Autor: Luis . E. Camacho . S.

Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

1

Prologo

Esta guía de Matemática que utilizarán los bachilleres, refleja en forma sencilla y

práctico los objetivos básicos de los programas de Educación Media General..

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje

de la Matemática.

Los Teques, Marzo del 2004

2

Agradecimientos:

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”

U. E . A.”Sor Maria Faustina”

Liceo San Pedro de Los Altos

U. E. C. “Andrés Bello”

3

Geometría :

Circunferencia: es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del

centro.

Elementos de la Circunferencia:

a) Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier

punto de ella.

b) Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

c) Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

d) Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Radio . Arco

4

Cuerda Diámetro

Fórmula de la Circunferencia:

C = 2 . π . r

Calcular: a) C = x b) C = x c) C = x d) C = x r = 4 cm r = 3 cm r = 2 cm r = 6 cm

Construir circunferencias de:

a) 5 cm de diámetro.

b) 2.5 cm de diámetro.

c) 4 cm de radio.

d) 3 cm de radio

e) 20 mm de radio.

f) 30 mm de diámetro.

5

Triángulos: Un triángulo es un polígono de tres lados. Está compuesto por: lados,

vértices, ángulos internos y externos, tiene superficie y perímetro.

Clasificación de los triángulos:

Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno

Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo

a b c d

e f

Ángulos Internos:

A α A + α B + α C = 180°

6

Ejercicios: 1) Dado : Hallar : x

2) Dado Hallar : x

Ángulos Externos :B A + B + C = 360°

C

A

1.- Dado 120°

Hallar: X

X 80°

7

X

2.- Dado

Hallar: X 100°

120°

Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Paralelogramo Rectángulo Rombo

a b e f s

v td c g h

u

Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo

8

Trapecio Escaleno i e

m n

:

Construir los siguientes cuadriláteros:

1.- Un rombo, con las siguientes medidas: diagonal ac = 6cm, diagonal bd = 4cm.

2.- Un rombo: diagonal ac = 5cm, diagonal bd= 3cm.

3.- Un paralelogramo, cuyas diagonales midan cb = 7cm. , ad = 4cm y α a ó c = 50°.

4.- Un paralelogramo donde ab= 6cm y en ‘el construyamos un ángulo de 30°, ac= 5cm.

Polígonos: llamamos polígonos a la figura representada por una línea poligonal cerrada y

sus puntos interiores.

Polígono regular Polígono irregularb

b a c

c a

e d e d

9

Nombre de los Polígonos:

3 lados : triángulo 4 lados: cuadrilátero

5 Lados: pentágono6 lados: hexágono

7 lados: heptágono 8 lados: octógono 9 lados: eneágono

10 lados: decágono

Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia.

Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:

a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.

b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.

c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.

d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

10

Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia

a

b e

d

c

Polígonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la misma

circunferencia.

11

Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:

a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.

b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.

c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.

d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

Cálculo de Áreas:

a.- A (triángulo) = b . h b.- A(rectángulo) = b . h c.- A(cuadrado)= L² 2

d.- A(paralelogramo) = b . h e.- A(trapecio)= B1 + B2 . h

2

f.- A(rombo) = D1 . D2

2

12

Ejercicios:

a.- Calcula el área del triángulo cuya base es 2 cm y la altura 3 cm.

b.- Calcula el área del trapecio cuya base 1 es igual a 4 cm, base 2 igual a 3cm y la altura

2 cm.

c.- Calcula el área del cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm.

d.- Calcula el área del paralelogramo, sabiendo que base mide 4 cm y su altura 5 cm.

e.- Calcula el área del rombo, sabiendo que una diagonal mide 3 cm y la otra

diagonal mide 4 cm.

Medidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los líquidos y la unidad más usada es

el litro.

Kl- hl – dal -l- dl – cl - ml

Kl= kilo-litro hl= hecto-litro dal= decalitro l= litro dl= decilitro

Cl= centrilitro ml= mililitro

Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor

multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

13

Ejercicios: 1.- Transformar 25 Kl a l 2.- Transformar 267 l a cl

3.- Transformar 1280 cl a dal 4.- Transformar 34 dl a hl

Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual forma.

De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³

Ejercicios: 1.- Transformar 3,4 m³ a cm³ 2.- Transformar 0,042 dam³ a mm³

3.- Transformar 4876 m³ a hm³ 4.- Transformar 346 dam³ a hm³

5.- Transformar 12345 mm³ a km³ 6.- Transformar 830 cm³ a hm³

Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe entre

dos cuerpos.

Km-hm-dam-m-dm-cm-mm

Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decímetro

cm= centímetro mm= milímetro

14

Transformar: a.) 3,4m a cm b.) 0,456 dam a mm c.) 4876 m a hm

d.) 28 dam a dm e.) 24546 mm a cm f.) 7463 h a Km

Identificar Poliedros:

Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polígonos.

Cubo Prisma

Paralelepípedo Tetraedro

15

Vi pirámide

Caras de un poliedro: son los polígonos que lo limitan.

Aristas de un poliedro: son los lados de los polígonos que forman sus caras, o los

segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras.

Vértices de un poliedro: son los vértices de los polígonos que forman sus caras o los

puntos de intersección de sus aristas.

Calcular el volumen de poliedros:

1) Volumen del cubo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura,

pero la base es un cuadrado así que el área vale : A = lado2.

Fórmula: V = (lado)3

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2) Volumen del paralelepípedo: se calcula multiplicando la superficie de la base por

la altura, pero la base es un rectángulo cuya área vale:

A = largo x ancho.

aFórmula: V = l . a . h

h

l = largol a = ancho

h = altura

3) Volumen del cilindro: se calcula multiplicando la superficie de la base por la

altura, pero la base es un círculo cuya superficie vale: C = . r2

Fórmula: V = . r2 . h

r = radio

h h = altura

17

4) Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la base

por la altura.

Fórmula: V = p . a . h 2

5) Volumen de la esfera: fórmula. V = 4 . . r3

3

r

18

5) Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base por la

altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V = b . h 3

6) Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su

altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V = . r2 . h 3

h

r

19

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:

a) 3,4 m3 a cm3 b) 0,042 dam3 a mm3

c) 4876 m3 a hm3 d) 0,086 cm3 a dam3

e) 4 km3 a mm3 f) 18742 cm3 a dam3

Calcular el volumen del cubo, cuyas aristas son:

a) l = 6 m b) l = 5 cm c) l = 3 cm

d) l = 7 m e) l = 4 m f) l = 8 cm

Calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyos datos son:

a) l = 3 m b) l = 4 m c) l = 5 cm

a = 2,5 m a = 3 m a = 3 cm

h = 1,8 m h = 2 m h = 6 cm

d) l = 5 m e) l = 6 cm f) l = 7 m

a = 4 m a = 4,5 cm a = 8 m

h = 8 m h = 7 cm h = 10 m

20

Calcular el volumen de un cilindro, cuyos datos son:

a) r = 12 cm b) r = 10 m c) r = 8 cm

h = 45 cm h = 7 m h = 5 cm

= 3,14 = 3,14 = 3,14

d) r = 23 cm e) r = 14 m f) r = 9 cm

h = 30 cm h = 14 m h = 14 cm

= 3,14 = 3,14 = 3,14

Calcular el volumen de un prisma, cuyos datos son:

1) b = 240 cm2 2) b = 124 cm2

h = 14 cm h = 16 cm

3) b = 24 m2 4) b = 45 cm2

h = 6 m h = 5 cm

Calcular el volumen de una esfera, cuyos datos son:

1) r = 3 cm 2) r = 4 m 3) r = 5 cm

= 3,14 = 3,14 = 3,14

21

Calcular el volumen de un cono, cuyos datos son:

1) r = 6 m 2) r = 8 cm 3) r = 7 m

h = 4 m h = 6 cm h = 5 m

= 3,14 = 3,14 = 3,14

22

P = CF casos favorables CP casos posibles

Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.

P= 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50% 2

2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5.

P = 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6% 6

Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:

a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.

b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.

c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde,

salga una azul y una roja.

d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

23

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada

01 - 05 6 6

06 - 10 8 14

11 - 15 4 18

16 - 20 5 23

8

7

6

5

Frecuencia 4

3

2

1

01 05 10 15 20

Intervalos

24

Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular

Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada

01-05 5 3 5

06-10 6 8 11

11-15 4 13 15

16-20 7 18 22

Realiza el gráfico.Correspondiente.

25

Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras

Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f

001-002 6

003-004 8

005-006 7

007-008 4

Completa elcuadro y realiza elgráfico.correspondientes

26

Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones.

a) –4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)=

b) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}=

c) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}=

d) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x + 8 = 18 b) x – 4 = 10 c) 10 + x = 30

d) 20 + x = 70 e) 82 – x = 68 f) 5x + 10 = 15

g) x + 20 = 34 h) x – 25 = 50 i) 4x = 124

j) 5x + 103 = 153 k) 42x – 84 = 126 l) 1200 = 90 + 111x

27

Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones:

a) (15+1):8= b) 20 : (7+3)= c) (-36) : (6-12)=

d) (23-11) : (-6)= e) 45 : (14-5)= f) (-80) : (15+5)=

Efectuar cada una de las siguientes expresiones:

a) 32.34.35 = b) 23.34.25.310 = c) a3.b2a.b3 =

3.36 3.22.2.35 a2.b3

Hallar el m .c .m de los siguientes números:

a) 20 y 4 b) 30 y 6 c) 5 y 7 d) 15 y 25 e)21 y 34

f)12,3,15 g) 24,12,30 h) 4,8,9 i) 9,10,7 j) 5,9,16

Determinar el M .C .D de los siguientes números:

a) 72 y 90 b) 140 y 35 c) 24 y 56 d) 14 y 8 e) 12 y 34

f) 25 y 46 g) 14 y 28 h) 35 y 42 i) 28 y 35 j) 21 y 30

28

Efectuar cada una de las siguientes adiciones:

a) 2/6 + 7/4 = b) 5/3 + 6/5 = c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =

d) 5/2 + 7/5 = e) 4/3 + 8/6 + 9/4 = f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =

g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 = i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =

Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como una fracción irreducible:

a) ( 3/4 ) . (-5/3)= b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) = c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =

d) (4/6) . (5/6) . (5/2) = e) (7/6) . (4/5) . (3/6) = f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando larespuesta lo más simplificado posible:

a) (3/4 + 2/5) : 2/3 = b) (5/2 – 1/5) : 2/4 = c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =

d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) = e) (5/6 : 4/3) : 6/4 = f) (4/6 – 8/4) . 6/3 =

g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) = h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =

29

Efectuar cada una de las siguientes potencias:

a) (2/3)4 . (2/3)3 = b) (-1/3)2: (-2/3)4 = c) (3/5) . (3/5)4 =

d) (3/4)2 . (6/5) = e) (2/3)4 . (1/5) 4 = f) (6/4)3 : (6/4)2 =

g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2 3 = h) (4/2)3 . (5/2)3 5 : (4/2) .(5/2)2 =

Determinar el representante decimal correspondiente a cada una de lassiguientes fracciones:

a) 4/10 = b) 8/100 = c) 486/1000 = d) 39/10.000 = e) 765/100 =

f) 34,2/10 = g) 2,45/100 = h) 0,0078/1000 = i) 8765/100 =

j) 78/1000 = k) 24537/10 = l) 2655364/10.000 = m) 2453/100.000 =

Determinar la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:

a) 2, 35 = b) 34, 24 = c) 4, 786 = d) 76, 345 = e) 54, 8976 =

f) 5, 7 6 5 = g) 45,9 87 = h) 876,98 65 = i) 9,567 87 =

30

Calcular la longitud de cada una de las siguientes circunferencias cuyos radios son:

a) r = 2 cm b) r = 6 cm c) r = 2,4 cm d) r = 10 cm

e) r = 3,5 cm f) r = 34 mm g) r = 45 mm h) r = 5 m.

Dibujar los triángulos cuyos lados se dan a continuación:

a) ab = 2 cm b) ab = 19 mm c) ab = 23 mm d) ab = 4 cm

ac = 2,2 cm ac = 20 mm ac = 20 mm ac = 6 cm

bc = 2 cm bc = 23 mm bc = 26 mm bc = 7 cm

Construir circunferencias de :

a) 3 cm de radio b) 23 mm de radio c) 5,3 cm de diámetro

d) 45 mm de diámetro e) 3,3 cm de radio f) 8 cm de diámetro

31

Construir los siguientes cuadriláteros:

a) Un paralelogramo: ab = 4 cm ; ad = 2 cm

b) Un rectángulo: ab = 6 cm ; ad = 2 cm

c) Un rombo: diagonal ac = 5 cm; diagonal bd = 3 cm

d) Un trapecio isósceles :b1 = 5 cm ; b2 = 2 cm ; h = 3 cm

e) Un trapecio rectángulo: b1 = 6 cm; b2 = 3 cm; h = 4 cm

f) Un trapecio escaleno : b1 = 4 cm ; b2 = 2 cm; h = 3 cm

Construir polígonos, cuyas circunferencias son:

a) Un triángulo, en una circunferencia de 5 cm de diámetro.

b) Un cuadrilátero, en una circunferencia de 4 cm de diámetro.

c) Un pentágono, en una circunferencia de 6 cm de diámetro.

d) Un hexágono, en una circunferencia de 7 cm de diámetro.

32

Calcular las siguientes áreas:

a) De un triángulo: b = 5 cm; h = 6 cm

b) De un rectángulo: b = 4 cm ; h = 3 cm

c) De un cuadrado: l = 3 cm

d) De un paralelogramo: b = 6 cm; h = 2 cm

e) De un trapecio: B1= 5 cm; B2= 3 cm; h = 3 cm

f) De un rombo: D1= 4 cm; D2= 5 cm

Dibujar los triángulos cuyos ángulos y lados adyacentes se dan a con-

tinuación:

a) αA = 68°; ab = 23 mm; ac = 22 mm

b) αB = 120°; ba = 17 mm; bc = 23 mm

c) αC = 47°; ca = 20 mm; cb = 32 mm

d) αA = 100°, ab = 5 cm; ac = 2 cm

e) αB = 45°; ba = 4 cm; bc = 6 cm

33

Calcular el valor del ángulo x en cada una de las siguientes figuras:

a) 75° b)

x 45°

x

52°

c) 56°

x

52° 82°

34

En cada una de las siguientes figuras calcular el área sabiendo que:

a) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 m2.

b) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 cm2.

c) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 km2.

a) b)

c)

35

Calcular el área de cada una de las siguientes figuras: (dibujarlas)

a) Un cuadrado si uno de sus lados mide 5 cm.

b) Un triángulo cuya base es 4 cm, y su altura 6 cm.

c) Un rectángulo cuya base es 3 cm, y su altura 4 cm.

d) Un paralelogramo cuya base es 5 cm, y su altura 5 cm.

e) Un trapecio cuya b1= 4 cm; b2= 6 cm y su altura 4 cm.

f) Un rombo cuyo D1= 4 cm; D2= 3 cm.

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:

a) 2,6 m3 a ml3 b) 0,0003 hl3 a cl3 c) 456,74 l3 a mm3

d) 3,53678 dal3 a ml3 e) 1234,65 kl3 a dl3 f) 2,4 x 102 dal3 a hl3

36

Transformar cada una de las siguientes medidas de longitud:

a) 45 km a hm b) 456,3 m a km c) 1,245 mm a m d) 0,786 m a km

e) 984 dam a dm f) 12,45 km a mm g) 56,387 dm a hm h)36,2 km a m

37

Hallar la probabilidad de que:

a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.

b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.

c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.

d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras

verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.

e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de

Acierte el N° 4.

4 5 8 9 1 0 3

12 4 7 10 23 13 43

32 89 45 54 78 98 46

27 37 4 60 100 48 41

96 3 12 76 1 0 52

38

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,

uno líneas y uno de puntos:

Clases frecuencias punto medio f. acumulada

00-06 5

07-13 7

14-20 4

21-27 8

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras uno de puntos.

Intervalos frecuencias punto medio p. m x f

1 – 10 5

11 - 20 8

21 – 30 6

31 - 40 9

39

Dados los conjuntos: A = 1,2,3,4 B = a,2,c, d C = 2,3,4

D = a, b,1,2 E = a,0,1

1) Hallar la relación “es igual a” de A B

2) Hallar la relación “le sigue a” de A C

3) Hallar la relación “ no es igual a” B D

4) Hallar la relación “le antecede a” D E

Hallar el producto cartesiano de los conjuntos:

1) A = 1,2,3,a 2) B = a ,b, c, d 3) C = x, a,1,7

4) A = # , * 5) C = + , a , b 6) B = x, y ,z

40

Dados los siguientes conjuntos, hallar la representación gráfica , el tipo

de función, dominio y rango:

A = 1,2,3,4 B = a, b, c C = 1, f, e, x

D = 1,x, f, r E = a,*,+,1 F = z ,r, t

1) A f B f: (1,a),(2,b),(3,c)

2) A f C f: (1,1),(2,f),(3,e),(4,x)

3) B f D f: (a,1),(b, x),(c, f),(c, r)

4) D f E f: (1,a),(x,*),(f,+),(r,+)

5) E f F f: (a, z),(*,r),(+,t),(1,t)

41

Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones.

e) –4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)=

f) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}=

g) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}=

h) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=

Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones:

a) (15+1):8= b) 20 : (7+3)= c) (-36) : (6-12)=

d) (23-11) : (-6)= e) 45 : (14-5)= f) (-80) : (15+5)=

Efectuar cada una de las siguientes expresiones:

b) 32.34.35 = b) 23.34.25.310 = c) a3.b2a.b3 =

3.36 3.22.2.35 a2.b3

Hallar el m. c. m de los siguientes números:

a) 20 y 4 b) 30 y 6 c) 5 y 7 d) 15 y 25 e)21 y 34

f)12,3,15 g) 24,12,30 h) 4,8,9 i) 9,10,7 j) 5,9,16

42

Determinar el M. C. D de los siguientes números:

a) 72 y 90 b) 140 y 35 c) 24 y 56 d) 14 y 8 e) 12 y 34

f) 25 y 46 g) 14 y 28 h) 35 y 42 i) 28 y 35 j) 21 y 30

Efectuar cada una de las siguientes adiciones:

a) 2/6 + 7/4 = b) 5/3 + 6/5 = c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =

d) 5/2 + 7/5 = e) 4/3 + 8/6 + 9/4 = f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =

g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 = i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =

Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como

una fracción irreducible:

a) ( 3/4 ) . (-5/3)= b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) = c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =

d) (4/6) . (5/6) . (5/2) = e) (7/6) . (4/5) . (3/6) = f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando la respuesta lomas simplificado posible:

a) (3/4 + 2/5) : 2/3 = b) (5/2 – 1/5) : 2/4 = c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =

d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) = e) (5/6 : 4/3) : 6/4 = f) (4/6 – 8/4) . 6/3 =

g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) = h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =

43

Efectuar cada una de las siguientes potencias:

a) (2/3)4 . (2/3)3 = b) (-1/3)2: (-2/3)4 = c) (3/5) . (3/5)4 =

d) (3/4)2 . (6/5) = e) (2/3)4 . (1/5) 4 = f) (6/4)3 : (6/4)2 =

g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2 3 = h) (4/2)3 . (5/2)3 5 : (4/2)

Hallar el valor numérico de los polinomios:

1) p(x) = 2x + 3 donde x = 2

2) q(x) = x2 – 1 donde x = 3

3) t(x) = 2x + 3 x donde x = -1

4) s(x) = 3 – x3 donde x = 2

5) p(x) = x3 + 4x – 2 donde x = 3

6) q(x) = 4x – x + 5 donde x = 2

44

Dados los polinomios : p(x) = 9x3 + 6x2 – 2x + 1

q(x) = 5x4 – 5x3 + 4x2 – 8x + 3 ; t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ;

r(x) = 2/3 x2 – 4/2 x + 3/3 ; s(x) = 3/2 x2 + 5/2 x – 2/2

h(x) = 3/5 x2 + 2/5 x – 7/4 ; z(x) = 2 x2 + 3 x - 7

Hallar la suma de los polinomios:

1) p(x) + q(x) 2) p(x) + t(x) 3) q(x) + t(x)

4) r(x) + s(x) 5) r(x) + h(x) 6) s(x) + h(x)

7) Conmutativa: p(x) + q(x) 8) Conmutativa: p(x) + t(x)

9) Asociativa: p(x) + q(x) + z(x) 10) Elemento neutro p(x) + 0

11) Elemento neutro q(x) + 0 11) Elemento simétrico de p(x)

Dados los polinomios: p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 4x2 – 5x + 9

t(x) = 3x3 – 5x2 + 7x – 6 ; s(x) = 6x2 – 7x + 5

Hallar la sustracción de los polinomios:

1) p(x) – q(x) 2) p(x) – t(x) 3) p(x) – s(x)

4) q(x) – t(x) 5) q(x) – s(x) 6) t(x) – s(x)

45

Dados los polinomios. p(x) = 2x + 7 ; q(x) = 4x – 5

h(x) = 5x – 9 ; t(x) = 2x2 – 5x + 2 ; s(x) = 3x2 + 7x + 4

Hallar:

1) p(x) . q(x) 2) p(x) . h(x) 3) p(x) . t(x)

4) q(x) . t(x) 5) h(x) . s(x) 6) p(x) . s(x)

7) Conmutativa: p(x) . q(x) 8) Asociativa: p(x) . q(x) . h(x)

9) Elemento neutro: p(x) . 1 10) Distributiva: p(x) . {q(x) ± h(x)}

Hallar la división de los polinomios:

1) (4x2 – 6x + 8) : (2x + 2) 2) (8x2 – 2x + 10) : (2x – 4)

3) (10x2 + 5x + 5) : (5x – 5) 4) (9x2 – 6x + 8) : (3x – 6)

Resolver los siguientes productos notables:

1) (2x3 + 4p6)2 2) (5ab2 + 8 c5)2 3) (6q4 + 7 t5)2

4) (3a3 – 5c4)2 5) (6b5 – 9g6)2 6) (6x3 – 7y8)2

7) (3a + b).(3a – b) 8) (3x2 + 2y).(3x2 – 2y) 9) (4p3 + 8q).(4p3 – 8q)

10) (x + 4).(x + 8) 11) (a + 9).(a + 5) 12) (p + 6).(p + 3)

13) (x + 6q)3 14) (2a2 + 6x5)3 15) (6p4 – 9r6)3

46

Factorizar los siguientes polinomios:

1) 3x4 + 6x3 + 2x 2) 4b5 – 8b4 + 6b3 3) 2x5y6 + 7x4y5 – 6x3y4

4) 9x4 – 4p8 5) 25a6 – 16y10 6) 36q2r4 – 49y12

7) - x2 + 6x – 9 8) 20ax – 25x2 + 4a2 9) x6 – 2x3 + 1

10) x2 + 10x – 24 11) a2 – 5a – 24 12) b2 – 9b + 18

13) ax – bx + ay – by 14) a2 + 2ab + b2 15) x2 + 5x + 6 + 3a

Representar puntos en el plano:

a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,-5)

y

5

4

3

2

1

x

-2 -1 0 1 2-1

-2

-3

-4

47

Ejercicios: Representar los siguientes puntos:

1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9)

2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)

3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9)

4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)

5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0)

6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)

7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3)

8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)

Calcular la distancia entre dos puntos.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son

congruentes.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son

diferentes.

Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de Pitágoras; ya

que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son : (x2 – x1) y

(y2 – y1) .

48

y

y2 P2=(x2,y2)

y1

P1(x1,y1) x2 – x1

x1 x2 x

Formula: d(P1,P2) = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:

3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1

2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1 2

Sustituimos x por 1:

y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2 2 2 2

A(1,2)

Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5 2 2 2

B(3,5)

Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x

49

Sustituimos x por 0: y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)

Sustituimos x por –1

y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)

y

6 C

5 B

4 D

3

2 A

1

-1 0 1 2 3 x

Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:

1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1

3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10

50

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

B Los puntos A, B, y C del plano determi-

nan un triángulo rectángulo y sus lados

están formados por los vectores AB= a

y AC = b . La diferencia de estos vec-

tores es el vector CB = a – b .

A C

El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 m y 4 m.

Hallar el valor de la hipotenusa.

B / CB / 2 = / BA /2 + / CA /2

x2 = (4m)2 + (3m)2

4 m x x2 = 16m2 + 9m2

x = 25 m2

x = 5 m

A 3 m C

51

Primer Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al producto

de la longitud de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella.

/ AB /2 = / AC / . / AD / .

Segundo Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a la

hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre

dicha hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.

Ejemplos:

1) En el triángulo rectángulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se conocen

AB = 8m y AD = 2m, se pide el valor de la hipotenusa AC.

B

A D C

Aplicamos el 1er Teorema:

/ AB /2 = AD . AC AC = AB2

AD

52

/ AC / = ( 8m)2 AC = 64m2 AC = 32 m

2m 2m

2) Los puntos ABC determinan un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a

la hipotenusa. Se conocen AD = 4m y DC = 8 m. Hallar el valor de BD.

B Aplicamos el segundo Teorema.

A D C

/ BD /2 = AD . DC = / BD / = 4m . 8m

/ BD / = 32m = 25m = 4 2m

Dados los vectores siguientes, hallar el producto del N° real por el vector:

1) a = (3,-2) . Hallar 5 . a 2) b = (-4,-5) . Hallar -4 . b

3) x = (2/5,3/2). Hallar 2/4 . x 4) y = (-4,6/2) . Hallar –4 . y

5) p = (√5,√4) . Hallar 3 . p 6) a = (√9,4/3) . Hallar –6 . a

53

Dados los siguientes vectores, hallar su componente:

1) a = (3,6) ; b = (4,-3) 2) a = (-4,9) ; b = (-4,-7)

3) x = (-1,-8) ; y = (2,11) 4) p = (-7,6) ; q = (-2,5)

5) a = (5/3,6) ; b = (3/2,5/4) 6) s = (2/5,-4) ; t = (5,4)

Transformar:

a) 36° a radianes b) 57° a radianes c) 87° a radianes

d) 45,234π a grados e) 2,4563π a grados f) 1,2453π

Ejemplos: En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados AC y BC

B 50 cm

40° 20´ A C

Cálculo de BC Sen 40° 20’ = CO BC = AB . Sen 40° 20’ H

Sen 40° 20’ = 0,6472 AB = 50 cm BC = 50 cm . 0,6472

BC = 32,36 cm

54

Cálculo de AC Cos 40° 20’ = CA AC = AB . Cos 40° 20’ H

AC = 50 cm . 0,7623 AC = 38,11

En los siguientes triángulos hallar los valores de las seis razones

trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:

a)

Z4

α

5

b)

Z β √3

√5

55

a) 1

α

y√7

x d)

α

10 12

Realiza las siguientes demostraciones:

a) Demostrar que Cos4x – Sen4x = Cos2A

b) Demostrar que Cosx . Tgx = Sen

c) Demostrar que Senx + Cosx = 1 Cscx Secx

56

c) Demostrar que Tgx = Secx

d) Demostrar que Tgx . Cosx . Cscx = 1

e) Demostrar que Senx . Secx = Tgx

f) Demostrar que Cscx = Cosx Tgx + Ctgx

g) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx Tgx + Cscx

h) Demostrar que Tgx + Cotgx = 1 Senx . Cosx

57