · · =

c) ( 6 )3 = ( 6 )3 = 6

= =

d) : = : = 6√3

6√226√22 · 3√ 3√—22

3√√—22 · 3

14

122√ 1

212√ 124√ 25

29

√a√a1

3√a

3√a6√108

6√22 · 33

√3√—4

3√2√—3)6√

—32

√—8

(√a3 1√ a

3√a√33√2

3√33√3

3√33√23 · 3

√2√2√256√2156√25

3√183√2 · 323√24 · 323√22 · 3

12√ 1

4√ 28

√ 12√ 9

2√ 4 · 273 · 8

√2√2 · 34√33 · 2 · 3√27 · 6

3√33√24

6√323√12

1√ 8√2

27√ 8

4√ 3√6√27

4√726√100

3√912√10000

12√6 56112√373 248

5√104√6

20√1000020√7 776

√63√4

6√166√216

3√3√24√4

12√6412√81

12√64

6√1003√9

4√725√10

4√6

3√4√6√23√3

4√4


23 Expresa con una única raíz:

a) b) c) ( · ) :

a) =

b) = =

c) 20

= = a

24 Racionaliza los denominadores y simplifica:

a) b) c)

d) e)

a) = = =

b) =

c) =

d) = = =

e) = = = 8

25 Calcula y simplifica:

a) 5 + 6 – 7 + b) + 2 – –

c) + – – d) ( + ) ( – 1)

a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35

b) 2 + 2 – 3 – 21 = –20

c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 +

d) – + – = 2 – + 3 – = + 2 √2√3√3√2√2√3√3√18√2√12

√6√5√6√5√6√5

3√23√2

3√23√2

3√2

√5√5√5√5√5

√6√3√2√24√45√54√125

3√250215

3√543√2

3√16√8032

√20√45√125

8 √8

√8

3√8 + 6√—8 – √

—8

√8

√23 · 32 + 3√—25 – √

—23

√23

3 – √32

3 (3 – √3 ) 2 · 3

9 – 3√36

3 (3 – √3 ) 9 – 3

2 – √22

(√2 – 1) √—2

2

3√42

3√22

2

√63

2√63 · 2

2√3

3√2

2√3

√2 · 32

√—72 + 3√

—32 – √

—8

√—8

3

3 + √—3

√—2 – 1

√—2

23√2

2√3

√18

20√a20√a21√a15 · a16

a10

12√12812√2712√24 · 23

6√212√4

√a5√a44√a3

3√24√

—8

4√3√—4


1UNIDAD

26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a) 3 – 2 + 5 – 4

b) – 4 +

c) 7 – 2 +

a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7

b) – 4 + = – + =

c) 7 – 2 + = 21 – 2a + = ( – 2a)27 Efectúa y simplifica:

a) ( + )2 – ( – )2 b) ( + )2

c) ( – ) ( + ) d) (2 – 3 )2

e) ( – 1) ( + 1)

a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4

b) 2 + 2 = 4 + 2

c) 5 – 6 = –1

d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12

e) (2 – 1) =

28 Racionaliza y simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

a) = = = =

= = √6 – 13

2 (√6 – 1)3 · 2

2√6 – 23 · 2

(2√3 – √—2 ) √—

2

3√2 · √—2

2√3 – √—2

3√2

2√3 – √—2

√2 · 32

3√—6 + 2√

—2

3√—3 + 2

11

2√—5 + 3

3

√—5 – 2

1

2(√—3 – √

—5 )

2√—3 + √

—2

√—12

2√—3 – √

—2

√—18

√3√3

√10√10

√10√3√10√12

√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3

√3√2√2

√2√5√6√5√6√5

√2√5√6√2√3√2√3

3√3a1065

3√3a5

3√3a3√3a

3√3a5

3√3a43√34 · a

√ 25

–5345√ 2

529√ 2

5125√ 2

5√ 23

32 · 513√ 2 · 32

53√ 25

3√23√2

3√23√2

3√23√2

3√2 · 333√2 · 533√24

3√—3a5

3√3a43√81a

8√ 4513

18√125

2√ 5

3√23√54

3√2503√16


b) = = = = 1 +

c) = = = –

d) = = 3 ( + 2) = 3 + 6

e) = = = 2 – 3

f ) = = =

= = =

29 Efectúa y simplifica:

a) – b) –

a) = = + 5

b) = =

= = –2

Página 45

Notación científica y errores

30 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas.Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra delerror relativo cometidos.

a) (3,12 · 10–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108

4,32 · 103

√352√

—7 (–2√

—5 )

2

(√—7 – √

—5 + √

—7 + √

—5 ) (√—

7 – √—5 – √

—7 – √

—5 )

7 – 5

(√—7 – √

—5 )2 – (√—

7 + √—5 )2

(√—7 + √

—5 ) (√—

7 – √—5 )

√2√33√

—3 + 3√

—2 – 2√

—3 + 2√

—2

3 – 23 (√—

3 + √—2 ) – 2 (√—

3 – √—2 )

(√—3 – √

—2 ) (√—

3 + √—2 )

√—7 + √

—5

√—7 – √

—5

√—7 – √

—5

√—7 + √

—5

2

√—3 + √

—2

3

√—3 – √

—2

√223√2

2327√

—2 – 4√

—2

23

9√—2 · 32 – 4√

—2

239√

—18 – 6√

—6 + 6√

—6 – 4√

—2

27 – 4

(3 √—6 + 2√

—2 ) (3 √

—3 – 2)

(3√—3 + 2) (3√

—3 – 2)

√511 (2√

—5 – 3)

11

11 (2√—5 – 3)

20 – 9

11 (2√—5 – 3)

(2√—5 + 3) (2√

—5 – 3)

√5√53 (√5 + 2)

5 – 4

3 (√5 + 2)(√5 – 2) (√—

5 + 2)

√3 + √—5

4

√3 + √—5

– 4

√3 + √—5

2 (3 – 5)

(√3 + √—5 )

2 (√3 – √—5 )(√—

3 + √—5 )

√66

6 + √66

(2√3 + √—2 ) √—

3

2√3 · √—3

2√3 + √—2

2√3

2√3 + √—2

√22 · 3


1UNIDAD

b)

c)

a) 1,41 · 102 |Error absoluto| < 0,5; |Error relativo| < 0,0035

b) –1,58 · 105 |Error absoluto| < 500; |Error relativo| < 0,0032

c) –2,65 · 106 |Error absoluto| < 5 000; |Error relativo| < 0,0019

31 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa anotación científica los que no lo estén:

a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011

b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12

a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013

b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9

32 Efectúa:

–7,268 · 10–12

33 Expresa en notación científica y calcula:

= 150

34 Considera los números: A = 3,2 · 107; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105

Calcula . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da

una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

0,00793125 = 7,93 · 10–3

|Error absoluto| < 5 · 10–6; |Error relativo| < 6,31 · 10–4

35 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011 y D = 6,2 · 10–6, calcula

( + C ) · D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota

del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

2 749 882,353 ≈ 2,75 · 106

|Error absoluto| < 5 · 103

|Error relativo| < 1,82 · 10–3

AB

B + CA

(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4

104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5

60 0003 · 0,000024

1002 · 72 000 000 · 0,00025

2 · 10–7 – 3 · 10–5

4 · 106 + 105

5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102

8,2 · 10–3 – 2 · 10–4

(12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)9,2 · 106


Intervalos y valor absoluto

36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos:

a) x es menor que –5.

b) 3 es menor o igual que x.

c) x está comprendido entre –5 y 1.

d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.

a) x < –5; (–@, –5)

b) 3 Ì x ; [3, +@)

c) –5 < x < 1; (–5, 1)

d) –2 Ì x Ì 0; [–2, 0]

37 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:

a) –3 Ì x Ì 2 b) 5 < x c) x Ó –2

d) –2 Ì x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f) –3 Ì x

a) [–3, 2] b) (5, +@)

c) [–2, +@) d) [–2, )e) (4; 4,1) f ) [–3, +@)

38 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos in-tervalos:

a) [–2, 7] b) [13, +@) c) (–@, 0)

d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, +@)

a) –2 Ì x Ì 7 b) x Ó 13 c) x < 0

d) –3 < x Ì 0 e) Ì x < 6 f ) x > 0

39 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A � B) e (I � J):

a) A = [–3, 2] B = [0, 5]

b) I = [2, +@) J = (0, 10)

a) [0, 2]

b) [2, 10)

32

32

–5 0

0 3

–5 0 1

–2 0


1UNIDAD

–3 20

0

4 4,1 5

–2

–3

5

–2 0

0

3/2

40 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualda-des:

a) x < 3 o x Ó 5 b) x > 0 y x < 4

c) x Ì –1 o x > 1 d) x < 3 y x Ó –2

☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-cribe: (–@, 3)� [5, +@)

a) (–@, 3) « [5, @) b) (0, 4)

c) (–@, –1] « (1, @) d) [–2, 3)

41 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de es-tas expresiones:

a) |x| < 7 b) |x| Ó 5 c) |2x| < 8

d) |x – 1| Ì 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| Ó 1

a) |x| < 7 8 –7 < x < 7 8 Intervalo (–7, 7)

b) |x| Ó 5 8 x Ì –5 o x Ó 5 8 (–@, –5] « [5, +@)

c) |2x| < 8 8 |x| < 4 8 –4 < x < 4 8 Intervalo (–4, 4)

d) |x – 1| Ì 6 8 –5 Ì x Ì 7 8 Intervalo [–5, 7]

e) |x + 2| > 9 8 x < –11 o x > 7 8 (–@, –11) « (7, +@)

f) |x – 5| Ó 1 8 x Ì 4 o x Ó 6 8 (–@, 4] « [6, +@)

42 Averigua qué valores de x cumplen:

a) |x – 2| = 5 b) |x – 4| Ì 7 c) |x + 3| Ó 6

a) 7 y –3

b) –3 Ì x Ì 11; [–3, 11]

c) x Ì –9 o x Ó 3; (–@, –9] « [3, @)

43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que sepueda calcular la raíz en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

a) x – 4 Ó 0 ò x Ó 4; [4, +@)

b) 2x + 1 Ó 0 ò 2x Ó –1 ò x Ó – ; [– , +@)c) –x Ó 0 ò x Ì 0; (–@, 0]

12

12

x√1 + —2

√–x – 1√3 – 2x

√–x√2x + 1√x – 4


d) 3 – 2x Ó 0 ò 2x Ì 3 ò x Ì ; (–@, ]e) –x – 1 Ó 0 ò x Ì –1; (–@, –1]

f ) 1 + Ó 0 ò Ó –1 ò x Ó –2; [–2, +@)

44 Se llama distancia entre dos números a y b, al valor absoluto de la dife-rencia entre ellos:

d(a, b) = |a – b|

Halla la distancia entre los siguientes pares de números:

a) 7 y 3 b) 5 y 11

c) –3 y –9 d) –3 y 4

a) |7 – 3| = 4 b) |5 – 11| = 6

c) |–3 + 9| = 6 d) |–3 – 4| = 7

Página 46

45 Expresa como un único intervalo:

a) (1, 6] � [2, 5) b) [–1, 3) � (0, 3]

c) (1, 6] � [2, 7) d) [–1, 3) � (0, 4)

a) (1, 6] � [2, 5) = (1, 6]

b) [–1, 3) � (0, 3] = [–1, 3]

c) (1, 6] � [2, 7) = [2, 6]

d) [–1, 3) � (0, 4) = [0, 3)

Logaritmos

46 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2

b) log2 + log3 – log2 1

a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2 = 6 – 2 – 2 – =

b) log2 + log3 – log2 1 = –5 – 3 – 0 = –8127

132

32

12

√214

127

132

√214

x2

x2

32

32


1UNIDAD

47 Calcula la base de estos logaritmos:

a) logx 125 = 3 b) logx = –2

a) logx 125 = 3 8 x3 = 125 8 x = 5

b) logx = –2 8 x–2 = 8 x = 3

48 Calcula el valor de x en estas igualdades:

a) log 3x = 2 b) log x2 = –2

c) 7x = 115 d) 5–x = 3

a) x = = 4,19 b) 2 log x = –2; x =

c) x = = 2,438 d) x = – = –0,683

49 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.

a) log b) ln (2,3 · 1011) c) ln (7,2 · 10–5)

d) log3 42,9 e) log5 1,95 f ) log2 0,034

a) 1,085

b) ln (2,3 · 1011) › 26,161 8 e26,161 › 2,3 · 1011

c) ln (7,2 · 10–5) › –9,539 8 e–9,539 › 7,2 · 10–5

d) 3,42

e) 0,41

f) –4,88

50 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de loslogaritmos:

a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 – log 9

c) ln x = 3 ln 5 d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6

e) ln x = 4 ln 2 – ln 25

☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)

a) ln x = ln 17 + ln 13 8 x = 17 · 13 = 221 8 x = 221

b) log x = log 8 x = = 4

c) ln x = 3 ln 5 8 x = 53 = 125 8 x = 125

369

369

12

√148

log 3

log 5

log 115

log 7

110

2log 3

19

19

19


d) log x = log 8 x =

e) ln x = 4 ln 2 – ln 25 8 ln x = ln 24 – ln 251/2 8

8 ln x = ln 16 – ln 5 8 ln x = ln 8 x =

51 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;0,3; 0,03; 0,003.

log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477

log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477

log 3000 = 0,477 + 3 = 3,477

log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523

log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523

log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523

52 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) log b) log 0,1 k2 c) log d) (log k)1/2

a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4

b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8

c) (log 1 – log k) = – · 14,4 = –4,8

d) (14,4)1/2 = = 3,79

53 Calcula la base de cada caso:

a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2

c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2

☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para des-pejar x.

En c), x –2 = 0,04 ï = .

a) x2 = 8 x = b) x1/2 = 2 8 x = 4

c) = 8 x = 5 d) x–1/2 = 4 8 x = 116

4100

1x2

12

14

4100

1

x2

√14,4

13

13

3 1√ kk

100

165

165

12

253

12 · 2562


1UNIDAD

54 Halla el valor de x que verifica estas igualdades:

a) 3x = 0,005 b) 0,8x = 17 c) ex = 18

d) 1,5x = 15 e) 0,5x = 0,004 f ) ex = 0,1

a) x = = –4,82 b) x = = –12,70

c) ex = 18 8 x = ln 18 = 2,89 8 x = 2,89

d) x = = 6,68 e) x = = 7,97

f) ex = 0,1 8 x = ln 0,1 = –2,30 8 x = –2,30

55 Calcula x para que se cumpla:

a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32 + x = 172

a) log x2,7 = log 19 ò 2,7 log x = log 19 ò log x = = 0,47

x = 100,47 = 2,98

b) 70,5 = 3x ò x = = 0,88

c) log 32 + x = log 172 ò (2 + x) log 3 = log 172 ò 2 + x =

x = – 2 = 2,69

56 Si log k = x, escribe en función de x:

a) log k2 b) log c) log

a) 2 log k = 2x

b) log k – log 100 = x – 2

c) log 10k = (1 + x)

57 Comprueba que = – (siendo a ≠ 1).

= = –

Ha de ser a ? 1 para que log a ? 0 y podamos simplificar.

16

–1/2 log a

3 log a

– log a + 1/2 log a

3 log a

16

1log — + log √—a

alog a3

12

12

√10kk

100

log 172

log 3

log 172

log 3

70,5

3

log 19

2,7

log 0,004

log 0,5

log 15

log 1,5

log 17

log 0,8

log 0,005

log 3


Problemas aritméticos

58 El depósito de la calefacción de un edificio contiene 25 000 l de gasóleo. Estacantidad tarda en consumirse 40 días si la calefacción se enciende 5 horasdiarias.

En el mes de enero ha hecho mucho frío y se ha encendido 6 horas diariasdurante 25 días. ¿Cuántos litros de gasóleo quedan en el depósito?

☛ ¿Cuántos litros se consumen por hora?

40 · 5 = 200 horas

25 000 : 200 = 125 l/h (consumo de gasóleo por hora)

125 · 6 · 25 = 18 750 l consumidos en enero.

25 000 – 18 750 = 6 250 litros quedan en el depósito.

59 En una empresa hay dos fotocopiadoras que, trabajando 6 horas diarias, ha-cen 3 000 copias cada día.

Se quiere ampliar el negocio comprando otra fotocopiadora, de modo que sehagan 5 500 copias al día.

¿Cuántas horas al día tiene que trabajar cada una de las tres fotocopiadoras?

3000 : 12 = 250 copias por hora cada fotocopiadora.

5 500 : 250 = 22 horas diarias entre las tres.

22 : 3 = 7,)3 = 7 horas 20 minutos es el tiempo que tienen que trabajar las fotoco-

piadoras.

60 En un concurso se reparten 20 000 € entre las tres personas que han tardadomenos tiempo en realizar una prueba.

La primera ha tardado 4 minutos; la segunda, 5 minutos, y la tercera, 8 minu-tos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada una?

☛ ¿Cuántos minutos han tardado entre los tres?

Debemos repartir 20 000 € de forma inversamente proporcional al tiempo emplea-do:

+ + = + + = tardarían entre los tres

Al primero le corresponde = 8 695,65 €

Al segundo le corresponde = 6 956,52 €

Al tercero le corresponde = 4 347,83 €20000 · 5

23

20 000 · 823

20 000 · 1023

2340

540

840

1040

18

15

14


1UNIDAD

61 Un automóvil consume 6,4 l de gasolina por cada 100 km. ¿Cuántos kilóme-tros podrá recorrer con el depósito lleno en el que caben 52 l ?

52 : 6,4 = 8,125

8,125 · 100 = 812,5 km

62 Varios amigos se reúnen en un bar y toman 15 refrescos pagando 18,75 €en total. Uno de ellos tomó solo un refresco, otro tomó dos y el resto toma-ron 3 refrescos cada uno. ¿Cuántos amigos fueron y cuánto tuvo que pagarcada uno?

18,75 : 15 = 1,25 € por refresco.

1,25 paga el primero; 2,5 paga el segundo 8 3,75 € entre los dos.

Los restantes toman 15 – 3 = 12 refrescos.

12 : 3 = 4 amigos que paga cada uno 3,75 €.

Son 6 en total. Pagan 1,25 €, 2,5 € y 3,75 € los otros cuatro.

63 En una granja hay 75 gallinas que consumen 450 kg de maíz en 30 días. Paraaumentar la producción de huevos, se aumenta el número de gallinas a 200 yse compran 800 kg de maíz. ¿Cuántos días se podrá dar de comer a las gallinas?

450 : 30 = 15; 15 : 75 = 0,2 kg de maíz es lo que come una gallina en un día.

200 · 0,2 = 40 kg por día para alimentar 200 gallinas.

800 : 40 = 20 días podrán comer las gallinas.

64 Un empleado puede hacer los 2/3 de un trabajo en 7 días trabajando 5 horasdiarias, y otro, los 3/5 del mismo trabajo en 8 días de 8 horas de trabajo.¿Cuánto tiempo tardarán los dos juntos en hacer el trabajo, dedicando 6 ho-ras diarias?

Para hacer todo el trabajo el primero tarda: 5 · 7 · = horas

Y el segundo: 8 · 8 · =

En 1 hora los dos juntos hacen: + =

Para hacer todo el trabajo tardan: = 35,1832 horas

35,1832 : 6 ≈ 5 días 5 horas 11 minutos.

65 La fórmula u = 145p relaciona, aproximadamente, el número de pasos porminuto u de una persona y su longitud p en metros. Si doy pasos de 0,70m, ¿cuál es mi velocidad en km/h?

u = 145 · 0,7 = 101,5 pasos que doy en 1 minuto.

6 720191

1916 720

3320

2105

3203

53

1052

32


101,5 · 0,7 = 71,05 m que recorro en un minuto.

71,05 · 60 = 4 263 m que recorro en una hora.

4,263 km/h es mi velocidad.

66 Dos amigas, trabajando juntas, emplearían 3 días para hacer un trabajo. Des-pués del primer día, una de las dos lo tiene que dejar. Continúa la otra sola ytarda 6 días en acabar el trabajo. ¿En cuántos días haría el trabajo cada una ais-ladamente?

Después del primer día quedan por hacer los 2/3 y como la segunda amiga tarda

6 días, para hacer todo el trabajo tardaría = 9 días.

La primera hace por día – = del trabajo.

Por tanto, tardaría en hacer todo el trabajo = 4,5 días.

67 Una parcela de 45 m de ancho y 70 m de largo cuesta 28 350 €. ¿Cuánto cos-tará otra parcela de terreno de igual calidad de 60 m Ò 50 m?

La parcela inicial mide 45 · 70 = 3 150 m2

El precio del metro cuadrado es de 28 350 : 3 150 = 9 euros.

La otra parcela costará 60 · 50 · 9 = 27 000 euros.

68 Dos poblaciones A y B distan 350 km. A la misma hora sale un autobús deA hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a120 km/h. ¿Cuándo se cruzarán?

☛ Se aproximan a 80 + 120 = 200 km/h. ¿Cuánto tardarán en recorrer los 350 kma esa velocidad?

Si se aproximan a 80 + 120 = 200 km/h, en recorrer 350 km tardarán:

t = = 1,75 horas = 1 hora y 45 minutos

69 Un automóvil tarda 3 horas en ir de A a B y otro tarda 5 horas en ir de Ba A. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse si salen simultáneamen-te cada uno de su ciudad.

☛ ¿Qué fracción de la distancia AB recorre cada uno en una hora? ¿Y entre los dos?

El primero recorre 1/3 del camino en 1 hora.

El segundo recorre 1/5 del camino en 1 hora.

Entre los dos recorren: + = del camino en 1 hora.

Tardarán h = 1h 52' 30" en encontrarse.158

815

15

13

350200

92

29

19

13

6 · 32


1UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

1. Dados los números:

– ; ; ; ; ; ; 1,0)7

a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen.

b)Ordena de menor a mayor los reales.

c) ¿Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (–2, 11/9]?

a) N:

Z: ;

Q: ; ; – ; 1,0)7

Á: ; ; – ; 1,0)7; ;

b) < – < < 1,0)7 < <

c) – ; ; 1,0)7


a) {x / –3 Ì x < 1}

b) [4, +@)

c) (–@, 2) « (5, +@)

3. Expresa en forma de intervalo en cada caso:

a) |x| Ó 8

b)|x – 4| < 5

a) (–@, –8] « [8, +@)

b) (–1, 9)

–3 0 1a)

0 4b)

50 2c)

π3

5845

5117

5√23π3

5845

3√–8

5√23π3

5845

3√–85117

5845

3√–85117

3√–85117

5117

5√233√–84√–3

π3

5117

5845


4. Escribe como potencia y simplifica:

( · a–1) : (a )

( · a–1) : (a ) = (a3/4 · a–1) : (a · a1/2) = (a3/4 – 1) : (a1 + 1/2) = (a–1/4) : (a3/2) =a–1/4 – 3/2 = a–7/4

5. Multiplica y simplifica:

·

Reducimos los radicales a índice común:

mín.c.m. (3, 6) = 6 8 =

· = = = = 3a

6. Racionaliza:

a)

b)

a) = = = = +

b) = = = = 1 +

7. Reduce:

– 2 +

– 2 + = – 2 + = 3 – 4 + 5 = 4

8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x:

a) log3 x = –1

b) log x = 2,5

c) ln x = 2

a) log3 x = –1 8 x = 3–1 8 x =

b) log x = 2,5 8 x = 102,5 8 x = 105/2 = = 102

c) ln x = 2 8 x = e2

√10√105

13

√7√7√7√7√52 · 7√22 · 7√32 · 7√175√28√63

√175√28√63

√313

6 + 2√—3

6

6 + 2√—3

9 – 3

2(3 + √—3 )

(3 – √—3 ) (3 + √

—3 )

2

3 – √—3

√212

√323

4√—3 + 3√

—2

6

4√—3 + √

—18

2 · 3

(4 + √—6 ) (√

—3 )

(2√—3 ) (√

—3 )

4 + √—6

2√—3

2

3 – √—3

4 + √—6

2√—3

6√2ab46√2 · 36a7b46√2 · 93a7b46√92a4b2 · 18a3b26√18a3b23√9a2b

6√(9a2b)23√9a2b

6√18a3b23√9a2b

√a4√a3

√a4√a3


1UNIDAD

9. Calcula x en cada caso.

a) 2,5x = 0,0087

b) 1,0053x = 143

a) x log 2,5 = log 0,0087 8 x = = –5,18

b) 1,0053x = 143

Tomamos logaritmos:

log 1,0053x = log 143 8 3x log 1,005 = log 143 8 x = ≈ 331,68

10. Efectúa la siguiente operación, expresa el resultado con tres cifras significa-tivas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo:

(5 · 10–18) · (3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)

(5 · 10–18) · (3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7) = (1,76 · 10–2) : (–2,18 · 10–7) =

= –8,0734 · 104 ≈ –8,07 · 104

|Error absoluto| < 0,005 · 104 = 5 · 101

|Error relativo| < = 6,2 · 10–4

11. Expresa con un solo logaritmo y di el valor de A:

log 5 + 2 log 3 – log 4 = log A

log 5 + 2 log 3 – log 4 = log 5 + log 32 – log 4 = log 8 A = 454)5 · 9

4(

5 · 101

8,07 · 104

log 1433 log 1,005

log 0,0087log 2,5


Unidad 2. Aritmética mercantil 1

Página 49


Aumentos porcentuales

■ ¿En cuánto se transforman 250 € si aumentan el 12%?

250 · 1,12 = 280 €

■ Calcula en cuánto se transforma un capital C si sufre un aumento del:

a) 10% b) 20% c) 6% d) 6,5% e) 1% f) 0,3%

a) 1,10 C ; b) 1,20 C ; c) 1,06 C

d) 1,065 C ; e) 1,01 C ; f ) 1,003 C

Disminuciones porcentuales

■ ¿En cuánto se transforman 250 € si disminuyen el 12%?

250 · 0,88 = 220 €

■ Calcula en cuánto se transforma un capital C si sufre una disminución del:

a) 10% b) 20% c) 50% d) 6% e) 6,5% f) 0,8%

a) 0,90 C ; b) 0,80 C ; c) 0,50 C

d) 0,94 C ; e) 0,935 C ; f ) 0,992 C

Índice de variación

■ Di cuál es la variación porcentual que corresponde a cada una de las siguientestransformaciones:

a) C 8 1,15 C b)C 8 1,2 C c) C 8 1,042 C

d)C 8 0,85 C e) C 8 0,8 C f ) C 8 0,958 C

a) Aumento del 15%. b) Aumento del 20%. c) Aumento del 4,2%.

d) Disminución del 15%. e) Disminución del 20%. f) Disminución del 4,2%.

ARITMÉTICA MERCANTIL2

■ Di cuál es la variación porcentual que corresponde a cada una de las siguientestransformaciones:

a) 8 000 € 8 9 360 €

b) 12 560 € 8 11 932 €

c) 12 000 personas 8 10 320 personas

d) 23 500 personas 8 31 725 personas

a) Ha aumentado un 17%.

b) Ha disminuido un 5%.

c) Ha disminuido un 14%.

d) Ha aumentado un 35%.

Página 50

1. Una raqueta de tenis valía, al comienzo de temporada, 28 euros. A lo largo delaño sufrió las siguientes variaciones: subió un 20%, bajó un 25%, subió un 5%,bajó un 12%.

a) ¿Cuánto vale al final de temporada?

b) ¿Cuál ha sido su índice de variación total?

c) ¿Qué porcentaje ha de subir para volver a costar 28 €?

Precio final = 28 · 1,2 · 0,75 · 1,05 · 0,88 = 23,28 €

Índice de variación = 1,2 · 0,75 · 1,05 · 0,88 = 0,8316 (baja el precio un 16,84%)

Como el precio final es de 23,28 €, hasta llegar a los 28 € debe subir:

28 – 23,28 = 4,72 € 8 · 100 = 20,27%

Página 51

2. Después de subir un 20%, un artículo vale 45,60 euros.

¿Cuánto valía antes de la subida?

1,2x = 45,60 8 x = 38 €

3. Después de rebajarse en un 35%, un artículo vale 81,90 euros.

¿Cuánto valía antes de la rebaja?

0,65x = 81,90 8 x = 126 €

4,7223,28

Unidad 2. Aritmética mercantil2

1. ¿En cuánto se transforma un capital de 50 000 €, colocado al 12% anual, en 1, 2, 3,4 y 5 años?

En 1 año se transforma en 50 000 · 1,12 = 56 000 €.

En 2 años se transforma en 50 000 · 1,122 = 62 720 €.

En 3 años se transforma en 50 000 · 1,123 = 70 246,40 €.



2. ¿Cuántos años se necesitan para que se dupliquen 50 000 € colocados al 12%anual?

Hacen falta 7 años para que se duplique, ya que 50 000 · 1,127 > 10 000.

Página 54

3. Averigua en cuánto se transforma un capital de 100 000 € al 6% anual durante4 años si los períodos de capitalización son: a) años, b) meses, c) días, d) tri-mestres.

a) 100 000 · 1,064 = 126 247,70 € b) 100 000 · 1,00548 = 127 048,92 €

c) 100 000 · (1 + )1460= 127 122,41 € d) 100 000 · 1,01516 = 126 898,55 €

Página 55

1. Un banco nos concede un préstamo de 10 000 € al 12% anual. En el momentode la formalización nos cobra unos gastos de 500 €. Realizamos un solo pagoal cabo de un año, tomando periodos de capitalización mensuales.

¿Cuál es la T.A.E.? (Ten en cuenta que nos dieron 9 500 € y que hemos de de-volver 10 000 · 1,12). ¿Y si lo tuviéramos que devolver, íntegro, a los dos años?

Nos dieron 9 500 € y hemos de devolver 10000 ‚ 1,0112 = 11268,25 €.

= 1,18613… Por tanto, la T.A.E. será del 18,61%.

Como nos dan 9500 € y tenemos que devolver 10000 · 1,0124 = 12 697,35, el aumento

en dos años es: = 1,336563

Llamando x a la T.A.E.: 1 +2

= 1,336563 8 1 + = 1,1561

En este caso, la T.A.E. es del 15,61%.

x100)x

100(12697,35

9 500

11 268,259 500

636 500


2UNIDAD

1. Comprueba que podemos amortizar 10 000 € al 10% anual mediante cuatropagos trimestrales de 2 658,18 € cada uno.

10% anual = 2,5% trimestral

2. Comprueba que podemos amortizar un préstamo de 500 000 € al 6% anualcon 8 pagos mensuales de 63 914,43 €.

6% anual = 0,5% mensual

Página 58

1. Depositamos 100 000 euros el día 1 de enero en un banco al 8% anual. ¿Qué va-lor tienen al final de cada trimestre del año? Estas cantidades están en progre-sión geométrica. ¿Cuál es la razón?

8% anual = 2% trimestral

Al final del primer trimestre valen 100 000 · 1,02 = 102 000 €.

Al final del segundo trimestre valen 100 000 · 1,022 = 104 040 €.

Al final del tercer trimestre valen 100 000 · 1,023 = 106 120,80 €.

Al final del cuarto trimestre valen 100 000 · 1,024 = 108 243,22 €.

La razón es r = 1,02

PAGOTRIMESTRAL

12345678

DEUDA ANTESDEL PAGO

500000,00438 585,57376 864,07314 833,96252 493,70189 841,74126 876,5263 596,47

INTERESESPENDIENTES

2500,002 192,931 884,321574,171 262,47

949,21634,38317,98

PAGO

63914,4363 914,4363 914,4363 914,4363 914,4363 914,4363 914,4363 914,43

CANTIDADAMORTIZADA

61414,4361 721,5062 030,1162 340,2662 651,9662 965,2263 280,0563 596,45

DEUDAPENDIENTE

438585,57376 864,07314 833,96252 493,70189 841,74126 876,5263 596,47

0,02

PAGOTRIMESTRAL

1234

DEUDA ANTESDEL PAGO

10000,007 591,825 123,442 593,35

INTERESESPENDIENTES

250,00189,80128,0964,83

PAGO

2658,182 658,182 658,182 658,18

CANTIDADAMORTIZADA

2408,182 468,382 530,092 593,35

DEUDAPENDIENTE

7591,825 123,442 593,35

0


2. Depositamos un cierto dinero al comienzo de un año, en un banco, al 6%anual. Cada mes esa cantidad aumenta en progresión geométrica. ¿Cuál es larazón?


La razón es r = 1,005.

Página 59

3. Al comienzo de cada año depositamos 6 000 euros en un banco al 7% anual.¿Cuánto dinero recogeremos al finalizar el 10.º año?

Por el primer ingreso acumulamos 6 000 · 1,0710.

Por el segundo ingreso acumulamos 6 000 · 1,079.

… …

Por el décimo ingreso acumulamos 6 000 · 1,07.

En total, tendremos S10 = = 88 701,60 €.

4. Al comienzo de cada mes depositamos 100 € en un banco al 6% anual. ¿Cuán-to recogeremos al final del 2.º año?

Por el primer ingreso acumulamos 100 · 1,00524.

Por el segundo ingreso acumulamos 100 · 1,00523.

… …

Por el vigesimocuarto ingreso acumulamos 100 · 1,005.

En total, tendremos S24 = = 2 555,91 €.

Página 62

1. Averigua la mensualidad que hay que pagar para amortizar en 3 años (36 pagos)una deuda de 24 000 euros al 9% anual.

i = = 0,0075 m = 24 000 · = 763,19 €

2. ¿Cuánto hay que pagar cada trimestre para amortizar en 3 años (12 pagos) unadeuda de 24 000 € al 9% anual?

i = = 0,0225

Así, cada trimestre tendremos que pagar: 24 000 · = 2 304,42 €1,022512 · 0,02251,022512 – 1

9400

1,007536 · 0,00751,007536 – 1

91 200

100 · 1,00525 – 100 · 1,0051,005 – 1

6 000 · 1,0711 – 6 000 · 1,071,07 – 1


2UNIDAD


Porcentajes

1 Una entrada de un cine costaba el año pasado 5,50 € y este año, 6,25 €.

¿Cuál ha sido el índice de variación? ¿Y el porcentaje de subida?

Índice de variación = = 1,1)36

Porcentaje de subida = 13,64%

2 Averigua el índice de variación del precio de un televisor que costaba 450 €,después de subirlo un 15% y rebajarlo en un 25%.

¿Cuál es el precio actual?

Índice de variación = 1,15 · 0,75 = 0,8625

Precio actual = 450 · 0,8625 = 388,13 €

3 La cantidad de agua de un embalse ha disminuido en un 35% respecto a loque había el mes pasado. Ahora contiene 74,25 millones de litros.

¿Cuántos litros tenía el mes pasado?

0,65x = 74,25 8 x = 114,23 millones de litros.

4 Si el precio de un artículo ha pasado de 35 € a 100 € en unos años, ¿cuál esel índice de variación?

¿Cuál ha sido el aumento expresado en porcentajes?

Índice de variación = = 2,8571. Ha aumentado un 185,71%.

Intereses

5 Un banco paga el 10% de interés anual. ¿Cuánto te darán al cabo de un añosi depositas 18 500 €?

¿Y si lo dejas durante 5 años?

Al cabo de un año nos darán 1 850 € de intereses; es decir, tendremos 20 350 €.

Al cabo de cinco años tendremos 18 500 · 1,15 = 29 794,44 €; es decir, 11 294,44 €

de intereses.

10035

6,255,50

PARA PRACTICAR


6 ¿En cuánto se transforma un capital de 3 500 € depositados durante tresmeses al 8,5% anual?

¿Y si se mantiene 5 años con periodos de capitalización trimestrales?

En tres meses:

8,5% anual 8 = 2,125 trimestral

3 500 · 1,02125 = 3 574,38 €

En cinco años: (20 trimestres)

3 500 · 1,0212520 = 5 329,78 €

7 Un capital colocado al 15% anual durante cuatro años se ha convertido en5 596,82 €.

¿A cuánto ascendía ese capital?

C · (1,15)4 = 5 596,82 8 C = 3 200 €

8 ¿Cuántos años tiene que estar depositado un capital de 15 000 €, al 4,7%anual, para convertirse en 18 000 €?

18000 = 15 000 · 1 +n

8 n ≈ 4

Debe permanecer 4 años.

9 Calcula el tanto por ciento anual al que se han de colocar 600 € para que endos años se conviertan en 699,84 €.

600 · (1 + )2 = 699,84 8 r = 8%

10 Depositamos 32 500 € en un banco durante un año y medio y se conviertenen 32 720 €.

¿Qué tanto por ciento mensual nos da el banco?

32720 = 32 500 · (1 + )188 r = 0,037% mensual

Amortización de préstamos

11 Un comerciante pide un préstamo de 5 000 euros para devolver en un solopago a los tres meses.

¿A cuánto debe ascender ese pago si el precio del dinero está al 12% anual?

12% anual es un 3% trimestral. El pago será de:

5 000 · 1,03 = 5 150 €

r100

r100

)4,7100(

8,54


2UNIDAD

12 Recibimos un préstamo de 8 500 € al 15% anual, que hemos de devolver enun solo pago. ¿Cuántos años han transcurrido si al liquidarlo pagamos14 866,55 €?

8500 · (1,15)t = 14 866,55 8 t = 4 años

13 Hemos de amortizar 50 000 € en 5 años, con un interés del 15%, de modoque cada año se paguen los intereses del capital pendiente más la quintaparte del capital total. Calcula lo que hay que pagar cada año.

14 Calcula el importe de la anualidad con la que se amortiza un préstamo de50 000 € en 5 años al 15%. ¿Y si se paga en mensualidades?

Anualidad = a = 50 000 · = 14 915,78 €

Mensualidad = m = 50 000 · = 1 189,50 €

15 En un examen de francés han aprobado el 60% de los estudiantes. En la re-cuperación de los suspendidos, aprueban el 30%. En total son 18 los apro-bados. ¿Cuál es el porcentaje de aprobados? ¿Cuántos estudiantes son?

☛ Ten en cuenta que solo el 40% se presenta a la recuperación. Suma los porcentajesde los que aprueban.

Porcentaje de aprobados = 60% + 0,3 · 40% = 72%

0,72x = 18 8 x = 25 estudiantes hay en total.

16 En un centro escolar, por cada 5 alumnos que aprueban todas las asignatu-ras hay 4 que suspenden alguna. ¿Qué fracción y qué porcentaje del total su-pone cada uno de los dos tipos?

Aprueban todas del total, un 55,56%.

Suspenden alguna del total, un 44,44%.49

59

PARA RESOLVER

1,012560 · 0,01251,012560 – 1

1,155 · 0,151,155 – 1

CAPITALPENDIENTE

PAGO PAGO PAGODE INTERESES

+DE CAPITAL

=ANUAL

DEUDAPENDIENTE

1.er año 50000 50 000 · 0,15 + 10000 = 17500 40000

2.º año 40000 40 000 · 0,15 + 10000 = 16000 30000

3.er año 30000 30 000 · 0,15 + 10000 = 14500 20000

4.º año 20000 20 000 · 0,15 + 10000 = 13000 10000

5.º año 10000 10 000 · 0,15 + 10000 = 11500 0


17 Calcula en cuánto se transforman 5 000 euros en un año al 10% si los pe-riodos de capitalización son: a) semestres; b) trimestres; c) meses. Di, encada caso, cuál es la T.A.E. correspondiente.

☛ a) 10% anual 8 5% durante 2 semestres 8 T.A.E.: (1 + 5/100)2 8 10,25%.

a) 10% anual = 5% semestral

5 000 · 1,052 = 5 000 · 1,1025 = 5 512,50 € 8 T.A.E. del 10,25%

b) 10% anual = 2,5% trimestral

5 000 · 1,0254 = 5 000 · 1,1038 = 5 519,06 € 8 T.A.E. del 10,38%

c) 10% anual = % mensual = % mensual

5 000 · (1 + )12= 5 000 · (1,008

)3)12 = 5 000 · 1,1047 = 5 523,57 € 8

8 T.A.E. del 10,47%

18 Si el precio del alquiler de un apartamento sube un 10% cada año, ¿cuántosaños tardaría en duplicarse?

1,1x = 2 8 x ≈ 8 años.

Página 67

19 Un banco paga el 2% trimestral. ¿Cuántos años tienen que estar depositados2 000 euros para convertirse en 2 536,48 €?

2000 · (1,02)t = 2 536,48 8 t = 12 trimestres = 3 años

20 Calcula la T.A.E. para un rédito anual del 10% con pagos mensuales de inte-reses.

10% anual = % mensual

Un capital C se transforma en un año en C · (1 + )12

Es decir, C · 1,1047.

Por tanto, la T.A.E. será del 10,47%.

21 Compramos un electrodoméstico de 750 € y lo pagamos en 24 plazos men-suales con un interés del 13%. ¿Cuál será la cuota mensual?

m = 750 · = 35,66 €

13 13(1 + ———)24· ———

1200 1200

13(1 + ———)24– 1

1 200

101200

1012

5600

56

1012


2UNIDAD

22 Una persona paga un coche en sesenta mensualidades de 333,67 €. Si el pre-cio del dinero está al 12% anual, ¿cuál sería el precio del coche si se pagaraal contado?

☛ Conocemos m y hay que calcular C. Sustituye los datos en la fórmula y despeja C.

C = · 333,67 ≈ 15000 €

23 Un ahorrador mete todos los años en la misma fecha 1 500 € en una cuentaque le produce el 6% anual. ¿Qué cantidad habrá acumulado al cabo de 3años?

C = 1 500 · 1,06 · = 5 061,92 €

24 Un banco nos concede un préstamo al 6%, que he-mos de amortizar en 7anualidades de 14 330,80 € cada una. ¿Cuánto dinero nos prestó?

a = C · 8 C = a ·

C = 14 330,80 · = 80 000 €

25 He recibido un préstamo de una financiera por el que tengo que pagar 10anualidades de 1 413,19 €. ¿Cuál es la cantidad prestada si el rédito es el10,5%?

C = 1 413,19 · = 8 500 €

26 Comprueba que si pagamos al final de cada año una anualidad de 2 500 € du-rante 8 años, al 5%, hemos pagado en total 23 872,77 €.

1.a anualidad: 2 500 en 7 años 8 2 500 · 1,057

2.a anualidad: 2 500 en 6 años 8 2 500 · 1,056

… …

7.a anualidad: 2 500 en 1 año 8 2 500 · 1,05

8.a anualidad: 2 500 8 2 500

En total:

S = 2 500 [1 + 1,05 + … + 1,056 + 1,057] = 2 500 · = 23 872,77 €

27 Un trabajador ahorra 5 000 € anuales que ingresa en el banco al principiode cada año. Si el banco le da un 9,5% de interés, ¿qué cantidad tendrá alcabo de 10 años?

5000 · 1,095 · = 85 192,59 €1,09510 – 10,095

1,058 – 11,05 – 1

1,10510 – 11,10510 · 0,105

1,067 – 11,067 · 0,06

(1 + i )n – 1(1 + i )n · i

(1 + i )n · i(1 + i )n – 1

1,063 – 10,06

1,0160 – 11,0160 · 0,01


28 Ingreso en un banco 3 500 € al principio de cada año al 8% durante 5 años.¿Cuánto dinero tendré al final del 5.º año?

1.er año 8 3500 en 5 años se convierte en 3 500 · 1,085

2.° año 8 3500 en 4 años se convierte en 3 500 · 1,084

… …

5.° año 8 3500 en 1 año se convierte en 3 500 · 1,08

En total, al final del 5.° año, tendremos:

S = 3 500 [1,08 + 1,082 + … + 1,085] = 3 500 · = 22 175,75 €

29 Una persona inicia un plan de pensiones a los 45 años, con cuotas mensua-les de 200 € al 9% anual, con periodos de capitalización mensuales. ¿De quécapital dispondrá a los 65 años?


20 años = 240 mensualidades

C = 200 · 1,0075 · = 134 579,20 €

30 Recibimos un préstamo de 10 000 € al 12% anual que hemos de pagar en unaño con plazos mensuales. El banco nos cobra 350 € por la gestión del prés-tamo en el momento de su concesión. Comprueba que la T.A.E. correspon-diente a ese préstamo es de un 16,77%.

☛ El banco nos cobra 10 000 € al 1% mensual, pero lo que realmente recibimos es9 650 €, que al r% anual (r = T.A.E.) será igual a lo que el banco nos cobra. Plan-tea la ecuación correspondiente y despeja r.

12% anual = 1% mensual

En realidad, recibimos 9 650 €.

Devolvemos 10 000 · 1,0112 = 11 268,25 €.

= 1,1677 8 La T.A.E. será del 16,77%.11 268,259 650

1,0075240 – 10,0075

PARA PROFUNDIZAR

1,086 – 1,081,08 – 1


2UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

1. El sueldo de un trabajador aumentó, a principios de año, de 1 450 € a 1 508 €.¿Cuál fue el índice de variación? ¿Y el porcentaje de subida?

Índice de variación: = 1,04

Porcentaje de subida: 4%

2. Unos pantalones que cuestan 50 € sufren un descuento de 10 € en las reba-jas. Posteriormente, vuelven a ser rebajados un 40%. Calcula su precio final ysu índice de variación.

Índice de variación de la primera rebaja: I1 = = 0,80

Índice de variación de la segunda rebaja: I2 = 1 – 0,40 = 0,60

Índice de variación total: I = I1 · I2 = 0,80 · 0,60 = 0,48

Precio final: 50 · 0,48 = 24 €

3. Ponemos 60 000 € en un banco al 3% anual. ¿Cuántos años debemos dejar esedinero en el banco para obtener 33 478,04 € de beneficio?

Cuando pasen n años, hemos de tener 60 000 + 33 478,04 = 93 478,04 €.

60 000 · 1 + n

= 93 478,04 8 60000 · (1,03)n = 93 478,04 8

8 1,03n = 8

8 n = 8 n = 15 años

4. Un banco ofrece un 7% anual. Ingresamos 12000 € y los mantenemos 2 años.Calcula el dinero que tendremos tras los 2 años si los periodos de capitaliza-ción son mensuales. ¿Y si son semestrales? Calcula la T.A.E. en ambos casos.

• Periodos de capitalización mensuales.

— Cálculo de la T.A.E.:

Al 7% anual le corresponde un = 0,58333% mensual.

En un año, el capital se multiplicará por:

1,005833312 = 1,07229… ≈ 1,0723 = 1 +

La T.A.E. es del 7,23%.

7,23100

712

log 1,56log 1,03

93 478,0460 000

)3100(

4050

15081450


— Cálculo del capital final tras 2 años:

12 000 · (1,0723)2 = 13 797,93 €

• Periodos de capitalización semestrales.

— Cálculo de la T.A.E.:

Al 7% anual le corresponde un = 3,5% semestral.

En un año, el capital se multiplica por 1,0352 = 1,071225 ≈ 1 +

La T.A.E. es del 7,12%.

— Cálculo del capital final tras 2 años:

12 000 · (1,0712)2 = 13 769,63 €

5. Pedimos un préstamo de 5 000 € al 5% de interés semestral, que ha de ser de-vuelto al cabo de 3 años en un solo pago. ¿Cuál será el importe de dicho pago?

Como 3 años son 6 semestres, el pago ascenderá a:

5 000 · 1 + 6

= 5 000 · (1,05)6 = 6 700,48 €

6. Hemos de amortizar 15 000 € en 3 años, a un interés anual del 10%, de formaque cada año se paguen los intereses del capital pendiente más la tercera par-te del capital total. Calcula el importe que hay que pagar cada año.

El primer año pagaremos 6 500 €; el segundo año, 6 000 €, y el tercero, 5 500 €.

7. Para la compra de un coche de 19 000 €, pedimos un préstamo al 7% de inte-rés anual que pagaremos en cuotas mensuales durante 6 años. ¿Cuál será lacuota mensual?

Aplicaremos la siguiente fórmula para calcular la mensualidad, m:

m = C · , donde C = 19 000, i = y n = 6 · 12 = 72

m = 19 000 · = 323,89 €(1,00583)72 · 0,00583

(1,00583)72 – 1

71 200

(1 + i )n · i(1 + i )n – 1

CAPITAL PENDIENTE INTERESES A PAGAR

1.er año 15000 € 15000 · 0,1 = 1 500 € 5000 + 1 500 = 6 500 €

10000 € 10000 · 0,1 = 1 000 € 5000 + 1 000 = 6 000 €

5000 € 5000 · 0,1 = 500 € 5000 + 500 = 5 500 €

2.º año

3.er año

)5100(

7,12100

72


2UNIDAD

Unidad 3. Álgebra 1

Página 69


Puñado de almendras

Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis, aun almacén de frutos secos.

Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:

— Coged las que queráis.

Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada vez,se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9 veces,cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Además, cadapadre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.

Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.

• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?

• ¿Y el de Juan?

• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?

• 2.° caso: 15 Ò 3

(x + y) (x – y) = 45

Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almendras) ysu hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).

• 3.er caso: 45 Ò 1

(x + y) (x – y) = 45

Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22puñados de 22 almendras (484 almendras).

Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2puñados.

Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo, 7puñados.

Sumando: 2x = 46 8 x = 23Restando: 2y = 44 8 y = 22

°¢£

x + y = 45x – y = 1

Sumando: 2x = 18 8 x = 9Restando: 2y = 12 8 y = 6

°¢£

x + y = 15x – y = 3

ÁLGEBRA3

Por tanto:

• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.

• Juan coge 23 puñados y Julio 22.

• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.

• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.

Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:

81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras

Sin necesidad del álgebra

Un galgo persigue a una liebre.

La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre.

¿Cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?

Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.

Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.


… …


Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán:

2 · 90 = 180 saltos el galgo

3 · 90 = 270 saltos la liebre

De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u.

Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u

Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.

Página 70

1. Efectúa la división:

P(x) = x5 – 6x3 – 25x

entre

Q(x) = x2 + 3x

Unidad 3. Álgebra2

x5 – 6x3 – 25x x2 + 3x

–x5 – 3x4 x3 – 3x2 + 3x – 9

–3x4

3x4 + 9x3 Cociente: x3 – 3x2 + 3x – 9

3x3 Resto: 2x

–3x3 – 9x2

–9x2

9x2 + 27x

2x

2. Calcula el cociente y el resto:

(6x5 + 9x4 – 7x3 + 7x2 – 8x + 5) : (3x2 – 3x – 1)

6x5 + 9x4 – 7x3 + 7x2 – 8x + 5 3x2 – 3x – 1

–6x5 + 6x4 + 2x3 2x3 + 5x2 + x +

15x4 – 5x3

–15x4 + 15x3 + 5x2

10x3 + 12x2

–10x3 + 10x2 + x

22x2 – x

–22x2 + 22x +

x +

3. Copia y completa:

■■ x4 + ■■ x3 + ■■ x2 – 3x + ■■ x3 – 2x2 + ■■ x + ■■

■■ x4 + ■■ x3 – 2x2 + 6x 2x + ■■

3x3 – x2 + ■■ x + ■■

■■ x3 + ■■ x2 + ■■ x + ■■

■■ x2 + ■■ x + 2

2x4 – x3 + x2 – 3x – 7 x3 – 2x2 + x – 3

–2x4 + 4x3 – 2x2 + 6x 2x + 3

3x3 – x2 + 3x – 7

–3x3 + 6x2 – 3x + 9

5x2 + 2

373

523

223

143

103

223

103


3UNIDAD

4. En una división de polinomios, el dividendo es de grado cinco y el divisor degrado dos.

¿Cuál es el grado del cociente? ¿Qué puedes decir del grado del resto?

El cociente es de grado tres. El resto es de grado inferior a dos.

5. a) ¿Cuánto han de valer a y b para que la siguiente división sea exacta?

(x4 – 5x3 + 3x2 + ax + b) : (x2 – 5x + 1)

b) ¿Cuánto han de valer a y b para que el resto de la división sea 3x – 7?

a) x4 – 5x3 + 3x2 + ax + b x2 – 5x + 1

–x4 + 5x3 – x2 x2 + 2

2 x2 + ax + b

–2 x2 + 10x – 2

(10 + a)x + (b – 2)

Para que la división sea exacta, debe cumplirse:

b) Para que el resto sea 3x – 7, debe cumplirse:

6. Expresa el resultado de las siguientes divisiones en la forma = c + :

a) b) c)

d) e) f )

g) h)

a) x + 9 x + 6 = 1 +

–x – 6 1

3

3x + 6

x + 9x + 6

3x3 + 4x2 – 5x + 2x + 2

x4 + 3x2 + 2x + 3x2 + 4x – 1

x3 – x2 + 2x + 1x2 + 5x – 2

3x2 – 4x + 1

x2 + 2x + 5x2 + 2x + 2

2x + 32x

x + 6x + 9

x + 9x + 6

rd

Dd

a = –7

b = –5

°¢£

10 + a = 3

b – 2 = –7

a = –10

b = 2

°¢£

10 + a = 0

b – 2 = 0

Unidad 3. Álgebra4

b) x + 6 x + 9

–x – 9 1 = 1 +

–3

= + = 1 +

d) x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 2

–x2 – 2x – 2 1 = 1 +

3

e) 3x2 – 4 x + 1

–3x2 – 3x 3x – 3

–3x – 4 = 3x – 3 +

3x + 3

–1

f) x3 – x2 + 2x + 1 x2 + 5x – 2

–x3 – 5x2 + 2x x – 6

–6x2 + 4x + 1

6x2 + 30x – 12

34x – 11

= x – 6 +

g) x4 + 3x2 + 2x + 3 x2 + 4x – 1

–x4 – 4x3 + x2 x2 – 4x + 20

–4x3 + 4x2 + 2x + 3

4x3 + 16x2 – 4x

20x2 – 2x + 3

–20x2 – 80x + 20

–82x + 23

= x2 – 4x + 20 + –82x + 23

x2 + 4x + 20x4 + 3x2 + 2x + 3

x2 + 4x – 1

34x – 11x2 + 5x – 2

x3 – x2 + 2x + 1x2 + 5x – 2

–1x + 1

3x2 – 4x + 1

3x2 + 2x + 2

x2 + 2x + 5x2 + 2x + 2

32x

32x

2x2x

2x + 32x

c)

–3x + 9

x + 6x + 9


3UNIDAD

h) 3x3 + 4x2 – 5x + 2 x + 2

–3x3 – 6x2 3x2 – 2x – 1

–2x2 – 5x + 2

2x2 + 4x

–x + 2

x + 2 = 3x2 – 2x – 1 +

4

Página 72

1. Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divi-siones de polinomios:

a) (x3 – 3x2 + 2x + 4) : (x + 1)

b) (5x5 + 14x4 – 5x3 – 4x2 + 5x – 2) : (x + 3)

c) (2x3 – 15x – 8) : (x – 3)

d) (x4 + x2 + 1) : (x + 1)

a) 1 –3 2 4 Cociente: x2 – 4x + 6

–1 –1 4 –6 Resto: –2

1 –4 6 –2

b) 5 14 –5 –4 5 –2 Cociente: 5x4 – x3 – 2x2 + 2x – 1

–3 –15 3 6 –6 3 Resto: 1

5 –1 –2 2 –1 1

c) 2 0 –15 –8 Cociente: 2x2 + 6x + 3

3 6 18 9 Resto: 1

2 6 3 1

d) 1 0 1 0 1 Cociente: x3 – x2 + 2x – 2

–1 –1 1 –2 2 Resto: 3

1 –1 2 –2 3

2. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla deRuffini:

a) (2x4 + x3 – 5x – 3) : (x – 2) b) (x5 – 32) : (x – 2)

4x + 2

3x3 + 4x2 – 5x + 2x + 2

Unidad 3. Álgebra6

c) (4x3 + 4x2 – 5x + 3) : (x + 1) d) (2,5x3 + 1,5x2 – 3,5x – 4,5) : (x – 1)

a) 2 1 0 –5 –3 Cociente: 2x3 + 5x2 + 10x + 15

2 4 10 20 30 Resto: 27

2 5 10 15 27

b) 1 0 0 0 0 –32 Cociente: x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

2 2 4 8 16 32 Resto: 0

1 2 4 8 16 0

c) 4 4 –5 3 Cociente: 4x2 – 5

–1 –4 0 5 Resto: 8

4 0 –5 8

d) 2,5 1,5 –3,5 –4,5 Cociente: 2,5x2 + 4x + 0,5

1 2,5 4 0,5 Resto: –4

2,5 4 0,5 –4

Página 74

1. Descompón en factores este polinomio: x4 – 4x3 + 7x2 – 12x + 12

1 –4 7 –12 12

2 2 –4 6 –12

1 –2 3 –6 0

2 2 0 6

1 0 3 0

x4 – 4x3 + 7x2 – 12x + 12 = (x – 2)2 (x2 + 3)

2. Factoriza el siguiente polinomio: x4 + x3 – 27x2 – 25x + 50

1 1 –27 –25 50

1 1 2 –25 –50 x = –5

1 2 –25 –50 0 x2 – 25 = 0 8 x2 = 25

–2 –2 0 50 x = 5

1 0 –25 0

x4 + x3 – 27x2 – 25x + 50 = (x – 1)(x + 2)(x – 5)(x + 5)


3UNIDAD

3. Observa y descompón en factores el polinomio:

x4 – 8x3 + 11x2 + 32x – 60

1 –8 11 32 –60

2 2 –12 –2 60

1 –6 –1 30 0

–2 –2 16 –30

1 –8 15 0

3 3 –15

1 –5 0

x4 – 8x3 + 11x2 + 32x – 60 = (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x – 5)

4. Razona por qué x – 1, x + 1, x + 5, x – 5 son, en principio, posibles diviso-res del polinomio x3 – x2 – 25x + 25.

a) Razona por qué x – 3 no puede serlo.

b) Descompón en factores dicho polinomio.

Los divisores del término independiente (25) son: 1 –1, 5, –5, 25, –25

Por tanto, los polinomios (x – 1), (x + 1), (x – 5), (x + 5) son posibles divisores delpolinomio dado.

a) 3 no es divisor de 25.

b) 1 –1 –25 25

1 1 0 –25

1 0 –25 0

5 5 25

1 5 0

x3 – x2 – 25x + 25 = (x – 1)(x – 5)(x + 5)

5. Factoriza estos polinomios:

a) x3 + x2 – 32x – 60 b)x3 + 8x2 + 21x + 18

c) x4 – 10x2 + 9 d)x3 – 5x2 + 2x + 8

e) x4 – 5x3 + 2x2 + 8x f) x4 + 5x2 – 36

g) x4 – 81 h)x4 + 3x3 – 5x2 – 3x – 4

Unidad 3. Álgebra8

a) 1 1 –32 –60

6 6 42 60

1 7 10 0 x3 + x2 – 32x – 60 = (x – 6)(x + 2)(x + 5)

–2 –2 –10

1 5 0

b) 1 8 21 18

–2 –2 –12 –18

1 6 9 0 x3 + 8x2 + 21x + 18 = (x + 2)(x + 3)2

–3 –3 –9

1 3 0

c) 1 0 –10 0 9

1 1 1 –9 –9

1 1 –9 –9 0

–1 –1 0 9 x4 – 10x2 + 9 = (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3)

1 0 –9 0

3 3 9

1 3 0

d) 1 –5 2 8

–1 –1 6 –8

1 –6 8 0 x3 – 5x2 + 2x + 8 = (x + 1)(x – 2)(x – 4)

2 2 –8

1 –4 0

e) Utilizamos el resultado obtenido en el apartado anterior:

x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x (x3 – 5x2 + 2x + 8) = x (x + 1)(x – 2)(x – 4)

f) 1 0 5 0 –36

2 2 4 18 36

1 2 9 18 0

–2 –2 0 –18

1 0 9 0

El polinomio x2 + 9 no tiene raíces reales.

Por tanto, x4 + 5x2 – 36 = (x2 + 9) · (x – 2) · (x + 2)


3UNIDAD

g) 1 0 0 0 –81

3 3 9 27 81

1 3 9 27 0 x4 – 81 = (x – 3)(x + 3)(x2 + 9)

–3 –3 0 –27

1 0 9 0

h) 1 3 –5 –3 4

–4 –4 4 4 –4

1 –1 –1 1 0

–1 –1 2 –1

1 –2 1 0

1 1 –1

1 –1 0

x4 + 3x3 – 5x2 – 3x + 4 = (x + 4)(x + 1)(x – 1)2

6. Factoriza los siguientes polinomios:

a) x2 – 4x b)x2 – 2x c) 4x – 12

d)x3 – 7x2 + 16x – 12 e) x2 – 2x + 1 f) x2 + 2x – 3

g) x3 + 4x2 + 3x h)x3 – 4x2 – 5x i ) x3 – x

j ) x4 + 2x3 + x2 k)x5 – 16 x l) x3 – 106x

a) x2 – 4x = x (x – 4) b) x2 – 2x = x (x – 2)

c) 4x – 12 = 4(x – 3) d) x3 – 7x2 + 16x – 12 = (x – 2)2(x – 3)

e) x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 f) x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)

g) x3 + 4x2 + 3x = x (x + 1)(x + 3) h) x3 – 4x2 – 5x = x (x + 1)(x – 5)

i) x3 – x = x (x – 1)(x + 1) j) x4 + 2x3 + x2 = x2(x + 1)2

k) x5 – 16 x = x (x – 2)(x + 2)(x2 + 4) l) x3 – 106x = x (x – 1 000)(x + 1 000)

Página 76

1. Simplifica:

a) b)

c) d)x4

x3 + 3x2x2 – 2x + 1x2 + 2x – 3

4x – 12x3 – 7x2 + 16x – 12

x3 – 4xx2 – 2x

Unidad 3. Álgebra10

e) f)

a) = = = = x + 2

b)

= =

c)

= =

d) = =

e)

= = =

f) = = =

2. Efectúa las siguientes sumas:

a) + – b) + – 3 c) + – 4

d) + – e) + – f) – –

a) + – = = =

= 11x – 3x2 + 30

10x2 + 30x

10x + 30 + 10x – 3x2 – 9x10x2 + 30x

10(x + 3) + 10x – 3x (x + 3)x (x + 3)10

310

1x + 3

1x

2625

x2 + 1x2 – 1

x + 3x – 1

34

1x2

1x

32

xx + 3

5x + 2

2(x + 1)3(x – 2)

4x

2xx + 1

xx – 1

310

1x + 3

1x

x – 1x (x + 1)

(x + 1)(x – 1)x (x + 1)2

x (x2 – 1)x 2(x2 + 2x + 1)

x3 – xx4 + 2x3 + x2

x + 3x – 5

(x + 1)(x + 3)(x + 1)(x – 5)

x (x2 + 4x + 3)x (x2 – 4x – 5)

x3 + 4x2 + 3xx3 – 4x2 – 5x

4 + 6— = 5

24 – 6— = –1

2

4 ± √16 + 202

–4 + 2—= –1

2–4 – 2—= –3

2

–4 ± √16 – 122

x2

x + 3x2 · x2

x2(x + 3)x4

x3 + 3x2

x – 1x + 3

(x – 1)2

(x – 1)(x + 3)x2 – 2x + 1x2 + 2x – 3

–2 + 4—= 1

2–2 – 4—= –3

2

–2 ± √4 + 122

4x2 – 4x + 4

4(x – 3)(x – 3)(x2 – 4x + 4)

4x – 12x3 – 7x2 + 16x – 12

1 –7 16 –12

3 3 –12 12

1 –4 4 0

(x + 2)(x – 2)(x – 2)

x2 – 4x – 2

x (x2 – 4)x (x – 2)

x3 – 4xx2 – 2x

x3 – xx4 + 2x3 + x2

x3 + 4x2 + 3xx3 – 4x2 – 5x


3UNIDAD

b) + – 3 = =

= =

c) + – 4 = =

= =

d) + – = =

= =

e) + – = =

f) – – = =

= =

=

Página 77

3. Efectúa estas operaciones:

a) ·

b) :

a) · = =

= =

b) : = · = =

= = x3 + 3x2 – 7x + 152x2 – x – 6

x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 152x2 + 3x – 4x – 6

(x2 – 2x + 3) (x + 5)(x – 2) (2x + 3)

x + 52x + 3

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x3 – x2 + 9x2 + 3x – 10

2x3 + 3x2 – 4x2 – 6x + 6x + 9x2 + 5x – 2x – 10

(x2 – 2x + 3) (2x +3)(x – 2) (x + 5)

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

–26x2 + 100x + 7625x2 – 25

25x2 + 75x + 25x + 75 – 25x2 – 25 – 26x2 + 26(x2 – 1)25

25(x + 3)(x + 1) – 25(x2 + 1) – 26(x2 – 1)(x2 – 1)25

2625

x2 + 1x2 – 1

x + 3x – 1

–3x2 + 4x + 44x2

4x + 4 – 3x2

4x234

1x2

1x

–x2 – x + 122x2 + 10x + 12

10x + 30 + 2x2 + 4x – 3x2 – 9x – 6x – 182x2 + 4x + 6x + 12

10(x + 3) + 2x (x + 2) – 3(x + 2)(x + 3)2(x + 2)(x + 3)

32

xx + 3

5x + 2

–10x2 + 38x – 243x2 – 6x

12x – 24 + 2x2 + 2x – 12x2 + 24x3x2 – 6x

12(x – 2) + 2x (x + 1) – 12x (x – 2)3x (x – 2)

2(x + 1)3(x – 2)

4x

–x + 3x2 – 1

x2 + x + 2x2 – 2x – 3x2 + 3x2 – 1

x (x + 1) + 2x (x – 1) – 3(x2 – 1)x2 – 1

2xx + 1

xx – 1


4. Calcula:

a) : · b) ·

a) : ( · ) = : = · =

= = =

=

b) · = = = =

= = = x2 – 1

Página 78

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x4 – x2 – 12 = 0

b) x4 – 8x2 – 9 = 0

a) x2 = = 2 y –2

b) x2 = = 3 y –3

2. Resuelve:

a) x4 + 10x2 + 9 = 0

b) x4 – x2 – 2 = 0

a) x2 = =

No tiene solución.

b) x4 – x2 – 2 = 0

x2 = = =

Hay dos soluciones: x1 = – ; x2 = √2√2

x2 = –1 8 No vale

x2 = 2 8 x = ± √2––1 ± 3

21 ± √9

21 ± √1 + 8

2

–1 8 (no vale)

–9 8 (no vale)–10 ± 8

2–10 ± √100 – 36

2

9 8 x = ±3–1 8 (no vale)

8 ± 102

8 ± √64 + 362

4 8 x = ±2–3 8 (no vale)

1 ± 72

1 ± √1 + 482

(x2 + 1) (x2 – 1)x2 + 1

x4 – 1x2 + 1

x4(x4 – 1)x4(x2 + 1)

x8 – x4

x6 + x4(x4 – x2) (x4 + x2)

(x2 + 1)x4x4 + x2

x4x4 – x2

x2 + 1

6x2 + 15x + 6x3 – x2

3(2x2 + 4x + x + 2)x3 – x2

3(2x + 1) (x + 2)x2(x – 1)

3(2x + 1)(x – 1)x

x + 2x

(x – 1)x3(2x + 1)

x + 2x

x2x + 1

x – 13

x + 2x

x4 + x2

x4x4 – x2

x2 + 1)x2x + 1

x – 13(x + 2

x


3UNIDAD

3. Resuelve:

a) – + 1 = x

b) – = 4

c) 2 + = x

d) 2 – = x

e) – 1 =

a) 1 – x =

1 + x2 – 2x = 2x – 3; x2 – 4x + 4 = 0; x = 2 (no vale)

No tiene solución.

b) 2x – 3 = 16 + x + 7 + 8

x – 26 = 8

x2 + 676 – 52x = 64 (x + 7)

x2 + 676 – 52x = 64x + 448

x2 – 116x + 228 = 0; x =

x = 114

c) = x – 2; x = x2 + 4 – 4x; 0 = x2 – 5x + 4

x = =

x = 4

d) 2 – x = ; 4 + x2 – 4x = x ; x2 – 5x + 4 = 0

x =

x = 1

e) – 1 =

3x + 3 = 1 + 8 – 2x + 2

5x – 6 = 2

25x2 + 36 – 60x = 4(8 – 2x)

25x2 – 52x + 4 = 0

x =

Así, x = 2.

x = 2

x = 0,08 8 no vale52 ± 48

50

√8 – 2x

√8 – 2x

√8 – 2x√3x + 3

4 8 (no vale)

1

√x

4

1 8 (no vale)5 ± 3

25 ± √25 – 16

2

√x

114

2 8 (no vale)

116 ± 1122

√x + 7

√x + 7

√2x – 3

√8 – 2x√3x + 3

√x

√x

√x + 7√2x – 3

√2x – 3


4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h en línea recta hasta P, y he-mos caminado a 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total, 99 minutos(99/60 horas).

¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?

—AP2 = x2 + 9 = t

—PC = 6 – x = ( – t )

t =

t = – +

+ =

15 + 12 (6 – x) = 99

15 + 72 – 12x = 99

15 = 12x + 27

225 (x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x

225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x

81x2 – 648x + 1 296 = 0

x2 – 8x + 16 = 0

x = = 4

Así, la distancia de B a P es de 4 km.

82

√x2 + 9

√x2 + 9

√x2 + 9

9960

6 – x5

√x2 + 94

9960

6 – x5

√x2 + 94

9960

6 – x5

√x2 + 94

3 km

6 km

x

A

PB

ARENA

MAR

C


3UNIDAD

°§§§¢§§§£

°§§§¢§§§£

= – + 9960

6 – x5

√x2 + 94

°§¢§£

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + = b) + = 4 c) + =

a) 10 (x + 3) + 10x = 3x (x + 3)

10x + 30 + 10x = 3x2 + 9x

0 = 3x2 – 11x – 30

x = =

x1 = 5,489; x2 = –1,822

b) 12 (x – 2) + 2x (x + 1) = 12x (x – 2)

12x – 24 + 2x2 + 2x = 12x2 – 24x

0 = 10x2 – 38x + 24

0 = 5x2 – 19x + 12; x = =

x1 = 3; x2 =

c) 4x + 4 = 3x2; 0 = 3x2 – 4x – 4

x = =

x1 = 2; x2 =

6. Resuelve:

a) + = 3 b) + = c) – =

a) x (x + 1) + 2x (x – 1) = 3 (x2 – 1)

x2 + x + 2x2 – 2x = 3x2 – 3

x = 3

b) 10 (x + 3) + 2x (x + 2) = 3 (x2 + 5x + 6)

10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18

0 = x2 + x – 12

x = = =

x1 = 3; x2 = –4

3

–4

–1 ± 72

–1 ± √1 + 482

2635

x2 + 1x2 – 1

x + 3x – 1

32

xx + 3

5x + 2

2xx + 1

xx – 1

–23

2

–2/3

4 ± 86

45

3

4/5

19 ± 1110

5,489

–1,822

11 ± 21,936

34

1x2

1x

2(x + 1)3(x – 2)

4x

310

1x + 3

1x


c) 35 (x + 3) (x + 1) – 35 (x2 + 1) = 26 (x2 – 1)

35 (x2 + 4x + 3) – 35 (x2 + 1) = 26 (x2 – 1)

35x2 + 140x + 105 – 35x2 – 35 = 26x2 – 26

26x2 – 140x – 96 = 0

x = = =

x1 = 6; x2 =

Página 81


a) 23x = 0,53x + 2 b) 34 – x 2 =

c) = 186 d) 7x + 2 = 5 764 801

a) 23x = 2–3x – 2; 3x = –3x – 2; 6x = –2; x =

b) 34 – x2= 3–2; 4 – x2 = –2; x2 = 6; x = ±

x1 = ; x2 = –

c) = 186; 22x – 2 – x – 2 = 186; 2x – 4 = 186

log 2x – 4 = log 186; (x – 4) log 2 = log 186

x = 4 + = 11,54

d) 7x + 2 = 78; x = 6

8. Resuelve:

a) 3x + 3x + 2 = 30 b) 5x + 1 + 5x + 5x –1 =

c) = 3 125 d) 52x = 0,24x – 6

a) 3x + 3x · 9 = 30 b) 5 · 5x + 5x + =

3x (10) = 30; 3x = 3; x = 1 5x · = ; x = 0315

315

315

5x

5

5x2 + 1

25x + 2

315

log 186log 2

22x – 2

2x + 2

√6√6

√6

–13

4x – 1

2x + 2

19

–813

6

–8/13

70 ± 8626

70 ± √702 – 4 · 13 · (–48)26


3UNIDAD

c) = 3 125 8 = 55 8 5x 2 + 1 – 2(x + 2) = 55

x2 + 1 – 2(x – 2) = 5 8 x2 – 2x – 8 = 0

d) 52x = 0,24x – 6 8 52x = 4x – 6

8 52x = 5–(4x – 6) 8

8 2x = –(4x – 6) 8 6x = 6 8 x = 1

Página 83

1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a) b) c)

a)

x2 – 9 = 2x – 1; x2 – 2x – 8 = 0

x = = =

x1 = 4; y1 = 7

x2 = –2; y2 = –5

b)

y = 5 – x

x (5 – x) = 6; 5x – x2 = 6; x2 – 5x + 6 = 0

x1 = 2; y1 = 3

x2 = 3; y2 = 2

c) x = 2y + 1

– = 2; = 2 +

3y + 1 = 4 + y + 1 + 4 ; 2y – 4 = 4 ; y – 2 = 2

y2 + 4 – 4y = 4y + 4; y2 – 8y = 0

y = 8 8 x = 17

y = 0 (no vale)

x = 17; y = 8

√y + 1√y + 1√y + 1

√y + 1√3y + 1√y + 1√3y + 1

x = 2

x = 3

°¢£

y + x = xy – 1xy = 6

4

–22 ± 6

22 ± √4 + 32

2

°¢£

y = 2x – 1y = x2 – 9

x = 2y + 1

√—x + y – √

—x – y = 2

°¢£

1 1 1— + — = 1 – —x y xyxy = 6

°§¢§£

2x – y – 1 = 0

x2 – 7 = y + 2°¢£

)15(

x = –2

x = 4

5x2 + 1

52(x + 2)5x2 + 1

25x + 2


2. Resuelve:

a)

b)

c)

a)

y = 1 – x; x2 + x (1 – x) + (1 – x)2 = 21

x2 + x – x2 + 1 + x2 – 2x = 21; x2 – x – 20 = 0

x = = =

x1 = –4; y1 = 5

x2 = 5; y2 = –4

b)

2x = X; 2y = Y

X = 4Y 8 4Y – Y = 768 8 Y = 256, X = 1 024

2y = 256 8 y = 8

2x = 1 024 8 x = 10

c)

8 x = 6, y = 3

Página 84

1. Reconoce como escalonados y resuelve:

a) b) 3x + 4y = 0

2y = –65x + y – z = 17

°§¢§£

x = 72x – 3y = 83x + y – z = 12

°§¢§£

°¢£

5x + y = (53)3 8 x + y = 95x – y = 53 8 x – y = 3

5x + y = 1253

5x – y = 125

°¢£

°¢£

X – Y = 768X/Y = 4

2x – 2y = 7682x – y = 4

°¢£

5 8 y = –4

–4 8 y = 51 ± 9

21 ± √1 + 80

2

x2 + x y + y2 = 21

x + y = 1

°¢£

5x + y = 1253

5x – y = 125°¢£

2x – 2y = 7682x – y = 4

°¢£

x2 + x y + y2 = 21

x + y = 1

°¢£


3UNIDAD

c) d)

2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:

a) b)

c) d)

x = –1

y = –2

z = –2

°§§¢§§£

y = –10 = –25

x =–5 – y

= –13

z = x + 2y + 3 = –2

°§¢§£

x + 2y – z = –3

3x + y = –5

5y = –10

b)

x = 1

y = –5

z = 4

°§¢§£

y = –5

z = 4

x = 1

°§¢§£

y = –5

2z = 8

3x = 3

a)

4x + y – z = 72y = 8

3x = 9

°§¢§£

x – 5y + 3z = 83y – z = 5

4z = 4

°§¢§£

x + 2y – z = –33x + y = –5

5y = –10

°§¢§£

y = –52z = 8

3x = 3

°§¢§£

x = 8

y = 4

z = –3

°§¢§£

y = 4

z = y – 7 = 4 – 7 = –3

x = 11 + z = 11 – 3 = 8

°§¢§£

y = 4

x – z = 11

y – z = 7

d)

x = –1

y = 4

z = 4

°§¢§£

x = –1

y = 4

z = 2x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4

°§¢§£

3x = –3

5y = 20

2x + y – z = –2

c)

x = 4

y = –3

z = 0

°§§¢§§£

–6y = — = – 3

2–4y

x = — = 43

z = 5x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0

°§¢§£

3x + 4y = 0

2y = –6

5x + y – z = 17

b)

x = 7

y = 2

z = 11

°§§¢§§£

x = 7

y =2x – 8

= 23

z = 3x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11

°§¢§£

x = 7

2x – 3y = 8

3x + y – z = 12

a)

y = 4x – z = 11

y – z = 7

°§¢§£

3x = –35y = 20

2x + y – z = –2

°§¢§£


3. Resuelve por el método de Gauss:

a)

b)

x = 4

y = 2

z = –3

°§§¢§§£

x = 20 = 45

y =14 – 2x

= 23

z = –3 – x + 2y = –3 – 4 + 4 = –3

°§¢§£

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

5x = 20

1.a

2.a

3.a + 1.a

°§¢§£

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

3x – 3y = 6

1.a

2.a

3.a + 2.a

°§¢§£

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

2x – y – z = 9

b)

x = 1

y = –2

z = 3

°§¢§£

x = 1z = 4 – x = 3y = 2 – x – z = 2 – 1 – 3 = –2

°§¢§£

x + y + z = 2x + z = 4x = 1

°§¢§£

x + y + z = 22x + 2z = 82x = 2

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

°§¢§£

x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0

a)

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

2x – y – z = 9

°§¢§£

x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0

°§¢§£

x = 3

y = 4

z = 9

°§§¢§§£

x = 9 = 33

y =8

= 42

z = 4x + y – 7 = 9

°§¢§£

4x + y – z = 7

2y = 8

3x = 9

d)

x = 15

y = 2

z = 1

°§§¢§§£

z = 1

y =5 + z

= 23

x = 8 + 5y – 3z = 8 + 10 – 3 = 15

°§¢§£

x – 5y + 3z = 8

3y – z = 5

4z = 4

c)


3UNIDAD

4. Resuelve:

a) b)

Página 86

5. Intenta resolver por el método de Gauss:

a) b)

c) d)

Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradictorias (si 2x – y es igual a 1, no pue-de ser igual a 2). Por tanto, el sistema es incompatible.

x + y + z = –22x – y = 12x – y = 0

°§¢§£

1.a

2.a + 1.a

3.a

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 0

°§¢§£

a)

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – 4z = 1

°§¢§£

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – z = 2

°§¢§£

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 1

°§¢§£

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 0

°§¢§£

x = 2

y = 15

z = –1

°§§¢§§£

x = 25x – 13

z = ––––––––– = –13

2x + 4z + 1 1y = ––––––––––– = —

5 5

°§¢§£

2x – 5y + 4z = –12x = 45x – 3z = 13

1.a

2.a – 1.a

3.a

°§¢§£

2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13

b)

x = 1

y = –1

z = 0

°§§¢§§£

x = 1

z =–1 + x

= 05

y = 1 – 2x + 2z = –1

°§¢§£

24x = 242x + y – 2z = 1–x + 5z = –1

2 · 1.a + 3.a

2.a

3.a : 2

°§¢§£

13x – 5z = 132x + y – 2z = 1

–2x + 10z = –2

1.a + 4 · 2.a

2.a

3.a – 3 · 2.a

°§¢§£

5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1

a)

2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13

°§¢§£

5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1

°§¢§£


Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en funciónde x:

(2.a) 8 y = 2x – 1

(1.a) 8 z = –2 – y – x = –2 – (2x – 1) – x = –2 – 2x + 1 – x = –3x – 1

Soluciones :

Para cada valor de x, se obtiene una solución del sistema. Por ejemplo:

Para x = 0 8 Para x = –2 8

Resolvemos el sistema resultante dando los valores de x e y en función de z :

Soluciones :

Para cada valor que le demos a z, se obtiene una solución del sistema. Por ejem-plo:

Para z = 0 8 x = 3, y = –2

Para z = 4 8 x = –1, y = 6

x = 3 – z

y = –2 + 2z

°¢£

x + z = 3 8 x = 3 – z

x + y – z = 1 8 y = 1 – x + z = 1 – (3 – z) + z = –2 + 2z

°¢£

La segunda ecuación no dice nada. Noes una ecuación. Por tanto, solo quedandos ecuaciones, la 1.a y la 3.a.

x + 4z = 30x + 0z = 0x + y – 4z = 1

°§¢§£

1.a

2.a – 3 · 1.a

3.a

x + 4z = 33x + 3z = 9x + y – 4z = 1

°§¢§£

1.a

2.a + 3.a

3.a

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – 4z = 1

°§¢§£

d)

La segunda ecuación es absurda. Nopuede ser 0 = 1.Por tanto, el sistema no tiene solución.

x – y + 4z = 30x + 0z = 1x + y – z = 2

°§¢§£

1.a

2.a – 3 · 1.a

3.a

x – y + 4z = 33x + 3z = 10x + y – z = 2

°§¢§£

1.a

2.a + 3.a

3.a

x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – z = 2

°§¢§£

c)

x = –2y = –5z = 5

°§¢§£

x = 0y = –1z = –1

°§¢§£

y = 2x – 1

z = –3x – 1

°¢£

x + y + z = –22x – y = 10 = 0

°§¢§£

1.a

2.a

3.a – 2.a

x + y + z = –22x – y = 12x – y = 1

°§¢§£

1.a

2.a + 1.a

3.a

x + y + z = –2x – 2y – z = 3

2x – y – z = 1

°§¢§£

b)


3UNIDAD

1. Resuelve estas inecuaciones:

a) 3x – 2 Ì 10 b) x – 2 > 1

c) 2x + 5 Ó 6 d) 3x + 1 Ì 15

a) 3x – 2 Ì 10 8 3x Ì 12 8 x Ì 4 b) x – 2 > 1 8 x > 3

Soluciones : {x / x Ì 4} = (–@, 4] Soluciones : {x / x > 3} = (3, +@)

c) 2x + 5 Ó 6 8 2x Ó 1 8 x Ó d) 3x + 1 Ì 15 8 3x Ì 14 8 x Ì

Soluciones : x / x Ó = , +@ Soluciones : x / x Ì = –@,

2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

a) b)

Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en elejercicio anterior.

a) Soluciones : {x / 3 < x Ì 4} = (3, 4]

b) Soluciones : x / Ì x Ì = ,

Página 88

3. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 Ó 0

c) x2 + 7 < 0 d) x2 – 4 Ì 0

a) x2 – 3x – 4 < 0 8 intervalo (–1, 4)

y = x2 – 3x – 4

2

4

2 4–2

–2

Y

X

]143

12[°

¢£

143

12

°¢£

1x Ó —

214

x Ì —3

°§§¢§§£

x Ì 4

x > 3

°¢£

2x + 5 Ó 63x + 1 Ì 15

°¢£

3x – 2 Ì 10x – 2 > 1

°¢£

]143(°

¢£

143

°¢£)1

2[°¢£

12

°¢£

143

12


b) x2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@ , –1] « [4, +@)

c) x2 + 7 < 0 8 No tiene solución

d) x2 – 4 Ì 0

La parábola y = x2 – 4 queda por debajo del eje X en el intervalo (–2, 2); y cor-ta al eje X en x = –2 y en x = 2.

Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

b)

a) 2x – 7 > 5 8 2x > 12 8 x > 6 8 (6, +@)

x2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@, –1] « [4, +@)

Solución: (6, +@)

• Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Verapartado d) del ejercicio anterior).

• Las soluciones de la segunda inecuación son:

x – 4 > 1 8 x > 5 8 (5, +@)

• Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Portanto, el sistema no tiene solución.

°¢£

x2 – 4 Ì 0

x – 4 > 1

b)

y = x2 – 3x – 4

2

4

2 4–2

–2

Y

X

x2 – 4 Ì 0

x – 4 > 1°¢£

x2 – 3x – 4 Ó 0

2x – 7 > 5°¢£

y = x2 + 7

4

8

2 4

12

–2

Y

X


3UNIDAD

1. Resuelve:

a) 3x + 2y Ó 6

b) x – y + 1 Ó 0

2. Resuelve:

a) x Ì –2

b) y > 1

Página 90

3. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h) 2x – 3y Ó –3x + y Ó 11x Ì 2

°§¢§£

2x – 3y Ì –3x + y Ì 11x Ó 2

°§¢§£

x + y Ì 11–x + 2y Ì 10y Ó 9

°§¢§£

x + y Ì 11–x + 2y Ó 10y Ì 9

°§¢§£

x + y Ó 11–x + 2y Ó 10y Ì 9

°§¢§£

x Ó 3

y Ì 2

°¢£

x + y Ó 9

–2x + 3y Ó 12

°¢£

3x + 2y Ó 6

x – y + 1 Ó 0

°¢£

2

2 4–2–2

–4

–6

6

a) b)

2

4

2 4–2

–2

6

6

x = –2

y = 1

x ≤ –2

y > 1

2

4

2 4–2

–2

6

a) b)

2

4

2 4–2

–2

6

x – y + 1 = 0

3x + 2y = 6

3x + 2y ≥ 6 x – y + 1 ≥ 0


2

2 4–2–4

–2

4

–4

a)

2

2 4–2

–2

4

–4

6

c)

2

2 4–2

4

6

6

b)

4

4 8–2

8

1214

2

6

10

2 6 12 1610 14

4

4 8–2

8

1214

2

6

10

2 6 12 1610 14

4

4 8–2

8

1214

2

6

10

2 6 12 1610 14

d) f)e)

x – y

+ 1 =

0

3x + 2y = 6

x + y = 9

–2x + 3

y = 12

x = 3

y = 2

x + y = 11

y = 9

–x + 2y = 10

x + y = 11

y = 9

–x + 2y = 10

4

4 8–2

8

1214

2

6

10

2 6 12 1610 14

g) h) No hay solución.

x + y = 11

x = 2

2x –

3y = –

3

4

4 8–2

8

1214

2

6

10

2 6 12 1610 14

x + y = 11

x = 2

2x –

3y = –

3

x + y = 11

y = 9

–x + 2y = 10


3UNIDAD


División de polinomios

1 Calcula el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones:

a) (x4 – 4x2 + 12x – 9) : (x2 – 2x + 3)

b) (3x3 – 5x2 + 7x – 3) : (x2 – 1)

c) (3x4 – x2 – 1) : (3x2 – 3x – 4)

a) x4 – 4x2 + 12x – 9 x2 – 2x + 3

–x4 + 2x3 – 3x2 x2 + 2x – 3

2x3 – 7x2 + 12x – 9

–2x3 + 4x2 – 6x Cociente = x2 + 2x – 3

–3x2 + 6x – 9 Resto = 0

3x2 – 6x + 9

0

b) 3x3 – 5x2 + 7x – 3 x2 – 1

–3x3 + 3x 3x – 5

–5x2 + 10x – 3 Cociente = 3x – 5

5x2 – 5 Resto = 10x – 8

10x – 8

c) 3x4 – x2 – 1 3x2 – 3x – 4

–3x4 + 3x3 + 4x2 x2 + x + 2

3x3 + 3x2 – 1

–3x3 + 3x2 + 4x Cociente = x2 + x + 2

6x2 + 4x – 1 Resto = 10x + 7

–6x2 + 6x + 8

10x + 7

PARA PRACTICAR


2 Expresa las siguientes fracciones en la forma:

= c +

a) b)

c) d)

a) 4x2 – 4x + 1 2x + 1

–4x2 – 2x 2x – 3

–6x + 1 = 2x – 3 +

6x + 3

4

b) 6x3 + 5x2 – 9x 3x – 2

–6x3 + 4x2 2x2 + 3x – 1

9x2 – 9x

–9x2 + 6x

–3x = 2x2 + 3x – 1 +

3x – 2

–2

c) 15x – 2x3 – 4 + x4 = x4 – 2x3 + 15x – 4

1 –2 0 15 –4

2 2 0 0 30

1 0 0 15 26

= x3 + 15 +

d) 2x3 – 5x2 + 18 2x + 3

–2x3 – 3x2 x2 – 4x + 6

– 8x2 + 18

8x2 + 12x = x2 – 4x + 6

12x + 18

–12x – 18

0

18 + 2x3 – 5x2

2x + 3

26x – 2

15x – 2x3 – 4 + x4

x – 2

–23x – 2

6x3 + 5x2 – 9x3x – 2

42x + 1

4x2 – 4x + 12x + 1

18 + 2x3 – 5x2

2x + 315x – 2x3 – 4 + x4

x – 2

6x3 + 5x2 – 9x3x – 2

4x2 – 4x + 12x + 1

rd

Dd


3UNIDAD

Regla de Ruffini

3 Halla el cociente y el resto en cada caso:

a) (x4 – 2x3 + 5x – 1) : (x – 2)

b) (x4 + x2 – 20x) : (x + 2)

c) (x4 – 81) : (x + 3)

a) 1 –2 0 5 –1 Cociente: x3 + 5

2 2 0 0 10 Resto: 9

1 0 0 5 9

b) 1 0 1 –20 0 Cociente: x3 – 2x2 + 5x – 30

–2 –2 4 –10 60 Resto: 60

1 –2 5 –30 60

c) 1 0 0 0 –81 Cociente: x3 – 3x2 + 9x – 27

–3 –3 9 –27 81 Resto: 0

1 –3 9 –27 0

4 Aplica la regla de Ruffini para calcular P(–2) y P(5), siendo:

P(x) = x4 – 3x2 + 5x – 7

1 0 –3 5 –7

–2 –2 4 –2 –6 P(–2) = –13

1 –2 1 3 –13

1 0 –3 5 –7

5 5 25 110 575 P(5) = 568

1 5 22 115 568

5 Utiliza la regla de Ruffini para averiguar si el polinomio x4 – 3x2 – 4 es di-visible por cada uno de los siguientes monomios:

x + 1; x – 1; x + 2; x – 2

No es divisible por (x + 1).1 0 –3 0 –4

–1 –1 1 2 –2

1 –1 –2 2 –6


No es divisible por (x – 1).

Sí es divisible por (x + 2).

Sí es divisible por (x – 2).

6 Calcula, en cada caso, el valor de m para que las siguientes divisiones seanexactas:

a) (2x3 – 9x2 + 2x + m) : (x – 4)

b) (x4 + 3x3 + mx – 3) : (x + 3)

c) (4x3 + mx2 – 2x + 1) : (x + 1)

a) 2 –9 2 m

4 8 –4 –8 m – 8 = 0 8 m = 8

2 –1 –2 m – 8

b) 1 3 0 m –3

–3 –3 0 0 –3m

1 0 0 m –3m – 3

–3m – 3 = 0 8 m = –1

c) P (x) = 4x3 + mx2 – 2x + 1

P (–1) = –4 + m + 2 + 1 = m – 1 = 0 8 m = 1

7 El resto de la división (–x3 + 3x2 + kx + 7) : (x + 2) es igual a –7.

¿Cuánto vale k?

Si llamamos P (x) = –x3 + 3x2 + kx + 7, entonces:

P (–2) = 8 + 12 – 2k + 7 = 27 – 2k = – 7 8 k = 17

1 0 –3 0 –4

2 2 4 2 4

2 2 1 2 0

1 0 –3 0 –4

–2 –2 4 –2 4

1 –2 1 –2 0

1 0 –3 0 –4

1 1 1 –2 –2

1 1 –2 –2 –6


3UNIDAD

Factorización de polinomios

8 Descompón en factores los siguientes polinomios:

a) x2 – x – 6 b) x2 + 5x – 14 c) 2x2 – 8x – 10 d) 4x2 – 9

a) x2 – x – 6 = (x + 3)(x – 2)

x2 – x – 6 = 0 8 x = = =

b) x2 + 5x – 14 = (x – 2)(x + 7)

x2 + 5x – 14 = 0 8 x = = =

c) 2x2 – 8x – 10 = 2(x2 – 4x – 5) = 2(x – 5)(x + 1)

x2 – 4x – 5 = 0 8 x = = =

d) 4x2 – 9 = 4 · x – x +

4x2 – 9 = 0 8 4x2 = 9 8 x = ± = ±

9 Descompón en factores los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces:

a) x3 – x2 + 9x – 9 b) x4 + x2 – 20 c) x3 + x2 – 5x – 5 d) x4 – 81

a) 1 –1 9 –9

1 1 0 9

1 0 9 0

x3 – x2 + 9x – 9 = (x – 1)(x2 + 9) 8 Raíces: x = 1

b) 1 0 1 0 –20

2 2 4 10 20

1 2 5 10 0

–2 –2 0 –10

1 0 5 0

x4 + x2 – 20 = (x – 2)(x + 2)(x2 + 5) 8 Raíces: x1 = 2; x2 = –2

c) 1 1 –5 –5

–1 –1 0 5 x2 – 5 = 0 8 x = ±

1 0 –5 0

x3 + x2 – 5x – 5 = (x + 1)(x – )(x + )

Raíces: x1 = –1; x2 = ; x3 = – √5√5

√5√5

√5

32

9√ 4

)32()3

2(

5

–1

4 ± 62

4 ± √16 + 4 · 52

2

–7

–5 ± 92

–5 ± √25 + 4 · 142

3

–2

1 ± 52

1 ± √1 + 4 · 62


d) 1 0 0 0 –81

3 3 9 27 81

1 3 9 27 0

–3 –3 0 –27

1 0 9 0

x4 – 81 = (x – 3)(x + 3)(x2 + 9) 8 Raíces: x1 = 3; x2 = –3

10 Saca factor común y utiliza los productos notables para factorizar los poli-nomios siguientes:

a) x3 – x b)4x4 – 16x2 c) x3 + 2x2 + x

d)3x2 + 30x + 75 e) 5x3 – 45x f ) 2x3 – 8x2 + 8x

a) x3 – x = x (x2 – 1) = x (x – 1)(x + 1)

b) 4x4 – 16x2 = 4x2(x2 – 4) = 4x2(x – 2)(x + 2)

c) x3 + 2x2 + x = x (x2 + 2x + 1) = x (x + 1)2

d) 3x2 + 30x + 75 = 3(x2 + 10x + 25) = 3(x + 5)2

e) 5x3 – 45x = 5x (x2 – 9) = 5x (x – 3)(x + 3)

f) 2x3 – 8x2 + 8x = 2x (x2 – 4x + 4) = 2x (x – 2)2

11 Descompón en factores los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces:

a) 2x6 – 14x4 + 12x3 b)6x3 + 7x2 – x – 2

c) x5 – 16x d)2x4 – 2x3 – 18x2 + 18x

a) 2x6 – 14x4 + 12x3 = 2x3(x3 – 7x + 6) = 2x3(x – 1)(x – 2)(x + 3)

1 0 –7 6

1 1 1 –6 Raíces: x1 = 0; x2 = 1

1 1 –6 0 x3 = 2; x4 = –3

2 2 6

1 3 0

b) 6 7 –1 –2

–1 –6 –1 2

6 1 –2 0

6x2 + x – 2 = 0 8 x = = = =

1x = —

2–2

x = —3

–1±712

–1 ± √4912

–1 ± √1 + 4812


3UNIDAD

6x3 + 7x2 – x – 2 = (x + 1)(6x2 + x – 2) = (x – 1) 6(x – ) (x + ) =

= (x + 1)(2x – 1)(3x + 2)

Raíces: x1 = –1; x2 = ; x3 =

c) x5 – 16x = x (x4 – 16) = x (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

1 0 0 0 –16

2 2 4 8 16

1 2 4 8 0

–2 –2 0 –8

1 0 4 0

Raíces: x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2

d) 2x4 – 2x3 – 18x2 + 18x = 2x (x3 – x2 – 9x + 9) =

= 2x (x – 1)(x2 – 9) = 2x (x – 1)(x – 3)(x + 3)

1 –1 –9 9

1 1 0 –9

1 0 –9 0

Raíces: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 3; x4 = –3

Fracciones algebraicas

12 Descompón en factores y simplifica las siguientes fracciones:

a) b) c) d)

a) = =

b) = =

c) = =

d) = = x + 3(x + 3)(x – 2)x – 2

x2 + x – 6x – 2

xx + 1

x (x + 1)(x + 1)2

x2 + xx2 + 2x + 1

x – 2x + 2

(x – 2)(x + 2)(x + 2)2

x2 – 4x2 + 4x + 4

1x – 1

x + 1(x – 1)(x + 1)

x + 1x2 – 1

x2 + x – 6x – 2

x2 + xx2 + 2x + 1

x2 – 4x2 + 4x + 4

x + 1x2 – 1

–23

12

23

12


13 Reduce al mínimo común denominador y opera:

a) – +

b) + –

c) – + 3

a) – + = =

= =

b) + – = =

= =

c) – + 3 = =

= =

= =

=

14 Efectúa las siguientes operaciones reduciendo al mínimo común denomi-nador:

a) – + b) –

c) – d) –

a) – + = – + =

= =

b) – = – = =

c) – = – = = x2 – 2x2 – x

x2 + x – 2 – xx (x – 1)

xx (x – 1)

(x + 2)(x – 1)x (x – 1)

1x – 1

x + 2x

–x2 + 7x – 22x2

4x – 2 – x2 + 3x2x2

x (x – 3)2x2

2(2x – 1)2x2

x – 32x

2x – 1x2

3x – 76x

6x – 6 – 3x – 3 + 26x

26x

3(x + 1)6x

6(x – 1)6x

13x

x + 12x

x – 1x

23x + 6

12x + 4

1x – 1

x + 2x

x – 32x

2x – 1x2

13x

x + 12x

x – 1x

2x3 + x2 + x(x + 1)2(x – 1)

x3 – x2 – 2x3 – 4x2 – 2x + 3x2 + 6x + 3 + 3x3 – 3x2 + 6x2 – 6x + 3x – 3(x + 1)2(x – 1)

x3 – x2 – (2x – 3)(x2 + 2x + 1) + 3(x2 + 2x + 1)(x – 1)(x + 1)2(x – 1)

x2(x – 1) – (2x – 3)(x + 1)2 + 3(x + 1)2(x – 1)(x + 1)2(x – 1)

2x – 3x – 1

x2

x2 + 2x + 1

4x + 8x2 + x – 6

–x2 + 3x – 2 + 2x2 + 6x – x2 – 5x + 10(x + 3)(x – 2)

(1 – x)(x – 2) + 2x (x + 3) – (x2 + 5x – 10)(x + 3)(x – 2)

x2 + 5x – 10x2 + x – 6

2xx – 2

1 – xx + 3

x2 + 2x2 – 1

x2 + 2x + 1 – 3x + 3 + x – 2x2 – 1

(x + 1)2 – 3(x – 1) + (x – 2)x2 – 1

x – 2x2 – 1

3x + 1

x + 1x – 1

2x – 3x – 1

x2

x2 + 2x + 1

x2 + 5x – 10x2 + x – 6

2xx – 2

1 – xx + 3

x – 2x2 – 1

3x + 1

x + 1x – 1


3UNIDAD

d) – = – =

= – = =

15 Opera y simplifica:

a) : b) ·

c)2

· 3

d) : 2

a) : = =

b) · = =

c) ( )2 · ( )3 = · = =

d) : ( )2 = ( )–1=

Página 94


a) – :

b) 1 – : 1 + : (x2 – 1)

c) – : +

d) x + : x – (x – 1)

e) – : +

a) ( – ) : = : =

= : = : =

= : = = –1x

–(x + 1)x (x + 1)

xx + 1

–1x + 1

xx + 1

–(x – 1)(x – 1)(x + 1)

xx + 1

–x + 1x2 – 1

xx + 1

x + 1 – 2xx2 – 1

xx + 1

2xx2 – 1

1x – 1

)1x – 2

1x – 3()x – 3

x – 2x – 2x – 3(

])1x()1

x([)1

x + 11

x – 1()1x – 1

1x + 1(

])1x()1

x([x

x + 1)2xx2 – 1

1x – 1(

xx – 2

x – 2x

x – 2x

x – 2x

3x3

427x6

36x327x3

x6

363x

x3

6

5(x – 1)

15(x + 1)3(x – 1)(x + 1)

15x2 – 1

x + 13

3x – 3

3xx (x – 3)

x – 3x

3x

)x – 2x(x – 2

x)3x()x3

6(15

x2 – 1x + 1

3x – 3

x3x

–16x + 12

–16(x + 2)

46(x + 2)

36(x + 2)

23(x + 2)

12(x + 2)

23x + 6

12x + 4


b) [(1 – ) : (1 + )] : (x2 – 1) = [ : ] : (x2 – 1) = : (x2 – 1) =

= : (x2 – 1) = =

= =

c) ( – ) : ( + ) = : =

= : = =

d) [(x + ) : (x – )] (x – 1) = [ : ] (x – 1) = · (x – 1) =

= · (x – 1) =

e) – : + =

= : =

= : = 1


a)

b)

c)

d)

e)

f)(2x – 5)(x – 2) – (x2 – 5x + 7)

(x – 2)2

2x · x2 – (x2 – 1)2xx4

2x(x2 – 2x) – (x2 + 2)(2x – 2)(x2 – 2x)2

2x(x2 + 1) – x2 · 2x(x2 + 1)2

(2x + 3)(x + 1) – (x2 + 3x)(x + 1)2

(2x + 3)(x + 1) – (x2 + 3x + 11)(x + 1)2

2x – 5(x – 3)(x – 2)

2x – 5(x – 3)(x – 2)

x – 2 + x + 3(x – 3)(x – 2)

x2 – 4x + 4 – (x2 – 6x + 9)(x – 3)(x – 2)

)1x – 2

1x – 3()x – 3

x – 2x – 2x – 3(

x2 + 1x + 1

x2 + 1(x + 1)(x – 1)

x (x2 + 1)x (x2 – 1)

x2 – 1x

x2 + 1x

1x

1x

–1x

–2(x2 – 1)2x (x2 – 1)

2xx2 – 1

–2x2 – 1

x + 1 + x – 1x2 – 1

x – 1 – x – 1x2 – 1

1x + 1

1x – 1

1x – 1

1x + 1

1(x + 1)2

x – 1(x + 1)(x – 1)(x + 1)

x – 1(x + 1)(x2 – 1)

x – 1x + 1

x (x – 1)x (x + 1)

x + 1x

x – 1x

1x

1x


3UNIDAD

g)

h)

a) = =

=

b) = =

c) = =

d) = =

=

e) = = =

f) = =

g) = = =

h) = =

=

Ecuaciones de primer y segundo grado

18 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (3x + 1) (2x – 3) – (x – 3) (6x + 4) = 9x

b) – (x + 1) =

c) (13 – 2x) – 2(x – 3)2 = – (x + 1)213][1

6

(2x – 3)2 – (13x – 5)16

23

x2 – 14

–2x2 – 2x + 2(x2 – 2x)2

(2x3 – 4x2) – (2x3 – 2x2 + 2x – 2)(x2 – 2x)2

2x (x2 – 2x) – (x2 + 1)(2x – 2)(x2 – 2x)2

x2(x2 + 3)(x2 + 1)2

x4 + 3x2

(x2 + 1)23x4 + 3x2 – 2x4

(x2 + 1)23x2(x2 + 1) – x3 · 2x

(x2 + 1)2

x2 – 4x + 3(x – 2)2

(2x2 – 9x + 10) – (x2 – 5x + 7)(x – 2)2

(2x – 5)(x – 2) – (x2 – 5x + 7)(x – 2)2

2x3

2xx4

2x3 – (2x3 – 2x)x4

2x · x2 – (x2 – 1)2xx4

–2x2 – 4x + 4(x2 – 2x)2

(2x3 – 4x2) – (2x3 – 2x2 + 4x – 4)(x2 – 2x)2

2x (x2 – 2x) – (x2 + 2)(2x – 2)(x2 – 2x)2

2x(x2 + 1)2

2x3 + 2x – 2x3

(x2 + 1)22x (x2 + 1) – x2 · 2x

(x2 + 1)2

x2 + 2x + 3(x + 1)2

(2x2 + 5x + 3) – (x2 + 3x)(x + 1)2

(2x + 3)(x + 1) – (x2 + 3x)(x + 1)2

x2 + 2x – 8(x + 1)2

(2x2 + 5x + 3) – (x2 + 3x + 11)(x + 1)2

(2x + 3)(x + 1) – (x2 + 3x + 11)(x + 1)2

2x(x2 – 2x) – (x2 + 1)(2x – 2)(x2 – 2x)2

3x2(x2 + 1) – x3 · 2x(x2 + 1)2


d) + (x – 2)2 =

e) 0,5 (x – 1)2 – 0,25 (x + 1)2 = 4 – x

f) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9

a) 6x2 – 9x + 2x – 3 – 6x2 – 4x + 18x + 12 = 9x

2x = 9

x =

b) – =

12x2 – 12 – 32x – 32 = 12x2 + 27 – 36x – 39x + 15

–44 – 32x = 42 – 75x

43x = 86

x = 2

c) (13 – 2x – 2x2 – 18 + 12x) = – – –

(–2x2 + 10x – 5) = – – –

– + – = – – –

–2x2 + 10x – 5 = –2x2 – 2 – 4x

14x = 3

x =

d) 2x2 – 2 + 6x2 + 24 – 24x = 3x2 + 6

5x2 – 24x + 16 = 0

x =

x =

e) (x2 + 1 – 2x) – (x2 + 1 + 2x) = 4 – x

+ – x – – – = 4 – x

2x2 + 2 – 4x – x2 – 1 – 2x = 16 – 4x

x2

14

x2

412

x2

2

14

12

x1 = 4

x2 = 4/524 ± 16

10

24 ± √576 – 32010

314

2x3

13

x2

356

10x6

2x2

6

2x3

13

x2

316

2x3

13

x2

316

4x2 + 9 – 12x – 13x + 516

(2x + 2)3

x2 – 14

92

x2 + 22

x2 – 13


3UNIDAD

x2 – 2x – 15 = 0

x =

f ) ( – 1) ( + 1) = x2 + 1 + 2x – 9

– 1 = x2 + 1 + 2x – 9

x2 – 4 = 4x2 + 4 + 8x – 36

0 = 3x2 + 8x – 28

x =

19 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fór-mula general:

a) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20

b) – =

c) – = –

d) + x2 – 2 – x =

a) x2 + 1 + 2x – x2 – 4 + 4x = x2 + 9 + 6x + x2 – 20

6x – 3 = 2x2 + 6x – 11

8 = 2x2

x1 = 2, x2 = –2

b) 6x2 – 12x + 30 – 3x2 – 9x = 2x2 – 8x + 30

x2 – 13x = 0

x (x – 13) = 0

x1 = 0, x2 = 13

c) 6x + 2 – 15x2 – 9 = 3x2 – 3 – 2x – 4

0 = 18x2 – 8x

2x (9x – 4) = 0 x1 = 0

x2 = 4/9

x2 – 54]1

2[12

3x2 – 14

x + 23

x2 – 12

5x2 + 32

3x + 13

x2 – 4x + 156

x2 + 3x4

x2 – 2x + 52

x1 = 2

x2 = –14/3–8 ± √64 + 336

6

x2

4

x2

x2

x1 = 5

x2 = –32 ± √4 + 60

2


d) + – 1 – =

3x2 – 1 + 2x2 – 4 – x = x2 – 5

4x2 – x = 0

x (4x – 1) = 0

20 Resuelve estas ecuaciones (una de ellas no tiene solución y otra tiene infi-nitas):

a) – = –

b) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2

c) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x (x – 1)

d) – = –

a) x2 + 1 + 2x – 8 – 8x = x2 + 1 – 2x – 8 – 4x

0 = 0

Tiene infinitas soluciones.

b) + – = – – 4 – 2x

4x + 12 – 5x2 – 5 + 10x = 25x – 5x2 – 80 – 40x

29x = –87

x = –

x = –3

c) 25x2 + 9 – 30x – 20x2 + 25x = 5x2 – 5x

9 = 0

No tiene solución.

d) 4x + 2 – 7x2 + 14x – 7x + 14 = 7x – 14 – 7x2 – 28 + 28x

–7x2 + 11x + 16 = –7x2 + 35x – 42

x = =

21 Algunas de las siguientes ecuaciones no tienen solución. Búscalas y resuel-ve las otras.

a) x + 2 + 3x2 = 5x2 + 6x2

2912

5824

8729

x2

45x4

(x2 + 1 – 2x)4

35

x5

(x – 2)2

2x – 2

2(x + 1) (x – 2)

22x + 1

7

2 + x4

(x – 1)2

161 + x

2(x + 1)2

16

x1 = 0

4x – 1 = 0 8 x2 = 1/4

x2 – 54

x4

x2

23x2 – 1

4


3UNIDAD

b) (x + 2)2 – 3 = 4x

c) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x

d)2(2 – x) (3x + 1) – (1 – 2x) (x + 3) + 24 = 0

e) + = 0

a) 2x + 4 + 6x2 = 5x2 + 6x

x2 – 4x + 4 = 0

x =

x = 2

b) x2 + 4 + 4x – 3 = 4x

x2 + 1 = 0

No tiene solución.

c) x2 + 16 + 8x – 4x2 – 1 + 4x = 8x

0 = 3x2 – 4x – 15

x =

d) 12x + 4 – 6x2 – 2x – x – 3 + 2x2 + 6x + 24 = 0

–4x2 + 15x + 25 = 0

x =

e) x2 + 1 – 2x – 3x + 1 + 3x + 3 = 0

x2 – 2x + 5 = 0

x =

No tiene solución.

Ecuaciones bicuadradas

22 Resuelve y comprueba las soluciones:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0 b)x4 + 3x2 – 4 = 0

c) x4 + 3x2 + 2 = 0 d)x4 – 9x2 + 8 = 0

e) x4 – 10x2 + 9 = 0 f ) x4 – 5x2 + 36 = 0

2 ± √4 – 202

x1 = 5

x2 = –5/4–15 ± √225 + 400

–8

x1 = 3

x2 = –5/34 ± √16 + 180

6

4 ± √16 – 162

x + 15

(x – 1)2 – 3x + 115


g) 9x4 – 46x2 + 5 = 0 h)x4 – 4x2 = 0

i) 4x4 – 17x2 + 4 = 0 j) 9x4 – x2 = 0

☛ Resuelve h) y j) sacando factor común.

a) x2 = z

z2 – 5z + 4 = 0

z =

b) x2 = z

z2 + 3z – 4 = 0

z =

c) x2 = z

z2 + 3z + 2 = 0

z =

d) x2 = z

z2 – 9z + 8 = 0

z =

e) x2 = z

z2 – 10z + 9 = 0

z =

f) x2 = z

z2 – 5z + 36 = 0

z = (no tiene solución)5 ± √25 – 1442

10 ± √100 – 362

9 ± √81 – 322

z = –2 (no vale)

z = –1 (no vale) (no tiene solución)–3 ± √9 – 8

2

–3 ± √9 + 162

5 ± √25 – 162


3UNIDAD

z = 4

z = 1 x3 = 1

x4 = –1

x1 = 2

x2 = –2

z = –4 (no vale)

z = 1 x1 = 1

x2 = –1

z = 8

z = 1 x3 = 1

x4 = –1

x1 = 2 √—2

x2 = –2 √—2

z = 9

z = 1 x3 = 1

x4 = –1

x1 = 3

x2 = –3

g) x2 = z

9z2 – 46z + 5 = 0

z =

h) x2 (x2 – 4) = 0 8 x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2

i) 4x4 – 17x2 + 4 = 0

z = x2

4z2 – 17z + 4 = 0

z =

j) 9x4 – x2 = 0

x2(9x2 – 1) = 0 8 x1 = 0; x2 = ; x3 = –

23 Halla las soluciones de estas ecuaciones:

a) (2x2 + 1) (x2 – 3) = (x2 + 1) (x2 – 1) – 8

b) (3x2 – 1) (x2 + 3) – (2x2 + 1) (x2 – 3) = 4x2

a) 2x4 – 6x2 + x2 – 3 = x4 – x2 + x2 – 1 – 8

x4 – 5x2 + 6 = 0

x2 = z

z =

b) – 2x4 + 6x2 – x2 + 3 = 4x2

3x4 + 8x2 – 3 – 8x4 + 20x2 + 12 = 16x2

–5x4 + 12x2 + 9 = 0

x2 = z 8 z = –12 ± √144 + 180–10

3x4 + 9x2 – x2 – 34

5 ± √25 – 242

14

13

13

17 ± √289 – 648

46 ± √2116 – 18018


z = 90/18 = 5

z = 2/18 = 1/9 x3 = 1/3

x4 = –1/3

x1 = √—5

x2 = –√—5

z = 4

z = 1/4 x3 = 1/2

x4 = –1/2

x1 = 2

x2 = –2

z = 3

z = 2 x3 = √

—2

x4 = –√—2

x1 = √—3

x2 = –√—3

z = –3/5 (no vale)

z = 3 x1 = √

—3

x2 = –√—3

Ecuaciones con radicales

24 Resuelve: + 3 = 0

☛ Aísla el radical y eleva al cubo.

= –3; x2 – 28 = –27, x2 = 1 8 x1 = 1, x2 = –1

25 Resuelve:

a) =

b) = –1

a) 7 = 8 49 = 5x + 14 8 35 = 5x 8 x = 7

b) –3 = 8 –27 = 13 – 5x 8 5x = 40 8 x = 8


a) = 3 + 2x

b)x + = 1

c) + x = 0

d) + = 4

a) 5x + 6 = 9 + 4x2 + 12x

4x2 + 7x + 3 = 0

x =

b) 7 – 3x = 1 + x2 – 2x

x2 + x – 6 = 0

x =

c) 2 – 5x = (–x ) 2

2 – 5x = x2 · 3

3x2 + 5x – 2 = 0

x = x = –2

x = 1/3 (no vale)–5 ± √25 + 24

6

√3

x = 2 (no vale)

x = –3–1 ± √1 + 24

2

x = –3/4

x = –1–7 ± √49 – 48

8

√5x – 6√2x

√3√2 – 5x

√7 – 3x

√5x + 6

3√13 – 5x

√5x + 14

33√13 – 5x

17

1

√5x + 14

3√x2 – 28

3√x2 – 28


3UNIDAD

d) ( )2 = (4 – )25x – 6 = 16 + 2x – 8

(8 )2 = (–3x + 22)2

64 · 2x = 9x2 + 484 – 132x

128x = 9x2 + 484 – 132x

0 = 9x2 – 260x + 484

x =

27 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) + 2x – 4 = 0

b)x – = 1

c) – 3 = 2x

d) – = 0

e) – = 0

a) ( )2 = (4 – 2x)2

3x + 4 = 16 + 4x2 – 16x

4x2 – 19x + 12 = 0

x =

b) (x – 1)2 = ( )2x2 + 1 – 2x = 7 – 3x

x2 + x – 6 = 0

x =

c) ( )2 = (2x + 3)2

5x + 6 = 4x2 + 9 + 12x

4x2 + 7x + 3 = 0

x = x1 = –3/4

x2 = –1–7 ± √49 – 48

8

√5x + 6

x1 = –3 (no vale)

x2 = 2–1 ± √1 + 24

2

√7 – 3x

x = 4 (no vale)

x = 6/8 = 3/419 ± √361 – 192

8

√3x + 4

√3 – x√x2 + 3

√x + 1√x2 + x

√5x + 6

√7 – 3x

√3x + 4

x = 484/18 = 242/9 (no vale)

x = 2260 ± √67 600 – 17 424

18

√2x

√2x

√2x√5x – 6


d) ( )2 = ( )2x2 = 1

x1 = 1, x2 = –1

e) ( )2 = ( )2x2 + x = 0

x (x + 1) = 0

x1 = 0, x2 = –1

Ecuaciones factorizables

28 Saca factor común y resuelve:

a) 5x3 – 3x2 = 0 b)x4 + 4x2 = 0

c) 4x3 – x = 0 d)2x4 – 3x3 = 0

a) x2 (5x – 3) = 0

x1 = 0, x2 =

b) x2 (x2 + 4) = 0

x = 0

c) x (4x2 – 1) = 0

d) x3 (2x – 3) = 0

x1 = 0, x2 =

29 Resuelve las siguientes ecuaciones igualando a cero cada factor:

a) (2x – 7) (x + 3)2 = 0

b)x (x2 – 4) (3x + 12) = 0 c) (x + 2)2 (x – 1)2 = 0

d)3x (x – 2)3 = 0 e) (x – 5) (x2 + 1) = 0

a) x1 = , x2 = –3 b) x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2, x4 = –4

c) x1 = –2, x2 = 1

d) x1 = 0, x2 = 2

e) x = 5

72

2x – 7 = 0; x = …(x + 3)2 = 0; x = …

32

35

√3 – x√x2 + 3

√x + 1√x2 + x


3UNIDAD

x1 = 0

x2 = x2 = 1/2

x3 = –1/214

30 Descompón en factores y resuelve:

a) x3 + x2 – 6x = 0 b)x4 – 2x3 + x2 = 0

c) x3 – 9x = 0 d)x3 + 4x2 + x – 6 = 0

e) 2x3 – 5x2 + 4x – 1 = 0 f ) –x3 + 13x – 12 = 0

g) x3 – 5x2 + 7x – 3 = 0 h)x3 + 2x2 – 4x – 8 = 0

a) x (x – 2) (x + 3) = 0 b) x2 (x – 1)2 = 0

x1 = 0, x2 = 2, x3 = –3 x1 = 0, x2 = 1

c) x (x – 3) (x + 3) = 0 d) (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 0

x1 = 0, x2 = 3, x3 = –3 x1 = 1, x2 = –2, x3 = –3

e) 2 (x – 1)2 (x – ) = 0 f ) –(x + 4) (x – 1) (x – 3) = 0

x1 = 1, x2 = x1 = –4, x2 = 1, x3 = 3

g) (x – 1)2 (x – 3) = 0 h) (x – 2) (x + 2)2 = 0

x1 = 1, x2 = 3 x1 = 2, x2 = –2

Ecuaciones con la x en el denominador

31 Resuelve la ecuación + = .

☛ Multiplica los dos miembros de la ecuación por el mín.c.m. de los denominadores:(x + 3) (x – 3).

x (x + 3) + 2x (x – 3) = 6

x2 + 3x + 2x2 – 6x = 6

3x2 – 3x – 6 = 0

x =

32 Resuelve:

a) = b) = c) =

☛ Haz producto de medios igual a producto de extremos.

a) x2 + 4x = 4x + 4

x2 = 4

x1 = 2, x2 = –2

3x + 22x

2xx + 2

x + 22 – x

3x + 3

4x + 4

xx + 1

x1 = 2

x2 = –13 ± √9 + 72

6

6x2 – 9

2xx + 3

xx – 3

12

12


b) 6 – 3x = x2 + 3x + 2x + 6

x2 + 8x = 0

x (x + 8) = 0

x1 = 0, x2 = –8

c) 4x2 = 3x2 + 2x + 6x + 4

x2 – 8x – 4 = 0

x =

33 Resuelve:

a) + 3x = b) + + = – 1

c) + 80 = d) + = 1

a) 2x + 4 + 6x2 = 5x2 + 6x

x2 – 4x + 4 = 0

x =

x = 2

b) 3 + 6 + 9 = x2 – 3x

x2 – 3x – 18 = 0

x =

c) 600x – 1 200 + 80x2 – 160x = 600x

80x2 – 160x – 1 200 = 0

x2 – 2x – 15 = 0

x = = =

d) 8x – 48 + 12x – x2 + 72 – 6x = x2 – 36

2x2 – 14x – 60 = 0

x = x1 = (14 + 26)/4 = 10x2 = (14 – 26)/4 = –3

14 ± √196 + 4804

x1 = 5x2 = –3

2 ± 82

2 ± √4 + 602

x1 = 6x2 = –3

3 ± √9 + 722

4 ± √16 – 162

12 – xx – 6

8x + 6

600x – 2

600x

x3

3x

2x

1x

5x + 62

x + 2x

x1 = 4 + 2√—5

x2 = 4 – 2√—5

8 ± √64 + 162


3UNIDAD

34 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) – = b) + =

a) 8x – 24 – x2 + 3x – 4x + 22 = x2 + 6x – 3x – 18

2x2 – 4x – 16 = 0

x =

b) 10x2 – 250 + 15x – 3x2 – 75 + 15x = 3x2 + 15x + 15x + 75

4x2 = 400

x2 = 100

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas


a) 2,3x = 18 b)7 · 3x = 567

c) = 7,5 d)42x – 1 = 0,25

a) x log 2,3 = log 18 8 x = = 3,47

b) 3x = 8 3x = 81 8 x = 4

c) 2x = 22,5 8 x = = 4,49

d) 42x – 1 = 4–1 8 2x – 1 = –1 8 x = 0

36 Las siguientes ecuaciones exponenciales tienen soluciones enteras. Hállalas:

a) 2x 2 + 1 = 32

b)32x – 5 = 2 187

c) =

d) (0,5)x = 16

a) 2x2 + 1 = 25 8 x2 + 1 = 5 8 x1 = 2, x2 = –2

b) 32x – 5 = 37 8 2x – 5 = 7 8 x = 6

c) 7x/2 = 7–2 8 = –2 8 x = –4

d) 2–x = 24 8 x = –4

x2

149

√7x

log 22,5

log 2

5677

log 18

log 2,3

2x

3

x1 = 10x2 = –10

x1 = (4 + 12)/4 = 4x2 = (4 – 12)/4 = –2

4 ± √16 + 1284

x + 5x – 5

5 – xx + 5

103

x + 62

2x – 11x – 3

8 – x2


37 Resuelve las ecuaciones siguientes mediante un cambio de variable:

a) 22x – 5 · 2x + 4 = 0

b)3x – 3x – 1 + 3x – 2 = 21

c) 3x – 3–x =

a) 2x = z; z2 – 5z + 4 = 0; z1 = 4, z2 = 1 8 x1 = 2, x2 = 0

b) 3x = z; z – + = 21 8 z = 27 8 x = 3

c) 3x = z; z – = 8 z2 – 1 = z 8 27z2 – 728z – 27 = 0

z1 = 27 8 x1 = 3; z2 = – (no vale)


a) 7x + 2 = 823 543 b)55x – 2 = 390 625

c) 3x + 3x + 2 = 39 d)103 + x = 1

a) 7x + 2 = 77 8 x + 2 = 7 8 x = 5

b) 55x – 2 = 58 8 x = 2

c) 3x (1 + 9) = 39 8 3x = 3,9 8 x = = 1,24

d) 3 + x = 0 8 x = –3

39 RESUELTO EN EL LIBRO DE TEXTO.

40 Calcula x en las siguientes ecuaciones:

a) log x = log 9 – log 4 b) ln x = 3 ln 5

c) 3 + 2 log x = 5 d) log2 x = – 3

a) log x = log 8 x = b) ln x = ln 53 8 x = 125

c) log x = 1 8 x = 10 d) log2 x = –9 8 x = 2–9 =

Sistemas de ecuaciones

41 Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)3x + 5 = 2y + 1

x – 9 = 1 – 5y

°¢£

2x – 11y = –11

23x + y = 1

°¢£

1512

94

94

13

log 3,9

log 3

254

72827

72827

1z

z9

z3

72827


3UNIDAD

c) d)

a) y = 1 – 23x

2x – 11 + 253x = –11

0 = 255x

x = 0, y = 1

b) x = 10 – 5y

30 – 15y + 5 = 2y + 1

34 = 17y

y = , y = 2

x = 0, y = 2

c)

x = 2 – 3y

2 – 3y + 8y = 7; 5y = 5; y = 1

x = –1, y = 1

d)

2y = –16; y = –8

x = 0, y = –8

42 Resuelve:

a) b)

c) d)

☛ Suma las dos ecuaciones.

a) x =

= 15; y2 = 9

x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3

y = 3 8 x = 5

y = –3 8 x = –55y2

3

5y3

(x + y) (x – y) = 73x – 4y = 0

°¢£

x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0x2 – y2 – 5x + 5y + 2 = 0

°¢£

1 1 5— + — = —x y 62x + 3y = 2

°§¢§£

x · y = 15x 5— = —y 3

°§¢§£

–2x + 3y = –242x – y = 8

°¢£

2x – 3y = 242x – y = 8

x + 3y = 2x + 8y = 7

°¢£

x + 1 + 3y = 3x – 3 + 8y = 4

3417

x y— – — = 43 2x y— – — = 22 4

°§¢§£

x + 1— + y = 1

3x – 3— + 2y = 1

4

°§¢§£


b) 6y + 6x = 5xy 4 – 4x + 6x =

y = 6x + 12 = 10x – 10x2

10x2 – 4x + 12 = 0

5x2 – 2x + 6 = 0

No tiene solución.

c) 2x2 – 10x + 12 = 0; x2 – 5x + 6 = 0

x = = =

x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0

–x2 + y2 + 5x – 5y – 2 = 0

2y2 – 10y + 8 = 0

y2 – 5y + 4 = 0

y = = =

x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1

d) x =

· = 7

y2 = 9; y = ±3

x1 = 4, y1 = 3; x2 = –4, y2 = –3

43 Resuelve por sustitución:

a)

b)

16x4 + 16x2 – 5 = 0

x2 = =

x1 = , y1 = 2; x2 = – , y2 = –212

12

1/4 8 x1 = 1/2; x2 = –1/2–5/4 (no vale)

–16 ± 2432

°¢£

y = 4x

(x2 + 1) 16x2 = 5

°¢£

(x2 + 1) y2 = 5

4x – y = 0

a)

x2 – y2 = 5

xy = 6

°¢£

(x2 + 1) y2 = 5

4x – y = 0

°¢£

y3

7y3

4y3

41

5 ± 32

5 ± √25 – 162

32

5 ± 12

5 ± √25 – 242

2 – 2x3

5x (2 – 2x)3


3UNIDAD

y = ; x2 – = 5; x4 – 5x2 – 36 = 0

x2 = =

x1 = 3, y1 = 2, x2 = –3, y2 = –2

44 Resuelve por reducción:

a) b)

a) 3x2 – 5y2 = 30

–3x2 + 6y2 = –21

y2 = 9; y = ±3

x2 = 25; x = ±5

x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = 3; x3 = 5, y3 = –3; x4 = –5, y4 = –3

b) x2 + y2 + xy =

x2 – y2 – xy = –

2x2 = ; x = ±

Si x = : + y2 + y =

1 + 4y2 + 2y = 3

4y2 + 2y – 2 = 0; 2y2 + y – 1 = 0

y = = =

Si x = – : + y2 – y =

1 + 4y2 – 2y = 3

4y2 – 2y – 2 = 0; 2y2 – y – 1 = 0

y = = =

x1 = , y1 = –1; x2 = , y2 = ; x3 = – , y3 = 1; x4 = – , y4 = – 12

12

12

12

12

12

1–1/2

1 ± 34

1 ± √1 + 84

34

12

14

12

1/2–1

–1 ± 34

–1 ± √1 + 84

34

12

14

12

12

24

14

34

3x2 + y2 + xy = —

41

x2 – y2 – xy = – —4

°§¢§£

3x2 – 5y2 = 30

x2 – 2y2 = 7

°¢£

9 8 x = ±3–4 (no vale)

5 ± 132

36x2

6x

°¢£

x2 – y2 = 5

xy = 6

b)


45 Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c) d)

a)

3xy + 5x + 2 = 3xy + 3x + 3y + 3

2x – 3y = 1; x =

– 1 – 3y = y – y2 8 1 + 9y2 + 6y – 4 – 12y = 4y – 4y2

13y2 – 10y – 3 = 0; y = = =

x1 = 2, y1 = 1; x2 = , y2 = –

b) x =

( )2 + y2 = 65

784 + y4 = 65y2

y4 – 65y2 + 784 = 0; y2 = z

z = =

x1 = 7, y1 = 4; x2 = –7, y2 = –4; x3 = 4, y3 = 7; x4 = –4, y4 = –7

c) x =

=

= ; 45 = 5y2; y2 = 9 8 y = ±3

x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3

d) x2 – y2 = 7

x = 4y3

53

15y2

53

15/yy

15y

49 8 y = ±716 8 y = ±4

65 ± 332

28y

28y

313

213

1–3/13

10 ± 1626

10 ± √100 + 15626

1 + 9y2 + 6y4

1 + 3y2

°¢£

2xy + 2x – y – 1 + xy + 3x + y + 3 = 3 (xy + x + y + 1)x2 – 2x = y – y2

(x + y) (x – y) = 7

3x – 4y = 0

°¢£

xy = 15x 5— = —y 3

°§¢§£

x2 + y2 = 65

x y = 28

°¢£

2x – 1 y + 3——— + ——— = 3x + 1 y + 1

x(x – 2) = y (1 – y)

°§¢§£


3UNIDAD

°§¢§£

– y2 = 7

16y2 – 9y2 = 63; y2 = 9

x1 = 4, y1 = 3; x2 = –4, y2 = –3

46 Resuelve:

a) b)

c) d)

a) x = (5 – y )2

y2 – 2y + 1 = 25 + y2 – 10y

8y = 24; y = 3; x = 4

x = 4; y = 3

b) 4x + 4 = y2 + 1 + 2y ; x =

x = =

y2 + 2y – 3 = 2 + 6y

y2 – 4y – 5 = 0

y = = =

x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5

c) y = 2x – 6

= 12 – x

9x – 18 = 144 + x2 – 24x

0 = x2 – 33x + 162

x = =

x = 6; y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)

d) y = 2x – 5

= x – 1

3x – 5 = x2 + 1 – 2x

0 = x2 – 5x + 6

√3x – 5

27 8 y = 48 (no vale)

6 8 y = 633 ± 21

2

√3 (3x – 6)

5 8 x = 8

–1 8 x = –14 ± 6

24 ± √16 + 20

2

2 + 6y4

1 + 3y2

y2 + 2y – 34

√—x + y + 2 = x + 1

2x – y = 5

°¢£

√—3 (x + y) + x = 12

2x – y = 6

°¢£

2√—x + 1 = y + 1

2x – 3y = 1

°¢£

y2 – 2y + 1 = x

√—x + y = 5

°¢£

16y2

9


x = = =

x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1

47 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

a) y – x = 1

2x + 2y = 12

y = 1 + x 8 2x + 21 + x = 12 8 2x + 2 · 2x = 12 8

8 3 · 2x = 12 8 2x = 4 8 x = 2 8 y = 1 + 2 = 3

x = 2; y = 3

b) 5x · 5y = 1

5x : 5y = 25

2x = 2 8 x = 1

1 + y = 0 8 y = –1

Página 97

Método de Gauss

48 Resuelve por el método de Gauss:

a) b) x + y + z = 3

2x – y + z = 2x – y + z = 1

°§¢§£

x – y – z = –10x + 2y + z = 11

2x – y + z = 8

°§¢§£

°¢£

5x + y = 50 8 x + y = 0

5x – y = 52 8 x – y = 2

5x · 5y = 1

5x : 5y = 25

°¢£

y – x = 1

2x + 2y = 12°¢£

3 8 y = 1

2 8 y = –15 ± 1

25 ± √25 – 24

2


3UNIDAD

x = 0 y = 1 z = 9

°§¢§£

x = 0 y = 1 z = –1 + 10 = 9

°§¢§£

x – y – z = –102x + y = 17x = 0

1.a

2.a

3.a + 2 · 2.a

°§¢§£

x – y – z = –102x + y = 13x – 2y = –2

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

°§¢§£

x – y – z = –10x + 2y + z = 11

2x – y + z = 8

a)

49 Resuelve aplicando el método de Gauss:

a)

b)

50 Resuelve por el método de Gauss:

a) b) 2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0

°§¢§£

x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1

°§¢§£

x = 1y = –2z = 3

°§¢§£

69z = ––– = 3

23

y = 7 – 3z = 7 – 9 = –2

x = 2 – y – z = 2 + 2 – 3 = 1

°§¢§£

x + y + z = 2y + 3z = 7

23z = 69

1.a

2.a

3.a + 6 · 2.a

°§¢§£

x + y + z = 2y + 3z = 7

– 6y + 5z = 27

1.a

2.a – 2 · 1.a

3.a – 1.a

°§¢§£

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

b)

x = 9y = 6z = 3

°§¢§£

x = 9z = x – 6 = 3y = 18 – x – z = 6

°§¢§£

x + y + z =18x – z = 6

2x =18

1.a

2.a

3.a + 2.a

°§¢§£

x + y + z = 18x – z = 6x + z = 12

1.a

2.a

3.a : 3

°§¢§£

x + y + z =18x – z = 63x + 3z =36

1.a

2.a

3.a + 2 · 1.a

°§¢§£

x + y + z =18x – z = 6x – 2y + z = 0

a)

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11

x – 5y + 6z = 29

°§¢§£

x + y + z = 18x – z = 6

x – 2y + z = 0

°§¢§£


x = 1y = 1z = 1

°§¢§£

x = 15 – 3x

z = ——— = 12

y = 3 – x – z = 1

°§¢§£

x + y + z = 33x + 2z = 5–x = –1

1.a

2.a

3.a – 2.a

°§¢§£

x + y + z = 33x +2z = 52x +2z = 4

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

°§¢§£

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

b)

51 Resuelve aplicando el método de Gauss:

a) b)

c) d)

e) f)

☛ Encontrarás sistemas compatibles (determinados e indeterminados) y siste-mas incompatibles.

x = 3/2

y = 1/2

z = 2

°§§¢§§£

1y = —

2

x = 1 + 1/2 = 3/2

z = x + 1/2 = 2

°§§¢§§£

x – y = 1–2y = –1

x + y – z = 0

1.a

2.a + 3 · 1.a

3.a

Ø§∞§±

x – y = 1–3x + y = –4

x + y – z = 0

1.a

2.a – 5 · 3.a

3.a

Ø§∞§±

x – y = 12x + 6y – 5z = –4x + y – z = 0

a)

–2x + y + z = 13x + 2y – z = 0–x + 4y + z = 2

°§¢§£

x + y + z = 3–x + 2y + z = 5x + 4y + 3z = 1

°§¢§£

2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2

–5x + 3y + 5z = –1

°§¢§£

x + y + 3z = 22x + 3y + 4z = 1

–2x – y – 8z = –7

°§¢§£

x + 2y + z = 3x – 2y + 5z = 55x – 2y + 17z = 1

°§¢§£

x – y = 12x + 6y – 5z = –4

x + y – z = 0

°§¢§£

x = 0y = 0z = 0

Ø§∞§±

2x – 3y + z = 07x = 06x – 2y = 0

1.a

2.a + 2 · 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0

b)

x = 6

y = –2

–5z = ––––

2

Ø§§§∞§§§±

–5z = ——

213 – 2z

x = ———— = 63

y = 9 – x + 2z = 9 – 6 – 5 = –2

Ø§∞§±

x + y – 2z = 93x + 2z = 13

2z = –5

1.a

2.a

3.a – 2.a

Ø§∞§±

x + y – 2z = 93x + 2z = 133x + 4z = 8

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1

a)


3UNIDAD

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamoslas soluciones en función de z:

Solución : x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z

Solución: x = 2, y = , z =

Las ecuaciones 2.a y 3.a obtenidas dicen cosas contradictorias. Por tanto, el sis-tema es incompatible.

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamoslas soluciones en función del parámetro y:

Solución : x = 1 – 3y, z = 3 – 7y

8 –2(1 – 3y) + z = 1 – y 8 z = 3 – 7y°¢£

–2x + z = 1 – y

x = 1 – 3y

Ø§∞§±

–2x + y + z = 1x + 3y = 1x + 3y = 1

1.a

2.a + 1.a

3.a – 1.a

Ø§∞§±

–2x + y + z = 13x + 2y – z = 0–x + 4y + z = 2

f)

Ø§∞§±

x + y + z = 33y + 2z = 83y + 2z = –2

1.a

2.a + 1.a

3.a – 1.a

Ø§∞§±

x + y + z = 3–x + 2y + z = 5x + 4y + 3z = 1

e)

32

12

°§§¢§§£

x = 25x – 9 1

y = ———– = —2 2

3z = 2x – y – 2 = —

2

°§§¢§§£

2x – y – z = 2–x = –25x – 2y = 9

1.a

2.a – 2 · 1.a

3.a + 5 · 1.a

Ø§∞§±

2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2

–5x + 3y + 5z = –1

d)

8 (5 – 5z) + y = 2 – 3z 8 y = 2z – 3

8 x = 5 – 5z

°¢£

x + y = 2 – 3z

–x = –5 + 5z

Ø§∞§±

x + y + 3z = 2–x – 5z = –5–x – 5z = –5

1.a

2.a – 3 · 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

x + y + 3z = 22x + 3y + 4z = 1

–2x – y – 8z = –7

c)

Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradicto-rias.El sistema es incompatible, no tiene solución.

Ø§∞§±

x + 2y + z = 3x + 3z = 4x + 3z = 4/6

1.a

2.a : 2

3.a : 6

Ø§∞§±

x + 2y + z = 32x + 6z = 86x + 18z = 4

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

Ø§∞§±

x + 2y + z = 3x – 2y + 5z = 55x – 2y + 17z = 1

b)


Inecuaciones

52 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2x – 3 < x – 1 b) ≤

c) –3x – 2 < 5 – d) – x > –2

a) x < 2; (–@, 2)

b) 9x – 6 Ì 4x + 14 8 5x Ì 20 8 x Ì 4; (–@, 4]

c) –6x – 4 < 10 – x 8 –14 < 5x 8 x > – ; (– , +@)d) 3x – 5x > –10 8 –2x > –10 8 2x < 10 8 x < 5; (–@, 5)

53 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 5(2 + x) > –5x b) > x – 1 c) x2 + 5x < 0

d)9x2 – 4 > 0 e) x2 + 6x + 8 Ó 0 f) x2 – 2x – 15 Ì 0

a) 10 + 5x > –5x 8 10x > –10 8 x > –1; (–1, +@)

b) x – 1 > 2x – 2 8 1 > x 8 x < 1; (–@, 1)

c) x (x + 5) < 0 8 –5 < x < 0; (–5, 0)

d) (3x – 2) (3x + 2) > 0 8 (–@, – ) « ( , +@)e) (x + 2) (x + 4) Ó 0 8 (–@, –4] « [–2, +@)

f ) (x + 3) (x – 5) Ì 0 8 [–3, 5]

54 Observando la representación gráfica de estas parábolas, di cuáles son lassoluciones de las ecuaciones e inecuaciones propuestas:

a) b)

x2 – 6x + 9 = 0 –2x2 – 5x + 3 = 0

x2 – 6x + 9 > 0 –2x2 – 5x + 3 ≥ 0

2–2

2

4

6y = –2x2 – 5x + 3

2

4

6

2 4

y = x2 – 6x + 9

23

23

x – 12

145

145

3x5

x2

2x + 73

3x – 22


3UNIDAD

c) d)

–x2 + 2x – 3 = 0 x2 – 2x + 2 = 0

–x2 + 2x – 3 < 0 x2 – 2x + 2 > 0

a) Ecuación: x = 3 b) Ecuación: x1 = –3, x2 =

Inecuación: (–@, 3) « (3, +@)Inecuación: [–3, ]

c) Ecuación: No tiene solución d) Ecuación: No tiene solución

Inecuación: Á Inecuación: Á

55 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)

c) d)

☛ Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemasno tiene solución.

a) (–4, 1) b) (4, +@)

c) (17, +@) d) No tiene solución

56 Resuelve:

a) –x2 – 2x + 3 Ó 0

b)5 – x2 < 0

c) x2 + 3x > 0

d)–x2 + 6x – 5 Ì 0

a) –(x + 3) (x – 1) Ó 0 8 [–3, 1]

b) ( – x ) ( + x ) < 0 8 (–@, – ) « ( , +@)√5√5√5√5

°¢£

x > 3/2x < –1/5

°¢£

x > 175x > 19 8 x > 19/5

°¢£

3x > –5 8 x > –5/3x > 4

°¢£

4x < 4 8 x < 1x > –4

2x – 3 > 0

5x + 1 < 0

°¢£

5 – x < –12

16 – 2x < 3x – 3

°¢£

3x – 2 > –7

5 – x < 1

°¢£

4x – 3 < 1

x + 6 > 2

°¢£

12

12

42

2

y = x2 – 2x + 22 4

–2

–2

y = –x2 + 2x – 3


c) x (x + 3) > 0 8 (–@, –3) « (0, +@)

d) – (x – 1) (x – 5) Ì 0 8 (–@, 1] « [5, +@)

57 Resuelve:

a) x2 – 7x + 6 Ì 0 b)x2 – 7x + 6 > 0

x2 – 7x + 6 = (x – 1) (x – 6)

a) [1, 6]

b) (–@, 1) « (6, +@)

58 Comprueba que todos los números reales son solución de esta inecuación:

5(x – 2) – 4(2x + 1) < –3x + 1

5x – 10 – 8x – 4 < –3x + 1

0 < 15

Queda 0 < 15, que se verifica para todos los números reales.

Página 98

59 Comprueba que no hay ningún número que verifique esta inecuación:

3(x – 2) + 7 < x + 2(x – 5)

3x – 6 + 7 < x + 2x – 10

0 < –11

Queda 0 < –11, que no es cierto.

60 Ana tiene 8 años menos que Javier. ¿Cuántos años puede tener Ana, si sa-bemos que el triple de su edad es mayor que el doble de la de Javier?

Ana 8 x 3x > 2 (x + 8)

Javier 8 x + 8 3x > 2x + 16

x > 16

Ana tendrá más de 16 años.

61 a) Comprueba que el punto P verifica la inecuación 2x – y Ì –1.

b) Elige tres puntos cualesquiera de la zona rayada yprueba que son soluciones de la inecuación.

P

-2 2

1


3UNIDAD

a) Las coordenadas de P son (–2, 2).

Sustituyendo en la inecuación, queda: 2 · (–2) – (–2) = –2 Ì –1

b) Por ejemplo, (–2, 0), (0, 2), (–1, –1).

Todos los puntos de la zona rayada cumplen la inecuación.

62 Resuelve gráficamente:

a) x + y – 2 Ó 0 b)2x – 3y Ì 6

c) Ì 3 d) – Ó – 1

63 Resuelve gráficamente:

a) b) c) d)

a)y = –2x + 2 x = 3

c)

b)

d)

2

4

2 4–4 –2–2

–4

y = x – 3

y = 22

4

2 4–4 –2–2

–4

y = 2x – 3

y = 5 – 2x

2

4

2 4–2–2

–4

62

4

2 4–2–2

6

6

y = 8 – x

y = ———3x – 52

3x – 2y Ì 5

x + y Ó 8

°¢£

2x – y Ì 3

2x + y Ì 5

°¢£

x – y Ì 3

y Ì 2

°¢£

2x + y Ó 2

x Ì 3

°¢£

c)

y = ———x – 63

d)2

2 4–4 –2–2

–4

2

4

2 4–4 –2–2

y = ———3x + 62

a)

y = 2 – x2

4

2 4–4 –2–2

b)

y = ———2x – 63

2

2 4–4 –2–2

–4

y3

x2

x – 3y2


64 Representa, en cada caso, los puntos del plano que verifican las condicionesdadas:

a) b)

Problemas de ecuaciones y de sistemas

65 Para la calificación de un curso, se decide que la primera evaluación cuenteun 25%, la segunda, un 35%, y la tercera, un 40%. Una alumna ha tenido un5 en la primera y un 7 en la segunda. ¿Qué nota tiene que conseguir en latercera para que su calificación final sea 7?

0,25 · 5 + 0,35 · 7 + 0,40 · x = 7

0,40x = 3,3

x = 8,25

Ha de conseguir un 8,25.

66 Un comerciante compra 50 kg de harina y 80 kg de arroz, por los que tieneque pagar 66,10 €; pero consigue un descuento del 20% en el precio de laharina y un 10% en el del arroz. De esa forma, paga 56,24 €. ¿Cuáles son losprecios iniciales de cada artículo?

Un kilo de harina valía 0,65 € y un kilo de arroz 0,42 €.

67 La edad de un padre es el cuádruple de la de su hijo, pero dentro de 16 añosserá solamente el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

AHORA

PADRE 4x

HIJO x

DENTRO DE 16 AÑOS

4x + 16

x + 16

x = 0,65 €y = 0,42 €

°¢£

50x + 80y = 66,100,8 · 50x + 0,9 · 80y = 56,24

°¢£

Precio 1 kg harina 8 xPrecio 1 kg de arroz 8 y

PARA RESOLVER

a)

y = x – 5

y = 0

x = 0

b)

y = x + 1

y = 1

x = 3

2

2–2–2

–4

6 84

–6

2

4

2 4–4 –2–2

–4

y Ó 1x Ì 3–x + y Ì 1

°§¢§£

x Ó 0y Ó 0x – y Ì 5

°§¢§£


3UNIDAD

4x + 16 = 2 (x + 16); 4x + 16 = 2x + 32; x = 8

El padre tiene 32 años y el hijo 8 años.

68 La suma de un número par, el par anterior y los dos impares que lo siguen,es 34. Calcula ese número.

x + x – 2 + x + 1 + x + 3 = 34 8 x = 8

Es el número 8.

69 Las dos cifras de un número suman 12. Si se in-vierte el orden de las mis-mas, se obtiene un número 18 unidades mayor. Calcula dicho nú-mero.

Es el número 57.

70 Tres empresas aportan 2, 3 y 5 millones de euros para la comercialización deun nuevo avión. A los cinco años reparten beneficios, correspondiendo a la ter-cera 189 000 € más que a la segunda. ¿Cuál fue la cantidad repartida?

☛ A la primera le corresponden 2/10 de los beneficios.

Beneficios

1.a 8 2 millones 8 y

2.a 8 3 millones 8 x

3.a 8 5 millones 8 189000 + x

10 millones 2x + y + 189 000

Total = 2x + y + 189 000 = 945 000 €

La cantidad repartida fue de 945 000 €.

71 Un grifo A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otro B. Abier-tos simultáneamente, llenan el depósito en 2 horas. ¿Cuánto tarda cada unopor separado?

☛ Si A tarda x horas en llenar el depósito, en 1 hora llena 1/x del depósito.

A

tiempo 8 2t t

B

x = 283 500y = 189 000

°¢£

2x – 4y = –189 000–4x + 3y = –567 000

x = 5y = 7

°¢£

x + y = 1210y + x = 18 + 10x + y


(2x + y + 189 000) = y

(2x + y + 189 000) = x310

210

°§§¢§§£

En 1 hora 8 + = partes del depósito

Tiempo entre los dos: = 2 horas 8 2t = 6 horas 8 t = 3 horas

B tarda 3 horas y A, 6 horas.

72 Un remero sube con su barca por un río a una velocidad de 30 m/min y bajaa 60 m/min. ¿Hasta qué distancia se aleja en un paseo de hora y media?

30t = 5 400 – 60t ; t = 60 min

Tarda 60 minutos en la ida y 30 en la vuelta. Se aleja una distancia de 1 800 m.

73 Se mezclan 30 kg de café de 6 €/kg con cierta cantidad de otro de 8 €/kg, re-sultando la mezcla a 7,25 €/kg.

¿Qué cantidad del café más caro se ha utilizado?

☛ Precio de 1 kg de mezcla =

A 8 30 kg 8 6 €/kg

B 8 x kg 8 8 €/kg

Mezcla 8 (30 + x) kg 8 7,25 €/kg

7,25 = ; 217,5 + 7,25x = 180 + 8x

0,75x = 37,5 8 x = 50 kg

74 Una tienda ha vendido 60 ordenadores, cuyo precio original era de 1 200 €,con un descuento del 20% a unos y un 25% a otros.

Si se han recaudado 56 400 €, calcula a cuántos ordenadores se rebajó el25%.

PRECIO ORIGINAL CON DESCUENTO

UNOS 8 x 8 1 200x 0,8 · 1 200x = 960x

OTROS 8 y 8 1 200y 0,75 · 1 200y = 900y–25%ÄÄ8

–20%ÄÄ8

30 · 6 + 8x30 + x

coste totaltotal de kilos

°¢£

30t = x60 (90 – t ) = x

30 m/min

x

60 m/min

2t3

32t

1t

12t


3UNIDAD

30 =

60 = x90 – t

xt

°§§¢§§£

Se vendieron 20 ordenadores con un 25% de descuento y 40 ordenadores con un20% de descuento.

Página 99

75 En la primera prueba de una oposición, queda eliminado el 52% de los par-ticipantes. En la segunda prueba, se elimina el 25% de los restantes. Si el nú-mero total de personas suspendidas es 512, ¿cuántas personas se presenta-ron a la oposición?

☛ Recuerda que para calcular el 52% de una cantidad, hay que multiplicarla por0,52. ¿Por cuánto habrá que multiplicar para calcular el 25% del 48% restante?

QUEDAN QUEDAN

Se presentan x 0,48x 0,75 · 0,48x = 0,36x

Queda el 36% del total. Se ha eliminado el 64% del total:

0,64x = 512 8 x = 800

Se presentaron 800 personas.

76 Un granjero espera obtener 36 € por la venta de huevos. En el camino almercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, au-menta en 0,45 € el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?

☛ Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de lasque quedan.

Tenía x docenas 8 €/docena

Le quedan x – 4 docenas 8 ( + 0,45) €/docena

( + 0,45) (x – 4) = 36 8 (36 + 0,45x) (x – 4) = 36x

36x – 144 + 0,45x2 – 1,8x = 36x 8 0,45x2 – 1,8x – 144 = 0

x = 20 (x = –16 no vale) 8 Tenía 20 docenas.

77 Sobre el número de visitantes a cierta exposición se sabe que:

• Durante el mes de febrero se incrementó en un 12% respecto al mes deenero.

• En marzo sufrió un descenso del 12% respecto a febrero.

• El número de visitantes de enero superó en 36 personas al de marzo.

¿Cuántas personas vieron la exposición en enero?

36x

36x

36x

–25%ÄÄÄ8

2.a prueba

–52%ÄÄÄ8

1.a prueba

x = 40y = 20

°¢£

x + y = 60960x + 900y = 56 400


Enero Febrero Marzo

x 1,12x 0,88 · 1,12x = 0,9856x

x = 0,9856x + 36 8 x = 2 500 personas

78 Un inversor, que dispone de 28 000 €, coloca parte de su capital en un ban-co al 8%, y el resto, en otro banco al 6%. Si la primera parte le produceanualmente 200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?

28 600 €

0,08x = 0,06 (28 000 – x) + 200 8 0,08x = 1 680 – 0,06x + 200 8 x = 13 428,57

13 428,57 € al 8% y 14 571,43 € al 6%.

Página 99

AUTOEVALUACIÓN

1. Factoriza los siguientes polinomios señalando sus raíces:

a) P(x) = x3 + x2 – 4x – 4 b) Q(x) = 2x3 – x2 – x

a) P (x) = x3 + x2 – 4x – 4

Aplicamos Ruffini:

P (x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2)

Las raíces de P (x) son –2, –1 y 2.

b) Q(x) = 2x3 – x2 – x

Sacando factor común: Q(x) = x (2x2 – x – 1)

Aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de 2.º grado a 2x2 – x – 1:

x = = Q(x) = 2x (x – 1) x +

Las raíces de Q(x) son – , 0 y 1.12

)12(

1x1 = – —

2x2 = 1

1 ± 34

1 ± √1 + 84

1 1 –4 –4

–1 –1 0 4

1 0 –4 0

2 2 4

1 2 0

–2 –2

1 0

–12%ÄÄÄ8

+12%ÄÄÄ8


3UNIDAD

°¢£x al 8% 0,08x

(28 000 – x) al 6% 0,06 (28 000 – x)1 añoÄÄ8

1 añoÄÄ8

2. Opera y simplifica el resultado:

a) b) – : 1 +

a) = =

b) – : 1 + = : =

= : =

= · = =


a) – = – b)x4 – 8x2 – 9 = 0

c) x – = 1 – x d) – =

a) – = –

Multiplicando por mín.c.m.(2, 3) = 6 8

8 2(3x + 1) – 3(5x2 + 3) = 3(x2 – 1) – 2(x + 2) 8

8 6x + 2 – 15x2 – 9 = 3x2 – 3 – 2x – 4 8 –15x2 + 6x – 7 = 3x2 – 2x – 7 8

8 18x2 – 8x = 0 8 2x (9x – 4) = 0

b) x4 – 8x2 – 9 = 0 y2 – 8y – 9 = 0

y = =

c) x – = 1 – x 8 (2x – 1)2 = ( )2 8 4x2 – 4x + 1 = 2x – 1 8

8 4x2 – 6x + 2 = 0 8 2x2 – 3x + 1 = 0

x = = (Son válidas ambas solucio-nes.)

°§¢§£

x1 = 11

x2 = —2

3 ± 14

3 ± √9 – 4 · (2) · (1)4

√2x – 1√2x – 1

y = 9 8 x2 = 9 8 x = ±3

y = –1 (no vale)

8 ± 102

8 ± √64 – 4 · (–9) · (1)2

x2 = yÄÄÄ8

2x = 0 8 x1 = 04

9x – 4 = 0 8 x2 = —9

x + 23

x2 – 12

5x2 + 32

3x + 13

x2 – 3(x + 1)(x – 3)

x + 3x + 1

xx – 3

√2x – 1

x + 23

x2 – 12

5x2 + 32

3x + 13

3x + 22x2 + 2x

3x + 2x (2x + 2))x + 2

2x + 2()3x + 2x (x + 2)(

)2x + 2x + 2()x2 + 3x + 2 – x2

x (x + 2)()x + 2 + x

x + 2()(x + 1)(x + 2) – x2

x (x + 2)()xx + 2()x

x + 2x + 1

x(5 – x

(x + 5)3(x + 5) – 2x

(x + 5)3(x + 5)2 – 2x (x + 5)

(x + 5)4

)xx + 2()x

x + 2x + 1

x((x + 5)2 – 2x(x + 5)(x + 5)4


d) – = 8 (x + 1) · x – (x – 3)(x + 3) = x2 – 3 8

8 x2 + x – (x2 – 9) = x2 – 3 8

8 x2 + x – x2 + 9 = x2 – 3 8

8 x + 9 = x2 – 3 8 x2 – x – 12 = 0

x = = =

4. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 3x2· 3–2 = 9

b)5x2· 25x – 1 = 53x

a) 3x2· 3–2 = 9 8 3x2 – 2 = 32 8 x2 – 2 = 2 8 x2 = 4 8 x = ±2

b) 5x2· 25x – 1 = 53x 8 5x2

· (52)x – 1 = 53x 8 5x2· 52x – 2 = 53x 8

8 5x2 + 2x – 2 = 53x 8 x2 + 2x – 2 = 3x 8 x2 – x – 2 = 0

x = =

5. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a)

b)

a)

3 – + 2y = –1 8 – + 2y = –1 8 –6 + 2y2 = –y 8 2y2 + y – 6 = 0

y = =

Hay dos pares de soluciones:

x1 = – ; y1 = x2 = 1; y2 = –232

43

3 4y1 = — 8 x1 = – —

2 3y2 = –2 8 x2 = 1

–1 ± 74

–1 ± √1 – 4 · (2) · (–6)4

6y)2

y(

2xy = –2 8 x = – —

y3x + 2y = –1

°¢£

√—–2x + y = –1

x – 2y = 4

°¢£

xy = –2

3x + 2y = –1°¢£

x1 = 2

x2 = –1

1 ± 32

1 ± √1 – 4 · (1) · (–2)2

x1 = 4

x2 = –3

1 ± 72

1 ± √492

1 ± √1 – 4 · (1) · (–12)2

x2 – 3(x + 1)(x – 3)

x + 3x + 1

xx – 3


3UNIDAD

b)

+ y = –1 8 ( )2 = (–1 – y)2 8

8 –8 – 4y = 1 + 2y + y2 8 y2 + 6y + 9 = 0

y = = 8 y = –3

x = 4 + 2(–3) 8 x = –2

Solución: x = –2; y = –3

6. Resuelve por el método de Gauss:

a)

b)

a)

Solución: x = 1; y = –1; z = 3

b)

El sistema no tiene solución.

x – 5y + 9z = 4

11y – 21z = –6

0 = 8

1.ªÄÄÄÄ82.ªÄÄÄÄ83.ª – 2 · 2.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

x – 5y + 9z = 4

11y – 21z = –6

22y – 42z = –4

1.ªÄÄÄÄ82.ª – 2 · 1.ªÄÄÄÄ83.ª – 1.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

x – 5y + 9z = 4

2x + y – 3z = 2

x + 17y – 33z = 0

°§¢§£

8 z = 3

8 y = –1

8 x = 1

°§¢§£

–z = –3

y – z = –4

x + y – 2z = –6

1.ª + 8 · 2.ªÄÄÄÄ82.ªÄÄÄÄ83.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

–8y + 7z = 29

y – z = –4

x + y – 2z = –6

1.ª – 3 · 3.ªÄÄÄÄ82.ª – 3.ªÄÄÄÄ83.ªÄÄÄÄ8

°§¢§£

3x – 5y + z = 11

x + 2y – 3z = –10

x + y – 2z = –6

°§¢§£

x – 5y + 9z = 4

2x + y – 3z = 2

x + 17y – 33z = 0

°§¢§£

3x – 5y + z = 11

x + 2y – 3z = –10

x + y – 2z = –6

°§¢§£

–62

–6 ± √36 – 4 · (1) · (9)2

√–8 – 4y√–2(4 + 2y)

√—–2x + y = –1

x – 2y = 4 8 x = 4 + 2y

°¢£

Unidad 3. Álgebra72 72

3

7. Resuelve:

a) x2 + 5x Ó 0 b) x2 – 25 < 0 c) d)

a) x2 + 5x Ó 0 8 x (x + 5) Ó 0

Las raíces de x (x + 5) = 0 son 0 y –5:

Solución: (–@, –5] « [0, +@)

b) x2 – 25 < 0 8 x2 < 25 8 –5 < x < 5 8 Solución: (–5, 5)

c) Solución: [3, 7]

d) La solución es el recinto sombreado:

8. Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Desecha20 kilos por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 € cada kilo sobreel precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilos compró?

Llamamos x al número de kilos que compró el tendero.

Llamamos y al precio al que compra cada kilo de manzanas.

Resolviendo el sistema (nos quedamos solo con la solución positiva):

x = 125, y = 1

Por tanto, el tendero compró 125 kg.

x · y = 125

(x – 20)( y + 0,4) = 147°¢£

X

Yy = 3 + 2xy = 1 – x

y = 3

x + y Ó 1

y – 2x Ó 3

y Ì 3

°§¢§£

°¢£

2x + 1 Ó 7 8 2x Ó 6 8 x Ó 3

x + 1 Ì 8 8 x Ì 7

°¢£

°§¢§£

Si x = –6 8 –6(–6 + 5) > 0

Si x = –1 8 –1(–1 + 5) < 0

Si x = 1 8 1(1 + 5) > 0

–@ –5 0 +@

x + y Ó 1

y – 2x Ó 3

y Ì 3

°§¢§£

2x + 1 Ó 7

x + 1 Ì 8

°¢£


3UNIDAD

73

3

Unidad 4. Funciones elementales 1

Página 105


A través de una lupa

Mirando un objeto pequeño (un capuchón de bolígrafo, por ejemplo) a través deuna lupa situada a 10 cm, este se ve notablemente ampliado. Al variar la distanciase modifica el tamaño. La relación entre ambas variables es (para una cierta lu-pa):

A =

d = distancia de la lupa al objeto (en dm)

A = aumento (número por el que se multiplica el tamaño)

a) Para d = 0, A = 1. ¿Qué significa esto?

b)Calcula el valor de A para d = 1.

c) Si damos a d los valores 1,5; 1,9 y 1,99, se obtienen valores de A cada vez másgrandes. ¿Por qué?

d)Para d = 3, se obtiene A = –1. ¿Qué significa el signo menos?

a) Si se pega la lupa al objeto, el tamaño que se ve es el real. Es decir, no aumenta.

b) d = 1 8 A = = 2

c) El denominador se va haciendo cada vez más pequeño. Al dividir 2 por un númerocada vez más cercano a cero, el resultado es cada vez mayor.

d) Significa que la imagen se ha invertido.

22 – 1

A

d22 – d

FUNCIONES ELEMENTALES4

Ruido y silencio

La intensidad del sonido que nos llega de un foco sonoro depende de la distanciaa la que nos encontremos de él. Supongamos que:

I =

■ Averigua a qué distancia hemos de estar para que la intensidad sea de 16 db.

16 = 8 d2 = 8 d = = 2,5 m

Debemos estar a 2,5 metros del foco sonoro.

Funciones trozo a trozo

■ Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

1 2 3 4

1234a) b)

0

YY

XX

Y Y

XX

c) d)

50–2 1 4 7

–5

532

x + 2 si x < 1

3 si 1 Ì x Ì 4

7 – x si x > 4

°§¢§£

x + 5 si x Ì 0–x + 5 si x > 0

°¢£

x + 5 si x Ì 02x si x > 0

°¢£

x + 3 si x < 15 – x si x Ó 1

°¢£

√6,2510016

100d2

I

d1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

120

I = intensidad (en decibelios)d = distancia (en m)

100d2

Unidad 4. Funciones elementales2

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

e) y = f) y = 1/

g) y = 1/ h) y = 1/

i) y = 1/ j) y = 1/

k) y = x3 – 2x + 3 l) y =

m) y = n) y =

ñ) y = o) y =

p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l2.

a) Á b) [1, @) c) (–@, 1]

d) [–2, 2] e) (–@, –2] « [2, @) f) (–@, –1) « (1, @)

g) (1, @) h) (–@, 1) i) (–2, 2)

j ) (–@, –2) « (2, @) k) Á l) Á – {0}

m) Á – {0} n) Á – {–2, 2} ñ) Á

o) Á – {–1} p) l > 0

Página 108

1. Representa la siguiente función:

y = –2x + 7, x é (1, 4]

1

1

Y

X

1x3 + 1

1x2 + 4

1x2 – 4

1x2

1x

√x2 – 4√4 – x2

√1 – x√x – 1

√x2 – 1√x2 – 4

√4 – x2√1 – x

√x – 1√x2 + 1


4UNIDAD

2. Una función lineal f cumple: f (3) = 5, f (7) = –4, Dom( f ) = [0, 10]. ¿Cuál es suexpresión analítica? Represéntala.

m = = –

y = 5 – (x – 3) = – x + , x é [0, 10]

Página 109

1. En una Universidad, el año 2002 había matriculados 10 400 alumnos, y en elaño 2007, 13 200. Estimar cuántos había:

a) En el año 2003. b) En el 2005. c) En el 2000.

d) ¿Cuántos cabe esperar que haya en el 2010?

e) ¿Y en el 2040?

f (x) = (x – 2002) + 10 400 = 560(x – 2002) + 10 400

a) f (2003) = 560 + 10 400 = 10 960 alumnos.

b) f (2005) = 1 680 + 10 400 = 12 080 alumnos.

c) f (2000) = –1 120 + 10 400 = 9 280 alumnos.

d) f (2010) = 4 480 + 10 400 = 14 880 alumnos.

e) f (2040) = 21 280 + 10 400 = 31 680 alumnos, aunque la extrapolación es demasiadogrande.

2. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 100 km, depende de suvelocidad. A 60 km/h consume 5,7 l y a 90 km/h consume 7,2 l.

a) Estima su consumo si recorre 100 km a 70 km/h.

b) ¿Cuánto consumirá a 100 km/h?

c) ¿Y a 200 km/h?

a) f (x) = (x – 60) + 5,7 = (x – 60) + 5,7

f (70) = 0,5 + 5,7 = 6,2 l

b) f (100) = 2 + 5,7 = 7,7 l

c) f (200) = 7 + 5,7 = 12,7 l, aunque la extrapolación es demasiado grande.

1,530

7,2 – 5,790 – 60

13 200 – 10 4002007 – 2002

4

8

12

–12

–8

–4

2 4 6 8 10

Y

X474

94

94

94

–4 – 57 – 3


1. Representa estas parábolas:

a) y = x2 – 2x + 3 b) y = –x2 – 2x – 3

c) y = x2 – 6x + 5 d) y = 2x2 – 10x + 8

e) y = x2 – x + 3 f ) y = x2 + x – 2

2. Representa las funciones siguientes:

a) y = x2 – 6x + 1, x é [2, 5)

b) y = –x2 + 3x, x é [0, 4]

c) y = x2 – 4, x é (–@, –2) � (2, +@)

2 4a) c)

6

–2

–4

–6

–8

XY

1

b)1 X

Y

2–2

2468

X

Y

a)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

c)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

b)

–2 2

2

–2

4

4

–4

–6

Y

X

Y

X

Y

X

d)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

f)

2–4

4

–6–10

–8

8

12e)

–2 2

2

–2

4

4

6

8

Y

X

Y

X

Y

X

14

13


4UNIDAD

Las gráficas de la derecha (roja y verde) tienen por ecuaciones y = e y = .

Di qué ecuación corresponde a cada gráfica yaverigua los valores de a y de b.

y = es la roja. y = es la verde.

Basta con fijarse en los dominios.

La roja pasa por (2, 3), luego 3 = 8 a = 6

La verde pasa por (1, 2), luego 2 = 8 b = 4

4. Representa: y = , 1 Ì x Ì 16

5. Representa: y = , 0 Ì x Ì 25

4 9 16 25

5

10

15

X

Y

√9x

1 2 4 8 16

12

4

8

16

X

Y

16x

√b · 1

a2

√bxax

√bxax


1. Representa y = y, a partir de ella, estas otras:

a) y = + 5 b) y = – 2

2. Representa y = y, a partir de ella:

a) y = – b) y = – + 2

Página 113

3. Llamamos f (x) a y = para x > 1. A partir de ella, representa:

a) y = f (x – 5) b) y = f (x + 1)

c) y = f (–x) d) y = f (–x + 2)

4x

5

–5

–1

5 y = √—4x

y = –√—4x + 2

y = –√—4x

1

X

Y

√4x√4x

√4x

51 8

5

4y = — + 5 x

4y = — – 2 x

4y = — x

–5

–2

X

Y

–5

4x

4x

4x


4UNIDAD

4. Representa:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

Página 114

1. Representa:

a) y = b) y =

Y

a

b

X51–5 –1

5

1

2x + 1, x < 1x2 – 1, x Ó 1

°¢£

x + 3, x < 15 – x, x Ó 1

°¢£

51–5 –3

5

1

X

Y

y = √—x – 4

y = √—x + 3y = √

—–x + 4

y = √—–x

√–x + 4√–x

√x + 3√x – 4

13–8

4

1

X

f (x – 5)

f (–x + 2) f (x + 1)

4f (x) = — x

f (x)f (–x)

Y


2. Representa:

y =

Página 115

1. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera:

a) y = Ent (x) + 2

b)y = Ent (x + 0,5)

c) y = Ent

d)y = Ent (3x)

a) y = Ent (x) + 2 b) y = Ent (x + 0,5)

c) y = Ent d) y = Ent (3x)

2

2

1–1–2

4

–4

–2

Y

X8

4

4

–4–8

8

–8

–4

Y

X

)x4(

4

2

2

–2–4

4

–4

–2

Y

X4

2

2

–2–4

4

–4

–2

Y

X

)x4(

Y

X51–5 –1

5

1

2 si x Ì –2x2 si –2 < x < 1x si x Ó 1

°§¢§£


4UNIDAD

2. Representa:

a) y = Mant (x) – 0,5 b) y = |Mant (x) – 0,5| c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|

Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al enteromás próximo. Su gráfica tiene forma de sierra.

a) y = Mant (x) – 0,5 b) y = |Mant (x) – 0,5|

c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|

Página 116

1. Representa: y = |–x2 + 4x + 5|

2. Representa gráficamente: y = ß – 3ß

4

2

4

Y

X

2 6 8 10

6

x2

4

2

4

2 6–2

6

8

Y

X

X

Y

1–1–2–3

1

2 3

X

Y

1–1–2–3

1

2 3X

Y

1–1–2–3

1

–1

2 3



Dominio de definición

1 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f) y =

a) Á – {–1, 0} b) Á – {2} c) Á – {–1/2}

d) Á e) Á – {0, 5} f ) Á – {– , }


a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

a) (–@, 3]

b) [1/2, +@)

c) (–@, –2]

d) (–@, 0]


a) y = b) y =

c) y = d) y =

e) y = f ) y =

a) x2 – 9 Ó 0 8 (x + 3) (x – 3) Ó 0 8 Dominio = (–@, –3] « [3, +@)

b) x2 + 3x + 4 Ó 0 8 Dominio = Ác) 12x – 2x2 Ó 0 8 2x (6 – x) Ó 0 8 Dominio = [0, 6]

d) x2 – 4x – 5 Ó 0 8 (x + 1) (x – 5) Ó 0 8 Dominio = (–@, –1] « [5, +@)

e) 4 – x > 0 8 4 > x 8 Dominio = (–@, 4)

f ) x2 – 3x > 0 8 x (x – 3) > 0 8 Dominio = (–@, 0) « (3, +@)

1

√x2 – 3x

1

√4 – x

√x2 – 4x – 5√12x – 2x2

√x2 + 3x + 4√x2 – 9

√–3x

√–x – 2

√2x – 1

√3 – x

√2√2

1x2 – 2

25x – x2

1x2 + 2x + 3

x – 12x + 1

x(x – 2)2

3x2 + x

PARA PRACTICAR


4UNIDAD

4 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de defi-nición y su recorrido:

Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (–@, 2) « (2, +@) y [–1, +@).

Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +@) y [0, +@).

5 De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rec-tángulos isósceles cuyos lados iguales miden x.

a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x.

b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?

a) A (x) = 16 – 2x2

b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)

6 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2y 2x cm.

a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x.

b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volu-men. ¿Cuál es su recorrido?

a) V (x) = x3

b) Dominio: (0, 10). Recorrido: (0, 1 000)

Funciones lineales. Interpolación

7 Di cuál es la pendiente de cada recta:

a) y = 2x – 5

b) 2x – y + 1 = 0

c) x + y – 5 = 0

d) y = 5

a) 2 b) 2 c) – 1 d) 0

4

xx

2 2 2–2 –1


8 Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas:

a) Pasa por P(1, –5) y Q(10, 11).

b) Pasa por (–7, 2) y su pendiente es –0,75.

c) Corta a los ejes en (3,5; 0) y (0, –5).

d) Es paralela a la recta 3x – y + 1 = 0 y pasa por (–2, –3).

a) m = =

y = –5 + (x – 1) = x –

b) y = 2 – 0,75 (x + 7) = –0,75x – 3,25

c) + = 1 8 y = x – 5

d) m = 3; y = –3 + 3 (x + 2) = 3x + 3

9 Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación:

a) y = x + b) y = – x + 8

c) y = 0,025x – 0,05 d) y = 12x – 30

10 Calcula, mediante interpolación o extrapolación lineal, los valores de y quefaltan en cada tabla:

a) b)

c) d)

x

y

825

2 500

1 000

…

2 015

4 516

x

y

3

–5

7

…

13

4

15

…

x

y

47

18

112

37

120

…

x

y

0,45

2

0,5

…

0,6

0,25

15

103

53

15

5

1 2 3

6030

5 15

a) b)

c) d)

4

15

5

10 30

0,20,1

2 6

107

y–5

x3,5

619

169

169

169

11 – (–5)10 – 1


4UNIDAD

a) y = 2 – 11,)6(x – 0,45) 8 y0 = 2 – 11,

)6(0,5 – 0,45) = 1,42

b) y = 18 + 0,292(x – 47) 8 y0 = 18 + 0,292(120 – 47) = 39,32

c) y = –5 + 0,9(x – 3) 8 y0 = –5 + 0,9(7 – 3) = –1,4

y1 = –5 + 0,9(15 – 3) = 5,8

d) y = 2 500 + 1,69(x – 825) 8 y0 = 2 500 + 1,69(1 000 – 825) = 2 795,75

11 Esta tabla muestra la temperatura atmosférica tomada a diferentes alturas:

Calcula la temperatura a 1 200 m y a 2 000 m.

y = 15 – 0,0066x 8 f (1 200) = 15 – 0,0066 · 1 200 = 7,08

f (2 000) = 15 – 0,0066 · 2 000 = 1,8

Página 124

Gráfica y expresión analítica

12 Dos de estas gráficas no son funciones. Di cuáles son y asocia a cada una delas otras cuatro la expresión analítica que le corresponde.

a) y = b) y = –0,25x2 c) y = d) y = x2 – 2

No son funciones III y VI.

a) 8 IV

b) 8 I

c) 8 V

d) 8 II

4

2

–2

V

–4

62 4

III

4

2

–2

VI

–4

642

4IV

2

642

–2

–4

–6

I

–8

2–2

1

II

2–2

2

2

–2

2–2

1x – 4

√2x

ALTURA (m)

TEMPERATURA (°C)

0

15

500

11,7

1 000

8,4

1 500

5,1


13 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíti-cas:

a) y = + 2 b) y = c) y = (x + 3)2 d) y =

a) 8 III

b) 8 IV

c) 8 I

d) 8 II

Representación de funciones elementales

14 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de cortecon los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice:

a) y = 0,5x2 – 3 b) y = –x2 + 3 c) y = 2x2 – 4 d) y = –

a)

Vértice: (0, –3). Corte con los ejes: (– , 0), ( , 0), (0, –3)

b)

Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: ( , 0), (– , 0), (0, 3)√3√3

2

–4

–22 4–4 –2

Y

X

√6√6

2

–4

–22 4–4 –2

Y

X

3x2

2

2

4

–2

–4

2–4 –2

I

III

2

–2

2 4

IV

4

–4 –2–6

2

6

II

2

4

–2

2 4 6–2

√x + 21

x + 31x


4UNIDAD

c)

Vértice: (0, –4).

Corte con los ejes: ( , 0), (– , 0), (0, –4)

d)

Vértice: (0, 0).

Corte con los ejes: (0, 0)

15 Representa las siguientes funciones:

a) y = x2 + 2x + 1

b) y = + 3x + 1

c) y = –x2 + 3x – 5

d) y = + 3x + 6

2

2 4–4 –2

a)

42

2–4 –2

b)

–4

–6–2

c)

2 4–4 –2

–4

–6

–2

d)

2

4

6

–4–6–8 –2

Y

X

Y

X

YX

Y

X

x2

3

x2

2

–4

–6

–8

–22 4–4 –2

YX

√2√2

2

–4

–22 4–4 –2

Y

X


16 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna deellas corta el eje de abscisas.

Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalasgráficamente:

a) y = 4 (x2 + x + 1) b) y = 5 (x + 2)2 + 1

c) y = –x2 – 2 d) y = – (x2 + 2)

a) b)

Vértice: (– , 3) Vértice: (–2, 1)

c) d)

Vértice: (0, –2) Vértice: (0, – )17 Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) b)

2

4 Y

X

Y

X2 4

–4

–2–4 –2

2

4

2 4

–4

–2–4 –2

2x + 6 si x < –1–x + 3 si x > –1

°¢£

–2x – 1 si x < 1(3x – 15)/2 si x Ó 1

°¢£

–2 si x < 0x – 2 si 0 Ì x < 4

2 si x Ó 4

°§¢§£

x – 3 si x < 12 si x Ó 1

°¢£

32

–2

–4

–6

2 4–4 –2

YX

–2

–4

–6

2 4–4 –2

YX

12

2

2 4–4 –2

4

Y

X

2

2 4–4 –2

4

Y

X

34


4UNIDAD


a) y = b) y =

c) y = d) y =


a) y =

b) y = –

c) y = 2 +

d) y = 1 –

a) b)

2

4

2 4

6

6 8

–2

–6

–4

2 4–2

6

Y

X

YX

√x

√x

√x + 3

√x – 1

a)

2

4

2 4

–4

–2–2–4

b)

2

4

2 4

–4

–2–2–4

c)

2

2 4

d)

–4

–2–2–4

4

2

4

2

–4

–2–2–4

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

–1x – 3

–1x

1x – 1

1x + 1

Y

X

Y

X

c) d)2

2 4

–4

–2

–6

–4 –22

4

2 4

–4

–2–4 –2


Transformaciones en una función

20 Representa f (x) = 4 – x2 y, a partir de ella, representa:

a) g(x) = f (x) – 3

b) h(x) = f (x + 2)

21 Esta es la gráfica de la función y = f (x):

2

2

Y

X

a)

2

2

4

–4

–2

–6

–4 –2

b)

2

2

4

–4

–2–4 –2

Y Y

XX

2

f (x) = 4 – x2

2 4

4

–4

–2–4 –2

c) d)

2

4

2 4

6

6 8

–2

–6

–4

2 4–2

6

Y

X

YX


4UNIDAD

Representa, a partir de ella, las funciones:

a) y = f (x – 1)

b) y = f (x) + 2

22 A partir de la gráfica de f (x) = 1/x, representa:

a) g(x) = f (x) – 2

b) h(x) = f (x – 3)

c) i(x) = –f (x)

d) j(x) = |f (x)|

b) Y

h(x) = f (x – 3)

X2 4

c) Y

1

22

–1–1

i (x) = – f (x)

X1–1

X

Y

2 4

a) Y

–1

–1

–2

1f (x) = — x

g (x) = f (x) – 2

X2–1

b)

2

2

4

–4 –2

Y

X

a)

4

2

2

4

–4 –2

Y

X


23 Representa la función f (x) = y dibuja a partir de ella:

a) g(x) = b) h(x) = – 3

c) y = d) y = 1 –

Valor absoluto de una función

24 Representa la función y = |x – 5| y comprueba que su expresión analíticaen intervalos es:

y =

2

4

2 4 6

6 Y

X8 10 12

–x + 5 si x < 5x – 5 si x Ó 5

°¢£

a)

g(x)f(x)

0,2

0,4

Y

X0,5

0,6

0,8

1

–0,5–1

b)

h(x)

f(x)1

Y

X0,4

–1

–2

–3

0,80,2 0,6

c)

f(x)y = √—–x

1

Y

X

2

2

–1

–2 1–1

d)

f(x)

y = 1 – √—x

1

Y

X

2

2

–1

–2 1–1

√x√–x

√x√x + 1

√x

j(x) = |f (x)|

d)

X2 3 41–1–2–3


4UNIDAD

25 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos:

a) y = |4 – x| b) y = |x + 2| c) y = |x – 3| d) y = |–x – 3|

a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

26 Representa y define como funciones “a trozos”:

a) y = | | b) y = |3x + 6| c) y = | | d) y = |–x – 1|

☛ Mira el ejercicio resuelto número 8.

a)

y =

– si x < 3 b) y =

si x Ó 3

2

4

2 4

6

Y

X

Y

X6–2–4

2

4

2

6

–2–4–6

x – 32

–3x – 6 si x < –23x + 6 si x Ó –2

°¢£

x – 32

2x – 13

x – 32

2

–4 –2

Y

X

–x – 3 si x Ì –3x + 3 si x > –3

°¢£

2

4

2 4 6

6

8 10 12

Y

X

–x + 3 si x < 3x – 3 si x Ó 3

°¢£

2

–4 –2

Y

X2

–x – 2 si x < –2x + 2 si x Ó –2

°¢£

2

4

2 4 6

6 Y

X8 10 12

4 – x si x < 4–4 + x si x Ó 4

°¢£


°§§¢§§£

c)

y =

si x < d) y =

si x Ó

27 La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 95 € por375 kW h de consumo, y en enero 130,4 € por 552 kW h.

¿Cuánto tendrán que pagar si consumen 420 kW h?

y = 95 + 0,2(x – 375)

y (420) = 104 euros

28 Las ventas obtenidas por una empresa han sido de 28 000 € con unos gastosen publicidad de 3 000 € y de 39 000 € con unos gastos publicitarios de5 000 €.

Estima cuáles serán las ventas si se invierte en publicidad 4 000 €.

y = 28 000 + 5,5(x – 3 000)

y (4 000) = 33 500 euros

29 El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros re-corridos. Por 57 km he pagado 2,85 euros, y por 168 km, 13,4 euros.

Calcula el precio de un billete para una distancia de 100 km.

y = 2,85 + 0,095(x – 57)

y (100) = 6,94 euros

30 Un rectángulo tiene 20 cm de perímetro. Escribe la función que da el áreade ese rectángulo en función de su base x.

¿Cuál es el dominio de esa función?

2x + 2y = 20; A = x · y

A (x) = 10x – x2; Dom = (0, 10)y

x

PARA RESOLVER

2

4

2

6

–2–4–6

2

4

2

6

4–2–4

Y

X

Y

X

12

2x – 13

–x – 1 si x < –1x + 1 si x Ó –1

°¢£

12

–2x + 13


4UNIDAD

°§§¢§§£

31 Observamos en una farmacia una tabla con los pesos de los niños menoresde 12 años, según su edad:

Estima el peso de un niño a los 5 años y a los 10 años.

y = 10 + 2(x – 1)

y = 10 + 2 · 4 = 18 kg a los 5 años.

y = 10 + 2 · 9 = 28 kg a los 10 años.

32 Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televiso-res son G = 2 000 + 25x, en euros, y los ingresos mensuales son I = 60x –– 0,01x2, también en euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para queel beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?

La función Beneficio viene dada por la expresión:

B = I – G = 50x – 0,02x2 – 3 000 – 25x = –0,02x2 + 25x – 3 000

Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo.

El máximo de la función se encuentra en el vértice:

x0 = = = 625

El beneficio máximo se obtendrá para 625 televisores.

33 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio.La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t2 (t en se-gundos y h en metros).

a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5].

b) Halla la altura del edificio.

c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?

a) b) 80 metros.

c) 2 segundos.

60

80

100

40

20

1 2 3 4 5 TIEMPO (s)

ALTURA (m)

120

140

–25–0,04

–b2a

x (años)

y (kg)

1

10

3

14

6

20

9

26


34 El precio de venta de un artículo viene dado por p = 12 – 0,01x (x = núme-ro de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros).

a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obte-nidos?

b) Representa la función N-º de artículos-Ingresos obtenidos.

c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos?

a) Si se venden 500 artículos, su precio será:

12 – 0,01 · 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = 350 000 €

b)

c) Deben fabricar 600 artículos para obtener los ingresos máximos (360000 euros).

35 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cadauno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 menos.

a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?

b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos men-suales.

c) ¿Qué subida produce ingresos máximos?

a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno; luego los in-gresos serían de 450 · 90 = 40 500 euros.

b) I (x) = (400 + 10x) (100 – 2x) = –20x2 + 200x + 40 000

c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola:

x = = = 5 8 5 euros

36 El coste de producción de x unidades de un producto es igual a x2 + 35x + 25euros y el precio de venta de una unidad es 50 – x/4 euros.

a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x uni-dades producidas.

b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficiosea máximo.

☛ Los ingresos por la venta de x unidades son x (50 – x/4) euros.

14

–200–40

–b2a

1000

2000

3000

4000

100 600Nº DE ARTÍCULOS

INGRESOS

1200

I(x) = p · x = 12x – 0,01x2


4UNIDAD

a) B (x) = 50x – – ( x2 + 35x + 25) = – + 15x – 25

b) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x = = 15

Deben venderse 15 unidades.

37 En la base de una montaña de 1 200 m, la temperatura es de 10 °C y sabemosque baja 1 °C por cada 180 m de ascensión. ¿Cuál será la temperatura en lacima?

Representa la función altura-temperatura y busca su expresión analítica.

y = 10 – x

Si x = 1 200 8 y = 10 – = 3,)3

La temperatura en la cima será de 3,3 °C.

38 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) b)

c) d)

2

4

2 4–2

–4 –2

2

4

2 4–2

–4 –2

2

2 4–2

–4

–4 –2

2

42

–4

–2–4 –2

Y

Y Y

Y

X

X X

X

–x2 si x < 0x2 si x Ó 0

°¢£

–x2 – 4x – 2 si x < –1x2 si x Ó –1

°¢£

x2 – 2x si x Ì 23 si x > 2

°¢£

x2 si x Ì 1(2x – 1)/3 si x > 1

°¢£

TEMPERATURA (°C)

ALTURA (m)200

2

1000 1200

4

6

8

10

1 200180

1180

–15–1

x2

214

x2

4


39 Representa:

a) y =

b) y =

40 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, queestá a 1 km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta empleael mismo tiempo que en el de ida.

Representa la función tiempo-distancia y busca su expresión analítica.

f (x) =

41 Busca la expresión analítica de estas funciones:

a) f (x) = b) f (x) = x2 si x Ì 24 si x > 2

°¢£

–x – 1 si x Ì 32 si x > 3

°¢£

a)

–4 –2–2

2

4

6

–4

2 4 6

b)

–4 –2–2

2

4

6

2 4 6

(1/20)x si 0 Ì x Ì 201 si 20 < x Ì 50–1/20 (x – 70) si 50 < x Ì 70

°§¢§£

DISTANCIA A SU CASA (km)

TIEMPO (min)20

1

50 70

a) b)

2

2 4–2

–4 –2

2

42–2

–4 –2

Y Y

X X

–x2/2 + 2 si x < 1x – 3 si x Ó 1

°¢£

–x – 1 si x Ì –12x2 – 2 si –1 < x < 1x – 1 si x Ó 1

°§¢§£


4UNIDAD

42 Representa y define como funciones “a trozos”:

a) y = |x2 – 4| b) y = |x2 – 2x – 4|

c) y = |– + 2| d) y = |x2 + 2x – 2|

a) y = b) y =

c) y = d) y =

43 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la

función y = de esta forma: y = 2 + . Comprueba que su gráfi-

ca coincide con la de y = 1/x trasladada 1 unidad hacia la izquierda y 2 ha-cia arriba.

y =

1

1

2

–3

–2

–12 3–2 –1–3–4

Y

X

1x

1x + 1

2x + 3x + 1

restodivisor

dividendodivisor

2

4

2

6

4–2–4

2

4

2

6

4–2–4

Y

X

Y

X

x2 + 2x – 2 si x < –2,7–x2 – 2x + 2 si –2,7 Ì x Ì 0,7x2 + 2x – 2 si x > 0,7

°§¢§£

(x2/2) – 2 si x < –2(–x2/2) + 2 si –2 Ì x Ì 2(x2/2) – 2 si x > 2

°§¢§£

2

4

2

6

Y

X

Y

X4–2–4

2

4

2

6

4–2–4

x2 – 2x – 4 si x < –1,2–x2 + 2x + 4 si –1,2 Ì x Ì 3,2x2 – 2x – 4 si x > 3,2

°§¢§£

x2 – 4 si x < –2–x2 + 4 si –2 Ì x Ì 2x2 – 4 si x > 2

°§¢§£

x2

2


y = 2 +

44 Representa, utilizando el procedimiento del ejercicio anterior:

a) y = b) y = c) y = d) y =

a) y = = 3 +

b) y = = 1 +

2

2–2

–4

–6

4

6

8

–2–4 4 6 8 10

Y

X

2x – 4

x – 2x – 4

3

1

Y

X

3x – 1

3xx – 1

2x – 3x – 1

–x – 2x + 3

x – 2x – 4

3xx – 1

1

1

2

3

4

–12–2 –1–3–4–5

Y

X

1x + 1


4UNIDAD

c) y = = –1 +

d) y = = 2 –

Página 127

45 Una parábola corta el eje de abscisas en x = –1 y en x = 3. La ordenada delvértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?

f (x) = k (x + 1) (x – 3) = k (x2 – 2x – 3)

Vértice 8 x = = 1; f (1) = –4k = –4 8 k = 1

La ecuación de la parábola será, por tanto: f (x) = x2 – 2x – 3

3 + (–1)2

CUESTIONES TEÓRICAS

2

–2

–4

–6

4

6

8

–2–4 2 4 6 8

Y

X–6

1x – 1

2x – 3x – 1

2

2

–2

–4

–6

4

6

–2–44

Y

X–6–8–10

1x + 3

–x – 2x + 3


46 Encuentra los valores de c para que la función y = –x2 + 12x + c tenga conel eje de abscisas:

a) Dos puntos de corte.

b) Un punto de corte.

c) Ningún punto de corte.

b2 – 4ac = 144 + 4c

a) 144 + 4c > 0 8 c > –36

b) 144 + 4c = 0 8 c = –36

c) 144 + 4c < 0 8 c < –36

47 Esta es la gráfica de una función del tipo:

y = a +

¿Cuáles son los valores de a y b en esa gráfica?

a = –2; b = 3

48 La distancia que recorre un vehículo desde que se pisa el freno hasta que separa es:

d = + (d en metros y v en km/h)

a) Representa la función en el intervalo [0, 240].

b) Si un obstáculo está a 100 m, ¿cuál debe ser la velocidad máxima que pue-de llevar el automóvil para evitar el accidente?

a) b) 100 = +

120 000 = 6v2 + 200v

6v2 + 200v – 120 000 = 0

v = =

=

La velocidad debe ser menor de 125 km/h.

v1 = –159,07 (no vale)

v2 = 125,73

–200 ± √292000012

v6

v2

200

v6

v2

200

PARA PROFUNDIZAR

2

1

1

–1

–3

2

Y

X1x – b


4UNIDAD

50

100

150

200

250

300

50 100 150 200 250 v (km/h)

d (m)

49 Las tarifas de una empresa de transportes son:

• 40 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 20 t.

• Si la carga es mayor que 20 t, se restará, de los 40 euros, tantos euros comotoneladas sobrepasen las 20.

a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte(carga máxima: 30 t).

b) Obtén la expresión analítica y represéntala.

a)

b) f (x) =

Es decir:

f (x) =

Página 127

AUTOEVALUACIÓN

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) y = x3 – x2 b) y =

c) y = d) y =

a) Al ser una función polinómica, su dominio es todo Á.

b) Su dominio es todo Á, salvo los puntos que anulan el denominador.

(2x – 6)2 = 0 8 2x – 6 = 0 8 x = 3

Por tanto: Dom y = Á – {3}

√5x – x2√4 – 2x

3x(2x – 6)2

40x si 0 Ì x Ì 2060x – x2 si 20 < x Ì 30

°¢£

40x si 0 Ì x Ì 20[40 – (x – 20)]x si 20 < x Ì 30

°¢£

10

200

400

600

800

1000

INGRESOS

CARGA (t)20 30


c) Su dominio son los puntos que hacen que el radicando no sea negativo.

4 – 2x Ó 0 8 2x Ì 4 8 x Ì = 2

Por tanto: Dom y = (–@, 2]

d) Al igual que en el apartado anterior:

5x – x2 Ó 0 8 x (5 – x) Ó 0

Esto ocurre si:

• x Ó 0 y 5 – x Ó 0 8 x Ó 0 y x Ì 5 8 x é [0, 5]

• x Ó 0 y 5 – x Ì 0 8 x Ì 0 y x Ó 5 8 Esto no es posible.

Por tanto: Dom y = [0, 5]

2. Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones:

a) y = b) y = c) y = – d) y =

a) II

b) III

c) IV

d) I

3. Representa las siguientes funciones:

a) y = –0,5x2 + 2x – 2 b) y = |5 + 2x| c) f (x) =

XYa) b)

X

Y c)

X

Y

1 – x2 si x Ì 0

x + 3 si x > 0

°¢£

Y

X

Y

X

III IV

Y

X

Y

X

I II

x – 3x – 2

√x + 1–x

2x + 6√1 – x

42


4UNIDAD

4. Asistir a un gimnasio durante 6 meses nos cuesta 246 €. Si asistimos 15 meses, elprecio es 570 €.

¿Cuánto tendremos que pagar si queremos ir durante un año?

Vamos a hacer una interpolación lineal. Hallamos la recta que pasa por los puntos(6, 246) y (15, 570).

Su pendiente es m = = = 36.

Por tanto, la ecuación de la recta es:

y = 36(x – 6) + 246 8 y = 36x + 30

De este modo, si queremos saber cuánto se debe pagar si vamos al gimnasio duran-te un año (12 meses), hacemos:

y (12) = 36 · 12 + 30 = 462

Habrá que pagar 462 €.

5. Ponemos al fuego un cazo con agua a 10 °C. En 5 minutos alcanza 100 °C y semantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente.

Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión analí-tica.

• La gráfica pasa por los puntos (0, 10) y (5, 100).

• Hallamos la ecuación de esta recta:

Pendiente: = 18 8 y = 18(x – 0) + 10

• Para valores de x mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 y = 100.

Expresión analítica: f (x) =

6. A partir de la gráfica de y = f (x), representa:

a) y = 1 + f (x)

b) y = f (x – 1)

c) y = – f (x)

Y

X

y = f (x)

2

2

18x + 10 si 0 Ì x < 5

100 si 5 Ì x Ì 35

°¢£

570 – 24615 – 6

3249

570 – 24615 – 6


25

40302010

50

75

100TEMPERATURA (°C)

TIEMPO(min)

a) La gráfica se desplaza una unidad hacia arriba.

b) La gráfica se desplaza una unidad hacia la derecha.

c) La gráfica es simétrica a la de f (x), respecto al eje X.

Y

X

–f (x) 22

Y

X

f (x – 1)

2

2

Y

X1 + f (x)

2

1


4UNIDAD

Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 1

Página 129


A vueltas con la noria

■ Modificando la escala, representa la función:

x : tiempo transcurrido

y : distancia al suelo

correspondiente a cuatro vueltas de la noria.

Muchas, muchas amebas

a) Calcula el número aproximado de amebas que habrá según pasan las horas ycompleta esta tabla en tu cuaderno:

TIEMPO (horas)

N.º DE AMEBAS

0

1

1

2

2

4

3 4 5 6

DISTANCIA AL SUELO

1 vueltaTIEMPO

2 vueltas 3 vueltas 4 vueltas

DISTANCIA AL SUELO

1 vuelta

TIEMPO

FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS,EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS5

b)Representa gráficamente estos datos enuna hoja de papel cuadriculado.

c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables sean, ahora:

x : número de amebas

y : tiempo (en horas)

a)

b)

c)

Desintegración radiactiva

a) Completa la tabla siguiente (utiliza la calculadora para obtener los valores contres cifras decimales):

TIEMPO (años)

SUSTANCIA (kg)

0

1

1

0,5

2

0,250

3

0,125

4 5 6

N.° DE AMEBAS

1

10 20 30 40 50 60

2

3

4

5

6

TIEMPO (horas)

N.° DE AMEBAS

10

1 2 3 4 5 6

20

30

40

50

60

TIEMPO (horas)

TIEMPO (horas)

N.º DE AMEBAS

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

N.º DE AMEBAS

10

1 2 3 4 5 6

20

30

40

TIEMPO (horas)

Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas2

b) Representa gráficamente los datos en papel cuadriculado.

c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables son, ahora:

x : peso de la sustancia radiactiva (en kg)

y : tiempo transcurrido (en años)

a)

b) c)

Página 130

1. Si f (x) = x2 – 5x + 3 y g (x) = x2, obtén las expresiones de f [ g(x)] yg [ f (x)].

Halla f [ g(4)] y g [ f (4)].

f [g (x)] = f [x2] = x4 – 5x2 + 3

g [ f (x)] = g [x2 – 5x + 3] = (x2 – 5x + 3)2

f [g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1

PESO (kg)1234

0,100 0,500 1,000

56

TIEMPO (años)PESO (kg)

0,100

1 2 3 4 5 6

0,500

1,000

TIEMPO (años)

TIEMPO (años)

SUSTANCIA (kg)

0

1

1

0,5

2

0,250

3

0,125

4

0,063

5

0,031

6

0,016

PESO(en kg)

TIEMPO(en años)

1,000

0,100

0,250

0,500

1 2 3 4 5 6


5UNIDAD

2. Si f (x) = sen x, g (x) = x2 + 5, halla f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor deestas funciones en x = 0 y x = 2.

f ° g (x) = sen (x2 + 5); f ° g (0) = –0,96; f ° g (2) = 0,41

g ° f (x) = sen2 x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83

f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79

g ° g (x) = (x2 + 5)2 + 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86

Página 131

1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas.

2. Comprueba que hay que descomponer y = x2 – 1 en dos ramas para hallar susinversas respecto de la recta y = x . Averigua cuáles son.

a) y = x2 – 1 si x ≥ 0 b) y = x2 – 1 si x < 0

y–1 = y–1 = –

3. Si f (x) = x + 1 y g(x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x)funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f yque el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones yobserva su simetría respecto de la recta y = x.

f [g (x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x

y = x2 – 1

y = √x + 1

y = xy = x

Y

X

y = x2 – 1

y = –√x + 1

Y

X

√x + 1√x + 1

y = 2xy = x

y = x/2

Y

X


Son funciones inversas.

Página 133

1. La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si toma-mos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 1800, queconsideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la funciónM = 1,4t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, texpresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué).

a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 1800 (1,4t = 3) ycuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo soniguales.

b)Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 1900, 1990, 2000, 1600y 1550.

M = 1,4t

a) • Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = 3:

1,4t = 3 8 ln (1,4)t = ln (3) 8 t ln (1,4) = ln (3) 8 t = ≈ 3,27

Cuando pasen 3,27 · 100 = 327 años, se habrá triplicado la masa de madera. Estoes, en el año 1800 + 327 = 2127.

• Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = = 3–1:

1,4t = 3–1 8 ln (1,4)t = ln (3)–1 8 t ln (1,4) = –ln (3) 8 t = – ≈ –3,27

Hace 3,27 · 100 = 327 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, enel año 1800 – 327 = 1473.

b) 1900 8 t = 1 8 M = 1,41 = 1,4

1990 8 t = = 1,9 8 M = 1,41,9 ≈ 1,90

2000 8 t = = 2 8 M = 1,42 = 1,962000 – 1800

100

1990 – 1800100

ln 3ln 1,4

13

ln 3ln 1,4

y = x + 1

y = x – 1

Y

X


5UNIDAD

1600 8 t = = –2 8 M = 1,4–2 ≈ 0,51

1550 8 t = = –2,5 8 M = 1,4–2,5 ≈ 0,43

2. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de unacierta sustancia radiactiva, M = m · 0,76t (t expresado en miles de años), elperiodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad lasustancia radiactiva) es de, aproximadamente, 2 500 años.

Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad(aproximadamente) al cabo de 2 500 años (t = 2,5).

M = m · 0,76t

La cantidad inicial se ha reducido (aproximadamente) a la mitad en 2 500 años.

°§¢§£

Si t = 0 8 M = m · 0,760 = m

mSi t = 0,25 8 M = m · 0,762,5 ≈ m · 0,5 = —

2

1550 – 1800100

1600 – 1800100



Composición y función inversa

1 Dadas las funciones f (x) = x + 3 y g(x) = , halla:

a) f [g (2)] b) g [ f (–1)] c) f [g (x)] d) g [ f (x)]

a) f [g (2)] = f = f (5) = 5 + 3 = 8

b) g [ f (–1)] = g (–1 + 3) = = 5

c) f [g (x)] = f = + 3

d) g [ f (x)] = g (x + 3) =

2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 – 2x obtén la expresión de las siguientes fun-ciones:

a) f " g b) g " f c) f " f d) g " g

a) f " g (x) = f [g (x)] = f (x2 – 2x) = 2(x2 – 2x) + 3 = 2x2 – 4x + 3

b) g " f (x) = g [2x + 3] = (2x + 3)2 – 2(2x + 3) = 4x2 + 8x + 3

c) f " f (x) = f (2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 9

d) g " g (x) = g (x2 – 2x) = (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) = x4 – 4x3 + 2x2 + 4x

3 ¿Cuál es la función inversa de f (x) = 2x – 3?

Representa f (x) y f –1(x) en los mismos ejes coordenados y compruebasu simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

y = 2x – 3 8 x = 2y – 3 8 = y

f –1(x) = f –1

f

X

Y

1 2 3–3 –2 –1–1

–2

–3

3

2

1

x + 32

x + 32

5(x + 3)2

5x2)5x

2(

5 · 22

]5 · 22[

5x2

PARA PRACTICAR


5UNIDAD

4 Considera las funciones f y g definidas por f (x) = x2 + 1 y g(x) = .

Calcula:

a) ( f " g) (2) b) ( g " f ) (–3) c) ( g " g) (x) d) ( f " g) (x)

a) ( f " g) (2) = f [g (2)] = f = 2

+ 1 =

b) ( g " f ) (–3) = g [f (–3)] = g (10) =

c) ( g " g) (x) = g [g (x)] = g = = x

d) ( f " g) (x) = f [g (x)] = f = 2

+ 1 = + 1

5 Dadas las funciones f (x) = 3x + 2 y g(x) = , halla:

a) ( f " g) (x) b) ( g " f ) (x) c) ( g " g) (x)

a) ( f " g) (x) = f [g (x)] = f ( ) = 3 + 2

b) ( g " f ) (x) = g [f (x)] = g (3x + 2) =

c) ( g " g) (x) = g [g (x)] = g ( ) = =

6 Con las funciones f(x) = y g(x) = x – 2, hemos obtenido por compo-

sición las funciones p(x) = y q(x) = – 2. Indica cuál de estas

expresiones corresponde a f " g y cuál a g " f .

( f " g) (x) = f [g (x)] = 8 ( f " g) (x) = p (x)

( g " f ) (x) = g [f (x)] = – 2 8 ( g " f ) (x) = q (x)

7 Halla la función inversa de estas funciones:

a) y = 3x b) y = x + 7 c) y = 3x – 2

a) y = 3x 8 x = 3y 8 y = 8 f –1(x) =

b) y = x + 7 8 x = y + 7 8 y = x – 7 8 f –1(x) = x – 7

c) y = 3x – 2 8 x = 3y – 2 8 y = 8 f –1(x) = x + 23

x + 23

x3

x3

1x2

1(x – 2)2

1x2

1(x – 2)2

1x2

4√x√√—x√x

√3x + 2

√x√x

√x

1x2)1

x()1x(

11/x)1

x(

110

54)1

2()12(

1x


8 Dada la función f (x) = 1 + , halla f –1(x). Representa las dos funcionesy comprueba su simetría respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

y = 1 + 8 x = 1 + 8 (x – 1)2 = y 8 f –1(x) = (x – 1)2

Funciones exponenciales y logarítmicas

9 Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = x

y represéntala gráficamente.

10 Representa la función y = x. ¿Es creciente o decreciente?

1

2

2

f(x) = (—)x65

Y

X

–2

3

1 3–1–3 Es creciente.

)65(

1

2

2

y = (—)x35

Y

X–2

3

4

1 3–1–3

x

y

–3

4,63

–2

2,78

–1

1,67

0

1

1

0,6

2

0,36

3

0,22

)35(

y = (x – 1)2, x Ó 1

y = 1 + √x

y = x

2

4

6

8

Y

X2 4 6 8

√y√x

√x


5UNIDAD

11 Comprueba que las gráficas de y = 3x e y =x

son simétricas respecto al ejeOY.

☛ Represéntalas en los mismos ejes.

12 Representa las funciones:

a) y = 2x + 1

b) y = 2x – 3

☛ Utiliza la gráfica de y = 2 x.


a) y = 2x – 1

b) y = x + 3

c) y = 1 – 2x

d) y = 2–x

)12(

y = 1

y = 2x

y = 2x + 1

2

4

4

Y

X

6

8

2–2–4

y = –3

y = 2x

y = 2x – 3

a) b)

2

4

4

Y

X

–2

6

2–2–4

2

4

4

Y

X

6

8

62–2–4–6

(0, 1)

y = 3xy = (—)x1

3

)13(


14 Haz una tabla de valores de la función y = 3x. A partir de ella, representa lafunción y = log3 x.

☛ Si el punto (2, 9) pertenece a y = 3x, el punto (9, 2) pertenecerá a y = log3 x.

2

4

2

(1, 0)

(0, 1)

y = 3x

y = log3 x

Y

X

–4 –2

–2

4

x

log3x

1/9

–2

1/3

–1

1

0

3

1

9

2

x

3x

–2

1/9

–1

1/3

0

1

1

3

2

9

(0, —)12 (0, —)1

82

4

4

Y

X

6

8

10

12

14

16

62–2–4

a) b)

1

2

4

Y

X

3

4

2–2–4

2

4

Y

X

6

8

10

12

14

2–2–4

c) d)

y = 1

4

Y

X

–6

–4

–2

2

2–2–4

(0, 1)

4


5UNIDAD

15 Representa la gráfica de y = log1/3 x a partir de la gráfica de y = x.

16 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = 5log x y re-preséntala gráficamente.

17 Representa la función y = 1 + ln x.

☛ Mira el ejercicio resuelto 2.

4

Y

X1

3

2

6 8 102

4

Y

X1

3

5

6 8 102

x

y

0,5

–1,5

1

0

1,5

0,88

2

1,5

3

2,38

6

3,89

10

5

y = log1/3 x

1

2

2

y = (—)x13

Y

X

–1

3

4

1 3 4 5–1–2

)13(


18 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log2 x :

a) y = 1 + log2 x

b) y = log2 (x – 1)

☛ En b), el dominio es (1, +@).

a) y = 1 + log2 x

b) y = log2 (x – 1)

19 ¿Cuál es el dominio de esta función?

y = log2 (2 – x)

Represéntala.

Dominio: (–@, 2)

x = 2

Y

X

–2

–4

2

42–2–4

2

Y

X

–2

–4

3 4 5 61

x = 1y = log2 x

y = log2 (x – 1)

2

(—, 0)12

y = 1 + log2 x

y = log2 x

2

Y

X

–2

–4

2

3 4 5 61


5UNIDAD

Funciones trigonométricas

20 Representa las funciones:

a) y = 1 + sen x b) y = –cos x

21 Asocia a cada una de las siguientes funciones, la gráfica que le corresponde:

a) y = cos 2x b) y = –sen x c) y = 2sen x d) y = 1 + cos x

a) 8 II

b) 8 I

c) 8 IV

d) 8 III

1

1

1

–1

π 2ππ–2

π–– 2

3π—2

–1

π 2π

π–2

π–– 2

3π—2

–1

π 2ππ–2

π–– 2

3π—2

2

1

–1

–2

π 2ππ–2

π–– 2

3π—2

2

I

II

III

IV

1

2

π/2–π/2 π–π 3π/2–3π/2 2π–2π

a)

1

π/2–π/2 π–π

–1

3π/2–3π/2 2π–2π

b)



a) y = |sen x| b) y = |cos x|

23 Busca, en cada caso, los valores de x comprendidos entre 0 y 2π que veri-fiquen:

a) sen x = 0 b) sen x = –1

c) cos x = 1 d) cos x = 0

a) sen x = 0 8 x = 0; x = π; x = 2π

b) sen x = –1 8 x =

c) cos x = 1 8 x = 0; x = 2π

d) cos x = 0 8 x = ; x =

24 La siguiente gráfica representa la variación de un movimiento que se repiteperiódicamente:

a) Represéntala en el intervalo [0, 10]. b) Calcula f (7), f (10) y f (20).

a) b) f (7) = 1; f (10) = 2; f (20) = 0

X2 4

2

Y

6 8 10

X2 4

2

Y

3π2

π2

3π2

1a)

π 2ππ–2

π–– 2

3π—2

1b)

π 2ππ–2

π–– 2

3π—2


5UNIDAD

25 La gráfica de una función exponencial del tipo y = k ax pasa por los pun-tos (0; 0,5) y (1; 1,7).

Calcula k y a, y representa la función.

☛ Mira el problema resuelto 4.

8

La función es y = 0,5 · (3,4)x

26 Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículoque costó 100 € al cabo de un año cuesta 104 €, la inflación ha sido del 4%.Si la inflación se mantiene constante en el 4% anual, ¿cuánto costará den-tro de 5 años un terreno que hoy cuesta 12 000 €?

12000 · (1,04)5 = 14 599,83 €

27 Un capital de 10 000 € se deposita en un banco al 8,4% de interés anual conpago mensual de intereses. Escribe la función que nos dice en cuánto setransforma ese capital en m meses.

Calcula cuánto tarda en duplicarse el capital.

C = 10 000 1 +m

= 10 000 · (1,007)n

20000 = 10 000 · (1,007)m 8 2 = 1,007m 8 m = = 99,36

Tarda 100 meses en duplicarse.

28 La concentración de un fármaco en sangre viene dada por y = 100 (0,94)t

( y en mg, t en h).

a) Di cuál es la dosis inicial y la cantidad de ese fármaco que tiene el pacienteal cabo de 3 h.

b)Representa la función.

c) Si queremos que la concentración no baje de 60 mg, ¿al cabo de cuántotiempo tendremos que inyectarle de nuevo?

log 2log 1,007

)8,41 200(

2

4Y

X

42–4 –2

k = 0,5a = 3,4

°¢£

0,5 = k1,7 = k · a

°¢£

0,5 = k · a0

1,7 = k · a 1

PARA RESOLVER


a) t = 0 8 y = 100 mg

t = 3 8 y = 83 mg en 3 horas

b)

c) 100 · (0,94)t = 60 8 t ≈ 8 h 15 min

Al cabo de, aproximadamente, 8 h 15 min.

29 Considera estas funciones:

f (x) = x – 5 g(x) = h(x) =

Explica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener, por composición,p, q y r :

p (x) = ; q(x) = – 5; r(x) =

p = g ° f q = f ° g r = h ° g

30 Si f (x) = 2x y g(x) = log2 x, ¿cuál es la función ( f " g) (x)?

¿Y ( g " f ) (x)?

( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x

31 Un cultivo de bacterias crece según la función y = 1 + 2x/10 (y: miles debacterias, x: horas). ¿Cuántas había en el momento inicial? ¿Y al cabo de10 horas? ¿Cuánto tardarán en duplicarse?

x = 0 8 y = 1 + 20 = 1 + 1 = 2 8 2 000 bacterias en el momento inicial.

x = 10 8 y = 1 + 2 = 3 8 3 000 bacterias al cabo de 10 horas.

1 + 2x/10 = 4 8 x = ≈ 15,8 h ≈ 16 h

Tardarán en duplicarse unas 16 horas.

10 log 3log 2

1

√x + 2√x√x – 5

1x + 2

√x

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 20 30 40

CONCENTRACIÓN DE FÁRMACO (mg)

TIEMPO (horas)


5UNIDAD

32 Halla la función inversa de estas funciones:

a) y = 3 · 2x – 1

b) y = 1 + 3x

a) x = 3 · 2y – 1; = 2y – 1; log2 = y – 1

y = 1 + log2 8 f –1 (x) = 1 + log2

b) x = 1 + 3y; x – 1 = 3y; log3(x – 1) = y 8 f –1 (x) = log3 (x – 1)

Página 145

33 Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = ax, y = loga x. Identi-fícalas e indica, en cada caso, si es a > 1 ó 0 < a < 1.

1) y = loga x, 0 < a < 1

2) y = ax, 0 < a < 1

3) y = loga x, a > 1

4) y = ax, a > 1

34 En las funciones y = ax e y = loga x, ¿puede ser negativa la y ? ¿Podemosdar a x valores negativos?

Para y = ax : La y no puede ser negativa y podemos dar a x valores negativos.

Para y = loga x : La y puede ser negativa y no podemos dar a x valores negativos.

35 Las gráficas de las funciones y = loga x tienen un punto en común. ¿Cuáles ese punto? ¿Cuál es el punto común de las funciones y = ax ?

(1, 0) es el punto común de las funciones y = loga x.

(0, 1) es el punto común de las funciones y = ax.

1) Y

X

2) Y

X

3) Y

X

4) Y

X


x3

x3

x3

x3


36 Di para qué valores de a es creciente y para cuáles es decreciente cada unade las funciones y = ax e y = loga x.

Para a > 1 la función y = loga x es creciente.

Para 0 < a < 1 la función y = loga x es decreciente.

Para a > 1 la función y = ax es creciente.

Para 0 < a < 1 la función y = ax es decreciente.

37 ¿Para qué valores de x se verifica 0 < ax < 1, siendo a > 1?

x < 0

38 Considera las funciones y = sen x e y = cos x.

a) ¿Cuál es su periodo?

b) ¿Entre qué valores están acotadas?

c) ¿Para qué valores de x es sen x < 0? ¿Y cos x < 0?

a) 2π

b) Entre –1 y 1.

c) Entre 0 y 2π: sen x < 0 para x é(π, 2π)

cos x < 0 para x é( , )

Página 145

AUTOEVALUACIÓN

1. Dadas las funciones:

f (x) = 2x + 1; g(x) = x2 – 5, halla:

a) g[ f (–2)]

b) f [g(0)]

c) f " f (x)

d) f " g(x)

a) g [ f (–2)] = g [ 2 · (–2) + 1] = g (–3) = (–3)2 – 5 = 9 – 5 = 4

b) f [g(0)] = f [02 – 5] = f (–5) = 2(–5) + 1 = –9

c) f " f (x) = f [ f (x)] = f (2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3

d) f " g(x) = f [g(x)] = f (x2 – 5) = 2(x2 – 5) + 1 = 2x2 – 10 + 1 = 2x2 – 9

3π2

π2


5UNIDAD

2. ¿Cuál es la función inversa de f (x) = ?

Comprueba que f " f –1(4) = 4.

Para hallar la inversa de y = , cambiamos la x por la y, y despejamos la y:

x = 8 x2 = 3y – 2 8 3y = x2 + 2 8 y =

Así, f –1(x) =

Por otra parte:

f " f –1(4) = f = f = = = 4

3. Representa la gráfica de la función inversa de y = f (x).

La función f –1(x) es simétrica a f (x) respecto a la recta y = x. Así:

4. Representa las siguientes funciones:

a) y = 0,8x b) y = 1,5x c) y = ln x

a)

b) c)1

1 2 3 4 5–1

–2

y = ln x

X

Y

4

6

2

2–2–4–6–8 4 6

y = 1,5x

X

Y

4

6

2

2–2–4–6–8 4 6

y = 0,8x

X

f (x)

y = x

f –1(x)

Y

X

y = f (x)Y

√1618√3 · — – 23)18

3()42 + 23(

x2 + 23

x2 + 23

√3y – 2

√3x – 2

√3x – 2


5. La gráfica de la función y = kax pasa por los puntos 0, y (5; 6,4). Halla k

y a y di si se trata de una función creciente o decreciente.

• Pasa por 0, :

= k · a0 = k 8 k =

• Pasa por (5; 6,4):

6,4 = a5 8 a5 = 32 8 a = 2

Por tanto, la función es y = 2x. Es una función creciente, puesto que la base es

mayor que 1.

6. Justifica cuál de las siguientes funciones es la función inversa de y = 3x – 2.

a) y = 2 + log3 x b) y = c) y = log3 (x + 2)

La función es f (x) = 3x – 2. Veamos cada uno de los casos:

a) f (2 + log3 x) = 3(2 + log3 x) – 2 = 32 · 3log3 x – 2 = 9x – 2 ? x

y = 2 + log3 x no es la inversa de f (x).

b) f ( ) = 3 – 2 ? x

y = no es la inversa de f (x).

c) f [log3 (x + 2)] = 3 log3 (x + 2) – 2 = (x + 2) – 2 = x

y = log3 (x + 2) sí es la inversa de f (x).

7. El precio de una furgoneta baja un 10% por año de utilización. Si costó18 000 €, ¿cuánto tardará en reducirse a la mitad?

La función que describe esta situación es:

C = 18 000 · 0,9 t

Como queremos que el capital final sea 9 000 €:

9 000 = 18 000 · 0,9 t 8 0,9 t = 0,5 8 t = log0,9 0,5 = = 6,58

Por tanto, el capital se habrá reducido a la mitad entre el 6.º y el 7.º año.

log 0,5log 0,9

3√x + 2

3√x + 23√x + 2

3√x + 2

15

15

15

15

)15(

)15(


5UNIDAD

8. Una población de insectos crece según la función y = 1 + 0,5 · 20,4x (x = tiem-po en días; y = número de insectos en miles).

a) ¿Cuál es la población inicial?

b)Calcula cuánto tarda en duplicarse.

a) La población inicial se calcula haciendo x = 0.

y (0) = 1 + 0,5 · 20,4 · 0 = 1 + 0,5 = 1,5

La población inicial es de 1 500 insectos.

b) Se duplicará al llegar a 3 000 insectos, es decir:

3 = 1 + 0,5 · 20,4x 8 20,4x = 8 20,4x = 4 8 20,4x = 22 8

8 0,4x = 2 8 x = 8 x = 5

Por tanto, la población de insectos se duplicará en 5 días.

9. Asocia a esta gráfica una de las siguientes expresiones y di cuál es su periodo:

a) y = cos x

b) y = cos 2x

c) y = 2cos x

Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica:

(5π/6, …), (4π/3, …), (–π/4, …).

La gráfica corresponde a la función b), y = cos 2x.

Su periodo es – = = π.

Los puntos buscados son: , , , – , – , 0)π4()1

2

4π3()1

2

5π6(

4π4

π4

5π4

–1

1

π2π—3

3π—4

π—6

π—4

π—3

π—2

5π—6

5π—4

4π—3

7π—6

20,4

20,5


Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 1

Página 147


Aproximaciones sucesivas

■ Comprueba que:

f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

■ Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

■ A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que,cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamosasí: f (x) = 7

Si f (x) = , entonces:

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995

f (x) = 7

■ Calcula, análogamente, .

f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995

f (x) = 6

Página 149

1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es conti-nua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:

a) y = b) y = c) y = d) y =

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).

b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).

c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).

d) Salto en x = 4.

3 si x ? 41 si x = 4

°¢£

x2 – 3x

x2 – 3xx

x + 2x – 3

límx 8 3

x2 + 6x – 272x – 6

límx 8 3

límx 8 5

x2 + 4x – 452x – 10

límx 8 5

LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS6

2. Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el interva-lo en el que están definidas:

a) y = x2 – 5 b) y =

c) y = d) y =

a) Está definida y es continua en todo Á.

b) Está definida y es continua en (–@, 5].

Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos)son continuas donde están definidas.

c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto enque se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:

3 · 3 – 4 = 9 – 4 = 5 3 + 2 = 5

Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también conti-nua en x = 3.

d) También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la función es con-tinua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).

Página 152

1. Calcula el valor de los siguientes límites:

a) b) (cos x – 1)

a) – b) 0

2. Calcula estos límites:

a) b) log10 x

a) b) –1

Página 153

3. Calcula k para que la función y = f (x) sea continua en Á:

f (x) =

(x3 – 2x + k) = 21 + k 21 + k = 7 8 k = –14

f (3) = 7

límx 8 3

x3 – 2x + k, x ? 37, x = 3

°¢£

√3

límx 8 0,1

√x2 – 3x + 5límx 8 2

32

límx 8 0

3x – 2

límx 8 0

x, 0 Ì x < 22, 2 Ì x < 5

°¢£

3x – 4, x < 3x + 2, x Ó 3

°¢£

√5 – x

Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas2

°§¢§£

4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha delpunto. Representa gráficamente los resultados:

a) f (x) = en –2, 0 y 2 b) f (x) = en 2, 0 y 3

c) f (x) = en 1 y –3 d) f (x) = en 0 y –3

a) f (x) =

f (x) = –@

f (x) = +@

f (x) = 0

f (x) = –@

f (x) = +@

b) f (x) =

f (x) = –@

f (x) = –3

f (x) = 0

c) f (x) =

f (x) = 0

f (x) = +@

f (x) = –@límx 8 –3+

límx 8 –3–

límx 8 1

(x – 1)2

(x – 1) (x + 3)

límx 8 3

límx 8 0

límx 8 2

4 (x – 3)(x – 2)2

límx 8 2+

límx 8 2–

límx 8 0

límx 8 –2+

límx 8 –2–

x3

(x + 2) (x – 2)

x4

x3 + 3x2x2 – 2x + 1x2 + 2x – 3

4x – 12(x – 2)2

x3

x2 – 4


11UNIDAD

°§¢§£

°§¢§£

No existe f (x).límx 8 –2

No existe f (x).límx 8 2

°§¢§£


2–2 3

–3

2 3

–3 1

d) f (x) =

f (x) = 0

f (x) = –@

f (x) = +@

Página 156

1. Di el límite cuando x 8 +@ de las siguientes funciones dadas por sus gráfi-cas:

f1(x) = –@ f2(x) = –3

f3(x) = +@ f4(x) no existe.

Página 157

1. Di el valor del límite cuando x 8 +@ de las siguientes funciones:

a) f (x) = –x2 + 3x + 5 b) f (x) = 5x3 + 7x

c) f (x) = x – 3x4 d) f (x) =

e) f (x) = – f) f (x) =

a) –@ b) +@ c) –@

d) 0 e) 0 f ) –@

x3 – 1–5

1x2

13x

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 +@

y = f3(x)y = f4(x)

y = f1(x)

y = f2(x)

límx 8 –3+

límx 8 –3–

límx 8 0

x4

x2 (x + 3)


°§¢§£


–3

2. Calcula f (x) y representa sus ramas:

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) = – d) f (x) = 3x – 5

3. Calcula f (x) y representa sus ramas:

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) = d) f (x) =

Página 159

1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:

a) y =

b) y = x2 + 3xx + 1

x2 + 3x + 11x + 1

a) –@ b) 0

c) +@ d ) –1

–1

1 – x3

1 + x3x3

x2 – 3

x2 – 3x3

x3 – 1–5

límx 8 +@

a) 0

c) 0

b) 0

d) +∞

1x2

3x

13x

límx 8 +@


6UNIDAD

a) f (x) = –@

f (x) = +@

b) f (x) = +@

f (x) = –@

2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:

a) y =

b) y =

a) f (x) = +@

f (x) = –@

f (x) = –@

f (x) = +@

b) f (x) = +@

f (x) = +@

Página 161

3. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respectoa su asíntota:

a) y =

b) y = x3

1 + x2

x1 + x2

límx 8 1+

límx 8 1–

límx 8 2+

límx 8 2–

límx 8 0+

límx 8 0–

x2 + 2x2 – 2x + 1

x2 + 2x2 – 2x

límx 8 –1+

límx 8 –1–

límx 8 –1+

límx 8 –1–


°§¢§£

x = –1 es asíntota vertical.

°§¢§£

x = –1 es asíntota vertical.

–1

–1

°§¢§£

x = 2 es asíntota vertical.

°§¢§£


°§¢§£


2

1

a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.

b) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.

4. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a susasíntotas, si las hay:

a) y =

b) y =


b) grado de P – grado de Q Ó 2

f (x) = +@ 8 rama parabólica hacia arriba.

Página 162

1. Halla f (x) y representa la rama correspondiente:

f (x) = –2x3 + 7x4 – 3

f (x) = 7x4 = +@límx 8 –@

límx 8 –@

límx 8 –@

1

límx 8 +@

límx 8 +@

2x3 – 3x2 + 7x

x2 + 2x2 – 2x

–x1 + x2

límx 8 +@


6UNIDAD

1

1

2. Halla f (x) y traza las ramas correspondientes:

a) f (x) = (x2 + 3)/(–x3)

b) f (x) = –x3/(x2 + 3)

a) f (x) = = = 0

b) f (x) = = –x = +@

Página 163

3. Halla las ramas infinitas, x 8 –@, de estas funciones, y sitúa la curva respec-to a las asíntotas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =


b) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.

c) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.

d) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.

1

1

1

–x1 + x2

límx 8 –@

límx 8 –@

límx 8 –@

x3

1 + x2x2

1 + x2

x1 + x2

1x2 + 1

límx 8 –@

–x3

x2lím

x 8 –@lím

x 8 –@

1–x

límx 8 –@

x2

–x3lím

x 8 –@lím

x 8 –@

límx 8 –@


4. Halla las ramas infinitas, cuando x 8 –@, y si tienen asíntotas, sitúa la curvarespecto a ellas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) grado P – grado Q Ó 2

f (x) = +@ 8 rama parabólica.

b) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.

c) y = x + 2 + 8 y = x + 2 es asíntota oblicua.

d) f (x) = (2x2 – 3x) = +@

–2

2

1

límx 8 –@

límx 8 –@

–2x + 1

límx 8 –@

límx 8 –@

2x3 – 3x2

xx2 + 3x

x + 1

x2 + 2x2 – 2x

x4

x2 + 1


6UNIDAD


Discontinuidades y continuidad

1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?

b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.

a) Solo la a).

b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical).

c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).

d) Salto en x = 2.

e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; f (x) = 2.

f ) No está definida en x = 2.

2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:

a) y = x2 + x – 6 b) y =

c) y = d) y =

e) y = f) y =

a) Continua. b) 2

c) – d) Continua.

e) 0 y 5 f ) Continua.

12

1x2 + 2

25x – x2

1x2 + 2x + 3

x – 12x + 1

x(x – 2)2

límx 8 1

a) b) c)

d) e) f)

2

2

–2 2

2

–2

4

–2 2

2

–2

–2 2

–22

2

4

4–2 2

2

4

4–2

PARA PRACTICAR


3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2.

b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2.

c) No es continua en x = 0, sí en x = –2.

d) Continua en x = 0 y en x = –2.

4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones:

a) y = 5 – b) y =

c) y = d) y =

e) y = f) y = x2 – x

a) Á b) [3, +@) c) Á – {0}

d) (–@, 0] e) –@, f) Á

5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresiónanalítica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1.

a) f (x) =

b) f (x) =

c) f (x) =

a) Continua.

b) Discontinua.

c) Discontinua.

2

2

–2

2

2

–2

2

2

–2

x2 si x ≠ 1–1 si x = 1

°¢£

x + 2 si x < 13 si x > 1

°¢£

1 – x2 si x ≤ 1x – 1 si x > 1

°¢£

]52(

√5 – 2x

√–3x1x

√x – 3x2

√7 – 2x√x2 – 4

xx2 – 4

1

√x


6UNIDAD

6 Comprueba si la función f (x) = es continua en x = 0.

☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que:

f (x) = f (0)

f (x) = f (x) = f (x) = –1 = f (0)

Es continua en x = 0.

7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que seindican:

a) f (x) = en x = –1

b) f (x) = en x = 2

c) f (x) = en x = 1

a) No, pues no existe f (–1).

b) f (x) = f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.

c) f (x) = 3 ? f (x) = 4. No es continua en x = 1.

Página 170

Visión gráfica del límite8

Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:

f1(x) = y f2(x) =

¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x 8 –2?

☛ Observa la función cuando x 8 –2 por la izquierda y por la derecha.

–1x + 2

1(x + 2)2

f1(x)

–2

f2(x)

–2

límx 8 1+

límx 8 1–

límx 8 2+

límx 8 2–

3x si x Ì 1x + 3 si x > 1

°¢£

2 – x2 si x < 2(x/2) – 3 si x Ó 2

°¢£

(3 – x)/2 si x < –12x + 4 si x > –1

°¢£

límx 8 0

límx 8 0+

límx 8 0–

límx 8 0

x2 – 1 si x < 0x – 1 si x Ó 0

°¢£


f1(x) = +@

f1(x) = +@

f2(x) = +@

f2(x) = –@

9 Sobre la gráfica de la función f (x), halla:

a) f (x) b) f (x) c) f (x) d) f (x)

e) f (x) f) f (x) g) f (x) h) f (x)

a) +@ b) –@ c) 2 d) 0

e) 0 f ) 3 g) +@ h) 0

Límite en un punto

10 Calcula los siguientes límites:

a) 5 – b) (x3 – x)

c) d) 2x

e) f) log2 x

g) h) ex

a) 5 b) 0 c) –2 d)

e) 2 f ) 2 g) 0 h) e2

√2

límx 8 2

3√x2límx 8 0

límx 8 4

√10 + x – x2límx 8 –2

límx 8 0,5

1 – xx – 2

límx 8 3

límx 8 –1)x

2(límx 8 0

–3 2

límx 8 –2

límx 8 +@

límx 8 2+

límx 8 2–

límx 8 –@

límx 8 0

límx 8 –3+

límx 8 –3–

límx 8 –2+

límx 8 –2

–

límx 8 –2+

límx 8 –2

–


6UNIDAD

°§¢§£

f1(x) = +@límx 8 –2

°§¢§£

No existe f2(x).límx 8 –2

11 Dada la función f (x) = , halla:

a) f (x) b) f (x) c) f (x)

☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límiteslaterales.

a) 5

b) 4

c) f (x) = f (x) = f (x) = 1

12 Calcula los siguientes límites:

a) b)

c) d)

☛ Saca factor común y simplifica cada fracción.

a) = = –2

b) = 2x + 3 = 3

c) = h (3h – 2) = 0

d) = = –

13 Resuelve los siguientes límites:

a) b)

c) d)

e) f)

a) = 2

b) = = = –33–1

(x + 1) (x2 – x + 1)x (x + 1)

límx 8 –1

x3 + 1x2 + x

límx 8 –1

(x + 1) (x – 1)(x – 1)

límx 8 1

x4 – 1x2 – 1

límx 8 1

x + 3x2 + 4x + 3

límx 8 –3

x2 – x – 2x – 2

límx 8 2

x + 2x2 – 4

límx 8 –2

x3 + 1x2 + x

límx 8 –1

x2 – 1x – 1

límx 8 1

74

h – 74

límh 8 0

h (h – 7)4h

límh 8 0

límh 8 0

h2 (3h – 2)h

límh 8 0

límx 8 0

x (2x + 3)x

límx 8 0

4x – 2

límx 8 0

4xx (x – 2)

límx 8 0

h2 – 7h4h

límh 8 0

3h3 – 2h2

hlím

h 8 0

2x2 + 3xx

límx 8 0

4xx2 – 2x

límx 8 0

límx 8 0

límx 8 0+

límx 8 0–

límx 8 0

límx 8 3

límx 8 –2

x2 + 1 si x < 0x + 1 si x Ó 0

°¢£


c) = – d) = 3

e) = – f ) = 2

14 Calcula el límite de la función f (x) = en x = 3, x = 0 y x = –1.

f (x) = f (x) = 0

f (x) = +@ f (x) = –@

Límite cuando x 8 +@ o x 8 –@

15 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) (7 + x – x3) b)

c) – + – 17 d) (7 – x)2

☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones.

16 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x 8 –@ yrepresenta la información que obtengas.

Resolución de los ejercicios 15 y 16:

a) (7 + x – x3) = –@; (7 + x – x3) = +@

b) = +@

c) ( + – 17) = –@

d) (7 – x)2 = +@límx 8 ±@

x2

–x4

3lím

x 8 ±@

x2 – 10x – 325

límx 8 ±@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 +@)x

2x4

3(límx 8 +@

x2 – 10x – 325

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 –1+

límx 8 –1–

límx 8 0

34

límx 8 3

x2

x2 + x

(x – 1)(x3 + x2 + x + 1)(x – 1)(x + 1)

límx 8 1

12

(x + 3)(x + 3) (x + 1)

límx 8 –3

(x + 1) (x – 2)(x – 2)

límx 8 2

14

(x + 2)(x + 2) (x – 2)

límx 8 –2


6UNIDAD

17 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tiendena 0 cuando x 8 +@.

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) = d) f (x) =

a) f (100) = 0,0001 b) f (100) = 0,003

f (x) = 0 f (x) = 0

c) f (10 000) = –0,07 d) f (100) = –0,000002

f (x) = 0 f (x) = 0

18 Calcula el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@ de cada una de las si-guientes funciones. Representa los resultados que obtengas.

a) f (x) = x3 – 10x

b) f (x) =

c) f (x) =

d) f (x) =

Cuando x 8 +@:

a) f (x) = +@ b) f (x) = +@

c) f (x) = –@ d) f (x) = –@

Cuando x 8 –@:

a) f (x) = –@ b) f (x) = +@

c) f (x) = +@ d) f (x) = –@límx 8 –@

límx 8 –@

límx 8 –@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 +@

x2 – 2x–3

3 – x2

√x2 – 4

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 +@

límx 8 +@

210x2 – x3

–7

√x

1003x2

1x2 – 10


19 Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

20 Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando x 8 –@.

Resolución de los ejercicios 19 y 20:

a) = 0; = 0

b) = +@; = –@

c) = 0; = 0

d) = 0; = 0

e) = 2; = 22x – 1x + 2

límx 8 –@

2x – 1x + 2

límx 8 +@

1(2 – x)3

límx 8 –@

1(2 – x)3

límx 8 +@

–1x2 – 1

límx 8 –@

–1x2 – 1

límx 8 +@

–2x2

3 – xlím

x 8 –@

–2x2

3 – xlím

x 8 +@

3(x – 1)2

límx 8 –@

3(x – 1)2

límx 8 +@

3 – 2x5 – 2x

límx 8 +@

2 – 3xx + 3

límx 8 +@

x2 + 51 – x

límx 8 +@

2x – 1x + 2

límx 8 +@

1(2 – x)3

límx 8 +@

–1x2 – 1

límx 8 +@

–2x2

3 – xlím

x 8 +@3

(x – 1)2lím

x 8 +@


6UNIDAD

–2

Y

X–4 2

2

4

–4

–24

–2

Y

X–4 2

2

4

–4

–24

–2

Y

X–4 2

2

4

–4

–24

f ) = –@; = +@

g) = –3; = –3

h) = 1; = 1

21 Resuelve los siguientes límites:

a) b) 1 – (x – 2)2

c) d)

a) 3 b) –@ c) 0 d) +@

22 Calcula el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@ de las siguientes fun-ciones y representa las ramas que obtengas:

a) f (x) = b) f (x) = 10x – x3

c) f (x) = d) f (x) =

a) f (x) = 0; f (x) = 0

b) f (x) = –@; f (x) = +@

c) f (x) = +@; f (x) = –@

d) f (x) = –4; f (x) = –4límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

1 – 12x2

3x2x2

x – 1

–1x2

x3 + 15x

límx 8 –@

1 – x(2x + 1)2

límx 8 +@

límx 8 –@

3x2

(x – 1)2lím

x 8 +@

3 – 2x5 – 2x

límx 8 –@

3 – 2x5 – 2x

límx 8 +@

2 – 3xx + 3

límx 8 –@

2 – 3xx + 3

límx 8 +@

x2 + 51 – x

límx 8 –@

x2 + 51 – x

límx 8 +@


–2

Y

X–4 2

2

4

–4

–24

–2

Y

X–4 2

2

4

–4

–24

–4

Asíntotas

23 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cadauna de ellas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) Asíntotas: b) Asíntotas:

x = 3; y = 2 x = –3; y = 1

c) Asíntotas: d) Asíntotas:

x = 4; y = –2 x = 1; y = 0

24 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto aellas:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) Asíntota: y = 1 b) Asíntota: y = 0

Y

X

Y

X

1

x4

x – 12x2 – 1

x2

3x2 + 1

x2

x2 + 4

Y

X1

Y

X

–2

4

Y

X

1

–3

Y

X3

2

21 – x

2x + 34 – x

x – 1x + 3

2xx – 3


6UNIDAD

c) Asíntotas: x = 0; y = 2 d) Asíntota: x = 1

25 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto aellas:

a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =

d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =

a) Asíntota vertical: x =

Asíntota horizontal: y = 2

b) Asíntota vertical: x =

Asíntota horizontal: y =

c) Asíntota vertical: x = 2


d) Asíntota vertical: y = 0

No tiene más asíntotas.

2

2

2

2

332

52

32

–1(x + 2)2

3xx2 – 1

1x2 + 9

12 – x

3x2x – 5

4x + 12x – 3

Y

X1

Y

X

2


e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1


f ) Asíntota vertical: x = –2


26 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y es-tudia la posición de la curva respecto a ella:

a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =

d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =

a) = 3x – 3 +

Asíntota oblicua: y = 3x – 3

b) = –x + 1 +

Asíntota oblicua: y = –x + 1

c) = 2x –

Asíntota oblicua: y = 2x

d) = x + 4 +

Asíntota oblicua: y = x + 4

1

–3

1

1

1

1

–4

4

10x – 3

x2 + x – 2x – 3

32x

4x2 – 32x

3x

3 + x – x2

x

3x + 1

3x2

x + 1

–2x2 + 32x – 2

2x3 – 3x2 – 2

x2 + x – 2x – 3

4x2 – 32x

3 + x – x2

x3x2

x + 1

1–1

–2


6UNIDAD

e) = 2x +

Asíntota oblicua: y = 2x

f ) = –x – 1 +

Asíntota oblicua: y = –x – 1

27 Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan sudenominador:

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) = d) f (t) =

a) f (x) = +@; f (x) = –@

b) f (x) =

f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = –@; f (x) = +@

c) f (x) =

f (x) = = ; f (x) = +@; f (x) = –@

d) f (t) = ; f (t ) = –2

28 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cadauna de ellas:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f) y = 3x2

x2 + 2x2

x2 – 4x2

x2 + x + 1

x + 2x2 – 1

5x – 22x – 7

3 – x2x + 1

límt 8 0

t2 (t – 2)t2

límx 8 –2+

límx 8 –2–

12

24

límx 8 2

x (x – 2)(x – 2) (x + 2)

límx 8 2+

límx 8 2–

límx 8 0+

límx 8 0–

x – 1x (x – 2)

límx 8 –2+

límx 8 –2–

t3 – 2t2

t2x2 – 2xx2 – 4

x – 1x2 – 2x

3x2x + 4

PARA RESOLVER

1

1

–1

–1

12x – 2

–2x2 + 32x – 2

4x – 3x2 – 2

2x3 – 3x2 – 2


a) Asíntotas: x = – ; y = –

b) Asíntotas: y = ; x =

c) Asíntotas: y = 0; x = ±1

d) Asíntota: y = 1

e) Asíntotas: y = 1; x = –2, x = 2

f ) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6

72

52

12

12


6UNIDAD

–1/2

–1/2

7/2

1

1

1

–2 2

–2 2

–1

5/2

29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúala curva:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f) y =

a) f (x) = +@; f (x) = +@

Asíntota vertical: x = 0

b) Asíntota vertical: x = –1


c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3


d) Asíntota horizontal: y =

e) Asíntota vertical: x = –3

Asíntota oblicua: y = 2x – 6

f ) f (x) = +@; f (x) = +@


límx 8 –@

límx 8 +@

12

límx 8 –@

límx 8 +@

x3

2x – 52x2

x + 3x2 – 1

2x2 + 1

19 – x2

(x + 3)2

(x + 1)2x4 – 1

x2


–3 3

–1

1—2

5—2

1

–3 3

–6

30 Prueba que la función f (x) = solo tiene una asíntota vertical y otra

horizontal.

☛ Al hallar f (x) verás que no es @.

f (x) = 2; f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = 1



31 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

a)

b)

a) = =

b) = =

Calculamos los límites laterales:

= +@; = –@

32 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

a)

b)

c)

d) 2x2 – 8x2 – 4x + 4

límx 8 2

x4 – 1x – 1

límx 8 1

x3 + x2

x2 + 2x + 1lím

x 8 –1

x2 – 2xx3 + x2

límx 8 0

x – 2x – 1

límx 8 1+

x – 2x – 1

límx 8 1–

x – 2x – 1

límx 8 1

(x – 2) (x – 1)(x – 1)2

límx 8 1

x2 – 3x + 2x2 – 2x + 1

límx 8 1

53

(x – 3) (x + 2)x (x – 3)

límx 8 3

x2 – x – 6x2 – 3x

límx 8 3

x2 – 3x + 2x2 – 2x + 1

límx 8 1

x2 – x – 6x2 – 3x

límx 8 3

límx 8 ±@

límx 8 0+

límx 8 0–

límx 8 2

límx 8 2

x2 – 4x2 – 2x


6UNIDAD

1

1 2 3

123

a) = =


= +@; = –@

b) = =


= –@; = +@

c) = = 4

d) = =


= –@; = +@

33 Halla las asíntotas de estas funciones:

a) y = b) y = x2 +

c) y = d) y =

e) y = x + f) y = x + 1 +

a) y = x + b) Asíntota vertical: x = 0

Asíntotas verticales: x = –1, x = 1

Asíntota oblicua: y = x

c) Asíntota horizontal: y = 2 d) Asíntota horizontal: y = 0

Asíntotas verticales: x = ±1

e) Asíntota vertical: x = 5 f ) Asíntota vertical: x = 0

Asíntota oblicua: y = x Asíntota oblicua: y = x + 1

x(x – 1) (x + 1)

5x

4x – 5

x2 + 1(x2 – 1)2

2x2 + 5x2 – 4x + 5

1x

x3

x2 – 1

2 (x + 2)x – 2

límx 8 2+

2 (x + 2)x – 2

límx 8 2–

2 (x + 2)x – 2

límx 8 2

2 (x – 2) (x + 2)(x – 2)2

límx 8 2

2x2 – 8x2 – 4x + 4

límx 8 2

(x – 1) (x3 + x2 + x + 1)x – 1

límx 8 1

x4 – 1x – 1

límx 8 1

x2

x + 1lím

x 8 –1+

x2

x + 1lím

x 8 –1–

x2

x + 1lím

x 8 –1

x2 (x + 1)(x + 1)2

límx 8 –1

x3 + x2

x2 + 2x + 1lím

x 8 –1

x – 2x (x + 1)

límx 8 0+

x – 2x (x + 1)

límx 8 0–

x – 2x (x + 1)

límx 8 0

x (x – 2)x2 (x + 1)

límx 8 0

x2 – 2xx3 + x2

límx 8 0


–1

2

1

4

34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en algunode sus puntos:

a) f (x) =

b) f (x) =

c) f (x) =

a) Discontinua en x = 3.

b) Función continua.

c) Discontinua en x = 2.

35 a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5.

b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@.

a) f (x) = –7; f (x) = 0; f (x) = –@; f (x) = –@

b) f (x) = 1; f (x) = 26; f (x) = +@; f (x) = 1

c) f (x) = 7; f (x) = 5; f (x) = +@; f (x) = +@límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 5

límx 8 –3

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 5

límx 8 –3

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 5

límx 8 –3

–2

1–1

2 3 4 5

2

4

Y

X

2–2–4 4 6 8

2

4

6

8

Y

X

–21 2 3 4 5

2

4

Y

X6

x2 – 2 si x < 2x si x > 2

°¢£

1 si x Ì 0x2 + 1 si x > 0

°¢£

2x – 1 si x < 35 – x si x Ó 3

°¢£


6UNIDAD

36 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continuaen todo Á.

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) =

a) f (x) = 5 = f (3)

f (x) = 3 + k

b) f (x) = 5

f (x) = 4 + 2k = f (2)

c) f (x) = = 1 8 k = 1

37 Estudia la continuidad de estas funciones:

a) f (x) =

b) f (x) =

c) f (x) =

a) f (x) = f (x) = f (1) = 1 8 Continua en x = 1.

x ? 1 8 Continua.

Es continua en Á.

b) f (x) = f (x) = f (–1) = 0 8 Continua en x = 1.

f (x) = f (x) = f (1) = 0 8 Continua en x = 1.

x ? 1 y x ? –1 8 Continua.

Es continua en Á.

c) f (x) = 1 ? f (x) = 2 8 Discontinua en x = 0.

Si x ? 0, es continua.

límx 8 0+

límx 8 0–

límx 8 1+

límx 8 1–

límx 8 –1+

límx 8 –1–

límx 8 1+

límx 8 1–

1 – x2 si x Ì 02x + 1 si x > 0

°¢£

–x – 1 si –1 Ó x1 – x2 si –1 < x < 1x – 1 si x Ó 1

°§¢§£

2 – x si x < 11/x si x Ó 1

°¢£

x (x + 1)x

límx 8 0

límx 8 0

límx 8 2+

límx 8 2–

límx 8 3+

límx 8 3–

(x2 + x)/x si x ? 0k si x = 0

°¢£

6 – (x/2) si x < 2x2 + kx si x Ó 2

°¢£

x2 – 4 si x Ì 3x + k si x > 3

°¢£


°§¢§£

5 = 3 + k 8 k = 2

°§¢§£

5 = 4 + 2k 8 k = 1/2

38 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1:

a) f (x) = b) f (x) =

a) f (x) = 2 = f (1)

f (x) = 4 – a

b) f (x) = = 2

f (1) = a

39 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes rea-lizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena-

miento según la función M(t) = (t en días).

a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo?

b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de unmes.

c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mu-cho más largo?

a) M (1) = 6 montajes el primer día.

M (10) = 21,43 8 21 montajes el décimo día.

b)

c) Se aproxima a 30 (pues = 30).

40 Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos, x. Así:

g (x) =

donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.

a) Representa g (x) y di si es función continua.

b) Calcula el límite de g (x) cuando x 8 +@ y explica su significado.

0,6x + 200 si 0 ≤ x Ì 1 0001 000x/(x + 250)si x > 1 000

°¢£

30tt + 4

límt 8 +@

5

10

5 10

15

20

25

15 20 25 30DÍAS

MONTAJES

30tt + 4

(x – 1) (x + 1)(x – 1)

límx 8 1

límx 8 1

límx 8 1+

límx 8 1–

(x2 – 1)/(x – 1) si x ? 1a si x = 1

°¢£

x + 1 si x Ì 14 – ax2 si x > 1

°¢£


6UNIDAD

°§¢§£

2 = 4 – a 8 a = 2

°§¢§£

a = 2

a)

Es continua.

b) g (x) = 1 000.

Como máximo gasta 1 000 € al mes.

Página 173

41 ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la funciónno esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?

Sí se puede calcular, pero no puede ser continua.

42 ¿Puede tener una función más de dos asíntotas verticales? ¿Y más de dosasíntotas horizontales? Pon ejemplos.

Sí. Por ejemplo, f (x) = tiene x = 0, x = 1 y x = 2 como asín-

totas verticales.

No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia +@ y otra hacia –@,como en esta gráfica:

43 El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Podemos asegu-rar que tiene una asíntota vertical en x = a? Pon ejemplos.

No. Por ejemplo, f (x) = en x = 0; puesto que:

f (x) = = 1x (3x + 1)x

límx 8 0

límx 8 0

3x2 + xx

1x (x – 1)(x – 2)


límx 8 +@

200

400

1000

600

800

1000

GASTOS (€)

INGRESOS (€)2000 3000 4000


44 Representa una función que cumpla estas condiciones:

f (x) = +@, f (x) = 2, f (x) = 0

¿Es discontinua en algún punto?

Sí, es discontinua al menos en x = 3.

45 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:

a) y = 2x + 3 b) y = 0,75x

c) y = 2 + ex d) y = e–x

a) f (x) = +@; f (x) = 0

Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0

b) f (x) = 0; f (x) = +@

Asíntota horizontal cuando x 8 +@: y = 0

c) f (x) = +@; f (x) = 2


d) f (x) = 0; f (x) = +@


46 Puesto que (x2 – 3x) = +@ halla un valor de x para el cual x2 – 3x

sea mayor que 5 000.

Por ejemplo, para x = 100, f (x) = 9 700.

47 Halla un valor de x para el cual f (x) = sea menor que 0,001.

Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,00033.

13x – 5

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

PARA PROFUNDIZAR

3

2

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 3


6UNIDAD

48 ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límitecuando x 8 +@:

a) y = log2(x – 3) b) y = ln(x + 2)

a) Asíntota vertical: x = 3

f (x) = +@

b) Asíntota vertical: x = –2

f (x) = +@

Página 173

AUTOEVALUACIÓN

1. Calcula los límites de la función f (x) = en x = 0, x = 3 yx = 5.

Explica si la función es continua en x = 3.

• f (x) = (2x – 5) = –5

• f (x) = (2x – 5) = 1

f (x) = (x2 – x – 7) = –1

No existe el límite de f (x) cuando x tiende a 3.

• f (x) = (x2 – x – 7) = 13

• La función no es continua en x = 3, porque no existe el límite de la función enese punto.

2. Halla los siguientes límites:

a) 2x – 1 b) c)

a) 2x – 1 = 2–1 = b) = =

c) = +@

(Si x 8 4+ o si x 8 4–, los valores de la función son positivos.)

x(x – 4)2

límx 8 4

13

1

√9

1

√x + 4lím

x 8 5

12

límx 8 0

x(x – 4)2lím

x 8 4

1

√x + 4lím

x 8 5lím

x 8 0

límx 8 5

límx 8 5

límx 8 3+

límx 8 3+

límx 8 3–

límx 8 3–

límx 8 0

límx 8 0

2x – 5, x Ì 3

x2 – x – 7, x > 3

°¢£

límx 8 +@

límx 8 +@


3.

Sobre la gráfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes lí-mites:

f (x); f (x); f (x); f (x)

a) f (x) No tiene límite en x = 3.

f (x) = 1

f (x) = 0

f (x) = +@

b) f (x) = 0

f (x) No tiene límite en x = 2.

f (x) = –@

f (x) = 3

4. Calcula el valor que debe tomar a para que la función f (x) =

sea continua en x = 1. ¿Puede ser discontinua en otro punto?

Para que f (x) sea continua en x = 1, debe cumplir que: f (x) = f (1)

Veamos:

f (x) = (3x – 5) = –2

f (x) = (4x – a) = 4 – a

Como deben coincidir:

–2 = 4 – a 8 a = 6

límx 8 1+

límx 8 1+

límx 8 1–

límx 8 1–

límx 8 1

3x – 5, x < 1

4x – a, x Ó 1

°¢£

límx 8 –@

límx 8 +@

°§¢§£

lím f (x) = 3x 8 2–

lím f (x) = 1x 8 2+

límx 8 2

límx 8 3

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 2

°§¢§£

lím f (x) = +@x 8 3–

lím f (x) = –@x 8 3+

límx 8 3

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 2

límx 8 3

Y

X

a) Y

X

b)


6UNIDAD

Por tanto, f (x) =

No puede ser discontinua en ningún otro punto, por estar definida mediante funcio-nes polinómicas.

5. Justifica qué valor debe tomar a para que la función sea continua en Á:

f (x) =

f (x) =

La función es continua para valores de x menores que 1 y mayores que 1, porqueambos tramos son rectas.

Para que sea continua en x = 1, debe cumplirse: f (x) = f (1)

f (1) = a – 2

f (x)

Para que exista el límite, debe ser:

a – 2 = 4 – 2a 8 3a = 6 8 a = 2

6. Halla las asíntotas de la función y = y estudia la posición de la curvarespecto a ellas.

• Asíntota vertical:

f (x) = +@

f (x) = –@

Así, x = 4 es una asíntota vertical.

• Asíntota horizontal:

f (x) = –2 8 y = –2

Si x 8 +@, f (x) < 0 8 la curva está por debajo dela asíntota.

Si x 8 –@, f (x) > 0 8 la curva está por encima dela asíntota.

• No tiene asíntotas oblicuas.

X

Y

1

–2

4

límx 8 @

límx 8 4+

límx 8 4–

2x + 14 – x

°§¢§£

lím f (x) = a – 2x 8 1–

lím f (x) = 4 – 2ax 8 1+

límx 8 1

límx 8 1

ax – 2 si x Ì 1

4x – 2a si x > 1

°¢£

ax – 2 si x Ì 1

4x – 2a si x > 1

°¢£

3x – 5, si x < 1

4x – 6, si x Ó 1

°¢£


7. Representa una función que cumpla las siguientes condiciones:

f (x) = –@ f (x) = +@ f (x) = 0 f (x) = 2

8. Estudia las ramas infinitas de la función y = y representa la información

que obtengas.

= +@

= +@

= +@

= –@

9. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua? Hállala y sitúa lacurva respecto a ella:

a) y = b) y = c) y =

La única que tiene asíntota oblicua es la función b) y = .

x3 + 2 x2

– x3 x————

2

y = = x +

La asíntota es y = x. Como > 0, la curva está por encima de la asíntota.2x2

2x2

x3 + 2x2

x3 + 2x2

x2

(x – 2)2x3 + 2

x2x

x2 + 1

x3

x + 3lím

x 8 –3+

x3

x + 3lím

x 8 –3–

x3

x + 3lím

x 8 –@

x3

x + 3lím

x 8 +@

x3

x + 3

X

Y

–2

2

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –2+

límx 8 –2–


6UNIDAD

X

Y

1–3

Unidad 7. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 1

Página 175


Tomar un autobús en marcha

En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobúsque arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.

① y ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el auto-bús en marcha.

a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la veloci-dad a la que corre.

b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza elpasajero ②?

¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?

a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 sdespués, 40 m más allá.

Corrió, por tanto, a = 8 m/s. Es decir: 8 · 3,6 = 28,8 km/h

b) En el instante 14 s está a 35 m de la parada. En el instante 16 s está a 50 m de laparada.

Velocidad media = = 7,5 m/s = 27 km/h

Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el mo-mento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.

15 m2 s

405

5 s

50 m

10 s 15 s 20 s1

2

INICIACIÓN AL CÁLCULODE DERIVADAS.APLICACIONES7

¿Es preferible esperar o correr tras el autobús?

Los viajeros ③ y ④, en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m dela parada. El ③ decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí.

El ④ tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño?

a) Describe el movimiento del pasajero ④.

b) Explica por qué el comportamiento del pasajero ④ es mucho más sensato queel del ③, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús.

a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a élsuavemente.

b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximada-mente); sin embargo, el 3 no.

Carrera de relevos

La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo,durante una carrera de relevos:

a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 Ò 100 m cada relevista empieza a correrantes de que llegue su compañero?

b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada delotro?

c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movi-mientos sean tangentes?

¿Cómo son sus velocidades en el momentode la entrega del “testigo”?

a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.

b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo.

c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad,

2.º relevista

1.er relevista

5 s

50 m

10 s 15 s 20 s

4

3100 m

Unidad 7. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones2

1. Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 8x + 12 en los siguientes intervalos:

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8]

T.V.M. [1, 2] = = = –5

T.V.M. [1, 3] = = = –4

T.V.M. [1, 4] = = = –3

T.V.M. [1, 5] = = = –2

T.V.M. [1, 6] = = = –1

T.V.M. [1, 7] = = = 0

T.V.M. [1, 8] = = = 1

2. Halla la T.V.M. de y = x2 – 8x + 12 en el intervalo variable [1, 1 + h]. Com-prueba, dando a h los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejer-cicio anterior.

T.V.M. [1, 1 + h] = = =

= = = h – 6

Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicioanterior.

Página 178

1. En la gráfica, en verde, de la función adjunta, se han señalado cinco puntos,A, B, C, D y E.

En cada uno de ellos está trazada la recta tangente, cuya pendiente se puedecalcular.

Expresa los resultados utilizando la expresión f ' (a) = …

Por ejemplo, para el punto B:

f ' (–3) = …

h (h – 6)h

h2 – 6hh

(1 + h)2 – 8 (1 + h) + 12 – 5h

f (1 + h) – f (1)

h

12 – 57

f (8) – f (1)

8 – 1

5 – 56

f (7) – f (1)

7 – 1

0 – 55

f (6) – f (1)

6 – 1

–3 – 54

f (5) – f (1)

5 – 1

–4 – 53

f (4) – f (1)

4 – 1

–3 – 52

f (3) – f (1)

3 – 1

0 – 51

f (2) – f (1)

2 – 1


7UNIDAD

f ' (–8) = ; f ' (–3) = ; f ' (1) = –1; f ' (5) = – ; f ' (10) = 2

Página 179

2. Halla, aplicando la definición, el valor de la derivada de y = 5x – x2 en lospuntos de abscisas 0, 1, 2, 4 y 5.

Hazlo también, aproximadamente, con calculadora, tomando h = 0,0001.

Por la definición f ' (a) = :

f ' (0) = 5; f ' (1) = 3; f ' (2) = 1; f ' (4) = –3; f ' (5) = –5

Con calculadora (numéricamente, de forma aproximada):

f ' (0) ≈ = 4,9999

f ' (1) ≈ = 2,9999

f ' (2) ≈ = 0,9999

f ' (4) ≈ = –3,0001

f ' (5) ≈ = –5,0001f (5,0001) – f (5)

0,0001

f (4,0001) – f (4)0,0001

f (2,0001) – f (2)0,0001

f (1,0001) – f (1)0,0001

f (0,0001) – f (0)0,0001

f (a + h) – f (a)h

límh 8 0

12

17

95

A

B

C

y = f (x)

D

E


1. Halla la derivada de f (x) = 5x – x2 y comprueba que, a partir de ella, se pue-den obtener los valores concretos hallados en la página anterior.

f ' (x) = = =

= = (5 – h – 2x) = 5 – 2x

f ' (3) = –1; f ' (0) = 5; f ' (1) = 3; f ' (2) = 1; f ' (4) = –3; f ' (5) = –5

2. Halla la derivada de y = x2 – 5x + 6 y, a partir de ella, halla f ' (–2), f ' (0) yf ' (3). ¿Qué significan los resultados?

= =

= =

= = 2x + h – 5

= (2x + h – 5) = 2x – 5

f ' (x) = 2x – 5

f ' (–2) = 2 · (–2) – 5 = –9

f ' (0) = 2 · 0 – 5 = –5

f ' (3) = 2 · 3 – 5 = 1

Significa que la tangente pasa de tener pendiente negativa a tenerla positiva.

Página 182

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

1. f (x) = 3x2 – 6x + 5

f ' (x) = 6x – 6

2. f (x) = +

f ' (x) = + 1

3 3√x2

1

2√x

3√x√x

límh 8 0

f (x + h) – f (x)

hlím

h 8 0

2xh + h2 – 5hh

x2 + 2xh + h2 – 5x – 5h + 6 – x2 + 5x – 6h

[(x + h)2 – 5(x + h) + 6] – [x2 – 5x + 6]h

f (x + h) – f (x)

h

límh 8 0

5h – h2 – 2xhh

límh 8 0

[5(x + h) – (x + h)2] – [5x – x2]h

límh 8 0

f (x + h) – f (x)

hlím

h 8 0


7UNIDAD

3. f (x) = +

f ' (x) = +

4. f (x) =

f (x) = x–3/2 8 f ' (x) = – x–5/2 = =

5. f (x) = sen x cos x

f ' (x) = cos2 x – sen2 x

6. f (x) = tg x.

Expresa tg x = y deriva como cociente. Al simplificar, ten en cuenta

que:

(sen x)2 + (cos x)2 = 1

tg x =

D tg x = = =

= =

7. f (x) = x ex

f ' (x) = ex + x ex = ex (1 + x)

8. f (x) = x · 2x

f ' (x) = 2x + x · 2x · ln 2 = 2x (1 + x ln 2)

9. f (x) = (x2 + 1) · log2 x

f ' (x) = 2x log2 x + (x2 + 1) · · = 2x log2 x +

10. f (x) =

f ' (x) = = = –4x

(x2 – 1)22x3 – 2x – 2x3 – 2x

(x2 – 1)22x (x2 – 1) – (x2 + 1) 2x

(x2 – 1)2

x2 + 1x2 – 1

(x2 + 1)x ln 2

1ln 2

1x

1cos2 x

cos2 x + sen2 xcos2 x

cos x · cos x – sen x · (–sen x)(cos x)2

D (sen x) · cos x – sen x · D (cos x)(cos x)2

sen xcos x

sen xcos x

–3

2x2√x

–3

2√x5

32

1

x√x

5

3 3√5x

1

√2x

3√5x√2x


11. f (x) =

f ' (x) = = = 2x + 3 –

12. f (x) =

f ' (x) = =

13. f (x) = –

f ' (x) = – = – =

= +

14. f (x) = –

f (x) = – = x1/2 – x–1/2

D f (x) = x (1/2) – 1 – – x (–1/2) – 1 = +

Página 183

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

15. f (x) = sen (x2 – 5x + 7)

f ' (x) = (2x – 5) cos (x2 – 5x + 7)

16. f (x) = = (5x + 3)2/3

f ' (x) = (5x + 3)–1/3 · 5 =

17. f (x) = sen (3x + 1) · cos (3x + 1)

f ' (x) = 3 [cos2 (3x + 1) – sen2 (3x + 1)]

10

3 3√5x + 3

23

3√(5x + 3)2

1

2√—x3

1

2√—x

)12(1

2

1

√x√x

√xx

x

√x

1 + x2

(x2 – 1)21 – x2

(x2 + 1)2

–1 – x2

(x2 – 1)21 – x2

(x2 + 1)21(x2 – 1) – x (2x)

(x2 – 1)21 · (x2 + 1) – x (2x)

(x2 + 1)2

xx2 – 1

xx2 + 1

1 – ln 10 log xx2 ln 10

[1/(ln 10)] – log xx2

log xx

3x2

2x3 + 3x2 – 3x2

(3x2 + 6x – 5) x – (x3 + 3x2 – 5x + 3)x2

x3 + 3x2 – 5x + 3x


7UNIDAD

18. f (x) =

f (x) = 8 f ' (x) =

19. f (x) = cos (3x – π)

f ' (x) = –3 sen (3x – π)

20. f (x) =

f ' (x) =

21. f (x) = x e2x + 1

f ' (x) = e2x + 1 + x e2x + 1 · 2 = e2x + 1 (1 + 2x)

22. f (x) =

f ' (x) = =

=

Página 184

1. Calcula la función derivada de f (x) = x3 – 4x2 + 1 y halla:

a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas –1, 1 y 3.

b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

c) Las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos.

d) ¿Es f (x) creciente o decreciente en x = 2 ?

f ' (x) = 3x2 – 8x

a) f ' (–1) = 11, f ' (1) = –5, f ' (3) = 3

b) y = 11 (x + 1) – 4; y = –5 (x – 1) – 2; y = 3 (x – 3) – 8

c) f ' (x) = 0 8 3x2 – 8x = 0 8 x = 0, x = 8/3

d) f ' (2) = –4 < 0 8 decreciente

2x (1 – x2) cos (x2 + 1) + x sen (x2 + 1)

√(1 – x2)3

2x √—1 – x2 cos (x2 + 1) + [x sen (x2 + 1)]/√

—1 – x2

1 – x2

sen (x2 + 1)

√1 – x2

1

√1 + 2x

√1 + 2x

2 (1 – ln 10 log x)x2 ln 10

2 log xx

log x2

x


LENGUAJE MATEMÁTICO

1. En la fórmula que sirve para hallar la ecuación de la recta tangente a una cur-va en un punto

y = f(a) + f '(a) (x – a)

di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La x es lavariable independiente, ¿de qué función?

f es el nombre de la función; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se trazala tangente; f (a) es la ordenada de ese punto, y f '(a) es la pendiente de la rectatangente, pues f ' es el nombre de la función derivada.

Las variables x e y son la abscisa y la ordenada de un punto genérico (un puntocualquiera) de la recta tangente.

x es, pues, la variable independiente de la función lineal descrita por la recta tangen-te a f en el punto de abscisa a.

Página 187

1. Representa estas funciones:

a) y = 2x3 – 3x2 – 12x + 8 b) y = –3x4 + 4x3 + 36x2 – 90 c) y = x4 + 4x3

a) f ' (x) = 6x2 – 6x – 12 = 0 8 x1 = –1, x2 = 2

Máximo en (–1, 15).

Mínimo en (2, –12).

b) f ' (x) = –12x3 + 12x2 + 72x = –12x (x2 – x – 6) = 0

x = 0

x = = =

Máximo en (–2, –26) y en (3, 99).

Mínimo en (0, –90).

100

200

–200

2 4–4 –2

–100

x = 3x = –2

1 ± 52

1 ± √1 + 242

10

20

–20

2 4–4 –2

–10


7UNIDAD

c) f ' (x) = 4x3 + 12x2 = 4x2 (x + 3) = 0

Mínimo en (–3, –27).

Punto de inflexión en (0, 0).

f (x) = 0 8 x3 (x + 4) = 0

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–4, 0)

Página 189

1. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la pági-na anterior:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f ) y =

a) f ' (x) = =

= =

= = 0 8 x1 = 2, x2 = –4

Máximo en (–4, –5).

Mínimo en (2, 7).

Asíntota vertical: x = –1


b) f ' (x) = =

= =

= ≠ 0

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0)



10

20

–20

4 8–8 –4–10

x2 + 2x + 3(x + 1)2

2x2 + 2x + 3x + 3 – x2 – 3x(x + 1)2

(2x + 3) (x + 1) – (x2 + 3x)(x + 1)2

10

20

–20

4 8–8 –4–10

x2 + 2x – 8(x + 1)2

2x2 + 2x + 3x + 3 – x2 – 3x – 11(x + 1)2

(2x + 3) (x + 1) – (x2 + 3x + 11)(x + 1)2

x2 – 1x2

x2 + 2x2 – 2x

1x2 + 1

x2

x2 + 1x2 + 3x

x + 1x2 + 3x + 11

x + 1

20

40

–40

2 4–4 –2

–20x = 0x = –4

x = 0x = –3


c) f ' (x) = = =

= 8 x = 0

Mínimo en (0, 0).


d) f ' (x) = 8 x = 0

Máximo en (0, 1).


e) f ' (x) = = =

= = 0 8 x = =

Máximo en (0,73; –2,73).

Mínimo en (–2,73; 0,73).

Asíntotas verticales: x = 0, x = 2


f) • Dominio = Á – {0}

• Asíntota vertical:

x = 0 es asíntota vertical

• Asíntota horizontal:

y = = 1 – ; y = 1 es asíntota horizontal

Cuando x 8 –@, y < 1; y cuando x 8 +@, y < 1.

Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota.

1x2

x2 – 1x2

°§§¢§§£

x2 – 1lím — = –@x 8 0– x2

x2 – 1lím — = –@x 8 0+ x2

2

4

–4

2 4–4 –2–2

x1 = 0,73x2 = –2,73

–2 ± √122

–2x2 – 4x + 4(x2 – 2x)2

2x3 – 4x2 – 2x3 + 2x2 – 4x + 4(x2 – 2x)2

2x (x2 – 2x) – (x2 + 2) (2x – 2)(x2 – 2x)2

1

2

–2

2 4–4 –2–1

–2x(x2 + 1)2

1

2

–2

2 4–4 –2–1

2x(x2 + 1)2

2x3 + 2x – 2x3

(x2 + 1)22x (x2 + 1) – x2 · 2x

(x2 + 1)2


7UNIDAD

• Puntos singulares:

f ' (x) = = = =

f ' (x) ? 0 8 f (x) no tiene puntos singulares

Observamos que f ' (x) < 0 si x < 0; y que f ' (x) > 0 si x > 0. Luego la fun-ción es decreciente en (–@, 0) y es creciente en (0, +@).

• Corta al eje x en (–1, 0) y (1, 0).

• Gráfica:

2

2 4

y = 1

–4 –2

–4

–2

–6

2x3

2xx4

2x3 – 2x3 + 2xx4

2x · x2 – (x2 – 1) · 2xx4



Tasa de variación media

1 Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos:

a) [–2, 0] b) [0, 2] c) [2, 5]

a) T.V.M. [–2, 0] = = = 1

b) T.V.M. [0, 2] = = = –

c) T.V.M. [2, 5] = = =

2 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e in-dica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo:

a) f (x) = 1/x

b) f (x) = (2 – x)3

c) f (x) = x2 – x + 1

d) f (x) = 2x

☛ Si la T.V.M. es positiva, la función crece.

T.V.M. [1, 3] =

a) T.V.M. [1, 3] = = – 8 Decrece

b) T.V.M. [1, 3] = = –1 8 Decrece

c) T.V.M. [1, 3] = = 3 8 Crece

d) T.V.M. [1, 3] = = 3 8 Crece8 – 22

7 – 12

–1 – 12

13

1/3 – 12

f (3) – f (1)3 – 1

13

1 – 03

f (5) – f (2)

5 – 2

32

0 – 32

f (2) – f (0)

2 – 0

3 – 12

f (0) – f (–2)

0 + 2

2 5–2 0

PARA PRACTICAR


7UNIDAD

3 Compara la T.V.M. de las funciones f (x) = x3 y g (x) = 3x en los intervalos[2, 3] y [3, 4], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo.

Para f (x): T.V.M. [2, 3] = 19

T.V.M. [3, 4] = 37

Para g (x): T.V.M. [2, 3] = 18

T.V.M. [3, 4] = 54

En [2, 3] crece más f (x).

En [3, 4] crece más g (x).

4 Dada la función f (x) = x2 – 1, halla la tasa de variación media en el inter-valo [2, 2 + h].

T.V.M. [2, 2 + h] = = = h + 4

5 Comprueba que la T.V.M. de la función f (x) = –x2 + 5x – 3 en el intervalo[1, 1 + h] es igual a –h + 3. Calcula la T.V.M. de esa función en los interva-los [1, 2], [1; 1,5], utilizando la expresión anterior.

T.V.M. [1, 1 + h] = = = 3 – h

T.V.M. [1, 2] = 2

T.V.M. [1; 1,5] = 2,5

Derivada en un punto

6 En esta función se han trazado las tangentes en los puntos A, B y C. Ha-lla sus pendientes y di el valor de f ' (–5); f ' (0) y f ' (4).

mA = = – 8 f ' (–5) = –

mB = 0 8 f ' (0) = 0

mC = = 8 f ' (4) = 23

23

2 – 07 – 4

43

43

0 – 4–2 + 5

–22

AB

C

– (1 + h2 + 2h) + 5 + 5h – 3 – 1h

f (1 + h) – f (1)h

4 + h2 + 4h – 1 – 3h

f (2 + h) – f (2)h


7 a) Halla f ' en los puntos de abscisas –3, 0 y 4.

☛ Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas enesos puntos.

b)En x = 1, ¿la derivada es positiva o negativa?

a) f ' (–3) = –3, f ' (0) = , f ' (4) = –2

b) Positiva.

8 a) ¿En qué puntos de esta función la derivada vale 0?

b) ¿Cuánto vale f ' (4)?

c) Di para qué valores de x la derivada es negativa.

a) En (1, 5) y en (–3, 2).

b) m = = –2 8 f ' (4) = –2

c) (–@, –3) « (1, +@)

9 Aplicando la definición de derivada, calcula f ' (–2) y f ' (3), siendo:

f (x) =

f ' (–2) = = = =

= =

f ' (3) = = = =

= = 25

25

límh 8 0

6 + 2h – 3 – 35h

límh 8 0

2 (3 + h) – 3 3—————— – —

5 5

hf (3 + h) – f (3)

hlím

h 8 0

25

25

límh 8 0

–4 + 2h – 3 + 75h

límh 8 0

2 (–2 + h) – 3 7——————– + —

5 5

hf (–2 + h) – f (–2)

hlím

h 8 0

2x – 35

2 – 04 – 5

1–1 3

32

–2 2

2

4

6

4

f


7UNIDAD

10 Halla para valores muy pequeños de h (por ejemplo, h = 0,01

o bien h = 0,001) y di después el valor de f ' (1) en cada caso:

a) f (x) = 3x2 – 1 b) f (x) = (2x + 1)2

c) f (x) = x2 + 5x d) f (x) =

a) = = = 3h + 6

f ' (1) = 6

b) = = = 4h + 12

Si h = 0,001 8 = 12,004 8 f ' (1) = 12

c) = = = h + 7

Si h = 0,001 8 = 7,001 8 f ' (1) = 7

d) = = =

Si h = 0,001 8 = –1,998 8 f ' (1) = –2

11 Halla la pendiente de la tangente a la curva y = x2 – 5x + 1 en el punto deabscisa x = –2, utilizando la definición de derivada.

m = f ' (–2) =

= = = h – 9

h – 9 = –9

Por tanto, la pendiente es –9.

límh 8 0

h2 – 9hh

(–2 + h)2 – 5(–2 + h) + 1 – 15h

f (–2 + h) – f (–2)h

f (–2 + h) – f (–2)h

límh 8 0

f (1 + h) – f (1)h

–2h + 1

–2hh(h + 1)

(2/h + 1) – 2h

f (1 + h) – f (1)h

f (1 + h) – f (1)h

h2 + 7hh

(1 + h)2 + 5(1 + h) – 6h

f (1 + h) – f (1)h

f (1 + h) – f (1)h

4h2 + 12hh

(2(h + 1) + 1)2 – 9h

f (1 + h) – f (1)h

°§§¢§§£

f (1 + h) – f (1)Si h = 0,01 8 ——= 6,03

hf (1 + h) – f (1)

Si h = 0,001 8 ——= 6,003h

3h2 + 6hh

3(h + 1)2 – 1 – 2h

f (1 + h) – f (1)h

2x

f (1 + h) – f (1)h


12 Halla el valor del crecimiento de f (x) = (x – 3)2 en los puntos x = 1 y x = 3, aplicando la definición de derivada.

f ' (1) = = = (h – 4) = –4

f ' (3) = = = h = 0

13 Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso:

a) f (x) = 5x 8 f ' (x) = 5 b) f (x) = 7x2 8 f ' (x) = 14x

c) f (x) = x2 + x 8 f ' (x) = 2x + 1 d) f (x) = 8 f '(x) =

a) f ' (x) = = = =

= = 5

b) f ' (x) = = =

= = =

= = 14x

c) f ' (x) = = =

= = =

= = 2x + 1

d) f ' (x) = = =

= = = =

= = = –3x2

–3x (x + h)

límh 8 0

–3hhx (x + h)

límh 8 0

–3h—————x (x + h)

hlím

h 8 0

3x – 3x – 3h——————

x (x + h)

hlím

h 8 0

3x – 3 (x + h)———————

x (x + h)

hlím

h 8 0

3 3——— – —x + h x

hlím

h 8 0

f (x + h) – f (x)h

límh 8 0

h (h + 2x + 1)h

límh 8 0

h2 + 2xh + hh

límh 8 0

x2 + h2 + 2xh + x + h – x2 – xh

límh 8 0

(x + h)2 + (x + h) – (x2 + x)h

límh 8 0

f (x + h) – f (x)h

límh 8 0

h (7h + 14x)h

límh 8 0

7h2 + 14xhh

límh 8 0

7 (x2 + h2 + 2xh) – 7x2

hlím

h 8 0

7 (x + h)2 – 7x2

hlím

h 8 0

f (x + h) – f (x)h

límh 8 0

5hh

límh 8 0

5x + 5h – 5xh

límh 8 0

5 (x + h) – 5xh

límh 8 0

f (x + h) – f (x)h

límh 8 0

–3x2

3x

límh 8 0

(3 + h – 3)2 – 0h

límh 8 0

f (3 + h) – f (3)h

límh 8 0

límh 8 0

(1 + h – 3)2 – 4h

límh 8 0

f (1 + h) – f (1)h

límh 8 0


7UNIDAD

14 ¿Existe algún punto en esta función en el que la derivada seanegativa?

Ordena de menor a mayor los valores de f ' (–2), f ' (2) yf ' (0).

No, pues es creciente.

f ' (–2) < f ' (0) < f ' (2)

Página 195

Reglas de derivación

Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los pun-tos que se indican:

15 f(x) = 2x3 + 3x2 – 6; x = 1

f ' (x) = 6x2 + 6x ; f ' (1) = 12

16 f(x) = + ; x = –

f ' (x) = ; f ' (– ) =

17 f(x) = + x2 – ; x = 2

f ' (x) = x2 + 3x – ; f ' (2) = 6 + 6 – =

18 f(x) = ; x = 0

f ' (x) = ; f ' (0) = –7

19 f(x) = ; x = –1

f ' (x) = 8 f ' (–1) =

20 f(x) = ln (3x – 1); x = 3

f ' (x) = 8 f ' (3) = 38

33x – 1

32

6(x + 3)2

2xx + 3

–7(7x + 1)2

17x + 1

232

12

12

32

x2

32

x3

2

13

173

13

173

√2x3

–2 2

2

4


21 f(x) = sen 2x + cos 2x; x = π

f ' (x) = 2cos x – 2sen 2x 8 f ' (π) = 2

22 f(x) = ; x = 8

f ' (x) = 8 f ' (8) =

23 f(x) = x · 2x + 1; x = –1

f ' (x) = 2x + 1 ln (2) x + 2x + 1 8 f ' (–1) = –ln 2 + 1

24 f(x) = (5x – 2)3; x =

f ' (x) = 15(5x – 2)2 8 f ' = 15

25 f(x) = ; x = 3

f ' (x) = 8 f ' (3) =

26 f(x) = x2 + log x; x =

f ' (x) = 2x + 8 f ' = 1 +

27 f(x) = e2x · ln (x2 + 1); x = 1

f ' (x) = 2e2x ln (x2 + 1) + 8 f ' (1) = 2e2 ln 2 +

Halla la función derivada de estas funciones:

28 a) f(x) = + b) f(x) = (x2 – 3)3

a) f ' (x) = + b) f ' (x) = 6x (x2 – 3)2

29 a) f(x) = b) f(x) =

a) f ' (x) = 1 (si x ? 0) b) f ' (x)= x

√x2 + 1

√x2 + 1x3 – x2

x2

1

√2x

13

√2xx3

)12(]x

x2 + 1[

2ln 10)1

2(1x ln 10

12

–52

–10(x – 5)2

x + 5x – 5

)15(

15

–116

–1

2√—(x – 4)3

1

√x – 4


7UNIDAD

30 a) f(x) = b) f(x) = (1 + ex)2

a) f ' (x) = b) f ' (x)= 2ex (1 + ex)

31 a) f(x) =

b) f(x) = 7x + 1

a) f (x) = –3 (1 – x2)–1/2; f ' (x) = (1 – x2)–3/2 · (–2x) =

b) f ' (x) = 7x + 1 · ln 7

32 a) f(x) = + b) f(x) = ln 3x

a) f ' (x) = + b) f ' (x) = =

33 a) f (x) = b) f (x) =

a) f ' (x) = =

b) f ' (x) =

34 a) f (x) = b) f (x) = ln

a) f '(x) = = = =

=

b) f (x) = ln x1/2 = ln x 8 f ' (x) =

35 a) f (x) =

b) f (x) = x3 · e1 – x

a) f ' (x) = = =

b) f ' (x) = 3x2 · e1 – x – x3 · e1 – x = e1 – x (3x2 – x3) = x2 · e1 – x (3 – x)

x2 (x2 – 12)(x2 – 4)2

3x4 – 12x2 – 2x4

(x2 – 4)23x2 (x2 – 4) – 2x · x3

(x2 – 4)2

x3

x2 – 4

12x

12

x3 – 3x2

(x – 1)3

3x3 – 3x2 – 2x3

(x – 1)33x2 (x – 1) – 2x3

(x – 1)33x2 (x – 1)2 – x3 · 2 (x – 1)

(x – 1)4

√xx3

(x – 1)2

e2x (7 – 10x)(1 – 5x)2

1 – x2

(1 + x2)21 + x2 – x · 2x

(1 + x2)2

e2x

1 – 5xx

1 + x2

1x

33x

13

–13x2

x3

13x

–3x

√(1 – x2)332

–3

√1 – x2

2

3 3√x + 6

3√(x + 6)2


36 a) f (x) = ln b) f (x) = log

a) f ' (x) = 0

b) f (x) = log x2 – log (3 – x) = 2 log x – log (3 – x)

f ' (x) = +

37 a) f (x) = b) f (x) =

a) f ' (x) = =

b) f ' (x) =

Puntos en los que la derivada vale k

38 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funcio-nes:

a) y = 3x2 – 2x + 1 b) y = x3 – 3x

a) f ' (x) = 6x – 2 = 0 8 x = . Punto ( , )b) f ' (x) = 3x2 – 3 = 0 8 x = –1, x = 1. Puntos (–1, 2) y (1, –2)

39 Obtén los puntos donde f '(x) = 1 en los siguientes casos:

a) f(x) = x2 – 3x + 2 b) f(x) =

a) f ' (x) = 2x – 3; 2x – 3 = 1 8 x = 2; f (2) = 0 8 P (2, 0)

b) f ' (x) = =

= 1 8 (x + 5)2 = 4

40 Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes fun-ciones es igual a 2:

a) y = x2 – 2x b) y =

c) y = 4 d) y = ln (4x – 1)

a) f ' (x) = 2x – 2 8 2x – 2 = 2 8 x = 2; f (2) = 0 8 P (2, 0)

√x + 3

xx + 2

x = –3; f (–3) = –1 8 P (–3, –1)

x = –7; f (–7) = 3 8 Q (–7, 3)

4(x + 5)2

4(x + 5)2

x + 5 – x – 1(x + 5)2

x + 1x + 5

23

13

13

1

2x √ln x

x4 + x2 + 2(x2 + 1)2

(3x2 + 2) (x2 + 1) – 2x (x3 + 2x)(x2 + 1)2

√ln xx3 + 2xx2 + 1

1(3 – x) ln 10

2x ln 10

x2

3 – x√e


7UNIDAD

b) f ' (x) = 8 = 2 8

8 (x + 2)2 = 1

c) f ' (x) = 8 = 2 8 = 1 8 x = –2;

f (–2) = 4 8 P (–2, 4)

d) f ' (x) = 8 = 2 8 x = ; f = ln 2 8 P , ln 2

41 Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientescasos:

a) y = 2x2 – 8x + 5 b) y = –x2 + 5x

c) y = x4 – 4x2 d) y =

a) f ' (x) = 4x – 8 8 4x – 8 = 0 8 x = 2; f (2) = –3 8 P (2, –3)

b) f ' (x) = –2x + 5 8 –2x + 5 = 0 8 x = ; f = 8 P ,

c) f ' (x) = 4x3 – 8x 8 4x3 – 8x = 0

d) f ' (x) = 8 = 0 8 –2x = 0 8 x = 0; f (0) = 1 8 P (0, 1)

42 Comprueba que las siguientes funciones no tienen ningún punto en el quela derivada sea igual a 0.

a) y = b) y = 2x3 + 6x

c) y = x3 – x2 + x d) y =

a) f ' (x) = 8 ? 0 para cualquier x.

b) f ' (x) = 6x2 + 6 8 6x2 + 6 = 0 no tiene solución.

c) f ' (x) = 3x2 – 2x + 1 8 3x2 – 2x + 1 = 0; x = no tiene solución.

d) f ' (x) = 8 = 0 no tiene solución.–6

(x – 2)2–6

(x – 2)2

2 ± √4 – 126

72

72

3xx – 2

7x – 32

–2x(x2 + 1)2

–2x(x2 + 1)2

x = 0; f (0) = 0 8 P (0, 0)

x = √—2; f (√

—2) = –4 8 Q (√

—2, –4)

x = –√—2; f (–√

—2) = –4 8 R (–√

—2, –4)

)254

52(25

4)52(5

2

1x2 + 1

)34()3

4(34

44x – 1

44x – 1

√x + 32

√x + 3

2

√x + 3

x = –1; f (–1) = –1 8 P (–1, –1)

x = –3; f (–3) = 3 8 Q (–3, 3)

2(x + 2)2

2(x + 2)2


Recta tangente

43 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 – 5x + 6 en el pun-to de abscisa x = 2.

f ' (x) = 2x – 5; m = f ' (2) = –1, f (2) = 0

La recta es y = – (x – 2) = 2 – x

44 Escribe la ecuación de la recta tangente a y = –x2 + 2x + 5 en el punto deabscisa x = –1.

f ' (x) = –2x + 2; m = f ' (–1) = 4, f (–1) = 2

La recta es y = 4 (x + 1) + 2 = 4x + 6

45 Escribe la ecuación de la recta tangente a y = x2 + 4x + 1 cuya pendientesea igual a 2.

f ' (x) = 2x + 4 = 2 8 x = –1; f (–1) = –2

La recta es y = 2 (x + 1) – 2 = 2x

46 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = en x = 0.

f ' (x) = ; m = f ' (0) = , f (0) = 1

La recta es y = x + 1

47 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = 4 – x2 en lospuntos de corte con el eje de abscisas.

Puntos de corte con el eje de abscisas: 4 – x2 = 0 8 x = 2, x = –2

Puntos (2, 0) y (–2, 0)

f ' (x) = –2x, f ' (2) = –4, f ' (–2) = 4

Las rectas son: • En x = –2, y = 4(x + 2) = 4x + 8

• En x = 2, y = –4(x – 2) = –4x + 8

Puntos singulares

48 Obtén los puntos singulares de las siguientes funciones:

a) y = 3x2 – 2x + 5 b) y = 2x3 – 3x2 + 1

c) y = x4 – 4x3 d) y = x3 – 12x

12

12

1

2√x + 1

√x + 1


7UNIDAD

a) f ' (x) = 6x – 2 8 6x – 2 = 0 8 x = ; f = 8 P ,

b) f ' (x) = 6x2 – 6x 8 6x2 – 6x = 0

c) f ' (x) = 4x3 – 12x2 8 4x3 – 12x2 = 0

d) f ' (x) = 3x2 – 12 8 3x2 – 12 = 0

49 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones:

a) y = b) y =

a) f ' (x) =

= 0 8 x2 – 1 = 0

b) f ' (x) = 8 = 0 8 4x = 0 8 x = 0; f (0) = 0 8 P (0, 0)

50 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares:

a) y = x3 + 3x b) y = c) y = d) y = ln x

a) f ' (x) = 3x2 + 3 8 3x2 + 3 = 0 no tiene solución.

b) f ' (x) = 8 = 0 no tiene solución.

c) f ' (x) = 8 = 0 no tiene solución.

d) f ' (x) = 8 = 0 no tiene solución.

Crecimiento y decrecimiento

51 Observa los resultados obtenidos en los ejercicios 15 al 27 y di si cada unade las funciones dadas es creciente o decreciente en el punto que se indica.

15) Creciente. 16) Creciente. 17) Creciente. 18) Decreciente.

19) Creciente. 20) Creciente. 21) Creciente. 22) Decreciente.

23) Creciente. 24) Creciente. 25) Decreciente. 26) Creciente.

27) Creciente.

1x

1x

1

2√—x

1

2√—x

–1x2

–1x2

√x1x

4x(x2 + 1)2

4x(x2 + 1)2

x = 1; f (1) = 2 8 P (1, 2)

x = –1; f (–1) = –2 8 Q (–1, –2)x2 – 1

x2

x2 – 1x2

2x2

x2 + 1x2 + 1

x

x = 2; f (2) = –16 8 P (2, –16)

x = –2; f (–2) = 16 8 Q (–2, 16)

x = 0; f (0) = 0 8 P (0, 0)

x = 3; f (3) = –27 8 Q (3, –27)

x = 0; f (0) = 1 8 P (0, 1)

x = 1; f (1) = 0 8 Q (1, 0)

)143

13(14

3)13(1

3


52 Obtén los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las si-guientes funciones:

a) y = b) y = 5 – 2x c) y = x2 – 3x + 2

d) y = 2x – x2 e) y = x3 f) y = x3 – 3x

a) f ' (x) = 8 Creciente en (–@, +@).

b) f ' (x) = –2 8 Decreciente en (–@, +@)

c) f ' (x) = 2x – 3 8 Crece en , +@ . Decrece en –@, .

d) f ' (x) = 2 – 2x 8 Crece en (–@, 1). Decrece en (1, +@).

e) f ' (x) = 3x2 8 Creciente en (–@, +@).

f) f ' (x) = 3x2 – 3 8 Crece en (–@, –1) « (1, +@). Decrece en (–1, 1).

53 Indica en cada una de estas funciones los valores de x en los que f ' es po-sitiva y en los que f ' es negativa.

☛ Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si x < –1.

a) f ' > 0 si x < –1

f ' < 0 si x > –1

b) f ' > 0 si x < 0

f ' < 0 si x > 0

c) f ' > 0 si x é(–@, –1) « (1, +@)

f ' < 0 si x é(–1, 1)

54 Dada la función f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 4, obtén su función derivada y es-tudia su signo.

¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ? ¿Tiene fmáximo o mínimo?

f ' (x) = 3x2 – 12x + 9 8 3x2 – 12x + 9 = 0

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

1 3

x = 1

x = 3

–2–2

2

–2 2

2 –2 2

2

)32()3

2(

32

3x + 12


7UNIDAD

Crece en (–@, 1) « (3, +@).

Decrece en (1, 3).

Máximo en x = 1. Mínimo en x = 3.

Gráficas de funciones polinómicas y racionales

55 Representa una función y = f (x) de la que sabemos:

• Es continua.

• f (x) = +@; f (x) = –@

• Tiene tangente horizontal en (–3, 2) y en (1, 5).

Indica si los puntos de tangente horizontal son máximos o mínimos.

(–3, 2) es un mínimo.

(1, 5) es un máximo.

56 De una función polinómica sabemos que:

• f (x) = +@; f (x) = +@

• Su derivada es igual a 0 en (–2, 2) y en (2, –1).

• Corta a los ejes en (0, 0) y en (4, 0).

Represéntala gráficamente.

límx 8 +@

límx 8 –@

límx 8 +@

límx 8 –@


57 Representa la función continua y = f (x) de la que sabemos:

• En los puntos (–1, –2) y (1, 2) la tangente es horizontal.

• Sus ramas infinitas son así:

58 Comprueba que la función y = (x – 1)3 pasa por los puntos (0, –1), (1, 0) y(2, 1). Su derivada se anula en el punto (1, 0). ¿Puede ser un máximo o unmínimo ese punto?

f ' (x) = 3 (x – 1)2: f (0) = –1 8 pasa por (0, –1)

f (1) = 0 8 pasa por (1, 0)

f (2) = 1 8 pasa por (2, 1)

f ' (1) = 0

El punto (1, 0) no es ni máximo ni mínimo, porque la derivada no cambia de signo.

Página 197

59 Comprueba que la función y = tiene dos puntos de

tangente horizontal, (–1, –2) y (1, 2); sus asíntotas son x = 0e y = x y la posición de la curva respecto de las asíntotas esla que se indica en la ilustración de la derecha. Represéntala.

f (x) = x +

f '(x) = 1 – = = 0 8 x = –1, x = 1

Puntos (–1, –2) y (1, 2).

f (x) = +@; f (x) = –@

Asíntota vertical en x = 0.

Asíntota oblicua en y = x.

límx 8 0–

límx 8 0+

x2 – 1x2

1x2

1x

x2 + 1x

1

2

–2

1 2 3–2–3 –1

–1


7UNIDAD

60 Comprueba que la función y = :

• Tiene derivada nula en (0, 0).

• La recta y = 2 es una asíntota horizontal.

• Posición de la curva respecto a la asíntota:

Si x 8 –@, y < 2. Si x 8 +@, y < 2.

Represéntala.

• f ' (x) = =

f ' (0) = 0; f (0) = 0

• = 2

61 Completa la gráfica de una función de la que sabe-mos que tiene tres puntos singulares:

–3, – , (0, 0) y 3,

y que sus ramas infinitas son las representadas.

–2

1

2)52()5

2(

2x2

x2 + 1lím

x 8 ±@

4x(x2 + 1)2

4x (x2 + 1) – 2x (2x2)(x2 + 1)2

2x2

x2 + 1


62

Los coches, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 20% cadaaño, aproximadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coche desde quese compró hasta 12 años más tarde.

Calcula lo que se deprecia el coche en los dos primeros años, entre los años4 y 6, y entre los años 8 y 10. ¿Es constante la depreciación?

Depreciación: [0, 2] 8 9000 €

[4, 6] 8 3500 €

[8, 10] 8 1500 €

La depreciación no es constante.

63 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 – 3x que seanparalelas a la recta 6x – y + 10 = 0.

☛ La pendiente de la recta es el coeficiente de x cuando la y está despejada.

f ' (x) = 3x2 – 3 = 6 8 x = – , x = . Puntos: (– , 0) y ( , 0)Rectas: y = 6 (x + ), y = 6 (x – )

64 ¿En qué puntos la recta tangente a y = x3 – 4x tiene la pendiente igual a 8?

f ' (x) = 3x2 – 4 = 8 8 x = –2, x = 2

Puntos (–2, 0) y (2, 0).

65 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = que sonparalelas a la recta 2x + y = 0.

f ' (x) = = = –2 8 (x – 1)2 = 1 8 x = 0, x = 2

En (0, 0), y = –2x

En (2, 4), y = –2 (x – 2) + 4 = –2x + 8

–2(x – 1)2

2 (x – 1) – 2x(x – 1)2

2xx – 1

√3√3

√3√3√3√3

1

10

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (en años)

VALOR (en miles de euros)

11

PARA RESOLVER


7UNIDAD

66 Halla los puntos de tangente horizontal de la función y = x3 – 3x2 – 9x – 1.

f ' (x) = 3x2 – 6x – 9 = 0 8 x = –1, x = 3.

Puntos (–1, 4) y (3, –28).

67 ¿En qué puntos de la función y = 1/x la recta tangente es paralela a la bi-sectriz del segundo cuadrante?

¿Existe algún punto de tangente horizontal en esa función?

f ' (x) = – = –1 8 x = –1, x = 1. Puntos (–1, –1) y (1, 1).

No existe ningún punto de tangente horizontal, pues f ' (x) = = 0 no tiene solu-ción.

68 La altura que alcanza una piedra lanzada hacia arriba viene dada por la fun-ción f (t) = 20t – 5t2 (t en segundos, f en metros).

a) Calcula su velocidad media entre t = 0 y t = 5.

b) ¿En qué instante la velocidad es igual a 0?

c) ¿En algún momento su velocidad de la piedra es 15 m/s? En caso afirma-tivo, ¿a qué altura?

a) T.V.M. [0, 5] = = = –5 m/s

b) f ' (t ) = 20 – 10t 8 f ' (t ) = 0; 20 – 10t = 0 8 t = 2

A los 2 segundos.

c) f ' (t ) = 15 8 20 – 10t = 15 8 t = 0,5 s

A los 0,5 segundos la velocidad es 15 m/s.

La altura en ese instante es:

f (0,5) = 8,75 m.

69 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguien-tes funciones y di si tienen máximo o mínimo:

a) y = –3x2 + 6x b) y = 2x2 – 8x + 7

c) y = d) y =

a) f ' (x) = –6x + 6 8 En (–@, 1) crece y en (1, +@) decrece.

Tiene un máximo en (1, 3).

b) f ' (x) = 4x – 8 8 Creciente en (2, +@); decreciente en (–@, 2).

Tiene un mínimo en (2, –1).

x – 12x + 3

2xx – 3

–25 – 05

f (5) – f (0)5 – 0

1x2

1x2


c) f ' (x) = 8 Decreciente en todo su dominio: Á – {3}

d) f ' (x) = 8 Creciente en todo su dominio: Á – –

70 Halla el vértice de la parábola y = x2 + 6x + 11 teniendo en cuenta que enese punto la tangente es horizontal.

f ' (x) = 2x + 6 = 0 8 x = –3

Punto (–3, 2).

71 Halla el valor de k para que la tangente a la gráfica de la función y = x2 +kx – 1 en x = 0 sea paralela a la recta y = 3x + 2.

f ' (x) = 2x + k 8 f ' (0) = k 8 k = 3

Página 198

72 En cada una de las siguientes funciones, halla los puntos singulares y, conayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos. Represén-talas:

a) y = x3 – 3x2 b) y = x3 – 3x + 2

c) y = x4 + 4x3 d) y = x3 – 9x2 + 24x – 20

e) y = 12x – x3 f) y = –x4 + x2

g) y = x5 – 6x3 – 8x – 1 h) y = x4 – 8x2 + 2

a) f ' (x) = 3x2 – 6x

f ' (x) = 0 ï 3x2 – 6x = 0

(x3 – 3x2) = –@

(x3 – 3x2) = +@

(0, 0) máximo y (2, –4) mínimo.

y = x3 – 3x2

Y

X

2

–2

–2–4–6 2 4 6

–4

–6

–8

–10

4

6

límx 8 +@

límx 8 –@

x = 0 8 f (0) = 0 8 (0, 0)x = 2 8 f (2) = –4 8 (2, –4)

°¢£

°¢£

32

°¢£

5(2x + 3)2

–6(x – 3)2


7UNIDAD

b) f ' (x) = 3x2 – 3

f ' (x) = 0 ï x = ±1

(x3 – 3x + 2) = –@

(x3 – 3x + 2) = +@

(–1, 4) máximo y (1, 0) mínimo.

c) f ' (x) = 4x3 + 12x2

f ' (x) = 0 ï

ï

(x4 + 4x3) =

= (x4 + 4x3) = +@

(–3, –27) mínimo.

d) f ' (x) = 3x2 – 18x + 24; f ' (x) = 0 ï

ï x = = =

(x3 – 9x2 + 24x – 20) = –@

(x3 – 9x2 + 24x – 20) = +@

(2, 0) máximo y (4, –4) mínimo.

e) f ' (x) = 12 – 3x2; f ' (x) = 0 ï x = ±2

(12x – x3) = +@

(12x – x3) = –@

(2, 16) máximo y (–2, –16) mínimo.

límx 8 +@

límx 8 –@

f (2) = 16 8 (2, 16)f (–2) = –16 8 (–2, –16)

°¢£

y = x3 – 9x2 + 24x – 20

2 4 6–5

5

–20

–4 –2

Y

X

límx 8 +@

límx 8 –@

f (4) = –4 8 (4, –4)f (2) = 0 8 (2, 0)

°¢£

42

6 ± 22

6 ± √36 – 322

y = x4 + 4x3

5

–5–2–4–6 2 4 6

–10

–15

–20

–25

10

Y

X

límx 8 +@

límx 8 –@

x = 0 8 f (0) = 0 8 (0, 0)x = –3 8 f (–3) = –27 8 (–3, –27)

°¢£

y = x3 – 3x + 2

2

–2

–2–4–6 2 4 6

–4

4

6

Y

X

límx 8 +@

límx 8 –@

f (1) = 0 8 (1, 0)f (–1) = 4 8 (–1, 4)

°¢£


2 4–4 –2–5

–10

–15

5

10

15y = 12x – x3

Y

X

f ) f ' (x) = –4x3 + 2x ; f ' (x) = 0 ï

x = 0 8 f (0) = 0 8 (0, 0)

ïx = 8 f ( ) = 8 ( , )x = – 8 f (– ) = 8 (– , )

(–x4 + x2) = –@; (–x4 + x2) = –@

( , ) y (– , ) son máximos y (0, 0), mínimo.

g) f ' (x) = 5x4 – 18x2 – 8; f ' (x) = 0 ï

ï

(x5 – 6x3 – 8x – 1) = –@

(x5 – 6x3 – 8x – 1) = +@

(–2, 31) máximo y (2, –33) mínimo.

h) f ' (x) = 4x3 – 16x ; f ' (x) = 0 ï

ï

(x4 – 8x2 + 2) = +@

(x4 – 8x2 + 2) = –@

(0, 2) máximo, y (2, –14) y (–2, –14) mínimos.

2

246

4 6

y = x4 – 8x2 + 2

Y

X

límx 8 –@

límx 8 +@

x = 0 8 f (0) = 2 8 (0, 2)x = 2 8 f (2) = –14 8 (2, –14)x = –2 8 f (–2) = –14 8 (–2, –14)

°§¢§£

5 15–5–10–15–10

–20

–40

–30

20

30

40y = x5 – 6x3 – 8x – 1

10

10

Y

Xlím

x 8 +@

límx 8 –@

x = 2 8 f (2) = –33 8 (2, –33)x = –2 8 f (–2) = 31 8 (–2, 31)

°¢£

14

√22

14

√22

límx 8 +@

límx 8 –@

14

√22

14

√22

√22

14

√22

14

√22

√22


7UNIDAD

°§§§¢§§§£

y = –x4 + x2

1–1

–1

1 Y

X

73 Representa las siguientes funciones hallando los puntos singulares y estu-diando sus ramas infinitas:

a) y = x3 – 2x2 + x b) y = –x4 + 2x2

c) y = d) y =

e) y = f ) y =

a) f ' (x) = 3x2 – 4x + 1 = 0 8 x = , x = 1

Puntos de tangente horizontal:

( , ), (1, 0)

(x3 – 2x2 + x) = +@

(x3 – 2x2 + x) = –@

b) f ' (x) = –4x3 + 4x = –4x (x2 – 1) = 0 8 x = 0, x = 1, x = –1


(–1, 1), (0, 0) y (1, 1)

(–x4 + 2x2) = –@

(–x4 + 2x2) = –@

c) f ' (x) = = = 0 8 x = 2, x = –2

Puntos de tangente horizontal: (–2, 1), (2, )= 0

= 0

Asíntotas verticales:

x = –4, x = –1

xx2 + 5x + 4

límx 8 –@

xx2 + 5x + 4

límx 8 +@

19

–x2 + 4(x2 + 5x + 4)2

x2 + 5x + 4 – x (2x + 5)(x2 + 5x + 4)2

y = –x4 + 2x2

21–2 –1

–1

–2

–3

1Y

X

límx 8 –@

límx 8 +@

1–1

–1

1

y = x3 – 2x2 + x

Y

X

límx 8 –@

límx 8 +@

427

13

13

2x2

x + 2x

(x + 5)2

1x2 – 3x + 2

xx2 + 5x + 4


y = —————xx2 + 5x + 4

1

1 2–2 –1–3–4 3

Y

X

d) f ' (x) = = 0 8 x =

Puntos de tangente horizontal: ( , –4)= 0

= 0


e) f ' (x) = = = 0 8 x = 5

Puntos de tangente horizontal: (5, )= 0

= 0


y = ————x(x + 5)2

2

2 4–4 –2–2

–4

–6

–6 6

Y

X

x(x + 5)2

límx 8 –@

x(x + 5)2

límx 8 +@

120

5 – x(x + 5)3

(x + 5)2 – x · 2 (x + 5)(x + 5)4

1

1 2–2 –1–1

–2

–3

–4

–5

2

–3 3

y = —————1x2 – 3x + 2 (—, – 4)3

2

Y

X

1x2 – 3x + 2

límx 8 –@

1x2 – 3x + 2

límx 8 +@

32

32

– (2x – 3)(x2 – 3x + 2)2


7UNIDAD

f ) f ' (x) = = = = 0 8 x = 0, x = –4


(–4, –16), (0, 0)

= 2x – 4 +

(y = 2x – 4 asíntota oblicua)


74 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente horizontal.Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con losejes:

a) y = b) y = c) y = + 4x d) y =

a) f ' (x) = ? 0

Los puntos de corte son: (0, – ), (3, 0)

= 1

= 1


x – 3x + 2

límx 8 +@

x – 3x + 2

límx 8 –@

32

5(x + 2)2

1(x – 2)2

x3

3x2 – 1

xx – 3x + 2

y = ———2x2

x + 25

2 4–2

–5

–10

–15

–20

10

15

–4–6 6

Y

X

8x + 2

2x2

x + 2

2x (x + 4)(x + 2)2

2x2 + 8x(x + 2)2

4x (x + 2) – 2x2

(x + 2)2


y = ———x – 3x + 2

2

4

6

–2

–4

2 4 6 8–4 –2–6–8–10

Y

X

b) f ' (x) = ? 0

Los puntos de corte son: (1, 0), (–1, 0)

= x –

(y = x asíntota oblicua)


c) f ' (x) = x2 + 4 ? 0

El punto de corte es: (0, 0)

+ 4x = –@

+ 4x = +@

d) f ' (x) = ? 0

El punto de corte es: (0, )Asíntota vertical: x = 2


75 Estudia y representa las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

e) y = f ) y =

g) y = h) y =

i) y = j) y = x2 – 52x – 4

x2 – x + 1x2 + x + 1

x2

(x – 2)2x2

x2 – 4x + 3

x2

1 – x2x2 – 1x + 2

(x – 1)2

x + 2x + 2

x2 – 6x + 5

x1 – x2

xx2 – 16

y = ————1(x – 2)2

4

2

2 4 6–4 –2

Y

X

14

–2(x – 2)3

y = — + 4xx3

3 5

–5

2 4 6–4 –2–6

Y

X

x3

3lím

x 8 +@

x3

3lím

x 8 –@

y = ———x2 – 1x 4

2

6

–2

–4

–6

2 4 6–4 –2–6

Y

X

1x

x2 – 1x

x2 + 1x2


7UNIDAD

a) f ' (x) =

Asíntotas verticales: x = –4, x = 4

Asíntotas horizontales: y = 0

No hay asíntotas oblicuas ni puntosde tangente horizontal.

b) f ' (x) =

Asíntotas verticales: x = 1, x = –1


No hay asíntotas oblicuas ni puntosde tangente horizontal.

c) f ' (x) =



No hay asíntotas oblicuas.

Sus puntos de tangente horizontal son, aproximadamente:

(–6,58; –0,052), (2,58; –1,197)

y = —————x + 2x2 – 6x + 5 1

0,5

1,5

–0,5

–1

–1,5

2 4 6–4 –2–6

Y

X

–x2 – 4x + 17(x2 – 6x + 5)2

y = ———x1 – x2

2

1

3

–1

–2

–3

1 2 3–2 –1–3

Y

X

x2 + 1(1 – x2)2

y = ————xx2 – 16

4

2

6

–2

–4

–6

2 4 6–4 –2–6

Y

X

–x2 – 16(x2 – 16)2


d) f ' (x) =

Asíntotas verticales: x = –2

Asíntotas oblicuas: y = x – 4

No hay asíntotas horizontales.

Sus puntos de tangente hori-zontal son:

(1, 0), (–5, 12)

e) f ' (x) =

Asíntotas verticales: x = –2

Asíntotas oblicuas: y = x – 2

No hay asíntotas horizontales.

Sus puntos de tangente hori-zontal son, aproximadamente:

(–0,26; –0,54), (–3,73; –7,46)

f) y' =

Asíntotas verticales: x = 1, x = –1

Asíntotas horizontales: y = –1


Su punto de tangente horizontal es:

(0, 0)

y = ———x2

1 – x

2 4 6–2–4–6–2

–4

–6

2

4

X

Y2x(1 – x2)2

y = ———

y = x – 2

x2 – 1x + 2

2 4 6–2–4–6–2

–4

–6

2

4

6

X

Yx2 + 4x + 1(x + 2)2

y = ————

y = x – 4

(x – 1)2

x + 2

10

5

15

–5

–10

–15

–20

2 4 6–4 –2–6

Y

X

x2 + 4x – 5(x + 2)2


7UNIDAD

g) f ' (x) =




Sus puntos de tangente hori-zontal son:

(0, 0), ( , –3)

h) f ' (x) = –

Asíntotas verticales: x = 2



Su punto de tangente hori-zontal es: (0, 0)

i) f ' (x) =


No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

Sus puntos de tangente horizontal son:

(1, ), (–1, 3)

j) f ' (x) =

Asíntotas verticales: x = 2

Asíntotas oblicuas: y = + 1

No hay asíntotas horizontalesni puntos de tangente hori-zontal.

y = ———x2 – 52x – 4

2 4 6–2–4–2

–4

2

4

6

X

Y

x2

2x2 – 8x + 10(2x – 4)2

y = —————x2 – x + 1x2 + x + 1

2 4 6–2–4–6–2

–4

–6

2

4

6

X

Y

13

2x2 – 2(x2 + x + 1)2

y = ————x2

(x – 2)2

2 4 6–2–4–6

2

4

6

X

Y

4x(x – 2)3

y = —————x2

x2 – 4x + 3

2 4 6–2–4–6–2

–4

–6

2

4

6

X

Y

32

–4x2 + 6x(x2 – 4x + 3)2


76 Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y = 2x – 3en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, –2).

f (x) = ax2 + bx + c

f ' (x) = 2ax + b

La función es f (x) = –x2 + 6x – 7.

77 Halla el valor de x para el que las tangentes a las curvas y = 3x2 – 2x + 5 ey = x2 + 6x sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.

6x – 2 = 2x + 6 8 x = 2

Para f (x) = 3x2 – 2x + 5 la tangente en x = 2 es:

y = 10 (x – 2) + 13 8 y = 10x – 7

Para g (x) = x2 + 6x la tangente en x = 2 es:

y = 10 (x – 2) + 16 8 y = 10x – 4

78 Halla a, b y c en f (x) = x3 + ax2 + bx + c de modo que la gráfica de f ten-ga tangente horizontal en x = –4 y en x = 0 y que pase por (1, 1).

f (x) = x3 + ax2 + bx + c

f ' (x) = 3x2 + 2ax + b

La función es f (x) = x3 + 6x2 – 6.

79 Calcula a y b de modo que la función f (x) = 2x3 + bx2 + ax – 5 tenga unmáximo en x = 1 y un mínimo en x = 2.

f ' (x) = 6x2 + 2bx + a

f ' (1) = 0 8 6 + 2b + a = 0

f ' (2) = 0 8 24 + 4b + a = 0

a = 12

b = –9

°¢£

a + 2b = –6

a + 4b = –24

a = 6b = 0c = –6

°§¢§£

f ' (–4) = 0 8 48 – 8a + b = 0f ' (0) = 0 8 b = 0f (1) = 1 8 1 + a + b + c = 1

°¢£

f (x) = 3x2 – 2x + 5 8 f ' (x) = 6x – 2g (x) = x2 + 6x 8 g' (x) = 2x + 6

a = –1b = 6c = –7

°§¢§£

f (2) = 1 8 4a + 2b + c = 1f ' (2) = 2 8 4a + b = 2f (5) = –2 8 25a + 5b + c = –2


7UNIDAD

80 Calcula la T.V.M. de f (x) = 3x – 2 en los intervalos [–1, 2], [1, 3] y [–3, 4].Justifica por qué obtienes el mismo resultado.

T.V.M. [–1, 2] = = 3

T.V.M. [1, 3] = = 3

T.V.M. [–3, 4] = = 3

T.V.M. = 3 para todos, porque la función es una recta de pendiente 3.

81 Dibuja una función que tenga derivada nula en x = 1 y en x = –1, deriva-da negativa en el intervalo [–1, 1] y positiva para cualquier otro valor de x.

82 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f '(x) = 2x. ¿Cuántas exis-ten?

Existen infinitas.

f (x) = x2 + k, donde k es cualquier número.

83 Esta es la gráfica de la función y = x3.

¿Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es latangente de esa curva en (0, 0)?

Ecuación de la tangente en (0, 0):

f ' (x) = 3x2 8 f ' (0) = 0 8 y = 0 + 0(x – 9) 8 y = 0 esel eje de abscisas.

84 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola

y = ax2 + bx + c es x = .

f ' (x) = 2ax + b = 0 8 x = –b2a

–b2a

12

1 2

2

1

–1

–1

10 + 117

7 – 12

4 + 53



85 Si f ' (2) = 0, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta?

a) La función f tiene máximo o mínimo en x = 2.

b) La recta tangente en x = 2 es horizontal.

c) La función pasa por el punto (2, 0).

La correcta es la b).

Página 199

86 La ecuación de la recta tangente a una función f (x) en el punto de abscisax = 2 es 4x – 3y + 1 = 0. ¿Cuál es el valor de f ' (2)? ¿Y el de f (2)?

La recta tangente es y = ; su pendiente es = f ' (2)

f (2) = 3

87 ¿Qué relación existe entre f y g ?

¿Y entre f ' y g' ?

Son rectas paralelas (de igual pendiente).

88 Esta es la gráfica de f ', la función derivada de f.

a) ¿Tiene f algún punto de tangente horizontal?

b) Di para qué valores de x es f creciente y para cuáles esdecreciente.

a) Sí, en x = 2, puesto que f ' (2) = 0

b) Si x < 2 es creciente, pues f ' > 0; y si x > 2 es decreciente, pues f ' > 0.

89 El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es

C (q) = 3q2 + 5q + 75. El coste medio por unidad es: M (q) = .

a) ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidadsea mínimo?

b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que has hallado en el apartado a).

C (q)

q

Y

X

f '

°¢£

f = g + 1f ' = g'

Y

X

f

g

0

43

4x + 13

PARA PROFUNDIZAR


7UNIDAD

a) M (q) =

M' (q) = = =

= = 0 8 q2 = 25 8 q = 5 unidades

Se deben fabricar 5 unidades.

b) C (5) = 175; M (5) = 35

90 La función f (x) = indica los beneficios obtenidos por una empresa

desde que comenzó a funcionar ( f (x) en miles de euros, x en años).

a) Represéntala gráficamente.

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuáles ese beneficio?

c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento?

a) f ' (x) = = = = 0 8

8 x = 3 (x = –3 no está en el dominio)

Máximo en (3, 10).

f (x) = 0 8 asíntota horizontal: y = 0

La gráfica sería:

b) Beneficio máximo en x = 3 8 A los 3 años.

El beneficio sería f (3) = 10 miles de euros.

c) No perderá dinero pues f (x) = 0 y f (x) > 0 para todo x > 0.

2

2 6

4

6

8

10

4 8 10 1412 16 18

límx 8 +@

–60x2 + 540(x2 + 9)2

60x2 + 540 – 120x2

(x2 + 9)260 (x2 + 9) – 60x · 2x

(x2 + 9)2

60xx2 + 9

3q2 – 75q2

6q2 + 5q – 3q2 – 5q – 75q2

(6q + 5)q – (3q2 + 5q + 75)q2

3q2 + 5q + 75q


AUTOEVALUACIÓN

1. Observa la gráfica de la función y = f(x) y responde.

a) ¿Cuál es la T.V.M. en los intervalos [0, 3] y [–4, –2]?

b) ¿Tiene algún punto de tangente horizontal?

c) ¿Para qué valores de x es f ' (x) > 0?

d)Sabemos que la tangente en el punto de abscisa x = 0 es paralela a la bi-sectriz del segundo cuadrante. ¿Cuánto vale f ' (0)?

a) T.V.M. [0, 3] = = = –

T.V.M. [–4, –2] = = = 2

b) Sí, P (–2, 4).

c) Si x < –2, f ' (x) > 0.

d) La recta y = –x (bisectriz del 2.º cuadrante) tiene pendiente igual a –1. Por tanto,f ' (0) = –1.

2. Dada f(x) = x2 – 3x, prueba que f ' (–2) = –7 aplicando la definición de deri-vada.

f ' (–2) =

f (–2) = (–2)2 – 3(–2) = 4 + 6 = 10

f (–2 + h) = (–2 + h)2 – 3(–2 + h) = 4 – 4h + h2 + 6 – 3h = h2 – 7h + 10

f (–2 + h) – f (–2) = h2 – 7h

= = h – 7

h – 7 = –7

Por tanto, f ' (–2) = –7.

límh 8 0

h2 – 7hh

f (–2 + h) – f (–2)

h

f (–2 + h) – f (–2)

hlím

h 8 0

4 – 0–2 + 4

f (–2) – f (–4)

–2 – (–4)

12

1/2 – 23

f (3) – f (0)

3 – 0

X1–1

1

–2 2 3

Y

–4


7UNIDAD

3. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) y = + b) y = · e–x

c) y = 3

d) y =

a) f ' (x) = –

b) f ' (x) = e–x + (–1)e–x = e–x

c) f ' (x) = 32

· = 2

= (3x – 5)2

d) f ' (x) = = = =

4. Escribe la ecuación de la tangente a la curva y = ln x2 en el punto de abscisax = 1.

Punto de tangencia: x = 1, y = ln 12 = 0 8 P (1, 0)

Pendiente de la recta tangente: f ' (x) = = 8 f ' (1) = 2

Ecuación: y = 0 + 2(x – 1) 8 y = 2x – 2

5. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f(x) = – x2 – 3x

f (x) = – x2 – 3x 8 f ' (x) = x2 – 2x – 3

Buscamos los valores de x para los que f ' (x) > 0 8 x2 – 2x – 3 > 0

Intervalos de crecimiento de f : (–@, –1) « (3, +@)

Intervalo de decrecimiento de f : (–1, 3)

La función tiene un máximo en x = –1 y un mínimo en x = 3.

–1 3

f '(x) > 0 f '(x) < 0 f '(x) > 0

x3

3

x3

3

2x

2xx2

x2 – 4xx2 – 4x + 4

x2 – 4x(x – 2)2

2x2 – 4x – x2

(x – 2)22x (x – 2) – x2

(x – 2)2

98)3x – 5

2(92

32)3x – 5

2()1 – x

3(x3

13

2x2

1

2√—x

x2

x – 2)3x – 52(

x3

2x

√x


6. Determina los puntos singulares de:

y =

de la cual conocemos sus asíntotas y la posiciónde la curva con respecto a ellas. Represéntala.

f (x) =

f ' (x) = =

= =

f ' (x) = 0 8 = 0 8 –x2 + 4x = 0

f (0) = = 2; f (4) = = –6

Los puntos singulares son (0, 2) y (4, –6). El primero es un mínimo y el segundo, unmáximo.

7. Representa la función y = x3 – 12x + 16.

y = x3 – 12x + 16 es una función polinómica, por ello es continua en Á.

• Ramas infinitas:

(x3 – 12x + 16) = +@

(x3 – 12x + 16) = –@límx 8 –@

límx 8 +@

2 X

Y

–2

42 – 2 · 4 + 42 – 4

0 – 0 + 42 – 0

x = 0

x = 4

–x2 + 4x(2 – x)2

–x2 + 4x(2 – x)2

(4x – 2x2 – 4 + 2x) + (x2 – 2x – 4)(2 – x)2

(2x – 2)(2 – x) – (x2 – 2x + 4) (–1)(2 – x)2

x2 – 2x + 42 – x

–2 2 X

Y

x2 – 2x + 42 – x


7UNIDAD

• Puntos singulares:

f ' (x) = 3x2 – 12

f ' (x) = 0 8 3x2 – 12 = 0

f (2) = 23 – 12 · 2 + 16 = 0 8 (2, 0)

f (–2) = (–2)3 – 12 (–2) + 16 = 32 8 (–2, 32)

Los puntos singulares son (2, 0) y (–2, 32).

Esta es su gráfica:

8. Estudia y representa y = .

f (x) =

• El dominio de esta función es Á.

• Asíntotas:

y = 0 es una asíntota horizontal.

Cuando x 8 +@, f (x) > 0 8 la curva está por encima de la asíntota.

Cuando x 8 –@, f (x) < 0 8 la curva está por debajo de la asíntota.

• Cortes con los ejes:

f (x) = 0 8 4x = 0 8 x = 0

La función corta a los ejes en el punto (0, 0).

• Extremos relativos:

f ' (x) = = =

f ' (x) = 0 8 –4x2 + 4 = 0 8 x2 = 1x1 = 1

x2 = –1

–4x2 + 4(x2 + 1)2

4x2 + 4 – 8x2

(x2 + 1)24(x2 + 1) – 4x · 2x

(x2 + 1)2

°§¢§£

lím f (x) = 0x 8 +@

lím f (x) = 0x 8 –@

4xx2 + 1

4xx2 + 1

32

4

1–2 X

Y

x = 2

x = –2


Así, observando la asíntota y el corte con el eje X, (1, 2) es un máximo relativo, y(–1, –2), un mínimo relativo.

La gráfica es:

9. La función f(x) = x2 + bx + c tiene un mínimo en x = 2 y pasa por (2, 2).Calcula b y c.

f (x) = x2 + bx + c

f ' (x) = 2x + b

• x = 2 es un mínimo:

f ' (2) = 0 8 2 · 2 + b = 0 8 b = –4

• Pasa por (2, 2):

f (2) = 2 8 22 – 4 · 2 + c = 2 8 c = 6

Así, la función es y = x2 – 4x + 6.

–1–2

2

X

Y

1


7UNIDAD

Unidad 8. Estadística 1

Página 205


La cantidad de información disponible es enorme

■ Sin duda conoces los censos municipales que se realizan, periódicamente, ca-da pocos años.

En cada uno de estos censos se recaban datos de cada vivienda de la poblaciónrelativos a la casa, a la unidad familiar que la habita y a cada uno de los miem-bros que la componen.

• Intenta recordar (o averiguar) algunos de los datos que se preguntan en elcenso de tu localidad.

• Imagina qué otras cosas preguntarías si fueras tú el encargado de realizar elcenso.

Por ejemplo domicilio, estudios realizados, año de nacimiento…

Página 209

1. Reparte los 80 datos del ejercicio resuelto anterior en 11 intervalos de longi-tud 9. Valen el origen del primero y el extremo del último.

[58,5-67,5)

INTERVALOS

63

[67,5-76,5) 72

[76,5-85,5) 81

[85,5-94,5) 90

[94,5-103,5) 99

[103,5-112,5) 108

[112,5-121,5) 117

[121,5-130,5) 126

[130,5-139,5) 135

4

8

8

9

8

10

11

8

7

[139,5-148,5) 144 4

[148,5-157,5) 153 3

MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS

ESTADÍSTICA8

2. Reparte los 80 datos del ejercicio resuelto anterior en el tramo 57,5 – 157,5, se-parándolo en 10 intervalos de 10 unidades cada uno.

Página 211

1. Calcula x–, q y C.V. en la distribución siguiente: tiempo que emplean en irde su casa al colegio un grupo de alumnos. (Recuerda: al intervalo (0, 5] le co-rresponde el valor 2,5; …).

x– = 12,5

q = 5,65

C.V. = 0,45 = 45%

2. Compara las desviaciones típicas de las distribuciones 1, 2, 3 y 4.

Al comparar dos de ellas, en caso de duda, pregúntate: ¿qué he de hacerle a estapara que se parezca a la otra?

Por ejemplo, para que la � se parezca a la �, hemos de achicar las columnas ex-tremas y aumentar la columna central. Por tanto, la � es más dispersa que la �.

xi fi

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

2

11

13

6

3

1

TIEMPO (min)

N.º DE ALUMNOS

(0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30]

2 11 13 6 3 1

[57,5-67,5)

INTERVALOS

62,5

[67,5-77,5) 72,5

[77,5-87,5) 82,5

[87,5-97,5) 92,5

[97,5-107,5) 102,5

[107,5-117,5) 112,5

[117,5-127,5) 122,5

[127,5-137,5) 132,5

[137,5-147,5) 142,5

4

9

9

9

12

11

10

7

6

[147,5-157,5) 152,5 3

MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS

Unidad 8. Estadística2

De menor a mayor desviación típica, se ordenarán así: �, �, �, �.

Página 212

1. Halla Q1, Me, Q3 y p40 en la distribución:

2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10

14 : 4 = 3,5

3,5 3,5 · 2 = 7 3,5 · 3 = 10,5

9 9 9

4.° 7.° – 8.° 11.°

Q1= 3; Me = 6,5; Q3 = 8

= 5,6 8 6.°

p40 es el individuo 6.°

p40 = 6

Página 213

2. En la siguiente distribución de notas, halla Me, Q1, Q3, p80, p90 y p99.

Me = p50 = 5; Q1 = p25 = 4; Q3 = p75 = 6; p80 = 6,5; p90 = 8; p99 = 10

xi

fi

1

7

2

15

3

41

4

52

5

104

6

69

7

26

8

13

9

19

10

14

Fi 7 22 63 115 219 288 314 327 346 360

EN % 1,94 6,11 17,5 31,94 60,83 80 87,22 90,83 96,11 100

NOTAS

N.º DE ALUMNOS

1

7

2

15

3

41

4

52

5

104

6

69

7

26

8

13

9

19

10

14

14 · 40100

1 2 3 4


8UNIDAD

1. Obtén la distribución de frecuencias acumuladas y representa el correspon-diente polígono, relativos a los datos de la tabla siguiente:

Página 215

2. Halla gráfica y numéricamente Q1, Me, Q3 y p90 en la distribución del ejer-cicio propuesto en la página anterior.

Q1 = 243,66%; Me = 275,12

Q3 = 309,86; p90 = 346,06

Página 216

1. Representa en un diagrama de caja las distribuciones y de la página212.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I

II

III

100

80

60

40

20

240 280 320 360 400200

%

Me Q3 P90Q1

EXTREMOS

200

240

280

320

360

400

Fi

0

57

139

212

243

258

EN %

0,00

22,09

53,88

82,17

94,19

100,00

INTERVALOS

FRECUENCIAS

200-240

57

240-280

82

280-320

73

320-360

31

360-400

15


2. Representa, mediante un diagrama de caja, las distribuciones de los ejerciciospropuestos 1 y 2 de las páginas 212 y 213.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


8UNIDAD


1 Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de 384 datos, cuyosvalores extremos son 19 y 187.

a) Si queremos que sean 10 intervalos de amplitud 17, ¿cuáles serán esos in-tervalos?

b)Haz otra distribución en 12 intervalos de la amplitud que creas conve-niente.

a) 187 – 19 = 168. Para que sea múltiplo de 10 8 170

170 – 168 = 2 8 Una unidad menos que el menor y una más que el mayor:

[18, 35); [35, 52); [52, 69); [69, 86); [86, 103); [103, 120); [120, 137); [137, 154);[154, 171); [171, 188].

b) 168 : 2 = 14 exacto. Amplitud = 14:

[19, 33); [33, 47); [47, 61); [61, 75); [75, 89); [89, 103); [103, 117); [117, 131); [131, 145); [145, 159); [159, 173); [173, 187].

2 La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una mismaclase es:

150, 169, 171, 172, 172, 175, 181

182, 183, 177, 179, 176, 184, 158

Calcula la mediana, los cuartiles, p15 y p90.

Primero los ordenamos:

150, 158, 169, 171, 172, 172, 175, 176, 177, 181, 182, 183, 184

Me = 175,5 Es el valor que deja por debajo de él al 50% de la población, y porencima, al otro 50%.

Q1 = 171 Es el valor que deja por debajo de él al 25% de la población, y porencima, al 75%.

Q3 = 181 Es el valor que deja por debajo al 75% de la población, y por enci-ma, al 25%.

p15 8 = 2,1. Es el 3.° 8 p15 = 169

p90 8 = 12,6. Es el 13.° 8 p90 = 18390 · 14

100

15 · 14100

PARA PRACTICAR


3 Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100 000 eurosy una desviación típica de 12 500 euros. En otra empresa B la media es15 000 euros y la desviación típica 2 500 euros. Calcula el coeficiente de va-riación y di cuál de las dos tiene mayor variación relativa.

C.V. (A ) = · 100 = 12,5%

C.V. (B ) = · 100 = 16,67%

Tiene mayor variación relativa la B.

4 El peso medio de los alumnos de una clase es 58,2 kg y su desviación típica3,1 kg. El de las alumnas de esa clase es 52,4 kg y su desviación típica es5,1 kg. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambosgrupos.

C.V. (chicos) = · 100 = 5,33%

C.V. (chicas) = · 100 = 9,73%

Hay mayor dispersión en el peso de las alumnas.

5 En una población de 25 familias se ha observado la variable X = “número decoches que tiene la familia” y se han obtenido los siguientes datos:

0, 1, 2, 3, 1 0, 1, 1, 1, 4 3, 2, 2, 1, 1

2, 2, 1, 1, 1 2, 1, 3, 2, 1

a) Construye la tabla de frecuencias.

b)Haz el diagrama de barras.

c) Calcula la media y la desviación típica.

d)Halla la mediana y los cuartiles.

e) Haz un diagrama de caja.

a) b)xi fi

0

1

2

3

4

2

12

7

3

1

25

5,152,4

3,158,2

qB–xB

qA–xA


8UNIDAD

fi

xi0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4

c) –x = 1,56 d) Me = 1 e)

q = 0,94 Q1 = 1; Q3 = 2

6 En la distribución de pesos de 500 personas se han obtenido los siguientesparámetros de posición:

Q1 = 62 kg, Me = 72 kg, Q3 = 78 kg

Di el número de personas cuyo peso:

a) Es menor que 78 kg.

b)Está comprendido entre 62 kg y 72 kg.

c) Es inferior a 62 kg.

a) El 75% de 500, es decir, 375 personas pesan menos de 78 kg.

b) 25% de 500 = 125 personas.

c) 25% de 500 = 125 personas.

7 Al preguntar a un grupo de personas cuánto tiempo dedicaron a ver televi-sión durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados:

Dibuja el histograma correspondiente y halla la media y la desviación típi-ca.

☛ Observa que los intervalos tienen distintas longitudes y recuerda que en un his-tograma las frecuencias han de ser proporcionales al área.

x– = 2,57; q = 1,93

1

5

10

15

20

2 3 4 5HORAS

6 7 8

TIEMPO (en horas)

[0; 0,5)

[0,5; 1,5)

[1,5; 2,5)

[2,5; 4)

[4, 8)

N.º DE PERSONAS

10

10

18

12

12

0 1 2 3 4

*


8 Este es el polígono de porcentajes acumulados de la distribución del CI (co-ciente intelectual) de un colectivo de 300 personas:

a) Trabajando sobre el gráfico, asigna, aproximadamente, los valores de:

Q1, Me, Q3, p5, p10, p40, p80, p90, p95

b) ¿Cuántas personas (aproximadamente) de este colectivo tienen un CIcomprendido entre 104 y 116?

¿Cuántas personas tienen un CI superior a 115?

c) ¿Qué percentil tiene una persona con un CI de 112?

a) Q1 = 105,5; Me = 110,5; Q3 = 113

p5 = 98, p10 = 101, p40 = 109, p80 = 114, p90 = 116, p95 = 117,5

b)Hay un 70% (90 – 20 = 70)

El 70% de 300 personas son 210 personas.

115 = p85 8 Hay un 15% (100 – 85 = 15).

El 15% de 300 personas son 45 personas.

c) 112 = p65

°¢£

104 = p20

116 = p90

95 100 105 110 115 120

%

50

100


8UNIDAD

9 Estos son los pesos (en kg) de 50 recién nacidos:

2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3

3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9

2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9

2,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,7

2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3

a) Haz una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg,comenzando en 1,6. Representa esta distribución.

b)Calcula la media y la desviación típica.

c) Calcula, a partir del polígono de porcentajes acumulados, Q1, Me, Q3,p40, p90, p95.

a)

b) x– = 2,89; q = 0,49

c)

Q1 = 2,3; Me = 2,85; Q3 = 3,18

p40 = 2,83; p90 = 3,55; p95 = 3,61

1,6

20

40

60

80

100

2 2,4 2,8 3,2

%

3,6 4

EXTREMOINTERVALO

1,6

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

PORCENTAJEACUMULADO

0

6

16

36

76

94

100

1,6

5

10

15

20

2 2,4 2,8 3,2PESO (kg)

3,6 4

fiINTERVALOS FRECUENCIAS

[1,6; 2)

[2; 2,4)

[2,4; 2,8)

[2,8; 3,2)

[3,2; 3,6)

[3,6; 4)

3

5

10

20

9

3

50

PARA RESOLVER


10 En una fábrica se ha medido la longitud de 1 000 piezas de las mismas carac-terísticas y se han obtenido estos datos:

a) Representa el histograma correspondiente.

b)Se consideran aceptables las piezas cuya longitud está en el intervalo [75, 86]. ¿Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas?

☛ Del segundo intervalo habrá que rechazar las que midan entre 72,5 y 75. Calcu-la qué tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia 75 – 72,5 y halla elporcentaje de la frecuencia correspondiente. Procede análogamente en el cuarto in-tervalo.

a)

b) En el intervalo 72,5-77,5:

75 – 72,5 = 2,5 8 = 47,5 piezas defectuosas

En el intervalo 82,5-87,5:

87,5 – 86 = 1,5 8 = 30 piezas defectuosas

En total el número de piezas defectuosas será:

5 + 47,5 + 30 + 10 = 92,5

que representa el 9,2% del total.

100 · 1,55

95 · 2,55

67,5

100

200

300

400

500

600

700

800

72,5 77,5 82,5 87,5LONGITUD (mm)

NÚMERODE PIEZAS

92,5

LONGITUD(en mm)

67,5 - 72,5

72,5 - 77,5

77,5 - 82,5

82,5 - 87,5

87,5 - 92,5

NÚMERODE PIEZAS

5

95

790

100

10


8UNIDAD

11 Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de res-puestas correctas se refleja en la siguiente tabla:

a) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 20 y 85.

b) ¿Cuál es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?

c) Halla x–, q y C.V.

a) Hacemos las tablas de frecuencias:

Me = 40 + · (50 – 40) = 43,33

Q1 = 20 + · (30 – 20) = 26,66

Q3 = 50 + · (60 – 50) = 59,41

p20 = 20 + · (30 – 20) = 22,66

p85 = 60 + · (70 – 60) = 66,88

b) 65 = 60 + · (70 – 60) 8 k = 82,5

c) x– = 42,67; q = 20,52; C.V. = 0,48

k – 75,8313,33

85 – 75,8313,33

20 – 16,6712,5

75 – 61,6714,17

25 – 16,6712,5

50 – 44,1717,5

EXTREMOS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Fi

0

40

100

175

265

370

455

535

600

EN %

0,00

6,67

16,67

29,17

44,17

61,67

75,83

89,17

100,00

INTERVALO

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

fi

40

60

75

90

105

85

80

65

EN %

6,67

10,00

12,50

15,00

17,50

14,17

13,33

10,83

600 100,00

RESPUESTASCORRECTAS

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

N.º DEPERSONAS

40

60

75

90

105

85

80

65


12 En la fabricación de un vino, se le añade un compuesto químico.

En la tabla aparece la concentración de este com-puesto en 200 botellas.

a) Calcula la media y la desviación típica.

b)Se estima que el vino no se debe consumir si laconcentración de ese compuesto es superior a20,9 mg/l.

Según esto, ¿qué porcentaje de botellas no es adecuado para el consumo?

a) x– = 20,52

q = 0,2

b) 21 – 20,9 = (21 – 20,8)

Son = 7 botellas de cada 200, un 3,5%.

13 De una muestra de 75 pilas eléctricas, se han obtenido estos datos sobre suduración:

a) Representa los datos gráficamente.

b)Calcula la media y la desviación típica.

c) ¿Qué porcentaje de pilas hay en el intervalo (–x – q, –x + q)?

d)Calcula Q1, Me, Q3, p30, p60, p95.

a)

25

5

10

15

20

25

30

30 35 40 45HORAS

50 55 60 65 70

TIEMPO (en horas)

[25, 30)

[30, 35)

[35, 40)

[40, 45)

[45, 55)

[55, 70)

N.º DE PILAS

3

5

21

28

12

6

142

12

CONCENT.(mg/l )

[20; 20,2)

[20,2; 20,4)

[20,4; 20,6)

[20,6; 20,8)

[20,8, 21)

NÚMERODE BOTELLAS

15

38

76

57

14


8UNIDAD

b) x– = 42,63; q = 7,98

c) x– – q = 34,65; x– + q = 50,61

En el intervalo [30, 35):

35 – 34,65 = 0,35 8 = 0,35

En el intervalo [45, 55):

50,61 – 45 = 5,61 8 = 6,73

En total:

0,35 + 21 + 28 + 6,73 = 56,08

Por tanto, en el intervalo (x– – q, x– + q) hay un · 100 = 74,77% del totalde pilas.

d) Q1 = 37,55; Me = 41,51; Q3 = 44,87; p30 = 38,45; p60 = 42,86; p95 = 60,63

14 Las estaturas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente ta-bla:

a) Calcula la media y la desviación típica.

b)Di el valor de la mediana y de los cuartiles.

c) ¿Qué centil corresponde a una estatura de 180 cm?

a) n = 40, Sx = 6 980 8 x– = 174,5

Sx2 = 1 219 370 8 q = 5,83

b) Me = 174,6; Q1 = 170,3; Q2 = 178,1

c) A 180 cm le corresponde el centil 82.

Página 223

15 En la distribución de las notas de un examen el primer cuartil fue 4. ¿Quésignifica esto?

Por debajo de 4 quedaron un 25%.


INTERVALOS

158,5 - 163,5

163,5 - 168,5

168,5 - 173,5

173,5 - 178,5

178,5 - 183,5

183,5 - 188,5

N.º DE ALUMNOS

1

5

11

14

6

3

56,0875

5,61 · 1210

0,35 · 55


16 La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido 6,8, yla de los suspensos, 3,5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo35 aprobados y 15 suspensos.

238 + 52,5 = 290,5

290,5 : (35 + 15) = 290,5 : 50 = 5,81

La nota media fue de 5,81.

17 La estatura media de los 38 alumnos y alumnas de una clase es de 168 cm.Las chicas, que son 17, miden 162 cm de media. Calcula la estatura media delos chicos.

6384 – 2 754 = 3 630

3 630 : (38 – 17) = 3 630 : 21 = 172,85

La estatura media de los chicos es 172,85 cm.

18 Justifica que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1.

S f ri = S = Sfi = · n = 1

19 Completa la tabla de esta distribución en la que sabemos que su media es 2,7.

= 2,7

= 2,7 8 44 + 2f2 = 40,5 + 2,7f2 8 3,5 = 0,7 f2 8 f2 = 5

Luego la tabla queda:

20 Dos distribuciones estadísticas, A y B, tienen la misma desviación típica.

a) Si la media de A es mayor que la de B, ¿cuál tiene mayor coeficiente devariación?

b)Si la media de A es doble que la de B, ¿cómo serán sus coeficientes devariación?

a) B.

b) El coeficiente de variación de A es la mitad que el de B.

xi

fi

1

3

2

5

3

7

4

5

44 + 2f215 + f2

3 · 1 + f2 · 2 + 7 · 3 + 5 · 4

3 + f2 + 7 + 5

xi

fi

1

3

2

…

3

7

4

5

1n

1n

fin

°¢£

17 · 162 = 2 754

38 · 168 = 6 384

°¢£

6,8 · 35 = 238

3,5 · 15 = 52,5


8UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

1. Las estaturas de los componentes de tres equipos in-fantiles de baloncesto, A, B, C, se distribuyen segúnlas gráficas y con los parámetros que se dan a conti-nuación:

¿Qué gráfica corresponde a cada equipo? Contesta razonadamente.

A 8 B 8 C 8

2. Los pesos de 40 alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:

a) Representa gráficamente (histograma) y estima x– y q.

b)Calcula numéricamente x– y q yobtén el porcentaje de chicos quehay en el intervalo (x– – q, x– + q).

c) Calcula la mediana y los cuartiles yestima el centil que corresponde acada una de las siguientes medidas:40 kg, 50 kg, 60 kg, 70 kg.

a)

35,5 42,5 49,5 56,5 63,5

2

4

6

8 x– ≈ 53,5 kg

q ≈ 8 kg

10

70,5 77,5

12

INTERVALOS

35,5 - 42,5

42,5 - 49,5

49,5 - 56,5

56,5 - 63,5

63,5 - 70,5

70,5 - 77,5

N.º DE ALUMNOS

2

11

13

9

3

2

213

170

1

2

3

4 1 2 3

175 180 165

1

2

3

4

170 175 180 165

1

2

3

4

170 175 180 185

x–A

q

175

6,5

B

174,3

3,2

C

172,1

4,5


b)

x– = = 54,05 kg

q = = 8,36 kg

(x– – q, x– + q) = (45,69; 62,41)

Hay un 67% de la población en dicho intervalo.

c)

• Me está en el intervalo [49,5; 56,5).

= 8 x = ≈ 3,77

Me = 49,5 + 3,77 = 53,27 kg

• Q1 está en el intervalo [42,5; 49,5).

= 8 x = ≈ 5,09

Q1 = 42,5 + 5,09 = 47,59 kg

• Q3 está en el intervalo [56,5; 63,5):

= 8 x = ≈ 3,11

Q3 = 56,5 + 3,11 = 59,61 kg

• A 40 kg le corresponde el centil 3, aproximadamente.




7 · 1022,5

787,5 – 65

x75 – 65

7 · 2027,5

732,5 – 5

x25 – 5

7 · 17,532,5

765 – 32,5

x50 – 32,5

INTERVALOS

35,5 - 42,5

42,5 - 49,5

49,5 - 56,5

56,5 - 63,5

63,5 - 70,5

70,5 - 77,5

xi

39

46

53

60

67

74

fi

2

11

13

9

3

2

Fi

2

13

26

35

38

40

EN %

5

32,5

65

87,5

95

100

MARCAS DE CLASE fi

39

46

53

60

67

74

2

11

13

9

3

2

40

fi · xi

78

506

689

540

201

148

fi · xi2

3042

23276

36517

32400

13467

10952

2162 119654

119 654√—– 54,052

40

2 16240


8UNIDAD

3. En una fábrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de algunos de ellos yse obtiene:

22, 20, 18, 15, 19 22, 16, 19, 23, 18

17, 23, 23, 21, 18 20, 22, 18, 25, 23

22, 22, 19, 19, 20 21, 18, 24, 17, 20

19, 23, 21, 23, 21 20, 19, 21, 20, 22

19, 20, 18, 21, 19 18, 20, 22, 21, 19

a) Haz una tabla de frecuencias con datos aislados: 15, 16, …, 23, 24, 25. Cal-cula x–, q, Q1, Me, Q3.

b)Haz una nueva tabla agrupando los valores en seis intervalos de extremos14,5-16,5-18,5-20,5-22,5-24,5-26,5. Vuelve a calcular x–, q, Q1, Me, Q3.

c) ¿Qué centil corresponde a 24 mm en cada una de las dos distribuciones?

a)

x– = = 20,2 mm

q = = 2,12 mm

Me = 20 mm

Q1 = 19 mm

Q3 = 22 mm

b)

• x– = = 20,22 mm

q = = 2,22 mm20688,5√—– 20,222

50

1 01150

INTERVALOS

14,5 - 16,5

16,5 - 18,5

18,5 - 20,5

20,5 - 22,5

22,5 - 24,5

24,5 - 26,5

xi

15,5

17,5

19,5

21,5

23,5

25,5

fi

2

9

17

14

7

1

fi · xi

31

157,5

331,5

301

164,5

25,5

fi · xi2

480,5

2 756,25

6 464,25

6 471,5

3 865,75

650,25

50 1 011 20 688,5

EN %

4

22

56

84

98

100

Fi

2

11

28

42

49

50

xi fi

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

1

1

2

7

9

8

7

7

6

1

1

50

fi · xi

15

16

34

126

171

160

147

154

138

24

25

fi · xi2

225

256

578

2268

3249

3200

3087

3388

3174

576

625

1010 20626

Fi

1

2

4

11

20

28

35

42

48

49

50

20 626√— – 20,22

50

1 01050


• La mediana está en el intervalo [18,5; 20,5).

= 8 x = ≈ 1,65

Me = 18,5 + 1,65 = 20,15 mm


= 8 x = ≈ 0,18

Q1 = 18,5 + 0,18 = 18,68 mm


= 8 x = ≈ 1,36

Q3 = 20,5 + 1,36 = 21,86 mm

c) • Con datos aislados.

Si x1 = 24 8 Fi = 49 8 le corresponde un porcentaje acumulado del 98%.

Por tanto: p98 = 24 mm

• Con datos agrupados.

Nos fijamos en el intervalo [22,5; 24,5):

= 8 x = = 10,5

El percentil correspondiente a 24 mm es: 84 + 10,5 = 94,5

1,5 · 142

24 – 22,52

x98 – 84

2 · 1928

284 – 56

x75 – 56

2 · 334

256 – 22

x25 – 22

2 · 2834

256 – 22

x50 – 22


8UNIDAD

Unidad 9. Distribuciones bidimensionales 1

Página 225


Relación funcional y relación estadística

En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que secitan, hay relación funcional o relación estadística (correlación) y, en este últimocaso, indicar si es positiva o negativa:

• En un conjunto de familias: estatura media de los padres – estatura media delos hijos.

Correlación positiva.

• Temperatura a la que calentamos una barra de hierro – longitud alcanzada.

Funcional.

• Entre los países del mundo respecto a España: volumen de exportación – volu-men de importación.

Correlación negativa.

• Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil – número de médicospor cada 1 000 habitantes.


• En las viviendas de una ciudad: kWh consumidos durante enero – coste del reci-bo de la luz.

Funcional.

• Número de personas que viven en cada casa – coste del recibo de la luz.


• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidosperdidos.


• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidosganados.


DISTRIBUCIONESBIDIMENSIONALES9

Ejemplo de relación funcional

Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que al-canza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerzaactúa en un tramo de 1 m).

a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con unafuerza de 110 newton?

b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza lapiedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con quees impulsada hacia arriba?

a) 4,5 m

b) Altura = – 1 para F ≥ 20

Obtención física de la fórmula:

La fórmula en la que se basa todo el desarrollo posterior es:

v =

donde v : Aumento de la velocidad en el tramo d.

a : Aceleración constante con la que se mueve el móvil.

d : Espacio que recorre con la aceleración a.

Así, la velocidad con que sale de la mano es:

vs = =

Además:

F = m (a + g) 8 a = – g = – 10

Luego:

vs = = √F – 20F√2(— – 10)2

F2

Fm

√2a√2a 1

√2ad

F20

ALTURA(m)

FUERZA(N)

50

1

5

10020

6

2

3

4

10

Unidad 9. Distribuciones bidimensionales2

Por otra parte, si se deja caer una piedra desde una altura h, adquiere una velocidad:

vs =

O bien, si se empuja una piedra hacia arriba de modo que salga con una velocidadvs, alcanza una altura h.

En este caso:

vs = =

Igualando:

= 8 h = – 1

Para que h Ó 0, debe ser F Ó 20.

Ejemplo de relación estadística

En la siguiente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estaturade su padre, y la ordenada, su propia altura.

a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito.

b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón.

c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 15 chi-cos y las de sus padres?

a) Guille y Gabriel están representados por los puntos (160, 175) y (160; 177,5)

b) Sergio está representado por el punto (192,5; 172,5).

c) En general, sí.

ESTATURA HIJOS

ESTATURAPADRES

190

180

170

160

160 170 180 190

F20

√20h√F – 20

√20h√2 · 10 · h

√2gh


9UNIDAD

1. La tabla de la derecha muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, C…,según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Re-presenta los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y dicómo te parece la correlación.

La correlación es negativa y moderada-mente alta (– 0,62).

Página 229

1. Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las dis-tribuciones de la página 226:

Matemáticas – Filosofía Distancia – Número de encestes

Hazlo también con una calculadora con MODO LR.

Matemáticas-Filosofía:

–x = = 6

–y = = 5,25

qx = = 2,45

qy = = 1,92

qxy = – 6 · 5,25 = 2,75

Por tanto: r = = 0,582,75

2,45 · 1,92

41112

√ 375 – 5,252

12

√ 504 – 62

12

6312

7212

2

2

4

6

8

10

4 6 8 10 12

I.N.

R.P.C.

PAÍSES

R.P.C.

I.N.

A B C D E F G H I J

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 6 9 5 7 4 1 3 8 2


xi

2

3

4

4

5

6

6

7

7

8

10

10

yi

2

5

2

7

5

4

6

6

7

5

5

9

xi2

4

9

16

16

25

36

36

49

49

64

100

100

yi2

4

25

4

49

25

16

36

36

49

25

25

81

xiyi

4

15

8

28

25

24

36

42

49

40

50

90

72 63 504 375 411

Distancia-Número de encestes:

–x = = 4,5 –y = = 4

qx = = 2,29

qy = = 3,71

qxy = – 4,5 · 4 = –8

Por tanto: r = = –0,94–8

2,29 · 3,71

808

√ 238 – 42

8

√ 204 – 4,52

8

328

368


9UNIDAD

xi

1

2

3

4

5

6

7

8

yi

9

10

6

4

2

0

1

0

xi2

1

4

9

16

25

36

49

64

yi2

81

100

36

16

4

0

1

0

xiyi

9

20

18

16

10

0

7

0

36 32 204 238 80


Sin fórmulas

1 Para cada uno de los siguientes casos indica:

• Cuáles son las variables que se relacionan.

• Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística y, en es-tos casos, el signo de la correlación.

a) Renta mensual de una familia-gasto en electricidad.

b) Radio de una esfera-volumen de esta.

c) Litros de lluvia recogidos en una ciudad-tiempo dedicado a ver la televi-sión por sus habitantes.

d) Longitud del trayecto recorrido en una línea de cercanías-precio del bi-llete.

e) Peso de los alumnos de 1-º de Bachillerato-número de calzado que usan.

f ) Toneladas de tomate recogidas en una cosecha-precio del kilo de tomateen el mercado.

a) Renta (€), gasto (€).


b) Relación funcional.

c) Relación estadística. Seguramente muy débil. Positiva (¿cabe pensar que cuantomás llueva más tiempo pasarán en casa y, por tanto, más verán la televisión?).

d) Aunque lo parezca a priori, seguramente la relación no es funcional. Es una co-rrelación positiva fuerte.

e) Correlación positiva.

f) Correlación negativa (cuanto mayor sea la cosecha, más baratos están los toma-tes).

2 a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bi-dimensionales:

A

5

10

5

10

B

5

10

5

10

C

5

10

5

10

D

5

10

5

10

PARA PRACTICAR


b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlaciónnegativa?

c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresiónanalítica de la función que relaciona las dos variables?

d) Ordena de menor a mayor las correlaciones.

a)

b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa.

c) La A es relación funcional: y = 12 – 2x.

d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).

3 Los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales queaparecen a continuación son, en valor absoluto, los siguientes:

0,55 0,75 0,87 0,96

Asigna a cada uno el suyo, cambiando el signo cuando proceda:

a) b)

C 10

5

5 10

D 10

5

5 10

A 10

5

5 10

B 10

5

5 10


9UNIDAD

a) r = 0,96 b) r = –0,75 c) r = 0,55 d) r = –0,87

4 Representa la nube de puntos correspondiente a esta distribución y di cuán-to vale el coeficiente de correlación.

El coeficiente de correlación vale –1.

5 Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos trespuede ser el coeficiente de correlación:

a) r = 0,98

b) r = –0,87

c) r = 0,5

c) r = 0,5

9

7

5

3

1

2 4 6 8 9 X

Y

x

y

0

1

1

4

2

6

3

2

3

4

4

8

5

6

6

5

7

3

8

6

9

9

10

6 X

Yx

y

1

10

2

8

3

6

4

4

5

2

6

0

a) b)


6 Las estaturas de 10 chicas y las de sus respectivas madres son:

Representa los valores, sobre papel cuadriculado, mediante una nube depuntos.

Traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativay si es más o menos fuerte de lo que esperabas.

La correlación es positiva y fuerte.

Página 239

Con fórmulas

7 Esta es la distribución bidimensional dada en el ejercicio 2B) mediante unanube de puntos:

Halla:

a) x–, y–, qx, qy, qxy.

b)El coeficiente de correlación, r. Interprétalo.

c) Las dos rectas de regresión.

n = 12, Sx = 59 Sy = 59

Sx2 = 401 Sy2 = 389 Sxy = 390

a) x– = 4,92 y– = 4,92

qx = 3,04 qy = 2,87 qxy = 8,33

x

y

0

0

1

2

2

2

3

4

4

3

4

6

5

4

6

5

7

7

8

7

9

9

10

10

150

160

170

180

Y

X150 160 170 180

xi

yi

158

163

162

155

164

160

165

161

168

164

169

158

172

175

172

169

174

166

178

172


9UNIDAD

b) r = = 0,95. Se trata de una correlación fuerte y positiva.

c) Recta de regresión de Y sobre X :

= 0,90 8 y = 4,92 + 0,9(x – 4,92)

Recta de regresión de X sobre Y :

= 1,01 8 y = 4,92 + (x – 4,92) 8 y = 4,92 + 0,99(x – 4,92)

8 Observa la distribución D del ejercicio 2.

a) Descríbela mediante una tabla de valores.

b)Realiza los cálculos para obtener su coeficiente de correlación.

c) Representa los puntos en tu cuaderno. Halla la ecuación de la recta de re-gresión de Y sobre X y represéntala.

a)

b) n = 10 Sx = 49 x– = = 4,9

Sy = 50 y– = = 5

Sx2 = 301 qx = = 2,47

Sy2 = 310 qy = = 2,45

Sxy = 199 qxy = – 4,9 · 5 = –4,6

r = = –0,76

c) Recta de regresión de Y sobre X :

y = 5 – (x – 4,9) 8 y = 8,675 – 0,75x

10

5

5 10 X

Y

4,66,1

4,62,47 · 2,45

19910

301√— – 52

10

301√— – 4,92

10

5010

4910

x

y

1

5

2

8

3

7

4

6

4

9

5

4

6

5

7

2

8

3

9

1

11,01

qxy

qy2

qxy

qx2

qxy

qxqy


9 a) Representa la siguiente distribución bidimensional:

b)Comprueba con la calculadora que sus parámetros son:

x– = 4,4 y– = 4,9qxy = 3,67

qx = 2,77 qy = 2,31 r = 0,57

c) Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y so-bre X, y represéntalas junto con la nube de puntos.

a) Representada en el ejercicio 5.

b) Se comprueba.

c) • Recta de regresión de Y sobre X :

myx = = = 0,48 8 y = 4,9 + 0,48(x – 4,4) 8 y = 0,48x + 2,79

• Recta de regresión de X sobre Y :

mxy = = = 0,69 8 = 1,45 8 y = 4,9 + 1,45(x – 4,4) 8

8 y = 1,45x – 1,48

10 Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17,21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de regresión esy = 10,5 + 3,2x.

Calcula ^y (13), ^y (20), ^y (30), ^y (100).

¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál nose debe hacer?

Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo: ^y (13) = 52,1.Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea pró-ximo a 52).

9 X sobre Y

Y sobre X

5

5 9 X

Y

1mxy

3,672,312

qxy

qy2

3,672,772

qxy

qx2

x

y

0

1

1

4

2

6

3

2

3

4

4

8

5

6

6

5

7

3

8

6

9

9


9UNIDAD

^y (13) = 52,1; ^y (20) = 74,5; ^y (30) = 106,5; ^y (100) = 330,5

Son fiables ^y (13) e ^y (20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utili-zados para obtener la recta de regresión.

^y (30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él.

^y(100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].

11 La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centíme-tro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:

a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes porcentímetro cúbico en función del tiempo.

b) ¿Qué cantidad de gérmenes por centímetro cúbico cabe esperar que hayaa las 6 horas? ¿Es buena esta estimación?

a) y = 19,81 + 6,74x, donde: x 8 número horas, y 8 número de gérmenes

b)^y (6) = 60,25 ≈ 60 gérmenes.

Es una buena predicción, puesto que r = 0,999 (y 6 está cercano al intervalode valores considerado).

12 La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg, y lade sus estaturas, 170 cm. Sus desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm. La co-varianza es 40 kg · cm. Halla:

a) Coeficiente de correlación.

b)La recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas.

c) Estima el peso de un individuo de 180 cm de estatura perteneciente a esecolectivo.

a) r = 0,8

b) y = 65 + 0,4 (x – 170) = 0,4x – 3 8

c)^y (180) = 69 kg

13 En una zona residencial se ha tomado una muestra para relacionar el nú-mero de habitaciones que tiene cada piso (h) con el número de personasque viven en él (p). Estos son los resultados:

x : estaturas en cmy : pesos en kg

°¢£

N.° DE HORAS

N.° DE GÉRMENES

0

20

1

26

2

33

3

41

4

47

5

53

PARA RESOLVER


Represéntalos mediante una nube de puntos. Calcula el coeficiente de corre-lación e interprétalo.

h: número de habitaciones

p: número de personas

n = 10 Sh = 37 h–

= = 3,7

Sp = 35 p– = = 3,5

Sh2 = 149 qh = = 1,1

Sp2 = 145 qp = = 1,5

Shp = 144 qhp = – 3,7 · 3,5 = 1,45

r = = 0,88

Es una correlación positiva y fuerte (a más habitaciones, más personas en el piso).

14 La tabla adjunta relaciona el número atómico de varios metales con su den-sidad:

a) Representa los puntos y halla el coeficiente de correlación.

Elemento

N-º atómico

K

19

Densidad 0,86

Ca

20

1,54

Ti

22

4,50

V

23

5,60

Mn

25

7,11

Fe

26

7,88

Co

27

8,70

Ni

28

8,80

1,451,1 · 1,5

14410

145√— – 3,52

10

149√— – 3,72

10

3510

3710

1

1

2

3

4

5

2 3 4 5

6

6N-º DE HABITACIONES

N-º DE PERSONAS

h

p

2

1

2

2

3

2

3

3

4

3

4

4

4

5

5

4

5

5

5

6


9UNIDAD

b)Mediante una recta de regresión, estima la densidad del cromo si su nú-mero atómico es 24: Cr (24).

c) Estima la densidad del escandio: Sc (21).

a)

b) y c) ^y = –16,5 + 0,93x

^y (24) = 5,86

^y (21) = 3,06

Las densidades del Cr y del Sc son, aproximadamente, 5,86 y 3,01. (Los valoresreales de estas densidades son 7,1 y 2,9.)

Página 240

15 En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad depescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fue-ron los siguientes:

a) ¿Cuál es el precio medio registrado?

b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.

c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pes-casen 2 600 kg.

a) –y = 1,51 euros

b) r = –0,97. La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidadde pescado, menor es el precio por kilo.

c) La recta de regresión es y = 2,89 – 0,0005x.

^y (2 600) = 1,59 euros.

x (kg)

y (euros/kg)

2 000

1,80

2 400

1,68

2 500

1,65

3 000

1,32

2 900

1,44

2 800

1,50

3 160

1,20

19

123

8

21 23 25 27

r = 0,98

4567

9

N-º ATÓMICO

DENSIDAD


16 Durante 10 días, hemos realizado mediciones sobre el consumo de un coche(litros consumidos y kilómetros recorridos). Los datos obtenidos han sidolos siguientes:

a) Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

b) Si queremos hacer un viaje de 190 km, ¿qué cantidad de combustible de-bemos poner?

a) r = 0,99; y = 0,157 + 0,066x

b) ^y (190) = 12,697 litros. Debemos poner, como mínimo, unos 13 litros.

17 La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflaciónen 1987 fue:

a) Representa la nube de puntos.

b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.

c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC?

r = –0,24. La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fia-ble la tasa de inflación a partir del IPC (pues |r | es muy bajo).

18 El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87.

Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficien-te de correlación de esta nueva distribución?

El mismo, puesto que r no depende de las unidades; es adimensional.


0,5

4,5

6

1 1,5 2 2,5

5

5,5

6,5

I.P.C.

TASA DE INFLACIÓN

IPC

TASA DE INFLACIÓN

ENERO

0,7

6

FEBRERO

1,1

6

MARZO

1,7

6,3

ABRIL

2

6,2

MAYO

1,9

5,8

JUNIO

1,9

4,9

x (km)

y (l )

100

6,5

80

6

50

3

100

6

10

1

100

7

70

5,5

120

7,5

150

10

220

15


9UNIDAD

19 Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado ne-gativa.

Justifica por qué podemos afirmar que tanto el coeficiente de correlación comolas pendientes de las dos rectas de regresión son números negativos.

Hay que tener en cuenta que r = ; myx = ; mxy = y que qx Ó 0,

qy Ó 0 siempre.

Luego r, myx , mxy tienen el mismo signo que qxy . (Además, suponemos qx ? 0y qy ? 0.)

20 ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión?

El centro de gravedad de la distribución, ( –x, –y ).

21 ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la rec-ta de regresión sean fiables?

|r| debe estar próximo a 1.

22 Prueba que el producto de los coeficientes de regresión myx y mxy es igualal cuadrado del coeficiente de correlación.

myx · mxy = · = ( )2 = r2

23 De una distribución bidimensional (x, y) conocemos los siguientes resulta-dos:

• Recta de regresión de Y sobre X :

y = 8,7 – 0,76x

• Recta de regresión de X sobre Y :

y = 11,36 – 1,3x

a) Calcula el centro de gravedad de la distribución.

b) Halla el coeficiente de correlación.

a) El centro de gravedad, ( –x, –y ), es el punto de corte entre las dos rectas:

8,7 – 0,76x = 11,36 – 1,3x

0,54x = 2,66

x = 4,93

y = 4,95

El centro de gravedad es ( –x, –y ) = (4,93; 4,95).

°¢£

y = 8,7 – 0,76xy = 11,36 – 1,3x

qxy

qxq

y

qxy

qy2

qxy

qx2

qxy

qy2

qxy

qx2

qxy

qxq

y


b) Para hallar r tenemos en cuenta el ejercicio anterior:

r2 = myx · mxy = –0,76 · = 0,58 8 r = 0,76

24 La estatura media de 100 escolares de cierto curso de ESO es de 155 cm conuna desviación típica de 15,5 cm.

La recta de regresión de la estatura respecto al peso es:

y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura)

a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?

b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?

a) La recta de regresión es:

y = –y + m (x – –x ) = 155 + 1,5 (x – –x ) = 155 + 1,5x – 1,5–x = (155 – 1,5–x ) + 1,5x =

= 80 + 1,5x 8 155 – 1,5–x = 80 8 –x = 50 kg

b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).

Página 241

25 En una muestra de 64 familias se han estudiadoel número de miembros en edad laboral, x, y elnúmero de ellos que están en activo, y. Los re-sultados son los de la tabla. Calcula el coeficientede correlación lineal entre ambas variables e in-terprétalo.

r = 0,31. La relación entre las variables es débil.

26 Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre elnúmero de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales ylas ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CD):

CD (X )

CONCIERTOS (y )10 - 30 30 - 40 40 - 80

1 - 5

5 - 10

10 - 20

3

1

0

0

4

1

0

1

5

xy 1

6 0 0

10 2 0

12 5 1

16 8 4

2 3

1

2

3

4

PARA PROFUNDIZAR

1–1,3


9UNIDAD

a) Calcula el número medio de CD vendidos.

b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?

c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X.

d) Si un grupo musical vende 18 000 CD, ¿qué número de conciertos se pre-vé que dé?

x 8 CD; y 8 Conciertos

a) –x = 9,6 ≈ 10

b) r = 0,814

c) y = 13,51 + 2,86x

d)^y (18) = 64,99 ≈ 65 conciertos

Página 241

AUTOEVALUACIÓN

1. Observa estas distribuciones bidimensionales:

Asigna razonadamente uno de los siguientes coeficientes de correlación a ca-da gráfica:

0,2 –0,9 –0,7 0,6

La correlación de a) es positiva, y las de b) y c), negativas. En d) no se aprecia co-rrelación. La correlación de c) es más fuerte que la de b). Por tanto:

a) 8 0,6

b) 8 –0,7

c) 8 –0,9

d) 8 0,2

a) b)

c) d)


2. Representa esta distribución bidimensional:

a) Calcula los parámetros x–, y–, qx, qy, qxy.

b)Halla el coeficiente de correlación.

c) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

d)Estima el valor de y para x = 5 y para x = 10. ¿Son “buenas” estas esti-maciones?

a) x– = 5, y– = 6

qx = 2,8; qy = 2,7; qxy = 7,1

b) r = 0,95

c) y = 0,91x + 1,45

d) y^

(5) = 6, y^

(10) = 10,55

Las estimaciones son muy fiables porque r = 0,95 es un valor muy alto. Si se tratasede “notas” (de 0 a 10), la segunda estimación habría que “hacerla real” y darle el va-lor 10.

3. La recta de regresión de Y sobre X de una cierta distribución bidimensionales y = 1,6x – 3. Sabemos que x– = 10 y r = 0,8.

a) Calcula y–.

b)Estima el valor de y para x = 12 y para x = 50. ¿Qué estimación te pare-ce más fiable?

a) Puesto que la recta pasa por (x–, y–):

y– = 1,6x– – 3 = 1,6 · 10 – 3 = 13

b) y^

(12) = 1,6 · 12 – 3 = 16,2

y^

(50) = 1,6 · 50 – 3 = 77

La primera estimación es aceptable por ser 12 próximo a x– = 10 (carecemos deinformación sobre los valores que toma x ). La segunda estimación es muy pocosignificativa, pues 50 se separa demasiado de x–.

5 10

5

10

x

y

1

2

2

4

2

3

3

4

4

6

6

5

7

8

8

9

8

10

9

9


9UNIDAD

4. El consumo de energía per cápita y en miles de kWh y la renta per cápita xen miles de euros de seis países son:

a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X.

b) Halla el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta.

c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía per cápita deun país cuya renta per cápita es de 4,4 miles de euros?

Resolución

x– = 8,63, y– = 4,37

qx = 2,46, qy = 1,09, qxy = 2,51

a) Recta de regresión de Y sobre X:

y = 4,37 + (x – 8,63) 8 y = 0,79 + 0,41x

b) Coeficiente de correlación:

r = = 0,93

c) Para x = 4,4, estimamos el valor de y:

y^

(4,4) = 0,79 + 0,41 · 4,4 = 2,59

Se le estima un consumo de energía de 2,59 miles de Kw/h por habitante.

2,511,09 · 2,46

2,51

2,462

x

y

A

11,1

5,7

B

8,5

5,0

C

11,3

5,1

D

4,5

2,7

E

9,9

4,6

F

6,5

3,1


Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial 11

Página 243


Recorrido de un perdigón

■ Dibuja los recorridos correspondientes a:

C + C C, + C + C, + C C C, + + + +, C C + C

■ Observa que todos los recorridos que constan de 3 CARAS y 1 CRUZ llegan al mis-mo casillero.

Comprueba que ocurre lo mismo en los recorridos que tienen 2 CARAS y 2 CRU-CES o bien 1 CARA y 3 CRUCES.

Por eso, cada uno de los cinco casilleros queda caracterizado por el número deCARAS que se necesitan para llegar a él.

Dos caras y dos cruces significaría ir dos veces a la derecha y dos a la izquierda.

Una cara y tres cruces es una vez a la derecha y tres a la izquierda.

0 CARAS

1 CARA

2 CARAS

3 CARAS

4 CARAS

C + C C + C + C

+ + + + C C + C

+ C C C

DISTRIBUCIONESDE PROBABILIDADDE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL10

¿Cuántos perdigones en cada casillero?

■ ¿Cuáles son las probabilidades de que un perdigón caiga en cada uno de los 6casilleros en un aparato de Galton con 5 filas de topes?

Fila 5.a 8 1 5 10 10 5 1

■ ¿Y en un aparato de Galton con 6 filas?

Fila 6.a 8 1 6 15 20 15 6 1

Página 2461. En una bolsa hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de

que, al sacar tres de ellas, las tres sean impares?

a) Si las extracciones son con reemplazamiento.

b) Si las extracciones son sin reemplazamiento.

a)3

=

b) · · =

Página 2491. Completa la siguiente tabla y halla los parámetros μ y q:

μ = Spi xi = 3,1

q = = = 13,09√181 – 3,12√Spi xi2 – μ2

xi pi

0

10

50

100

0,90

0,06

0,03

0,01

1,00

pixi

0

0,6

1,5

1

pixi2

0

6

75

100

3,1 181

P [50] = 1 – (0,9 + 0,06 + 0,01) =

= 1 – 0,97 = 0,03

xi

pi

0

0,9

10

0,06

50 100

0,01

110

13

24

35

27125)3

5(

Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial12

2. Describe, mediante una tabla xi, pi, la distribución del “número de caras” allanzar 3 monedas. Halla los parámetros μ y q.

μ = Spi xi = 1,5

q = = = 0,87

3. En una lotería de 1 000 números se reparten los premios siguientes:

• A un número elegido al azar, 5 000 €.

• Al anterior y al posterior, 1 000 €.

• A los 99 que terminan en la misma cifra que el ganador, 10 €.

• Al resto de números, nada.

a) Haz la tabla con los valores 0, 10, 1 000 y 5 000 con sus correspondientesprobabilidades.

b)Calcula los parámetros μ y q.

a) No ganan nada 1 000 – 3 – 99 = 898

b) μ = Spi xi = 7,99

q = = = 164,15√27009,9 – 7,992√Spi xi2 – μ2

xi pi

0

10

1000

5000

0,898

0,099

0,002

0,001

1,000

pixi

0

0,99

2

5

pixi2

0

9,9

2 000

25 000

7,99 27 009,9

√3 – 1,52√Spi xi2 – μ2

xi pi

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

8/8 = 1

pixi

0

3/8

6/8

3/8

pixi2

0

3/8

12/8

9/8

12/8 = 1,5 24/8 = 3


10UNIDAD

¿Qué valores puede tomar la variable x en cada distribución de los ejemplos 1, 2,

3, 5 y 7 anteriores?

Ejemplo 1 8 x = 0, 1, 2, …, 10

Ejemplo 2 8 x = 0, 1, 2, …, 6

Ejemplo 3 8 x = 0, 1, …, 100

Ejemplo 5 8 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Ejemplo 7 8 x = 0, 1, …, 100

2. Inventa experiencias parecidas a las de los ejemplos 4 y 6, pero que sí sean bi-nomiales.

Por ejemplo:

4. Extraemos una carta de una baraja, vemos si es o no OROS y la devolvemos al ma-zo. Barajamos y extraemos otra carta. Repetimos la experiencia cinco veces.

n = 5; p = 0,1 8 B (5; 0,1)

6. Nos preguntamos cuántos partidos ganará un equipo A que juega con un equipoB , de modo que la probabilidad de ganar se mantenga constante los 6 partidosconsecutivos que jugarán.

n = 6; p = 0,5 8 B (6; 0,5)

Página 2531. En una distribución binomial B(10; 0,4), halla P [x = 0], P [x = 3], P [x = 5],

P [x = 10] y el valor de cada uno de los parámetros μ y q.

P [x = 0] = 0,610 = 0,006047

P [x = 3] = · 0,43 · 0,67 = 120 · 0,43 · 0,67 = 0,215

P [x = 5] = · 0,45 · 0,65 = 252 · 0,45 · 0,65 = 0,201

P [x = 10] = 0,410 = 0,000105

μ = 10 · 0,4 = 4

q = = = = 1,55

2. Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6 caras.Halla los valores de μ y q.

Se trata de una distribución binomial con n = 7 y p = 0,5 8 B (7; 0,5)

P [x = 3] = · (0,5)3 · (0,5)4 = 35 · 0,125 · 0,0625 ≈ 0,273)73(

√2,4√10 · 0,4 · 0,6√n p q

)105(

)103(


P [x = 5] = · (0,5)5 · (0,5)2 = 21 · 0,03125 · 0,25 ≈ 0,164

P [x = 6] = · (0,5)6 · (0,5) = 7 · 0,015625 · 0,5 ≈ 0,0547

μ = n p = 7 · 0,5 = 3,5

q = = ≈ 1,323

Página 2551. Un profesor de idiomas tiene una clase con cuatro alumnos adultos. De los 100 dí-

as de clase, asisten 4, 3, 2, 1 o ninguno de ellos, según la tabla adjunta. Ajusta losdatos a una distribución binomial y di si te parece que el ajuste es bueno o no.

La media es –x = 2,79.

Como n = 4, –x = np 8 2,79 = 4p 8 p = 0,6975

Si fuera una binomial, p = 0,6975 sería la probabilidad de que uno cualquiera de losalumnos asistiera un día a clase. q = 0,3025.

Con este valor de p se obtiene la siguiente tabla:

La mayor de las diferencias es 10. Es demasiado grande en comparación con el total,100. Hemos de rechazar la hipótesis de que se trata de una binomial.

xi

f i

4 3 2 1 0

23 48 17 9 3

√7 · 0,5 · 0,5√n p q

)76(

)75(


10UNIDAD

xi pi = P [x = xi ] 100 · piVALORES VALORES

|DIFERENCIAS|ESPERADOS OBSERVADOS

0 q 4 = 0,008 0,8 1 3 2

1 4 p q 3 = 0,077 7,7 8 9 1

2 6 p2 q 2 = 0,267 26,7 27 17 10

3 4 p3 q = 0,411 41,1 41 48 7

4 p4 = 0,237 23,7 24 23 1


Cálculo de probabilidades

1 Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de ob-tener:

a) 2 ases.

b)Ningún as.

c) Algún as.

a) · =

b) · =

c) 1 – =

2 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras que salen. Calcula laprobabilidad de obtener:

a) Una cara.

b) Más de una cara.

a) 3 · 3

=

b) P [dos caras] + P [tres caras] = 3 · 3

+ = =

3 En un examen hay que contestar a 2 temas elegidos al azar entre 30. Unalumno ha estudiado solo 12 de los 30 temas. Halla la probabilidad de que:

a) El alumno haya estudiado los dos temas elegidos.

b)Solo haya estudiado uno de los dos temas elegidos.

c) No haya estudiado ninguno de los dos temas elegidos.

a) P [sepa el 1.° y el 2.°] = P [sepa el 1.°] · P [sepa el 2.°/sabía el 1.°] =

= · = = 0,15

b) P [solo uno] = 2 · P [sepa el 1.° y no el 2.°] = 2 · · = = 0,50

c) P [ninguno] = · = = 0,3551145

1729

1830

72145

1829

1230

22145

1129

1230

12

48

18)1

2(38)1

2(

526

2126

2126

3539

3640

1130

339

440

PARA PRACTICAR


4 En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bo-las numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se extrae unabola de la urna A, y si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. Calcula laprobabilidad de que la bola extraída sea:

a) La que lleva el número 5.

b)La que lleva el número 8.

c) Una que lleve un número par.

Hacemos un diagrama en árbol para calcular fácilmente las probabilidades:

a) P [5] = · = = 0,1

b) P [8] = · = = 0,125

c) P [par] = 2 · · + 2 · · = = 0,45

5 Extraemos al azar una ficha de un dominó normal (28 fichas) y sumamoslos puntos de sus dos mitades.

Calcula la probabilidad de que la suma de puntos sea 6.

Hay 4 fichas en las que la suma de puntos es 6:

0–6 1–5 2–4 3–3

El total de fichas es 28, luego la probabilidad pedida es:

= ≈ 0,1417

428

920

14

12

15

12

18

14

12

110

15

12

1

2

3

4

5

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5A

P [cara] =

1/2

6

7

8

9

1/4

1/41/4

1/4

B

P [cruz] = 1/2


10UNIDAD

6 Una fábrica tiene tres máquinas que fabrican tornillos. La máquina A pro-duce el 50% del total de tornillos; la máquina B, el 30%, y la C, el 20%. De lamáquina A salen un 5% de tornillos defectuosos; de la B, un 4%, y de la C,un 2%.

Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso.

Hacemos un diagrama en árbol:

Distribuciones de probabilidad7 Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros:

0,1 + 0,3 + P [2] + 0,1 = 1 8 P [2] = 0,5

μ = S xi pi = 1,6

q = = = 0,8

8 Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases (0, 1 ó 2).

a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?

b) Calcula la media y la desviación típica.

a) b) μ = 0,2; q = 0,42

xi pi xi pi pi xi2

0 0,1 0 0

1 0,3 0,3 0,3

2 0,5 1 2

3 0,1 0,3 0,9

S xi pi = 1,6 S pi xi2 = 3,2

√0,64√3,2 – 1,62

xi

pi

0 1 2 3

0,1 0,3 … 0,1

A

C

B

0,5

0,05

0,04

0,02

0,2

0,3

defectuoso

no defectuoso

defectuoso

no defectuoso

defectuoso

no defectuoso

P [defectuoso] = 0,5 · 0,05 + 0,3 · 0,04 + 0,2 · 0,02 = 0,041


xi 0 1 2

pi · 2 · · ·

339

440

3639

440

3539

3640

9 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz unatabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media yla desviación típica.

μ = 1,5; q = 0,87

10 Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 28 fichas de un dominó. Si encada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las po-sibles sumas 0, 1, 2, …, 10, 11 y 12 con probabilidades distintas. Haz la tablacon la distribución de probabilidades y calcula μ y q.

μ = 6; q = 3

11 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extrac-ciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas.

a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.

b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento.

a)

b)

0

1/8

2/8

3/8

1 2 3

pi

xi


10UNIDAD

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

pi

128

128

228

228

328

328

428

328

328

228

228

128

128

xi 0 1 2

pi · 2 · · ·

29

310

79

310

69

710

xi 0 1 2

pi ( )2 2 · · ( )23

10710

310

710

xi 0 1 2 3

pi

18

38

38

18

12 En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bo-las numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bolade A, y si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola.

a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.

b) Represéntala gráficamente.

c) Calcula μ y q.

a)

b)

c) μ = 5,25; q = 2,59

13 En las familias con 4 hijos e hijas, nos fijamos en el número de hijas.

a) Haz la tabla con las probabilidades suponiendo que la probabilidad deque nazca un niño o una niña es la misma.

b)Represéntala gráficamente y halla la media y la desviación típica.

a)

b) μ = 2

q = 1

0

1/16

2/16

3/16

4/16

5/16

6/16

1 2 3 4

pi

xi

1

0,1

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9

pi

xi


xi 1 2 3 4 5

pi · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1

15

12

15

12

15

12

15

12

15

12

xi 6 7 8 9

pi · = 0,125 0,125 0,125 0,125

14

12

xi 0 1 2 3 4

pi

116

416

616

416

116

Distribución binomial

14 Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomialy di los valores de n, p, μ y q.

a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respues-tas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el nú-mero de preguntas acertadas?

b)En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las res-puestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos pregunta-mos cuántas de ellas acertará.

c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.

d)El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque seael reintegro. En una familia juegan a 46 números.

e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Nú-mero de soldaduras defectuosas que habrá.

a) B 50; ; μ = = 16,67; q = 3,33

b) B 30; ; μ = 10; q = 2,58 relativo a las que contesta al azar

c) B 400; ; μ = 200; q = 10

d) B (46; 0,11); μ = 5,06; q = 2,12

e) B (1 000; 0,01); μ = 10; q = 3,15

15 En una distribución binomial B(7; 0,4) calcula:

a) P [x = 2] b) P [x = 5] c) P [x = 0]

d) P [x > 0] e) P [x > 3] f) P [x < 5]

a) · 0,42 · 0,65 = 0,261 b) · 0,45 · 0,62 = 0,077

c) 0,67 = 0,028 d) 1 – P [x = 0] = 0,972

e) 0,290 f ) 0,904

16 En una distribución binomial B (9; 0,2) calcula:

a) P [x < 3] b) P [x Ó 7] c) P [x ? 0] d) P [x Ì 9]

a) P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,738

b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000314

c) 1 – P [x = 0] = 1 – 0,134 = 0,866

d) 1

)75()7

2(

)12()1

3(503)1

3(


10UNIDAD

17 Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas,de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente 4 preguntas?

b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas?

c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.

x es B 10;

a) P [x = 4] = · 0,254 · 0,756 = 0,146

b) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =

= 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474

c) P [x = 0] = 0,7510 = 0,056

18 La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea de-fectuoso, es 0,2. Si se revisan cinco aparatos, calcula:

a) P [ninguno defectuoso].

b)P [alguno defectuoso].

x es B (5; 0,2)

a) P [x = 0] = 0,85 = 0,328

b) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,328 = 0,672

19 Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtenercruz en un lanzamiento es 0,4. La lanzamos cinco veces y anotamos el nú-mero de cruces.

Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala gráfica-mente y calcula su media y su desviación típica.

x es B (2; 0,4)

μ = 0,8

q = 0,69

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1 2

pi

xi

xi 0 1 2

pi 0,36 0,48 0,16

PARA RESOLVER

)104()1

4(


20 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extrac-ciones con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Dos verdes.

b)Ninguna verde.

c) Una verde.

Repite el problema con extracciones sin reemplazamiento.

Con reemplazamiento:

a) · = 0,04 b) · = 0,64 c) 2 · · = 0,32

Sin reemplazamiento:

a) · = 0,0)2 b) · = 0,6

)2 c) 2 · · = 0,3

)5

21 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota sucolor y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula laprobabilidad de obtener:

a) Tres rojas. b)Menos de tres rojas.

c) Más de tres rojas. d)Alguna roja.

Si consideramos éxito = “sacar roja”, x es B (5; 0,3)

a) P [x = 3] = · 0,33 · 0,72 = 0,1323

b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] =

= 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 ≈ 0,8369

c) P [x > 3] = 1 – P [x Ì 3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308

d) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,75 = 0,8319

22 En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el 2% son defectuo-sos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad deque en una caja haya este número de tornillos defectuosos:

a) Ninguno. b)Uno. c) Más de dos.

¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?

x es B (50; 0,02)

a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364

b) P [x = 1] = 50 · 0,02 · 0,9849 = 0,372

c) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =

= 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078

Por término medio, habrá μ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja.

)53(

89

210

79

810

19

210

810

210

810

810

210

210


10UNIDAD

23 Un tipo de piezas requiere de 4 soldaduras. Se hace un control de calidad amil de esas piezas y se obtienen los siguientes resultados:

¿Se ajustan estos datos a una binomial?

La media de la muestra es –x = 0,69.

Si las cuatro soldaduras tuvieran la misma probabilidad, p, de ser defectuosa yfueran independientes, el número, x, de soldaduras defectuosas en cada piezaseguiría una distribución binomial B (4, p ), por lo cual:

–x = 4 · p 8 0,69 = 4p 8 p = 0,1725

Veamos cómo se comportaría, teóricamente, esta binomial con 1 000 individuos ycomparémoslo con los resultados de la muestra:

Las diferencias son enormes. Se rechaza la hipótesis de que “el número de solda-duras defectuosas en una pieza” siga una distribución binomial.

Página 261

24 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en elblanco es 0,4. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que:

a) Solo uno dé en el blanco.

b)Al menos uno dé en el blanco.

x es B (6; 0,4)

a) P [x = 1] = · 0,4 · 0,65 = 0,1866

b) P [x Ó 1] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,66 = 0,9533

25 En una distribución B (4; 0,25) comprueba que:

P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] + P [x = 3] + P [x = 4] = 1

0,754 + 4 · 0,25 · 0,753 + 6 · 0,252 · 0,752 + 4 · 0,253 · 0,75 + 0,254 = 1


)61(

xi pi = P [x = xi ] 1 000 · piVALORES VALORES |DIFERENCIAS|

ESPERADOS OBSERVADOS

0 0,4689 468,9 469 603 1341 0,3910 391,0 391 212 1792 0,1223 122,3 122 105 173 0,0170 17,0 17 52 354 0,0009 0,9 1 28 27

SOLDADURASDEFECTUOSAS

PIEZAS

0 1 2 3

603 212 105 52

4

28


26 Un ajedrecista se enfrenta con otro de igual maestría.

¿Qué es más probable, que gane 2 de 4 partidas o 3 de 6 partidas?

(Los empates no se toman en consideración).

La probabilidad de que el ajedrecista gane a su contrincante es de .

• Si juegan 4 partidas:

Es una binomial B 4, . Así:

P [x = 2] = ·2

· 2

= · · = =

• Si juegan 6 partidas:

Es una binomial B 6, . Así:

P [x = 3] = ·3

· 3= · · = =

Como > , tenemos que es más fácil ganar 2 de 4 partidas que 3 de 6.

27 Compara la media de las distribuciones binomiales B (200; 0,2) y B (30; 0,4).¿Cuál de ellas tiene mayor dispersión?

☛ Halla el coeficiente de variación de cada una.

Recuerda: C.V. = sirve para comparar las dispersiones de distintas poblaciones.

B (200; 0,2) 8 μ = 40; q = 5,66 8 C.V. = 0,1415

B (30; 0,4) 8 μ = 12; q = 2,68 8 C.V. = 0,2233

Tiene mayor dispersión la segunda, B (30; 0,4).

28 En una bolsa hay 5 bolas blancas, 7 rojas y 8 negras. Extraemos una bola,anotamos su color y la devolvemos a la urna. Queremos calcular la proba-bilidad de que, al hacer tres extracciones, las tres bolas sean de distinto co-lor. ¿Es una distribución binomial? Justifica tu respuesta.

P [B, R y N] = 6 · · · = 0,21

No es una binomial, porque no hay solo dos posibilidades.

29 En una mano de póker se dan 5 cartas a cada jugador. Nos preguntamos porla probabilidad de que un jugador tenga k figuras (k = 0, 1, 2, 3, 4 ó 5). ¿Porqué no es una distribución binomial?

Cada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de ésta. Portanto, la probabilidad de “FIGURA” no es constante para cada una de las cinco car-tas.

820

720

520

q–x

516

38

516

6 · 5 · 43 · 2 · 8 · 8

18

18

6 · 5 · 43 · 2)1

2()12()6

3()1

2(

38

4 · 32 · 4 · 4

14

14

4 · 32)1

2()12()4

2()1

2(

12


10UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

1. Tenemos dos urnas:

A B

Consideramos tres supuestos:

I. Sacamos una bola de A y, después, una bola de B.

II.Mezclamos las bolas de las dos urnas y sacamos dos bolas.

III.Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una bolade B.

Para cada uno de los tres casos, calcula las probabilidades siguientes:

a) Las dos bolas son negras.

b)Las dos bolas son blancas.

c) La primera es blanca, y la segunda, negra.

I. a) P [ en A y en B] = · = =

b) P [ en A y en B] = · = =

c) P [ en A y en B] = · =

II. Las mezclamos

a) P [ y ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · = =

b) P [ y ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · = =

c) P [1.a y 2.a ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · =

III. A B

a) P [ y ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · =

b) P [ y ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · =

c) P [1.a y 2.a ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · = = 310

620

25

34

920

35

34

320

35

14

1556

37

58

514

2056

47

58

328

656

27

38

38

24

34

38

616

24

34

18

216

24

14


2. La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad de variablediscreta:

Complétala y calcula μ y q.

P [10] = 1 – (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1) = 1 – 0,8 = 0,2

μ = 7,4

q = = 1,69

3. ¿Cuáles de las siguientes distribuciones son binomiales?:

I. Sacamos seis cartas de una baraja y nos preguntamos por el número deOROS.

II.En una clase hay 10 chicos y 20 chicas. Elegimos 6 al azar. ¿Cuántos sonchicos?

III.Lanzamos un dado 20 veces. Nos preguntamos por la cantidad de “cincos”.

IV.El 3% de los coches producidos en una factoría tienen algún defecto de fá-brica. Cada día se producen 200. Nos preguntamos por la probabilidad deque haya k defectuosos.

En cada binomial, identifica n y p y calcula μ y q.

I. No es binomial, porque al sacar cada carta cambia la composición de la baraja y,por tanto, la probabilidad de que la siguiente sea OROS.

II. No es binomial. Al haber solo 30 personas, cada una que se extrae modifica laprobabilidad CHICO-CHICA de las restantes. Es decir, es un caso similar al I.

III. En cada lanzamiento del dado, P [ ] = . Por tanto, la distribución de probabi-

lidades del “número de cincos” es binomial, con n = 20, p = .

En una distribución B 20, :

μ = n p = = 3,3; q = = = = 1,67106

100√ 36

1 5√20 · — · —6 6

206

)16(

16

16

xi pi

5

6

7

8

9

10

0,1

0,3

0,2

0,1

0,1

0,2

1,00

pixi

0,5

1,8

1,4

0,8

0,9

2

pixi2

2,5

10,8

9,8

6,4

8,1

20

7,4 57,6

√57,6 – 7,42

xi

pi

5 6 7 8

0,1 0,3 0,2 0,1

9

0,1

10

…


10UNIDAD

IV. El “número de coches defectuosos” en los 200 producidos en un día es una distri-bución binomial con n = 200 y p = 0,03.

En una distribución B (200; 0,03):

μ = 200 · 0,03 = 6, q = = 2,41

4. Con un cierto tipo de chinchetas se dan las siguientes probabilidades al dejar-las caer:

P [ ] = 0,3 P [ ] = 0,7

Dejamos caer 6 chinchetas. Calcula:

a) P [2 y 4 ]

b)P [alguna ]

El número de chinchetas que caen así se distribuye B (6; 0,3).

a) P [x = 2] = · 0,32 · 0,74 = 15 · 0,32 · 0,74 = 0,32

b) Empezamos calculando P [x = 0] = · 0,30 0,76 = 0,76 = 0,12

P [alguna ] = 1 – P [ninguna ] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,12 = 0,88

)60(

)62(

√200 · 0,03 · 0,97


Unidad 11. Distribuciones de variable continua 29

Página 263


Tiempos de espera 1

Los trenes de una cierta línea de cercanías pasan cada 20 minutos. Cuando lle-gamos a la estación, ignoramos cuándo pasó el último.

La medida de la probabilidad del tiempo que tendremos que esperar a que paseel siguiente tren (TIEMPO DE ESPERA) se obtiene con la ayuda de la gráfica adjunta.

Observa que bajo ella hay 100 cuadraditos.

La probabilidad de que tengamos que esperar entre 10 y 16 minutos es del 30%(30 cuadraditos de un total de 100).

Es decir: P [10 Ì x Ì 16] = 0,30

■ Procediendo de forma similar, halla las siguientes probabilidades e interpretalo que significan:

a) P [x Ì 2] b)P [5 Ì x Ì 10]

c) P [x Ì 10] d)P [5 Ì x Ì 6]

a) P [x Ì 2] = = 0,10

La probabilidad de tener que esperar menos de 2 minutos es 0,10 (del 10%).

b) P [5 Ì x Ì 10] = = 0,25

La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 10 minutos es del 25%.

c) P [x Ì 10] = = 0,50

La probabilidad de tener que esperar menos de 10 minutos es del 50%.

d) P [5 Ì x Ì 6] = = 0,05

La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 6 minutos es del 5%.

5100

50100

25100

10100

TIEMPO (en minutos)

0 5 10 15 20

DISTRIBUCIONES DEVARIABLE CONTINUA11

Tiempos de espera 2

El autobús que nos lleva al trabajo es un tanto impuntual. Debe pasar a las 8,pero puede retrasarse hasta 20 minutos. Sin embargo, es más probable que lle-gue cerca de las 8 h que cerca de las 8 h y 20 min.

Si llegamos a la parada a las 8 en punto, la gráfica adjunta nos ayuda a calcu-lar la probabilidad del TIEMPO DE ESPERA.

La probabilidad de que tengamos que esperar entre 10 y 16 minutos es del 21%(compruébalo).

Es decir: P [10 Ì x Ì 16] = 0,21

■ Halla e interpreta estas probabilidades:

a) P [x Ì 2]

b)P [5 Ì x Ì 10]

c) P [x Ì 10]

d)P [5 Ì x Ì 6]

En total hay 100 cuadraditos (el área total es 100). Así:

a) P [x Ì 2] = = 0,19

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 2 minutos es del 19%.

b) P [5 Ì x Ì 10] = = 0,3125

La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 10 minutos es del 31,25%.

c) P [x Ì 10] = = 0,75

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 10 minutos es del 75%.

d) P [5 Ì x Ì 6] = = 0,0725

La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 6 minutos es del 7,25%.

(7,5 + 7)/2 · 1100

(10 + 5)/2 · 10100

(7,5 + 5)/2 · 5100

(10 + 9)/2 · 2100

0 5 10 15 20

TIEMPO (en minutos)

Unidad 11. Distribuciones de variable continua30

Distribución de edades

Las edades de los habitantes de una población se distribuyen según la gráficaadjunta (comprueba que bajo esta gráfica también hay, exactamente, 100 cua-draditos).

Si elegimos al azar un habitante de esa población, la probabilidad de que tengaentre 15 y 35 años es del 31% (compruébalo):

P [15 Ì x Ì 35] = 0,31

■ Halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan:

a) P [x Ì 15]

b)P [45 Ì x Ì 65]

c) P [x Ì 80]

d)P [25 Ì x Ì 70]

Contamos los cuadraditos que hay en el intervalo y dividimos por el número total decuadraditos (que es 100). Así:

a) P [x Ì 15] = = 0,26

La probabilidad de que un habitante, elegido al azar en esa población, tenga menosde 15 años es del 26%.

b) P [45 Ì x Ì 65] = = 0,18

La probabilidad de que tenga entre 45 y 65 años es del 18%.

c) P [x Ì 80] = = 0,96

La probabilidad de que tenga menos de 80 años es del 96%.

d) P [25 Ì x Ì 70] = = 0,47

La probabilidad de que tenga entre 25 y 70 años es del 47%.

47100

96100

18100

26100

0 20 40 60 80 100AÑOS


11UNIDAD

1. Calcula k para que f (x) = sea una función de densidad.

Halla las probabilidades:

a) P [4 < x < 6] b)P [2 < x Ì 5] c) P [x = 6] d)P [5 < x Ì 10]

Como el área bajo la curva ha de ser igual a 1, tenemos que:

P [–@ < x < +∞] = P [3 Ì x Ì 8] = 5k = 1 8 k =

a) P [4 < x < 6] = (6 – 4 ) · =

b) P [2 < x Ì 5] = P [3 Ì x Ì 5] = (5 – 3) · =

c) P [x = 6] = 0

d) P [5 < x Ì 10] = P [5 Ì x Ì 8] = (8 – 5) · =

2. Calcula m para que f (x) = sea una función de densidad.

Halla las probabilidades:

a) P [3 < x < 5] b)P [5 Ì x < 7] c) P [4 Ì x Ì 6] d)P [6 Ì x < 11]

El área bajo la curva (área del trapecio señalado) ha de ser igual a 1:

P [–@ < x < +@] = P [3 Ì x Ì 7] = =

= 20m = 1 8 m =

a) P [3 < x < 5] = = =

b) P [5 Ì x < 7] = = =

c) P [4 Ì x Ì 6] = = =

d) P [6 Ì x < 11] = P [6 Ì x Ì 7] = = 1340

(7/20 + 6/20) · 12

12

1020

(6/20 + 4/20) · 22

35

1220

(7/20 + 5/20) · 22

25

820

(5/20 + 3/20) · 22

3 m

7 m

3 7

Área = 1 120

(7m + 3m) · 45

mx, x é [3, 7]

0, x è [3, 7]

°¢£

35

15

25

15

25

15

15

k, x é [3, 8]

0, x è [3, 8]

°¢£


1. En una distribución N (110, 10), calcula:

a) P [x > 110] b)P [110 < x < 120] c) P [110 < x < 130]

d) P [120 < x < 130] e) P [90 < x < 100] f) P [90 < x < 120]

g) P [x < 100]

a) P [x > 110] = 0,5

b) P [110 < x < 120] = = 0,3413

c) P [110 < x < 130] = = 0,4772

d) 0,9544 – 0,6826 = 0,2718

P [120 < x < 130] = = 0,1359

e) Por simetría, igual que el anterior:

P [90 < x < 100] = 0,1359

f ) P [90 < x < 120] = 0,6826 + 0,1359 = 0,8185

g) P [x < 100] = = 0,15871 – 0,68262

0,27182

0,95442

0,68262


11UNIDAD

110

110100 120

1101009080 140130120

110 120 130

68,26%

0,9544

11010090

11010090 120

110100

1. Calcula las probabilidades de los apartados a), b) y c) del ejercicio resuelto an-terior. Estima el valor aproximado de las probabilidades d), e) y f ) del mismoejercicio.

a) P [x > μ] = 0,5 b) P [ μ < x < μ + 2q] = 0,4772

c) P [x < μ – q] = 0,1587 d) P [x < μ + 0,5q] = 0,6915

e) P [x > μ + 1,75q] = 0,0401 f ) P [x + 0,5q < x < μ + 1,75q] = 0,2684

Página 2691. Halla las siguientes probabilidades:

a) P [z Ì 0,84] b)P [z < 1,5] c) P [z < 2] d)P [z < 1,87]

e) P [z < 2,35] f ) P [z Ì 0] g) P [z < 4] h)P [z = 1]

Mirando directamente la tabla, obtenemos:

a) 0,7996 b) 0,9332 c) 0,9772 d) 0,9693

e) 0,9906 f) 0,5000 g) 1 h) 0

2. Di el valor de k en cada caso:

a) P [z Ì k] = 0,7019 b) P [z < k] = 0,8997

c) P [z Ì k] = 0,5040 d) P [z < k] = 0,7054

a) k = 0,53 b) k = 1,28 c) k = 0,01 d) k = 0,54

3. Di el valor aproximado de k en cada caso:

a) P [z < k] = 0,9533 b)P [z Ì k] = 0,62

a) k ≈ 1,68 b) k ≈ 0,305

Página 270

4. Halla:

a) P [z > 1,3] b)P [z < –1,3] c) P [z > –1,3]

d)P [1,3 < z < 1,96] e) P [–1,96 < z < –1,3] f) P [–1,3 < z < 1,96]

g) P [–1,96 < z < 1,96]

a) P [z > 1,3] = 1 – P [z < 1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968

b) P [z < –1,3] = 0,0968

c) P [z > –1,3] = 1 – 0,0968 = 0,9032

d) P [1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – 0,9032 = 0,0718

e) P [–1,96 < z < –1,3] = 0,0718


–1,3 1,30

f ) P [–1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – (1 – 0,9032) = 0,8782

g) P [–1,96 < z < 1,96] = 0,95

5. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:

a) P [–1 Ì z Ì 1]

b)P [–2 Ì z Ì 2]

c) P [–3 Ì z Ì 3]

d)P [–4 Ì z Ì 4]

a) P [–1 Ì z Ì 1] = 2 (P [z Ì 1] – 0,5) = 0,6826

b) P [–2 Ì z Ì 2] = 2 (P [z Ì 2] – 0,5) = 0,9544

c) P [–3 Ì z Ì 3] = 0,9974

d) P [–4 Ì z Ì 4] = 1

Página 271

6. En una distribución N (173, 6), halla las siguientes probabilidades:

a) P [x Ì 173] b) P [x Ó 180,5] c) P [174 Ì x Ì 180,5]

d) P [161 Ì x Ì 180,5] e) P [161 Ì x Ì 170] f ) P [x = 174]

g) P [x > 191] h) P [x < 155]

a) P [x Ì 173] = 0,5

b) P [x Ó 180,5] = P z Ó = P [z Ó 1,25] = 1 – 0,8944 = 0,1056

c) P [174 Ì x Ì 180,5] = P [0,17 Ì z Ì 1,25] = 0,3269

d) P [161 Ì x Ì 180,5] = P [–2 Ì z Ì 1,25] = 0,8716

e) P [161 Ì x Ì 170] = P [–2 Ì z Ì –0,5] = 0,2857

f) P [x = 174] = P [z = 0,1667] = 0

g) P [x > 191] = P [z > 3] = 1 – f(3) = 1 – 0,9987 = 0,0013

h) P [x < 155] = P [z < –3] = 1 – f(3) = 0,0013

Página 273

1. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales me-diante aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten encuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variablediscreta a una continua):

a) x es B (100; 0,1). Calcula P [x = 10], P [x < 2] y P [5 < x < 15].

b) x es B (1 000; 0,02). Calcula P [x > 30] y P [x < 80].

c) x es B (50; 0,9). Calcula P [x > 45] y P [x Ì 30].

]180,5 – 1736[


11UNIDAD

–1 10

a) x es B (100; 0,1) ≈ x' es N (10; 3)

P [x = 10] = P [9,5 < x' < 10,5] = P [–0,17 < z < 0,17] = 0,135

P [x < 2] = P [x' Ì 1,5] = P [z Ì –2,83] = 0,0023

P [5 < x < 15] = P [5,5 Ì x' Ì 14,5] = P [–1,5 Ì z Ì 1,5] = 0,8664

b) x es B (1 000; 0,02) ≈ x' es N (20; 4,427)

P [x > 30] = P [x' Ó 30,5] = P [z Ó 2,37] = 0,0089

P [x < 80] = P [x' Ì 79,5] = P [z Ì 13,44] = 1

c) x es B (50; 0,9) = x' es N (45; 2,12)

P [x > 45] = P [x' Ó 45,5] = P [z Ó 0,24] = 0,4052

P [x ≤ 30] = P [x' Ì 30,5] = P [z Ì –6,83] = 0

Página 275

1. La tabla adjunta corresponde a las estaturas de 1 400 chicas. Estudia si es acep-table considerar que provienen de una distribución normal.

Los parámetros de la distribución estadística son –x = 160,9; q = 6,43.

Formamos la siguiente tabla:

La mayor de las diferencias, 8, en comparación con el total, 1 400, es suficientementepequeña como para aceptar que la muestra procede de una distribución normal yque las diferencias son atribuibles al azar.

xi

f i

141

2 25 146 327 428 314 124 29 5

146 151 156 161 166 171 176 181


EXTREMOS EXTREMOSP [z Ì zk] pk = P [zk Ì z Ì zk+1] 1 400 · pk

NÚMEROS NÚMEROS|DIFER.|

INTERVALOS xk TIPIFICADOS zk TEÓRICOS OBTENIDOS

138,5 –3,48 0,0003 0,0031 4,34 4 2 2

143,5 –2,71 0,0034 0,0234 32,76 33 25 8

148,5 –1,93 0,0268 0,0983 137,62 138 146 8

153,5 –1,15 0,1251 0,2306 322,84 323 327 4

158,5 –0,37 0,3557 0,3034 424,76 425 428 3

163,5 0,41 0,6591 0,2219 310,66 311 314 3

168,5 1,18 0,8810 0,0940 131,60 132 124 8

173,5 1,96 0,9750 0,0219 30,66 31 29 2

178,5 2,74 0,9969 0,0029 4,06 4 5 1

183,5 3,51 0,9998


Manejo de la tabla N(0, 1)

1 En una distribución N (0, 1), calcula las siguientes probabilidades:

a) P [z = 2] b) P [z Ì 2] c) P [z Ó 2]

d)P [z Ì –2] e) P [z Ó –2] f) P [–2 Ì z Ì 2]

a) P [z = 2] = 0

b) P [z Ì 2] = 0,9772

c) P [z Ó 2] = 1 – 0,9792 = 0,0228

d) P [z Ì –2] = 0,0228

e) P [z Ó –2] = 1 – 0,0228 = 0,9772

f ) P [–2 Ì z Ì 2] = 2 (P [z Ì 2] – 0,5) = 0,9544

2 En una distribución N (0, 1), calcula:

a) P [z Ì 1,83] b) P [z Ó 0,27]

c) P [z Ì –0,78] d) P [z Ó 2,5]

a) P [z Ì 1,83] = 0,9664 b) P [z Ó 0,27] = 0,3935

c) P [z Ì –0,78] = 0,2177 d) P [z Ó 2,5] = 0,0062


a) P [z = 1,6]

b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83]

c) P [1,5 Ì z Ì 2,5]

d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25]

a) P [z = 1,6] = 0

b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83] = P [1,83 Ì z Ì 2,71] = P [z Ì 2,71] – P [z Ì 1,83] = 0,0302

c) P [1,5 Ì z Ì 2,5] = P [z Ì 2,5] – P [z Ì 1,5] = 0,0606

d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25] = P [z Ì 1,25] – P [z Ì –1,87] = P [z Ì 1,25] – P [z Ó 1,87] =

= P [z Ì 1,25] – (1 – P [z < 1,87]) = 0,8637

–1,87 1,250

PARA PRACTICAR


11UNIDAD

4 Calcula k en cada uno de los siguientes casos:

a) P [z < k] = 0,8365

b) P [z > k] = 0,8365

c) P [z < k] = 0,1894

a) k = 0,98

b) k = –0,98

c) k = –0,88

Tipificación

5 En un examen tipo test, la media fue de 28 puntos, y la desviación típica, de10 puntos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron:

a) 38 puntos.

b)14 puntos.

c) 45 puntos.

d)10 puntos.

μ = 28; q = 10

a) = 1 b) = –1,4

c) = 1,7 d) = –1,8

6 Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de unalumno fue 0,8 ¿cuántos puntos obtuvo?

¿Cuántos puntos corresponden a un valor tipificado de –0,2?

0,8 8 0,8 · 10 + 28 = 36

–0,2 8 –0,2 · 10 + 28 = 26

7 Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y –0,4 y sus no-tas reales fueron 88 y 64 puntos.

¿Cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del examen?

= 0,8 88 – μ = 0,88q88 – 0,8q = 64 + 0,4q 8 q = 20; μ = 72

= –0,4 64 – μ = –0,4q

La media es 72, y la desviación típica, 20.

64 – μq

88 – μq

10 – 2810

45 – 2810

14 – 2810

38 – 2810


°§§¢§§£

°§§¢§§£

Cálculo de probabilidades en N(μ, q)


a) P [x Ó 43]

b)P [x Ì 30]

c) P [40 Ì x Ì 55]

d)P [30 Ì x Ì 40]

a) P [x Ó 43] = 0,5

b) P [x Ì 30] = P z Ì = P [z Ì –1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968

c) P [40 Ì x Ì 55] = P Ì z Ì = P [–0,3 Ì z Ì 1,2] = 0,5028

d) P [30 Ì x Ì 40] = P [–1,3 Ì z Ì –0,3] = P [0,3 Ì z Ì 1,3] = P [z Ì 1,3] – P [z Ì 0,3] =

= 0,9032 – 0,6179 = 0,2853


a) P [x Ì 136]

b) P [120 Ì x Ì 155]

c) P [x Ó 185]

d) P [140 Ì x Ì 160]

a) P [x Ì 136] = P z Ì = P [z Ì –1] = P [z Ì 1] = 1 – P [z < 1] = 0,1587

b) P [120 Ì x Ì 155] = P [2,07 Ì z Ì 0,27] = 0,5873

c) P [x Ó 185] = P [z Ó 2,27] = 0,0116

d) P [140 Ì x Ì 160] = P [–0,73 Ì z Ì 0,6] = 0,5149


a) P [x Ì 27]

b) P [x Ó 27]

c) P [x Ó 12,5]

d) P [15 Ì x Ì 20]

e) P [17 Ì x Ì 30]

a) P [x Ì 27] = P [z Ì 1] = 0,8413

b) P [x Ó 27] = 0,1587

c) P [x Ó 12,5] = P [z Ì 1,9] = 0,9713

d) P [15 Ì x Ì 20] = P [–1,4 Ì z Ì –0,4] = 0,2638

e) P [17 Ì x Ì 30] = P [–1 Ì z Ì 1,6] = 0,7865

]136 – 15115[

]55 – 4310

40 – 4310[

]30 – 4310[


11UNIDAD

11 La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm, y la des-viación típica, de 10 cm.

Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que unalumno elegido al azar mida más de 180 cm.

¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm?

x es N (165, 10); n = 200 alumnos

P [x > 180] = P z > = P [z > 1,5] = 1 – 0,9332 = 0,0668

200 · 0,0668 = 13,36 ≈ 13 alumnos

Página 279

12 Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado ele-gido al azar pese:

a) Más de 61 kg.

b) Entre 63 y 69 kg.

c) Menos de 70 kg.

d) Más de 75 kg.

x es N (65, 8)

a) P [x > 61] = P z > = P [z > –0,5] = P [z < 0,5] = 0,6915

b) P [63 < x < 69] = P [–0,25 < z < 0,5] = 0,2902

c) P [x < 70] = P [z < 0,625] = 0,7357

d) P [x > 75] = P [z > 1,25] = 1 – P [z Ì 1,25] = 0,1056

13 Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 50puntos o más. Por experiencia de años anteriores, sabemos que la distribu-ción de puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntosy desviación típica 10.

a) ¿Qué probabilidad hay de que un alumno apruebe?

b) Si se presentan al examen 400 alumnos, ¿cuántos cabe esperar que ingresenen esa escuela?

x es N (55, 10)

a) P [x Ó 50] = P [z Ó ] = P [z Ó –0,5] = P [z Ì 0,5] = 0,6915

b) 400 · 0,6915 = 276,6 ≈ 277 alumnos

50 – 5510

]61 – 658[

]180 – 16510[


14 En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio sedistribuyen normalmente con una media de 26 °C y una desviación típica de4 °C. ¿Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máximacomprendida entre 22 °C y 28 °C?

x es N (26, 4)

P [22 < x < 28] = P [–1 < z < 0,5] = 0,5328

0,5328 · 31 = 16,52 ≈ 17 días

Binomial 8 Normal

15 Si lanzamos un dado mil veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número decincos obtenidos sea menor que 100?

x es B (1 000; 0,1667) 8 x' es N (166,67; 11,79)

P [x < 100] = P [x' Ì 99,5] = P [z Ì –5,70] = 0

16 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el númerode caras:

a) Sea mayor que 200. b) Esté entre 180 y 220.

x es B (400; 0,5) 8 x' es N (200, 10)

a) P [x > 200] = P [x' Ó 200,5] = P [z Ó 0,05] = 0,4801

b) P [180 < x < 220] = P [180,5 Ì x' Ì 219,5] = P [–1,95 Ì z Ì 1,95] = 0,9488

17 En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9, ycada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo.

a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una solavez.

b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga másde 12 veces.

a) x es B (3; 0,1)

P [x = 1] = 3 · 0,1 · 0,92 = 0,243

b) x es B (100; 0,1) 8 x' es N (10, 3)

P [x > 12] = P [x' Ó 12,5] = P [z Ó 0,83] = 0,2033

18 El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro deportivose distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviacióntípica 3 minutos. Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada estécomprendido entre 13 minutos y 21 minutos.

x es N (17, 3)

P [13 < x < 21] = P [–1,33 < z < 1,33] = 0,8164

PARA RESOLVER


11UNIDAD

19 En un estadio deportivo se quieren instalar focos para iluminar el campo dejuego.

El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, aproxima-damente, normal con media de 1 500 horas y desviación típica de 200 horas.Supongamos que es cierto.

a) Escogiendo uno de los focos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que luzcapor lo menos 1 000 horas?

b)Si se decide comprar 1 500 focos, ¿cuántos puede esperarse que luzcanpor lo menos 1 000 horas?

x es N (1 500, 200)

a) P [x Ó 1000] = P [z Ó –2,5] = P [z Ì 2,5] = 0,9938

b) 1 500 · 0,9938 = 1 490,7 ≈ 1491 focos

20 Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones:

a) f (x) = 0,5 + 0,5x, x é [0, 2]

b) f (x) = 0,5 – x, x é [0, 2]

c) f (x) = 1 – 0,5x, x é [0, 2]

Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es 1:

a)

Área = = 1,5 8

b) f (2) = –1,5 < 0 8 No puede ser función de densidad, pues tendría que ser f (x) Ó 0.

c)

8

21 a) Considera la siguiente función:

f (x) =

Calcula el valor de k para que f (x) sea una función de densidad.

b)Halla estas probabilidades:

P [2 < x < 5] y P [4 < x < 6]

0, x < 1k, 1 Ì x Ì 53k, 5 < x Ì 70, x > 7

°§¢§£

0,5

1

1,5

1 2

Sí puede ser fun-ción de densidad.

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1 · 2Área = — = 1

2

f (x) Ó 0

0,5

1

1,5

1,5

1 2

No puede ser fun-ción de densidad.

1,5 · 22


a)

El área bajo la curva debe ser 1:

Área = 4k + 2 · 3k = 4k + 6k = 10k = 1 8 k =

b) P [2 < x < 5] = (5 – 2) · = = 0,3

P [4 < x < 6] = P [4 < x < 5] + P [5 < x < 6] = + = = = 0,4

Página 280

22 El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distri-buye según una normal N (2 000, 250).

a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes nosupere los 2 100.

b)Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean másde 1 500.

c) En un mes de treinta días, ¿en cuántos días cabe esperar que el númerode visitantes supere los 2 210?

x ~ N (2 000, 250) 8 z ~ N (0, 1)

a) P [x Ì 2100] = P [z Ì 0,4] = 0,6554

b) P [x Ó 1500] = P [z Ó –2] = P [z Ì 2] = 0,9772

c) P [x Ó 2210] = P [z Ó 0,84] = 0,2004

30 · 0,2004 = 6,012 8 6 días

23 La duración de un tipo de pilas eléctricas sigue una distribución normal conmedia de 50 horas y desviación típica de 5 horas. Halla la probabilidad deque, eligiendo una pila al azar, dure entre 40 y 55 horas.

x es N (50, 5)

P [40 < x < 55] = P [–2 < z < 1] = 0,8185

24 La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamientoa cierta distancia es 0,2. Si lanzara 1 000 veces y su capacidad de acierto semantuviera, ¿qué probabilidad hay de que acierte más de 220 veces?

Se trata de una B (1000; 0,2). La probabilidad la calculamos por aproximación normal:

μ = 1 000 · 0,2 = 200; q = = 12,65

x es B (1 000; 0,2) 8 x' es N (200; 12,65)

P [x > 220] = P [x' Ó 220,5] = P [z Ó 1,62] = 1 – 0,9474 = 0,0526

√1000 · 0,2 · 0,8

25

410

310

110

310

110

k

3k

1 5 7

110


11UNIDAD

25 Una máquina produce tornillos. Sabemos por experiencia que el 4% de ellosson defectuosos. Se empaquetan automáticamente en cajas de 200 tornillos.Halla las siguientes probabilidades relativas al número de tornillos defec-tuosos en una caja tomada al azar:

a) x < 10 b) x > 10 c) x = 8

Se trata de una distribución binomial B (n, p) donde n = 200 y p = 0,002.

Como np > 3 y n (1 – p) > 3, podemos aproximarla a una distancia normal.

B (200; 0,02) 8 N (4; 1,98)

a) P [x < 10] = P [x' < 9,5] = P z < = P [z < 2,78] = 0,9973

b) P [x > 10] = P [x' > 10,5] = P z > = P [z > 3,28] =

= 1 – P [z < 3,28] = 1 – 0,9995 = 0,0005

c) P [x = 8] = P [7,5 < x' < 8,5] = P < z < =

= P [1,77 < z < 2,27] = P [z < 2,27] – P [z > 1,77] =

= P [z < 2,27] – (1 – P [z < 1,77]) =

= 0,9884 – 1 + 0,9616 = 0,95

26 Un centro de enseñanza va a presentar, este curso, 240 alumnos al examende selectividad y se sabe que, de ese centro, suele aprobar el 95% de los pre-sentados. ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben:

a) más de 200, b) más de 220,

c) más de 230, d) más de 235 alumnos?

x es B (240; 0,95) 8 x' es N (228; 3,38) 8 z es N (0, 1)

a) P [x > 200] = P [x' Ó 200,5] = P [z Ó –8,13] = 1

b) P [x > 220] = P [x' Ó 220,5] = P [z Ó –2,22] = 0,9868

c) P [x > 230] = P [x' Ó 230,5] = P [z Ó 0,74] = 0,2296

d) P [x > 235] = P [x' Ó 235,5] = P [z Ó 2,22] = 0,0132

27 Un examen tiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen seaprueba si se contestan correctamente al menos 20 preguntas.

Si se responde al azar, halla:

a) La probabilidad de aprobar el examen.

b) La probabilidad de que el número de respuestas correctas esté entre 25 y 30.

x es B (38; 0,5) 8 x' es N (19; 3,08)

a) P [x Ó 20] = P [x' Ó 19,5] = P [z Ó 0,16] = 0,4364

b) P [25 < x < 30] = P [25,5 Ì x' Ì 29,5] = P [2,11 Ì x' Ì 3,41] = 0,0171

]8,5 – 41,98

7,5 – 41,98[

]10,5 – 41,98[

]9,5 – 41,98[


28 En las últimas elecciones celebradas en cierto país, la abstención fue del 25%del censo electoral.

a) Si se seleccionan al azar tres individuos del censo, ¿cuál es la probabili-dad de que ninguno haya votado?

b)Si se toman al azar 100 miembros del censo, ¿cuál es la probabilidad deque se hayan abstenido al menos 30?

a) x es B (3; 0,25)

P [x = 3] = 0,253 = 0,0156

b) x es B (100; 0,25) 8 x' es N (25; 4,33)

P [x Ó 30] = P [x' Ó 29,5] = P [z Ó 1,04] = 0,1492

29 Un examen tipo test tiene 50 preguntas y cada pregunta tres respuestas di-ferentes, solo una de las cuales es correcta.

Para aprobar, hace falta responder correctamente a 25 preguntas; para unnotable, 35; y para un sobresaliente, 45 respuestas.

Un estudiante responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe?¿Y la de que saque un notable? ¿Y un sobresaliente?

x es B (50; 0,333) 8 x' es N (16,66; 3,33)

P [x Ó 25] = P [x' Ó 24,5] = P [z Ó 2,35] = 0,0094 8 probabilidad de aprobar

P [x Ó 35] = P [x' Ó 34,5] = P [z Ó 5,36] = 0

La probabilidad de sacar notable o sobresaliente es 0.

30 ¿Qué relación guardan dos curvas de la distribución normal que tienen lamisma media y diferente desviación típica?

¿Y si tienen la misma desviación típica y diferente media?

Si tienen la misma media, están centradas en el mismo valor de x ; la que tengade ellas la menor desviación típica es más “alargada”.

Si tuvieran diferente media pero igual desviación típica, tendrían la misma forma,salvo que estarían centradas en distinto punto.

31 Se sabe que las notas de un determinado examen siguen una distribuciónnormal. El 15,87% tiene una nota superior a 7 puntos y el 15,87% una notainferior a 5 puntos.

a) ¿Cuál es la media del examen?

b) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene una nota entre 6 y 7?

a) Si la proporción de personas que tienen nota superior a 7 es igual a la de las quetienen nota inferior a 5, la media es 6.

b) 50% – 15,87% = 34,13%



11UNIDAD

32 En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas: la má-quina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezascon un grosor determinado. Ambos procesos son independientes.

El diámetro del taladro producido por A, en milímetros, es N (23; 0,5).

El grosor producido por B, en centímetros, es N (11,5; 0,4).

a) Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre20,5 y 24 mm.

b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10,5 y12,7 mm.

c) Suponiendo que solo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadasen a) y b), calcula qué porcentaje de piezas aceptables se consiguen.

☛ Se supone que las medidas están dadas exactamente.

a) P [20,5 Ì x Ì 24] = P [–5 Ì z Ì 2] = 0,9772 8 97,72%

b) P [10,5 Ì x Ì 12,7] = P [–2,5 Ì z Ì 3] = 0,9925 8 99,25%

c) 0,9772 · 0,9925 = 0,9699 8 96,99%

33 Una vez corregido cierto examen, la calificación media fue 6,5 y la desvia-ción típica 1,6. El profesor ha decidido que va a calificar con sobresalienteal 10% de la clase.

¿Cuál es la nota mínima necesaria para obtener el sobresaliente?

N (5,6; 1,6)

P [z Ó k] = 0,1 8 P [z Ì k] = 0,9 8 k = 1,28

1,28 · 1,6 + 6,5 = 8,548. A partir de 8,5, aproximadamente.

34 En un examen de Matemáticas la puntuación media fue 5,8 y la desviacióntípica 2,2. Suponiendo que las puntuaciones se distribuyen normalmente,calcula:

a) La puntuación máxima del 10% más bajo de la clase.

b) La puntuación mínima del 10% superior de la clase.

P [x Ì –k] = 0,1 8 P [x Ì k] = 0,9 8 k = 1,28

a) –1,28 · 2,2 + 5,8 = 2,984 ≈ 3

b) 1,28 · 2,2 + 5,8 = 8,616 ≈ 8,6

PARA PROFUNDIZAR


35 Se han lanzado dos dados 120 veces y se han anotado las sumas de los pun-tos obtenidos:

¿Se puede rechazar que esta distribución proviene de una normal?

Los resultados que se obtienen al lanzar dos dados y sumar sus puntuaciones sonuna distribución de variable discreta que, por supuesto, no es normal. Lo que sepropone en este ejercicio es someter estos datos a la prueba de normalidad comosi no supiéramos de dónde procede.

Sus parámetros son: media = 7,025; desviación típica = 2,43

No se puede rechazar que esta muestra haya sido extraída de una distribución nor-mal.

EXTREMOS EXTREMOSP [z Ì zk] pk = P [zk Ì z Ì zk+1] 120 · pk

NÚMEROS NÚMEROS|DIFER.|

INTERVALOS xk TIPIFICADOS zk TEÓRICOS OBTENIDOS

1,5 –2,27 0,0116 0,0198 2,376 2 3 1

2,5 –1,86 0,0314 0,0421 5,052 5 8 3

3,5 –1,45 0,0735 0,0757 9,084 9 9 0

4,5 –1,04 0,1492 0,1151 13,812 14 11 3

5,5 –0,63 0,2643 0,1486 17,832 18 20 2

6,5 –0,22 0,4129 0,1664 19,968 20 19 1

7,5 0,20 0,5793 0,1498 17,976 18 16 2

8,5 0,61 0,7291 0,1170 14,040 14 13 1

9,5 1,02 0,8461 0,0775 9,300 9 11 2

10,5 1,43 0,9236 0,0435 5,220 5 6 1

11,5 1,84 0,9671 0,0207 2,484 2 4 2

12,5 2,25 0,9878

SUMA

VECES

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4


11UNIDAD

AUTOEVALUACIÓN

1. Comprueba que y = – 1, 2 Ì x Ì 4 es una función de densidad. Represénta-

la y calcula:

a) P [x = 3]

b)P [x < 3]

c) P [x > 3,5]

f (x) = – 1, 2 Ì x Ì 4, es una función de densidad (de una distribución estadística

de variable continua) porque:

— Es no negativa (es decir, – 1 Ó 0 en el intervalo [2, 4]), pues para x = 2,

f (2) = · 1 = 0. Y como es creciente se trata de una recta de pendiente , f (x) > 0

para 2 < x Ì 4.

Suponemos que f (x) = 0 fuera del intervalo [2, 4].

— El área bajo la curva es la de un triángulo de base 2 y altura 1. Por tanto, área = 1.

a) P [x < 3] = 0, pues en las distribuciones de variable continua las probabilidadespuntuales son 0.

b) P [x < 3] = , pues es el área de un triángulo

de base 1 y altura .

c) P [x > 3,5]

f (3,5) = – 1 = 0,75

f (4) = 1

Área del trapecio = · (4 – 3,5) = 0,4375

P [x > 3,5] = 0,4375

1 + 0,752

3,52

12

14

1

1 2 3 4

)12(2

2

x2

x2

x2


3

3,5 4

1

2. Calcula k para que la función

y =

sea función de densidad. Calcula estas probabilidades:

a) P [x = 3] b) P [x < 2] c) P [2 Ì x < 4]

Para que el área sombreada sea 1, la altura del rectángulo ha de ser . Por tanto,

f (x) = 0,25 si 1 Ì x Ì 5, f (x) = 0 en el resto.

a) P [x = 3] = 0 (es una probabilidad puntual).

b) P [x < 2] = 0,25 · 1 = 0,25

c) P [2 Ì x < 4] = 0,25 · 2 = 0,5

3. Si z es N(0, 1), calcula:

a) P [1,53 < z < 2,1]

b)P [–1,53 < z < 2,1]

a) P [1,53 < z < 2,1] = P [z < 2,1] – P [z < 1,53] = f(2,1) – f(1,53) =

= 0,9821 – 0,9370 = 0,0451

b) P [–1,53 < z < 2,1] = P [z < 2,1] – P [z < –1,53] = f(2,1) – [1 – f(1,53)] =

= f(2,1) + f(1,53) – 1 = 0,9191

4. Sea z una distribución N(0, 1), calcula h y k para que se cumpla que:

a) P [z < h] = 0,4

b) P [–k < z < k] = 0,9

a) P [z < h] = 0,4 8 h es negativo. P [z < –h] = 0,6 8 –h es positivo.

Buscamos en la tabla: f(0,25) = 0,5987, f(0,26) = 0,6026

Según esto, asignamos a –h el valor 0,25 y, por tanto, h = –0,25.

b) P [–k < z < k ] = 2P [0 < z < k ] = 2[f(k ) – 0,5] = 2f(k ) – 1

2f(k) – 1 = 0,9 8 f(k ) = 1,9 : 2 = 0,95 8 k = 1,65

14

k

10 5

0, x < 1

k, 1 Ì x Ì 5

0, x > 5

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11UNIDAD

5. Si x es N(88, 6), calcula:

a) P [x < 80] b)P [x > 100] c) P [80 < x Ì 100]

x es N (88, 6) 8 z es N (0, 1)

a) P [x < 80] = P z < = P [z < –1,33] =

= 1 – f(1,33) = 1 – 0,9082 = 0,0918

b) P [x > 100] = P z > = P [z > 2] =

= 1 – f(2) = 1 – 0,9772 = 0,0228

c) P [80 < x Ì 100] = P [–1,33 < z < 2] =

= f(2) – [1 – f(1,33)] =

= f(2) + f(1,33) – 1 = 0,8854

6. El cociente intelectual (C.I.) de un colectivo de bomberos se distribuye nor-mal, de media 108 y desviación típica 3,5. Llamamos x al C.I. de uno de ellostomado al azar. Calcula:

a) P [x < 100] b) P [x > 115] c) P [100 < x < 115]

x es N (108; 3,5) 8 z = es N (0, 1)

a) P [x < 100] = P z < = P [z < –2,29] = 1 – f(2,29) = 1 – 0,9890 = 0,011

b) P [x > 115] = P z > = P [z > 2] = 1 – f(2) = 1 – 0,9772 = 0,0228

c) P [100 < x < 115] = P [–2,29 < z < 2] = f(2) – [1 – f(2,29)] =

= f(2) + f(2,29) – 1 = 0,9662

7. El 7% de las personas padecen un pequeño defecto anatómico de origen gené-tico. En una empresa trabajan 80 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que ha-ya más de 10 con ese defecto?

x es B (80; 0,07) 8 μ = 80 · 0,07 = 5,6; q = = = 2,28

x' es N (5,6; 2,28); P [x > 10] = P [x Ó 11] = P [x' Ó 10,5] = P z Ó =

= P [z Ó 2,15] = 1 – f(2,15) = 1 – 0,9842 = 0,0158

]10,5 – 5,62,28[√5,208√80 · 0,07 · 0,93

]115 – 1083,5[

]100 – 1083,5[

x – 1083,5

2–1,33

2

]100 – 886[

–1,33

]80 – 886[


matematicas 1 bachillerato - mat i (aplicadas a ccss) - solucionario (anaya)

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