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Matemtica

Operaes Bsicas

Professor Dudan

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Matemtica

OPERAES MATEMTICAS

Observe que cada operao tem nomes especiais:

Adio: 3 + 4 = 7, em que os nmeros 3 e 4 so as parcelas e o nmero 7 a soma ou total.

Subtrao: 8 5 = 3, em que o nmero 8 o minuendo, o nmero 5 o subtraendo e o nmero 3 a diferena.

Multiplicao: 6 5 = 30, em que os nmeros 6 e 5 so os fatores e o nmero 30 o produto.

Diviso: 10 5 = 2, em que 10 o dividendo, 5 o divisor e 2 o quociente. Nesse caso o resto da diviso ZERO.

Regra de sinais da adio e subtrao de nmeros inteiros

A soma de dois nmeros positivos um nmero positivo.(+ 3) + (+ 4) = + 7, na prtica eliminamos os parnteses. + 3 + 4 = + 7

A soma de dois nmeros negativos um nmero negativo. (-3) + (-4) = 7, na prtica eliminamos os parnteses. 3 4 = 7

Se adicionarmos dois nmeros de sinais diferentes, subtramos seus valores absolutos e damos o sinal do nmero que tiver o maior valor absoluto.( 4) + (+ 5) = + 1, na prtica eliminamos os parnteses. 4 + 5 = 1 assim, 6 8 = 2.

Se subtrairmos dois nmeros inteiros, adicionamos ao 1 o oposto do 2 nmero. (+ 5) (+ 2) = (+ 5) + ( 2) = + 3, na prtica eliminamos os parnteses escrevendo o oposto do segundo nmero, ento: + 5 2 = + 3 (o oposto de +2 2)

( 9) (- 3) = 9 + 3 = 6 ( 8) (+ 5) = 8 5 = 13

DICA

Na adio e subtrao, quando os sinais forem iguais, somamos os nmeros e conservamos o mesmo sinal, quadno os sinais forem diferentes, diminuimos os nmeros e conservamos o sinal do maior valor absoluto.

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1. Calcule:

a) 3 + 5 = b) + 43 21 =

c) 9 24 = d) 25 + ( 32) =

e) + 5 14 = f) + 7 + ( 4) =

g) 19 ( 15) = h) + 7 ( 2) =

i) + 9 5 = j) 8 + 4 + 5 =

k) 9 1 2 = l) + (-6) (+3) + 5 =

Regra de sinais da multiplicao e diviso de nmeros inteiros

Ao multiplicarmos ou dividirmos dois nmeros de sinais positivos, o resultado um nmero positivo.

a) (+ 3) (+ 8) = + 24

b) (+12) (+ 2) = + 6

Ao multiplicarmos ou dividirmos dois nmeros de sinais negativos, o resultado um nmero positivo.

a) ( 6) ( 5) = + 30

b) ( 9) ( 3) = + 3

Ao multiplicarmos ou dividirmos dois nmeros de sinais diferentes, o resultado um nmero negativo.

a) ( 4) (+ 3) = 12

b) (+ 16) ( 8) = 2

DICA

Na multiplicao/diviso, quando os dois sinais forem iguais, o resultado (+), e quando forem diferentes, o resultado ().

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2. Calcule os produtos e os quocientes:

a) ( 9) ( 3) = b) 4 ( 2) = c) 6 9 =

d) ( 4) ( 4) = e) 12 ( 6) = f) 1 ( 14) =

g) (+ 7) (+ 2) = h) ( 8) ( 4) = i) 5 x (- 4) 2 =

3. Efetue os clculos a seguir:

a) 2085 1463 = b) 700 + 285 = c) 435 x 75 =

d) 4862 36 = e) 3,45 2,4 = f) 223,4 + 1,42 =

g) 28,8 4 = h) 86,2 x 3 =

Potenciao e Radiciao No exemplo 72 = 49 temos que: 7 a base, 2 o expoente e 49 a potncia.

A potncia uma multiplicao de fatores iguais: 72 = 7 x 7 = 49

Todo nmero inteiro elevado a 1 igual a ele mesmo:Ex.: a) ( 4)1 = 4 b) (+ 5)1 = 5

Todo nmero inteiro elevado a zero igual a 1.Ex.: a) ( 8)0 = 1 b) (+ 2)0 = 1

No exemplo 83 = 2 temos que: 3 o ndice da raiz, 8 o radicando, 2 a raiz e o smbolo o radical.

Ex.: a) 52 = 25 b) 23 = 8 c) 34 = 81

d) 6254 = 5 e) 64 = 8 f) 273 = 3

Regra de sinais da potenciao de nmeros inteiros

Expoente par com parnteses: a potncia sempre positiva.

Exemplos: a) ( 2)4 = 16, porque ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = + 16 b) (+ 2) = 4, porque (+ 2) (+ 2) = + 4

Expoente mpar com parnteses: a potncia ter o mesmo sinal da base

Exemplos: a) ( 2)3 = 8, porque ( 2) ( 2) ( 2) = 8 b) (+ 2)5 = + 32, porque (+ 2) (+ 2) (+ 2) (+ 2) (+ 2) = + 32


Quando no tiver parnteses, conservamos o sinal da base independente do expoente.

Exemplos: a) 2 = 4 b) 23 = 8 c) + 3 = 9 d) + 53 = + 125

4. Calcule as potncias:

a) 3 = b) ( 3) =

c) 3 = d) (+ 5)3 =

e) ( 6) = f) 43 =

g) ( 1) = h) (+ 4) =

i) ( 5)0 = j) 7 =

k) ( 2,1) = l) 1,13 =

m) (8) = n) 8 =

Propriedades da Potenciao

Produto de potncia de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplos:

a) a3 x a4 x a2 = a9

b) ( 5)2 x ( 5) = ( 5)3

c) 3 x 3 x 32 = 34

Diviso de potncias de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

Exemplos:

a) b5 b2 = b3

b) ( 2)6 ( 2)4 = ( 2)2

c) ( 19)15 ( 19)5 = ( 19)10

Potncia de potncia: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplos:

a) (a2)3 = a6

b) [( 2)5]2 = ( 2)10



Potncia de um produto ou de um quociente: Multiplicase o expoente de cada um dos elementos da operao da multiplicao ou diviso pela potncia indicada.

Exemplos:

a) [( 5)2 x (+ 3)4]3 = ( 5)6 x (+ 3)12

b) [( 2) ( 3)4]2 = ( 2)2 ( 3)8

Expresses numricas

Para resolver expresses numricas, preciso obedecer a seguinte ordem:

1 resolvemos as potenciaes e as radiciaes na ordem em que aparecem.

2 resolvemos as multiplicaes e as divises na ordem em que aparecem.

3 resolvemos as adies e as subtraes na ordem em que aparecem.

Caso contenha sinais de associao:

1 resolvemos os parnteses ()

2 resolvemos os colchetes []

3 resolvemos as chaves {}

5. Calcule o valor das expresses numricas:

a) 6 3 + 10 50 =

b) 20 + 23 10 4 2 =

c) 100 + 1000 + 10000 =

d) 5 5 15 + 50 53 =

e) 53 2 [24 + 2 (23 3)] + 100 =

f) 2 {40 [15 (3 4)]} =


Simplificao de fraes

Para simplificar uma frao, divide-se o numerador e o denominador da frao por um mesmo nmero.

Exemplo:

a) 614 22 =

37

b) 4012 22 =

206

22 =

103 ou

4012

44 =

103

Quando o numerador divisvel pelo denominador, efetua-se a diviso e se obtm um nmero inteiro.

Exemplo:

a) 100-25 = 4

b) 29923 = 13

6. Simplifique as fraes, aplicando a regra de sinais da diviso:

a) 7550 b) 4884 c)

362 d)

1015

A relao entre as fraes decimais e os nmeros decimais

Para transformar uma frao decimal em nmero decimal, escrevemos o numerador da frao e o separamos com uma vrgula, deixando tantas casas decimais quanto forem os zeros do denominador.

Exemplo: a) 4810 = 4,8 b) 365100 = 3,65 c)

981.000 = 0,098 d)

67810 = 67,8

Para transformar um nmero decimal em uma frao decimal, colocamos no denominador tantos zeros quanto forem os nmeros depois da vrgula do nmero decimal.

Exemplo: a) 43,7 = 43710 b) 96,45 = 9.645100 c) 0,04 =

4100 d) 4,876 =

4.8761.000



Adio e subtrao de fraes

Com o mesmo denominador

Sendo os denominadores iguais, basta somar ou diminuir os numeradores.

Exemplo: a) 216 46 +

96 =

266 simplificando

266 =

133 b)

14 +

34 =

44 = 1

Com denominadores diferentes

Sendo os denominadores diferentes, preciso encontrar as fraes equivalentes s fraes dadas, de modo que os denominadores sejam iguais, uma maneira prtica encontrar o MMC dos denominadores. Veja:23

45 , o MMC de 3 e 5 15. Para encontrar os novos numeradores, dividmos o MMC (15) pelo

denominador da primeira frao e multiplicamos o resultado da diviso pelo seu numerador: 15 3 = 5 x 2 = 10. Assim procedemos com as demais fraes, ento: 2

3 4

5 = 10

15 12

15

Observe que a frao 1015 equivalente frao 23 e a frao

1215 equivalente a frao

45

Por fim, efetuamos o clculo indicado entre 1015 1215 =

215

7. Calcule o valor das expresses e simplifique quando for possvel:

a) 34 + 2

10 52

510 b)

73 + 2

14

Multiplicao e diviso de fraes

Para multiplicar fraes, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si tambm.

Exemplo: a) 25

x 34

= 620

simplificando 310

Para dividir fraes, basta multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda.

12Exemplo: a) 38

57 =

38 x

75 =

2140 b)

_____ = 12 x 53

56 35

DICA

Dividir por um nmero multiplicar pelo seu inverso!


8. Efetue e simplifique quando for possvel:

a) 47 25 b)

12

34

23

c) ( 4) 38 d)

9. Aplique seus conhecimentos e calcule o valor das expresses numricas. Observe as operaes indicadas, a existncia de sinais de associao e tenha cuidado com as potncias.

a) ( 1 2 3 4 5) (+ 15) =

b) (8 + 10 2 12) ( 4 + 3) =

c) 3 { 2 [(- 35) 25 + 2]} =

d) 4 {( 2) ( 3) [ 11 + ( 3) ( 4)] ( 1)} =

e) 2 + { 5 [- 2 ( 2) 3 (3 2) ] + 5} =

f) 15 + 10 (2 7) =

10. Efetue os clculos a seguir:

a) 2075 2163 b) 740 485 c) 415 72

d) 1548 36 e) 13,46 8,4 f) 223,4 + 1,42

g) 3,32 2,5 h) 86,2 3 i) 78,8 4

j) 100 2,5 k) 21,2 0,24 l) 34,1 3,1



Potenciao e radiciao de fraes Para elevarmos uma frao a uma determinada potncia, determina-se a potenciao do

numerador e do denominador obedecendo as regras de sinais da potenciao.

Exemplo: a) 23

2 = + 4

9 b) 1

4

3 = 164

c) + 35

3 = 27

125

Um nmero racional negativo no tem raiz de ndice par no conjunto Q, se o ndice for mpar pode ter raiz positiva ou negativa.

Exemplo: a) - 36 = Qb) -81 4 = Q

J o ndice mpar admite raiz nagativa em Q.

Exemplo: a) -64 3 = 4, porque (- 4)3 = 64b) -32 5 = 2, porque (- 2)5 = 32

Expoente negativo

Todo nmero diferente de zero elevado a um expoente negativo igual ao inverso do mesmo nmero com expoente positivo.

Exemplo: a) 17 = 1

49 b) 4-3 = 1

4 = 164 c)

24

-2 = 42

2 = + 164

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