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Funções reais de variável realBibliografia
Matemática2014/2015
Capítulo IV - Funções Reais de Variável Real (Parte II)
Sandra Monteiro Sandra Oliveira
Departamento de Economia e GestãoÁrea Científica de Métodos Quantitativos
Escola Superior de Ciências Empresariais
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Conteúdos programáticos
Funções elementaresFunção afim
Função quadrática
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Funções Elementares
Função Potênciaf (x ) = x p , p racional
Função Exponencial de base e
f (x ) = e x
Função Logarítmica de base e
f (x ) = log (x ), x ∈ R+
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
Propriedades
D f = D
f = R
a representação gráfica é umarecta
tem um zero em x = 0é negativa em R− e positiva emR+
é bijectiva
é monótona crescente em Rnão tem extremos
Nota
]−∞, 0[ = R− ]0,+∞[ = R+
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
Propriedades
D f = R
D f = R+0
a representação gráfica é umaparábola
tem um zero em x = 0
f (0) = 0 é o mínimo absoluto
é positiva em R\{
0}não é injectiva nem sobrejectiva
é decrescente em R− ecrescente em R+
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F õ l
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
Propriedades
D f = D
f = R
tem um zero em x = 0é negativa em R− e positiva emR+
é bijectiva
é monótona crescente em Rnão tem extremos
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F õ l t
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
Propriedades
D f = D
f = R\{0}
não tem zerosé negativa em R− e positiva emR+
é injectiva
não é sobrejectiva
é decrescente em R− e em R+
não tem extremos
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Funções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Potência
Propriedades
D f = R\{0}
D
f =R+
não tem zeros
é positiva em D f = R\{0}não é sobrejectiva nem injectiva
é crescente em R− edecrescente em R+
não tem extremos
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Funções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Módulo f (x ) = |x |
Propriedades
D f = R
D
f =R+
0tem um zero em x = 0
f (0) = 0 é o mínimo absoluto
é positiva em R\{0}não é sobrejectiva nem injectiva
é decrescente em R− ecrescente em R+
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Funções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Exponencial
Função Exponencial de Base e
f (x ) = e x
e - Número de Neper e = 2, 7182... Número Irracional
f (0) = e 0 = 1
f (1) = e 1 = e
f (2) = e 2
f (−1) = e −1 = 1e
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F i d iá l lFunções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
Função Exponencial
Propriedades
D f = R
D f = R+
não tem zeros
é positiva em D f = R
não é sobrejectiva mas éinjectiva
é monótona crescente emR
não tem extremos
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F õ i d iá l lFunções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
ç s a sFunção AfimFunção Quadrática
Função Logarítmica
Função Logarítmica de Base e
f (x ) = log(x ) = loge (x ) = Ln (x )
f (1) = log(1) = 0
f (e ) = log(e ) = 1
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Funções reais de variável realFunções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
çFunção AfimFunção Quadrática
Função Logarítmica
Propriedades
D f = R+
D f = R
tem um zero em x = 1
é positiva em ]1, +∞[ enegativa em ]0,1[
é sobrejectiva e injectiva
é monótona crescente emR+
não tem extremos
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Funções reais de variável realFunções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Função AfimFunção Quadrática
Função Logarítmica
Propriedades
log(x × y ) = log(x ) + log(y )log(
x
y ) = log(x ) − log(y )
log(x k ) = k log(x )
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Funções reais de variável realFunções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Função AfimFunção Quadrática
Função Exponencial/Logarítmica
As funções Exponencial e Logarítmica são a inversa uma daoutra
loge (x ) = y ⇔ e y = x
loge (1) = 0 ⇔ e 0
= 1
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Funções reais de variável realFunções elementares
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Funções reais de variável realBibliografia
Função AfimFunção Quadrática
Funções reais de variável real
Função AfimUma função real de variável real definida por
f (x ) = ax + b ,
com a , b ∈ R diz-se uma função afim.
a representação gráfica é uma recta
à constante b chama-se ordenada na origem e corresponde ao
valor de y quando x = 0(0,b ) é o ponto onde o gráfico intersecta o eixo das ordenadas
a constante a representa o declive (inclinação) da rectarelativamente ao eixo das abcissas
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Funções reais de variável realFunções elementaresF ã Afi
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Funções reais de variável realBibliografia
Função AfimFunção Quadrática
Função Afim
Exercício 1Indique, para cada função representada graficamente, os valores daordenada na origem e do declive.
Exercício 2Indique, para cada função representada graficamente, o domínio,contradomínio, zeros e extremos. Estude a monotonia e o sinal dasfunções.
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Funções reais de variável real Funções elementaresF ã Afi
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çBibliografia
Função AfimFunção Quadrática
Função Afim
Características
D = R
tem um zero em x = −
b a
é crescente em R
é positiva em ] − b a , +∞[ e
negativa em ] −∞,− b a
[
é bijectiva
não tem extremos
é contínua em R
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Funções reais de variável real Funções elementaresFunção Afim
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çBibliografia
Função AfimFunção Quadrática
Função Afim
Características
D = R
tem um zero em x = −
b a
é decrescente em R
é positiva em ] −∞,− b a
[ enegativa em ] − b
a , +∞[
é bijectiva
não tem extremos
é contínua em R
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Funções reais de variável real Funções elementaresFunção Afim
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BibliografiaFunção AfimFunção Quadrática
Função Afim
Características
D = R
não tem um zeros se b = 0
é constanteé positiva em R se b > 0 enegativa em R se b
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BibliografiaFunção AfimFunção Quadrática
Funções reais de variável real
Função Quadrática
Uma função real de variável real definida por
f (x ) = ax 2 + bx + c ,
com a , b , c ∈ R e a = 0 diz-se uma função quadrática.
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Funções reais de variável real Funções elementaresFunção Afim
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BibliografiaFunção AfimFunção Quadrática
Função Quadrática
Representação gráficaA representação gráfica de uma função quadrática é uma parábola.
Se a > 0 a concavidade é voltada para cima
Se a
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Bibliografiaçã
Função Quadrática
Função Quadrática
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Funções elementaresFunção Afim
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Bibliografiaç
Função Quadrática
Função Quadrática
Vértice da parábolaO vértice da parábola é o ponto de coordenadas
− b
2a ,− ∆
4a
onde ∆ = b 2 − 4ac
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Funções elementaresFunção Afim
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BibliografiaFunção Quadrática
Função Quadrática
Exercício
Para as funções seguintes indique o domínio, o sentido daconcavidade e as coordenadas do vértice da parábola.
1 f (x ) = x 2 + 6x + 9
2 f (x ) = −2x 2 − 4x + 13 f (x ) = x 2 − x 4 f (x ) = −x 2 + 4
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Funções elementaresFunção Afim
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BibliografiaFunção Quadrática
Função Quadrática
Domínio e ContradomínioO domínio é D f = R
O contradomínio é
D
f
= −∞,−∆
4a se a 0
não é sobrejectiva nem injectiva
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Funções elementaresFunção Afim
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BibliografiaFunção Quadrática
Função Quadrática
Extremos e continuidade
− ∆4a é o máximo absoluto se a 0
é contínua emR
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Funções elementaresFunção AfimF ã Q d á i
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BibliografiaFunção Quadrática
Função Quadrática
Exercício
Para as funções do exercício anterior indique o contradomínio e osextremos.
1 f (x ) = x 2 + 6x + 9
2 f (x ) = −2x 2 − 4x + 13 f (x ) = x 2 − x 4 f (x ) = −x 2 + 4
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Funções elementaresFunção AfimF ã Q d áti
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gFunção Quadrática
Função Quadrática
Zeros (Fórmula resolvente)
f (x ) = 0 ⇔
ax 2 + bx + c = 0 ⇔
x = −b ±√ b 2 − 4ac
2a ou
x = −b ±√ ∆
2a
com ∆ = b 2 − 4ac .
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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gFunção Quadrática
Função Quadrática
Zeros
Se ∆ > 0 a função f tem dois zeros reais distintos
x = −b −√ ∆
2a ∨ x =
−b + √ ∆2a
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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Função Quadrática
Função Quadrática
Zeros
Se ∆ = 0 a função f tem um zero real duplo
x =
−
b
2a
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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Função Quadrática
Função Quadrática
Zeros
Se ∆
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Função Quadrática
Função Quadrática
Exercício
Verifique se as seguintes funções têm zeros reais e nesse caso
calcule-os.1 f (x ) = x 2 − 3x + 22 f (x ) = x 2 − 4x + 43 f (x ) =
−x 2 + 3x
−7
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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u ção Quad át ca
Função Quadrática
Sinal
Se ∆ > 0 e a > 0
positiva em ] −∞, x 1[ ∪ ]x 2, +∞[negativa em ]x 1, x 2[
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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ç
Função Quadrática
Sinal
Se ∆ > 0 e a
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Função Quadrática
Sinal∆ = 0
Se a > 0 é positiva em R\{x 1}Se a
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Função Quadrática
Sinal∆ 0 é positiva em R
Se a
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Função Quadrática
Exercício
Estude o sinal das funções seguintes.
1
f (x ) = x 2
+ 6x + 92 f (x ) = −x 2 + 3x − 73 f (x ) = x 2 + 4
4 f (x ) = −x 2 + 45 f (x ) = x 2 − x
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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Função Quadrática
Monotonia
Se a > 0
decrescente em ] −∞,− b 2a [
crescente em ] − b
2a , +∞, [
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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Função Quadrática
Monotonia
Se a
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Função Quadrática
Exercício
Estude a monotonia das funções seguintes.
1
f (x ) = x
2
+ 6x + 92 f (x ) = −x 2 + 3x − 73 f (x ) = x 2 + 4
4 f (x ) = −x 2 + 45 f (x ) = x 2 − x
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Funções elementaresFunção AfimFunção Quadrática
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Função Quadrática
Exercício
Represente graficamente as funções seguintes.
1
f (x ) = x
2
+ 6x + 92 f (x ) = −x 2 + 3x − 73 f (x ) = x 2 + 4
4 f (x ) = −x 2 + 45 f (x ) = x 2 − x
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Bibliografia
Apostol, T.M. (1988) Cáculo, vol.1, Editora Reverte,Lda.Penalva, H., Monteiro, S., Oliveira, S., Jesus, V. (2003) Matemática em Setembro.
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